Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(a) Textbook Exercise Questions and Answers.
BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(a)
Question 1.
ନିମ୍ନ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
27, 37, 46, 118, 225
ସମାଧାନ :
27² = 27 × 27 = 729,
37² = 37 × 37 = 1369,
46² = 46 × 46 = 2116
118² = 118 × 118 = 13924,
225² = 225 × 225 = 50625
Question 2.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହଁନ୍ତି । କାରଣ ଦର୍ଶାଅ ।
64000, 89722, 2220, 505050, 1057, 23453, 222222
ସମାଧାନ :
64000ର ଶେଷ ତିନିଅଙ୍କ ଶୂନହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
89722ର ଏକକ ଅଙ୍କ 2 ହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ନାହିଁ ।
2220ର ଶେଷରେ ଗୋଟିଏ ଶୂନ ହେତୁ ପୂଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
505050ର ଶେଷରେ ଗୋଟିଏ ଶୂନ ହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
1057ର ଏକକ ଅଙ୍କ 7 ହେତୁ ଏହା ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ନାହିଁ ।
23453ର ଏକକ ଅଙ୍କ 3 ହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
222222ର ଏକକ ଅଙ୍କ 2 ହେତୁ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ନାହିଁ ।
Question 3.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ କେଉଁଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
28, 113, 278, 314, 4315, 23872
ସମାଧାନ :
113, 4315 ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେତୁ ଏମାନଙ୍କ ବର୍ଗ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
28, 278, 314, 23872 ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେତୁ ଏମାନଙ୍କ ବର୍ଗ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
Question 4.
100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ ସ୍ଥିର କର ।
(ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ମଧ୍ୟରେ ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନଥାଏ; ତେବେ ସେମାନେ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟୀ ହେବେ ।)
ସମାଧାନ :
(i) ଆମେ ଜାଣୁ m ∈ N ଓ m > 1 ହେଲେ 2m, m² – 1 ଓ m² + 1 ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।
ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ନିରୂପଣ ପାଇଁ m ଯୁଗ୍ମ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ (m > 1) । ଏଠାରେ m < 10 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।
ତେଣୁ ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ନିରୂପଣ ପାଇଁ m < 10 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।
m = 2, 4, 6 ଓ 8 ହେଲେ ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ ହେବ (4, 3, 5), (8, 15, 17), (12, 35, 37) 3 (16, 63, 65) |
(ii) m (m > 2) ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, m, \((\frac{1}{2})^2\) – 1, \((\frac{1}{2})^2\) + 1 ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।
m = 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 ହେଲେ, ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ ହେବ (4, 3, 5), (6, 8, 10), (8, 15, 17), (10, 24, 26), (12, 35, 37), (14, 48, 50), (16, 63, 65) 8 (18, 80, 82) |
ଏଗୁଡ଼ିକର ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେଲା –
(3, 4, 5), (8, 15, 17), (5, 12, 13), (12, 35, 37), (14, 48, 50), (16, 63, 65) 8 (9, 40, 41) |
(iii) m (m > 1) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, (\(\mathrm{m}, \frac{\mathrm{m}^2-1}{2}, \frac{\mathrm{m}^2+1}{2}\)) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରିୟୀ ହେବ ।
m = 15 ହେଲେ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}\) > 100 ହେବ, ତେଣୁ m < 15 ହେବ ।
m = 3, 5, 7, 9, 11, 13 ହେଲେ, ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61) 3 (13, 84, 85) |
ତେଣୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀଗୁଡ଼ିକ ହେଲା – (4, 3, 5), (8, 15, 17), (12, 35, 37), (16, 63, 65), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61) 3 (13, 84, 85) I
Question 5.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ଦୁଇଟି ବର୍ଗର ଅନ୍ତର ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର । 19, 27, 31, 41, 53
ସମାଧାନ :
\(a=a \times 1=\left(\frac{a+1}{2}\right)^2-\left(\frac{a-1}{2}\right)^2\)
19 = 19 × 1 = \(\left(\frac{19+1}{2}\right)^2-\left(\frac{19-1}{2}\right)^2=\left(\frac{20}{2}\right)^2-\left(\frac{18}{2}\right)^2=10^2-9^2\)
27 = 27 × 1 = \(\left(\frac{27+1}{2}\right)^2-\left(\frac{27-1}{2}\right)^2=\left(\frac{28}{2}\right)^2-\left(\frac{26}{2}\right)^2=14^2-13^2\)
27 = 9 × 3 = \(\left(\frac{9+3}{2}\right)^2-\left(\frac{9-3}{2}\right)^2=\left(\frac{12}{2}\right)^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2=6^2-3^2\)
31 = 31 × 1 = \(\left(\frac{31+1}{2}\right)^2-\left(\frac{31-1}{2}\right)^2=\left(\frac{32}{2}\right)^2-\left(\frac{30}{2}\right)^2=16^2-15^2\)
41 = 41 × 1 = \(\left(\frac{41+1}{2}\right)^2-\left(\frac{41-1}{2}\right)^2=\left(\frac{42}{2}\right)^2-\left(\frac{40}{2}\right)^2=21^2-20^2\)
53 = 53 × 1 = \(\left(\frac{53+1}{2}\right)^2-\left(\frac{53-1}{2}\right)^2=\left(\frac{54}{2}\right)^2-\left(\frac{52}{2}\right)^2=27^2-26^2\)
Question 6.
କେତେକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ସଂଖ୍ୟା ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି । ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗରେ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ । 7, 11, 15, 12, 16
ସମାଧାନ :
(i) ଯେ କୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା m (m > 1) ପାଇଁ (\(\mathrm{m}, \frac{\mathrm{m}^2-1}{2}, \frac{\mathrm{m}^2+1}{2}\)) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।
(ii) ଯେ କୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା m (m > 2) ପାଇଁ (\(m,\left(\frac{m}{2}\right)^2-1,\left(\frac{m}{2}\right)^2+1\)) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।
(i) m = 7 ହେଲେ, \(\frac{\mathrm{m}^2-1}{2}=\frac{7^2-1}{2}=\frac{48}{2}=24\) ଏବଂ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}=\frac{7^2+1}{2}=\frac{50}{2}=25\)
ଏଠାରେ (7, 24, 25) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।
(ii) m = 11 ହେଲେ, \(\frac{\mathrm{m}^2-1}{2}=\frac{11^2-1}{2}=\frac{120}{2}=60\) ଏବଂ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}=\frac{11^2+1}{2}=\frac{122}{2}=61\)
ଏଠାରେ (11, 60, 61) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।
(iii) m = 15 ହେଲେ, \(\frac{\mathrm{m}^2-1}{2}=\frac{15^2-1}{2}=\frac{224}{2}=112\) ଏବଂ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}=\frac{15^2+1}{2}=\frac{226}{2}=113\)
ଏଠାରେ (15, 112, 113) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।
(iv) m = 12 ହେଲେ, \(\left(\frac{m}{2}\right)^2-1=\left(\frac{12}{2}\right)^2-1\) = 36 – 1 = 35 ଏବଂ \(\left(\frac{m}{2}\right)^2+1=\left(\frac{12}{2}\right)^2+1\) = 36 + 1 = 37
ଏଠାରେ (12, 35, 37) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।
(v) m = 16 ହେଲେ, \(\left(\frac{m}{2}\right)^2-1=\left(\frac{16}{2}\right)^2-1\) = 64 – 1 = 63 ଏବଂ \(\left(\frac{m}{2}\right)^2+1=\left(\frac{16}{2}\right)^2+1\) = 64 + 1 = 65
ଏଠାରେ (16, 63, 65) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।
Question 7.
ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସମ୍ବନ୍ଧଗୁଡ଼ିକର ବିଭିନ୍ନ ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖ୍ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) 1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = ……
111111² = ….
(b) 11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = ……….
10000001² = ………
(c) 11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = ………..
101010101² = ………
(d) 1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12²= 13²
4² + 5² + … = 21²
5² + … + 30² = ……²
(e) 11² × (11² ରେ ଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = 222
(ଅର୍ଥାତ୍ 11²(1 + 2+ 1) = 484 = 22²)
111² × (111² ରେ ଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = 333²
1111² × (1111² ରେ ଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = …….
11111² × (11111² ରେ ଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = ………
(f) 7² = 49
67² = 4489
667² = 444889
6667² = 44448889
66667² = ……..
666667² = ……
ଉ –
(a) 11111² = 12345321
111111² = 12345654321
(b) (100001)² = 10000200001
(10000001)² = 100000020000001
(c) (1010101)² = 1020304030201
(101010101)² = 10203040504030201
(d) 4² + 5² + 20² = 21²
5² + 6² + 30² = 31²
(e) (4444)²
(55555)²
(f) (66667)² = 4444488889
(666667)² = 444444888889.
Question 8.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(m+1)² – m² = (m + 1) + m
18² – 17² = ……..
25² – 24² = ………
112² – 111² = ……..
171² – 170² = ………
ଉ –
18² – 17² = 35
25² – 24² = 49
112² – 111² = 223
171² – 170² = 341
Question 9.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଯେଉଁ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ (✓) ଚିହ୍ନ ଏବଂ ଯେଉଁ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଭୁଲ୍ ତା’ ପାଖରେ (✗) ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।
(a) ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାରେ ଥିବା ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ ।
(b) ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(c) କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
(d) ଦୁଇଟି ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଏକ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା
(e) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(f) ଗୋଟିଏ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ।
(g) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ 1 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟିର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ସର୍ବଦା 1 ହେବ ।
ଉ –
(a) ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାରେ ଥିବା ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ । (✗)
(b) ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । (✗)
(c) କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ । (✓)
(d) ଦୁଇଟି ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଏକ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା । (✗)
(e) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । (✓)
(f) ଗୋଟିଏ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା । (✗)
(g) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ 1 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟିର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ସର୍ବଦା 1 ହେବ । (✓)