BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି

→ ଅନୁକ୍ରମ (Sequence) :
ଗୋଟିଏ ନିୟମକୁ ଭିଭିକରି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମ (order)ରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ସମୂହକୁ ଏକ ଅନୁକ୍ରମ (sequence) କୁହାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣ୍ୟରୂପ : 3, 6, 9, 12 …….., 1, 3, 5, 7…….. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\), …… 2, 6, 18, 54 ….. ଇତ୍ୟାଦି ।

• ଅନୁକ୍ରମରେ ଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପଦ (term) କୁହାଯାଏ । ଅନୁକ୍ରମର ବିଶେଷତ୍ଵ ହେଲା, ପ୍ରଥମ ତିନୋଟି କିମ୍ବା ଚାରୋଟି ପଦକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରି ଏହାର ପରବର୍ତ୍ତୀ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଜାଣିହୁଏ ।
• ଅନୁକ୍ରମର ପଦଗୁଡିକୁ ପ୍ରଥମ ପଦ (first term) ବା t₁, ଦ୍ବିତୀୟ ପଦ (second term) t₂, ତୃତୀୟ ପଦ (third term) t₃, ଚତୁର୍ଥ ପଦ (fourth term) t₄, ସେହପରି n ତମ ପଦ t_n ଦ୍ଵାରା ସୂଚାଯାଇଥାଏ ।
• n ତମ ପଦ (t_n) କୁ ଅନୁକ୍ରମର ସାଧାରଣ ପଦ (General term) କୁହାଯାଏ ।
• ଯଦି t_n+1 = t_n+2 = ……… = 0 (ଶୂନ) ତେବେ ଅନୁକ୍ରମଟି t₁, t₂, t₃ ……… t_n ଓ ଏହା ସସୀମ ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ବିଶିଷ୍ଟ ।
• ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ନିୟମକୁ ନେଇ କ୍ରମରେ ଥ‌ିବା ଅନୁକ୍ରମକୁ ଗୋଟିଏ ପ୍ରଗତି (Progression) କୁହାଯାଏ ।

→ ପ୍ରଗତି ସଧାରଣତଃ ତିନି ପ୍ରକାରର :

• ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (Arithmetic Progression)
• ଗୁଣୋତ୍ତର ପ୍ରଗତି (Geometric Progression)
• ହରାମକ ପ୍ରଗତି (Harmonic Progression)

→ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (Arithmetic Progression) A.P. :
ଯଦି କୌଣସି ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରୁ (ପ୍ରଥମଟିକୁ ଛାଡ଼ି) ପୂର୍ବ ପଦର ବିୟୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ଅନୁକ୍ରମଟିକୁ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.) କୁହାଯାଏ । ଏଠାରେ ବିୟୋଗଫଳକୁ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର (Common difference) କୁହାଯାଏ । ଏହାର ସଂକେତ ‘d’ ।
∴ A.P. ପାଇଁ t₂ – t₁ = t₃ – t₂ = t₄ – t₃ = t_n – t_n-1 = d ଅଟେ ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ A.P. ଗୋଟିଏ ଅନୁକ୍ରମ; କିନ୍ତୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନୁକ୍ରମ ଗୋଟିଏ A.P. ନହୋଇପାରେ ।

→ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର n ତମ ପଦ ନିଶ୍ଚୟ :
ମନେକର A.P.ର ପ୍ରଥମ ପଦ = a ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର = d ହେଲେ,

∴ A.P.ର n ତମ ପଦର ସୂତ୍ର : t = a + (n – 1) d

A.P. ରେ ଥିବା ସାଧାରଣତଃ ପ୍ରଥମ ପଦକୁ a ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତରକୁ ‘d’ ନିଆଯାଇଥାଏ ।
A.P. ରେ ଥ‌ିବା ଅନୁକ୍ରମର ସଧାରଣ ରୂପଟି a, a+d, a +2d, a+3d ………. ହୋଇଥାଏ ।

→ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର ପ୍ରଥମ n-ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି ନିଶ୍ଚୟ :
A.P.ର ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ଯୋଗଫଳର ସୂତ୍ରକୁ ପ୍ରଥମେ ଜର୍ମାନୀର ବିଖ୍ୟାତ ଗଣିତଜ୍ଞ ଗସ୍ (Gauss) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିଥିଲେ ।
ଗସ୍‌ଙ୍କ ଯୋଗଫଳର ପଦ୍ଧତି ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ।
ମନେକର 1 ରୁ 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ S₁₀₀


ଯଦି A.P.ର ପ୍ରଥମ ପଦ = a, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର d = 0 ହୁଏ,
ତେବେ S = a + a + a + a ……. n ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ = na ହେବ । ∴ S_n = na

→ ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗକଲେ
• ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରୁ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ
• ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ ‘0’ ବ୍ୟତୀତ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ
• ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ 0 ବ୍ୟତୀତ ସମାନ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ଲବ୍‌ଧ ଅନୁକ୍ରମଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ A.P. ରେ ରହିବ ।