Class 8

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 7 ସମୀକରଣ ଓ ଏହାର ସମାଧାନ Ex 7(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 7 ସମୀକରଣ ଓ ଏହାର ସମାଧାନ Ex 7(a)

Question 1.
ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ମାନ ମଧ୍ଯରୁ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣରେ ଥିବା ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ଠିକ୍ ମାନଟିକୁ ବାଛି ଲେଖ ।
(i) x – 2 = 7 (2, 7, 9, 11)
(ii) y + 3 = 10 (3, 7, 11, 13)
(iii) 2x = 8 (4, 6, 8, 10)
(iv) \(\frac{x}{3}\) = 7 (10, 14, 18, 21)
(v) 8 – x = 3 (3, 5, 8, 11)
(vi) 7 – x = 2 (5, 6, 7, 8)
(vii) x × \(\frac{t}{5}\) = 10 (40, 50, 60, 70)
(viii) 1.6 = – \(\frac{y}{1.5}\) (1.5, 1.6, 2,1, 2.4)
(ix) – 8 – x = 3 (-11,-5, 0, 11)
(x) \(\frac{2}{3}\)x = 1.4 (1.4, 2.1, 2.8, 4.2)
ସମାଧାନ :
(i) 9
(ii) 7
(iii) 4
(iv) 21
(v) 5
(vi) 5
(vii) 50
(viii) 2.4
(ix) -11
(x) 2.1

Question 2.
ନିମ୍ନ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କର ।
(i) 3x + 7 = x + 15
(ii) 2x – 5 = x + 11
(iii) 2x – 6 = 5x + 9
(iv) 4x – 8 = 3x + 9
(v) 5x – 6 = 4x + 3
(vi) \(\frac{3}{7}\) + z = \(\frac{17}{7}\)
(vii) \(\frac{5x}{3}+\frac{2}{5}=1\)
(viii) \(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{2}{4}=13\)
(ix) \(\frac{2x}{3}-\frac{3x}{8}=\frac{7}{12}\)
(x) \(\frac{7}{x}+\frac{3}{5}=\frac{-1}{10}\)
ସମାଧାନ :
(i) 3x + 7 = x + 15 ⇒ 3x +7 – 7 = x + 15 – 7 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରୁ 7 ବିୟୋଗ କରି ।)
⇒ 3x = x + 8 = 3x – x ⇒ x + 8 – x (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରୁ x ବିୟୋଗ କରି ।)
⇒ 2x =8 = x = \(\frac{8}{2}\) = 4
∴ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ : 4

(ii) 2x – 5 = x + 11
⇒ 2x – x = 11 + 5 (ପାର୍ଶ୍ୱ ପରିବର୍ତ୍ତନ)
⇒ x = 16
∴ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ : 16

(iii) 2x – 6 = 5x + 9
⇒ 2x – 6 – 5x = 5x + 9 – 5x (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରୁ 5x ବିୟୋଗ କରି ।)
⇒ – 3x – 6 = 9
⇒ – 3x – 6 + 6 = 9 + 6 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରେ 6 ଯୋଗ କରି ।)
⇒ – 3x = 15 ⇒ \(\frac{-3x}{3}=\frac{15}{-3}\) ⇒ x = -5 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରେ -3 ଦ୍ୱାରା ଭାଗକରି ।)
∴ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ : -5

(iv) 4x – 8 = 3x + 9
⇒ 4x – 8 – 3x = 3x + 9 – 3x (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରୁ 3x ବିୟୋଗ କରି ।)
⇒ x – 8 = 9
⇒ x – 8 + 8 = 9 + 8 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରେ 8 ଯୋଗକରି ।)
⇒ x = 17
∴ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ : 17

(v) 5x – 6 = 4x + 3
⇒ 5x – 4x = 3 + 6 (ପାର୍ଶ୍ବ ପରିବର୍ତ୍ତନ)
⇒ x = 9
∴ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ : 9

(vi) \(\frac{3}{7}\) + z = \(\frac{17}{7}\) ⇒ \(\frac{3}{7}+z-\frac{3}{7}=\frac{17}{7}-\frac{3}{7}\) (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରୁ \(\frac{3}{7}\) ବିୟୋଗ କରି ।)
⇒ z = \(\frac{17-3}{7}=\frac{14}{7}\) ⇒ z = 2
∴ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ : 2

(vii)

(viii)

(ix)

(x)

Question 3.
ସମାଧାନ କର : (ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀର ସାହାଯ୍ୟରେ)
(i) \(\frac{x+2}{x-2}=\frac{3}{2}\)
(ii) \(\frac{7 y+2}{5}=\frac{6 y-5}{11}\)
(iii) \(\frac{x+7}{2 x-5}=\frac{1}{3}\)
(iv) \(\frac{5 x+6}{3 x-5}=\frac{4}{3}\)
(v) \(\frac{x+\frac{1}{2}}{2 x-\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\)
ସମାଧାନ :
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ⇒ ad = bc (ବଜ୍ରଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା)

(i) \(\frac{x+2}{x-2}=\frac{3}{2}\)
⇒ 2(x + 2) = 3(x – 2) (ବଜ୍ରଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା)
⇒ 2x + 4 = 3x – 6 ⇒ 2x – 3x = -6 – 4 (ପାର୍ଶ୍ୱ ପରିବର୍ତ୍ତନ)
⇒ -x = -10 ⇒ x – 10 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରୁ ବିଯୁକ୍ତ ଚିହ୍ନ ଅପସାରଣ କରାଯାଇଛି)
∴ ନିର୍ୟୟ ସମାଧାନ : 10

(ii) \(\frac{7 y+2}{5}=\frac{6 y-5}{11}\)
⇒ 11(7y + 2) = 5(6y – 5) ⇒ 77y + 22 = 30y – 25
⇒ 77y – 30y = -25 – 22 (ପାର୍ଶ୍ୱ ପରିବର୍ତ୍ତନ)
⇒ 47 y = – 47 ⇒ y = – 1
∴ ନିର୍ୟୟ ସମାଧାନ : -1

(iii) \(\frac{x+7}{2 x-5}=\frac{1}{3}\)
⇒ 3(x + 7) = 1 (2x – 5) (ବଜ୍ରଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା)
⇒ 3x +21 = 2x – 5 ⇒ 3x + 21 – 2x = 2x – 5 – 2x (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରୁ 2x ବିୟୋଗ କରି ।)
⇒ x + 21 = -5 ⇒ x + 21 – 21 = -5 – 21 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବରୁ 21 ବିୟୋଗ କରି ।)
⇒ x = – 26
∴ ନିର୍ୟୟ ସମାଧାନ : -26

(iv) \(\frac{5 x+6}{3 x-5}=\frac{4}{3}\)
⇒ 3(5x + 6) = 4 (3x – 5) (ବଜ୍ରଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା)
⇒ 15x + 18 = 12x – 20 ⇒ 15x – 12x = -18 – 20 (ପାର୍ଶ୍ୱ ପରିବର୍ତ୍ତନ)
⇒ 3x = – 38 ⇒ x = \(\frac{-38}{3}\) ବା \(-12 \frac{2}{3}\) (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବକୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଭାଗକରି ।)
∴ ନିର୍ୟୟ ସମାଧାନ : \(-12 \frac{2}{3}\)

(v) \(\frac{x+\frac{1}{2}}{2 x-\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\) (ଲବ ଓ ହର ଉଭୟକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଭାଗକରି ।)
⇒ \(\frac{2\left(x+\frac{1}{2}\right)}{2\left(2 x-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2 x+1}{4 x-1}=\frac{1}{3}\) ⇒ 3(2x – 1) = 1 (4x – 1) (ବଜ୍ରଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା)
⇒ 6x – 3 = 4x – 1 ⇒ 6x – 4x = -3 – 1
⇒ 2x = -4 ⇒ x = \(\frac{-4}{2}\) = -2
∴ ନିର୍ୟୟ ସମାଧାନ : -2

Question 4.
ସମାଧାନ କର । ତତ୍ପରେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ପରିବର୍ତ୍ତେ ନିର୍ମେୟ ମୂଳକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ବର ସମାନତାକୁ ପରୀକ୍ଷା କର ।
(i) 2(x + 3) + 7(x – 7) = 3(x + 6) + 12
(ii) (x + 1)(x + 2) + 6 = (x – 3)(x – 4)
(iii) x(x + 11) = (x + 5)(x + 7) – 9
(iv) 2(x + 3) + 15 = 3(2x – 4) + 24
(v) 24x – 8(2x + 8) = 6x – (2 – x) – 72
ସମାଧାନ :
(i) 2(x + 3) + 7(x – 7) = 3(x + 6) + 12 ⇒ 2x + 6 + 7x – 49 = 3x + 18 + 12
⇒ 9x – 43 = 3x + 30 (ପକ୍ଷାନ୍ତରଣ ଦ୍ଵାରା)
⇒ 9x – 3x = 30 + 43 ⇒ 6x = 73 ⇒ x = \(\frac{73}{6}\) ବା \(12 \frac{1}{6}\)
∴ ନିର୍ୟୟ ସମାଧାନ : \(12 \frac{1}{6}\) ।

ସମାନତା ପରୀକ୍ଷା :
ବାମ ପାର୍ଶ୍ବ = 2(x + 3) + 7(x – 7)
=\(2\left(\frac{73}{6}+3\right)+7\left(\frac{73}{6}-7\right)=2\left(\frac{73+18}{6}\right)+7\left(\frac{73-42}{6}\right)\)
= \(\frac{2 \times 91}{6}+\frac{7 \times 31}{6}=\frac{182}{6}+\frac{217}{6}=\frac{399}{6}=\frac{133}{2}\)

ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ବ = 3(x + 6) + 12
= \(3\left(\frac{73}{6}+6\right)+12=3 \times \frac{73+36}{6}+12=\frac{109}{2}+12\)
= \(\frac{109+24}{2}=\frac{133}{2}\)
∴ ବାମପାର୍ଶ୍ବ = ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ବ

(ii) (x + 1)(x + 2) + 6 = (x – 3)(x – 4)
⇒ x² + x + 2x + 2 + 6 = x² – 4x – 3x + 12
⇒ x² + 3x + 8 = x² – 7x + 12
⇒ x² + 3x + 7x = 12 – 8 (ପକ୍ଷାନ୍ତରଣ ଦ୍ଵାରା)
⇒ 10x = 4 = x = \(\frac{4}{10}\) ବା \(\frac{2}{5}\)
∴ ନିର୍ୟୟ ସମାଧାନ : \(\frac{2}{5}\) ।

ସମାନତା ପରୀକ୍ଷା :
ବାମ ପାର୍ଶ୍ବ = (x + 1)(x + 2) + 6 = \(\left(\frac{2}{5}+1\right)\left(\frac{2}{5}+2\right)\) + 6
= \(\frac{2+5}{5} \times \frac{2+10}{5}+6=\frac{7}{5} \times \frac{12}{5}+6=\frac{84}{25}+6=\frac{84+150}{25}=\frac{234}{25}\)

ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ବ = (x – 3)(x – 4) = \(\left(\frac{2}{5}-3\right)\left(\frac{2}{5}-4\right)\)
= \(\frac{2-15}{5} \times \frac{2-20}{5}=\frac{-13}{5} \times \frac{-18}{5}=\frac{234}{25}\)
∴ ବାମପାର୍ଶ୍ବ = ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ବ ।

(iii) x(x + 11) = (x + 5)(x + 7) – 9
⇒ x² + 11x = x² + 5x + 7x + 35 – 9
⇒ x² + 11x = x² + 12x + 26
⇒ x² – x² + 11x – 12x = 26 (ପକ୍ଷାନ୍ତରଣ ଦ୍ଵାରା)
⇒ -x = 26
⇒ (-x) (-1) = 26(-1) ⇒ x = – 26
∴ ନିର୍ୟୟ ସମାଧାନ : -26 ।

ସମାନତା ପରୀକ୍ଷା :
ବାମ ପାର୍ଶ୍ବ = x(x + 11) = -26 (-26 + 11) = -26 × -15 = 390

ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ବ = (x + 5)(x + 7) – 9 = (-26 + 5)(-26 + 7) – 9
= -21 × (-19) – 9 = 399 – 9 = 390
∴ ବାମପାର୍ଶ୍ବ = ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ବ ।

(iv) 2(x + 3) + 15 = 3(2x – 4) + 24 ⇒ 2x + 6 + 15 = 6x – 12 + 24
⇒ 2x + 21 = 6x + 12 ⇒ 2x – 6x = 12 – 21
⇒ -4x = -9 ⇒ x = \(\frac{9}{4}\) ବା \(2 \frac{1}{4}\)
∴ ନିର୍ୟୟ ସମାଧାନ : \(2 \frac{1}{4}\) ।

ସମାନତା ପରୀକ୍ଷା :
ବାମ ପାର୍ଶ୍ବ = 2(x + 3) + 15 = 2(\(\frac{9}{4}\) + 3) + 15 = 2(\(\frac{9+12}{4}\)) + 15 = 2 × \(\frac{21}{4}\) + 15 = \(\frac{21}{2}\) + 15
= \(\frac{21+30}{2}\) = \(\frac{51}{2}\)

ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ବ = 3(2x – 4) + 24 = 3(2 × \(\frac{9}{4}\) – 4) + 24 = 3(\(\frac{9}{2}\) – 4) + 24
= \(3\left(\frac{9-8}{2}\right)+24=\frac{3}{2}+24=\frac{3+48}{2}=\frac{51}{2}\)
∴ ବାମପାର୍ଶ୍ବ = ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ବ ।

(v) 24x – 8(2x + 8) = 6x – (2 – x) – 72 ⇒ 24x – 16x – 64 = 6x – 2 + x – 72
⇒ 8x – 64 = 7x – 74 ⇒ 8x – 7x = 64 – 74
⇒ x = -10
∴ ନିର୍ୟୟ ସମାଧାନ : – 10 ।

ସମାନତା ପରୀକ୍ଷା :
ବାମ ପାର୍ଶ୍ବ = 24x – 8(2x + 8) = 24(-10) – 8[2 × (-10) + 8]
= -240 – 8 × (-12) = -240 + 96 = 144

ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ବ = 6x – (2 – x) – 72 = 6 ×(-10) – {2 – (-10)} – 72
= -60 – (2 + 10) – 72 = -60 – 12 – 72 = -144
∴ ବାମପାର୍ଶ୍ବ = ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ବ ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 7 ସମୀକରଣ ଓ ଏହାର ସମାଧାନ Ex 7(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 7 ସମୀକରଣ ଓ ଏହାର ସମାଧାନ Ex 7(b)

Question 1.
କୌଣସି ଏକ ସଂଖ୍ୟାର \(\frac{4}{5}\), ସେହି ସଂଖ୍ୟାର \(\frac{3}{4}\) ଠାରୁ 4 ଅଧ୍ଵ । ସଂଖ୍ୟାଟି ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
4 4x x6 = 5
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x ।
xର \(\frac{4}{5}=\frac{4x}{5}\) ଓ xର \(\frac{3}{4}=\frac{3x}{4}\) ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac{4x}{5}=\frac{3x}{4}+4\) ⇒ \(\frac{4x}{5}=\frac{3x+16}{4}\)
⇒ 4x × 4 = 5 (3x + 16) ⇒ 16x = 15x + 80 ⇒ 16x – 15x = 80 ⇒ x = 80
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି 80 ।

Question 2.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର \(\frac{1}{3}\), ଏହାର \(\frac{1}{4}\), ଅପେକ୍ଷା 6 ଅଧୂକ ?
ସମାଧାନ :
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x । xର \(\frac{1}{3}=\frac{x}{3}\) ଓ xର \(\frac{1}{4}=\frac{x}{4}\) ।
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, \(\frac{x}{x}=\frac{x}{4}+6\) ⇒ \(\frac{x}{3}=\frac{x+24}{4}\)
⇒ 4x = 3 ( x + 24) ⇒ 4x = 3x + 72 ⇒ 4x – 3x = 72 ⇒ x = 72
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି 72 ।

Question 3.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର \(\frac{1}{2}\), 12 ରୁ ଯେତେ କମ୍; ଏହାର \(\frac{5}{2}\), 12 ରୁ ସେତେ ଅଧିକ ?
ସମାଧାନ :
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x । x ର \(\frac{1}{2}=\frac{x}{2}\) ଏବଂ xର \(\frac{5}{2}=\frac{5x}{2}\) ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 12 – \(\frac{x}{2}=\frac{5x}{2}\) – 12 ⇒ \(\frac{x}{2}+\frac{5x}{2}\) = 12 + 12
⇒ \(\frac{5x+x}{2}\) = 24 ⇒ 6x = 48 ⇒ x = \(\frac{48}{6}\) = 8
∴ ନିର୍ଦେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 8 ।

Question 4.
ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 33 ହେଲେ, ମଧ୍ଯମ ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ମଧ୍ୟମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି x ।
∴ ପ୍ରଥମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି = x – 2 ଓ ତୃତୀୟ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି = x + 2
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟି 33 ।
⇒ x – 2 + x + x + 2 = 33 ⇒ 3x = 33 ⇒ x = 11
∴ ମଧ୍ଯମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ।

Question 5.
କେଉଁ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 31 ?
ସମାଧାନ :
ମନେକର କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ x ।
∴ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି = x + 1
ପ୍ରଶାନୁସାରେ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 31 ।
x + x + 1 = 31 ⇒ 2x + 1 = 31 ⇒ 2x = 30 ⇒ x = 15
∴ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା = 15 ଓ ଅନ୍ୟଟି x + 1 = 15 + 1 = 16
∴ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 15 ଓ 16 ।

Question 6.
ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 36 ହେଲେ, ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର x ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ x – 2, x, x + 2 ।
(କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ x, x + 2 ଏବଂ x + 4 ହୋଇପାରେ ।)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x – 2 + x + x + 2 = 36 ⇒ 3x = 36 ⇒ x = 12
ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାଟି = x + 2 = 12 + 2 = 14
∴ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାଟି 14 ।

Question 7.
ହମିଦ୍ ଟଙ୍କାର 15%, ରସିଦ ଟଙ୍କାର 20% ସହ ସମାନ । ଦୁଇଜଣଙ୍କର ଟଙ୍କା ମିଶି 350 ହେଲେ, କାହାର ଟଙ୍କା କେତେ ?
ସମାଧାନ :
ମନେକର ହମିଦୂର x ଟଙ୍କା ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁଯାୟୀ ରସିଦୂର (350 – x) ଟଙ୍କା । (∵ ସେ ଦୁଇଜଣଙ୍କର ମୋଟ ଟଙ୍କା 350 ଟଙ୍କା ।)
x ଟଙ୍କାର 15% = x × \(\frac{15}{100}\) ଟଙ୍କା = \(\frac{15x}{100}\) ଟଙ୍କା
(350 – x) ଟଙ୍କାର 20% = (350 − x) × \(\frac{20}{100}\) ଟ. = \(\frac{20(350-x)}{100}\) ଟଙ୍କା
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ହମିଦ୍ରର ଟଙ୍କାର 15% = ରସିଦୂର ଟଙ୍କାର 20% ।
⇒ \(\frac{15x}{100}=\frac{20(350-x)}{100}\) ⇒ 15x = 7000 – 20x = 15x + 20x = 7000 ⇒ 35x = 7000
⇒ x = \(\frac{7000}{35}\) = 200 ହମିଦୂର ଟଙ୍କା
∴ ରସିଦୂର ଟଙ୍କା = 350 – 200 = 150 ଟଙ୍କା |
∴ ହମିଦ୍‌ର 200 ଟଙ୍କା ଓ ରସିଦ୍‌ 150 ଟଙ୍କା ।

Question 8.
ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି 9 । ଯଦି ଅଙ୍କଦ୍ୱୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳାଯାଏ; ତେବେ ନୂତନ ସଂଖ୍ୟାଟି ମୂଳ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 27 ଅଧ‌ିକ ହେବ । ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି x ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ = 9 – x
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି 10 (9 – x) + x = 90 – 10 x + x = 90 – 9x
ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳିଲେ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି (9 – x) ଓ ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି x ହୁଏ ।
∴ ପରିବର୍ତ୍ତତ ସଂଖ୍ୟାଟି = 10x + 9 – x = 9x + 9
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 9x + 9 = 90 – 9x + 27 ⇒ 9x + 9x = 90 + 27 − 9 ⇒ 18x = 108
⇒ x = \(\frac{108}{18}\) = 6
ସଂଖ୍ୟାଟି = 90 – 9x = 90 – 9 × 6 = 90 – 54 = 36
∴ ନିଶ୍ଚେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 36 |

Question 9.
ଦୁଇ ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି 10 । ସଂଖ୍ୟାଟିରେ 36 ଯୋଗକଲେ ସଂଖ୍ୟାଟିର ଅଙ୍କଦ୍ୱୟର ସ୍ଥାନ ବଦଳିଯାଏ । ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ x ।
ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ (10 – x) । [:: ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 10]
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି = 10x + (10 – x) = 10x + 10 – x = 9x + 10
ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନ ବଦଳିଗଲେ ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି ହୁଏ (10 – x) ଓ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି ହୁଏ x ।
∴ ପରିବର୍ତ୍ତତ ସଂଖ୍ୟାଟି = 10(10 − x) + x = 100 – 10x + x = 100 – 9x
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, (9x + 10) + 36 = 100 – 9x
⇒ 9x + 9x = 100 – 46 ⇒ 18x = 54
⇒ x = \(\frac{54}{18}\) = 3
ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ = x = 3 ଓ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ = 10 – x = 10 – 3 = 7
ସଂଖ୍ୟାଟି = 10x + 7 = 10 × 3 + 7 = 30 + 7 = 37
∴ ନିର୍ଦେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 37 ।

Question 10.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର 20% ଏହାର 12% ଅପେକ୍ଷା 12 ଅଧ୍ଵ ?
ସମାଧାନ :
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x ର 20% = x ର 12% + 12
⇒ \(x \times \frac{20}{100}=x \times \frac{12}{100}+12 \Rightarrow x \times \frac{1}{5}=x \times \frac{3}{25}+12 \Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{3 x}{25}+12 \Rightarrow \frac{5 x-3 x}{25}=12\)
⇒ \(\frac{2x}{25}\) = 12 ⇒ 2x = 25 × 12 ⇒ 2x = 300 ⇒ x = \(\frac{300}{2}\) = 150
∴ ନିର୍ଦେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 150 ।

Question 11.
ଦୁଇଟି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ଅନ୍ତର 30 । ସେମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ 2 : 5 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି କେତେ ?
ସମାଧାନ :
ମନେକର ଗୋଟିଏ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା x । ଅନ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାଟି = x – 30
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac{x-30}{x}=\frac{2}{5}\) ⇒ 5x – 150 = 2x ⇒ 5x – 2x = 150
⇒ 3x = 150 ⇒ x = \(\frac{150}{3}\) = 50
ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ ସଂଖ୍ୟା = 50
ଅନ୍ୟ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟା = x – 30 = 50 – 30 = 20
∴ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 50 ଓ 20 ।

Question 12.
ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀର ମୋଟ ପିଲା ସଂଖ୍ୟା 49 । ପୁଅ ପିଲାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଝିଅ ପିଲାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାର \(\frac{3}{4}\) ଗୁଣ ହେଲେ ଶ୍ରେଣୀରେ ପୁଅ ଓ ଝିଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ଶ୍ରେଣୀର ପୁଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା x ଓ ଝିଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 49 – x ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x = \(\frac{3}{4}\)(49 – x)
⇒ 4x = 3 (49 – x) ⇒ 4x = 147 – 3x
⇒ 4x + 3x = 147 ⇒ 7x = 147
⇒ x = \(\frac{147}{7}\) = 121
∴ ପୁଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 21
∴ ଝିଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 49 – x = 49 – 21
∴ ଶ୍ରେଣୀରେ ପୁଅ ଓ ଝିଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଯଥାକ୍ରମେ 21 ଓ 28 ।

Question 13.
ଦୁଇଟି ଅନୁପୂରକ କୋଣର ଅନ୍ତର 10° ହେଲେ, କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ x° ।
ଏହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 90° – x
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x° – (90° – x) = 10
⇒ x – 90° + x = 10 ⇒ 2x = 10 + 90
⇒ 2x = 100 ⇒ x = \(\frac{100}{2}\) = 50°
ଗୋଟିଏ କୋଣ = 50° ଓ ଅନ୍ୟ କୋଣଟି = 90° – x = 90° – 50° = 40°
∴ ଅନୁପୂରକ କୋଣଦ୍ଵୟ 50° ଓ 40° ।

Question 14.
ଗୋଟିଏ ଥଳିରେ ଟ. 500ର 5ଟେଙ୍କିଆ ଓ 10 ଟଙ୍କିଆ ମୁଦ୍ରା ଅଛି । ମୋଟ ମୁଦ୍ରା ସଂଖ୍ୟା 75 ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକାର ମୁଦ୍ରା ସଂଖ୍ୟା କେତେ ?
ସମାଧାନ :
ମନେକର ଥଳିରେ x ଟି 5 ଟଙ୍କିଆ ମୁଦ୍ରା ଅଛି ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 10 ଟଙ୍କିଆ ମୁଦ୍ରା ସଂଖ୍ୟା =75 – x
xଟି 5 ଟଙ୍କାର ମୂଲ୍ୟ = 5 × x = 5x ଟଙ୍କା ଓ 10 ଟଙ୍କାର ମୂଲ୍ୟ = 10 (75 – x) ଟଙ୍କା
ମୋଟ ଟଙ୍କାର ମୂଲ୍ୟ = 5x + 10 (75 – x)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 5x + 10 ( 75 – x) = 500
⇒ 5x + 750 – 10 x = 500 ⇒ -5x = 500 – 750 ⇒ -5x = -250 ⇒ x = \(\frac{250}{5}\)
∴ 50 ଟଙ୍କିଆ ମୁଦ୍ରା ସଂଖ୍ୟା = 50 ଟି
∴ 50 ଟଙ୍କିଆ ମୁଦ୍ରା ସଂଖ୍ୟା = 75 − x = 75 – 50 = 25 ଟି
∴ ଥଳିଟିରେ 50 ଟି 5 ଟଙ୍କିଆ ମୁଦ୍ରା ଓ 25 ଟି 10 ଟଙ୍କିଆ ମୁଦ୍ରା ଅଛି ।

Question 15.
ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥର ଦୁଇଗୁଣ । ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା 150 ମିଟର ହେଲେ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ × ମିଟର ଓ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x ମିଟର ।
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = 2(ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ) = 2(2x+x) = 2(3x) = 6x ମିଟର ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ 6x = 150 ମି. ⇒ x = \(\frac{150}{6}\) = 25
∴ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = = 2x = 2 × 25 = 50 ମି.
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 50 ମି ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 25 ମି. ।

Question 16.
ଗୋଟିଏ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଲବ ଓ ହରର ଅନୁପାତ 3 :4 । ହରରେ 3 ଯୋଗକଲେ, ଲବ ଓ ହରର ଅନୁପାତ 3 : 5 ହୁଏ । ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଲବ 3x ଓ ହର 4x ।
ହରରେ 3 ଯୋଗକଲେ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ = \(\frac{3x}{4x+3}\)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac{3x}{4x+3}=\frac{3}{5}\) ⇒ 15x = 3 (4x +3) ⇒ 15x = 12x + 9 ⇒ 15x – 12x = 9
⇒ 3x = 9 ⇒ x = \(\frac{9}{3}\) = 3
∴ ଲବ = 3x = 3 × 3 = 9, ହର = 3x = 4 × 3 = 12
∴ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି \(\frac{9}{12}\) ।

Question 17.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣରୁ 10 ଲେଖାଏଁ କମାଇଦେଲେ ଅବଶିଷ୍ଟର ଅନୁପାତ 6 : 4 : 5 ହୁଏ । ତ୍ରିଭୁଜଟିର ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣରୁ 10 ଲେଖାଏଁ କମାଇଦେଲେ ଅବଶିଷ୍ଟର ଅନୁପାତ ଯଥାକ୍ରମେ ଯଥାକ୍ରମେ 6x, 4x ଓ 5x ।
∴ ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ a 6x + 10°, 4x + 10° ଓ 5x + 10° ।
ଆମେ ଜାଣିଛୁ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, (6x + 10) + (4x + 10) + (5x + 10) = 180
⇒ 6x + 10 + 4x + 10 + 5x + 10 = 180 ⇒ 15x + 30 = 180
⇒ 15x = 180 – 30 ⇒ 15x = 150 ⇒ x = \(\frac{150}{15}\) = 10
ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ = 6x + 10 = 6 × 10 + 10 = 60 + 10 = 70°
∴ ତ୍ରିଭୁଜଟିର ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ 70° ।

Question 18.
ଶରତ ତା’ ଘରଠାରୁ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି 4 କି.ମି. ବେଗରେ ସ୍କୁଲକୁ ଯାଇ ଘଣ୍ଟା ବାଜିବାର 12 ମିନିଟ୍ ପରେ ପହଞ୍ଚିଲା । ପରଦିନ ସେ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି 5 କି.ମି. ବେଗରେ ଯାଇ ଠିକ୍ ସମୟରେ ସ୍କୁଲରେ ପହଞ୍ଚିଲା । ଉଭୟ ଦିନ ସେ ଘରୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟରେ ସ୍କୁଲକୁ ଯାଇଥିଲେ । ତା’ ଘରଠାରୁ ସ୍କୁଲର ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ଶରତ ଘରଠାରୁ ସ୍କୁଲର ଦୂରତା x କି.ମି. ।
ଘଣ୍ଟାକୁ 4 କି.ମି. ବେଗରେ ଗଲେ x କି.ମି. ଯିବାକୁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{x}{4}\) ଘଣ୍ଟା = 15 ମିନିଟ୍
ପରଦିନ ଘଣ୍ଟାକୁ 5 କି.ମି. ବେଗରେ ଗଲେ x କି.ମି. ଯିବାକୁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{x}{5}\) ଘଣ୍ଟା = 12 ମିନିଟ୍
∴ ଅଧିକ ବେଗରେ ଗଲେ ପୂର୍ବ ସମୟ ଅପେକ୍ଷା = 15 ମିନିଟ୍ – 12 ମିନିଟ୍ = 3 ମିନିଟ୍ ଆଗରୁ ଠିକ୍ ସମୟରେ ପହଞ୍ଚୁଛି ।
କିନ୍ତୁ କମ୍ ବେଗରେ ଗଲେ ଠିକ୍ ସମୟଠାରୁ ଠିକ୍ 12 ମିନିଟ୍ ଡେରିରେ ପହଞ୍ଚୁଛି ।
∴ 3 ମିନିଟ୍ ଅଧୂକ ସମୟ ଲାଗୁଛି x କି.ମି. ଯିବାକୁ ବା ଘରଠାରୁ ସ୍କୁଲର ଦୂରତା ଯିବାକୁ ।
12 ମିନିଟ୍ ଅଧ‌ିକ ସମୟ ଲାଗିବ = 12 ÷ 3 = 4 କି.ମି. ଯିବାକୁ ।
ଅର୍ଥାତ୍ ଶରତ ଘରଠାରୁ ସ୍କୁଲର ଦୂରତା 4 କି.ମି. ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(d)

Question 1.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2-55 ଡେସିମିଟର ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 68 ସେ.ମି. । କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2-55 ଡେସିମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 68 ସେ.ମି. = \(\frac { 68 }{ 10 }\) ଡେସିମି.
∴ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 2.55 × \(\frac { 68 }{ 10 }\) = 8. 67 ବ. ଡେସିମି.

Question 2.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜ ଆକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ ପାର୍କର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 288 ମିଟର ଏବଂ ସେହି ବାହୁର ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ତାହା ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABC ତ୍ରିଭୁଜାକାର ପାର୍କର ଭୂମି = BC = 288 ମି.
ବାହୁର = AD = 115 ମି.

∴ △ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 288 × 115 = 144 × 115 = 16560 ଜଣ. ମି.

Question 3.
ନିମ୍ନରେ ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 14√2 ସେ.ମି.
(ii) 8√6 ମିଟର
Solution:
(i) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (14√2)² ବ. ସେ.ମି.
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 14 × 14 × 2 = 98√3 ବ. ସେ.ମି.

(ii) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (8√6)² ବ.ମି. = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 8 × 8 × 6 = 96√3 ବ.ମି.

Question 4.
ନିମ୍ନରେ ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
(i) 12 ଭେସି ମି.
(ii) 36√3 ମି.
Solution:
(i) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × (ଉଚ୍ଚତା)² = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × (12)² ବ. ଡେଵି ମି.
= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × 12 × 12 = \(\frac{12 \times 12 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\) = \(\frac{12 \times 12 \sqrt{3}}{3}\) = 48√3 ବ. ଡେଵି ମି.

(ii) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା = 36√3 ମି.
∴ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × (ଉଚ୍ଚତା)² = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × (36√3)² ବ.ମି. = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × 36 × 36 × 3 = 1296√3 ବ.ମି.

Question 5.
ନିମ୍ନୋକ୍ତ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 42 ସେ.ମି., ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 35 ସେ.ମି. |
(ii) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 42 ସେ.ମି., ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 61 ମି. |
(iii) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ସେ.ମି., ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ y ସେ.ମି. ।
Solution:
(i) ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 35 ସେ.ମି.
ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (b) = 42 ସେ.ମି.
∴ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା = \(\sqrt{a^2-\frac{1}{4} b^2}\)

⇒ AD = \(\sqrt{(35)^2-\frac{1}{4} \times(42)^2}\) = \(\sqrt{1225-\frac{1}{4} \times(1764)}\) = \(\sqrt{1225-441}\) = 28 ସେ.ମି.
∴ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 42 × 28 = 588 ବ. ସେ.ମି.

(ii) ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = 61 ମି.
ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (b) = 22 ସେ.ମି.
= \(\sqrt{(61)^2-\frac{1}{4} \times(22)^2}\) = \(\sqrt{3721-121}\) = \(\sqrt{3600}\) = 60 ମି.
∴ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 22 ମି. × 60 ମି. = 660 ଦ.ମି.

(iii) ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (a) = y ସେ.ମି.
ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (b) = x ସେ.ମି.
∴ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା = \(\sqrt{a^2-\frac{1}{4} b^2}\) = \(\sqrt{y^2-x^2}\) = \(\sqrt{\frac{4 y^2-x^2}{4}}\) = \(\frac{\sqrt{4 y^2-x^2}}{2}\) ସେ.ମି.
∴ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × x × \(\frac{\sqrt{4 y^2-x^2}}{2}\) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) × \(\sqrt{4 y^2-x^2}\) ବ. ସେ.ମି.

Question 6.
△ABC ରେ AD ଓ BE ଯଥାକ୍ରମେ BC ଓ CA ପତ୍ତି ଉତ୍ପ | BC = 30 ସେ.ମି., CA = 35 ସେ.ମି. ଓ AD = 25 ସେ.ମି. ହେଲେ, BE ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABC ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି BC = 30 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା AD = 25 ସେ.ମି. ହେଲେ,
△ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × BC × AD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 30 × 25 ବ. ସେ.ମି. …(i)
ଭୂମି CA = 35 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = BE ହେଲେ
△ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AC × BE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 35 × BE ବ. ସେ.ମି. …(ii)

∴ (i) ଓ (ii) ର ଉଚ୍ଚତା \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 30 × 25 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 35 × BE
⇒ BE = \(\frac { 375 × 2 }{ 35 }\) = \(\frac { 150 }{ 7 }\) ବ. 21\(\frac { 3 }{ 7 }\) ସେ.ମି.
∴ \(\overline{\mathrm{BE}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 21\(\frac { 3 }{ 7 }\) ସେ.ମି. |

Question 7.
ଦୁଇଗୋଟି ତ୍ରିଭୁଜ ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିକର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ ଅନ୍ୟଟିର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଦୁଇଗୁଣ ଓ ତିନିଗୁଣ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟ ପାଇଁ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ x, 2x ଓ ଉଚ୍ଚତାକୁ y, 3y ନିଅ)
Solution:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ଏକକ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା y ଏକକ ।
∴ ଦ୍ଵିତୀୟ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ 2x ଏକକ ଏବଂ 3y ଏକକ ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 120 ଡେସିମିଟର ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ △ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 120 ଡେସିମି. | ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { କର }{ 2 }\)
= \(\frac{120}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{120 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) = \(\frac{120 \sqrt{2}}{2}\) = 60√2 ଡେସିମି.
∴ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (60√2)² = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 60√2 × 60√2 = 3600 ଡେସିମି.
∴ ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ଘର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 3600 ବ.ଡେସିମି. ।

Question 9.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 484 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଏହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ଓର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)²
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ) = 484 ବର୍ଗମିଟର
∴ସମାନ ବାହୁ = \(\sqrt{484 \times 2}\) = 22√2 ମି.
∴ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × √2 = 22√2 × √2 = 44 ମି. |

Question 10.
ନିମ୍ନରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 13 ସେ.ମି., 14 ସେ.ମି. ଏବଂ 15 ସେ.ମି. |
(ii) 25 ସେ.ମି., 26 ସେ.ମି. ଏବଂ 17 ସେ.ମି. |
(iii) 39 ମିଟର, 42 ମିଟର ଏବଂ 45 ମିଟର ।
Solution:
(i) ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 13 ସେ.ମି., b = 14 ସେ.ମି. ଏବଂ c = 15 ସେ.ମି.
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ଅର୍ବପରିସୀମା (s) = \(\frac { a+b+c }{ 2 }\) = \(\frac { 13+14+15 }{ 2 }\) = 21 ସେ.ମି.
△ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) = \(\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}\)
= \(\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\) = \(\sqrt{7 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 2 \times 3}\)
= 7 × 3 × 2 × 2 = 84 ବଣ ସେ.ମି. |

(ii) △ର କାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 25 ସେ.ମି., b = 26 ସେ.ମି. ଏବଂ c = 17 ସେ.ମି.
∴ ଅର୍ଥପରିସୀମା (s) = \(\frac { a+b+c }{ 2 }\) = \(\frac { 25+26+17 }{ 2 }\) = 34 ସେ.ମି.
△ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) = \(\sqrt{34(34-25)(34-26)(34-17)}\) = \(\sqrt{34 \times 9 \times 8 \times 17}\) = \(\sqrt{17 \times 2 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 17}\)
= 17 × 3 × 2 × 2 = 204 ବଣ ସେ.ମି. |

(iii)
△ର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 39 ମି., b = 42 ମି. ଏବଂ c = 45 ମି.
∴ଅର୍ଥପରିସୀମା (s) = \(\frac { a+b+c }{ 2 }\) = \(\frac { 39+42+45 }{ 2 }\) = \(\frac { 126 }{ 2 }\) = 63 ମି.
△ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) = \(\sqrt{63(63-39)(63-42)(63-45)}\) = \(\sqrt{63 \times 24 \times 21 \times 18}\) = 3 × 3 × 3 × 7 × 2 × 2 = 756 ସେ.ମି. |

Question 11.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି., 17 ସେ.ମି. ଏବଂ 21 ସେ.ମି. ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ସେହି ବାହୁର ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 10 ସେ.ମି., b = 17 ସେ.ମି. 8 c = 21 ସେ.ମି.
∴ ଅର୍ଦ୍ଧପରିସୀମା (s) = \(\frac { a+b+c }{ 2 }\) = \(\frac { 10+17+21 }{ 2 }\) = \(\frac { 48 }{ 2 }\) = 24 ସେ.ମି. |
∴ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) = \(\sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)}\) = \(\sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3}\) = \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 7 \times 7 \times 3}\) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84 ବଣ ସେ.ମି. |
ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { 2 × କ୍ଷେତ୍ରଫଳ }{ ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }\) = \(\frac { 2 ×84 }{ 21 }\) = 8 ସେ.ମି. |
∴ ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. |

Question 12.
ଦଇ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ଦିଗରେତ୍ର | AED ସମକୋଣା ତ୍ତିରୁକର AE ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2x ସେ.ମି. । ED ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ସେ.ମି. । AED ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 16 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ABCDEA କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।

Solution:
AED ସମକୋଣୀ ଧରେ AE = 2x ସେ.ମି. ଓ ED = x ସେ.ମି.
∴ AED ସମକୋଣୀ △ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 2x × x = x² ବ. ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ AED △ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 16 ବ. ସେ.ମି.
⇒ x² = 16 ⇒ x = 4 ସେ.ମି.; ତେବେ AE = 2x = 2 × 4 = 8 ସେ.ମି. ଓ ED = x = 4 ସେ.ମି.
AED ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ ∠E ସମକୋଣ ।
∴ AD = \(\sqrt{\mathrm{AE}^2+\mathrm{ED}^2}\) = \(\sqrt{8^2+4^2}\) = \(\sqrt{64+16}\) = \(\sqrt{80}\) = 4√5 ସେ.ମି.
∴ ABCDEAର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – △ AEDର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= (4√5)² – \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 8 × 4 = 80 – 16 = 24 ସେ.ମି. |

Question 13.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 44ମି. ଏବଂ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 88 ମିଟର ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
Solution:
ABC ସମକୋଣୀ △ରେ BC = 44 ମି. ଏବଂ AB + AC = 88 ମି.
ମନେକର ABର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ମି.

ହେଲେ AC = (88 − x) ମି.
ଆମେ ଜାଣିଛେ, AC² = AB² + BC²
⇒ (88 – x)² = x² + (44)² = 7744 + x² – 176 x = x² + 1936
⇒ 176 x = 7744 – 1936 ⇒ 176x = 5808 ⇒ x = \(\frac { 5808 }{ 176 }\) = 33 ମି. ⇒ AB = 33 ମି
∴ ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AB × BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 33 × 44 = 726 ମି. |

Question 14.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 56 ସେ.ମି. । ଏହି ବାହୁ ଉପରେ ସମକୋଣର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
Solution:
ABC ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 56 ସେ.ମି.; ଅର୍ଥାତ୍ କଣ୍ଠ ACର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 56 ସେ.ମି. ।
∴ ସାମନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }{ 2 }\)
= \(\frac{56}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{56 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) = \(\frac{56 \sqrt{2}}{2}\) = 28√2 ସେ.ମି. ।

Question 15.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜରେ ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ୨% ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ସମକୋଣର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ କର୍ଣ୍ଣଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଇମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABC ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜରେ
AB = BC = 96 ସେ.ମି.
AC କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × √2 = 96√2 ସେ.ମି.
ABC ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AB²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) ×(96)² = 4608 ସେ.ମି.
ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (BD)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(g) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(g)

Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଯେଉଁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର
(i) ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 35 ମି. ଓ 45 ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 18 ମି.
(ii) ସମାନ୍ତର ବାହୁ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 27 ମି. ଏବଂ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 16 ମିଟର ।
(iii) ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଯୋଗଫଳ 75 ସେ.ମି. ଏବଂ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = 24 ସେ.ମି. |
Solution:
(i) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 35 ମି. ଓ 45 ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 18 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି × ଉଚ୍ଚତା
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (35 + 45) × 18 = 80 × 9 = 720 ବାହୁଦ୍ୱୟର

(ii) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 27 ମି. ।
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର = ଉଚ୍ଚତା = 16 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା
= (27 × 16) ବ.ମି. = 432 ବର୍ଗମିଟର

(iii) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଯୋଗଫଳ = 75 ସେ.ମି.
ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା = 24 ସେ.ମି.
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି × ଉଚ୍ଚତା
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 75 × 24 = 900 ବଣ ସେ.ମି.

Question 2.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 150 ବ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 5 ମି. । ଏହାର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର 6 ମି. ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 150 ବ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 6 ମି. ।
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଉଚ୍ଚତା × (ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି)
⇒ 150 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 5 × (ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି)
∴ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 60 ମିଟର ।
କିନ୍ତୁ ଦତ୍ତ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର = 6 ମିଟର ।
ଭେଣ୍ଡ ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନକ ମଧ୍ୟରୁ ଦତ ବାହୁଟିର ଦେଶ୍ୟ = \(\frac { 60 + 6 }{ 2 }\) = 33 ମିଟର
ଏବଂ ଅନ୍ୟ ସମାନ୍ତର ବାହୁଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 60 – 33 = 27 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ 33 ମି. ଓ 27 ମି. ।

Question 3.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 3840 ବର୍ଗମିଟର । ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 48 ମିଟର । ଏହାର ସମାନ୍ତର ବାହୁ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଦୁଇଟିକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ମିଟର ଏବଂ b ମିଟର ।
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 3840 ଦ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 48 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଉଲତା × (ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି)
⇒ 3840 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 48 (a + b) ⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) (a + b) = \(\frac { 3840 }{ 48 }\) = 80 ମିଟର ।
∵ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମିଟର ।
∵ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟିର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ |

Question 4.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 41 ସେ.ମି. ଓ 57 ସେ.ମି. । ଏହାର ଦୁଇ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ, ସମାନ୍ତର ବାହୁପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମାଧାନ : ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AB || DC
ଏବଂ AD ⊥ DC | BE ⊥ DC ଅଙ୍କନ କର ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ABED ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର।
DE = AB = 41 ସେ.ମି., EC = DC – DE = (57 – 41) ସେ.ମି. = 16 ସେ.ମି.
BEC ସମକୋଣୀ △ରେ, ∠E ସମକୋଣ

∴ BE = \(\sqrt{\mathrm{BC}^2-\mathrm{EC}^2}\) = \(\sqrt{(20)^2-(16)^2}\) = \(\sqrt{400-256}\) = \(\sqrt{144}\) = 12 ସେ.ମି.
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା h = 12 ସେ.ମି.
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 41 ସେ.ମି. ଓ b = 57 ସେ.ମି.
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(a + b)h = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (41 + 57) × 12 = 98 × 6 = 588 ସେ.ମି.

Question 5.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ମି. ଓ 80 ମି. । ଏହାର ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 36 ମି. ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AD|| BC |
AB || DE ଏବଂ DF ⊥ BC ଅଙ୍କନ କର ।
ବର୍ତ୍ତମାନ AD = BE = 24 ମି. ଓ BC = 80 ମି.
EC = BC – BE = 80 ମି – 24 ମି = 56 ମି.
AB = DE = DC = 36 ମି.
∴ DEC ଏକ ସମଡ଼ିବାହୁ ଧରେ DF ଉଚ୍ଚତା |

∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା h = 22.62 ମି.
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 24 ମି. ଓ b = 80 ମି.
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (a + b) × h = (24 + 80) × 22.62
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 104 × 22.62 = 52 × 22.62 = 1176.24 ବର୍ଗ ମିଟର

Question 6.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର। EF || BC, \(\overline{\mathrm{EK}})\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BC}})\) | AD = 15 ମି., EK = 7 ମି., EF = 11 ମି. ଓ ଛାୟାଙ୍କିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ୫୨ ବ.ମି. ହେଲେ, AB ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର AD = BC = 18 ମି.
ମନେକର \(\overline{\mathrm{AB}})\) ବା \(\overline{\mathrm{CD}})\) ପ୍ରତ୍ୟେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ X ମି. ।

∴ ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 15 × x = 15x ବର୍ଗ ମି
EFCB ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ \(\overline{\mathrm{EF}})\) || \(\overline{\mathrm{BC}})\), \(\overline{\mathrm{EK}})\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BC}})\) |
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 15 ମି. ଏବଂ 11 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 7 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × ଉଚ୍ଚତା × (ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (15 + 11) × 7 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 26 × 7 = 91 ବର୍ଗ ମି.
ପ୍ରଶାନ୍ତପାରେ, ଜାଯାକିଡ ଅଂଶରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 89 ର୍ଗ ମି.
∴ ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – EFCB ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 89 ବ.ମି
⇒ 15x – 91 = 89 ⇒ 15x = 89 + 91 = 180 ⇒ x = \(\frac { 180 }{ 15 }\) = 12 ମି.
∴ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମିଟର ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ପରିସୀମା 82 ମିଟର । ଏହାର ସମାନ୍ତର ବାହୁ ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ମି. । ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 7 ମିଟର ହେଲେ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
Solution:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ପରିସୀମା = ଜୁଲ ସାମନ୍ତର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ହେଲେ ନିଶ୍ଚୟ + ଜୁଲ ଅପମାନ୍ତର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମଧ୍ୟରୁ
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ପରିସୀମା = 82 ମି.
⇒ 82 = ଜୁଲ ସାମନ୍ତର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ବୈଶ୍ୟର ସମୟ + (20 + 20)
⇒ଜୁଲ ସାମନ୍ତର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ମଧ୍ୟରୁ = 82 ମି. – 40 ମି. = 42 ମି.
∴ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (ସାମନ୍ତର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ନିଶ୍ଚୟ) × ଭଲତା
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 42 × 7 = 21 × 7 = 147 ବ.ମି.

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(f) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(f)

Question 1.
ନିମ୍ନରେ ରମ୍ବସ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
(i) 16 ସେ.ମି. ଓ 20 ସେ.ମି.
(ii) 20 ମି. ଓ 15.4 ମି.
(iii) 8√2 ମି. ଓ 4√2 ମି..
Solution:
ଆମେ ଜାଣିନ୍ତୁ, ଉମ୍ଭପର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉମ୍ଭପର
ଏହାର ପ୍ରୟୋଗରେ ପାଇବା :
(i) \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 16 × 20 = 160 ଦି ସେ.ମି.
(ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 20 × 15.4 = 154 ଦି ମି.
(iii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 8√2 × 4√2 = 32 ଦି ମି.

Question 2.
ନିମ୍ନରେ ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 40 ସେ.ମି. ଓ 30 ସେ.ମି.
(ii) 14 ମି. ଓ 48 ମି.
(iii) 1.6 ସେ.ମି. ଓ 30 ସେ.ମି.
(iv) 1.8 ମି ଓ 2.4 ମି.
Solution:

Question 3.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 840 ବର୍ଗମିଟର । ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 42 ମିଟର । ଏହାର ଅନ୍ୟ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଓ BD ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ସମକୋଣରେ
ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି । BD = 42 ମିଟର (ଦତ୍ତ)
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳ ⇒ 840 = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BD.AC
⇒ 840 = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 42 × AC ⇒ AC = \(\frac { 840 }{ 21 }\) = 40 ମିଟର

∴ ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁ = 4 × 29 = 116 ମିଟର

Question 4.
ଏକ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ଅନ୍ୟ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟର 3 ଗୁଣ ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1944 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ x ମି. |
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3x ମି. ।

∴ ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ତମେ 36 ମି. ଓ 108 ମି. |

Question 5.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 648√ 3 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଓ ଏହାର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର m∠B = 60° ଏବଂ AB = BC |
∴ ABC ଏକ ସମବାହୁ △ ।
କୋଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × △ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × BC²

କିନ୍ତୁ ABC ସମବାହ୍ନୁ ହେତୁ ସମ୍ଭପର ପୁତ୍ରତର କଣ୍ଡ AB = AC = 36 ସେ.ମି.
∴ ସମ୍ଭପର ପୁତ୍ରତର ହେତୁ ଦୈର୍ଘ୍ୟ 36 ସେ.ମି.

Question 6.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତାହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟସହ ସମାନ । ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା 48 ସେ.ମି. ହେଲେ, ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର AB
ଅର୍ଥାତ୍ AB = BC = AC
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା = 48 ସେ.ମି.
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{48}{4}\) = 12 ସେ.ମି.

ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × △ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × AB² = 2 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (12)²
(∵ ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଓ ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12 ସେ.ମି. )
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 144 = 72√3 ବ. ସେ.ମି.
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 72√3 ବ. ସେ.ମି.

Question 7.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା 16 ମିଟର । ଏହାର ଗୋଟିଏ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ମିଟର ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ରମ୍ବସ୍‌ ପରିସୀମା = 16 ମି.
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { 16 }{ 4 }\) = 4 ମି.
ମନେକର ରମ୍ବସ୍‌ର ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x ମିଟର

⇒ (କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = (3)² + x² ⇒ (4)² = 9 + x² ⇒ 16 = 9 + x²
= x² = 16 – 9 = 7 ⇒ x = √7 ମିଟର
∴ ଅନ୍ୟ କର୍ଣଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2 × √7 ମି. = 2√7 ମିଟର
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 6 × 2√7 = 6√7 କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(e) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(e)

Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର, ଯେଉଁ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର
(i) ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ଡେସି ମି. ଓ ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା 1 ଡେସି ମି. 8 ସେ.ମି. ।
(ii) ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ମି. 55 ସେ.ମି., ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା 1 ମି. 8 ସେ.ମି. ।
(iii) ଗୋଟିଏ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମି. ଓ ଏହାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵ ଗୋଟିଏ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହାପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ମି. ।
Solution:
(i) ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ଡେସିମି. = 40 ସେ.ମି.
ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା = 1 ଡେସିମି. 8 ସେ.ମି. = 18 ସେ.ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା = 40 × 18 = 720 ବଗ ସେ.ମି.

(ii) ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2 ମି. 55 ସେ.ମି. = 255 ସେ.ମି.
ଓ ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା = 1ମି. 4 ସେ.ମି. = 104 ସେ.ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା
= 255 × 104 = 26520 ବଗ ସେ.ମି.

(iii) ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12 ମି.
ଓ ବିପରୀତ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହାପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ×ଏହି କଣ୍ଠ ଉପରେ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12 × 4 = 48 ବଗ ମି.

Question 2.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ବାହୁ ଓ ଏକ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 26 ମି. ଓ 28 ମି. ଏବଂ 30 ମି. ହେଲେ, ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ଦତ୍ତ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରରେ AB = 26 ମି., BC = 28 ମି. ଓ AC = 30 ମି.
ଅର୍ଥାତ୍ ABC ତ୍ରିଭୁଜର a = 26 ମି., b = 28. ମି. c = 30 ମି.

Question 3.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ତ୍ତୃଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 204 ସେ.ମି. ଓ 252 ସେ.ମି. ଏବଂ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 60 ସେ.ମି. । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣଦ୍ଵୟ AC = 252 ସେ.ମି. ଓ BD = 204 ସେ.ମି.
⇒ OC = \(\frac { 252 }{ 2 }\) = 126 ସେ.ମି. ଏବଂ OB = \(\frac { 204 }{ 2 }\) = 102 ସେ.ମି.
∴ △ OBC ର ବାହୁତ୍ରୟର ଦେଶ୍ୟ 102 ସେ.ମି., 126 ସେ.ମି. ଓ 60 ସେ.ମି. |
∴ △ OBC ର ଆଦିପରିପାପ = \(\frac { 102+126+60 }{ 2 }\) = \(\frac { 288 }{ 2 }\) = 144 ସେ.ମି.

∴ ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 4 × △ OBC କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × 3024 = 12096 ବଗ ସେ.ମି. |

Question 4.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 34 ସେ.ମି. ଓ 50 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 26 ସେ.ମି. ହେଲେ, ସେହି ବାହୁ ଓ ତାହାର ବିପରୀତ ବାହୁ ମଧ୍ୟରେ ଲମ୍ବ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିଲ ଚିତ୍ରରେ, AC = 34 ସେ.ମି., BD = 50 ସେ.ମି. ଏବଂ BC = 26 ସେ.ମି.
∴ OB = \(\frac { BD }{ 2 }\) = 25 ସେ.ମି., OC = \(\frac { AC }{ 2 }\) = 17 ସେ.ମି., BC = 26 ସେ.ମି.
△ OBC ର ଅଦିପରିସମା (s) = \(\frac { 25+17+26 }{ 2 }\) = \(\frac { 68 }{ 2 }\) = 34 ସେ.ମି.

ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × △ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × 204 = 816 ସେ.ମି.
କିନ୍ତୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଇଲ୍ତ ଭୂମିର ବିପରୀତ ଭୁମି ମଧ୍ୟରେ ବୃଣତା (ବୃଣତା) = BC × AM
⇒ 816 = 26 × AM ⇒ AM = \(\frac { 816 }{ 26 }\) = 31\(\frac { 5 }{ 13 }\) ସେ.ମି. = 31.38 ସେ.ମି.
∴ ବୃଣତା = 31.38 ସେ.ମି. |

Question 5.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁ ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 20 ସେ.ମି., 42 ସେ.ମି. ଓ 34 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଉକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁପ୍ରତି ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର AB, BC ଏବଂ AC କଣ୍ଠ ଯଥାକ୍ରମେ 20 ସେ.ମି. 42 ସେ.ମି. ଏବଂ 34 ସେ.ମି. ।
∴ △ABCର ଅର୍ଥପରିସୀମା (s) = \(\frac { 20+42+34 }{ 2 }\) = \(\frac { 96 }{ 2 }\) = 48 ସେ.ମି.

∴ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ସେ.ମି. ।

Question 6.
କୌଣସି ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 75 ମିଟର ଏବଂ ଏହି ବାହୁ ଉପରେ କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 0.8 ମିଟର ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 7.5 ମି.
କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ= 0.8 ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 2 × ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= 2 × 7.5 × 0.8 = 12 ଜଣ ମି. |

Question 7.
63 ମିଟର ଭୂମି ଓ 36 ମିଟର ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ । ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 42 ମିଟର ହେଲେ, ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 63 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 36 ମି.
ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 63 × 36 = 1134 ବର୍ଗ ମି.
ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରରେ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 42 ମି.
ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା = x ମି.
ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = 42x ବର୍ଗ ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ 42x = 1134 ⇒ x = \(\frac { 1134 }{ 42 }\) = 27 ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା 27 ମି. |

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(g) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(g)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
– 1,- 125,- 5832, -17576, – 2744000
ସମାଧାନ :
m, n ∈ Z ଏବଂ n = m³ ହେଲେ, m, nର ଘନମୂଳ ହେବ ।

(i) -1 = (-1) × (-1) × (-1) = (-1)³
∴ (-1), (-1) ର ଘନମୂଳ ହେବ । ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-1}\) = (-1)

(ii) -125 = (-5) × (-5) × (-5) = (-5)³
∴ -5, -125 ର ଘନମୂଳ ହେବ । ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-125}\) = -5

(iii) -5832 = (-18) × (-18) × (-18) = (-18)³
ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-5832}\) = (-18)

(iv) -17576 = -(2 × 2 × 2 × 13 × 13 × 13)
-[(2)³ × (13)³] = – [2× 13]³ = -(26)³ = (-26)³
ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-17576}\) = -26

(v) -2744000 = -(2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 10 × 10 × 10)
= -[(2)³ × (7)³ × (10)³] = – [(2× 7 × 10)³]
= (140)³ = (-140)³
ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-2744000}\) = (-140)

Question 2.
8 × 64 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{8 \times 64}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 4 \times 4 \times 4}=2 \times 4=8\)

Question 3.
(-216) × (1728) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{(-6)^3 \times 1728}=\sqrt[3]{-6^3 \times 12^3}=-6 \times 12=-72\)

Question 4.
343 × (-512) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{343 \times -512}=\sqrt[3]{7^3 \times -8^3}\) = 7 × (-8) = -56

Question 5.
(-125) × (-3375) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{-125 \times -3375}=\sqrt[3]{(-5)^3 \times (-15)^3}\) = -5 × -15 = 75

Question 6.
729 × 15625 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{729 \times 15625}=\sqrt[3]{9^3 \times (25)^3}\) = 9 × 25 = 225

Question 7.
-456533 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{456533}=\sqrt[3]{-1 \times 11 \times 11 \times 11 \times 7 \times 7 \times 7}\) = -1 × 11 × 7 = -77

Question 8.
216000 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{216000}=\sqrt[3]{6 \times 6 \times 6 \times 10 \times 10 \times 10}\) = 6 × 10 = 60

Question 9.
28 × 98 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{28 \times 98}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7 \times 7}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7}\) = 2 × 7 = 14

Question 10.
(-27) × 27 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{-27 \times 27}=\sqrt[3]{(-3)^3 \times 3^3}=-3 \times 3=-9\)

Question 11.
(-24) × (-72) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ

Question 12.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡିକ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଘନସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ? କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଘନସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ; ସେହିଗୁଡ଼ିକର ଘନମୂଳ ସ୍ଥିର କର ।
-64, -1056, -1728, -2197, -3888
ସମାଧାନ :
n = m³ ହେଲେ, n ର ଘନମୂଳ କୁହାଯାଏ (m, n, ∈ Z) ।
(i) -64 = (-4) × (-4) × (-4) = (-4)³
∴ -64 ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା । ∴ \(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{(-4)^3}=(-4)\)

(ii) -1056 ଏକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

1056 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 11 ତାହା ଘନରାଶି ନୁହେଁ ।

(iii) (-1728) = (-12) × (-12) × (-12) = (-12)³
∴ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି । ∴ \(\sqrt[3]{-1728}=\sqrt[3]{(-12)^3}=-12\)

(iv) (-2197) = (-13) × (-13) × (-13) = (-13)³
∴ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି ।
∴ \(\sqrt[3]{-2197}=\sqrt[3]{(-13)^3}=-13\)

(v) (-3888) ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି ନୁହେଁ ।
କାରଣ 3888 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

Question 13.
ସରକ କର :
(i) \(\sqrt[3]{-216 \times 125}\)
(ii) \(\sqrt[3]{-512 \times 729}\)
(iii) \(\sqrt[3]{-1728 \times 15625}\)
(iv) \(\sqrt[3]{-1000 \times 512}\)
ସମାଧାନ :
(i) \(\sqrt[3]{-216 \times 125}=\sqrt[3]{(-6)^3 \times 5^3}=(-6) \times 5=-30\)
(ii) \(\sqrt[3]{-512 \times 729}=\sqrt[3]{(-8)^3 \times 9^3}=(-8) \times 9=-72\)
(iii) \(\sqrt[3]{-1728 \times 15625}=\sqrt[3]{(-12)^3 \times(25)^3}=(-12) \times 25=-300\)
(iv) \(\sqrt[3]{-1000 \times 512}=\sqrt[3]{(-10)^3 \times 8^3}=(-10) \times 8=-80\)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(f) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(f)

Question 1.
ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :
(i) 343 (ii) 1000 (iii) 74088 (iv) 157464 (v) 8,000,000
ସମାଧାନ :
(i) \(\sqrt[3]{343}=\sqrt[3]{7 \times 7 \times 7}=7\)

(ii) \(\sqrt[3]{1000}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5}=2 \times 5=10\)

(iii) \(\sqrt[3]{74088}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 7}=2 \times 3 \times 7=42\)

(iv) \(\sqrt[3]{157464}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}=2 \times 3 \times 3 \times 3=54\)

(v) \(\sqrt[3]{8000000}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}=2 \times 10 \times 10=200\)

Question 2.
2744 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାରେ ଗୁଣିଲେ, ଗୁଣଫଳ ଏକ ପୂର୍ବ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ଉକ୍ତ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
2744 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 = 2³ × 7³ = (2 × 7)³
2744କୁ 1 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣିଲେ ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ଓ ଉକ୍ତ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଘନମୂଳ 2 × 7 = 14 ହେବ ।

Question 3.
5488 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ଉକ୍ତ ଭାଗଫଳର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
5488 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 = (2)³ × (7)³ × 2 = (2 × 7)³ × 2
5488କୁ 2 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ଉକ୍ତ ଭାଗଫଳର ଘନମୂଳ 2 × 7 = 14 ହେବ ।

Question 4.
ଏକ ସମଘନର ଆୟତନ 512 ଘନମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ ?
ସମାଧାନ :
ଏକ ସମଘନର ଆୟତନ = 512 ଘନମିଟର ।
ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt[3]{512}\) ମି. = \(\sqrt[3]{2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2}\) = 2 × 2 × 2 = 8 ମି.
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = (8 ମି)² = 64 ବର୍ଗମିଟର ।
ସମଘନର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 64 ବର୍ଗମିଟର ।

Question 5.
53240 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାରେ ଭାଗକଲେ, ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ଏବଂ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଗୁଣିଲେ ଗୁଣଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ?
ସମାଧାନ :
53240 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11 × 5 = 2³ × 11³ × 5
ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ 5 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି ହେବ । ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ 25 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନକଲେ ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(c)

Question 1.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 900 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ମିଟର ।
∴ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a² ବର୍ଗମିଟର ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, a² = 900 ⇒ a= √900 = 30 ମି.
∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = 4 × a = 4 × 30 = 120 ମିଟର ।

Question 2.
ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାର ଘାସପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ଏହାର ପ୍ରସ୍ଥର ଦୁଇଗୁଣ । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 800 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ = x ମି.
∴ ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2x ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 800 ବ.ମି.
⇒ ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ = 800 ବ.ମି. (∵ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ)
⇒ 2x × x = 800
→ x2 = 400 = x = 20 ମି.
ପ୍ରସ୍ଥ = x = 20 ଏବଂ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x = 2 × 20 = 40 ମିଟର ।
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 40 ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 20 ମିଟର ।

Question 3.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 139876 ବର୍ଗମିଟର । ଏହାର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ଦେବାରେ ପ୍ରତି ମିଟରକୁ ଟ. 15.00 ହିସାବରେ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ?
Solution:
ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 139876 ବ.ମି.
∴ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ = \(\sqrt{139876}\) = 374 ମି.
∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁ = 4 × 374 = 1496 ମିଟର ।
ପ୍ରତି ମିଟରକୁ ବାଡ଼ଦେବା ଖର୍ଚ୍ଚ 15 ଟଙ୍କା ହେଲେ,
ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରଟିର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ଦେବା ଖର୍ଚ୍ଚ
= 1496 × 15 = 22,440 ଖର୍ଚ୍ଚ |
∴ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ଦେବାରେ 22440 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ।

Question 4.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗାକାର ବଗିଚାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 30 ମିଟର । ତାହାର ଭିତର ସୀମାର ଚାରିଧାରକୁ ଲାଗି 1 ମିଟର ଚଉଡ଼ାର ଏକ ରାସ୍ତା ନିର୍ମାଣ କରାଯାଇଛି ।
(i) ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) ରାସ୍ତାଟି ତିଆରିପାଇଁ ବର୍ଗମିଟରକୁ ଟ. 240 ପଇସା ହିସାବରେ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ବର୍ଗାକାର ବଗିଚାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = 30 ମି.
EFGH ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 30 – (1 × 2) = 28 ମି.
(i) ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ABCD ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – EFGH ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= (30)² – (28)² = (30 + 28) (30 – 28)
= 58 × 2 = 116 ଚଟା.ମି.

(ii) 1 ବର୍ଗମିଟରକୁ ଟ. 2.40 ପଇସା ହିସାବରେ
116 ବର୍ଗମିଟରକୁ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ
= (116 × 2. 40) ଖର୍ଚ୍ଚ = 278.40 ଖର୍ଚ୍ଚ
∴ ରାସ୍ତାଟି ତିଆରି ପାଇଁ 278.40 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା ।

Question 5.
5 ମି. × 3 ମି. ପାପର ଘର ମାଣକୁ ଗାଲିଲ କିଛିଳତାକୁ ଦେଲେ, 60 ସେ.ମି. × 50 ସେ.ମି. ପାପର କେତେ ଖଣ୍ଡ ଟାଇଲ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଘର ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 5 ମି. × 3 ମି.
= (5 × 100) ସେ.ମି. × (3 × 100) ସେ.ମି. = 150000 ବଶ ସେ.ମି.
ଗୋଟିଏ ଗାଲଲଭ ଯେତ୍ରପଲ = 60 ସେ.ମି. × 50 ସେ.ମି. = 3000 ବଶ ସେ.ମି.
ଟାଇଲର ସଂଖ୍ୟା = \(\frac { ଘର ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ }{ ଗାଲିଲ କିଛିଳତାକୁ }\) = \(\frac { 150000 }{ 3000 }\) = 50 ଖର୍ଚ୍ଚ
∴ 50 ଖଣ୍ଡ ଟାଇଲ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ |

Question 6.
ରାମ କିଣିଥିବା ଖଣ୍ଡିଏ ଜମିର ଆକାର 20 ମି. × 24 ମି. । ଶ୍ୟାମ କିଣିଥିବା ଖଣ୍ଡିଏ ଜମିର ଆକାର 22 ମି. × 22 ମି. । ଏହି ଦୁଇଖଣ୍ଡ ଜମିର (i) ପରିସୀମାର ଅନ୍ତର (ii) କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ରାମ କିଣିଥିବା ଜମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ ଯଥାକ୍ରମେ 24 ମି. 20 ମି. ।
∴ପରିସୀମା = 2 (ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ) = 2(24 + 20) = 88 ମିଟର
ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ = 24 × 20 = 480 ବଗମିଟର |
ଶ୍ୟାମ କିଣିଥିବା କାମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 22 ମି. ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ = 22 ମି. | ଅର୍ଥାତ୍ ଜମିଟି ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ର ।
∴କ୍ଷେତ୍ରଟିର ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 × 22 = 88 ମିଟର |
କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = (22)² = 484 ବର୍ଗମିଟର ।
∴ ରାମ ଓ ଶ୍ୟାମ କିଣିଥିବା ଜମିର ପରିସୀମା ସମାନ ଅର୍ଥାତ୍ ଅନ୍ତର 0।
ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର = 484 – 480 = 4 ଦ.ମି. |

Question 7.
ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 125 ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 60 ମିଟର । ଏହାର ଭିତର ପାଖରେ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୋଟିଏ ଧାରକୁ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ଦୁଇ ଧାରକୁ ଏହିପରି ତିନି ଧାରକୁ ଲାଗି 2 ମିଟର ଚଉଡ଼ାର ଏକ ରାସ୍ତା ଅଛି । ରାସ୍ତାଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = 125 ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = AD = 60 ମି.
∴ କ୍ଷେତ୍ରଟିର ଭିତର ପାଖରେ ରାସ୍ତାଟି ଅଛି ।
EFGH ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = EF = (125 – 2 × 2) = 121 ମିଟର
ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = EH = 60 – 2 = 58 ମିଟର

∴ ରାମାର ଯେତ୍ରଫଲ = ABCD ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – EFGH
ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (AB × AD) – (EF × EH)
= (125 × 60) ଦ.ମି. – (121 × 58) ଦ.ମି. = (7500 – 7018) ଦ.ମି. = 482 ଦ.ମି. |

Question 8.
ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ମଧ୍ୟଭାଗରେ 2 ମିଟର ଚଉଡ଼ାର ଦୁଇଟି ରାସ୍ତା ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦକରନ୍ତି, ଯେପରିକି ପ୍ରତ୍ୟେକ ରାସ୍ତା ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଗୋଟିଏ ବାହୁ ସହିତ ସମାନ୍ତର । ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 72 ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 48 ମି. ହେଲେ, ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
PORS ଏବଂ EFGH ଦୁଇଗୋଟି ରାସ୍ତା କ୍ଷେତ୍ରଟିର ମଧ୍ୟଭାଗରେ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରନ୍ତି ।
ABCD ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = 72 ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = BC = 48 ମି.
∴ AB = EF = GH ଏବଂ BC = QR = PS
ରାସ୍ତାର ଚଉରା = 2 ମି. ଅର୍ଥାତ୍ PQ = SR = EH = FG = 2 ମି.
PORS କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ PS × PQ = (48 × 2) = 96 ଦ.ମି.

EFGH କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = EF × EH = (72 × 2) = 144 ବ.ମି.
∴ UVWX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = UV × UX = (2 × 2) = 4 ବ.ମି.
∴ ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= PORS ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + EFGH ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – UVWX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 96 + 144 – 4 = 236 ବ. ମିଟର ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(b)

Question 1.
ପମଦିବ।ତୁ ତିଭୁଲରେ
(i) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?
(ii) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 41 ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ୨ ସେ.ମି. ହେଲେ, ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
(iii) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 14 ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 24 ସେ.ମି. ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
(iv) ଉଚ୍ଚତା 12 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉଚ୍ଚତାଠାରୁ 2 ସେ.ମି. କମ୍ ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
Solution:
(i) ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ।

(ii) ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 41 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର 9 ସେ.ମି. ।

(iii) ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର 24 ସେ.ମି. ।

(iv) ABC ସମଡ଼ିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 2 ସେ.ମି. କମ୍।
ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ = 12 – 2 = 10 ସେ.ମି. କମ୍।

Question 2.
ABC ସମକୋଣା ପ୍ରଭୁକରେ m∠B = 90° ଓ AB = AC
(i) AB = 8 ସେ.ମି., କଣ୍ଠ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) AB = 7 ସେ.ମି. ହେଲେ, କଅଁ AC ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) କଣ୍ଠ A ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 40 ସେ.ମି. ହେଲେ, \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iv) କଣ୍ଠ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 25 ସେ.ମି. ହେଲେ, \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର
m∠B = 90° ଓ AB = BC
∴ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

(i) AB = 8 ସେ.ମି. (ବର)
∴ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଷ (AC) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= ସମାନ ବାହୁ × √2 = AB × √2
= 8 × 2 = 8√2 ସେ.ମି.
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ : AC² = AB² + BC² ⇒ AC² = 8² + 8²
⇒ AC² = 2 × 8² ⇒ AC = 8√2 ସେ.ମି.,

(ii) AB = 7 ସେ.ମି. (ବର)
ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କଣ୍ଠ = √2 × ସମାନ ବାହୁ = 7√2 ସେ.ମି.
∴ AC = 7√2 ସେ.ମି.

(iii) କଣ୍ଠ (AC) = 40 ସେ.ମି. (ଦତ୍ତ)
ଗମଲୋଗ ସମବିବାହି ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେଲ ପାଦନ ଦବାନ୍ତୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }{ 2 }\)
⇒ BC = \(\frac{\mathrm{AC}}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{\mathrm{40}}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{40 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) = \(\frac{40 \sqrt{2}}{2}\) = 20√2
∴BC = 20√2 ସେ.ମି.
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ : AC² = AB² + BC² = BC² + BC² (∵ AB = BC)
⇒ 40² = 2 BC² ⇒ √2BC = 40
⇒ AB = \(\frac{\mathrm{40}}{\sqrt{2}}\) = 20√2 ସେ.ମି.

(iv) କର୍ଷ (AC) = 25 ସେ.ମି. (ଦ୍‌ର)
ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }{ 2 }\)
\(\frac{25}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{25 \sqrt{2}}{2}\) = 12.5√2 ସେ.ମି. |
∴AB = 12.5√2 ସେ.ମି. |

Question 3.
(i) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. ହେଲେ, କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 18 ସେ.ମି. ହେଲେ, ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22√2 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iv) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ସେ.ମି. ବର୍ଗଚିତ୍ରର କଣ୍ଠ କେତେ ସେ.ମି. ବଢ଼ିବ ?
Solution:
(i) ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 7 ସେ.ମି.
∴ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × √2 = 7 × √2 = 7√2 ସେ.ମି.

(ii) ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 18 ସେ.ମି.
∴ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }{ 2 }\) = \(\frac{18}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{18 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) = \(\frac{18 \sqrt{2}}{2}\) = 9√2 ସେ.ମି.

(iii) ବର୍ଗଚିତ୍ରର କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 22√2 ସେ.ମି.
∴ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }{ 2 }\) = \(\frac{22 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) = 22 ସେ.ମି.
ପରିସୀମା = ବାହ୍ନ × 4 = 22 × 4 = 88 ସେ.ମି. |

(iv) ମନେକର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ସେ.ମି. ଓ କର୍ଣ୍ଣ = √2 a ସେ.ମି. |
2 ସେ.ମି. ବଢ଼ିଗଲେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (a + 2) ସେ.ମି. ଓ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = √2(a + 2) ସେ.ମି. |
ଅଧ୍ଵଜ = √2(a + 2) – √2a = √2a + 2√2 – √2a = 2√2 ସେ.ମି.
∴ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ସେ.ମି. ବଢ଼ିଲେ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2√2 ସେ.ମି. ବଢ଼ିବ ।

Question 4.
ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ରର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ଅଛି । କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 75 ମି. ଓ 40 ମି.
(ii) 14 ମି. ଓ 48 ମି.
Solution:
(i) ଆୟତଚିତ୍ରର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 75ମି. ଓ 40 ମି. ।
∴ଏହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= \(\sqrt{75^2+40^2}\) = \(\sqrt{5^2 \times 15^2+5^2 \times 8^2}\) = \(\sqrt{5^2 \times\left(15^2+8^2\right)}\) = \(\sqrt{5^2 \times 17^2}\) ( ∵ 8, 15, 17 ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପଲ୍)
= 5 × 17 = 85 ମି. ।

(ii) ଆୟତଚିତ୍ରର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 14ମି. ଓ 48 ମି. ।
∴ଏହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= \(\sqrt{14^2+48^2}\) = \(\sqrt{2^2 \times 7^2+2^2 \times 24^2}\) = \(\sqrt{2^2\left(7^2+24^2\right)}\) = \(\sqrt{2^2 \times 25^2}\) (∵ 7, 24 ଓ 25 ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପଲ୍)
= 2 × 25 = 50 ମି. ।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 24 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମବାହୁ △ ର ପରିସୀମା = 24 ସେ.ମି. ।
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { ପରିସୀମା }{ 3 }\)
∴ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { 24 }{ 3 }\) = 8 ସେ.ମି.
ଉଚ୍ଚତା = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 8 = 4√3 ସେ.ମି.
∴ ସମବାହୁ △ ର ଉଚ୍ଚତା 4√3 ସେ.ମି. ।

Question 6.
ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ ବିପରୀତ ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା 15√3 ଡେସିମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ ବିପରୀତ ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା
= ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା = 15√3 ଡେସି ମି.
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ମପାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ଉଚ୍ଚତା × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) = 15√3 × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) = 30 ଡେସି ମି.
∴ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × 3 = 30 ହେକିମି. × 3 = 90 ଡେସି ମି. |

Question 7.
ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁ 51 ସେ.ମି. ଓ ତୃତୀୟ ବାହୁ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 45 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
AB = AC = 51 ସେ.ମି. , AD = 45 ସେ.ମି.
∴ BD (ଅର୍ଦ୍ଧଭୂମି)
= \(\sqrt{A B^2-A D^2}\) = \(\sqrt{51^2-45^2}\) = \(\sqrt{3^2 \cdot 17^2-3^2 \cdot 15^2}\) = \(\sqrt{3^2\left(17^2-15^2\right)}\) = \(\sqrt{3^2 \cdot 8^2}\) = 3 × 8 = 24 ସେ.ମି.
∴ BC = 2BD = 2 × 24 = 48 ସେ.ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 48 ସେ.ମି. |

Question 8.
ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 96 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 14 ସେ.ମି. ଦ୍ରେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ △ ର BC = ଭୂମି = 6 ସେ.ମି.
∴BD = 1/2 BC = 1/2 × 96 = 48 ସେ.ମି.
AD = ଉଚ୍ଚତା = 14 ସେ.ମି. AB ଓ AC ତ୍ରିଭୁଜର ସମାନ ବାହୁ ।
ABD ସମରୋଗ ତ୍ରିଭୁଜର ∠D ପପକୋଶୀ | AB = କଣ୍ଡ, AD = ଭଲତା BD = ଭୁମି ପିଆରେ।ଉପକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ,
∴ AB = \(\sqrt{\mathrm{AD}^2+\mathrm{BD}^2}\) = \(\sqrt{14^2+48^2}\) = \(\sqrt{2^2 \cdot 7^2+2^2 \cdot 24^2} \) = \(\sqrt{2^2\left(7^2+24^2\right)}\) = \(\sqrt{2^2 \cdot 25^2}\) = 2 × 25 = 50 ସେ.ମି. | ( ∵57, 24, 25 ଏକ ପିଆରେ।ଦାପ ବାହୁର )
∴ ପରିମାପ। = 96 + 50 + 50 = 196 ସେ.ମି. |
∴ ସମଙ୍ଗିବାହୁ △ ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 50 ସେ.ମି. ଓ ପରିସୀମା 196 ସେ.ମି. ।

Question 9.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 8(√2 + 1) ମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = 8(√2 + 1) ମିଟର |
ମନେକର ସମକୋଣୀ ସମଦିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ୍ ବାହୁ = a ମିଟର
ତେବେ କାଣ୍ଡର ଦେଶ୍ୟ = √2a ମି. |
∴ △ ର ପରିସୀମା = a + a + √2.a = 2a + √2.a = √2a (√2 + 1) ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ √2.a (√2 + 1) = 8 ( √2 + 1)
⇒ √2.a = 8 ⇒ a = \(\frac{8}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{8 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) = \(\frac{8 \sqrt{2}}{2}\) = 4√2 ମି.
∴ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ୍ କାଣ୍ଡର ଦେଶ୍ୟ 4√2 ମି.

Question 10.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ସେ.ମି. ବଢ଼ିଗଲେ ଏହାର ପରିସୀମାରେ କେତେ ବୃଦ୍ଧି ଘଟିବ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟରେ ମଧ୍ୟ କେତେ ବୃଦ୍ଧି ଘଟିବ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ମନେକର ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ସେ.ମି.
∴କଣ୍ଠ = √2 a ସେ.ମି. ଓ ପରିସୀମା = 4a ସେ.ମି.
ବାହୁ 5 ସେ.ମି. ବଢ଼ିଲେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (a + 5) ସେ.ମି.
କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = √2(a + 5) ସେ.ମି. ହେବା
ଓ ପରିସୀମା = 4(a + 5) ସେ.ମି.
ପରିସୀମା ବୃଦ୍ଧି ହେବ = 4(a + 5) – 4a = 4a + 20 – 4a = 20 ସେ.ମି.
କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବୃଦ୍ଧି ହେବ = √2(a + 5) – √2a = √2a + 5√2 – √2a = 5√2 ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି ଘଟିବ |

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(a)

Question 1.
କେତେକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ବାହୁ ଦୁଇଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି । ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ସାହାଯ୍ୟରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 3 ମି. ଓ 4 ମି.
(ii) 5 ସେ.ମି. ଓ 12 ସେ.ମି.
(iii) 7 ସେ.ମି. ଓ 24 ସେ.ମି.
(iv) 8 ମି. ଓ 15 ମି.
(v) 1.5 ସେ.ମି. ଓ 2 ସେ.ମି.
(vi) 10 ସେ.ମି. ଓ 24 ସେ.ମି.
Solution:
(i) 5 ମି. ( ∵3, 4 ଓ 5 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)
(ii) 13 ସେ.ମି. (∵ 15, 12 ଓ 13 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)
(iii) 25 ସେ.ମି. (∵ 7, 24 ଓ 25 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)
(iv) 17 ମି. (∵ 8, 15 ଓ 17 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)
(v) 2.5 ସେ.ମି. (∵1.5, 2 ଓ 2.5 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)
(vi) 26 ସେ.ମି. (∵ 3, 4 ଓ 5 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)

Question 2.
ନିମ୍ନରେ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଯଥାକ୍ରମେ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ତ୍ରିଭୁଜର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।
(i) 2.5 ସେ.ମି. ଓ 2.4 ସେ.ମି.
(ii) 4.1 ମି. ଓ 4 ମି.
(iii) 12.5 ମି. ଓ 10 ମି.
(iv) 125 ମି. ଓ 100 ମି.
(v) 299 ମି. ଓ 276 ମି..
Solution:
(i) ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2.5 ସେ.ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2.4 ସେ.ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{(2 \cdot 5)^2-(2 \cdot 4)^2}\) = \(\sqrt{6 \cdot 25-5 \cdot 76}\) = \(\sqrt{0 \cdot 49}\) = 0.7 ସେ.ମି.
ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିଣ୍ଡୟର ବିକନ୍ତ ପଣାଲା :
\(\sqrt{(2 \cdot 5)^2-(2 \cdot 4)^2}\) = \(\sqrt{(2 \cdot 5+2 \cdot 4)(2 \cdot 5-2 \cdot 4)}\) [∵a² – b² = (a + b) (a – b)]
= \(\sqrt{4 \cdot 9 \times 0 \cdot 1}\) = \(\sqrt{0.49}\) = 0.7 ସେ.ମି.

(ii) ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4.1 ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{(4 \cdot 1)^2-(4)^2}\) = \(\sqrt{16 \cdot 81-16}\) = \(\sqrt{0 \cdot 81}\) = 0.9 ମି.

(iii) ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12.5 ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 10 ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{(12.5)^2-(10)^2}\) = \(\sqrt{(156.25-100)}\) = \(\sqrt{56.25}\) = 7.5 ମି.

(iv) ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 125 ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 100 ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{(125)^2-(100)^2}\) = \(\sqrt{(125+100)(125-100)}\) = \(\sqrt{225 \times 25}\) = 15 × 5 = 75 ମି.
ଅଥବା \(\sqrt{125^2-100^2}\) = \(\sqrt{25^2 \times 5^2-25^2 \times 4^2}\) = \(\sqrt{25^2\left(5^2-4^2\right)}\) = \(\sqrt{25^2 \times 3^2}\) = 25 × 3 = 75 ମି.

(v) ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 299 ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 276 ସେ.ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{(299)^2-(276)^2}\) = \(\sqrt{(299+276)(299-276)}\) = \(\sqrt{575 \times 23}\) = \(\sqrt{5 \times 5 \times 23 \times 23}\) = 5 × 23 = 115 ମି.

Question 3.
ନିମ୍ନରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ସମକୋଣା ତୁରୁକ |
(i) 11 ସେ.ମି., 60 ସେ.ମି. ଓ 61 ସେ.ମି.
(ii) 0.8 ମି., 1.5 ମି. ଓ 1.7 ମି.
(iii) 0.9 ତେ.ମି., 4 ତେ.ମି. ଓ 4.1 ତେ.ମି.
(iv) 0.7 ସେ.ମି., 24 ସେ.ମି. ଓ 2.5 ସେ.ମି.
Solution:
(i) 11² + 60² = 121 + 3600 = 3721 = (61)²
∴ ଏହା ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
(ii)
(0.8)² + (1.5)² = 0.64 + 2.25 = 2.89 = (1.7)²
∴ ଏହା ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

(iii) (0.9)² + (4)² = 0.81 + 16 = 16.81 = (4.1)²
∴ ଏହା ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

(iv) (0.7)² + (2.4)² = 0.49 + 5.76 = 6.25 = (2.5)²
∴ ଏହା ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Question 4.
ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦିଆଯାଇଛି । ପ୍ରଥମେ ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ କି ? ଯଦି ଉତ୍ତର ହଁ ହୁଏ, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜର କେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହେବ ?
(i) AB = 3 ସେ.ମି., BC = 4 ସେ.ମି. ଏବଂ CA = 5 ସେ.ମି.
(ii) CA = 5 ସେ.ମି., AB = 12 ସେ.ମି. ଏବଂ BC = 13 ସେ.ମି.
(iii) BC = 7 ସେ.ମି., CA = 24 ସେ.ମି. ଏବଂ AB = 25 ସେ.ମି.
(iv) BC = 9 ସେ.ମି., AB = 40 ସେ.ମି. ଏବଂ AC = 41 ସେ.ମି.
(v) AB = 8 ସେ.ମି., BC = 15 ସେ.ମି. ଏବଂ CA = 17 ସେ.ମି.
Solution:
(i) ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ AB = 3 ସେ.ମି., BC = 4 ସେ.ମି. ଓ AC = 5 ସେ.ମି. |
(ii) AB² + BC² = (3)² + (4)² = 9 + 16 = 25 = (5)² = AC²
ତେଣୁ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ AC = ତ୍ରିଭୁଜର କଣ୍ଠ ।
AC କର୍ପୂର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ∠ABC ର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।

(ii) ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ CA = 5 ସେ.ମି., AB = 12 ସେ.ମି. ଏବଂ BC = 13 ସେ.ମି. |
AC² + AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² = BC²
ତେଣୁ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ BC = ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ।
BC କର୍ପୂର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ∠BAC ର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।

(iii) ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ BC = 7 ସେ.ମି., CA = 24 ସେ.ମି. ଏବଂ AB = 25 ସେ.ମି.
BC² + AC² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² = AB²
ତେଣୁ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ AB = ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ।
AB କର୍ପୂର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ZACB ର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।

(iv) ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ BC = 9 ସେ.ମି., AB = 40 ସେ.ମି. ଏବଂ AC = 41 ସେ.ମି.
BC² + AB² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41² = AC²
ତେଣୁ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ AC = ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ।
AC କର୍ପୂର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ∠ABC ର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।

(v) ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ AB = 8 ସେ.ମି., BC = 15 ସେ.ମି. ଏବଂ CA = 17 ସେ.ମି.
AB² + BC² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² = AC²
ତେଣୁ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ AC = ତ୍ରିଭୁଜର କଣ୍ଠି ।
AC କର୍ପୂର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ∠ABC ର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।

Question 5.
ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି A ସ୍ଥାନରୁ ବାହାରି ପୂର୍ବ ଦିଗକୁ 50 ମିଟର ଗତିକଲା ପରେ ସେଠାରୁ ଉଭର 120 ମିଟର ଗତିକରି B ନାମକ ସ୍ଥାନରେ ପହଞ୍ଚିଲେ । A ଠାରୁ B ର ଦୂରତା କେତେ ?
Solution:
ଜଣେ ବାହାରି ଗତିପଥ A ରୁ ପୂର୍ବକୁ 50 ମି. ଗତିକରି ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ପହଞ୍ଚିଲା । ପୁନଶ୍ଚ O ରୁ ଉତ୍ତରକୁ 120 ମି. ଗତିକରି B ନାମକ ସ୍ଥାନରେ ପହଞ୍ଚି AOB ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଲା ।
ଏହାର m∠O = 90°
∴ AOB ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ BO = 120 ମି. ଏବଂ AO = 50 ମି. |
A ଓ B ମତରେ ଦୁଇତା = କଣ୍ଡ = AB = \(\sqrt{\mathrm{OB}^2+\mathrm{OA}^2}\) = \(\sqrt{(120)^2+(50)^2}\) (ପିଥାଗୋରୀୟ ଉପପାଦ୍ୟ)
= \(\sqrt{14400+2500}\) = \(\sqrt{16,900}\) = 130 ମିଟର |

Question 6.
20 ମିଟର ଉଚ୍ଚ. ଗୋଟିଏ ତାଳଗଛ ଝଡ଼ରେ ନଇଁ ପଡ଼ିବାରୁ‘ତା’ର ଅଗ୍ରଭାଗ ସେହି ଗଛର ମୂଳଠାରୁ 12 ମିଟର ଦୂରରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏକ ସ୍ତମ୍ଭର ଅଗ୍ରଭାଗକୁ ସ୍ପର୍ଶକଲା । ସ୍ତମ୍ଭଟିର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
AB = ତାଳଗଛର ଉଚ୍ଚତା = 20 ମିଟର,
ତାଳଗଛ ଝଡ଼ରେ ନଇଁପଡ଼ିବାରୁ ତା’ର ଅଗ୍ରଭାଗ ସ୍ତମ୍ଭଠାରୁ 12 ମି. ଦୂରରେ ଥ‌ିବା
ସ୍ତମ୍ଭ DCର ଅଗ୍ରଭାଗ C କୁ ସ୍ପର୍ଶକଲା ।

ବର୍ତ୍ତମାନ BDC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ∠D ସମକୋଣ
AB = BC = 20 ମିଟର, BD = 12 ମିଟର
ପିଥାଗୋରସ୍‌ଙ୍କ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ CD = \(\sqrt{\mathrm{BC}^2-\mathrm{BD}^2}\) = \(\sqrt{20^2-12^2}\) = \(\sqrt{400-144}\) = \(\sqrt{256}\) = 16 ମିଟର
∴ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା 16 ମିଟର ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ କୋଠାଘରର ବାହାର କାନ୍ଥର ପାଦଦେଶରୁ 8 ମିଟର ଦୂରରେ ଗୋଟିଏ ନିଶୁଣି ରଖ୍ କାନ୍ଥକୁ ଡେରିଦେଲେ, ନିଶୁଣିର ଅଗ୍ରଭାଗ କାନ୍ଥର ଉପରକୁ ସ୍ପର୍ଶ କରେ । ନିଶୁଣଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ମିଟର ହେଲେ, କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
କୋଠାର ବାହାର କାନ୍ତର ଇଳତା = AB
ଏହାର ବାହାର ପାଦଦେଶ ‘B’ ଠାରୁ 8 ମି. ଦୂର ‘C’ ଠାରେ ଏକ ନିଶୁଣି
କାନ୍ଥର ଅଗ୍ରଭାଗ ‘A’ ଠାରେ ସ୍ପର୍ଶ କରେ ।

ବର୍ତ୍ତମାନ ABC ସମକୋଣୀ △ର ∠B ସମକୋଣ ।
ନିଶୁଣିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ AC = 10 ମିଟର, BC = 8 ମି.
∴ AB = \(\sqrt{\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2}\) = \(\sqrt{10^2-8^2}\) = \(\sqrt{100-64}\) = \(\sqrt{36}\) = 6 ମିଟର
∴ କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା 6 ମିଟର ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ଘରର ଦୁଇ ବିପରୀତ କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ 25 ଡେସି ମି. ଓ 4 ଡେସି ମି. । କାନ୍ଥ ଦୁଇଟିର ଉପରିଭାଗକୁ ଲାଗିଥିବା ଗୋଟିଏ ସଳଖ କଡ଼ିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 65 ଡେସି ମି. ହେଲେ, ଘରର ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଘରର ଦୁଇ ବିପରୀତ କାନ୍ଥ AB ଓ CD | ଘରର ପ୍ରସ୍ଥ : = BC
କଡ଼ିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ AD = 65 ଡେସି ମି. AB = 64 ଡେସି ମି. ଏବଂ CD = 25 ତେ.ମି.ମି.
D ବିନ୍ଦୁରୁ AB ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ପାଦବିନ୍ଦୁ M ହେଲେ,
△AMD ରେ MD = BC ଏବଂ

AM = AB – BM = AB – CD = 64 – 25 = 39 ତେ.ମି.ମି.
MD = \(\sqrt{\mathrm{AD}^2-A M^2}\) = \(\sqrt{65^2-39^2}\) = \(\sqrt{4225-1521}\) = \(\sqrt{2704}\) = 52 ତେ.ମି.ମି.
କିନ୍ତୁ MD = BC
∴ ଘରର ପ୍ରସ୍ଥ = BC = 52 ତେ.ମି.ମି.

Question 9.
ଗୋଟିଏ ପୋଖରୀରେ ଥିବା ଏକ ପଦ୍ମକଢ଼ିର ଅଗ୍ରଭାଗ ଜଳ ଉପରକୁ 1 ମିଟର ଦେଖାଯାଉଥିଲା । କିନ୍ତୁ ବାୟୁଦ୍ଵାରା ଏହି କଢ଼ିଟି ଆସ୍ତେ ଆସ୍ତେ ଘୁଞ୍ଚିଯାଇ ମିଟର ଦୂରରେ ଜଳସ୍ତର ସଙ୍ଗେ ମିଶିଗଲା । ପୋଖରୀରେ ଜଳର ଗଭୀରତା ନିଶ୍ଚୟ କର ।
Solution:
AB = ପଦ୍ମନାଡ଼ର ପ୍ରଥମ ଅବସ୍ଥା । ଏହାର AC ଅଂଶ ପାଣି ଉପରକୁ ଦେଖାଯାଉଛି ।
BC = ଜଳର ଗଭୀରତା । ପବନଦ୍ଵାରା ଚାଳିତ ହୋଇ ପଦ୍ମନାଡ଼ଟି 3 ମିଟର ଦୂରରେ D ବିନ୍ଦୁରେ ଜଳ ସହିତ ମିଶିଗଲା ।
BD = ପଦ୍ମନାଡ଼ର ଦ୍ଵିତୀୟ ଅବସ୍ଥା ।
∴ AB = BD = BC + AC
ମନେକର ଜଳର ଗଭୀରତା BC = x ମିଟର
∴ BD = (x + 1) ମିଟର

ବରମାନ BCD ସମକୋଣା ପ୍ରତିଭୁଲରହି BD² = BC² + CD²
⇒ (x + 1)² = x² + 3² ⇒ x² + 2x + 1 = x² + 9
⇒ 2x = 9 – 1 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = \(\frac { 8 }{ 2 }\) = 4 ମିଟର |
∴ ଜଳର ଗଭୀରତା 4 ମିଟର ।

Question 10.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 32 ସେ.ମି. । ତାହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅପେକ୍ଷା ୫ ସେ.ମି. ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର AB ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 32 ସେ.ମି.
ମନେକର BC ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି.
ପ୍ରଶାନୁସାରେ AC କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 8) ସେ.ମି.

ଆମେ ଜାଣିଛେ, ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ, AC² = AB² + BC²
⇒ (x + 8)² = (32)² + x² ⇒ x² +8² + 2·x·8 = 1024 + x²
⇒ 64 + 16x = 1024 ⇒ 16x = 1024 – 64
⇒ 16x = 960 ⇒ x = \(\frac { 960 }{ 16 }\) = 60 ⇒ AC = (x + 8) ସେ.ମି.
= (60 + 8) ସେ.ମି. = 68 ସେ.ମି.
∴କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 68 ସେ.ମି. |