Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

## BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ Ex 1(b)

Question 1.

ଚିତ୍ରରେ △ABC ର \(\overline{\mathbf{BC}}\) ବାହୁ ଉପରିସ୍ଥ D ଏକ ବିନ୍ଦୁ, ଯେପରିକି \(\overline{\mathbf{AD}}\), ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । ତଳେ ଥିବା ଅନୁପାତ ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଅନୁପାତଟି ବାଛି ନିମ୍ନରେ ଥିବା ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

△ABD ଓ △ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ …………………….

(AB: DC, BD: AC, AB : AC, AD : BC)

Question 2.

△ABC ର ∠ABC ର ପମଦୁଖପୃକ \(\overline{\mathbf{AC}}\) ବାକୁକ୍ଲି D ଦିନ୍ଦୁ6ର ଛେଦ ଦ6ର | AB = 4 ସେ.ମି. BC = 6 ସେ.ମି. ଏବଂ AC = 5 ସେ.ମି. ହେଲେ, AD ଓ CD ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Solution:

△ABCର ∠ABCର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{AC}}\) ।

⇒ \(\frac { AB }{ BC }\) = \(\frac { AD }{ DC }\)

⇒ \(\frac { AD }{ DC }\) = \(\frac { AB }{ BC }\) = \(\frac { 4 }{ 6 }\)

⇒ \(\frac { AD }{ DC }\) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)

∴ AD = 2x ପେ.ମି. 6ହଲ, DC = 3x ପେ.ମି. |

AC AD + DC = 2x 6ପେ.ମି. + 3x ପେ.ମି. = 5 × ପେ.ମି.

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ 5x = 5 ⇒ x = 1

∴ AD = 2x ପେ.ମି. = 2 ପେ.ମି. ଓ DC = 3x ପେ.ମି. = 3 ପେ.ମି. |

Question 3.

△ABC ର \(\overline{\mathbf{AB}}\), \(\overline{\mathbf{BC}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{CA}}\) ବାହୁ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଯଥାକ୍ରମେ c, a ଓ b ଏକକ ରୂପେ ସୂଚିତ କରାଯାଏ । ∠ACB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{AB}}\) କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ

(i) AM = \(\frac{b c}{a+b}\)

(ii) BM = \(\frac{c a}{a+b}\)

Solution:

△ABC 6ର ∠ACB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{CM}}\) |

⇒ \(\frac { AC }{ BC }\) = \(\frac { AM }{ BM }\)

⇒ \(\frac { b }{ a }\) = \(\frac { AM }{ BM }\)

∴ AM = bx ଏକକ 6ଦୃ6କ, BM = ax ଏକକ

∴ c = AB = AM + BM = bx + ax = x (a + b) ⇒ x = \(\frac{c}{a+b}\)

∴ AM = bx = \(\frac{bc}{a+b}\) ଓ BM = ax = \(\frac{ac}{a+b}\) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 4.

(i) ଟିଦୃ6ର, △ABC ର \(\overline{\mathbf{AC}}\) ଦାକ୍ ପ୍ରତି ମଧ୍ୟମା \(\overline{\mathbf{BP}}\) | ∠BPC ଏର୍ବ ∠BPA ର ଅସ୍ତ୍ର୫ପମହି ଖଣ୍ଡକ ଯଥାକ୍ସେ \(\overline{\mathbf{BC}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{AB}}\) କ୍ମ X ଓ y ବ୍ବ୍ର6ର 6ଚ୍ଛଦ କରତି | ପ୍ରମାଣ କର 6ସ \(\overleftrightarrow{\mathbf{X} \mathbf{Y}}\) || \(\overline{\mathbf{AC}}\) |

Solution:

Question 5.

ଚିତ୍ର ରେ △ABC ଉ \(\overline{\mathbf{BP}}\) ମଧ୍ୟମା | ∠ABC ର ସମଦୃଖଣ୍ଡକ \(\overleftrightarrow{\mathbf{P Y}}\) , \(\overline{\mathbf{AB}}\) କୁ Y ଦିନ୍ଦରେ 6ଚ୍ଛଦ କରେ | \(\overline{\mathbf{AC}}\) ସହି ସମାବର କରି Y ଦିନ୍ଦୁରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{YX}}\) ଅଙବ କରାଯାଇଚ୍ଚି , ଯେପରି ର।ତ୍ରା \(\overline{\mathbf{BC}}\) କୁ X ଦିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଦୁଚ୍ଛ | ପ୍ରମାଣ କର ଯେ \(\overrightarrow{\mathbf{P X}}\) , ∠BPC ର ସମଦ୍ରିଖଣ୍ଡକ |

Solution:

ଦତ୍ତ : △ABC ର \(\overline{\mathbf{BP}}\) ଏକ ମଧ୍ୟମା | ∠APB ର ପ୍ରସଦ୍ଵିଖଶ୍ରକ \(\overleftrightarrow{\mathbf{P Y}}\) , \(\overline{\mathbf{AB}}\) କ Y ଦିନ୍ଦରେ ଛେଦକ6ର | \(\overline{\mathbf{AC}}\)ସହ ସମାନ୍ତର କରି Y ଦିନ୍ଦୁରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{YX}}\) ରଥନ କରାଯାଇଗ୍ଲି 6ଯପରି ତାହା \(\overline{\mathbf{BC}}\) କ୍ମି X ବିନ୍ଦୁଦକରୁଛି |

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overleftrightarrow{\mathbf{P X}}\) , ∠BPC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ |

ପ୍ରମାଣ : △ABP ରେ ∠APB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{AB}}\) କୁ Y ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।

⇒ \(\frac { BP }{ AP }\) = \(\frac { BY }{ AY }\)

△ABC 6ର \(\overline{\mathrm{XY}}\) || \(\overline{\mathrm{AC}}\) ⇒ \(\frac { BY }{ AY }\) = \(\frac { BX }{ CX }\)

∴ \(\frac { BP }{ AP }\) = \(\frac { BX }{ CX }\)

⇒ \(\frac { BP }{ CP }\) = \(\frac { BX }{ CX }\) (∵ AP = CP (ଦର))

⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{PX}}\) , ∠BPC ର ପ୍ରସଦ୍ଵିଖଶ୍ରକ |

Question 6.

△ABC ରେ ∠BAC ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ, \(\overline{\mathbf{BC}}\) କୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ଏବଂ ∠ABC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{AP}}\) କୁ ( ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ \(\frac { AQ }{ QP }\) = \(\frac{\mathbf{A B}+\mathbf{A C}}{\mathbf{B C}}\) |

Solution:

ଦତ୍ତ : △ABC ରେ ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{BC}}\) କୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ∠ABC ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{AP}}\) କୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\frac { AQ }{ QP }\) = \(\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}\)

ପ୍ରମାଣ : △BAC ରେ ∠BAC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{BC}}\) କୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।

⇒ \(\frac { AB }{ AC }\) = \(\frac { BP }{ CP }\) ⇒ \(\frac { AB }{ BP }\) = \(\frac { AC }{ CP }\) (ଏକାନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ଦ୍ବାରା )

⇒ \(\frac { AB }{ BP }\) = \(\frac { AC }{ CP }\) = \(\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{\mathrm{BP}+\mathrm{CP}}\) (କ୍ରମିକଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଦ୍ଵାରା)

⇒ \(\frac { AB }{ BP }\) = \(\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}\) …(i)

ପୁନଶ୍ଚ △ABP ରେ ∠ABP ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{AP}}\) କୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।

⇒ \(\frac { AB }{ BP }\) = \(\frac { AQ }{ QP }\) …(ii)

(i) ଓ (ii) କୁ \(\frac { AQ }{ QP }\) = \(\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}\) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.

ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ∠BAD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, \(\overline{\mathbf{BD}}\) କଣ୍ଠକୁ K ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ଏବଂ ∠ABC ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ, \(\overline{\mathbf{AC}}\) କଣ୍ଠକୁ L ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।

ସମାଧାନ :\(\overrightarrow{\mathrm{LK}}\) || \(\overline{\mathbf{AB}}\) ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{LK}}\) || \(\overline{\mathbf{AB}}\)

ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AK}}\), \(\overline{\mathbf{DC}}\) କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । K ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathbf{AB}}\) ସହ ସମାନ୍ତର ଭାବେ ଅଙ୍କିତ ରେଖା \(\overline{\mathbf{AD}}\) କୁ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।

ପ୍ରମାଣ : △BAD ରେ ∠DAB ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{DB}}\) କୁ K ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।

⇒ \(\frac { AD }{ AB }\) = \(\frac { DK }{ KB }\)

△DAB ରେ \(\overline{\mathbf{NK}}\) || \(\overline{\mathbf{AB}}\) |

⇒ \(\frac { DK }{ KB }\) = \(\frac { DN }{ AN }\)

△ ADM ରେ \(\overline{\mathbf{NK}}\) || \(\overline{\mathbf{DM}}\) ⇒ \(\frac { DN }{ AN }\) = \(\frac { KM }{ AK }\)

∴ \(\frac { AD }{ AB }\) = \(\frac { BC }{ AB }\) (∵ AD = BC)

△ ABC ରେ \(\overrightarrow{\mathrm{BL}}\) , ∠ABC ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।

⇒ \(\frac { BC }{ AB }\) = \(\frac { CL }{ AL }\)

⇒ \(\frac { KM }{ AK }\) = \(\frac { CL }{ AL }\) (∵\(\frac { BC }{ AB }\) = \(\frac { AD }{ AB }\) = \(\frac { DK }{ KB }\) = \(\frac { DN }{ AN }\) = \(\frac { KM }{ AK }\) )

⇒ \(\overline{\mathbf{KL}}\) || \(\overline{\mathbf{MC}}\)

⇒ \(\overline{\mathbf{KL}}\) || \(\overline{\mathbf{AB}}\) (∵\(\overline{\mathbf{KL}}\) || \(\overline{\mathbf{AB}}\) ) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.

ABCD ଚହୁକୁଳର ∠DAB ଓ ∠DCB 6କାଣଦ୍ୱଯଉ ପମଦଖଣ୍ଡକ ପରପକ \(\overline{\mathbf{BD}}\) କଣ୍ଡ ରପରେ ଛେଦକରଚି | ପ୍ରାମାଣ କର ଯେ ∠ABC ଓ ∠ADC ର ପମ ଦିଖଣ୍ଡକଦୁଯ ପରସ୍ତକ୍ \(\overline{\mathbf{AC}}\) କଣ୍ଡ ରପ6ଭ 6ଚ୍ଚଦ କରି6ବା

Solution:

ଦର :ABCD ଚହୁକୁଳର ∠DAB ଓ ∠DCB 6କାଣଦ୍ୱଯଉ ପମଦଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathbf{AC}}\) କଣ୍ଡ ରପ6ଭ 6ଚ୍ଚଦ କରି6ବା

ପ୍ତମାତା : △BAD ରେ ∠DAB ର ସମଦିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) |

⇒ \(\frac { AB }{ AD }\) = \(\frac { BE }{ ED }\) …..(i)

ଚହୁକୁଳର △BAD ରେ ∠BCD ର ଛେଦକରଚି \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) |

⇒ \(\frac { BC }{ CD }\) = \(\frac { BE }{ ED }\) ….(ii)

(i) ଓ (ii) ଦ୍ଦ \(\frac { AB }{ AD }\) = \(\frac { BC }{ CD }\)

⇒ \(\frac { AB }{ BC }\) = \(\frac { AD }{ CD }\) (ଏକାନ୍ତର ପ୍ରତଯାଦ୍ଧାରା)

ମରେକର ABC ର ସପଦଖଣୃକ AC କୁ F ଦିନ୍ଦୁରେ 6ଛଦକରେ |

⇒ \(\frac { AB }{ BC }\) = \(\frac { AF }{ FC }\) ⇒ \(\frac { AD }{ DC }\) = \(\frac { AF }{ FC }\) (∵\(\frac { AB }{ BC }\) = \(\frac { AD }{ DC }\))

⇒ \(\overline{\mathrm{DF}}\) , ADC ର ସପଦିଖଣ୍ଡଦ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.

△ABC ରେ ∠B ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ, \(\overline{\mathrm{AC}}\) କୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଏବଂ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathrm{AB}}\) କୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । \(\overline{\mathrm{FE}}\) || \(\overline{\mathrm{BC}}\) ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, △ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।

ସମାଧାନ :

ଦତ୍ତ : △ABC ରେ ∠B ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathrm{AC}}\) କୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathrm{AB}}\) କୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ଓ \(\overline{\mathrm{FE}}\) ||\(\overline{\mathrm{BC}}\) |

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : △ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ |

ପ୍ରମାଣ : △ABC ରେ ∠B ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathrm{AC}}\) କୁ E ରେ ଛେଦକରେ ।

⇒ \(\frac { AC }{ BC }\) = \(\frac { AF }{ FB }\)

ସେହିପରି ∠Cର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathrm{AB}}\) କୁ F ରେ ଛେଦ କରେ ।

⇒ \(\frac { AC }{ BC }\) = \(\frac { AF }{ FB }\)

\(\overline{\mathrm{FE}}\) || \(\overline{\mathrm{BC}}\) (ଦତ୍ତ)

⇒ \(\frac { AF }{ FB }\) = \(\frac { AE }{ EC }\) ⇒ \(\frac { AC }{ BC }\) = \(\frac { AB }{ BC }\)

⇒ AB = AC

⇒ △ABC ସପଦିଖଣ୍ଡଦ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.

△ABC ରେ ∠A, ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, \(\overline{\mathrm{BC}}\), \(\overline{\mathrm{CA}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{AB}}\) କୁ ଯଥାକ୍ରମେ D, E ଓ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ \(\frac { BD }{ DC }\) . \(\frac { CE }{ EA }\) . \(\frac { AF }{ FB }\) = 1

Solution:

ଦତ୍ତ : △ABC ରେ ∠A, ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathrm{BC}}\), \(\overline{\mathrm{CA}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{AB}}\) କୁ ଯଥାକ୍ରମେ D, E ଓ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ |

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\frac { BD }{ DC }\) . \(\frac { CE }{ EA }\) . \(\frac { AF }{ FB }\) = 1

ପ୍ରମାଣ : △ABC ରେ ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathrm{BC}}\) କୁ D ରେ ଛେଦକରେ ।

⇒ \(\frac { BD }{ DC }\) = \(\frac { AB }{ AC }\)

ସେହିପରି ∠B ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathrm{AC}}\) କୁ E ରେ ଛେଦକରେ ।

⇒ \(\frac { CE }{ EA }\) = \(\frac { BC }{ AB }\)

∠Cର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ \(\overline{\mathrm{AB}}\) କୁ Fରେ ଛେଦକରେ ।

⇒ \(\frac { AF }{ FB }\) = \(\frac { AC }{ BC }\)

∴ \(\frac { BD }{ DC }\) × \(\frac { CE }{ EA }\) × \(\frac { AF }{ FB }\) = \(\frac { AB }{ AC }\) × \(\frac { BC }{ AB }\) × \(\frac { AC }{ BC }\) = 1 (ପ୍ରମାଣିତ)