CHSE Odisha Class 11 Economics Solutions Chapter 19 କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପ

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Economics Solutions Chapter 19 କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପ Questions and Answers.

CHSE Odisha 11th Class Economics Solutions Chapter 19 କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପ

ବସ୍ତୁନିଷ୍ଠ ଓ ଅତିସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
A. ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ବିକଳ୍ପଉତ୍ତରମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ।

୧। ନିମ୍ନୋକ୍ତ କେଉଁଟି ସ୍ଥାନ ବିଶିଷ୍ଟ ମଧ୍ଯକ ?
(i) ମାଧ୍ଯମାନ
(ii) ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ୟମାନ
(iii) ଗରିଷ୍ଠକ
(iv) ମଧ୍ୟମା
Answer:
(iv) ମଧ୍ୟମା

୨। କେଉଁ ମଧ୍ଯକର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କଠାରୁ ବିଚ୍ୟୁତିର ବୀଜଗାଣିତକ ସମଷ୍ଟି ଶୂନ୍ୟ ?
(i) ମାଧ୍ଯମାନ
(ii) ଗରିଷ୍ଠକ
(iii) ମଧ୍ୟମା
(iv) ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନ
Answer:
(i) ମାଧ୍ଯମାନ

୩। କେଉଁ ମଧ୍ଯକରେ ଏକ ଆଦର୍ଶ ମଧ୍ଯକର ପ୍ରାୟ ସମସ୍ତ ଗୁଣାବଳୀ ରହିଛି ?
(i) ମଧ୍ୟମା
(ii) ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନ
(iii) ମାଧ୍ଯମାନ
(iv) ଗରିଷ୍ଠକ
Answer:
(iii) ମାଧ୍ଯମାନ

୪। ୭୦, ୧୦, ୬୦, ୪୫, ୧୮, ୨୫, ୬୫ର ମଧ୍ୟମା କେତେ ହେବ ?
(i) ୧୦
(ii) ୪୫
(iii) ୬୦
(iv) ୨୫
Answer:
(ii) ୪୫

୫। ଏକ ପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନରେ
(i) ମାଧ୍ୟମାନ > ମଧ୍ୟମା = ଗରିଷ୍ଠକ
(ii) ମାଧ୍ଯମାନ – ମଧ୍ୟମା = ଗରିଷ୍ଠକ
(iii) ମାଧ୍ୟମାନ < ଗରିଷ୍ଠକ = ମଧ୍ୟମା
(iv) ମାଧ୍ଯମାନ = ମଧ୍ୟମା = ଗରିଷ୍ଠକ
Answer:
(iv) ମାଧ୍ୟମାନ = ମଧ୍ୟମା = ଗରିଷ୍ଠକ

୬। ନିମ୍ନୋକ୍ତ କେଉଁ ମଧ୍ୟକ ଲେଖଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ ନାହିଁ ?
(i) ମାଧ୍ଯମାନ
(ii) ଗରିଷ୍ଠକ
(iii) ମଧ୍ୟମା
(iv) ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ
Answer:
(i) ମାଧ୍ଯମାନ

୭। ନିମ୍ନୋକ୍ତ କେଉଁ ମଧ୍ଯକ ଚରମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ ?
(i) ମଧ୍ୟମା
(ii) ଗରିଷ୍ଠକ
(iii) ମାଧ୍ଯମାନ
(iv) ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ
Answer:
(iii) ମାଧ୍ଯମାନ

୮। ୩, ୫, ୪, ୩, ୫, ୩ ର ଗରିଷ୍ଠକ କେତେ ?
(i) ୨
(ii) ୩
(iii) ୪
(iv) ୫
Answer:
(ii) ୩

୯। କେଉଁ ମଧ୍ଯକ ରାଶିମାଳାକୁ ସମାନ ଦୁଇଭାଗ କରିଥାଏ ?
(i) ମାଧ୍ଯମାନ
(ii) ମଧ୍ୟମା
(iii) ଗରିଷ୍ଠକ
(iv) ଚତୁର୍ଥାଂଶକ
Answer:
(ii) ମଧ୍ୟମା

୧୦। କେଉଁ ମଧ୍ୟକ ସମସ୍ତ ଲଜ୍ଜାଙ୍କ ଉପରେ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ ଅଟେ ?
(i) ଗରିଷ୍ଠକ
(ii) ମଧ୍ୟମା
(iii) ମାଧ୍ଯମାନ
(iv) ଉପରୋକ୍ତ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ
Answer:
(iii) ମାଧ୍ଯମାନ

୧୧। କେଉଁ ମଧ୍ୟକ ଗୁଣାତ୍ମକ ତଥ୍ୟର ବିଶ୍ଳେଷଣ ପାଇଁ ଉପଯୋଗୀ ?
(i) ମାଧ୍ଯମାନ
(ii) ମଧ୍ୟମା
(iii) ଉଭୟ (i) ଓ (ii)
(iv) ଉପରୋକ୍ତ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ
Answer:
(ii) ମଧ୍ୟମା

୧୨। ଗରିଷ୍ଠକର ମୂଲ୍ୟ କାହା ସହ ସମାନ ?
(i) 3Md – 2M
(ii) 3M – 2Md
(iii) 3M+2Md
(iv) 2M+3Md
Answer:
(i) 3Md – 2M

୧୩। ଯଦି ଗରିଷ୍ଠକ ଓ ମଧ୍ୟମା ଯଥାକ୍ରମେ ୨୦ ଓ ୨୪ ହୋଇଥାନ୍ତି, ତା’ହେଲେ ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ ?
(i) ୨୨
(ii) ୨୩
(iii) ୨୪
(iv) ୨୬
Answer:
(iv) ୨୬

୧୪। ଯଦି ରାଶିମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା (n) ୫ ଓ ମାଧମାନ (x̄) ୧୦ ହୁଏ ତେବେ ∑X କେତେ ହେବ ?
(i) ୨୦
(ii) ୨
(iii) ୫୦
(iv) ୨୫
Answer:
(iii) ୫୦

୧୫। ଯଦି X ଚଳର ମାଧ୍ୟମାନ ୩ ହୁଏ, ତେବେ (X+2) ଚଳର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ ?
(i) ୩
(ii) ୪
(iii) ୫
(iv) ୬
Answer:
(iii) ୫

୧୬। ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀରେ ବାଳକମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ଓଜନ ୨୫ କେଜି ଓ ବାଳିକାମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ଓଜନ ୨୦ କେଜି ଅଟେ । ଯଦି ଶ୍ରେଣୀରେ ୨୦ ଜଣ ବାଳକ ଓ ୫ ଜଣ ବାଳିକା ଥାଆନ୍ତି ତା’ ହେଲେ ଶ୍ରେଣୀର ସମସ୍ତ
(i) ୨୫
(ii) ୨୪
(iii) ୨୨.୫
(iv) ଉପରୋକ୍ତ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ।
Answer:
(ii) ୨୪

୧୭ । ଗୋଟିଏ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ୨, ୪, ୮ ହେଲେ ଏହାର ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ?
(i) ୨
(ii) ୪
(iii) ୬
(iv) ୮
Answer:
(ii) ୪

B. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର :

୧। ______________________ ନିଶ୍ଚିୟ କଲାବେଳେ ବଣ୍ଟନର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଥାଏ।
Answer:
ମାଧ୍ଯମାନ

୨। କୌଣସି ବଣ୍ଟନର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମାନଙ୍କଠାରୁ ତାହାର _____________________ ର ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ଶୂନ୍ୟ ହୋଇଥାଏ।
Answer:
ମାଧ୍ଯମାନ

୩। ______________________ ମଧ୍ୟକ ଚରମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୋଇଥ ନ ଥା’ନ୍ତି।
Answer:
ମଧ୍ୟମା

୪। ୧୦ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମଧ୍ୟମା ୧୫ ଅଟେ । ଯଦି ପ୍ରତି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କରେ ୫ ମିଶାଯାଏ ତେବେ ନୂତନ ମଧ୍ୟମା ____________________ ହେବ।
Answer:
୨୦

୫। _______________________ ବଣ୍ଟନରେ ମଧ୍ୟମା ଉପଯୁକ୍ତ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପକ ଅଟେ ।
Answer:
ଅବାଧ ସଂଭାଗଯୁକ୍ତ

୬। ମଧ୍ଯମାକୁ __________________ ଚତୁର୍ଥାଂଶକ ବୋଲି କୁହାଯାଏ।
Answer:
ଦ୍ଵିତୀୟ,

୭। ଗୁଣାତ୍ମକ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି ପାଇଁ ____________________ ସର୍ବୋତ୍କୃଷ୍ଟ ।
Answer:
ମଧ୍ୟମା

୮। ଏକ ପରିବଣ୍ଟନରେ ଦୁଇଟି ଗରିଷ୍ଠକ ଥିଲେ ତାହାକୁ _____________________ ପରିବଣ୍ଟନ କୁହାଯାଏ ।
Answer:
ଦ୍ବିଗରିଷ୍ଠକ

୯। ଏକ ଆଦର୍ଶ ମଧ୍ଯକର _________________ ସ୍ଥିରତା ରହିବା ଉଚିତ ।
Answer:
ଚୟନ

୧୦। କୌଣସି ସହରରେ ସୋମବାର ଠାରୁ ଶନିବାର ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ହାରାହାରି ୦.୪ ଇଞ୍ଚ ବର୍ଷା ହୋଇଥିଲା। ରବିବାର ଦିନ ପ୍ରଚଣ୍ଡ ବର୍ଷା ହେବା ଫଳରେ ଉକ୍ତ ହାରାହାରି ୦.୫କୁ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲେ ରବିବାର ଦିନ ହୋଇଥବା ବର୍ଷା ପରିମାଣ__________________।
Answer:
୧.୧ ଇଞ୍ଚ (୦.୫ × ୭ – ୦.୪ × ୬ = ୩.୫ – ୨.୪)

୧୧। ସରଳ ଗାଣିତିକ ମାଧମାନରେ ସମସ୍ତ ରାଶିକୁ ସମାନ ପ୍ରାଧାନ୍ୟ ଦେଇଥାଏ। କିନ୍ତୁ କେତେ ଗୁଡ଼ିଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବିଭିନ୍ନ ରାଶି ଗୁଡ଼ିକର ଆପେକ୍ଷିକ ଗୁରୁତ୍ଵ ସମାନ ନ ଥାଏ, ଏହି ପରିସ୍ଥିତିରେ ଆମେ _______________________ ମାଧ୍ଯମାନର ସହାୟତା ନେଉ।
Answer:
ଭାରି ଗାଣିତିକ

୧୨। ଗାଣିତିକ ମାଧମାନର ବିଧ୍ଵବଦ୍ଧ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞା ନିରୂପଣ ହୋଇଥିବାରୁ ଯେ କେହି ଗାଣିତିକ ମାଧ୍ୟମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଚାହିଁବ ସେ ______________________ ଉତ୍ତର ପାଇପାରିବ ।
Answer:
ସମାନ

୧୩। ଯେତେବେଳେ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣରେ ସଂଭାଗଗୁଡ଼ିକ ଅସମାନ ହୁଅନ୍ତି _____________________ ମଧ୍ୟକ ସେହି ପରିସ୍ଥିତିରେ ପସନ୍ଦନୀୟ ।
Answer:
ମଧ୍ୟମା

୧୪। ଯେଉଁ ପରିମାପକ ଦ୍ଵାରା ବିତରଣମାଳାକୁ ସମାନ ଚାରି ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଏ, ତାହାକୁ ______________________ କୁହାଯାଏ ।
Answer:
ଚତୁର୍ଥାଂଶକ

୧୫। ଗାଣିତିକ ମାଧ୍ୟମାନ = ସମସ୍ତ ଲଚ୍ଛାଙ୍କର ସମଷ୍ଟି _______________ ।
Answer:
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା

C. ଗୋଟିଏ ବାକ୍ୟରେ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

୧। ମଧ୍ୟମା କାହିଁକି ଚରମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଦ୍ବାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ ନାହିଁ ?
Answer:
ମଧ୍ୟମା ତଥ୍ୟାବଳୀର ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ହୋଇଥିବାରୁ ଚରମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ ନାହିଁ ।

୨। ଚୟନ ସ୍ଥିରତା କହିଲେ କ’ଣ ବୁଝାଯାଏ ?
Answer:
ଚୟନ ସ୍ଥିରତା କହିଲେ, କୌଣସି ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀରୁ ଅହେତୁକ ଭାବେ ନମୁନା ଚୟନ କଲେ । ଉକ୍ତ ନମୁନାଗୁଡ଼ିକର ମଧ୍ୟକ ଉଣାଅଧ୍ଵ ସମାନ ହେବା ପ୍ରୟୋଜନୀୟ ।

୩। ଅବାଧ ସଂଭାଗ କହିଲେ କ’ଣ ବୁଝାଯାଏ ?
Answer:
ଯେଉଁ ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା କିମ୍ବା ଉର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା ନ ଥାଏ ତାହାକୁ ଅବାଧ ସଂଭାଗ କୁହାଯାଏ।

୪। ବଣ୍ଟନକୁ ସମଚତୁର୍ଥାଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବା ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକୁ କ’ଣ କୁହାଯାଏ ?
Answer:
ବଣ୍ଟନକୁ ସମଚତୁର୍ଥାଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରୁଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଚତୁର୍ଥାଂଶକ କୁହାଯାଏ।

୫। କେଉଁ ମଧ୍ଯକକୁ ବଣ୍ଟନର ଭାରକେନ୍ଦ୍ର ବୋଲି କୁହାଯାଏ ?
Answer:
ମାଧ୍ୟମାନକୁ ବଣ୍ଟନର ଭାରକେନ୍ଦ୍ର କୁହାଯାଏ ।

୬। ଏକ ବଣ୍ଟନର ସର୍ବାଧ‌ିକ ଥର ଆବିର୍ଭାବ ହେଉଥ‌ିବା ମଧ୍ଯକଟିର ନାମ କ’ଣ ?
Answer:
ଏକ ବଣ୍ଟନର ସର୍ବାଧ‌ିକ ଥର ଆବିର୍ଭାବ ହେଉଥ‌ିବା ମଧକଟିର ନାମ ଗରିଷ୍ଠକ ।

୭। ଯେଉଁ ମଧ୍ୟକ ବଣ୍ଟନକୁ ସମଦ୍ବିଭାଗ କରେ ତାହାର ନାମ କ’ଣ ?
Answer:
ଯେଉଁ ମଧ୍ୟକ ବଣ୍ଟନକୁ ସମଦ୍ବିଭାଗ କରେ ତାହାର ନାମ ମଧ୍ୟମା ।

୮। କେଉଁ ମଧ୍ଯକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଉପରେ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ ଅଟେ ?
Answer:
ମାଧ୍ଯମାନ

୯। ଯେଉଁ ବଣ୍ଟନରେ ମାଧ୍ଯମାନ, ମଧ୍ୟମା ଓ ଗରିଷ୍ଠକ ସମାନ ହୋଇଥା’ନ୍ତି ତାହାକୁ କି ପ୍ରକାର ବଣ୍ଟନ କୁହାଯାଏ ?
Answer:
ପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନ କୁହାଯାଏ।

୧୦। ହାରାହାରି କାହାକୁ କୁହାଯାଏ ?
Answer:
ହାରାହାରି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ସମୁଦାୟ ସମଷ୍ଟିକୁ ବର୍ଣନା କରିଥାଏ।

୧୧। କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ସବୁଠାରୁ ସରଳ ପରିମାପକଟି କ’ଣ ?
Answer:
ମାଧମାନ।

୧୨। ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯିବାର ସୂତ୍ର କ’ଣ ?
Answer:

୧୩। କୌଣସି ବଣ୍ଟନରେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଠାରୁ ମାଧ୍ଯମାନର ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?
Answer:
ଶୂନ

୧୪। କେଉଁ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପ ଚରମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟହାର ବିଶେଷ ପ୍ରଭାବିତ ହୋଇଥାଏ ?
Answer:
ମାଧ୍ଯମାନ

୧୫। ଗୁଣାତ୍ମକ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ସର୍ବୋତ୍କୃଷ୍ଟ ମାପକର ନାମ କ’ଣ ?
Answer:
ମଧ୍ୟମା

୧୬। ଅବାଧ ସଂଭାଗଯୁକ୍ତ ବଣ୍ଟନରେ କେଉଁ ପରିମାପକ ଅଧ୍ବକ ଉପଯୋଗୀ ?
Answer:
ମଧ୍ୟମା ଓ ଗରିଷ୍ଠକ

୧୭ । କେଉଁ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପ ଅସମାନ ସଂଭାଗଯୁକ୍ତ ବଣ୍ଟନର ଅଧିକ ଉପଯୋଗୀ ?
Answer:
ମାଧ୍ଯମାନ ଓ ମଧ୍ୟମା

୧୮। କେଉଁ ହାରାହାରି ରେଖାଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ କରାଯାଇପାରେ ନାହିଁ ?
Answer:
ମାଧ୍ଯମାନ

୧୯। କେଉଁ ହାରାହାରି ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାରମ୍ବାରତା ଦ୍ବାରା ଜଣାଯାଏ ?
Answer:
ଗରିଷ୍ଠକ

୨୦ । କେଉଁ ହାରାହାରି ନମୁନା ପରିବର୍ତ୍ତନରେ ବିଶେଷ ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ ନାହିଁ ।
Answer:
ମାଧ୍ଯମାନ

୨୧। କେଉଁ ହାରାହାରି ପୋଷକ ପରିଛେଦ ପ୍ରସ୍ତୁତିରେ ସହାୟକ ହୁଏ ।
Answer:
ରରିଷକ

୨୨ । ମାଧ୍ଯମାନ, ମଧ୍ୟମା ଓ ଗରିଷକ ମଧ୍ୟରେ ଗାଣିତିକ ସଂପର୍କ କ’ଣ ?
Answer:
ଗରିଷ୍ଠକ = ୩ ମଧ୍ୟମା – ୨ ମାଧ୍ଯମାନ

୨୩। ଗାଣିତିକ ହାରାହାରି କାହାକୁ କୁହାଯାଏ ?
Answer:
ମାଧ୍ୟମାନକୁ ଗାଣିତିକ ହାରାହାରି କୁହାଯାଏ ।

୨୪। କେଉଁ ହାରାହାରି ସଞ୍ଚୟୀ ବାରମ୍ବାରତା ବକ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ ଦର୍ଶାଯାଇ ପାରିବ ।
Answer:
ମାଧ୍ଯମା

D. ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଭୁଲ କି ଠିକ୍ ଲେଖ । ରେଖାଙ୍କିତ ଅଂଶର ପରିବର୍ତ୍ତନ ନ କରି ଆବଶ୍ୟକ ସ୍ଥଳେ ସଂଶୋଧନ କର ।

୧। ପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନରେ ମାଧ୍ୟମାନ ମଧ୍ଯମାଠାରୁ ବଡ଼ ।
Answer:
ପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନରେ ମାଧ୍ୟମାନ ମଧ୍ଯମା ସହିତ ସମାନ।

୨। କୌଣସି ବଣ୍ଟନର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କଠାରୁ ମାଧ୍ଯମାର ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ଶୂନ୍ୟ ହୋଇଥାଏ।
Answer:
କୌଣସି ବଣ୍ଟନର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କଠାରୁ ମାଧ୍ଯମାନର ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ଶୂନ୍ୟ ହୋଇଥାଏ।

୩। ୫ଟି ସଂଖ୍ୟାରେ ମାଧ୍ଯମାନ ୮ ଓ ୧୦ଟି ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ ୫ ହେଲେ, ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ ୬ ହେବ ।
Answer:
ଠିକ୍

୪। କୌଣସି ବଣ୍ଟନର ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାର ଆବିର୍ଭୂତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ତାହାର ଗରିଷ୍ଠକ କୁହାଯାଏ ।
Answer:
ଠିକ୍

୫। ପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନରେ ମଧ୍ୟମା ମାଧ୍ଯମାନଠାରୁ ସାନ ।
Answer:
ପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନରେ ମଧ୍ୟମା ମାଧ୍ଯମାନଠ ସାନ ସମାନ।

୬। ଯଦି ଗୋଟିଏ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ମାଧ୍ୟମାନ ୮୦ ଓ ମଧ୍ୟମା ୧୨୦ ହୁଏ, ଗରିଷ୍ଠକର ମୂଲ୍ୟ ୧୨୦ରୁ ବେଶୀ ହେବ।
Answer:
ଠିକ୍ (ଗରିଷ୍ଠକ = ୩ ମଧ୍ୟମା – ୨ ମାଧ୍ଯମାନ)

୭। ମାଧ୍ଯମାନ ଓ ଗରିଷ୍ଠକ ଲେଖଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ନିରୂପଣ କରାଯାଇପାରେ ।
Answer:
ମାଧ୍ଯମା ଓ ଗରିଷ୍ଠକ ଲେଖଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ନିରୂପଣ କରାଯାଇପାରେ ।

୮। ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନରେ ମାଧ୍ୟମାନ, ମଧ୍ୟମା ଓ ଗରିଷ୍ଠକର ମୂଲ୍ୟ ସମାନ ଅଟେ।
Answer:
ଗୋଟିଏ ପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନରେ ମାଧମାନ, ମଧ୍ୟମା ଓ ଗରିଷ୍ଠକର ମୂଲ୍ୟ ସମାନ ଅଟେ।

୯। ମାଧ୍ଯମାନ ଏକ ଅବସ୍ଥାପିତ ହାରାହାରି ।
Answer:
ମଧ୍ୟମା ଏକ ଅବସ୍ଥାପିତ ହାରାହାରି।

୧୦। ଯଦି ବିତରଣର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମଧ୍ୟମାଦ୍ଵାରା ପ୍ରତିବଦଳ ହୁଏ, ତେବେ ଅବସ୍ଥାପିତ ମୂଲ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ସହିତ ସମାନ ହୁଏ।
Answer:
ଯଦି ବିତରଣର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମାଧ୍ୟମାନ ଦ୍ଵାରା ପତ୍ରିବଦଳ ହୁଏ, ତେବେ ଅବସ୍ଥାପିତ ମୂଲ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ସହିତ ସମାନ ହୁଏ।

୧୧। ମଧ୍ଯମାର ସଠିକ୍ ସଂଜ୍ଞା ନାହିଁ ।
Answer:
ଗରିଷ୍ଠକର ସଠିକ୍ ସଂଜ୍ଞା ନାହିଁ ।

୧୨। ଯଦି ମାଧ୍ଯମାନଠାରୁ କମ୍ ମୂଲ୍ୟର ଏକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବିତରଣରେ ଯୋଗ କରାଯାଏ, ତେବେ ମାଧ୍ଯମାନର ମୂଲ୍ୟ ହୁଏ ।
Answer:
ଯଦି ମାଧ୍ୟମାନଠାରୁ କମ୍ ମୂଲ୍ୟର ଏକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବିତରଣରେ ଯୋଗ କରାଯାଏ, ତେବେ ମାଧ୍ଯମାନର ମୂଲ୍ୟ ହ୍ରାସ ହୁଏ ।

୧୩। ଯୋତା ପ୍ରସ୍ତୁତକାରୀ ମାଧ୍ଯମାନ ପ୍ରତି ସଚେତନ ଥା’ନ୍ତି।
Answer:
ଯୋତା ପ୍ରସ୍ତୁତକାରୀ ଗରିଷ୍ଠକ ପ୍ରତି ସଚେତନ ଥା’ନ୍ତି।

୧୪। ଗରିଷ୍ଠକ ଏକ କାଳ୍ପନିକ ମୂଲ୍ୟ ।
Answer:
ଗରିଷ୍ଠକ ଏକ ବାସ୍ତବ ମୂଲ୍ୟ।

୧୫। କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମାନଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା ସମାନ ଥିଲେ ତାହାକୁ ଗରିଷ୍ଠକ ବିହୀନ୍ କୁହାଯାଏ।
Answer:
ଠିକ୍

୧୬। ଯେଉଁ ସଂଭାଗରେ ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାରମ୍ବାରତା ଥିବ ତାହାକୁ ଗରିଷ୍ଠକ ସଂଭାଗ କୁହାଯାଏ।
Answer:
ଠିକ୍

୧୬। ଯେଉଁ ସଂଭାଗରେ ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାରମ୍ବାରତା ଥୁବ ତାହାକୁ ଗରିଷ୍ଠକ ସଂଭାଗ କୁହାଯାଏ।
Answer:
ଗରିଷ୍ଠକକୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ପଦ୍ଧତିରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ।

୧୮। ଦ୍ଵିତୀୟ ଚତୁର୍ଥାଂଶକ (O₂) ମାଧ୍ଯମାନ ସହ ସମାନ।
Answer:
ଦ୍ବିତୀୟ ଚତୁର୍ଥାଂଶକ ମଧ୍ୟମା ସହ ସମାନ।

୧୯। ଓଜିଭ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ ।
Answer:
ଓଜିଭ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ ।

୨୦ । କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ବିସ୍ତୃତ କରି ପ୍ରକାଶ କରେ ।
Answer:
କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ କରି ପ୍ରକାଶ କରେ।

୨୧। ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରିର ଗାଣିତିକ ପ୍ରତିପାଦନ କ୍ଷମତା ଥାଏ।
Answer:
ଠିକ୍

୨୨। ମାଧମା ସାଧାରଣ ଲୋକ ବ୍ୟବହାର କରୁଥିବା ଏକ ହାରାହାରି ।
Answer:
ମାଧମାନ ସାଧାରଣ ଲୋକ ବ୍ୟବହାର କରୁଥିବା ଏକ ହାରାହାରି ।

୨୩। ବଣ୍ଟନର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଠାରୁ ମାଧ୍ଯମାନର ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବାଧିକ ହୋଇଥାଏ।
Answer:
ବଣ୍ଟନର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଠାରୁ ମାଧମାନର ବିଚ୍ୟୁତିମନଙ୍କର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବନିମ୍ନ ହୋଇଥାଏ।

୨୪। ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ଭିଭିକ ହେବା ଉଚିତ୍ ।
Answer:
ଠିକ୍

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
E. ତିନୋଟି ବାକ୍ୟ ମଧ୍ଯରେ ନିମ୍ନଲିଖୂ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ଉତ୍ତର ଦିଅ।

୧। ମାଧ୍ଯମାନ କ’ଣ ?
Answer:
ମାଧ୍ଯମାନ ଏକ ସାଧାରଣ ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପ। ଏହା କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ଏକ ସରଳ ପରିମାପକ। ଗୋଟିଏ ମାଳାରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଲବ୍ଧଙ୍କର ସମଷ୍ଟିକୁ ସେମାନଙ୍କର ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଯେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ମିଳେ, ତାହାକୁ ମାଧ୍ୟମାନ କୁହାଯାଏ।

୨। ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରି କିପରି ଚୟନ କରିବ ?
Answer:

• ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଆଭିମୁଖ୍ୟକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟରେ ରଖୁ ହାରାହାରି ସ୍ଥିର କରାଯିବା ଉଚିତ୍।
• ଏହା ବିତରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ମୌଳିକ ଲକ୍ଷଣକୁ ପ୍ରତିଫଳିତ କରିପାରୁଥିବ।
• ତଥ୍ୟାବଳୀର ପ୍ରକୃତିକୁ ପ୍ରଦର୍ଶିତ କରିପାରୁଥିବା ଦରକାର।
• ଏହାର ସଠିକ୍ ସଂଜ୍ଞା ଥିବା ଆବଶ୍ୟକ।
• ଏହାର ଦୋଷତ୍ରୁଟିର ମାତ୍ରା କମ୍ ରହିଥିବା ଦରକାର।

୩। କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି ପରିମାପର ଗୁରୁତ୍ଵ କ’ଣ ?
Answer:

• ଏହା ପ୍ରତିନିଧୃତ୍ଵ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରଦାନ କରେ।
• ବ୍ୟବହାର ଯୋଗ୍ୟ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟାରେ ପରିଣତ କରିବାରେ ଏହା ହିଁ ଏକମାତ୍ର ଅବଲମ୍ବନ।
• ଏହା ତୁଳନା କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ।
• ଏହା ବିଭିନ୍ନ ଅର୍ଥନୈତିକ ସମସ୍ୟା ଅଧ୍ୟୟନ କରେ।
• ଏହା ଅଧ୍ବକ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବିଶ୍ଳେଷଣ ପାଇଁ ଦିଗ୍‌ଦର୍ଶନ ଦିଏ।

୪। କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି ପରିମାପର ଦୋଷତ୍ରୁଟି ବର୍ଣ୍ଣନା କର ?
Answer:

• କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି କେବଳ ବିଶେଷଜ୍ଞମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇଥାଏ । ସାଧାରଣ ବ୍ୟକ୍ତି ଏହାର ବ୍ୟବହାର କରିପାରନ୍ତି ନାହିଁ ।
• ଏହି ପରିମାପ ସମଗ୍ର ତଥ୍ୟାବଳୀର ପ୍ରତିନିଧୁତ୍ଵ କରୁଥିଲେ ହେଁ କେତେକ ସମୟରେ ହାରାହାରି ମୂଲ୍ୟଟି ତଥ୍ୟାବଳୀ ମଧ୍ୟରେ ନ ଥାଏ।
• କେତେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଏହା ଭ୍ରମାତ୍ମକଫଳ ପ୍ରଦାନ କରେ।
• ଏହା ବିତରଣର ସଠିକ୍ ଚିତ୍ର ପ୍ରଦାନ କରିନଥାଏ ।
• ଏହା କେବଳ ପରିମାଣାତ୍ମକ ପରିପ୍ରକାଶ ମାତ୍ର ଗୁଣାତ୍ମକ ପରିପ୍ରକାଶ ଏହା କରି ନ ଥାଏ।

୫। ମାଧ୍ଯମାନ, ମଧ୍ୟମା ଓ ଗରିଷ୍ଠକ ମଧ୍ୟରେ କ’ଣ ତଥ୍ୟ ଭିତ୍ତିକ ସମ୍ବନ୍ଧ ଅଛି ?
Answer:
ପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମାଧ୍ଯମାନ, ମଧ୍ୟମା ଓ ଗରିଷ୍ଠକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣଭାବେ ସମାନ ହୋଇଥା’ନ୍ତି। ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନେ ପରସ୍ପର ସହିତ ସମାନ ହୋଇଥିବାର ଦେଖାଯାଏ। ଅର୍ଥାତ୍ ମାଧମାନ = ମଧ୍ୟମା = ଗରିଷ୍ଠକ । ମାତ୍ର ଅପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମାଧ୍ୟମାନ ଓ ଗରିଷ୍ଠକ ମଧ୍ୟମଠାରୁ ବଡ଼ କିମ୍ବା ସାନ ହୋଇଥା’ନ୍ତି। ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ତଥ୍ୟଭିତ୍ତିକ ସମ୍ବନ୍ଧ ହେଲା – ଗରିଷ୍ଠକ = ୩ ମଧ୍ଯମା

୬। ମଧ୍ୟମା କ’ଣ ?
Answer:
ମଧ୍ୟମା ହେଉଛି କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ଅନ୍ୟ ଏକ ମାର୍ଗ । ମଧ୍ଯମାଠାରୁ ଏହାର ପ୍ରକୃତି ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାର । ସମଗ୍ର ବିତରଣରେ ମଧମା ଏକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବିନ୍ଦୁ ରୂପେ କାମକରେ । ଅର୍ଥାତ୍ ବିତରଣର ଠିକ୍ ମଧ୍ୟସ୍ଥଳରେ ଥାଏ । ଏଥୁରେମଧ୍ୟମାଠାରୁ ଉଚ୍ଚକ୍ରମର ଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ନିମ୍ନକ୍ରମରେ ଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ସମାନ ଥାଏ । ଅନ୍ୟଭାବରେ କହିବାକୁ ଗଲେ ବିତରଣ ଅନ୍ତର୍ଗତ ସମୁଦାୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର50% ଏହି ବିନ୍ଦୁର ଉର୍ଦ୍ଧରେ ଓ 50% ଏହି ବିନ୍ଦୁର ନିମ୍ନରେ ଥାଏ । ଅବର୍ଗିକ
ତଥ୍ୟରେ ମଧ୍ୟମା \(M=\frac{N+1 \text { th }}{2}\) item
ଶ୍ରେଣୀ ବଦ୍ଧ ତଥ୍ୟରେ ମଧ୍ୟମା \(\mathrm{M}=\frac{\mathrm{L}+\mathrm{N} / 2-\mathrm{C} \cdot \mathrm{F}}{\mathrm{F}} \times \mathrm{i}\)

୭। ଗରିଷ୍ଠକ କାହାକୁ କହନ୍ତି ?
Answer:
କୌଣସି ଅବର୍ଗିତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ବତରଣରେ ଯେଉଁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସର୍ବାଧିକର ପରିଲକ୍ଷିତ ହୁଏ, ସେହି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସେହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ରୂପେ ଗୃହୀତ ହୋଇଥାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ 10, 12, 12, 10, 11, 13,10,11,10 ଏହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ହୋଇଛି 10, କାରଣ , ଏହା ସର୍ବାଧ୍ଵର ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଛି, ପୁନଶ୍ଚ ବର୍ଗିତ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଯେଉଁ ସଂମ୍ଭାଗର ପୌନପୁନ୍ଯ ସର୍ବାଧ‌ିକ ହୋଇଥାଏ, ତାହାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥଳ ଗରିଷ୍ଠକ ରୂପେ ପରିଗଣିତ ହୋଇଥାଏ ।

୮। ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନର ଦୁର୍ଗୁଣଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ ।
Answer:

• ଲଘୁଗଣକ ବ୍ୟବହାର କରି ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହେଉଥ‌ିବାରୁ ଏହା କଠିନ ଅଟେ ।
• ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବିଯୁକ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଥିଲେ ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
• ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନର ବ୍ୟବହାର ସୀମିତ ଅଟେ ।

୯। ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ଯମାନର ସୁଗୁଣଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ ।
Answer:

• ସାଂଖ୍ୟକ ବିତରଣର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ୟମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
• ଏହାର ଗାଣିତିକ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇ ପାରିବ ।
• ଗାଡ଼ିର ବେଗର ହାରାହାରି ଓ ସମୟର ହାରାହାରି ପାଇଁ ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ୟମାନ ଉତ୍ପାଦନ ଅଟେ ।

F. ଛଅଟି ବାକ୍ୟରେ ସୀମିତ ରଖ୍ ପାର୍ଥକ୍ୟ ଦର୍ଶାଅ ।

୧। ମଧ୍ୟମା ଓ ମାଧ୍ୟମାନ
Answer:
ମଧ୍ୟମା ଏକ ଅବସ୍ଥାପିତ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ମାପକ ଅଟେ । କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକୁ ଉର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମ ବା ଅଧଃକ୍ରମରେ ସଜାଡ଼ି ଦେଲେ ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ମଧ୍ୟମା କୁହାଯାଏ । ମଧ୍ୟମା ଏକ ବିଭାଜନ ମୂଲ୍ୟ ଅଟେ । ଏହା ବଣ୍ଟନକୁ ସମାନ ଦୁଇଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରେ। ଏହା ବଣ୍ଟନର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସ୍ଥାନକୁ ବୁଝାଇଥାଏ।

ତେଣୁ ବଣ୍ଟନର କେତେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଲେ ମଧ୍ୟ ମଧ୍ୟମା ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୋଇ ନ ପାରେ। ମାଧ୍ଯମାନ କୁହାଯାଏ। କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପକ ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ମାଧମାନଠାରେ ଆଦର୍ଶ ମଧ୍ଯକର ପ୍ରାୟ ସମସ୍ତ ଗୁଣାବଳୀ ରହିଅଛି। ତେଣୁ ମାଧ୍ୟମାନ ବହୁଳ ଭାବେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ।

୨। ମାଧ୍ଯମାନ ଓ ଭାରି ଗାଣିତିକ ମାଧ୍ୟମାନ
Answer:
କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ଏକ ସରଳ ପରିମାପକ ହେଉଛି ମାଧ୍ଯମାନ। ଗୋଟିଏ ମାଳାରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ସମଷ୍ଟିକୁ ସେମାନଙ୍କର ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଯେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ମିଳେ ତାହାକୁ ମାଧ୍ୟମାନ କୁହାଯାଏ।

ମାଧ୍ଯମାନରେ ସମସ୍ତ ରାଶିକୁ ସମାନ ପ୍ରାଧାନ୍ୟ ଦେଇଥାଏ। ଏହି ପରିସ୍ଥିତିରେ ଭାରି ଗାଣିତିକ ମାଧ୍ୟମାନର ଆମେ ସହାୟତା ନେଉ। ଭାରି ଗାରିତିକ ମାଧ୍ୟମାନରେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ରାଶି ଗୁଡ଼ିକର ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଗୁରୁତ୍ଵ ଥାଏ। ଭାରି ଗାଣିତିକ ମାଧ୍ୟମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ସୂତ୍ର ହେଲା –

୩। ମଧ୍ୟମା ଓ ଗରିଷ୍ଠକ
Answer:
ମଧ୍ୟମା ଏକ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥାନୀୟ ମାପକ ଅଟେ । ଏହା ବଣ୍ଟନର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକୁ ଏପରି ଦୁଇଟି ସମାନଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ଯେପରିକି ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମଧ୍ୟମାଠାରୁ ବେଶି ହେବାବେଳେ ଅନ୍ୟ ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଏହାଠାରୁ କମ୍ ହୋଇଥାଏ। ତେଣୁ କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସାନରୁ ବଡ଼ ବା ବଡ଼ରୁ ସାନ କ୍ରମରେ ସଜାଇଦେଲେ ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା କୁହାଯାଏ।

କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ସର୍ବାଧ‌ିକ ଥର ଆବିର୍ଭାବ ହେଉଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ କୁହାଯାଏ। କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମାନଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା ସମାନ ଥିଲେ, ଏହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନାହିଁ ବୋଲି କୁହାଯାଏ। ଯଦି ଦୁଇଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା ସମାନ ଓ ସର୍ବାଧ‌ିକ ହୁଏ ତାହେଲେ ଉକ୍ତ ବଣ୍ଟନକୁ ଦ୍ଵିଗରିଷ୍ଠକ ବଣ୍ଟନ ବୋଲି କୁହାଯାଏ।

ଦୀର୍ଘ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର

୧। କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପ କହିଲେ କ’ଣ ବୁଝ ? ଏହାର ଆବଶ୍ୟକତା ଉପରେ ଆଲୋକପାତ କର । ଏକ ଉତ୍ତମ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପକର ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଉଲ୍ଲେଖ କର ।
Answer:
କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି ବା କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପ କହିଲେ କୌଣସି ବିତରିତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟକୁ ପ୍ରତିନିଧୂ କରୁଥ‌ିବା ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବୁଝାଇଥାଏ, ଯାହାକି ତଥ୍ୟାବଳୀର ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣର କେନ୍ଦ୍ରରେ ଅବସ୍ଥିତ ହୋଇଥାଏ । ସାଧାରଣତଃ କୌଣସି ବଣ୍ଟନର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କୁ ମନେରଖୁବା ସହଜସାଧ୍ୟ ନୁହେଁ ।

ତେଣୁ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ଗୋଟିଏ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ପରିଣତ କରାଯାଏ । ଯେଉଁ ଗୋଟିଏ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ପ୍ରତିନିଧୃତ୍ଵ କରୁଥାଏ ତାହାକୁ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି କୁହାଯାଏ । ଏହା ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଗୁଣ ବହନ କରିଥାଏ । ଏହା ମଧ୍ୟ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ବା ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ନ ହୋଇ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେନ୍ଦ୍ରରେ ଅବସ୍ଥାପିତ ହୋଇଥାଏ ।

କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପକ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଶାସ୍ତ୍ରର କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ । ଏହାର ଆବଶ୍ୟକତା ବହୁତ । ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା-
(a) ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ଛୋଟ ଓ ସରଳ କରିବା– ପ୍ରଥମତଃ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପକ ବିସ୍ତୀର୍ଣ୍ଣ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ

(b) ତୁଳନାତ୍ମକ ବିଚାର– କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପକ ବିଭିନ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀର ତୁଳନା କରିବାର ପଥ ସୁଗମ କରିଥାଏ । ତଥ୍ୟାବଳୀଗୁଡ଼ିକର ବିସ୍ତୀଣ୍ଣତା ହେତୁ ସହଜରେ ତୁଳନା ହୋଇପାରେ ନାହିଁ । କିନ୍ତୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ପ୍ରତିନିଧୁଗୁଡ଼ିକୁ ତୁଳନା କରିବାରେ କିଛି ଅନ୍ତରାୟ ହୁଏ ନାହିଁ ।

(c) ଅଧ୍ଵନ୍ତୁ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ବ୍ୟବହାର ହୁଏ– କେତେକ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ବ୍ୟବହାର ଅପରିହାର୍ଯ୍ୟ । ତଥ୍ୟାବଳୀର ବିଚ୍ୟୁତି, ବୈଷମ୍ୟ, କକୁଦତା, ସହସମ୍ବନ୍ଧ, ସମାଶ୍ରୟଣ ଗୁଣାଙ୍କ ଇତ୍ୟାଦି ଆକଳନ କରିବାରେ ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ ।

(d) ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ନେବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ– କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପକ କୌଣସି ଏକ ବିଷୟରେ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଉପନୀତ ହେବାରେ ବହୁତ ସାହାଯ୍ୟ କରେ । ସାଧାରଣତଃ ଉତ୍ପାଦନ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ସରକାରଙ୍କର ଆୟବ୍ୟୟ ବଣ୍ଟନ, ଯୋଜନା କ୍ଷେତ୍ରରେ ଏହାର ବ୍ୟବହାର ବହୁଳ ପରିମାଣ ହୋଇଥାଏ ।

ଉତ୍ତମ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପର ବୈଚିତ୍ର –
ଏକ ଉତ୍ତମ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପକଠାରେ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଗୁଣଗୁଡ଼ିକ ପରିଲକ୍ଷିତ ହୋଇଥାଏ । ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –

• କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପକ ବ୍ୟର୍ଥବୋଧକ ବା ଅସ୍ପଷ୍ଟ ହୋଇନଥ‌ିବ ।
• ଏହାକୁ ସହଜରେ ବୁଝି ହେଉଥବ ଓ ଗଣନା କରାଯାଇପାରୁଥୁବ ।
• ଏହା ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଉପରେ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ ହୋଇଥବ ।
• ଏହାକୁ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ପୁନଃ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରୁଥ‌ିବ ।
• ଏହା ଚରମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା ପ୍ରଭାବିତ ହେଉନଥବ ।
• ଏହାକୁ ଲେଖକ (graph) ରେ ପରିପ୍ରକାଶ କରାଯାଇ ପାରୁଥ‌ିବ ।
• ଏହା ଚୟନ ତ୍ରୁଟିର ପ୍ରଭାବରେ ବିଶେଷଭାବରେ ପ୍ରଭାବିତ ହେଉ ନଥ‌ିବ ।

୨। ହାରାହାରିର ଆଭିମୁଖ୍ୟ (Objectives) ଓ କାର୍ଯ୍ୟାବଳୀ (Functions) ବର୍ଣନା କର । ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରିର ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ କ’ଣ ହୋଇପାରେ ?
Answer:
କୌଣସି ଏକ ସମଷ୍ଟିର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଓ ସରଳ ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ରୂପେ ହାରାହାରି କାର୍ଯ୍ୟ କରିଥାଏ । ଏହା ମୋଟ ସମଷ୍ଟିକୁ ପ୍ରତିନିଧ୍ୟ କରିଥାଏ । ପରିସଂଖ୍ୟାନ ପଦ୍ଧତିରେ ଏହା ଏକ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ ସ୍ଥାନ ଗ୍ରହଣ କରିଅଛି । ତେଣୁ ବାଉଲି ଏହାକୁ ଯଥାର୍ଥରେ ‘ହାରାହାରିର ଏକ ବିଜ୍ଞାନ’ ବୋଲି ଆଖ୍ୟା ଦେଇଛନ୍ତି । ହାରାହାରିର ନିମ୍ନୋକ୍ତ କାର୍ଯ୍ୟାବଳୀ ଯଥା ଆଭିମୁଖ୍ୟ ଦେଖିବାକୁ ମିଳେ :

(1) ଜଟିଳ ତଥ୍ୟକୁ ଏହା ସରଳ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରିଥାଏ – ବହୁ ପରିମାଣର ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟକୁ ଏକତ୍ରିତ କରିବା କଷ୍ଟକର କାମ ଅଟେ । ମାତ୍ର ସହଜ ଉପାୟରେ ଜଟିଳ ତଥ୍ୟକୁ ହାରାହାରି ମାଧମରେ ସରଳ ଓ ବ୍ୟବସ୍ଥାସିଦ୍ଧ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଥାଏ । ଏହା ସମଷ୍ଟିଗତ ତଥ୍ୟକୁ କେବଳ ମାତ୍ର ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାରେ ଅଧ୍ୟୟନରତ ବ୍ୟାପାରର ସମସ୍ତ ଲକ୍ଷଣ ବହନ କରି ସାଧାରଣ ଉପସଂହାର ପ୍ରତିପାଦିତ କରେ ।

(2) ତୁଳନା କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ– ଗୋଟିଏ ପ୍ରକାର ତଥ୍ୟ ସହିତ ଅନ୍ୟ ଏକ ତଥ୍ୟକୁ ତୁଳନା କରିବା ନିମିତ୍ତ ହାରାହାରି ଏକ ସାଧାରଣ ଆଖ୍ୟାଦାତା ଯୋଗାଇଥାଏ । ଏହାକୁ ଭିଭିକରି ଅନ୍ୟ ଏକ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ଦଳର ତଥ୍ୟର ଉପସଂହାର ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇପାରେ । ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, ଭାରତ ଓ ଆମେରିକାର ମୁଣ୍ଡପିଛା ଆୟ ତୁଳନା କଲେ ଜଣାଯାଏ ଯେ ଆମେରିକା ତୁଳନାରେ ଭାରତର ମୁଣ୍ଡପିଛା ଆୟ ଯଥେଷ୍ଟ କମ୍ । ତେଣୁ ଆମେରିକା ତୁଳନାରେ ଭାରତ ଏକ ଗରିବ ଦେଶ ଅଟେ ।

(3) ଏକ ନମୁନାରୁ ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀକୁ ଜାଣିବା– କେବଳ ମାତ୍ର ଏକ ନମୁନାରୁ ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀ ବା ଉପାଦାନମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟିକୁ ଜାଣିବାରେ ହାରାହାରି ସାହାଯ୍ୟ କରେ । ଏକ ନମୁନାରୁ ମାଧ୍ଯମାନ ଗୋଷ୍ଠୀର ମାଧମ ବିଷୟରେ ସୁଚିନ୍ତିତ ଧାରଣା ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ ।

(4) ନୀତି ନିର୍ଦ୍ଧାରଣରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ– ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟ ବସ୍ତୁର ହାରାହାରି ମୂଲ୍ୟ ଜାଣିବାରେ ହାରାହାରିର ଗୁରୁତ୍ଵ ବେଶୀ । ଗୋଟିଏ ଦେଶର ସ୍ୱଳ୍ପ ମୁଣ୍ଡପିଛା ଆୟ ଜାଣିବା ପରେ ତାର ଉନ୍ନତି ଘଟାଇବା ପାଇଁ ନୀତି ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବାରେ ଏହା ସାହାଯ୍ୟ କରେ ।

(5) ଗାଣିତିକ ସଂପର୍କ ସ୍ଥାପନରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ– ବିଭିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ କିମ୍ବା ବିଭାଗ ମଧ୍ୟରେ ଗାଣିତିକ ସଂପର୍କ ସ୍ଥାପନ କରିବାରେ ଏହା ଉପଯୁକ୍ତ ମାଧ୍ୟମ ଅଟେ । ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ସାର ଅପେକ୍ଷା ଏହା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଓ ବାସ୍ତବ ସଂପର୍କ ସ୍ଥାପନ କରେ ।

(6) ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବିଶ୍ଳେଷଣରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ– ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବିଶ୍ଳେଷଣରେ ଏହା ସାହାଯ୍ୟ କରେ । ଏଥରେ ଏହା ମୂଳଭିଭି ଅଟେ । ଯଦି ଜଣେ ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀର ବିଭିନ୍ନ ଛାତ୍ରଙ୍କର ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ବିଷୟର ହାରାହାରି ନମ୍ବର ଜାଣନ୍ତି, ତାହେଲେ କେଉଁ ବିଷୟରେ ଛାତ୍ରମାନେ ଦୁର୍ବଳ, ତାହା ସହଜରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କରିପାରନ୍ତି ।

ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରିର ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ :
ହାରାହାରି ଏକ ମୂଲ୍ୟ ଯାହା ଏକ ସମଷ୍ଟିଗତ ମୂଲ୍ୟର ପରିପ୍ରକାଶ ଅଟେ । ତେଣୁ ଏହାର କିଛି ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ ବା ଧର୍ମ ରହିବା ଦରକାର । ପ୍ରଫେସର ୟୁଲେ ଓ କେଣ୍ଡାଳଙ୍କ ମତରେ ହାରାହାରିର ନିମ୍ନୋକ୍ତ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ ପରିଲକ୍ଷିତ ହୁଏ ।

(1) ଏହା ସଠିକ ରୂପେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯିବା ଉଚିତ– ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତମ ଓ ସନ୍ତୋଷଜନକ ହାରାହାରି ସଠିକ ରୂପେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯିବ ଉଚିତ ଯଦ୍ବାରା ଏହାର କେବଳ ଏକମାତ୍ର ଅର୍ଥ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇ ପାରିବ । ଏହାର ଅର୍ଥ କିମ୍ବା ସଂଜ୍ଞା ନେଇ କୌଣସି ପ୍ରକାର ଦ୍ବନ୍ଦ୍ବ ରହିବ ନାହିଁ ।

(2) ଏହା ପ୍ରତ୍ୟେକ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ଭିଭିକ ହେବା ବିଧେୟ– ଗୋଟିଏ ମାଳାର ସମସ୍ତ ବସ୍ତୁକୁ ନେଇ ହାରାହାରି ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଏ । ଯାହା ଫଳରେ ସମୁଦାୟ ଗୋଷ୍ଠୀର ଏହା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ଵ କରିପାରେ ।

(3) ଏହା ସହଜ ବୋଧଗମ୍ୟ ହେବା ଉଚିତ– ଏକ ଉତ୍ତମ ଓ ସନ୍ତୋଷଜନକ ହାରାହାରି ସରଳ, ସ୍ପଷ୍ଟ ଏବଂ ସଂଜ୍ଞାଗତ ସ୍ଥିର ହେବା ଉଚିତ । ଏହାଦ୍ଵାରା ଏହା ସହଜରେ ଓ ସହସା ସମସ୍ତଙ୍କଦ୍ବାରା ବୋଧଗମ୍ୟ ହୋଇପାରିବ ।

(4) ଏହା ସହଜରେ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯିବା ଉଚିତ– ହାରାହାରିକୁ ଯଥାସମ୍ଭବ ସହଜ ଓ ଶୀଘ୍ର ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇ ପାରୁଥିବା ଉଚିତ । ଫଳରେ ଏହା ପରିସଂଖ୍ୟାନ ହିସାବ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବହୁଳ ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇପାରିବ ।

(5) ଏହା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ହେବା ଉଚିତ – ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟତା ଉତ୍ତମ ହାରାହାରିର ଏକ ବିଶିଷ୍ଟ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ ଅଟେ । ଫଳରେ ହାରାହାରି ମୂଲ୍ୟ ଭିତ୍ତିରେ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବିଶ୍ଳେଷଣ ସମ୍ଭବ ହୁଏ ।

(6) ନମୁନାର ପରିବର୍ତ୍ତନ ଦ୍ୱାରା ଏହା ସ୍ଵଚ୍ଛ ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ– ନମୁନାର ପରିବର୍ତ୍ତନ ଦ୍ୱାରା ଏହା ଖୁବ୍ କମ ପରିମାଣରେ ପ୍ରଭାବିତ ହୋଇଥାଏ । ଏକା ଗୋଷ୍ଠୀରୁ ଦୁଇଟି କ୍ରମହୀନ ନମୁନା ସଂଗ୍ରହ କଲେ ସେମାନଙ୍କର ହାରାହାରି ପ୍ରାୟ ପାଖାପାଖୁ ଥାଆନ୍ତି । ତେଣୁ ନମୁନା ପରିବର୍ତ୍ତନ ଦ୍ବାରା କମ୍ ପ୍ରଭାବିତ ହାରାହାରି ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରି ବୋଲି ବିବେଚିତ ହୁଏ ।

(7) ଏହାର ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରତିପାଦନ କ୍ଷମତା ଥାଏ– ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରିର ପୁନଃ ଗାଣିତିକ ତଥା ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରତିପାଦନ କ୍ଷମତା ରହିଥାଏ । ଯେଉଁ ହାରାହାରିର ପୁନଃ ଗାଣିତିକ ବ୍ୟବହାର କ୍ଷମତା ରହିଥାଏ, ତାହା ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବିଶ୍ଳେଷଣରେ ବହୁଳ ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ ।

ଉପରୋକ୍ତ ପର୍ଯ୍ୟାଲୋଚନା ହାରାହାରି ବହୁମୁଖୀ କାର୍ଯ୍ୟାବଳୀ ସଂପର୍କରେ ସୂଚନା ପ୍ରଦାନ କରେ । ଅର୍ଥନୀତିରେ ସକ୍ରିୟଥିବା ବିଭିନ୍ନ ଉପାଦାନଙ୍କ ସ୍ଥିତି, ଭୂମିକା ଓ ସେମାନଙ୍କର ଅବଦାନ ସଂପର୍କରେ ହାରାହାରି ଏକ ଧାରଣ ସୃଷ୍ଟିକରେ । ତେଣୁ ଅର୍ଥନୀତିରେ ଏହାର ଉପଯୋଗିତା ଖୁବ୍ ଅଧିକ । ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରି ଅର୍ଥନୀତି ସଂପର୍କରେ ଯଥାର୍ଥ ତଥ୍ୟ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ ।

ତେଣୁ ଅର୍ଥନୀତିରେ ବ୍ୟବହୃତ ହେଉଥ‌ିବା ହାରାହାରିର ଉତ୍ତମ ହାରାହାରିର ସମସ୍ତ ଲକ୍ଷଣ ରହିଥିବା ଆବଶ୍ୟକ ନଚେତ୍ ତଥ୍ୟ ପ୍ରଦାନରେ ଭ୍ରାନ୍ତଧାରଣା ସୃଷ୍ଟି ହୋଇପାରେ । ଉପରୋକ୍ତ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରିର ଲକ୍ଷଣ । ହାରାହାରି ଚୟନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଉପରୋକ୍ତ ଲକ୍ଷଣଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରତି ଦୃଷ୍ଟି ଦିଆଯିବା ଏକାନ୍ତ ଜରୁରୀ ।

୩। ମାଧ୍ୟମାନ କ’ଣ ? ମାଧମାନର ବିଶେଷ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ଉଲ୍ଲେଖ କର । ଏହାର ସୁଗୁଣ ଓ ଦୁର୍ଗୁଣଗୁଡ଼ିକ ଦର୍ଶାଅ ।
Answer:
କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପକମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ମାଧ୍ଯମାନ ସବୁଠାରୁ ଲୋକପ୍ରିୟ ମାପକ ଅଟେ । ଏହା ସମସ୍ତଙ୍କଦ୍ୱାରା ଆଦୃତ ଏବଂ ସାଧାରଣତଃ ଆମର ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଥାଏ । ଗୋଟିଏ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ହାରାହାରି ମାପକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ କୁହାଯାଏ । ଯଦି କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ

X_1, X_{2…………………………} X_n ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ \(\overline{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2+\ldots \ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}} \text { Or, } \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{x}}{\mathrm{n}}\)

ଏଠାରେ x̄ = ମାଧ୍ୟମାନ,Σx = ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ଓ n = ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ।
ମାଧ୍ଯମାନର ବିଶେଷ ଧର୍ମ – ମାଧ୍ଯମାନର ବହୁତଗୁଡ଼ିଏ ଧର୍ମ ଅଛି । ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –

(a) କୌଣସି ବଣ୍ଟନର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କଠାରୁ ମାଧ୍ଯମାନର ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ଶୂନ ହୁଏ । ଅର୍ଥାତ୍ Σ (x − x̄) = 0 1

(b) ବଣ୍ଟନର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କଠାରୁ ମାଧମାନର ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି ଲଘିଷ୍ଟ ଅଟେ । ଅର୍ଥାତ୍ Σ (x – x̄ )² ଲଘିଷ୍ଠ ଅଟେ ବା Σ (x-x̄)²≤ (x-A)² |

(c) ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମୂଲ୍ୟ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନରେ ବଢ଼େ ବା କମେ, ତେବେ ମାଧମାନର ମାନ ସେହି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନରେ ବଢ଼ିବ ବା କମିବ, ଅର୍ଥାତ୍ y = x ± b 1

(d) ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମୂଲ୍ୟ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନଦ୍ୱାରା ଗୁଣାଯାଏ ବା ଭାଗ କରାଯାଏ, ତେବେ ମାଧ୍ଯମାନର ମାନ ସେହି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନଦ୍ୱାରା ପ୍ରଥମ ମାଧମାନକୁ ଗୁଣାଯାଇ ବା ଭାଗକରାଯାଇ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରିବ, ଅର୍ଥାତ୍‌ y = kx̄ Or, y = \(\frac{\bar{x}}{\mathbf{k}}\)

(e) ଯଦି N₁ ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମାଧମାନ x̄₁ ଓ N₂ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ x̄₂ ଏବଂ N_k ଟି ଲବଧାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ x̄_k ହୁଏ, ତେବେ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ
\(\overline{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{N}_1 \overline{\mathrm{x}}_1+\mathrm{N}_2 \mathrm{x}_2+\ldots \ldots \ldots+\mathrm{N}_{\mathrm{k}} \overline{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}}{\mathrm{N}_1+\mathrm{N}_2+\ldots \ldots \ldots+\mathrm{N}_{\mathrm{k}}}\)

(f) ପ୍ରଥମ N ଟି ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧମାନ ନିମ୍ନୋକ୍ତ ସୂତ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହୁଏ ।
\(\bar{x}=\frac{\mathrm{n}+1}{2}\)

ମାଧ୍ଯମାନର ସୁଗୁଣ (Merits of Arithmetic mean) – କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପକମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ମାଧ୍ଯମାନ ସବୁଠାରୁ ଜନପ୍ରିୟ ମାପକ ଅଟେ । କାରଣ ମାଧମାନଠାରେ ବହୁତ ସୁଗୁଣ ଦେଖାଯାଏ । ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –

• ମାଧ୍ଯମାନ ସହଜରେ ହୃଦୟଙ୍ଗମ କରିହୁଏ ।
• ଏହାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପଦ୍ଧତି ସରଳ ଓ ସାବଲୀଳ ଅଟେ ।
• ମାଧ୍ଯମାନ ବଣ୍ଟନର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଉପରେ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ ।
• ଏହା ବ୍ୟର୍ଥବୋଧ ବା ଅସ୍ପଷ୍ଟ ନୁହେଁ ।
• ମାଧ୍ଯମାନ ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା, ଯଥା, ବିଦ୍ୟୁତି, ବୈଷମ୍ୟ, କକୁଦତା, ସହଜସମ୍ବନ୍ଧ, ସମାଶ୍ରୟତା ଗୁଣାଙ୍କ ଇତ୍ୟାଦି ।
• ମାଧ୍ୟମାନ ଉପରେ ଚୟନତ୍ରୁଟିର ପ୍ରଭାବ ସ୍ଵଳ୍ପ ହେଉଥ‌ିବାରୁ ଏହା ଅପେକ୍ଷାକୃତ ସ୍ଥିର ।

ଦୁର୍ଗୁଣ (Demerits of Arithmetic mean)

• ମାଧ୍ଯମାନ ଚରମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (Extreme value) ମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା ବିଶେଷଭାବରେ ପ୍ରଭାବିତ ହୋଇଥାଏ ।
• ଅବାଧ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର (Open end series) କ୍ଷେତ୍ରରେ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଅସମ୍ଭବ ହୋଇଥିବାରୁ ମାଧମାନ
• ଗୁଣାତ୍ମକ ଲକ୍ଷଣଗୁଡ଼ିକ, ଯଥା – ସୌନ୍ଦର୍ଯ୍ୟ, ମେଧା, ସ୍ନେହ ଇତ୍ୟାଦି ଗାଣିତିକ ରାଶିରେ ପ୍ରକାଶଯୋଗ୍ୟ ହୋଇ ନଥ‌ିବାରୁ ସେ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମାଧ୍ୟମାନ ହିସାବ କରିବା ସମ୍ଭବ ହୁଏ ନାହିଁ ।
• ମାଧ୍ଯମାନ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ହୋଇ ନପାରେ । 1, 3, 5, 7 ର ମାଧ୍ଯମାନ 4 ଅଟେ । ଏହି ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 4 ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ନୁହେଁ ।
• ମାଧ୍ଯମାନ ବେଳେବେଳେ ଗ୍ରହଣଯୋଗ୍ୟ ହୋଇନଥାଏ, ଯଥା – ଯଦି ଦୁଇଟି ପରିବାରର ପିଲାସଂଖ୍ୟା 4 ଓ 3 ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ମାଧ୍ୟମାନ 3.5 ଜଣ ଯାହାକି ଅସମ୍ଭବ ।

୪। ମଧ୍ୟମା କାହାକୁ କହନ୍ତି ? ଏହାର ସୁଗୁଣ ଓ ଦୁର୍ଗୁଣଗୁଡ଼ିକ ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।
Answer:
ଯଦିଓ ମାଧ୍ୟମାନ ସହଜ ଓ ସରଳ ମାପକ, ତଥାପି ଏହା ସବୁସ୍ଥାନରେ ଓ ସବୁସମୟରେ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାପାଇଁ ଉପଯୁକ୍ତ ମାପକ ବୋଲି ବିବେଚିତ ହୋଇନଥାଏ । ଅନେକ ସ୍ଥଳରେ ମାଧ୍ୟମାନ ଚରମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଦ୍ୱାରା ପ୍ରଭାବିତ ହେବା ହତୁ ସଠିକ୍ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିହୁଏ ନାହିଁ । ତେଣୁ ମଧମାକୁ ମାଧ୍ୟମାନର ଏକ ବିକଳ୍ପ ମାପକ ହିସାବରେ ଗ୍ରହଣ କରାଯାଇଛି । ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମରେ (ସାନରୁ ବଡ଼ ବା ବଡ଼ରୁ ସାନ) ସଜାଇ ତା’ର କେନ୍ଦ୍ର ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ‘ମଧ୍ୟମା’ ବୋଲି ନିଆଯାଏ ।

ମଧ୍ୟମା ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ସମାନ ଦୁଇଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ଯେପରିକି ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମଧ୍ୟମାଠାରୁ ବେଶୀ ହେଲାବେଳେ ଅନ୍ୟ ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଏହାଠାରୁ କମ୍ ହୋଇଥାଏ । ପ୍ରଥମେ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବ ବା ଅଧଃକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ କରାଯାଏ ଏବଂ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ n ବୋଲି ଧରାଯାଏ । ଯଦି n ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ମଧ୍ୟମା latex ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ହୁଏ । ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ– 6, 8, 2, 3, 4, 5, 7 ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଅଛି ।

ଏହାକୁ ପ୍ରଥମେ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜାଇଲେ, ଏହା 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ହେବ ଏବଂ n = 7 ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । ତେଣୁ ମଧ୍ୟମା latex ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = \(\mathrm{M}_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) ଚତୁର୍ଥ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ, ଅର୍ଥାତ୍ 5 ଅଟେ । କିନ୍ତୁ ଯଦି ñ ଯୁଗ୍ମ ହୁଏ, ତେବେ ମଧ୍ୟମା \(\mathrm{M}_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ + \(\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}\) ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ । ଯଦି ଉପରୋକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଆମେ ଆଉ ଏକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ୨ ନେବା ତେବେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ଓ ୨ ହେବ । ଏଠାରେ n = 8 ଏକ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା । ତେଣୁ
ମଧ୍ୟମା \(\mathrm{M}_{\mathrm{d}}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\mathrm{n}}{2}\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)\right\}\) ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ
= \(\frac{1}{2}\left\{\frac{8}{2}+\frac{8}{2}+1\right\}=\frac{1}{2}\{4+5\}=\frac{9}{2}=4.5\)
ତେଣୁ 4.5 ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ
ତେଣୁ 4.5 ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = \(\frac{5+6}{2}=\frac{11}{2}\) = 5.5

ମଧ୍ଯମାର ସୁଗୁଣ (Merits of median)

• ମଧ୍ୟମା ତଥ୍ୟାବଳୀର ଏକ ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ହୋଇଥିବାରୁ ଚରମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଦ୍ୱାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ ।
• ଅବାଧ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର ଯୁକ୍ତ ବଣ୍ଟନରେ ମଧ୍ୟମା ଉପଯୁକ୍ତ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପକ ଅଟେ ।
• ଏହାକୁ ସହଜରେ ବୁଝିହୁଏ ଓ ଗଣନା କରିହୁଏ । ଅନେକ ସମୟରେ ନିରୀକ୍ଷଣ କରି ମଧ୍ୟ ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର
• ଗୁଣାତ୍ମକ ତଥ୍ୟାବଳୀଗୁଡ଼ିକରେ ମଧ୍ୟମା ଏକ ଉପାଦେୟ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପକ ଅଟେ ।
• ଅପ୍ରତିସମ ବଣ୍ଟନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଏହା ମାଧ୍ୟମାନ ଅପେକ୍ଷା ଅଧ‌ିକ ଉପାଦେୟ ଅଟେ ।
• ମଧ୍ୟମାକୁ ମଧ୍ୟ ଲେଖକ ଆକାରରେ ପରିପ୍ରକାଶ କରିହୁଏ ।

ମଧ୍ୟମାର ଦୁର୍ଗୁଣ (Demerits of median)

• ମଧ୍ୟମା ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ଉପରେ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ ନୁହେଁ ।
• ଏହା ଚୟନ ତ୍ରୁଟିଦ୍ଵାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୋଇଥାଏ ।
• ମଧ୍ୟମାକୁ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ପୁନଃ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରେ ନାହିଁ ।
• ଏହା ବ୍ୟର୍ଥବୋଧକ ତଥା ଅସ୍ପଷ୍ଟ ହୋଇଥିବାରୁ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ସମୁଚିତ ମାପକ ହିସାବରେ ଗ୍ରହଣ କରିହୁଏ ନାହିଁ ।
• ତଥ୍ୟାବଳୀ ବିସ୍ତୃତ ହୋଇଥିଲେ ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର କରିବା ସମୟସାପେକ୍ଷ ଓ କଷ୍ଟସାଧ୍ୟ ହୋଇଥାଏ ।
• ମଧ୍ୟମାକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ନାହିଁ । ଏହାକୁ ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଏ । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଉତ୍ତମ ପରିମାପକ ବୋଲି ଧରାଯାଏ ନାହିଁ ।

୫। ଗରିଷ୍ଠକ କ’ଣ ? ଏହାର ସୁଗୁଣ ଓ ଦୁର୍ଗୁଣଗୁଡ଼ିକ ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।
Answer:
ସାଧାରଣତଃ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାର ପରିମାପକ ହିସାବରେ ମାଧମାନ ଓ ମଧ୍ୟମା ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଥାନ୍ତି । କିନ୍ତୁ ବେଳେବେଳେ ଆମେ ତଥ୍ୟାବଳୀର କୌଣସି ଏକ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ପ୍ରତି ଆଗ୍ରହୀ ହୋଇଉଠୁ । ସାଧାରଣତଃ ଏହି ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଟି ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ସବୁଠାରୁ ଅଧିକଥର ଆବିର୍ଭାବ ହୋଇ ଆମକୁ ଆକର୍ଷିତ କରେ । ଏ ପ୍ରକାର ବ୍ୟବହାର ସାଧାରଣତଃ ବ୍ୟବସାୟୀ ଗୋଷ୍ଠୀମାନଙ୍କଠାରେ ପରିଲକ୍ଷିତ ହୁଏ।

ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ 4 ନଂ, 5 ନଂ, 6 ନଂ, 7 ନଂ ଜୋତାରୁ ଯଦି 6 ନଂ ଜୋତା ଅଧ୍ଵକ ସଂଖ୍ୟାରେ ବିକ୍ରି ହୁଏ, ତେବେ ବ୍ୟବସାୟୀ 6 ନଂ ଜୋତା ଅଧ‌ିକ ଗଚ୍ଛିତ ରଖିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକରେ । ତେଣୁ ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ତଥ୍ୟାବଳୀର ନଂର ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାରମ୍ବାରତା ଥିବାରୁ ନଂ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି ବୋଲି ଧରାଯାଏ । ଏପ୍ରକାର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପକୁ ଗରିଷ୍ଠକ କୁହାଯାଏ ।

ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ସର୍ବାଧ୍ଵକବାର ଆବିର୍ଭାବ ହେଉଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ବୋଲି କୁହାଯାଏ । ଯଦି କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ବାରମ୍ବାରତା ସମାନ ଥାଏ, ତେବେ ଏହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନାହିଁ ବୋଲି କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ : 2, 3, 4, 3, 5, 3, 6, 3 ଲବ୍‌ଧାଙ୍କରେ 3 ସର୍ବାଧିକବାର ଆବିର୍ଭାବ ହୋଇଥିବାରୁ 3 ଏଠାରେ ଗରିଷ୍ଠକ । କିନ୍ତୁ 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5 ରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସମାନ ଥର ଆବିର୍ଭାବ ହୋଇଥ‌ିବାରୁ ଏହାର ଗରିଷ୍ଠକ ନାହିଁ ।

କିନ୍ତୁ ଯଦି କୌଣସି ଦୁଇଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା ସମାନ ଓ ସର୍ବାଧ‌ିକ ହୋଇଥାଏ ତାହାହେଲେ ଉକ୍ତ ବଣ୍ଟନକୁ ଦ୍ୱି-ଗରିଷ୍ଠକ (bi-modal) ବଣ୍ଟନ ବୋଲି କୁହାଯାଏ, ଯଥା – 6, 3, 4, 6, 4, 5, 3, 6, 4 । ଉକ୍ତ ବଣ୍ଟନରେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 6 ଓ 4 ସମାନ ଥର ଓ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଥର ଆବିର୍ଭାବ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ବିଗରିଷ୍ଠକ ବଣ୍ଟନ ଅଟେ । ଗରିଷ୍ଠକ, ମଧ୍ୟମା ଭଳି ମଧ୍ଯ ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଏ । ଏଥିପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରେ । ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –

• ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ପଦ୍ଧତି (Inspection method)
• ଶ୍ରେଣୀ ସମାବେଶ ପଦ୍ଧତି (Grouping method)
• ଲେଖକ ପଦ୍ଧତି (Graphical method)

ଗରିଷ୍ଠକର ସୁଗୁଣ (Merits of mode)

• ଗରିଷ୍ଠକ ସବୁଠାରୁ ସହଜ ଓ ସରଳ ଉପାୟରେ ସ୍ଥିର କରାଯାଇପାରେ । କାରଣ ତଥ୍ୟାବଳୀର ବାରମ୍ବାରତାକୁ ନିରୀକ୍ଷଣ କରି ଏହା ସ୍ଥିର ହୋଇଥାଏ ।
• ଏହା ଚରମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ ।
• ଏହା ଅବାଧ ସଂଭାଗଯୁକ୍ତ ବଣ୍ଟନରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାରେ କିଛି ଅସୁବିଧା ହୁଏ ନାହିଁ ।
• ଏହାକୁ ମଧ୍ୟ ଲେଖକ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରିହୁଏ ।

ଗରିଷ୍ଠକର ଦୁର୍ଗୁଣ (Demerits of mode)

• ଏହା ଏକ ବ୍ୟର୍ଥବୋଧକ ଓ ଅସ୍ପଷ୍ଟ ପରିମାପକ ଅଟେ ।
• ଏହା ମଧ୍ୟ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଉପରେ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ ନୁହେଁ ।
• ଏହା ଚୟନ ତ୍ରୁଟିଦ୍ଵାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୋଇଥାଏ ।
• ଗରିଷ୍ଠକ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ପୁନଃ ବ୍ୟବହାର ହୋଇନଥାଏ ।
• ବଣ୍ଟନରେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା ସମାନ ହେଲେ, ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିହୁଏ ନାହିଁ ।

୬। ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନ କାହାକୁ କୁହାଯାଏ ? ଏହାର ଧର୍ମ, ସୁଗୁଣ ଓ ଦୁର୍ଗୁଣ ଲେଖ ।
Answer:
ଗୋଟିଏ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳକୁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାର ମୂଳ ନେଲେ ଯେଉଁ ଫଳ ମିଳିବ, ତାହାକୁ ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ୟମା G.M. କୁହାଯାଏ ।
ମନେକର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ X_1, X_{2…………………………} X_n ଓ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା N ହୁଏ, ତେବେ
\(\text { G.M. }=\sqrt[N]{\left(X_1\right) \times\left(X_2\right) \times\left(X_3\right) \times \cdots\left(X_n\right)}\)
\(=\left(X_1 \cdot X_2 \cdot X_3 \cdots X_n\right)^{\frac{1}{N}}\)

ଯେତେବେଳେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା 3 ଓ ତାହାଠାରୁ ଅଧିକ ହୋଇଥାଏ, ଲଘୁଗଣକ (log) ବ୍ୟବହାର କରି ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରାଯାଏ ।
\(\log \text { G.M. }=\frac{\log X_1+\log X_2+\cdots \log X_n}{N}=\frac{\Sigma \log X}{N}\)
\(\text { G.M. }=\text { Anti } \log \left(\frac{\Sigma \log X}{N}\right)\)

ପୃଥକ୍ ମାଳାରେ ତଥ୍ୟାବଳୀ (Discrete series data)
G.M = Anti log \(\left(\frac{\Sigma \mathrm{f} \log \mathrm{X}}{\mathrm{N}}\right)\)

ନିରବଚ୍ଛିନ୍ନ ମାଳାରେ ତଥ୍ୟାବଳୀ (Continuous series data)
G.M = Anti log \(\left(\frac{\Sigma \mathrm{f} \log \mathrm{M}}{\mathrm{N}}\right)\)
ଯେଉଁଠି M ହେଉଛି ଶ୍ରେଣୀର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଓ F ହେଉଛି ବାରମ୍ବାରତା ।

ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନର ଧର୍ମ (Properties of Geometric Mean) :
1. ଯଦି ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନ ଦ୍ବାରା ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ପ୍ରତିବଦଳ କରାଯାଏ, ତେବେ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହିବ ।
2. ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନର ଲଘୁଗଣକର ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବ ଓ ନିମ୍ନରେ ଥ‌ିବା ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ଲଘୁଗଣକର ସମଷ୍ଟି ସମାନ ଅଟେ ।

ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନର ସୁଗୁଣ (Merits of Geometric Mean) :

• ବିତରଣର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ କରି ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନ ଗଣନା କରାଯାଇଥାଏ ।
• ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନ ଦ୍ଵାରା ଅନୁପାତ ଓ ଶତକଡ଼ାରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
• ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନ ବୃହତ୍ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ସ୍ଵଳ୍ପଭାର ଓ କ୍ଷୁଦ୍ର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ଅଧ୍ ଭାର ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ ।
• ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନ ବିଭିନ୍ନ ଗାଣିତିକ ବ୍ୟବହାରରେ ଆଦୃତ ଅଟେ ।

ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନର ଦୁର୍ଗୁଣ (Demerits of Geometric Mean) :

• ଲଘୁଗଣକ ବ୍ୟବହାର କରି ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହେଉଥ‌ିବାରୁ ଏହା କଠିନ ଅଟେ ।
• ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବିଯୁକ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଥିଲେ ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
• ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ଯମାନର ବ୍ୟବହାର ସୀମିତ ଅଟେ ।

୭। ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ଯମାନ କାହାକୁ କୁହାଯାଏ । ଏହାର ବ୍ୟବହାର, ସୁଗୁଣ ଓ ଦୁର୍ଗୁଣ ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।
Answer:
ଗୋଟିଏ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ରେସିପ୍ରୋକାଲର ଗାଣିତିକ ମାଧମାନର ରେସିପ୍ରୋକାଲଖୁ ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ୟମାନ କୁହାଯାଏ ।
ମନେକର ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ X_1, X_{2…………………………} X_N  ଓ N = ଲବ୍‌ଧୀଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା

∴ H.M = \(\frac{N}{\left(\frac{1}{X_1}+\frac{1}{X_2}+\cdots+\frac{1}{X_N}\right)}\)
ଭାଗବିହୀନ ତଥ୍ୟାବଳୀ :
H.M = \(\frac{N}{\Sigma\left(\frac{1}{\mathrm{X}}\right)}\)

ପୃଥକମାଳାରେ ତଥ୍ୟାବଳୀ :
H.M = \(\frac{N}{\Sigma\left(f \times \frac{1}{X}\right)}\)

ନିରବଚ୍ଛିନ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀ :
H.M = \(\frac{N}{\Sigma\left(\mathrm{f} \times \frac{1}{M}\right)}\)
M = ଶ୍ରେଣୀର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଓ f = ବାରମ୍ବାରତା

ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ୟମାନ ବ୍ୟବହାର (Uses of Harmonic Mean):
ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ୟମାନ ବ୍ୟବହାର ଅତ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ଅଟେ । ଏହା ଗାଡ଼ିର ହାରାହାରି ବେଗ କିମ୍ବା ବ୍ୟବସାୟରେ ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ । ତେଣୁ ପରିସଂଖ୍ୟାନରେ ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ୟମାନ ବ୍ୟବହାର ସୀମିତ ଅଟେ ।

ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ୟମାନର ସୁଗୁଣ (Merits of Harmonic Mean):

• ସାଂଖ୍ୟକ ବିତରଣର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ ହରାତ୍ମକ ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
• ଏହାର ଗାଣିତିକ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇ ପାରିବ ।
• ଗାଡ଼ିର ବେଗର ହାରାହାରି ଓ ସମୟର ହାରାହାରି ପାଇଁ ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ୟମାନ ଉତ୍ପାଦନ ଅଟେ ।

ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ୟମାନ ଦୁର୍ଗୁଣ (Demerits of Harmonic Mean):

• ହରାତ୍ମକ ମଧ୍ଯକର ଗଣନା ଓ ନିଶ୍ଚୟ କଠିନ ଅଟେ ।
• ହରାତ୍ମକ ମଧ୍ଯକ ବିତରଣର କ୍ଷୁଦ୍ର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ଅଧ୍ଵ ଭାର (weight) ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ ।
• କୌଣସି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବିଯୁକ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଥିଲେ ହରାତ୍ମକ ମାଧ୍ୟମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହୁଏ ନାହିଁ ।

୮। ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରି କିପରି ଚୟନ କରିବ ? ଏହାର ବିଭିନ୍ନ ଦିଗ ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କର ।
Or ଏକ ଉପଯୁକ୍ତ ହାରାହାରି ଚୟନ ସମୟରେ କେଉଁ ସବୁ ବିଷୟ ପ୍ରତି ଦୃଷ୍ଟି ଦିଆଯିବା ଦରକାର ।
Answer:
ହାରାହାରିର ଚୟନ (Choice of Averages)
ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ହାରାହାରିର ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ ଦେଖିବାକୁ ମିଳେ । କୌଣସି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ହାରାହାରି ସବୁ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇପାରେ ନାହିଁ । ଅର୍ଥାତ୍ ବାସ୍ତବ ସମସ୍ୟା ସମାଧାନରେ କୌଣସି ଗୋଟିଏ ହାରାହାରି ସୁବିଧାଜନକ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ଅନୁସନ୍ଧାନର ଆଭିମୁଖ୍ୟ ହିଁ ହାରାହାରି ଚୟନ କରିବାରେ ସହାୟକ ହୋଇଥାଏ । ଏତଦ୍‌ବ୍ୟତୀତ ବିତରଣ ମାଳାର ପ୍ରକୃତିକୁ ନେଇ କି ପ୍ରକାର ହାରାହାରି ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହେବ ବିଚାର କରାଯାଏ । କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପକ (ହାରାହାରି) ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କଲାବେଳେ ସାଧାରଣତଃ ନିମ୍ନଲିଖ ବିଷୟ ପ୍ରତି ଧ୍ୟାନ ଦିଆଯାଇଥାଏ ।

(1) ଆଭିମୁଖ୍ୟ (Objectives) : ପରିସଂଖ୍ୟାନ ତଦାରଖର ଆଭିମୁଖ୍ୟକୁ ଦେଖ୍ ହାରାହାରି ସ୍ଥିର କରାଯାଇଥାଏ । ବଣ୍ଟନ ମାଳାରେ ଲବଧାଙ୍କର ସବୁ ମୂଲ୍ୟକୁ ସମାନ ଗୁରୁତ୍ଵ ଦିଆଯାଇଥିଲେ ଗାଣିତିକ ମାଧ୍ୟମାନ ଚୟନ କରାଯାଇଥାଏ ଓ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ବାରମ୍ବାର ଉପସ୍ଥିତ ଥିଲେ ଗରିଷ୍ଠକକୁ ଏକ ଆଦର୍ଶ ହାରାହାରି ଭାବେ ବଛା ଯାଇଥାଏ । ସେହିପରି ଭାବରେ ଯେତେବେଳେ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମୂଲ୍ୟର ଅବସ୍ଥିତି କିମ୍ବା ଶ୍ରେଣୀ ବା ପଦବୀ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବା ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥାଏ, ସେତେବେଳେ ମଧ୍ୟମାକୁ ହିଁ ସ୍ଥିର କରାଯାଏ ।

(2) ପ୍ରତିନିଧୂ (Representation) : ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ହାରାହାରି ଏପରି ସ୍ଥିର ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯେପରି ତାହା ବିତରଣ ମାଳାର ମୌଳିକ ଲକ୍ଷଣମାନଙ୍କୁ ପ୍ରତିନିଧ୍ଵ କରୁଥୁବ ।

(3) ତଥ୍ୟାବଳୀର ପ୍ରକୃତି (Nature of Data) : ତଥ୍ୟାବଳୀର ପ୍ରକୃତି ତଥା ଆକାର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପକୁ ସ୍ଥିର କରିଥାଏ । ଯଦି ବିତରଣର ବାରମ୍ବାରତା ପ୍ରତିସମ କିମ୍ବା ପାଖାପାଖ୍ ପ୍ରତିସମ ହୋଇଥାଏ, ତାହେଲେ ମାଧ୍ୟମାନ, ମଧ୍ୟମା ଓ ଗରିଷ୍ଠକକୁ ପରସ୍ପର ମଧ୍ୟରେ ବିନିମୟ କରାଯାଇଥାଏ । ମାତ୍ର ମୁକ୍ତ ଶ୍ରେଣୀ ବ୍ୟବଧାନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମାଧମାନ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ରୂପେ ହିସାବ କରାଯାଇ ପାରିବ ନାହିଁ । ସେହିଭଳି ଅସମାନ ଶ୍ରେଣୀ ବ୍ୟବଧାନର ନିବିଡ଼ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣରେ ସଠିକ୍ ରୂପେ ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ମଧ୍ୟ ସମ୍ଭବ ହେବ ନାହିଁ ।

(4) ହାରାହାରିର ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ (Features of Averages) : ଏକ ଉପଯୁକ୍ତ ହାରାହାରି ସ୍ଥିର କରିବା ପୂର୍ବରୁ ତାର ସମସ୍ତ ସୁଗୁଣ ଓ ଦୁର୍ଗୁଣକୁ ବିଚାର କରାଯାଇଥାଏ । ଯେଉଁ ହାରାହାରି ତାର ଆଭିମୁଖ୍ୟ ସହିତ ମେଳ ଖାଉଥାଏ, ଅନ୍ୟ ତୁଳନାରେ ତାହାକୁ ହିଁ ବିଶେଷ ପସନ୍ଦ କରାଯାଏ । ଏହି ସବୁ ଦୃଷ୍ଟିରୁ ବିଚାର କଲେ, ଗୁଣାତ୍ମକ ତଥ୍ୟାବଳୀ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମାଧ୍ୟମାନ, ବ୍ୟବସାୟ ବାଣିଜ୍ୟରେ ଗରିଷ୍ଠକ ଓ ଅନୁପାତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ମାଧ୍ୟମାନର ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇଥାଏ ।

ଉପରୋକ୍ତ ଆଲୋଚନାରୁ ଜଣାଯାଏ ଯେ, କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି ପରିମାପ (ହାରାହାରି) ଅଯୌକ୍ତିକ ବା ଅସଙ୍ଗତ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରେ ନାହିଁ । ହାରାହାରି ଚୟନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଏକ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରିର ସମସ୍ତ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ, ଏହାର ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା, ପ୍ରୟୋଗ ଆଦି ପ୍ରତି ଦୃଷ୍ଟି ଦିଆଯାଇଥାଏ । କୌଣସି ଗଣନା ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଉପନୀତ ହେବାକୁ ହେଲେ ଏକ ଉପଯୁକ୍ତ ଉତ୍ତମ ହାରାହାରିର ଚୟନ ଏକାନ୍ତ ଆବଶ୍ୟକ ହୋଇଥାଏ ନଚେତ୍ ଏକ ଦୃହାତ୍ମକ ପରିସ୍ଥିତି ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ । କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ପରିମାପର ବିଭିନ୍ନ ଦିଗର ବିଶ୍ଳେଷଣରୁ ଜଣାଯାଏ ଯେ ଗାଣିତିକ ମାଧ୍ୟମାନ (Geometric mean) ଏକ ଉତ୍ତମ ଓ ଉପଯୁକ୍ତ ହାରାହାରିର ସମସ୍ତ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ ବହନ କରିଛି । ତେଣୁ ଏହା ସବୁଠାରୁ ଉତ୍ତମ ପରିମାପକ ବୋଲି ଗ୍ରହଣ କରାଯାଏ ।