Class 8

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(b)

Question 1.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ____ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
(b) ______ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
(c) ____ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ, ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(d) ____ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
(e) ____ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି; କିନ୍ତୁ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ନ ହୋଇପାରନ୍ତି ।
(f) ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ, ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମନ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ସମଷ୍ଟି ____ |
(g) ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ, ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମନ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଏହାର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ____ |
Solution:
(a) ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ଚିତ୍ର
(b) ରମ୍ବସ୍
(c) ବର୍ଗଚିତ୍ର
(d) ଆୟତଚିତ୍ର
(e) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
(f) 180°
(g) 180°

Question 2.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ପାଇଁ ଯାହା ସତ୍ୟ ତା’ ପାଖରେ T ଲେଖ ଓ ଯାହା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(a) ବିପରୀତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସର୍ବଦା ସମାନ ।
(b) ବିପରୀତ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ।
(c) କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତଥ୍ୟ କିଛି ନାହିଁ ।
(d) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
(e) ଦୁଇଟି ସ୍ତମିଳ କୋଣର ପରିମାଣ ପରାମର ସାମାନ |
(f) ପ୍ରଦ୍ୟୋଗ କୋଣ ସମ୍ଭୋଗ |
(g) ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ
Solution:
(a) ✓
(b) ✓
(c) x
(d) ✓
(e) x
(f) x
(g) ✓

Question 3.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତ ପାଖରେ T ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(a) ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକାର ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସମାନ ।
(b) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
(c) କୌଣସି କୋଣ ସମକୋଣ ନ ହୋଇଥିବା ଏକ ରମ୍ବସ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ହେବେ ନାହିଁ।
(d) ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହୋଇ ନଥ‌ିବା ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(e) ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଓ ପରସ୍ପରପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
(f) ଏଭଳି ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ନାହିଁ ଯାହାର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ନାହିଁ ।
Solution:
(a) ✓
(b) x
(c) ✓
(d) ✓
(e) ✓
(f) ✓

Question 4.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର m∠A = 70° ହେଲେ, ∠B, ∠C ଏବଂ ∠D ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର m∠A = 70° (କର)
∴ m∠C = m∠A = 70°
(∵ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ପରସ୍ପର ସମାନ)
ଆମେ ଜାଣିଛେ, m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°

⇒ m∠B + m∠D = 360° – 140° ( ∵ m∠A + m∠C = 140°)
⇒ m∠B + m∠D = 220°
କିନ୍ତୁ m∠B = m∠D
(∵ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ ।)
∴ m∠B = m∠D = \(\frac { 220° }{ 2 }\) = 110°

Question 5.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 ହେଲେ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର m∠A: m∠B = 2 : 3 (କର)
ମନେକର m∠A = 2x° ଓ m∠B = 3x°
ଆମେ ଜାଣିଛି, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣମାନକର ପରିମାଣ ପରଖର ସମାନ ।

∴ m∠A = m∠C = 2x° ଏବଂ m∠B = m∠D = 2x°
2x + 3x + 2x + 3x = 360° (∵ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360°)
⇒ 10x = 360° ⇒ X = \(\frac { 360° }{ 10 }\) = 36°
∴ କୋଣମାନକର ପରିମାଣ;
m∠A = m∠C = 2x = 2 × 36 = 72°
m∠B = m∠D = 3x = 3 × 36 = 108°

Question 6.
ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ଅନୁପାତ 1 : 3 : 7 : 9 ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ x°, 3x°, 7x° ଓ 9x° |
ଆମେ ଜାଣିଛୁ, ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° |
⇒ x° + 3x° + 7x° + 9x° = 360° ⇒ 20x = 360° ⇒ x = \(\frac { 360 }{ 20 }\) = 18°
ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣ;
3x = 3 × 18 = 54°; 7x = 7 × 18 = 126°; ଏବଂ 9x = 9 × 18 = 162°
∴ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣ 18°, 54°, 126° ଓ 162° |

Question 7.
କୌଣସି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ ଏବଂ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର କୁ ସମକୋଣରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚିତ୍ର ହେବ କାରଣ ସହ ଦର୍ଶାଅ ।
Solution:
ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° |
କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ ହେତୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac { 360° }{ 4 }\) = 90°
ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ ସମକୋଣ ।
ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ ଏବଂ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ରମ୍ବସ୍ଟିର କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ହେବ ।
Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ରମ୍ବସ୍; ଯାହାର m∠B = 60° ଓ AC ଏହାର କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ଣ୍ଣ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ରମ୍ବସ୍‌ର ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ଅର୍ଥାତ୍ AB = AC |
ପ୍ରମାଣ : AC କର୍ଣ୍ଣ ABCD ରମ୍ବକୁ △ABC ଓ △ADC ରେ ପରିଣତ କରୁଛି ।
△ABC ରେ m∠B = 60° ହେଲେ,
m∠BAC + m∠BCA = 180° – m∠B
= 180° – 60° = 120° (∵ △ର ତିନି କୋଣର ସମସି 180°)

AB = BC (∵ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁ)
⇒ M∠BAC = m∠BCA (ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣ)
∴ m∠BAC = m∠BCA = \(\frac { 120° }{ 2 }\) = 60°
∴ △ABC ର କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ସମାନ ।
⇒ AB = BC = AC
⇒ AB = AC (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.
ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 60 ଏବଂ 80° । ଅନ୍ୟ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ, କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର m∠A = 60°, m∠B = 80°
ଏବଂ m∠C = m∠D (ଦତ୍ତ)
ଆମେ ଜାଣିଛୁ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° |
ଆମେ m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°
⇒ 60° +80° + m∠C + m∠D = 360° ⇒ m∠C + m∠D = 360° (60° + 80°) = 120°
କିନ୍ତୁ m∠C = m∠D (ଦତ୍ତ)
∴ m∠C = m∠D = \(\frac { 120° }{ 2 }\) = 60°

Question 10.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ∠C ଓ ∠D ର ପରିମାଣ (ଡିଗ୍ରୀରେ) ଦିଆଯାଇଛି । ଦତ୍ତ ମାପକୁ ନେଇ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠A = m∠C = x + 30° ଓ m∠B = m∠D = 2x – 60°
(∵ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ବିପରୀତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ)

ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° |
ନେଇ m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°
⇒ x + 30° + 2x – 60° + x + 30° + 2x – 60° = 360°
⇒ 6x – 60° = 360°
⇒ 6x = 360° + 60° = 420°
⇒ x = \(\frac { 420° }{ 6 }\) = 70°
∴ m∠D = 2x – 60° = 2 × 70° – 60° = 80°
ଏବଂ m∠C = x + 30° = 70° + 30° = 100°

Question 11.
ଦଇ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଓ PBNM ହୁଲଟି ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର | m∠D = 70° ହେଲେ, m∠M ଓ m∠MNB କେତେ ସ୍ଥିର କର |
Solution:

ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠D = 70° (ଦଇ)
⇒ m∠B = m∠D = 70° (∵ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଶମାନକର ପରିମାଣ ପରାମର ସମାନ)
PBNM ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠PBN = 70° (∵m∠B = 70°)
ଦଇ m∠M = m∠PBN (PBNM ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ କୋଣ)
PBNM ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠PBN + m∠MNB + m∠M + m∠MPB = 360°
⇒ (m∠PBN + m∠M) + m∠MNB + m∠MPB = 360°
⇒ 70° + 70° + 2m∠MNB = 360° (∵ m∠MNB + m∠MPB = 2m∠MNB)
⇒ 2m∠MNB = 360° – 140° = 220°
∴ m∠MNB = \(\frac { 220° }{ 2 }\) = 110°

Question 12.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିଲ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି ଲୋଗ ମଧ୍ୟରୁ ଭୋଗକର ପରିମାଣ ଅନ୍ୟ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ ହେଲେ, ଏହାର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିଲ ଚିତ୍ରର m∠A = 3m∠B (ଦଇ)
କିନ୍ତି m∠A = m∠C ଏବଂ m∠B = m∠D
ଆମେ ଜାଣିଛେ, m∠A + m∠C + m∠B + m∠D = 360°
⇒ m∠A + m∠A + m∠B + m∠B = 360° ⇒ 2(m∠A + m∠B) = 360°
⇒ m∠A + m∠B = \(\frac { 360° }{ 2 }\) = 180°
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° |
କିନ୍ତି m∠A = 3m∠B
3m∠B + m∠B = 180°
⇒ 4m∠B = 180° ⇒ m∠B = \(\frac { 180° }{ 4 }\) = 45°
∴ m∠B = m∠D = 45°
ଏବଂ m∠A = 3m∠B = 3 × 45° = 135° = m∠C

Question 13.
ଚିତ୍ରରେ ABCD, APOR ଓ TSCV ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(i) APOR ର କେଉଁ କେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ m/C ସହ ସମାନ ?
(ii) TSCV ର କେଉଁ କେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ mZA ସହ ସମାନ ?
(iii) m∠T = 110° ହେଲେ, ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:

APQR ର ∠A ଓ ∠Q ର ପରିମାଣ ∠C ର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ । [ସୂଚନା : m∠A = m∠C]
(∵ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ବିପରୀତ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ) କିନ୍ତୁ m∠A = m∠Q
(∵ APOR ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ) ∴ m∠A = m∠Q = m∠C]

(ii) TSCV ର ∠T ଓ ∠C ର ପରିମାଣ ∠A ର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ । [ସୂଚନା : m∠A = m∠C]
(∵ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣର ପରିମାଣ)
m∠C = m∠T
(∵ TSCV ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣର ପରିମାଣ)]

(iii) m∠T = 110°
∴ (ii) ର ପୁନଶ୍ଚ ଅନୁଯାଯା m∠T = m∠A = m∠C
∴ m∠A = m∠C = 110°
ପୁନଶ୍ଚ, ପ୍ରଶ୍ନ (12) ର ଉତ୍ତରରୁ ଆମେ ଜାଣିଛେ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° |
∴ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କୋଣର m∠A + m∠B = 180°
⇒ m∠B = 180° – m∠A = 180° – 110° = 70°
କିନ୍ତୁ m∠B = m∠D
∴ m∠D = 70°
∴ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣର୍ମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 110°, 70, 110° ଏବଂ 70° |

Question 14.
ABCD ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତି । AO = (2x + 3) ଏକକ ଏବଂ OD = (3x +1) ଏକକ ହେଲେ, xର ମାନ ସ୍ଥିର କର ଏବଂ କର୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:

ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ଓ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।
⇒ 2x + 3 = 3x + 1 ⇒ 3x – 2x = 3 – 1 ⇒ x = 2
∴ AC = 2(2x + 3) = 2(2 × 2 + 3) = 2(4 + 3) = 2 × 7 = 14 ସେ.ମି.
BD = 2(3x + 1) = 2 (3 × 2 + 1) = 2(6 + 1) = 2 × 7 = 14 ସେ.ମି.

Question 15.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।
ଚିତ୍ରରୁ x, y ଏବଂ z ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।
Solution:

ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ AOD ସମକୋଣୀ △ ।
⇒ AD = \(\sqrt{5^2+12^2}\) = \(\sqrt{25+144}\) = \(\sqrt{169}\) = 13 ସେ.ମି. |
∴ z = 13 ସେ.ମି. (ରମ୍ବସ୍‌ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ ସର୍ବସମ)
OD = OB = x = 12 ସେ.ମି. |
AO = OC = y = 5 ସେ.ମି. |

Question 16.
(a) ସେୟାର, ସ୍କେଲ୍‌ ଏବଂ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ରମ୍ବସ୍ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ଏବଂ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. |
Solution:

ସୋପାନ :
(i) AB ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ।
(ii) A ବିନ୍ଦୁରେ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ∠XAB ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ପରିମାଣ 60° ହେବ ।
(iii) A କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି AB ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ଚାପ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(iv) D ଓ B ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି AB ବ୍ୟାସାର୍କ୍ ନେଇ ଦୁଇଟି ଚାପ୍ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ |
(v) \(\overline{\mathrm{CD}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଳନ କରି ABCD ଉମ୍ଭସ ସମୟ କର ।

(b) ସେୟାର, ସ୍କେଲ୍ ଏବଂ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 70° ଏବଂ ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.3 ସେ.ମି. ଏବଂ 4.5 ସେ.ମି. |
Solution:

ସୋପାନ :
(i) 6.3 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ AB ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) A ବିନ୍ଦୁରେ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ∠XAB ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ଏହାର ପରିମାଣ 70° ହେବ ।
(iii) A କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ 4.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ଚାପ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(iv) D କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ 6.3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ।
(v) B କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ 4.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ପୂର୍ବୋକ୍ତ ଚାପକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । ଛେଦବିଦୁର ନାମ ‘C’ ଦିଅ ।
(vi) \(\overline{\mathrm{DC}})\) ଏବଂ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କରି ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।

(c) ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3.2 ସେ.ମି. ହେବ ।
Solution:

ସୋପାନ :
(i) 3.2 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ AB ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) B ବିନ୍ଦୁରେ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି m∠ABX ଅଙ୍କନ କର ଯେପରିକି ଏହାର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।
(iii) Bକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଏବଂ 3.2 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ନେଇ \(\overline{\mathrm{BX}})\) ରୁ BC = 3.2 ସେ.ମି. ଚାପ କାଟ ଏବଂ ଏହାର ନାମ C ଦିଅ ।
(iv) C ବିନ୍ଦୁ ଓ A ବିନ୍ଦୁରୁ 3.2 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(v) CD ଓ AD ଅଙ୍କନ କରି ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(c)

Question 1.
△ABC ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର a = 7.5 ସେ.ମି. , m∠B = 75° ଓ m∠C = 30° |
Solution:

(i) BC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର; ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7.5 ସେ.ମି. ହେବ ।
(ii) B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଯଥାକ୍ରମେ ∠XBC ଏବଂ ∠YCB ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି mZXBC = 75° ଏବଂ m∠YCB = 30° ହେବ ।
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{CY}}\) ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ A ହେଉ ।
(iv) △ABC ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Question 2.
△ABC ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି m∠A = 60°, m∠B = 75° ଓ c = 5.9 ସେ.ମି. |
Solution:

(i) 5.9 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ AB ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) A ଓ B ବିନ୍ଦୁରେ ଯଥାକ୍ରମେ 60 ଏବଂ 75° ପରିମିତ ∠XAB ଏବଂ ∠YBA କୋଣ ଜଳନ କରାଯାଇ |
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଏବଂ \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) ର ଶ୍ମି ଦ୍ଵୟ ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ C ହେଉ । ବର୍ତ୍ତମାନ △ABC ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Question 3.
△ABC ର BC = 6.5 ସେ.ମି., \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ = 75° । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି AB ଓ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:

(i) BC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.5 ସେ.ମି. |
(ii) B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଯଥାକ୍ରମେ ∠XBC ଏବଂ ∠YCB ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି କି m∠XBC = 75° = m∠YCB ହେବ ।
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{CY}}\) ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ A ହେଉ ।
(iv) △ABC ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।
(v) AB ଓ BC ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପି ଲେଖ ।

Question 4.
△POR ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର PQ = 5.7 ସେ.ମି., m∠P = 60° ଓ m∠Q = 45° |
Solution:
(i) 5.7 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ∠QPX ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି m∠XPQ = 60° ହେଉ ।
(iii) ∠PQY ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି କି m∠YQP = 45° ହେଉ ।

(iv) \( \overrightarrow{\mathrm{PX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{QY}}\) ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ R ହେଉ ।
(v) ବର୍ତ୍ତମାନ POR ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Question 5.
b = 7 ସେ.ମି., m∠A = 60° ଓ m∠B = 75° ନେଇ △ABC ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
[ଏଠାରେ m∠A = 60° ଓ m∠B = 75° ନେଇ
m∠C = 180° – (m∠A + m∠B)
= 180° – (60° + 75°)
= 180° – 135° = 45°]

(i) 7 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ AC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) A ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଯଥାକ୍ରମେ ∠XAC ଏବଂ ∠YCA କୋଣ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି m∠XAC = 60° ଏବଂ m∠YCA = 45° ନେଇ |
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{CY}}\) ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ B ହେଉ ।
(iv) ବର୍ତ୍ତମାନ ABC ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(b)

Question 1.
△ABC ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର a = 5.6 ସେ.ମି., m∠B = 60°, c = 6.3 ସେ.ମି. | ସିଭୁଲଟି ଅଜନ୍ କରି ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(i) BC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5.6 ସେ.ମି. ।
(ii) B ବିନ୍ଦୁରେ 60° ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ∠XBC ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ରୁ BA (= 6.3 ସେ.ମି.) ଅଂଶ ଛେଦନ କର ।

(iv) A ଓ Cକୁ ଯୋଗକରି △ABC ସଂପୂର୍ଣ କର ।
(v) C ବିନ୍ଦୁରେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ତାହା AC ଓ BC କୁ ଯଥାକ୍ରମେ N ଓ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବ ।
(vi) M ଓ Nକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି MNର ଅର୍ଦ୍ଧାତ୍ମକ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । \( \overrightarrow{\mathrm{CP}}\), ∠Cର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ହେବ ।

Question 2.
△ABC ର AB = AC = 5.7 ସେ.ମି., m∠A = 120, ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି ∠B ଓ ∠C ର ପରିମାଣ ମାପି ଲେଖ । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କ ଲେଖ ।
Solution:

(i) 5.7 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) A ବିନ୍ଦୁରେ ∠XAB ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ଏହାର ପରିମାଣ 120° ହେବ ।
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ର AC = 5.7 ଅଂଶ ଛେଦନ କର । C, Bକୁ ଯୋଗକରି △ABC ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(iv) ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସାହାଯ୍ୟରେ ∠B ଓ ∠C କୋଣକୁ ମାପ ଏବଂ ଦେଖୁବ ଯେ, m∠B = m∠C = 30° |

Question 3.
△POR ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର PQ = 7 ସେ.ମି., PR = 5.6 ସେ.ମି. ଓ m∠P = 45° । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି R ବିନ୍ଦୁରୁ PQ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:

(i) PQ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କରି, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. ।
(ii) P ବିନ୍ଦୁରେ ∠XPQ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ଏହାର ପରିମାଣ 45° ହେବ |
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{PX}}\) ରୁ PR 5.6
(v) R, Q କୁ ଯୋଗକରି △POR ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(vi) R ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସ ର୍ଷବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ତାହା PQକୁ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ T ଓ S ରେ ଛେଦ କରିବ ।
ତତ୍ପରେ ଉକ୍ତ ଦୁଇ ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି TSର ଅର୍ଦ୍ଧାଧିକ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ଚାପ ପରସ୍ପରକୁ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(vi) RN ଓ PQ ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ M ହେଉ ।
(vii) \(\overline{\mathrm{RM}})\), △PQR ର R ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ପତି ଲମ ଅଟେ |

Question 4.
△ABC ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର m∠B = 75°, AB = 3 ସେ.ମି. BC = 4 ସେ.ମି. |
Solution:

(i) 4 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) B ବିନ୍ଦୁରେ ∠XBC ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି m∠XBC = 75° ହେବ |
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ରୁ BA = 3 ସେ.ମି. ଅଂଶ ଛେଦନ କର ।
(iv) A, Cକୁ ଯୋଗକରି △ABC ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(a)

Question 1.
ABC ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯହିଁରେ a = 7 ସେ.ମି., b = 3.5 ସେ.ମି., c = 5 ସେ.ମି. | ଏହାର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ A ରୁ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ବାହୁପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର । ସେହି ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପ ।
Solution:

(i) BC a = 7 ସେ.ମି. ଅଙ୍କନ କର |
(ii) B ଓ C କୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 5 ସେ.ମି. ଏବଂ 6 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହା ପରସ୍ପରକୁ A ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବେ । △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(iii) A ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ \(\widehat{\mathrm{BC}}\) କୁ R ଓ S ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
(iv) R ଓ S କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି RS ର ଅନ୍ଧାଧ‌ିକ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(v) AM ଓ BC ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ D ହେଉ ।
(vi) A ବିନ୍ଦୁରୁ BC ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ AD ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପି ସ୍ଥିର କର ।

Question 2.
△ABC ର AB = AC = BC = 6.1 ସେ.ମି.; ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି ଏହାର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ମାପି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:

(i) BC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.1 ସେ.ମି. |
(ii) B ଓ C ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 6.1 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର କୁ A ବିନ୍ଦୁ ରେ ଛେଦକରୁ ।
(iii) AB ଏବଂ AC ଅଙ୍କନ କରି △ABC କୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।
(iv) △ ର ତିନିକୋଣକୁ ମାପି ସ୍ଥିର କର । ଦେଖ‌ିବ ଯେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ହେବ ।

Question 3.
ABC △ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର BC = 5 ସେ.ମି., AB = AC = 6.3 ସେ.ମି. । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:

(i) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ସେ.ମି. ।
(ii) B ଓ C କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 6.3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ A ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(iii) A, B କୁ ଏବଂ A, C କୁ ଯୋଗ କରି △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(iv) ∠B ଓ ∠C କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର । ଦେଖୁ ଯେ m∠B = m∠C ହେବ।

Question 4.
△LMN ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର LM = 5 ସେ.ମି. LN = 4.7 ସେ.ମି. ଓ MN = 6.1 ସେ.ମି., ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି ଏହାର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମାପ ଓ କେଉଁ କୋଣଟି ବୃହତ୍ତମ ତାହା ଦେଖାଅ ।
Solution:

(i) \(\overline{\mathrm{MN}})\) ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.1 ସେ.ମି. ହେବ ।
(ii) M ଓ N କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଯଥାକ୍ରମେ 5 ସେ.ମି. ଓ 4.7 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହା ପରସ୍ପରକୁ L ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବ ।
(iii) \(\overline{\mathrm{LM}})\) ଓ LN ଲେଖାଖଣ୍ଡ ଅଳନ୍ କରି △LMN ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(iv) ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସାହାଯ୍ୟରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣକୁ ମାପ ଏବଂ ଦେଖୁବ ଯେ, ∠L ର ପରିମାଣ ବୃହତ୍ତମ ଅଟେ ।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ତିନି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 5.8 ସେ.ମି., 4.7 ସେ.ମି. ଓ 3.9 ସେ.ମି. । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି 5.8 ସେ.ମି. ଓ 4.7 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:

(i) BC = 5.8 ସେ.ମି. ଅଙ୍କନ କର |
(ii) B ଓ C କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଯଥାକ୍ରମେ 4.7 ସେ.ମି. ଏବଂ 3.9 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ର ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ A ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ- କରନ୍ତୁ |
(iii) AB ଓ AC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କରି, △ABC ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(iv) Bକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଯାହା AB ଓ BC ବାହୁକୁ D ଓ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବେ ।
(v) D ଓ E କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି DEର ଅର୍ଦ୍ଧାଧ‌ିକ ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବେ ।
(vi) \( \overrightarrow{\mathrm{BF}}\) ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର, ଯାହା ∠ABCର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ହେବ।

Question 6.
a = 6 ସେ.ମି., b = 7 ସେ.ମି. ଓ ୯ = 8 ସେ.ମି. ନେଇ △ABC ଅଙ୍କନ କର । ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବମାନ ଅଙ୍କନ କର ।
[ଅଙ୍କନ ତ୍ରୁଟିଶୂନ୍ୟ ହୋଇଥିଲେ, ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରିବେ ।]
Solution:
(i) 6 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ BC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) B କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 8 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ପୁନଶ୍ଚ C କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 7 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ (ii ରେ) ପୂର୍ବୋକ୍ତ ଚାପକୁ ଛେଦକରୁ । ଛେଦବିନ୍ଦୁର ନାମ A ହେଉ ।
(iv) △ABC ଅଙ୍କନ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(v) AB, BC ଓ \(\overline{\mathrm{CA}})\) ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବମାନ ଅଙ୍କନ କର।

ଦାଦୁର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅନନ ସମହାସ ପୋପାଳ:
\(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ :
(i) A ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର ନେଇ AB ର ଅଧାରୁ ଅଧିକ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ AB ର ଉଭୟପାର୍ଶ୍ଵରେ ଦୁଇଟି ଚାପ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(ii) B ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର ନେଇ ପୂର୍ବ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ଚାପ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ, ଯେପରିକି ଚାପଦ୍ଵୟ AB ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ପୂର୍ବ ଅଙ୍କିତ ଚାପଦ୍ଵୟକୁ ଛେଦକରିବେ । ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଦୁଇଟିର ନାମ P ଓ Q ହେଉ ।
(iii) \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\), AB ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ହେବ ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(a)

Question 1.
ନିମ୍ନ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
27, 37, 46, 118, 225
ସମାଧାନ :
27² = 27 × 27 = 729,
37² = 37 × 37 = 1369,
46² = 46 × 46 = 2116
118² = 118 × 118 = 13924,
225² = 225 × 225 = 50625

Question 2.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହଁନ୍ତି । କାରଣ ଦର୍ଶାଅ ।
64000, 89722, 2220, 505050, 1057, 23453, 222222
ସମାଧାନ :
64000ର ଶେଷ ତିନିଅଙ୍କ ଶୂନହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
89722ର ଏକକ ଅଙ୍କ 2 ହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ନାହିଁ ।
2220ର ଶେଷରେ ଗୋଟିଏ ଶୂନ ହେତୁ ପୂଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
505050ର ଶେଷରେ ଗୋଟିଏ ଶୂନ ହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
1057ର ଏକକ ଅଙ୍କ 7 ହେତୁ ଏହା ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ନାହିଁ ।
23453ର ଏକକ ଅଙ୍କ 3 ହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
222222ର ଏକକ ଅଙ୍କ 2 ହେତୁ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ନାହିଁ ।

Question 3.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ କେଉଁଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
28, 113, 278, 314, 4315, 23872
ସମାଧାନ :
113, 4315 ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେତୁ ଏମାନଙ୍କ ବର୍ଗ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
28, 278, 314, 23872 ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେତୁ ଏମାନଙ୍କ ବର୍ଗ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

Question 4.
100 ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ ସ୍ଥିର କର ।
(ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ମଧ୍ୟରେ ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନଥାଏ; ତେବେ ସେମାନେ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟୀ ହେବେ ।)
ସମାଧାନ :
(i) ଆମେ ଜାଣୁ m ∈ N ଓ m > 1 ହେଲେ 2m, m² – 1 ଓ m² + 1 ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।
ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ନିରୂପଣ ପାଇଁ m ଯୁଗ୍ମ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ (m > 1) । ଏଠାରେ m < 10 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।
ତେଣୁ ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ନିରୂପଣ ପାଇଁ m < 10 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।
m = 2, 4, 6 ଓ 8 ହେଲେ ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ ହେବ (4, 3, 5), (8, 15, 17), (12, 35, 37) 3 (16, 63, 65) |

(ii) m (m > 2) ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, m, \((\frac{1}{2})^2\) – 1, \((\frac{1}{2})^2\) + 1 ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।
m = 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 ହେଲେ, ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ ହେବ (4, 3, 5), (6, 8, 10), (8, 15, 17), (10, 24, 26), (12, 35, 37), (14, 48, 50), (16, 63, 65) 8 (18, 80, 82) |
ଏଗୁଡ଼ିକର ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେଲା –
(3, 4, 5), (8, 15, 17), (5, 12, 13), (12, 35, 37), (14, 48, 50), (16, 63, 65) 8 (9, 40, 41) |

(iii) m (m > 1) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, (\(\mathrm{m}, \frac{\mathrm{m}^2-1}{2}, \frac{\mathrm{m}^2+1}{2}\)) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରିୟୀ ହେବ ।
m = 15 ହେଲେ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}\) > 100 ହେବ, ତେଣୁ m < 15 ହେବ ।
m = 3, 5, 7, 9, 11, 13 ହେଲେ, ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61) 3 (13, 84, 85) |
ତେଣୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀଗୁଡ଼ିକ ହେଲା – (4, 3, 5), (8, 15, 17), (12, 35, 37), (16, 63, 65), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61) 3 (13, 84, 85) I

Question 5.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ଦୁଇଟି ବର୍ଗର ଅନ୍ତର ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର । 19, 27, 31, 41, 53
ସମାଧାନ :
\(a=a \times 1=\left(\frac{a+1}{2}\right)^2-\left(\frac{a-1}{2}\right)^2\)

19 = 19 × 1 = \(\left(\frac{19+1}{2}\right)^2-\left(\frac{19-1}{2}\right)^2=\left(\frac{20}{2}\right)^2-\left(\frac{18}{2}\right)^2=10^2-9^2\)

27 = 27 × 1 = \(\left(\frac{27+1}{2}\right)^2-\left(\frac{27-1}{2}\right)^2=\left(\frac{28}{2}\right)^2-\left(\frac{26}{2}\right)^2=14^2-13^2\)

27 = 9 × 3 = \(\left(\frac{9+3}{2}\right)^2-\left(\frac{9-3}{2}\right)^2=\left(\frac{12}{2}\right)^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2=6^2-3^2\)

31 = 31 × 1 = \(\left(\frac{31+1}{2}\right)^2-\left(\frac{31-1}{2}\right)^2=\left(\frac{32}{2}\right)^2-\left(\frac{30}{2}\right)^2=16^2-15^2\)

41 = 41 × 1 = \(\left(\frac{41+1}{2}\right)^2-\left(\frac{41-1}{2}\right)^2=\left(\frac{42}{2}\right)^2-\left(\frac{40}{2}\right)^2=21^2-20^2\)

53 = 53 × 1 = \(\left(\frac{53+1}{2}\right)^2-\left(\frac{53-1}{2}\right)^2=\left(\frac{54}{2}\right)^2-\left(\frac{52}{2}\right)^2=27^2-26^2\)

Question 6.
କେତେକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ସଂଖ୍ୟା ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି । ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗରେ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ । 7, 11, 15, 12, 16
ସମାଧାନ :
(i) ଯେ କୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା m (m > 1) ପାଇଁ (\(\mathrm{m}, \frac{\mathrm{m}^2-1}{2}, \frac{\mathrm{m}^2+1}{2}\)) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।
(ii) ଯେ କୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା m (m > 2) ପାଇଁ (\(m,\left(\frac{m}{2}\right)^2-1,\left(\frac{m}{2}\right)^2+1\)) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।

(i) m = 7 ହେଲେ, \(\frac{\mathrm{m}^2-1}{2}=\frac{7^2-1}{2}=\frac{48}{2}=24\) ଏବଂ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}=\frac{7^2+1}{2}=\frac{50}{2}=25\)
ଏଠାରେ (7, 24, 25) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।

(ii) m = 11 ହେଲେ, \(\frac{\mathrm{m}^2-1}{2}=\frac{11^2-1}{2}=\frac{120}{2}=60\) ଏବଂ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}=\frac{11^2+1}{2}=\frac{122}{2}=61\)
ଏଠାରେ (11, 60, 61) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।

(iii) m = 15 ହେଲେ, \(\frac{\mathrm{m}^2-1}{2}=\frac{15^2-1}{2}=\frac{224}{2}=112\) ଏବଂ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}=\frac{15^2+1}{2}=\frac{226}{2}=113\)
ଏଠାରେ (15, 112, 113) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।

(iv) m = 12 ହେଲେ, \(\left(\frac{m}{2}\right)^2-1=\left(\frac{12}{2}\right)^2-1\) = 36 – 1 = 35 ଏବଂ \(\left(\frac{m}{2}\right)^2+1=\left(\frac{12}{2}\right)^2+1\) = 36 + 1 = 37
ଏଠାରେ (12, 35, 37) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।

(v) m = 16 ହେଲେ, \(\left(\frac{m}{2}\right)^2-1=\left(\frac{16}{2}\right)^2-1\) = 64 – 1 = 63 ଏବଂ \(\left(\frac{m}{2}\right)^2+1=\left(\frac{16}{2}\right)^2+1\) = 64 + 1 = 65
ଏଠାରେ (16, 63, 65) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।

Question 7.
ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସମ୍ବନ୍ଧଗୁଡ଼ିକର ବିଭିନ୍ନ ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖ୍ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) 1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = ……
111111² = ….

(b) 11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = ……….
10000001² = ………

(c) 11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = ………..
101010101² = ………

(d) 1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12²= 13²
4² + 5² + … = 21²
5² + … + 30² = ……²

(e) 11² × (11² ରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = 222
(ଅର୍ଥାତ୍ 11²(1 + 2+ 1) = 484 = 22²)
111² × (111² ରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = 333²
1111² × (1111² ରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = …….
11111² × (11111² ରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = ………

(f) 7² = 49
67² = 4489
667² = 444889
6667² = 44448889
66667² = ……..
666667² = ……
ଉ –
(a) 11111² = 12345321
111111² = 12345654321

(b) (100001)² = 10000200001
(10000001)² = 100000020000001

(c) (1010101)² = 1020304030201
(101010101)² = 10203040504030201

(d) 4² + 5² + 20² = 21²
5² + 6² + 30² = 31²

(e) (4444)²
(55555)²

(f) (66667)² = 4444488889
(666667)² = 444444888889.

Question 8.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(m+1)² – m² = (m + 1) + m
18² – 17² = ……..
25² – 24² = ………
112² – 111² = ……..
171² – 170² = ………
ଉ –
18² – 17² = 35
25² – 24² = 49
112² – 111² = 223
171² – 170² = 341

Question 9.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଯେଉଁ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ (✓) ଚିହ୍ନ ଏବଂ ଯେଉଁ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଭୁଲ୍ ତା’ ପାଖରେ (✗) ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।
(a) ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାରେ ଥିବା ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ ।
(b) ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(c) କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
(d) ଦୁଇଟି ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଏକ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା
(e) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(f) ଗୋଟିଏ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ।
(g) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ 1 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟିର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ସର୍ବଦା 1 ହେବ ।
ଉ –
(a) ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାରେ ଥିବା ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ । (✗)
(b) ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । (✗)
(c) କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ । (✓)
(d) ଦୁଇଟି ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଏକ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା । (✗)
(e) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । (✓)
(f) ଗୋଟିଏ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା । (✗)
(g) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ 1 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟିର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ସର୍ବଦା 1 ହେବ । (✓)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(f) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(f)

Question 1.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି AB = 7.0 ସେ.ମି., BC = 5.5 ସେ.ମି., AD = 7.4 ସେ.ମି., AC = 8.0 ସେ.ମି. ଓ BD = 8.5 ସେ.ମି. |
Solution:
(i) △ABC ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର AB = 7 ସେ.ମି., BC = 5.5 ସେ.ମି. ଏବଂ AC = 8 ସେ.ମି. |
(ii) A ଓ Bକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 7.4 ସେ.ମି. ଏବଂ 8.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତୁ ।

(iii) D, C କୁ ଯୋଗକରି ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର।

Question 2.
PORS ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯହିଁରେ QR = 7.5 ସେ.ମି., RP = PS = 6.0 ସେ.ମି., RS = 5 ସେ.ମି. ଓ QS = 10 ସେ.ମି. |
Solution:
(i) △PSR ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର PS = PR = 6.0 ସେ.ମି., SR = 5 ସେ.ମି. |

(ii) S ଓ Rକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 10 ସେ.ମି. ଏବଂ 7.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(ii) Q, P କୁ ଯୋଗକରି PORS ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 3.
BC = 7.5 ସେ.ମି., AC = AD 8.3 ସେ.ମି., CD = 6.5 ସେ.ମି., ଓ BD = 11.0 ସେ.ମି., ମାପନେଇ ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(i) △ACD ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର AC = AD = 8.3 ସେ.ମି. ଏବଂ CD = 6.5 ସେ.ମି. ।
(ii) C ଓ Dକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 7.5 ସେ.ମି. ଏବଂ 11.0 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ B ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।

(iii) B, A କୁ ଯୋଗ କରି ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 4.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର BC = 2.6 ସେ.ମି., CA = 4.0 ସେ.ମି., AD = 3.5 ସେ.ମି. CD = 2 ସେ.ମି. ଓ BD = 3.0 ସେ.ମି. |
Solution:

(i) △ACD ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର AD = 3.5 ସେ.ମି., CD = 2 ସେ.ମି. ଏବଂ CA = 4.0 ସେ.ମି. |
(ii) D ଓ Cକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 3.0 ସେ.ମି. ଏବଂ 2.6 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ B ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(iii) B, A କୁ ଯୋଗ କରି ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 5.
ABCD ଜଣାଇଲଗେ AB = 4.5 ସେ.ମି., CD = 6.0 ସେ.ମି., AD = 6.3 ସେ.ମି., BD = 5.0 ସେ.ମି. ଓ AC = 5.5 ସେ.ମି. | ପଣଭୁଲ ଫଳନ କର |
Solution:

(i) △ABD ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର AD = 6.3 ସେ.ମି., AB = 4.5 ସେ.ମି. ଏବଂ BD = 5.0 ସେ.ମି. |
(ii) A ଓ Dକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 5.5 ସେ.ମି. ଏବଂ 6.0 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(iii) C, B କୁ ଯୋଗକରି ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(c)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତ ରାଶି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) 2^-2
(ii) 2^-4
(iii) 3^-3
(iv) 3^-5
(v) 10^-4
(vi) 5^-3
(vii) 20^-3
(viii) 50^-3
(ix) 100^-1
(x) (0.1)⁵
(xi) (-1)^-1
(xii) (-1)^-27
ସମାଧାନ :
(i) 2^-2 = \(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\)
(ii) 2^-4 = \(\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}\)
(iii) 3^-3 = \(\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\)
(iv) 3^-5 = \(\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}\)
(v) 10^-4 = \(\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10000}\)
(vi) 5^-3 = \(\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\)
(vii) 20^-3 = \(\frac{1}{20^3}=\frac{1}{8000}\)
(viii) 50^-3 = \(\frac{1}{50^3}=\frac{1}{125000}\)
(ix) 100^-1 = \(\frac{1}{100^1}=\frac{1}{100}\)
(x) (0.1)⁵ = \(\left(\frac{1}{10}\right)^5=\frac{1}{10^5}=\frac{1}{100000}\)
(xi) (-1)^-1 = \(\frac{1}{(-1)^1}=\frac{1}{-1}=-1\)
(xii) (-1)^-27 = \(\frac{1}{(-1)^{27}}=\frac{1}{-1}=-1\)

Question 2.
ସରଲ କର ।
(i) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)
(ii) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}\)
(iii) \(\left(\frac{1}{10}\right)^{-4}\)
(iv) (0.2)³
(v) \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}\)
(vi) \(\left(\frac{3}{10}\right)^{-3}\)
(vii) (-1)^-101
(viii) (-1)¹⁰⁰⁰
ସମାଧାନ :
(i) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9\)
(ii) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}=\frac{1}{\left(\frac{2}{5}\right)^3}=\frac{1}{\frac{8}{125}}=\frac{125}{8}\)
(iii) \(\left(\frac{1}{10}\right)^{-4}=\frac{1}{\left(\frac{1}{10}\right)^4}=\frac{1}{\frac{1}{10000}}=10000\)
(iv) (0.2)³ = \(\left(\frac{2}{10}\right)^3=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}\)
(v) \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}=\left(\frac{5}{3}\right)^3=\frac{125}{27}\)
(vi) \(\left(\frac{3}{10}\right)^{-3}=\left(\frac{10}{3}\right)^3=\frac{1000}{27}\)
(vii) \((-1)^{-101}=\frac{1}{(-1)^{101}}=\frac{1}{-1}=-1\)
(viii) (-1)¹⁰⁰⁰ = 1

Question 3.
ମୌଳିକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) 3⁶
(ii) (6)³
(iii) -216
(iv) 625
(v) 343
(vi) \(\frac{1}{512}\)
(vii) \(\frac{64}{729}\)
ସମାଧାନ :
(i) 3⁶ = \(\frac{1}{3^{-6}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-6}\)
(ii) (6)³ = \(\frac{1}{6^{-3}}=\left(\frac{1}{6}\right)^{-3}\)
(iii) -216 = \((-6)^3=\left(\frac{-6}{1}\right)^3=\left(\frac{1}{-6}\right)^{-3}\)
(iv) 625 = \(5^4=\frac{1}{5^{-4}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{-4}\)
(v) 343 = \(7^3=\frac{1}{7^{-3}}=\left(\frac{1}{7}\right)^{-3}\)
(vi) \(\frac{1}{512}=\frac{1}{2^9}=2^{-9}\)
(vii) \(\frac{64}{729}=\frac{2^6}{3^6}=\left(\frac{2}{3}\right)^6=\left(\frac{3}{2}\right)^{-6}\)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତ ରାଶି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) 3⁶ × 3⁴
(ii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^6 \times\left(\frac{1}{2}\right)^5\)
(ii) \(\left(\frac{2}{3}\right)^7 \times\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
(iv) (4)⁶ × (-4)^-3
(v) \(\left(\frac{3}{2}\right)^5 \times\left(\frac{2}{3}\right)^4\)
(vi) (-4)⁶ × (4)³
(vii) (9)³ × (27)⁴
(viii) (8)³ × (-4)⁴
(ix) (7)⁸ × (-7)⁵
(x) (8)⁵ ÷ (4)⁴
(xi) {(5)³}⁴
(xii) {(-2)³}⁴
(xiii) \(\frac{7^4}{3^4}\)
(xiv) (3)⁹ + (4)⁹
(xv) \(\left(\frac{a}{b}\right)^7 \div\left(\frac{b}{a}\right)^3\)
(xvi) \(\left(\frac{a}{b}\right)^7 \div\left(\frac{-b}{a}\right)^3\)
ସମାଧାନ :
(i) 3⁶ × 3⁴ = (3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3)
= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3¹⁰
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : 3⁶ × 3⁴ = 3⁶⁺⁴ = 3¹⁰

(ii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^6 \times\left(\frac{1}{2}\right)^5=\left(\frac{1}{2}\right)^{6+5}=\left(\frac{1}{2}\right)^{11}\)

(iii) \(\left(\frac{2}{3}\right)^7 \times\left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^{7+3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\)

(iv) (4)⁶ × (-4)^-3 = (4)⁶ × (-1 × 4)³
= (4)⁶ × (-1)³ × (4)³ = (-1)³ × (4)⁶ × (4)³
= (-1) × 4⁶⁺³ = (-1)⁹ × 4⁹ = (-1 × 4)⁹ = (-4)⁹

(v)

(vi) (-4)⁶ × (4)³ = (-1 × 4)⁶ × (4)³
= (-1)³ × (4)⁶ × (4)³ = 1 × 4⁶⁺³ = (4)⁹

(vii) (9)³ × (27)⁴ = (3²)³ × (3³)⁴
= 3^2×3 × 3^3×4
= 3⁶ × 3¹² = 3⁶⁺¹² = 3¹⁸

(viii) (8)³ × (-4)⁴ = (8)³ × (-1 × 4)⁴ = (8)³ × (-1)⁴ × (4)⁴
= (-1)⁴ × 8³ × (4)⁴ = 1 × (2³)³ × (2²)⁴ = 2⁹ × 2⁸ = 2⁹⁺⁸ = 2¹⁷

(ix) (7)⁸ × (-7)⁵ = 7⁸ × (-1 × 7)⁵
= 7⁸ × (-1)⁵ × 7⁵ = (-1)⁵ × 7⁸ × 7⁵ = -1 × 7⁸⁺⁵
= -1 × 7¹³ = (-1)¹³ × 7¹³ = (-1 × 7)¹³ 4= (-7)¹³

(x) (8)⁵ ÷ (4)⁴ = ((2)³)⁵ ÷ ((2)²)⁴ = (2)¹⁵ ÷ (2)⁸ = 2^15-8 = 2⁷

(xi) {(5)³}⁴ = 5^3×4 = 5¹²

(xii) {(-2)³}⁴ = (-2)^3×4 = (-2)¹²

(xiii) \(\frac{7^4}{3^4}\) = \((\frac{7}{3})^4\)

(xiv) (3)⁹ ÷ (4)⁹ = \((\frac{3}{4})^9\)

(xv)

(xvi) \(\left(\frac{a}{b}\right)^7 \div\left(\frac{-b}{a}\right)^3\)

Question 2.
ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 3⁴ × 3³ ÷ 3⁵
(ii) (3¹¹ × 4⁵) ÷ (4⁴ × 3⁶)
(iii) (4³ × 4² × 4) ÷ (2⁴ × 2³ × 2²)
(iv) 2¹¹ ÷ 8³ × 4²
(v) \(\left(\frac{3}{2}\right)^6 \div\left(\frac{2}{3}\right)^2\)
ସମାଧାନ :
(i) 3⁴ × 3³ ÷ 3⁵
= \(3^4 \times\left(\frac{3^3}{3^5}\right)=3^4 \times \frac{1}{3^{5-3}}=3^4 \times \frac{1}{3^2}=\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2=9\)

(ii) (3¹¹ × 4⁵) ÷ (4⁴ × 3⁶)
= \(\frac{3^{11} \times 4^5}{4^4 \times 3^6}=\frac{3^{11}}{3^6} \times \frac{4^5}{4^4}=3^{11-6} \times 4^{5-4}\) = 3⁵ × 4 = 243 × 4=972

(iii) (4³ × 4² × 4) ÷ (2⁴ × 2³ × 2²)
= 4³⁺²⁺¹ ÷ 2⁴⁺³⁺² = 4⁶ ÷ 2⁹
= (2²)⁶ ÷ 2⁹ = 2¹² ÷ 2⁹ = 2^{12 – 9} = 2³ = 8

(iv) 2¹¹ ÷ 8³ × 4² = 2¹¹ ÷ (2³)³ × (2²)²
= 2¹¹ ÷ 2^3×3 × 2^2×2 = 2¹¹ ÷ 2⁹ × 2⁴ = 2^11-9 × 2⁴ = 2² × 2⁴ = 2²⁺⁴ = 2⁶ = 62

(v)

Question 2.
ସରଲ କର ।
(i) (2² × 2)³
(ii) (ab)⁵ × a³ × b²
(iii) \(\left(\frac{a}{b}\right)^7 \times a^6 \times b^5 \times\left(\frac{b}{a}\right)^6\)
(iv) 3⁹ × 3⁵+ 9⁷
(v) \(\left(\frac{2}{3}\right)^5 \div\left(\frac{2}{3}\right)^8 \times\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
ସମାଧାନ :
(i) (2² × 2)³ = (2²⁺¹)³ = (2³)³ = 2^3×3 = 2⁹ = 512

(ii) (ab)⁵ × a³ × b² = a⁵ × b⁵ × a³ × b²
= (a⁵ × a³) × (b⁵ × b²) = a⁵⁺³ × b⁵⁺² =a⁸b⁷

(iii) \(\left(\frac{a}{b}\right)^7 \times a^6 \times b^5 \times\left(\frac{b}{a}\right)^6\) = \(\left(\frac{a^7}{b^7}\right) \times a^6 \times b^5 \times\left(\frac{b^6}{a^7}\right)\)

(iv) 3⁹ × 3⁵ ÷ 9⁷ = 3⁹ × 3⁵ ÷ (3²)⁷ = 3⁹ × 3⁵ ÷ 3^2×7
= 3⁹ × 3⁵ ÷ 3¹⁴ = 3⁹ × \(\frac{3^5}{3^14}\) = 3⁹ × \(\frac{1}{3^14-5}\) = \(\frac{3^9}{3^9}\) = 1

(v)

Question 4.
ମୌଳିକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) (64)³
(ii) (9)⁷
(iii) (125)^m-1
(iv) (-8)¹¹
ସମାଧାନ :
(1) 64³ = (2⁶)3 = 2^6×3 = 2¹⁸ [∵ 64 ର ଏକ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ 2]
(ii) (9)⁷ = (3²)⁷ = 3^2×7 = 3¹⁴ [∵ 9 ର ଏକ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ 3]
(iii) (125)^m-1 = (5³)^m-1 = 5³(^m-1) = 5^3m-3 [125 ର ଏକ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ 5]
(iv) (-8)¹¹ = {(-2)¹¹}¹¹ = (-2)¹¹ = (-2)¹¹ [(-8) ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ -2]

Question 5.
ନିମ୍ନଲିଖ୍ତ ଉକ୍ତି ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ (T) ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ (F) ଲେଖ ।
(i) 2³ × 3⁵ = 6⁸
(ii) 3⁵ × 5⁵ = 15⁵
(iii) (4³)⁴ = (4)⁷
(iv) (5²)³ = 5⁶
(v) (3)³ × (3)² = 3⁶
(vi) (a³ . b⁵) = (ab)¹⁵
(vii) (2³ × 3³) = 6³
(viii) \(\left(\frac{3}{4}\right)^6 \div\left(\frac{4}{3}\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^4\)
(ix) (3)⁴ × (3)⁵ × (-3)² = (-3)¹¹
(x) -3⁴ × 3³ = -3^{7
ସମାଧାନ :}
(i) F
(ii) T
(iii) F
(iv) T
(v) T
(vi) F
(vii) T
(viii) F
(ix) F
(x) F

Question 6.
କେଉଁ କ୍ଷେତ୍ରରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ?
(i) 2ⁿ = 32
(n) 5ⁿ = loo
(iii) 4ⁿ = 512
(iv) 4ⁿ = 1024
(v) 3ⁿ = 729
(vi) 5ⁿ = 1250
(vii) 7ⁿ = 343
(viii) (\(\frac{1}{2}\))ⁿ = \(\frac{1}{64}\)
(ix) (\(\frac{2}{3}\))ⁿ = \(\frac{32}{15}\)
(x) (-2)ⁿ = -512
ସମାଧାନ :
ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵର ଆଧାର ସମାନ କରି ଘାତଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ନିରୂପଣ କର ଏବଂ ଉଦ୍ଧୃତ ସମ୍ବନ୍ଧରୁ ‘n’ କେଉଁ ପ୍ରକାରର ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
(i) 2ⁿ = 32 ⇒ 2ⁿ=2ⁿ ⇒ n = 5, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(ii) 5ⁿ = 100 ⇒ 5ⁿ = 5² × 4, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
(iii) 4ⁿ = 512 ⇒ (2²)ⁿ = 2⁹ ⇒ 2n = 9 ⇒ n =
(iv) 4ⁿ = 1024 ⇒ (2²)ⁿ = 2¹⁰ ⇒ 2²ⁿ = 2¹⁰ ⇒ 2n = 10 ⇒ n = 5, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(v) 3ⁿ = 729 ⇒ 3ⁿ = 3⁶ ⇒ n = 6, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(vi) 5ⁿ = 1250 ⇒ 5ⁿ = 5⁴ × 2, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
(vii) 7ⁿ = 343 ⇒ 7ⁿ = 7³ ⇒ n = 3, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(viii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}}=\frac{1}{64} \Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}}=\left(\frac{1}{2}\right)^6\) ⇒ n = 6, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(ix) (\(\frac{2}{3}\))ⁿ = \(\frac{32}{15}\) ⇒ (\(\frac{2}{3}\))ⁿ = \(\frac{2^5}{3×5}\) ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
(x) (-2)ⁿ = -512 ⇒ (-2)ⁿ = (-2)⁹ ⇒ n = 9, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(a)

Question 1.
ନିମ୍ନ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ xⁿ (ଘାତରାଶି) ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) 2 × 2 × 2 × 2
(ii) (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2)
(iii) \(\left(\frac{3}{4}\right) \times\left(\frac{3}{4}\right) \times\left(\frac{3}{4}\right)\)
(iv) \(\left(-\frac{1}{7}\right)\left(-\frac{1}{7}\right)\left(-\frac{1}{7}\right)\left(-\frac{1}{7}\right)\)
(v) \(\frac{5}{3} \times \frac{5}{3} \times \frac{5}{3}\)
(vi) y × y × y × y × y
(vii) (-p) (-p) (-p)
(viii) (a – b)(a – b)(a – b)(a – b)
(ix) (a + b)(a + b)(a + b)
(x) \((\frac{a}{b})(\frac{a}{b})(\frac{a}{b})(\frac{a}{b})(\frac{a}{b})\)
ସମାଧାନ :
(i) 2⁴
(ii) (-2)⁵
(iii) \(\left(\frac{3}{4}\right)^4\)
(iv) \(\left(-\frac{1}{7}\right)^4\)
(v) \((\frac{5}{3})^4\)
(vi) y⁵
(vii) (-p)^-3
(viii) (a – b)⁴
(ix) (a + b)³
(x) \((\frac{a}{b})^5\)

Question 2.
ନିମ୍ନ ଘାତରାଶିମାଈଁଙ୍କର ଆଧାର ଓ ଘାତାଙ୍କ ଦର୍ଶାଇ ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) (1)¹⁵
(ii) (-1)¹¹
(iii) (-1)¹⁸
(iv) (9)⁵
(v) (-2)⁵
(vi) \(\left(\frac{1}{2}\right)^6\)
(vii) \(\left(\frac{2}{3}\right)^5\)
(viii) (5 × 2)⁴
(ix) (10)⁷
(x) (-10)⁵
ସମାଧାନ :
(i) (1)¹⁵ ରେ ଆଧାର 1 ଓ ଘାତାଙ୍କ 15 ଅଟେ ।
(1)¹⁵ ର ମାନ = 1 × 1 × 1 × 1 × ….× 1 (15 ଥର) = 1 ।

(ii) (-1)¹¹ ରେ ଆଧାର -1 ଓ ଘାତାଙ୍କ 11 ।
(-1)¹⁵ ର ମାନ = -1
[∵ (-1)^m = -1, ଯେଉଁଠାରେ m ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା]

(iii) (-1)¹⁸ ରେ ଆଧାର -1 ଓ ଘାତାଙ୍କ 18 ।
(-1)¹⁸ ର ମାନ = 1
[∵ (-1)^m = 1, ଯେଉଁଠାରେ m ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା]

(iv) (9)⁵ ରେ ଆଧାର 9 ଓ ଘାତାଙ୍କ 5 ।
(9)⁵ = 9 × 9 × 9 × 9 × 9 = 59049
(9)⁵ ର ମାନ = 59049

(v) (-2)⁵ ରେ ଆଧାର -2 ଓ ଘାତାଙ୍କ 5 ।
(-2)⁵ = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = -32
(-2)⁵ ର ମାନ = – 32

(vi) \(\left(\frac{1}{2}\right)^6\) ରେ ଆଧାର \(\frac{1}{2}\) ଓ ଘାତାଙ୍କ 6 ।
\(\left(\frac{1}{2}\right)^6=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{64}\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^6\) ରେ ମାନ = \(\frac{1}{64}\)

(vii) \(\left(\frac{2}{3}\right)^5\) ରେ ଆଧାର \(\frac{2}{3}\) ଓ ଘାତାଙ୍କ 5 ।
\(\left(\frac{1}{2}\right)^5=\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{32}{243}\)
∴ \(\left(\frac{2}{3}\right)^5\) ରେ ମାନ = \(\frac{32}{243}\)

(viii) (5 × 2)⁴ = (10)⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000
(5 × 2)⁴ ରେ ଆଧାର 10 ଓ ଘାତାଙ୍କ 4 । ∴ ମାନ = 10000

(ix) (10)⁷ ରେ ଆଧାର 10 ଓ ଘାତାଙ୍କ 7 ।
(10)⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10000000
(10)⁷ ର ମାନ = 10000000

(x) (-10)⁵ ରେ ଆଧାର -10 ଓ ଘାତାଙ୍କ 5 ।
(-10)⁵ = (-10)(-10)(-10)(-10)(-10) = -100000
(-10)⁵ ର ମାନ = -100000

Question 3.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

ସମାଧାନ :

Question 4.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) 10 ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ କେତେ ?
(ii) 5 ର କେଉଁ ଘାତ 625 ?
(iii) \(\frac{1}{8},\left(\frac{1}{2}\right)\)ର କେଉଁ ଘାତ ?
(iv) କେଉଁ ଆଧାରର ତୃତୀୟ ଘାତ \(\frac{-27}{8}\)
ସମାଧାନ :
(i) 10 ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ = (10)⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000
(ii) 625 = 5 × 5 × 5 × 5 = (5)⁴ ∴ 5 ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ 625 ।
(iii) \(\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^3\) ∴ \(\frac{1}{8},\left(\frac{1}{2}\right)\) ର ତୃତୀୟ ଘାତ ।
(iv) \(\frac{-27}{8}=\left(\frac{-3}{2}\right) \times\left(\frac{-3}{2}\right) \times\left(\frac{-3}{2}\right)=\left(\frac{-3}{2}\right)^3\)
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : \(-\frac{27}{8}=\frac{(-3)^3}{2^3}=\left(\frac{-3}{2}\right)^3\)

Question 5.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) \(\frac{2}{3}\) ଆଧାରର ଷଷ୍ଠ ଘାତ, \(\frac{4}{9}\) ଆଧାରର କେଉଁ ଘାତ ସହ ସମାନ ?
(ii) 5 ଆଧାରର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ, କେଉଁ ଆଧାରର ଦ୍ବିତୀୟ ଘାତ ସହ ସମାନ ?
(iii) 256 ଯେଉଁ ଆଧାରର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ, ତାହାର ତୃତୀୟ ଘାତ କେତେ ?
ସମାଧାନ :
(i) \(\frac{2}{3}\) ଆଧାରର ଷଷ୍ଠ ଘାତ = \(\left(\frac{2}{3}\right)^6=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\)
= \(\left(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\right) \times\left(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\right) \times\left(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9} \times \frac{4}{9} \times \frac{4}{9}=\left(\frac{4}{9}\right)^3\)
∴ \(\frac{2}{3}\) ଆଧାରର ଷଷ୍ଠ ଘାତ, \(\frac{4}{9}\) ଆଧାରର ତୃତୀୟ ଘାତ ସହ ସମାନ ।

(ii) 5 ଆଧାରର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ = (5)⁴
= 5 × 5 × 5 × 5 = (5 × 5) × (5 × 5) = 25 × 25 = (25)²
∴ 5 ଆଧାରର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ, 25 ଆଧାରର ତୃତୀୟ ଘାତ ସହ ସମାନ ।

(iii) 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 4 × 4 × 4 × 4 = (4)⁴
∴ 256, 4 ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ ।
∴ 4 ର ତୃତୀୟ ଘାତ = (4)³ = 4 × 4 × 4

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(a)

Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଭକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ଶେଷରେ ଠିକ୍ ଚିହ୍ନ (✓) ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ଶେଷରେ ଛକି ଚିହ୍ନ (x) ବସାଅ ।
(a) ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
(b) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଏକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍, ସେ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଏକ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ ।
(c) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଏକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ସେ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଏକ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ ।
(d) ଚତୁର୍ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କର୍ଣ୍ଣ ଏକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ।
(e) ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିର୍ଦେଶ ଏକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ।
(f) ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିର୍ଦେଶ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ଏକ ସେଟ୍ ।
(g) ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଓ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଦ୍ଦେଶର ସଂଯୋଗରେ ଗଠିତ ସେଟ୍‌କୁ ଚତୁର୍ଭୁଜାକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷେତ୍ର କୁହାଯାଏ ।
(h) ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଓ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ନଥାଏ ।
(i) ଚାରିଗୋଟି ବାହୁଦ୍ୱାରା ଆବଦ୍ଧ କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଚତୁର୍ଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।
Solution:
(a) ✓
(b) x
(c) ✓
(d) ✓
(e) x
(f) ✓
(g) ✓
(h) ✓
(i) x

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ______ ସମାନ ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ରମ୍ବସ୍ ହୁଏ ।
(b) ଏକ ______ ର କୋଣମାନ ସମକୋଣ ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ଆୟତଚିତ୍ର ହେବ ।
(c) ଏକ ______ ର କୋଣମାନ ସମକୋଣ ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ ।
(d) ଏକ ଆୟତଚିତ୍ରର ______ ସମାନ ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ ।
(e) କୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର ଏକଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ______ ହେବ ।
(f) କୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ______ ହେବ ।
(g) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଦୁଇ ସମାନ୍ତର ବାହୁ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଦୂରତାକୁ ଏହାର ______ କୁହାଯାଏ |
(h) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AB||CD, AD||BC ଏବଂ m∠ABC = 90° ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ______ ହେବ ।
Solution:
(a) ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
(b) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
(c) ରମ୍ବସ
(d) ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
(e) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍
(f) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
(g) ଉଚ୍ଚତା
(h) ଆୟତଚିତ୍ର

Question 3.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ଶେଷରେ ଠିକ୍ ଚିହ୍ନ ( ✓) ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ଶେଷରେ ଛକି ଚିହ୍ନ (x) ବସାଅ ।
(a) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆୟତଚିତ୍ର ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(b) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
(c) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(d) ପ୍ରତ୍ୟେକ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
(e) ପ୍ରତ୍ୟେକ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର |
(f) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆୟତଚିତ୍ର ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
(g) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
Solution:
(a) ✓
(b) ✓
(c) ✓
(d) x
(e) ✓
(f) x
(g) x

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜ Ex 2 Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜ Ex 2

Question 1.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ଥିଲେ କୋଠରି ମଧ୍ୟରେ ✓ ଚିହ୍ନ ଓ ଭୁଲ୍ ଥିଲେ × ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।
(a) \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overleftrightarrow{\mathrm{BC}}\), \(\overleftrightarrow{\mathrm{CA}}\) ପ୍ରତ୍ୟେକ ତ୍ରିଭୁଜ ABC ର ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ବାହୁ ।
(b) \(\overline{\mathrm{AB}})\), \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{CA}})\) ରେଖାଖଣ୍ଡତ୍ରୟ ଦ୍ଵାରା △ABC ଗଠିତ ହୁଏ ।
(c) ତ୍ରିଭୁଜ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍ ।
(d) ଗୋଟିଏ ସ୍ଥୂଳକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ ଅତିବେଶୀରେ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ରହିବ ।
(e) △ABC ର ∠B ଓ ∠C କୁ A ଠାରେ ଥ‌ିବା ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣ କୁହାଯାଏ |
(f) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ ଅତିବେଶୀରେ ଦୁଇଗୋଟି ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ରହିପାରିବ ।
(g) △ABC ରେ AB = AC ହେଲେ, ∠A ଓ ∠B ର ପରିମାଣଦ୍ଵୟ ସମାନ ହେବେ ।
(h) ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ଯମାତ୍ରୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ସର୍ବଦା ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଅବସ୍ଥାନ ନ କରିପାରନ୍ତି ।
(i) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ।
(j) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅପେକ୍ଷା ବୃହତ୍ତର ।
(k) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅପେକ୍ଷା ବୃହତ୍ତର ।
(l) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ସର୍ବଦା ଏହି ଶୀର୍ଷସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ।
Solution:
(a) x
(b) x
(c) ✓
(d) ✓
(e) ✓
(f) ✓
(g) x
(h) x
(i) x
(j) x
(k) ✓
(1) x

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର …….. ଗୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଅଛି ।
(b) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ସଂଖ୍ୟା ……………… |
(c) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ……………… |
(d) ଗୋଟିଏ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ବିପରୀତ ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ସଂଖ୍ୟା …………… |
(e) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ସଂଖ୍ୟା ……………… |
Solution:
(a) 3
(b) 3
(c) 3
(d) 3
(e) 3

Question 3.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ର ଦେଖ୍ ସାରଣୀରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥାନ ଅନୁଯାୟୀ ଉପଯୁକ୍ତ କୋଠରିରେ ✓ ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।

Question 4.
△ABC ର ବହିଃସ୍ଥ କୌଣମାନ ∠BAF, ∠CBD ଏବଂ ∠ACE | ଯଦି m∠BAF = 112° ଏବଂ m∠ABC = 53°; ତେବେ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:

△ABC ର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣମାନ ∠BAF, ∠CBD ଓ ∠ACE |
∴ m∠BAF = 112° ଓ m∠ABC = 53°
ବହିଃସ୍ଥ m∠BAF = m∠ABC + m∠ACB
⇒ 112° = 53° + m∠ACB ⇒ m∠ACB = 112° – 53° = 59°
m∠BAC = 180° – (m∠ABC + m∠ACB) = 180° – (53° + 59°) = 180° – 122° = 68°
ବହିଃସ୍ଥ m∠CBD = m∠BAC + m∠ACB = 68° + 59° = 127°
ବହିଃସ୍ଥ m∠ACE = m∠ABC + m∠BAC = 53° + 68° = 121°

Question 5.
△ABC ର m∠A : = 72° ଓ m∠B = 36° ହେଲେ, ∠C ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର । △ABC କି ପ୍ରକାର ତ୍ରିଭୁଜ ? ଏହାର ଉତ୍ତର କାରଣ ସହ ଦର୍ଶାଅ ।
Solution:
△ABC ରେ m∠A = 72° ଓ m∠B = 36° (ଦତ୍ତ)
ଆମେ ଜାଣିଛୁ, ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° |
ଅର୍ଥାତ୍ m∠A + m∠B + m∠C = 180°

⇒ 72° + 36° + m∠C = 180° ⇒ 180° + m∠C = 180°
⇒ m∠C = 180° – 1o8° = 72°
m∠A = 72° ଓ m∠C = 72°
⇒ m∠A = m∠C ଅର୍ଥାତ୍ AB = BC
∴ △ABC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
କାରଣ, ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି ବାହୁ ପରସ୍ପର ସମାନ ଓ ଏହାର ବିପରୀତ କୋଣ ଦ୍ଵୟ ସମାନ ।

Question 6.
△ABC ର ∠A ର ପରିମାଣ ∠B ର ପରିମାଣ ଅପେକ୍ଷା 10° ଅଧୂକ ଓ ∠B ର ପରିମାଣ ∠C ର ପରିମାଣ ଅପେକ୍ଷା 10° ଅଧ‌ିକ ହେଲେ, କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ମନେକର △ABC ର ∠C ର ପରିମାଣ x° ।
∴ m∠B = x + 10°
ଓ m∠A = (x + 10°) + 10° = x + 20°
ଅଧୂକ ପରିମାଣ, m∠A + m∠B + m∠C = 180° (ନ୍ତିଜ୍ମକର ତିନିକୋଣର ସମୟି 180°)
⇒ x° + 20° + x° + 10° + x° = 180° ⇒ 3x° + 30° = 180°
⇒ 3x° = 180° – 30° = 150° ⇒ x° = \(\frac { 150° }{ 3 }\) = 50°
∠C ର ପରିମାଣ = 50°, ∠B ର ପରିମାଣ = x° + 10° = 50° + 10° = 60°
ଏବଂ ∠A ର ପରିମାଣ = x + 20° = 50° + 20° = 70°

Question 7.
△ABC ରେ m∠B = 90° ହେଲେ, ନସମ୍ ପ୍ରଣଗୁଡିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ |
(i) m∠A + m∠C କେତେ ?
(ii) AB = BC ହେଲେ, m∠A କେତେ ?
(iii) m∠C = 30° ହେଲେ, m∠A କେତେ ?
(iv) B ବିନ୍ଦୁରେ △ABC ର ବହୁସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
(v) m∠A = 45° ହେଲେ, △ABC ର କେଉ ଭୁଲ ବାଦୁଇ ଦେଶ୍ୟ ସାମାନ ଦେବେ ?
Solution:
(i) m∠A + m∠C = (180° – m∠B)
(∵ ତ୍ରିଭୁକର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ m∠A + m∠C = 180° – 90° = 90°

(ii) △ABC ରେ AB = AC ହେଲେ, m∠A = m∠C
(i) ରୁ କଣାଅଛି ଯେ, m∠A + m∠C = 90°
⇒ m∠A = m∠C = \(\frac { 90° }{ 2 }\) = 45°
∴ m∠A = 45°
∴ AB = AC ହେଲେ, m∠A = 45° |

(iii) m∠A + m∠C = 90°
⇒ m∠A + 30° = 90° [∵ m∠C = 30° (ଦୁଇ)
⇒ m∠A = 90° – 30° = 60°
∴ m∠C = 30° ହେଲେ, m∠A = 90° |

(iv) B ଦିନ୍ଦୁରେ △ABC ର ଦହିମ କୋଣର ପରିମାଣ = m∠ABD = m∠A + m∠C = 90°

(v) ଆପେ (ii) ରୁ କାଣିଛି ମେ m∠A = 45° ଓ m∠C = 45°
ଆଧ୍ୟାତ୍ m∠A = m∠C
⇒ BC = AB
∴ m∠A = 45° ହେଲେ, △ABC ରୁ AB ଓ BC ବାହୁର ଦେଶ୍ୟ ସମାନ ଦେବ |

Question 8.
ABC ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ m∠B = 90°, ∠A ରୁ ପରିମାଣର 5 ଗୁଣ ହେଲେ, କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABC ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ m∠B = 90° ହେଲେ,
m∠A +m∠C = 90° [∵ m∠A + m∠B + m∠C = 180°]

ମନେକର ∠C ର ପରିମାଣ x |
ତେବେ ∠A ର ପରିମାଣ 5x |
m∠A+m∠C = 90°
⇒ 5x + x = 90° ⇒ 6x = 90° ⇒ x = \(\frac { 90° }{ 6 }\) = 15° = 5x = 15° × 5 = 75°
∴ ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ∠A ର ପରିମାଣ 75° ଓ ∠C ର ପରିମାଣ 15° |

Question 9.
△ABC ର m∠A = 48° ଓ m∠B = 110° ହେଲେ, ନିମ୍ନମ୍ ରକ୍ତଶ୍ନତିକରେ ଥିବା ଶୂନ୍ୟମାନ ପୂରଣ କର |
(a) ଶାପଦିନ୍ଦ ________ ରେ ଥ‌ିବା ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ।
(b) ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ A ଠାରେ ଥ‌ିବା ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ |
(c) Bଠାରେ ଥ‌ିବା ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ |
(d) Cଠାରେ ଥ‌ିବା ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ |
Solution:
(a) B
(b) 132°
(c) 70°
(d) 158°
[m∠C = 180° – (m∠A + m∠B) = 180° – (48° + 110°) = 22°
∴ A ଠାରେ ଥ‌ିବା ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = m∠B + m∠C, ସେହିପରି B ଠାରେ ଥ‌ିବା ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = m∠A + m∠C ଏବଂ C ଠାରେ ଥ‌ିବା ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = m∠A + m∠B]

Question 10.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overline{\mathrm{AD}})\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BC}})\), AD = BD ଓ m∠DAC ହେଲେ, 1, 2, 3 ଚିହ୍ନିତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
△ABC ରେ AD ⊥BC ହେଲେ m∠ADC = 90° |
ବହିଃସ୍ଥ m∠ADC = m∠BAD + m∠ABD
⇒ 90° = m∠BAD + m∠ABD
ପୁନଶ୍ଚ, AD = BD (ଦତ୍ତ)

⇒ m∠BAD = m∠ABD
(∵ △ ର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ ଏହି କୋଣଦ୍ଵୟର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ)
କିନ୍ତୁ ∠1 + ∠2 = 90° ଏବଂ ∠1 = ∠2 ହେଲେ ∠1 = ∠2 = \(\frac { 90° }{ 2 }\) = 45°
ADC ସମକୋଣୀ △ ରେ m∠ADC = 90° ହେଲେ
m∠DAC + m∠ACD = 90°
⇒ 42° + ∠3 = 90° [∵ m∠DAC = 42° (ଦତ୍ତ)]
⇒ ∠3 = 90° – 42° = 48°
∴ ∠1 = 45°, ∠2 = 45° ଓ ∠3 = 48° |

Question 11.
△ABC ଚିତ୍ରରେ AB = AC ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ସମାନ ।
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ରେ AB = AC | △ABC ର B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ ∠ABD ଓ ∠ACE |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ m∠ABD = m∠ACE
ପ୍ରମାଣ: AB = AC (ଦତ୍ତ)

ଆମେ ଜାଣିଛେ, ଧ ର ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହେଲେ, ଏହି ବାହୁଦ୍ୱୟର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ସମାନ ।
ଆଥାତ୍, m∠ABC = m∠ACB
m∠ABD + m∠ABC = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
ସେହିପରି m∠ACE + m∠ACB = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
(1) ଓ (2) ରୁ m∠ABD + m∠ABC = m∠ACE + m∠ACB
ମାତ୍ର m∠ABC + m∠ACB
⇒ m∠ABD + m∠ACE

Question 12.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 120° ଏବଂ ତାହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ 70° ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଟିର ପରିମାଣ କେତେ ?
Solution:
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 120° |
ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ 70° ହେଲେ ଅନ୍ୟ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଟିର ପରିମାଣ = 120° – 70° = 50° |

Question 13.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ,
AB+ BC + CD + AD > 2AC
Solution:

ଦତ୍ତ: ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ △ABC ଓ △ACD ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: AB + BC + CD + AD > 2AC
ଅଙ୍କନ: AC ଯୋଗ କର ।
ପ୍ରମାଣ:ଆମେ ଜାଣିଛେ, ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ଯେ କୌଣସି ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ଏହାର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ଦୁଦ୍ରରର |
△ABC ରେ, AB + BC > AC …(i)
କୋଣଟିର △ACD ରେ, AD + CD > AC …(ii)
(i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗକଲେ,
AB + BC + AD + CD > AC + AC
AB + BC + CD + AD > 2AC (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ, କ୍ଷୁଦ୍ରତମ କୋଣର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟିର ପରିମାଣ, ପୁତ୍ରତମ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ ହେଲେ, ବୃହତମ କୋଣର ପରିମାଣ କର ।
Solution:
ମନେକର △ABC ରେ ∠A କ୍ଷୁଦ୍ରତମ କୋଣ |
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, m∠B = 2m∠A ଓ m∠C = 3m∠A
ଆମେ ଜାଣିଲେ ଯେ,

m∠A +m∠B + m∠C = 180°
(∵ △ର ତିନିକୋଣ ପରିମାଣର କୋଣ 180°)
⇒ m∠A + 2m∠A + 3m∠A = 180°
⇒ 6m∠A = 180° ⇒ m∠A = \(\frac { 180° }{ 6 }\) = 30°
∴ ବୃହତମ କୋଣର ପରିମାଣ = m∠C = 3m∠A = 3 × 30° = 90°

Question 15.
ଚିତ୍ର (i), (ii) (iii) ରେ ଥିବା ପାଣସ୍ଥ ଚିତ୍ରମାନକରେ x ଚିହ୍ନିତ କୋଣର ପରିମାଣ ମିଳ କର |

Solution:
ଚିତ୍ର (i) △ABE ରେ ପାଣସ୍ଥ m∠AED = m∠BAE + m∠ABE = 75° + 65° = 140°
△CED ରେ ପାଣସ୍ଥ m∠DEA = m∠EDC + m∠ECD = x° + 75°
⇒ 140° = x° + 75° ⇒ x = 140° – 75° = 65°

ଚିତ୍ର (ii) m∠ACB + m∠ACD = 180°
⇒ m∠ACB + 120° = 180°
⇒ m∠ACB = 180° – 120° = 60°
△ABC ରେ ପାଣସ୍ଥ m∠EAB = m∠ABC + m∠ACB
⇒ 110° = x + 60°
⇒ x = 110° – 60° = 50°

ଚିତ୍ର (iii) △ABC ରେ AD ⊥ BC | ଆଥାତ୍, m∠ADB = m∠ADC = 90°
△ABD ରେ, m∠ADB + m∠BAD = 90°
⇒ 65° + m∠BAD = 90°
⇒ m∠BAD = 90° – 65° = 25°
△ADC ରେ, AD = DC (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ACD = m∠CAD
△ADC ରେ, m∠ADC + m∠CAD + m∠ACD = 180°
⇒ 90° + m∠CAD + m∠ACD = 180°
⇒ m∠CAD + m∠ACD = 180° – 90° = 90°
∴ m∠CAD = m∠ACD = \(\frac { 90° }{ 2 }\) = 45°
⇒ m∠CAD = 45°
∴ x = m∠BAD + m∠DAC = 25° + 45° = 70°

Question 16.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 4 ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ମନେକର ର କୋଣପ୍ରୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 2x, 3x ଓ 4x |
ଆମେ ଜାଣିଛ, ତ୍ରିକୁକର କୋଣତ୍ରୟ ପରିମାଣର ଗମନ 180° |
⇒ 2x + 3x + 4x = 180°
⇒ 9x = 180° ⇒ x = \(\frac { 180° }{ 9 }\) = 20°
⇒ 2x = 2 × 20° = 40°, 3x = 3 × 20 = 60°
ଓ 4x = 4 × 20 = 80°
∴ ତ୍ରିକୁକର କୋଣତ୍ରୟ ପରିମାଣ ପରିମାଣର 40°, 60° ଓ 80° |

Question 17.
△ABC ରେ m∠A + m∠B = 125° ଏବଂ m∠A + m∠C = 113° ହେଲେ, ପ୍ତିକୁକାର କୋଣପ୍ରୟତ ପରିପାଣ ମିଳ କାର |
Solution:
△ABC ରେ ଦଇ ଅଛି ଯେ, m∠A + m∠B = 125° …(i)
ଏବଂ m∠A + m∠C = 113° …(ii)
(i) ଓ (ii) କ୍ମ ଯୋଗକଲେ, m∠A + m∠B + m∠A + m∠C = 125° + 113°
⇒ (m∠A + m∠B + m∠C) + m∠A = 238°
⇒ 180° + m∠A = 238° (∵ △ ର ତିନିକୋଣର ସମୟ 180°)
⇒m∠A = 238° – 180° = 58°
(i) ରୁ m∠A + m∠B = 125°
⇒ 58°+m∠B = 125° (∵ m∠A = 58°)
⇒ m∠B = 125° – 58° = 67°
(ii) ରୁ m∠A + m∠C = 113°
⇒ 58° + m∠C = 113° (∵ m∠A= 58°)
⇒m∠C 113° – 58° = 55°
∴△ABC ର m∠A = 58°, m∠B = 67° ଓ m∠C= 55° |

Question 18.
△ABC ରେ ଯଦି 2m∠A = 3m∠B = 6m∠C ହଏ, ତେବେ କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର |
Solution:
ବାର ଅଛି ଯେ, △ABC ରେ
2m∠A = 3m∠B = 6m∠C
2m∠A = 3m∠B
m∠A : m∠B = 3 : 2
ସେତ୍ତିପରି 3 m∠B = 6m∠C
⇒ m∠B : m∠C = 6 : 3 = 2 : 1
∴ m∠A : m∠B : m∠C = 3 : 2 : 1
ପରିମାଣ, m∠A = 3x°, m∠B = 2x° ଏବଂ m∠C = x°
ଆମେ ଜାଣିଲେ, m∠A + m∠B + m∠C = 180°
3x° + 2x° + 3x° = 180°
⇒ 6x = 180° ⇒ x = 30°
∴ m∠A = 3 × 30° = 90°, m∠B = 2x = 2 × 30° = 60°
ଏବଂ m∠C = x° = 30°

Question 19.
ପାଣଣ୍ଠ ଚିତ୍ରରେ ଦେଖାଅ ଯେ ,
m∠DBC + m∠BCE > 2m∠A

Solution:
ଦଇ: △ABC ରେ m∠DBC ଓ m∠BCE ଦୁଇଟି ବହୁମୁ କୋଣ |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ: m∠DBC + m∠BCE > 2m∠A
ପ୍ରମାଣ : △ABC ରେ ଦସ୍ତସ୍ଥ m∠DBC > m∠A …(i)
ସେହିପରି ବହୁଣ୍ଠ m∠DBC > m∠A …(ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଇବା m∠DBC + m∠BCE > 2m∠A
(∵ ବହ୍ରୁମ କୋଣର ପରିମାଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତରମ କୋଣର ପରିମାଣଠାରୁ ବହୁତର |)

Question 20.
△ABC m∠A = m∠B + m∠C ଏବଂ m∠B = 2m∠C ହେଲେ, କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ, △ABC ରେ m∠A = m∠B + m∠C
⇒ m∠A + m∠A = m∠A + m∠B + m∠C (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ m∠A ଯୋଗକଲେ) (∵ ଧର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ 2m∠A = 180° (∵ △ର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
m∠A = \(\frac { 180° }{ 2 }\) = 90°
∴ m∠B + m∠C = 180° – m∠A 180° – 90° = 90°
∴ m∠B + m∠C = 90°
⇒ 2m∠C + m∠C = 90°
⇒ 3m∠C = 90° ⇒ m∠C = \(\frac { 90° }{ 3 }\) = 30°
∴ m∠B = 2 × m∠C = 2 × 30° = 60°