Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Notes Algebra Chapter 9 ଚଳନ will enable students to study smartly.
BSE Odisha Class 8 Maths Notes Algebra Chapter 9 ଚଳନ
→ ଚଳନ (Variation):
ବାରମ୍ବାର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଉଥିବା ରାଶିକୁ ଚଳରାଶି କୁହାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣ – 5ଟି କଲମର ଦାମ୍ 25 ଟଙ୍କା ହେଲେ,
10ଟି କଲମର ଦାମ୍ 50 ଟଙ୍କା ହେବ ।
ଏଠାରେ କଲମ ସଂଖ୍ୟା ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଲେ, ଟଙ୍କାର ପରିମାଣ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୋଇଥାଏ ।
- ଯେଉଁ ପ୍ରକ୍ରିୟାଦ୍ଵାରା ଚଳରାଶିମାନଙ୍କର ପରିବର୍ତ୍ତନ ଘଟିଥାଏ, ତାହାକୁ ଚଳନ କୁହାଯାଏ ।
→ ସଳଖ ଚଳନ (Direct Variation) :
(i) ଅନ୍ୟଟିର ହ୍ରାସ ହୁଏ । ରାଶିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଏ ପ୍ରକାର ସମ୍ବନ୍ଧକୁ ‘ସଳଖ ଚଳନ’ କୁହାଯାଏ।
(ii) x ଓ y ରାଶିଦ୍ଧୟ ମଧ୍ୟରେ
xର ମାନ ବୃଦ୍ଧିପାଇଲେ ଦୂର ମାନ ବୃଦ୍ଧିପାଏ ଏବଂ
xର ମାନ ହ୍ରାସପାଇଲେ ଦୂର ମାନ ହ୍ରାସପାଏ ।
କିନ୍ତୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ \(\frac{x}{y}\) ର ମାନ ସମାନ ରହେ ।
(iii) ଯଦି x ର ପରିବର୍ତ୍ତିତ ମାନ x1କୁ ଏବଂ ପରମୁହୂରରେ x2; y ର ପରିବର୍ତ୍ତିତ ମାନ y1କୁ ଏବଂ
ପରମୁହୂର୍ତ୍ତରେ y2 ହୁଏ । ଯେଉଁଠାରେ \(\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=K\) ହେବ ।
(iv) x ଓ ଦୂର ଏପ୍ରକାର ଚଳନକୁ ସଳଖ ଚଳନ (Direct Variation) କୁହାଯାଏ । ଏହାକୁ x ∝ y ରୂପେ ଲେଖାଯାଏ ଏବଂ “x varies directly as y” ପଢ଼ାଯାଏ ।
x ∝ y ⇒ x = Ky ⇒ \(\frac{x}{y}\) = K ଏବଂ \(\frac{x}{y}=\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=K\)
ନିଜେ କର :
Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସାରଣୀକୁ ଦେଖ୍ x ଓ y ଚଳରାଶିଦ୍ଵୟ ସଳଖ ଚଳନରେ ଅଛନ୍ତି କି ନାହିଁ ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ ।
(a)
| X | 20 | 17 | 14 | 11 | 8 | 5 | 2 |
| y | 40 | 34 | 28 | 22 | 16 | 10 | 4 |
(b)
| X | 6 | 10 | 14 | 18 | 22 | 26 | 30 |
| y | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 |
(c)
| X | 6 | 10 | 14 | 18 | 22 | 26 |
| y | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
ସମାଧାନ :
(a) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ \(\frac{x}{y}=\frac{20}{40}=\frac{17}{34}=\frac{14}{28}=\frac{11}{22}=\frac{8}{16}=\frac{5}{10}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ \(\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\) । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ସଳଖ ଚଳନ ।
(b) \(\frac{6}{4}=\frac{10}{8}\) ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ \(\frac{x}{y}\)ର ମାନ ସମାନ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ଏହା ସଳଖ ଚଳନ ନୁହେଁ ।
(c) \(\frac{x}{y}=\frac{5}{15}=\frac{8}{24}=\frac{12}{36} \neq \frac{15}{60}=\frac{18}{72} \neq \frac{20}{100}\)
Question 2.
x ଓ y ଚଳରାଶିଦ୍ଵୟ ସଳଖ ଚଳନରେ ଥିଲେ ନିମ୍ନ ସାରଣରୁ p ଓ ୟୁର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
| X | 5 | P | 10 |
| y | 8 | 32 | q |
ସମାଧାନ :
ଏଠାରେ x ∝ y ⇒ \(\frac{5}{8}=\frac{P}{32}=\frac{10}{q} \Rightarrow \frac{5}{8}=\frac{P}{32} \Rightarrow 8 P=32 \times 5 \Rightarrow P=\frac{32 \times 5}{8}=20\)
\(\frac{5}{8}=\frac{10}{q} \Rightarrow 5 q=80 \Rightarrow q=\frac{80}{5}=16\)
ଉଦାହରଣ :
ସମାନ ଆକାରର 4ଟି ମହମବତିର ମୂଲ୍ୟ 10 ଟଙ୍କା ହେଲେ, 15ଟି ମହମବତିର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?
ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟକୁ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ପ୍ରକାଶକଲେ,
| ମହମବତି ସଂଖ୍ୟା (x) | 4(x1) | 15(x2) |
| ମହମବତିର ଦାମ୍ (y) (ଟଙ୍କାରେ) | 10(y1) | y2 |
ଲକ୍ଷ୍ୟକର, x ∝ y । ଏଠାରେ ସଳଖ ଚଳନର ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ ହେବ ।
ସଳଖ ଚଳନ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, \(\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2} \Rightarrow \frac{4}{10}=\frac{15}{y_2} \Rightarrow 4 y_2=10 \times 15\)
⇒ \(y_2=\frac{10 \times 15}{4}=\frac{75}{2}=37.50\)
∴ 15ଟି ମହମବତିର ମୂଲ୍ୟ ଟ.37.50 |
→ ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନ (Inverse Variation):
(i) ଦୁଇଟି ରାଶି ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ରାଶିର ବୃଦ୍ଧି ଘଟିଲେ ଅନ୍ୟ ରାଶିର ହ୍ରାସ ଘଟେ ବା ପ୍ରଥମ ରାଶିର ହ୍ରାସ ହେଲେ ଦ୍ଵିତୀୟ ରାଶିର ବୃଦ୍ଧି ଘଟେ। ଚଳରାଶିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଏହି ସମ୍ବନ୍ଧକୁ ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନ କୁହାଯାଏ ।
(ii) ଯଦି x ଓ y ଚଳରାଶି ଏବଂ x ଓ y ମଧ୍ୟରେ ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନ ହୁଏ; ତେବେ x ∝ \(\frac{1}{y}\) ଏହାକୁ x varies inversely as y ବୋଲି ପଢ଼ାଯାଏ ।
- ଯଦି x ∝ \(\frac{1}{y}\) ହୁଏ; ତେବେ x = \(\frac{K}{y}\) ବା xy = K ହେବ ।
(iii) x ର ମାନ x1 ରୁ x2 କୁ ଏବଂ yର ମାନ y1 ରୁ y2କୁ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହେଲେ, ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନ ଅନୁସାରେ
xy = x1y1 = x2y2 = K ଅଥବା x1y1 = x2y2 ହେବ ।
ନିଜେ କର :
Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସାରଣୀକୁ ଦେଖ୍ x ଓ y ଚଳରାଶିଦ୍ଵୟ ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନରେ ଅଛନ୍ତି କି ନାହିଁ ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ ।
(a)
| X | 50 | 40 | 30 | 20 |
| y | 5 | 6 | 7 | 8 |
(b)
| X | 100 | 200 | 300 | 400 |
| y | 60 | 30 | 20 | 15 |
(c)
| X | 90 | 60 | 45 | 30 | 20 | 5 |
| y | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
ସମାଧାନ :
(a) xy = 50 × 5 ≠ 40 × 6 ≠ 30 × 7 ≠ 20 × 8
ଏଣୁ ଏହା ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନରେ ନାହିଁ ।
(b) xy = 100 × 60 = 200 × 30 = 300 × 20 = 400 × 15 = 6000
ତେଣୁ ଏହା ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନରେ ଅଛନ୍ତି ।
(c) xy = 90 × 10 = 60 × 15 = 45 × 20 ≠ 30 × 25 ≠ 5 × 35
ତେଣୁ ଏହା ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନରେ ନାହିଁ ।
Question 2.
x ଓ y ଚଳରାଶିଦ୍ଵୟ ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ । ନିମ୍ନ ସାରଣୀରୁ p ଓ q ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
| X | 6 | 5 | q |
| y | 80 | P | 24 |
ସମାଧାନ :
ଏଠାରେ x ∝ \(\frac{1}{y}\) ⇒ 6 × 80 = 5 × p = q × 24
ବର୍ତ୍ତମାନ 6 × 80 = 5 × p ⇒ p = \(\frac{6 \times 80}{5}\) = 96
ପୁନଶ୍ଚ 5 × 80 = 6 × 24 ⇒ q = \(\frac{6 \times 80}{24}\) = 20
∴ p = 96 ଓ q = 20
ଉଦାହରଣ :
ଗୋଟିଏ ମହମବତି ଦୈନିକ \(\frac{1}{2}\) ଘଣ୍ଟା ଜଳିଲେ 8 ଦିନ ଯାଏ । ତେବେ ଦିନକୁ 2 ଘଣ୍ଟା ପାଇଁ ଜାଳିଲେ ଉକ୍ତ ମହମବତିଟି କେତେ ଦିନ ଜଳିବ ?
ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟକୁ ଗୋଟିଏ ସାରଣୀରେ ସନ୍ନିବେଶ କରାଇଲେ ପାଇବା,
ଏଠାରେ ମହମବତି ଜଳିବା ସମୟ ଓ ଦିନ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ।
∴ ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନର ସୂତ୍ରାନୁଯାୟୀ x1y1 = x2y2 ⇒ \(\frac{3}{2}\) ×8 = 2y2 ⇒ 12 = 2y2 ⇒ y2 = \(\frac{12}{2}\) = 6
ଦିନକୁ 2 ଘଣ୍ଟା ପାଇଁ ଜାଳିଲେ ଉକ୍ତ ମହମବତିଟି 6 ଦିନ ଜଳିବ ।
→ ଯୌଥ ଚଳନ (Joint Variation):
- ତିନି ବା ତତୋଽଧୂକ ଅଣଶୂନ୍ୟ ଚଳରାଶି ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ରାଶି ଅନ୍ୟ ରାଶିମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ସହିତ ସଳଖ ଚଳନରେ ରହିଲେ, ପ୍ରଥମ ରାଶିଟି ଅନ୍ୟ ରାଶିମାନଙ୍କ ସହ ଯୌଥ ଚଳନରେ ରହିବ ।
ମନେକର, x, y ଓ z ତିନୋଟି ଅଣଶୂନ୍ୟ ଚଳରାଶି ।
(i) ଯଦି x ∝ y (z ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ) ଓ x ∝ z (y ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ)
ତେବେ x ∝ yz (y ଓ z ଉଭୟେ ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ)
ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ x, y ଓ z ସହିତ ଯୌଥ ଚଳନରେ ରହୁଛି ବୋଲି କହିବା ।
(ii) ଯଦି x ∝ y, (z ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ) ଏବଂ x ∝ \(\frac{1}{z}\) (y ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ)
ତେବେ x ∝ \(\frac{y}{z}\) (y ଓ z ଉଭୟେ ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ)
ଏହା ମଧ୍ଯ x ସହିତ y ଓ z ଏକ ଯୌଥ ଚଳନ ।
ଯଦି x1 ଓ x2, x ର ଦୁଇଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନ ; y1 ଓ y2 , y ର ଦୁଇଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନ ଏବଂ z1 ଓ z2, z ର ଦୁଇଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନ ହୁଏ ।
ନିଜେ କର
15 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ 12 ସେ.ମି. ପ୍ରସ୍ଥ ବିଶିଷ୍ଟ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରରେ ଉପରୋକ୍ତ ଚଳନଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ନିରୂପଣ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର ।
ମନେରଖ :
ଯଦି x1 ଓ x2, xର ଦୁଇଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନ y1 ଓ y2, yର ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନ ଏବଂ z1 ଓ z2, zର ଦୁଇଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନ ହୁଏ ।
ଯୌଥ ଚଳନ x ∝ yz ପାଇଁ \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2} \times \frac{z_1}{z_2}\) ହେବ ।
ଯୌଥ ଚଳନ x ∝ \(\frac{y}{z}\) ପାଇଁ\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2} \times \frac{z_2}{z_1}\) ହେବ ।
ଉଦାହରଣ :
6 ଜଣ ପରୀକ୍ଷକ 40 ଘଣ୍ଟାରେ 750 ଖାତା ଦେଖିପାରନ୍ତି; ତେବେ 4 ଜଣ ପରୀକ୍ଷକ କେତେ ଘଣ୍ଟାରେ 800 ଖାତା ଦେଖପାରିବେ ?
ସମାଧାନ :
ଏଠାରେ ଖାତା ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର ରହିଲେ, ଖାତା ଦେଖିବା ସମୟ ଓ ପରୀକ୍ଷକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରତିଲୋମୀ ଚଳନର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ହେବେ ।
ଅର୍ଥାତ y ∝ \(\frac{1}{x}\) ହେବ । ……….(i)
ପରୀକ୍ଷକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର ରହିଲେ, ଖାତା ଦେଖା ସମୟ ଓ ଖାତା ସଂଖ୍ୟା ସଳଖ ଚଳନର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ହେବେ
y ∝ z ହେବ । ……….(ii)
Eqn. (i) ଓ Eqn. (ii)ରୁ ପାଇବା x, y ଓ z ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଚଳନ ଯୌଥ ଚଳନ ହୋଇଥିବାରୁ y ∝ \(\frac{z}{x}\) ହେବ ।
\(\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2} \times \frac{x_2}{x_1} \Rightarrow y_2=\frac{x_1 y_1 z_2}{z_1 x_2} \Rightarrow y_2=\frac{6 \times 40 \times 800}{750 \times 4}=\) = 64 ଘଣ୍ଟା
4 ଜଣ ପରୀକ୍ଷକ 800 ଖାତା ଦେଖିବାପାଇଁ 64 ଘଣ୍ଟା ସମୟ ନେବେ ।