BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 7 ତ୍ରିକୋଣମିତି Ex 7(b)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 7 ତ୍ରିକୋଣମିତି Ex 7(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 7 ତ୍ରିକୋଣମିତି Ex 7(b)

Question 1.
ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) sin 30° = _______ [ \(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\) ]
ସମାଧାନ:
\(\frac{1}{2}\)

(ii) sin 45° × cos 45° = _______ [ √2, 1, \(\frac{1}{2}\) ]
ସମାଧାନ:
\(\frac{1}{2}\)

(iii) tan 30° × tan 60° = _______ [ √3, 1, 3 ]
ସମାଧାନ:
1

(iv) sec 60° × sin 30° = _______ [ 1, \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{2}\) ]
ସମାଧାନ:
1

(v) cosec 45° × sec 45° = _______ [ 1, 2, 3 ]
ସମାଧାନ:
2

(vi) 2cos 60° – 1 = _______ [ 0, 1, 2 ]
ସମାଧାନ:
0

(vii) 3 tan 30° × cot 60° – 2 = _______ [ -1, 0, 1 ]
ସମାଧାନ:
-1

(viii) sec 45° × cosec 45° – 2 = _______ [ -1, 0, 1 ]
ସମାଧାନ:
0

Question 2.
θ = 30° ନେଇ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।
(i) sin θ × cos θ = \(\frac{1}{2}\) sin (2θ)
ସମାଧାନ:

∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

(ii) sin² θ + cos² θ = 1
ସମାଧାନ:
L.H.S. = sin² θ + cos² θ
= (sin θ)² + (cos θ)²
= (sin 30°)² + (cos 30°)²

= 1 = R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

(iii) sec² θ – tan² θ = 1
ସମାଧାନ:
L.H.S. = sec² θ – tan² θ = (sec θ)² – (tan θ)²
= (sec 30°)² – (tan 30°)²

= 1 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

(iv) cosec² θ – cot² θ = 1
ସମାଧାନ:
L.H.S. = cosec² θ – cot² θ
= (cosec θ)² – (cot θ)²
= (cosec 30°)² – (cot 30°)²
= (2)² – (√3)²
= 4 – 3
= 1 = R.H.S
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

(v) cos² θ – sin² θ = 1 – 2sin² θ
ସମାଧାନ:
L.H.S. = cos² θ – sin² θ = (cos θ)² – (sin θ)²

∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

Question 3.
θ = 30°, 45° ଓ 60° ନେଇ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।
(i) tan θ × cosec θ = sec θ
ସମାଧାନ:
θ = 30° ହେଲେ
L.H.S. = tan θ × cosec θ
= tan 30° × cosec 30°
= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × 2
= \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
R.H.S. = sec θ
= sec 30°
= \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

θ = 45° ହେଲେ
L.H.S. = tan θ × cosec θ
= tan 45° × cosec 45°
= 1 × √2 = √2
R.H.S. = sec θ
= sec 45°
= √2
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

θ = 60° ହେଲେ
L.H.S. = tan θ × cosec θ
= tan 60° × cosec 60°
= √3 × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
= 2
R.H.S. = sec θ
= sec 60°
= 2
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

(ii) cot θ × sec θ = cosec θ
ସମାଧାନ:
θ = 30° ହେଲେ
L.H.S. = cot θ × sec θ
= cot 30° × sec 30°
= √3 × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
= 2
R.H.S. = cosec θ
= cosec 30°
= 2
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

θ = 45° ହେଲେ
L.H.S. = cot θ × sec θ
= cot 45° × sec 45°
= 1 × √2
= √2
R.H.S. = cosec θ
= cosec 45°
= √2
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

θ = 60° ହେଲେ
L.H.S. = cot θ × sec θ
= cot 60° × sec 60°
= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × 2
= \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
R.H.S. = cosec θ
= cosec 60°
= \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

(iii) tan θ + cot θ = sec θ . cosec θ
ସମାଧାନ:
θ = 30° ହେଲେ
L.H.S. = tan θ + cot θ
= tan 30° + cot 30°
= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) + √3
= \(\frac{1+3}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
R.H.S. = sec θ . cosec θ
= sec 30° . cosec 30°
= \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) × 2
= \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

θ = 45° ହେଲେ
L.H.S. = tan θ + cot θ
= tan 45° + cot 45°
= 1 + 1
= 2
R.H.S. = sec θ . cosec θ
= sec 45° . cosec 45°
= √2 . √2
= 2
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

θ = 60° ହେଲେ
L.H.S. = tan θ + cot θ
= tan 60° + cot 60°
= √3 + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{3+1}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
R.H.S. = sec θ . cosec θ
= sec 60° . cosec 60°
= 2 . \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

(iv) cos² θ × cosec θ + sin θ = cosec θ
ସମାଧାନ:
θ = 30° ହେଲେ
L.H.S. = cos² θ × cosec θ + sin θ
= cos² 30° × cosec 30° + sin 30°

R.H.S. = cosec θ
= cosec 30°
= 2
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

θ = 45° ହେଲେ
L.H.S. = cos² θ × cosec θ + sin θ
= (cos θ)² × cosec θ + sin θ

R.H.S. = cosec θ
= cosec 45°
= √2
∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

θ = 60° ହେଲେ
L.H.S. = cos² θ × cosec θ + sin θ
= (cos θ)² × cosec θ + sin θ
= (cos 60°)² × cosec 60° + sin 60°

R.H.S. = cosec θ
= cosec 60°
= \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
∴ L.H.S. = R.H.S. ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

Question 4.
ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।
(i) sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30°
ସମାଧାନ:
sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30°

= \(\frac{4}{4}\)
= 1

(ii) cos 60° . cos 45° – sin 60° . sin 45°
ସମାଧାନ:
cos 60° . cos 45° – sin 60° . sin 45°

(iii) 4 cos³ 60° – 3 cos 60°
ସମାଧାନ:

(iv) 4 cos² 60° + 4 sin² 45° – sin² 30°
ସମାଧାନ:
4 cos² 60° + 4 sin² 45° – sin² 30°
= 4(cos 60°)² + 4(sin 45°)² – (sin 30°)²

(v) (cosec² 45° + sec² 30°)(sin² 30° + 4 cot² 45° – sec² 60°)
ସମାଧାନ:
(cosec² 45° + sec² 30°)(sin² 30° + 4 cot² 45° – sec² 60°)
= {(cosec 45°)² + (sec 30°)²} {(sin 30°)² + 4(cot 45°)² – (sec 60°)²}

(vi) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}-\tan 60^{\circ}}{\cot 30^{\circ}-\sin 45^{\circ}-\cos 60^{\circ}}\)
ସମାଧାନ:

(vii) \(\frac{4}{\left(\cot 30^{\circ}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sin 60^{\circ}\right)^2}\) – cos² 45° – tan² 45°
ସମାଧାନ:

(viii) \(\frac{\tan ^2 60^{\circ}+4 \cos ^2 45^{\circ}+3 \sec ^2 30^{\circ}+6 \cos ^2 30^{\circ}}{{cosec} 30^{\circ}+\sec 60^{\circ}+\cot ^2 45^{\circ}}\)
ସମାଧାନ:

(ix) \(\frac{\tan 45^{\circ}}{{cosec} 30^{\circ}}+\frac{\sec 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}}-\frac{2 \sin 30^{\circ}}{\tan 45^{\circ}}\)
ସମାଧାନ:

(x) \(\frac{\sin ^2 60^{\circ}+\cos ^2 45^{\circ}+\tan ^2 30^{\circ}}{\cos ^2 60^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}+\cot ^2 30^{\circ}}\)
ସମାଧାନ:

Question 5.
ଯଦି α = 60° ଓ β = 30° ହୁଏ, ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।
(i) sin (α – β) = sin α . cos β – cos α . sin β
ସମାଧାନ:
L.H.S. = sin (α – β)
= sin (60° – 30°)
= sin 30°
= \(\frac{1}{2}\)
R.H.S. = sin α . cos β – cos α . sin β
= sin 60° . cos 30° – cos 60° . sin 30°

∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

(ii) cos (α – β) = cos α . cos β + sin α . sin β
ସମାଧାନ:
L.H.S. = cos (α – β)
= cos (60° – 30°)
= cos 30°
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
R.H.S. = cos α . cos β + sin α . sin β
= cos 60° . cos 30° + sin 60° . sin 30°

∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

(iii) tan (α – β) = \(\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta}\)
ସମାଧାନ:
L.H.S. = tan (α – β)
= tan (60° – 30°)
= tan 30°
= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

∴ L.H.S. = R.H.S. ସୁତରାଂ ଏହି ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ଅଟେ ।

Question 6.
ପ୍ରମାଣ କର :
(i) sin 45° . cos 60° . cos 30° + cos 45° . sin 60° . sin 30° = sin 45° . sin 60°
ସମାଧାନ:
L.H.S. = sin 45° . cos 60° . cos 30° + cos 45° . sin 60° . sin 30°

∴ L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) cos 60° = 1 – 2sin² 30° = 2cos² 30° -1
ସମାଧାନ:
L.H.S. = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)

∴ L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) tan 60° = \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^2 30^{\circ}}\)
ସମାଧାନ:
L.H.S. = tan 60° = √3

∴ L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) \(\frac{\cot 60^{\circ} \cdot \cot 30^{\circ}+1}{\cot 30^{\circ}-\cot 60^{\circ}}\) = √3
ସମାଧାନ:

∴ L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(v) \(\frac{\tan 45^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}}\) = 2 + √3
ସମାଧାନ:

∴ L.H.S. = R.H.S. (ପରିମେୟ ହର ବିଶିଷ୍ଟ ରାଶିରେ ପରିଣତ କରାଗଲା । ) (ପ୍ରମାଣିତ)

(vi) cot 30° + \(\frac{1}{{cosec} 30^{\circ}+\cot 30^{\circ}}\) = cosec 30°
ସମାଧାନ:

R.H.S. = cosec 30° = 2
∴ L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(vii) \(\frac{1}{\sec 45^{\circ}-\tan 45^{\circ}}=\frac{1+\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}\)
ସମାଧାନ:

∴ L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(viii) \(\frac{\cot ^2 30^{\circ}}{\sin ^2 60^{\circ}}-\frac{\cot ^2 60^{\circ}}{\sin ^2 30^{\circ}}\) = cot² 30° – cot² 60°
ସମାଧାନ:

∴ L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)