Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍ର ପ୍ରୟୋଗ will enable students to study smartly.
BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 1 ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍ର ପ୍ରୟୋଗ
ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ
ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction) :
ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ଵର ସ୍ରଷ୍ଟା ହେଉଛନ୍ତି ଜର୍ମାନ ଗଣିତଜ୍ଞ ଜର୍ଜ କ୍ୟାଣ୍ଟର (Georg Cantor) (1845-1918) ।
ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ଵ (Set Theory) ଗଣିତକୁ ସହଜ ଓ ସୁନ୍ଦର କରିବାରେ, ଜଟିଳ ଗାଣିତିକ ତତ୍ତ୍ଵକୁ ସରଳ ଓ ସାବଲୀଳ ଭାବରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କରିବାରେ ମୁଖ୍ୟ ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରିପାରିଛି ।
ପୂର୍ବପାଠର ପର୍ଯ୍ୟାଲୋଚନା (Introduction) :
(i) ସେଟ୍ ଓ ଏହାର ଉପାଦାନ (Set and its elements) :
ସେଟ୍ ଓ ସେଟ୍ର ଉପାଦାନ ସଂଜ୍ଞା ବିହୀନ ପଦ ଅଟେ । ଏହାକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବାପାଇଁ ଦୁଇଟି ପ୍ରଣାଳୀ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ ; ଯଥା –
(a) ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀ (Tabular or Roster Method) :
ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ କୁଟୀଳ ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରେ ଲେଖାଯାଏ । ଯେପରି –
S = {a, b, c, d}, N = {1, 2, 3, 4, 5, …..} ଏଠାରେ c ଏକ ସେଟ୍ ଓ ‘a’ ଏହାର ଉପାଦାନ ।
(b) ସୂତ୍ର (ସେଟ୍ ଗଠନକାରୀ) ପ୍ରଣାଳୀ (Set builder method) :
ସେଟ୍ ଗଠନକାରୀ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସେଟ୍ର ଉପାଦାନମାନଙ୍କ ସାଧାରଣ ଧର୍ମକୁ ଭିଭିକରି ଲେଖାଯାଏ । ଯେପରି
S = {x | x ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାର ପ୍ରଥମ ଚାରୋଟି ବର୍ଷ}
N = {x | x, ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା }
(ii) ସସୀମ ସେଟ୍ ଓ ଅସୀମ ସେଟ୍ (Finite and Infinite sets) :
ସସୀମ ସେଟ୍ – ଯଦି କୌଣସି ସେଟ୍ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ ଗୋଟି ଗୋଟି କରି ଗଣିଲେ ଗଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ପରିସମାପ୍ତି ଘଟେ, ତେବେ ଉକ୍ତ ସେଟ୍ଟି ଏକ ସସୀମ ସେଟ୍ ଅଟେ ।
ସମୀପ ସେଟ୍ A ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟାକୁ (A) ଦ୍ଵାରା ବା n(A) ଦ୍ଵାରା ସୁଚାଯାଇଥାଏ ।
ଅସୀମ ସେଟ୍– ଯଦି କୌଣସି ସେଟ୍ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ ଗୋଟି ଗୋଟି କରି ଗଣିଲେ ଗଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ପରିସମାପ୍ତି ନଘଟେ ଉକ୍ତ ସେଟ୍ଟି ଏକ ଅସୀମ ସେଟ୍ ଅଟେ ।
(iii) ଶୂନ୍ୟସେଟ୍ (Empty or Null set) – ଯଦି କୌଣସି ସେଟ୍ ଉପାଦାନବିହୀନ ତେବେ ସେହି ସେଟ୍କୁ ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ । ଏହାର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା 0
ଶୂନ୍ୟସେଟ୍କୁ Ô ବା { } ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ ।
(iv) ଉପସେଟ୍ (Subset) – A ଓ B ସେଟ୍ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଯଦି A ସେଟ୍ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ B ସେଟ୍ର ଉପାଦାନ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ Aକୁ B ସେଟ୍ ଉପସେଟ୍ କୁହାଯାଏ ।
ଏହାକୁ A ⊂ B ବା B ⊃ A ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ।
A ⊂ B ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି : x ∈ A ⇒ x ∈ B
ମନେରଖ :
⇒ Φ ⊂ A (ଶୂନ୍ୟସେଟ୍ ଯେକୌଣସି ସେଟ୍ର ଉପସେଟ୍)
⇒ A ⊂ A (ଯେକୌଣସି ସେଟ୍ ତା’ ନିଜର ଉପସେଟ୍)
(v) ଦୁଇଟି ସେଟ୍ର ସମାନତା (Equality of two sets) :
A ଓ B ସେଟ୍ ଦ୍ଵୟରେ A c B ଓ B c A ହେଲେ A ଓ B ସେଟ୍ଦ୍ଵୟ ସମାନ; ଅର୍ଥାତ୍ A = B
ସେଟ୍ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା କ୍ରମର ପରିବର୍ତ୍ତନ କଲେ ମଧ୍ୟ ସେଟ୍ଟି ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ହେବ ।
ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ (Universal Set) :
ଆମର ଆଲୋଚନାର ପରିସର ମଧ୍ୟରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସେଟ୍, ଯଦି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସେଟ୍ Eର ଉପସେଟ୍ କିମ୍ବା ଯେକୌଣସି ବସ୍ତୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସେଟ୍ Eର ଉପାଦାନ ହୁଏ, ତେବେ ସେହି ସେଟ୍କୁ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ । ସାଧାରଣତଃ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E କୁ ଆୟତଚିତ୍ରଦ୍ୱାରା ଓ ଏହାର ଉପସେମାନଙ୍କୁ ଆବଦ୍ଧ କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵାରା ବା ବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵାରା ସୂଚାଯାଇଥାଏ ।
ଉଦାହରଣ :
ଯଦି N = ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍, N* ବା W = ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ବଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍, Z = ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ଓ S = { \(\frac{1}{n}\)| n ∈ N} ହୁଏ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ (Q)କୁ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E ରୂପେ ନିଆଯାଏ ।
ଏଠାରେ N, W, Z ଓ S ପ୍ରତ୍ୟେକ Qର ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଉପସେଟ୍ ଅଟନ୍ତି ।
∴ N ⊂ E, W ⊂ E, Z ⊂ E ଓ S ⊂ E
ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା (Set Operations):
ସେଟ୍ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସଂଯୋଗ (Union), ଛେଦ (Intersection) ଓ ଅନ୍ତର (Difference) ଘଟିଥାଏ । ଏମାନେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଦୈତ ପ୍ରକ୍ରିୟା (Binary operation) ।
⇒ ସେଟ୍ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସଂଯୋଗ, ଛେଦ ଓ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ନେଇ ଯେଉଁ ବୀଜଗଣିତର ସୃଷ୍ଟି ତାହାକୁ ବୁଲିଆନ୍ ବୀଜଗଣିତ (Boolean Algebra) କୁହାଯାଏ ।
⇒ ବୁଲିଆନ୍ ବୀଜଗଣିତ, ଇଂରେଜ ଗଣିତଜ୍ଞ ଓ ତର୍କଶାସ୍ତ୍ରବିତ୍ George Booleଙ୍କ ନାମରେ ନାମିତ ।
(a) ସଂଯୋଗ (Union) :
A ଓ B ସେଟ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍କୁ A ଓ B ର ସଂଯୋଗ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହା A ∪ B ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହୁଏ ।
ଅର୍ଥାତ୍ A ∪ B = {x | x ∈ A ବା x = B}
ଏଠାରେ x ∈ A ବା x = B ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି x ଉପାଦାନଟି A ସେଟ୍ରେ କିମ୍ବା Bସେଟ୍ର କିମ୍ବା ଉଭୟ ସେଟ୍ରେ ରହିପାରେ ।
ସଂଯୋଗ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେକ ତଥ୍ୟ :
- A ⊂ B ହେଲେ A ∪ B = B ଏବଂ B ⊂ A ହେଲେ A ∪ B = A ହେବ ।
- କୌଣସି ସେଟ୍ ‘A’ ସହିତ A ର ସଂଯୋଗ ‘A’ ଅଟେ । ଅର୍ଥାତ୍ A ∪ A = A
- ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ରେ କୌଣସି ଉପାଦାନ ନଥିବାରୁ ଯେକୌଣସି ସେଟ୍ A ସହିତ ଏହାର ସଂଯୋଗ A ଅଟେ । ଅର୍ଥାତ୍ A ∪ Φ = A
- A ⊂ A ∪ B ଏବଂ B ⊂ A ∪ B
ସଂଯୋଗର ନିୟମ :
(i) A ∪ B = B ∪ A (ସଂଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା କ୍ରମ ବିନିମୟୀ ଅଟେ ।)
(ii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (ସଂଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସହଯୋଗୀ ଅଟେ ।)
(b) ଛେଦ (Intersection):
A ଓ B ସେଟ୍ ଦ୍ଵୟରେ ଥିବା ଉପାଦାନମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଉଭୟ A ଓ Bର ଉପାଦାନ ହୋଇଥିବେ ସେହିମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍କୁ À ଓ Bର ଛେଦ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହା A n B ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ ହୁଏ ।
ଅର୍ଥାତ୍ A ∩ B = {x | x ∈ À ଓ x € B}
ଏଠାରେ x ∈ A ଓ x ← Bର ଅର୍ଥ ହେଉଛି x, A ଓ Bର ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ । ଅର୍ଥାତ୍ x, A ଓ B ଉଭୟ ସେଟ୍ ଉପାଦାନ ।
ଯଦି A ଓ B ସେଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ (Common Elements) ନଥାଏ, ତେବେ A ଓ B ସେଟ୍ଦ୍ଵୟକୁ ଅଣଛେଦୀ ସେଟ୍ (Disjoint set) କୁହାଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ A ∩ B = Φ
ଛେଦ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେକ ତଥ୍ୟ :
- A ⊂ B ହେଲେ A ∩ B = B ଏବଂ B ⊂ A ହେଲେ A ∩ B = A ହେବ ।
- ଯେକୌଣସି ସେଟ୍ A ଓ ସେହି ସେଟ୍ ଛେଦ A ଅଟେ । A ∩ A = A
- ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ର୍ଡ଼ ରେ କୌଣସି ଉପାଦାନ ନଥିବାରୁ ଯେକୌଣସି ସେଟ୍ A ସହିତ ଏହାର ଛେଦ à ହେବ । A ∩ = Φ
- A ⊂ A ∩ B ଏବଂ B ⊂ A ∩ B
ଛେଦର ନିୟମ :
⇒ A ∩ B = B ∩ A (ଛେଦପ୍ରକ୍ରିୟା କ୍ରମବିନିମୟୀ)
⇒ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (ଛେଦ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସହଯୋଗୀ)
ବଣ୍ଟନ ନିୟମ (Distributive law) :
⇒ A, B, ତିନିଗୋଟି ସେଟ୍ ହେଲେ,, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)ଅର୍ଥାତ୍ ସଂଯୋଗ ଛେଦ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ବଣ୍ଟନ କରେ ।
⇒ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ଅର୍ଥାତ୍ ଛେଦ ସଂଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ବଣ୍ଟନ କରେ ।
(c) ଅନ୍ତର (Difference):
ଯଦି A ଓ B ଦୁଇଟି ସେଟ୍, ତେବେ À ସେଟ୍ର ଯେଉଁ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ Bରେ ନାହାନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍କୁ A ଅନ୍ତର B (A difference B) କୁହାଯାଏ ଅନ୍ତର Bକୁ A – B ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ ।
ଅର୍ଥାତ୍ A – B = {x | x ∈ A ଓ x ∉ B}
B ସେଟ୍ରେ ଯେଉଁ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ A ସେଟ୍ରେ ନାହାଁନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କୁ ନେଇ B ଅନ୍ତର A ସେଟ୍ଟି ଗଠିତ ।
ଅର୍ଥାତ୍ B – A = {x | x ∈ B ଓ x ∉ A}
ଅନ୍ତର ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେକ ତଥ୍ୟ :
(i) ଯେକୌଣସି ସେଟ୍ À ପାଇଁ A – A = Φ
(ii) A – B ⊂ A ଓ B – A ⊂ B
(iii) (A – B) ∩ (B – A) = Φ
(iv) (A – B) ∩ (A ∩ B) = Φ
(v) (B – A) ∩ (A ∩ B) = Φ
(vi) A – B, B – A, A ∩ B ସେନ୍ଦ୍ରିୟ ପରସ୍ପର ଅଣଛେଦୀ ଅଟନ୍ତି ।
(vii) A – B = A – (A ∩ B), B – A = B – ( A ∩ B), ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟାଟି କ୍ରମବିନିମୟୀ ଓ ସହଯୋଗୀ ନୁହେଁ
ଅର୍ଥାତ୍ :
⇒ ସେଟ୍ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟାଟି କ୍ରମବିନିମୟୀ କିମ୍ବା ସହଯୋଗୀ ନୁହେଁ । A – B ≠ B – A
⇒ (A – B) – C ≠ A – (B – C)
ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର (Symmetric Difference) :
ଯଦି A ଓ B ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସେଟ୍, ତେବେ A – B ଓ B – A ସେଟ୍ୟର ଉପାଦାନମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍କୁ A ଓ Bର ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ ଓ ଏହାକୁ A Δ B ସଂକେତ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ ।
ଅର୍ଥାତ୍ A Δ B = (A – B) ∪ (B – A)
A Δ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
ସମଞ୍ଜସ୍ୟ-ଅନ୍ତର ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେଗୋଟି ତଥ୍ୟ :
(i) A Δ B = B Δ A (ସମଞ୍ଜସ୍ୟ-ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା କ୍ରମବିନିମୟୀ)
(ii) (A Δ B) Δ C ≠ A Δ (B Δ C) (ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା ସହଯୋଗୀ ନୁହେଁ)
ଏକ ସେଟ୍ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ (Complement of a Set) :
ଯଦି E ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଓ À ଏହାର ଏକ ଉପସେଟ୍ ହୁଏ ତେବେ E ସେଟ୍ର ଯେଉଁ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ À ସେଟ୍ରେ ନାହାଁନ୍ତି ସେହିମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍କୁ Á ସେଟ୍ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ ଓ ଏହାର ସଂକେତ A’ ଅଟେ ।
ଅର୍ଥାତ୍ | A’ = E – A = {x | x ∈ E ଓ x ∈ A}
ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେକ ତଥ୍ୟ :
(i) A ∩ A’= Φ (ii) A ∪ A’ = E (iii) (A’)’ = A (iv) Φ’ = E (v) E’ = Φ
ଡିମର୍ଗାନ୍ ନିୟମ (De Morgan’s Laws):
ମନେକର E ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଓ A, B ସେଟ୍ୟ ଏହାର ଉପସେଟ୍ ।
(A∪B)=A’∩ B ́ ́…. (i)
(A ∩ B) = A’ ∪ B’ … (ii)
ଏହି ନିୟମଦ୍ୱୟ ଡିମର୍ମାନଙ୍କ ନିୟମ ନାମରେ ଅଭିହିତ ।
(i) ରୁ ଜଣାଯାଏ ସଂଯୋଗର ପରିପୂରକ ସେଟ୍, ପରିପୂରକ ସେୟର ଛେଦ ।
(ii) ରୁ ଜଣାଯାଏ ଛେଦର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ପରିପୂରକ ସେଟ୍ମାନଙ୍କ ସଂଯୋଗ ।
ମନେରଖ :
ପରିପୂରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟା (Complimentation) ହେତୁ ସଂଯୋଗ, ଛେଦରେ ଓ ଛେଦ ସଂଯୋଗରେ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୁଏ ।
ବି.ଦ୍ର. :(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’,
A ଓ B ପରିବର୍ତ୍ତେ A‘ ଓ B’ ଲେଖୁଲେ
(A’ ∪ B’)’ = (A’)’ ∩ (B’)’ = A ∩ B
∴ (A’)’ = A ଓ (B’)’ = B
⇒ ((A’ ∪ B’)’)’ = (A ∩ B)’ ⇒ A’ ∪ B’ = (A ∩ B)’
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟକର ଯେ, ଡି. ମର୍ଗାନ୍ଙ୍କ ପ୍ରଥମ ନିୟମରୁ ଦ୍ବିତୀୟ ନିୟମଟି ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା । (ପ୍ରମାଣିତ)
ଦୁଇଟି ସେଟ୍ର କାର୍ଟେଜୀୟ ଗୁଣଫଳ (Cartesian product of two Sets) :
(i) ସମତଳ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିରେ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁକୁ ଏହାର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (x, y) ଦ୍ଵାରା ସୂଚାଇ ଦିଆଯାଏ । (x, y) ହେଉଛି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ି (Ordered pair) ।
- ଯଦି x ଓ Y ଦୁଇଟି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ତେବେ (x, y) କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି ସ୍ଥାନାଙ୍କ ସମତଳରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ, ମାତ୍ର {x, y} ଗୋଟିଏ ସେଟ୍ ଯାହାର ଦୁଇଗୋଟି ଉପାଦାନ ଅଛି ।
- ଯଦି x ≠ Y ହୁଏ, ତେବେ ସ୍ଥାନଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିରେ (x, y) ଓ (y, x) ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁକୁ ସୂଚାଇ ଥାଆନ୍ତି । କିନ୍ତୁ {x, y} ଓ {y, x} ସେଟ୍ ଦୁଇଟି ସମାନ ।
(ii) ଦୁଇଟି କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି (x1, y1) ଓ (x2, y2) ସମାନ ହେବେ ଯଦି x1 = x2 ଓ y1 = y2 ହେବ ।
(iii) (x, y) କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ିରେ x ଓ yକୁ ଯଥାକ୍ରମେ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି (x, y)ର ପ୍ରଥମ ଉପାଂଶ ଓ ଦ୍ବିତୀୟ ଉପାଂଶ କୁହାଯାଏ । A ଓ B ଦୁଇଟି ଅଣଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍, ତେବେ Aର ଉପାଦାନମାନଙ୍କୁ ପ୍ରଥମ ଉପାଂଶ ଓ Bର ଉପାଦାନମାନଙ୍କୁ ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାଂଶ ରୂପେ ନେଲେ ଯେତେଗୁଡ଼ିଏ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି ସୃଷ୍ଟିହେବ, ସେହି ସମସ୍ତ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ିମାନଙ୍କୁ ଉପାଦାନ ରୂପେ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍କୁ A ଓ B ସେଟ୍ୟର କାର୍ଟେଜୀୟ ଗୁଣଫଳ କୁହାଯାଏ ।
A ଓ B ସେଟ୍ୟର କାର୍ଟେଜୀୟ ଗୁଣଫଳ A × B ସଂକେତଦ୍ୱାରା ସୂଚୀତ ହୁଏ ।
ସୁତରାଂ A × B = {(a, b) | a ∈ A ଓ b ∈ B)
ସେହିପରି B ଓ A ସେଟ୍ୟର କାର୍ଟେଜୀୟ ଗୁଣଫଳ B × A = {(b, a) | b ∉ B ଓ a ∈ A}
ଯଦି | A | = m ଓ | B | = n ହୁଏ, | A × B | = | B × A | = mn
ବି.ଦ୍ର. : A × A କୁ A2 ରୂପେ ଲେଖାଯାଏ ।
ଦୁଇଟି ସେଟ୍ A ଓ Bର ସଂଯୋଗ ସେଟ୍ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଏହାର ପ୍ରୟୋଗ :
ଯଦି A ଓ B ଦୁଇଟି ସସୀମ ସେଟ୍, ତେବେ
(i) (a) A ଓ B ସେଟ୍ୟ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ହେଲେ, |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|
(b) A ଓ B ସେଟ୍ୟ ପରସ୍ପର ଅଣଛେଦୀ ହେଲେ, |A ∪ B| = |A| + |B|
(ii) |A Δ B| = |A| + |B| – 2|A ∩ B|
(iii) ଯଦି A ∩ B = Φ ଦୁଏ ତେବେ |A ∪ B| = |A| + |B|