BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ Ex 6(d)

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ Ex 6(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ Ex 6(d)

Question 1.
(i) 6.5 ସେ.ମି. ଦୀର୍ଘ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କରି ଏହାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥାନ ନିରୂପଣ କର ।
Solution:
(a) 6.5 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(b) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର A ଓ B ଠାରେ ଯଥାକ୍ରମେ \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି X ଓ Y \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ ରହିବେ ଏବଂ m∠BAX = m∠ABY ହେବ । ଫଳରେ \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) || \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) |

(c) କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଓ ଏକ ସୁବିଧାଜନକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଓ ଏହି ଚାପ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) କୁ ଛେଦକରିବ ତା’ର ନାମ P ଦିଅ ।
(d) Bକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଓ ପୂର୍ବୋକ୍ତ ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଓ ଏହି ଚାପ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\)କୁ ଛେଦ କରିବ ତା’ର ନାମ Q ଦିଅ ।

(e) \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ଅଙ୍କନ କର ଓ ତାହା ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{AB}})\) କୁ ଛେଦକରିବ ତା’ର ନାମ R ଦିଅ । ବର୍ତ୍ତମାନ R, \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
[ବି.ଦ୍ର. \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରି ‘R’ ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଇପାରିବ ।

(ii) 76 ସେ.ମି. ଦୀର୍ଘ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ଅଙ୍କନ କରି ଏହାକୁ 4 ସମାନ ଭାଗ କର ।
Solution:
(a) 76 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(b) \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ର P ଓ Q ଠାରେ ଯଥାକ୍ରମେ \( \overrightarrow{\mathrm{PX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{QY}}\) ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର,
ଯେପରି X ଓ Y, \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ରହିବେ ଏବଂ m∠QPX = m∠PQY ହେବ । ଫଳରେ
\( \overrightarrow{\mathrm{PX}}\) || \( \overrightarrow{\mathrm{QY}}\) ହେବ |
(c)P କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଓ ଏକ ସୁବିଧାଜନକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଓ ଏହି ଚାପ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ \( \overrightarrow{\mathrm{PX}}\) କୁ ଛେଦକରିବ ତା’ର ନାମ A₁ ଦିଅ ।
\( \overrightarrow{\mathrm{PX}}\) ଉପରେ A₂ ଓ A₃ ଚିହ୍ନଟ କର ଯେପରି PA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ |

(d) ପୂର୍ବୋକ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମ୍ବନ କରି \( \overrightarrow{\mathrm{QY}}\) ଉପରେ B₁, B₂, B₃ ବିନ୍ଦୁ ତିନୋଟି ଚିହ୍ନଟ କର ଯେପରି PA₁ = QB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ ।
(e) \(\overleftrightarrow{\mathrm{A}_3 \mathrm{~B}_1}, \overleftrightarrow{\mathrm{A}_2 \mathrm{~B}_2}, \overleftrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{~B}_3}\) ଅଙ୍କନ କର ଓ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଉକ୍ତ ରେଖାମାନ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) କୁ ଛେଦ କରିବେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଯଥାକ୍ରମେ R₁, R₂ ଓ R₃ ଭାବେ ନାମିତ କର ।
ବର୍ତ୍ତମାନ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ସମାନ ଚାରିଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ ହୋଇପାରିଲା ।
[ବି.ଦ୍ର. \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ ଦ୍ବାରା R₂ ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଇ ପାରିବ । ତତ୍ପରେ \(\overline{\mathrm{PR}_2}\) ଓ \(\overline{\mathrm{R}_2 \mathrm{Q}}\) ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଇ ଯଥାକ୍ରମେ R₁ ଓ R₃ ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଇ ପାରିବ, ଯାହାଦ୍ଵାରା \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ସମାନ ଚାରିଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ ହୋ ଆରିବ ।]

Question 2.
7-2 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ରେଖାକୁ ସମାନ 6 ଭାଗ କର ।
Solution:
(a) 7.2 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(b) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର A ଓ B ଠାରେ ଯଥାକ୍ରମେ \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି X ଓ Y, \(\overline{\mathrm{AB}})\)ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ ରହିବେ ଏବଂ m∠BAX = m∠ABY ହେବ ।
ଫଳରେ \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) || \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) |
(c) A କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଓ ଏକ ସୁବିଧାଜନକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଓ ଏହି ଚାପ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) କୁ ଛେଦକରିବ ତାର ନାମ P₁ ଦିଅ । ଏହିପରି ଚାପ ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀରେ \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଉପରେ P₂, P₃, P₄ ବିନ୍ଦୁମାନ ଚିହ୍ନିତକର ସେପରି AP₁ = P₁P₂ = P₂P₃ = P₃P₄ = P₄P₅ ହେବ ।

(d) ସୋପାନ (iii)ପରି BY ଉପରେ Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ ଓ Q₅ ବିନ୍ଦୁମାନ ଚିହ୍ନଟ କର, ଯେପରି BQ₁ = Q₁Q₂ = Q₃Q₄ = Q₄Q₅ = AP₁ ହେବ ।
(e) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{P}_5 \mathrm{Q}_1}, \stackrel{\leftarrow}{\mathrm{P}_4 \mathrm{Q}_2}, \stackrel{\leftarrow}{\mathrm{P}_3 \mathrm{Q}_3}, \stackrel{\leftarrow}{\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_4}, \stackrel{\leftarrow}{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_5}\) ଅଙ୍କନ କର ଓ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଉକ୍ତ ରେଖାମାନ \(\overline{\mathrm{AB}})\) କୁ ଛେଦ କରିବେ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଯଥାକ୍ରମେ R₁, R₂, R₃, R₄, ଓ R₅ ଭାବେ ନାମିତ କର । ବର୍ତ୍ତମାନ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ସମାନ ଛଅଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ ହୋଇପାରିଲା ।

Question 3.
64 ସେ.ମି. ଦୀର୍ଘ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କରି ଏହାକୁ 3 : 2 ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ କରୁଥ‌ିବା ବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥାନ ନିରୂପଣ କର ।
Solution:
(a) 64 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ରେଖାଖଣ୍ଡ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(b) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର A ଓ B ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଯଥାକ୍ରମେ \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର ଯେପରି X ଓ Y, \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବେ ଓ m∠XAB m∠ABY ହେବ ।

ଫଳରେ \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) || \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) |
(c) \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଉପରେ R ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) ଉପରେ S ଚିହ୍ନଟ କର, ଯେପରି AR = 3 ସେ.ମି. ଓ BS = 2 ସେ.ମି. ହେବ ।
(d) \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
(e) \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{AB}})\)ର ଛେଦବିନ୍ଦୁକୁ P ନାମ ଦିଅ । ବର୍ତ୍ତମାନ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ରେଖାଖଣ୍ଡ P ବିନ୍ଦୁରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜିତ ହେଲା ।

Question 4.
65 ସେ.ମି. ଦୀର୍ଘ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କରି ଏହାକୁ 5 : 3 ଅନୁପାତରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ ଓ ବହିର୍ବିଭାଜନ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ନିରୁପଣ କର ।
Solution:

(a) 6.5 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(b) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର B ଓ C ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଯଥାକ୍ରମେ \( \overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{CY}}\) ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର ଯେପରି, X ଓ Y \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{BC}}\) ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବେ ଓ m∠XBC = m∠BCY ହେବ ।
(c) \( \overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ଉପରେ R ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{CY}}\) ଉପରେ S ଚିହ୍ନଟ କର, ଯେପରି BR = 5 ସେ.ମି. ଓ CS = 3 ସେ.ମି. ହେବ ।
(d) \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଅଙ୍କନ କର ତାହା \(\overline{\mathrm{BC}})\) କୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(e) \( \overrightarrow{\mathrm{CY}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \( \overrightarrow{\mathrm{CZ}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
(f) \( \overrightarrow{\mathrm{CZ}}\) ଉପରେ S₁ ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର, ଯେପରି CS₁ = 3 ସେ.ମି. ହେବ ।
(g) \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}_1\) ଅଙ୍କନ କର ତାହା \(\overline{\mathrm{BC}})\) କୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
(h) ବରମାନ P ଓ Q, \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ଯଥାକ୍ରମେ ଅନ୍ତେଜିଉନ୍ତ ଦନ୍ଦ୍ର ଏବଂ ବସ୍ତିବରକ୍ତ ବୁଦ୍ |
(i) ଏଠାରେ BP : PC : 5 : 3 ଏବଂ BQ : CQ = 5 : 3 |

Question 5.
7.5 ସେ.ମି. ଦୀର୍ଘ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ଅଙ୍କନ କରି ଏହାକୁ ଦୁଇଟି ଅଂଶରେ ଭାଗ କର, ଯେପରିକି ସେମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 4 : 3 ହେବ । ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ଯଥାକ୍ରମେ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ର ଦୁଇ ଅଂଶର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ।
Solution:
(a) 7.5 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(b) \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ର P ଓ Q ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଯଥାକ୍ରମେ \( \overrightarrow{\mathrm{PX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{QY}}\) ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର
ଯେପରି X, Y ଓ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{PQ}}\) ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବେ ଓ m∠XPQ = m∠PQY ହେବ ।
(c) \( \overrightarrow{\mathrm{PX}}\) ଉପରେ R ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{QY}}\) ଉପରେ S ଚିହ୍ନଟ କର, ଯେପରି PR = 4 ସେ.ମି. ଓ QS = 3 ସେ.ମି. ହେବ ।

(d) \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଅଙ୍କନ କର ତାହା \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । ବର୍ତ୍ତମାନ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡ M ବିନ୍ଦୁରେ ଅଳ୍ପବିକାକତ ହେଲା |

(e) PM କୁ ଦୈର୍ଘ୍ୟରୂପେ ଅଙ୍କନ କର ।
(f) P ବିନ୍ଦୁରେ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରି \(\overline{\mathrm{PO}})\) ଅଂଶ ଛେଦନ କର ଯେପରି PO = MQ |
(g) P କେନ୍ଦ୍ର ଓ PM ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ଏବଂ M କେନ୍ଦ୍ର ଓ OP ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ପରସ୍ପରକୁ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(h) ବର୍ତ୍ତମାନ PONM ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଆୟତଚିତ୍ର ।

Question 6.
△ABCରେ BC = 6.5 ସେ.ମି., \(\overline{\mathrm{BY}})\) ମଧ୍ଯମାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ସେ.ମି. ଓ \(\overline{\mathrm{CZ}})\) ମଧ୍ଯମାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5.5 ସେ.ମି. । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(a) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.5 ସେ.ମି. ହେବ ।
(b) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ନିରୂପଣ କର ଏବଂ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ରେଖା ଉପରେ X ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି CD = CX ହେବ ।

(c) B ଓ X କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଯଥାକ୍ରମେ 6 ସେ.ମି. ଓ 6.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କକୁ ନେଇ ଦୁଇଟି ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଯେପରିକି ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ Y ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ।
(d) \( \overrightarrow{\mathrm{CY}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡ ଉପରେ A ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି CY = AY ହେବ ।
(e) A, B କୁ ଯୋଗକରି △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।