BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(b)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(b)

Question 1.
ଭାଗକ୍ରିୟା ସମ୍ପାଦନ ନକରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ଭାଗଶେଷ କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ p(x) କୁ x – a ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ p(a) ହେବ ।

(i) ଭାଜ୍ୟ x³ + x² + x + 1 ଏବଂ ଭାଜକ x – 1
ସମାଧାନ:
p(x) = x³ + x² + x + 1
p(x) କୁ (x – 1) ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ p(1) ହେବ ।
p(1) = 1³ + 1² + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
∴ ନିର୍ଦେୟ ଭାଗଶେଷ = 4

(ii) ଭାଜ୍ୟ x³ – x² + x – 1 ଏବଂ ଭାଜକ x + 1
ସମାଧାନ:
p(x) = x³ – x² + x – 1
p(x) କୁ (x + 1) ବା {x – (-1)} ଦ୍ଵାରା ଭାଗଲେ ଭାଗଶେଷ p(-1) ହେବ ।
p(-1) = (- 1)³ – (- 1)² + (-1) – 1 = -1 – 1 – 1 – 1 = -4
∴ ନିର୍ଦେୟ ଭାଗଶେଷ = – 4

(iii) ଭାଜ୍ୟ 2x³ – 3x + 4 ଏବଂ ଭାଜକ 2x + 1
ସମାଧାନ:
p(x) = 2x³ – 3x + 4
p(x) କୁ 2x – 1 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ p (\(\frac{1}{2}\)) ହେବ ।
p(\(\frac{1}{2}\)) = 2(\(\frac{1}{2}\))³ – 3(\(\frac{1}{2}\)) + 4 = 2 × \(\frac{1}{8}\) – \(\frac{3}{2}\) + 4
= \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{3}{2}\) + 4
= \(\frac{1-6+16}{4}\) = \(\frac{11}{4}\)
∴ ନିର୍ଦେୟ ଭାଗଶେଷ = \(\frac{11}{4}\)

(iv) ଭାଜ୍ୟ t⁴ – t³ + t² – t + 1 ଏବଂ ଭାଜକ t + 2
ସମାଧାନ:
p(x) = t⁴ – t³ + t² – t + 1 ଏବଂ ଭାଜକ t + 2
∴ p(x) କୁ t ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ p(-2) ହେବ ।
p(-2) = (-2)⁴ – (-2)³ + (-2)² – (-2) + 1 = 16 – (-8) + 4 + 2 + 1
= 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
∴ ନିର୍ଦେୟ ଭାଗଶେଷ = 31

Question 2.
(a) p(x) = 8x³ – 2x² + 5x – 6 ହେଲେ

(i) p(0)
ସମାଧାନ:
p(0) = 8(0)³ – 2(0) + 5(0) – 6 = 0 – 0 + 0 – 6 = -6
∴ p(0) = -6

(ii) p(1)
ସମାଧାନ:
p(1) = 8(1)³ – 2(1)² + 5(1) – 6 = 8 – 2 + 5 – 6 = 5
∴ p(1) = 5

(iii) p(-1)
ସମାଧାନ:
p(-1) = 8(-1)³ – 2(-1)² + 5(-1) – 6 = -8 – 2 – 5 – 6 = -21
∴ p(-1) = -21

(iv) p(2)
ସମାଧାନ:
p(2) = 8(2)³ – 2(2)² + 5(2) – 6 = 64 – 8 + 10 – 6 = 60
∴ p(2) = 60

(v) p(\(\frac{1}{2}\))
ସମାଧାନ:
p(\(\frac{1}{2}\)) = 8(\(\frac{1}{2}\))³ – 2(\(\frac{1}{2}\))² + 5(\(\frac{1}{2}\)) – 6 = 8 × \(\frac{1}{8}\) – 2 × \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{5}{2}\) – 6
= 1 – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{5}{2}\) – 6
= \(\frac{2-1+5-12}{2}\) = \(\frac{-6}{2}\) = -3
∴ p(\(\frac{1}{2}\)) = -3

(b) ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ମାନଙ୍କର ‘ଜିରୋ’ ନିରୂପଣ କର ।

(i) p(x) = 3x² + 4x + 1
ସମାଧାନ:
p(x) = 3x² + 4x + 1
ଆବଶ୍ୟକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଟିର ସମୀକରଣ ହେଉଛି 3x² + 4x + 1 = 0
∴ 3x² + 4x + 1 = 0 ⇒ 3x² + 3x + x + 1 = 0
⇒ 3x (x + 1) + 1 (x + 1) = 0 ⇒ (x + 1) (3x + 1) = 0
⇒ x + 1 = 0 ବା 3x + 1 = 0 ⇒ x = -1 ବା x = –\(\frac{1}{3}\)
∴ -1, –\(\frac{1}{3}\) ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଦୁଇଟି ଜିରୋ ।

(ii) p(x) = cx – d (c ≠ 0)
ସମାଧାନ:
p(x) = cx – d (c ≠ 0)
ଆବଶ୍ୟକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଟିର ସମୀକରଣ ହେଉଛି cx – d = 0
⇒ cx = d ⇒ x = \(\frac{d}{c}\)
∴ \(\frac{d}{c}\) ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଦୁଇଟି ଜିରୋ ।

(iii) p(z) = 4z² – 1
ସମାଧାନ:
p(z) = 4z² – 1
ଆବଶ୍ୟକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଟିର ସମୀକରଣ ହେଉଛି 4z² – 1 = 0
⇒ 4z² = 1 ⇒ z² = \(\frac{1}{4}\) ⇒ z = ± \(\sqrt{\frac{1}{4}}\) = ± \(\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{1}{2}\), –\(\frac{1}{2}\) ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଦୁଇଟି ଜିରୋ ।

(iv) p(y) = (y – 1) (y + 2)
ସମାଧାନ:
p(y) = (y – 1) (y + 2)
ଆବଶ୍ୟକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ଟିର ସମୀକରଣ ହେଉଛି (y – 1) (y + 2) = 0
⇒ y – 1 = 0 ବା y + 2 = 0 ⇒ y = 1 ବା y = -2
∴ 1 ଓ -2 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଦୁଇଟି ଜିରୋ ।

Question 3.
ନିମ୍ନ ପଲିନୋମିଆଲ୍ p (x) ମାନଙ୍କର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯଦି,

(i) p(-3) = 0 ହୁଏ ।
ସମାଧାନ:
p (-3) = 0 ହେଲେ p(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ {x – (-3)} = x + 3 ହେବ ।

(ii) p(2) = 0 ହୁଏ ।
ସମାଧାନ:
p(2) = 0 ହେଲେ p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x – 2) ହେବ ।

(iii) p(\(\frac{1}{2}\)) = 0 ହୁଏ ।
ସମାଧାନ:
p(\(\frac{1}{2}\)) = 0 ହେଲେ p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (2x – 1) ହେବ ।

(iv) p(\(\frac{3}{2}\)) = 0 ହୁଏ ।
ସମାଧାନ:
p(\(\frac{3}{2}\)) = 0 ହେଲେ p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (3x – 3) ହେବ ।

Question 4.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ କେଉଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର x + 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ?

(i) x³ + x² + x + 1
ସମାଧାନ:
p(x) = x³ + x² + x + 1
ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x + 1) ହୁଏ, ତେବେ p(-1) = 0 ହେବ ।
p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= -1 + 1 – 1 + 1 =0
∴ x³ + x² + x + 1 ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ x + 1 ଅଟେ ।

(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
ସମାଧାନ:
p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x + 1) ହୁଏ, ତେବେ p(-1) = 0 ହେବ ।
∴ p(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1
∴ (x + 1), p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
ସମାଧାନ:
p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x + 1) ହୁଏ, ତେବେ p(-1) = 0 ହେବ ।
∴ p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3 (-1)² + (-1) + 1
= 1 + 3 × (-1) + 3(1) + (-1) + 1 = 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1
∴ (x + 1), p(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

(iv) x³ – x² – (2 + √2)x – √2
ସମାଧାନ:
p(x) = x³ – x² – (2 + √2)x – √2
ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x + 1) ହୁଏ, ତେବେ p(-1) = 0 ହେବ ।
p(-1) = (- 1)³ – (- 1)² – (2 + √2)(-1) – √2
= -1 – 1 + 2 + √2 – √2 = 2 – 2 + √2 – √2 =0
∴ p(x)ର, (x + 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

Question 5.
କେଉଁ କେଉଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x)ର ପଲିନୋମିଆଲ୍ g(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ?

(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
ସମାଧାନ:
p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ g(x) ହୁଏ, ତେବେ p(-1) = 0 ହେବ ।
p(-1) = 2 (-1)³ + (-1)² – 2 (-1) – 1 = 2 (-1) + 1 + 2 – 1
= -2 + 3 – 1 = 0
∴ p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ g(x) ହେବ ।

(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
ସମାଧାନ:
p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ g(x) ହୁଏ, ତେବେ p(-2) = 0 ହେବ ।
∴ p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3 (-2) + 1 = -8 + 12 – 6 + 1 = -1
∴ g(x), p(x)ର ଉତ୍ପାଦକ ନୁହେଁ ।

(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
ସମାଧାନ:
p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
ଯଦି p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ g(x) ହୁଏ, ତେବେ p(3) = 0 ହେବ ।
∴ p(3) = 3³ – 4 (3)² + 3 + 6 = 27 – 36 + 9 = 0
∴ g(x), p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।

Question 6.
ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର p(x)ର x – 1 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେଲେ kର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) p(x) = x² + x + k
ସମାଧାନ:
p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x – 1) ⇒ p(1) = 0
p(x) = x² + x + k
⇒ p(1) = (1)² + 1 + k = 0
⇒ k + 2 = 0 ⇒ k = -2
∴ kର ମାନ -2 ।

(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
ସମାଧାନ:
p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x – 1) ⇒ p(1) = 0
p(x) = 2x² + kx + √2
⇒ p(1) = 2(1)² + k(1) + √2 = 0
⇒ 2 + k + √2 = 0
⇒ k = -(2 + √2)
∴ kର ମାନ -(2 + √2) ।

(iii) p(x) = kx² – √2x +1
ସମାଧାନ:
p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x – 1) ⇒ p(1) = 0
p(x) = kx² – √2x +1
p(1) = k(1)² – √2(1) + 1 = 0
⇒ k = -√2 + 1 ⇒ k = √2 – 1
∴ kର ମାନ √2 – 1 ।

(iv) p(x) = kx² + 3x + k
ସମାଧାନ:
p(x)ର (x – 1) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ (x – 1) ⇒ p(1) = 0
p(x) = kx² + 3x + k p(1) = 0
⇒ k(1)² + 3(1) + k
⇒ k + 3 + k = 0
⇒ 2k + 3 = 0 ⇒ k = \(\frac{-3}{2}\)
∴ kର ମାନ \(\frac{-3}{2}\) 

Question 7.
ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗରେ ଭାଗଶେଷ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) (x⁴ – 1) ÷ (x + 1)
ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଭାଜ୍ୟ = x⁴ – 1, ଭାଜକ = x + 1, ଭାଗଶେଷ = p(-1) ହେବ ।
p(x) = x⁴ – 1 ⇒ p(1) = (1)⁴ – 1 = 0
∴ ଭାଗଶେଷ = 0

(ii) (x³ – 3x + 7) ÷ (x – 2)
ସମାଧାନ:
(x³ – 3x + 7) ÷ (x – 2)
ଏଠାରେ ଭାଜ୍ୟ = x³ – 3x + 7, ଭାଜକ = x – 2, ଭାଗଶେଷ = p(2) ହେବ ।
p(x) = x³ – 3x + 7
⇒ p(2) = (2)³ – 3(2) + 7 = 8 – 6 + 7 = 9
∴ ଭାଗଶେଷ = 9

(iii) (x² – 3x + 2) ÷ (x + 3)
ସମାଧାନ:
(x² – 3x + 2) ÷ (x + 3)
ଏଠାରେ ଭାଜ୍ୟ = x² – 3x + 2, ଭାଜକ = x + 3, ଭାଗଶେଷ = p(-3) ହେବ ।
p(x) = x² – 3x + 2
⇒ p(-3) = (-3)² – 3(-3) + 2 = 9 + 9 + 2 = 20
∴ ଭାଗଶେଷ = 20

(iv) (2x² – x – 1) ÷ (2x – 1)
ସମାଧାନ:
(2x² – x – 1) ÷ (2x – 1)
ଏଠାରେ ଭାଜ୍ୟ = 2x² – x – 1, ଭାଜକ = 2x – 1, ଭାଗଶେଷ = p(\(\frac{1}{2}\)) ହେବ ।
p(x) = 2x² – x – 1
⇒ p(\(\frac{1}{2}\)) = 2(\(\frac{1}{2}\))² – (\(\frac{1}{2}\)) – 1 = 2 × \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{1}{2}\) – 1 = \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{1}{2}\) – 1 = -1
∴ ଭାଗଶେଷ = -1

Question 8.
ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗରେ ନିମ୍ନସ୍ଥ ପଲିନୋମିଆଲଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
p(a) = 0 ହେଲେ (x – a), p(x)ର ଉତ୍ପାଦକ ହେବ

(i) x² – 7x + 12
ସମାଧାନ:
x² – 7x + 12 ର ଘାତ 2 ହେତୁ ଉତ୍ପାଦକ ସଂଖ୍ୟା 2 ।
ମନେକର p(x) = x² – 7x + 12
p(3) = (3)² – 7 (3) + 12 = 9 – 21 + 12 = 21 – 21 = 0
(x – 3) p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।    ….(i)
p(4) = (4)² – 7 (4) + 12 = 16 – 28 + 12 = 28 – 28 = 0
∴ (x – 4), p(x) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।  ….(ii)
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ x² – 7x + 12 = (x – 3) (x – 4)

(ii) x² – 3x – 4
ସମାଧାନ:
x² – 3x – 4 ର ଘାତ 2 ହେତୁ ଉତ୍ପାଦକ ସଂଖ୍ୟା 2 ।
ମନେକର p(x) = x² – 3x – 4
p(-1) = (-1)² – 3 (-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 4 – 4 = 0
∴ (x + 1), p(x) ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।    ….(i)
p(4) = (4)² – 3(4) – 4 = 16 – 12 – 4 = 0
∴ (x – 4) P(x) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।  ….(ii)
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ x² – 3x – 4 = (x + 1) (x – 4)

(iii) x³ – 2x² – x + 2
ସମାଧାନ:
x³ – 2x² – x + 2 ର ଘାତ 2 ହେତୁ ଉତ୍ପାଦକ ସଂଖ୍ୟା 2 ।
ମନେକର p(x) = x³ – 2x² – x + 2
p(-1) = (-1)³ – 2(-1)² – (-1) + 2 = -1 – 2(1) + 1 + 2 = 0
∴ (x + 1), p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।    ….(i)
p(1) = 1³ – 2(1)² – 1 + 2 = 1 – 2 – 1 + 2 = 0
∴ (x – 1) p(x) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।  ….(ii)
p(2) = (2)³ – 2(2)² – 2 + 2 = 8 – 8 – 2 + 2 = 0
∴ (x – 2) p(x) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।  ….(iii)
∴ (i), (ii), (iii) ରୁ x³ – 2x² – x + 2 = (x + 1) (x – 1) (x – 2)

(iv) y³ + y² – 2y – 2
ସମାଧାନ:
y³ + y² – 2y – 2 ର ଘାତ 3 ହେତୁ ଉତ୍ପାଦକ ସଂଖ୍ୟା 3 ।
ମନେକର p(y) = y³ + y² – 2y – 2
p(-1) = (-1)³ + (-1)² – 2 (-1) – 2 = -1 + 1 + 2 – 2 = 0
∴ (y + 1), p(y) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।    ….(i)
p(√2) = (√2)³ + (√2)² – 2 (√2) – 2 = 2√2 + 2 – 2√2 – 2 = 0
∴ (y – √2), p(y) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।  ….(ii)
p(-√2) = (-√2)³ + (-√2)² – 2 (-√2) – 2 = -2√2 + 2 – 2√2 – 2 = 0
∴ (y + √2), p(y) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ଅଟେ ।  ….(iii)
∴ (i), (ii), (iii) ରୁ y³ + y² – 2y – 2 = (y + 1) (y – √2) (y + √2)
= (y + 1) (y² – 2)

Question 9.
ଯଦି x² – 1, ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ହୁଏ, ତେବେ a + e + e = b + d = 0

ସମାଧାନ:
x² – 1 = (x)² – (1)² = (x + 1)(x – 1)
ମନେକର p(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
p(x)ର (x² – 1) ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ହେଲେ p(x)ର (x + 1)
 ଏବଂ (x – 1) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଗୁଣନୀୟକ ହେବେ ।
∴ p(-1) = 0 ହେବ ଏବଂ p(+1) = 0 ହେବ ।
ଯଦି p(-1) = 0 ହୁଏ, ତେବେ a – b +  c – d + e = 0 ହେବ ।
ଅର୍ଥ।ତ୍ a + c + e = b + d   ….(i)
ପୁନଶ୍ଚ ଯଦି p(1) = 0 ହୁଏ, ତେବେ + b + c + d + e = 0 ହେବ
⇒ (a + c + e) + (b + d) = 0
କିନୁ a + c + e = (b + d) ହେତୁ 2(a + c + e) = 0
ଅଥବା, 2(b + d) = 0 ହେବା
∴ a + c + e ବା b + d = 0 ⇒ a + c + e = b + d = 0  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
ଯଦି (x- 1), x² + mx + 1 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଉତ୍ପାଦକ ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ (x – m), x³ + 3x² + 3x + 2 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର p(x) = x² + mx + 1
(x – 1), p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହୋଇଥିବାରୁ p(1) = 0 ହେବ ।
∴ (l)² + m(l) + 1 = 0 ⇒ m + 2 = 0 ⇒ m = -2
∴ x – m = x + 2
ଦର୍ଶାଇବାକୁ ହେବ ଯେ, x³ + 3x² + 3x + 2 ର x – m ଅର୍ଥାତ୍ x + 2 ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।
ମନେକର q(x) = x³ + 3x² + 3x + 2
q(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 2 = -8 + 12 – 6 + 2 = -14 + 14 = 0
x + 2, q(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ।  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ x² + 2x + 3 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର କୌଣସି ଜିରୋ ନାହିଁ ।
ସମାଧାନ:
x² + 2x + 3 = x² + 2x + 1 + 2 = (x + 1)² + 2
∴ (x + 1)² ର ସର୍ବନିମ୍ନ ମାନ 0 ଅଟେ ।
xର ଯେକୌଣସି ମାନପାଇଁ (x + 1)² + 2 ଜିରୋ ହେବ ନାହିଁ ଏବଂ x² + 2x + 3 ର ସର୍ବନିମ୍ନ ମାନ + 2 ହେବ ।
ଏଥିରୁ ସୁସ୍ପଷ୍ଟ x² + 2x + 3 ର କୌଣସି ଜିରୋ ନାହିଁ ।

Question 12.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ 1, -1 ଓ 3 ପଲିନୋମିଆଲ x³ – 3x² – x + 3 ର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଜିରୋ ଅଟନ୍ତି ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର p(x) = x³ – 3x² – x + 3
p(1) = 1³ – 3(1)² – 1 + 3 = 1 – 3 – 1 + 3 = 0
∴ 1, p(x) ର ଏକ ଜିରୋ ଅଟେ ।  ….(i)
p(-1) = (-1)³ – 3 (-1)²– (-1) + 3 = -1 – 3 + 1 + 3 = 0
∴ (- 1), p(x)ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଜିରୋ ଅଟେ ।  ….(ii)
p(3) = 3³ – 3(3)² – 3 + 3 = 27- 27 – 3 + 3 = 0
∴ 3, p(x) ର ଅନ୍ୟ ଏକ ଜିରୋ ଅଟେ । ….(iii)
(i), (ii) ଓ (iii) ରୁ ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ 1, -1 ଓ 3, ପଲିନୋମିଆଲ୍ x³ – 3x² – x + 3 ର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଜିରୋ ଅଟନ୍ତି ।

Question 13.
‘b’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ x³ – 3x² + bx – 6 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର (x – 3) ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?
ସମାଧାନ:
ମନେକର p(x) = x³ – 3x² + bx – 6 
∵ p(x), (x – 3) ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ⇒ p(3) = 0
⇒ 3³ – 3(3)² + b(3) – 6 = 0 ⇒ 27 – 27 + 3b – 6 = 0
⇒ 3b – 6 = 0 ⇒ 3b = 6 ⇒ b = \(\frac{6}{3}\) = 2
∴ bର ମୂଲ୍ୟ 2 ହେଲେ x³ – 3x² + bx – 6 , x – 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।

Question 14.
ଯଦି x² – bx + c = (x + p) (x – q) ହୁଏ, ତେବେ x² – bxy + cy² ର ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
x² – bx + c = (x + p) (x – q) = x² + (p – q) x – pq
ଏଠାରେ (p – q) = -b ଏବଂ c = -pq
∴ x² – bxy + cy² = x² + (p – q) xy – (pq) y²
= x² + pxy – qxy – pqy² = x (x + py) – qy (x + py)
= (x + py) (x – qy)