BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ

ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

ଅନୁପାତ (Ratio) :
(i) ଦୁଇଟି ରାଶିକୁ ତୁଳନା କଲେ, ପ୍ରଥମ ରାଶି ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶିର କେତେ ଗୁଣ ବା କେତେ ଅଂଶ, ଏହା ଯେଉଁ ରାଶି ବା ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ବ୍ୟକ୍ତ ହୁଏ, ତାହାକୁ ପ୍ରଥମ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ ମଧ୍ୟସ୍ଥି ଅନୁପାତ (Ratio) କୁହାଯାଏ
ଉଦାହରଣ –

• 6 ମିଟର ଓ 30 ମିଟରର ଅନୁପାତ = \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\) = 1 : 5
• 25 ପଇସା ଓ 1 ଟଙ୍କାର ଅନୁପାତ = \(\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\) = 1 : 4

(ii) ମନେକରାଯାଉ ଗୋଟିଏ ଏକକରେ ପ୍ରକାଶିତ ଦୁଇଟି ରାଶି a ଓ b ଅଟେ । a ରାଶି ସହ b ରାଶି ଅନୁପାତକୁ a : b । ବା \(\frac{a}{b}\) ଦ୍ଵାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । (a : b କୁ a ଅନୁପାତ b ବା a is to b ବୋଲି ପଢ଼ାଯାଏ ।)
(iii) ଅନୁପାତ a : bରେ ପ୍ରଥମ ପଦ aକୁ ପୂର୍ବ ପଦ (antecedent) ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦ bକୁ ଉତ୍ତର ପଦ (consequent) କୁହାଯାଏ
(iv) କୌଣସି ଅନୁପାତରେ ପୂର୍ବ ଓ ଉତ୍ତର ରାଶିଦ୍ଵୟକୁ ଯଦି ସମାନ ଅଣଶୂନ୍ୟ (Non-zero) ରାଶି ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ ବା ହରଣ କରାଯାଏ, ତାହାହେଲେ ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ ଅପରିବର୍ତିତ ରହିବ ।
(v) ଅନୁପାତ କେବଳ ଗୋଟିଏ ରାଶି ବା ଏକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ପ୍ରକାଶିତ ହୁଏ ।
{ଅନୁପାତ ଏକକ ନିରପେକ୍ଷ (independent of unit) ରାଶି ।}

ବିଭିନୃ ଅନୁପାତ (Different type of Ratios):

• ବର୍ଗାନୁପାତ (Duplicate Ratio) : \(\frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{~b}^2}\) କୁ \(\frac{a}{b}\) ର ବର୍ଗାନୁପାତ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, \(\frac{2}{3}\) ର ବର୍ଗାନୁପାତ \(\frac{4}{9}\) ।
• ଘନାନୁପାତ (Triplicate Ratio): \(\frac{a^3}{b^3}\) କୁ \(\frac{a}{b}\) ର ଘନାନୁପାତ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, \(\frac{2}{3}\)ର ଘନାନୁପାତ \(\frac{8}{27}\)
• ଉପବର୍ଗାନୁପାତ କିମ୍ବା ବର୍ଗାମୂଳାନୁପାତ (Subduplicate Ratio) : \(\frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}}\) ବା \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) କୁ \(\frac{a}{b}\) ଅନୁପାତର ଉପବର୍ଗାନୁପାତ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ, \(\frac{2}{3}\),  \(\frac{4}{9}\)ର ଉପବର୍ଗାନୁପାତ ଅଟେ ।
• ଉପବର୍ଗାନୁପାତ କିମ୍ବା ଘନମୂଳାନୁପାତ (Sub-Triplicate Ratio): \(\frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}}\) ବା \(\frac{3\sqrt{a}}{3\sqrt{b}}\) କୁ \(\frac{a}{b}\) ଅନୁପାତର ଉପଘନାନୁପାତ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, \(\frac{3}{2}\),  \(\frac{27}{8}\) କୁ ର ଉପଘନାନୁପାତ କୁହାଯାଏ ।
• ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ (Inverse Ratio) : କୌଣସି ଅନୁପାତର ପୂର୍ବପଦ ଓ ଉତ୍ତର ପଦକୁ ଯଥାକ୍ରମେ ଉତ୍ତରପଦ ଓ ପୂର୍ବପଦ କରିଦେଲେ, ଯେଉଁ ନୂତନ ଅନୁପାତଟି ସୃଷ୍ଟି ହେବ, ତାହାକୁ ସେହି ଅନୁପାତର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ କୁହାଯାଏ ।
  ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ, \(\frac{5}{7}\) ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ \(\frac{7}{5}\) ଏବଂ \(\frac{3}{2}\) ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ \(\frac{2}{3}\) ।
• ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ (Compound Ratio) : ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ଯଦି \(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{c}{f}\) ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ସେଗୁଡ଼ିକର \(\begin{aligned}
  & \text { ace…….. } \\
  & \text { bdf…….. }
  \end{aligned}\)
  ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ, \(\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}\) ର ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ ହେବ \(\begin{aligned}
  & 2 \times 3 \times 4 \\
  & 3 \times 4 \times 5
  \end{aligned}=\frac{2}{5}\)

ସମାନୁପାତ (Proportion):
(i) ଦୁଇ ବା ତତୋଽଧ୍ଵକ ଅନୁପାତର ସମାନତାକୁ ସମାନୁପାତ (Proportion) କୁହାଯାଏ । \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ସମାନୁପାତ । ଏହି ସମାନୁପାତକୁ a : b :: c : d ବା a : b = c : d ରୂପେ ଲେଖାଯାଇପାରେ । ଏଠାରେ ରାଶି ଚାରୋଟି a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ (Proportional) ବା ସମାନୁପାତ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) ଉପରୋକ୍ତ ସମାନୁପାତରେ a, b, c, dକୁ ଯଥାକ୍ରମେ ପ୍ରଥମ, ଦ୍ୱିତୀୟ, ତୃତୀୟ ଓ ଚତୁର୍ଥ ପଦ ବା ରାଶି କୁହାଯାଏ । a ଓ dକୁ ପ୍ରାନ୍ତରାଶି (extremes) ଏବଂ b ଓ cକୁ ମଧ୍ୟରାଶି (means) କୁହାଯାଏ । d ରାଶିକୁ a, b ଓ c ରାଶିଗୁଡ଼ିକର – ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ (Forth proportional) କୁହାଯାଏ ।
(iii) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ହେଲେ a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହୁଅନ୍ତି, ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାରେ a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ହୁଏ ।
(iv) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ହେଲେ ad = bc {ଚାରିଗୋଟି ରାଶି ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରାନ୍ତ ରାଶିଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ = ମଧ୍ୟ ରାଶିଦ୍ଧୟର ଗୁଣଫଳ ସହିତ ସମାନ ହୁଏ ।}
(v) ଯଦି \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\) = ….. ହୁଏ, ହେଲେ a, b, c, d, e, f ରାଶିମାନ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

ଏ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତ (Continued Proportion) :
ସମଜାତୀୟ ତିନିଗୋଟି ରାଶି ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରଥମ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶିର ଅନୁପାତ, ଯଦି ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟ ରାଶିର ଅନୁପାତ ସହିତ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ସେ ଅନୁପାତ ସମ୍ବନ୍ଧକୁ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଉକ୍ତ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ କୁହାଯାଏ ।

• a, b, c କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) ହେବ । ଏଠାରେ bକୁ a ଓ cର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ (Mean Proportional) ଏବଂ cକୁ a ଓ bର ଦ୍ୱିତୀୟ ସମାନୁପାତୀ (Third Proportional) କୁହାଯାଏ ।
  \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) ହେଲେ, b² = ac ହେବ ଅର୍ଥାତ୍ (ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାଢୀ)² = ପ୍ରାନ୍ତ ରାଶିଦ୍ଧୟର ଗୁଣଫଳ ।
• ସେହିପରି a, b, c, d ….. କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) = ….. ହେବ । ଅର୍ଥାତ୍ b² = ac, c² = bd, ad = bc ହେବ ।
  {a, b, c, d କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତ୍ରୀ ହେଲେ, ସେମାନେ ସର୍ବଦା ସମାନୁପାଠୀ ହେବେ । ଅର୍ଥାତ୍ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) ହେଲେ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ହେବ ।
• a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ସେଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ନହୋଇ ପାରନ୍ତି ।