Prasanna

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 Maths Notes Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ

ଚତୁର୍ଭୁଜ ଓ ଉଉଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ (Quadrilateral and convex quadrilateral) :
(1) ଚତୁର୍ଭୁଜ : ମନେକର A, B, C, D ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ଚାରୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ନୁହଁନ୍ତି । A͞B , B͞C , C͞D ଓ DA ସେମାନଙ୍କ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ନଥ୍ଲେ, ଏହି ଚାରି ଗୋଟି ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵାରା ଗଠିତ ସେଟ୍ AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA କୁ ABCD ଚତୁର୍ଭୁକର କୁହାଯାଏ ।
(2) AB, BC, CD ଓ DA କୁ ABCD  ଚତୁର୍ଭୁକର ବାହୁ ଓ ∠BAD, ∠ABC, ∠CDA ଓ ∠BCD କୁ ଏହାର କୋଣ (Angle) କୁହାଯାଏ A, B, C, D କୁ ଚତୁର୍ଭୁର୍ଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ (Vertex) କୁହାଯାଏ ।
(3) ଚତୁର୍ଭୁଜର ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ବାହୁର ଏକ ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ସେ ଦ୍ୱୟକୁ ସନ୍ନିହିତ (Adjacent) ବାହୁ ବା କୌଣସି ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ନଥିବା ବାହୁଦ୍ୱୟକୁ ବିପରୀତ (Opposite) ବାହୁ କୁହାଯାଏ । ଚତୁର୍ଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୁଇଟି ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁକୁ କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷ ଓ କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷରେ ଥ‌ିବା କୋଣଦ୍ଵୟକୁ କ୍ରମିକ କୋଣ କୁହାଯାଏ । ଯେଉଁ ନୁହଁନ୍ତି ସେ ଦ୍ଵୟକୁ ବିପରୀତ ଶୀର୍ଷ କୁହାଯାଏ । ବିପରୀତ ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁରେ ଥିବା କୋଣଦ୍ଵୟକୁ ବିପରୀତ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।
AB ଓ BC ସନ୍ନିହିତ ବାହୁ ଏବଂ AB ଓ CD ବିପରୀତ ବାହୁ;
∠A, ∠B କ୍ରମିକ କୋଣ ଓ ∠A, ∠C ବିପରୀତ କୋଣ; A ଓ B କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷ ଏବଂ A ଓ C ବିପରୀତ ଶୀର୍ଷ ଅଟେ ।

(4) ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ : ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ ଏହାର ବିପରୀତ ବାହୁଦ୍ୱାରା ନିର୍ମିତ ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦ ନକରେ, ତା’ହେଲେ ଏହାକୁ ଏକ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ (Convex Quadrilateral) କୁହାଯାଏ ।
(5) ABCD ଏକ ଉତ୍ତର ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେଲେ A ଓ B ବିଦୁ୍ୟଦ୍ୱୟ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{CD}}\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବରେ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DA}}\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବରେ, C ଓ D ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବରେ ଏବଂ D ଓ A ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{BC}}\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।

• ଉତ୍କଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ନୁହେଁ ଏବଂ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଛେଦକରନ୍ତି ।
• ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଏକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ।

ବହୁଭୂଜ(polygon):
ମନେକର P₁, P₂, ….. P_n ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ କେତେକ ବିନ୍ଦୁ (n ≥ 3) ଏବଂ ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଏକରେଖୀୟ ନୁହନ୍ତି । P₁P₂, P₂P₃, ….. P_n-1P_n, P_nP₁ ସେମାନଙ୍କ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁନଥୁଲେ ଏହି n ସଂଖ୍ୟକ ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ସେଟ୍ P₁P₂, ∪ P₂P₃, ∪ ….. P_n-1P_n, ∪ P_nP₁ କୁ P₁P₂ ….. P_n ବହୁଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।
P₁P₂, P₂P₃ ….. P_nP₁ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ଓ P₁P₂ ….. P_n ବହୁଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଅଟନ୍ତି । 
{n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର n ସଂଖ୍ୟକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ଥାଏ ।}

ଉତ୍ତଳ ବହୁଭୁଜ (Convex Polygon) :
P₁P₂P₃ ….. P_nବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁଦ୍ୱାରା ନିର୍ମିତ ରେଖାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଯଦି ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ଶୀର୍ଷ ଅବସ୍ଥାନ କରନ୍ତି, ତେବେ ବହୁଭୁଜକୁ ଉତ୍ତଳ ବହୁଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।

ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ (Regular Polygon) :
ଯେଉଁ ବହୁଭୁଜର ସମସ୍ତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଏବଂ ସମସ୍ତ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ସେପରି ବହୁଭୁଜକୁ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ କୁହାଯାଏ
ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ବହୁଭୁଜର ନାମକରଣ ନିର୍ଭର କରେ ।
{ବହୁଭୁଜ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବାଧ‌ିକ ମୌଳିକ ହେଉଛି ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 3 ।}

ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା	ବହୁଭୁଜର ନାମ
33	ତ୍ରିଭୁଜ (Triangle)
4	ଚତୁର୍ଭୁଜ (Quadrilateral)
5	ପେଣ୍ଟାଗନ୍ (Pentagon)
6	ଷଡ଼ଭୁଜ (Hexagon)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(b)

Question 1.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) 5x – 3x = 5x + (………..) = {(………..) + (………..)}x = (………..)
(ii) 3x- (-2x) = 3x + (………..) = {(………..) + (………..)} x = (………..)
(iii) -2x – 3x = -2x + (………..) = {(………..) + (………..)}x = (………..)
(iv) (2 + 3x) – (3 – 2x) = (2 + 3x) + (………..) = (2 – 3) + (3x + ………..) = (………..) + (………..)
(v) (x – 4) – (-3x + 2) = (x – 4) + (………..) = (x + 3x) + (………..) = (………..) + (………..)
ସମାଧାନ :
(i) 5x – 3x = 5x + (-3x) = {(5)+(-3)} x = (2x)

(ii) 3x – (-2x) = 3x + (2x) = {(3)+(2)}x = (5x)

(iii) -2x – 3x = -2x + (-3x) = {(-2) + (-3)} x = (-5x)

(iv) (2 + 3x) – (3 – 2x) = (2 + 3 x) + (2 x – 3)
= (2 – 3)+ {3 x + (2x)} = (-1) + (5x)

(v) (x – 4) – (-3x + 2) = (x – 4) + (3x-2)
= (x + 3x) + (-4 – 2) = (4x) + (-6)

Question 2.
ବିୟୋଗ କର ।
(i) 12x ରୁ 9x
(ii) 5x ରୁ -3x
(iii) -2 x ରୁ 3x
(iv) -4x ରୁ -6x
(v) (x + 2) ରୁ (3x + 2)
(vi) 3 ରୁ x² + x + 1
(vii) 2x² – 2x – 2 ରୁ x² + 2x + 4
ସମାଧାନ :
(i) 12x – 9x + 12x + (-9x) = {12 + (-9)}x = 3x

(ii) 5x – (-3x) = 5x + 3x = (5+3)x = 8x

(iii) -2x – 3x = -2x + (-3x) = {-2 + (-3)}x = -5x

(iv) -4x – (-6x) = -4x + 6x = {-4 + 6}x = 2x

(v) (x + 2) – (3x + 2) = x + 2 – 3x – 2 = x – 3x + 2 – 2
= x + (-3x) + 2 +(-2)
= {1 + (-3)}x + {2 + (-2)} = -2x

(vi) 3 – (x² + x + 1) = 3 – x² – x – 1 = -x² – x + 3 – 1 = -x² – x + 2

(vii) (2x² – 2x – 2) – (x² + 2x + 4) = 2x² – 2x – 2 – x² – 2x – 4
= 2x² – x² – 2x – 2x – 2 – 4 = 2x² + (-x²) + (-2x) + (-2x) + (-2) + (-4)
= {2+(-1)} x²+{(-2)+(-2)} x+{(-2)+(-4)}
= x² + (-4x) + (-4) = x²- 4x – 4

Question 3.
ବିୟୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 2x² + 2 x ରୁ 2x²
(ii) 5x² + 3 x ରୁ x² + 3 x
(iii) 2x² – 2 x ରୁ x² + 2 x
(iv) 3x² + 3 x + 2 ରୁ x² + 3 x – 2
(v) 2x² – 5 x – 1 ରୁ x² + 5 x – 1
(vi) 4 + 3 x + 2x² + x³ ରୁ x³ + 2x² – 3 x – 4
(vii) 2x³ – 5 – 2x² – 10 x ରୁ x³ + 20 x – x² + 3
ସମାଧାନ :
(i) (2x² + 2x) – 2x² = 2x² + 2x + (-2x²) = 2x² + (-2x²) + 2 x = 2 x

(ii) (5x² + 3 x)-(x² + 3 x) = 5x² + 3 x + (-x²) + (-3 x)
= 5x² + (-x²) + 3 x + (-3 x) = 4x²

(iii) (2x²-2 x) – (x² + 2 x) = 2x² – 2 x – x² – 2 x = 2x² – x² – 2 x – 2 x = x² – 4 x

(iv) (3x² + 3 x + 2) – (x² + 3 x – 2) = 3x² + 3 x + 2 – x² – 3 x + 2
= 3x² – x² + 3 x – 3 x + 2 + 2 = 2x² + 4

(v) (2x² – 5 x – 1) – (x² + 5 x – 1) = 2x² – 5 x – 1 – x² – 5 x + 1
= 2x² – x² – 5 x – 5 x – 1 + 1 = x² – 10 x
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :

(vi) (4 + 3 x + 2x² + x³) – (x³ + 2x² – 3 x – 4)
=4 + 3 x + 2x² + x³ – x³ – 2x² + 3 x + 4
= x³ – x³ + 2x² – 2x² + 3 x + 3 x + 4 + 4
=6 x + 8
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :

(vii) (2x³ – 5 – 2x² – 10 x) – (x³ + 20 x – x² + 3)
= 2x² – 5 – 2x² – 10 x – x³ – 20 x + x² – 3
= 2x³ – x³ – 2x² + x² – 10 x – 20x – 5 – 3
= x³ – x² – 30 x – 8
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class History Solutions Chapter 4 ବ୍ରିଟିଶ ଆର୍ଥିକ ନୀତି ଓ ଭାରତରେ ଏହାର ପ୍ରଭାବ Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 History Solutions Chapter 4 ବ୍ରିଟିଶ ଆର୍ଥିକ ନୀତି ଓ ଭାରତରେ ଏହାର ପ୍ରଭାବ

୧। ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୭୫ଟି ଶବ୍ଦରେ ଦିଅ ।

(କ) ନୂଆ କଳକାରଖାନା ସ୍ଥାପନ ପରେ ମଧ୍ଯ ଭାରତରେ ବେକାରୀ ସଂଖ୍ୟା ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲା କାହିଁକି ?
Answer:
ଅଧୁକ ଶ୍ରମିକ ନିଯୁକ୍ତି :

• ନୂତନ କଳକାରଖାନା ସ୍ଥାପନ ହେବା ଫଳରେ ହଜାର ହଜାର ଶ୍ରମିକ ସେଥ‌ିରେ ନିଯୁକ୍ତି ପାଇଲେ ।
• ଭାରତରେ ୧୯୧୫ ମସିହାବେଳକୁ ୨୦୬ଟି ଲୁଗାକଳରେ ୨ ଲକ୍ଷ ଶ୍ରମିକ, ୧୯୦୧ ବେଳକୁ ୩୬ଟି ଝୋଟକଳରେ ଏକ ଲକ୍ଷରୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ଵ ଶ୍ରମିକ ଓ କୋଇଲା ଖଣିରେ ଏକ ଲକ୍ଷ ଶ୍ରମିକ କାମ କରୁଥିଲେ ।

ଶିଳ୍ପର ଅଧପତନ :
ପାରମ୍ପରିକ ଶିଳ୍ପ ଏବଂ କାରିଗରୀ ଶିଳ୍ପର ଅଧଃପତନ ଫଳରେ ଯେଉଁ ବ୍ୟାପକ ସଂଖ୍ୟାରେ କାରିଗର ବେକାର ହେଲେ ତା’ ତୁଳନାରେ ଅତି ଅଳ୍ପ ଲୋକଙ୍କୁ ନୂଆ ଶିଳ୍ପରେ ଶ୍ରମିକ ଭାବରେ ନିଯୁକ୍ତି ମିଳିଲା ।

ବନ୍ଦୋବସ୍ତ ବ୍ୟବସ୍ଥା ପ୍ରବର୍ତ୍ତନ :
ନୂଆ ନୂଆ ବନ୍ଦୋବସ୍ତ ବ୍ୟବସ୍ଥା ପ୍ରବର୍ତ୍ତନ ହେତୁ ଅନେକ ଲୋକ ଭୂମିହୀନ ଓ ବେକାର ହେବା ଯୋଗୁଁ ମଧ୍ଯ ବେକାରୀ ସଂଖ୍ୟା ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲା ।

(ଖ) ବଙ୍ଗରେ ଅଧିକାଂଶ ଝୋଟକଳ ସ୍ଥାପନ କରାଗଲା କାହିଁକି ?
Answer:
ଜଳବାୟୁ :
ବଙ୍ଗର ଜଳବାୟୁ ଝୋଟଚାଷ ପାଇଁ ଉପଯୁକ୍ତ ହୋଇଥିବାରୁ ଏଠାରେ ବହୁଳ ପରିମାଣରେ ଝୋଟ ଚାଷ କରାଯାଉଥିଲା ।

ଅଞ୍ଚଳ :
ସେତେବେଳେ ବଙ୍ଗ ଭାରତର ଏକ ପ୍ରମୁଖ ଓ ଉନ୍ନତ ଅଞ୍ଚଳ ଥିଲା ।

ପରିବହନ :
ବଙ୍ଗର ପରିବହନ ବ୍ୟବସ୍ଥା ମଧ୍ୟ ଉନ୍ନତ ଥିଲା ।

କଞ୍ଚାମାଲ :
ସହଜରେ କଞ୍ଚାମାଲ ଏବଂ ଆବଶ୍ୟକ ସଂଖ୍ୟାରେ ଶ୍ରମିକ ଉପଲବ୍‌ଧ ଥ‌ିବାରୁ ବଙ୍ଗରେ ଝୋଟକଳମାନ ସ୍ଥାପନ କରାଗଲା ।

(ଗ) ଊନବିଂଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଭାରତରେ ପାରମ୍ପରିକ ହସ୍ତଶିଳ୍ପ ପତନୋନୁ ଖୀ ହେଲା କାହିଁକି ?
Answer:
ବିଦେଶୀ ସାମଗ୍ରୀ :

• ଶିଳ୍ପ ବିପ୍ଳବ ପରେ କଳ ତିଆରି ଲୁଗା ଓ ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ବିଦେଶୀ ସାମଗ୍ରୀ ଭାରତକୁ ଆସିଲା ।
• ଏସବୁ ସାମଗ୍ରୀ ହସ୍ତଶିଳ୍ପ ସାମଗ୍ରୀ ଅପେକ୍ଷା ଶସ୍ତାରେ କିଣିବାକୁ ମିଳିଲା

ବାଣିଜ୍ୟ ଶୁଳ୍କ ବୃଦ୍ଧି :
ନିଜ ଶିଳ୍ପର ବିକାଶ ପାଇଁ ଇଂରେଜ ସରକାର ମଧ୍ୟ ବିଦେଶୀ ସାମଗ୍ରୀର ଆମଦାନି ଉପରେ ବାଣିଜ୍ୟ ଶୁଳ୍କ ଛାଡ଼ କଲେ ।

ସ୍ଵଦେଶୀ ବସ୍ତୁକୁ ନାପସନ୍ଦ :

• ପାଶ୍ଚାତ୍ୟ ସଂସ୍କୃତି ପ୍ରଭାବରେ ଲୋକେ ପାରିବାରିକ ହସ୍ତଶିଳ୍ପ ପ୍ରସ୍ତୁତ ସ୍ଵଦେଶୀ ବସ୍ତୁକୁ ନାପସନ୍ଦ କଲେ ।
• ଏସବୁ କାରଣରୁ ଭାରତରେ ପାରମ୍ପରିକ ହସ୍ତଶିଳ୍ପ ପତନୋନୁ ଖୀ ହେଲା ।

(ଘ) ଇଂରେଜମାନେ ଭାରତରୁ କେଉଁ କେଉଁ ଉପାୟରେ ଧନ ଲୁଣ୍ଠନ କରି ନେଇଯାଉଥିଲେ ?
Answer:
ବେତନ ଆକାରରେ :

• ଇଂରେଜମାନେ ଭାରତରୁ ନିରନ୍ତର ଧନ ଶୋଷଣ କରି ଇଂଲଣ୍ଡର ଔପନିବେଶିକ ଉନ୍ନତି କଥା ଚିନ୍ତା କରୁଥିଲେ ।
• ସେମାନଙ୍କୁ ମିଳୁଥିବା ଉଚ୍ଚ ବେତନ ବିଦେଶକୁ ଚାଲିଯାଉଥିଲା ।

ଖଜଣା ଆକାରରେ :
ଖଜଣା ଆକାରରେ ମଧ୍ୟ ଧନ ଭାରତରୁ ଇଂଲଣ୍ଡକୁ ଚାଲିଯାଉଥିଲା ।

ସୈନ୍ୟଙ୍କ ଖର୍ଚ୍ଚ ବାବଦରେ :
ସାମ୍ରାଜ୍ୟ ବିସ୍ତାର ଓ ସୁରକ୍ଷା ପାଇଁ ଥିବା ବିଶାଳ ସୈନ୍ୟବାହିନୀର ବ୍ୟୟଭାର ଭାରତ ଉପରେ ପଡ଼ିଥିଲା ।

କଞ୍ଚାମାଲ :
ଶିଳ୍ପ ବିପ୍ଳବ ପରେ ଶସ୍ତାରେ କଞ୍ଚାମାଲ ଓ ଖାଦ୍ୟଶସ୍ୟ ବିଦେଶକୁ ରପ୍ତାନି ହେଲା ଓ ବିଦେଶୀ ସାମଗ୍ରୀ ଅଧ୍ଵ ଲାଭରେ ଭାରତରେ ବିକ୍ରି ହେଲା ।

(ଙ) କେଉଁ ଆର୍ଥିକ କାରଣରୁ ଭାରତରେ ଜାତୀୟତା ଆନ୍ଦୋଳନ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥବ ବୋଲି ତୁମେ ଅନୁମାନ କରୁଛ ?
Answer:
ମାଲିକାନାରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ :
ଶିଳ୍ପ ବିପ୍ଳବ ପରେ ଭାରତରେ ସ୍ଥାପିତ ହୋଇଥିବା ଅଧିକାଂଶ କଳକାରଖାନାର ମାଲିକାନା ଇଉରୋପୀୟମାନଙ୍କ ହାତରେ ଥିଲା ।

କମ୍ ମଜୁରି :
ଶ୍ରମିକକୁ କମ୍ ମଜୁରି ମିଳୁଥୁଲା ଓ ଅଧିକ କାମ କରିବାକୁ ପଡୁଥିଲା । ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଏକତାଭାବ ସୃଷ୍ଟି ହେଲା, ଯାହା ଜାତୀୟ ଆନ୍ଦୋଳନକୁ ସାହାଯ୍ୟ କଲା ।

ଶିଳ୍ପପତିଙ୍କୁ ଉପେକ୍ଷା କରିବା :
ଯେଉଁ ଅଳ୍ପ କେତେକ ଭାରତୀୟ ଶିଳ୍ପପତି ରହିଲେ ସେମାନେ ଇଂରେଜ ଶିଳ୍ପପତିଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ଉପେକ୍ଷିତ ହେଲେ । ତେଣୁ ସେମାନେ ଜାତୀୟ ଆନ୍ଦୋଳନକୁ ସହଯୋଗ କଲେ ।

(ଚ) ଇଂରେଜ ଶାସନରେ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥିବା ନୂଆ ଆର୍ଥିକ ବ୍ୟବସ୍ଥାଗୁଡ଼ିକ କ’ଣ ?
Answer:
ଇଂରେଜ ଶାସନ କାଳରେ ଅନେକ ନୂଆ ଆର୍ଥିକ ବ୍ୟବସ୍ଥା ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥିଲା; ଯଥା –
ନୂତନ ବ୍ୟବସ୍ଥା ପ୍ରଚଳନ : କୃଷି ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ (a) ଚିରସ୍ଥାୟୀ ବନ୍ଦୋବସ୍ତ ବା ଜମିଦାରୀ ପ୍ରଥା, (b) ରୟତରୀ ବା ଅସ୍ଥାୟୀ ବନ୍ଦୋବସ୍ତ, (c) ମାହାରୀ ବନ୍ଦୋବସ୍ତ ବ୍ୟବସ୍ଥା ପ୍ରଚଳନ ମାଧ୍ୟମରେ ଅଧିକ ରାଜସ୍ଵ ଆଦାୟ ବ୍ୟବସ୍ଥା ।

ବିଦେଶୀ ଦ୍ରବ୍ୟ ବିକ୍ରୟ :
ଶିଳ୍ପ ବିପ୍ଳବ ପରେ ଭାରତରୁ ଶସ୍ତାରେ କଞ୍ଚାମାଲ ଓ ଖାଦ୍ୟଶସ୍ୟ ରପ୍ତାନି ଓ ଅଧ୍ୟା ଲାଭରେ ଭାରତୀୟ ବଜାରରେ ଶିଳ୍ପଜାତ ସାମଗ୍ରୀ ବିକ୍ରୟ ବ୍ୟବସ୍ଥା ।

ସ୍ଵଳ୍ପ ବେତନ :
ଭାରତରେ ଶିଳ୍ପ ପ୍ରତିଷ୍ଠା କରି ଭାରତୀୟମାନଙ୍କ ସ୍ୱଳ୍ପ ବେତନରେ ନିଯୁକ୍ତି ଦେଇ ଅଧ୍ଵ ଲାଭ ପାଇବା ବ୍ୟବସ୍ଥା ।

ନୀଳ ଚାଷ :
ଭାରତରେ ଚା’, କଫି ଓ ନୀଳ ଚାଷ କରି ଅଧ୍ଵ ଲାଭବାନ୍ ହେବା ବ୍ୟବସ୍ଥା ।

(ଛ) ବଗିଚା ଉଦ୍ୟୋଗ ଭାରତରେ କେଉଁଭଳି ଭାବରେ ସ୍ଥାପିତ ହେଲା ତାହା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କର ।
Answer:
ନୀଳ ଚାଷ :
ଇଂରେଜ ଶାସନ ସମୟରେ ଭାରତରେ ବଗିଚା ଉଦ୍ୟୋଗ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥିଲା । ପ୍ରଥମେ ଚା, କଫି ଓ ନୀଳ ଚାଷର ବଗିଚା ଆରମ୍ଭ ହେଲା ।

ଚା’ ଚାଷ :
ଚା’ ବଗିଚାମାନ ମୁଖ୍ୟତଃ ଆସାମ ଓ ବଙ୍ଗର ଦାର୍ଜିଲିଂ ଅଞ୍ଚଳରେ ଆରମ୍ଭ ହେଲା ।

କଫି ଚାଷ :
କଫି ବଗିଚା ଦକ୍ଷିଣ ଭାରତରେ ଏବଂ ନୀଳଚାଷ ବିହାର ବଙ୍ଗରେ ଆରମ୍ଭ ହେଲା ।

ମାଲିକାନା :
ଚା’, କଫି ଓ ନୀଳର ଇଉରୋପ ବଜାରରେ ଖୁବ୍ ଚାହିଦା ଥ‌ିବାରୁ ଏହି ଉଦ୍ୟୋଗର ମାଲିକାନା ଇଉରୋପୀୟମାନେ ନିଜ ହାତରେ ରଖୁଥିଲେ ।

(ଜ) ଇଂରେଜ ଶାସନ ସମୟରେ ହସ୍ତଶିଳ୍ପର ସ୍ଥିତି ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।
Answer:
ବିଳାସ ସାମଗ୍ରୀ ବିଦେଶକୁ ରପ୍ତାନୀ :
ଇଂରେଜ ଶାସନର ପ୍ରାଥମିକ ଅବସ୍ଥାରେ ଭାରତର ହସ୍ତଶିଳ୍ପ ବିଶ୍ୱପ୍ରସିଦ୍ଧ ଥିଲା । ଭାରତୀୟ ହସ୍ତଶିଳ୍ପ ପ୍ରସ୍ତୁତ ଗହଣା, ଟସର ଲୁଗା, ପଶମ ବସ୍ତ୍ର ଆଦି ସୌଖ୍ନ ବିଳାସ ସାମଗ୍ରୀ ବିଦେଶକୁ ରପ୍ତାନି ହେଉଥିଲା ।

କଳ ତିଆରି ଲୁଗା :
ଊନବିଂଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଇଂଲଣ୍ଡରେ ଶିଳ୍ପ ବିପ୍ଳବ ହେବା ଫଳରେ ଭାରତରେ କଳତିଆରି ଲୁଗା ଓ ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ବିଦେଶୀ ସାମଗ୍ରୀ ଶସ୍ତାରେ କିଣିବାକୁ ମିଳିଲା ।

ଶୁକ୍ଳ ଛାଡ଼ :
ନିଜ ଶିଳ୍ପର ବିକାଶପାଇଁ ଇଂରେଜ ସରକାର ବିଦେଶ ସାମଗ୍ରୀ ଆମଦାନି ଉପରେ ଶୁଳ୍କ ଛାଡ଼ କଲେ । ପାଶ୍ଚାତ୍ୟ ସଂସ୍କୃତି ପ୍ରଭାବରେ ଲୋକେ ହସ୍ତଶିଳ୍ପ ପ୍ରସ୍ତୁତ ବସ୍ତୁକୁ ନାପସନ୍ଦ କଲେ ।

କୃଷି :
ଫଳରେ ହସ୍ତଶିଳ୍ପର ଅଧୋପତନ ହେଲା ଓ କାରିଗରମାନେ କୃଷି ଉପରେ ନିର୍ଭର କଲେ ।

ଦାରିଦ୍ର୍ୟ :
ଅନେକ କାରିଗର ଦିନ ମଜୁରିଆ ଭାବେ କାମ କଲେ ଓ ସେମାନଙ୍କ ଦାରିଦ୍ର୍ୟ ବୃଦ୍ଧିପାଇଲା ।

୨। ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୨୦ଟି ଶବ୍ଦରେ ଦିଅ ।

(କ) ବଙ୍ଗରେ ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟାରେ ଝୋଟକଳ ସ୍ଥାପିତ ହେବାର କାରଣ କ’ଣ ହୋଇପାରେ ?
Answer:
ଜଳବାୟୁ :
ଝୋଟ ଚାଷ ପାଇଁ ବଙ୍ଗର ଜଳବାୟୁ ଅନୁକୂଳ ଥିଲା ।

କଞ୍ଚାମାଲର ସୁଲଭତା :
କଞ୍ଚାମାଲର ସୁଲଭତା, ଶସ୍ତା ଶ୍ରମିକ ଉପଲବ୍‌, ଗମନାଗମନର ସୁବିଧା ଥ‌ିବା ଯୋଗୁଁ ବଙ୍ଗରେ ଅଧ‌ିକ ସଂଖ୍ୟାରେ ଝୋଟକଳ ସ୍ଥାପିତ ହୋଇଥିବାର ଅନୁମାନ କରାଯାଏ ।

(ଖ) ଆସାମ ଚା’ ବଗିଚାର କୁଲିର ଦୁରବସ୍ଥାର କାରଣ କ’ଣ ?
Answer:
କମ୍ ପାଉଣା :

• ଆସାମ ଚା’ ବଗିଚାର କୁଲିର ପାଉଣା ଖୁବ୍ କମ୍ ଥିଲା ।

ଶାରୀରିକ ଅତ୍ୟାଚାର :

• କାମ କରିବାକୁ ବାଧ୍ୟକରି ସେମାନଙ୍କ ଉପରେ ଶାରୀରିକ ଅତ୍ୟାଚାର ମଧ୍ୟ ହେଉଥିଲା ।
• ଚା’ ବଗିଚାର ମାଲିକ ଇଉରୋପୀୟ ହୋଇଥିବାରୁ ଇଂରେଜ ସରକାର ସେମାନଙ୍କ ଉପରେ କୌଣସି କାର୍ଯ୍ୟାନୁଷ୍ଠାନ କରୁନଥିଲେ ।

(ଗ) ଭାରତର କେଉଁ ଅଞ୍ଚଳରେ ନୀଳଚାଷ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ଭାରତର ବିହାର ଓ ବଙ୍ଗ ଅଞ୍ଚଳରେ ନୀଳଚାଷ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥିଲା ।

(ଘ) ଶ୍ରମିକ ମନରେ ଜାତୀୟତା ଭାବ ଜାଗ୍ରତ ହେବାର କାରଣ କ’ଣ ହୋଇପାରେ ?
Answer:

• କାରଖାନାର ଶ୍ରମିକକୁ କମ୍ ମଜୁରି ମିଳୁଥୁଲା ଓ ଅତ୍ମକ କାମ କରିବାକୁ ପଡୁଥିଲା ।
• ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କ ମନରେ ଜାତୀୟତାଭାବ ଜାଗ୍ରତ ହେଲା ।

୩ । ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(କ) ବହୁଳ ପରିମାଣରେ _________ ଇଂଲଣ୍ଡରୁ ଭାରତକୁ ଆମଦାନି ହେଉଥିଲା ।
Answer:
ଶିଳ୍ପଜାତ ସାମଗ୍ରୀ

(ଖ) ଓଡ଼ିଶାରେ ______ ମସିହାରେ ଲୁଗାକଳ ସ୍ଥାପିତ ହୋଇଥିଲା ।
Answer:
୧୮୬୬

(ଗ) ଭାରତରେ ମ୍ରଥମେ _______ ମସିହାରେ ଲୁଗାକଳ ସ୍ଥାପିତ ହୋଇଥିଲା ।
Answer:
୧୮୫୩

(ଘ) ________ ଠାରେ ଭାରତର ପ୍ରଥମ ଝୋଟକଳ ସ୍ଥାପିତ ହୋଇଥିଲା ।
Answer:
ବଙ୍ଗର ରିଶ୍ରା

୪ । ‘କ’ ସ୍ତମ୍ଭର ଶବ୍ଦ ସହିତ ‘ଖ’ ସ୍ତମ୍ଭର ଶବ୍ଦ ମିଳନ କର ।

Answer:

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 5 ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି

ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction) :

1. ଏକ ସମତଳରେ ବା ଶୂନ୍ୟରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁର ଚିହ୍ନଟିକରଣ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି (Co-ordinate Geometry)ର ଉଦ୍ଭାବନ ପରେ ସମ୍ଭବ ହୋଇପାରିଛି ।
2. ପ୍ରାଚୀନ କାଳରେ ମିଶରର ସର୍ବେକ୍ଷକ ଓ ପରବର୍ତ୍ତୀ କାଳରେ ରୋମାନ୍ ସର୍ବେକ୍ଷକମାନେ ନଗର ଓ ଜମିର ଅବସ୍ଥିତି ସୂଚାଇବାକୁ ମୋଟାମୋଟି ଭାବେ ଆଜିକାଲିର ସ୍ଥାନଙ୍କ ପଦ୍ଧତି ଅବଲମ୍ବନ କରୁଥିଲେ । ନଗରମାନଙ୍କର ଅବସ୍ଥିତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ରୋମାନ୍‌ମାନେ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରୁଥ‌ିବା ଦୁଇଟି ଅକ୍ଷ ନେଇଥିଲେ ।
3. ପରବର୍ତ୍ତୀ କାଳରେ ଗ୍ରୀକ୍‌ମାନେ ମଧ୍ୟ ଠିକ୍ ଏହି ପଦ୍ଧତିରେ ସ୍ଥାନର ଅବସ୍ଥିତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରୁଥିଲେ ।
4. ମଧ୍ୟଯୁଗରେ ନିକୋଲ ଓରେସମେ (1360 ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦ) ପ୍ରଥମ କରି ଧନାତ୍ମକ ଭୁଜ ଓ କୋଟିର ଧାରଣା ଦେଇଥିଲେ । ପ୍ରକୃତପକ୍ଷେ ଏହି ସମୟରୁ ହିଁ ସର୍ବପ୍ରଥମେ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନଙ୍କର ବ୍ୟବହାର ଦେଖିବାକୁ ମିଳେ ।
5. ପ୍ରାୟ 2500 ବର୍ଷ ତଳର Euclidean Geometry ଏବେ ଗଣିତ ଶିକ୍ଷାରେ ଏକ ପ୍ରଧାନ ଅଙ୍ଗ ଭାବେ ପରିଗଣିତ
6. Euclidean Geometry ଓ Algebra ସମ୍ପୂର୍ଣ ପୃଥକ୍ ବିଷୟ; ମାତ୍ର ସପ୍ତଦଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ Rene Descartes (1596-1650)ଙ୍କଦ୍ଵାରା ପ୍ରଦତ୍ତ ଏକ ନୂତନ ଧାରଣାକୁ ଆଧାର କରି ସ୍ଥାନଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ବା ବିଶ୍ଳେଷଣାତ୍ମକ ଜ୍ୟାମିତି (Analytical Geometry) ଜନ୍ମ ଲାଭ କଲା ଓ ଏଥ‌ିରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ଚର୍ଚ୍ଚାରେ ବୀଜଗଣିତ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ ଭୂମିକା ଲାଭ କଲା ।
7. ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ଉପରେ Rene Descartesଙ୍କଦ୍ୱାରା ପ୍ରସ୍ତୁତ ପ୍ରଥମ ପୁସ୍ତକ 1637ରେ ପ୍ରକାଶ ଲାଭ କରିଥିଲା । 
8. ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିର ମୁଖ୍ୟ ସୋପାନ ହେଲା, ସମତଳରେ ଦୁଇଟି ପରସ୍ପରଛେଦୀ ସରଳରେଖା (ସଂଖ୍ୟାରେଖା) ନେଇ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁକୁ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି (Ordered pair)ରୂପେ ନେଇ ଚିହ୍ନିତ କରିବା ଏବଂ ସେହିପରି ଶୂନ୍ୟରେ ଥ‌ିବା କୌଣସି ବିନ୍ଦୁକୁ ଏକ ସଂଖ୍ଯାତ୍ରୟୀ (Ordered triad) ମାଧ୍ୟମରେ ଚିହ୍ନଟ କରିବା ।

ସମତଳରେ ବିନ୍ଦୁ (Points on a Plane) :
(i) ସରଳରେଖା ଏକ ମାତ୍ରା (Que Dimension) ବିଶିଷ୍ଟ । ସୁତରାଂ ଏହା ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁକୁ ସୂଚାଇବା ପାଇଁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯଥେଷ୍ଟ । ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁକୁ ସୂଚାଉଥ‌ିବା ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଉକ୍ତ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Coordinate) କୁହାଯାଏ ।
(ii)

(iii) ସମତଳ ଦୁଇ ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଠ । ସମତଳ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ବିନ୍ଦୁ Pର ଅବସ୍ଥିତିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରିବା ପାଇଁ ପରସ୍ପର ଲମ୍ବ ଭାବେ ଥବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାରେଖା \(\overleftrightarrow{X^{\prime} \mathrm{X}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{Y^{\prime} \mathrm{Y}}\) ନିଆଯାଏ । \(\overleftrightarrow{X^{\prime} \mathrm{X}}\) କୁ x- ଅକ୍ଷ ଓ \(\overleftrightarrow{Y^{\prime} \mathrm{Y}}\) କୁ y – ଅକ୍ଷ କୁହାଯାଏ ।
(iv) ଅକ୍ଷଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରକୁ ୦ ବିନ୍ଦୁରେ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତୁ । \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{ox}^{\prime}}\) ଯଥାକ୍ରମେ x-ଅକ୍ଷର ଧନଦିଗ ଓ ଋଣ ଦିଗ ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{OY}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{oy}^{\prime}}\) ଯଥାକ୍ରମେ y-ଅକ୍ଷର ଧନ ଦିଗ ଓ ଋଣ ଦିଗ ଅଟନ୍ତି। O ବିନ୍ଦୁଟିକୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ (origin) କୁହାଯାଏ ।
(v) ସାଧାରଣତଃ x-ଅକ୍ଷ ଆନୁଭୂମିକ (Horizontal) ଓ y-ଅକ୍ଷ ଉଲ୍ଲମ୍ବ (Vertical) ଭାବେ ଅଙ୍କନ କରାଯାଏ । 
(vi) x – ଓ y – ଅକ୍ଷକୁ ଆୟତୀୟ ଅକ୍ଷ (Rectangular axes) ଏବଂ ସମତଳସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କକୁ ଆୟତୀୟ ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Rectangular co-ordinate) କୁହାଯାଏ; କାରଣ ଅକ୍ଷଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । 
(vii) ମନେକର P ସମତଳ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ । P ବିନ୍ଦୁରୁ x – ଓ y- ଅକ୍ଷପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ x – ଓ y ଅକ୍ଷକୁ ଯଥାକ୍ରମେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତୁ ।

(viii) M ଓ N ବିନ୍ଦୁର x – ଓ y – ଅକ୍ଷ ଉପରେ ସୂଚକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ x ଓ y ହେଲେ P ବିନ୍ଦୁକୁ ଚିହ୍ନଟ କରୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵୟକୁ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି (x, y) ଭାବେ ଲେଖାଯାଏ । (x, y) କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ିକୁ P ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (coordinates) କୁହାଯାଏ । x କୁ x- ସ୍ଥାନଙ୍କ ବା ଭୁଜ (abscissa) ଓ y କୁ y- ସ୍ଥାନଙ୍କ ବା କୋଟି (ordinate) କୁହାଯାଏ ।
(ix) P ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (x, y) କୁ ମଧ୍ଯ P(x, y) ରୂପେ ଲେଖାଯାଏ । ଚିତ୍ରରେ Pର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (3, 4), P’ ବିନ୍ଦୁଟିର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (-3, 2), P” ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (-3, -4) ଓ P”’ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (2, -1) 
(x) x ଓ y – ଅକ୍ଷଦ୍ବୟ ଦ୍ୱାରା ସମତଳଟି ଚାରିଗୋଟି ପାଦ (Quadrant)ରେ ବିଭାଜିତ ହୁଏ । ଚାରିଗୋଟି ପାଦକୁ Q₁, Q₂, Q₃, ଓ Q₄ କୁହାଯାଏ ।

• {ପ୍ରଥମ ପାଦ (Q₁)ରେ x > 0, y > 0, ଦ୍ଵିତୀୟ ପାଦ (Q₂)ରେ x < 0, y > 0
  ତୃତୀୟ ପାଦ (Q₃)ରେ x < 0, y < 0, ଦ୍ଵିତୀୟ ପାଦ (Q₄)ରେ x > 0, y < 0}
• {Q₁ = {(x, y) : x > 0, y > 0}, Q₂ = {(x, y) : x < 0, y > 0 }
  Q₃ = {(x, y) : x < 0, y < 0 } ଓ Q₄ = {(x, y) : x > 0, y < 0}}

ଅକ୍ଷଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନଙ୍କ (Coordinate of points on axes):
(i) x- ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁର y- ସ୍ଥାନଙ୍କ ଶୂନ ଏବଂ x ∈ R 
ଏପରି ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍ x-ଅକ୍ଷ ଅଟେ ।
∴ x ଅକ୍ଷ = {(x, y) | x ∈ R, y = 0} ଅଥବା x-ଅକ୍ଷ = {(x, 0); x ∈ R}
(ii) y-ଅକ୍ଷ ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁରେ x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଶୂନ ଏବଂ y ∈ R 
ଏପରି ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍ y- ଅକ୍ଷ ଅଟେ ।
∴ y ଅକ୍ଷ = {(x, y) | x = 0, y ∈ R} ଅଥବା y- ଅକ୍ଷ = {(0, y) | y ∈ R)}
(iii) ମୂଳବିଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (0, 0) (ଅକ୍ଷଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ) ।
⇒ {Q₁ ∪ Q₂ ∪ Q₃ ∪ Q₄ ∪ {(x, 0) : x ∈ R} ∪ {(0, y) : y ∈ R} = R² ଅଥବା R × R}

xy- ସମତଳ (xy – plane) :

• ଯେଉଁ ସମତଳରେ x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ ଅଙ୍କନ କରି ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ (x ଓ y) ସ୍ଥାନାଙ୍କଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ, ସେହି ସମତଳକୁ xy-ସମତଳ କୁହାଯାଏ । xy-ସମତଳର ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ସେଟ୍‌ଟି R × R = R² = {(x, y) | x, y ∈ R}, ଯେଉଁଠାରେ R × R କାର୍ଟେଜୀୟ ଗୁଣନ ସେଟ୍ । xy -ସମତଳଟିକୁ ମଧ୍ଯ କାର୍ଟେଜୀୟ ସମତଳ (Cartesian plane) ବା R²-ସମତଳ କୁହାଯାଏ ।
• x- ଅକ୍ଷ ଓ y- ଅକ୍ଷ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ନିଆଯାଇଥିବା ହେତୁ ସମତଳ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନଙ୍କ (x, y) କୁ ମଧ୍ୟ ଆୟତୀୟ ସ୍ଥାନଙ୍କ (rectangular coordinates) କୁହାଯାଏ ।

ଅର୍ଥ ସମତଳ (Half plane) :
(i) x- ଅକ୍ଷ ଦ୍ଵାରା xy- ସମଚଳଟି ଦୁଇଟି ଅର୍ଥ ସମତଳ ଅର୍ଥାତ୍ Q₁ ∪ Q₂, (ଉର୍ଦ୍ଧ୍ଵ ଅର୍ଥ ସମତଳ) ଏବଂ Q₃ ∪ Q₂ (ଅଧଃ ଅର୍ଥ ସମତଳ)ରେ ବିଭକ୍ତ ହୋଇଥାଏ ।
⇒ x- ଅକ୍ଷ = {(x, 0) : x ∈ R}
⇒ y- ଅକ୍ଷ = {(0, y) : y ∈ R}
(ii) ସେହିପରି y – ଅକ୍ଷ, xy ସମତଳକୁ ଦୁଇଟି ଅର୍ଥ ସମତଳ ଯଥା : ଦକ୍ଷିଣ ଅର୍ଥ ସମତଳ = {(x, y) : x > 0, y ∈ R} ଅଥବା Q₁ ∪ Q₄, ଓ ବାମ ଅର୍ଷ ସମତଳ = {(x, y): x < 0,∈ R} ଅଥବା Q₂ ∪ Q₃ ରେ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ । 

ସରଳରେଖାର ସମୀକରଣ (Equation of a line):
(i) ax + by + c = 0 କୁ x ଓ y ରେ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ । ଏଠାରେ xର ସହଗ (coefficient) a, y ର ସହଗ b ଏବଂ c ଧ୍ରୁବକ ରାଶି (constant) ଅଟେ a, b ∈ R ଓ a ଓ b ≠ 0
(ii) ଚଳରାଶି x ଓ y ରୁ x କୁ ସ୍ବାଧୀନ ଚଳ ଓ yକୁ ସାପେକ୍ଷ ଚଳ ବା x ଉପରେ ନିର୍ଭରଶୀଳ ଚଳ କୁହାଯାଏ । ଆମେ ଗ୍ରାଫ୍ ଅଙ୍କନ କରିବା ସମୟରେ ସିର୍ବଦା xକୁ ସ୍ବାଧୀନ ଚଳ ରାଶି ରୂପେ ବିଚାର କରିବା ।
(iii) ax + by + c = 0) ସମୀକରଣରେ ଥ‌ିବା ସହଗ ଓ ଧ୍ରୁବକ ରାଶି a, b ଓ  c ର ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ମୂଲ୍ୟ ନେଇ ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କଲେ xy-ସମତଳରେ ବିଭିନ୍ନ ସରଳରେଖା ମିଳିବ ।

• a = 0 ଓ b ≠ 0 ହେଲେ ax + by +c = 0 ର ରୂପ y = k₁ ଯେଉଁଠାରେ k₁ = \(\left(-\frac{c}{b}\right)\)
• b = 0 ଓ a ≠ 0 ହେଲେ ax + by +c = 0 ର ରୂପ x = k₂ ଯେଉଁଠାରେ k₂ = \(\left(-\frac{c}{a}\right)\)
• a ≠ 0 ଓ b ≠ 0 ହେଲେ ax + by +c = 0 ର ରୂପ y = mx + c ଯେଉଁଠାରେ m = \(\left(-\frac{a}{b}\right)\) କାରଣ ax + by + c = 0 ⇒ y = \(\left(-\frac{a}{b}\right) x+\left(-\frac{c}{b}\right)\)

ପରିସ୍ଥିତି:  
(i) y = k₁ ସମୀକରଣ xy – ସମତଳରେ x ଅକ୍ଷସହ ସମାନ୍ତର ଏକ ସରଳରେଖାକୁ ସୂଚାଏ ।
(a) ଯଦି k₁ = 0, ସରଳରେଖାଟି x ଅକ୍ଷ ହେବ ।
(b) ଯଦି k₁ > 0 ହେଲେ ସରଳରେଖାଟି x ଅକ୍ଷର ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବ-ଅର୍ଥ ସମତଳରେ ରହିବ ।
(c) ଯଦି k₁ < 0 ହେଲେ ସରଳରେଖାଟି x ଅକ୍ଷର ଅଧଃ-ଅର୍ଥ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ରହିବ । 
y = k₁ ଏହା ଏକ ଆନୁଭୂମିକ ସରଳରେଖା (Horizontal lines)
y = 0 ସମୀକରଣଟି x- ଅକ୍ଷକୁ ସୂଚାଏ ।

ପରିସ୍ଥିତି:
(ii) x = k₂, ସମୀକରଣ xy – ସମତଳରେ y ଅକ୍ଷସହ ସମାନ୍ତର ଏକ
ସରଳରେଖାକୁ ସୂଚାଏ ।
(a) ଯଦି k₂ = 0 ହୁଏ ତେବେ ସରଳରେଖାଟି y ଅକ୍ଷ ହେବ ।
(b) ଯଦି k₂ > 0 ହୁଏ ତେବେ ସରଳରେଖାଟି y ଅକ୍ଷର ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ବରେ ରହିବ ।
(c) ଯଦି k₂ < 0 ହୁଏ ତେବେ ସରଳରେଖାଟି y ଅକ୍ଷର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବ ।
x = k₂ ଏହା ଏକ ଉଲ୍ଲମ୍ବ ସରଳରେଖା (Vertical lines) । 
x = 0 ସମୀକରଣଟି y ଅକ୍ଷକୁ ସୂଚାଏ ।

ପରିସ୍ଥିତି:
(iii) ଏଠାରେ xy – ସମତଳରେ ax + by + c = 0 ସମୀକରଣର ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ରଟି ଏକ ତୀର୍ଯକ ସରଳରେଖା ହେବ ।
ଯାହାର ଅନ୍ୟ ଏକ ରୂପଟି ହେଉଛି y = mx + c 
ଏଠାରେ ସରଳରେଖାର Lର ସ୍ଲୋପ୍ (slope) ଓ y ଛେକାଂଶ 
(y-intercept) ଯଥାକ୍ରମେ m ଓ c ।
L ମୂଳବିନ୍ଦୁ O (0,0) ଦେଇ ଅଙ୍କିତ ହୋଇଥିଲେ ଏହାର 
ସମୀକରଣ y = mx + c, x = 0 ଓ y = 0 ଦ୍ଵାରା ସିଦ୍ଧ ହେବ ।
y = mx + c = c = 0
(y- ଅକ୍ଷକୁ ଛାଡ଼ି)ର ସମୀକରଣ y = mx ହେବ ।

{ଉଲ୍ଲମ୍ବ ସରଳରେଖାର ସ୍କୋପ୍ ନିରର୍ଥକ କାରଣ θ = 90° ହେଲେ ସ୍ଲୋପ୍ tan 8 ନିରର୍ଥକ ହେବ । L ସରଳରେଖାଟି ଆନୁଭୂମିକ ହୋଇଥିଲେ ଏହାର ଆନତି θ = 0° ଅର୍ଥାତ୍‌ କ୍ଲୋପ୍ tan θ = 0}

ସରଳରେଖା Lର କ୍ଲୋପ ନିଷ୍କ୍ରିୟ :
ସମୀକରଣ y = mx + c ଦ୍ବାରା ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖା L ଉପରେ P₁(x₁, y₁) ଓ P₂(x₂, y₂) ଦୁଇଗୋଟି ବିନ୍ଦୁ
ହେଲେ \(\overleftrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2}\) = L 
ଏଠାରେ y = mx + c ସମୀକରଣଟି (x₁, y₁) ଓ (x₂, y₂) କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି ଦ୍ବାରା ସିଦ୍ଧ ହେବ ।
y₁ = mx₁ + c  …. (i)
ଏବଂ y₂ = mx₂ + c ….. (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ c କୁ ଅପସାରଣ କଲେ ପାଇବା : m (x₁ – x₂) = y₁ – y₂
⇒ m = \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\) ଅଥବା m = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) ଅଥବା
L ରେଖାର ସ୍ଲୋପ୍ = \(\frac{y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଦ୍ବୟର ଅନ୍ତର}{x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଦ୍ବୟର ଅନ୍ତର}\)

ଦୁଇ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର (Graph of the Linear equation in two variables):

• ax + by + c = 0 ଓ y = mx + c ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ଲେଖଚିତ୍ର ସମତଳରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା । 
• ଲେଖ କାଗଜରେ x- ଓ y- ଆୟତୀୟ ଅକ୍ଷ ଅଙ୍କନ କରି ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ସହାୟତାରେ ଚାରି କିମ୍ବା ପାଞ୍ଚଗୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ି) ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ଓ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଲେଖ କାଗଜରେ ବିନ୍ଦୁମାନ ସ୍ଥାପନ କରାଯାଏ । ଏହି ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ ସ୍କେଲ୍ ସାହାଯ୍ୟରେ ଯୋଗକଲେ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣଟିର ଲେଖଚିତ୍ର ଏକ ସରଳରେଖା ହୁଏ ।

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ Ex 6(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ Ex 6(b)

Question 1.
3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର । ବୃତ୍ତର ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁରେ ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(i) O କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ 3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ବୃତ୍ତ ଉପରେ P ନାମକ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।
(iii) \(\overline{\mathrm{OP}})\) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଅଙ୍କନ କର ।

(iv) \(\overline{\mathrm{OP}})\) ପ୍ରତି P ବିନ୍ଦୁରେ ଲମ୍ବ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
(v) \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ବୃତ୍ତ ପ୍ରତି P ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ସ୍ପର୍ଶକ ଅଟେ ।

Question 2.
3.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତରେ କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁର ସାହାଯ୍ୟ ନ ନେଇ ବୃତ୍ତର କୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁରେ ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(i) 3.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ବୃତ୍ତ ଉପରେ Q ନାମକ ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।
(iii) Q ବିନ୍ଦୁରୁ \(\overline{\mathrm{QM}})\) , \(\overline{\mathrm{QN}})\) ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ଅଙ୍କନ କର । M, Nକୁ ଯୋଗକର ।
(iv) Q ବିନ୍ଦୁରୁ ∠QMN ର ସମ୍ୟକିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ∠NOR ଅଙ୍କନ କର ।

(v) \(\overleftrightarrow{\mathrm{PR}}\) ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କର ।

Question 3.
3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର । ଏହାର କେନ୍ଦ୍ର O ହେଉ । P ବୃତ୍ତର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ । OP = 7 ସେ.ମି. । P ବିନ୍ଦୁରୁ ବୃତ୍ତ ପ୍ରତି \(\overline{\mathrm{PA}})\), \(\overline{\mathrm{PB}})\) ଦୁଇଟି ସ୍ପର୍ଶକ ଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର । ସ୍ପର୍ଶକ ଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ମାପି ଉଭୟଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
(i) 3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତ △ABC ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ଠାରୁ OP = 7 ସେ.ମି. ଅଙ୍କନ କରି ଏହାକୁ ସମ ଖଣ୍ଡ କରି M ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) M କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ OM (= MP)କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ଦତ୍ତ ବୃତ୍ତକୁ A ଓ B ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । \( \overrightarrow{\mathrm{PA}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{PB}}\) ଦୁଇଟି ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କର ।

(iv) PA ଓ PB ସ୍ପର୍ଶକଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ।

Question 4.
AB ଅଙ୍କନ କର । ଯେପରିକି AB = 4 ସେ.ମି. | \(\overline{\mathrm{AB}})\) ବ୍ୟାସ ରୂପେ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର । À ଓ B ବିନ୍ଦୁରେ ବୃତ୍ତ ପ୍ରତି ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କର । ଏହି ସ୍ପର୍ଶକଦ୍ବୟ କିପରି ସମ୍ପର୍କିତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
(i) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ହେବ |
(ii) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ସମ ଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ସାହାଯ୍ୟରେ ଏହାର (\(\overline{\mathrm{AB}})\) ର) ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ O ନିରୂପଣ କର ।

(iii) Oକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି \(\overline{\mathrm{OA}})\) ବା \(\overline{\mathrm{OB}})\) କୁ ଦ୍ୟାମନ୍ଦିରପ ନେଇ ଦଉ ଅଜନ କର |
(iv) \(\overline{\mathrm{OA}})\) ପ୍ରତି A ବିନ୍ଦୁରେ ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OB}})\) ପ୍ରତି B ବିନ୍ଦୁରେ ଯଥାକ୍ରମେ \(\overleftrightarrow{\mathrm{MN}}\) ଏବଂ \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) ସ୍ପର୍ଶକଦ୍ବୟ ଅଙ୍କନ କର । ଏଠାରେ ସ୍ପର୍ଶକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।

Question 5.
4 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O | \(\overline{\mathrm{OA}})\) ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OB}})\) ଦୁଇଟି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ m∠AOB = 90° | \(\overleftrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{BY}}\) ପରସ୍ପରକୁ । ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥ‌ିବା ଦୁଇଟି ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କର । OAMB କି’ ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ ପରୀକ୍ଷା କରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
(a) \(\overline{\mathrm{AN}})\) ବ୍ୟାପ ବିଶିପୁ ଏକ ଦୁଇ ଅନ୍ତନ କର |
(b) \(\overline{\mathrm{AN}})\) ର ସମଦିଖଣ୍ଡକ ଲମ ଅନ୍ତନ କର ମଧ୍ୟବିଦୁ O ନିରୂପଣ କର ।
(c) O କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି \(\overline{\mathrm{OA}})\) ବା \(\overline{\mathrm{ON}})\) କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ରୂପେ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।

(d) \(\overline{\mathrm{OA}})\) ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OB}})\) ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଅଙ୍କନ କର ଯେପରିକି m∠AOB = 90° ।
(e) ବର୍ତ୍ତମାନ A ଓ B ବିନ୍ଦୁରେ ଯଥାକ୍ରମେ \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) ଦୁଇଟି ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ M ହେବ ।
(f) OAMB ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ ।

(ii) 2.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରି କେନ୍ଦ୍ରକୁ ‘O’ ନାମରେ ନାମିତ କର । OA ଓ OB ବ୍ୟାସାର୍ଶ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କନ କର ଯେପରି m∠AOB = 120° । A ଓ B ଠାରେ ବୃତ୍ତ ପ୍ରତି ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କର ଓ ଛେଦବିନ୍ଦୁକୁ P ନାମ ଦିଅ । OAPB ଚତୁର୍ଭୁଜର କଣ୍ଠ OP ଓ AB ଅଙ୍କନ କର । କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ଅନୁଧ୍ୟାନ କର ।
Solution:
(a) 2.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର |
(b) OA ଏବଂ OB ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଅଙ୍କନ କର ଯେପରିକି m∠AOB = 120° ହେବ |
(C) ବର୍ତ୍ତମାନ A ଓ B ବିନ୍ଦୁରେ ଦୁଇଟି ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କର । ସ୍ପର୍ଶକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ।

(d) \(\overline{\mathrm{OP}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(e) OAPB ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଯାହାର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{OP}})\) ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେବେ ।

Question 6.
AB = 8 ସେ.ମି. ବିଶିଷ୍ଟ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର । A ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର ନେଇ 3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ଓ B ବିନ୍ଦୁରୁ ଭକ୍ତ ବୃତ୍ତ ପ୍ରତି ଦୁଇଟି ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(i) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. ।
(ii) A ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଓ 3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ସାହାଯ୍ୟରେ ଏହାର (\(\overline{\mathrm{AB}})\) ର) ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ S ନିରୂପଣ କର ।
(iv) S କୁ କେହୁକରି ଓ \(\overline{\mathrm{SB}})\) ବା \(\overline{\mathrm{SA}})\) କୁ ବ୍ୟାପକରୂପେ ନେଇ ଅନ୍ୟ ଏକ ବ୍ରତ ଅଙ୍କନ କର ।
(v) ବୃତ୍ତଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ।

(vi) \( \overrightarrow{\mathrm{BM}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{BN}}\) ଅଙ୍କନ କର । \( \overrightarrow{\mathrm{BM}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{BN}}\) ବୃତ୍ତପ୍ରତି ନିଶ୍ଚେୟ ସ୍ପର୍ଶକ ।

Question 7.
6 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତଟିଏ ଅଙ୍କନ କର । ବୃତ୍ତର ବହିଃସ୍ଥ ‘P’ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ଯେପରିକି ବୃତ୍ତର ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁ ‘P’ ଠାରୁ ନିକଟତମ ତାହାର Pଠାରୁ ଦୂରତା 4.5 ସେ.ମି. । P ବିନ୍ଦୁରୁ ବୃତ୍ତ ପ୍ରତି ସ୍ପର୍ଶକଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କରି ତାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପି ଲେଖ ।
Solution:
(i) AB ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈଶ୍ୟ 6 ସେ.ମି. |
(ii) AB ର ସମଦ୍ବି ଖଣ୍ଡକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ମପଦିନ୍ଦୁ O ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) ଠକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OA}})\) ବା \(\overline{\mathrm{OB}})\) କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iv) \( \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରି A – B – P ଓ BP = 4.5 ସେ.ମି. ହେବ ।

(v) \(\overline{\mathrm{OP}})\) ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ସାହାଯ୍ୟରେ ଏହାର (\(\overline{\mathrm{OP}})\)ର ) ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ S ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(vi) Sକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଓ \(\overline{\mathrm{SO}})\) ବା \(\overline{\mathrm{SP}})\) କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧରୂପେ ନେଇ ଅନ୍ୟ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(vii) ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ।
(viii) \( \overrightarrow{\mathrm{PM}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{PN}}\) ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କରି ତାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପି ଲେଖ ।

Question 8.
3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର । ଏହାର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ P ରୁ \(\overline{\mathrm{PA}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{PB}})\) ଦୁଇଟି ସ୍ପର୍ଶକଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ଯେପରିକି m∠APB 60° ଦ୍ରେଦ|
Solution:
m∠APB = 60° ⇒ m∠AOB = 120°
(∵ m∠OAP = m∠OBP = 90°)

Solution:
(i) 3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରି ଏହାର କେନ୍ଦ୍ରର ନାମ O ନିଅ ।
(ii) \(\overline{\mathrm{OA}})\) ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) OA ର O ବିନ୍ଦୁରେ ∠AOB ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି m∠AOB = 120° ।
(iv) \( \overrightarrow{\mathrm{OX}}\) ବୃତ୍ତକୁ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ତା’ର ନାମ B ଦିଅ ।

(v) \(\overline{\mathrm{OA}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{OB}})\) ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ ∠OAQ ଓ ∠OBR ଅଙ୍କନ କର, ସେପରି m∠OAQ = m∠OBR = 90° |
(vi) \( \overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{BR}}\) ର ଛେଦବିନ୍ଦୁର ନାମ P ଦିଅ ।

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 8 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 8 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction):
(1) କୌଣସି ଏକ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବନାର ପରିମାପରୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ବ (Probability Theory) ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିଲା । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି ଏକ ଜୁଆ ଖେଳ । ଏଥ‌ିରେ ଆମେ ବାଜି ଜିତିପାରୁ କିମ୍ବା ହାରିପାରୁ ।
(2) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି ଏକ ଜୁଆ ଖେଳ । ଏଥରେ ଆମେ ବାଜି ଜିତିପାରୁ କିମ୍ବା ହାରିପାରୁ ।
(3) ବାଜି ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବନା ସଂପର୍କିତ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ Blaise Pascal (1623 – 1662) ଓ Pierre de Formal (1601–1655) କରିଥିଲେ । ଏହି ଦୁଇ ଗଣିତଜ୍ଞଙ୍କଦ୍ଵାରା ସମାଧାନର ସୂତ୍ରରୁହିଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ବ ଷୋଡ଼ଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଜନ୍ମଲାଭ କରିଥିଲେ ।
(4) ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ବର ପ୍ରଥମ ପୁସ୍ତକ, ଯାହା 1654 ମସିହାରେ ପ୍ରକାଶିତ ହୋଇଥିଲା, ତାହାର ରଚୟିତା ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନବିତ୍ Christiaan Huygens 
(5) ଯେଉଁ ଗଣିତଜ୍ଞସମୂହ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ଵକୁ ଆଧୁନିକ ଗଣିତର ରୂପ ପ୍ରଦାନ କରିଛନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ A. N. Kalmogorov, A. A. Markov ଙ୍କ ନାମ ଉଲ୍ଲେଖଯୋଗ୍ୟ ।
(6) ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନ, ଜୀବବିଜ୍ଞାନ, ଅର୍ଥନୀତି, ଯୋଜନା ପ୍ରକରଣ, ପାଣିପାଗର ପୂର୍ବାନୁମାନ, ବାଣିଜ୍ୟ ବିଭାଗ ଆଦିରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ଵର ବହୁଳ ପ୍ରୟୋଗ ଅଛି ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା :
(i) ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା ପରୀକ୍ଷଣ (Experiments) ଓ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ (Observations) ଉପରେ ଆଧାରିତ । 
(ii) ପ୍ରକୃତ ପରୀକ୍ଷଣ କରି ଏବଂ ସେଥୁରୁ ଉଦ୍ଭବ ଫଳାଫଳର ପ୍ରକୃତ ଉପସ୍ଥାପନା କରାଯାଇ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ସଂଖ୍ୟାରେ ମାପ କରାଯାଇଥିବାରୁ ଏହାକୁ Empirical probability କୁହାଯାଏ ।
(iii) ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ (Tossing a coin) ଓ ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଗଡ଼ାଇବା (Throwing of dice) ଡ଼ାଇସ୍ ଫୋପାଡିବା ଆମେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସ୍ପଷ୍ଟ ଧାରଣା ପାଇପାରିବା ।
(iv) ମୁଦ୍ରାଟିକୁ ଟସ୍କେଲେ Head (H) କିମ୍ବା Tail (T) ଏହାର ଯେକୌଣସି ପାର୍ଶ୍ବ ଉପରକୁ ଆସି ପଡ଼ିବ । ଟସ୍ ପୂର୍ବରୁ ଆମେ କହିପାରିବା କି ? ପଡ଼ିଥ‌ିବା ପାର୍ଶ୍ଵଟି Head ହେବ କି Tail ହେବ ? କାରଣ ଏହି ଫଳାଫଳ କୌଣସି ନିୟମର ଅଧୀନ ନୁହେଁ ।

ମନେରଖ :
{ମୁଦ୍ରା ଟସ୍‌ରେ ମୁଦ୍ରାଟି ସର୍ବଦା ଅପ୍ରବଣ ଓ ସମତୁଲ୍ୟ । ଏହି ବିଶେଷଣ ଦ୍ଵୟକୁ ବ୍ୟବହାର ନ କଲେ ମଧ୍ୟ ଆମେ ମୁଦ୍ରାଟିକୁ ଅପ୍ରବଣ ଓ ସମତୁଲ୍ୟ ବୋଲି ଧରିନେବା ।}

ଘଟଣା (Event) : ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ଉପୁଜୁଥ‌ିବା ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳ ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟକ ଫଳାଫଳମାନଙ୍କୁ ବିଚାର କରିବାଦ୍ୱାରା ଗୋଟିଏ ଘଟଣା ଉପୁଜିଥାଏ । ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ ମୁଦ୍ରା ଟସ୍‌ରେ ଫଳାଫଳସ୍ଵୟ H କିମ୍ବା T, ଯାହା ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଘଟଣା ଅଟେ ।

ପ୍ରଥମ ପରୀକ୍ଷଣ, ମୁଦ୍ରାଟସ୍ (Tossing a coin) :
(1) ପ୍ରଥମେ ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଦଶଥର ଟସ୍ କରିବା । ଆମେ ଜାଣିଛେ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ H କିମ୍ବା T ପଡ଼ିବ । 
(2) ଦଶଥର ଟସ୍କେଲେ ପଡୁଥିବା H ଏବଂ Tକୁ ଠିକ୍ ଭାବେ ଲିପିବଦ୍ଧ କରିବା ।
(3) ଟସ୍‌ଦ୍ବାରା ପଡ଼ିଥ‌ିବା ସମୁଦାୟ H ପାର୍ଶ୍ଵ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ମୁଦ୍ରାର ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତକୁ P(H) କୁହାଯାଏ ।

• ଅର୍ଥାତ୍ P(H) = \(\frac{ସମୁଦାୟ H ସଂଖ୍ୟା}{ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟା}\) [P(H) = \(\frac{1}{2}\)]
  ସେହିପରି ସମୁଦାୟ T ପାର୍ଶ୍ଵ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତକୁ P(T) କୁହାଯାଏ
• ଅର୍ଥାତ୍ P(T) = \(\frac{ସମୁଦାୟ T ସଂଖ୍ୟା}{ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟା}\) [P(T) = \(\frac{1}{2}\)]
  Hର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଓ Tର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସମଷ୍ଟି = P(H) + T(H) = 1

ଦ୍ଵିତୀୟ ପରୀକ୍ଷଣ :
(i) ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ 15 ଥର ଗଡ଼ାଇବା । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଥର 1, 2, 3,4, 5 ଓ 6 ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଗୋଟିର ଉପର ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଦୃଶ୍ୟମାନ ହେବ ।
(ii) 0 < P(E) < 1 ଅର୍ଥାତ୍ ଯେକୌଣସି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଫଳର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 0 ଓ 1 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଏକ ସଂଖ୍ୟା; ଯାହା ସମାନ ।
(iii) ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 1 ସହ ସମାନ ।
(iv) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାରମ୍ବାରତା ସହିତ ଲୁଡୁଗୋଟିର ଅନୁପାତକୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(1), P(2) ….. P(6) କୁହାଯିବ ।
(v) ସେହିପରି ଆମେ n ଥର ଲୁଡୁଗୋଟି ଗଡ଼ାଇ ଏହାର ଫଳାଫଳ 1, 2, 3, 4, 5 ଓ 6 ର ବାରମ୍ବାରତା ସ୍ଥିର କରିବା ।
(vi) ମନେକର ଆମେ ଲୁଡୁଗୋଟି n ଥର ଗଡ଼ାଇ 4 ର ବାରମ୍ବାରତା m ପାଇଲୁ । ଏଠାରେ P(4) = \(\frac{m}{n}\)

• ସୁତରାଂ E ଏକ ଘଟଣା ହେଲେ ଏହାରା ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E) = \(\frac{m}{n}\)
• (ଏଠାରେ m = ଫଳର ବାରମ୍ବାରତା, n = ସମୁଦାୟ ଗୋଟି ଗଡ଼ିବାର ସଂଖ୍ୟା ।)

ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ :
(i) ପରୀକ୍ଷଣରେ ଯଦି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଫଳ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଘଟେ । ତେବେ ଉକ୍ତ ଫଳର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 1 ସହ ସମାନ ହେବ ।
(ii) ପରୀକ୍ଷଣରେ ଯଦି କୌଣସି ଫଳ କେବେ ହିଁ ଉପୁଝି ନଥାଏ । ତେବେ ଏହାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଶୂନ ।
ତେଣୁ 0 ≤ P(E) ≤ 1

ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ବ ଉପରେ ଆଧାରିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା :

{ସେଟ୍ ମାଧ୍ୟମରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସଂଜ୍ଞା ଓ ଧାରଣା ଗଣିତଜ୍ଞ Kalmogorov ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ}

(i) ମନେକର ଏକ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କରାଗଲା । ଫଳ H ଓ T ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ପଡ଼ିବ । ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳମାନଙ୍କର ସେଟ୍ S ହେଲେ, S = {H, T} ହେବ ।
(ii) ଏଠାରେ Sକୁ ସାମ୍ପଲ୍ ସେସ୍ (Sample space) କୁହାଯାଏ । ସେହିଭଳି ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଦୁଇଥର ଟସ୍ କଲେ ପରୀକ୍ଷଣର ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = {HH, HT, TH, TT} ହେବ ।
(iii) ଏକ ନିରପେକ୍ଷ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଭୂମିରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ଫଳାଫଳ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ହେବ । ଏଠାରେ ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳମାନଙ୍କ ସେଟ୍ ଅର୍ଥାତ୍ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ।

ମନେରଖ :

{ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 2 ଥର ଟସ୍ କରିବା ଓ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକସଙ୍ଗେ ଥରେ ଟସ୍ କରିବା ଏହି ଦୁଇ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ ସମାନ}

ଘଟଣା (Event):
(i) ଏକ ପରୀକ୍ଷଣରେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S ହେଲେ ଏହାର ଯେକୌଣସି ଉପସେଟ୍ (subset) E ଏକ ଘଟଣା । ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ ଘଟଣା E ⊂ S
(ii) ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ ଘଟଣା E : ଶୂନ୍ୟସେଟ୍ Φ, {H}, {T}, (H, T}ରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ । E = Φ
(iii) E = Φ କୁ ବାକ୍ୟରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ E ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ H ଓ Tରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ ।
(iv) E = S କୁ ବାକ୍ୟରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ, E : : ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ H କିମ୍ବା T ।
(v) E = {H} ର ଅର୍ଥ ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ H ଏବଂ E = {T}ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ T

ସଂଜ୍ଞା : ଏକ ପରୀକ୍ଷଣରେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S ହେଲେ Sର ଯେକୌଣସି ଉପସେଟ୍ E ଏକ ଘଟଣା ଓ E ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
⇒ P(E) = \(\frac{E ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା}{S ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା}\) = \(\frac{|E|}{|S|}\)
ମନେକର ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ ପରୀକ୍ଷଣରେ |S| = 2 ⇒ S = {H, T}
⇒ E = {H} ହେଲେ, |E| = 1 ଓ P(E) = \(\frac{|E|}{|S|}\) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ E = {T} ହେଲେ, |E| = 1 ଓ P(E) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ E = Φ ହେଲେ, |E| = 0 ଓ P(Φ) = \(\frac{0}{2}\) = 0, E = S ହେଲେ |S| = 2 ଓ P(S) = \(\frac{2}{2}\) = 1

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ Ex 6(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ Ex 6(a)

Question 1.
△ABC ରେ BC = 6 ସେ.ମି., m∠A = 45°, ତ୍ରକୁକର ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) BC = 6 ସେ.ମି. ଏବଂ m∠OBC = m∠OCB = 90° – 45° = 45° ନେଇ AOBC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ଠିକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ OB (କିମ୍ବା OC)କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ A ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି BC ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵ ରେ O ଏବଂ A ବିନ୍ଦୁ ମାନ ଅବସ୍ଥାନ କରିବେ ।

Question 2.
△ABC ରେ AC = 7 ସେ.ମି., m∠B = 60°, ତ୍ରକୁକର ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) AC = 7 ସେ.ମି. ଏବଂ m∠OAC = m∠OCA = 90° – 60° = 30° ନେଇ △OAC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) O କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OA}})\) (କିମ୍ବା \(\overline{\mathrm{OC}})\)) କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ B ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ O ଏବଂ B ଅବସ୍ଥାନ କରିବ । △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 3.
△ABC ରେ AB = 6.5 ସେ.ମି., m∠C= 90°, ତ୍ରକୁକର ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) AB ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6-5 ସେ.ମି. ।
(ii) AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ O ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) Oକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OA}})\) ବା \(\overline{\mathrm{OB}})\) କୁ ବ୍ୟାସାର୍ବନେଇ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iv) ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ C ନେଇ △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 4.
△ABC ରେ m∠A = 120°, BC = 4.5 ସେ.ମି. | ତ୍ରକୁକର ପରିବର ଅନନ କର |
(i) BC= 4.5 ସେ.ମି. ଏବଂ ∠OBC = ∠OCB = 120° – 90° = 30° ନେଇ △OBC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) O କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ OB (କିମ୍ବା OC)କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ A ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି BC ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ O ଏବଂ A ବିନ୍ଦୁମାନ ଅବସ୍ଥାନ କରିବେ ।
(iv) △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।

Question 5.
△ABC ରେ BC = 7 ସେ.ମି., m∠A = 60, AX ମଧ୍ୟମା = 4.5 68. ., ସେ.ମି., ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) BC ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. ।
(ii) B ବିନ୍ଦୁରେ 90° – m∠A = 30° ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ∠OBC ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର \(\overrightarrow{\mathrm{BO}}\) କୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ |
(iv) O କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଏବଂ OB ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(v) ‘X’ କୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି XA ( = 4.5 ସେ.ମି.)ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ବୃତ୍ତକୁ A ଓ A’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(vi) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଅଙ୍କନ କରି △ABC ବା A’BC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 6.
△ABC ରେ ∠B ସମକୋଣ । AC = 7 ସେ.ମି., B ବିନ୍ଦୁରୁ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ପ୍ରତିଲମ୍ବ । \(\overline{\mathrm{BD}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି. । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କର । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବରେ B ବିନ୍ଦୁର କେତେ ଗୋଟି ଅବସ୍ଥିତି ପାଇଲ ?
Solution:
(i) \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. |
(ii) AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ O ଚିହ୍ନଟ କର । O କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OA}})\) ବା \(\overline{\mathrm{OC}})\) କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ନେଇ ଅର୍ଥବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) A ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ପ୍ରତି \(\overline{\mathrm{AM}})\) କତ୍ମ ଅଙ୍କନ କରି, AM = BD = 3 ସେ.ମି. ଅଂଶ ଛେଦନ କର ।

(iv) M ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଏକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ତାହା ଅର୍ଥବୃତ୍ତକୁ B ଏବଂ B’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବ ।
(v) \(\overline{\mathrm{BA}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କରି △ABC ଏବଂ B’A ଓ B’C ଅଙ୍କନ କରି △AB’C ସମ୍ପୁର୍ଣ୍ଣ କର ।
(ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ B ବିନ୍ଦୁର ଦୁଇଗୋଟି ଅବସ୍ଥିତି ପାଇବ ।)

Question 7.
△ABC ରେ BC = 8 ସେ.ମି., m∠A = 45°, AD ଭଲତା 3 ସେ.ମି. ହେଲେ ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) BC = 8 ସେ.ମି. ଏବଂ m∠OBC = m∠OCB =90° – 45° = 45° ନେଇ △OBC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) Oକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OB}})\) (କିମ୍ବା \(\overline{\mathrm{OC}})\)୯କୁ) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) B ବିନ୍ଦୁରେ 90° ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ କୋଣ ଅଙ୍କନ କରି, BM = AD = 3 ସେ.ମି. ଅଂଶ ଛେଦନ କର |

(iv) M ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଏକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ବୃତ୍ତକୁ A ଓ A’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(v) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଅଙ୍କନ କରି △ABC ଏବଂ \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}\) ଓ \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C} ଅଙ୍କନ କରି △A’BC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 8.
△ABC ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର m∠B = 60°, AC = 6.5 ସେ.ମି. ଏବଂ \(\overline{\mathrm{AX}})\) ମଧ୍ଯମାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 5 ସେ.ମି. |
Solution:
(i) \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.5 ସେ.ମି. ।
(ii) \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ଚିହ୍ନଟ କର ।
(iii) D ବିନ୍ଦୁରେ m∠YDC = 30° ଅଙ୍କନ କର ।
\(\overline{\mathrm{DC}})\) ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ଓ ତାହା \(\overrightarrow{\mathrm{DY}}\) କୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(iv) O କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି \(\overline{\mathrm{OD}})\) ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।

(v) Aକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି \(\overline{\mathrm{AX}})\) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ପରିବୃତ୍ତକୁ X ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(vi) \(\overrightarrow{\mathrm{CX}}\) ରେଖା ଉପରେ B ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯୋଗକରି BX = CX ଏବଂ C – X – B ହେବ ।
(vii) B, A କୁ ଯୋଗକରି △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 9.
△ABC m∠A = 60°, BC = 7 ସେ.ମି., \(\overline{\mathrm{BE}})\) ⊥ \(\overline{\mathrm{AC}})\), BE = 6.3 ସେ.ମି. ଛେଦନ ଅନନ କର |
Solution:
(i) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. |
(ii) \(\overline{\mathrm{BC}})\) କୁ ଭୂମି ଏବଂ ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 60° ନେଇ ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) \(\overline{\mathrm{BC}})\) କୁ ବ୍ୟାସ ନେଇ ଏକ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।

(iv) Bକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି \(\overline{\mathrm{BE}})\) ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍କ୍ (6-3 ସେ.ମି.) ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅର୍ଥବୃତ୍ତକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(v) \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\), ଅଙ୍କନ ପରିବୃତ୍ତ A ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(vi) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କରି △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 10.
△ABC ର m∠A =150°, BC = 5 ସେ.ମି., AD ଉଳତା = 3 ସେ.ମି. ତ୍ରକୁକର ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) BC = 5 ସେ.ମି., m∠OBC = 150°- 90° = 60° ନେଇ △OBC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) Oକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ (\(\overline{\mathrm{OB}})\) କିମ୍ବା \(\overline{\mathrm{OC}})\))କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।

(iii) B ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ପତି \(\overline{\mathrm{BX}})\) ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ସେଥୁରୁ BM = AD = 3 ସେ.ମି. ଅଂଶ ଛେଦନ କର ।
(iv) M ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଏକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ବୃତ୍ତକୁ À ଓ A’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(v) AB, AC ଅଙ୍କନ କରି △ABC ଏବଂ \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}\) ଓ \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}\) ଅଙ୍କନ କରି △A’BC ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।

Question 11.
△ABC ନର m∠A = 60°, b : c = 2 : 3, BC = 7 ସେ.ମି. | ତ୍ରକୁକର ଅନନ କର |
Solution:
(i) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. |
(ii) \(\overline{\mathrm{BC}})\) କୁ ଭୂମି ଏବଂ ∠Aର ପରିମାଣ 60° ନେଇ ଏକ ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) \(\overline{\mathrm{BC}})\) କୁ 3 : 2 ଅନୁପାତରେ P ବିନ୍ଦୁରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କର ।
(iv) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ବୃତ୍ତକୁ S ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।

(v) \(\overrightarrow{\mathrm{SP}}\) ଅଙ୍କିତ ପରିବୃତ୍ତକୁ A ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(vi) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଅଙ୍କନ କରି △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।

Question 12.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର AB = 5.5 ସେ.ମି., କଣ୍ଠ \(\overline{\mathrm{BD}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 8 ସେ.ମି. ଓ m∠DAC = 60° |
(i) \(\overline{\mathrm{DC}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5-5 ସେ.ମି. ।
(ii) \(\overline{\mathrm{DC}})\) କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ କରି M ବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) \(\overline{\mathrm{MC}})\) କୁ ଭୂମି ଏବଂ 30° ଭୂମି ସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ ନେଇ ଏକ ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।

(iv) D କୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି DR (4 ସେ.ମି. ) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କିତ ପରିବୃତ୍ତକୁ R ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(v) \(\overrightarrow{\mathrm{CR}}\) ଉପରିସ୍ଥ A ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି CR = AR ହେବ । \(\overline{\mathrm{AD}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(vi) ବର୍ତ୍ତମାନ A ଏବଂ C କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଯଥାକ୍ରମେ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଏବଂ \(\overline{\mathrm{AD}})\) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଦୁଇଟି ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଯେପରି ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ B ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ।
(vii) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କରି ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class History Solutions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 History Solutions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

୧। ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୬୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

(କ) ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ସମ୍ପର୍କରେ ଏକ ଟିପ୍‌ପଣୀ ଲେଖ ।
Answer:

• ୧୮୮୨ ମସିହା ଅଗଷ୍ଟ ୧୬ ତାରିଖରେ ମଧୁସୂଦନ ଦାସଙ୍କ ଉତ୍ସାହ ଓ ଉଦ୍ୟମରେ କଟକଠାରେ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହା ଥିଲା ଓଡ଼ିଶାର ସର୍ବପ୍ରଥମ ସୁସଙ୍ଗଠିତ ରାଜନୀତିକ ଅନୁଷ୍ଠାନ । ଏହାର ପ୍ରଥମ ସଭାପତି ଥିଲେ ଚୌଧୁରୀ କାଶୀନାଥ ଦାସ ଓ ପ୍ରଥମ ସମ୍ପାଦକ ଥିଲେ ଗୌରୀଶଙ୍କର ରାୟ ।
• ଏହି ଅନୁଷ୍ଠାନର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ସ୍ଥାନୀୟ ସ୍ୱାୟର ଶାସନ ଅନୁଷ୍ଠାନ ସୃଷ୍ଟି କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବା ଓ ଜନକଲ୍ୟାଣ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରୋତ୍ସାହିତ କରିବା ।
• ୧୮୮୬ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୨୮ ତାରିଖରେ କୋଲକତାଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ଦ୍ଵିତୀୟ ଅଧିବେଶନରେ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ତରଫରୁ ମଧୁସୂଦନ ଦାସ, ଗୋଲୋକ ଚନ୍ଦ୍ର ବୋଷ, ହରିବଲ୍ଲଭ ବୋଷ ଓ କାଳିପଦ ବାନାର୍ଜୀ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
• ବାସ୍ତବରେ ଉତ୍କଳ ସଭାର କାର୍ଯ୍ୟ ପରିସର ଅତି ସଂକୀର୍ଣ୍ଣ ଥିବାରୁ ଏକ ବୃହତ୍ତର ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନ ପ୍ରତିଷ୍ଠା ପାଇଁ ମଧୁବାବୁ ଚିନ୍ତା କରୁଥିଲେ । ଶେଷରେ ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ର ଗଠନ ପରେ ଉତ୍କଳ ସଭାର ବିଲୋପ ଘଟିଲା ।

(ଖ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ କିପରି ଜନ୍ମଲାଭ କଲା ?
Answer:

• ୧୮୮୬ ମସିହାରେ କୋଲକତାରେ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ଦ୍ଵିତୀୟ ଅଧ୍ଶନ ଓ ୧୯୦୩ ମସିହାରେ ‘ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସଭା’ରେ ଯୋଗଦେଇ ମଧୁବାବୁ ଏକ ବୃହତ୍ତର ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠନ ପାଇଁ ପ୍ରେରଣା ପାଇଥିଲେ ।
• ୧୯୦୩ ମସିହାରେ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜାମାନଙ୍କର ବାର୍ଷିକ ଅବେଶନରେ ମୟୂରଭଞ୍ଜର ରାଜା ଶ୍ରୀରାମଚନ୍ଦ୍ର ଭଞ୍ଜଦେଓ, ଖଲ୍ଲିକୋଟର ରାଜା ଓ କନିକାର ରାଜା ରାଜେନ୍ଦ୍ର ନାରାୟଣ ଭଞ୍ଜଦେଓ ମଧୁସୂଦନଙ୍କ ବିଚାରଧାରାକୁ ଉଚ୍ଚ ପ୍ରଶଂସା କରିବା ସଙ୍ଗେ ସଙ୍ଗେ ସମର୍ଥନ ଜଣାଇଥିଲେ ।
• ଏହି କଳ୍ପନାକୁ କାର୍ଯ୍ୟରେ ପରିଣତ କରିବାପାଇଁ ୧୯୦୩ ମସିହାରେ ମଧୁସୂଦନ କଟକଠାରେ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ଆନୁକୂଲ୍ୟରେ ଏକ ସଭା ଆହ୍ବାନ କଲେ ।
• ଏହି ସଭାରେ ସମଗ୍ର ଓଡ଼ିଶା ତଥା ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳ ସମୂହର ଏକତ୍ରୀକରଣ ଦିଗରେ ଉଦ୍ୟମ କରିବାପାଇଁ ଏକ ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠନ କରାଯିବାପାଇଁ ନିଷ୍ପତ୍ତି ଗ୍ରହଣ କରାଗଲା ।
• ଏହି ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନର ନାମ ରଖାଗଲା ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ । ଏହି ସଭାରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧୁବେଶନ ପାଇଁ ପ୍ରସ୍ତୁତି ଆରମ୍ଭ ହେଲା ।

(ଗ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନରେ କେଉଁ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜାମାନେ ମଧୁସୂଦନଙ୍କୁ ସକ୍ରିୟ ସହଯୋଗ କରିଥିଲେ ?
Answer:

1. ଏକ ବୃହତ୍ତର ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠନ ନିମନ୍ତେ ମଧୁସୂଦନଙ୍କୁ ପ୍ରଥମେ କନିକା ରାଜା ରାଜେନ୍ଦ୍ର ନାରାୟଣ ଭଞ୍ଜଦେଓ ଉତ୍ସାହିତ କରିଥିଲେ ।
2. ମଧୁବାବୁଙ୍କୁ ସମର୍ଥନ ଓ ସକ୍ରିୟ ସହଯୋଗ କରିଥିବା ଅନ୍ୟ ରାଜାମାନେ ଥିଲେ ମୟୂରଭଞ୍ଜର ରାଜା ଶ୍ରୀରାମଚନ୍ଦ୍ରଭଞ୍ଜଦେଓ ଏବଂ ଖଲ୍ଲିକୋଟର ରାଜା ।
3. ୧୯୦୩ ମସିହାରେ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜାମାନଙ୍କର ବାର୍ଷିକ ଅବେଶନରେ ମୟୂରଭଞ୍ଜର ରାଜା ଶ୍ରୀରାମଚନ୍ଦ୍ର ଭଞ୍ଜଦେଓ, ଖଲ୍ଲିକୋଟର ରାଜା ଓ କନିକାର ରାଜା ମଧୁସୂଦନଙ୍କ ବିଚାରଧାରାକୁ ଉଚ୍ଚ ପ୍ରଶଂସା କରିବା ସଙ୍ଗେ ସଙ୍ଗେ ସମର୍ଥନ ଜଣାଇଥିଲେ ।
4. ୧୯୦୩ ମସିହାରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନରେ ଅଭ୍ୟର୍ଥନା କମିଟିର ଅଧ୍ୟକ୍ଷଭାବେ କନିକା ରାଜା ରାଜେନ୍ଦ୍ର ନାରାୟଣ ଭଞ୍ଜଦେଓ ରହିବାପାଇଁ ସ୍ଥିର ହୋଇଥିଲା ।
5. ଏହିପରି ଭାବେ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜାମାନେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ଗଠନରେ ମଧୁସୂଦନ ଦାସଙ୍କୁ ସକ୍ରିୟ ସହଯୋଗ କରିଥିଲେ ।

(ଘ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନରେ କେଉଁ ଅଞ୍ଚଳର ଓ କେଉଁ ବର୍ଗର ସାଧାରଣ ଲୋକ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ଏବଂ ଏଠାରେ ମଧୁସୂଦନ କ’ଣ ଆହ୍ବାନ ଦେଇଥିଲେ ?
Answer:

• ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧୂବେଶନ ୧୯୦୩ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୩୦ ଓ ୩୧ ତାରିଖରେ କଟକରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା
• ଏହି ଅଧ୍ଵବେଶନରେ ମାନ୍ଦ୍ରାଜ, କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରଦେଶ ଏବଂ ବଙ୍ଗଳାର ଓଡ଼ିଆ ପ୍ରତିନିଧୁମାନେ ତଥା ସେହି ଅଞ୍ଚଳର ତିରିଶ ଜଣ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜା ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ । ଓଡ଼ିଶାର ଖଲ୍ଲିକୋଟ, କନିକା, ମୟୂରଭଞ୍ଜ, ଢେଙ୍କାନାଳ, କେନ୍ଦୁଝର, ଆଠଗଡ଼ ଓ ତାଳଚେରର ରାଜା ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
• ସେମାନଙ୍କ ବ୍ୟତୀତ ଓଡ଼ିଶାର ବିଭିନ୍ନ ଅଞ୍ଚଳରୁ ଅନେକ ଜମିଦାର, ଆଇନଜୀବୀ, ସରକାରୀ କର୍ମଚାରୀ, ବ୍ୟବସାୟୀ ଓ ଛାତ୍ରମାନେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
• ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ମହାସିନ୍ଧୁରେ ନିଜର ପ୍ରାଣବିନ୍ଦୁ ମିଶାଇ ଦେବାପାଇଁ ସବୁ ଓଡ଼ିଆ ଭାଇମାନଙ୍କୁ ମଧୁସୂଦନ
  ଦାସ ଆହ୍ବାନ ଦେଇଥିଲେ ।
• ସେ କହିଥିଲେ ଯେ ଉତ୍କଳୀୟ କେବଳ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀମାନଙ୍କୁ ବୁଝାଏ ନାହିଁ । ଓଡ଼ିଶା ଯେଉଁମାନଙ୍କର ଜନ୍ମଭୂମି ଓ କର୍ମଭୂମି, ସେମାନେ ସମସ୍ତେ ଉତ୍କଳୀୟ । ତେଣୁ ଭାଷାଗତ ପାର୍ଥକ୍ୟ ବା ସାମ୍ପ୍ରଦାୟିକ ବିଦ୍ବେଷ ଭାବ ଭୁଲି ଉତ୍କଳର ଉନ୍ନତି ପାଇଁ ସମସ୍ତ ଉତ୍କଳବାସୀ ଏକଜୁଟ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।

(ଙ) ମଧୁସୂଦନ କାହିଁକି ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ତ୍ୟାଗ କଲେ ଏବଂ ପୁନଃସଙ୍ଗଠିତ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର କାର୍ଯ୍ୟ କ’ଣ ଥିଲା ?
Answer:

• ୧୯୨୦ ମସିହାରେ ମହାତ୍ମା ଗାନ୍ଧିଙ୍କ ଆହ୍ବାନକ୍ରମେ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସ ବ୍ରିଟିଶ୍ ସରକାରଙ୍କ ବିରୋଧରେ ଆନ୍ଦୋଳନ ଚଳାଇବାପାଇଁ ସ୍ଥିର କଲା । ସେତେବେଳେ ପଣ୍ଡିତ ଗୋପବନ୍ଧୁ ଦାସ ପ୍ରଭୃତି ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ନେତାମାନେ ଭାବିଲେ ଯେ ଅସହଯୋଗ ଆନ୍ଦୋଳନଦ୍ୱାରା ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଲକ୍ଷ୍ୟ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ଉତ୍କଳ ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ସମ୍ଭବ ହୋଇପାରିବ ।
• ୧୯୨୦ ମସିହାରେ ସିଂହଭୂମି ଜିଲ୍ଲାର ଚକ୍ରଧରପୁରଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧିବେଶନ କଂଗ୍ରେସର ଲକ୍ଷ୍ୟ ଓ ଆଦର୍ଶକୁ ଗ୍ରହଣ କରିନେଲା ।
• ଏହାଫଳରେ ସମ୍ମିଳନୀ ଏକ ପ୍ରକାର କଂଗ୍ରେସ ସହିତ ମିଶିଗଲା ଓ ଏହାର ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ସତ୍ତା ଲୋପ ପାଇଲା । ମଧୁବାବୁ ଅସହଯୋଗ ଆନ୍ଦୋଳନର ବିରୋଧୀ ଥିଲେ, ତେଣୁ ସେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ତ୍ୟାଗକଲେ ।
• ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର କଂଗ୍ରେସ ସହିତ ମିଶ୍ରଣକୁ ବିରୋଧ କରୁଥିବା ବ୍ୟକ୍ତିମାନଙ୍କ ଉଦ୍ୟମରେ ୧୯୨୪ ମସିହାରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀକୁ ପୁନର୍ବାର ସଙ୍ଗଠିତ କରାଗଲା ।
• ପୁନଃସଙ୍ଗଠିତ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ୧୯୨୫ ମସିହାରେ ନୂତନ ଅଧ୍ଵବେଶନ କଟକଠାରେ ବସିଥିଲା । ବିଭିନ୍ନ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ତା’ର ଦାବିପତ୍ର ଦାଖଲ କରିଥିଲା ।

୨ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୨୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

(କ) କେଉଁଠାରେ ଏବଂ କାହା ପ୍ରେରଣାରେ ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିତି ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:

1. ୧୯୦୩ ମସିହା ଆରମ୍ଭରେ ଗଞ୍ଜାମ ଜିଲ୍ଲାର ଚିଲିକା ହ୍ରଦକୂଳ ନିକଟସ୍ଥ ରମ୍ଭାଠାରେ ‘ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିତି’ ନାମରେ ଏକ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
2. ଏହି ଅନୁଷ୍ଠାନ ଖଲ୍ଲିକୋଟର ରାଜା ହରିହର ମର୍ଦ୍ଦରାଜ ଦେବଙ୍କ ପ୍ରେରଣାରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

(ଖ) ମଧୁବାବୁ କ’ଣ ପାଇଁ ଏକ ବୃହତ୍ ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନର ଆବଶ୍ୟକତା ଅନୁଭବ କଲେ ?
Answer:

• ମଧୁବାବୁଙ୍କଦ୍ଵାରା ଗଠିତ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ର କାର୍ଯ୍ୟ ପରିସର ଅତି ସଂକୀର୍ଣ୍ଣ ଥିଲା ।
• ତେଣୁ ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳ ସମୂହର ମିଶ୍ରଣ ଓ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ଉତ୍କଳ ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ପାଇଁ ସମଗ୍ର ଉତ୍କଳର ପ୍ରତିନିଧ୍ୱ କରୁଥିବା ଏକ ବୃହତ୍ତର ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନର ଆବଶ୍ୟକତା ରହିଛି ବୋଲି ମଧୁବାବୁ ଅନୁଭବ କରିଥିଲେ ।

(ଗ) ୧୯୦୩ରେ କେଉଁଠାରେ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ର ଏକ ସଭା ଆହୂତ ହୋଇଥିଲା ଏବଂ ଏଠାରେ କ’ଣ ନିଷ୍ପରି ନିଆଯାଇଥୁଲା ?
Answer:

• ୧୯୦୩ ମସିହାରେ କଟକଠାରେ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ର ଏକ ସଭା ଆହୂତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହି ସଭାରେ ସମଗ୍ର ଓଡ଼ିଶା ତଥା ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳ ସମୂହର ଏକତ୍ରୀକରଣ ଦିଗରେ ଉଦ୍ୟମ କରିବାପାଇଁ ଏକ ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠନ କରାଯିବାପାଇଁ ନିଷ୍ପତ୍ତି ନିଆଯାଇଥିଲା ।

(ଘ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅବେଶନ ପାଇଁ କେଉଁମାନେ ସଭାପତି ଓ ସମ୍ପାଦକ ଭାବେ ମନୋନୀତ ହୋଇଥିଲେ ?
Answer:

1. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ଶନ ପାଇଁ ସଭାପତି ଭାବେ ମୟୂରଭଞ୍ଜର ସ୍ବନାମଧନ୍ୟ ରାଜା ଶ୍ରୀରାମଚନ୍ଦ୍ର ଭଞ୍ଜ ମନୋନୀତ ହୋଇଥିଲେ ।
2. ସେହିପରି ସମ୍ପାଦକ ଭାବେ ମଧୁସୂଦନ ଦାସ ମନୋନୀତ ହୋଇଥିଲେ ।

(ଙ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନ କେବେ ଏବଂକେଉଁଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:

• ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନ ୧୯୦୩ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୩୦ ଓ ୩୧ ତାରିଖରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହି ସମ୍ମିଳନୀ କଟକଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

(ଚ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧିବେଶନରେ ଖଲ୍ଲିକୋଟ, କନିକା ଓ ମୟୂରଭଞ୍ଜର ରାଜାଙ୍କ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ କେଉଁ ରାଜାମାନେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ?
Answer:

• ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧିବେଶନରେ ଖଲ୍ଲିକୋଟ, କନିକା ଓ ମୟୂରଭଞ୍ଜର ରାଜାଙ୍କ ବ୍ୟତୀତ ଢେଙ୍କାନାଳର ରାଜା ସୁରପ୍ରତାପ ମହେନ୍ଦ୍ର ବାହାଦୂର, କେନ୍ଦୁଝରର ରାଜା ଧନୁର୍ଜୟ ନାରାୟଣ ଭଞ୍ଜଦେଓ, ଆଠଗଡ଼ର ରାଜା ବିଶ୍ଵନାଥ ବେବର୍ଷା ଏବଂ ତାଳଚେରର ରାଜା କିଶୋରଚନ୍ଦ୍ର ହରିଚନ୍ଦନ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
• ଏତଦ୍‌ବ୍ୟତୀତ ମାନ୍ଦ୍ରାଜ, କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରଦେଶ ଏବଂ ବଙ୍ଗଳାର ତିରିଶ ଜଣ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜା ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।

(ଛ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧିବେଶନରେ କେଉଁ ପ୍ରସ୍ତାବ ଗୃହୀତ ହୋଇଥିଲା ଏବଂ କ’ଣ ଅନୁମୋଦିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:

1. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧୂବେଶନରେ ଓଡ଼ିଶାର କଳା ଓ ସାହିତ୍ୟର ଉନ୍ନତି ସମ୍ପର୍କିତ ଏକ ପ୍ରସ୍ତାବ ଗୃହୀତ ହୋଇଥିଲା ।
2. ଏହି ସମ୍ମିଳନୀରେ ରିସ୍‌ଲେ ସର୍କୁଲାରକୁ ଅନୁମୋଦନ କରାଯାଇଥିଲା ।

(ଜ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଷ୍ଟମ ଅଧ‌ିବେଶନ କେଉଁଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ଏବଂ ଏଠାରେ ମଧୁସୂଦନ ସରକାରଙ୍କ କେଉଁ ନିଷ୍ପତ୍ତିକୁ ବିରୋଧ କରିଥିଲେ ?
Answer:

• ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଷ୍ଟମ ଅଧିବେଶନ ବ୍ରହ୍ମପୁରରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହି ଅଧ୍ଵବେଶନରେ ମଧୁସୂଦନ ସରକାରଙ୍କ ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ନିଷ୍ପତ୍ତିକୁ ବିରୋଧ କରିଥିଲେ ।

(ଝ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଦଶମ ଅଧ‌ିବେଶନ କେବେ ଏବଂ କେଉଁଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:

• ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଦଶମ ଅଧିବେଶନ ୧୯୧୪ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୨୬ ଓ ୨୭ ତାରିଖରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହି ଅଧୁବେଶନ ପାରଳାଖେମୁଣ୍ଡିଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

(ଞ) ୧୯୨୫ରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧିବେଶନ କେଉଁଠାରେ ଏବଂ କାହା ଅଧ୍ଯକ୍ଷତାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:

1. ୧୯୨୫ ମସିହାରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧୂବେଶନ କଟକଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
2. ଏହି ଅଧ୍ଶନ କଳ୍ପତରୁ ଦାସଙ୍କ ଅଧ୍ୟକ୍ଷତାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

୩ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଗୋଟିଏ ବାକ୍ୟରେ ଲେଖ ।

(କ) କାହା ନେତୃତ୍ଵରେ ‘ବଙ୍ଗ ଜାତୀୟ ସଭା’ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ସାର୍ ସୁରେନ୍ଦ୍ରନାଥ ବାନାର୍ଜୀଙ୍କ ନେତୃତ୍ୱରେ ‘ବଙ୍ଗ ଜାତୀୟ ସଭା’ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

(ଖ) ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିତିର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ କ’ଣ ଥିଲା ?
Answer:
ଗଞ୍ଜାମ ଓ ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଦକ୍ଷିଣାଞ୍ଚଳ ଜିଲ୍ଲାମାନଙ୍କୁ ତଥା ଓଡ଼ିଶାର ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଅଞ୍ଚଳକୁ ଏକ ଶାସନାଧୀନରେ ରଖୁବାପାଇଁ ଉଦ୍ୟମ କରିବା ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିତିର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ।

(ଗ) ବୈକୁଣ୍ଠନାଥ ଦେ କେଉଁ ଅଞ୍ଚଳର ବ୍ୟକ୍ତି ଥିଲେ ?
Answer:
ବୈକୁଣ୍ଠନାଥ ଦେ ବାଲେଶ୍ଵରର ଅଞ୍ଚଳର ବ୍ୟକ୍ତି ଥିଲେ ।

(ଘ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଷ୍ଟମ ଅଧିବେଶନ କେବେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଷ୍ଟମ ଅଧିବେଶନ ୧୯୧୨ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ୍ ୬ ଓ ୭ ତାରିଖରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

(ଡ) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଦଶମ ଅଧିବେଶନରେ କିଏ ଅଧ୍ୟକ୍ଷତା କରିଥିଲେ ?
Answer:
ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଦଶମ ଅଧିବେଶନରେ ଜୟପୁରର ରାଜା ବିକ୍ରମଦେବ ବର୍ମା ଅଧ୍ୟକ୍ଷତା କରିଥିଲେ ।

(ଚ) ୧୯୨୦ରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧ୍ଵଂଶନ କେଉଁଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
୧୯୨୦ ମସିହାରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧିବେଶନ ସିଂହଭୂମି ଜିଲ୍ଲାର ଚକ୍ରଧରପୁରଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

(ଛ) କେବେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀକୁ ପୁନର୍ବାର ସଙ୍ଗଠିତ କରାଯାଇଥିଲା ?
Answer:
୧୯୨୪ ମସିହାରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀକୁ ପୁନର୍ବାର ସଙ୍ଗଠିତ କରାଯାଇଥିଲା ।

(ଜ) ମଧୁସୂଦନ କେବେ ପ୍ରାଣତ୍ୟାଗ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ମଧୁସୂଦନ ୧୯୩୪ ମସିହା ଫେବୃଆରୀ ୪ ତାରିଖରେ ପ୍ରାଣତ୍ୟାଗ କରିଥିଲେ ।

(ଝ) କେଉଁଦିନ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଶେଷ ବୈଠକ ବସିଥିଲା ?
Answer:
ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଶେଷ ବୈଠକ ୧୯୩୫ ମସିହା ଫେବୃୟାରୀ ୧୧ ତାରିଖରେ କଟକଠାରେ ବସିଥିଲା ।

(ଞ) ଓଡ଼ିଶା କେବେଠାରୁ ଏକ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ପ୍ରଦେଶ ହେଲା ?
Answer:
୧୯୩୬ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ୍ ୧ ତାରିଖରୁ ଓଡ଼ିଶା ଏକ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ପ୍ରଦେଶ ଭାବେ ଗଠିତ ହେଲା ।

୪ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥବା ଚାରିଗୋଟି ବିକଳ୍ପ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ତା’ର କ୍ରମିକ ନମ୍ବର ସହିତ ଲେଖ ।

(କ) କେଉଁଟି ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଥମ ସୁସଙ୍ଗଠିତ ରାଜନୀତିକ ଅନୁଷ୍ଠାନ ?
(i) ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିଢି
(ii) ଉତ୍କଳ ସଭା
(iii) ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସଭା
(iv) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ
Answer:
(ii) ଉତ୍କଳ ସଭା

(ଖ) କିଶୋର ଚନ୍ଦ୍ର ହରିଚନ୍ଦନ କେଉଁ ଗଡ଼ଜାତର ରାଜା ଥିଲେ ?
(i) ଢେଙ୍କ।ନାଳ
(ii) ଢାଳଚେର
(iii) ଆଠଗଡ଼
(iv) କେନ୍ଦୁଝର
Answer:
(ii) ତାଳଚେର

(ଗ) ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ର ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନରେ କିଏ ସଭାପତିତ୍ୱ କରିଥିଲେ ?
(i) ରାଜେନ୍ଦ୍ର ନାରାୟଣ ଭଞ୍ଜଦେଓ
(ii) ଧନୁର୍ଜୟ ନାରାୟଣ ଭଞ୍ଜଦେଓ
(iii) ଶ୍ରୀରାମଚନ୍ଦ୍ର ଭଞ୍ଜ
(iv) ହରିହର ମର୍ଦ୍ଦରାଜ
Answer:
(iii) ଶ୍ରୀରାମଚନ୍ଦ୍ର ଭଞ୍ଜ

(ଘ) ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ର ପ୍ରଥମ ଅବେଶନ କେଉଁ ଭାଷାରେ ପରିଚାଳିତ ହୋଇଥିଲା ?
(i) ଇଂରାଜୀ
(ii) ଓଡ଼ିଆ
(iv) ହିନ୍ଦୀ
(iii) ବଙ୍ଗଳା
Answer:
(ii) ଓଡ଼ିଆ

(ଙ) ‘ଉତ୍କଳୀ ସମ୍ମିଳନୀ’ ତରଫରୁ ମଣ୍ଟେଗୁ ଓ ଚେମ୍‌ସ୍‌ଫୋର୍ଡ଼ଙ୍କୁ କେବେ ଦାବିପତ୍ର ଦିଆଯାଇଥିଲା ?
(i) ୧୯୧୨
(ii) ୧୯୧୪
(iii) ୧୯୧୭
(iv) ୧୯୧୮
Answer:
(iii) ୧୯୧୭

୫ । ପାଠରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ‘‘ତୁମପାଇଁ କାମ’’ଗୁଡ଼ିକ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ନିର୍ଦ୍ଦେଶନା ଓ ସହାୟତାରେ ସମ୍ପାଦନ କର ।
Answer:
(ପିଲାମାନେ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ସହାୟତା ଓ ନିର୍ଦ୍ଦେଶନାରେ ଉତ୍ତର ଲେଖିବେ ।)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛ ।

(i) ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍ ?
(a) √4 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା
(b) √2 ଓ √3 ମଧ୍ୟରେ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ
(c) √8 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା
(d) π ∈ Q
ସମାଧାନ:
√8 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା
√8 = 2√2 ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଉତ୍ତରଟି ଠିକ୍ ।

(ii) ନିମ୍ନଲିଖ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍ ନୁହେଁ ?
(a) p ଓ q ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ହେଲେ p + q ଅପରିମେୟ
(b) p ଓ q ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ଅପରିମେୟ ହେଲେ p + q ଅପରିମେୟ
(c) p ଓ q ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ପରିମେୟ ହେଲେ p + q ପରିମେୟ
(d) p ଓ q ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ପରିମେୟ ହେଲେ p – q ପରିମେୟ
ସମାଧାନ:
p ଓ q ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ହେଲେ p + q ଅପରିମେୟ
ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାରେ ଯୋଗ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ ନାହିଁ ।

(iii) ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଠିକ୍ ?
(a) p ଓ q ପରିମେୟ ହେଲେ pq ପରିମେୟ
(b) p ଓ q ଅପରିମେୟ ହେଲେ pq ଅପରିମେୟ
(c) p ପରିମେୟ ଓ ରୁ ଅପରିମେୟ ହେଲେ pq ପରିମେୟ
(d) p ଓ q ଅପରିମେୟ ହେଲେ p/q ଅପରିମେୟ
ସମାଧାନ:
p ଓ q ପରିମେୟ ହେଲେ pq ପରିମେୟ
ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାରେ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ ।

(iv) ରାଡ଼ିକାଲ (କରଣୀ) ଚିହ୍ନ ବ୍ୟବହାର କଲେ 2? ରାଶିଟି କାହା ସହ ସମାନ ?
(a) √2
(b) \(\sqrt[3]{2}\)
(c) √8
(d) ଏଥରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ
ସମାଧାନ:
√2
\(2^{\frac{1}{2}}\) = √2

(v) ଡ଼ିକାଲ ଚିହ୍ନ ଅପସାରଣ କଲେ -3 ରାଶିର ସରଳୀକୃତ ମାନ କେଉଁଟି ?
(a) \(\frac{x^{\frac{3}{5}}}{2}\)
(b) \(\frac{1}{2 x^{-15}}\)
(c) \(\frac{x^{15}}{2}\)
(d) ଏଥରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ
ସମାଧାନ:
\(\frac{x^{\frac{3}{5}}}{2}\)
\(\frac{1}{2 \sqrt[5]{x^{-3}}}=\frac{1}{2 x^{-\frac{3}{3}}}=\frac{x^{\frac{3}{5}}}{2}\)

(vi) \(9^{-1 \frac{1}{2}}\) ରାଶିଟି କେଉଁ ରାଶି ସହ ସମାନ ?
(a) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(3 \frac{1}{3}\)
(c) \(\frac{1}{9}\)
(d) \(\frac{1}{27}\)
ସମାଧାନ:
\(\frac{1}{27}\)
\(9^{-\frac{1}{2}}=\left(3^2\right)^{\frac{-3}{2}}=3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\)

(vii) \(\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}\right)\) ର ମୁଲ୍ୟ ଲାହା ସହ ସମାନ ?
(a) √2
(b) \(\frac{1}{2}\)
(c) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(d) 2
ସମାଧାନ:
2
\(\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}^{2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}=(\sqrt{2})^2\) = 2

(viii) କେଉଁବି ଠିଳ୍?
(a) \(\sqrt[4]{4}>\sqrt[3]{3}\)
(b) \(\sqrt[3]{4}>\sqrt[4]{3}\)
(c) \(\sqrt[3]{4}=\sqrt[4]{3}\)
(d) \(\sqrt[4]{4}=\sqrt[3]{3}\)
ସମାଧାନ:
\(\sqrt[3]{4}>\sqrt[4]{3}\)
\((\sqrt[3]{4})^{12}=4^{\frac{12}{3}}=4^4=256,(\sqrt[4]{3})^{12}=3^{\frac{12}{4}}=3^3\) = 27

(ix) Q ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଓ ତୁ ସମସ୍ତ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ Q – Q’ = ?
(a) N
(b) Z
(c) R
(d) ଏଥୁରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ
ସମାଧାନ:
R
Q ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା, Q’ ସମସ୍ତ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ Q ∪ Q’ = R

(x) ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମଧ୍ୟରୁ x ର ମୂଲ୍ୟ କେଉଁଟି ହେଲେ (√5 + √2) x ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ?
(a) √5 + √2
(b) √5 – √2
(c) √5
(d) √2
ସମାଧାନ:
√5 – √2
(√5 + √2) x ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ x = √5 – √2
ଲାରଣ : (√5 + √2) (√5 – √2) = √5 – √2 = 3

(xi) x + (1 – √2 ) ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଥ୍ଲେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ମୂଲ୍ୟରୁ xର ମୂଲ୍ୟଟି ବାଛ ।
(a) 1 – √2
(b) √2 – 1
(c) -1 – √2
(d) 2√2
ସମାଧାନ:
√2 – 1
x + (1 – √2) ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, x = √2 – 1
ଲାରଣ : √2 – 1 + 1 – √2 = 0 ∈ Q

(xii) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) ସଂଖ୍ୟାଟି ନିମ୍ନଲିଖ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସହ ସମାନ ନୁହେଁ ?
(a) \(\frac{4}{\sqrt{6}}\)
(b) \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)
(c) \(\frac{2}{\sqrt{6}}\)
(d) \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{18}}\)
ସମାଧାନ:
\(\frac{4}{\sqrt{6}}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \neq \frac{4}{\sqrt{6}}\), (ଲାରଣ : \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}\))

(xiii) 3√2 ଓ 7√8 ର ଯୋଗଫଳ କେତେ ?
(a) 12√2
(b) 10√2
(c) 10√8
(d) ଏଥୁରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ
ସମାଧାନ:
ଏଥୁରୁ କେଉଁଟି ନୁହେଁ
3√2 + 7√8 = 3√2 + 14√2 = 17√2

Question 2.
ନିମ୍ନୋକ୍ତ ଉକ୍ତି ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।

(i) 0 ∈ R
ସମାଧାନ:
T

(ii) √16 ∈ Q
ସମାଧାନ:
T

(iii) √5 ∈ R
ସମାଧାନ:
T

(iv) -0 = 0
ସମାଧାନ:
T

(v) -π ∈ Q
ସମାଧାନ:
F

(vi) 2π ∈ Q’
ସମାଧାନ:
T

(vii) 2 + √2 ∈ Q
ସମାଧାନ:
F

(viii) Q ⊂ R
ସମାଧାନ:
T

(ix) π ∈ Q’
ସମାଧାନ:
T

(x) Q ∪ Q’ = R
ସମାଧାନ:
T

(xi) Q ⊂ Q’
ସମାଧାନ:
F

(xii) R – Q = Q’
ସମାଧାନ:
T

(xiii) √2 ଓ √3 ମଧ୍ୟରେ ଅସୀମ ସଂଖ୍ୟକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ବିଦ୍ୟାମନ ।
ସମାଧାନ:
F

(xiv) 0.01001000100001.. ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା
ସମାଧାନ:
 (F) କାରଣ : ଏହି ଅସରନ୍ତି ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟାଟି ପୌନଃପୁନିକ ନୁହେଁ ।

(xv) x ∈ R ହେଲେ \(\mathrm{x} \cdot \frac{1}{\mathrm{x}}\) = 1
ସମାଧାନ:
(F) (xv) (F) କାରଣ : x = 0 ହେଲେ ଏହା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।

(xvi) ଦୁଇଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ ।
ସମାଧାନ:
(T) ଦୁଇଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ, ତେଣୁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

(xvii) ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଅପରିମେୟ ।
ସମାଧାନ:
 (F) (ଏହା ସାର୍ବଜନୀନ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।)

(xviii) ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ ।
ସମାଧାନ:
(F) (ଏହା ମଧ୍ୟ ସାର୍ବଜନନୀ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।)

(xix) ଦୁଇଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଅପରିମେୟ ।
ସମାଧାନ:
(F) (ଏହା ସାର୍ବଜନୀନ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।)

(xx) π ସହ ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କଲେ ଯୋଗଫଳ ଅପରିମେୟ ।
ସମାଧାନ:
F

Question 3.
ନିମ୍ନଲିଖ ରାଶିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପରିମେୟ ଓ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଅପରିମେୟ ଲେଖ ।

(i) 3
ସମାଧାନ:
ପରିମେୟ ରାଣି

(ii) \(\frac{1}{2}\)
ସମାଧାନ:
ପରିମେୟ ରାଣି

(iii) -10
ସମାଧାନ:
ପରିମେୟ ରାଣି

(iv) √81
ସମାଧାନ:
ପରିମେୟ ରାଣି

(v) \(\frac{22}{7}\)
ସମାଧାନ:
ପରିମେୟ ରାଣି

(vi) π
ସମାଧାନ:
ଅପରିମେୟ ରାଣି

(vii) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ସମାଧାନ:
ଅପରିମେୟ ରାଣି

(viii) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ସମାଧାନ:
ଅପରିମେୟ ରାଣି

(ix) 0 7
ସମାଧାନ:
ପରିମେୟ ରାଣି

(x) \(0 . \overline{7}\)
ସମାଧାନ:
ପରିମେୟ ରାଣି

(xi) √0.7
ସମାଧାନ:
ଅପରିମେୟ ରାଣି

(xii) 0.07007000700007….
ସମାଧାନ:
ଅପରିମେୟ ରାଣି

Question 4.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର :

(i) 2ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _______ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{1}{2}\)

(ii) √2 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _____ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

(iii) √2 ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _____ ।
ସମାଧାନ:
-√2

(iv) πର \(\frac{22}{7}\) ଏଳ ମାନ ଅଟେ ।
ସମାଧାନ:
ଆସନୄ

(v) 4 – √3 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ _____ ।
ସମାଧାନ:
√3 – 4

(vi) _____ ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଓ ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀର ସମଷ୍ଟି ଶୂନ ଅଟେ ।
ସମାଧାନ:
1 ଳିମୂ‍। -1

(vii) _____ px = py ହେଲ x = y ହେବ କେବଳ ଯଦି
ସମାଧାନ:
p ≠ 0

(viii) Q ∪ Q’ = _____ ।
ସମାଧାନ:
R

(ix) -π ର ପରମ ମାନ _____ ।
ସମାଧାନ:
π

(x) x = 0 ହେଲେ | x | ର ମାନ _____ ।
ସମାଧାନ:
0

Question 5.
‘କ’ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ‘ଖ’ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥ‌ିବା ପଦ ସହ (ଅର୍ଥ ଭିଭିକ) ମଳାଇ ରଖ ।

‘କ’	‘ଖ’
(i) 0	(i) ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ
(ii)  1	(ii)  ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା
(iii) √2	(iii) ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା
(iv) 5	(iv) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(v) 6	(v) ଆସନ୍ନମାନ \(\frac{22}{7}\)
(vi)  \(0 . \overline{7}\)	(vi)  ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ
(vii) x ଓ -x	(vii) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ
(viii) 2 ଓ \(\frac{1}{2}\)	(viii) ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା \(\frac{p}{q}\)
(ix) π	(ix)  ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ

ସମାଧାନ:

‘କ’	‘ଖ’
(i) 0	(vii) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ
(ii)  1	(ix)  ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ
(iii) √2	(iii) ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା
(iv) 5	(ii)  ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା
(v) 6	(iv) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(vi)  \(0 . \overline{7}\)	(viii) ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା \(\frac{p}{q}\)
(vii) x ଓ -x	(vi)  ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ
(viii) 2 ଓ \(\frac{1}{2}\)	(i) ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ
(ix) π	(v) ଆସନ୍ନମାନ \(\frac{22}{7}\)

Question 6.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଉଦାହରଣ ଦିଅ ।

(i) x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x + y ପରିମେୟ
ସମାଧାନ:
x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x + y ପରିମେୟ
ମନେକର x = 2 + √3 ଏବଂ y = 2 – √3
⇒ x + y = 2+ √3 + 2 – √3
x + y = 4 (ପରିମେୟ)

(ii) x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ x + y ଅପରିମେୟ
ସମାଧାନ:
x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x + y ଅପରିମେୟ
ମନେକର x = √3 + 1 ଓ y = √3 + 1
x + y = √3 + 1 + √3 – 1 = 2√3 ଅପରିମେୟ

(iii) x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x – Y ପରିମେୟ
ସମାଧାନ:
x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର x – Y ପରିମେୟ
ମନେକର x = √3 + 4 ଏବଂ y = √3 – 4
∴ x – y = (√3 + 4) − (√3 – 4)
= √3 + 4 – √3 + 4 = 8 (ପରିମେୟ)

(iv) x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର xy ପରିମେୟ
ସମାଧାନ:
x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର xy ପରିମେୟ
ମନେକର x = √3 + 1, y = √3 – 1
⇒ xy = (√3 + 1)(√3 − 1) = (√3)² – (1)² = 3 – 1 = 2 (ପରିମେୟ)

(v) x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ xy ଅପରିମେୟ
ସମାଧାନ:
x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର xy ଅପରିମେୟ
ମନେକର x = √2, y = √3
⇒ xy = √2 × √3 = √6 (ଅପରିମେୟ)

(vi)  x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର \(\frac{x}{y}\) ପରିମେୟ
ସମାଧାନ:
x ଓ y ଅପରିମେୟ ମାତ୍ର \(\frac{x}{y}\) ପରିମେୟ
ମନେକର x = 2√3, y = 3√3
⇒ \(\frac{x}{y}=\frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{3}}=\frac{2}{3}\) (ପରିମେୟ)

(vii) x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ \(\frac{x}{y}\) ଅପରିମେୟ
ସମାଧାନ:
x ଓ y ଅପରିମେୟ ଓ \(\frac{x}{y}\) ଅପରିମେୟ
ମନେକର x = √6 ଓ y = √3
⇒ x = \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\) = √2 (ଅପରିମେୟ)

Question 7.
ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) କେଉଁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ତା’ ନିଜର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଅଟେ ?
ସମାଧାନ:
0 = -0 ଏବଂ 0 ∈ R । ତେଣୁ ଉତ୍ତର 0 ଅଟେ ।

(ii) କେଉଁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ତା’ ନିଜର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଅଟେ ?
ସମାଧାନ:
1 = \(\frac{1}{1}\) ଏବଂ – 1 = \(\frac{1}{-1}\) ତେଣୁ ଉତ୍ତର I ଏବଂ – 1 ଏଠାରେ {1, – 1} e R । ତେଣୁ ଉତ୍ତର 1 କିମ୍ବା (-1) ।

(iii) a x 0 = b x 0 ହେଲେ ସର୍ବଦା a = b ହେବ କି ? କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
ସମାଧାନ:
a × 0 = b × 0 ଏହା ସର୍ବଦା a = b ହେବ ନାହିଁ । (କାରଣ 15 × 0 = 28 × 0 ∴ 15 ≠ 28)

(iv) ଦୁଇଗୋଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯେପରି ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳ ପରିମେୟ ମାତ୍ର ଯୋଗଫଳ ଅପରିମେୟ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ମନେଳର x = (√3 + 1), y = (√3 – 1)
ସଂଖ୍ୟ‍।ଦୁୟର ଗୁଣଫଳ xy = (√3 + 1) (√3 − 1) = (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2 (ପରିମେୟ )
ସଂଖ୍ୟ‍।ଦୁୟର ଯୋଗଫଳ x + y = √3 + 1 + √3 − 1 = √3 + √3 = 2√3 (ଅପରିମେୟ)

(v) ଦୁଇଗୋଟି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯେପରି ସେମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ ପରିମେୟ ମାତ୍ର ଗୁଣନଫଳ ଅପରିମେୟ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ମନେଳର x = 2 – √3, y = √3
x + y = 2 – √3 + √3 = 2 (ପରିମେୟ )
xy = ( 2 – √3) √3 = 2√3 – 3 (ଅପରିମେୟ)‍।

(vi) ଏକ ପରିମେୟ ଭଗ୍ନ ସଂଖ୍ୟ ଦଶମିକ ଓ ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ କ’ଣ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ପରିମେୟ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପ ସସୀମ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା । ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପ ଅସୀମ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା ମାତ୍ର ଅଣପୌନଃପୁନିକ ଅଟେ ।

Question 8.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ ସ୍ଥିର କର ‍।

(i) √18 ଓ √72
ସମାଧାନ:
√18 + √72 = \(\sqrt{9 \times 2}+\sqrt{36 \times 2}\) = 3√ + 6√2 = (3+6) √2=9√2

(ii) 3√2 ଓ 7√2
ସମାଧାନ:
3√2 + 7√2 = (3 + 7) √2 = 10√2

(iii) √5 ଓ -√5
ସମାଧାନ:
√5 + (-√5) = √5 – √5 = 0

(iv) √75, √108 ଓ √147
ସମାଧାନ:
√75 + √108 + √147 = \(\sqrt{25 \times 3}+\sqrt{36 \times 3}+\sqrt{49 \times 3}\)
= 5√3 + 6√3 + 7√3 = (5 + 6 + 7) √3 = 18√3

Question 9.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

(i) √5 ଓ √2
ସମାଧାନ:
√5 × √2 = \(\sqrt{5 \times 2}\) = √10

(ii) √20 ଓ √5
ସମାଧାନ:
√20 × √5 = \(\sqrt{20 \times 5}\) = √100 = 10

(iii) (3 + √2) ଓ (3 – √2)
ସମାଧାନ:
(3 + √2)(3 – √2) = 3² − (√2)² = 9 – 2 = 7

(iv) √12, √45 ଓ √15
ସମାଧାନ:
√12 × √45 × √15 = \(\sqrt{12 \times 45 \times 15}=\sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5}\)
= 2 × 3 × 3 × 5 = 90

Question 10.
ନିମ୍ନଲିଖତ ରାଶିମାନଙ୍କୁ x ସହ ଗୁଣନ କଲେ ଯଦି ଗୁଣଫଳ 1 (ଏକ) ତେବେ x ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯେପରିକି xର ହର ଏକ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

(i) √3
ସମାଧାନ:
√3 × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

(ii) 3√2
ସମାଧାନ:
3√2 × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{3 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}\)

(iii) 2 + √3
ସମାଧାନ:
(2 + √3) × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\)
⇒ x = \(\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2)^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}\) = 2 – √3
∴ xର ଗୁଲ୍ୟ = 2 – √3

(iv) √5 – 1
ସମାଧାନ:
(√5 – 1) × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{\sqrt{5}-1}\)
⇒ x = \(\frac{\sqrt{5}+1}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{(\sqrt{5})^2-(1)^2}=\frac{\sqrt{5}+1}{5-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\)

(v) √3 + √2
ସମାଧାନ:
(√3 + √2) × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
⇒ x = \(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}\) = √3 – √2
∴ xର ଗୁଲ୍ୟ = √3 – √2
ବି.ଦ୍ର. : – : ପ୍ରତ୍ୟେକର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀକୁ ପରିମେୟ ହର ବିଶିଷ୍ଟ ରାଶିରେ ପରିଣତ କରାଯାଇଛି ।

Question 11.
0.303003000300003….. ଦଶମିକ ରାଶିଟି ପରିମେୟ କି ଅପରିମେୟ କାରଣ ସହ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
0.303003000300003….. ରାଶିଟି ଅପରିମେୟ ଅଟେ ।
କାରଣ – ଉକ୍ତ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଅସୀମ ଓ ଅଣପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

Question 12.
P ଓ Q ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହେଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ PQ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
P ଓ Qଚ ଘାନାଢ ଯଥାକୁମେ a ଓ b ହେଲେ PQ = |a – b|

(i) 8 ଓ 15
ସମାଧାନ:
PQ = |8 – 15| = |-7| = 7

(ii) -4 ଓ 3.2
ସମାଧାନ:
PQ = |- 4 – 3.2| = |-7.2| = 7.2

(iii) -3.7 ଓ -6.1
ସମାଧାନ:
PQ =|-3.7 – (-6.1)| = |-3.7 + 6.1| = |2.4| = 2.4

(iv) π ଓ -3π
ସମାଧାନ:
PQ = |π – (-3π)| = |π + 3π| = |4π| = 4π

Question 13.
ନିମ୍ନଲିଖ ରାଶିମାନଙ୍କୁ ପରିମେୟ ହର ବିଶିଷ୍ଟ ରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(i) \(\frac{2}{3(\sqrt{3}+2)}\)
ସମାଧାନ:

(ii) \(\frac{2}{1+\sqrt{2}}\)
ସମାଧାନ:
\(\frac{2}{1+\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^2-(1)^2}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1}\) = 2(√2 – 1)

(iii) \(\frac{2}{\sqrt{2}+3}\)
ସମାଧାନ:
\(\frac{2}{\sqrt{2}+3}=\frac{2}{3+\sqrt{2}}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{(3)^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{9-2}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{7}\)

(iv) \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
ସମାଧାନ:
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^2-(1)^2}=\frac{(\sqrt{2}-1)}{2-1}\) = √2 – 1

(v) \(\frac{5}{3-\sqrt{2}}\)
ସମାଧାନ:
\(\frac{5}{3-\sqrt{2}}=\frac{5(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}=\frac{5(3+\sqrt{2})}{(3)^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{5(3+\sqrt{2})}{9-2}=\frac{5(3+\sqrt{2})}{7}\)

(vi) \(\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
ସମାଧାନ:

(vii) \(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\)
ସମାଧାନ:

(viii) \(\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)
ସମାଧାନ:

(ix) \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
ସମାଧାନ:

Question 14.
ସରଳ ଜର :

(i) \(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)
ସମାଧାନ:

(ii) \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\)
ସମାଧାନ:

Question 15.
a ଓ b ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସେମାନଙ୍କ ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(i) \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\) = a + b√3
ସମାଧାନ:

(ii) \(\frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}\) = a + b√5
ସମାଧାନ:

(iii) \(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{8}}\) = a + b√6
ସମାଧାନ:

Question 16.
ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଅଙ୍କନ କରି କମ୍ପାସ୍ ଓ ସ୍କେଲ୍‌ର ବ୍ୟବହାରଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନଲିଖତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ଚିହ୍ନଟ କର ।

(i) \(\frac{3}{5}\)
ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ \(\frac{3}{5}\) < 1 ଏବଂ \(\frac{3}{5}\) > 0, ଅର୍ଥାତ୍ 0 < \(\frac{3}{5}\) < 1।

OP = PQ ହେବ ।
∴ \(\frac{3}{5}\) ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି ଠ ର ଡାହାଣକୁ ଏବଂ P ବିନ୍ଦୁର ବାମକୁ ରହିବ । ଅର୍ଥାତ୍ ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ, OP ରେଖାଖଣ୍ଡ ଉପରେ
0 ଏବଂ 1 ର ମଧ୍ୟବର୍ତୀ ଅଂଶକୁ ସମାନ ପାଞ୍ଚଭାଗ କରି S ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର, ଯାହା \(\frac{3}{5}\) ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(ii) 1 \(\frac{1}{3}\)
ସମାଧାନ:

ଏଠାରେ 1 \(\frac{1}{3}\) < 2 ଅର୍ଥାତ୍ 0 < \(\frac{4}{3}\) < 2
∴ \(\frac{4}{3}\) ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି O ର ଡାହାଣକୁ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡ ଉପରେ ରହିବ । PQ ର ମଧ୍ୟବର୍ତୀ ଅଂଶକୁ ସମାନ ତିନିଭାଗ କରି S ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ଯାହା \(\frac{4}{3}\) ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(iii) √2 – 1
ସମାଧାନ:
ଆମେ ଜାଣିଛେ ଯେ 1 < 2 < 4
⇒ 1 < √2 < 2 ⇒ 1 – 1 < √2 – 1 < 2 – 1 ⇒ 0 <, 2 – 1 < 1

∴ √2 – 1କୁ ସୂଚାଉଥୁବା ବିନ୍ଦୁଟି ସଂଖ୍ୟାରେଖାର 0 ଓ 1 ଦ୍ଵୟକୁ ସୂଚାଉଥବା ବିଦୁ୍ୟଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ଅର୍ଥାତ୍ ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି\(\overline{\mathrm{OQ}}\) ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।
Δ AOP ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ PO = AO = 1 ଏକକ
∴ AP = \(\sqrt{\mathrm{PO}^2+\mathrm{OA}^2}\) =√2 ଏକକ।
Pକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଓ AP ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । ଏଠାରେ M ବିନ୍ଦୁଟି √2 – 1 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ।

(iv) √2 + 1
ସମାଧାନ:
ଆମେ ଜାଣିଛେ, 1 < 2 < 4
∴ 1 < √2 < 2 ⇒ 1 + 1 < √2 + 1 < 2 + 1 ⇒ 2 < √2 + 1 < 3

∴ √2 + 1 କୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଟି ସଂଖ୍ୟାରେଖାର 2 ଓ 3 ଦ୍ୱୟକୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ । ଅର୍ଥାତ୍ ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି \(\overline{\mathrm{QR}}\) ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।
Δ APQ ସମକୋଣୀ A ରେ PQ = AQ = 1 ଏକକ
∴ AP = \(\sqrt{\mathrm{PQ}^2+\mathrm{AQ}^2}\) = √2 ଏକକ
P କେନ୍ଦ୍ର ଓ AP ବ୍ୟାସାର୍ଷ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ଏଠାରେ M ବିନ୍ଦୁଟି √2 + 1 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(v) 2 + √3
ସମାଧାନ:
1 < 3 < 4 ⇒ 1 < √3 < 2
⇒ 2 + 1 < 2 + √3 < 2 + 2 ⇒ 3 < 2 + √3 < 4

∴ 2 + √3 କୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଟି  3 ଓ 4 ଦ୍ୱୟକୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ । 
AQR ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ QR = AR = 1 ଏକକ
∴ AQ = \(\sqrt{\mathrm{QR}^2+\mathrm{AR}^2}\) = √2 ଏକକ AQ = BR = √2 ଏକକ
BQR ସମକୋଣୀ A ରେ QR = 1 ଏକକ, RB = √2 ଏକକ
∴ BQ = \(\sqrt{\mathrm{QR}^2+\mathrm{BR}^2}\) = \(\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+2}\) = √3 ଏକକ
Qକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଓ BQ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
M ବିନ୍ଦୁଟି 2 + √3 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ।

(vi) √5
ସମାଧାନ:
ଆମେ ଜାଣିଛେ, 4 < 5 < 9 ⇒ √4 < √5 < √9 ⇒ 2 < √5 < 3
∴ √5 କୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଟି 2 ଓ 3 ଦ୍ଵୟକୁ ସୂଚାଉଥବା ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ।

OAM ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ OQ = 2 ଏକକ, AQ = 1 ଏକକ
OA = \(\sqrt{\mathrm{OQ}^2+\mathrm{AQ}^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}\) = √5 ଏକକ
ଠକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଓ OA ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ M ନାମରେ ଛେଦକରୁ ।
M ବିନ୍ଦୁଟି √5 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(vii) √3 – 1
ସମାଧାନ:
ଆମେ ଜାଣିଛେ, 1 < 3 < 4 ⇒ 1 < √3 < 2
⇒ 1 – 1 < √3 – 1 < 2 − 1 ⇒ 0 < √3 − 1 < 1
∴ (√3 – 1) ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି ) ଓ 1 କୁ ସୂଚାଉଥବା ବିଦୁ୍ୟଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ।

ଏଠାରେ OP = PQ = 1 ଏକକ, OQ = \(\sqrt{1^2+1^2}\) = √2 ଏକକ
ପୁନଶ୍ଚ OQ = ON = 2 ଏକକ ଓ NR = 1 ଏକକ 
∴ OR = \(\sqrt{(\sqrt{2})^2+(1)^2}=\sqrt{2+1}\) = √3 ଏକକ । OR = OM = √3 ଏକକ, SM = 1 ଏକକ ।
∴ OS = OM – SM = (√3 – 1) ଏକକ ।
⇒ (√3 – 1)ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁଟି OP ଉପରିସ୍ଥ ଏବଂ S ଦ୍ଵାରା ଚିହ୍ନିତ ।

Question 17.
ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ସ୍ଥାପନ କରି କେଉଁଟି ବୃହତ୍ତର ସ୍ଥିର କର ।

(i)  -√3 ଓ -√2
ସମାଧାନ:
 -√3 ଓ −√2 ର ମାନ – 2 ଓ – 1 ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ବି.ଦ୍ର. – ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଉପରେ ବାମପାର୍ଶ୍ବ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵର ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ।

AOP ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ OP = PA = 1 ଏକକ
AO = \(\sqrt{\mathrm{OP}^2+\mathrm{AP}^2}=\sqrt{(1)^2+(1)^2}\) = √2
ଠକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି \(\overline{\mathrm{AP}}\) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
∴ M ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ √2 ହେବ ।
BOP ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ OM = PB = √2 ଏକକ ।
BO = \(\sqrt{\mathrm{BP}^2+\mathrm{PO}^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{2+1}\) =√3
ଠକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି OB ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
N ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ √3 ହେବ ।
ଯେହେତୁ M ବିନ୍ଦୁଟି Nର ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{OR}}\) ଉପରିସ୍ଥ – √2> -√3 ।

(ii) \(\frac{3}{4}\) ଓ \(\frac{2}{3}\)
ସମାଧାନ:
\(\frac{3}{4}=\frac{3 \times 3}{4 \times 3}=\frac{9}{12}, \frac{2}{3}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{8}{12}\)
(ଏହି ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ସଂଖ୍ୟାରେଖାର 0 ଓ 1 ଦ୍ଵୟକୁ ସୂଚାଉଥ‌ିବା ବିଦୁ୍ୟଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ।)

ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଉପରିସ୍ଥ OM = \(\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\), ON = \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
ଯେହେତୁ M ବିନ୍ଦୁଟି Nର ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ ତେଣୁ OM > ON ⇒ \(\frac{3}{4}\) > \(\frac{2}{3}\)

(iii) √2 ଓ 1 \(\frac{1}{2}\)
ସମାଧାନ:
√2 ଓ 1 ଏହି ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ସଂଖ୍ୟାରେଖାର 1 ଓ 2 ଦ୍ଵୟକୁ ସୂଚାଉଥିବା ବିଦୁ୍ୟଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ।

ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଉପରିସ୍ଥ OP = AP = 1 ଏକକ
APO ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ AO
= \(\sqrt{\mathrm{OP}^2+\mathrm{AP}^2}=\sqrt{1^2+1^2}\) = √2 ଏକକ ।
ଠକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି OA ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ
N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । ON = √2 ଏକକ ।
PR କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରାଯାଉ ଏବଂ PR ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M ହେବ ।
OM = 1 \(\frac{1}{2}\) ଏକକ । ଯେହେତୁ M ବିନ୍ଦୁଟି Nର ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
∴ OM > ON ⇒ 1 \(\frac{1}{2}\) > √2

(iv) 1.7 ଓ √3
ସମାଧାନ:
1.7 ଓ √3 ଏହି ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ସଂଖ୍ୟାରେଖାର 1 ଓ 2 ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

ସଂଖ୍ୟାରେଖା ଉପରିସ୍ଥ OP = PA = 1 ଏକକ ।
AOP ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କଣ୍ଠ OA
= \(\sqrt{\mathrm{OP}^2+\mathrm{PA}^2}=\sqrt{1^2+1^2}\) = √2 ଏକକ ।
ପୁନଶ୍ଚ PB = OA = √2 ଏକକ ଏବଂ OP = 1 ଏକକ ।
OB = OP² + PB² = 1² + (√2)² = √3 ଏକକ ।
OB ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଚାପନେଇ ଅଙ୍କନ କଲେ ତାହା
\(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{OR}}\) କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ । OM = √3 ଏକକ ।
PR କୁ ଦଶଟି ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତକଲେ PN = 1.7 ଏକକ ହେବ ।
M ବିନ୍ଦୁ Nର ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ। ⇒ PM > PN ⇒ √3 > 1.7

Question 18.
ସରଳ କର :
\(\left|\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}-\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right|\)
ସମାଧାନ:

Question 19.
ଉଦାହରଣ ନେଇ ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର । (ଯେଉଁଠାରେ x ଓ y ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା) ।

(i) |x + y| ≤ |x| +|y|
ସମାଧାନ:
ମନେକର : x = \(\frac{2}{3}\) ଓ y = –\(\frac{1}{2}\)
ବାମ ପଷ : |x + y| = |\(\frac{2}{3}\) – \(\frac{1}{2}\)| = | \(\frac{4-3}{6}\)| = \(\frac{1}{6}\)
ଦଷିଣ ପଷ : |x| + |y| = \(\frac{2}{3}+-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4+3}{6}=\frac{7}{6}\)
ଏଠାରେ lx + y| < lxl + lyl   …..(i)
ସେହିପରି ମନେକବ x = \(\frac{2}{3}\) ଓ y = \(\frac{1}{5}\)
ବାମପଷ : |x + y| = \(|\frac{2}{3}+\frac{1}{5}|=|\frac{10+3}{15}|=|\frac{13}{15} |\mid=\frac{13}{15}\)
ଦଷିଣ ପଷ : |x| + |y| = \(|\frac{2}{3}+\frac{1}{5}|=\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{10+3}{15}=\frac{13}{15}\)
ଏଠାରେ lx + y| = lxl + lyl   …..(ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଲବା |x + y| ≤ |x| + |y|
ବି.ଦ୍ର. ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ଯେକୌଣସି ମାନନେଇ ପରୀକ୍ଷାକରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରିବ ।

(ii) |x – y| ≥ |x| – |y|
ସମାଧାନ:
ମନେକର : x = \(\frac{2}{3}\) ଓ y = –\(\frac{1}{2}\)
ବାମ ପଷ : |x – y| = \(\left|\frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|=\left|\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{4+3}{6}\right|=\frac{7}{6}\)
ଦଷିଣ ପଷ : |x| – |y| = \(||\frac{2}{3}|-|-\frac{1}{2}|=|\frac{2}{3}-\frac{1}{2}|=|\frac{4-3}{6}|=\frac{1}{6}\)
∴ ଏଠାରେ lx – y| > lxl + lyl   …..(i)
ସେହିପରି ମନେକବ x = \(\frac{2}{3}\) ଓ y = \(\frac{1}{5}\)
ବାମପଷ : |x – y| = \(|\frac{2}{3}-\frac{1}{5}|=|\frac{10-3}{15}|=\frac{7}{15}\)
ଦଷିଣ ପଷ : ||x| – |y|| =\(| |\frac{2}{3}|-|\frac{1}{5}|| \mid=|\frac{2}{3}-\frac{1}{5}|=|\frac{10-3}{15}|=|\frac{7}{15}|=\frac{7}{15}\)
∴ lx – y| = lxl – lyl   …..(ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଲବା |x – y| ≥ |x| – |y|

Question 20.
ସରଳ କର :

(i) \(\left((\sqrt[n]{a})^{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}\) a > 0, n ∈ N
ସମାଧାନ:
= \((\sqrt[n]{a})^n=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n=a^{n \times \frac{1}{n}}\) = a¹ = a

(ii) \(\left(\sqrt[3]{3^3}\right)^{\sqrt[3]{3}}\)
ସମାଧାନ:
= \(\left\{(\sqrt[3]{3})^{\sqrt[3]{3}}\right\}^{3^{\frac{2}{3}}}=\left\{(\sqrt[3]{3})^{3^{\frac{1}{3}}}\right\}^{3^{\frac{2}{3}}}=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{3^{\frac{1+2}{3}}}=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{3^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}}=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{3^3}=3^{\frac{13}{3} \times 3}\) = 3¹ = 3

(iii) \(27^{1 \frac{1}{3}} \times \sqrt{\frac{1}{9}} \div 81^{\frac{1}{4}}\)
ସମାଧାନ:
= \(27^{\frac{4}{3}} \times \frac{1}{3} \div\left(3^4\right)^{\frac{1}{4}}\)
= \(\left(3^3\right)^{\frac{4}{3}} \times \frac{1}{3} \div 3^{4 \times \frac{1}{4}}=3^{3 \times \frac{4}{3}}\) × 3^-1 ÷ 3 = 3⁴ × 3^-1 ÷ 3 = 3^4-1-1 = 3² = 9

Question 21.
ଗୁଣଫଳ ନିଶୁଯୁ କର ।

(i) \(\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)\) (a > 0, b > 0)
ସମାଧାନ:

(ii) \(\left(1-a^{\frac{1}{4}}\right)\left(1+a^{\frac{1}{4}}\right)\left(1+a^{\frac{1}{2}}\right)\) (a > 0)
ସମାଧାନ:

(iii) \(\left(1+a^{\frac{1}{2}}\right)\left(1+a^{\frac{1}{4}}\right)\left(1+a^{\frac{1}{8}}\right)\left(1+a^{\frac{1}{16}}\right)\left(1+a^{\frac{1}{32}}\right)\left(1-a^{\frac{1}{32}}\right)\) (a > 0)
ସମାଧାନ:

(iv) \((\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\left(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x y}+\sqrt[3]{y^2}\right)\) (x > 0, y > 0)
ସମାଧାନ:

(v) \(\left(x^{-1}+x^{-\frac{1}{2}} \cdot y^{-\frac{1}{2}}+y^{-1}\right)\left(x^{-1}-x^{-\frac{1}{2}} \cdot y^{-\frac{1}{2}}+y^{-1}\right)\) (x > 0, y > 0)
ସମାଧାନ:

Question 22.
ସରଳ କର :

(i) \(\sqrt[3]{\mathbf{x}^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{3}} z^{\frac{1}{3}}}+(x y z)^{\frac{1}{3}}\)
ସମାଧାନ:

(ii) \(\sqrt[3]{\mathbf{x}^2 \mathbf{y}^4 z^{-1}}+\sqrt{\mathbf{x}^{-\frac{2}{3}} \mathbf{y}^2 z^{-\frac{1}{3}}}\) (x > 0, y > 0, z > 0)
ସମାଧାନ:

Question 23.
{x, y, z, a, b, c} ⊂ R ଓ x > 0, y > 0, z > 0 ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ

(i) \(\sqrt{\mathbf{x}^{-1} y} \times \sqrt{\mathbf{y}^{-1} z} \times \sqrt{\mathbf{z}^{-1} \mathbf{x}}\) = 1
ସମାଧାନ:

(ii) \(\left(\begin{array}{l}
x^a \\
x^b
\end{array}\right)^{\frac{1}{a b}} \times\left(\frac{x^b}{x^c}\right)^{\frac{1}{b c}} \times\left(\frac{x^c}{x^a}\right)^{\frac{1}{c a}}\) = 1 (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0)
ସମାଧାନ:

(iii) \(\left(x^{\frac{1}{a-b}}\right)^{b-c} \times\left(x^{\frac{1}{b-c}}\right)^{c-a} \times\left(x^{\frac{1}{c-a}}\right)^{\mathrm{a}-\mathrm{b}}\) = 1 [a, b ଓ c [ର ମୂଲ୍ୟ ଅସମାନ]
ସମାଧାନ:

Question 24.
(i) a = \(2^3-2^{-\frac{1}{3}}\) ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, 2a³ + 6a = 3
ସମାଧାନ:

(ii) a = \(x^3-x^{-\frac{1}{3}}\) ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, a³ + 3a = x – \(\frac{1}{x}\)
ସମାଧାନ:

Question 25.
xର ମୂଲ୍ୟ ନିବୂପଶ କର‍ ।

(i) 3^x+1 = 9
ସମାଧାନ:
3^x+1 = 9
⇒ 3^x+1 = 3²
⇒ x + 1 = 2
⇒ x = 2 – 1
⇒ x = 1

(ii) 2^2x+1 = 8
ସମାଧାନ:
2^2x+1 = 8
⇒ 2^2x+1  = 2³
⇒ 2x + 1 = 3
⇒ 2x = 3 – 1
⇒ 2x = 2
⇒ x = \(\frac{2}{2}\) = 1

(iii) (√2)^2x-1 = 1
ସମାଧାନ:
(√2)^2x-1 = 1
⇒ \(2^{\frac{2 x-1}{2}}\) = 2⁰
⇒ \(\frac{2 x-1}{2}\) = 0
⇒ 2x – 1 = 0
⇒ 2x = 1
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)

Question 26.
ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ଓ ଆଲୋଚିତ ଅନ୍ୟ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଅଭେଦଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରତିପାଦନ କର ।

(i) a(a – b) = a² – ab
ସମାଧାନ:
a(a – b) = a.a – ab (ବଶ୍ନ ନିୟମ)
= a² – ab (ସଂଞା)
∴ a(a – b) = a² – ab (ପ୍ରମାଶିଢ)

(ii) (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
ସମାଧାନ:
(a + b)² = (a + b). (a + b) (ସଂଞା)
= a(a + b) +b(a + b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= a.a + a.b + b.a + b.b (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= a² + ab + ba+ b²  (ସଂଞା)
= a² + ab + ab+ b² (କ୍ମମବିନିମୟୀ ନିୟମ)
= a² + 2ab + b²(ସଂଞା)
(a – b)² = (a – b). (a – b) (ସଂଞା)
= a(a – b) +b(a – b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= a.a – a.b – b.a + b.b (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= a² – ab – ba + b²  (ସଂଞା)
= a² – ab – ab + b² (କ୍ମମବିନିମୟୀ ନିୟମ)
= a² – 2ab + b²(ସଂଞା)

(iii) (a + b) (a – b) = a² – b²
ସମାଧାନ:
(a + b) (a – b) = a(a – b) + b(a – b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= a.a – a.b + b.a – b.b (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= a² – ab + ba – b²(ସଂଞା)
= a² – ab + ab – b² (କ୍ମମବିନିମୟୀ ନିୟମ)
= a² – b²
∴ (a + b) (a – b) = a² – b²

(iv) (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
ସମାଧାନ:
(a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b) (ସଂଞା)
= {a(a + b) +(a + b)} (a + b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= (a.a + a.b + b.a + b.b) (a + b) (ସଂଞା)
= (a² + ab + ba + b²) (a + b) (ସଂଞା)
= (a² + ab + ab + b²) (a + b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= (a² + 2ab + b²) (a + b) (ସଂଞା)
= a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²) (ବଶ୍ନନ)
= a.a² + a.2ab + a.b² + b.a² + b.2ab + b.b² (ବଶ୍ନନ)
= a³ + 2a²b + 2ab² + b³ + 2ab² + b³ (ସଂଞା)
= a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
∴ (a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b)
(a – b)³ = (a – b) (a – b) (a – b) (ସଂଞା)
= {a(a – b) +(a – b)} (a – b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= (a.a – a.b – b.a + b.b) (a – b) (ସଂଞା)
= (a² – ab – ba + b²) (a – b) (ସଂଞା)
= (a² – ab – ab + b²) (a – b) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= (a² – 2ab + b²) (a – b) (ସଂଞା)
= a(a² – 2ab + b²) – b(a² – 2ab + b²) (ବଶ୍ନନ)
= a.a² – a.2ab + a.b² – b.a² + b.2ab – b.b² (ବଶ୍ନନ)
= a³ – 2a²b + 2ab² – b³ + 2ab² – b³ (ସଂଞା)
= a³ – 2a²b + ab² – ba² + 2ab² – b³ (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ (ସଂଞା)
∴ (a – b)³ = (a – b) (a – b) (a – b)

(v) (a + b) (a² – ab + b²) = a³ + b³
ସମାଧାନ:
(a + b) (a² – ab + b²) = a(a² – ab + b²) + b(a² – ab + b²) (ବଶ୍ନନ)
= a.a² – a.ab + a.b² + b.a² – b.ab + b.b² (ବଶ୍ନନ)
= a³ – a²b + a.b² + b.a² – ab² + b³ (ସଂଞା)
= a³ – a²b + a.b² + a²b – ab² + b³ (କ୍ମମବିନିମୟୀ)
= a³ + b³

(vi) (a – b) (a² + ab + b²) = a³ – b³
ସମାଧାନ:
(a – b) (a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) – b( (a² + ab + b²) (ବଶ୍ନନ ନିୟମ)
= a.a² + a.ab + a.b² – b.a² – b.ab – b.b² (ବଶ୍ନନ)
= a³ + a²b + a.b² – b.a² – ab² – b³ (ସଂଞା)
= a³ + a²b + a.b² – a²b – ab² – b³ (କ୍ମମବିନିମୟୀ)
= a³ – b³

Question 27.
x ∈ R, x ≠ 0, a, b, c ∈ R ହେଲେ ପ୍ରମାଶି କର ଯେ \(\frac{1}{1+x^{b-a}+x^{c-a}}+\frac{1}{1+x^{c-b}+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{a-c}+x^{b-c}}\) = 1
ସମାଧାନ:

Question 28.
ନିମ୍ନଲିଖତ କ୍ଷେତ୍ରରେ x ର ମାନ ନିରୂପଣ କର :

(i) |x – 3| = 7
ସମାଧାନ:
|x – 3| = 7
ଯତି x – 3 ≥ 0 ⇒ |x – 3| = x – 3
∴ x – 3 = 7 ⇒ x = 3 + 7 = 10
ଯତି x – 3 ≤ 0 ⇒ |x – 3| = -(x – 3)
∴ -(x – 3) = 7 ⇒ -x + 3 = 7 ⇒ x = -7 + 3 ⇒ x = -4
∴ ନଣ୍ତେୟ ସମାଧାନ = {-4, 10}

(ii) |x + 1| = 11
ସମାଧାନ:
|x + 1| = 11 ଯତି x + 1 ≥ 0 ⇒ |x + 1| = x + 11
∴ x + 1 = 11 ⇒ x = 11 – 1 = 10
ଯତି x + 1 ≤ 0 ⇒ |x + 1| = -(x + 1)
∴ -(x + 1) = 11 ⇒ -x – 1 = 11 ⇒ -x = 11 + 1 = 12
⇒ x = -12
∴ ନଣ୍ତେୟ ସମାଧାନ = {10, -12}

(iii) |2x – 1| = 3
ସମାଧାନ:
|2x – 1| = 3 ଯତି 2x – 1 ≥ 0 ⇒ |2x – 1| = 2x – 1
∴ 2x – 1 = 3 ⇒ 2x = 3 + 1 = 4 ⇒ x = \(\frac{4}{2}\) = 2
ଯତି 2x – 1 ≤ 0 ⇒ |2x – 1| = -(2x – 1)
∴ -(2x – 1) = 3 ⇒ -2x + 1 = 3 ⇒ -2x = 3 – 1 = 2
⇒ x = \(\frac{2}{-2}\) = -1
∴ ନଣ୍ତେୟ ସମାଧାନ = {2, -1}

(iv) |3x + 4| = 5
ସମାଧାନ:
|3x + 4| = 5 ଯତି 3x + 4 ≥ 0 ⇒ |3x + 4| = 3x + 4
∴ 3x + 4 = 5 ⇒ 3x = 5 – 4 = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{3}\)
ଯତି 3x + 4 ≤ 0 ⇒ |3x + 4| = -(3x + 4)
∴ -(3x + 4) = 5 ⇒ -3x – 4 = 5
⇒ -3x = 5 + 4 = 9 ⇒ x = \(\frac{9}{-3}\) = -3
∴ ନଣ୍ତେୟ ସମାଧାନ = {\(\frac{1}{3}\), -3}

Question 29.
ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ରାଶିମାନଙ୍କୁ ପରିମେୟ ଓ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।

(i) \(\frac{3}{3+\sqrt{5}}\)
ସମାଧାନ:
\(\frac{3}{3+\sqrt{5}}=\frac{3(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=\frac{9-3 \sqrt{5}}{3^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{9-3 \sqrt{5}}{9-5}=\frac{9-3 \sqrt{5}}{4}=\frac{9}{4}-\frac{3 \sqrt{5}}{4}\)

(ii) \(\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{8}}\)
ସମାଧାନ:

(iii) \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\)
ସମାଧାନ:

Question 30.
ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଅସମୀକରଣମାନଙ୍କୁ ସମାଧାନ କର ।

(i) |x| = \(\frac{1}{2}\)
ସମାଧାନ:
|x| < \(\frac{1}{2}\) ⇒ –\(\frac{1}{2}\) < x < \(\frac{1}{2}\) (ସୂଢ୍ର ଅନୁସାରେ)
(a) ଯତି x ≥ 0 ହୁଏ ତେବେ |x| = x ∴ x < \(\frac{1}{2}\)
(b) ଯତି x < 0 ହୁଏ ତେବେ |x| = -x ∴ -x < \(\frac{1}{2}\) ⇒ x > –\(\frac{1}{2}\)
a ଓ bରୂ –\(\frac{1}{2}\) < x < \(\frac{1}{2}\)

(ii) |x| > 1
ସମାଧାନ:
|x| > 1
⇒ x < -1 କିମୃ‍। x > 1 (ସୂଢ୍ର ଅନୁସାରେ)
(a) ଯତି x ≥ 0 ହୁଏ ତେବେ |x| = x ∴ x > 1
(b) ଯତି x < 0 ହୁଏ ତେବେ |x| = -x ∴ -x > 1 ⇒ x < -1
a ଓ bରୂ ପାକବା x > 1 କିମୃ‍। x < -1

(iii) |3x| ≤ 5
ସମାଧାନ:
|3x| ≤ 5 ⇒ -5 ≤ 3x ≤ 5
⇒ \(\frac{-5}{3}\) ≤ \(\frac{3x}{3}\) ≤ \(\frac{5}{3}\) ⇒ \(\frac{-5}{3}\) ≤ a ≤ \(\frac{5}{3}\)

(iv) |2x| ≥ 3
ସମାଧାନ:
|2x| ≥ 3 ⇒ -3 ≥ 2x ≥ 3
⇒ 2x ≤ -3 କିମୃ‍। 2x ≥ 3 ⇒ \(\frac{2x}{2}\) ≤ -3 କିମୃ‍। 2x ≥ 3
⇒ x ≤ -3 ⇒ \(\frac{2x}{2}\) ≥ \(\frac{3}{2}\) ⇒ x ≥ \(\frac{3}{2}\) ∴ x ≤ -3 କିମୃ‍। x ≥ \(\frac{3}{2}\)

(v) |3x – 1| ≤ 7
ସମାଧାନ:
|3x – 1| ≤ 7 ⇒ -7 ≤ 3x – 1 ≤ 7
⇒ -7 + 1 ≤ 3x – 1 + 1 ≤ 7 + 1 ⇒ -6 ≤ 3x ≤ 8
⇒ \(\frac{-6}{3}\) ≤ \(\frac{3x}{3}\) ≤ \(\frac{8}{3}\) ⇒ -2 ≤ x ≤ \(\frac{8}{3}\)

(vi) |7x + 3| ≥ 5
ସମାଧାନ:
|7x + 3| ≥ 5
ସୂଢ୍ର ଅନୁସାରେ -5 ≥ 7x + 3 ≥ 5
⇒ 7x + 3 ≤ -5 କିମୃ‍। 7x + 3 ≥ 5
⇒ 7x + 3 – 3 ≤ -5 -3 ⇒ 7x + 3 – 3 ≥ 5 – 3
⇒ 7x ≤ -8 ⇒ 7x ≥ 2
⇒ \(\frac{7x}{7}\) ≤ \(\frac{-8}{7}\) ⇒ \(\frac{7x}{7}\) ≥ \(\frac{2}{7}\)
⇒ x ≤ \(\frac{-8}{7}\) ⇒ x ≥ \(\frac{2}{7}\)
∴ x ≤ \(\frac{-8}{7}\) କିମୃ‍। x ≥ \(\frac{2}{7}\)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 2 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(c)

Question 1.
ନିମ୍ନ ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖି ପରବର୍ତୀ ଦୁଇଟି ଧାଡ଼ି ଲେଖ ।
(a) 1 × 9 +1= 10
12 × 9 + 2 = 110
123 × 9 + 3 = 1110

(b) 1 × 8 + 1 = 9
12 × 8 + 2 = 98
123 × 8 + 3 = 987

(c) 6 × 11 = 66
89 × 101 = 8989
706 × 1001 = 706706

(d) 1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

(e)

(f) 2² – 1² = 2 + 1 = 3
3² – 2² = 3 + 2 = 5
4² – 3² = 4 + 3 = 7
5² – 4² = 5 + 4 = 9
6² – 5² = 6 + 5 = 11
Solution:
(a) 1234 × 9 + 4 = 11110
12345 × 9 + 5= 111110

(b) 1234 × 8 + 4 = 9876
12345 × 8 + 5 = 98765

(c) 5004 × 10001 = 50045004
30002 × 100001 = 3000230002

(d) 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24
25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 31 + 32 + 33 + 34 + 35

(e)

(f) 7² – 6² = 7 + 6 = 13
8² – 7² = 8 + 7 = 15

Question 2.
ନିମ୍ନ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ (ଶୂନ୍ୟ ବର୍ଗଚିତ୍ର)ଗୁଡ଼ିକୁ ଦୁଇ ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ପୂରଣ କର, ଯେପରିକି ଯେଉଁପଟରୁ ମିଶାଇଲେ (ଉଲ୍ଲମ୍ବ ବା ଭୂ-ସମାନ୍ତର ଭାବେ) ମିଶାଣଫଳ
(i) 123 ହେବ ( ଚିତ୍ର-1 )
(ii) 161 ହେବ ( ଚିତ୍ର-2)

ଉ –
123 – 29 = 94 = 11 + 83 = 23 + 71
123 – 83 = 40 = 11 + 29 = 17 + 23
ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 ……….

17 + 11 = 28 161 – 28 = 133 (ତିନୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିରକରିବା, ଯାହାର ଯୋଗଫଳ 133)
17 +43 = 60 161 – 60 = 101 (ତିନୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିରକରିବା, ଯାହାର ଯୋଗଫଳ 101)
19 +31 + 83 = 133
11 + 29 +61 = 101

Question 3.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅକ୍ଷର ପାଇଁ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ (0 ରୁ 9 ମଧ୍ୟରେ) ଅଙ୍କ ବାଛ; ଯେପରିକି ଦତ୍ତ ସର୍ଭଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ନିରୂପଣ ହୋଇପାରିବ । କେଉଁ ଅକ୍ଷର ପାଇଁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କଲ ଲେଖ ।
(i) xy = yx
(ii) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
(iii) A k C × AC = CCC
(iv) ABCD × 9 = DCBA
(v) AB + BA = P(A + B)
(vi) AB – BA = P (A – B) (A > B)
(vii) ABC + BCA + CAB = 111 (A + B + C) .
(viii) ABC – CBA = 99 (A – C)
ଉ –
ଉପରୋକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ ପାଇଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଭାବେ କୌଣସି ସୂତ୍ର ନାହିଁ । ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ନିଜର ବୋଧଶକ୍ତି ବଳରେ ଉକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କରିପାରିବେ ।
(i) x = 6 ଓ y = 3 ହେଲେ, xy = 6 × 3 = 18 ଏବଂ yx = 3 × 6 = 18 ∴ xy = yx

(ii) x = 2, y = 3 ଓ z = 6 ହେଲେ, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+2+1}{6}=\frac{6}{6}=1\) ହେବ।

(iii) A × C × AC = CCC
A = 3, C = 7 ହେଲେ, AC = 37, CCC = 777, 3 × 7 × 37 = 777

(iv) A = 1, B= O, C = 8, D = 9 ହେଲେ,
ABCD × 9 = 1089 × 9 = 9801 = DCBA

(v) A = 3, B = 4 ଓ P = 7 ହେଲେ, A + B = 7
AB + BA = 34 + 43 = 77 = P(A + B)

(vi) A = 8, B = 3 ଓ P = 4 ହେଲେ, (A – B) = 8 – 3 = 5
∴ AB – BA = 83 – 38 = 45 = p(A – B)

(vii) A = 3, B = 2 ଓ C = 1 ହେଲେ,
∴ ABC + BCA + CAB = 321 + 213 + 132 = 111(3 + 2 + 1) = 111 (A + B + C)

(viii)A = 3, B = 2 ଓ C = 1 ହେଲେ,
∴ ABC – CBA = 321 – 123 = 99(3 – 1) = 99(A – C)

Question 4.
(a) ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ‘2” ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?
24, 127, 210, 86, 95, 437, 251
ଉ –
24, 210, 86 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
24, 210, 8ରେ ଶେଷ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ 4, 0 ଓ 8 ହୋଇଥିବାରୁ ଏଗୁଡ଼ିକ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

(b) ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଏବଂ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ 2 ଓ 5 ଉଭୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?
105, 214, 420, 235, 930, 715
ଉ –
105, 420, 235, 930, 715 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ, 420 ଓ 930 ଉଭୟ 2 ଓ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
105, 420, 235, 930, 715 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକକ ଅଙ୍କ 5 ଓ 0 ଅଟେ ।
ତେଣୁ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
କିନ୍ତୁ 420 ଓ 930 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟର ଏକକ ଅଙ୍କ 0 ହୋଇଥ‌ିବାରୁ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ 10 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତାହା 2 ଓ 5 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

(c) ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଏବଂ ଏଥୁମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ 2 ଓ 3 ଉଭୟଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?
78, 403, 504, 917, 235, 216, 774, 804
ଉ –
78 ରେ 7 + 8 = 15 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
403 ରେ 4 + 0 + 3 = 7 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
504 ରେ 5 + 0 + 4 = 9 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
917 ରେ 9 + 1 + 7 = 17 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
235 ରେ 2 + 3 + 5 = 10 ଏହା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
216 ରେ 2 + 1 + 6 = 9 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
774 ରେ 7 + 7 + 4 = 18 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
804 ରେ 8 + 0 + 4 = 12 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
∴ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 78, 504, 216, 774 ଓ 804 । ଏ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମହେତୁ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା 2 ଓ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।

(d) ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ; କିନ୍ତୁ 9 ଦ୍ବାରା ନୁହେଁ ?
702, 501, 213, 102, 675, 462
ଉ –
702 ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 7 + 0 + 2 = 9, ଏହା ଉଭୟ 3 ଓ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଓ 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
501 ରେ 5 + 0 + 1 = 6, ଏହା 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ; କିନ୍ତୁ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
213 ରେ 2 + 1 + 3 = 6, ଏହା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ; କିନ୍ତୁ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
102 ରେ 1 + 0 + 2 = 3, ଏହା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
675 ରେ 6 + 7 + 5 = 18, ଏହା 3 ଓ 9 ଉଭୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଓ 9 ଉଭୟ ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
462 ରେ 4 + 6 + 2 = 12, ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
501, 213, 102, 462 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ; କିନ୍ତୁ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।

Question 5.
ତାରକା (*) ଚିହ୍ନିତ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଅଙ୍କଦ୍ଵାରା ପୂରଣକଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି
(i) 3 ଦ୍ବାରା (ii) 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ?
(a) 7*5, (b) 3*2, (c) 17*, (d)14*, (e) 2*2
ଉ-
* ଚିହ୍ନିତ ସ୍ଥାନରେ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖ୍ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାମାନ ରହିବ ।
(a) 0 (b) 1 (c) 1 (d) 1 (e)
* ଚିହ୍ନିତ ସ୍ଥାନରେ ୨ ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖ୍ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାମାନ ରହିବ ।
(a) 6 (b) 4 (c) 1 (d) 4 (e) 5

Question 6.
ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।
(i) ୨ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
(ii) 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
(iii) 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା 6 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
(iv) 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
(v) 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା 2 ଓ 3 ଉଭୟ ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
ଉ-
(i) ଠିକ୍
(ii) ଭୁଲ୍
(iii) ଭୁଲ୍
(iv) ଠିକ୍
(v) ଠିକ୍

Question 7.
ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।
(i) 710, 10 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ; କିନ୍ତୁ 5 ଦ୍ଵାରା ନୁହେଁ ।
(ii) 105, 3 ଓ 5 ଉଭୟ ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
(iii) 897, 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ; କିନ୍ତୁ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
(iv) 14641 ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
(v) 432 ସଂଖ୍ୟାଟି 3,6 ଓ 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
ଉ-
(i) ଭୁଲ୍
(ii) ଠିକ୍
(iii) ଭୁଲ୍
(iv) ଠିକ୍
(v) ଠିକ୍

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class History Notes Chapter 9 ସାମରିକ ଗୋଷ୍ଠୀ ଗଠନ : ସଶସ୍ତ୍ରୀକରଣ ପାଇଁ ପ୍ରତିଦ୍ବନ୍ଦିତା will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 History Notes Chapter 9 ସାମରିକ ଗୋଷ୍ଠୀ ଗଠନ : ସଶସ୍ତ୍ରୀକରଣ ପାଇଁ ପ୍ରତିଦ୍ବନ୍ଦିତା

ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

→ ଉପକ୍ରମ :

• ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧ ଯୋଗୁଁ ପୃଥ‌ିବୀ ଦୁଇଟି ଗୋଷ୍ଠୀରେ ବିଭକ୍ତ ହେଲା; ଯଥା – ସାମ୍ୟବାଦୀ ଗୋଷ୍ଠୀ ଏବଂ ପୁଞ୍ଜିବାଦୀ ଗୋଷ୍ଠୀ ।
• ପରେ ଉଭୟ ଗୋଷ୍ଠୀ ପରସ୍ପର ସପକ୍ଷରେ ସାମରିକ ମେଣ୍ଟମାନ ଗଠନ କରିଥିଲେ ।
• ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧ ସମୟରେ ମହାକାଶ ଗବେଷଣା, ଆଣବିକ ଅସ୍ତ୍ର ପ୍ରସ୍ତୁତି ପାଇଁ ପ୍ରତିଦ୍ବନ୍ଦିତା, ଚନ୍ଦ୍ରପୃଷ୍ଠରେ ମାନବର ଅବତରଣ,ନୂତନ ପ୍ରଯୁକ୍ତି ବିଦ୍ୟା ଯୁଗର ଅୟମାରମ୍ଭ ଘଟିଥିଲା ।

ବିଷୟବସ୍ତୁ ରୂପରେଖ:

1. ଉତ୍ତର ଆଟ୍‌ଲାଣ୍ଟିକ୍ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (NATO)
2. ଆନ୍‌ସ୍ ରାଜିନାମା (ANZUS PACT)
3. ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ ଏସିଆ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (SEATO)
4. ବାଗଦାଦ୍ ଚୁକ୍ତି
5. କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (CENTO)
6. ୱାରସ୍ ଚୁକ୍ତି (WARSAW PACT)
7. ଦେର୍ତା (DETENTE)
8. ନୂତନ ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧ (New Cold War)

→ ଉତ୍ତର ଆଟ୍‌ଲାଣ୍ଟିକ୍ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (NATO) :

• ପଶ୍ଚିମ ଓ ମଧ୍ୟ ଇଉରୋପରେ ସୋଭିଏତ୍ ରୁଷର ପ୍ରତିପତ୍ତିକୁ ପ୍ରତିହତ କରିବାପାଇଁ ୧୯୪୯ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ ୪ ତାରିଖରେ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକା ନେତୃତ୍ୱରେ ଉତ୍ତର ଆଟ୍‌ଲାଣ୍ଟିକ୍ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ ବା NATO ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

→ ଆନ୍‌ସ୍ ରାଜିନାମା (ANZUS PACT) :

• ୧୯୫୧ ମସିହାରେ ଆନ୍‌ସ୍ ରାଜିନାମା ସ୍ବାକ୍ଷରିତ ହୋଇଥିଲା । ଏଥିରେ ଅଷ୍ଟ୍ରେଲିଆ, ନିଉଜିଲାଣ୍ଡ ଓ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକା ଭାଗ ନେଇଥିଲେ ।
• ପ୍ରଶାନ୍ତ ମହାସାଗରୀୟ ଅଞ୍ଚଳରେ ଶାନ୍ତି ପ୍ରତିଷ୍ଠା ତଥା ମିଳିତ ପ୍ରତିରକ୍ଷା ବ୍ୟବସ୍ଥାର ପରିଚାଳନା ଏହାର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ।

→ ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ ଏସିଆ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (SEATO) :

1. ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ ଏସିଆରେ ରୁଷ୍ ଓ ସାମ୍ୟବାଦୀ ଚୀନ୍‌ର ପ୍ରଭାବ ହ୍ରାସ କରିବାପାଇଁ ୧୯୫୪ ମସିହା ସେପ୍ଟେମ୍ବର ୮ ତାରିଖରେ ଆମେରିକା ନେତୃତ୍ୱରେ ଏହି ଚୁକ୍ତି ସ୍ୱାକ୍ଷରିତ ହୋଇଥିଲା ।
2. ୧୯୪୮ ମସିହାରେ ବ୍ରସେଲସ୍ ଚୁକ୍ତି ଆଧାରରେ ପଶ୍ଚିମ ଇଉରୋପରେ ଐକ୍ୟ ପ୍ରତିଷ୍ଠା ନିମନ୍ତେ ଯୋଜନା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇଥିଲା ।

→ ବାଦ୍ ଚୁକ୍ତି :

• ୧୯୫୫ ମସିହାରେ ବାର୍‌ଦ୍ୱାରେ ବ୍ରିଟେନ୍, ତୁର୍କୀ, ଇରାକ୍, ଇରାନ୍ ଓ ପାକିସ୍ତାନ ମଧ୍ୟରେ ଏହି ଚୁକ୍ତି ସ୍ଵାକ୍ଷରିତ ହୋଇଥିଲା ।

→  କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (CENTO) :

• ୧୯୫୮ ମସିହାରେ ବାଦ୍ ଚୁକ୍ତିରୁ ଇରାକ୍ ଓହରିଯିବାରୁ ଏହାକୁ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ କୁହାଗଲା ଓ ଏଥିରେ ଆମେରିକା ନୂତନ ସଭ୍ୟଭାବେ ଯୋଗଦେଲା ।

→ ୱାରସ୍ ଚୁକ୍ତି (WARSAW PACT) :

• ୧୯୫୫ ମସିହା ମେ ୧ ତାରିଖରେ ପୋଲାଣ୍ଡର ରାଜଧାନୀ ୱାରସ୍ତାରେ ଏହି ଚୁକ୍ତି ସ୍ୱାକ୍ଷରିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହା ସୋଭିଏତ୍ ରୁଷ୍ ନେତୃତ୍ୱରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା । ପୁଞ୍ଜିବାଦୀ ରାଷ୍ଟ୍ରମାନଙ୍କର ଆକ୍ରମଣକୁ ମିଳିତଭାବେ ପ୍ରତିରୋଧ କରିବା ଏହାର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ।

→ ଦୈର୍ତା (DETENTE) :

• ୧୯୬୯ ମସିହାରୁ ୧୯୭୮ ମସିହା ମଧ୍ୟରେ ସୋଭିଏତ୍ ରୁଷ୍ ଓ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକା ମଧ୍ୟରେ ଉତ୍ତେଜନା ହ୍ରାସ ପାଇଥିଲା । ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧର ଏହି ପରିସ୍ଥିତିକୁ ଦୈର୍ତା (Detente) କୁହାଯାଉଥିଲା । ଏହି ସମୟରେ ଦୁଇ ବୃହତ୍ ଶକ୍ତି ମଧ୍ୟରେ ପାରସ୍ପରିକ ସହଯୋଗିତା ଦେଖାଦେଇଥିଲା ।

→ ନୂତନ ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧ (New Cold War) :

• ୧୯୭୯ ମସିହାରେ ଇରାନ୍ ବିଦ୍ରୋହ, ଚୀନ୍ – ଭିଏତ୍‌ନାମ୍ ଯୁଦ୍ଧ, ଏଲସାଲଭେଡ଼ରରେ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକାର ସଂପୃକ୍ତି ଏବଂ ଆଫଗାନିସ୍ତାନରେ ସୋଭିଏତ୍ ରୁଷର ହସ୍ତକ୍ଷେପ ଫଳରେ ଦୈତାର ଅବସାନ ହେଲା ଓ ଦୁଇ ମହାଶକ୍ତି ମଧ୍ୟରେ ପୁନଃ ଉତ୍ତେଜନା ଓ ଦ୍ବନ୍ଦ୍ବ ପ୍ରକାଶ ପାଇଲା ।
  
• ପୋଲାଣ୍ଡ, ଚେକୋସ୍ଲୋଭାକିଆ, ଆଲ୍‌ବାନିଆ, ଯୁଗୋସ୍ଲୋଭିଆ, ବୁଲଗେରିଆ, ହଙ୍ଗେରୀ, ପୂର୍ବ ଜର୍ମାନୀ ପ୍ରଭୃତି ଦେଶରେ ସାମ୍ୟବାଦୀ ସରକାର ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହା ପୁରାତନ ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧଠାରୁ ଭୟଙ୍କର ଜଣାଯାଉଥିଲେ ମଧ୍ୟ ଅସ୍ଥାୟୀ ଥିଲା ।
• ୧୯୮୫ ମସିହାରେ ସୋଭିଏତ୍ ରୁଟ୍‌ରେ ମିଖାଇଲ୍ ଗୋର୍ବାଚେର୍‌ଙ୍କ ସଂସ୍କାରମୂଳକ ନୀତି ପ୍ରଣୟନ ଫଳରେ ଉଭୟ ମହାଶକ୍ତିଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଶାନ୍ତି ଓ ସହାବସ୍ଥାନ ଭାବ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିଲା ।
• ୧୯୯୧ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ମାସରେ ସୋଭିଏତ୍ ସଂଘର ବିଲୟ ଘଟିଥିଲା ।
• ୧୯୯୨ ମସିହାରେ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକା ରାଷ୍ଟ୍ରପତି ଜର୍ଜ ବୁଶ୍ ଓ କେନ୍ଦ୍ର ରୁଷ୍ ମଣ୍ଡଳ (Russian Federation)ର ରାଷ୍ଟ୍ରପତି ବୋରିସ୍ ୟେଲ୍‌ସିନ୍ ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧର ପରିସମାପ୍ତି ଘୋଷଣା କରିଥିଲେ ।

ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦସମୂହ ଓ ପ୍ରମୁଖ ଘଟଣାବଳୀ:

୧୯୪୯ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଏପ୍ରିଲ୍ ୪) ଉତ୍ତର ଆଟ୍‌ଲାଣ୍ଟିକ୍ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (NATO) ଗଠନ ।
୧୯୫୧ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଅଷ୍ଟ୍ରେଲିଆ, ନିଉଜିଲାଣ୍ଡ ଏବଂ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକା ମଧ୍ୟରେ ଆନ୍‌ସ୍ ରାଜିନାମା ସ୍ବାକ୍ଷରିତ ।
୧୯୫୨ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଗ୍ରୀସ୍ ଓ ତୁର୍କୀର ନାଟୋରେ ଯୋଗଦାନ; (ମେ ୨୭) ଇଉରୋପୀୟ ପ୍ରତିରକ୍ଷା ଗୋଷ୍ଠୀର ପ୍ରତିଷ୍ଠା ନିମନ୍ତେ ପ୍ୟାରିସ୍ଠାରେ ଏକ ଚୁକ୍ତି ସ୍ୱାକ୍ଷରିତ ।
୧୯୫୪ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ସେପ୍ଟେମ୍ବର ୮) ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ ଏସିଆ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (SEATO) ଗଠନ ।
୧୯୫୫ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଜର୍ମାନୀ ସଂଯୁକ୍ତ ସାଧାରଣତନ୍ତ୍ରର ନାଟୋରେ ଯୋଗଦାନ; ବାଗ୍‌ଦାଦ୍ ଚୁକ୍ତି ସ୍ୱାକ୍ଷରିତ; (ମେ ୧) ରୁଷ୍ ଏବଂ ତା’ର ଅନୁଗାମୀମାନଙ୍କୁ ନେଇ ୱାରସ୍ ଚୁକ୍ତି ସ୍ବାକ୍ଷରିତ ।
୧୯୫୮ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଇରାକ୍ ବାଗ୍‌ଦାଦ୍ ଚୁକ୍ତିରୁ ଓହରିଯିବା ପରେ ଏହି ଚୁକ୍ତିର ନାମ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ ରଖାଗଲା ଏବଂ ଆମେରିକା ଏହାର ସଭ୍ୟ ହେଲା ।
୧୯୭୫ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ ଏସିଆ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନର ପରିସମାପ୍ତି ।
୧୯୭୯ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ନୂତନ ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧର ସୂତ୍ରପାତି ଓ ଦେର୍ତାର ଅବସାନ ।
୧୯୮୫ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ମିଖାଇଲ୍ ଗୋର୍ବାଚେଭ୍ ସୋଭିଏତ୍ ପଲିଟିବ୍ୟୁରୋର ସାଧାରଣ ସମ୍ପାଦକ ଭାବେ ନିର୍ବାଚିତ ।
୧୯୯୧ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଡିସେମ୍ବର ସୋଭିଏତ୍ ସଂଘର ବିଲୟ ।
୧୯୯୨ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକାର ରାଷ୍ଟ୍ରପତି ଜର୍ଜ ବୁଶ୍ ଓ କେନ୍ଦ୍ର ରୁଷ୍ମମଣ୍ଡଳର ରାଷ୍ଟ୍ରପତି ବୋରି ସ୍ ୟେଲସିନ୍‌ଙ୍କଦ୍ଵାରା ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧର ଅବସାନ ଘୋଷଣା ।