Class 8 Maths Chapter 5 Question Answer Odia Medium ସଂଖ୍ୟା ଖେଳ

Students can use Class 8 Math Solution Odia Medium and Class 8 Maths Chapter 5 Question Answer Odia Medium ସଂଖ୍ୟା ଖେଳ to check their answers after solving exercises.

8th Class Maths Chapter 5 Question Answer Odia Medium

Class 8 Maths Chapter 5 Odia Medium

5.1 ଏହା ଏକ ଗୁଣିତକ କି ? (Is this a Multiple of?)

Page No. 112

Question 1.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ଲେଖୁପାରିବ କି?
Solution:
ନା, 22 ର ଘାତ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଯଥା 2, 4, 8, 16… ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ।
ତେଣୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବେ ଲେଖାହେବ ନାହିଁ।

Question 2.
“କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏକାଧ୍ଵକ ଉପାୟରେ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ?”
Solution:
ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣିତକ ଗୁଡ଼ିକୁ (1 ବ୍ୟତୀତ) ଏକାଧ୍ଵକ ଉପାୟରେ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ।
ଉଦାହରଣ- 15 = 7 + 8, 15 = 4 + 5 + 6, 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Question 3.
ସମସ୍ତ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ। ଆମେ ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ଲେଖିପାରିବା କି?
Solution:
ନା। ଯେଉଁ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 ର ଘାତ ସଂଖ୍ୟା ଯଥା 2, 4, 8, 16…..ଗୁଡ଼ିକୁ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ ନାହିଁ।

Question 4.
“ମୁଁ ‘0’ କୁ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ଲେଖୁପାରିବି କି ? ହୁଏତ ମୁଁ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରିବା ଉଚିତ୍‌।”
Solution:
ହଁ। ଯଦି ଆମେ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରିବା ତେବେ () କୁ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା।
ଉଦାହରଣ- −1 + 0 + 1 = 0

Question 5.
ଯେକୌଣସି 4ଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ନିଅ । ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ – 3, 4, 5 ଏବଂ 6। ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ‘+’ ଏବଂ ‘-‘ ଚିହ୍ନ ରଖ। କେତୋଟି ଭିନ୍ନ ସମ୍ଭାବନା ବାହାରୁଛି? ସେ ସବୁଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ।
3 + 4 – 5 + 6
3 – 4 – 5 – 6
ଏହିପରି ଆଠଟି ପରିପ୍ରକାଶ ସମ୍ଭବ। ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବନାକୁ ବ୍ୟବସ୍ଥିତ ଭାବରେ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରିବାପାଇଁ ନିମ୍ନରେ ଥ‌ିବା ଚିତ୍ରକୁ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବ। (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)

Solution:

Page No. 113

Question 1.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିପ୍ରକାଶର ମାନ ନିରୂପଣ କର ଏବଂ ଫଳାଫଳ ଲେଖ।
Solution:
3 + 4 + 5 + 6 = 18
3 + 4 + 5 – 6 = 12 – 6 = 6
3 + 4 – 5 + 6 = 13 – 5 = 8
3 + 4 – 5 – 6 = 7 – 11 = -4
3 – 4 + 5 + 6 = 14 – 4 = 10
3 – 4 + 5 – 6 = 8 – 10 = -2
3 – 4 – 5 + 6 = 9 – 9 = 0
3 – 4 – 5 – 6 = 3 – 15 = -12

Question 2.
ବର୍ତ୍ତମାନ ଅନ୍ୟ ଚାରିଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ନିଅ। ତୁମେ ପୂର୍ବରୁ ଲେଖୁଥ‌ିବା ପରି ‘+’ ଏବଂ ‘-‘ ଚିହ୍ନଗୁଡ଼ିକୁ ବସାଅ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିପ୍ରକାଶର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ?
Solution:
ମନେକର ଚାରିଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା 5, 6, 7, 8

5 + 6 + 7 + 8 = 26
5 + 6 + 7 – 8 = 18 – 8 = 10
5 + 6 – 7 + 8 = 19 – 7 = 12
5 – 6 + 7 + 8 = 20 – 6 = 14
5 – 6 – 7 + 8 = 13 – 13 = 0
5 + 6 – 7 – 8 = 11 – 15 = -4
5 – 6 + 7 – 8 = 12 – 14 = -2
5 – 6 – 7 – 8 = 5 – 21 = -16
ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଯୋଗ ଓ ବିୟୋଗ ଚିହ୍ନ ବ୍ୟବହାର କଲେ ସମାନ ସମାନ ଫଳାଫଳର ସଂରଚନା ଦେଖାଯାଏ।
କାରଣ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗ ଏବଂ ବିୟୋଗ ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ।

Page No. 114

Question 1.
ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ କିମ୍ବା ଅନ୍ତରଫଳର ସମାନତା ପାଇଁ ନିୟମଗୁଡ଼ିକ ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତାକର।
Solution:
ବାଖ୍ୟା 1: ଚାରୋଟି ସଂଖ୍ୟା a, b, c ଏବଂ d ଦ୍ଵାରା ଗଠିତ ୫ଟି ପରିପ୍ରକାଶ ମଧ୍ଯରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏକୁ ବିଚାର କରିବା।
ଯେତେବେଳେ ଏହାର ଗୋଟିଏ ଚିହ୍ନ ବଦଳିଯାଏ, ଏହାର ମୂଲ୍ୟ ସର୍ବଦା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ବଢ଼େ କିମ୍ବା କମେ।
ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏକୁ ବିଚାର କଲେ: a + b – c – d
‘+b’ କୁ ‘-b’ ଦ୍ଵାରା ବଦଳାଇଲେ, ଆମେ ପାଉ: a – b – c – d
(a + b – c – d) – (a – b – c – d) = a + b – c – d – a + b + c + d = 2b (ଏହା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

Question 2.
ଯଦି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ ଯୁଗ୍ଧ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଭିନ୍ନ ସମାନତା ଥାଇପାରେ କି?
Solution:
ନା, ଉଭୟ ଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରନ୍ତି କିମ୍ବା ଉଭୟ ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରନ୍ତି।
ବାଖ୍ୟା-2: ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ଅଯୁଗ୍ମ ± ଅଯୁଗ୍ମ = ଯୁଗ୍ମ
ଯୁଗ୍ମ ± ଯୁଗ = ଯୁଗ୍ମ
ଅଯୁଗ୍ମ ± ଯୁଗ୍ମ = ଅଯୁଗ୍ମ
a ଏବଂ b ର ସମତା ନିର୍ବିଶେଷରେ, a + b ଏବଂ a – bର ସମତା ସମାନ।
a + bର ଏକାପ୍ରକାରର ସମାନତା ଅଛି । ସମାନ ଯୁକ୍ତିଦ୍ଵାରା a + b + c ଏବଂ a + b – cର ଏକା ପ୍ରକାର ସମାନତା ଅଛି।
ଏହାକୁ ଆହୁରି ବଢ଼ାଇଲେ, ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ, ସମସ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶ a + b + c + dର ଏକା ପ୍ରକାରର ସମାନତା ଅଛି।
ବାଖ୍ୟା-3 : ଧନାତ୍ମକ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟାଚାର୍ଟ ବ୍ୟବହାର କରି ମଧ୍ୟ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରିବ।
4ଟି ସଂଖ୍ୟା a, b, c, d ବାଛିବା ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ‘+’ ଏବଂ ‘-‘ ଚିହ୍ନ ବ୍ୟବହାର କରି ମିଶାଇବାର ଉପାୟ ଅସୀମ।

ଗାଣିତିକ ଯୁକ୍ତି ଆମକୁ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ସୁଯୋଗ ଦିଏ ଯେ ସମସ୍ତଙ୍କୁ ଗୋଟିଏ ପରେ ଗୋଟିଏ ଯାଞ୍ଚ ନକରି ସମାହାରଗୁଡ଼ିକ a ± b ± c ± d ସର୍ବଦା ଏକା ପ୍ରକାରର ସମାନତା ଥାଏ।

Question 3.
ପରିପ୍ରକାଶ a + b – c – dରେ ଯେକୌଣସି ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନକୁ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ବଦଳରେ ନିଆଯାଏ, ସେତେବେଳେ କ’ଣ ହୁଏ?
Solution:
ଦର ପରିପ୍ରକାଶଟି a + b – c – d
ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ବଦଳରେ ଧନାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ଲେଖୁଲେ, a + b + c – d
∴ ପାର୍ଥକ୍ୟ = a + b – c – d – (a + b + c – d)
= a + b – c – d – a – b – c + d
= -2c
ଏହା ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।

ସମଭାବରେ ଭାଙ୍ଗିବା: (Page No. 115)

Question 1.
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କିପରି ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଏ, ତାହା ଆମେ ଜାଣୁ । ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣନା ନକରି ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଯୁଗ୍ମ, ତାହା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Solution:
(i) 43 + 37
ଉଭୟ 43 ଓ 37 ସଂଖ୍ୟାଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା,
∴ 43 + 37 ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା। (∵ ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

(ii) 672 – 348
672 ଓ 348 ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା,
∴ 672 – 348 ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା। (∵ ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବିୟୋଗଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

(iii) 4 × 347 × 3
ଏଠାରେ 4 ଯୁଗ୍ମ ଓ 347 ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା,
∴ 4 × 347 ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (∵ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)
ହୋଇଥିବାରୁ 3 ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା,
∴ 4 × 347 × 3 ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (∵ ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

(iv) 708 – 477
708 ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଓ 477 ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା,
∴ 708 – 477 ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (∵ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବିୟୋଗଫଳ ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

(v) 809 + 214
809 ଅଯୁଗ୍ମ ଓ 214 ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା,
∴ 809 + 214 ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (∵ ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ଓ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

(vi) 119 × 303
119 ଓ 303 ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା,
∴ 119 × 303 ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (∵ ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

(vii) 543 – 479
543 ଓ 479 ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା,
∴ 543 – 479 ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (∵ ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବିୟୋଗଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

(viii) 513³ = 513 × 513 × 513
ଆମେ ଜାଣୁ ତିନୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
513 × 513 × 513 ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।

Question 2.
ସମାନତା କିପରି ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକ୍ରିୟାଗୁଡ଼ିକରେ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ, ସେ ବିଷୟରେ ଆମର ବୋଧଜ୍ଞାନ ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନଲିଖତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ଅକ୍ଷର ସଂକେତଗୁଡ଼ିକ କୌଣସି ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ମୂଲ୍ୟପାଇଁ ଏକ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଦାନ କରେ ତାହା ଚିହ୍ନଟ କରିବା:

Solution:
(i) 2a + 2b
ଉଭୟ 2a ଓ 2b ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି । (∵ 2 ଏହାର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ)
ତେଣୁ 2a + 2b ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (∵ ଯୁଗ୍ମ + ଯୁଗ = ଯୁଗ୍ମ)

(ii) 3g + 5h
3g ଓ Sh ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ g ଓ h ଉପରେ ନିର୍ଭର କରି ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହେବ।
ତେଣୁ ମୂଲ୍ୟଟି ସବୁବେଳେ ଯୁଗ୍ମ ନୁହେଁ।

(iii) 4m + 2n
4m ଓ 2n ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।
ତେଣୁ 4m + 2n ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (∵ ଯୁଗ୍ମ + ଯୁଗ = ଯୁଗ୍ମ)

(iv) 2u – 4v
2u ଓ 4v ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।
ତେଣୁ 2u – 4y ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (∵ ଯୁଗ୍ମ – ଯୁଗ୍ମ = ଯୁଗ୍ମ)

(v) 13k – 5k = 8k
ଏଠାରେ 8k ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । (ଏହାର 2 ଏକ ଗୁଣନୀୟକ)

(vi) 6m – 3n
ଯେହେତୁ 6m ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ, 3n ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରେ।
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।
ତେଣୁ 6m – 3n ସବୁବେଳେ ଯୁଗ୍ମ ନୁହେଁ।

(vii) x² + 2
x ର ମୂଲ୍ୟ ଅନୁସାରେ x² ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହେବ।
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + 2 = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + 2 = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
ତେଣୁ x² + 2 ସବୁବେଳେ ଯୁଗ୍ମ ନୁହେଁ।

(viii) b² + 1
b2 ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରେ।
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + 1 = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + 1 = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।
ତେଣୁ b² + 1 ସବୁବେଳେ ଯୁଗ୍ମ ନୁହେଁ।

(ix) 4k × 3j = 12kj
12 ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।
ଯେହେତୁ 12 × ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।
ତେଣୁ 4k × 3j ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।

Page No. 116

Question 1.
ସେହିଭଳି ଅନ୍ୟ କେଉଁ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଦିଏ, ତାହା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଏବଂ ବୁଝାଅ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିପ୍ରକାଶ ପାଇଁ ଉପଯୁକ୍ତ ଭାବରେ କିଛି ଉଦାହରଣ ଏବଂ ଅନୁଦାହରଣ ଲେଖ । କେତେକ ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶି ନେଇ ପରୀକ୍ଷା କରିବା ସବୁବେଳେ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ବା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୁଏ।
Solution:
ପରିପ୍ରକାଶ-1: ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି 2n
ଏହା ସବୁବେଳେ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କାରଣ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।
ଉଦାହରଣ: ଯଦି n = 1, 2 × 1 = 2 (ଯୁଗ୍ମ)
ଯଦି n = 2, 2 × 2 = 4 (ଯୁଗ୍ମ)
ଅନୁଦାହରଣ: ଏହାର କିଛି ଅନୁଦାହରଣ ନାହିଁ, କାରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ nର ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ପରିପ୍ରକାଶଟି ଯୁଗ୍ମ ହେବ।
ପରିପ୍ରକାଶ-2 : ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି n + n = 2n
ଏହା ସବୁବେଳେ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କାରଣ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।
ଉଦାହରଣ : ଯଦି n = 4, 4 + 4 = 8 (ଯୁଗ୍ମ)
ଯଦି n = 5, 5 + 5 = 10 (ଯୁଗ୍ମ)
ଅନୁଦାହରଣ : ଏହାର କିଛି ଅନୁଦାହରଣ ନାହିଁ, କାରଣ ପରିପ୍ରକାଶଟି ସବୁବେଳେ ଯୁଗ୍ମ ହେବ।

Question 2.
କିଛି ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ, ଯାହା ସର୍ବଦା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।
Solution:
ଏଠାରେ କିଛି ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଦିଆଯାଇଛି, ଯାହା ସର୍ବଦା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ:
(i) 2n
(ii) 2n + 2m
(iii) 2n – 2m
(iv) (2n)²
(v) (n + m)² – (n – m)²

Question 3.
ଉଦାହରଣ: ଏକ ଯୋଡ଼ା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ନିଅ। ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କର। ଯୋଗଫଳ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି? ଏହାକୁ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଯୋଡ଼ା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ଚେଷ୍ଟା କର। କେତେବେଳେ ଯୋଗଫଳ 4ର ଗୁଣିତକ ହୁଏ ଏବଂ କେତେବେଳେ ନୁହେଁ? ଏକ ସାଧାରଣ ନିୟମ କିମ୍ବା ସଂରଚନା ଅଛି କି?
Solution:
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 4 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ ଭାଗଶେଷ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରି ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ଦୁଇ ପ୍ରକାର ହୋଇପାରନ୍ତି।
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା 4ର ଗୁଣିତକ ନୁହନ୍ତି, ସେଗୁଡ଼ିକୁ 4 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଶେଷ ‘2’ ହୁଏ।

ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା 4ର ଗୁଣିତକ ସେଗୁଡ଼ିକ 4 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ ହେଲେ, ଭାଗଶେଷ ‘0’ ହୁଏ।

Page No. 117

Question 1.
ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ କେତେବେଳେ 4ର ଗୁଣିତକ ହେବ?
Solution:
ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ଯୋଗକଲେ, କେତେବେଳେ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ, ସେହି ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ସମାନ। ଏହାକୁ ପରୀକ୍ଷା କରିବାକୁ ତିନୋଟି ପରିସ୍ଥିତି ଅଛି।

Page No. 118

Question 1.
ଯଦି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଲଗା ଅଲଗା ଭାଗରେ ‘8’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିର ଯୋଗଫଳ ମଧ୍ୟ ‘8’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
Solution:

Question 2.
ଉକ୍ତି ‘1’ ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ । ବିୟୋଗ ପାଇଁ ଏହା ସତ୍ୟ କି?
Solution:
ସାଧାରଣତଃ ଯଦି ‘M’, ‘a’ ଦ୍ଵାରା ବିଭଜ୍ୟ ଏବଂ ‘N’, ‘a’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ତେବେ ‘M + N’, ‘a’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଏବଂ ‘M – N’, ‘a’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ।
ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି ‘M’ ଏବଂ ‘N’, ‘a’ର ଗୁଣିତକ ଅଟନ୍ତି, ତେବେ ‘M + N’ ଏବଂ ‘M – N’ ମଧ୍ୟ ‘a’ର ଗୁଣିତକ ହେବେ।

Page No. 119

Question 2.
ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ସେହି ସଂଖ୍ୟାସହ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନେ ମଧ୍ୟ 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
Solution:

ତେଣୁ ଉକ୍ତି ‘2’ ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ ଅଟେ।

Question 3.
ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ‘7’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ସମସ୍ତ ଗୁଣିତକ 7 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ। ବୀଜଗଣିତ ଏବଂ ଚିତ୍ରିତ ପରିପ୍ରକାଶ ମାଧ୍ୟମରେ ବ୍ୟଖ୍ୟା।
Solution:

ସଂଖ୍ୟା 7jm ବା (7 × j × m)ର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ 7 ଅଟେ। ତେଣୁ ଭକ୍ତି 3 ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ଅଟେ।
ସାଧାରଣ ଭାବେ ଯଦି ‘A’ k ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ‘A’ର ସମସ୍ତ ଗୁଣିତକ ‘k’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

Page No. 120

Question 4.
ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ’12’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ’12’ର ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକଦ୍ଵାରା ମଧ୍ୟ ବିଭାଜ୍ୟ।
Solution:

ସାଧାରଣତଃ, ଯଦି A, k ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ A, kର ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ। ତେଣୁ ଉକ୍ତି ‘4’ ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ଅଟେ।

Question 5.
ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 7 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ଏହା 7ର ଯେକୌଣସି ଗୁଣିତକଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
Solution:

ଆମେ ଦେଖିପାରିବା ଯେ, ଏହି ବିବୃତି କେବଳ ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ ଅଟେ।

Page No. 121

Question 6, 7.
ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 9 ଏବଂ 4 ଉଭୟ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ଏହା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ 36 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 6 ଏବଂ 4 ଉଭୟ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ଏହା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ 24 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
Solution:
ସାଧାରଣତଃ, ଯଦି A, k ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଏବଂ A, m ଦ୍ଵାରା ମଧ୍ୟ ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ A, k ଏବଂ mର ଲ.ସା.ଗୁ. (LCM) ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ଏହାର କାରଣ ହେଉଛି A, kର ଗୁଣିତକ ଏବଂ ୩ ର ମଧ୍ୟ ଗୁଣିତକ, ତେଣୁ ‘A’ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକରେ (k, m) ର ଲ.ସା.ଗୁ.ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ହେବା ଉଚିତ୍।

Question 8.
ଯେତେବେଳେ ତୁମେ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାରେ ଯୋଗ କର, ତୁମେ ରେ ଗୁଣିତକ ପାଇଥାଅ।
Solution:
‘6’ର ଗୁଣିତକ ସମସ୍ତେ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।
ତେଣୁ ଏହି ଉକ୍ତି କେବେହେଲେ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ। ବୀଜଗାଣିତିକ ଉପାୟ:
ମନେକର (2n) + (2m + 1) = 6j, ଯେଉଁଠାରେ 2n ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।
(2m + 1) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ 6j ହେଉଛି 6 ର ଏକ ଗୁଣିତକ।
ତେବେ 2n + 2m = 6j – 1 ବା 2(n + m) = 6j – 1
ଯାହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି 2(n + m), ଯାହା ସମାନ। ଏହି ବିବୃତ୍ତି ‘କେବେହେଲେ ସତ୍ୟ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, ତାହା (6j – 1) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ସହ ନୁହେଁ।

Question 9.
ଏକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାକୁ ‘5’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘3’ ରହେ। ଏହିପରି ଆହୁରି ଅନେକ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ।
Solution:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି N
ଯେତେବେଳେ N ସଂଖ୍ୟାକୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରାଯାଏ, ଭାଗଶେଷ 3 ରହେ।
∴ N = 5q + 3
ଯଦି q = 0, N = 5 × 0 + 3 = 3
ଯଦି q = 1, N = 5 × 1 + 3 = 5 + 3 = 8
ଯଦି q = 2, N = 5 × 2 + 3 = 10 + 3 = 13
ଯଦି q = 3, N = 5 × 3 + 3 = 15 + 3 = 18
ଯଦି q = 4, N = 5 × 4 + 3 = 20 + 3 = 23
∴ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 3, 8, 13, 18, 23,……

Question 10.
କେଉଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ଏପରି ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବୁଝାଏ ?
(i) 3k + 5
(ii) 3k – 5
(iii) \(\frac {3k}{5}\)
(iv) 5k + 3
(v) 5k – 2
(vi) 5k – 3
Solution:
ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘0’ ରହେ, ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 5 ର ଗୁଣିତକ। କିନ୍ତୁ ଆମେ ଏପରି ସଂଖ୍ୟା ଚାହୁଁ, ଯାହାକୁ ‘5’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘3’ ରହେ।
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 5 ର ଗୁଣିତକଠାରୁ 3 ଅଧିକ। 5ରେ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକୁ ‘5k’ ଲେଖାଯାଏ। ତେଣୁ, ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ‘3’ ଭାଗଶେଷ ରହେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ‘5k + 3’ ଲେଖାଯାଏ।

Page No. 122

Question 1.
ଅନ୍ୟ ଏକ ପରିପ୍ରକାଶ 5k – 2କୁ ବିଚାର କରିବା ଏବଂ kର ବିଭିନ୍ନ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ, ଏହାର ମାନ କ’ଣ ହୁଏ ଲେଖ।
Solution:

‘5’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 3 ରହୁଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ‘5’ର ଗୁଣିତକରୁ ‘2’ କମ୍ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ।
5k – 2 ଯେଉଁଠାରେ k ≥ 1

Question 2.
‘5’ର ଗୁଣିତକରୁ 3 ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟା ସୃଷ୍ଟି କରୁଥିବା ଅନ୍ୟ କୌଣସି ପରିପ୍ରକାଶ ଅଛି କି?
Solution:
ହଁ, 5 ର ଗୁଣିତକରୁ 3 ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟା ସୃଷ୍ଟି କରୁଥିବା ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେଉଛି: 5k + 3 (ଯେଉଁଠାରେ k ≥ 1)

ନିଜେ କରି ଦେଖ: (Page No. 122)

Question 1.
ଚାରୋଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 34। ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କ’ଣ?
Solution:
ମନେକର ଚାରୋଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା x, x + 1, x + 2 ଓ x + 3
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 34
⇒ 4x + 6 = 34
⇒ 4x = 34 – 6 = 28
⇒ x = 7
ତେଣୁ ଚାରୋଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା = 7, 7 + 1, 7 + 2, 7 + 3 = 7, 8, 9, 10

Question 2.
ମନେକର ‘p’ ପାଞ୍ଚଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବବୃହତ୍ ସଂଖ୍ୟା। ଅନ୍ୟ ଚାରୋଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ‘p’ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର।
Solution:
ଯେହେତୁ ‘p’ ପାଞ୍ଚଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ସବୁଠାରୁ ସଂଖ୍ୟା।
∴ ତେଣୁ ‘p’ ଠାରୁ ସାନ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ = p – 1, p – 2, p – 3 ଓ p – 4

Question 3.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉକ୍ତି ପାଇଁ ଏହା ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ, ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ, କିମ୍ବା ଆଦୌ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ତାହା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ତୁମର ଉତ୍ତରକୁ ବୁଝାଅ। ଉପଯୁକ୍ତ ଉଦାହରଣ ଏବଂ ଅନୁଦାହରଣ ଉଲ୍ଲେଖ କର । ବୀଜଗଣିତ ବ୍ୟବହାର କରି ତୁମର ଦାବିର ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତତା ଉପସ୍ଥାପନ କର।
(i) ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 3ର ଏକ ଗୁଣିତକ।
(ii) ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 18 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ, ତେବେ ଏହା 9 ଦ୍ଵାରା ମଧ୍ୟ ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
(iii) ଯଦି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
(iv) ରେ ଏକ ଗୁଣିତକ ଏବଂ 9ର ଏକ ଗୁଣିତକର ଯୋଗଫଳ 3ର ଏକ ଗୁଣିତକ।
(v) ରେ ଏକ ଗୁଣିତକ ଏବଂ 3ର ଏକ ଗୁଣିତକର ଯୋଗଫଳ 9ର ଏକ ଗୁଣିତକ।
Solution:
(i) ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 3ର ଏକ ଗୁଣିତକ – ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ।
ମନେକର ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା 2m ଓ 2n
ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ = 2m + 2n = 2(m + n), ଯାହା 2ର ଗୁଣିତକ।
3ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରେ (6, 12, …..) କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ (3, 9, …..)।
ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 3ର ଏକ ଗୁଣିତକ ହେବାପାଇଁ ଏହା 3ର ଗୁଣିତକ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ଉଦାହରଣ : 2 + 4 = 6, 8 + 10 = 18, 14 + 16 = 30 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 3ର ଗୁଣିତକ।
2 + 6 = 8, 4 + 10 = 14 ଯାହା 3ର ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ।

(ii) ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 18 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ, ତେବେ ଏହା 9 ଦ୍ଵାରା ମଧ୍ୟ ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ – ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ।
ଉଦାହରଣ : (a) 27 ସଂଖ୍ୟାଟି 18 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ, କିନ୍ତୁ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
(b) 40 ସଂଖ୍ୟାଟି 18 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ କି 9 ଦ୍ଵାରା ମଧ୍ୟ ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ।

(iii) ଯଦି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ – ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।
ଉଦାହରଣ: ମନେକର ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି 8 ଓ 10
8 ଓ 10 ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ = 8 + 10 = 18, 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
10 ଓ 13 ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 10 + 13 = 23 ମଧ୍ଯ 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ: ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।

(iv) 6ରେ ଏକ ଗୁଣିତକ ଏବଂ ୨ର ଏକ ଗୁଣିତକର ଯୋଗଫଳ 3ର ଏକ ଗୁଣିତକ – ସବୁବେଳେ ସତ୍ୟ।
ଉଦାହରଣ: ମନେକର 6 ର ଗୁଣିତକ = 6m
ମନେକର 9 ର ଗୁଣିତକ = 9n
6m + 9n = 3(2m + 3n) = 3 ର ଗୁଣିତକ।
ତେଣୁ, ଉକ୍ତିଟି ସବୁବେଳେ ସତ୍ୟ।

(v) 6ରେ ଏକ ଗୁଣିତକ ଏବଂ 3ର ଏକ ଗୁଣିତକର ଯୋଗଫଳ 9ର ଏକ ଗୁଣିତକ-ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ।
ଉଦାହରଣ: 6ରେ ଗୁଣିତକ = 6, 12, 18, 24, 30, ……
6 + 12 = 18 (9ର ଗୁଣିତକ)
12 + 18 = 30 (9ର ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ)
18 + 24 = 42 (9ର ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ)
3ର ଗୁଣିତକ = 3, 6, 12, 18, 24, 30,……..
3 + 6 = 9 (9ର ଗୁଣିତକ)
6 + 9 = 15 (9ର ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ)
ତେଣୁ, ଉକ୍ତିଟି ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ।

Question 4.
କିଛି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାକୁ ‘3’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘2’ ରହେ ଏବଂ ‘4’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘2’ ରହେ। ଏହିପରି ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ପାଇଁ ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ।
Solution:
ଏଠାରେ ଭାଜକ = 3, ଭାଗଶେଷ = 2 ଓ ଭାଗଫଳ = K ଧରାଯାଉ।
ସଂଖ୍ୟାଟି = (ଭାଜକ × ଭାଗଫଳ) + ଭାଗଶେଷ = (3 × k) + 2
ଯଦି K = 1, 2, 3…
ସଂଖ୍ୟାଟି = 3 × 1 + 2 = 3 + 2 = 5
ସଂଖ୍ୟାଟି = 3 × 2 + 2 = 6 + 2 = 8
ସଂଖ୍ୟାଟି = 3 × 3 + 2 = 9 + 2 = 11
∴ 5, 8, 11 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 2 ରହିବ।
ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ = 3K + 2
ଏଠାରେ ଭାଜକ = 4, ଭାଗଶେଷ = 2 ଓ ଭାଗଫଳ = K ଧରାଯାଉ।
ସଂଖ୍ୟାଟି = (ଭାଜକ × ଭାଗଫଳ) + ଭାଗଶେଷ = (4 × K) + 2
ଯଦି K = 1, 2, 3,…..
ସଂଖ୍ୟାଟି = 4 × 1 + 2 = 4 + 2 = 6
ସଂଖ୍ୟାଟି = 4 × 2 + 2 = 8 + 2 = 10
ସଂଖ୍ୟାଟି = 4 × 3 + 2 = 12 + 2 = 14
∴ 6, 10, 14 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 2 ରହିବ।
ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ = 4K + 2

Question 5.
“ମୋ ପାଖରେ କିଛି ଗୋଡ଼ି ଅଛି, ବେଶୀ ନୁହେଁ, ଯେତେବେଳେ ମୁଁ ସେମାନଙ୍କୁ 3 କରି ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ସଜାଡ଼ିଥାଏ, ମୋ ପାଖରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଡ଼ି ରହିଯାଏ। ସେମାନଙ୍କୁ ଯୋଡ଼ିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର ଏହା ସହଜରେ ହେବ ନାହିଁ। ମୋ ମତରେ ଏକ ଜିଦ୍‌ର ଅସାମାନ୍ୟ ଗୋଡ଼ି ରହିଯାଏ। ସେମାନଙ୍କୁ ପାଞ୍ଚ- ପାଞ୍ଚଟି ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ସଜାଡ଼, ତଥାପି ଗୋଟିଏ ରହିଯାଏ। କିନ୍ତୁ ସାତ-ସାତଟି କରି ଗ୍ରୁପ୍ କରିଲେ ପୂର୍ବତ ମିଳେ। ଶହେରୁ ଅଧିକ ହେବା ବହୁତ କଷ୍ଟକର ହେବ, ତୁମେ କହିପାରିବ କି ମୁଁ କେତୋଟି ଗୋଡ଼ି ଧରିଛି?”

Solution:
ଯେତେବେଳେ ମୁଁ ତିନୋଟି କରି ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ସଜାଡ଼େ । ବଳକା ରହେ, ଅର୍ଥାତ୍ ଗୋଡ଼ି ସଂଖ୍ୟାକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଅବଶିଷ୍ଟ 1 ରହେ।
ସେମାନଙ୍କୁ ଯୋଡ଼ିବାକୁ ସହଜ ହେବ ନାହିଁ। ଏକ ଜିର ଅସାମାନ୍ୟ ଗୋଡ଼ି ରହିଯାଏ।
ଅର୍ଥାତ୍ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଅବଶିଷ୍ଟ 1 ରହେ।
ସେମାନଙ୍କୁ ପାଞ୍ଚ ପାଞ୍ଚ ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ସଜାଡ଼ିଲେ ଗୋଟିଏ ରହିଯାଏ।
ଅର୍ଥାତ 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଅବଶିଷ୍ଟ 1 ରହେ।
ସାତ-ସାତଟି କରି ଗ୍ରୁପ୍ କଲେ ପୂର୍ବତା ମିଳେ।
ଅର୍ଥାତ 7 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ବିଭାଜ୍ୟ ହୁଏ ଏବଂ ଭାଗଶେଷ 0 ରହେ।
100 ରୁ ଅଧିକ ହେବା ବହୁତ କଷ୍ଟକର କାରଣ ଗୋଡ଼ି ସଂଖ୍ୟା 100ରୁ କମ୍ କିମ୍ବା ସମାନ ହେବ।
ଯେହେତୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 3, 2 ଓ 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଅବଶିକ୍ଷାଂଶ 1 ରହେ, ଅର୍ଥାତ ସଂଖ୍ୟାଟିରୁ 1 ବିୟୋଗ କରାହୁଏ, ଫଳାଫଳ 3, 2 ଓ 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
∴ 3, 2 ଓ 5 ର ଲ.ସା.ଗୁ. = 3 × 2 × 5 = 30
ତେଣୁ ଯୋଡ଼ି ସଂଖ୍ୟାକୁ 30n + 1 (n ଯେକୌଣସି ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା) ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା।
ଯଦି n = 1, ତେବେ 30 × 1 + 1 = 31 (7 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ)
ଯଦି n = 2, ତେବେ 30 × 2 + 1 = 61 (7 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ)
ଯଦି n = 3, ତେବେ 30 × 3 + 1 = 91 (7 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ)
∴ ଗୋଡ଼ି ସଂଖ୍ୟା = 91

Question 6.
ତଥାଗତ ଅନେକ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖୁଛି, ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘2’ ରହେ । ସେ ଦାବିକରେ, ‘‘ଯଦି ତୁମେ ଏପରି କୌଣସି 3ଟି ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗକର ତେବେ ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ‘6’ର ଏକ ଗୁଣିତକ ହେବ।” ତଥାଗତଙ୍କ ଦାବି ସତ୍ୟ କି?
Solution:
ତଥାଗତ ଲେଖୁଥିବା ପରିପ୍ରକାଶ = 6k + 2
ଯେଉଁଠାରେ k = 1, 2, 3, 4, 5, 6,……..
6 × 1 + 2 = 8
6 × 2 + 2 = 14
6 × 3 + 2 = 20
6 × 4 + 2 = 26
……………………
……………………
ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = 8 + 14 + 20 = 42, 6 ର ଗୁଣିତକ।
= 14 + 20 + 26 = 60, 6 ର ଗୁଣିତକ।
∴ ତଥାଗତର ଦାବି ସତ୍ୟ।

Question 7.
ଯେତେବେଳେ 66 ସଂଖ୍ୟାଟି 7 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରାଯାଏ ଭାଗଶେଷ ‘3’ ରହେ ଏବଂ 4779 କୁ 7 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 5 ରହେ । ଗଣନା ନକରି ତୁମେ କହିପାରିବ କି ଯେ ନିମ୍ନଲିଖୁତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ‘7’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରିଲେ ଭାଗଶେଷ କ’ଣ ରହିବ? ବୀଜଗାଣିତିକ ଏବଂ ଚିତ୍ରିତ ପରିପ୍ରକାଶ ଉଭୟ ଉପାୟରେ ସମାଧାନ କର।
(i) 4779 + 661
(ii) 4779 – 661
Solution:
ଦତ୍ତ ଅଛି 661 = K × 7 + 3, K = 1, 2, 3, 4,……….
4779 = K × 7 + 5, K = 1, 2, 3, 4,………..
ବୀଜଗାଣିତିକ ପଦ୍ଧତି:
(i) 4779 + 661
4779 = (682 × 7) + 5, ଭାଗଶେଷ = 5
661 = (94 × 7) + 3, ଭାଗଶେଷ = 3
∴ \(\frac{4779+661}{7}=\frac{5+3}{7}=\frac{8}{7}=1\) (ଭାଗଶେଷ)
(ii) 4779 – 661
∴ \(\frac{4779-661}{7}=\frac{5-1}{7}=\frac{4}{7}=4\) (ଭାଗଶେଷ)
ଚିତ୍ରିତ ପରିପ୍ରକାଶ:
(i) 4779 + 661 = (682 × 7) + 5 + (94 × 7) + 3
= 7 × (682 + 94) + 5 + 3
= 7 × 776 + 8
= 7 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ + \(\frac {8}{7}\)
= 1, ଭାଗଶେଷ
(ii) 4779 – 661 = (682 × 7) + 5 – (94 × 7) + 3
= 7 × (682 – 94) + 5 – 3
= 7 × 588 + 2
= 7 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ + 2
= 2, ଭାଗଶେଷ

Question 8.
ଏକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାକୁ ‘3’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘2’ ରହେ, ମାତ୍ର 4 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 3’ରହେ ଏବଂ 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭ. ମଶେଷ 4 ରହେ। ଏପରି ହୋଇଥିବା ସବୁଠାରୁ ସାନସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଏହା କାହିଁକି ସବୁଠାରୁ ସାନ (ସର୍ବନିମ୍ନ) ତାହାର ଏକ ସରଳ ବ୍ୟାଖ୍ୟା ଦେଇପାରିବ କି?
Solution:
ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ‘3’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘2’ ରହେ,
ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖୁଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି = 3K + 2
= 3 × 1 + 2 =5
= 3 × 2 + 2 = 8
= 3 × 3 + 2 = 11
= 3 × 4 + 2 = 14
= 3 × 5 + 2 = 17
= 3 × 6 + 2 = 20
………………………
ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ‘4’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘3’ ରହେ,
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି = 4K + 3
= 4 × 1 + 3 = 7
= 4 × 2 + 3 = 11
= 4 × 3 + 3 = 15
= 4 × 4 + 3 = 19
……………………..
ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ‘5’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘4’ ରହେ,
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି = 5K + 4
= 5 × 1 + 4 = 9
= 5 × 2 + 4 = 14
= 5 × 3 + 4 = 19
= 4 × 4 + 4 = 24
………………………
ସବୁଠାରୁ ସାନ ସଂଖ୍ୟା = (3, 4, 5)ର ଲ.ସା.ଗୁ. – 1 = 60 – 1 = 59
∴ 59 ସଂଖ୍ୟାକୁ ‘3’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘2’ ରହେ, ମାତ୍ର 4 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 3 ରହେ ଏବଂ 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 4 ରହିବ।

5.2 ବିଭାଜ୍ୟତାକୁ ଶୀଘ୍ର ଯାଞ୍ଚ କରିବା (Checking Divisibility Quickly)

Page No. 123

Question 1.
ହିସାବ ନକରି କହିପାରିବ କି ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ‘9’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ: 999, 909, 900, 90, 990?
Solution:
ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

Page No. 124

Question 1.
କେବଳ ‘0’ ଏବଂ ‘9’ ଅଙ୍କକୁ ଯେକୌଣସି କ୍ରମରେ ନେଇ ଗଠିତ ସଂଖ୍ୟା ସବୁବେଳେ ‘9’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ବୋଲି କହିପାରିବା କି?
Solution:
ହଁ, ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଙ୍କ ‘0’ କିମ୍ବା ‘9’ ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ବିସ୍ତାରିତ ରୂପ = 9 × (ସ୍ଥାନୀୟ ମୂଲ୍ୟ) କିମ୍ବା) × (ସ୍ଥାନୀୟ ମୂଲ୍ୟ) ହେବ, ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ‘9’ର ଗୁଣିତକ ହେବ।
99099 = 9 × 10000 + 9 × 1000 + 0 × 100 + 9 × 10 + 9 × 1
କିନ୍ତୁ କେବଳ ଏହି ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟରେ 9ର ସମସ୍ତ ଗୁଣିତକକୁ ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ ।
2, 5 ଏବଂ 10 ସଂଖ୍ୟାପରି କେବଳ ଏକକ ଅଙ୍କକୁ ଦେଖୁ ଆମେ ୨ର ଗୁଣିତକ ଚିହ୍ନଟ କରିପାରିବା ନାହିଁ ।
ଏକକ ଘର ଅଙ୍କ 9 ଥାଇ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା 99 ଓ 109
କିନ୍ତୁ 99, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହୋଇପାରିବା ବେଳେ 109, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।

Question 2.
427 କୁ 9 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ କେତେ ରହିବ, ଦେଖ।

Solution:
427 ରେ 4ଟି ଶତକ ଅଛି। ଏହିପରି ୨ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଏହାର ଅନୁରୂପ ଭାଗଶେଷ 4 ହେବ।
427ରେ 2ଟି ଦଶକ ଅଛି। ଏହାର ଅନୁରୂପ ଭାଗଶେଷ 2 ହେବ। ଏଥୁସହିତ ଆଉ 7 ଏକକ ଅଛି ।
ସମସ୍ତ ଅବଶେଷକୁ ଯୋଗକଲେ ଆମେ ପାଇବା 4 + 2 + 7 = 13
ପୁନଶ୍ଚ 13 ରୁ 9ର ଆଉ ଏକ ଗୁଣ ନେଲେ ଭାଗଶେଷ 4 ରହିବ।
ତେଣୁ 427 ÷ 9ର ଭାଗଶେଷ 4 ଅଟେ।

Page No. 126

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାକ୍ୟକୁ ପଢ଼ି କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ଓ କାହିଁକି ଠିକ୍ କୁହ?
(i) ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ଏହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
(ii) ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
(iii) ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ, ତେବେ ଏହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
(iv) ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 9 ଦ୍ଵାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି ମଧ୍ଯ 9 ଦ୍ଵାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ।
Solution:
(i) ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ଏହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ – ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ, (9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟତା ନିୟମ ଅନୁସାରେ)
(ii) ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ – ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ, (9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟତା ନିୟମ ଅନୁସାରେ)
(iii) ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ, ତେବେ ଏହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ – ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ, (9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟତା ନିୟମ ଅନୁସାରେ)
(iv) ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 9 ଦ୍ଵାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି ମଧ୍ଯ 9 ଦ୍ଵାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ – ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ, (9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟତା ନିୟମ ଅନୁସାରେ)

ନିଜେ କରି ଦେଖ: (Page No. 126)

Question 1.
ଭାଗକ୍ରିୟା ନକରି, ନିମ୍ନଲିଖତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି ନୁହେଁ, ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
(i) 123
(ii) 405
(iii) 8888
(iv) 93547
(v) 358095
Solution:
(i) 123ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 1 + 2 + 3 = 6, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
∴ ତେଣୁ 123 ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।

(ii) 405ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 4 + 0 + 5 = 9, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
∴ ତେଣୁ 405 ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

(iii) 8888ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 8 + 8 + 8 + 8 = 32, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
∴ ତେଣୁ 8888 ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।

(iv) 93547ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 9 + 3 + 5 + 4 + 7 = 28, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
∴ ତେଣୁ 93547 ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।

(v) 358095ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 3 + 5 + 8 + 0 + 9 + 5 = 30, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
∴ ତେଣୁ 358095 ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।

Question 2.
ଅଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ ନଥ‌ିବା 9ର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଗୁଣିତକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
9ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ = 9, 18, 27, 36,…….,288,………
9 ସଂଖ୍ୟାରେ ଅଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ = 9
27 ସଂଖ୍ୟାରେ ଅଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ = 7
……………………….
81 ସଂଖ୍ୟାରେ ଅଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ = 1
………………………
108 ସଂଖ୍ୟାରେ ଅଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ = 1
18 ସଂଖ୍ୟାରେ ଅଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ = 1
36 ସଂଖ୍ୟାରେ ଅଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ = 3
………………………
90 ସଂଖ୍ୟାରେ ଅଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ = 9
………………………
288 ସଂଖ୍ୟାରେ ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ।
288ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 2 + 8 + 8 = 18, ଯାହା 9ର ଗୁଣିତକ।
∴ ତେଣୁ ଅଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କ ନଥିବା ୨ର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଗୁଣିତକ 288।

Question 3.
6000ର ନିକଟତମ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା 9ର ଗୁଣିତକ ନିରୂପଣ କର।
Solution:
6000 ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 6 + 0 + 0 + 0 = 6
ଯଦି ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ତେଣୁ 6000 ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
6000 + 3 = 6003 = 6 + 0 + 0 + 3 = 9 ଯାହା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ତେଣୁ 6000ର ନିକଟତମ ଯାହା 9ର ଗୁଣିତକ ହେଉଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାଟି 6003.

Question 4.
4300 ଏବଂ 4400 ମଧ୍ୟରେ 9ର କେତୋଟି ଗୁଣିତକ ଅଛନ୍ତି?
Solution:
4300 ଏବଂ 4400 ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା 9ର ଗୁଣିତକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ = 4302, 4311, 4320, …., 4392

= \(\frac{4392-4302}{9}\) +1
= \(\frac {90}{9}\) + 1
= 10 + 1
= 11
∴ 4300 ଏବଂ 4400 ମଧ୍ୟରେ 11 ଟି 9ର ଗୁଣିତକ ଅଛି।

Page No. 127

Question 1.
462 ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି?
Solution:
ଯେହେତୁ 400ରେ 4ଟି ଶହ ରହିଛି, 400 ହେଉଛି 11 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଠାରୁ 4 ଅଧ୍ବକ (396 + 4)।
60ରେ ଟି ଦଶ ରହିଛି, 60 ହେଉଛି 11 ର ଏକ ଗୁଣିତକଠାରୁ 6 କମ୍ (66 – 6)।
2ରେ 2 ଏକକ ରହିଛି, 2 ହେଉଛି 11ର ଏକ ଗୁଣିତକଠାରୁ 2 ଅଧୂକ, ଅର୍ଥାତ୍ 2 = (0 + 2)।
ଯୋଗକଲେ = 2 – 6 + 4 = 0
ଯେହେତୁ 0, 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ତେଣୁ 462, 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

Question 2.
11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟତା ଯାଞ୍ଚ କରିବା ପାଇଁ ଏକ ସାଧାରଣ ପଦ୍ଧତି କିମ୍ବା ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଦ୍ଧତି ଲେଖ।
Solution:
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି (ଡାହାଣରୁ ବାମକୁ) ଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି (ଡାହାଣରୁ ବାମକୁ)ର ପାର୍ଥକ୍ୟ 0 କିମ୍ବା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।

Page No. 128

Question 1.
ଯଦି ଏହି ପାର୍ଥକ୍ୟ 11 କିମ୍ବା 11ର ଗୁଣିତକ ହୁଏ, ତେବେ 11 ଦ୍ଵାରା ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଭାଗକଲେ, ତାହା ଭାଗଶେଷ ସମ୍ପର୍କରେ କ’ଣ ସୂଚାଇଥାଏ?
Solution:
ଯଦି ପାର୍ଥକ୍ୟ 11 କିମ୍ବା 11 ର ଗୁଣିତକ ହୁଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

Question 2.
ନିମ୍ନଲିଖତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି ନୁହେଁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ତେବେ ଭାଗଶେଷ କେତେ ରହିବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
(i) 158
(ii) 841
(iii) 481
(iv) 5529
(v) 90904
(vi) 857076
Solution:
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି (ଡାହାଣରୁ ବାମକୁ) ଏବଂ ଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି (ଡାହାଣରୁ ବାମକୁ)ର ପାର୍ଥକ୍ୟ 0 କିମ୍ବା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
(i) 158
ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 8 + 1 = 9
ଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 5
∴ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 9 – 5 = 4, ଯାହା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ 158, 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ଓ ଭାଗଶେଷ = 4

(ii) 841
ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 1 + 8 = 9
ଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 4
∴ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 9 – 4 = 5, ଯାହା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ 841, 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ଓ ଭାଗଶେଷ = 5

(iii) 481
ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 1 + 4 = 5
ଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 8
∴ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 8 – 5 = 3, ଯାହା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ 481, 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ଓ ଭାଗଶେଷ = 3

(iv) 5529
ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 9 + 5 = 14
ଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 5 + 2 = 7
∴ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 14 – 7 = 7, ଯାହା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ 5529, 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ଓ ଭାଗଶେଷ = 7

(v) 90904
ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 4 + 9 + 9 = 22
ଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 0 + 0 = 0
∴ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 22 – 0 = 22, ଯାହା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ତେଣୁ 5529, 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଓ ଭାଗଶେଷ = 0

(vi) 857076
ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 6 + 0 + 5 = 11
ଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 7 + 7 + 8 = 22
∴ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 22 – 11 = 11, 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ତେଣୁ 857076, 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଓ ଭାଗଶେଷ = 0

Page No. 129

Question 1.
ଏହାର ପଦ୍ଧତିଟି ଆମେ ଠିକ୍ ପୂର୍ବରୁ ଦେଖୁଥିବା ପଦ୍ଧତି ସହିତ ସମାନ ବା ଭିନ୍ନ କୁହ?
Solution:
ହଁ, ଏହି ପଦ୍ଧତିଟି ଠିକ୍ ପୂର୍ବରୁ ଦେଖୁଥ‌ିବା ପଦ୍ଧତି ସହିତ ସମାନ।

Question 2.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀଟିକୁ ପୂରଣ କର। ଏହା ଶୀଘ୍ର କରିବାପାଇଁ ଏକ ଉପାୟ ବାହାର କର। (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)

Solution:

Question 3.
ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି ନୁହେଁ କିପରି ଜାଣିବା?
Solution:
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଉଭୟ 2 ଓ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ତେବେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

Question 4.
6ରେ ଗୁଣନୀୟକ 2 ଏବଂ 3 ଦ୍ଵାରା ଏହାର ବିଭାଜ୍ୟତା ଯାଞ୍ଚ କରିବା କାମ କରିପାରିବା? 2 ଓ 3ର ବିଭାଜ୍ୟତାର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ ବ୍ୟବହାର କର ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକରି– 38, 225, 186, 64 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ଏହା ଯାଞ୍ଚ କର।
Solution:
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଉଭୟ 2 ଓ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ତେବେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
(i) ସଂଖ୍ୟାଟି = 38
ଏହାର ଏକକ ଘରେ 8 ଅଛି, ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 3 + 8 = 11, 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ 38, 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ଯଦି ଆମେ 38 କୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରିବା ଭାଗଶେଷ 2 ପାଇବା।

(ii) ସଂଖ୍ୟାଟି = 225
ଏହାର ଏକକ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କ 5, ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ 225, 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ଯଦି ଆମେ 225 କୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରିବା ଭାଗଶେଷ 3 ପାଇବା।

(iii) ସଂଖ୍ୟାଟି = 186
ଯେହେତୁ ଏକକ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କ 6 ତେଣୁ, ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 1 + 8 + 6 = 15, 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ତେଣୁ 186, 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ଯଦି ଆମେ 186 କୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରିବା ଭାଗଶେଷ 0 ପାଇବା।

(iv) ସଂଖ୍ୟାଟି = 64
ଯେହେତୁ ଏକକ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କ 4 ଅଛି, ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 6 + 4 = 10, 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ 64, 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ଯଦି ଆମେ 38 କୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରିବା ଭାଗଶେଷ 4 ପାଇବା।

Page No. 130

Question 1.
ଏହି ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳର ଧର୍ମ କ’ଣ ହୋଇଥବ ବୋଲି ତୁମେ ଭାବୁଛ ? ମନେପକାଅ ଯେ ଆମେ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟତାର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ସମୟରେ ଏହା କରିଥିଲେ?
Solution:
ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କରାଯାଏ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ ଭାଗଶେଷ ସହିତ ସମାନ।
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି 125
ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ = 1 + 2 + 5 = 8
125 ର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ = 8
125 କୁ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କଲେ ଭାଗଶେଷ ପାଇବା = 8
∴ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କରାଯାଏ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ ଭାଗଶେଷ ସହିତ ସମାନ।

Question 2.
600 ଏବଂ 700 ମଧ୍ୟରେ, କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ:
(i) 5
(ii) 7
(iii) 3
Solution:
(i) 5ରେ ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ:
608 = 6 + 0 + 8 = 14 = 1 + 4 = 5
617 = 6 + 1 + 7 = 14 = 1 + 4 = 5
662 = 6 + 6 + 2 = 14 = 1 + 4 = 5
689 = 6 + 8 + 9 = 23 = 2 + 3 = 5

(ii) 7ର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ:
610 = 6 + 1 + 0 = 7
637 = 6 + 3 + 7 = 16 = 1 + 6 = 7
619 = 6 + 1 + 9 = 16 = 1 + 6 = 7
673 = 6 + 7 + 3 = 16 = 1 + 6 = 7

(iii) 3ର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ:
606 = 6 + 0 + 6 = 12 = 1 + 2 = 3
633 = 6 + 3 + 3 = 12 = 1 + 2 = 3
615 = 6 + 1 + 5 = 12 = 1 + 2 = 3
678 = 6 + 7 + 8 = 21 = 2 + 1 = 3

Question 3.
ଯେକୌଣସି 12ଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ ଲେଖ। ତୁମେ କ’ଣ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କରୁଛ? ଆମେ ଦେଖୁନ୍ତୁ ଯେ ୨ର ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ ସର୍ବଦା 9 ହୁଏ। ବର୍ତ୍ତମାନ (i) 3 (ii) 4 ଏବଂ (iii) 6ରେ କିଛି କ୍ରମିକ ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
ଯେକୌଣସି 12 ଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ:
(i) 105 = 1 + 0 + 5 = 6
(ii) 106 = 1 + 0 + 6 = 7
(iii) 107 = 1 + 0 + 7 = 8
(iv) 108 = 1 + 0 + 8 = 9
(v) 109 = 1 + 0 + 9 = 10 = 1 + 0 = 1
(vi) 110 = 1 + 1 + 0 = 2
(vii) 111 = 1 + 1 + 1 = 3
(viii) 112 = 1 + 1 + 2 = 4
(ix) 113 = 1 + 1 + 3 = 5
(x) 114 = 1 + 1 + 4 = 6
(xi) 115 = 1 + 1 + 5 = 7
(xii) 116 = 1 + 1 + 6 = 8
ସଂଖ୍ୟାର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳଚକ୍ରର ପ୍ରତି ୨ଟି ସଂଖ୍ୟାପରେ ପୁନରାବୃତ୍ତି ହୁଏ।
6 → 7 → 8 → 9 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8
9ର ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ:
405 = 4 + 0 + 5 = 9
234 = 2 + 3 + 4 = 9
1035 = 1 + 0 + 3 + 5 = 9
936 = 9 + 3 + 6 = 18 = 1 + 8 = 9
ଆମେ ଦେଖୁଲୁ ଯେ ୨ର ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ ସର୍ବଦା 9 ହୁଏ।

(i) 3ର କିଛି କ୍ରମିକ ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ:
39 = 3 + 9 = 12 = 1 + 2 = 3
42 = 4 + 2 = 6
45 = 4 + 5 = 9
48 = 4 + 8 = 12 = 1 + 2 = 3
51 = 5 + 1 = 6
54 = 5 + 4 = 9
57 = 5 + 7 = 12 = 1 + 2 = 3
60 = 6 + 0 = 6
63 = 6 + 3 = 9
∴ 3ର କ୍ରମିକ ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ = 3, 6, 9, 3, 6, 9,……

(ii) 4ର କିଛି କ୍ରମିକ ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ:
32 = 3 + 2 = 5
36 = 3 + 6 = 9
40 = 4 + 0 = 4
44 = 4 + 4 = 8
48 = 4 + 8 = 12 = 1 + 2 = 3
52 = 2 + 5 = 7
56 = 5 + 6 = 11 = 1 + 1 = 2
60 = 6 + 0 = 6
∴ 4ର କ୍ରମିକ ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ = 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2, 6…….

(iii) 6ରେ କିଛି କ୍ରମିକ ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ:
30 = 3 + 0 = 3
36 = 3 + 6 = 9
42 = 4 + 2 = 6
48 = 4 + 8 = 12 = 1 + 2 = 3
54 = 5 + 4 = 9
60 = 6 + 0 = 6
66 = 6 + 6 = 12 = 1 + 2 = 3
72 = 7 + 2 = 9
78 = 7 + 8 = 15 = 1 + 5 = 6
∴ 6ରେ କ୍ରମିକ ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ = 3, 9, 6, 3, 9, 6, 3, 9, 6,…………..

Question 4.
6ରେ ଗୁଣିତକଠାରୁ 1 ଅଧିକ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ କ’ଣ ? ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ?
Solution:
6ରେ ଗୁଣିତକଠାରୁ 1 ଅଧିକ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ:
37 = 3 + 7 = 10 = 1 + 0 = 1
43 = 4 + 3 = 7
49 = 4 + 9 = 13 = 1 + 3 = 4
55 = 5 + 5 = 10 = 1 + 0 = 1
61 = 6 + 1 = 7
67 = 6 + 7 = 13 = 1 + 3 = 4
6ରେ ଗୁଣିତକଠାରୁ । ଅଧିକ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ: 1, 7, 4, 1, 7, 4,………..
ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛୁ ଯେ ରେ ଗୁଣିତକଠାରୁ 1 ଅଧିକ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ 1, 7, 4
କ୍ରମାନୁସାରେ ପୁନରାବୃତ୍ତି ହେବ ଯଥା – 1, 7, 4, 1, 7, 4,………

Question 5.
ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକୁ ବୁଝାଇବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର।
ମୁଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ଅଙ୍କମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ମୂଳ #1 ସହିତ କୌଣସି ଆବଶ୍ଚିତ ଆଧାର ନଥୁବା କେତେ ବିଚିତ୍ର !
ମୋର ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ଗଣାଯାଏ, ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ମୋର ମୂଳ।
ସମସ୍ତେ ବଡ଼ ଅକ୍ଷରରେ ଲେଖାଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଆଡ଼କୁ ସୂଚିତ କରନ୍ତି।
ସର୍ବବୃହତ୍ ଅଯୁଗ୍ମ ଏକକ ଅଙ୍କ, ଯାହାକୁ ମୁଁ ଗର୍ବର ସହ ଦାବି କରେ।
ମୋର ସଂଖ୍ୟାଟି କ’ଣ? ମୋର ନାମ କ’ଣ?

Solution:
111 111 111
ସଂଖ୍ୟା = 9
ଯୋଗକଲେ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9
ସାଂଖ୍ୟକ ଅଙ୍କ = 9
ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଅଯୁଗ୍ମ (1)
ସମସ୍ତ ନିୟମ ପାଳନ କରୁଛି।
ତେଣୁ ଉତ୍ତରଟି 111 111 111

ନିଜେ କରି ଦେଖ: (Page No. 131)

Question 1.
ଏକ ଆଠ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ 5। ସେହି ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 10 ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟାର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ କେତେ?
Solution:
ମନେକର ଆଠ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଟି 80000006
80000006ରେ ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ = 8 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 6 = 14 = 1 + 4 = 5
80000006 ଠାରୁ 10 ଅଧିକ = 80000006 + 10 = 80000016
80000016ର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ = 8 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 6 = 15 = 1 + 5 = 6
∴ ଆଠ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 10 ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟାର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ 6।

Question 2.
ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ। ବାରମ୍ବାର 11 ଯୋଗକରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକ କ୍ରମ ତିଆରି କର। ଏହି ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମର ସାଂଖ୍ୟକମୂଳ କେତେ ହେବ?
Solution:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି = 40
11 ଯୋଗକରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର କ୍ରମ = 40, 51 (40 + 11), 62 (51 + 11), 73 (62 + 11), 84 (73 + 11), 95 (84 + 11), 106 (95 + 11), 117 (106 + 11), 128 (117 + 11), 139 (128 + 11), ……..
ଉପରୋକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ
40 = 4 + 0 = 4
51 = 5 + 1 = 6
62 = 6 + 2 = 8
73 = 7 + 3 = 10 = 1 + 0 = 1
84 = 8 + 4 = 12 = 1 + 2 = 3
95 = 9 + 5 = 14 = 1 + 4 = 5
106 = 1 + 0 + 6 = 7
117 = 1 + 1 + 7 = 9
128 = 1 + 2 + 8 = 11 = 1 + 1 = 2
139 = 1 + 3 + 9 = 13 = 1 + 3 = 4
ତେଣୁ ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ ଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ = 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4,………..
ଅନୁସନ୍ଧାନ : ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ = 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4,………….
ଏହି ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ 9 ଟି ସୋପାନ ପରେ ପୁନରାବୃତ୍ତି ହେବ।
ତେଣୁ ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ଏହି ଚକ୍ର ଗଠନ କରନ୍ତି = 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4,…………

Question 3.
9a + 36b + 13 ସଂଖ୍ୟାଟିର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ କେତେ?
Solution:
ପ୍ରଥମ ଉପାୟ: 9a + 36b + 13ର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ = 9a + 36b + 9 + 4
= 9(a + 4b + 1) + 4
= 9 + 4
= 13
= 1 + 3
= 4
(∵ 9ର ଗୁଣିତକର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ 9)
ତେଣୁ, 9a + 36b + 13ର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଲ୍ୟ = 4
ଦ୍ଵିତୀୟ ଉପାୟ: 9a + 36b + 13
ଯଦି a ଓ b ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, a = 1, b = 1
9a + 36b + 13 = 9 × 1 + 36 × 1 + 13 = 9 + 36 + 13 = 58
58ର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ = 5 + 8 = 13 = 1 + 3 = 4
ଯଦି a = 2, b = 2 ହେଲେ,
9a + 36b + 13 = 9 × 2 + 36 × 2 + 13 = 18 + 72 + 13 = 103
103 ର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ = 1 + 0 + 3 = 4
ଯଦି a = 2, b = 3 ହେଲେ,
9a + 36b + 13 = 9 × 2 + 36 × 3 + 13 = 18 + 108 + 13 = 139 = 1 +3 + 9 = 13 = 1 + 3 = 4
∴ 9a + 36b + 13 ସଂଖ୍ୟାଟିର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ ସବୁବେଳେ 4।

Question 4.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥବା ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକରେ କୌଣସି ସଂରଚନା ବା ସମ୍ପର୍କ ଥିଲେ, ତାହା ପରୀକ୍ଷା କରି ଅନୁମାନ କର।
(i) ଏକ ସଂଖ୍ଯାର ସମାନତା (parity) ଏବଂ ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ।
(ii) ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟାକୁ 3 କୁ 9 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ ପ୍ରାପ୍ତ ଭାଗଶେଷ।
Solution:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ସଂରଚନା 8, 16, 24, 32, 40……….
(i) 8 = 8 = ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ, ସମାନତା (ଯୁଗ୍ମ)
16 = 1 + 6 = 7 = ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ, ସମାନତା (ଅଯୁଗ୍ମ)
24 = 2 + 4 = 6 = ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ, ସମାନତା (ଯୁଗ୍ମ)
32 = 3 + 2 = 5 = ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ, ସମାନତା (ଅଯୁଗ୍ମ)
40 = 4 + 0 = 4 = ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଳ, ସମାନତା (ଅଯୁଗ୍ମ)

(ii) 3 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ
8 ÷ 3 ⇒ 2, ଭାଗଶେଷ
24 ÷ 3 ⇒ 0, ଭାଗଶେଷ
32 ÷ 3 ⇒ 2, ଭାଗଶେଷ
40 ÷ 3 ⇒ 1, ଭାଗଶେଷ
9 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ
8 ÷ 9 ⇒ 8, ଭାଗଶେଷ
24 ÷ 9 ⇒ 6, ଭାଗଶେଷ
32 ÷ 9 ⇒ 5, ଭାଗଶେଷ
40 ÷ 9 ⇒ 4, ଭାଗଶେଷ

5.3 ଛଦ୍ମବେଶରେ ଅଙ୍କ

Page No. 131

Question 1.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥବା କ୍ରିପ୍ଟାରିଥମ୍‌ସକୁ ସମାଧାନ କର।

(v) PQ × 8 = RS
Solution:
(i)

ପ୍ରଥମ ସ୍ତମ୍ଭରେ, 1 + B = O, ଦ୍ଵିତୀୟ ସ୍ତମ୍ଭରେ, A + 1 = B
ମନେକର B = 2
∴ 1 + 2 = O
⇒ O = 3
ବର୍ତ୍ତମାନ A + 1 = 2
⇒ A = 2 – 1
⇒ A = 1

(ii) ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ନିଜେ କରିବେ।
(iii) ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ନିଜେ କରିବେ।
(iv) ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ନିଜେ କରିବେ।
(v) ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଏକ 2-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ୫ ଦ୍ଵାରା ଗୁଣିଲେ, ଆଉ ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବା ଉଚିତ।
10 × 8 = 80
କିନ୍ତୁ 10 ଓ 80ର ଏକକ ଅଙ୍କ ସମାନ, ଯାହା ଆମେ ଚାହୁଁନାହୁଁ। ସେହି କାରଣରୁ PQ, 11 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, କାରଣ P ଓ Q ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଅଙ୍କକୁ ସୂଚିତ କରେ।
12 × 8 = 96
ସମସ୍ତ ସର୍ଭକୁ ପୂରଣ କରେ।

Question 2.
PQ = 13 ହୋଇପାରିବ କି? ଚିନ୍ତା କର।
Solution:
ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ, କାରଣ 13 × 8 = 104
12 ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ସମସ୍ତ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ 8ରେ ଗୁଣିଲେ 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିଥାଏ।

Page No. 132

Question 1.
ସମାଧାନ କର:
(i) UT × 3 = PUT
(ii) AB × 5 = BC
(iii) L2N × 2 = 2NP
(iv) XY × 4 = ZX
(v) PP × QQ = PRP
(vi) JK × 6 = KKK
Solution:
(i) UT × 3 = PUT
ଏଠାରେ ତିନୋଟି ଅକ୍ଷର P, U ଏବଂ T ଅଛି ଯାହାର ମୂଲ୍ୟ ଖୋଜିବାକୁ ହେବ।
ଯେହେତୁ 3 × Tର ଏକକ ଅଙ୍କ ହେଉଛି T, ତେଣୁ T = 0 କିମ୍ବା T = 5 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ଯେତେବେଳେ T = 0, ତେବେ U0 × 3 = PUO
T = 5, ତେବେ US × 3 = PU5
ବର୍ତ୍ତମାନ 3 × Uର ଏକକ ଅଙ୍କ U
ତେଣୁ U, 0 କିମ୍ବା 5 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ, କିନ୍ତୁ U, 0 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।
କାରଣ ଯଦି U = 0 ତେବେ UT ଏକ ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଯାଏ।
U ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ 5 ଏବଂ ଗୁଣନ 50 × 3 କିମ୍ବା 55 × 3 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ଏଠାରେ 55 × 3 ସମ୍ଭାବନା ଭୁଲ୍।
∴ 50 × 3 = 150

(ii) AB × 5 = BC
B × 5ର ଏକକ ଅଙ୍କ ହେଉଛି C
ଯେହେତୁ, ଏହା 5ରେ ଗୁଣିତକ, ତେଣୁ C = 0 କିମ୍ବା 5 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ଯଦି C = 0, ତେବେ B × 5, ‘0’ରେ ଶେଷ ହେବ।
ତେଣୁ B = 0, 2, 4, 6, 8 ହୋଇପାରେ।
ଯଦି C = 5, ତେବେ B × 5, ‘5’ରେ ଶେଷ ହେବ।
ତେଣୁ B = 1, 3, 5, 7, 9 ହୋଇପାରେ।
AB × 5 = BC
⇒ 5(10A + B) = 10B + C
⇒ 50A + 5B = 10B + C
⇒ 50A = 5B + C
ମନେକର C = 0, ତେବେ 50A = 5B
⇒ B = 10A
ଯେହେତୁ A ଓ B ଏକ ଅଙ୍କ, ତେବେ A = 1
⇒ B = 10, ତେବେ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।
ସେହିପରି A = 2, 3,…….. ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ମଧ୍ୟ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।
C = 5 କୁ ବିଚାର କରିବା
50A = 5B + 5
⇒ 10A = B + 1
ଯଦି A = 1, ତେବେ 10 = B + 1
⇒ B = 9
ତେଣୁ A = 1, B = 9, C = 5
∴ ସମୀକରଣଟି 19 × 5 = 95 ହେବ।

(iii) L2N × 2 = 2NP
ଗୁଣନରୁ N × 2 ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ Pରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ଏକ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।
ଏହା ସହିତ N × 2ର ଏକ କ୍ୟାରି ଅଛି ତେବେ 2 × 2 = 4 କିମ୍ବା 5
ଏବଂ L × 2 ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ 2 ରୁ ଆରମ୍ଭ ହେଉଥିବା ଏକ ସଂଖ୍ୟା ସୃଷ୍ଟି କରିବ।
ତେଣୁ L ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ 1 ହେବ ।
ଯଦି L = 1, ତେବେ L2N × 2 = 2NP
ଯଦି N = 4, ତେବେ 4 × 2 = 8 ତେଣୁ P = 8
ତେବେ 124 × 2 = 248, ସଂରଚନା ସର୍ଭ ପୂରଣ କରୁଛି।
ତେଣୁ L = 1, N = 4, P = 8
∴ ସମୀକରଣଟି 124 × 2 = 248 ହେବ।

(iv) XY × 4 = ZX
ଯେହେତୁ XY ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ZX ମଧ୍ୟ ଏକ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।
XY କୁ 4 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ ଗୁଣଫଳ ZX ହେବ।
ତେବେ Z ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଏକ ଅଙ୍କ ହେବ,
ଯେପରିକି X କୁ 4 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବାର (କିମ୍ବା 4 ସହିତ ଏକ କ୍ୟାରି ହେବ) ଫଳାଫଳ ହେବ।
ଏହାମଧ୍ଯ 4 × Y ର ଫଳାଫଳ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ X ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ଏକ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।
ମନେକର Yର ସମ୍ଭାବିକ ମୂଲ୍ୟ ବିଚାର କରିବା।
ଯଦି Y = 0, 4 × Y = 0, ତେଣୁ X = 0
ତେବେ XY = 00, ଯାହାକି ଅର୍ଥହୀନ।
ଯଦି Y = 1, 4 × Y = 4, ତେଣୁ X = 4
ତେବେ 4 × X = 16, ତେଣୁ Z = 16, ଯାହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ, କାରଣ Z ଏକ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା।
ଯଦି Y = 2, 4 × Y = 8, ତେଣୁ X = 8
ତେବେ 4 × X = 32, ତେଣୁ Z = 32, ଯାହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ, କାରଣ Z ଏକ ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା।
ଯଦି Y = 3, 4 × Y = 12, ତେଣୁ X = 2 (କ୍ୟାରି 1)।
ସେହିପରି (4 × X) + 1 = 4(2) + 1 = 9। ତେଣୁ Z = 9
ଯଦି X = 2, Y = 3, ତେବେ 23 × 4 = 92
ଏଠାରେ X = 2, Y = 3, Z = 9
ଯାହା XY × 4 = ZX ସର୍ଭକୁ ପୂରଣ କରୁଛି।

(v) PP × QQ = PRP
ଏଠାରେ PP = 10P + P = 11P ଏବଂ QQ = 10Q + Q = 11Q
ତେଣୁ 11P × 11Q = PRP
⇒ 121 × P × Q = PRP
ଏଠାରେ PRP ଏକ ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା,
ଯେଉଁଠାରେ ଶତକ ଅଙ୍କ ଓ ଏକକ ଅଙ୍କ ସମାନ (P)।
ତେଣୁ P ଓ Q ପାଇଁ ମୂଲ୍ୟ ପରୀକ୍ଷା କରିବା।
ଯଦି P = 1, 121 × Q = 1R1
ଏହା ସହିତ ଯଦି Q = 2, 121 × 2 = 242
ଏଠାରେ P = 2, ଯାହା P = 1 ବିରୁଦ୍ଧାଚରଣ କରେ।
ଯଦି P = 2, 121 × 2 × Q = 2R2
ତେଣୁ 242 × Q = 2R2
ଏହାର ଅର୍ଥ Q ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ। ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ଯଦି Q = 1, 242 × 1 = 242
ଏଠାରେ P = 2, Q = 1 ଏବଂ R = 4
ଏହା PP × QQ = PRP ସର୍ଭକୁ ପୂରଣ କରୁଛି।
ତେଣୁ P = 2, Q = 1 ଏବଂ R = 4

(vi) JK × 6 = KKK (ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ନିଜେ କରନ୍ତୁ)

ନିଜେ କରି ଦେଖ: (Page No. 132)

Question 1.
ଯଦି 31z5, 9ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ ଏବଂ z ଗୋଟିଏ ଅଙ୍କ ହେଲେ, zର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେବ? କାହିଁକି ଏହାର ଦୁଇଟି ଉତ୍ତର ଅଛି, ବୁଝାଅ।
Solution:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି = 31z5
ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 3 + 1 + z + 5 = 9 + z
∴ 9 + z, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ଯଦି z = 0 ⇒ 31z5 = 3105, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ଯଦି z = 9 ⇒ 31z5 = 3195, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
∴ z = 0 କିମ୍ବା 9।

Question 2.
ଆଶୀଷ କହୁଛି, ମୁଁ ନେଇଥିବା ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ 12 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 8 ରହିଥାଏ। ମୁଁ 12ର ଗୁଣିତକ ଠାରୁ 4 କମ୍ ଥିବା ଆଉ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ନିଏ। ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ ହେବ। ତା’ର ଉକ୍ତିକୁ ପରୀକ୍ଷା କରି ଏବଂ ତୁମେ ନେଇଥ‌ିବା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଯଥାର୍ଥତା ଦର୍ଶାଅ।
Solution:
ମନେକର ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି N₁ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାଟି N₂
ପ୍ରଶାନୁସଯାୟୀ N₁ = 12m + 8 (m ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ)
N₂ = 12n – 4 (n ପୂର୍ବସଂଖ୍ଯା ପାଇଁ)
∴ ଯୋଗଫଳ = 12m + 8 + 12n – 4
⇒ N₁ + N₂ = 12(m + n) + 4
= 12k + 4 (ଯେତେବେଳେ k = m + n)
= 8k + (4k + 4)
ଯୋଗଫଳ 8ର ଗୁଣିତକ ହେବାପାଇଁ 4k + 4, 8ର ଗୁଣିତକ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ଯଦି, k = 0, ତେବେ N₁ + N₂ = 8 × 0 + (4 × 0 + 4) = 4
ଯାହା ୫ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ।
ଯଦି, k = 1, ତେବେ N₁ + N₂ = 8 × 1 + (4 × 1 + 4) = 8 + 8 = 16
ଯାହା ୫ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ।
ଯଦି, k = 2, ତେବେ N₁ + N₂ = 8 × 2 + (4 × 2 + 4) = 16 + 12 = 28
ଯାହା 8ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ।
ଯଦି, k = 3, ତେବେ N₁ + N₂ = 8 × 3 + (4 × 3 + 4) = 24 + 16 = 40
ଯାହା 8ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ।
∴ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ।

Question 3.
କେତେବେଳେ 3 ର ଦୁଇଟି ଗୁଣିତକର ଯୋଗଫଳ, 6ରେ ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ ହେବ ଏବଂ କେତେବେଳେ ହେବ ନାହିଁ? ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ପରିସ୍ଥିତିକୁ ବଚାରକୁ ନେଇ ଏଥିପାଇଁ ସାଧାରଣ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
3ର ଗୁଣିତକ ଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି – 3, 6, 9, 12, 15, 18,…….
3 + 6 = 9, ଯାହା 6 ର ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ।
6 + 9 = 15, ଯାହା 6 ର ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ।
3 + 9 = 12, ଯାହା 6 ର ଗୁଣିତକ।
6 + 12 = 18, ଯାହା 6 ର ଗୁଣିତକ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବନା ଉତ୍ତର ହେବ-
(1) ଯଦି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା
(2) ଯଦି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା
ଅଯୁଗ୍ମ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 6 ର ଗୁଣିତକ ହେବ।
ଯୁଗ୍ମ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 6 ର ଗୁଣିତକ ହେବ।

Question 4.
ଲିଲି କହୁଛି, ‘‘ମୋ ପାଖରେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି, ଯାହା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ। ମୁଁ ସଂଖ୍ୟାଟିର ଅଙ୍କକୁ ଓଲଟାଇ ଦେଲେ ଏହା ମଧ୍ୟ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।”
(i) 9ର ଯେକୌଣସି ଗୁଣିତକ ପାଇଁ ଏହି ଗାଣିତିକ ଅନୁମାନ କେତେଦୂର ଠିକ୍, ପରୀକ୍ଷା କର।
(ii) ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଯେକୌଣସି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ଓଲଟାଇ ଲେଖୁଲେ 9ର ଗୁଣିତକ ପାଇବା ସମ୍ଭବ ହେବ କି?
Solution:
ମନେକର 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜିତ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 72
ଆମେ ଜାଣିଛେ ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ, ତେବେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
ତେଣୁ 72 = 7 + 2 = 9, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
72 କୁ ଓଲଟାଇ ଲେଖୁଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ = 27
27 ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 2 + 7 = 9, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
(i) ସତ୍ଯ
(ii) ହଁ, ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଯେକୌଣସି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ଓଲଟାଇ ଲେଖୁଲେ 9ର ଗୁଣିତକ ପାଇବା ସମ୍ଭବ ହେବ।

Question 5.
ଯଦି 48a23b, 18ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ ହୁଏ, ତେବେ a ଓ b ପାଇଁ ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଯୋଡ଼ା ଲେଖ।
Solution:
ଦତ୍ତ 48a23b ସଂଖ୍ୟାଟି 18ର ଗୁଣିତକ।
ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 18 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ, ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଓ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥ‌ିବ।
ସଂଖ୍ୟାରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 4 + 8 + a + 2 + 3 + b = 17 + a + b
(i) ଯଦି a = 1 ଓ b = 0
ସଂଖ୍ୟା 48a23b = 481230
ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 4 + 8 + 1 + 2 + 3 + 0 = 18, ଏହା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

(ii) ଯଦି a = 4 ଓ b = 6
ସଂଖ୍ୟା 48a23b = 484236
ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 4 + 8 + 4 + 2 + 3 + 6 = 27, 9ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
∴ a ଓ bର ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ a = 1 ଓ b = 0 ଏବଂ a = 4 ଓ b = 6

Question 6.
ଯଦି 3p7q8 ସଂଖ୍ୟାଟି 44 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହୁଏ, p ଓ q ର ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମୂଲ୍ୟର ଯୋଡ଼ିର ତାଲିକା କର।
Solution:
ଦତ୍ତ 3p7q8 ସଂଖ୍ୟାଟି 44 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି 44 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ,
ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି ମଧ୍ଯ 4 ଓ 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
(i) ଯଦି p = 7 ଓ q = 0
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି 3p7q8 = 37708
37708 ସଂଖ୍ୟାଟି 4 ଓ 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ, ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 44 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

(ii) ଯଦି p = 5 ଓ q = 2
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି_3p7q8 = 35728
35728 ସଂଖ୍ୟାଟି 4 ଓ 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ, ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 44 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

(iii) ଯଦି p = 3 ଓ q = 4
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି 3p7q8 = 33748
33748 ସଂଖ୍ୟାଟି 4 ଓ 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ, ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 44 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

(iv) ଯଦି p = 1 ଓ q = 6
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି_3p7q8 = 31768
31768 ସଂଖ୍ୟାଟି 4 ଓ 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ, ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 44 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
∴ p ଓ q ର ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମୂଲ୍ୟର ଯୋଡ଼ିର ତାଲିକା = {(7, 0), (5, 2), (3, 4), (1, 6)}

Question 7.
ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ, ଯେପରି ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି 2ର ଗୁଣିତକ, ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 3ର ଗୁଣିତକ ଓ ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 4ର ଗୁଣିତକ ହୋଇଥିବ। ଚେଷ୍ଟାକର: ଏପରି ଆଉ ଅଧୁକ କିଛି ସଂଖ୍ୟା ଅଛନ୍ତି କି? ସେମାନେ କେତେଥର ରହିପାରନ୍ତି?
Solution:
ମନେକର ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା x, x + 1 ଓ x + 2
ଯଦି x = 2 = ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି = 2, 3, 4
ଯଦି x = 14 = ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି = 14, 15, 16
ଯଦି x = 26 = ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି = 26, 27, 28
ଯଦି x = 38 = ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି = 38, 39, 40
∴ ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି 2ର ଗୁଣିତକ, ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 3ର ଗୁଣିତକ ଓ ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 4ରଗୁଣିତକ ହୋଇଥିବା ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା = (14, 15, 16), (26, 27, 28), (38, 39, 40)
ଏହିପରି ଆଉ ଅଧ୍ବକ ଅସଂଖ୍ୟା ସଂଖ୍ୟା ଅଛନ୍ତି।

Question 8.
45,000 ଏବଂ 47,000 ମଧ୍ୟରେ 36ରେ କେତୋଟି ଗୁଣିତକ ଅଛନ୍ତି, ଲେଖ। ତୁମେ ଅବଲମ୍ବନ କରିଥିବା ଉପାୟକୁ ନିଜ ଶ୍ରେଣୀରେ ଆଲୋଚନା କର।
Solution:
4500 ÷ 36 = 1250
4500, 36 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବାରୁ ଏହା 36 ର ଗୁଣିତକ।
ଆମକୁ 4500 ଏବଂ 4700 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 36ରେ ଗୁଣିତକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ।
4700 – 4500 = 2000
2000 ÷ 36 = ଭାଗଫଳ 55 ଓ ଭାଗଶେଷ 20
ଅର୍ଥାତ୍ 2000 ମଧ୍ଯରେ 36 ର 55ଟି ଗୁଣିତକ ଅଛି।
∴ 45,000 ଏବଂ 47,000 ମଧ୍ଯରେ 36 ର 55ଟି ଗୁଣିତକ ଅଛି।

Question 9.
5ଟି କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମଝି ସଂଖ୍ୟାଟି 5P ଅଟେ। Pକୁ ଆଧାର କରି ଅନ୍ୟ ଚାରୋଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଲେଖ।
Solution:
5ଟି କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମଝି ସଂଖ୍ୟାଟି 5P ଅଟେ।
ଏହି କ୍ରମର ଅନ୍ୟ ଚାରୋଟି ସଂଖ୍ୟା = 5P – 4, 5P – 2, 5P + 2, 5P + 4

Question 10.
15 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ 6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ, ଯେପରିକି ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଓଲଟାଇ ଲେଖୁଲେ ମିଳୁଥୁବା ସଂଖ୍ୟା 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
Solution:
ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି ଉଭୟ 3 ଓ 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 15 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି = 643215
ସଂଖ୍ୟାଟିର ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 6 + 4 + 3 + 2 + 1 + 5 = 21, 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
∴ 643215 ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ସଂଖ୍ୟାଟିର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ = 5, ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
643215 ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଓଲଟାଇ ଲେଖିଲେ ହେବ = 512346
ସଂଖ୍ୟାଟିର ଏକକ ଅଙ୍କ = 6
∴ 512346 ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 21, 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
∴ 512346 ସଂଖ୍ୟାଟି 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

Question 11.
ଦୀପକ କହିଲା, 11ର କିଛି ଗୁଣିତକ ଅଛି, ଯାହାର ଦୁଇଗୁଣ ମଧ୍ୟ 11ର ଗୁଣିତକ ହେବ। କିନ୍ତୁ 11ର ଆଉ କିଛି ଗୁଣିତକ ଅଛନ୍ତି, ଯାହାର ଦୁଇଗୁଣ 11ର ଗୁଣିତକ ନୁହଁନ୍ତି। ପରୀକ୍ଷା କରି ଉକ୍ତିଟିର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର।
Solution:
11 ର ଗୁଣିତକ ଗୁଡ଼ିକ 11, 22, 33, 44, 55,………
ଦୁଇଗୁଣ କଲେ, 22, 44, 66, 88, 110,…………
ଅର୍ଥାତ୍ 11 × 2, 11 × 4, 11 × 6, 11 × 8, 11 × 10….. ଇତ୍ୟାଦି ମଧ୍ଯ 11 ର ଗୁଣିତକ।
11 ର ଆଉ କିଛି ଗୁଣିତକ ଅଛନ୍ତି, ଯାହାର ଦୁଇଗୁଣ 11 ର ଗୁଣିତକ ନୁହଁନ୍ତି – ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍।
ତେଣୁ 11 ର ଗୁଣିତକ, ଯାହାର ଦୁଇଗୁଣ ମଧ୍ୟ 11 ର ଗୁଣିତକ ହେବ। ଏହା ଠିକ୍।

Question 12.
ନିମ୍ନଲିଖତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି “ସବୁବେଳେ ସତ”, କେଉଁଟି ‘ବେଳେବେଳେ ସତ’ ଓ କେଉଁଟି ‘ଆଦୌ ସତ ନୁହେଁ’ – କାରଣ ସହ ବୁଝାଅ।
(i) 6ର ଗୁଣିତକ ଓ 3ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକର ଗୁଣଫଳ 9ର ଗୁଣିତକ ହେବ।
(ii) ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
(iii) ଯଦି abcdef 6ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ, ତେବେ badcef 6ର ଗୁଣିତକ ହେବ।
(iv) 8(7b – 3) – 4(11b + 1), 12ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ।
Solution:
(i) 6ର ଗୁଣିତକ ଓ 3ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକର ଗୁଣଫଳ 9ର ଗୁଣିତକ ହେବ – ସବୁବେଳେ ସତ୍ୟ।
ମନେକର 6ର ଗୁଣିତକ = 6a ଓ 3ର ଗୁଣିତକ = 3b
(ଯେଉଁଠାରେ a, b ଗୋଟିଏ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା)
ଗୁଣଫଳ = (6a) × (3b) = 18(ab), ଯାହା 9ର ଗୁଣିତକ।

(ii) ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ – ସବୁବେଳେ ସତ୍ୟ।
ମନେକର ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା 2n, 2n + 2 ଏବଂ 2n + 4
ଯୋଗପଳ = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6(n + 1), ଯାହା 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ତେଣୁ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ଉକ୍ତିଟି ସବୁବେଳେ ସତ୍ୟ।
ଉଦାହରଣ- 2 + 4 + 6 = 12, 4 + 6 + 8 = 18, 6 + 8 + 10 = 24, 8 + 10 + 12 = 30,…….
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 6 ର ଗୁଣିତକ।

(iii) ଯଦି abcdef 6ର ଗୋଟିଏ ଗୁଣିତକ, ତେବେ badcef 6ର ଗୁଣିତକ ହେବ – ସବୁବେଳେ ସତ୍ୟ।
କାରଣ, ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ପରିବର୍ତ୍ତନ ନ ହେଲେ ଉତ୍ତର ଠିକ୍ ଆସିବ।

(iv) 8(7b – 3) – 4(11b + 1), 12ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ – ଆଦୌ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।
8(7b – 3) – 4(11b + 1) = 56b – 24 – 44b – 4 = 12b – 28
ଏଠାରେ 12b – 28, 12ର ଗୁଣିତକ, କିନ୍ତୁ 28, 12ର ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ।
∴ 12b – 28, 12ର ସବୁବେଳେ ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ।
ତେଣୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଉକ୍ତିଟି ଆଦୌ ସତ ନୁହେଁ।

Question 13.
ଯେକୌଣସି 3ଟି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ । ତାଙ୍କର ଯୋଗଫଳ କେଉଁ ପରିସ୍ଥିତିରେ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ? ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ପରିସ୍ଥିତିକୁ ଖୋଜି ବାହାର କର ଏବଂ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଲେଖ।
Solution:
ମନେକର ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା n₁, n₂ ଓ n₃
ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ। ମନେକର ଭାଗଶେଷ ଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ – r₁, r₂ ଓ r₃
ସଂଖ୍ୟା n₁, n₂ ଓ n₃ ର ଯୋଗଫଳ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ଯଦି ସେମାନଙ୍କର ଭାଗଶେଷର ଯୋଗଫଳ (r₁ + r₂ + r₃), 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
ସମ୍ଭାବ୍ୟ –୧: ମନେକର ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଭାଗଶେଷ = 0
⇒ r₁ = 0, r₂ = 0, r₃ = 0
∴ ଭାଗଶେଷର ଯୋଗଫଳ = 0 + 0 + 0 = 0, ଯାହାକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କରାଯାଇପାରିବ।
ସମ୍ଭାବ୍ୟ –୨: ମନେକର ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଭାଗଶେଷ = 1
⇒ r₁ = 1, r₂ = 1, r₃ = 1
∴ ଭାଗଶେଷର ଯୋଗଫଳ = 1 + 1 + 1 = 3, ଯାହାକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କରାଯାଇପାରିବ।
ସମ୍ଭାବ୍ୟ –୩: ମନେକର ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଭାଗଶେଷ = 2
⇒ r₁ = 2, r₂ = 2, r₃ = 2
∴ ଭାଗଶେଷର ଯୋଗଫଳ = 2 + 2 + 2 = 6, ଯାହାକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କରାଯାଇପାରିବ।
ସମ୍ଭାବ୍ୟ –୪: ମନେକର ଭାଗଶେଷ ଯଥାକ୍ରମେ 0, 1, ଓ 2
⇒ r₁ = 0, r₂ = 1, r₃ = 2
∴ ଭାଗଶେଷର ଯୋଗଫଳ = 0 + 1 + 2 = 3, ‘ଯାହାକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କରାଯାଇପାରିବ।
∴ ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ଯଦି ଓ କେବଳ ସେହି 3ଟି ସମାନ ଭାଗଶେଷର ଯୋଗଫଳ କିମ୍ବା ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ଭାଗଶେଷର ଯୋଗଫଳ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।

Question 14.
ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ସର୍ବଦା 2ର ଗୁଣିତକ ହେବ କି? କାହିଁକି? ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ବିଷୟରେ ତୁମର କ’ଣ ଧାରଣା ଅଛି। ଏହା ସର୍ବଦା 6ରେ ଗୁଣିତକ ହେବ କି? କାହିଁକି ହେବ କିମ୍ବା କାହିଁକି ହେବ ନାହିଁ? ଚାରୋଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳକୁ ନେଇ ତୁମର ମତ କ’ଣ ରହିବ? ପାଞ୍ଚୋଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳକୁ ନେଇ ତୁମେ କ’ଣ କହିବ?
Solution:
୧ମ – ହଁ, ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ସର୍ବଦା 2ର ଗୁଣିତକ ହେବ।
1 × 2 = 2, 2 × 3 = 6, 5 × 6 = 30, 10 × 11 = 110,………
ଆମେ ଜାଣିଛେ ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।
ନା, ଏହା ସର୍ବଦା 6ରେ ଗୁଣିତକ ହେବ ନାହିଁ।
କାରଣ 3 ଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, ଯଥା – 2 + 3 + 4 = 9 – ଏହା 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
3 + 4 + 5 = 12, ଏହା 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
4 + 5 + 6 = 15, ଏହା 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ଚାରୋଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ = 2 × 3 × 4 × 5 = 120, 4 × 5 × 6 × 7 = 840, 5 × 6 × 7 × 8 = 1680, 12 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
∴ ଆମେ କହିପାରିବା ଚାରୋଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ 12 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ପାଞ୍ଚୋଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ
1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720
3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 2520
∴ ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ପାଞ୍ଚୋଟି କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ସର୍ବଦା 24 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।

Question 15.
ନିମ୍ନଲିଖତ କ୍ରିସ୍ଟାରିଥୁମ୍‌କୁ ସମାଧାନ କର:
(i) EF × E = GGG
(ii) WOW × 5 = MEOW
Solution:
(i) EF × E = GGG
EF × E ପାଇଁ ଏକ ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା GGG ପାଇବାକୁ GGG ନିଶ୍ଚିତଭାବେ 111 ର ଗୁଣିତକ ହେବ।
ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ (111, 222, 333, …..)
ଯଦି GGG = 111, ତେବେ ଆମେ ପାଇବା 111 = 37 × 3
ଏହା ସମସ୍ତ ସର୍ଭକୁ ପୂରଣ କରେ।
ତେଣୁ E = 3, F = 7 ଏବଂ G = 1

(ii) WOW × 5 = MEOW
ଏହାର ଅର୍ଥ ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ, ଚାରି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ।
ମନେକର ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା = 200, 201,………., 999
200 × 5 = 1000, 201 × 5 = 1005,…… ଚାରି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା।
(a) 525 × 5 = 2625, WOW × 5 = MEOW ସହିତ ତୁଳନା କଲେ ଆମେ ପାଇବା
M = 0 = 2 କିନ୍ତୁ ପୃଥକ ଅକ୍ଷର ନିଶ୍ଚିତ ପୃଥକ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ତେଣୁ 0 ≠ 2 ଏବଂ ଏହା ଅସମ୍ଭବ।
(b) 575 × 5 = 2875, ଏଠାରେ M = 2, E = 8, O = 7 ଏବଂ W = 5
ତେଣୁ ଏହା କ୍ରିସ୍ଟାରିଥୁମସ୍‌କୁ ସମାଧାନ କରେ।

Question 16.
ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଭେନ୍ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ (Venn diagram) ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି 4, 8 ଓ 32ର ଗୁଣିତକମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କକୁ ଦର୍ଶାଉଅଛି?

Solution:
(iv) 4ର ଗୁଣିତକ = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64……….
8ର ଗୁଣିତକ = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72,….
32ର ଗୁଣିତକ = 32, 64, 96, 128,……….
∴ (iv) ରେ ଥିବା ଭେନ୍ ଚିତ୍ରଟି 4, 8 ଓ 32ର ଗୁଣିତକମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କକୁ ଦର୍ଶାଉଛି।

Class 8 Maths Chapter 5 MCQ Odia Medium

ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଚାରୋଟି ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ।

Question 1.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ହେବ ନାହିଁ?
(a) 15
(b) 16
(c) 9
(d) 11
Answer:
(c) 9

Question 2.
ଯଦି x, y, z ଓ w ଚାରୋଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ + ଓ – ବସାଇଲେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ପରିପ୍ରକାଶଟି କ’ଣ ହେବ?
(a) 3
(b) 4
(c) 6
(d) 8
Answer:
(d) 8

Question 3.
119 × 332 × 6 ର ପରିପ୍ରକାଶଟି କେତେ?
(a) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(b) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(c) ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା
(d) କୌଣସିଟି ନୁହେଁ
Answer:
(a) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା

Question 4.
କେଉଁ ପରି ପ୍ରକାଶଟି ସବୁବେଳେ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ?
(a) 4a + 3b
(b) a² + 1
(c) 3x + 5y
(d) 2x + 2y
Answer:
(d) 2x + 2y

Question 5.
4ର ଦୁଇଟି ଗୁଣିତକର ଯୋଗଫଳ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣିତକ ହେବ?
(a) 3
(b) 5
(c) 7
(d) 4
Answer:
(d) 4

Question 6.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି ‘8’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ?
(a) 293
(b) 1205
(c) 1648
(d) 2003
Answer:
(c) 1648

Question 7.
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 7254*98, 22 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ * ସ୍ଥାନରେ କେଉଁ ଅଙ୍କ ରହିବ?
(a) 1
(b) 2
(c) 6
(d) 0
Answer:
(c) 6

Question 8.
116 ଓ 365 ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ?
(a) 5
(b) 7
(c) ଉଭୟ (a) ଓ (b)
(d) କୌଣସିଟି ନୁହେଁ
Answer:
(d) କୌଣସିଟି ନୁହେଁ

Question 9.
1265 ସଂଖ୍ୟାଟି କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ?
(a) 2
(b) 3
(c) 10
(d) 11
Answer:
(d) 11

Question 10.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ?
(a) 4096
(b) 21084
(c) 31795012
(d) ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ
Answer:
(d) ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ

Question 11.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ?
(a) 672
(b) 5652
(c) 4897
(d) କୌଣସିଟି ନୁହେଁ
Answer:
(b) 5652

Question 12.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ?
(a) 297143
(b) 1790184
(c) 291245
(d) 1840791
Answer:
(b) 1790184

Question 13.
ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଉଭୟ 5 ଓ 6 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ତେବେ ଏହା କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ?
(a) 30
(b) 36
(c) 85
(d) 95
Answer:
(a) 30