Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ Ex 4(c) Textbook Exercise Questions and Answers.
BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 4 ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ Ex 4(c)
Question 1.
ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
(i) a² + 8a + 15
(ii) x² + 5x + 6
(iii) x² + 7x + 6
(iv) x² + 8x + 12
ସମାଧାନ :
(i) a² + 8a + 15
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 15 ଏବଂ ଯୋଗଫଳ 8 ହେଉଛି । ତେଣୁ ଏପରି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ହେବେ ଯେପରି ଗୁଣିଲେ 15 ମିଶାଇଲେ ୫ ହେବ; ଯଥା -5 ଓ 3 |
a² + 8a + 15 = a² + (5 + 3)a + 5 × 3
= a² + 5a + 3a + 15 = a(a + 5) + 3(a + 5) = (a + 5) (a + 3)
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
a² + 8a + 15 =a² + (5 + 3)a + 5 × 3
=(a + 5)(a + 3) [x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)]
(ii) x² + 5x + 6
ଏଠାରେ ଯୋଗଫଳ 5 ଓ ଗୁଣଫଳ 6 । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ 3 ଓ 2 ।
∴ x² + 5x + 6 = x² + (3 + 2) x + 6
= x² + 3x + 2x + 6 = x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3) (x + 2)
(iii) x² + 7x + 6
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 6 ଓ ଯୋଗଫଳ 7 ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 6 ଏବଂ 7 ।
∴ x² + 7x + 6 = x² + (6 + 1) x + 6
= x² + 6x + x + 6 = x(x + 6) + 1(x + 6) = (x + 6) (x + 1)
(iv) x² + 8x + 12
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 12 ଓ ଯୋଗଫଳ 8 ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 6 ଏବଂ 2 ।
∴ x² + 8x + 12 = x² + (6 + 2) x + 12
= x² + 6x + 2x + 12 = x(x + 6) + 2(x + 6) = (x + 6) (x + 2)
(v) x² + 11x + 24
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 24 ଓ ଯୋଗଫଳ 11 ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 8 ଏବଂ 3 ।
∴ x² + 11x + 24 = x² + (8 + 3) x + 24
= x² + 8x + 3x + 12 = x(x + 8) + 3(x + 8) = (x + 6) (x + 2)
(vi) x² + 2x + 1
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 1 ଓ ଯୋଗଫଳ 2 ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 1 ଏବଂ 1 ।
∴ x² + 2x + 1 = x² + (1 + 1) x + 2
= x² + x + x + 2 = x(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1) (x + 1)
Question 2.
ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
(i) p² – 10p + 24
(ii) x² – 8x + 12
(iii) x² – 7x + 10
(iv) x² – 9x + 14
(v) x² + 4x – 21
(vi) x² – 3x + 2
ସମାଧାନ :
(i) p² – 10p + 24
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 24 ଓ ଯୋଗଫଳ (-10) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ -6 ଏବଂ -4;
∴ p² – 10p + 24 = p² + (-6 – 4)p + 24 = p² -6p -4p + 24
= p(p – 6) – 4(p – 6) = (p – 6) (p – 4)
(ii) x² – 8x + 12
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 12 ଓ ଯୋଗଫଳ (-8) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ -6 ଏବଂ -2;
∴ x² – 8x + 12 = x² + (-8) x + 12 = x² + (-6 – 2) x + 12
= x² – 6x – 2x + 12 = x(x – 6) – 2(x – 6) = (x – 6) (x – 2)
(iii) x² – 7x + 10
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 10 ଓ ଯୋଗଫଳ (-7) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ -5 ଏବଂ -2 ।
x² – 7x + 10 = x² + (-5 – 2) x + (-5)(-2)
= x² – 5x – 2x + 12 = x(x – 5) – 2(x – 5) = (x – 5) (x – 2)
(iv) x² -9x + 14
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 14 ଓ ଯୋଗଫଳ (-9) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 7 ଏବଂ 2 ।
x² – 9x + 14 = x² + (-7 – 2) x + (-7)(-2)
= x² – 7x – 2x + 12 = x(x – 7) – 2(x – 7) = (x – 7) (x – 2)
(v) x² + 4x – 21
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ (-21) ଓ ଯୋଗଫଳ 4 ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 7 ଏବଂ 2 ।
x² + 4x – 21 = x² + (4)x + (-21) = x² + (7 – 3)x + 7 × (-3)
= x² + 7x – 3x – 21 = x(x + 7) – 3(x + 7) = (x + 7) (x – 3)
(vi) x² – 3x + 2
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ 2 ଓ ଯୋଗଫଳ (-3) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ -2 ଏବଂ -1 ।
x² – 3x + 2 = x² + (-3)x + 2 = x² + (-2 – 1)x + (-2) × (-1)
= x² – 2x – x + 2 = x(x – 2) – 1(x – 2) = (x – 2) (x – 1)
Question 3.
ଉତ୍ପାଦକରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର ।
(i) a² – 4a – 5
(ii) x² – 11x – 42
(iii) x² – 4x – 21
(iv) x² – x – 90
(v) x² – 2x – 63
(vi) x² – x – 2
ସମାଧାନ :
(i) a² – 4a – 5
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ (-5) ଓ ଯୋଗଫଳ (-4) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ -5 ଏବଂ 1 ।
a² – 4a – 5 = a² + (-4)a + (-5) = a² (-5 – 1)a + (-5) (1)
= a² – 5a + a – 5 = a(a – 5) + 1(a – 5) = (a – 5) (a + 1)
(ii) x² – 11x – 42
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ (-42) ଓ ଯୋଗଫଳ (-11) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ (-14) ଏବଂ 3 ।
x² – 11x – 42 = x² + (-11)x + (-42) = x² + (-14 + 3) x + (-14)(3)
= x² – 14x + 3x + 42 = x(x – 14) + 3(x – 14) = (x – 14) (x + 3)
(iii) x² – 4x – 21
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ (-21) ଓ ଯୋଗଫଳ (-4) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ (-7) ଏବଂ 3 ।
x² – 4x – 21 = x² + (-4)x + (-21) = x² + (-7 + 3)x + (-7)(3)
= x² – 7x + 3x – 21 = x(x – 7) + 3(x – 7) = (x – 7) (x + 3)
(iv) x² – x – 90
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ (-90) ଓ ଯୋଗଫଳ (-1) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ -10 ଏବଂ 9 ।
x² – x – 90 = x² + (-1)x + (-90) = x² + (-10 + 9)x + (-10) (9)
= x² – 10x + 9x – 90 = x(x – 10) + 9(x – 10) = (x – 10) (x + 9)
(v) x² – 2x – 63
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ (-63) ଓ ଯୋଗଫଳ (-2) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ -9 ଏବଂ 7 ।
x² – 2x – 63 = x² + (-2)x + (-63) = x² + (-9 + 7)x + (-9) (7)
= x² – 9x + 7x – 63 = x(x – 9) + 7(x – 9) = (x – 9) (x + 7)
(vi) x² – x – 2
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ (-2) ଓ ଯୋଗଫଳ (-1) ହେତୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ -2 ଏବଂ 1 ।
x² – x – 2 = x² + (-1)x + (-2) = x² + (-2 + 1)x + (-2) (1)
= x² – 2x + x – 2 = x(x – 2) + 1(x – 2) = (x – 2) (x + 1)
Question 4.
(i) (a + 1)² + 16 (a + 1) + 60
(ii) (a + 3)² – 14 (a + 3) + 45
(iii) (x – 2)² + 2 (x – 2) – 8
ସମାଧାନ :
(i) (a + 1)² + 16 (a + 1) + 60
(a + 1)କୁ x ନେଲେ, ଦତ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ, x² + 16x + 60 ।
ଏଠାରେ ଗୁଣଫଳ 60 ଓ ଯୋଗଫଳ 16 ହେଲେ, ଆବଶ୍ୟକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ 10 ଓ 6 ।
x² + 16x + 60 = x² + (10 + 6) x + 10 × 6 = x² + 10x + 6x + 10 × 6
= x (x + 10) + 6 (x + 10) = (x + 10) (x + 6)
= (a + 1 + 10) (a + 1 + 6) [x ର ମୂଲ୍ୟ ସ୍ଥାପନ କରାଯାଇଛି]
= (a + 11) (a + 7)
∴ (a + 1)² + 16 (a + 1) + 60 = (a + 11) (a + 7)
(ii) (a + 3)² – 14 (a + 3) + 45
(a + 3)କୁ x ନେଲେ, ଦତ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ, x² – 14x + 45।
ଏଠାରେ ଗୁଣଫଳ 45 ଓ ଯୋଗଫଳ -14 ହେଲେ, ଆବଶ୍ୟକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ -9 ଓ -5 ।
x² – 14x + 45 = x² + {(-9) + (-5)} x + (-9)(-5) = x² – 9x – 5x + (-9)(-5)
= x(x – 9) – 5(x – 9) = (x – 9)(x – 5)
= (a + 3 – 9)(a + 3 – 5) [x ର ମୂଲ୍ୟ ସ୍ଥାପନ କରାଯାଇଛି]
= (a – 6)(a – 2)
∴ (a + 3)² – 14 (a + 3) + 45 = (a – 6)(a – 2)
(iii) (x – 2)² + 2 (x – 2) – 8
(x – 2)କୁ a ନେଲେ, ଦତ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ, a² + 2a – 8।
ଏଠାରେ ଗୁଣଫଳ -8 ଓ ଯୋଗଫଳ 2 ହେଲେ, ଆବଶ୍ୟକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ 4 ଓ -2 ।
a² + 2a – 8 = a² + {4 + (-2)} x + 4(-2) = x² + 4a – 2a + 4(-2)
= a(a + 4) – 2(a + 4) = (a + 4)(a – 2)
= (x – 2 + 4)(x – 2 – 2) [x ର ମୂଲ୍ୟ ସ୍ଥାପନ କରାଯାଇଛି]
= (x + 2) (x – 4)
∴ (x – 2)² + 2 (x – 2) – 8 = (x + 2) (x – 4)
Question 5.
ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର : (a + 7)(a – 10) + 16
ସମାଧାନ :
(a + 7)(a – 10) + 16 = a (a – 10) + 7 (a – 10) + 16
= a² – 10a + 7a – 70 + 16 = a² – 3a – 54 = a² + (-3)a + (- 54)
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଗୁଣଫଳ (-54) ଓ ଯୋଗଫଳ (-3) ହେତୁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ -9 ଓ 6
= a² + (-9 + 6)a + (-9)6 = a² – 9a+ 6a – 54
= a(a – 9)+ 6(a – 9) = (a – 9) (a + 6)
Question 6.
ଉତ୍ପାଦକ ବିଶ୍ଳେଷଣ କର :
(x – 2y)² – 5(x – 2y) + 6
ସମାଧାନ :
(x – 2y)² – 5(x – 2y) + 6
x – 2y = p ହେଡ |
ଦତ୍ତ ରାଶିଟି p² – 5p + 6
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଗୁଣଫଳ 6 ଓ ଯୋଗଫଳ (-5) ହେତୁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ -3 ଓ -2
p² – 5p+ 6 = p² + (-5p) + 6 = p² + (-3 – 2)p + (-3)(-2)
= p² – 3p – 2p + 6 = p(p – 3) – 2(p – 3)
= (p – 3) (p – 2) = (x – 2y – 3) (x – 2y -2)
(∵ p = x – 2y)