BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(d)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(d)

Question 1.
ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ବାଛ ।
(i) 3x = 4
(ii) 3^x = 4
(iii) \(\frac{1}{3^x}\) = 81
(iv) \(\frac{3}{4}\) x = 1
(v) 3^x-2 = 27
(vi) 2^2x – 4 = 0
ସମାଧାନ:
(iii) \(\frac{1}{3^x}\) = 81 ⇒ 3^-x = 3⁴
(v) 3^x-2 = 27 ⇒3^x-2 = 3³
(vi) 2^2x – 4 = 0 ⇒ 2^2x = 4 ⇒ 2^2x = 2⁴
ଏହି ତିନୋଟି ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣ ଅଟେ; ଯେଉଁଠାରେ a > 0 ଏବଂ a ≠ 1, x, y ∈ R

Question 2.
ସମାଧାନ କର :

(i) 4^y = 8
ସମାଧାନ:
4^y = 8 (2²)^y = 2³ ⇒ 2^2y = 2³ ⇒ 2y = 3 ⇒ y = \(\frac{3}{2}\)

(ii) \(\frac{1}{2^x}\) = 16
ସମାଧାନ:
\(\frac{1}{2^x}\) = 16 ⇒ 2^-x = 2⁴ ⇒ -x = 4 ⇒ x = -4

(iii) 2^x – 8 = 0
ସମାଧାନ:
2^x – 8 = 0 ⇒ 2^x = 8 ⇒ 2^x = 2³ ⇒ x = 3

(iv) 3^y = 3√3
ସମାଧାନ:
3^y = 3√3 ⇒ 3^y = 3^{\(\frac{1}{3}\)} ⇒ y = \(\frac{1}{3}\)

(v) \(\frac{1}{7^{-y}}\) = 49
ସମାଧାନ:
\(\frac{1}{7^{-y}}\) = 49 ⇒ 7^y = 7² ⇒ y = 2

(vi) 6^x = \(\frac{1}{1296}\)
ସମାଧାନ:
6^x = \(\frac{1}{1296}\) ⇒ 6^x = 6^-4 ⇒ x = -4

Question3.
ସମାଧାନ କର :

(i) 2^2x = 16
2^2x = 16 ⇒ 2^2x = 24 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = \(\frac{4}{2}\) = 2
ସମାଧାନ:

(ii) 3^x+2 = 81
ସମାଧାନ:
3^{x+ 2} = 81 ⇒ 3^{x + 2} = 3⁴ ⇒ x + 2 = 4 ⇒ x = 4 – 2 = 2

(iii) 5^y = 5. √5
ସମାଧାନ:
5^y = 5. √5 5^y = 5^{1+ \(\frac{1}{2}\)}  ⇒ 5^y = 5 ^{\(\frac{2+1}{2}\)} ⇒ 5^y = 5 ^{\(\frac{3}{2}\)} ⇒ y = \(\frac{3}{2}\)

(iv) 25^x = 125
ସମାଧାନ:
25^x = 125 ⇒ 5^2x = 5³ ⇒ 2x = 3 ⇒ x = \(\frac{3}{2}\)

(v) 4^{3x + 1} = 64
ସମାଧାନ:
4^3x+1 = 64 ⇒ 4^{3x+ 1} = 4⁴ ⇒ 3x + 1 = 4 ⇒ 3x = 4 – 1 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1

Question 4.
ସମାଧାନ କର :

(i) (√3)^{x + 5} = (3√3)^2x
ସମାଧାନ:
(√3)^{x + 5} = (3√3)^2x  ⇒ 3^{\(\frac{x+5}{2}\)}  ⇒ 3^{\(\frac{2x}{3}\)}  ⇒ \(\frac{x+5}{2}\) = \(\frac{2x}{3}\)
⇒ 3x + 15 = 4x ⇒ 4x – 3x = 15 ⇒ x = 15

(ii) 3^{y + 2} × 27^{3 – y} = 2187
ସମାଧାନ:
3^{y + 2} × 27^{3 – y} = 2187 ⇒ 3^{y + 2} × (3³)^3-y = 37 ⇒ 3^{y + 2} × 3^9-3y = 37 ⇒ 3^{y + 2 + 9-3y} = 37
⇒ 3^11-2y = 3⁷ ⇒ 11 – 2y = 7 ⇒ -2y = 7- 11 = -4
⇒ 2y = 4 ⇒ y = \(\frac{4}{2}\) = 2

(iii) 4^x+1 + 2^2x = 40
ସମାଧାନ:
4^x+1 + 2^2x = 40
⇒ 4^{x + 1} + 4^x = 40
⇒ 4x × 4 + 4^x = 40
⇒ 4^x (4 + 1) = 40
⇒ 2^2x × 5 = 40
⇒ 2^2x = \(\frac{40}{5}\) = 8 = 2³
⇒ 2x = 3 ⇒ x = \(\frac{3}{2}\)

(iv) 3^x+5 – 3^x+3 = \(\frac{8}{3}\)
ସମାଧାନ:
3^x+5 – 3^x+3 = \(\frac{8}{3}\) ⇒ 3^x+3 3(3² – 1) = \(\frac{8}{3}\)
⇒ 3^x+3 (8) = \(\frac{8}{3}\) ⇒ 3^x+3 = \(\frac{8}{3} \times \frac{1}{8}=\frac{1}{3}\)
⇒ 3^x+3 = 3^-1 = x + 3 = -1
⇒ x = -1 – 3 = -4

(v) 4 × 2^x-1 = 8^x
ସମାଧାନ:
4 × 2^x-1 = 8^x ⇒ 2² × 2^x-1 = 2^3x
⇒ 2^2+x-1 = 2^3x ⇒ x + 1 = 3x
⇒ 3x = x – 1
⇒ 2x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)

(vi) 3^x+2 + 3^x = 30
ସମାଧାନ:
3^x+2 + 3^x = 30
⇒ 3x (3² + 1) = 30 ⇒ 3^x (10) = 30
⇒ 3^x = \(\frac{30}{10}\) = 3¹ ⇒ x = 1

(vii) 3^x+2 + 3^x+4 = 810
ସମାଧାନ:
3^x+2 + 3^x+4 = 810
⇒ 3^x+2 (1 + 3²) = 810
⇒ 3^x+2 (10) = 810 ⇒ 810
⇒ 3^x+2 = \(\frac{810}{10}\) = 81⇒ 3^{x+ 2} = 3⁴
⇒ x + 2 = 4 ⇒ x = 4 – 2 = 2

(viii) 2^3-x × 4^2x-1 = 16
ସମାଧାନ:
2^3-x × 4^2x-1 = 16
⇒ 2^3-x × 2^2(2x–1) = 16
⇒ 2^{3 – x + 4x- 2} = 2⁴
⇒ 2^{3x + 1} = 2⁴
⇒ 3x + 1 = 4
⇒ 3x = 4 – 1 = 3 ⇒ x = \(\frac{3}{3}\) = 1

(ix) 2^x+2 × 3^x-1 = 288
ସମାଧାନ:
2^x+2 × 3^x-1 = 288
⇒ 2^x × 2² × 3^x × \(\frac{1}{3}\) = 288
⇒ (2^x × 3^x) × (2² × \(\frac{1}{3}\)) = 288
⇒ 6^x × \(\frac{4}{3}\) = 288
⇒ 6^x = 288 × \(\frac{3}{4}\) = 72 × 3 = 216
⇒ 6^x = 6³ ⇒ x = 3

(x) 9^x – 4 × 3^x+1 + 27 = 0
ସମାଧାନ:
9^x – 4 × 3^x+1 + 27 = 0
⇒ (3^x)² – 4 × 3^x – 3 + 27 = 0
⇒ (3^x)² – 12 × 3^x + 27 = 0
ମନେକର 3^x = y
ପ୍ରଦତ୍ତ ସମୀକରଣଟି y² – 12y + 27 = 0
⇒ y² – 9y – 3y + 27 = 0
⇒ y (y – 9) – 3 (y – 9) = 0
⇒ (y – 9) (y – 3) = 0
⇒ y – 9 = 0 ବା y – 3 = 0
⇒ y = 9 ବା y = 3
3^x = 3² ବା3^x = 3¹
(y = 3^x ସଂସ୍ଥାପନ କଲେ)
x = 2 ବା x = 1
∴ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ସମାଧାନ 1 ଓ 2 ।