Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍ର ପ୍ରୟୋଗ Ex 1(b) Textbook Exercise Questions and Answers.
BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍ର ପ୍ରୟୋଗ Ex 1(b)
Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।
(i) ଯାଦି E = {1, 2, 3, 4, 5} ଓ S = {2, 4} ହୁଏ ତେବେ S’ = _____
(a) {1, 3}
(b) {1, 4, 5}
(c) {1, 3, 5}
(d) {1, 2, 5}
ସମାଧାନ:
(c) E = {1, 2, 3, 4, 5} ଓ S = {2, 4} ହୁଏ ତେବେ S’ = {1, 3, 5}
[କାରଣ S’ = E – S]
(ii) ଯାଦି E = {a, b, c, d} ଓ T = {a, b} ତେବେ T ∪ T’ =_____
(a) E
(b) {a, b}
(c) {c, d}
(d) Φ
ସମାଧାନ:
(a) E = {a, b, c, d} ଓ T = {a, b} ତେବେ T ∪ T’ = E
[କାରଣ କୌଣସି ସେଟ୍ ଓ ତା’ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ର ସଂଯୋଗ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଅଟେ ।]
(iii) ଯାଦି E = {a, b, c, d} ଓ T = {a, b} ତେବେ T ∪ T’ =_____
(a) E
(b) {a, b}
(c) {c, d}
(d) Φ
ସମାଧାନ:
(d) E = {a, b, c, d} ଓ T = {a, b} ତେବେ T ∪ T’ = Φ
[କାରଣ କୌଣସି ସେଟ୍ ଓ ତା’ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ର ସଂଯୋଗ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଅଟେ ।]
(iv) (A ∪ A’) – (A’ ∩ A) = _____
(a) A
(b) A’
(c) E
(d) Φ
ସମାଧାନ:
(c) (A ∪ A’) – (A’ ∩ A) = E
[କାରଣ A ∪ A’ = E, A’ ∩ A = Φ]
(v) E – A’ = ____
(a) E
(b) A
(c) A’
(d) Φ
ସମାଧାନ:
(b) E – A’ = A
[କାରଣ ଦୁଇଟି ପରିପୂରକ ସେଟ୍ର ସଂଯୋଗ E (ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍) ଅଟେ ।]
(vi) (E – A) ∪ (E – B) =
(a) A ∪ B
(b) (A ∪ B)’
(c) (A ∩ B)
(d) (A ∩ B)’
ସମାଧାନ:
(d) (E – A) ∪ (E – B) = (A ∩ B)’
[∴ E – A = A’ ଓ E – B = B’ ‘ଡିମର୍ମାନଙ୍କ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ – (A’ ∪ B’) = (A ∩ B)’]
(vii) A’ ∩ B’ = ______
(a) A ∪ B
(b) (A ∪ B)’
(c) (A ∩ B)
(d) (A ∩ B)’
ସମାଧାନ:
(b) A’ ∩ B’ = (A ∪ B)’ [ଡିମର୍ମାନଙ୍କ ନିୟମ ଅନୁସାରେ]
(viii) (A – B) ∪ (B – A) =_____
(a) A ∪ B
(b) A Δ B
(c) A ∩ B
(d) B
ସମାଧାନ:
(b) (A – B) ∪ (B – A) = A Δ B [ଡିମର୍ମାନଙ୍କ ନିୟମ ଅନୁସାରେ]
(ix) (A – B) ∪ (B – A) = _____
(a) (A ∪ B) – (A ∩ B)
(b) (A ∪ B) – (A – B)
(c) (A – B) – (A ∩ B)
(d) (A – B) ∩ (B – A)
ସମାଧାନ:
(a) (A – B) ∪ (B – A) = (A ∪ B) – (A ∩ B) [କାରଣ ଉଭୟ A Δ B ଅଟନ୍ତି ।]
(x) (A ∪ A’)’ = _____
(a) A
(b) A’
(c) Φ
(d) E
ସମାଧାନ:
(c) (A ∪ A’)’ = Φ [କାରଣ A ∪ B’ = (E)’ = Φ]
(xi) (A’ ∪ B’)’ = _____
(a) A ∩ B
(b) A ∪ B
(c) A’ ∩ B’
(d) (A ∪ B)’
ସମାଧାନ:
(a) (A’ ∪ B’)’= A ∩ B
[କାରଣ (A’ ∪ B’)’ = [(A ∩ B)’]’ = A ∩ B]
(xii) (A ∪ B)’ = _____
(a) A’ ∪ B’
(b) (A ∩ B)’
(c) A’ ∩ B’
(d) E – (A ∩ B)
ସମାଧାନ:
(c) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
[ଏହା ଡିମର୍ମାନଙ୍କ ପ୍ରଥମ ନିୟମ ଅଟେ ।]
Question 2.
ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଭକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଭକ୍ତିଗୁଡ଼ିକୁ ବାଛି ଲେଖ ।
(i) (A – B) ∪ (B – A) = (A ∪ B) – (A ∩ B)
ସମାଧାନ:
(A – B) ∪ (B – A) = (A ∪ B) – (A ∩ B) (ଠିକ୍ ଉକ୍ତି)
[କାରଣ ଉଭୟ A Δ Bର ସୂତ୍ର ଅଟନ୍ତି ।]
(ii) A Δ B = B Δ A
ସମାଧାନ:
A Δ B = B Δ A (ଠିକ୍ ଉକ୍ତି)
[କାରଣ ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା କ୍ରମ ବିନିମୟୀ ଅଟେ ।]
(iii) (A ∪ B)’ = A’ ∪ B’
ସମାଧାନ:
(A ∪ B)’ = A’ ∪ B’ (ଭୁଲ ଉକ୍ତି)
[କାରଣ ଡିମର୍ଗାନଙ୍କ ନିୟମ ଅନୁସାରେ (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’]
(iv) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
ସମାଧାନ:
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ (ଠିକ୍ ଉକ୍ତି)
(v) Φ = E
ସମାଧାନ:
Φ = E (ଠିକ୍ ଉକ୍ତି)
[କାରଣ ଶୂନ୍ୟସେଟ୍ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଅଟେ ।]
(vi) E’ = Φ
ସମାଧାନ:
E’ = Φ (ଠିକ୍ ଉକ୍ତି)
[କାରଣ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ଅଟେ ।]
(vii) A ∪ A’ = Φ
ସମାଧାନ:
A ∪ A’ = Φ (ଭୁଲ ଉକ୍ତି)
[କାରଣ କୌଣସି ସେଟ୍ ଓ ତା’ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ର ସଂଯୋଗ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଅଟେ ।]
(viii) A ∩ A’ = E
ସମାଧାନ:
A ∩ A’ = E (ଭୁଲ ଉକ୍ତି)
[କାରଣ ଦୁଇଟି ପରିପୂରକ ସେଟ୍ର ଛେଦ ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ଅଟେ ।]
(ix) (A ∪ A’)’ = E
ସମାଧାନ:
(A ∪ A’)’ = E (ଭୁଲ ଉକ୍ତି) [କାରଣ (A ∪ A’)’ = (E)’ = Φ]
(x) (A ∩ A’)’ = Φ
ସମାଧାନ:
(A ∩ A’)’ = Φ (ଭୁଲ ଉକ୍ତି) [କାରଣ (A ∩ A’)’ = (Φ)’ = E]
Question 3.
(i) E = Z ହେଲେ, ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ଟି ନିଶ୍ଚୟ କର ।
ସମାଧାନ:
E = Z ମନେକର ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ A ।
A = {0, ±2, ±4, ±6}
A’ = Z – A = [0, ±1, ±2, ±3,…..} – [0, ±2, ±4, ±6, ……}
= [±1, ±3, ±5, ±7, …. }
(ii) E – A = B ହେଲେ, B ∩ A ଓ B ∪ Ā ସେଟ୍ ଦ୍ବୟର ପରିପୂରକ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
E – A = B ଅର୍ଥାତ୍ Aର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ B ସେଟ୍ ଅଟେ । ଅର୍ଥାତ୍ A’ = B
∴ ଦୁଇଟି ପରିପୂରକ ସେଟ୍ର ସଂଯୋଗ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଅଟେ ।
⇒ B ∪ A = E
ସେହିପରି ଦୁଇଟି ପରିପୂରକ ସେଟ୍ର ଛେଦ ଶୂନ୍ୟସେଟ୍ ଅଟେ ।
⇒ B ∩ A = 0
(iii) ସେଟ୍ A ଓ ଏହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ରେ ଯଥାକ୍ରମେ 5 ଓ 6ଟି ଉପାଦାନ ଥିଲେ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E ରେ ଥିବା ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ସେଟ୍ A ଓ ଏହାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ଯଥାକ୍ରମେ 5 ଓ 6 ।
ଅର୍ଥାତ୍ |A| = 5 ଓ |A’| = 6
∴ | E| = |A| + | A’| = 5 + 6 = 11
Question 4.
ଉଦାହରଣ ଦ୍ବାରା ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ‘‘ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା କ୍ରମବିନିମୟୀ’’ ।
ସମାଧାନ:
ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ପ୍ରକ୍ରିୟା କ୍ରମ ବିନିମୟୀ, ଅର୍ଥାତ୍ A Δ B = B Δ A ।
ମନେକର A = {1, 2, 3, 4, 5 } ଓ B = {4, 5, 6}
L.H.S. = A Δ B = (A – B) ∪ (B – A)
= [{ 1, 2, 3, 4, 5} – {4, 5, 6}] u [{4, 5, 6} – {1, 2, 3, 4, 5}] = {1, 2, 3} ∪ {6} = {1, 2, 3, 6}
R.H.S. = B Δ A = (B – A) ∪ (A – B)
= [{4, 5, 6} – {1, 2, 3, 4, 5}] ∪ [{1, 2, 3, 4, 5} – {4, 5, 6}]
= {6} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 6}
L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)
Question 5.
ଯଦି ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E = {a, b, e, d, e, f, g, h}, A = {a, b, c} ଏବଂ B = {b, f, g, h} ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର ।
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
ସମାଧାନ:
L.H.S. = (A ∪ B)’ = E – (A ∪ B)
= E – [{a, b, c} ∪ {b, f, g, h}]
= {a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, b, c, f, g, h} = {d, e}
R.H.S. = A’ ∩ B’ = (E – A) ∩ (E – B)
= [{a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, b, c}] ∩ [{a, b, c, d, e, f, g, h} – {b, f, g, h}]
= {d, e, f, g, h} ∩ {a, c, d, e} = {d, e}
∴ L.H.S.= R. H. S. (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
ସମାଧାନ:
L.H.S. = (A ∩ B)’ = E – (A ∩ B) = E – [{a, b, c} ∩ {b, f, g, h}]
= {a, b, c, d, e, f, g, h} – {b} = {a, c, d, e, f, g, h}
R.H.S. =A’ ∪ B’ = (E – A) ∪ (E – B)
= [{a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, b, c}] ∪ [{a, b, c, d, e, f, g, h} – {b, f, g, h}]
= {d, e, f, g, h} ∪ {a, c, d, e} = {a, c, d, e, f, g, h}
∴ L. H. S. = R. H. S. (ପ୍ରମାଣିତ)
Question 6.
ଏକ ଉଦାହରଣ ଦ୍ବାରା ଡିମର୍ମାନ୍ଙ୍କ ନିୟମ ଦ୍ଵୟର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6, 7} = {4}
A’ = E – A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4} = {5, 6, 7, 8, 9}
B’ = E – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 8, 9}
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
L.H.S. = (A ∪ B)’ = E – (A ∪ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {8, 9}
R.H.S. = A’ ∩ B’= {5, 6, 7, 8, 9} ∩ { 1, 2, 3, 8, 9} = {8, 9}
L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)
(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
L.H.S. =(A ∩ B)’ = E – (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {4} = { 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}
R.H.S. = A’ ∪ B’ = {5, 6, 7, 8, 9} ∪ { 1, 2, 3, 8, 9}
= {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}
L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)