BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ

ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

ମନୋମିଆଲ୍‌ :
ଯଦି a ଏକ ଧ୍ରୁବକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (a ≠ 0), x ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଏବଂ n ଅଣଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୁଏ, ତେବେ axⁿ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ x ରେ nଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ମନୋମିଆଲ୍ କୁହାଯାଏ । ଏଠାରେ à କୁ ମନୋମିଆଲ୍‌ର ସହଗ (Coefficient) କୁହାଯାଏ ।
2x², 2√5, x, -5x⁴ ଇତ୍ୟାଦି ମନୋମିଆଲ୍‌ର ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଉଦାହରଣ ।

ମନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ (Degree of the Monomial) :
କୌଣସି ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ମନୋମିଆଲ୍‌ର ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ଘାତାଙ୍କକୁ ମନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ କୁହାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, x, 5x², -6x³, 32x⁴, 2√2x⁵ ଯଥାକ୍ରମେ ଏକଘାତୀ, ଦ୍ୱିଘାତୀ, ତ୍ରିଘାତୀ, ଚତୁର୍ଘାତୀ, ପଞ୍ଚଘାତୀ ମନୋମିଆଲ୍‌ ଅଟନ୍ତି
1, \(\frac{2}{3}\), -2, 4√3 ଇତ୍ୟାଦି ଶୂନଘାତୀ ମନୋମିଆଲ୍‌ ଅନ୍ତର୍ଗତ ।

ସଦୃଶ ମନୋମିଆଲ୍ (Like Monomials) :
ଯଦି ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ‘x’ ଦ୍ଵାରା ଗଠିତ ଦୁଇଟି ଦୁଇ ବା ତତୋଽଧକ ମନୋମିଆଲ୍ ସମାନ ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ହୁଅନ୍ତି ତେବେ ସେମାନେ ସଦୃଶ ।
2x, √3x² ଓ –\(\frac{5}{2}\) x ସଦୃଶ ମନୋମିଆଲ୍, କାରଣ ଏମାନେ ସମାନ ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ।

ଶୂନ ମନୋମିଆଲ୍ (Zero Monomials):
ସଂଖ୍ୟା 0 କୁ axⁿ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରିହେବ ନାହିଁ; କାରଣ 0 = 0 × x = 0 × x² = 0 × x³ = …..
{0 ଏକ ବିଶେଷ ଧରଣର ମନୋମିଆଲ୍ ଯାହାକୁ ଶୂନ ମନୋମିଆଲ୍ କୁହାଯାଏ ।}

ପଲିନୋମିଆଲ୍ (Polynomial) :
କୌଣସି ଏକପଦୀ କିମ୍ବା ବହୁପଦୀ ପରିପ୍ରକାଶର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ଯଦି ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ମନୋମିଆଲ୍ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ଉକ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ କୁହାଯାଏ ।
3 + 2x – 5x², 1 + x³, 2x⁸ ଇତ୍ୟାଦି ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଅଟନ୍ତି । ମନୋମିଆଲ୍ ମଧ୍ଯ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଅଟେ । 
ସଂଜ୍ଞା : ଯଦି xରେ ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x) ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ ହୁଏ ତେବେ p(x)ର ବ୍ୟାପକ ପରିପ୍ରକାଶ ହେଉଛି; 
P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ….. + a_n-1 X^n-1 + a_nxⁿ a₀, a₁, a₂, …. ,a_n-1, a_n ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (a_n ≠ 0), n ଏକ ଅଣରଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଓ x ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ହୁଏ, ତେବେ p(x)କୁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରରେ xର n ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ପଲିନୋମିଆଲ୍ କୁହାଯାଏ ।

ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ନାମକରଣ :
(i) ଗୋଟିଏ ପଲିନୋମିଆଲର ପଦ ସଂଖ୍ୟା ଅନୁସାରେ ତା’ର ନାମକରଣ କରାଯାଏ । p(x)ର ପଦ ସଂଖ୍ୟା l ହେଲେ ତାହାକୁ ଏକପଦୀ ପର୍ଲିନୋମିଆଲ୍ (Monomial), ପଦ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇ ହେଲେ ଦ୍ଵିଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍ । (Binomial) ଏବଂ ପଦ ସଂଖ୍ୟା ତିନି ହେଲେ ତ୍ରିପଦୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍ (Trinomial) କୁହାଯାଏ
(ii) 4x, x², -5, 4 – 6x + 7x³ ଯଥାକ୍ରମେ ମନୋମିଆଲ୍, ବାଇନୋମିଆଲ୍ ଓ ଟ୍ରାଇନୋମିଆଲ୍‌ର ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଉଦାହରଣ ।
(iii) ପଲିନୋମିଆଲ୍‌କୁ ଲେଖିଲାବେଳେ ଅଜ୍ଞାତରାଶିରେ ଥ‌ିବା ସାନରୁ ବଡ଼ କିମ୍ବା ବଡ଼ରୁ ସାନ ଘାତାଙ୍କ କ୍ରମରେ ଲେଖାଯାଏ । ଏହି କ୍ରମଲିଖନକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର Standard form କୁହାଯାଏ ।
(iv) xରେ ବିଭିନ୍ନ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ମାନଙ୍କୁ ସାଧାରଣତଃ p(x), q(x), r(x), t(x) ଇତ୍ୟାଦି ସଙ୍କେତଦ୍ୱାରା ଲେଖାଯାଏ

ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ (Degree of Polynomial):
ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ରେ ଥବା ଚଳ ରାଶି (x)ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତାଙ୍କକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ କୁହାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣ :
(i) 3x – 2ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 1 ।
(ii) x² + 3x + 4ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 2 । ତେଣୁ ଏହାକୁ ଦ୍ୱିଘାତୀ (Quadratic) ପଲିନୋମିଆଲ୍ କୁହାଯାଏ । 
(iii) 4x³ – x² + 5ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 3 ହେତୁ ଏହାକୁ ତ୍ରିଘାତୀ (Cubic) ପଲିନୋମିଆଲ୍ କୁହାଯାଏ ।
(iv) 4 – 5x+ 3x² – 4x⁴ ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 4 ହେତୁ ଏହାକୁ ଚତୁଃଘାତୀ (Biquadratic ବା Quartic) ପଲିନୋମିଆଲ୍ କୁହାଯାଏ ।

ଏକାତ୍ମକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ପଲିନୋମିଆଲ୍ (Polynomial in more than one variable) :
ଗୋଟିଏ ମନୋମିଆଲ୍‌ରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିରେ ଥ‌ିବା ଘାତାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟିକୁ ଉକ୍ତ ମନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ କୁହାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣ :
(i) 5x²y³z ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ 2 + 3 + 1 = 6 
(ii) x + xy + xy² ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଘାତ 1 + 2 = 3

• x ଓ y ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌କୁ ସାଧାରଣତଃ p(x, y), r(x, y), t(x, y) ଇତ୍ୟାଦି ସଙ୍କେତ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଥାଏ ।
• x³ +  y³ + z³ – 3xyz ପଲିନୋମିଆଲ୍‌କୁ p(x, y, z) ସଙ୍କେତଦ୍ୱାରା ମଧ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଥାଏ ।

ପଲିନୋମିଆଲ୍ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଯୋଗ ଓ ବିୟୋଗ :
ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି xର ବଡ଼ରୁ ସାନ ଅଥବା ସାନରୁ ବଡ଼ ଘାତାଙ୍କ କ୍ରମରେ ସଜାଇ Standard formରେ ଲେଖାଯାଏ । ଯୋଗ ଓ ବିୟୋଗ କଲାବେଳେ ସ୍ତମ୍ଭ ପ୍ରଣାଳୀ ବା ଧାଡ଼ି ପ୍ରଣାଳୀ ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ ।

ଯୋଗ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେକ ଜ୍ଞାତବ୍ୟ ବିଷୟ :
(1) ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରରେ ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାର କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ :
⇒ ଯଦି p(x) ଓ q(x) ପ୍ରତ୍ୟେକ xରେ ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ହୁଏ, ତେବେ p(x) + g(x) = q(x) + p(x) । 
(2) ପଲିନୋମିଆଲ୍ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ସହଯୋଗୀ ନିୟମ :
⇒ {p(x) + q(x)} + r(x) = p(x) + {q(x) + r(x)}
(3) p(x) + 0 = 0 + p(x) = p(x)
⇒ ଅର୍ଥାତ୍ 0 (ଜିରୋ) ପଲିନୋମିଆଲ୍ ହେଉଛି ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ । 
(4) p(x) +{-p(x)} ={-p(x)} + p(x) = 0
⇒ ଅର୍ଥାତ୍ p(x) ଓ –p(x) ପରସ୍ପରର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ।

ଦୁଇଟି ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଗୁଣନ :
xରେ ଦୁଇଟି ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌କୁ xର ବଡ଼ରୁ ସାନ ବା ସାନରୁ ବଡ଼ ଘାତାଙ୍କ କ୍ରମରେ ସଜାଇ ଲେଖାଯାଏ । ବଣ୍ଟନ ନିୟମ (Distributive Law) ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇ ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ । ଗୁଣନ ପରେ ସଦୃଶ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଏକତ୍ର କରି ପ୍ରାପ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌କୁ xର ଘାତାଙ୍କ କ୍ରମରେ ସଜାଇ ଲେଖାଯାଏ ।

• ଯଦି p(x) ଓ q(x) ଦୁଇଟି ପଲିନୋମିଆଲ୍ ହୁଏ, {p(x) × q(x)}ର ଘାତ = p(x)ର ଘାତ + q(x)ର ଘାତ । 
• p(x) × q(x) = 1(x) ହେଲେ, r(x)କୁ ଉଭୟ p(x) ଓ q(x)ର ଗୁଣିତକ କୁହାଯାଏ । 
• p(x) ଓ q(x) ପ୍ରତ୍ୟେକ r(x)ର ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଗୁଣନୀୟକ ।

ଗୁଣନ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେକ ଜ୍ଞାତବ୍ୟ ବିଷୟ :
(i) ପଲିନୋମିଆଲ୍ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାଟି କ୍ରମବିନିମୟୀ । ଅର୍ଥାତ୍‌ p(x) ଓ q(x) ପ୍ରତ୍ୟେକ xରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ହେଲେ, p(x) × q(x) = q(x) × p(x) 
(ii) ଲିନୋମିଆଲ୍ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାଟି ସହଯୋଗୀ । ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି p(x), q(x) ଓ r(x) ପ୍ରତ୍ୟେକ xରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପଲିନୋମିଆଲ୍, ତେବେ {p(x) × q(x)} × r(x) = p(x) × {q(x) × r(x)} 
(iii) ବଣ୍ଟନ ନିୟମ : {p(x) + q(x)} × r(x) = p(x) × r(x) + q(x) × r(x)
(iv) p(x) × 0 = 0 × p(x) = 0
(v) p(x) × 1 = 1 × p(x) = p(x) ଅର୍ଥାତ୍‌ [ପଲିନୋମିଆଲ୍ କ୍ଷେତ୍ରରେ 1 ହେଉଛି ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ ।]

ଗୋଟିଏ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ଲ୍ହାରା ଅନ୍ୟ ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଭାଗକ୍ରିୟା :
ମନେକର p(x) ଓ q(x) ≠ 0 ଦୁଇଟି ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଏବଂ ୟୁ(x)ର ଘାତ, p(x)ର ଘାତଠାରୁ ଛୋଟ କିମ୍ବା p(x)ର ଘାତ ସହିତ ସମାନ ।
ତେବେ p(x) = q(x) × k(x) + r(x)
ଏଠାରେ r(x) = 0 କିମ୍ବା r(x)ର ଘାତ, q(x)ର ଘାତଠାରୁ ଛୋଟ ।
ଯଦି 1(x) = 0 ହୁଏ, ତେବେ p(x), q(x) ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ବୋଲି କୁହାଯାଏ ।

{ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଭାଗକ୍ରିୟାରୁ ଆମେ ଜାଣିଛେ ଯେ, ଏକ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ‘n’କୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା m(m < n ଏବଂ m ≠ 0) ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ, ଯଦି ଭାଗଫଳ ଓ ଭାଗଶେଷ ଯଥାକ୍ରମେ k ଓ 1 ହୁଏ । ତେବେ n = mk + r ଅର୍ଥାତ୍ ଭାଜ୍ୟ = ଭାଜକ x ଭାଗଫଳ + ଭାଗଶେଷ ଏଠାରେ r = 0 କିମ୍ବା r < m ଏହାକୁ ଇଉକ୍ଲିଡ଼ୀୟ ପଦ୍ଧତି (Euclidean Algorithm) କୁହାଯାଏ ।}

ଦୁଇ ବା ଅଧିକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ ଓ ଭାଗକ୍ରିୟା :

• ମନେକର x ଓ y ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ କେତେକ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ଦିଆଯାଇଛି । ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାପାଇଁ ସଦୃଶ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଏକତ୍ର କରି ଯୋଗଫଳସ୍ଥିର କରାଯାଏ । ଲବ୍‌ଧ ଯୋଗଫଳକୁ x ବା y ର ବଡ଼ରୁ ସାନ ଅଥବା ସାନରୁ ବଡ଼ ଘାତାଙ୍କ କ୍ରମରେ ଲେଖାଯାଏ ।
• ସେହିପରି ଦୁଇଟି ପଲିନୋମିଆଲ ବିୟୋଗ କଲାବେଳେ ମଧ୍ୟ ଉପରୋକ୍ତ ପଦ୍ଧତି ଅନୁରଣ କରାଯାଏ ।
• ଭାଗକ୍ରିୟା ସମୟରେ ଭାଜ୍ୟ ତଥା ଭାଜିକ ଉଭୟର ପଦଗୁଡ଼ିକୁ x ବା y କୌଣସି ଗୋଟିକର ଘାତାଙ୍କର ଅଧଃକ୍ରମ ବା ଉର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜାଇ ଲେଖାଯାଏ । ପୂର୍ବଭାଗକ୍ରିୟା ଭଳି ଭାଜ୍ୟର ପ୍ରଥମ ପଦକୁ ଭାଜକର ପ୍ରଥମ ପଦଦ୍ୱାରା ଭାଗକରି ଭାଗଫଳର ପ୍ରଥମ ପଦ ସ୍ଥିର କରାଯାଏ । ଭାଗକ୍ରିୟାର ପରବର୍ତ୍ତୀ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପର୍ଯ୍ୟାୟରେ ଏହି ପ୍ରଣାଳୀ ଅନୁସରଣ କରାଯାଇ ଭାଗଫଳ ଓ ଭାଗଶେଷ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।

ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଜିରୋ (Zeroes of a Polynomial):
ଯଦି p(x) ଏକ ଅଣଶୂନ୍ୟଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍, ‘x’ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ‘x’ ର ମାନ c ପାଇଁ p(x) = 0 ହୁଏ, ତେବେ cକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x)ର ଏକ ଜିରୋ (zero) କୁହାଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ p(x)ର ଜିରୋ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ‘c’ । ଯେଉଁଠାରେ p(c) = 0 ହେବ ।
ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଜିରୋ ନିରୂପଣ :
(i) ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଜିରୋ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ଟିକୁ ଶୂନ ସଙ୍ଗେ ସମାନ କରି ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ସମୀକରଣ ଗଠନ କରାଯାଏ ।
(ii) ଏହି ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କଲେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ଯେଉଁ ବାସ୍ତବ ମାନଗୁଡ଼ିକ ମିଳିବ ତାହାହିଁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଜିରୋ ଅଟେ ।
ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ : 2x + 1 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଜିରୋ ହେଉଛି –\(\frac{1}{2}\) କାରଣ 2x + 1 = 0 ହେଲେ x = –\(\frac{1}{2}\)

{ଗୋଟିଏn ଘାତୀ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ସର୍ବାଧ‌ିକ। ସଂଖ୍ୟକ ବାସ୍ତବ ଜିରୋ ରହିପାରେ ।}

• ଅଣଶୂନ ଶୂନଘାତୀ ମନୋମିଆଲ୍ (ଧ୍ରୁବକ)ର କୌଣସି ‘ଜିରୋ’ ନଥାଏ ।
• ଜିରୋ ମନୋମିଆଲ୍‌ର ବା ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ‘ଜିରୋ’ ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ ।
• ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଏକାଧ୍ଵ ଜିରୋ ଥାଇପାରେ ।

ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ (Remainder Theorem) :
p(x) ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍, ଯାହାର ଘାତ ≥ 1 ତେବେ, p(x)କୁ (x – a) ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଶେଷ p(a) ହେବ ।
(i) ଏହି ଉପପାଦ୍ୟର ଫଳସ୍ବରୂପ ଆମେ ଲେଖୁପାରିବା
p(x) = (x – a) · q(x) + p(a) ….. (i)
(ii) ଭାଗଶେଷ ଉପପାଦ୍ୟ କଥନରେ p(x) କୁ (x – a) ଦ୍ଵାରା ଭାଗ ନକରି (2x – a) ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ P(\(\frac{a}{2}\)) ହେବ ।
ମନେରଖ:
{ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x)କୁ (kx – a) ଦ୍ୱାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଶେଷ P(\(\frac{a}{k}\)) ହେବ ।}

ଉତ୍ପାଦକ ଉପପାଦ୍ୟ (Factor Theorem) :
p(x) ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଯାହାର ଘାତ ≥1 ଏବଂ a ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ-
(i) ଯଦି p(a) = 0 ହୁଏ, ତେବେ (x – a), p(x) ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହେବ ।
(ii) ବିପରୀତ କ୍ରମେ ଯଦି (x – a), p(x)ର ଏକ ଉତ୍ପାଦକ ହୁଏ, ତେବେ p(a) = 0 ହେବ ।

ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (Factorisation of Polynomials) :
କୌଣସି ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ କେତେକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନୀୟକ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । ସେହିପରି ବୀଜଗାଣିତିକ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌କୁ କେତେକ ବୀଜଗାଣିତିକ ମୌଳିକ ରାଶିର ଗୁଣନୀୟକ ରୂପେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଥାଏ । ଏହି ପ୍ରକାର ପ୍ରକାଶନ ପ୍ରଣାଳୀକୁ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (Factorisation) କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଉତ୍ପନ୍ନ ମୌଳିକ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ଦତ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଗୁଣନୀୟକ ବା ଉତ୍ପାଦକ (Factors) କୁହାଯାଇଥାଏ ।

ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ମାନଙ୍କର ଗ.ସା.ଗୁ. (H.C.F. of Polynomials) :
ଦୁଇ ବା ତତୋଽଧ୍ଵକ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାପରେ ସେଗୁଡ଼ିକର ଗ.ସା.ଗୁ. (H.C.F.) ଏବଂ ଲ.ସା.ଗୁ. (L.C.M.) ସ୍ଥିର କରାଯାଏ ।
ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ନିମିତ୍ତ ନିମ୍ନ ଅଭେଦ (ସୂତ୍ରବାଳୀ)ଗୁଡ଼ିକର ଆବଶ୍ୟକତା ରହିଛି –
(i) x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)
(ii) x² + 2xy + y² = (x + y)²
(iii) x² – 2xy + y² = (x – y)²
(iv) x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)²
(v) x² – y² = (x + y) (x – y)
(vi) x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = (x + y)³
(vii) x³ – 3x²y + 3xy² – y³ = (x – y)³
(viii) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
(ix) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
(x) x⁴ + x²y² + y⁴ = (x² + xy + y²) (x² – xy + y²)
(xi) x⁴ – y⁴ = (x² + y²) (x + y) (x – y)
(xii) x⁶ + y⁶ = (x² + y²) (x⁴ – xy + y⁴)
(xiii) x⁶ – y⁶ = (x + y) (x – y) (x² + xy + y²) (x² – xy + y²)
(xiv) a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
କିମ୍ବା, a³ + b³ + c³ – 3abc = \(\frac{1}{2}\) (a + b + c) {(a – b)² + (b – c)² + (c – a)²}]
ପଲିନୋମିଆଲଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣରୁ ସର୍ବାଧ୍ଵକ ଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳ ଦତ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ଗୁଡ଼ିକର ଗ.ସା.ଗୁ. ଅଟେ ।

ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ମାନଙ୍କର ଲ.ସା.ଗୁ. (Lowest Common Multiple or L.C.M. of Polynomials) : 
ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ଗୁଡ଼ିକର ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବନିମ୍ନ ଘାତବିଶିଷ୍ଟ ଗୁଣିତକକୁ ସଂପୃକ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ଗୁଡ଼ିକର ଲ.ସା.ଗୁ. କୁହାଯାଏ ।

ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ (Algebraic Rational Expression) :
(i) ଯଦି m ଓ n ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଏବଂ n ≠ 0 ହୁଏ, ତେବେ -କୁ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Rational Number) କୁହାଯାଏ ।  mକୁ ଲବ (Numerator) ଓ nକୁ ହର (Denominator) କହନ୍ତି
(ii) ଯଦି p(x) ଓ q(x) ଦ୍ଵୟ xରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ହୁଅନ୍ତି ଏବଂ g(x) ≠ 0 ହୁଏ, ତେବେ \(\frac{p(x)}{q(x)}\) କୁ ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ କୁହାଯାଏ । ଏଠାରେ p(x) ଲବ ଓ q(x) ହର ।

ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିକ୍ରକାଶର ଲଘିଷ୍ଠ ରୂପ :

• ଗୋଟିଏ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶର ଲବ ଓ ହର ମଧ୍ୟରେ ଯଦି 1 ଭିନ୍ନ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକ ନଥାଏ ତେବେ ତାହାକୁ ଲଘିଷ୍ଠ ଆକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ କୁହାଏ ।
• ତେଣୁ ଗୋଟିଏ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ଲଘିଷ୍ଠ ଆକାରରେ ପରିଣତ କରିବାକୁ ହେଲେ ତା’ର ଲବ ଓ ହରକୁ ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କରି ଉଭୟଙ୍କୁ ସେମାନଙ୍କ ଗ.ସା.ଗୁ.ଦ୍ବାରା ଭାଗ କରାଯାଏ ।

କ୍ରମିକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ :
\(\frac{a}{b+\frac{c}{d+\frac{e}{f}}}\) ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ ପରିପ୍ରକାଶକୁ କ୍ରମିକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିମେୟ ପରିପ୍ରକାଶ (Continued rational expression) ବା (Continued fraction) କୁହାଯାଏ । ଏହାକୁ ସରଳ କରିବା ପାଇଁ ଏହାର ସର୍ବନିମ୍ନ ଅଂଶରୁ ସରଳ କରିବା ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମଶଃ ଉପର ଆଡ଼କୁ ଯିବା ଆବଶ୍ୟକ ।