Prasanna

Odisha State Board BSE Odisha 7th Class Maths Solutions Chapter 3 ମୌଳିକ ଜ୍ୟାମିତିକ ଚିତ୍ର InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 7 Maths Solutions Chapter 3 ମୌଳିକ ଜ୍ୟାମିତିକ ଚିତ୍ର InText Questions

1. ନିମ୍ନରେ ଥ‌ିବା ଚିତ୍ରମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ରେଖା, ରଶ୍ମି ଓ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଚିହ୍ନଟ କର ।

ସମାଧାନ:
ଚିତ୍ର (କ) – ରଶ୍ମି, ଚିତ୍ର (ଖ) – ରେଖାଖଣ୍ଡ ଓ ଚିତ୍ର (ଗ) – ରେଖା ।

2. ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରୁ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ, ସମକୋଣ ଓ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ଚିହ୍ନଟ କର ।

ସମାଧାନ:
ଚିତ୍ର (କ) ସ୍ଥୂଳକୋଣ, ଚିତ୍ର (ଖ) ସମକୋଣ, ଚିତ୍ର (ଗ) ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ।

3. ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରୁ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ, ସ୍ଥୂଳକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଓ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଚିହ୍ନଟ କର ।

ସମାଧାନ:
ଚିତ୍ର (କ) – ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ, ଚିତ୍ର (ଖ) — ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ, ଚିତ୍ର (ଗ) – ସ୍ଥୂଳକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

4. ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରୁ ସମବାହୁ, ସମଦ୍ବିବାହୁ ଓ ବିଷମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଚିହ୍ନଟ କର ।

ସମାଧାନ:
ଚିତ୍ର (କ) – ବିଷମ ବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, ଚିତ୍ର (ଖ) – ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, ଚିତ୍ର (ଗ) – ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

5. (କ) ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ଆୟତଚିତ୍ର, ବର୍ଗଚିତ୍ର ଓ ରମ୍ବସ୍ ଚିହ୍ନଟ କର ।

ସମାଧାନ:
(କ) ଚିତ୍ରଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର
(ଖ) ଚିତ୍ରଟି ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
(ଗ) ଚିତ୍ରଟି ରମ୍ବସ୍
(ଘ) ଚିତ୍ରଟି ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍
(ଙ) ଚିତ୍ରଟି ଆୟତଚିତ୍ର

(ଖ) ଉପରିସ୍ଥ ଚିତ୍ରମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ କେଉଁ ଚିତ୍ରର ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ?
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗଚିତ୍ର ଆୟତଚିତ୍ର

(ଗ) EFGH ଚିତ୍ରରେ କେଉଁ କୋଣମାନ ସମାନ ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ? କେଉଁ ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ?
ସମାଧାନ:
∠E = ∠G, ∠H = ∠F, EF = GH ଓ EH = FG

(ଘ) MJKL ଚିତ୍ରରେ କେଉଁ ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ?
ସମାଧାନ:
MJ = JK = KL = LM

ନିଜେ କରି ଦେଖ:

(କ) ଉପରିସ୍ଥ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସାହାଯ୍ୟରେ ମାପ ଓ ମାପଗୁଡ଼ିକୁ ସାରଣୀରେ ରଖ ।

କୋଣ	∠ABC	∠DEF	∠GHK	∠LMN
ପରିମାଣ

ସମାଧାନ:

କୋଣ	∠ABC	∠DEF	∠GHK	∠LMN
ପରିମାଣ	40°	60°	120°	50°

(ଖ) କେଉଁ କୋଣ ଦୁଇଟିର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 90° ସ୍ଥିର କର 
ସମାଧାନ:
∠ABC ଓ ∠LMN କୋଣଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 90° ।

(ଗ) କେଉଁ କୋଣ ଦୁଇଟିର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
∠GHK ଓ ∠DEF କୋଣଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି 180° 

(ଘ) ଚିତ୍ର (କ)ରେ ∠ABC ଓ ∠CBD ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ହେବେ କି? କାହିଁକି?
ଚିତ୍ର (ଖ)ରେ ∠EFG ଓ ∠GFH ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ହେବେ କି? କାହିଁକି?

ସମାଧାନ:
ଚିତ୍ର (କ) ରେ ∠ABC ଓ ∠CBD କୋଣଦ୍ୱୟର ସାଧାରଣ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ B, ସାଧାରଣ ବାହୁ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) କୋଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ନାହିଁ । ତେଣୁ କୋଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ଅଟନ୍ତି ।
ଚିତ୍ର (ଖ) ରେ ∠EFG ଓ ∠GFH କୋଣଦ୍ୱୟର ସାଧାରଣ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ F, ସାଧାରଣ ବାହୁ \(\overrightarrow{\mathrm{FG}}\) ଓ କୋଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର୍ଦ୍ଦେଶରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ନାହିଁ । ତେଣୁ କୋଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ଅଟନ୍ତି ।

⇒ ଚିତ୍ରରେ ଥ‌ିବା କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମାପି ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ପୂରଣ କର ।

କୋଣର ନାମ	∠ABC	∠CBD	∠EFG	∠GFH
କୋଣର ପରିମାଣ

ସମାଧାନ:

କୋଣର ନାମ	∠ABC	∠CBD	∠EFG	∠GFH
କୋଣର ପରିମାଣ	40°	50°	120°	60°

କ’ଣ ଦେଖିଲ?
(କ) କେଉଁ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 90° ହେଲା? 
ସମାଧାନ:
∠ABC ଓ ∠CBD

(ଖ) କେଉଁ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ହେଲା? 
ସମାଧାନ:
∠EFG ଓ ∠GFH

(ଗ) କେଉଁ କୋଣ ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ?
ସମାଧାନ:
∠ABC ଓ ∠CBD

(ଘ) କେଉଁ କୋଣ ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ?
ସମାଧାନ:
∠EFG ଓ ∠GFH

⇒ ଉପରିସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ କେତେ ଯୋଡ଼ା ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଥ‌ିବାର ଦେଖୁଛ?

ସମାଧାନ:
ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଯୋଡ଼ା ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଅଛି ।
ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ କୋଣକୁ ପରସ୍ପର ବିପରୀତ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।

1. ବର୍ତ୍ତମାନ ତୁମ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସାହାଯ୍ୟରେ ∠AOB, ∠BOC, ∠COD ଓ ∠DOA କୋଣ ସ୍ଫରୋଟିକୁ ମାପ ଓ ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣକୁ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଭଳି ଏକ ସାରଣୀ ତିଆରି କରି ଲେଖ।

କୋଣର ନାମ	∠AOC	∠BOD	∠BOC	∠DOA
କୋଣର ପରିମାଣ

ସମାଧାନ:

କୋଣର ନାମ	∠AOC	∠BOD	∠BOC	∠DOA
କୋଣର ପରିମାଣ	70°	70°	110°	110°

ତୁମେ ସାରଣୀ ଦେଖି ଓ ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନ ଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
1. ∠AOC ର ପରିମାଣ ସହ କେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ?
ସମାଧାନ:
∠BOD

2. ∠BOC ର ପରିମାଣ ସହ କେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ?
ସମାଧାନ:
∠AOD

3. ∠AOC ଓ ∠BOD କୁ କି ପ୍ରକାର କୋଣ କୁହାଯାଏ?
ସମାଧାନ:
ପ୍ରତୀପ କୋଣ

4. ∠BOC ଓ ∠DOA କୁ କି ପ୍ରକାର କୋଣ କୁହାଯାଏ?
ସମାଧାନ:
ପ୍ରତୀପ କୋଣ

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରଦେଖୁ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

(କ) ∠1ସହ ଅନ୍ୟ କେଉଁ କୋଣ ସରଳ ଯୋଡ଼ି ଗଠନ କରେ?
ସମାଧାନ:
∠2 ଓ ∠1 କୋଣ

(ଖ) ∠3 ର ପ୍ରତୀପ କୋଣଟି କିଏ?
ସମାଧାନ:
∠1

(ଗ) ∠2 ର ପ୍ରତୀପ କୋଣଟି କିଏ?
ସମାଧାନ:
∠4

(ଘ) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ∠4 ର ପରିମାଣ 60° ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କୋଣ ତିନୋଟିର ପରିମାଣ କେତେ?
ସମାଧାନ:
∠2 ର ପରିମାଣ = 60°, ∠1 ର ପରିମାଣ = 120° ଓ ∠3 ର ପରିମାଣ = 120°

⇒ ତୁମ ପରିବେଶରେ କେଉଁ କେଉଁଠାରେ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ରେଖା ଦେଖୁଛ ତାହାର ପାଞ୍ଚଟି ଉଦାହରଣ ଦିଅ । 
ସମାଧାନ:
ବାଟୁଳିଖଡ଼ା, ତାରଜାଲି, ଚଟ, ଚେସ୍‌ବୋର୍ଡ଼, ତାରବାଡ଼ ଆଦିରେ ପରସ୍ପରଛେଦୀ ରେଖା ଦେଖାଯାଏ ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ:
(କ) ଚିତ୍ର ରେ ଦେଖୁଥ‌ିବା ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ରେଖା ଯୋଡ଼ି ଓ ସେ ଦ୍ବୟର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁର ନାମ ଲେଖ ।

ସମାଧାନ:
\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{EF}}\) ଓ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{CD}}\) ପରସ୍ପରଛେଦୀ ରେଖା ଓ ଛେଦବିନ୍ଦୁ O, 
\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{EF}}\) ଓ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{GH}}\) ପରସ୍ପରଛେଦୀ ରେଖା ଓ ଛେଦବିନ୍ଦୁ O, 
\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{EF}}\) ଓ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{GH}}\) ପରସ୍ପରଛେଦୀ ରେଖା ଓ ଛେଦବିନ୍ଦୁ O, 
\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{EF}}\) ପରସ୍ପରଛେଦୀ ରେଖା ଓ ଛେଦବିନ୍ଦୁ L
\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{GH}}\) ପରସ୍ପର ଛେଦୀରେଖା ଓ ଛେଦବିନ୍ଦୁ M
\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{EF}}\) ପରସ୍ପରଛେଦୀ ରେଖା ଓ ଛେଦବିନ୍ଦୁ K ।

⇒ ଏହି ଚିତ୍ରରେ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଥିବାର ଦେଖୁଛ କି?
ସମାଧାନ:
ନାହି‍ଁ

(ଖ) ଦୁଇଟି ରେଖା ବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଗୋଟିଏରୁ ଅଧିକ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ରହିବା ସମ୍ଭବ କି? ଯଦି ସମ୍ଭବ, ଏପରି ଦୁଇଟି ରେଖାର ଚିତ୍ର କର।
ସମାଧାନ:
ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

(ଗ) ତୁମ ପରିବେଶରେ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରୁଥିବା ରେଖା ବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଉଦାହରଣ କେଉଁଠି ଦେଖିବାକୁ ମିଳେ ତାହା ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଲ୍‌ପୋଷ୍ଟ, ଝରକାଜାଲି, ଇଟା, ଟେବୁଲ୍‌ର ଉପର ଧାର ଇତ୍ୟାଦି ।

(ଘ) ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯୋଡ଼ବାହୁର ଛେଦବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ମାପି ସ୍ଥିର କର। ଗୋଟିଏ ପୋଷ୍ଟକାର୍ଡ଼ ନେଇ ଏହି କାର୍ଯ୍ୟ କର ।
ସମାଧାନ:
90°

ଉତ୍ତର ଲେଖ :
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରକୁ ଦେଖ୍ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା କୋଣ
କୋଣ-ଯୋଡ଼ାଗୁଡ଼ିକ କି ପ୍ରକାର କୋଣ ଲେଖ ।

(କ) ∠1 ଓ ∠5
ସମାଧାନ:
∠1 ଓ ∠5 ଅନୁରୂପ କୋଣ

(ଖ) ∠3 ଓ ∠6
ସମାଧାନ:
∠3 ଓ ∠6 ଏକାନ୍ତର କୋଣ

(ଗ) ∠4 ଓ ∠6
ସମାଧାନ:
∠4 ଓ ∠6 ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ

(ଘ) ∠4 ଓ ∠5
ସମାଧାନ:
∠4 ଓ ∠5 ଏକାନ୍ତର କୋଣ

(ଘ) ∠3 ଓ ∠6
ସମାଧାନ:
∠3 ଓ ∠6 ଏକାନ୍ତର କୋଣ

(ଚ) ∠2 ଓ ∠6
ସମାଧାନ:
∠2 ଓ ∠6 ଅନୁରୂପ କୋଣ

1. ଏକ ଯୋଡ଼ା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ ସେ ରେଖା ଦୁଇଟିର ଏକ ଛେଦକ ରେଖା ଅଙ୍କନ କର । 
ଛେଦକ ରେଖା ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ମାପି ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।
(କ) ଅନୁରୂପ କୋଣମାନ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ଖ) ଏକାନ୍ତର କୋଣମାନ ସମ ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ଗ) ଛେଦକ ରେଖାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ।
ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{CD}}\) ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଗୋଟିଏ ସ୍କେଲର ଦୁଇଟି ଧାରରେ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ । \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{EF}}\) ଏହାର ଛେଦକ ଅଙ୍କନ କରି AB ଓ CD ର ଛେଦବିନ୍ଦୁକୁ G ଓ H ରେ ନାମିତ କରାଯାଉ ।
କୋଣମାନଙ୍କୁ ଯଥାକ୍ରମେ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ରେ ନାମିତ କରାଯାଉ । କୋଣମାନଙ୍କ ପରିମାଣକୁ ମାପି ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।

କୋଣ	1	2	3	4	5	6	7	8
କୋଣର ପରିମାଣ	70°	110°	70°	110°	70°	110°	70°	110°

ଅନୁରୂପ କୋଣ ଯୋଡ଼ିମାନ ∠2 ଓ ∠6, ∠1 ଓ ∠5, ∠3 ଓ ∠7 ଏବଂ ∠4 ଓ ∠8 ।
ଏଠାରେ m∠1 = m∠5 = m∠3 = m∠7 = 70°
m∠2=m∠6=m∠4 = m∠8 = 110°
∴ ଅନୁରୂପ କୋଣମାନ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ଏକାନ୍ତର କୋଣଯୋଡ଼ି m∠3 ଓ m∠5 ଏବଂ m∠4 ଓ m∠6 ।
ଏଠାରେ m∠3 = m∠5 = 70°, m∠4 = m∠6 = 110°
∴ ଏକାନ୍ତର କୋଣମାନ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ଛେଦକରେଖାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ଯୋଡ଼ି ∠3, ∠6 ଏବଂ m∠4, ∠5 
m∠3 + m∠6 = 70° + 110° = 180°, m∠4 + m∠5 = 110° + 70° = 180°
∴ ଛେଦକରେଖାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(d)

Question 1.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2-55 ଡେସିମିଟର ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 68 ସେ.ମି. । କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2-55 ଡେସିମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 68 ସେ.ମି. = \(\frac { 68 }{ 10 }\) ଡେସିମି.
∴ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 2.55 × \(\frac { 68 }{ 10 }\) = 8. 67 ବ. ଡେସିମି.

Question 2.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜ ଆକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ ପାର୍କର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 288 ମିଟର ଏବଂ ସେହି ବାହୁର ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ତାହା ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABC ତ୍ରିଭୁଜାକାର ପାର୍କର ଭୂମି = BC = 288 ମି.
ବାହୁର = AD = 115 ମି.

∴ △ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 288 × 115 = 144 × 115 = 16560 ଜଣ. ମି.

Question 3.
ନିମ୍ନରେ ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 14√2 ସେ.ମି.
(ii) 8√6 ମିଟର
Solution:
(i) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (14√2)² ବ. ସେ.ମି.
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 14 × 14 × 2 = 98√3 ବ. ସେ.ମି.

(ii) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (8√6)² ବ.ମି. = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 8 × 8 × 6 = 96√3 ବ.ମି.

Question 4.
ନିମ୍ନରେ ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
(i) 12 ଭେସି ମି.
(ii) 36√3 ମି.
Solution:
(i) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × (ଉଚ୍ଚତା)² = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × (12)² ବ. ଡେଵି ମି.
= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × 12 × 12 = \(\frac{12 \times 12 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\) = \(\frac{12 \times 12 \sqrt{3}}{3}\) = 48√3 ବ. ଡେଵି ମି.

(ii) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା = 36√3 ମି.
∴ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × (ଉଚ୍ଚତା)² = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × (36√3)² ବ.ମି. = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × 36 × 36 × 3 = 1296√3 ବ.ମି.

Question 5.
ନିମ୍ନୋକ୍ତ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 42 ସେ.ମି., ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 35 ସେ.ମି. |
(ii) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 42 ସେ.ମି., ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 61 ମି. |
(iii) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ସେ.ମି., ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ y ସେ.ମି. ।
Solution:
(i) ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 35 ସେ.ମି.
ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (b) = 42 ସେ.ମି.
∴ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା = \(\sqrt{a^2-\frac{1}{4} b^2}\)

⇒ AD = \(\sqrt{(35)^2-\frac{1}{4} \times(42)^2}\) = \(\sqrt{1225-\frac{1}{4} \times(1764)}\) = \(\sqrt{1225-441}\) = 28 ସେ.ମି.
∴ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 42 × 28 = 588 ବ. ସେ.ମି.

(ii) ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 61 ମି.
ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (b) = 22 ସେ.ମି.
= \(\sqrt{(61)^2-\frac{1}{4} \times(22)^2}\) = \(\sqrt{3721-121}\) = \(\sqrt{3600}\) = 60 ମି.
∴ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 22 ମି. × 60 ମି. = 660 ଦ.ମି.

(iii) ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = y ସେ.ମି.
ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (b) = x ସେ.ମି.
∴ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା = \(\sqrt{a^2-\frac{1}{4} b^2}\) = \(\sqrt{y^2-x^2}\) = \(\sqrt{\frac{4 y^2-x^2}{4}}\) = \(\frac{\sqrt{4 y^2-x^2}}{2}\) ସେ.ମି.
∴ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × x × \(\frac{\sqrt{4 y^2-x^2}}{2}\) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) × \(\sqrt{4 y^2-x^2}\) ବ. ସେ.ମି.

Question 6.
△ABC ରେ AD ଓ BE ଯଥାକ୍ରମେ BC ଓ CA ପତ୍ତି ଉତ୍ପ | BC = 30 ସେ.ମି., CA = 35 ସେ.ମି. ଓ AD = 25 ସେ.ମି. ହେଲେ, BE ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABC ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି BC = 30 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା AD = 25 ସେ.ମି. ହେଲେ,
△ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × BC × AD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 30 × 25 ବ. ସେ.ମି. …(i)
ଭୂମି CA = 35 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = BE ହେଲେ
△ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AC × BE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 35 × BE ବ. ସେ.ମି. …(ii)

∴ (i) ଓ (ii) ର ଉଚ୍ଚତା \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 30 × 25 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 35 × BE
⇒ BE = \(\frac { 375 × 2 }{ 35 }\) = \(\frac { 150 }{ 7 }\) ବ. 21\(\frac { 3 }{ 7 }\) ସେ.ମି.
∴ \(\overline{\mathrm{BE}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 21\(\frac { 3 }{ 7 }\) ସେ.ମି. |

Question 7.
ଦୁଇଗୋଟି ତ୍ରିଭୁଜ ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିକର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ ଅନ୍ୟଟିର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଦୁଇଗୁଣ ଓ ତିନିଗୁଣ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟ ପାଇଁ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ x, 2x ଓ ଉଚ୍ଚତାକୁ y, 3y ନିଅ)
Solution:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ଏକକ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା y ଏକକ ।
∴ ଦ୍ଵିତୀୟ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ 2x ଏକକ ଏବଂ 3y ଏକକ ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 120 ଡେସିମିଟର ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ △ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 120 ଡେସିମି. | ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { କର }{ 2 }\)
= \(\frac{120}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{120 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) = \(\frac{120 \sqrt{2}}{2}\) = 60√2 ଡେସିମି.
∴ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (60√2)² = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 60√2 × 60√2 = 3600 ଡେସିମି.
∴ ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ଘର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 3600 ବ.ଡେସିମି. ।

Question 9.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 484 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଏହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ଓର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)²
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ) = 484 ବର୍ଗମିଟର
∴ସମାନ ବାହୁ = \(\sqrt{484 \times 2}\) = 22√2 ମି.
∴ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × √2 = 22√2 × √2 = 44 ମି. |

Question 10.
ନିମ୍ନରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 13 ସେ.ମି., 14 ସେ.ମି. ଏବଂ 15 ସେ.ମି. |
(ii) 25 ସେ.ମି., 26 ସେ.ମି. ଏବଂ 17 ସେ.ମି. |
(iii) 39 ମିଟର, 42 ମିଟର ଏବଂ 45 ମିଟର ।
Solution:
(i) ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 13 ସେ.ମି., b = 14 ସେ.ମି. ଏବଂ c = 15 ସେ.ମି.
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ଅର୍ବପରିସୀମା (s) = \(\frac { a+b+c }{ 2 }\) = \(\frac { 13+14+15 }{ 2 }\) = 21 ସେ.ମି.
△ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) = \(\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}\)
= \(\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\) = \(\sqrt{7 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 2 \times 3}\)
= 7 × 3 × 2 × 2 = 84 ବଣ ସେ.ମି. |

(ii) △ର କାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 25 ସେ.ମି., b = 26 ସେ.ମି. ଏବଂ c = 17 ସେ.ମି.
∴ ଅର୍ଥପରିସୀମା (s) = \(\frac { a+b+c }{ 2 }\) = \(\frac { 25+26+17 }{ 2 }\) = 34 ସେ.ମି.
△ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) = \(\sqrt{34(34-25)(34-26)(34-17)}\) = \(\sqrt{34 \times 9 \times 8 \times 17}\) = \(\sqrt{17 \times 2 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 17}\)
= 17 × 3 × 2 × 2 = 204 ବଣ ସେ.ମି. |

(iii)
△ର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 39 ମି., b = 42 ମି. ଏବଂ c = 45 ମି.
∴ଅର୍ଥପରିସୀମା (s) = \(\frac { a+b+c }{ 2 }\) = \(\frac { 39+42+45 }{ 2 }\) = \(\frac { 126 }{ 2 }\) = 63 ମି.
△ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) = \(\sqrt{63(63-39)(63-42)(63-45)}\) = \(\sqrt{63 \times 24 \times 21 \times 18}\) = 3 × 3 × 3 × 7 × 2 × 2 = 756 ସେ.ମି. |

Question 11.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି., 17 ସେ.ମି. ଏବଂ 21 ସେ.ମି. ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ସେହି ବାହୁର ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 10 ସେ.ମି., b = 17 ସେ.ମି. 8 c = 21 ସେ.ମି.
∴ ଅର୍ଦ୍ଧପରିସୀମା (s) = \(\frac { a+b+c }{ 2 }\) = \(\frac { 10+17+21 }{ 2 }\) = \(\frac { 48 }{ 2 }\) = 24 ସେ.ମି. |
∴ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) = \(\sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)}\) = \(\sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3}\) = \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 7 \times 7 \times 3}\) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84 ବଣ ସେ.ମି. |
ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { 2 × କ୍ଷେତ୍ରଫଳ }{ ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }\) = \(\frac { 2 ×84 }{ 21 }\) = 8 ସେ.ମି. |
∴ ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. |

Question 12.
ଦଇ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ଦିଗରେତ୍ର | AED ସମକୋଣା ତ୍ତିରୁକର AE ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2x ସେ.ମି. । ED ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ସେ.ମି. । AED ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 16 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ABCDEA କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।

Solution:
AED ସମକୋଣୀ ଧରେ AE = 2x ସେ.ମି. ଓ ED = x ସେ.ମି.
∴ AED ସମକୋଣୀ △ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 2x × x = x² ବ. ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ AED △ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 16 ବ. ସେ.ମି.
⇒ x² = 16 ⇒ x = 4 ସେ.ମି.; ତେବେ AE = 2x = 2 × 4 = 8 ସେ.ମି. ଓ ED = x = 4 ସେ.ମି.
AED ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ ∠E ସମକୋଣ ।
∴ AD = \(\sqrt{\mathrm{AE}^2+\mathrm{ED}^2}\) = \(\sqrt{8^2+4^2}\) = \(\sqrt{64+16}\) = \(\sqrt{80}\) = 4√5 ସେ.ମି.
∴ ABCDEAର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – △ AEDର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= (4√5)² – \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 8 × 4 = 80 – 16 = 24 ସେ.ମି. |

Question 13.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 44ମି. ଏବଂ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 88 ମିଟର ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
Solution:
ABC ସମକୋଣୀ △ରେ BC = 44 ମି. ଏବଂ AB + AC = 88 ମି.
ମନେକର ABର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ମି.

ହେଲେ AC = (88 − x) ମି.
ଆମେ ଜାଣିଛେ, AC² = AB² + BC²
⇒ (88 – x)² = x² + (44)² = 7744 + x² – 176 x = x² + 1936
⇒ 176 x = 7744 – 1936 ⇒ 176x = 5808 ⇒ x = \(\frac { 5808 }{ 176 }\) = 33 ମି. ⇒ AB = 33 ମି
∴ ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AB × BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 33 × 44 = 726 ମି. |

Question 14.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 56 ସେ.ମି. । ଏହି ବାହୁ ଉପରେ ସମକୋଣର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
Solution:
ABC ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 56 ସେ.ମି.; ଅର୍ଥାତ୍ କଣ୍ଠ ACର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 56 ସେ.ମି. ।
∴ ସାମନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }{ 2 }\)
= \(\frac{56}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{56 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) = \(\frac{56 \sqrt{2}}{2}\) = 28√2 ସେ.ମି. ।

Question 15.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜରେ ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୨% ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ସମକୋଣର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ କର୍ଣ୍ଣଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଇମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABC ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜରେ
AB = BC = 96 ସେ.ମି.
AC କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × √2 = 96√2 ସେ.ମି.
ABC ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AB²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) ×(96)² = 4608 ସେ.ମି.
ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (BD)

Odisha State Board BSE Odisha 7th Class Maths Solutions Chapter 6 ବୀଜଗଣିତ Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 7 Maths Solutions Chapter 6 ବୀଜଗଣିତ Ex 6.3

Question 1.
ବିୟୋଗ କର ।

(କ) -5y² ରୁ y²
ସମାଧାନ:
-5y² – y² = -5y² + (-y²) = {(-5) + (-1)} y² = -6y²

(ଖ) -12xy ରୁ 6xy
ସମାଧାନ:
-12xy – 6xy = -12xy + (-6xy) = {(-12) + (-6)} xy = -18 xy

(ଗ) 5mn ରୁ 3nm
ସମାଧାନ:
5mn – 3nm = 5mn + (-3mn) = {5 + (-3) } mn = 2mn

(ଘ) 3a²b ରୁ -2a²b
ସମାଧାନ:
3a²b – (-2a²b) = 3a²b + 2a²b = (3 + 2)a²b = 5a²b

(ଙ) -8xyz ରୁ 7xyz
ସମାଧାନ:
-8xyz – 7xyz = -8xyz + (-7xyz) = {(-8) + (-7)}xyz = -15 xyz

(ଚ) -7xy ରୁ -8xz
ସମାଧାନ:
(-7xy) – (-8xz) = -7xy + 8xz

Question 2.
ବିୟୋଗ କର:

(କ) 5a + b ରୁ 3a – 2b
ସମାଧାନ:
(5a + b) – (3a – 2b) = 5a + b – 3a + 2b
= (5a – 3a) + (b + 2b) = (5 – 3)a + (1 + 2)b
= 2a + 3b

(ଖ) 5xy – 4xyz – 2xy ରୁ 3xyz + 5xy – 2xy
ସମାଧାନ:
(5xy – 4xyz – 2xy)- (3xyz + 5xy – 2xy)
= 5xy – 4xyz – 2xy – 3xyz – 5xy + 2xy
= 5xy – 2xy + 2xy – 5xy – 4xyz – 3xyz
= {5 + (-2) + 2 + (-5)}xy + {(-4) + (-3)}xyz
= 0. xy – 7xyz = -7xyz

(ଗ) 5p – q – 2r ରୁ 3p – 2q + r
ସମାଧାନ:
(5p – q – 2r) – (3p – 2q + r) = 5p – q – 2r – 3p + 2q – r
= 5p – 3p – q + 2q – 2r – r
= {5 + (-3)} p + {(-1) + 2} q + {(-2) + (-1)} r = 2p + q – 3r

(ଘ) -m² + 5mn + 2n² ରୁ 4m² – 3mn + 5n²
ସମାଧାନ:
(-m² + 5mn + 2n²) – (4m² – 3mn + 5n²)
= -m² + 5mn + 2n² – 4m² + 3mn – 5n²
= -m² – 4m² + 5mn + 3mn + 2n² – 5n²
= {(-1) + (-4)} m² + (5 + 3) mn + {2 + (-5)} n² = -5m² + 8mn – 3n²

Question 3.
(କ) 2x ସହ କେଉଁ ରାଶି ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ 5x ହେବ?
ସମାଧାନ:
5x – 2x= {5 + (-2)} x = 3x
∴ 2x ସହ 3x ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ 5x ହେବ 

(ଖ) 7xy ସହ କେତେ ଯୋଗକଲେ 3xy ହେବ?
ସମାଧାନ:
3xy – 7xy = {3 + (-7)} xy = -4xy
∴ 7xy ସହ -4xy ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ 3xy ହେବ

(ଗ) x² + xy + y² ରେ କେଉଁ ରାଶି ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ 2x² + 3xy ହେବ?
ସମାଧାନ:
(2x² + 3xy) – (x² + xy + y²) = 2x² – x² + 3xy – xy – y² = x² + 2xy – y²
∴ x² + xy + y² ରେ x² + 2xy – y² ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ 2x² + 3xy ହେବ

(ଘ) 8x²y ରୁ କେଉଁ ରାଶି ବିୟୋଗ କଲେ ବିୟୋଗଫଳ 3x²y ହେବ?
ସମାଧାନ:
8x²y – 3x²y = {8 + (-3)} x²y = +5x²y
∴ 8x²y ରୁ 5x²y ବିୟୋଗକଲେ ବିୟୋଗଫଳ 3x²y ହେବ

(ଙ) 2a + 8b + 10 ରୁ କେଉଁ ରାଶି ବିୟୋଗ କଲେ ବିୟୋଗଫଳ -3a + 7b + 16 ହେବ?
ସମାଧାନ:
(2a + 8b + 10) – (-3a + 7b + 16) = 2a + 8b + 10 + 3a – 7b – 16
= 2a + 3a + 8b – 7b + 10 – 16
= (2 + 3)a + {8 + (-7)} b + {10 + (-16)} = 5a + b – 6
∴ 2a + 8b + 10 ରୁ 5a + b – 6 ବିୟୋଗ କଲେ ବିୟୋଗଫଳ -3a + 7b + 16 ହେବ

(ଚ) x² – 2xy + 3y² ଅପେକ୍ଷା -x² + 5xy – 2y² କେତେ ବେଶି?
ସମାଧାନ:
(-x² + 5xy – 2y²)- (x² – 2xy + 3y²) = -x² + 5xy – 2y² – x² + 2xy – 3y²
= -x² – x² + 5xy + 2xy – 2y² – 3y²
= {(-1) + (-1)} x² + (5 + 2)xy + {(-2) + (-3)}y² = -2x² + 7xy – 5y²

Question 4.
(କ) 2xy – zy – zx ଓ 2yz – zx + xy ର ଯୋଗଫଳରୁ xy – yz – xx ବିୟୋଗ କରି ବିୟୋଗଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
(2xy – zy – zx) + (2yz – zx + xy) – (xy – yz – zx)
= 2xy – zy – zx + 2yz – zx + xy – xy + yz + zx
= 2xy + xy – xy – yz + 2yz + yz – zx – zx + zx
= {2 + 1 + (-1)} xy + {(-1) + 2 + 1} yz + {(-1) + (-1) + 1} zx
= 2xy + 2yz – zx

(ଖ) 3x – y + 11 ଓ -y – 11 ର ଯୋଗଫଳ 4x – 3y + 5 ଠାରୁ କେତେ କମ୍?
ସମାଧାନ:
3x – y + 11 ଓ -y – 11 ର ଯୋଗଫଳ = 3x – y + 11 – y – 11
= 3x –  y – y + 11 – 1 1 = 3x – 2y
ନିର୍ଣ୍ଣୟ ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶି : = (4x – 3y + 5) – (3x – 2y) = 4x – 3y + 5 – 3x + 2y
= 4x – 3x – 3y + 2y + 5 = {4 + (-3)} x + {(-3) + 2}y + 5 = x – y + 5

(ଗ) 2x + y – 3z ଓ x – y + z ର ଯୋଗଫଳ 5x – 7y + z ଠାରୁ କେତେ କମ୍?
ସମାଧାନ:
2x + y – 3z ଓ x – y + z ର ଯୋଗଫଳ = 2x + y – 3z + x – y + z
= 2x + x + y – y – 3z + z = (2 + 1) x + (1 – 1)y + {(-3 + 1 }z = 3x – 2z
ନିର୍ଣ୍ଣୟ ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶି : = (5x – 7y + z) – (3x – 2y) = 5x – 7y + z – 3x + 2z
= 5x – 3x – 7y + z + 2z = {5 + (-3)}x – 7y + (1 + 2)z = 2x – 7y + 3z

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(g) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(g)

Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଯେଉଁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର
(i) ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 35 ମି. ଓ 45 ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 18 ମି.
(ii) ସମାନ୍ତର ବାହୁ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 27 ମି. ଏବଂ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 16 ମିଟର ।
(iii) ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଯୋଗଫଳ 75 ସେ.ମି. ଏବଂ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = 24 ସେ.ମି. |
Solution:
(i) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 35 ମି. ଓ 45 ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 18 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି × ଉଚ୍ଚତା
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (35 + 45) × 18 = 80 × 9 = 720 ବାହୁଦ୍ୱୟର

(ii) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 27 ମି. ।
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର = ଉଚ୍ଚତା = 16 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା
= (27 × 16) ବ.ମି. = 432 ବର୍ଗମିଟର

(iii) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଯୋଗଫଳ = 75 ସେ.ମି.
ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା = 24 ସେ.ମି.
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି × ଉଚ୍ଚତା
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 75 × 24 = 900 ବଣ ସେ.ମି.

Question 2.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 150 ବ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 5 ମି. । ଏହାର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର 6 ମି. ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 150 ବ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 6 ମି. ।
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଉଚ୍ଚତା × (ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି)
⇒ 150 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 5 × (ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି)
∴ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 60 ମିଟର ।
କିନ୍ତୁ ଦତ୍ତ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର = 6 ମିଟର ।
ଭେଣ୍ଡ ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନକ ମଧ୍ୟରୁ ଦତ ବାହୁଟିର ଦେଶ୍ୟ = \(\frac { 60 + 6 }{ 2 }\) = 33 ମିଟର
ଏବଂ ଅନ୍ୟ ସମାନ୍ତର ବାହୁଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 60 – 33 = 27 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ 33 ମି. ଓ 27 ମି. ।

Question 3.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 3840 ବର୍ଗମିଟର । ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 48 ମିଟର । ଏହାର ସମାନ୍ତର ବାହୁ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଦୁଇଟିକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ମିଟର ଏବଂ b ମିଟର ।
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 3840 ଦ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 48 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଉଲତା × (ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି)
⇒ 3840 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 48 (a + b) ⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) (a + b) = \(\frac { 3840 }{ 48 }\) = 80 ମିଟର ।
∵ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମିଟର ।
∵ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟିର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ |

Question 4.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 41 ସେ.ମି. ଓ 57 ସେ.ମି. । ଏହାର ଦୁଇ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ, ସମାନ୍ତର ବାହୁପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମାଧାନ : ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AB || DC
ଏବଂ AD ⊥ DC | BE ⊥ DC ଅଙ୍କନ କର ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ABED ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର।
DE = AB = 41 ସେ.ମି., EC = DC – DE = (57 – 41) ସେ.ମି. = 16 ସେ.ମି.
BEC ସମକୋଣୀ △ରେ, ∠E ସମକୋଣ

∴ BE = \(\sqrt{\mathrm{BC}^2-\mathrm{EC}^2}\) = \(\sqrt{(20)^2-(16)^2}\) = \(\sqrt{400-256}\) = \(\sqrt{144}\) = 12 ସେ.ମି.
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା h = 12 ସେ.ମି.
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 41 ସେ.ମି. ଓ b = 57 ସେ.ମି.
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(a + b)h = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (41 + 57) × 12 = 98 × 6 = 588 ସେ.ମି.

Question 5.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ମି. ଓ 80 ମି. । ଏହାର ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 36 ମି. ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AD|| BC |
AB || DE ଏବଂ DF ⊥ BC ଅଙ୍କନ କର ।
ବର୍ତ୍ତମାନ AD = BE = 24 ମି. ଓ BC = 80 ମି.
EC = BC – BE = 80 ମି – 24 ମି = 56 ମି.
AB = DE = DC = 36 ମି.
∴ DEC ଏକ ସମଡ଼ିବାହୁ ଧରେ DF ଉଚ୍ଚତା |

∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା h = 22.62 ମି.
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 24 ମି. ଓ b = 80 ମି.
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (a + b) × h = (24 + 80) × 22.62
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 104 × 22.62 = 52 × 22.62 = 1176.24 ବର୍ଗ ମିଟର

Question 6.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର। EF || BC, \(\overline{\mathrm{EK}})\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BC}})\) | AD = 15 ମି., EK = 7 ମି., EF = 11 ମି. ଓ ଛାୟାଙ୍କିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ୫୨ ବ.ମି. ହେଲେ, AB ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର AD = BC = 18 ମି.
ମନେକର \(\overline{\mathrm{AB}})\) ବା \(\overline{\mathrm{CD}})\) ପ୍ରତ୍ୟେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ X ମି. ।

∴ ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 15 × x = 15x ବର୍ଗ ମି
EFCB ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ \(\overline{\mathrm{EF}})\) || \(\overline{\mathrm{BC}})\), \(\overline{\mathrm{EK}})\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BC}})\) |
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 15 ମି. ଏବଂ 11 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 7 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଉଚ୍ଚତା × (ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (15 + 11) × 7 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 26 × 7 = 91 ବର୍ଗ ମି.
ପ୍ରଶାନ୍ତପାରେ, ଜାଯାକିଡ ଅଂଶରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 89 ର୍ଗ ମି.
∴ ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – EFCB ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 89 ବ.ମି
⇒ 15x – 91 = 89 ⇒ 15x = 89 + 91 = 180 ⇒ x = \(\frac { 180 }{ 15 }\) = 12 ମି.
∴ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମିଟର ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ପରିସୀମା 82 ମିଟର । ଏହାର ସମାନ୍ତର ବାହୁ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ମି. । ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 7 ମିଟର ହେଲେ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
Solution:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ପରିସୀମା = ଜୁଲ ସାମନ୍ତର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ହେଲେ ନିଶ୍ଚୟ + ଜୁଲ ଅପମାନ୍ତର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମଧ୍ୟରୁ
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ପରିସୀମା = 82 ମି.
⇒ 82 = ଜୁଲ ସାମନ୍ତର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ବୈଶ୍ୟର ସମୟ + (20 + 20)
⇒ଜୁଲ ସାମନ୍ତର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ମଧ୍ୟରୁ = 82 ମି. – 40 ମି. = 42 ମି.
∴ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (ସାମନ୍ତର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ନିଶ୍ଚୟ) × ଭଲତା
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 42 × 7 = 21 × 7 = 147 ବ.ମି.

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(f) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(f)

Question 1.
ନିମ୍ନରେ ରମ୍ବସ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
(i) 16 ସେ.ମି. ଓ 20 ସେ.ମି.
(ii) 20 ମି. ଓ 15.4 ମି.
(iii) 8√2 ମି. ଓ 4√2 ମି..
Solution:
ଆମେ ଜାଣିନ୍ତୁ, ଉମ୍ଭପର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉମ୍ଭପର
ଏହାର ପ୍ରୟୋଗରେ ପାଇବା :
(i) \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 16 × 20 = 160 ଦି ସେ.ମି.
(ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 20 × 15.4 = 154 ଦି ମି.
(iii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 8√2 × 4√2 = 32 ଦି ମି.

Question 2.
ନିମ୍ନରେ ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 40 ସେ.ମି. ଓ 30 ସେ.ମି.
(ii) 14 ମି. ଓ 48 ମି.
(iii) 1.6 ସେ.ମି. ଓ 30 ସେ.ମି.
(iv) 1.8 ମି ଓ 2.4 ମି.
Solution:

Question 3.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 840 ବର୍ଗମିଟର । ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 42 ମିଟର । ଏହାର ଅନ୍ୟ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଓ BD ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ସମକୋଣରେ
ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି । BD = 42 ମିଟର (ଦତ୍ତ)
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳ ⇒ 840 = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BD.AC
⇒ 840 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 42 × AC ⇒ AC = \(\frac { 840 }{ 21 }\) = 40 ମିଟର

∴ ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁ = 4 × 29 = 116 ମିଟର

Question 4.
ଏକ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ଅନ୍ୟ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟର 3 ଗୁଣ ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1944 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ x ମି. |
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3x ମି. ।

∴ ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ତମେ 36 ମି. ଓ 108 ମି. |

Question 5.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 648√ 3 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଓ ଏହାର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର m∠B = 60° ଏବଂ AB = BC |
∴ ABC ଏକ ସମବାହୁ △ ।
କୋଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × △ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × BC²

କିନ୍ତୁ ABC ସମବାହ୍ନୁ ହେତୁ ସମ୍ଭପର ପୁତ୍ରତର କଣ୍ଡ AB = AC = 36 ସେ.ମି.
∴ ସମ୍ଭପର ପୁତ୍ରତର ହେତୁ ଦୈର୍ଘ୍ୟ 36 ସେ.ମି.

Question 6.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତାହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟସହ ସମାନ । ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା 48 ସେ.ମି. ହେଲେ, ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର AB
ଅର୍ଥାତ୍ AB = BC = AC
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା = 48 ସେ.ମି.
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{48}{4}\) = 12 ସେ.ମି.

ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × △ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × AB² = 2 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (12)²
(∵ ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଓ ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12 ସେ.ମି. )
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 144 = 72√3 ବ. ସେ.ମି.
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 72√3 ବ. ସେ.ମି.

Question 7.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା 16 ମିଟର । ଏହାର ଗୋଟିଏ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ମିଟର ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ରମ୍ବସ୍‌ ପରିସୀମା = 16 ମି.
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { 16 }{ 4 }\) = 4 ମି.
ମନେକର ରମ୍ବସ୍‌ର ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x ମିଟର

⇒ (କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = (3)² + x² ⇒ (4)² = 9 + x² ⇒ 16 = 9 + x²
= x² = 16 – 9 = 7 ⇒ x = √7 ମିଟର
∴ ଅନ୍ୟ କର୍ଣଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2 × √7 ମି. = 2√7 ମିଟର
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 6 × 2√7 = 6√7 କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(e) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(e)

Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର, ଯେଉଁ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର
(i) ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ଡେସି ମି. ଓ ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା 1 ଡେସି ମି. 8 ସେ.ମି. ।
(ii) ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ମି. 55 ସେ.ମି., ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା 1 ମି. 8 ସେ.ମି. ।
(iii) ଗୋଟିଏ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମି. ଓ ଏହାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵ ଗୋଟିଏ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହାପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ମି. ।
Solution:
(i) ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ଡେସିମି. = 40 ସେ.ମି.
ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା = 1 ଡେସିମି. 8 ସେ.ମି. = 18 ସେ.ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା = 40 × 18 = 720 ବଗ ସେ.ମି.

(ii) ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2 ମି. 55 ସେ.ମି. = 255 ସେ.ମି.
ଓ ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା = 1ମି. 4 ସେ.ମି. = 104 ସେ.ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା
= 255 × 104 = 26520 ବଗ ସେ.ମି.

(iii) ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12 ମି.
ଓ ବିପରୀତ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହାପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ×ଏହି କଣ୍ଠ ଉପରେ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12 × 4 = 48 ବଗ ମି.

Question 2.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ବାହୁ ଓ ଏକ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 26 ମି. ଓ 28 ମି. ଏବଂ 30 ମି. ହେଲେ, ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ଦତ୍ତ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରରେ AB = 26 ମି., BC = 28 ମି. ଓ AC = 30 ମି.
ଅର୍ଥାତ୍ ABC ତ୍ରିଭୁଜର a = 26 ମି., b = 28. ମି. c = 30 ମି.

Question 3.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ତ୍ତୃଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 204 ସେ.ମି. ଓ 252 ସେ.ମି. ଏବଂ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 60 ସେ.ମି. । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣଦ୍ଵୟ AC = 252 ସେ.ମି. ଓ BD = 204 ସେ.ମି.
⇒ OC = \(\frac { 252 }{ 2 }\) = 126 ସେ.ମି. ଏବଂ OB = \(\frac { 204 }{ 2 }\) = 102 ସେ.ମି.
∴ △ OBC ର ବାହୁତ୍ରୟର ଦେଶ୍ୟ 102 ସେ.ମି., 126 ସେ.ମି. ଓ 60 ସେ.ମି. |
∴ △ OBC ର ଆଦିପରିପାପ = \(\frac { 102+126+60 }{ 2 }\) = \(\frac { 288 }{ 2 }\) = 144 ସେ.ମି.

∴ ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 4 × △ OBC କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × 3024 = 12096 ବଗ ସେ.ମି. |

Question 4.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 34 ସେ.ମି. ଓ 50 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 26 ସେ.ମି. ହେଲେ, ସେହି ବାହୁ ଓ ତାହାର ବିପରୀତ ବାହୁ ମଧ୍ୟରେ ଲମ୍ବ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିଲ ଚିତ୍ରରେ, AC = 34 ସେ.ମି., BD = 50 ସେ.ମି. ଏବଂ BC = 26 ସେ.ମି.
∴ OB = \(\frac { BD }{ 2 }\) = 25 ସେ.ମି., OC = \(\frac { AC }{ 2 }\) = 17 ସେ.ମି., BC = 26 ସେ.ମି.
△ OBC ର ଅଦିପରିସମା (s) = \(\frac { 25+17+26 }{ 2 }\) = \(\frac { 68 }{ 2 }\) = 34 ସେ.ମି.

ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × △ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × 204 = 816 ସେ.ମି.
କିନ୍ତୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଇଲ୍ତ ଭୂମିର ବିପରୀତ ଭୁମି ମଧ୍ୟରେ ବୃଣତା (ବୃଣତା) = BC × AM
⇒ 816 = 26 × AM ⇒ AM = \(\frac { 816 }{ 26 }\) = 31\(\frac { 5 }{ 13 }\) ସେ.ମି. = 31.38 ସେ.ମି.
∴ ବୃଣତା = 31.38 ସେ.ମି. |

Question 5.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁ ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 20 ସେ.ମି., 42 ସେ.ମି. ଓ 34 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଉକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁପ୍ରତି ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର AB, BC ଏବଂ AC କଣ୍ଠ ଯଥାକ୍ରମେ 20 ସେ.ମି. 42 ସେ.ମି. ଏବଂ 34 ସେ.ମି. ।
∴ △ABCର ଅର୍ଥପରିସୀମା (s) = \(\frac { 20+42+34 }{ 2 }\) = \(\frac { 96 }{ 2 }\) = 48 ସେ.ମି.

∴ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ସେ.ମି. ।

Question 6.
କୌଣସି ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 75 ମିଟର ଏବଂ ଏହି ବାହୁ ଉପରେ କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 0.8 ମିଟର ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 7.5 ମି.
କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ= 0.8 ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 2 × ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= 2 × 7.5 × 0.8 = 12 ଜଣ ମି. |

Question 7.
63 ମିଟର ଭୂମି ଓ 36 ମିଟର ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ । ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 42 ମିଟର ହେଲେ, ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 63 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 36 ମି.
ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 63 × 36 = 1134 ବର୍ଗ ମି.
ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରରେ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 42 ମି.
ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା = x ମି.
ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = 42x ବର୍ଗ ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ 42x = 1134 ⇒ x = \(\frac { 1134 }{ 42 }\) = 27 ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା 27 ମି. |

Odisha State Board BSE Odisha 7th Class Maths Solutions Chapter 4 ଘାତାଙ୍କ ଓ ଘାତରାଶି InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 7 Maths Solutions Chapter 4 ଘାତାଙ୍କ ଓ ଘାତରାଶି InText Questions

ଉତ୍ତର ଲେଖ:
(କ) 16, 2 ଆଧାରର କେଉଁ ଘାତ?
ସମାଧାନ:
ଚତୁର୍ଥ ଘାତ

(ଖ) 3 ଆଧାରର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ କେତେ?
ସମାଧାନ:
81

(ଗ) 125, କେଉଁ ଆଧାରର ତୃତୀୟ ଘାତ?
ସମାଧାନ:
5

(ଘ) 216କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରିହେବ?
ସମାଧାନ:
6 ଆଧାରର ତୃତୀୟ ଘାତ

(ଙ) 135724 ଓ 2164593 କୁ ବିସ୍ତାରିତ ରୂପରେ ଲେଖ ।
ତୁମେ ଲେଖୁଥ‌ିବା ବିସ୍ତାରିତ ରୂପକୁ 10 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
ସମାଧାନ:
135724 = 1 × 1,00,000 + 3 × 10000 + 5 × 1000 + 7 × 100 + 2 × 10 + 4
= 1 × 10⁵ + 3 × 10⁴ + 5 × 10³ + 7 × 10² + 2 × 10¹ + 4
2164593 = 2 × 1 ,000,000 + 1 × 100,000 + 6 × 10,000 + 4 × 1000 + 5 × 100 + 9 × 10 + 3
= 2 × 10⁶ + 1 × 10⁵ + 6 × 10⁴ + 4 × 10³ + 5 × 10² + 9 × 10¹ + 3

ନିଜେ କରି ଦେଖ:
ନିମ୍ନ ସାରଣୀର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକୁ ପୂରଣ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହ ଉତ୍ତର)

ସଂଖ୍ୟା	ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପ	ଆଧାର	ଘାତାଙ୍କ
125		5
128			7
243			3
256		4
216			3

ସମାଧାନ:

ସଂଖ୍ୟା	ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପ	ଆଧାର	ଘାତାଙ୍କ
125	53	5	3
128	27	2	7
243	35	3	5
256	44	4	4
216	63	6	3

1. ନିଜେ ପରୀକ୍ଷା କରି ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର :
(କ) 3² × 3³ = 3⁵
ସମାଧାନ:
ବାମପାର୍ଶ୍ଵ = 3² × 3³ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁵ = ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ଵ

(ଖ) 4² × 4² = 4⁴
ସମାଧାନ:
ବାମପାର୍ଶ୍ଵ = 4² × 4² = 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁴ = ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ଵ

2. ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଗୋଟିଏ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(କ) 2³ × 2⁵
ସମାଧାନ:
2³ × 2⁵ =2³⁺⁵ = 2⁸

(ଖ) p³ × p⁴
ସମାଧାନ:
p³ × p⁴ = p³⁺⁴ = p⁷

(ଗ) 5² × 5³
ସମାଧାନ:
5² × 5³ = 5²⁺³ = 5⁵

3. ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଏକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(କ) 2⁹ ÷ 2³
ସମାଧାନ:
2⁹ ÷ 2³ = 2^9-3 = 2⁶

(ଖ) 10⁵ ÷ 10³
ସମାଧାନ:
10⁵ ÷ 10³ = 10^5-3 = 10²

(ଗ) 9¹¹ ÷ 9⁷
ସମାଧାନ:
9¹¹ ÷ 9⁷ = 9^11-7 = 9⁴

(ଘ) 20¹⁵ ÷ 20⁷
ସମାଧାନ:
20¹⁵ ÷ 20⁷ = 20^15-7 = 20⁸

4. ନିମ୍ନ ଘାତରାଶିର ଘାତକୁ ଏକ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(କ) (7³)⁶
ସମାଧାନ:
(7³)⁶ = 7^3×6 = 7¹⁸

(ଖ) (5²)³
ସମାଧାନ:
(5²)³ = 5^2×3 = 5⁶

(ଗ) (4³)⁵
ସମାଧାନ:
(4³)⁵ = 4^3×5 = 4¹⁵

5. ନିମ୍ନ ସମଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶିଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳକୁ ଏକ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(a ଓ b ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା)

(କ) 5² × 3²
ସମାଧାନ:
5² × 3² = (5 × 3)² = 15²

(ଖ) 3³ × a³
ସମାଧାନ:
3³ × a³ = (3 × a)² = (3a)³

(ଗ) a⁴ × b⁴
ସମାଧାନ:
a⁴ × b⁴ = (a × b)⁴ = (ab)⁴

Odisha State Board BSE Odisha 7th Class Maths Solutions Chapter 5 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 7 Maths Solutions Chapter 5 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା InText Questions

ଉତ୍ତର ଲେଖ ।
(କ) 3 ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖି ଯାହାର ଲବ ଧନାତ୍ମକ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{4}{7}, \frac{5}{3}, \frac{3}{7}\)

(ଖ) 3 ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯାହାର ଲବ ଋଣାତ୍ମକ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{-5}{7}, \frac{-3}{4}, \frac{-2}{3}\)

(ଗ) 3 ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯାହାର ଲବ ଶୂନ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{0}{8}, \frac{0}{-7}, \frac{0}{716}\)

(ଘ) 3 ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯାହାର ହର ଧନାତ୍ମକ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{-5}{17}, \frac{2}{7}, \frac{6}{13}\)

ଉତ୍ତର ଲେଖ :
10 ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ । ଯେପରି ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 5 ଟି ଉଭୟ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ଓ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଥ‌ିବେ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ପାଞ୍ଚଟି କେବଳ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଥ୍ ମାତ୍ର ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ହେଉନଥ‌ିବେ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{3}{7}, \frac{5}{9}, \frac{8}{13}, \frac{9}{17}\) ଓ \(\frac{11}{19}\) ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ଓ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା
\(\frac{-1}{3}, \frac{-3}{5}, \frac{-2}{7}, \frac{-5}{6}, \frac{-9}{11}\) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କିନ୍ତୁ ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରାମାଣିକ ରୂପରେ ଅଛନ୍ତି?
\(\frac{5}{12}, \frac{-5}{7}, \frac{3}{4},-\frac{45}{30}, \frac{12}{-19}, \frac{36}{-24}, \frac{28}{35}\)
ସମାଧାନ:
\(\frac{5}{12}, \frac{-5}{7}, \frac{3}{4}\) ଏବଂ \(\frac{12}{-19}\) ପ୍ରାମାଣିକ ରୂପରେ ଅଛନ୍ତି

ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଅଙ୍କନ କରି ସେଥ‌ିରେ \(\frac{7}{3}\) ଓ \(\frac{-7}{3}\) କୁ ସୂଚାଅ ।
ସମାଧାନ:
ସୋପାନ 1 : \(\frac{7}{3}\) ଏକ ଅପ୍ରକୃତ ଭଗ୍ନାଂଶ । ଏହାକୁ ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ 2 \(\frac{1}{3}\) ହେବ । 
ସୋପାନ 2 : 2 \(\frac{1}{3}\)ସଂଖ୍ୟାଟି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା 2 ଓ 3 ମଧ୍ୟରେ ରହିବ ।
ସୋପାନ 3 : 2 \(\frac{1}{3}\) କୁ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ଦର୍ଶାଇବାକୁ ହେଲେ 2 ଓ 3 ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଦୂରତାକୁ ସମାନ ତିନିଭାଗ କରି ସେଥୁରୁ l ଭାଗ ନେବାକୁ ହେବ ।

ସୋପାନ 4 : B ଓ C ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଦୂରତାକୁ ସମାନ ତିନିଭାଗ କରି P ବିନ୍ଦୁକୁ \(\frac{7}{3}\) ର ଚିହ୍ନଟ ବିନ୍ଦୁ ରୂପେ ସୂଚାଯାଇଛି ।
ସୋପାନ 5 : O ଠାରୁ P ର ଦୂରତା ଯେତେ, O ର ବାମପଟକୁ ସେତିକି ଦୂରତାରେ ଥ‌ିବା ବିନ୍ଦୁଟି ହେଉଛି – 2 \(\frac{1}{3}\) ବା \(\frac{-7}{3}\) । ଏହାକୁ Q ବିନ୍ଦୁଦ୍ବାରା ସୂଚାଯାଉଛି ।

ଉତ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :
(କ) \(\frac{5}{7}+\left(\frac{-6}{7}\right)\)
ସମାଧାନ:
\(\frac{5+(-6)}{7}=\frac{-1}{7}\)

(ଖ) -1 \(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{-8}{5}+\frac{2}{5}=\frac{-8+2}{5}=\frac{-6}{5}=-1 \frac{1}{5}\)

(ଗ) \(\frac{5}{3}+\frac{3}{5}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{5 \times 5+3 \times 3}{3 \times 5}=\frac{25+9}{15}=\frac{34}{15}=2 \frac{4}{45}\)

(ଘ) \(\left(\frac{-3}{7}\right)+\frac{2}{3}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{(-3) \times 3+2 \times 7}{7 \times 3}=\frac{-9+14}{21}=\frac{5}{21}\)

(ଙ) \(\left(\frac{-5}{6}\right)+\left(\frac{-3}{11}\right)\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{(-5) \times 11+(-3) \times 6}{6 \times 11}=\frac{-55-18}{66}=\frac{-73}{66}=-1 \frac{7}{66}\)

ଦୁଇଟିଯାକ ପ୍ରଣାଳୀରେ ବିୟୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଉଭୟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବିୟୋଗଫଳ ସମାନ ହେଉଛି କି?
(କ) \(\frac{7}{8}-\frac{5}{11}\)
ସମାଧାନ:

(ଖ) \(\frac{7}{11}-\frac{8}{5}\)
ସମାଧାନ:

(ଗ) \(\frac{11}{2}-\frac{5}{4}\)
ସମାଧାନ:

(ଘ) \(\frac{-3}{7}-\frac{7}{11}\)
ସମାଧାନ:

ଉଭୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ବିୟୋଗଫଳ ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କର ସମାନ ହେଉଛି ।

ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :
(କ) \(\frac{-5}{8} \times \frac{-9}{7}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{(-5) \times(-9)}{8 \times 7}=\frac{45}{56}\)

(ଖ) \(\frac{5}{7} \times \frac{-7}{5}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{5 \times(-7)}{7 \times 5}=-\frac{-35}{35}\) = -1

(ଗ) 3 × \(\frac{-7}{8}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{3}{1} \times\frac{-7}{8}=\frac{3 \times(-7)}{1 \times 8}=\frac{-21}{8}\)

(ଘ) \(\left(\frac{-4}{7}\right) \times\left(\frac{-7}{4}\right)\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{(-4) \times(-7)}{7 \times 4}=\frac{28}{28}\)

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(କ) 5 × \(\frac{1}{5}\) = _____
ସମାଧାନ:
1

(ଖ) 8 × ____ = 1
ସମାଧାନ:
1

(ଗ) \(\frac{4}{7}\) × _____ = 1
ସମାଧାନ:
1

(ଘ) \(\frac{-5}{8}\) × _____ = 1
ସମାଧାନ:
1

(ଙ) \(\frac{3}{-11}\) × _____ = 1
ସମାଧାନ:
1

(ଚ) \(\frac{7}{15}\) × ______ = 1
ସମାଧାନ:
1

ନିମ୍ନଲିଖତ ଧନାତ୍ମକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟାରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(କ) \(\frac{7}{8}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{7 \times 125}{8 \times 125}=\frac{875}{1000}\) = 0.875

(ଖ) \(\frac{23}{125}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{23 \times 8}{125 \times 8}=\frac{184}{1000}\) = 0.184

(ଗ) \(\frac{3}{16}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{3 \times 625}{16 \times 625}=\frac{1875}{10000}\) = 0.1875

(ଘ) \(\frac{59}{200}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{59 \times 5}{200 \times 5}=\frac{295}{1000}\) = 0.295

(ଙ) \(\frac{24}{25}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{24 \times 4}{25 \times 4}=\frac{96}{100}\) = 0.96

ଉତ୍ତର ଲେଖ :
(କ) \(\frac{1}{2}\) ଓ \(\frac{1}{5}\) ମଧ୍ୟରେ ପାଞ୍ଚଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

(ଖ) \(\frac{2}{7}\) ଓ \(\frac{-1}{7}\) ମଧ୍ୟରେ ତିନୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(g) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(g)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
– 1,- 125,- 5832, -17576, – 2744000
ସମାଧାନ :
m, n ∈ Z ଏବଂ n = m³ ହେଲେ, m, nର ଘନମୂଳ ହେବ ।

(i) -1 = (-1) × (-1) × (-1) = (-1)³
∴ (-1), (-1) ର ଘନମୂଳ ହେବ । ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-1}\) = (-1)

(ii) -125 = (-5) × (-5) × (-5) = (-5)³
∴ -5, -125 ର ଘନମୂଳ ହେବ । ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-125}\) = -5

(iii) -5832 = (-18) × (-18) × (-18) = (-18)³
ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-5832}\) = (-18)

(iv) -17576 = -(2 × 2 × 2 × 13 × 13 × 13)
-[(2)³ × (13)³] = – [2× 13]³ = -(26)³ = (-26)³
ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-17576}\) = -26

(v) -2744000 = -(2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 10 × 10 × 10)
= -[(2)³ × (7)³ × (10)³] = – [(2× 7 × 10)³]
= (140)³ = (-140)³
ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-2744000}\) = (-140)

Question 2.
8 × 64 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{8 \times 64}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 4 \times 4 \times 4}=2 \times 4=8\)

Question 3.
(-216) × (1728) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{(-6)^3 \times 1728}=\sqrt[3]{-6^3 \times 12^3}=-6 \times 12=-72\)

Question 4.
343 × (-512) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{343 \times -512}=\sqrt[3]{7^3 \times -8^3}\) = 7 × (-8) = -56

Question 5.
(-125) × (-3375) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{-125 \times -3375}=\sqrt[3]{(-5)^3 \times (-15)^3}\) = -5 × -15 = 75

Question 6.
729 × 15625 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{729 \times 15625}=\sqrt[3]{9^3 \times (25)^3}\) = 9 × 25 = 225

Question 7.
-456533 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{456533}=\sqrt[3]{-1 \times 11 \times 11 \times 11 \times 7 \times 7 \times 7}\) = -1 × 11 × 7 = -77

Question 8.
216000 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{216000}=\sqrt[3]{6 \times 6 \times 6 \times 10 \times 10 \times 10}\) = 6 × 10 = 60

Question 9.
28 × 98 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{28 \times 98}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7 \times 7}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7}\) = 2 × 7 = 14

Question 10.
(-27) × 27 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{-27 \times 27}=\sqrt[3]{(-3)^3 \times 3^3}=-3 \times 3=-9\)

Question 11.
(-24) × (-72) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ

Question 12.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡିକ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଘନସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ? କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଘନସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ; ସେହିଗୁଡ଼ିକର ଘନମୂଳ ସ୍ଥିର କର ।
-64, -1056, -1728, -2197, -3888
ସମାଧାନ :
n = m³ ହେଲେ, n ର ଘନମୂଳ କୁହାଯାଏ (m, n, ∈ Z) ।
(i) -64 = (-4) × (-4) × (-4) = (-4)³
∴ -64 ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା । ∴ \(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{(-4)^3}=(-4)\)

(ii) -1056 ଏକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

1056 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 11 ତାହା ଘନରାଶି ନୁହେଁ ।

(iii) (-1728) = (-12) × (-12) × (-12) = (-12)³
∴ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି । ∴ \(\sqrt[3]{-1728}=\sqrt[3]{(-12)^3}=-12\)

(iv) (-2197) = (-13) × (-13) × (-13) = (-13)³
∴ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି ।
∴ \(\sqrt[3]{-2197}=\sqrt[3]{(-13)^3}=-13\)

(v) (-3888) ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି ନୁହେଁ ।
କାରଣ 3888 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

Question 13.
ସରକ କର :
(i) \(\sqrt[3]{-216 \times 125}\)
(ii) \(\sqrt[3]{-512 \times 729}\)
(iii) \(\sqrt[3]{-1728 \times 15625}\)
(iv) \(\sqrt[3]{-1000 \times 512}\)
ସମାଧାନ :
(i) \(\sqrt[3]{-216 \times 125}=\sqrt[3]{(-6)^3 \times 5^3}=(-6) \times 5=-30\)
(ii) \(\sqrt[3]{-512 \times 729}=\sqrt[3]{(-8)^3 \times 9^3}=(-8) \times 9=-72\)
(iii) \(\sqrt[3]{-1728 \times 15625}=\sqrt[3]{(-12)^3 \times(25)^3}=(-12) \times 25=-300\)
(iv) \(\sqrt[3]{-1000 \times 512}=\sqrt[3]{(-10)^3 \times 8^3}=(-10) \times 8=-80\)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(f) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(f)

Question 1.
ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :
(i) 343 (ii) 1000 (iii) 74088 (iv) 157464 (v) 8,000,000
ସମାଧାନ :
(i) \(\sqrt[3]{343}=\sqrt[3]{7 \times 7 \times 7}=7\)

(ii) \(\sqrt[3]{1000}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5}=2 \times 5=10\)

(iii) \(\sqrt[3]{74088}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 7}=2 \times 3 \times 7=42\)

(iv) \(\sqrt[3]{157464}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}=2 \times 3 \times 3 \times 3=54\)

(v) \(\sqrt[3]{8000000}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}=2 \times 10 \times 10=200\)

Question 2.
2744 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାରେ ଗୁଣିଲେ, ଗୁଣଫଳ ଏକ ପୂର୍ବ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ଉକ୍ତ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
2744 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 = 2³ × 7³ = (2 × 7)³
2744କୁ 1 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣିଲେ ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ଓ ଉକ୍ତ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଘନମୂଳ 2 × 7 = 14 ହେବ ।

Question 3.
5488 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ଉକ୍ତ ଭାଗଫଳର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
5488 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 = (2)³ × (7)³ × 2 = (2 × 7)³ × 2
5488କୁ 2 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ଉକ୍ତ ଭାଗଫଳର ଘନମୂଳ 2 × 7 = 14 ହେବ ।

Question 4.
ଏକ ସମଘନର ଆୟତନ 512 ଘନମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ ?
ସମାଧାନ :
ଏକ ସମଘନର ଆୟତନ = 512 ଘନମିଟର ।
ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt[3]{512}\) ମି. = \(\sqrt[3]{2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2}\) = 2 × 2 × 2 = 8 ମି.
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = (8 ମି)² = 64 ବର୍ଗମିଟର ।
ସମଘନର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 64 ବର୍ଗମିଟର ।

Question 5.
53240 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାରେ ଭାଗକଲେ, ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ଏବଂ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଗୁଣିଲେ ଗୁଣଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ?
ସମାଧାନ :
53240 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11 × 5 = 2³ × 11³ × 5
ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ 5 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି ହେବ । ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ 25 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନକଲେ ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(c)

Question 1.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 900 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ମିଟର ।
∴ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a² ବର୍ଗମିଟର ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, a² = 900 ⇒ a= √900 = 30 ମି.
∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = 4 × a = 4 × 30 = 120 ମିଟର ।

Question 2.
ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାର ଘାସପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ଏହାର ପ୍ରସ୍ଥର ଦୁଇଗୁଣ । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 800 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ = x ମି.
∴ ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2x ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 800 ବ.ମି.
⇒ ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ = 800 ବ.ମି. (∵ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ)
⇒ 2x × x = 800
→ x2 = 400 = x = 20 ମି.
ପ୍ରସ୍ଥ = x = 20 ଏବଂ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x = 2 × 20 = 40 ମିଟର ।
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 40 ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 20 ମିଟର ।

Question 3.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 139876 ବର୍ଗମିଟର । ଏହାର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ଦେବାରେ ପ୍ରତି ମିଟରକୁ ଟ. 15.00 ହିସାବରେ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ?
Solution:
ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 139876 ବ.ମି.
∴ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ = \(\sqrt{139876}\) = 374 ମି.
∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁ = 4 × 374 = 1496 ମିଟର ।
ପ୍ରତି ମିଟରକୁ ବାଡ଼ଦେବା ଖର୍ଚ୍ଚ 15 ଟଙ୍କା ହେଲେ,
ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରଟିର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ଦେବା ଖର୍ଚ୍ଚ
= 1496 × 15 = 22,440 ଖର୍ଚ୍ଚ |
∴ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ଦେବାରେ 22440 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ।

Question 4.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗାକାର ବଗିଚାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 30 ମିଟର । ତାହାର ଭିତର ସୀମାର ଚାରିଧାରକୁ ଲାଗି 1 ମିଟର ଚଉଡ଼ାର ଏକ ରାସ୍ତା ନିର୍ମାଣ କରାଯାଇଛି ।
(i) ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) ରାସ୍ତାଟି ତିଆରିପାଇଁ ବର୍ଗମିଟରକୁ ଟ. 240 ପଇସା ହିସାବରେ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ବର୍ଗାକାର ବଗିଚାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = 30 ମି.
EFGH ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 30 – (1 × 2) = 28 ମି.
(i) ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ABCD ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – EFGH ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= (30)² – (28)² = (30 + 28) (30 – 28)
= 58 × 2 = 116 ଚଟା.ମି.

(ii) 1 ବର୍ଗମିଟରକୁ ଟ. 2.40 ପଇସା ହିସାବରେ
116 ବର୍ଗମିଟରକୁ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ
= (116 × 2. 40) ଖର୍ଚ୍ଚ = 278.40 ଖର୍ଚ୍ଚ
∴ ରାସ୍ତାଟି ତିଆରି ପାଇଁ 278.40 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା ।

Question 5.
5 ମି. × 3 ମି. ପାପର ଘର ମାଣକୁ ଗାଲିଲ କିଛିଳତାକୁ ଦେଲେ, 60 ସେ.ମି. × 50 ସେ.ମି. ପାପର କେତେ ଖଣ୍ଡ ଟାଇଲ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଘର ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 5 ମି. × 3 ମି.
= (5 × 100) ସେ.ମି. × (3 × 100) ସେ.ମି. = 150000 ବଶ ସେ.ମି.
ଗୋଟିଏ ଗାଲଲଭ ଯେତ୍ରପଲ = 60 ସେ.ମି. × 50 ସେ.ମି. = 3000 ବଶ ସେ.ମି.
ଟାଇଲର ସଂଖ୍ୟା = \(\frac { ଘର ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ }{ ଗାଲିଲ କିଛିଳତାକୁ }\) = \(\frac { 150000 }{ 3000 }\) = 50 ଖର୍ଚ୍ଚ
∴ 50 ଖଣ୍ଡ ଟାଇଲ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ |

Question 6.
ରାମ କିଣିଥିବା ଖଣ୍ଡିଏ ଜମିର ଆକାର 20 ମି. × 24 ମି. । ଶ୍ୟାମ କିଣିଥିବା ଖଣ୍ଡିଏ ଜମିର ଆକାର 22 ମି. × 22 ମି. । ଏହି ଦୁଇଖଣ୍ଡ ଜମିର (i) ପରିସୀମାର ଅନ୍ତର (ii) କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ରାମ କିଣିଥିବା ଜମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ ଯଥାକ୍ରମେ 24 ମି. 20 ମି. ।
∴ପରିସୀମା = 2 (ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ) = 2(24 + 20) = 88 ମିଟର
ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ = 24 × 20 = 480 ବଗମିଟର |
ଶ୍ୟାମ କିଣିଥିବା କାମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 22 ମି. ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ = 22 ମି. | ଅର୍ଥାତ୍ ଜମିଟି ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ର ।
∴କ୍ଷେତ୍ରଟିର ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 × 22 = 88 ମିଟର |
କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = (22)² = 484 ବର୍ଗମିଟର ।
∴ ରାମ ଓ ଶ୍ୟାମ କିଣିଥିବା ଜମିର ପରିସୀମା ସମାନ ଅର୍ଥାତ୍ ଅନ୍ତର 0।
ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର = 484 – 480 = 4 ଦ.ମି. |

Question 7.
ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 125 ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 60 ମିଟର । ଏହାର ଭିତର ପାଖରେ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୋଟିଏ ଧାରକୁ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ଦୁଇ ଧାରକୁ ଏହିପରି ତିନି ଧାରକୁ ଲାଗି 2 ମିଟର ଚଉଡ଼ାର ଏକ ରାସ୍ତା ଅଛି । ରାସ୍ତାଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = 125 ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = AD = 60 ମି.
∴ କ୍ଷେତ୍ରଟିର ଭିତର ପାଖରେ ରାସ୍ତାଟି ଅଛି ।
EFGH ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = EF = (125 – 2 × 2) = 121 ମିଟର
ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = EH = 60 – 2 = 58 ମିଟର

∴ ରାମାର ଯେତ୍ରଫଲ = ABCD ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – EFGH
ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (AB × AD) – (EF × EH)
= (125 × 60) ଦ.ମି. – (121 × 58) ଦ.ମି. = (7500 – 7018) ଦ.ମି. = 482 ଦ.ମି. |

Question 8.
ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ମଧ୍ୟଭାଗରେ 2 ମିଟର ଚଉଡ଼ାର ଦୁଇଟି ରାସ୍ତା ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦକରନ୍ତି, ଯେପରିକି ପ୍ରତ୍ୟେକ ରାସ୍ତା ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଗୋଟିଏ ବାହୁ ସହିତ ସମାନ୍ତର । ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 72 ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 48 ମି. ହେଲେ, ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
PORS ଏବଂ EFGH ଦୁଇଗୋଟି ରାସ୍ତା କ୍ଷେତ୍ରଟିର ମଧ୍ୟଭାଗରେ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରନ୍ତି ।
ABCD ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = 72 ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = BC = 48 ମି.
∴ AB = EF = GH ଏବଂ BC = QR = PS
ରାସ୍ତାର ଚଉରା = 2 ମି. ଅର୍ଥାତ୍ PQ = SR = EH = FG = 2 ମି.
PORS କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ PS × PQ = (48 × 2) = 96 ଦ.ମି.

EFGH କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = EF × EH = (72 × 2) = 144 ବ.ମି.
∴ UVWX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = UV × UX = (2 × 2) = 4 ବ.ମି.
∴ ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= PORS ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + EFGH ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – UVWX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 96 + 144 – 4 = 236 ବ. ମିଟର ।