Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ will enable students to study smartly.
BSE Odisha Class 10 Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ
→ ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction) :
- P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ (Quadratic Polynomial), ଯେଉଁଠାରେ a ଓ b ଯଥାକ୍ରମେ x², xର ସହଗ ଏବଂ c ଏକ ଧ୍ରୁବ ସଂଖ୍ୟା ।
- P(x) = 0 ଅର୍ଥାତ୍, ax + bx+c =0, (a ≠0) ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ (Quadratic Equation) ଯେଉଁଠାରେ a, b, c ∈ ଏବଂ a ≠ 0.
- ax² + bx + c = 0, a, b, c e R, a + 0 ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ସାଧାରଣ ରୂପ ।
- ‘x’ର ଯେଉଁ ଯେଉଁ ମାନ ପାଇଁ ax² + bx + c = 0 ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହୁଏ, ସେହି ମାନଗୁଡିକ ସମୀକରଣର ବୀଜ ବା ମୂଳ (root) କୁହାଯାଏ ।
- ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣରେ ଅତିବେଶୀରେ ଦୁଇଟି ବୀଜ ଥାଏ ।
- ଯଦି x = α ପାଇଁ ଦ୍ବିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ax² + bx + cର ମାନ ଶୂନ ହୁଏ, ତେବେ α କୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଏକ ଶୂନ (zero) କୁହାଯାଏ । ଏଠାରେ ମନେରଖୁବାକୁ ହେବ ଯେ, ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ‘ଶୂନ’ ଉକ୍ତ ସମୀକରଣର ଏକ ମୂଳ (root) ଅଟେ ।
- ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦ୍ଵିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ସହ ସଂପୃକ୍ତ ଅଟେ । ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ,
ax² + bx + c ଦ୍ବିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ସହ ସଂପୃକ୍ତ ।
→ ପୂର୍ବବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ (Solution by completing the squares) :
ମନେକର ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
→ ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :
⇒ ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
⇒ ax² + bx = -c (‘c’ର ପାର୍ଶ୍ଵପରିବର୍ତ୍ତନ କରାଗଲା ।)
⇒ 4a (ax² + bx) = -4ac (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ 4a ଗୁଣନ କଲେ)
⇒ 4a² x² + 4abx= -4ac
⇒ (2ax)² + 2.2ax. b = -4ac
⇒ (2ax)² + 2.2ax.b + b² = b² – 4ac (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ b² ଯୋଗକରାଗଲା ।)
⇒ (2ax + b)² = (±\(\sqrt{(b^2-4ac)}\))² (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ପୂର୍ଣବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରାଗଲା ।)
(i) ରେ ନିଶ୍ଚିତ ସୂତ୍ରକୁ ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର (Quadratic Formula) କୁହାଯାଏ ।
→ ପ୍ରଭେଦକ (Discriminant) :
b² – 4ac କୁ ax² + bx + c = 0 ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ କୁହାଯାଏ ଓ ଏହାକୁ ‘D’ ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ D = b² – 4ac ।
ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ax² + bx + c = 0 କୁ ବିଚାରକୁ ନେଲାବେଳେ, ସେଥୁରେ a, b ଓ c ରାଶିତ୍ରୟ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ଓ a ≠ 0 ।
ମୂଳଦ୍ଵୟକୁ D ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ,
→ ମୂଳଦ୍ବୟର ସ୍ବରୂପ (Nature of roots) :
ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ (D)କୁ ବିଚାରକୁ ନେଇ ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ବୟର ସ୍ବରୂପ ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।
- D> 0 ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପରଠାରୁ ପୃଥକ୍ ହେବେ, ଅର୍ଥାତ୍ α ≠ ß ।
- D = 0 ହେଲେ ମୂଳଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହେବେ । ଅର୍ଥାତ୍ α = ß ।
- D < 0 ହେଲେ ମୂଳଦ୍ୱୟ α ଓ ß ବାସ୍ତବ ହେବେ ନାହିଁ ।
-
- D > 0 ଏବଂ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ଵୟ ପରିମେୟ ଏବଂ ପୃଥକ୍ ହେବେ ।
- D > 0 ଏବଂ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନ ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ବୟ ଅପରିମେୟ ଏବଂ ପୃଥକ୍ ହେବେ ।
→ ମୂଳଦ୍ଵୟ ଓ ସହଟ ମଧ୍ୟରେ ସଂପକି (Relation between roots and coefficients) :
ମନେକର ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣଟି ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) ଓ ଏହାର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।
(i) ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି :
→ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ଜ୍ଞାତବ୍ୟ ଫଳାଫଳ (Some known results) :
ମନେକର ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣଟି ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) ଏବଂ ଏହାର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।
∴ α + ß = \(\frac{-b}{a}\) ଏବଂ αß = \(\frac{c}{a}\)
→ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ଗଠନ (Formation of a quadratic equation) :
ମନେକର ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) ଏବଂ ଏହାର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।
ତେବେ α + ß = \(\frac{-b}{a}\) ଏବଂ αß = \(\frac{c}{a}\)
ବର୍ତ୍ତମାନ ax² + bx + c = 0
⇒ x² + \(\frac{b}{a}\) x + \(\frac{c}{a}\) = 0 (a ଦ୍ବାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଭାଗକଲେ ।)
⇒ x² – \(\frac{-b}{a}\) x + \(\frac{c}{a}\) = 0 ⇒ x² – (α + ß) + αß = 0
→ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପରେ ରୂପାନ୍ତରଣ (Equations reducible to quadratic form) :
ଏପରି ଅନେକ ସମୀକରଣ ଅଛନ୍ତି, ଯେଉଁମାନଙ୍କ ରୂପ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ରୂପ; ଯଥା ax² + bx + c = 0 ନୁହେଁ । ମାତ୍ର ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିକୁ ଉପଯୁକ୍ତ ଭାବେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ଏମାନଙ୍କୁ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପକୁ ଆଣି ସମାଧାନ କରିହେବ ।
→ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ (Application of Quadratic Equaiton) :
କେତେକ ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନରେ ‘ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ’ର ଆବଶ୍ୟକତା ପଡ଼ିଥାଏ । ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନର ତର୍ଜମା ଏବଂ ଅନୁଶୀଳନରେ ଆବଶ୍ୟକ ଥିବା ଉତ୍ତରକୁ ଏକ ଅଜ୍ଞାତରାଶି ରୂପେ ନେଇ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କରାଯାଏ । ତତ୍ପରେ ଉକ୍ତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ପରେ ଇସ୍ପାତ ଉତ୍ତର ମିଳିଥାଏ । ବେଳେବେଳେ ସମୀକରଣର ସମାଧାନରେ ମିଳୁଥିବା ଦୁଇଟି ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ, ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଥିବାବେଳେ ଅନ୍ୟଟି ସିଦ୍ଧ କରୁ ନଥାଏ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସିଦ୍ଧ କରୁଥିବା ମୂଳଟି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ହୋଇଥାଏ ।