BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ Ex 4

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ Ex 4 Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 4 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ Ex 4

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଥ‌ିରେ ଚିତ୍ରିତ (shaded) ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା ?

ସମାଧାନ:
(i), (ii) ଏବଂ (iv) ରେ ଚିତ୍ରିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା

Question 2.
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଓ DCEX ଦୁଇଟି ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର, AB = CF; B ଓ X ବିନ୍ଦୁ A ଓ E ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ହେଲେ,

(i) ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ?
(a) ABCD ଓ DCEX କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(b) ABCD ଓ CFEX କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(c) DCEX ଓ EFCB କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ । 
(d) DCEX ଓ CFEX କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ସମାଧାନ:
(a) ଠିକ୍
(b) ଠିକ୍
(d) ଠିକ୍

(ii) ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କରେ ଭୁଲ୍ ଥିଲେ ସଂଶୋଧନ କର ।
(a) Δ  XDC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ABCD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(b) Δ XCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BCFE କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(c) Δ BCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BCFE କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(d) Δ CEX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ CEX କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(e) ABCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 x Δ CEX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(f) BCEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 x Δ DCX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ସମାଧାନ:
(b) Δ XCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) XEFC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(c) Δ CXE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × XDCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(f) DCEX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × Δ DCX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

Question 3.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{A F}}\|\overleftrightarrow{\mathbf{B G}}, \overleftrightarrow{\mathbf{A B}}\| \overleftrightarrow{\mathbf{D C}}, \overleftrightarrow{\mathbf{B E}} \| \overleftrightarrow{\mathbf{C F}} \text { ଓ } \overleftrightarrow{\mathbf{A C}} \| \overleftrightarrow{\mathbf{D G}}\) ।

(a) ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) ABCD କ୍ଷେତ୍ରସହ _________ ଓ _________ କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।
(ii) Δ ABC କ୍ଷେତ୍ରସହ _________ ଓ _________ କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।
ସମାଧାନ:
(i) EBCF ସାମାନ୍ତରିକ, ACGD ସାମାନ୍ତରିକ
(ii) Δ ACD, Δ DCG

(b) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ :
(i) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (ACGD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
(ii) Δ ACD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (BCFE କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
ସମାଧାନ:
(i) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ACGD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ACGD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (ACGD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)

(ii) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BCEF ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BCEF ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ ACD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (BCEF ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)

(c) E ଯଦି AD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ ନିମ୍ନୋକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) Δ ABC ଓ Δ BCF
(ii) Δ AEB ଓ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ABCD
(iii) Δ BCF ଓ BCFE କ୍ଷେତ୍ର
(iv) Δ DFC ଓ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର BCFE
(v) Δ ABE ଓ Δ DCF
ସମାଧାନ:
(i) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BCF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
(ଏକା ଭୂମି ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।)

(ii) Δ AEB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{4}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
[Δ AEB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)]

(iii) Δ BCF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BCFE ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(∵ B͞F କଣ୍ଠ, ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।)

(iv) Δ DFC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{4}\) BCFE ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(∵ AD = EF ⇒ AE + DE = DE + DF ⇒ AE = DF)
∴ Δ AEB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DCF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 

(v) Δ ABE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DCF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(∵ AD = EF ⇒ AD – ED = EF – ED ⇒ AE = DF)

Question 4.
ଚିତ୍ର (i) ଓ (ii) ରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କାହିଁକି ସମାନ ?

ସମାଧାନ:
ଉତ୍ତର : ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶମାନ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଚିତ୍ର (i) ରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × 6 × 4 = 12 ବ.ମି. (∵ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା)
ଏବଂ (ii) ରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 3 = 12 ବ.ମି.
ତେଣୁ ଉଭୟ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । CX ⊥ AD, BY ⊥ \(\overrightarrow{\mathrm{CA}}\) ଏବଂ CZ ⊥ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\), ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କରୁ କେଉଁ ଭକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ? କାରଣ ଦର୍ଶାଅ ।

(i) AD . CX = BZ . CZ
(ii) AD . CX = CY . BY
(iii) BZ . CZ = AC . BY
(iv) BC . CX = AB . CZ
(v) AB . CZ = 2AC . BY
ସମାଧାନ:
(i) AD . CX = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
BZ . CZ ≠ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ (i) ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି ।

(ii) AD . CX = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
CY . BY ≠ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ (ii) ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି ।

(iii) BZ . CZ ≠ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
AC . BY = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ (iii) ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି ।

(iv) BC . CX = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
AB . CZ = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ (iv) ଉକ୍ତିଟି ଠିକ୍ ଅଛି ।

(v) AB . CZ = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
2AC . BY = 2 × ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ (v) ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି ।

Question 6.
Δ ABC ରେ BC ଓ AC ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 16 ସେ.ମି. ଓ 12 ସେ.ମି. ।
Aରୁ BC ଉପରେ ପତିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 9 ସେ.ମି ।
(i)  Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
(ii) B ରୁ AC ଉପରେ ପତିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ BC = 16 ସେ.ମି., AC = 12 ସେ.ମି. ।
AD ⊥ BC ଏବଂ BE ⊥ AC, AD = 9 ସେ.ମି. ।
ନିର୍ଦେୟ : (i) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (ii) BE ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ

ଉତ୍ତର : (i) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BC × AD = \(\frac{1}{2}\) × 16 × 9 = 72 ସେ.ମି.
(ii) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) AC × DE
⇒ 72 = \(\frac{1}{2}\) × 12 × BE 
⇒ BE = \(\frac{72}{6}\) = 12 ବ. ସେ.ମି. ।

Question 7.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AN ⊥ BC ଏବଂ AM ⊥ CD । BC = 25 ସେ.ମି., AN = 10 ସେ.ମି., CD = 15 ସେ.ମି. ହେଲେ,
(i) AM କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର ।
(ii) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
(iii) Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AM ଓ AN ଉତ୍ତତାଦ୍ବୟ ।
BC = 25 ସେ.ମି., AN = 10 ସେ.ମି., CD = 15 ସେ.ମି.

ନିର୍ମେୟ : (i) AM ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
(ii) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
(iii) Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
[ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ଉଚ୍ଚତା
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଭୂମି ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା ]
ଉତ୍ତର : (i) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BC × AN = CD × AM
⇒ BC × AN = CD × AM ⇒ 25 × 10 = 15 × AM
⇒ AM = \(\frac{25 \times 10}{15}\) = \(\frac{50}{3}\) ସେ.ମି. ବା 16 \(\frac{2}{3}\) ସେ.ମି.
(ii) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BC × AN = \(\frac{1}{2}\) × 25 × 10 = 125 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(iii) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) CD × AM = \(\frac{1}{2}\) × 15 × \(\frac{50}{3}\) = 125 ବ. ସେ.ମି.

Question 8.
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । PQ || AD, XY || AB ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
(i) POYB ଓ XOOD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) AXYB ଓ APQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(iii) PBCQ ଓ XYCD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ PQ || AD ଏବଂ XY || AB ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) POYB ଓ XOOD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) AXYB ଓ APQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(iii) PBCQ ଓ XYCD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

ପ୍ରମାଣ : (i) AXOP ଓ OYCQ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
AO ଏବଂ OC ଯଥାକ୍ରମେ କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକର କର୍ଣ୍ଣ । ∴ β = β ଏବଂ α = α₁
ପୁନଶ୍ଚ, ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ହେତୁ A ABCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = A ADCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ β₁ + POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + α₁ = β + XOQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + α
⇒ POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = XOQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (∵ β = β₁ ଏବଂ α = α₁) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) (i)ରୁ POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = XOQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + APOX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= XOOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + APOX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ AXYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = APQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) (i)ରୁ ପ୍ରମାଣିତ POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = XOOD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + OYCQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= XOQD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + OYCQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ PBCQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = XYCD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.
ଦତ୍ତ ମାନ ଅନୁଯାୟୀ ନିମ୍ନଲିଖତ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର – ଯାହାର,
(i) ଉଚ୍ଚତା 5 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ।
(ii) ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 18 ମି. ଓ ବିପରୀତ ସମାନ୍ତର ବାହୁଠାରୁ ତାହାର ଦୂରତା 7 ସେ.ମି. ।
(iii) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 120 ଡେ.ମି. ଓ ତାହାର ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22 ଡେ.ମି. ।
ସମାଧାନ :
(i) ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ଉଚ୍ଚତା = (10 × 5) ବ. ସେ.ମି. = 50 ବ. ସେ.ମି. ।
(ii) ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ବିପରୀତ ସମାନ୍ତର ବାହୁଠାରୁ ବାହୁର ଦୂରତା
= 18 ମି. × 7 ବ. ସେ.ମି. = (180 × 7) ବ. ସେ.ମି. = 1260 ବ. ସେ.ମି. ।
(iii) ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ବିପରୀତ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= (120 × 22) ବ. ଡେ.ମି. = 2640 ବ. ଡେ.ମି. ।

Question 10.
ଚିତ୍ରରେ AP ⊥ BC, CQ ⊥ AB ଏବଂ XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । ନିମ୍ନ ଦତ୍ତମାନ ଅନୁଯାୟୀ Δ ABC ଓ XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଏବଂ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।
(i) BC = 16 ସେ.ମି., AP = 6 ସେ.ମି.
(ii) AB = 12 ସେ.ମି., CQ = 8 ସେ.ମି.

ସମାଧାନ:
(i) BC = 16 ସେ.ମି., AP = 6 ସେ.ମି.
∴ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BC . AP = \(\frac{1}{2}\) × 16 × 6 = 48 ବ. ସେ.ମି.
XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 16 × 6 = 96 ବ. ସେ.ମି.
ଏଠାରେ A ABCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।  (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BC × AP = 16 × 6 = 96 ବ. ସେ.ମି.
∴ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) AB × CQ = \(\frac{1}{2}\) × 12 × 8 = 48 ବ. ସେ.ମି.
ଏଠାରେ A ABCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍ ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଓ ତାହାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ; ସେମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ; ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ସେମାନେ ଏକ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଏବଂ EBCF ରମ୍ବସ୍ ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AF || BC
ଅଙ୍କନ : EM ⊥ BC ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = EBCF ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
⇒ BC × AB = BC × EM
⇒ AB = EM
ପୁନଶ୍ଚ, AB ⊥ BM ଓ EM ⊥ BM
∴ AE || BM ⇒ AF || BC
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
Δ ABC ର BC ଉପରିସ୍ଥ D ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି BD = \(\frac{1}{2}\) DC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{3}\) × Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : Δ ABC ର BC ଉପରିସ୍ଥ D ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି BD = \(\frac{1}{2}\) DC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{3}\) × Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ଅଙ୍କନ : AM ⊥ BC ଅଙ୍କନ କର ।

Question 13.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ତାହାକୁ ଦୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AD ମଧ୍ୟମା ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ଅଙ୍କନ : A ବିନ୍ଦୁରୁ BC ପ୍ରତି AM ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AD ମଧ୍ୟମା ⇒ BD = CD 
Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) BD . AM = CD . AM (∵ BD = CD)
ସେହିପରି Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) CD · AM
∴ Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

Question 14.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ କର୍ଷ କ୍ଷେତ୍ରଟିକୁ ଦୁଇଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AC ଏକ କଣ୍ଠ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : B͞D କଣ୍ଠ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ଅଙ୍କନ : Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ପ୍ରମାଣ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର AC ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ ଜରନ୍ତ ।
ଅର୍ଥାତ୍ AO = OC ଏବଂ BO = DO
Δ ABC ରେ BO ମଧ୍ୟମା ।
ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।
Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହିପରି Δ BCD ରେ CO ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
Δ ADC ରେ DO ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ପୁନଶ୍ଚ, Δ ABD ରେ AO ମଧ୍ୟମା
⇒ Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । ପ୍ରମାଣ କରଯେ,
(i) ADQP ଓ BCQP କ୍ଷେତ୍ରତ୍ବୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{4}\) ABCD
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର AC ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O । 
PQ, AB ଓ DC କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) ADQP କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BCQP କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(ii) Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{4}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ପ୍ରମାଣ : (i) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ A͞C ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
Δ AOP ଓ Δ QOC ଦ୍ବୟରେ AO = CO, m∠AOP = m∠QOC (ପ୍ରତୀପ) ଏବଂ
m∠PAO = m∠OCQ (ଏକାନ୍ତର)
∴ Δ AOP ≅ Δ QOC (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ Δ AOP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ QOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (i)
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର AC (କର୍ଣ୍ଣ) ।
∴ Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – Δ QOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ AOP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – Δ AOP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ QOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
(∵ Δ AOP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ QOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
⇒ ADOP କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BCQP କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

(ii) Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × A ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (∵ AO = \(\frac{1}{2}\) AD)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{4}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍, ଏହାର \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) || \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DC}}\); ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) Δ ADC ଓ Δ BDC ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) Δ ADB ଓ Δ ACB ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) || \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DC}}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) Δ ADCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BDC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
(ii) Δ ADBର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ପ୍ରମାଣ : (i) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) || \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DC}}\) ଏବଂ Δ ADC ଦ୍ବୟ ଓ Δ BDC ଏକ ଭୂମି D͞C ବିଶିଷ୍ଟ ।
⇒ Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BDC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(ii) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) || \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DC}}\) ଏବଂ Δ ADB ଓ Δ ACB ଦ୍ଵୟ ଏକା ଭୂମି AB ବିଶିଷ୍ଟ ।
⇒ Δ ADB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

Question 17.
Δ ABC ର E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ
(i) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, EBCF ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
(ii) Δ ABCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 50 ବ. ସେ.ମି. ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, EBCF ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 37.5 ବ. ସେ.ମି. ।
ସମାଧାନ:
(i) ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : EBCF ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ E ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ F ।
⇒ EF || BC
∴ EBCF ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।

(ii) Δ ABC ରେ E, AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଓ F, ACର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
⇒ EF || BC ଏବଂ EF = \(\frac{1}{2}\) BC = BD = CD
EFDB କ୍ଷେତ୍ରରେ EF || BD ଓ EF = BD ।
∴ EFDB ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

EFDB ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ED କର୍ଣ୍ଣ EFDB ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଦୁଇ ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।
⇒ Δ EBD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ EFD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
∴ ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ଯେ, Δ AEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ EBD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= Δ EFD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ FDC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 50 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
Δ AEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{4}\) × 50 = 12.5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
∴ EBCF ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – Δ AFF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 50 ବର୍ଗ ସେ.ମି. – 12.5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. = 37.5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 18.
Δ ABC ର E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । C͞E ଓ B͞F ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଲେ,
ଦର୍ଶାଅ ଯେ Δ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = AEOF ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ :  Δ ABC ର E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ A͞B ଓ A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । C͞E ଓ B͞F ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  =  AEOF ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

ପ୍ରମାଣ :  Δ ABC ରେ E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ A͞B ଓ A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
Δ ABC ରେ B͞F ମଧ୍ୟମା ।
Δ ABF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
[∵ ମଧ୍ୟମା ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।]
Δ ABC ରେ C͞E ମଧ୍ୟମା ।
Δ BCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ ABF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ AEOF ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BOE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= Δ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BOE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ AEOF ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 19.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଚାରିଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । ଏହାର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOC ର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ COD ର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ଅର୍ଥାତ୍ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ କ୍ଷେତ୍ରଟିକୁ ଚାରିଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ବ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରନ୍ତି ।

ପ୍ରମାଣ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର A͞C ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମନ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି । 
ଅର୍ଥାତ୍ AO = OC ଏବଂ BO = DO 
Δ ABC ରେ B͞O ମଧ୍ୟମା ।
[ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ଯମା, ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ବ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।]
⇒ Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = A BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (i) 
ସେହିପରି Δ BCD ରେ C͞O ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (ii)
Δ ADC ରେ D͞O ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (iii)
ପୁନଶ୍ଚ, Δ ABD ରେ A͞O ମଧ୍ୟମା । 
⇒ Δ AODର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOBର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (iv)
∴ (i), (ii), (iii) (iv)ରୁ Δ AOBର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOCର  କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CODର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AODର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 20.
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କରି ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) ତ୍ରିଭୁଜର ଯେକୌଣସି ଦୁଇ ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ସରଳରେଖା ତୃତୀୟ ବାହୁ ସଙ୍ଗେ ସମାନ୍ତର ।
(ii) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ସରଳରେଖା ସମାନ୍ତର ବାହୁ ସହ ସମାନ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
(i) ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ D ଓ E ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DE || B͞C
ଅଙ୍କନ : DC ଓ B͞E ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : AEB ରେ E͞D ମଧ୍ୟମା ।
∴ Δ ADE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DBE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
[∵ ମଧ୍ୟମା ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।]

ସେହିପରି Δ ADC ରେ DE ମଧ୍ୟମା ।
∴ Δ ADE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ECD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
∴ Δ DBE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ECD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
କିନ୍ତୁ ଏମାନେ ଏକା ଭୂମି DE ବିଶିଷ୍ଟ । ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ବୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ଅର୍ଥାତ୍ DE || BC ।

(ii) ଦତ୍ତ : ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AD || BC । M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ AB ଓ DC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । 
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MN || AD

ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{DM}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{CB}}\) କୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADM ଏବଂ Δ PBM ଦ୍ବୟରେ
AM = MB (ଦତ୍ତ), m∠AMD = m∠PMB (ପ୍ରତୀପ)
ଏବଂ m∠ADM = m∠MPB (ଏକାନ୍ତର)
∴ Δ ADM ≅ Δ PBM (କୋ-କୋ-ବା)
MD = PM
⇒ M, P͞D ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ Δ DPC ରେ M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ DP ଓ D͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
MN || PC
⇒ MN || AD (∵ AD || BC) (ପ୍ରମାଣିତ)

ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :
ଦତ୍ତ : ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AD || BC । AB ଓ DC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ M ଓ N ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MN || AD ।
ଅଙ୍କନ : AC ଓ BD ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : AD || BC ଏବଂ Δ ABC ଓ Δ DBC ଦ୍ଵୟ ଏକା ଭୂମି BC ବିଶିଷ୍ଟ ।
⇒ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DB Cର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
⇒ \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ DBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
Δ BMC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (C͞M ମଧ୍ୟମା ହେତୁ)
ସେହିପରି Δ BNC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ DBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ( BY ମଧ୍ୟମା ହେତୁ)
Δ BMC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BNCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
Δ BMC ଓ Δ BNC ଦ୍ଵୟ BC ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
⇒ MN || BC
BC || AD (ଦତ୍ତ)
⇒ MN || AD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 21.
P, ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
Δ APB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ CDP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
‘P’ ଏହାର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ CDP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଅଙ୍କନ : P ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ AB ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡ MN ଅଙ୍କନ କର, ଯାହା AD ଓ BC କୁ ଯଥାକ୍ରମେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
ପ୍ରମାଣ : ABNM ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ଓ ABP ଦ୍ଵୟ ଏକା ଭୂମି ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ବୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
∴ Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ABNM ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହପରି Δ CDP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) MDCN ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ CDP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) (ABNM ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + MDCN ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
= \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 22.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ଥ‌ିବା Δ ABCରେ AB = AC, BC ଉପରିସ୍ଥ P କୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ । PX ⊥ AB, PY ⊥ AC ଓ  CQ ⊥ AB ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, PX + PY = CQ ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC; BC ଉପରିସ୍ଥ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।
PX ⊥ AB, PY ⊥ AC ଓ  CQ ⊥ AB
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PX + PY = CQ
ଅଙ୍କନ : A͞P ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ : Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ APC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ \(\frac{1}{2}\) AB . PX + \(\frac{1}{2}\) AC . PY = \(\frac{1}{2}\) AB . CQ
⇒ \(\frac{1}{2}\)AB . PX + \(\frac{1}{2}\) AB . PY = \(\frac{1}{2}\) AB . CQ (∵ AB = AC)
⇒ \(\frac{1}{2}\) AB (PX + PY) = \(\frac{1}{2}\) AB . CQ
⇒ PX + PY = CQ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 23.
Δ ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ; O ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ; OX, OY ଓ OZ ଯଥାକ୍ରମେ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, OX + OY + OZ = ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ B = BC = AC । ‘O’ ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।
OX ⊥ BC, OY ⊥ AC, OZ ⊥ AB
ଏବଂ AM ⊥ BC ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : OX + OY + OZ = AM
ଅଙ୍କନ : OA, OB, OC ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ OAC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ OAB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ \(\frac{1}{2}\) BC . OX + \(\frac{1}{2}\) AC . OY + \(\frac{1}{2}\) AB . OZ = \(\frac{1}{2}\) BC . AM
⇒ \(\frac{1}{2}\) BC . OX + \(\frac{1}{2}\) BC . OY + \(\frac{1}{2}\) BC . OZ = \(\frac{1}{2}\) BC . AM
⇒ \(\frac{1}{2}\) BC (OX + OY + OZ) = \(\frac{1}{2}\) BC . AM (∵ AB = BC = AC)
⇒ OX + OY + OZ = AM

Question 24.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ରମ୍ବସ୍‌ରେ AC ଓ BD ଏହାର ଦୁଇଟି କଣ୍ଠ ।
ସେମାନଙ୍କର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) AC . BD
ପ୍ରମାଣ : ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ DOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) AO . OD + \(\frac{1}{2}\) AO . BO + \(\frac{1}{2}\) BO . OD + \(\frac{1}{2}\) OC . OD
= \(\frac{1}{2}\) AO . (OD + BO) + \(\frac{1}{2}\) OC . (BO + OD) = \(\frac{1}{2}\) AO . BD + \(\frac{1}{2}\) OC . BD
= \(\frac{1}{2}\) BD (AO + OC) = \(\frac{1}{2}\) AC . BD

ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) BD . AO + \(\frac{1}{2}\) BD . CO
= \(\frac{1}{2}\) BD (AO + OC) = \(\frac{1}{2}\) BD . AC

Question 25.
Δ ABC ର AD ମଧ୍ୟମା ଉପରେ X ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, Δ ABX ଓ Δ ACX ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ AB Cର AD ମଧ୍ୟମା । AD ମଧ୍ୟମା ଉପରେ ‘X’ ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ର AD ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହିପରି Δ ABD ରେ XD ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ BXD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CXD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – Δ BXD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – Δ CXD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
⇒ Δ ABX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 26.
Δ ABC ର BC ବାହୁ ଉପରେ P ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ, AP ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ X ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
Δ XBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର BC ବାହୁ ଉପରେ P ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।
A͞P ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ X ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ XBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ପ୍ରମାଣ : Δ ABP ର BX ର ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ BXP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ BXP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହିପରି Δ ACP ର CX ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ CPX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ CPX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ACP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ BXP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CXP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ ACP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
⇒ Δ XBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 27.
ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର; P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ DC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, PBOD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ DC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PBQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) ABCD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ଅଙ୍କନ : P͞Q ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ POD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) APQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
[∵ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କଣ୍ଠ, କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଦୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।]
ସେହିପରି Δ PBQର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) PBCQ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ POD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ PBQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) Δ APQD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + \(\frac{1}{2}\) PBCQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ PBOD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (APQD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + PBCQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
⇒ PBOD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ABCD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 28.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡତ୍ରୟ ତ୍ରିଭୁଜଟିକୁ ଚାରୋଟି
ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ D, E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB, BC ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DE, EF, DF ରେଖାଖଣ୍ଡତ୍ରୟ ତ୍ରିଭୁଜଟିକୁ
ଚାରିଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରିବ ।

ପ୍ରମାଣ : D ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ⇒ DE || BC
ସେହିପରି EF || AB ଏବଂ DE || AC ।
∴ ADEF, DBEF ଏବଂ CEDF ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
ADEF ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର D͞F କର୍ଣ୍ଣ ।
⇒ Δ ADF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ, Δ BDE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଏବଂ Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ ADF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BDE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 29.
ABCD ଚତର୍ଭୁଜର A͞C ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । AO = CO ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ
କର ଯେ Δ ABD ଓ Δ BCD ଦ୍ବୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତର୍ଭୁଜର AC ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O
ଏବଂ AO = CO ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ର BO ମଧ୍ୟମା । (‘. AO = OC)
∴ Δ ABO ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (i)
ସେହିପରି Δ ADC ର DO ମଧ୍ୟମା । (∵ AO = OC)
∴ Δ ADO ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ Δ ABO ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ ADO ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ DOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 30.
D, E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ Δ ABC ର AB, BC ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ,
(i) FDEC ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ
(ii) FDEC ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ D, E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB, BC ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) FDEC ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ii) FDEC ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ପ୍ରମାଣ : D ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
DF || BC ⇒ DF || EC
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ଯେ DE || CF ।
∴ DECF ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । (ପ୍ରମାଣିତ)
ସେହିପରି ADEF, DBEF ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
DECF ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର EF କର୍ଣ୍ଣ ।
[∵ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ, କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ]
⇒ Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ
= Δ BDE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଏବଂ Δ ADF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ ADF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BDE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
Δ ADF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BDE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 2 × Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 (Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
⇒ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × FDEC ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ FDEC କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)