Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ will enable students to study smartly.
BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ
ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ
ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ (Linear equation in one variable) :
(1) ଯଦି a ଓ b ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧ୍ରୁବକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (a ≠ 0) ଓ x ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ହୁଏ, ତେବେ ax + b = ଠକୁ xରେ ଗୋଟିଏ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।
{ax + b ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ p(x) ଯେଉଁଠାରେ a, b ∈ R, a ≠ 0 ଉକ୍ତ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ପଇନୋମିଆଲ୍ ସଂପୃକ୍ତ ସମୀକରଣ p(x) = 0 କୁ ଏକ ଅଜ୍ଞାତରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।}
(2) xର ଯେଉଁମାନ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହୁଏ ତାହାକୁ ସମୀକରଣଟିର ବୀଜ ବା ମୂଳ (root) ବା ସମାଧାନ (Solution) କୁହାଯାଏ ।
ax + b = 0 (a ≠ 0) ସମୀକରଣର ମୂଳ = –\(\frac{-b}{a}\)
(3) ଗୋଟିଏ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର କେବଳ ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ମୂଳ ଥାଏ ।
(4) ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିହୁଏ ତାହାକୁ ସଙ୍ଗତ (Consistent) ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ସମାଧାନ କରିହେଉନଥିବା ସମୀକରଣକୁ ଅସଙ୍ଗତ (in-consistent) ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।
(5) ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣର ମୂଳ ସମାନ ସେହି ସମୀକରଣ ଦୁଇଟିକୁ ପରସ୍ପର ଅନୁରୂପ (Equivalent) ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ; ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, x + 2 = 0 ଓ 2x + 6 = 2 ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଅନୁରୂପ, କାରଣ x = – 2 ହେଲେ ଉଭୟ ସମୀକରଣ ସିଦ୍ଧ ହୁଅନ୍ତି ।
(6) xର ଯେକୌଣସି ମାନ ପାଇଁ ଯଦି ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାକୁ ସମୀକରଣ ନ କହି ଅଭେଦ (Identity) କୁହାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, 2(x – 1) + 1 = 3 (4 – 2x) ଏକ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ, ଏକ ଅଭେଦ ।
{ସମାଧାନ ପରେ ସମୀକରଣଟିର ନିର୍ମିତ ମୂଳ ଠିକ୍ କି ନୁହେଁ ଜାଣିବାପାଇଁ ଉକ୍ତ ମୂଳ ଅର୍ଥାତ୍ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ଲବ୍ଧଦ୍ଵାରା ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହେଉ ଅଛି କି ନାହିଁ ପରୀକ୍ଷା କଲେ ତୁମେ ପାଇଥିବା ଉତ୍ତରଟି ଠିକ୍ କି ଭୁଲ୍ ଜାଣିପାରିବ ।}
ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ (Quadratic equation in one variable) :
- ଯଦି a, b, c ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ x ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି, ତେବେ p(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଅଟେ ।
- p(x) ସହ ସଂପୃକ୍ତ ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି p(x) = 0
{ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ବ୍ୟାପକ ରୂପ ହେଉଛି-
ax2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ R ଓ a ≠ 0}
ଏହି ସମୀକରଣରେ a ଓ b କୁ ଯଥାକ୍ରମେ x2 ଓ xର ସହଗ ଓ cକୁ ସମୀକରଣର ଧ୍ରୁବକ ପଦ କୁହାଯାଏ ।
ସଂଜ୍ଞା : ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ କୌଣସି ସମୀକରଣର ପଦମାନଙ୍କରେ ଥିବା ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 2 ହେଲେ ସମୀକରଣଟିକୁ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ (Quadratic equation) କୁହାଯାଏ ।
ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ :
(i) ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନର ଅର୍ଥ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା । ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ଯେଉଁ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହେବ ସେହି ମାନଗୁଡ଼ିକୁ ସମୀକରଣର ମୂଳ ବା ବୀଜ (root) କୁହାଯାଏ ।
(ii) ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର କେବଳ ଦୁଇଟି ବୀଜ ଥାଏ ।
(iii) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବୀଜ ଦ୍ୱାରା ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହୁଏ ।
(iv) ସମୀକରଣଟିର ସମସ୍ତ ପଦକୁ ବାମପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଆଣି ବାମପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ପରିପ୍ରକାଶ ବା ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରାଯାଏ; ଫଳରେ ଦୁଇଟି ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ଗୁଣଫଳ ଶୂନ ସଙ୍ଗେ ସମାନ ହୋଇଥାଏ ।
(v) ଯଦି x ଓ y ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ xy = 0 ହୁଏ, ତେବେ x = 0 ବା y = 0 ହୁଏ ।
ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ସାହାଯ୍ୟରେ ପାଟୀଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନ :
- ବୀଜଗଣିତର ପ୍ରୟୋଗରେ ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ ସହଜ ହୋଇଥାଏ । ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ବୀଜ ହିଁ ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନ ଅଟେ ।
- ସମୟ ସମୟରେ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ଦୁଇଟି ବୀଜ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁ ବୀଜଟି ପ୍ରଶ୍ନଟିର ସର୍ଭାଳବୀକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିଥାଏ ତାହାକୁ ଗ୍ରହଣ କରାଯାଏ ଓ ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ଅଗ୍ରହଣୀୟ ଅଟେ ।
ଏ ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ (Solution of Exponential Equations) :
(i) = ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଏବଂ ଘାତାଙ୍କ ଦ୍ବାରା ପ୍ରକାଶିତ ହେଉଥିବା ସମୀକରଣକୁ ଘାତାଙ୍ଗୀୟ ସମୀକରଣ (Exponential Equation) କୁହାଯାଏ ।
ଘାତତତ୍ତ୍ଵର ଯେଉଁ ତଥ୍ୟକୁ ପ୍ରୟୋଗକରି ଆମେ କେତେକ ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କରିବା ତାହା ହେଉଛି –
{a> 0, a ≠ 1; x, y ∈ R ହେଲେ, ax = ay ⇒ x =y}
(ii) ଘାତାଙ୍କୀୟ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵର ଆଧାରକୁ ସମାନ କରିବାପାଇଁ ପଡ଼େ । ଏହା ସମୀକରଣର ପ୍ରଧାନ ସୋପାନ