Prasanna

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(c)

Question 1.
ଦତ୍ତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ ‘ନ’ ଓ ଯେଉଁଟି ଭୁଲ୍ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(i) ଏକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସମାନ ସମାନ ଥର ରହିଲେ ଏହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନାହିଁ ।
(ii) ବାରମ୍ବାରତା ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାରମ୍ବାରତା ହିଁ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଗରିଷ୍ଠକ ।
(iii) ଏକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଯଦି ଗରିଷ୍ଠକ ଥାଏ, ତେବେ ଏହାର ସର୍ବଦା ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ଗରିଷ୍ଠକ ଥବ ।
ଉ :
(i) T (ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟରେ ଏହା ଲିଖ୍)
(ii) F (ଗରିଷ୍ଠକର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ )
(iii) F ( କାରଣ 5, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9ରେ ଗରିଷ୍ଠକ 7 ଏବଂ 9 ଅଟେ ।)

Question 2.
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 5, 6, 7, 7,8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12
(ii) 12, 8, 15, 9, 11, 8, 10, 11, 13, 9, 12, 10, 14, 11, 13, 10
ସମାଧାନ :
(i) 5, 6, 7, 7,8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12 ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମେ ସଜ୍ଜିତ ।
ଏଠାରେ ଗରିଷ୍ଠକ M = 9 (∵ 9ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧିକ ।)

(ii) 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମେ ସଜ୍ଜିତ ।
ଏଠାରେ ଗରିଷ୍ଠକ M_o = 10 ଓ 11 (∵ 10 ଓ 11ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧିକ ।)

Question 3.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉଚ୍ଚତା (ସେ.ମି.) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ :	120	121	122	123	124
ବାରମ୍ବାରତା :	5	8	18	10	9

ସମାଧାନ :
ସାରଣୀରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 122 ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧ‌ିକ 18 ।
∴ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ 122 ।

Question 4.
ଦୁଇଟି ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ ଏକା ସାଙ୍ଗରେ 15 ଥର ଗଡ଼ାଇବାରେ ମିଳିଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ 7, 8, 10, 10, 11, 7, 12, 9, 7, 9, 8, 12, 11, 10, 7 । ଉକ୍ତ ବଣ୍ଟନର ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଦୁଇଟି ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ ଏକା ସାଙ୍ଗରେ 15 ଥର ଗଡ଼ାଇବାରେ ମିଳିଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ –
7, 8, 10, 10, 11, 7, 12, 9, 7, 9, 8, 12, 11, 10, 71
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମେରେ ସଜାକ ରଖିଲେ
7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12
ଏଠାରେ ଗରିଷ୍ଠକ M_o = 7 (∵ 7ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧ‌ିକ 4)

Question 5.
ଗୋଟିଏ ଜୋତା ଦୋକାନରେ ବିଭିନ୍ନ ମାପ ବିଶିଷ୍ଟ ଜୋତା ବିକ୍ରୟର ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

କୋତାମପ	5	6	7	8	9	10
ବିକ୍ରି ସଂଖ୍ୟା	20	33	40	85	15	8

(i) ଉପରିସ୍ଥ ବଣ୍ଟନକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରି କେଉଁ ମାପର ଜୋତାକୁ ମହଜୁଦ ରଖୁବା ଲାଗି ଦୋକାନୀ ଅଧ୍ବକ ଧ୍ୟାନ ଦେବ, ସ୍ଥିର କର ।
(ii) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେଉଁ ପ୍ରକାର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା ତୁମେ ନିଶ୍ଚୟ କଲ ?
ସମାଧାନ :
(i) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ୫ ନମ୍ବର ଜୋତାର ବିକ୍ରିସଂଖ୍ୟା (ବାରମ୍ବାରତା) ସର୍ବାଧ‌ିକ ‘85” ଯୋଡ଼ା । ତେଣୁ ଦୋକାନୀ ୫ ନମ୍ବର ଜୋତା ମହଜୁଦ୍ ରଖ୍ ପ୍ରତି ଅଧ‌ିକ ଧ୍ୟାନ ଦେବେ ।
(ii) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେଉଁ ପ୍ରକାର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା ତୁମେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲ ?

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 10 Sequences and Series will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 10 Sequences and Series

Sequence:
A sequence is a function whose domain is N (The set of natural numbers).
Note: We can use the set of whole numbers as a domain.

Real Sequence:
If the range of a sequence is a subset of ‘R’, then it is a real sequence.
⇒ If: N → R is a sequence then f(n) for n = 1, 2, 3, ….. are the terms of the sequence.

Finite and infinite sequence:
A sequence with a finite number of terms is a finite sequence otherwise it is infinite.
Note: We denote a sequence by (t_n) or {t_n} where f(n) = t_n

Series:
An expression of the type t₁ + t₂ + t₃ + ….. (or ∑t_n) where t_n is the nth term of a sequence is a series.

Partial sums:
If $\sum_{n=1}^{\infty} t_n$ is a series then a sum $\mathrm{S}_n=\sum_{k=1}^n t_k$ is called the nth partial sum of the series for n = 1, 2, 3 …..
∴ s₁ = t₁, s₂ = t₁ + t₂, s₃ = t₁ + t₂ + t₃ and so on.

Progression:
Progression is a sequence whose terms follow as pattern.
Arithmetic progression (A.P):
A sequence  (t_n) is an A.P. If t_n+1 – t_n = d (constant) for n = 1, 2, 3, …..

(a) General form: a, a + d, a + 2d, a + 3d …..
(b) n^th term: t_n = a + (n – 1)d, where t₁ = a, and the common difference = d
(c) Sum of first n terms (Sn):
S_n = $\frac{n}{2}$[2a + (n – 1)d]
= $\frac{n}{2}$[a + l]
where a = first term
d = common difference
l = last term (or nth term)

Note:

1. If a, b, c are in A.P. then 2b = a + c.
2. If 3 numbers are in A.P. then we take them as a – d, a, a + d.
3. If 4 numbers are in A.P. then we take rhem as a – 3d, a – d, a + d, a + 3d.

(d) Insertion of arithmetic means between two given number:
Let m₁, m₂, m₃ …. m_n are ‘n’ arithmetic means between ‘a’ and ‘b’ then m_k = a + $\frac{k(b-a)}{n+1}$ for k = 1, 2, ….. n.

Geometric progression (G.P):
If $\frac{t_{n+1}}{t_n}$ = r (constant), for n = 1, 2, 3, ….. then the sequence (t_n) is a geometrical progression.

(a) General form: a, ar, ar², ar³ …..
(b) nth term of GP: nth term of G.P. = t_n = ar^n-1.
(c) sum of first n terms of a G.P.: S_n = $\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}(\text { for } r \neq 1)$
(d) sum of an infinite G.P.: If |r| < 1 then the sum of the infinite G.P. a, ar, ar² ….. is S_∞ = $\frac{a}{1-r}$

Note:

1. If a, b, c are in G.P. then b² = ac
2. If 3 numbers are in G.P. we take them as $\frac{a}{r}$, a, ar.
3. If 4 numbers are in G.P. then we take them as $\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, a r, a r^3$

(e) Insertion of  geometric means between  two numbers:
If g₁, g₂ ……g_n are n geometric means between a and b then g_k = a $\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n+1}}$, k = 1, 2, 3, …. n

Harmonic Progression (H.P):
A sequence a₁, a₂, a₃ ….. of non zero numbers is called a Harmonic progression if the sequence $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}$ ….. is an A.P.

(a) Harmonic mean:
Harmonic mean(H) between two numbers a and b is $\frac{1}{\mathrm{H}}=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}{2}$
= $\frac{a+b}{2 a b}$
⇒ H = $\frac{2 a b}{a+b}$

(b) Insertion of n harmonic means between two numbers:
Let H₁, H₂ ….. H_n are n harmonic means between a and b then $\frac{1}{\mathrm{H}_K}=\frac{1}{a}$ + k_D, where D = $\frac{a-b}{(n+1) a b}$.

Relation among A.M., G.M. and H.M.
AM ≥ GM ≥ HM

Arithmetic co-geometric sequence(AGP):
If (a_n) is an A.P. and (b_n) is an G.P. then the series (a_nb_n) is called an arithmetic co-geometric sequence.

(a) General form: a, (a + d) r, (a + 2d) r², (a + 3d)r³,…..
(b) nth term of A.G.P.: t_n = {a + (n – 1)d} r^n-1.
(c) sum of first terms of A.G.P.:
The sum of first n terms of A.G.P. a, (a + d) r, (a + 2d) r², …..  is
S_n = $\frac{a}{1-r}+d r\left(\frac{1-r^{n-1}}{(1-r)^2}\right)-\frac{[a+(n-1) d] r^n}{1-r}$ for r ≠ 1
(d) sum of infinite A.G.P.: If |r| < 1 then we have $S_{\infty}=\frac{a}{1-r}+\frac{d r}{(1-r)^2}$

Sum of special sequences.:

Binomial Series:
(a) Binomial theorem for any real index:

• (1 + x) ⁿ = 1 + nx + $\frac{n(n-1)}{2} x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} x^3+\ldots$ for |x| < 1
• (1 – x)^-1 = 1 + x + x² …..
• (1 + x)^-1 = 1 – x + x² – x³ …..
• (1 + x)^-2 = 1 – 2x + 3x² – 4x³ …..
• (1 – x)^-2 = 1 + 2x + 3x² + …..

Exponential series:

Logarithmic Series:

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(b)

(କ – ବିଭାଗ )

(a) ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ T ଓ ଯେଉଁଟି ଭୁଲ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(i) ଯେକୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା, ସେହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ସହ ସମାନ ।
(ii) ବଡ଼ରୁ ସାନ କ୍ରମାନୁସାରେ ଲେଖାଥ‌ିବା 13ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ଏହାର ଆରମ୍ଭରୁ ସପ୍ତମ ସ୍ଥାନରେ ଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସହ ସମାନ ।
(iii) କୌଣସି ଏକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସର୍ବଦା ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ।
(iv) 30 ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଥ‌ିବା ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା 15 ।
(v) 5,8, 3, 7, 11, 27, 16 ସହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା 8 ।
ଉ –
(i) F, (ii) T, (iii) F, (iv) F, (v) T

(b) ନିମ୍ନଲିଖ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ପ୍ରଦାନ କର ।
(a) ପ୍ରଥମ ନଅଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା କେତେ ?
(b) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା କେତେ ?
(c) ସମସ୍ତ ‘x’ର ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର କର ଯେତେବେଳେ 1 ≤ x < 7 ।
(d) 7, 3, 10, 5, x ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ‘x’ ହେଲେ xର ମାନ ସ୍ଥିର କର (x ∈ N) ।
(e) ପ୍ରଥମ 6 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା ପ୍ରଥମ 7 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ଯମାଠାରୁ କେତେ କମ୍ ?
ଉ –
(a) ପ୍ରଥମ ନଅଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ।

5ମ ସ୍ଥାନର ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = 5
∴ ମଧ୍ୟମା = 5

(b) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
ଏଠାରେ ପଦସଂଖ୍ୟା = 10
ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥାନ $\frac{10}{2}$ = 5ମ ସ୍ଥାନ ଓ 5 + 1 = 6ଷ୍ଠ ସ୍ଥାନ

(c) ତଥ୍ୟାବଳୀଟି 1 ≤ x < 7 ⇒ 1, 2, 3, 4, 5, 6 1 ∴ ମଧ୍ୟମା = $\frac{3+4}{2}$ = 3.5

(d) 7, 3, 10, 5, x ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା x (x ∈ N) ।
ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମରେ ସଜାଇଲେ 3, 5, x, 7, 10 ।
∴ x, 5 ଓ 7ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା = 6
ମଧ୍ୟମା (M_d) = 6

(e) ପ୍ରଥମ 6ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା = $\frac{3+4}{2}$ = 3.5
ପ୍ରଥମ 7ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା = 4 ∴ 4 – 3.5 = 0.5
∴ ପ୍ରଥମ 6 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା ପ୍ରଥମ 7 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ଯମାଠାରୁ 0.5 କମ୍ ।

(ଖ – ବିଭାଗ )

Question 2.
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 7, 8, 4, 3, 10
(ii) 11, 27, 36, 58, 65, 72, 80, 95
(iii) 7, 12, 15, 6, 20, 8, 4, 10
(iv) 18, 32, 37, 25, 31, 19, 25, 29, 31
ସମାଧାନ :
(i) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ କଲେ ହେବ – 3, 4, 7, 8, 10 ।
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା = 5
ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା (M_d) = $\frac{5+1}{2}$ ତମ ସ୍ଥାନ = 3ୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଅର୍ଥାତ୍ ମଧ୍ୟମା (M_d) = 7

(ii) 11,27, 36, 58, 65, 72, 80, 95 (ଏଠାରେ ଆଠଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ)
ଫଳରେ ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଦ୍ବୟ $\frac{8}{2}$ = 4ର୍ଥ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ, $\frac{8}{2}$ + 1 = 4 + 1 = 5ମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ

= $\frac{58+65}{2}=\frac{123}{2}$ = 61.5

(iii) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ କଲେ – 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 20 ।
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 8
ଫଳରେ ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଦ୍ବୟ $\frac{8}{2}$ = 4ର୍ଥ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ, 4 + 1 = 5ମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ

(iv) ନଅଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ କଲେ – 18, 19, 25, 25, 29, 31, 31, 32, 37
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 9
ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = $\frac{9+1}{2}$ = 5ମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ∴ ମଧ୍ୟମା (M_d) = 29 ।

Question 3.
(i) ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର କର ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	11	12	13	14	15	16
ବାରମ୍ବାରତା (f)	2	4	6	10	8	7

ସମାଧାନ :

ଏଠାରେ ମୋଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ n ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇଥିବାରୁ ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ସ୍ଥାନ (m)
$\frac{n+1}{2}=\frac{37+1}{2}=\frac{38}{2}$ = 19 ତମ ସ୍ଥାନ
19ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 22

(ii)

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	1	2	3	4	5	6	7	8
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	8	15	24	14	9	5	4

ସମାଧାନ :

n = 84
84
∴ ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ = $\frac{84}{2}$ = 42 ତମ ସ୍ଥାନ । 42 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା 52 ।
∴ 52 ତମ ସ୍ଥାନର ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 4 ।
∴ ମଧ୍ୟମା (M_n) = 4

(iii) ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ 80 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ଗଣିତ ବିଷୟରେ ପାଇଥ‌ିବା ନମ୍ବର ଦିଆଯାଇଛି । ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର କର ।

ଗଣିତରେ ରଖୁଥ‌ିବା ନମ୍ବର (x)	10ରୁ କମ୍	20ରୁ କମ୍	30ରୁ କମ୍	40ରୁ କମ୍	50ରୁ କମ୍	60ରୁ କମ୍
ଛାତ୍ରସଂଖ୍ୟା (c.f.)	3	12	27	57	75	80

ସମାଧାନ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c.f.)
0-10	3	3
10-20	9	12
20-30	15	27
30-40	30	57
40-50	18	75
50-60	05	80
	n=80

ଏଠାରେ ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = $\frac{n}{2}=\frac{80}{2}$ = 40
40 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 57
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ ହେଲା : (30 – 40)
l = 30, f = 30, c = 27, i = 40 – 30 = 10
ମଧ୍ୟମା (M_d) = l + $\frac{m-c}{f}$ × i = 30 + $\frac{40-27}{30}$ × 10 = 30 + $\frac{13}{3}$ = 30 + 4.3 = 34.3

Question 4.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	55	65	75	85	95	105	115	125	135
ବାରମ୍ବାରତା	4	21	35	42	70	28	10	25	15

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f.
50-60	55	4	4
60-70	65	21	25
70-80	75	35	60
80-90	85	42	102
90-100	95	70	172
100-110	105	28	200
110-120	115	10	210
120-130	125	25	235
130-140	135	15	250
		n = Σf = 250

ଏଠାରେ ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = $\frac{n}{2}=\frac{250}{2}$ = 125,
125 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 172
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 90 – 100
l = 90, m = 125, f = 70, c = 102, i = 100 – 90 = 10
ମଧ୍ୟମା (M_d) = l + $\frac{m-c}{f}$ × i = 90 + $\frac{125-102}{30}$ × 10 = 90 + $\frac{23}{7}$ = 90 + 3.3 = 93.3

Question 5.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ ସ୍ଥିର କର ।

ଉଚ୍ଚତା ସେ.ମି.	0ରୁ ଅଧ୍ଵ	10ରୁ ଅଧ୍ଵ	20ରୁ ଅଧ୍ଵ	30ରୁ ଅଧ୍ଵ	40ରୁ ଅଧ୍ବକ
ଗସ୍ଥ	55	50	40	20	5

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f.
50-40	5	5
40-30	15	20
30-20	20	40
20-10	10	50
10-0	5	55
	N=Σf=55

ଏଠାରେ m = $\frac{55}{2}$ = 27.5, 28 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 40
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 20 -30 ।
∴ l = 30, f = 20, c = 20, i = 20 – 30 = -10
M_d = l + $\frac{m-c}{f}$ × i = 30 + $\frac{27.5-20}{20}$ × (-10) = 30 + $\frac{7.5}{2}$ = 30 – 3.75 = 26.25
∴ ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 20 – 30, ମଧ୍ୟମା = 26.25

(ଗ – ବିଭାଗ )

Question 6.
ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
ବାରମ୍ବାରତା	4	9	15	14	8

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f.
0-10	4	4
10-20	9	13
20-30	15	28
30-40	14	42
40-50	8	50
	N=Σf=50

ଏଠାରେ n = 50, m = $\frac{50}{2}$ = 25, 25 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 28
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 20 – 30 । ସଂଭାଗ (i) = 30 – 20 = 10
∴ l = 20, f = 15, c = 13,
M_d = l + $\frac{m-c}{f}$ × i = 20 + $\frac{25-13}{15}$ × 10 = 20 + $\frac{120}{15}$ = 20 + 8 = 28
∴ ମଧ୍ୟମା = 28

Question 7.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ତୁମେ ଜାଣିଥ‌ିବା ଉଭୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଉତ୍ତର ଦ୍ବୟ ମଧ୍ୟରେ କ’ଣ ସମ୍ପର୍କ ରହିଛି ଦେଖ ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	2	5	6	7	8	9	10
ବାରମ୍ବାରତା (f)	8	12	21	31	18	13	5

ସମାଧାନ :
ପ୍ରଥମ ପ୍ରଣାଳୀ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	2	5	6	7	8	9	10
ବାରମ୍ବାରତା (f)	8	12	21	31	18	13	5
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	8	20	41	72	90	103	108

ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ସ୍ଥାନ (m) = $\frac{n+1}{2}=\frac{108+1}{2}=54.8$
54.5 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ହେଲା 72 । ∴ ମଧ୍ୟମା = 7 (ପ୍ରାୟ)
ଦ୍ଵିତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	2	5	6	7	8	9	10
ବାରମ୍ବାରତା (f)	8	12	21	31	18	13	5
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	8	20	41	72	90	103	108

ମାଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = $\frac{108}{2}$ = 54
ଅଙ୍କିତ ଲେଖ (ogive) ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କରାଯାଇଛି ।
ଯାହାର y – ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 54 (ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ) । ପୁନଶ୍ଚ P ବିନ୍ଦୁରୁ X – ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇ P ବିନ୍ଦୁର x – ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କରାଯାଇଛି ।

ଏଠାରେ x – ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 65
ଦଉ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା = 6:5 (ପ୍ରାୟ)
ଉତ୍ତର ଦ୍ବୟର ପାର୍ଥକ୍ୟ = 7 – 6.5 = 0.5

Question 8.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ (x)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	12	22	18	10	6

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	12	22	18	10	6
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା(c.f.)	5	17	39	57	67	73

∴ ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥାନ = m = $\frac{73+1}{2}$ = 37 । m ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 39
∴ ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ (20 – 30). ଏଠାରେ, l₁= 20, l₂ = 30
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = f = 22
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ଠିକ୍ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = c = 17
ମଧ୍ୟମା = l₁ + $\frac{m-c}{f}$ (l₁ – l₂)
= 20 + $\frac{37-17}{22}$ (30 – 20) = 20 + $\frac{20×10}{22}$ = 20 + 9.1 = 29.1 (ପ୍ରାୟ)

Question 9.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ଓ ଏହା ସାହାଯ୍ୟରେ
(i) ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଏବଂ
(ii) 65% ରୁ ଅଧ୍ଵ ନମ୍ବର ରଖୁଥ‌ିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ନମ୍ବର :	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା	5	10	20	25	15	12	9	8

ସମାଧାନ : (i)

ନମ୍ବର :	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	10	20	25	15	12	9	8
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c.f.)	5	15	35	60	75	87	96	104

ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ = $\frac{1}{2} {\frac{104}{2}+(\frac{104}{2})}$ = $\frac{1}{2}$ (52+53) = $\frac{1}{2}$ × 105 = 52.5
ମଧ୍ୟମା ନିଶ୍ଚୟ : ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f, ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଅକ୍ଷରେ 52.5 ଏକକ ଚିହ୍ନ ପାଖରେ ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଗୋଟିଏ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ।
ଏହାର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଲେଖକୁ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ତାହାର ନାମ ‘P’ ନିଅ ।
‘P’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର, ତାହାର ନାମ M ଦିଅ ।
∴ M ଦ୍ଵାରା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ M = 37 (ପ୍ରାୟ)

(ii) 100 ର 65% = 65
x ଅକ୍ଷରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ A ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 65% ।
A ବିନ୍ଦୁରୁ ଉଲମ୍ବ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ଲେଖଚିତ୍ରକୁ ‘B’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
B ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ଆନୂଭୂମିକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର; ଯାହା y-ଅକ୍ଷକୁ ୯ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
‘C’ ବିନ୍ଦୁରୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ସଂଖ୍ୟା = 92
∴ 65%ରୁ ଅଧ୍ଵ ନମ୍ବର ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା 104 – 92 = 12

Question 10.
ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ନେଇ ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଲେଖ ଅଙ୍କନ କରି ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ	0-8	8-16	16-24	24-32	32-40	40-48	48-56
ବାରମ୍ବାରତା	4	8	14	23	15	11	5

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ	0-8	8-16	16-24	24-32	32-40	40-48	48-56
ବାରମ୍ବାରତା	4	8	14	23	15	11	5
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	4	12	28	49	64	75	80

ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = $\frac{80}{2}$ = 40
ଅଙ୍କିତ ଲେଖ (ogive) ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯାହାର y- ସ୍ଥାନଙ୍କ = 40
P ବିନ୍ଦୁରୁ x- ଅକ୍ଷରେ ଲମ୍ବ PM ଅଙ୍କନ କରି P ବିନ୍ଦୁର x- ସ୍ଥାନଙ୍କ ସ୍ଥିର କରାଯାଇଛି ।
P ବିନ୍ଦୁର x ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 29 ।
ମଧ୍ୟମା = 29

Question 11.
ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଥ‌ିବା କେତେକ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ଦିଆଯାଇନାହିଁ । ଯଦି ବାରମ୍ବାରତାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 74 । ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା 36 ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ଆମକୁ ଜଣା ନଥ‌ିବା ଦୁଇ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ସ୍ଥିର କର ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ :	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା	2	8	?	20	12	?	4	3

ସମାଧାନ :

ମନେକର (20-30) ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = x
ସାରଣୀ 40 – 50 ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 42 + x
ଦତ୍ତ ଅଛି 50 – 60 ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 67
50-60 ସଂଭାଗ ବାରମ୍ବାରତା = 67 – (42 + x) = 25 – x
ଏଠାରେ ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = $\frac{74}{2}$ = 37 ତମ ସ୍ଥାନ
ମଧ୍ୟମା = 36 (ଦତ୍ତ), ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 30 – 40 l₁= 30, l₂ = 40
i = l₁ – l₂ = 40 – 30 = 10 ଓ c = 10 + x
ମଧ୍ୟମା = l + $\frac{m-c}{f}$ × i
⇒ 36 = 30 + $\frac{37-(10+x)}{20}$ × 10
⇒ 36 -30 = $\frac{37-10-x}{2}$
⇒ 6 = $\frac{27-x}{2}$ ⇒ 12 = 27 – x
⇒ x = 27 – 12 = 15
∴ (20 – 30) ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = 15
ଏବଂ (50 – 60) ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = 25

Question 12.
200 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ଗଣିତ ପରୀକ୍ଷାରେ ରଖିଥ‌ିବା ନମ୍ବର ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଶତକଡ଼ାରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

ନମ୍ବର ଶତକଡ଼ାରେ :	10-19	20-29	30-39	40-49	50-59	60-69	70-79	80-89
ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା :	6	12	20	46	57	37	15	7

(i) ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲେଖ ଅଙ୍କନ କରି ମଧ୍ୟମ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) ଗଣିତରେ 45% ନମ୍ବର ହାସଲ କରିଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :

ନମ୍ବର ଶତକଡ଼ାରେ	9.5-19.5	19.5-29.5	29.5-39.5	39.5-49.5	49.5-59.5	59.5-69.5	69.5-79.5	79.5-89.5
ବାରମ୍ବାରତା (f)	6	12	20	46	57	37	15	7
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c.f.)	6	18	38	84	141	178	193	200

[ବି.ଦ୍ର. : ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣ ବ୍ୟବସ୍ଥାର ଥିବା ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣ ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଛି ।]
ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = $\frac{1}{2}$($\frac{200}{2}+\frac{200}{2}+1$) = $\frac{1}{2}$(100+101) = 100.5
(i) ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ : ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲେଖ ଉପରେ 100.5 ଚିହ୍ନ ପାଖରେ ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର । ଏହା ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲେଖକୁ ‘P’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ । ‘P’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ତାହାର ନାମ M ଦିଅ ।
M ଦ୍ବାରା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ M_d = 48

(ii) x ଅକ୍ଷରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ‘A’ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହାର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 45% ।
‘A’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂଲମ୍ବ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ଲେଖଚିତ୍ରକୁ ‘B’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
‘B’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ଆନୁଭୂମିକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା y-ଅକ୍ଷକୁ ୯ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
C ବିନ୍ଦୁରୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ସଂଖ୍ୟା = 80
45 % ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରସଂଖ୍ୟା = 200 – 80 = 120

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 15 Statistics will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 15 Statistics

Measures Of Central Tendency:
A measure of central tendency or average is a value, that is the representative of whole data and signifies its characteristics.
Different measures of central tendency are: (a) Mean (b) Median (c) Mode.

(a) Mean (Arithmetic Mean):
Mean of ungrouped data: The mean of ‘n‘ observations x₁, x₂ …..x_n = $\bar{x} \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{N}$

Mean of grouped data:
(i) Direct Method
If x_i are the mid values of the intervals with frequency f_i then the mean $\bar{x}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^n f_i x_i$

(ii) Shortcut Methods:
(1) Assumed mean method
Mean = $\overline{\mathrm{x}}=\mathrm{A}+\frac{1}{\mathrm{~N}} \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}$
where A = the assumed mean ⇒ d_i = x_i – A

(iii) Step Deviation Method:
Mean = $\overline{\mathrm{x}}=\mathrm{A}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{N}} \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}$
where A = The assumed mean, C = Class width
u_i = $\frac{d_i}{C}=\frac{x_i-A}{C}$

(b) Median
(i) Median of ungrouped data:
Let n is the number of observation.
Arrange the observations in ascending or descending order.
⇒ If n is odd, Median = $\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)^{\mathrm{th}}$ observation.
⇒ If n is even, Median = $\frac{\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)^{\mathrm{th}} \text { observation }+\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)^{\mathrm{th}} \text { observation }}{2}$

(ii) Median of grouped data

• Get $\frac{\mathrm{N}}{2}$ and cummulative frequencies of all classes.
• Get the Median class.
  Median class = The class whose cumulative frequency is just greater than (or near to) $\frac{\mathrm{N}}{2}$.
  Median = l + $\frac{\mathrm{m}-\mathrm{c}}{\mathrm{fm}}$ × h,
  where l = lower limit of median class .
  h = Class width of median class M = $\frac{\mathrm{N}}{2}$.
  c = Cummulative frequency of the class preceeding the median class.
  f_m = Frequency of the median class.

(c) Mode
Mode is the most frequent value.
⇒ We can find mode using the empirical formula:
Mode = 3 Median – 2 Mean.
(i) Mode for Grouped data
⇒ Get the Modal class: It is the class with maximum frequency.
Mode = $l+\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{m}}-\mathrm{f}_1}{2 \mathrm{f}_{\mathrm{m}}-\mathrm{f}_1-\mathrm{f}_2} \times \mathrm{c}$
where l = lower limit of modal class.
f_m = Frequency of modal class.
f₁ = Frequency of the class just preceeding modal class.
f₂ = Frequency of the class just suceeding modal class.

Measure Of Dispersion:
The variability or scatter or spreading of data is known as dispersion.

Some of the measures of dispersion are:

(a) Range
(b) Mean deviation
(c) Variance
(d) Standard deviation

(a) Mean deviation: Mean deviation is the mean of absolute deviations of all observations from a central value (Mean or Median).

For Group – B
A = 35, C = 10


As C. V of Group – A is more, the data for group – A is more dispersed

For Group – A

Analysis Of Frequency Distribution:
Coefficient of variation (C. V) = $\frac{\sigma}{x}$ × 100

Note:

• The distribution with greater C. V is more variable or dispersed and lesser C. V is less variable or more consistent.
• If two distributions have same mean then they can be compared on the basis of their standard deviation.

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 14 Limit and Differentiation will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 14 Limit and Differentiation

Limit Of A Function:

A real number ‘l’ is called the limit of the function f(x) as x tends to ‘a’ if for every ∈ > 0, there exist δ > 0 such that |f(x) – l| < ∈ whenever |x – a| < δ
We write $\lim _{x \rightarrow a}$ f(x) = l
Left and right hand limit:

Left hand limit of f(x) as x → a is:
$\lim _{x \rightarrow a-}$ f(x) = $\lim _{x \rightarrow 0}$ f(a – h)

Right hand limit of f(x) as x → a is:
$\lim _{x \rightarrow a+}$ f(x) = $\lim _{h \rightarrow 0}$ f(a + h)

Existance of limit:
$\lim _{x \rightarrow a}$ f(x) exists if it is unique, irrespective of any type of approach i.e if LHL = RHL. i.e if $\lim _{x \rightarrow a-}$ f(x) = $\lim _{x \rightarrow a+}$ f(x)

Indeterminate forms:
The forms : $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$, ∞ – ∞, 0 × ∞, 0°, ∞° and 1^∞ are called indeterminate forms in mathematics.

Properties of limit:

Some standard limits:

Limit At Infinite And Infinite Limits:

(a) We write $\lim _{x \rightarrow a}$ f(x) = ∞ if for a given m > 0, there exists δ > 0 such that |x – a| < δ ⇒ f(x) > m for large m.

(b) We write $\lim _{x \rightarrow a}$ f(x) = -∞ if for a given m < 0, there exists δ > 0 such that |x – a| < δ ⇒ f(x) < m for large |m|.

(c) $\lim _{x \rightarrow ∞}$ f(x) = l if for given ∈ > 0 there exists k > 0 such that x > k ⇒ |f(x) – l| < ∈ for large x.

(d) $\lim _{x \rightarrow -∞}$ f(x) = l if for given ∈ > 0, there exists k < 0 such that x < k ⇒ |f(x) – l| < ∈ for large |k|.

(e) We write $\lim _{x \rightarrow ∞}$ f(x) = ∞ if for m > 0 there exists k > 0 such that x > x ⇒ f(x) > m for large m.

(f) $\lim _{x \rightarrow ∞}$ xⁿ = $\left\{\begin{array}{lll} \infty & \text { if } & n>0 \\ 1 & \text { if } & n=0 \\ 0 & \text { if } & n<0 \end{array}\right.$

(g) $\lim _{n \rightarrow ∞}$ xⁿ = $\left\{\begin{array}{ccc} 0 & \text { if } & |x|<1 \\ 1 & \text { if } & x=1 \\ \infty & \text { for } & x>1 \end{array}\right.$ does not exist for x ≤ -1.

Some useful expansions:

Techniques to find limit:
If $\lim _{x \rightarrow a}$ f(x), does not take any indeterminate form then get the limit just by putting x = a(provided that the limit is finite).
If $\lim _{x \rightarrow a}$ f(x) takes any indeterminate form then either use formula or simplify to remove the indeterminate form before finding limit.
The indeterminate form can be removed by using.

• Factorisation
• Rationalisation
• Expand  formula or any other techniques.

Differentiation:

(a) Let y = f(x) is a function.
The derivative (differential coefficient) of y or f(x) with respect to x is $\frac{d y}{d x}$ = f'(x) = $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

(b) The differentiation of y = f(x) at x = a is $\left.\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right]_{\mathrm{x}=\mathrm{a}}$ = f'(a) = $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

(c) Differentiability of y = f(x) at x = a:

(d) Geometrical meaning of differentiation:
Geometrically f'(x) or $\frac{d y}{d x}$ represents the slope of tangent to y = f(x) at any point P(x, y)
⇒ Slope of tangent to y = f(x) at A(x₁, y₁) = $\left.\frac{d y}{d x}\right]_{\left(x_1, y_1\right)}$

(e) Some rules of differentiation:

(f) Differentiation of some standard functions:

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 7 Linear Inequalities will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 7 Linear Inequalities

Inequality:
A statement with symbols like >, ≥, <, ≤ is an inequality.

Different types of inequality:

(a) Numerical inequality: It is an inequality involving numbers not variables.
(b) Literal inequality: It is the inequality involving literal numbers(variable).
(c) Strict inequality: An inequality with only > or < symbols is a strict inequality.
(d) Slack inequality: An inequality with only ≥ or ≤ symbols is a slack inequality.

Linear inequality:
An inequality involving variables in the first degree is called linear inequalities.
(a) General form of inequalities:
(i) In one variable: ax + b > or ≥ or < or ≤ 0
(ii) In two variables: ax + by + c > or ≥ or < or ≤ 0.

Intervals:

• Closed Interval: [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}
• Open Interval: (a, b) = {x ∈ R: a < x < b}
• Semi-open or semi-closed interval:
  ⇒ [a, b) = {x ∈ R: a ≤ x < b}
  ⇒ (a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b}

Basic properties of inequalities:
(1) a > b, b > c ⇒ a > c
(2) a > b ⇒ a ± c > b ± c
(3) a > b

• m > 0 ⇒ am > bm, $\frac{a}{m}>\frac{b}{m}$
• m < 0 ⇒ am < bm, $\frac{a}{m}<\frac{b}{m}$

(4) If a > b > 0, then
a² > b², |a| > |b| and $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$
If a < b < 0, then
|a| > |b| and $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

Graphical solution of linear inequalities in two variables:
Working rule:

Let the inequality is ax + by + c < or ≤ or > or ≥ 0

Step – 1: Consider the equation ax + by + c = 0 in place of the inequality and draw its graph (Draw a dotted line for > or < and a bold line for ≥ or ≤).
Step – 2: Take any point that does not lie on the graph, and put the coordinate in the inequality.
If you get true then the inequality is satisfied. Shade the half-plane containing that point otherwise the inequality is not satisfied. In this case shade the half plane region that does not contain the point.
Step – 3: The shaded region is the required solution.

Solution of a system of linear inequalities in two variables:

Step – 1: Draw the graph of all lines.
Step – 2: Shade the appropriate region for each inequality.
Step – 3: The common region is the required solution.

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(a)

(କ – ବିଭାଗ )

Question 1.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ T ଓ ଯେଉଁଟି ଭୁଲ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(i) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ ସେ ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ସଙ୍ଗେ ସମାନ ।
(ii) ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଥିବା ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ପଦର ମାଧ୍ଯମାନ ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ଯମପଦ ସଙ୍ଗେ ସମାନ ।
(iv) ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉତ୍ତର ମିଳିବ ।
(v) କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ 20 ହେଲେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 15ର ବିଚ୍ୟୁତି 5 ।
(vi) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ $\frac{n+2}{2}$।
(vii) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 2n + 2 ।
(viii) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 10 ।
(ix) 15 ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 17 । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣି ସେମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ସ୍ଥିର କଲେ ମାଧ୍ୟମାନ 8.5 ହେବ ।
(x) ପ୍ରଥମ 20ଟି ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ, ପ୍ରଥମ 20ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧମାନର ଦୁଇ ଗୁଣ ।
ଉ :
(i) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ ସେ ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ସଙ୍ଗେ ସମାନ । (T)
(ii) ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଥିବା ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ପଦର ମାଧ୍ଯମାନ ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ଯମପଦ ସଙ୍ଗେ ସମାନ । (T)
(iv) ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉତ୍ତର ମିଳିବ । (T)
(v) କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ 20 ହେଲେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 15ର ବିଚ୍ୟୁତି 5 । (F)
(vi) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ $\frac{n+1}{2}$। (T)
(vii) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 2n + 2 । (F)
(viii) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 10 । (T)
(ix) 15 ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 17 । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣି ସେମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ସ୍ଥିର କଲେ ମାଧ୍ୟମାନ 8.5 ହେବ । (F)
(x) ପ୍ରଥମ 20ଟି ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ, ପ୍ରଥମ 20ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧମାନର ଦୁଇ ଗୁଣ । (F)

ବ୍ୟାଖ୍ୟା ସହ ଉତ୍ତର:
(i) (T) (କାରଣ 3 ଓ 5ର ମାଧ୍ୟମାନ $\frac{3+5}{2}=4$)
(ii) (T) (କାରଣ AM $\frac{a+b}{2}$)
(iii) (T) (କାରଣ ମାଧ୍ଯମାନର ପ୍ରତିଶବ୍ଦ ହାରାହାରି ଅଟେ ।)
(iv) (F) (ସର୍ବଦା ବିଚ୍ୟୁତିର ମାଧ୍ଯମାନ ସହିତ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ଯୋଗ କରାଯାଏ, ତେଣୁ ଉତ୍ତର ସର୍ବଦା ସମାନ ହେବ ।)
(v) (F) (କାରଣ ବିଚ୍ୟୁତି = ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ – ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ = 15 – 20 = – 5)
(vi) (T) (କାରଣ ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = $\frac{n(n+1)}{2}$
∴ ମାଧ୍ୟମାନ = $\frac{n(n+1)}{2n}=\frac{n+1}{2}$)
(vii) (F) (ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ n + 1 ହେବ ।)
(viii) (T) (କାରଣ ପ୍ରଥମ ଦଶଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = 10², ମାଧ୍ୟମାନ = $\frac{10²}{10}$ = 10)
(ix) (F) (କାରଣ ମାଧମାନ 2 ଗୁଣ ହେବ ।)
(x) (F) (କାରଣ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାରେ 2 ଗୁଣିଲେ ତା 20ଟି ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।)

Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ପ୍ରଦତ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛ ।
(i) 61, 62, 68, 56, 64, 72, 69, 51, 71, 67, 70, 55, 63 ଏହି ଲବ୍ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ ନିରୂପଣ ଲାଗି ନିମ୍ନସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଉପଯୁକ୍ତ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ?
(A) 55
(B) 60
(C) 70
(D) 72

(ii) ପ୍ରଥମ 20ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?
(A) 10
(B) 10½
(C) $\frac{21}{20}$
(D) 210

(iii) ପ୍ରଥମ ‘n’ ସଂଖ୍ୟକ ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Whole number)ର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ?
(A) $\frac{n-1)}{2}$
(B) $\frac{n}{2}$
(C) $\frac{n+1}{2}$
(D) n

(iv) ପ୍ରଥମ ‘n’ ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ?
(A) (n – 1)
(B) n
(C) n + 1
(D) n + 2

(v) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ?
(A) (n – 11)
(B) n
(C) n + 1
(D) n + 2

(vi) ‘m’ ମାଧମାନ ବିଶିଷ୍ଟ 10ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ 2 ବଢ଼ାଇଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 10ଟିର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) (n – 11)
(B) n
(C) n + 1
(D) n + 2

(vii) ‘M’ ମାଧ୍ୟମାନ ବିଶିଷ୍ଟ n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ 4 ଗୁଣ କରିଦେଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) $\frac{M)}{4}$
(B) M
(C) 4M
(D) $\frac{4}{M}$

(viii) ‘M’ ମାଧ୍ଯମାନ ବିଶିଷ୍ଟ n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକରୁ x ବିୟୋଗ କଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) M
(B) (M + x)
(C) Mx
(D) (M – x)

(ix) ‘M’ ମାଧ୍ଯମାନ ବିଶିଷ୍ଟ n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) M
(B) $\frac{M}{5}$
(C) 5M
(D) M – 5

(x) ଯଦି à ସଂଖ୍ୟକ ବାଳକମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ବୟସ 12 ବର୍ଷ ଓ b ସଂଖ୍ୟକ ବାଳିକାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ବୟସ 10 ବର୍ଷ ହୁଏ, ତେବେ ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ ବାଳକ ବାଳିକାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ବୟସ କେତେ ବର୍ଷ ହେବ ?
(A) $\frac{10a+12b}{a+b}$
(B) $\frac{12a+10b}{a+b}$
(C) $\frac{10a+12b}{10+12}$
(D) $\frac{12a+10b}{10+12}$

(xi) 998.9, 999.1, 1000-3, 1000-6, 1000.1 ର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ?
(A) 998
(B) 999
(C) 1000
(D) 1001

(xii) 6,8, 5, 7, x ଏବଂ 4 ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ 7 ହେଲେ xର ମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13

(xiii) E₁, E₂, E₃, E₄, E₅, E₆ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ M ହେଲେ ⁶Σ_i=1(x₁ – M)ର ମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) 0
(B) 6
(C) 36
(D) -6

(xiv) x, x + 2, x + 4, x + 6, x + 8ର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?
(A) x+2
(B) x + 4
(C) x+6
(D) x

(xv) 18ର ସମସ୍ତ୍ର ଗୁଣନୀୟକମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ
(A) 5
(B) 6
(C) 6.5
(D) 7

ଉତ୍ତର:
(i) 69
(ii) 10½
(iii) $\frac{n-1}{2}$
(iv) n + 1
(v) n
(vi) m + 2
(vii) 4M
(viii) (M – x)
(ix) $\frac{M}{5}$
(x) $\frac{12a+10b}{a+b}$
(xi) 1000
(xi) 1000
(xii) 12
(xiii) 0
(xiv) x + 4
(xv) 6.5

(ଖ – ବିଭାଗ )

Question 3.
ଦଶଥର ଖେଳି ଜଣେ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳାଳୀ ସଂଗ୍ରହ କରିଥିବା ରଗୁଡ଼ିକ ହେଲା – 47, 41, 50, 39, 45, 48,
42, 32, 60 ଏବଂ 20 । ତାଙ୍କଦ୍ୱାରା ସଂଗୃହୀତ ରନ୍‌ର ମାଧ୍ଯମାନ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀରେ (ଉପଯୁକ୍ତ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ 45 1 ( ∵ ସର୍ବନିମ୍ନ ଏବଂ ସର୍ବାଧ‌ିକ ରନ୍ ଯଥାକ୍ରମେ 20 ଏବଂ 60) ।
∴ ଲବ୍ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବିଚ୍ୟୁତିମାନ 2, − 4, 5, 6, 0, 3, – 3, −13, 15, – 25
ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = – 26

∴ ଦଶଥର ଖେଳି ସଂଗୃହୀତ ରନ୍‌ର ମାଧ୍ୟମାନ = 42.4

Question 4.
କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ଓଜନରେ 30 ଜଣ ପିଲାଙ୍କର ଓଜନ ହେଲା 21, 30, 40, 25, 26, 22, 26, 31, 22, 36, 30, 25, 25, 33, 30, 25, 27, 27, 25, 31, 33, 22, 21, 36, 40, 31, 33, 30, 37, 36 | ଏହି ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନରେ ସଜ୍ଜିତ କରି ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଓଜନ କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ମାପରେ ଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କୁ ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନ ସାରଣୀରେ ରଖିଲେ –

ଉକ୍ତ ସାରଣୀରୁ 2f = 30 ଏବଂ Efx = 876.. ମାଧ୍ୟମାନ = $\frac{Σf_x}{Σf}$

Question 5.
କିଛି ରାସାୟନିକ ପଦାର୍ଥର ଓଜନ 30 ଥର ନିଆଯାଇ ଫଳାଫଳକୁ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ସଜାଯାଇଛି । ମାଧ୍ଯମାନ ଓଜନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଓଜନ (ଗ୍ରାମ୍‌ରେ)	3.8	3.9	4.0	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6
ବାରମ୍ବାରତା	1	1	6	6	7	5	2	1	1

ସମାଧାନ :

ଓଜନ (ଗ୍ରାମ୍‌ରେ) (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ଓଜନ × ବାରମ୍ବାରତା (fx)
3.8	1	3.8
3.9	1	3.9
4.0	6	24.0
4.1	6	24.6
4.2	7	29.4
4.3	5	21.5
4.4	2	8.8
4.5	1	4.5
4.6	1	4.6
	Σf=30	Σfx=125.1

∴ ମାଧ୍ଯମାନ = $\frac{Σf_x}{Σf}=\frac{125.1}{30}=4.17$
∴ ମାଧ୍ୟମାନ ଓଜନ 4.17 ଗ୍ରାମ୍ ।

Question 6.
ଏକ ଶ୍ରେଣୀରେ 30 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ହାରାହାରି ବୟସ 12 ବର୍ଷ । ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ସହିତ ସେମାନଙ୍କର ହାରାହାରି ବୟସ 13 ବର୍ଷ ହେଲେ, ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଏକ ଶ୍ରେଣୀରେ 30 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ହାରାହାରି ବୟସ 12 ବର୍ଷ ।
30 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ମୋଟ ବୟସ = 30 × 12 = 360 ବର୍ଷ ।
ଛାତ୍ରମାନଙ୍କ ସହ ତାଙ୍କର ଶ୍ରେଣୀଶିକ୍ଷକ ମିଶିବାରୁ ହାରାହାରି ବୟସ 13 ବର୍ଷ ହେଲା ।
∴ 31 ଜଣ ଅର୍ଥାତ୍ 30 ଜଣ ଛାତ୍ର ଓ ଜଣେ ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ମୋଟ ବୟସ = 31 × 13 = 403 ବର୍ଷ ।
ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ବୟସ = 403 – 360 = 43 ବର୍ଷ ।
∴ ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ବୟସ 43 ବର୍ଷ ।

Question 7.
x₁, x₂, x₃ …… ପ୍ରଭୃତି n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ m । ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କରେ (a + b) ଯୋଗ କରାଯାଏ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧମାନ (m + a + b) ହେବ ।
ସମାଧାନ :
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ x₁, x₂, x₃ ……… x_n
ଉକ୍ତ n-ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ (m) = $\frac{x_1+x_2+x_3+…..x_n}{n}$

(ଗ – ବିଭାଗ )

Question 8.

ସମାଧାନ :

ଉଚ୍ଚତା (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ଫଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ × ବାରମ୍ବାରତା (fy)
70-65	4	67.5	270.0
65-60	7	62.5	437.5
60-55	8	57.5	460.0
55-50	10	52.5	525.0
50-45	5	47.5	237.5
45-40	6	42.5	255.0
40-35	3	37.5	112.5
35-30	7	32.5	227.5
30-25	2	27.5	55.0
	Σf = 52		Σfy = 2580.00

∴ ମାଧ୍ଯମାନ = $\frac{Σfy}{Σf}=\frac{2580}{52}=49.6$
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : (ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ)

ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ = 47.5, ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର (i) = 5
ମାଧ୍ୟମାନ = ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ + $\frac{Σfy’}{Σf}$ × i = 47.5 + $\frac{22×5}{52}$ (y’ = ବିଚ୍ୟୁତି) = 47.5 + $\frac{110}{52}$ = 47.5+2.1 = 49.6
ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ = $\frac{\text { ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା + ସଂଭାଗର ଉଚ୍ଚସୀମା }}{2}$
ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣରେ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର = ସଂଭାଗର ଉଚ୍ଚସୀମା – ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା

Question 9.
ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀର ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିରୂପଣ କର ।

ସଂଭାଗ	84-90	90-96	96-102	102-108	108-114	114-120
ବାରମ୍ବାରତା	8	10	16	23	12	11

ସମାଧାନ :

∴ ମାଧ୍ଯମାନ = A + $\frac{Σfy}{Σf}=100+\frac{244}{80}$ = 100 + 3.05 = 103.05

Question 10.
ନିମ୍ନ ଭାଗ-ବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ସୋପାନ-ବିଦ୍ୟୁତ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗ	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20	20-24
ବାରମ୍ବାରତା	5	7	10	15	9	4

ସମାଧାନ :

∴ ମାଧ୍ୟମାନ = ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ + $\frac{Σfy’}{Σf}$ × c = 12 + $\frac{6}{50}$ × 2 = 12 + 0.24 = 12.24
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : ମାଧମାନ (M) = A + $\frac{Σfy}{Σf}$ × i
ସୂତ୍ରର ପ୍ରୟୋଗ କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ । ଯେଉଁଠାରେ i = ସଂଭାଗବିସ୍ତାର ହେବ ।

Question 11.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ଉଭୟ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ ଓ ସୋପାନ-ବିଦ୍ୟୁତ ପ୍ରଣାଳୀ ଅବକମୂଳରେ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗ (C.I.)	0-50	50-100	100-150	150-200	200-250	250-300
ବାରମ୍ବାରତା (f)	4	10	12	10	8	8

ସମାଧାନ :

∴ ମାଧ୍ଯମାନ = A + $\frac{Σfy}{Σf}=150+\frac{300}{52}$ = 150 + 5.77 = 155.77

∴ ମାଧ୍ୟମାନ (M)= A + $\frac{Σfy’}{Σf}$ × c = 150 + $\frac{12}{52}$ × 25 = 150 + 5.77 = 155.77

Question 12.
ସୋପାନ ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ, ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗ	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା	10	6	8	12	5	9

ସମାଧାନ :

ଏଠାରେ A = 55, i = 60 – 50 = 10
∴ ମାଧ୍ୟମାନ (M)= A + $\frac{Σfy’}{Σf}$ × i = 55 + $\frac{-27}{50}$ × 10 = 55 + (-5.4) = 49.6

Question 13.
(i) ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ 7.5 ହେଲେ ‘f” ର ନିରୂପଣ କର ।

ସଂଭାଗ	5	6	7	8	9	10	11	12
ବାରମ୍ବାରତା	20	17	f	10	8	6	7	6

(ii) ମୂଲ୍ୟ ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ 6 ହେଲେ ‘P’ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

ସଂଭାଗ	3	6	7	4	P+3	8
ବାରମ୍ବାରତା	5	2	3	2	4	6

ସମାଧାନ :
(i) ବଡ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ = 7.5

ମାଧ୍ୟମାନ (M) = $\frac{Σfy}{Σf}$ ⇒ 7.5 = $\frac{563+7f}{74+f}$
⇒ 555 + 7.5f = 563 + 7f ⇒ 7.5f – 7f = 563 – 555
⇒ 0.5f = 8 ⇒ f = 8 ⇒ $\frac{1}{2}$f = 8 × 2 = 16

(ii) ବଡ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ = 6

ମାଧ୍ୟମାନ (M) = $\frac{Σfy}{Σf}$ ⇒ 6 = $\frac{116+4p}{22}$
⇒ 4p + 116 = 132 ⇒ 4p = 16
⇒ p = $\frac{16}{4}$ = 4

Question 14.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧମାନ 50 ଏବଂ ବାରମ୍ବାରତାଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି 120 ହେଲେ f₁ ଓ f₂ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
ବାରମ୍ବାରତା	17	f1	32	F2	19

ସମାଧାନ :
ବଡ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧମାନ = 50, ବାରମ୍ବାରତାଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 120

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 68 + f₁ + f₂ = 120
f₁ + f₂ = 52
Σfx = 3480 + 30f₁ + 70f₂ = 3480 + 30(f₁ + f₂) + 40f₂
=3480 + 30 × 52 ÷ 40f₂ = 3480+ 1560 + 40f₂ = 5040 + 40f₂
∴ ମାଧ୍ୟମାନ (m) = $\frac{Σfx}{Σf}=\frac{5040+4f_2}{120}$
⇒ 50= $\frac{5040+4f_2}{120}$ ⇒ 40f₂ = 6000 – 5040 ⇒ f₂ = $\frac{960}{40}$ = 24

ଆଗରୁ ପ୍ରମାଣିତ f₁ + f₂ =52 f₁ = 52 – 24 = 28
∴ f₁ = 28 ଏବଂ f₂ = 24

Question 15.
ସୋପାନ-ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମ୍ବନରେ ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗ	10-19	20-29	30-39	40-49	50-59	60-69	70-79
ବାରମ୍ବାରତା	5	65	222	112	53	40	3

ସମାଧାନ :

∴ ମାଧ୍ୟମାନ = A + $\frac{Σfy’}{Σf}$ × i = 44.5 + $\frac{-225}{500}$ × 10 = 44.5 + $\frac{-450}{100}$ = 44.5 – 4.5 = 40

Question 16.
x₁, x₂, x₃ ……. ପ୍ରଭୃତି n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ M । ଯଦି $\sum_{i=1}^n\left(x_i-5\right)=60$ ଏବଂ $\sum_{i=1}^n\left(x_i-8\right)$ = 24 ହୁଏ ତେବେ ‘n’ ଓ M ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
x₁, x₂, x₃ ………. ପ୍ରଭୃତି n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମାଧମାନ M ।
⇒ $\frac{x_1+x_2+x_3+…..x_n}{n}=M$
⇒ x₁ + x₂ + x₃ ……. + x_n = nM
$\sum_{i=1}^n\left(x_i-5\right)=60$
⇒ (x₁ – 5) + (x₂ – 5) + (x₃ – 5) ……. + (x_n – 5) = 60
⇒ (x₁ + x₂ + x₃ ……. + x_n) – 5n = 60
⇒ nM – 5n = 60 ………(i)
⇒ $\sum_{i=1}^n\left(x_i-8\right)$ = 24 ⇒ nM – 8n = 24 ………(ii)
ସମୀକରଣ (i)ରୁ (ii)କୁ ବିୟୋଗ କଲେ

‘n’ ର ମାନ ସମୀକରଣ (i)ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ nM – 5n = 60
⇒ 12M – 60 = 60 ⇒ 12M = 120
⇒ M = $\frac{120}{12}$ = 10
∴ n = 12 ଓ M = 10

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 2 ବୃତ୍ତ Ex 2(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 2 ବୃତ୍ତ Ex 2(b)

Question 1.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକରେ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ T ଓ ଭୁଲ ଉକ୍ତି ପାଇଁ F ଲେଖ ।
(i) ବୃତ୍ତର ଏକ ଉପସେଟ୍‌କୁ ଚାପ କହନ୍ତି ।
(ii) ଚାପର ଏକ ଅନ୍ତ୍ରମ୍ମ ଦିନ୍ଦୁ ସମ୍ରକ୍ର ଦୃଭର ଅନ୍ତ୍ରମ ବନ୍ଧୁ ନ୍ମ6ଦୃ |
(iii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ P ଓ Q ଦୁଇଟି ଚାପର ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରର ପରିପୂରକ ଚାପ
(iv) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚାପର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର ସହିତ ଯୋଗ କଲେ ଯେଉଁ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ ତାହା ଉକ୍ତ ଚାପର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ଅଟେ ।
(v) ଦୁଇଟି ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପର ସମଷ୍ଟି 360°ରୁ ଅଧ‌ିକ ହୋଇ ପାରିବ ନାହିଁ ।
(vi) ବୃତ୍ତ ଏକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ନୁହେଁ ।
(vii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ଚାପର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଥିଲେ ଚାପ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ଚାପ ହେବେ ।
(viii) ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା ସହ ସମ୍ପୃକ୍ତ ଚାପଦ୍ଵୟ ସନ୍ନିହିତ ଚାପ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟର ସଂଯୋଗରେ ସର୍ବଦା ବୃହତ୍ ଚାପ ଗଠିତ ହେବ ।
(ix) ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା ପରସ୍ପରକୁ ଲମ୍ବ ଭାବରେ ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ P ରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ଠାରୁ ସେମାନଙ୍କ ପ୍ରତି $\overline{\mathrm{OQ}}$, $\overline{\mathrm{OR}}$ ଲମ୍ବ ଗଠନ କରାଯାଇଛି । ତେବେ ଠ, Q, P ଓ R ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ହେବେ ।
(x) $\overparen{B P C}$ ର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 30° । A ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ △ABC ରେ ∠Aର ପରିମାଣ ସର୍ବଦା 15° 6ଦ୍ଵଦା
(xi) ଗୋଟିଏ ଚାପ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁର ସମାହାର ଅଟେ ।
(xii) ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
Solution:
(i) T
(ii) T
(iii) T
(iv) F
(v) F
(vi) T
(vii) T
(viii) F
(ix) F
(x) F
(xi) T
(xii) T

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ …………….. ରୁ ବେଶୀ ।
(ii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ୍ ଷଡ଼ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ ଏହାର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କରୁଥିବା କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ……………….. |
(iii)
(iv) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ଯା $\overline{\mathrm{AB}}$ ଓ $\overline{\mathrm{CD}}$ ପରସ୍ପରକୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ Pରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ B ଓ C $\overline{\mathrm{OP}}$ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିଲେ $\overparen{A D}$ ଓ ……………….. ଦୁହେଁ ସର୍ବସମ ।
(v) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଏକ ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସହ ସମାନ ହେଲେ ଉକ୍ତ ଜ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଛେଦିତ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପର ତିଗ୍ରା ପରିମାପ ………….. |
(vi) $\overline{\mathrm{AB}}$ ର ଏକ ପାଣ୍ଡରେ C ଓ D ଦୁଇଟି ଦିନ୍ଦୁ | m∠ACB = m∠ADB = 20° △ACD ର ପରିଦର୍ଭର 6କହ O 6ଦୃବେ m∠AOB ……………. |
(vii) m∠ABC = 90° ଚତୁର୍ଭୁକ △ABC ର ପରିଦଉଭେ AC ଏକ ………………… |
(viii) ABCD ଏକ ଦ୍ଵରାନ୍ତକଖର ଚତୁର୍ଭୁକ m∠BAD ………………. ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।
(ix) ଏକ ଅର୍ଥବୃତ୍ତର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ………….. |
(x) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଏକ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 90° ହେଲେ, ସଂପୃକ୍ତ ଜ୍ୟା ଓ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁ ପାତ …………….. |
Solution:
(i) 180°
(ii) 60° $\left(\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}\right)$
(iii) 70° m∠D = 180° – 120° = 60°
m∠C = 180° – 50° = 130°
∴ m∠C – m∠D = 130° – 60° = 70°

(iv) $\overparen{B C}$ $\overparen{A C B}$ ≅ $\overparen{C A D}$ ( ∵ AB ≅ CD (ଦତ୍ତ))
⇒ BC ≅ AD

(v) 60° ଜ୍ୟାର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ଓ କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ହେବେ |
(vi) 40° O ବିଦୁଟି ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ହେବ ।
(vii) ବ୍ୟାସ (ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ ସମକୋଣ ।)
(viii) $\overparen{B C D}$
(ix) 90°
(x) √ 2 : 1 (ସଂପୃକ୍ତ ଜ୍ୟାଟି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ)

Question 3.
ଚିତ୍ରରେ △ABC ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ଏବଂ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ । D, E, F ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) ∠B କେଉଁ ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ?
(ii) ∠B ଦ୍ବାରା କେଉଁ ଚାପ ଛେଦିତ ?
(iii) $\overline{\mathrm{AB}}$ ଜ୍ୟା ଦ୍ବାରା ଛେଦିତ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ଓ ବୃହତ୍ ଚାପ କିଏ ?
(iv) ∠A ର ପରିମାଣ କେଉଁ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ପରିମାଣର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ?
(v) △ABC ରେ ଯଦି AB = BC ହୁଏ ତେବେ କେଉଁ ଚାପ ଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେବେ ?
(vi) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ଚାପର ନାମ ଲେଖ ଯେପରିକି ସେମାନଙ୍କ ସଂଯୋଗରେ $\overparen{B A D}$ ଗଠିତ ହେବ ।
(vii) $\overparen{B F C}$ ଉପରେ ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ P ନିଅ ଯେପରିକି m∠BPA = m∠C । ଏପରି କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି ? ADC ଉପରେ ଏପରି କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି କି ? $\overparen{B E A}$ ଉପରେ ଏପରି କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି କି ?
Solution::
(i) ∠B, $\overparen{E B F}$ ର୍ଥିଥଚା $\overparen{A B C}$ ର ଅନ୍ତ୍ର କିଣତ |
(ii) ∠Bଦ୍ଵାରା $\overparen{A D C}$ ଛେଦିତ ।
(iii) $\overline{\mathrm{BC}}$ ଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଛେଦିତ ସୁଦୃତାପ $\overparen{B F C}$ ଦ୍ଦଦ୍ର ତ୍ତାପ $\overparen{B A C}$ |
(iv) m∠A = $\frac { 1 }{ 2 }$ m∠BOC
(v) △ABC ରେ $\overparen{A E B}$ ≅ $\overparen{B F C}$
(vi) $\overparen{B E A}$ ∪ $\overparen{A D}$ = $\overparen{B A D}$, $\overparen{B E}$ ∪ $\overparen{E A D}$ = $\overparen{B A D}$
(vii) ଏପରି ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି । $\overparen{A D C}$ ଉପରେ ମଧ୍ୟ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି । $\overparen{B E A}$ ଚାପ ଉପରେ ଏପରି ବିନ୍ଦୁ ରହିବା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

Question 4.
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଯାହର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
m$\overparen{A E B}$ = 100° 6 ଦ୍ଵ6କ |

(i) ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣ ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) $\overparen{A H D}$ ଓ $\overparen{B F C}$ ମଧ୍ୟରେ କି ସମ୍ପର୍କ ଦେଖୁଛ ?
(iii) ABCD କି ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ ?
Solution:

m $\overparen{A E B}$ : 100°
⇒ m∠ADB = m∠ACB = 50°
m∠COD = 100° (ତ୍ପତାପ 6କାଶ)
⇒ m∠CBD = m∠CAD = 50°
m∠BOC = 180° – 100° = 80°
⇒ m∠BAC = m∠BDC = 40°
⇒ m∠AOD = 80°
⇒ m∠ACD = m∠ABC = 40°

(i) m∠A = m∠BAC + m∠CAD = 40° + 50° = 90°
6ସ ଦ୍ଵିପରି m∠С = 90°, m∠B = 90° ଓ m∠D = 90° |
(ii) $\overparen{A H D}$ ≅ △$\overparen{B F C}$
(ii) ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

Question 5.
ଚିତ୍ରରେ $\overline{\mathrm{AB}}$ ଓ $\overline{\mathrm{CD}}$ ଜ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ P ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । m∠PBD = 80°, m∠CAP = 45° 6ଦ୍ଵଲେ :
(i) △BPDର କୋଣ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) △APCର କୋଣ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) △APC ଓ △BPD ମଧ୍ୟରେ କି ସମ୍ପର୍କ ଦେଖୁଛ ?

Solution:
m∠PBD = 80°, m∠CAP = 45°

(i) $\overparen{B C}$ ଉପରିସ୍ଥ m∠CDB = m∠CAP = 45°
∴ m∠BPD = 180° – 80° – 45° = 55°
∴ △BPDର m∠BPD = 55°
m∠PDB = 45°, m∠PBD = 80°

(ii)
△APCର m∠CAP = 45° (ଦଉ)
m∠APC = m∠BPD = 55° (ପ୍ରତାପ 6କାଣ)
∴ m∠ACP = m∠PBD = 80° ($\overparen{A D}$ ଉପରିସ୍ଥ ପରିଧ୍ଵସ୍ଥ ଏକ କୋଣ)

(iii) △APC ~ △BPD (କୋ . କୋ . କୋ . ପାଦଣ୍ୟ)

Question 6.
△ABCରେ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, △BDC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
Solution:

ଦତ୍ତ : △ABCର ∠Aର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : △BDC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ପ୍ରମାଣ : ∠BAD ≅ ∠CAD (ଦଉ)
⇒ $\overparen{B D}$ ≅ $\overparen{D C}$ ⇒ $\overline{\mathrm{BD}}$ ≅ $\overline{\mathrm{DC}}$ (ଚାପ ସର୍ବସମ ହେତୁ ଜ୍ୟାଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ)
=> △BDC ସମଦିବାହୁ ।

Question 7.
ଚିତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ A ଠାରୁ $\overrightarrow{\mathbf{AP}}$ ଓ $\overrightarrow{\mathbf{AR}}$ ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟ ବୃତ୍ତକୁ ଯଥାକ୍ରମେ P, Q ଏବଂ R, S ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ଯେପରି A-P-Q ଏବଂ A-R-S |
(a) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ △APR ~ △AQS
(b) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ △APS ~ △ARQ

(C) ଯଦି $\overline{\mathrm{PS}}$ ଓ $\overline{\mathrm{QR}}$ ର ଛେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ T ହୁଏ, ତେଦେ
(i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ TP • TS = TR • TQ
(ii) ପ୍ତମାଣ କାର 6ପ m∠PTR = $\frac { 1 }{ 2 }$ (m$\overparen{Q S}$ + m$\overparen{P R C}$)

(d) m∠PAR = 15° ଏବଂ m$\overparen{Q X S}$ = 50° ହେଲେ m∠PTR ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:

(a) ପ୍ରମାଣ : PRSQ ଏକ ଦ୍ଵରାନୁଲଖତ ଚତୁରୁଜ |
⇒ m∠RSQ + m∠RPQ = 180°
କିନ୍ନ m∠RPQ + m∠APR = 180°
⇒ m∠RSQ + m∠RPQ = m∠RPQ + m∠APR
m∠RSQ = m∠APR
△APR ଓ △AQS ମଧ୍ୟ6ର m∠RAP = m∠QAS
ଓ m∠RSQ = m∠APR |
⇒ △APR ~ △AQS (6କା-6କା ସାଦ୍ୱଣ)

(b) △APS ଓ △ARQ ମଧ୍ୟ6ର
m∠PAS = m∠RAQ (ମଧ୍ୟ6ର 6କା)
m∠ASP = m∠AQR (ଏକ ଚାପ ଉପରିମ ପରିଧମ 6କାଣ)
⇒ △APS ~ △ARQ

(c) (i) △ TPQ ଓ △TRS ମଧ୍ୟ6ର
m∠TPQ = m∠TRS (ଏକ ଚାପ ଉପରିମ ପରିଧମ 6କାଣ)
m∠PTQ = m∠RTS (ପ୍ତତାପ 6କାଣ)
⇒ △TPQ ~ △TRS (6କା-6କା ସାଦ୍ୱଣ)
⇒ $\frac { TP }{ TR }$ = $\frac { TQ }{ TS }$ ⇒ TP • TS = TR • TQ
=m∠SPQ + m∠PQR = $\frac { 1 }{ 2 }$m$\overparen{Q S}$ + $\frac { 1 }{ 2 }$m$\overparen{P R}$ = $\frac { 1 }{ 2 }$ (m$\overparen{Q S}$ + m$\overparen{P R}$) (9flêe)

(d) m∠PAR = 15°
m$\overparen{Q X S}$ = 50° ⇒ m∠QPS = $\frac { 50° }{ 2 }$ = 25°
△APS 6ର 6କାଣ m∠QPS = m∠PAR + m∠PSR
⇒ 25° = 15° +m∠PSR ⇒ m∠PSR = 25° – 15° = 10°
m∠QRS = m∠QPS = 25°
∴ m∠PTR = m∠QRS + m∠TSR = 25° + 10° = 35°

Question 8.
ଚିତ୍ରରେ ABC ଦଉର $\overparen{A X B}$ ଓ $\overparen{B Y C}$ ହୁକରି ଚାପର ଗିଗାମାପ ଯଥାକୃମେ 80° ଓ 140° |

(i) m∠BAC କିଣ୍ଡଯ କର |
(ii) m$\overparen{A B C}$ କିଣ୍ଡଯ କର |
(iii) m$\overparen{A C B}$ କିଣ୍ଡଯ କର |
(iv) $\overparen{A Z C}$ ଓ $\overparen{B Y C}$ ମଧ୍ୟରେ କି ସମଳ ଅଛି ?
Solution:
m$\overparen{A X B}$ + m$\overparen{B Y C}$ + m$\overparen{A Z C}$ = 360° ⇒ 80° + 140° + m$\overparen{A Z C}$ = 360°
⇒ m$\overparen{A Z C}$ = 360° – 80° – 140° = 140°
(i) M∠BAC = $\frac { 1 }{ 2 }$ m$\overparen{B Y C}$ = $\frac { 1 }{ 2 }$ × 140° = 70°
(ii) $\overparen{A B C}$ = 360° – 140° = 220°
(iii) $\overparen{A C B}$ = M$\overparen{A Z C}$ + m$\overparen{B Y C}$ = 140° + 140° = 280°
(iv) $\overparen{A Z C}$ ≅ $\overparen{B Y C}$ (“: m∠AOC = m∠BOC)

Question 9.
ଏକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ଏବଂ $\overline{\mathrm{AB}}$ ଏକ ବ୍ୟାସ । ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ P ଓ ଠୁ ବିଦୁ୍ୟଦ୍ୱୟ $\overline{\mathrm{AB}}$ ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଯଦି A ଓ P ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 60° ଏବଂ B ଓ ( ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 50° ହୁଏ ତେବେ–
(i) A ଓ Q ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପର ଡିଗ୍ରୀ
(ii) P ଓ B ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ
(iii) P ଓ Q ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Solution:
m∠AOP = 60°
m∠BOQ = 50°
⇒ m⇒POQ = 180° – (60° + 50°) = 70°
(i) m$\overparen{A Q}$ = 60° + 70° = 130°
(ii) m$\overparen{P B}$ = 70° + 50° = 120°
(iii) m$\overparen{P Q}$ = 70°

Question 10.
$\overline{\mathrm{AB}}$ ଓ $\overline{\mathrm{CD}}$ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) M$\overparen{A X C}$ = m$\overparen{B Y D}$, (ii) AC = BD |

Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD 96 $\overline{\mathrm{CD}}$ || $\overline{\mathrm{AB}}$ |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :
(i) M$\overparen{A X C}$ = m$\overparen{B Y D}$
(ii) AC = BD
ଅଙ୍କନ : $\overline{\mathrm{BC}}$ ଅଙ୍କନ କର ।
ତ୍ପମାଣ : $\overline{\mathrm{CD}}$ || $\overline{\mathrm{AB}}$ (ଦଉ)

⇒ m∠ABC = m∠BCD
⇒ $\frac { 1 }{ 2 }$ m$\overparen{A X C}$ = $\frac { 1 }{ 2 }$ m$\overparen{B Y D}$
⇒ m$\overparen{A X C}$ = m$\overparen{B Y D}$

(ii) $\overparen{A X C}$ = $\overparen{B Y D}$ ⇒ AC = BD (ଚାପ ସବସମ ହେତ୍ ଲ୍ୟା ସଦସ୍ୟ)

Question 11.
ABCD ଏକ ଦ୍ଵରୀନ୍ତ୍ର କିଖବ ତତ୍କଲକ |
(i) AC = BD ଏବଂ $\overline{\mathbf{AB}}$||$\overline{\mathbf{CD}}$ 6ଦ୍ର6କ ପ୍ରମାଣ କର ସେ, AD = BC |
(ii) AD = BC 6ଦ୍ର6କ ପ୍ରମାଣ କର ସେ, AC = BD ଏବଂ $\overline{\mathbf{AB}}$||$\overline{\mathbf{CD}}$ |
Solution:
(i) ଦର : ABCD ଦୃଭାନ୍ତ୍ରରଖତ ଚତୁରୁକରେ
AC = BD ଏବଂ $\overline{\mathbf{AB}}$||$\overline{\mathbf{CD}}$ |
ପ୍ରାମଣ୍ୟ: AD = BC
ପ୍ରମାଣ : AC = BD (ଦତ୍ତ)

⇒ $\overparen{A D C}$ ≅ $\overparen{B C D}$
⇒ l $\overparen{A X D}$ + l $\overparen{D Y C}$ = l $\overparen{D Y C}$ + l $\overparen{B Z C}$
⇒ l $\overparen{A X D}$ = l $\overparen{B Z C}$ ⇒ $\overparen{A X D}$ ≅ $\overparen{B Z C}$
⇒ AD = BC

(ii) ଦଉ : ABCD ଏକ ତ୍ରଭାନ୍ତକଖତ ତଡୁରୁକ | AD = BC
ପ୍ତମାଣ୍ୟ: (i) AC = BD (ii) $\overline{\mathbf{AB}}$||$\overline{\mathbf{CD}}$
ପ୍ରମଣ : AD = BC ⇒ $\overparen{A X D}$ ≅ $\overparen{B Z C}$

⇒ l $\overparen{A X D}$ = l $\overparen{B Z C}$
⇒ l $\overparen{A X D}$ + l $\overparen{D Y C}$ = l $\overparen{D Y C}$ + l $\overparen{B Z C}$
⇒ l $\overparen{A D C}$ = l $\overparen{B C D}$ ⇒ $\overparen{A D C}$ ≅ $\overparen{B C D}$ ⇒ AC = BD (i)
ପୁକଣ୍ଠ ∵ $\overparen{A X D}$ ≅ $\overparen{B Z C}$
⇒ m $\overparen{A X D}$ + m $\overparen{B Z C}$ ⇒ $\frac { 1 }{ 2 }$ m $\overparen{A X D}$ = $\frac { 1 }{ 2 }$ m $\overparen{B Z C}$
⇒ m∠ABD = m∠BDC (ଏକାନ୍ତ୍ରର) ⇒ $\overline{\mathbf{AB}}$||$\overline{\mathbf{CD}}$ …(ii)

Question 12.
(i) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ $\overparen{A X B}$ ଏକ ଚାପ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ $\overparen{A X B}$ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଗୋଟିଏ ଏବଂ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ C ଅଛି ଯେପରି $\overparen{A C}$ ଓ $\overparen{B C}$ ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେବେ । (C ବିନ୍ଦୁକୁ $\overparen{A X B}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।)
(ii) ଚାପର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଧାରଣାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, AXBରେ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି ।

Solution:
(i) ଦତ୍ତ : O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର । $\overparen{A X B}$ ଏକ ଚାପ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) $\overparen{A X B}$ ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଗୋଟିଏ
ଏବଂ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ C ଅଛି,
ଯେପରି $\overparen{A C}$ = $\overparen{C B}$ହେବ ।
(ii) $\overparen{A X B}$ ରେ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ରହିଅଛି ।
∠AOB ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ ଅଙ୍କନ କର ।
ଅଙ୍କନ :
ପ୍ରମାଣ :
(i) $\overparen{A X B}$ ଚାପ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ଆବଶ୍ୟକ C ବିନ୍ଦୁଟି ଅନନ୍ୟ ଅର୍ଥାତ୍ ଗୋଟିଏ ଓ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ଯାହା m∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବ । ପୁନଶ୍ଚ ଚାପର ସର୍ବସମତା ଅନୁସାରେ ଦୁଇଟି ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ସମାନ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେବେ ।
ଦର ଚିତ୍ର6ର m∠AOC = m∠BOC 6ଦ୍ରଦ $\overparen{A C}$ = $\overparen{C B}$ 6ଦ୍ରଦ | (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ A ଓ B ବିନ୍ଦୁ ସମେତ ‘A’ ଠାରୁ ‘B’ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ମାନଙ୍କର ସେଟ୍‌କୁ ଏକ ଚାପ କୁହାଯାଏ । A ଓ B ଏହି ଚାପର ଦୁଇଟି ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଅଟନ୍ତି । ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଭିନ୍ନ ଚାପ ଉପରିସ୍ଥ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ ଚାପର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ; ଯାହା ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍ ।(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ଚିତ୍ରରେ AB ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ ଏବଂ O କେନ୍ଦ୍ର । OD ଯେକୌଣସି ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ | $\overline{\mathbf{AC}}$||$\overline{\mathbf{OD}}$ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $\overparen{B X D}$ ଓ $\overparen{D Y C}$ ସର୍ବସମ ଅର୍ଥାତ୍ D, $\overparen{B D C}$ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । (ସୂଚନା : $\overline{\mathbf{OC}}$ ଅଙ୍କନ କରି ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠BOD = m∠DOC)

Solution:
ଦତ୍ତ : ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O | $\overline{\mathbf{AB}}$ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ । $\overline{\mathbf{AC}}$||$\overline{\mathbf{OD}}$ |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : $\overparen{B X D}$ ≅ $\overparen{D Y C}$ ଅର୍ଥାତ୍ D, $\overparen{B D C}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ଅଙ୍କନ : $\overline{\mathbf{CO}}$ ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ : △AOC ରେ OA = OC ⇒ m∠OAC = m∠OCA
କିନ୍ତୁ m∠OAC – m∠BOD (ଅନୁରୁପ)
∴ m∠OAC = m∠BOD (i)
ପୁନଶ୍ଚ m∠OCA=m∠COD …(ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠BOD = m∠COD ⇒ $\overparen{B X D}$ ≅ $\overparen{D Y C}$
⇒ D, $\overparen{B D C}$ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

Question 14.
ଚିତ୍ରରେ $\overline{\mathbf{CD}}$ ଜ୍ୟା $\overline{\mathbf{AB}}$ ବ୍ୟାସ ସହ ସମାନ୍ତର ଏବଂ CD = OB |
ପ୍ରମାଣ୍ୟ କର ଯେ m∠BDC = 2m∠OBD |

Solution:
ଦତ୍ତ : ବୃତ୍ତର $\overline{\mathbf{AB}}$ ବ୍ୟାସ । $\overline{\mathbf{CD}}$ ଜ୍ୟା । CD = OB $\overline{\mathbf{CD}}$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସହ ସମାନ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BDC = 2m∠OBD
ଅଙ୍କନ : $\overline{\mathbf{OC}}$ ଏବଂ $\overline{\mathbf{OD}}$ ଅଙ୍କନ କର ।
ସ୍ତମାଣ : CD = OB = OC = OD ∴ △OCD ସମବାହୁ ।

⇒ m∠OCD = 60°
ପୁନଶ୍ଚ, COBD ଏକ ରମଣ (∵ CD = OB, $\overline{\mathbf{CD}}$||$\overline{\mathbf{OB}}$ ଏବଂ OB = OC = CD)
∴ m∠OBD =m∠OCD = 60° ଏବଂ m∠BDC = 120°
∴ m∠BDC = 2m∠OBD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ABCD ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖୂତ ଚତୁର୍ଭୁଜର $\overline{\mathbf{AC}}$ ଓ $\overline{\mathbf{BD}}$ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ P ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ B ଓ C, $\overleftrightarrow{O P}$ ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଯଦି AC = BD ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB = CD, (ii) PA = PD 1° (iii) $\overline{\mathbf{BC}}$ || $\overline{\mathbf{AD}}$ |
Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ । $\overline{\mathbf{AC}}$ ଓ $\overline{\mathbf{BD}}$ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ P ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
AC = BD |

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AB = CD (ii) PA = PD (iii) $\overline{\mathbf{BC}}$ || $\overline{\mathbf{AD}}$
ପ୍ତମାଣ: (i) AC = BD ⇒ $\overparen{A D C}$ ≅ $\overparen{B A D}$
⇒ $\overparen{A Y B}$ ≅ $\overparen{C Z D}$
(∵ $\overparen{A X D}$ ଭରଯ $\overparen{A D C}$ ଓ $\overparen{B A D}$ ର ପାଧାରଣ ଚାପ )
⇒ AB = CD ….(i)

(ii) △ABD ଏବଂ △ADC ଦଯ6ର $\overline{\mathbf{AD}}$ ପାଧାରଣ, AB = CD [(i) ରେ ପ୍ତମାଣିତ]
ଏବଂ AC = BD (ଦର)
∴ m∠ADB = m∠CAD ⇒ m∠ADP = m∠PAD
⇒ PA = PD …(ii)

(iii) m∠DAC = m∠DBC (ଏକ ଦ୍ଵରଖଣ୍ଡମ 6କାଣ)
କିନ୍ତୁ m∠DAC = m∠ADB
∴ m∠ADB = m∠PBC
କିନ୍ତୁ ଏମା6ନ ଏକାନ୍ତ୍ରର |
∴ $\overline{\mathbf{BC}}$ || $\overline{\mathbf{AD}}$

Question 16.
(i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ପ୍ରମାଣ କରଯେ ର ଥନ୍ତ୍ର କିଣିତ 6କାଶ ଏକ ପୁର6କାଣ |
(ii) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣ ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ।
(ସୂଚନା : $\overparen{A P B}$ ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପ ଓ $\overparen{A Q B}$ ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ହେଉ ।
$\overline{\mathbf{AD}}$ ଦ୍ୟାସ ଅକନ କର | m∠APD = 90° m∠APB)

Solution:
ଏବଂ m∠AQB < 90°
ଅଙ୍କନ : $\overline{\mathbf{AR}}$ ବ୍ୟାସ ଅଙ୍କନ କରି । $\overline{\mathbf{PR}}$ ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : (i) $\overline{\mathbf{AR}}$ ବ୍ୟାସ । m∠APR ଅର୍ଥବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ । ∴ m∠APR = 90°
କିନ୍ତ୍ର R, ∠APB ର ଅନ୍ତ୍ ମ ହୋଇଥିବାରୁ m∠APR + m∠RPB = m∠APB
m∠APR = 90° ହେତୁ m∠APB > 90° ….. (i)
ଅର୍ଥାତ୍ ∠APB ଏକ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ।

(iii) $\overparen{A P B}$ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପର ବିପରୀତ ଚାପ $\overparen{A Q B}$ ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ।
m∠APB+m∠AQB = 180° (·.· AQBP ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ହେଉ )
(i) ରେ ପ୍ରମାଣିତ m∠APB > 90°
∴ m∠AQB < 90° ଅର୍ଥାତ୍ m∠AQB ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
(i) △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ( ତ୍ରିଭୁଜଟିର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
m∠BAC + m∠OBC = 90° |
(ii) △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ତ୍ରିଭୁଜଟିର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ । O ଏବଂ A, $\overline{\mathbf{BC}}$ ର ବିପରୀତ ପାଣମ 6ଦୃକେ, ଦେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠BAC – m∠OBC = 90° |
Solution:
(i) ଦତ୍ତ : △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଠ, ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ତାମାଣ୍ୟ: m∠BAC + m∠OBC = 90°
ଅଙ୍କନ : $\overrightarrow{\mathrm{BO}}$ ବୃତ୍ତର ପରିଧ‌ିକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ । $\overline{\mathbf{PA}}$ ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ABC ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ $\overline{\mathbf{BP}}$ |

⇒ m∠BAP = 90° (ଅଦି ଦ୍ଵରଖଣ୍ଡମ କୋଣ)
⇒m∠BAC+m∠CAP = 90°
ମାତ୍ର m∠CAP = m∠PBC (ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ m∠PBC=m∠OBC
⇒ m∠BAC+m∠OBC = 90°

(ii) ଦତ୍ତ : △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଠ ତ୍ରିଭୁଜଟିର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ତାମାଣ୍ୟ: m∠BAC – m∠OBC = 90°
ଅଙ୍କନ : $\overrightarrow{\mathrm{BO}}$ ବୃତ୍ତର P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । $\overline{\mathbf{PA}}$ ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ: ABC ଦ୍ଦଭର ବ୍ୟାସ $\overline{\mathbf{BP}}$ |

⇒ m∠BAP = 90° (ଅଦି ଦ୍ଵରଖଣ୍ଡମ କୋଣ)
⇒ m∠BAC – m∠CAP = 90°
⇒ m∠BAC – m∠CBP = 90°
(∵ m∠CAP – m∠CBP ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ m∠BAC – m∠OBC = 90°

Question 18.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖୁତ ହେବ ।
Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ । $\overline{\mathrm{AD}}$ || $\overline{\mathrm{BC}}$ ଏବଂ $\overline{\mathrm{AB}}$ ≅ $\overline{\mathrm{CD}}$ |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ ।

ଅଙ୍କନ : $\overline{\mathrm{DM}}$ || $\overline{\mathrm{AB}}$ ଅଙ୍କନ କର ।.
$\overline{\mathrm{DM}}$ , $\overline{\mathrm{BC}}$ କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : ADBM ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(: $\overline{\mathrm{AD}}$ || $\overline{\mathrm{BM}}$ ଏବଂ $\overline{\mathrm{DM}}$ || $\overline{\mathrm{AB}}$ )
⇒ $\overline{\mathrm{AB}}$ ≅ $\overline{\mathrm{DM}}$
କିନ୍ତୁ ଦକ $\overline{\mathrm{AB}}$ ≅ $\overline{\mathrm{DC}}$
∴ $\overline{\mathrm{DM}}$ ≅ $\overline{\mathrm{DC}}$ ⇒ m∠DMC = m∠DCM
କିନ୍ତୁ $\overline{\mathrm{AB}}$ || $\overline{\mathrm{DM}}$, $\overline{\mathrm{BC}}$ ଛେଦକ । ⇒ m∠ABM = m∠DMC (ଅନୁରୂପ)
m∠ABM = m∠DCM ⇒ m∠ABC = m∠DCB
$\overline{\mathrm{AD}}$ || $\overline{\mathrm{BC}}$ ହେତ୍ର m∠DAB + m∠ABC = 180°
⇒ m∠DAB + m∠DCB = 180° (∵ m∠ABC = m∠DCB)
⇒ ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 19.
ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ ପରସ୍ପରକୁ P ଓ () ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । P ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ଏକ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟକୁ K ଓ L ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ସେହିପରି Q ମଧ୍ୟଦେଇ ଏକ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟକୁ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । K ଓ M $\overline{\mathrm{PQ}}$ ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବରେ ଥିଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $\overline{\mathrm{KM}}$ || $\overline{\mathrm{LN}}$ |

Solution:
ଦତ୍ତ : S₁ ଓ S₂ ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
P ଓ Q ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟକୁ ଯଥାକ୍ରମେ
K, L ଏବଂ M, N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : $\overline{\mathrm{KM}}$ || $\overline{\mathrm{LN}}$
ଅଙ୍କନ : $\overline{\mathrm{PQ}}$ ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : m∠KMQ = m∠QPL (∵ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖୂତ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ, ଏହାର ବିପରୀତ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ।)
କିନ୍ତୁ m∠QPL + m∠QNL = 180° (ଦୃଭାନ୍ତ୍ରକଖତ ଚତୁରୁକର ବିପର।ତ କୋଣ)
∴ m∠KMQ + m∠QNL = 180°; ମାତ୍ର ଏହି କୋଣଦ୍ଵୟ ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ।
⇒ $\overline{\mathrm{KM}}$ || $\overline{\mathrm{LN}}$ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 20.
ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠B ଓ ∠Dର ସମତ୍ତିଖଣ୍ଡକ ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । $\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{D} E}$ ବୃତ୍ତକୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, $\overline{\mathrm{BE}}$ ⊥ $\overline{\mathrm{BF}}$ |

Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ । ∠B ଓ ∠D ର
ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ ବୃତ୍ତକୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : $\overline{\mathrm{BE}}$ ⊥ $\overline{\mathrm{BF}}$
ପ୍ରମାଣ : m∠ADC + m∠ABC = 180° (ABCD ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ଚତୁର୍ଭୁଜ)
$\frac { 1 }{ 2 }$ m∠ADC + $\frac { 1 }{ 2 }$ m∠ABC = 90°
⇒ m∠CDF + m∠EBC = 90°
କିନ୍ତୁ m∠CDF = m∠CBF (ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
m∠CBF + m∠EBC = 90° ⇒ m∠ERF = 90°
⇒ $\overline{\mathrm{BE}}$ ⊥ $\overline{\mathrm{BF}}$ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 21.
△ABCର କୋଣମାନଙ୍କର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକମାନେ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ X, Y ଓ Z ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, △XYZର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 90° – $\frac { 1 }{ 2 }$ m∠A, 90° – $\frac { 1 }{ 2 }$ m∠B ଓ 90° – $\frac { 1 }{ 2 }$ m∠C |
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ଦୁଲାନ୍ତ୍ରଖତ ∠A, ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ବୃତ୍ତକୁ ଯଥାକ୍ରମେ X, Y ଏବଂ Z ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠X = 90° $\frac { 1 }{ 2 }$m∠A, $\frac { 1 }{ 2 }$ m∠B ଏଦ m∠Z = 90° – $\frac { 1 }{ 2 }$ m∠C

ପ୍ରମାଣ : $\overparen{A Z}$ ର ଦିପରାତ ଗାପାନୁଇଖତ m∠AXZ = m∠ACZ
ଏବଂ $\overparen{A Y}$ ଚାପର ବିପରୀତ ଚାପାନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣ m∠AXY = m∠ABY
∴ m∠AXZ + m∠AXY = m∠ACZ = m∠ABY
⇒ m∠X = $\frac { m∠C }{ 2 }$ + $\frac { m∠B }{ 2 }$
⇒ m∠X = 90° – $\frac { m∠A }{ 2 }$ (∵ $\frac { m∠A }{ 2 }$ + $\frac { m∠B }{ 2 }$ + $\frac { m∠C }{ 2 }$ = 90°)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ,
m∠Y = 90° – $\frac { m∠B }{ 2 }$ ଏବଂ m∠Z = 90° – $\frac { m∠C }{ 2 }$ ହେବ ।

Question 22.
△ABC ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । $\overline{\mathbf{BC}}$ ଜ୍ୟା ସହ ସମ୍ପୃକ୍ତ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପ ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ PA = PB + PC । (ସୂଚନା : $\overrightarrow{\mathbf{B P}}$ ଉପରେ D ନିଅ ଯେପରି PC = PD ହେବ । △BCD ଓ △ACP ର ତୁଳନା କର ।)
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । $\overline{\mathbf{BC}}$ ଜ୍ୟା ସହ ସଂପୃକ୍ତ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PA = PB + PC
ଅଙ୍କନ : $\overrightarrow{\mathbf{B P}}$ ଉପରେ D ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି PC = PD ହେବ । $\overline{\mathbf{CD}}$ ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : △ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
m∠BAC = m∠CPD (ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ)
∴ m∠CPD = 60°
ସୁନଶ୍ଚ, △PCD ରେ PC = PD |

∴ △PCD ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । ⇒ PC = CD = PD
ବର୍ତ୍ତମାନ m ∠ACB = m∠PCD = 60°
⇒ m∠ACB+m∠BCP=m∠PCD+m∠BCP
⇒ m∠ACP=m∠BCD
△APC ଓ △BCD ଦୟରେ AC = BC, PC = CD
ଏକ m∠ACP=m∠BCD
∴ △ACP ≅ △BCD
⇒ AP = BD ⇒ AP = BP + PD ⇒ AP = BP + PC

Question 23.
△ABCରେ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ △ABCର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । P ବିନ୍ଦୁରୁ $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ ଓ $\overline{\mathbf{AC}}$ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଦ୍ବୟର ପାଦବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ Q ଏବଂ R । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, AQ = AR = $\frac { AB+AC }{ 2 }$ | (ସ୍ମତନା : ଦଶାଥ ଯେ △PBQ ≅ △PCR ⇒ BQ = CR )
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ର ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି । P ବିନ୍ଦୁରୁ $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ ଓ $\overrightarrow{\mathbf{AC}}$ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ପାଦବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ Q ଏବଂ R । (ଏଠାରେ △ABCର AC > AB)
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AQ = $\frac { AB+AC }{ 2 }$ = AR
ଅଙ୍କନ : $\overline{\mathbf{PB}}$ ଓ $\overline{\mathbf{PC}}$ ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
⇒ $\overparen{B P}$ = $\overparen{P C}$ ⇒ BP = PC
△BPQ ଏକ △CPR ଦଯରେ
BP = PC, m∠BQP = m∠CRP (= 90°)
ଏବଂ PQ = PR

(∵ କୋଣର ବାହୁମାନଙ୍କଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁମାନ, କୋଣ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଉପରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବେ ।)
∴ △BPQ ≅ △CPR ⇒ BQ = CR
ପୁନଶ୍ଚ, △AQP ଓ △APR ଦ୍ବୟରେ
PQ = PR, $\overline{\mathbf{AP}}$ ସାଧାରଣ ଏବଂ M∠AQP = m∠ARP
∴ △AQP ⇒ △APR ⇒ AQ = AR

ଚଇଂଲାନ 2AQ = AQ + AQ = AQ + AR = AB + BQ + AC – CR
= AB + AC (∵ BQ = CR)
∴ AQ = $\frac { AB + AC }{ 2 }$ ⇒ AR = $\frac { AB + AC }{ 2 }$
⇒ AQ = $\frac { AB + AC }{ 2 }$ = AR

Question 24.
△ABCରେ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ △ABCର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । $\overline{\mathbf{AP}}$ ଓ $\overline{\mathbf{BC}}$ର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ D ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ △ABD ଓ △APC ସଦୃଶ ଅଟନ୍ତି । ସୁତରାଂ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AB • AC = BD • DC + AD² |
(ପୁଚନା : △ABD ଓ △APC ପଦଣ ⇒ AB.AC = AD.AP, AD² = AD (AP – PD))
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ର ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, ଏହାର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । $\overline{\mathbf{BC}}$ ଓ $\overline{\mathbf{AP}}$ ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ D |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) △ABD ~ △APC
(ii) AB AC = BD · DC + AD²
ପ୍ରମାଣ : △ABD ଓ △APC ଦ୍ବୟରେ
m∠ABD = m∠APC (ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
m∠BAD=m∠PAC ଅବଶିଷ m∠ADB = m∠ACP

∴ △ABD ~ △APC
⇒ $\frac { AB }{ AP }$ = $\frac { AD }{ AC }$ ⇒ AB . AC = AD . AP
⇒ AB . AC = AD (AD + DP)
= AD² + AD . DP …..(i)
ପୁନଣ୍ଡ △ABD ~ △PDC
(∵m∠BAD = m∠DCP, m∠ADB = m∠PDC)
⇒ $\frac { BD }{ DP }$ = $\frac { AD }{ DC }$ ⇒ BD . DC = AD . DP
(i) ରେ ପ୍ତ6ଯାଗ କଲେ AB . AC = AD² + BD . DC

Question 25.
(ଟଲେମୀଙ୍କ ଉପପାଦ୍ୟ) ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,AC · BD = AB · CD + BC · AD | ଗୁଣଫଳ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳର ସମଷ୍ଟି ସଙ୍ଗେ ସମାନ ।)
(ସୂଚନା : ମନେକର m∠ADB > m∠BDC | E, AC ଉପରେ ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଉ ଯେପରି m∠BDC = m∠ADE | ବର୍ତ୍ତମାନ △ADE ଏବଂ △BDC ସଦୃଶ ⇒ $\frac { AE }{ BC }$ = $\frac { AD }{ BD }$ ପୁନଶ୍ଚ △ADB ଏବଂ △EDC ସଦୃଶ ⇒ $\frac { CD }{ BD }$ = $\frac { EC }{ AB }$ | )
Solution:
ଦଭ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେଲେ |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AC . BD = AB . CD + BC . AD
ଅକନ : ମନେକର m∠ADB > m∠BDC |
$\overline{\mathbf{AC}}$ ଉପରିସ୍ଥ E ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ।
ଯେପରିକି m∠ADE = m∠BDC ହେବ ।
ପ୍ରମାଣ : ବର୍ତ୍ତମାନ △ADE ଏବଂ △BDC ଦ୍ଵୟରେ
m∠ADE = m∠BDC ଏବଂ m∠DAE = m∠DBC
ଥଗଣିପୁ m∠AED = m∠BCD

∴ △ADE ~ △BDC
⇒$\frac { AE }{ BC }$ = $\frac { AD }{ BD }$ ⇒ AE . BD = AD . BC
ପୁନ୍ଦଣ, △ADB ଏବଂ △EDC ଦ୍ଵପ୍ରେଭେ
m∠ABD + m∠ECD = m∠ADB + m∠EDC)
(∵m∠ADE = m∠BDC ⇒ m∠ADE + m∠EDB = m∠BDC + m∠EDB)
∴ △ADB ~ △EDC
⇒$\frac { BD }{ CD }$ = $\frac { AB }{ EC }$ ⇒ EC . BD = AB . CD
(i) ଓ (ii) ରୁ AE . BD + EC. BD = AD. BC + AB. CD
⇒ BD (AE + EC) = AB. CD + BC. AD
⇒ BD. AC = AB. CD + BC. AD

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class English Solutions Test-1 Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 English Solutions Test-1

Test -1

1. Your teacher gives you a dictation of five 3/4 lettered words. Write them.    [05]
(ତୁମ ଶିକ୍ଷକ ତୁମକୁ ୫ଟି ତିନି କିମ୍ବା ଚାରି ଅକ୍ଷରିଆ ଇଂରାଜୀ ଶବ୍ଦ ଡାକିବେ । ତୁମେ ଶୁଣି ଲେଖିବ ।)
huge, pant, drag, old, do.

2. Your teacher will read aloud the following lines. Listen to him/her and fill in the gaps.   [07]
(ତୁମ ଶିକ୍ଷକ ଏହି ଧାଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ପାଟି କରି ପଢ଼ିବେ । ତୁମେ ତାହା ସାବଧାନତା ସହ ଶୁଣି ଦ୍ବିତୀୟ ଥର ପଢ଼ିବା ପରେ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କରିବ ।) (Questions with Answers)
“They _____________ into the king’s ___________. The ___________ man said to the king’s officer, Sir, I was ___________ to the town in my __________. This __________ wanted to __________ to the town market. He is ____________. So, I brought him to the ____________ on my horse. _________ he says that the horse is __________. Sir, ___________ help me to ___________ my horse from ____________.

Answer:
“They entered into the king’s court. The first man said to the king’s officer, Sir, I was rushing to the town in my horse. This man wanted to take my horse to the town market. He is a thief. So, I brought him to the court on my horse. Now he says that the horse is not mine. Sir, please help me to get my horse from the thief.

3. There is some relationship between spelling and pronunciation. Generally, there is, ie, ea, oo, ee, or ou, in the spelling of a word; this signals a long sound. And Odia speakers of English have problems with long sounds. They have a tendency to pronounce long sounds as short sounds. Given below are some words, underline which of them have long sounds.    [07]
(ସାଧାରଣତଃ ବନାନ ଏବଂ ଉଚ୍ଚାରଣ ମଧ୍ୟରେ କିଛିଟା ସମ୍ବନ୍ଧ ରହିଥାଏ । ସାଧାରଣତଃ ଗୋଟିଏ ଇଂରାଜୀ ଶବ୍ଦ ବନାନରେ je, ea, o୦, ce କିମ୍ବା ou ଦୀର୍ଘ ଭାବରେ ଉଚ୍ଚାରିତ ହୋଇଥା’ନ୍ତି ଏବଂ ଇଂରାଜୀ କହୁଥ‌ିବା ଓଡ଼ିଆ ବକ୍ତାମାନଙ୍କର ସମସ୍ୟା ହୋଇଥାଏ । ସେମାନେ ସାଧାରଣତଃ ଦୀର୍ଘ ଉଚ୍ଚାରଣକୁ ସୂକ୍ଷ୍ମ ଭାବରେ ଉଚ୍ଚାରଣ କରିଥା’ନ୍ତି । ତଳେ କେତେକ ଶବ୍ଦ ଦିଆଯାଇଛି । ସେଗୁଡ଼ିକରେ ଦୀର୍ଘ ଉଚ୍ଚାରିତ ଶବ୍ଦଗୁଡ଼ିକ ତଳେ ଗାର ଦିଅ ।
(Questions with Answers)

agree, market, reach, please, cover, thought, punish, village, need. speed, under, thief, steal, peace, deep, honey, seed, fields, spring, bean.

4. Write the following Odia names in English. (Teacher will give four names of persons in Odia.) (Questions with Answers)        [08]
____________________  _______________________
____________________  _______________________
____________________  _______________________
____________________  _______________________
Answer:
ମଧୁ — Madhu
ରମେଶ — Ramesh
ସଦାନନ୍ଦ — Sadananda
ବୀରେନ୍ଦ୍ର — Birendra

5. Write the following names of places in English. (Teacher will give four names of places in Odia.)     [08]
____________________  _______________________
____________________  _______________________
____________________  _______________________
____________________  _______________________
Answer:
କଟକ — Cuttack
ଭୁବନେଶ୍ୱର — Bhubaneswar
ରାଉରକେଲା — Rourkela
ସୁନ୍ଦରଗଡ଼ — Sundargarha

6. Match the words under ‘A’ with the words under ‘B’ —(who lives where).    [06]

Answer:

7. Read the following text and answer the questions. (ନିମ୍ନଲିଖ ଅନୁଚ୍ଛେଦଗୁଡ଼ିକ ପାଠ କରି ପ୍ରଦତ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।)

1. Akbar was very fond of jewellery. He had hundreds of rings, rings in which diamonds and many other gems had been set. But all of the rings he had, he liked one of them the most. It was a large ring with a number of pearls and diamonds set in it. The ring was a present to Akbar from the Queen.
2. At Akbar’s palace, there were eight servants who looked after the Emperor’s clothes and jewellery. Every day one of these eight servants used to help Akbar get ready to go to the court. None other than these eight servants could enter the Emperor’s room.
3. One day the Emperor was getting ready to go to the court. He wanted to wear his favourite ring that day. He asked one of his servants to bring it. But the servants came back saying that he could not find the ring. Akbar ordered to search for the ring, but it could not be found.
4. Akbar was very angry. He felt that one of his servants had stolen the ring. He sent for Birbal. When Birbal came, he told him what had happened and asked him to find out the thief.

(a). Answer the following questions each in one complete sentence. [05 ]
(ଏହି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବାକ୍ୟରେ ପ୍ରକାଶ କର ।)

Question 1.
What was Akbar fond of?
Answer:
Akbar was fond of jewellery.

Question 2.
Who presented the ring to Akbar?
Answer:
The Queen presented the ring to Akbar.

Question 3.
Why was Akbar angry?
Answer:
Akbar was angry when he felt that one of his servants had stolen his most favourite ring.

Question 4.
Who did Akbar tell what had happened?
Answer:
Akbar told Birbal what had happened.

Question 5.
How many servants looked after Akbar’s clothes and jewellery?
Answer:
Eight servants looked after Akbar’s clothes and jewellery.

(b). From the text, write five sentences about Akbar.   [10]
(ଏହି ପାଠରୁ ପାଞ୍ଚୋଟି ବାକ୍ୟ ଆକବରଙ୍କ ସମ୍ପର୍କରେ ଲେଖ ।)
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
Answer:
Akbar was a great Emperor of India in the Mughal period. He was a good administrator. He was liked by all classes of people in India. He married a Hindu girl and made her Queen. He was fond of jewellery.

(c). Given below are some sentences. As per the text, the sentences are not in order. Order them by putting serial numbers in brackets provided against each sentence. (Questions with Answers)    [09]
(ନିମ୍ନରେ କେତେକ ବାକ୍ୟ ରହିଛି । ବହି ପାଠ ଅନୁଯାୟୀ ଏହା ଠିକ୍ କ୍ରମରେ ନାହିଁ । ସେମାନଙ୍କୁ ଠିକ୍ କ୍ରମରେ ଲେଖିବା ପାଇଁ ଡାହାଣ ପାଖରେ ଥ‌ିବା ଖାଲି ଘରେ କ୍ରମିକ ନମ୍ବରଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।)

Akbar was very angry. [  ]
Akbar was fond of jewellery. [  ]
The queen presented the ring to Akbar. [  ]
The ring was not to be found. [  ]
Eight servants were in charge of the jewellery. [  ]
Akbar sent for Birbal. [  ]
Akbar ordered to search for the ring. [  ]

Answer:
Akbar was very angry. [ 5 ]
Akbar was fond of jewellery. [ 1 ]
The queen presented the ring to Akbar. [ 3 ]
The ring was not to be found. [ 4 ]
Eight servants were in charge of the jewellery. [ 2 ]
Akbar sent for Birbal. [ 6 ]
Akbar ordered to search for the ring. [ 7 ]

(d). See the use of the following four phrases in the text. The paragraph number is given against each phrase. Try to understand the meaning and use of the phrase from the context. Next, read the paragraph given and fill in the gaps with the right phrases. [8]
(ନିମ୍ନଲିଖ୍ ୪ଟି ଖଣ୍ଡବାକ୍ୟର ବ୍ୟବହାର ଲକ୍ଷ୍ୟ କର । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଖଣ୍ଡବାକ୍ୟର ଡାହାଣରେ ଅନୁଚ୍ଛେଦର ସୂଚନା ଦିଆଯାଇଛି । ସେଗୁଡ଼ିକର ବ୍ୟବହାର ଏବଂ ଅର୍ଥ ତୁମ ବିଷୟ ମାଧ୍ୟମରେ ଜାଣିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର । ଏହାପରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ଅନୁଚ୍ଛେଦଟିକୁ ପଢ଼ି ଠିକ୍ ଭାବରେ ଖଣ୍ଡବାକ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କର ।)
(Question with Answer)

Find out (5), looked after (2), sent for (5), fond of (1)

Abdul had a pet baby donkey. He was very __________ the baby donkey. He _____________ the donkey very well. One day the baby donkey went somewhere. He ___________ his faithful servant Ali. He asked Ali to _____________ the baby donkey.
Answer:
Abdul had a pet baby donkey. He was very fond of the baby donkey. He looked after the donkey very well. One day the baby donkey went somewhere. He sent for his faithful servant Ali. He asked Ali to find out the baby donkey.

8. Read the following text and do the tasks that.
(ନିମ୍ନ ବିଷୟଟିକୁ ପାଠ କର ଏବଂ ପ୍ରଦତ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।)

1. Long long ago, on the bank of the river Nagabali there was a small village named Hatibadi, and at the one end of this village was the chatasali, or village school, run by Ghana Rath, where many children from villages nearby came to study Ghana Ratha taught all the subjects himself, including Mathematics, Literature and Social Sciences.
(ବହୁଦିନ ତଳେ ନାଗାବଳୀ ନଦୀ କୂଳରେ ହାତୀବାଡ଼ି ବୋଲି ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ଗ୍ରାମ ଥିଲା ଏବଂ ଏହି ଗ୍ରାମର ଶେଷମୁଣ୍ଡରେ ଗୋଟିଏ ଚାଟଶାଳୀ ବା ଗାଁ ସ୍କୁଲ ଘନରଥ ନାମକ ଏକ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କଦ୍ୱାରା ଚାଲୁଥୁଲା, ଯେଉଁଠି ଆଖାପାଖ ଗାଁର ବହୁ ପିଲା ପଢ଼ିବାକୁ ଆସୁଥିଲେ । ଘନରଥ ନିଜେ ଗଣିତ, ସାହିତ୍ୟ ଓ ସାମାଜିକ ଶିକ୍ଷାସହ ସବୁ ବିଷୟ ଶିକ୍ଷାଦାନ କରୁଥିଲେ ।)

2. By the side of the Chatasali ran a narrow road that led to the river and on this road, early every morning, you could see a boy named Hatia riding a donkey and leading another by a rope. He was the son of a washerman. But as his parents were dead, he supported himself by washing the dirty clothes in the village. Every day he took a donkey load of clothes to the river, where he washed and dried them. When his work was finished, he returned home by the same road, together with his two donkeys. One was named Bhadra and the other Madri.
(ଚାଟଶାଳୀର ପାଖଦେଇ ନଈ ଆଡ଼କୁ ଗୋଟିଏ ଅଣଓସାରିଆ ରାସ୍ତା ଯାଉଥିଲା ଏବଂ ଏହି ରାସ୍ତା ଉପରେ ତୁମେ ଦେଖିବ ପ୍ରତିଦିନ ବଢ଼ିଭୋରରୁ ହଟିଆ ନାମରେ ଜଣେ ଯୁବକ ଗୋଟିଏ ଗଧ ଉପରେ ଚଢ଼ି ଏବଂ ଆଉ ଗୋଟାକୁ ଦଉଡ଼ିରେ ବାନ୍ଧି ନେଇ ଯାଉଥବ । ସେ ଗୋଟିଏ ଧୋବାର ପୁଅ । ତା’ର ବାପ ମା’ ମରିଯାଇଥିବାରୁ ସେ ନିଜେ ସବୁ ମଇଳା ଲୁଗାପଟା ଗାଁ ଲୋକଙ୍କର ନେଇ ନଈକୁ ଯାଏ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦିନ ଏକ ଗଧ ବୋଝେଇ ଗାଡ଼ିରେ ମଇଳା ଲୁଗା ନଦୀକୁ ନେଉଥିଲା । ଯେଉଁଠାରେ ସେ ତାକୁ ଧୋଇସାରି ଶୁଖାଇ ଦେଉଥିଲା ଏବଂ ସେଇ ବାଟଦେଇ ପୁଣି ଘରକୁ ଫେରୁଥିଲା ଦି ଗଧଙ୍କୁ ଧରି । ଗୋଟିକର ନାମ ଥିଲା ଭଦ୍ର ଏବଂ ଅନ୍ୟଟିର ନାମ ମାଦ୍ରି ।)

(a). Answer the following questions. [07]
(ନିମ୍ନଲିଖ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।)

Question (i)
What was the name of the river?
Answer:
The name of the river was Nagabali.

Question (ii)
What was the name of the village?
Answer:
The name of the village was Hatibadi.

Question (iii)
What was the name of the teacher?
Answer:
The name of the teacher was Ghana Ratha.

Question (iv)
What subjects did Ghana Ratha teach?
Answer:
Ghana Ratha taught all the subjects including Mathematics. Literature and Social Science.

Question (v)
What was the name of the boy?
Answer:
The name of the boy was Hatia.

Question (vi)
How many donkeys did Hatia have?
Answer:
Hatia had two donkeys.

Question (vii)
What were their names?
Answer:
The names of his two donkeys were Bhadra and Madri.

(b). Write four sentences about Hatia. [10]
(ହଟିଆ ବିଷୟରେ ୪ଟି ବାକ୍ୟ ଲେଖ ।)
(Question with Answer)
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
Answer:
1. Hatia was the son of a washerman.
2. Every day he was going to the rider riding a donkey and leading another by a rope for washing clothes.
3. His parents were dead.
4. Every day he took a donkey load of clothes to the river and there he washed and dried them.

(c). Rewrite paragraph 1 of the text replacing the following words/ phrases at the right places. [10]
(ପ୍ରଥମ ଅନୁଚ୍ଛେଦକୁ ଆଉ ଥରେ ଲେଖ ଯେପରିକି ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ଇଂରାଜୀ ଶବ୍ଦଗୁଡ଼ିକ ତାଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ରହିବେ ।)

Mahanadi, town, Cuttack, college, principal, Satpathy, Odia, Sanskrit and English.

Answer:
Long long ago on the bank of the river Mahanadi. There was a small town named Cuttack and at the one end of this small town was a college or Mahavidyalaya run by Mr Satpathy. Where many children from the town nearby came to study. Mr Satapathy taught all the subjects himself including Odia, Sanskrit and English.

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 11 Straight Lines will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 11 Straight Lines

Distance formula:
Distance between two points A (x₁, y₁) and A (x₂, y₂) = $\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$

Section Formula:
If C(x, y) divides the join of A (x₁, y₁) and A (x₂, y₂) in the ratio m: n internally then, x = $\frac{m x_2+n x_1}{m+n}$, y = $\frac{m y_2+n y_1}{m+n}$

Note:

• If the division is external then, x = $\frac{m x_2-n x_1}{m-n}$, y = $\frac{m y_2-n y_1}{m-n}$
• If C(x, y) is the midpoint then x = $\frac{x_1+x_2}{2}$, y = $\frac{y_1+y_2}{2}$

Area of triangle formula:
The area of triangle with vertices A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) and C(x₃, y₃) is given by  = $\frac{1}{2}$[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

Different points related to a triangle:
(a) Centroid of the triangle with vertices A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) and C(x₃, y₃) is = G $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

(b) In centre of a triangle with vertices A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) and C(x₃, y₃) is = I $\left(\frac{a x_1+b x_2+c x_3}{3}, \frac{a y_1+b y_2+c y_3}{3}\right)$

Slope Of A Line:
(a) Angle of inclination: the angle θ made by a line with positive x-axis is the angle of inclination.
(b) Slope of a line: Slope of a line is the tangent of angle of inclination. i,.e m = tan θ.
(c) Slope of a line joining A(x₁, y₁), and B(x₂, y₂) = $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Note:

(i) Slope of x-axis = 0
Slope of any line parallel to x-axis = 0

(ii) Slope of y-axis  = ∞
Slope of any line parallel to y-axis = ∞

Angle Between two Lines:
Angle Φ between two lines with slope m₁ and m₂ is given by tan Φ = $\pm \frac{\left(m_1-m_2\right)}{1+m_1 m_2}$

Note:

• To find the acute angle between two lines use the formula. tan Φ = $\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right|$
• Two lines are parallel if m₁ = m₂
• Two lines are perpendicular if m₁m₂ = (-1).

Collinearity Of Three Points:
Three points A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) and C(x₃, y₃) are collinear if
(i) Sum of distances between two pairs of points = Distance between the 3rd pair.
Or, (ii) Area of Δ ABC = 0
Or, (iii) Let B(x₂, y₂) divides the join of AC in ratio k: 1
∴ $x_2=\frac{k x_3+x_1}{k+1}, y_2=\frac{k y_3+y_1}{k+1}$
The value of k obtained from two cases are equal.
Or, (iv) Slope of AB = Slope of AC.

Equation of a straight line:
Lines parallel to co-ordinate axes:
(i) Equation of any line parallel to x-axis is, y = k
⇒ Equation of x-axis is, y = 0

(ii) Equation of any line parallel to y-axis is, x = k
⇒ Equation of y-axis is, x = 0

Lines Not Parallel To Any Axes:
(i) Slope intercept form:
Equation of a line with slope ‘m’ and y-intercepts ‘c’ is: y = mx + c

(ii) Point slope form:
Equation of a line with slope ‘m’ and passing through a point A(x₁, y₁) is: y – y₁ = m(x – x₁)

(iii) Two point form:
Equation of the line passing through A(x₁, y₁) and B(x₂, y₂) is : $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

(iv) Intercept form:
Equation of a line with x-intercept ‘a’ and y-intercept ‘b’ is $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

(v) Normal form:
Equation of a line whose distance form origin is P and the perpendicular drawn form origin to the line makes an angle α with positive direction of x-axis is: x cos α + y sin α = P

(vi) Parameteric form or symmetric form:
Equation of the line passing through A(x₁, y₁) and making an angle θ with positive direction of x-axis is: $\frac{x-x_1}{\cos \theta}=\frac{y-y_1}{\sin \theta}$ = r
Or, x = x₁ + r cos θ, y = y₁ + r sin θ
where r = The directed distance between points P(x, y) and A(x₁, y₁)

(vii) General form:
General equation of a straight line is Ax + By + C = 0

Note:

• Slope of this line = –$\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}$
• x-intercept = –$\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}}$
• y-intercept = – $\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}$
• Two lines a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 are parallel if $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$ perpendicular if a₁a₂ + b₁b₂ = 0 and coincident if $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

Condition of concurrency of three lines:
Three lines a₁x + b₁y + c₁ = 0 a₂x + b₂y + c₂ = 0 and a₃x + b₃y + c₃ = 0 are concurrent if $\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|$ = 0

Family Of Lines:

(i) Equation of lines parallel to the line ax + by + c = 0 is given by: ax + by + λ = 0
(ii) Equation of lines perpendicular to the line ax + by + c = 0 is given by bx – ay + λ = 0
(iii) Equation of lines passing through the point of intersection of two lines.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 is given by: (a₁x + b₁y + c₁) + λ(a₂x + b₂y + c₂)

Distance of a point from a line:
The perpendicular distance of A(x₁, y₁) from the line ax + by + c  = 0 is: d = $\left|\frac{a x_1+b y_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

Distance between two parallel lines:
ax + by + c₁ = 0 and  ax + by + c₂ = 0 is d = $\left|\frac{c_1-c_2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

Position of a point with respect to a line:
A point A(x₁, y₁) lies
(i) above the line ax + by + c = 0 if $\frac{a x_1+b y_1+c}{b}$ > 0
(ii) below the line ax + by + c = 0 if $\frac{a x_1+b y_1+c}{b}$ < 0

Equation of bisectors of angle between two intersecting lines:
(i) Equation of angle bisector of two lines. a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 is given by $\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2 x+b_2 y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Note:

Out of two bisector take one and find the angle between that bisector and one line. If the angle is less than 45° then that bisector is the bisector of acute angle, otherwise, the other bisector is the bisector of acute angle.

(ii) Bisector of angle containing a given point (h, k):

Step – 1: Check the sign of a₁h + b₁k + c₁  and a₂h + b₂k + c₂

• If they have same sign then the bisector of angle containing (h, k) is: $\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\frac{a_2 x+b_2 y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$
• If they have opposite sign then the bisector of angle containing (h, k) is: $\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=-\frac{a_2 x+b_2 y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Change Of Axes (Shifting Of Origin):

(i) Translation of coordinate axes.
Let O'(h, k) is the origin of system S’ with respect to origin O(0, 0) of the system S. S’ is the translation of S. If (x, y) and (x’, y’) are the coordinate of a point P in the system S and S’ respectively then
x’ = x – h and y’ = y – k Or, x = x’ + h, y = y’ + k

(ii) Rotation of axes:
Let S’ is a rotation of S, α is the measure of rotation
If (x, y) and (x’, y’) are the coordinate of a point P with respect to S and S’ then x = x’ cos α – y’ sin α and y = x’ sin α + y’ cos α

(iii) Translation as well as a rotation:
If S’ is a combination of translation followed by a rotation then x = h + x’ cos α – y’ sin α, y = k + x’ sin α + y’ cos α

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 6 Complex Numbers and Quadratic Equations will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 6 Complex Numbers and Quadratic Equations

Unit imaginary number ‘i’.
The unit imaginary number i = √-1
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1
In general (i)⁴ⁿ = 1, (i)⁴ⁿ⁺¹ = i, (i)⁴ⁿ⁺² = -1, and (i)⁴ⁿ⁺³ = -i.
⇒ If a and b are positive real numbers then
√-a × √-b = -√ab
√a × √b = √ab

Complex Number
General form: = z = a +ib

• a = Real part of (z)  = Re (z)
• b = Imaginary part of (z) = I_m(z)
• a + i0 is purely real and 0 + ib is purely imaginary .
• a + ib = c + id iff a = c and b = d

Complex Algebra
(a) Addition of complex numbers
If z₁ = a + ib and z₂ = c + id then z₁ + z₂ = (a + c) + i(b + d)

Properties:

• Addition is commutative: z₁ + z₂ = z₂ + z₁
• Addition is associative: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
• 0 + i0 is the additive identity.
• -z is the additive inverse of z.

(b) Subtraction of complex numbers:
z₁ = a + ib and z₂ = c + id then z₁ – z₂ = (a – c) + i(b – d)

(c) Multiplication of complex numbers:
z₁ = a + ib and z₂ = c + id then z₁z₂ = (ac – bd) + i(bc + ad)

Properties:

• Multiplication is commutative: z₁z₂ = z₂z₁
• Multiplication is associative: z₁(z₂z₃) = z₁z₂(z₃)
• 1 = 1 + i0 is the multiplicative identity.
• If z = a + ib then the inverse of z.
  z^-1 = $\frac{1}{a+i b}=\frac{a-i b}{(a+i b)(a-i b)}$
  = $\frac{a-i b}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{i b}{a^2+b^2}$
• Multiplication is distributive over addition. z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃

Conjugate and modulus of a complex number:
If  z = a + ib the conjugate of z is $\bar{Z}$ = a – ib.
⇒ We get conjugate by replacing i by (-i) Modulus of z = a + ib is denoted by |z| and |z| = $\sqrt{a^2+b^2}$

Properties Of Conjugate:
(i) $(\overline{\bar{z}})$ = z
(ii) z + $\bar{z}$ = 2 Re (z)
(iii) z – $\bar{z}$ = 2i m̂ (z)
(iv) z – $\bar{z}$ ⇔ z is purely real
(v) Conjugate of real number is itself.
(vi) z + $\bar{z}$ = 0 ⇒ z is purely imaginary.
(vii) z. $\bar{z}$ = [Re(z)]² + [m̂(z)]²
= a² + b²
= |z|²
(viii) $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
(ix) $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$
(x) $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$
(xi) $\left(\overline{\frac{z_1}{z_2}}\right)=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

Properties of modulus:
(1) Order relations are not defined for complex numbers. i,e,. z₁ > z₂ or z₁ < z₂ has no meaning but |z₁| < |z₂| or |z₁| > |z₂| is meaningful because |z₁| and |z₂| are real numbers.
(2) |z|  = 0 ⇔ z = 0
(3) |z| = |$\bar{z}$| = |-z|
(4) |z| ≤ Re (z) ≤ |z| and -|z| ≤ m̂ (z) ≤ |z|
(5) |z₁z₂| = |z₁| |z₂|
(6) $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}$
(7) |z₁ ± z₂|² = |z₁|² + |z₂|² ± 2 Re (z₁$\bar{z}_2$)
(8) |z₁ + z₂|² = |z₁ – z₂|² = 2(|z₁|² + |z₂|²)
(9) |z₁ + z₂|² ≤ |z₁| + |z₂|

Square Root Of Complex Number:
Let z = a + ib
Let √z = x + iy

If b > 0 then x and y are taken as same sign.
If b < 0 then x and y are of opposite sign.

Representation of a complex number:
We represent a complex number in different forms like
(i) Geometrical form
(ii) Vector form
(iii) Polar form
(iv) Eulerian form or Exponential form

(i) Geometrical form:
Geometrically z = x + iy = (x, y) represents a point in a coordinate plane known as Argand plane or Gaussian plane.

(ii) Vector form:
In vector form a complex number z = x + iy is the vector $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ where p(x, y) is the point in the cartesian plane.

(iii) Polar form:
A complex number z = x + iy  in polar form can be written as z = r(cos θ + i sin θ) where r = $\sqrt{x^2+y^2}$ = |z| and θ is called the argument and -π < θ ≤ π. Technique to write z = x + iy in polar form.
Step – 1: Find r = |z| = $\sqrt{x^2+y^2}$
Step – 2: Find α = tan^-1 $\left|\frac{y}{x}\right|$
Step – 3:
θ = α for x > 0, y > 0
θ = π – α for x > 0, y > 0
θ = -π + α for x > 0, y > 0
θ = -α for x > 0, y > 0
Step – 4: Write z = r(cos θ + i sin θ)

(iv) Eulerian form or Exponential form z = r e^iθ, because e^iθ = cos θ + i sin θ where θ is the argument and r is the modulus if z.

Note:
(1) |z₁ z₂ z₃ ….. z_n| = |z₁||z₂| …. |z_n|
(2) arg (z₁z₂ …. Z_n) = arg (z₁) + arg (z₂) + ….. + arg (z_n)
(3) arg $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)$ = arg (z₁) – arg (z₂)
(4) arg $(\bar{z})$ = -arg (z)

Cube Roots Of Unity:
Cube roots of unity are 1, ω, ω² where ω = $\frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Properties of Cube roots of unity:
(i) Cube roots of unity lie on unit circle |z| = 1
(ii) 1 + ω + ω² = 0
(iii) Cube roots of -1 are -1, -ω, -ω²
(iv) 1 + ωⁿ + ω²ⁿ $=\left\{\begin{array}{l} 0 \text { if } n \text { is not a multiple of } 3 \\ 3 \text { if } n \text { is a multiple of } 3 \end{array}\right.$
(v) z³ + 1 = (z + 1) (z + ω) (z + ω²)
(vi) -ω and -ω² are roots of z² – z + 1  = 0.

De-moivre’s theorem:
(a) (De-moivre’s theorem for integral index)
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos (nθ) + i sin (nθ)

(b) (De-moivre’s theorem for rational index)
cos (nθ) + i sin (nθ) is one of the values of (cos θ + i sin θ)ⁿ

(c) nth roots of unity
nth roots of unity are 1, α, α², α³ …..α^n-1. where α = e^{i$\frac{2 \pi}{n}$} = cos $\frac{2 \pi}{n}$ + i sin $\frac{2 \pi}{n}$

Properties:

• 1 + α + α² ….. + α^n-1 = 0
• 1 + α^p + α^2p + ….. + α^(n-1)p $= \begin{cases}0 & \text { if } p \text { is not a multiple of } n \\ n & \text { if } p \text { is a multiple of } n\end{cases}$
• 1. α. α² ….. α^n-1 = (-1)^n-1
• zⁿ – 1 = (z – 1) (z – α) (z – α²) …..(z – α^n-1)

Quadratic Equations:
The general form: ax² + bx + c = 0  …(i)
Solutions of quadratic equation(1) are
x = $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$
D = b² – 4ac is called the discrimination of a quadratic equation.
D > 0 ⇒ The equation has real and distinct roots.
D = 0 ⇒ The equation has real and equal roots.
D < 0 ⇒ The equation has complex roots.

Note:
In a quadratic equation with real coefficients, the complex roots occur in conjugate pairs.