Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସମୀକରଣ ଓ ଏହାର ସମାଧାନ will enable students to study smartly.
BSE Odisha Class 8 Maths Notes Algebra Chapter 7 ସମୀକରଣ ଓ ଏହାର ସମାଧାନ
→ ସମୀକରଣ ଓ ଅଭେଦ (Equation and Identity):
(i) ଯେଉଁ ଉକ୍ତ ବୀଜଗାଣିତିକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି x ର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନପାଇଁ ସତ୍ୟ ହୁଏ, ତାହାକୁ ସମୀକରଣ (Equation) କୁହାଯାଏ ।
ଯଥା -8x – 3 = 4x + 5 ଏକ ସମୀକରଣ ଅଟେ ।
(ii) ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକରେ ଏକ କିମ୍ବା ଏକାଧିକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଥାଇପାରେ ।
(iii) ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଭାବରେ x, y ବା z ଇତ୍ୟାଦି ନିଆଯାଏ ।
(iv) ଯେଉଁ ଉକ୍ତ ବୀଜଗାଣିତିକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ‘x’ର ଯେ କୌଣସି ମାନ ପାଇଁ ସତ୍ୟ ହୁଏ, ତାକୁ ଅଭେଦ କୁହାଯାଏ ।
7x + 2x = 9x ଗୋଟିଏ ଅଭେଦ ଅଟେ ।
→ ସମୀକରଣ ଘାତ (Power of an Equation):
ସମୀକରଣର ପଦଗୁଡ଼ିକରେ ଥିବା ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତକୁ ସମୀକରଣର ଘାତ କୁହାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣ :
2x + 5 = 3, ଏଥରେ x ର ଘାତ = 1 । ତେଣୁ ଏହା ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ ।
ସେହିପରି 2x² + 3x – 5 = 0 ଏକ ଦ୍ବିଘାତୀ ସମୀକରଣ ।
→ ସମୀକରଣର ବୀଜ (Roots of an Equation):
(i) ସମୀକରଣରେ ଥିବା ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ଯେଉଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ସତ୍ୟ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଉକ୍ତ ସମୀକରଣର ବୀଜ (Root) କୁହାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣ :
4x = 8 ସମୀକରଣର ବୀଜ 2, କାରଣ x ର ମାନ 2 ପାଇଁ ଏହା ସତ୍ୟ ଅଟେ ।
(ii) ଯେଉଁ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଦ୍ବାରା ସମୀକରଣର ବୀଜ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ, ତାହାକୁ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କୁହାଯାଏ ।
(iii) ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ବୀଜ ସଂଖ୍ୟା 1, ଦ୍ଵିଘାତୀ ସମୀକରଣର ବୀଜ ସଂଖ୍ୟା 2 ଓ n ଘାତୀ ସମୀକରଣର ବୀଜ ସଂଖ୍ୟା 1 ।
ମନେରଖ :
ସମୀକରଣର ଘାତ ସଂଖ୍ୟା ତା’ର ବୀଜ ସଂଖ୍ୟା ସହ ସମାନ ।
→ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ (Solution of a Linear equation in one variable) : :
ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ ହେଉଛି ax + b = 0, ଯେଉଁଠାରେ a ≠ 0 1
ଏଠାରେ a ରାଶିଟି xର ସହଗ ଓ b ହେଉଛି ଏକ ଧ୍ରୁବରାଶି ।
→ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ନିମିତ୍ତ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ସ୍ଵତଃସିଦ୍ଧ :
(i) ସମାନ ସମାନ ରାଶି ସହ ସମାନ ସମାନ ରାଶି ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟ ସମାନ ହେବେ ।
(ii) ସମାନ ସମାନ ରାଶିରୁ ସମାନ ରାଶି ବା ଏକ ରାଶି ବିଯୋଗକଲେ ବିଯୋଗଫଳଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟ ସମାନ ହେବେ ।
(iii) ସମାନ ସମାନ ରାଶିରୁ ସମାନ ରାଶି ବା ଏକ ରାଶି ବିୟୋଗକଲେ ବିୟୋଗଫଳଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟ ସମାନ ହେବେ । ହେବେ ।
(iv) ସମାନ ସମାନ ରାଶିକୁ ସମାନ ସମାନ ରାଶି ବା ଏକ ରାଶିଦ୍ୱାରା (ଶୂନ ବ୍ୟତୀତ) ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ ମଧ୍ୟ
ଉଦାହରଣ :
2x – 3 = 5
⇒ 2x + 3 – 3 = 5 – 3 ( ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ 3 ଯୋଗ କରାଗଲା)
⇒ 2x = 8
⇒ \(\frac{2x}{2}=\frac{8}{2}\) ⇒ x = 4 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରାଗଲା)
∴ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ବୀଜ ହେଉଛି 4 ।
(v) କୌଣସି ପଦର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ବ ବା ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ବରୁ ବାମ ପାର୍ଶ୍ବ ପରିବର୍ତ୍ତନ ଦ୍ବାରା ସଂପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଚିହ୍ନ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ ।
→ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତ୍ରୀ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ନିମିତ୍ତ ସୂଚନା :
(i) ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ସମ୍ବଳିତ ସମସ୍ତ ପଦ ବାମପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଓ ଜ୍ଞାତ ରାଶି ଥିବା ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ଵକୁ ପକ୍ଷାନ୍ତର (ପାର୍ଶ୍ଵ ପରିବର୍ତ୍ତନ) କରାଯାଏ ।
(ii) ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵର ଏକାଧ୍ଵକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ସମ୍ବଳିତ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଏକତ୍ର କରାଯାଇ ଗୋଟିଏ ପଦରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ଓ ସେହିପରି ଅବଶିଷ୍ଟ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଦକ୍ଷଣ ପାର୍ଶ୍ବରେ ଏକତ୍ର କରାଯାଏ ।
(iii) ତତ୍ପରେ ବାମ ପାର୍ଶ୍ବରେ ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା ପଦ (ax ଅଥବା \(\frac{a}{x}\)) ରୁ x (ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି)ର ମାନ ସ୍ଥିର କରାଯାଏ । ସମୀକରଣରେ କୌଣସି ପଦର ପାର୍ଶ୍ଵପରିବର୍ତ୍ତନ (ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରୁ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵ ବା ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵରୁ ବାମପାର୍ଶ୍ଵ ବେଳେ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ; ଅର୍ଥାତ୍ ଯୋଗରୁ ବିୟୋଗ ଏବଂ ବିୟୋଗରୁ ଯୋଗ; ହରଣରୁ ଗୁଣ ଗୁଣକରୁ ହରଣ ହୁଏ ।
ନିମ୍ନ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର :
ଉଦାହରଣ :
ସମାଧାନ କରି : 2x – 5 = x +3
ସମାଧାନ
2x – 5 = x + 3 ⇒2x – 5 + 5 = x + 3 + 5 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରେ 5 ଯୋଗ କରି)
⇒ 2x = x + 8 ⇒ 2x – x = 8 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରୁ x ବିୟୋଗ କରି)
⇒ x = 8
ନିଜେ କର :
ସମାଧାନ କର :
(i) 2x – 3 = 4
(ii) 3x + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{8}\)
(iii) 2x + \(\frac{3}{4}\) = \(x \frac{1}{4}\)
(iv) 0.3 (6 + 8) = 0.4
(v) \(\frac{3x}{5}\) + 1 = \(\frac{2}{5}\)
ଉ –
ପିଲାମାନେ ନିଜେ କର ।
→ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ (Application of Linear equation) :
ପାଟୀଗଣିତ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କରେ ଆବଶ୍ୟକ ସମାଧାନପାଇଁ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିକୁ ନେଇ ଏକ ସମୀକରଣ ଗଠନ କରାଯାଇଥାଏ ଓ ଏହି ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରିବାପରେ ଆବଶ୍ୟକ ଉତ୍ତରଟି ସହଜରେ ମିଳେ । ଏ ପ୍ରକାର ପ୍ରଣାଳୀକୁ ବୀଜ ଗାଣିତିକ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମାଧାନ ବୋଲି କୁହାଯାଏ । ନିମ୍ନରେ କେତେକ ସମାଧାନ ଦିଆଯାଇଛି ।
ପ୍ରଥମ ସୋପାନ : ପାଟୀଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନଟିରେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିଟିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଏ ।
ଦ୍ଵିତୀୟ ସୋପାନ : ପ୍ରଶ୍ନରେ ଥିବା ସର୍ଭମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସମୀକରଣ ଗଠନ କରାଯାଏ ।
ତୃତୀୟ ସୋପାନ : ଲବ୍ଧ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କରାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣ :
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି 18 ରୁ ଯେତେ ଊଣା, 10 ରୁ ସେତେ ଅଧିକ ?
ସମାଧାନ :
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x ।
ପ୍ରଶ୍ନରୁ ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, 10 < x < 18; ଅର୍ଥାତ୍ ସଂଖ୍ୟାଟି 10 ଓ 18 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ।
କାରଣ ସଂଖ୍ୟାଟି 18ରୁ ଊଣା ଏବଂ 10 ରୁ ଅଧିକ ।
ପ୍ରଶ୍ନାନୁସାରେ, 18 – x = x – 10
⇒ -x – x = -10 – 18
⇒ -2x = -28 ⇒ 2x = 28
⇒ x = \(\frac{28}{2}\) = 14
∴ ନିର୍ଦେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 14 ।
→ ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ଓ ତା’ର ସମାଧାନ (Quadratic equation and its solution) :
(i) ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ସମୀକରଣରେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 2 ହେଲେ, ଏହାକୁ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।
(ii) ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ ହେଲା ax² + bx + c = 0 (ଯେଉଁଠାରେ a ≠ 0) ।
(iii) ଏଠାରେ ଦ୍ବିଘାତୀ ସମୀକରଣର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ଏକ ଦିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍; ଯାହାର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ସମ୍ଭବ । ଉକ୍ତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଦ୍ବାରା ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କରାଯାଏ ।
(iv) ସେ ଅଭେଦଗୁଡ଼ିକ ହେଲା! –
(a) a² – b² = (a + b) (a – b)
(b) x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)
(c) (a + b)² = a² + 2ab + b²
(v) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦ୍ଵିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲର ଦୁଇଟି ଏକଘାତୀ ଉତ୍ପାଦକ ଥାଏ ।
ମନେରଖ : ଦିଘାତ ସମୀକରଣର କେବଳ ଦୁଇଟି ବୀଜ ରହିଛି ।
ଉଦାହରଣ :
x² – 144 = 0
ସମାଧାନ :
x² – 144 = 0
⇒ (x)² – (12)² = 0
⇒ (x + 12) (x – 12) = 0
⇒ x + 12 =0 କିମ୍ବା x – 12 = 0
⇒ x = -12 କିମ୍ବା x = 12
∴ ନିର୍ଦେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି -12 ଓ 12 ।
ଉଦାହରଣ :
x² + 4x – 21 = 0
ସମାଧାନ :
x² + 4x – 21 = 0
⇒ x² + (7 – 3) x – 7 × 3 = 0
⇒ x² +7x – 3x – 7 × 3 = 0
⇒ x (x + 7) -3(x + 7) = 0
⇒ (x + 7) (x – 3) = 0
⇒ x + 7 = 0 କିମ୍ବା x – 3 = 0
⇒ x = -7 କିମ୍ବା x = 3
∴ ନିର୍ଦେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି -7 ଓ 3 ।