Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 8 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା will enable students to study smartly.
BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 8 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ
ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction):
(1) କୌଣସି ଏକ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବନାର ପରିମାପରୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ବ (Probability Theory) ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିଲା । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି ଏକ ଜୁଆ ଖେଳ । ଏଥିରେ ଆମେ ବାଜି ଜିତିପାରୁ କିମ୍ବା ହାରିପାରୁ ।
(2) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି ଏକ ଜୁଆ ଖେଳ । ଏଥରେ ଆମେ ବାଜି ଜିତିପାରୁ କିମ୍ବା ହାରିପାରୁ ।
(3) ବାଜି ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବନା ସଂପର୍କିତ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ Blaise Pascal (1623 – 1662) ଓ Pierre de Formal (1601–1655) କରିଥିଲେ । ଏହି ଦୁଇ ଗଣିତଜ୍ଞଙ୍କଦ୍ଵାରା ସମାଧାନର ସୂତ୍ରରୁହିଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ବ ଷୋଡ଼ଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଜନ୍ମଲାଭ କରିଥିଲେ ।
(4) ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ବର ପ୍ରଥମ ପୁସ୍ତକ, ଯାହା 1654 ମସିହାରେ ପ୍ରକାଶିତ ହୋଇଥିଲା, ତାହାର ରଚୟିତା ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନବିତ୍ Christiaan Huygens
(5) ଯେଉଁ ଗଣିତଜ୍ଞସମୂହ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ଵକୁ ଆଧୁନିକ ଗଣିତର ରୂପ ପ୍ରଦାନ କରିଛନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ A. N. Kalmogorov, A. A. Markov ଙ୍କ ନାମ ଉଲ୍ଲେଖଯୋଗ୍ୟ ।
(6) ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନ, ଜୀବବିଜ୍ଞାନ, ଅର୍ଥନୀତି, ଯୋଜନା ପ୍ରକରଣ, ପାଣିପାଗର ପୂର୍ବାନୁମାନ, ବାଣିଜ୍ୟ ବିଭାଗ ଆଦିରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ଵର ବହୁଳ ପ୍ରୟୋଗ ଅଛି ।
ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା :
(i) ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା ପରୀକ୍ଷଣ (Experiments) ଓ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ (Observations) ଉପରେ ଆଧାରିତ ।
(ii) ପ୍ରକୃତ ପରୀକ୍ଷଣ କରି ଏବଂ ସେଥୁରୁ ଉଦ୍ଭବ ଫଳାଫଳର ପ୍ରକୃତ ଉପସ୍ଥାପନା କରାଯାଇ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ସଂଖ୍ୟାରେ ମାପ କରାଯାଇଥିବାରୁ ଏହାକୁ Empirical probability କୁହାଯାଏ ।
(iii) ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ (Tossing a coin) ଓ ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଗଡ଼ାଇବା (Throwing of dice) ଡ଼ାଇସ୍ ଫୋପାଡିବା ଆମେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସ୍ପଷ୍ଟ ଧାରଣା ପାଇପାରିବା ।
(iv) ମୁଦ୍ରାଟିକୁ ଟସ୍କେଲେ Head (H) କିମ୍ବା Tail (T) ଏହାର ଯେକୌଣସି ପାର୍ଶ୍ବ ଉପରକୁ ଆସି ପଡ଼ିବ । ଟସ୍ ପୂର୍ବରୁ ଆମେ କହିପାରିବା କି ? ପଡ଼ିଥିବା ପାର୍ଶ୍ଵଟି Head ହେବ କି Tail ହେବ ? କାରଣ ଏହି ଫଳାଫଳ କୌଣସି ନିୟମର ଅଧୀନ ନୁହେଁ ।
ମନେରଖ :
{ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ରେ ମୁଦ୍ରାଟି ସର୍ବଦା ଅପ୍ରବଣ ଓ ସମତୁଲ୍ୟ । ଏହି ବିଶେଷଣ ଦ୍ଵୟକୁ ବ୍ୟବହାର ନ କଲେ ମଧ୍ୟ ଆମେ ମୁଦ୍ରାଟିକୁ ଅପ୍ରବଣ ଓ ସମତୁଲ୍ୟ ବୋଲି ଧରିନେବା ।}
ଘଟଣା (Event) : ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ଉପୁଜୁଥିବା ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳ ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟକ ଫଳାଫଳମାନଙ୍କୁ ବିଚାର କରିବାଦ୍ୱାରା ଗୋଟିଏ ଘଟଣା ଉପୁଜିଥାଏ । ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ରେ ଫଳାଫଳସ୍ଵୟ H କିମ୍ବା T, ଯାହା ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଘଟଣା ଅଟେ ।
ପ୍ରଥମ ପରୀକ୍ଷଣ, ମୁଦ୍ରାଟସ୍ (Tossing a coin) :
(1) ପ୍ରଥମେ ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଦଶଥର ଟସ୍ କରିବା । ଆମେ ଜାଣିଛେ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ H କିମ୍ବା T ପଡ଼ିବ ।
(2) ଦଶଥର ଟସ୍କେଲେ ପଡୁଥିବା H ଏବଂ Tକୁ ଠିକ୍ ଭାବେ ଲିପିବଦ୍ଧ କରିବା ।
(3) ଟସ୍ଦ୍ବାରା ପଡ଼ିଥିବା ସମୁଦାୟ H ପାର୍ଶ୍ଵ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ମୁଦ୍ରାର ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତକୁ P(H) କୁହାଯାଏ ।
- ଅର୍ଥାତ୍ P(H) = \(\frac{ସମୁଦାୟ H ସଂଖ୍ୟା}{ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟା}\) [P(H) = \(\frac{1}{2}\)]
ସେହିପରି ସମୁଦାୟ T ପାର୍ଶ୍ଵ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତକୁ P(T) କୁହାଯାଏ - ଅର୍ଥାତ୍ P(T) = \(\frac{ସମୁଦାୟ T ସଂଖ୍ୟା}{ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟା}\) [P(T) = \(\frac{1}{2}\)]
Hର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଓ Tର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସମଷ୍ଟି = P(H) + T(H) = 1
ଦ୍ଵିତୀୟ ପରୀକ୍ଷଣ :
(i) ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ 15 ଥର ଗଡ଼ାଇବା । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଥର 1, 2, 3,4, 5 ଓ 6 ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଗୋଟିର ଉପର ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଦୃଶ୍ୟମାନ ହେବ ।
(ii) 0 < P(E) < 1 ଅର୍ଥାତ୍ ଯେକୌଣସି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଫଳର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 0 ଓ 1 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଏକ ସଂଖ୍ୟା; ଯାହା ସମାନ ।
(iii) ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 1 ସହ ସମାନ ।
(iv) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାରମ୍ବାରତା ସହିତ ଲୁଡୁଗୋଟିର ଅନୁପାତକୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(1), P(2) ….. P(6) କୁହାଯିବ ।
(v) ସେହିପରି ଆମେ n ଥର ଲୁଡୁଗୋଟି ଗଡ଼ାଇ ଏହାର ଫଳାଫଳ 1, 2, 3, 4, 5 ଓ 6 ର ବାରମ୍ବାରତା ସ୍ଥିର କରିବା ।
(vi) ମନେକର ଆମେ ଲୁଡୁଗୋଟି n ଥର ଗଡ଼ାଇ 4 ର ବାରମ୍ବାରତା m ପାଇଲୁ । ଏଠାରେ P(4) = \(\frac{m}{n}\)
- ସୁତରାଂ E ଏକ ଘଟଣା ହେଲେ ଏହାରା ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E) = \(\frac{m}{n}\)
- (ଏଠାରେ m = ଫଳର ବାରମ୍ବାରତା, n = ସମୁଦାୟ ଗୋଟି ଗଡ଼ିବାର ସଂଖ୍ୟା ।)
ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ :
(i) ପରୀକ୍ଷଣରେ ଯଦି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଫଳ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଘଟେ । ତେବେ ଉକ୍ତ ଫଳର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 1 ସହ ସମାନ ହେବ ।
(ii) ପରୀକ୍ଷଣରେ ଯଦି କୌଣସି ଫଳ କେବେ ହିଁ ଉପୁଝି ନଥାଏ । ତେବେ ଏହାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଶୂନ ।
ତେଣୁ 0 ≤ P(E) ≤ 1
ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ବ ଉପରେ ଆଧାରିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା :
{ସେଟ୍ ମାଧ୍ୟମରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସଂଜ୍ଞା ଓ ଧାରଣା ଗଣିତଜ୍ଞ Kalmogorov ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ}
(i) ମନେକର ଏକ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କରାଗଲା । ଫଳ H ଓ T ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ପଡ଼ିବ । ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳମାନଙ୍କର ସେଟ୍ S ହେଲେ, S = {H, T} ହେବ ।
(ii) ଏଠାରେ Sକୁ ସାମ୍ପଲ୍ ସେସ୍ (Sample space) କୁହାଯାଏ । ସେହିଭଳି ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଦୁଇଥର ଟସ୍ କଲେ ପରୀକ୍ଷଣର ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = {HH, HT, TH, TT} ହେବ ।
(iii) ଏକ ନିରପେକ୍ଷ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଭୂମିରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ଫଳାଫଳ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ହେବ । ଏଠାରେ ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳମାନଙ୍କ ସେଟ୍ ଅର୍ଥାତ୍ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ।
ମନେରଖ :
{ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 2 ଥର ଟସ୍ କରିବା ଓ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକସଙ୍ଗେ ଥରେ ଟସ୍ କରିବା ଏହି ଦୁଇ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ ସମାନ}
ଘଟଣା (Event):
(i) ଏକ ପରୀକ୍ଷଣରେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S ହେଲେ ଏହାର ଯେକୌଣସି ଉପସେଟ୍ (subset) E ଏକ ଘଟଣା । ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ ଘଟଣା E ⊂ S
(ii) ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ ଘଟଣା E : ଶୂନ୍ୟସେଟ୍ Φ, {H}, {T}, (H, T}ରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ । E = Φ
(iii) E = Φ କୁ ବାକ୍ୟରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ E ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ H ଓ Tରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ ।
(iv) E = S କୁ ବାକ୍ୟରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ, E : : ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ H କିମ୍ବା T ।
(v) E = {H} ର ଅର୍ଥ ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ H ଏବଂ E = {T}ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ T
ସଂଜ୍ଞା : ଏକ ପରୀକ୍ଷଣରେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S ହେଲେ Sର ଯେକୌଣସି ଉପସେଟ୍ E ଏକ ଘଟଣା ଓ E ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
⇒ P(E) = \(\frac{E ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା}{S ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା}\) = \(\frac{|E|}{|S|}\)
ମନେକର ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ ପରୀକ୍ଷଣରେ |S| = 2 ⇒ S = {H, T}
⇒ E = {H} ହେଲେ, |E| = 1 ଓ P(E) = \(\frac{|E|}{|S|}\) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ E = {T} ହେଲେ, |E| = 1 ଓ P(E) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ E = Φ ହେଲେ, |E| = 0 ଓ P(Φ) = \(\frac{0}{2}\) = 0, E = S ହେଲେ |S| = 2 ଓ P(S) = \(\frac{2}{2}\) = 1