Class 8

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(b)

Question 1.
ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମ୍ବନରେ ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ସ୍ଥିର କର ।
45, 55, 85, 105, 155, 255
ସମାଧାନ :
45² = 2025 (4 × 5 = 20)
55² = 3025 (5 × 6 = 20)
85² = 7225 (8 × 9 = 72)
105² = 11025 (10 × 11 = 110)
155² = 24025 (15 × 16 = 240)
255² = 65025 (25 × 26 = 650)

Question 2.
ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
27, 37, 46, 78, 98
a² – b² = (a + b)(a – b)
⇒ a² = (a + b)(a – b) + b²
ସମାଧାନ :
27² = (27 + 3)(27 – 3) + 3² =30 × 24 + 9 = 729
37² = (37 + 3)(37 – 3) + 3² =40 × 34 + 9 = 1369
46² = (46 + 4) (46 – 4) + 4² = 50 × 42 + 16 = 2116
78² = (78 + 2)(78 – 2) + 2² = 80 × 76 + 4 = 6084
98² = (98 + 2)(98 – 2) +2² = 100 × 96 + 4 = 9604

Question 3.
(a + b)² = a² + 2ab + b² ଅଭେଦର ପ୍ରୟୋଗରେ 19, 102, 107 ର ବର୍ଗ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
19² = (10 + 9)² = 10² + 2 × 10 × 9 + 9² = 100 + 180 + 81 = 361
102² = (100 + 2)² = 100² + 2 × 100 × 2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404
107² = (100 + 7)² = 100² + 2 × 100 × 7 + 7² = 10000 + 1400 + 49 = 11449

Question 4.
(a – b)² = a² -2ab + b² ଅଭେଦର ପ୍ରୟୋଗରେ 93, 95, 98 ର ବର୍ଗ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
93² = (100 – 7)² = 100² – 2 × 100 × 7 + 7² = 10000 – 1400 + 49 = 8649
95² = (100 – 5)² = 100² – 2 × 100 × 5 + 5² = 10000 – 1000 + 25 = 9025
98² = (100 – 2)² = 100² – 2 × 100 × 2 + 2² = 10000 – 400 + 4 = 9604

Question 5.
52² = (5² + 2) 100 + 2² = 2704, 57² = (5² + 7) 100 + 72 = 3249
ଉପରୋକ୍ତ ଦୁଇଟି ବର୍ଗ ନିରୂପଣ ପ୍ରଣାଳୀ ଅନୁସରଣରେ 51, 54, 56, 58, 59 ର ବର୍ଗମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
51² = (5² + 1) × 100 + 1² = 2601
54² = (5² + 4) × 100 + 4² = 2916
56² = (5² + 6) × 100 + 6² = 3136
58² =(5² + 8) × 100 + 8²= 3364
59² = (5² + 9) × 100 + 9² = 3481

Question 6.
45² = 4 × (4 + 1) 100 + 5²,
55² = 5 × (5 + 1) 100 + 5² 106
65² =6 × (6+ 1) 100 + 5²
ଉପରୋକ୍ତ ବର୍ଗ ନିରୂପଣ ପ୍ରଣାଳୀ ଅନୁସରଣରେ 35, 75, 95, 115, 205 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ :
35² = 3 x (3 + 1) x 100 + 5² = 1225
75² = 7 x (7 + 1) x 100 + 5² = 5625
95² = 9 x (9 + 1) x 100 + 5² = 9025
115² = 11 x (11 + 1) x 100 + 5² = 13225
205² = 20 x (20 + 1) x 100 + 5² =42025

Question 7.
0.12, 1.11. 0.003 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
\((0.12)^2=\left(\frac{12}{100}\right)^2=\frac{144}{10000}=0.0144\)
\((1.11)^2=\left(\frac{111}{100}\right)^2=\frac{12321}{10000}=1.2321\)
\((0.003)^2=\left(\frac{3}{1000}\right)^2=\frac{9}{1000000}=0.000009\)

Question 8.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
121, 1009, 65.61, 0.00256, 0.36, 12.321
ସମାଧାନ :
121 = 11², 65.61 = (8.1)², 0.36 = (0.6)²
ତେଣୁ 121, 65.61 ଓ 0.36 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(e) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(e)

Question 1.
11 ଠାରୁ 20 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
11³ = 11 × 11 × 11 = 1331
12³ = 12 × 12 × 12 = 1728
13³ = 13 × 13 × 13 = 2197
14³ = 14 × ¡4 × 14 = 2744
15³ = 15 × 15 × 15 = 3375
16³ = 16 × 16 × 16 = 4096
17³ = 17 × 17 × 17 = 4913
18³ = 18 × 18 × 18 = 5832
19³ = 19 × 19 × 19 = 6859
20³ = 20 × 20 × 20 = 8000

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) (3)³ × (4)³ = (……..)³
(iii) (12)³ × (5)³ = ( …….)³
(iii) (5)³ × (11)³ = (…….)³
(iv) 6³ = 2³ × (……)³
(v) (15)³ = (…….)³ × (5)³
ସମାଧାନ :
a³b³ = (ab)³
(i) 12
(ii) 55
(iii) 60
(iv) 3
(v) 3

Question 3.
ନିମ୍ନଲିଖତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ?
54, 216, 243, 218, 1331, 106480
ସମାଧାନ :
n = m³ ହେଲେ, m, n ∈ N
n ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
54 = 3 × 3 × 3 × 2 = (3)³ × 2
ଉତ୍ପାଦକୀକରଣଦ୍ଵାରା ସଂଖ୍ୟାଟି n³ ରୂପେ ପ୍ରକାଶିତ ହେଲା ନାହିଁ; ତେଣୁ 54 ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2)³ × (3)³ = (2 × 3)³ = (6)³
ଉତ୍ପାଦକୀକରଣଦ୍ୱାରା 216, n³ ଅର୍ଥାତ୍ (6)³ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶିତ ହେଲା, ତେଣୁ 216 ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ।

243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = (3)³ × 3 × 3
ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଦ୍ବାରା 243, n³ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶିତ ହେଲା ନାହିଁ । ତେଣୁ 243 ଘନସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

218 = 2 × 109
ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଦ୍ବାରା ଏହା n³ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶିତ ହେଲା ନାହିଁ । ତେଣୁ 218 ଘନସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

1331 = 11 × 11 × 11 = (11)³
ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଦ୍ବାରା 1331, n³ ଅର୍ଥାତ୍ (11)³ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶିତ ହେଲା, ତେଣୁ 1331 ଏକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ।

106480 = 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11 × 5 = (2)³ × (11)³ × 2 × 5
ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଦ୍ଵାରା ଏହା n³ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶିତ ହେଲା ନାହିଁ । ତେଣୁ 106480 ଘନସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

Question 4.
675 ରେ ଅଚୂନ କେତେ ଗୁଣିଲେ, ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ?
ସମାଧାନ :
675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = (3)³ × (5)²
∴ 675 ର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ
ଗୁଣନୀୟକ 3 ର ସଂଖ୍ୟା = 3
ଗୁଣନୀୟକ 5 ର ସଂଖ୍ୟା = 2
∴ 675 କୁ ଅନ୍ୟୁନ 5 ଦ୍ବାରା ଗୁଣିଲେ ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

Question 5.
8640 କୁ ଅତିକମ୍‌ରେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ?
ସମାଧାନ :
8640 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = (2)³ × (2)³ × (3)³ × 5
ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଜଣାପଡ଼ିଲା ଯେ,
5 ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକମାନ n’ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶିତ ହୋଇଛନ୍ତି ।
∴ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

Question 6.
ଏକ ସମଘନର ଏକ ଧାରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 15 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଆୟତନ କେତେ ?
ସମାଧାନ :
ଏକ ସମଘନର ଏକ ଧାରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 15 ସେ.ମି.
ଏହାର ଆୟତନ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)³ = 15³ ଘନ ସେ.ମି. = 3375 ଘନ ସେ.ମି.
ସମଘନର ଆୟତନ 3375 ଘନ ସେ.ମି. ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ ସମଘନାକାର ପାଣିଟାଙ୍କିର ଗଭୀରତା 2 ମିଟର । ଏଥୁରୁ ଦୈନିକ 1000 ଲିଟର ପାଣି କାଢ଼ି ନିଆଗଲେ, କେତେ ଦିନରେ ପାଣିତକ ଶେଷ ହୋଇଯିବ ?
ସମାଧାନ :
ସମଘନାକାର ପାଣିଟାଙ୍କିର ଗଭୀରତା 2 ମିଟର ।
ଏହାର ଘନଫଳ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)³ = (2 ମିଟର)³ = 8 ଘନମିଟର
1 ଘନମିଟର ପାଣି = 1000 ଲିଟର ପାଣି । 8 ଘନମିଟର ପାଣି = 8000 ଲିଟର ପାଣି ।
ପାଣିଟାଙ୍କିରେ ଥ‌ିବା ପାଣିର ଆୟତନ = 8000 ଲିଟର
ଦୈନିକ 1000 ଲିଟର ଲେଖା କାଢ଼ିନେଲେ ପାଣିତକ ଶେଷ ହେବ 8000 ÷ 1000 = 8 ଦିନରେ ।

Question 8.
12 ମିଟର ଗଭୀର ଏକ ସମଘନାକାର ଗାତ ଖୋଳିବାକୁ ଘନ ମିଟରକୁ 25 ଟଙ୍କା ହିସାବରେ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ?
ସମାଧାନ :
ସମଘନାକାର ଗାତର ଗଭୀରତା = 12 ମିଟର
ଏହାର ଆୟତନ = (ଗଭୀରତା)³ = (12)³ ଘନମିଟର = 1728 ଘନମିଟର
1 ଘନମିଟର ଗାତଖୋଳିବାରେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହୁଏ 25 ଟଙ୍କା ।
1728 ଘନମିଟର ଗାତ ଖୋଳିବାରେ ଖର୍ଚ୍ଚହେବ 1728 × 25 ଟଙ୍କା = 43200 ଟଙ୍କା ।

Question 9.
3 ର ଗୁଣିତକ ଯେ କୌଣସି ପାଞ୍ଚଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଏବଂ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 3 ର ଗୁଣିତକ ଯେ କୌଣସି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ, 27ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ସଂଖ୍ୟା ପାଞ୍ଚୋଟି ଯେଉଁମାନେ 3ର ଗୁଣିତକ; ଯଥା – 6, 9, 12, 15, 18 ।
(6)³= (2 × 3)³ = 2³ × 3³ = 8 × 27; ଅର୍ଥାତ୍ (6)³, 27 ର ଗୁଣିତକ ଏବଂ 6³ = 216
(9)³ = (3 × 3³ = 3³ x 3³ = 27 × 27; ଅର୍ଥାତ୍ (9)³, 27 ର ଗୁଣିତକ ଏବଂ 9³ = 729
(12)³ = (4 × 3)³ = 4³ × 3³ = 64 × 27; ଅର୍ଥାତ୍ (12)³, 27 ର ଗୁଣିତକ ଏବଂ 12³ = 1728
(15)³ = (5 × 3)³ = 5³ × 3³ = 125 × 27; ଅର୍ଥାତ୍ (15)³, 27 ର ଗୁଣିତକ ଏବଂ 15³ = 3375
(18)³= (6 × 3)³ = 6³ × 3³ = 216 × 27; ଅର୍ଥାତ୍ (18)³, 27 ର ଗୁଣିତକ ଏବଂ 18³ = 5832

n ∈ N ହେଲେ 3n ଏକ ସଂଖ୍ୟା, ଯାହା 3ର ଗୁଣିତକ ।
(3n)³ = 27n³ ; ଅର୍ଥାତ୍ (3n), 27ର ଗୁଣିତକ ଅଟେ ।

Question 10.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ , ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
ସମାଧାନ :
n ∈ Z ହେଲେ, 21 ଏକ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ଏବଂ (2n + 1) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା 2n ଘନ = (2n)³ = 8n³ = 2(4n³) [4n³ ∈ Z]
ଅର୍ଥାତ୍ 2nର ଘନ ଏକ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ।
ପୁନଶ୍ଚ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (2n + 1 )ର ଘନ = (2n + 1)³ = 8n³ + 12n² + 6n + 1
= 2(4n³ + 6n² + 3n) + 1
ଏଠାରେ 44n³ + 6n² + 3n ∈ Z
(2n + 1)ର ଘନ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(d)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତ ରାଶି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) \(64^{\frac{2}{3}}\)
(ii) \(16^{1 \frac{1}{4}}\)
(iii) \(125^{1 \frac{2}{3}}\)
(iv) \(\left(\frac{81}{625}\right)^{\frac{1}{4}}\)
(v) \(\left(\frac{1}{216}\right)^{-\frac{2}{3}}\)
(vi) \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-1 \frac{2}{3}}\)
ସମାଧାନ :
(i) \(64^{\frac{2}{3}}=\left(4^3\right)^{\frac{2}{3}}=4^{3 \times \frac{2}{3}}=4^2=16\)

(ii) \(16^{1 \frac{1}{4}}=\left(2^4\right)^{\frac{5}{4}}=2^{4 \times \frac{5}{4}}=2^5=32\)

(iii) \(125^{1 \frac{2}{3}}=\left(5^3\right)^{\frac{5}{3}}=5^{3 \times \frac{5}{3}}=5^5=3125\)

(iv) \(\left(\frac{81}{625}\right)^{\frac{1}{4}}=\left\{\left(\frac{3}{5}\right)^4\right\}^{\frac{1}{4}}=\left(\frac{3}{5}\right)^{4 \times \frac{1}{4}}=\frac{3}{5}\)

(v)

(vi)

ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :

Question 2.
ସରଲ କର ।
(i) \(\sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{2}\)
(ii) \(8^3 \times 4^{\frac{1}{2}} \div 16^2\)
(iii) \(27^{1 \frac{1}{3}} \times \sqrt{\frac{1}{9}} \div 81^{-\frac{1}{4}}\)
(iv) \(\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}} \times 4^0 \times\left(1 \frac{1}{3}\right)^{-1}\)
(v) \((\sqrt[2]{25})^2 \times(125)^{\frac{1}{3}} \times(625)^{\frac{1}{4}}\)
(vi) \((343)^{\frac{1}{3}} \times(49)^{\frac{1}{2}} \div 14\)
ସମାଧାନ :
(i)

(ii) \(8^3 \times 4^{\frac{1}{2}} \div 16^2\)
= (2³)³ × (2²)^{\(\frac{1}{2}\)} ÷ (2⁴)² = 2^3×3 × 2^{\(2 \times \frac{1}{2}\)} ÷ 2^4×2 = 2⁹ × 2 ÷ 2⁸ = 2^9+1-8 = 2² = 4

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

Question 3.
ସରଲ କର ।
(i) \(\left(\mathbf{a}^l\right)^{\mathrm{m}-\mathrm{n}} \times\left(\mathbf{a}^{\mathrm{m}}\right)^{\mathrm{n}-l} \times\left(\mathbf{a}^{\mathrm{n}}\right)^{l-\mathrm{m}}(\mathbf{a} \neq 0, l, \mathrm{~m}, \mathbf{n} \in \mathbf{Q})\)
(ii) \(\left(\frac{a^p}{a^q}\right)^{p+q} \times\left(\frac{a^q}{a^r}\right)^{q+r} \times\left(\frac{a^r}{a^p}\right)^{r+p}(\mathbf{a} \neq 0, p, q, r \in Q)\)
ସମାଧାନ :
(i)

(ii)

Question 4.
ଗୁଣଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
(i) \(\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)\) (a > 0, b > 0)
(ii) \((\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})\) (x > 0, y > 0)
ସମାଧାନ :
(i) \(\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)\)
\(a^{\frac{1}{2}}\) = x ଓ \(b^{\frac{1}{2}}\) = y ନେଲେ ଦତ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ (x + y) (x – y) = x² – y²
= (\(a^{\frac{1}{2}}\))² – (\(b^{\frac{1}{2}}\))² [x ଓ y ର ମାନ ନେଲେ]
= \(a^{\frac{1}{2} \times 2}-b^{\frac{1}{2} \times 2}\) = a – b

(ii) \((\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})\) = \(\left(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}\right)\)
\(x^{\frac{1}{2}}\) = a ଓ \(y^{\frac{1}{2}}\) = b ନେଲେ ଦତ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ
(a + b) (a – b) = a² – b² = (\(x^{\frac{1}{2}}\))² – (\(y^{\frac{1}{2}}\))² (a ଓ bର ମାନ ନେଲେ)
= \(x^{\frac{1}{2} \times 2}-y^{\frac{1}{2} \times 2}\) = x – y

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(b)

Question 1.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ____ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
(b) ______ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
(c) ____ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ, ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(d) ____ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
(e) ____ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି; କିନ୍ତୁ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ନ ହୋଇପାରନ୍ତି ।
(f) ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ, ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମନ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ସମଷ୍ଟି ____ |
(g) ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ, ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମନ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଏହାର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ____ |
Solution:
(a) ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ଚିତ୍ର
(b) ରମ୍ବସ୍
(c) ବର୍ଗଚିତ୍ର
(d) ଆୟତଚିତ୍ର
(e) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
(f) 180°
(g) 180°

Question 2.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ପାଇଁ ଯାହା ସତ୍ୟ ତା’ ପାଖରେ T ଲେଖ ଓ ଯାହା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(a) ବିପରୀତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସର୍ବଦା ସମାନ ।
(b) ବିପରୀତ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ।
(c) କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତଥ୍ୟ କିଛି ନାହିଁ ।
(d) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
(e) ଦୁଇଟି ସ୍ତମିଳ କୋଣର ପରିମାଣ ପରାମର ସାମାନ |
(f) ପ୍ରଦ୍ୟୋଗ କୋଣ ସମ୍ଭୋଗ |
(g) ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ
Solution:
(a) ✓
(b) ✓
(c) x
(d) ✓
(e) x
(f) x
(g) ✓

Question 3.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତ ପାଖରେ T ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(a) ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକାର ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସମାନ ।
(b) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
(c) କୌଣସି କୋଣ ସମକୋଣ ନ ହୋଇଥିବା ଏକ ରମ୍ବସ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ହେବେ ନାହିଁ।
(d) ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହୋଇ ନଥ‌ିବା ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(e) ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଓ ପରସ୍ପରପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
(f) ଏଭଳି ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ନାହିଁ ଯାହାର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ନାହିଁ ।
Solution:
(a) ✓
(b) x
(c) ✓
(d) ✓
(e) ✓
(f) ✓

Question 4.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର m∠A = 70° ହେଲେ, ∠B, ∠C ଏବଂ ∠D ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର m∠A = 70° (କର)
∴ m∠C = m∠A = 70°
(∵ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ପରସ୍ପର ସମାନ)
ଆମେ ଜାଣିଛେ, m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°

⇒ m∠B + m∠D = 360° – 140° ( ∵ m∠A + m∠C = 140°)
⇒ m∠B + m∠D = 220°
କିନ୍ତୁ m∠B = m∠D
(∵ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ ।)
∴ m∠B = m∠D = \(\frac { 220° }{ 2 }\) = 110°

Question 5.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 ହେଲେ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର m∠A: m∠B = 2 : 3 (କର)
ମନେକର m∠A = 2x° ଓ m∠B = 3x°
ଆମେ ଜାଣିଛି, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣମାନକର ପରିମାଣ ପରଖର ସମାନ ।

∴ m∠A = m∠C = 2x° ଏବଂ m∠B = m∠D = 2x°
2x + 3x + 2x + 3x = 360° (∵ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360°)
⇒ 10x = 360° ⇒ X = \(\frac { 360° }{ 10 }\) = 36°
∴ କୋଣମାନକର ପରିମାଣ;
m∠A = m∠C = 2x = 2 × 36 = 72°
m∠B = m∠D = 3x = 3 × 36 = 108°

Question 6.
ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ଅନୁପାତ 1 : 3 : 7 : 9 ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ x°, 3x°, 7x° ଓ 9x° |
ଆମେ ଜାଣିଛୁ, ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° |
⇒ x° + 3x° + 7x° + 9x° = 360° ⇒ 20x = 360° ⇒ x = \(\frac { 360 }{ 20 }\) = 18°
ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣ;
3x = 3 × 18 = 54°; 7x = 7 × 18 = 126°; ଏବଂ 9x = 9 × 18 = 162°
∴ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣ 18°, 54°, 126° ଓ 162° |

Question 7.
କୌଣସି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ ଏବଂ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର କୁ ସମକୋଣରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚିତ୍ର ହେବ କାରଣ ସହ ଦର୍ଶାଅ ।
Solution:
ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° |
କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ ହେତୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac { 360° }{ 4 }\) = 90°
ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ ସମକୋଣ ।
ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ ଏବଂ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ରମ୍ବସ୍ଟିର କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ହେବ ।
Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ରମ୍ବସ୍; ଯାହାର m∠B = 60° ଓ AC ଏହାର କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ଣ୍ଣ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ରମ୍ବସ୍‌ର ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ଅର୍ଥାତ୍ AB = AC |
ପ୍ରମାଣ : AC କର୍ଣ୍ଣ ABCD ରମ୍ବକୁ △ABC ଓ △ADC ରେ ପରିଣତ କରୁଛି ।
△ABC ରେ m∠B = 60° ହେଲେ,
m∠BAC + m∠BCA = 180° – m∠B
= 180° – 60° = 120° (∵ △ର ତିନି କୋଣର ସମସି 180°)

AB = BC (∵ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁ)
⇒ M∠BAC = m∠BCA (ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣ)
∴ m∠BAC = m∠BCA = \(\frac { 120° }{ 2 }\) = 60°
∴ △ABC ର କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ସମାନ ।
⇒ AB = BC = AC
⇒ AB = AC (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.
ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 60 ଏବଂ 80° । ଅନ୍ୟ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ, କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର m∠A = 60°, m∠B = 80°
ଏବଂ m∠C = m∠D (ଦତ୍ତ)
ଆମେ ଜାଣିଛୁ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° |
ଆମେ m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°
⇒ 60° +80° + m∠C + m∠D = 360° ⇒ m∠C + m∠D = 360° (60° + 80°) = 120°
କିନ୍ତୁ m∠C = m∠D (ଦତ୍ତ)
∴ m∠C = m∠D = \(\frac { 120° }{ 2 }\) = 60°

Question 10.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ∠C ଓ ∠D ର ପରିମାଣ (ଡିଗ୍ରୀରେ) ଦିଆଯାଇଛି । ଦତ୍ତ ମାପକୁ ନେଇ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠A = m∠C = x + 30° ଓ m∠B = m∠D = 2x – 60°
(∵ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ବିପରୀତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ)

ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360° |
ନେଇ m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°
⇒ x + 30° + 2x – 60° + x + 30° + 2x – 60° = 360°
⇒ 6x – 60° = 360°
⇒ 6x = 360° + 60° = 420°
⇒ x = \(\frac { 420° }{ 6 }\) = 70°
∴ m∠D = 2x – 60° = 2 × 70° – 60° = 80°
ଏବଂ m∠C = x + 30° = 70° + 30° = 100°

Question 11.
ଦଇ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଓ PBNM ହୁଲଟି ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର | m∠D = 70° ହେଲେ, m∠M ଓ m∠MNB କେତେ ସ୍ଥିର କର |
Solution:

ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠D = 70° (ଦଇ)
⇒ m∠B = m∠D = 70° (∵ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଶମାନକର ପରିମାଣ ପରାମର ସମାନ)
PBNM ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠PBN = 70° (∵m∠B = 70°)
ଦଇ m∠M = m∠PBN (PBNM ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ କୋଣ)
PBNM ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠PBN + m∠MNB + m∠M + m∠MPB = 360°
⇒ (m∠PBN + m∠M) + m∠MNB + m∠MPB = 360°
⇒ 70° + 70° + 2m∠MNB = 360° (∵ m∠MNB + m∠MPB = 2m∠MNB)
⇒ 2m∠MNB = 360° – 140° = 220°
∴ m∠MNB = \(\frac { 220° }{ 2 }\) = 110°

Question 12.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିଲ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି ଲୋଗ ମଧ୍ୟରୁ ଭୋଗକର ପରିମାଣ ଅନ୍ୟ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ ହେଲେ, ଏହାର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିଲ ଚିତ୍ରର m∠A = 3m∠B (ଦଇ)
କିନ୍ତି m∠A = m∠C ଏବଂ m∠B = m∠D
ଆମେ ଜାଣିଛେ, m∠A + m∠C + m∠B + m∠D = 360°
⇒ m∠A + m∠A + m∠B + m∠B = 360° ⇒ 2(m∠A + m∠B) = 360°
⇒ m∠A + m∠B = \(\frac { 360° }{ 2 }\) = 180°
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° |
କିନ୍ତି m∠A = 3m∠B
3m∠B + m∠B = 180°
⇒ 4m∠B = 180° ⇒ m∠B = \(\frac { 180° }{ 4 }\) = 45°
∴ m∠B = m∠D = 45°
ଏବଂ m∠A = 3m∠B = 3 × 45° = 135° = m∠C

Question 13.
ଚିତ୍ରରେ ABCD, APOR ଓ TSCV ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(i) APOR ର କେଉଁ କେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ m/C ସହ ସମାନ ?
(ii) TSCV ର କେଉଁ କେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ mZA ସହ ସମାନ ?
(iii) m∠T = 110° ହେଲେ, ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:

APQR ର ∠A ଓ ∠Q ର ପରିମାଣ ∠C ର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ । [ସୂଚନା : m∠A = m∠C]
(∵ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ବିପରୀତ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ) କିନ୍ତୁ m∠A = m∠Q
(∵ APOR ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ) ∴ m∠A = m∠Q = m∠C]

(ii) TSCV ର ∠T ଓ ∠C ର ପରିମାଣ ∠A ର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ । [ସୂଚନା : m∠A = m∠C]
(∵ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣର ପରିମାଣ)
m∠C = m∠T
(∵ TSCV ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣର ପରିମାଣ)]

(iii) m∠T = 110°
∴ (ii) ର ପୁନଶ୍ଚ ଅନୁଯାଯା m∠T = m∠A = m∠C
∴ m∠A = m∠C = 110°
ପୁନଶ୍ଚ, ପ୍ରଶ୍ନ (12) ର ଉତ୍ତରରୁ ଆମେ ଜାଣିଛେ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° |
∴ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କୋଣର m∠A + m∠B = 180°
⇒ m∠B = 180° – m∠A = 180° – 110° = 70°
କିନ୍ତୁ m∠B = m∠D
∴ m∠D = 70°
∴ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣର୍ମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 110°, 70, 110° ଏବଂ 70° |

Question 14.
ABCD ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତି । AO = (2x + 3) ଏକକ ଏବଂ OD = (3x +1) ଏକକ ହେଲେ, xର ମାନ ସ୍ଥିର କର ଏବଂ କର୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:

ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ଓ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।
⇒ 2x + 3 = 3x + 1 ⇒ 3x – 2x = 3 – 1 ⇒ x = 2
∴ AC = 2(2x + 3) = 2(2 × 2 + 3) = 2(4 + 3) = 2 × 7 = 14 ସେ.ମି.
BD = 2(3x + 1) = 2 (3 × 2 + 1) = 2(6 + 1) = 2 × 7 = 14 ସେ.ମି.

Question 15.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।
ଚିତ୍ରରୁ x, y ଏବଂ z ର ମାନ ନିରୂପଣ କର ।
Solution:

ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ AOD ସମକୋଣୀ △ ।
⇒ AD = \(\sqrt{5^2+12^2}\) = \(\sqrt{25+144}\) = \(\sqrt{169}\) = 13 ସେ.ମି. |
∴ z = 13 ସେ.ମି. (ରମ୍ବସ୍‌ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ ସର୍ବସମ)
OD = OB = x = 12 ସେ.ମି. |
AO = OC = y = 5 ସେ.ମି. |

Question 16.
(a) ସେୟାର, ସ୍କେଲ୍‌ ଏବଂ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ରମ୍ବସ୍ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ଏବଂ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. |
Solution:

ସୋପାନ :
(i) AB ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ।
(ii) A ବିନ୍ଦୁରେ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ∠XAB ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ପରିମାଣ 60° ହେବ ।
(iii) A କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି AB ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ଚାପ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(iv) D ଓ B ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି AB ବ୍ୟାସାର୍କ୍ ନେଇ ଦୁଇଟି ଚାପ୍ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ |
(v) \(\overline{\mathrm{CD}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଳନ କରି ABCD ଉମ୍ଭସ ସମୟ କର ।

(b) ସେୟାର, ସ୍କେଲ୍ ଏବଂ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 70° ଏବଂ ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.3 ସେ.ମି. ଏବଂ 4.5 ସେ.ମି. |
Solution:

ସୋପାନ :
(i) 6.3 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ AB ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) A ବିନ୍ଦୁରେ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ∠XAB ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ଏହାର ପରିମାଣ 70° ହେବ ।
(iii) A କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ 4.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ଚାପ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(iv) D କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ 6.3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ।
(v) B କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ 4.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ପୂର୍ବୋକ୍ତ ଚାପକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । ଛେଦବିଦୁର ନାମ ‘C’ ଦିଅ ।
(vi) \(\overline{\mathrm{DC}})\) ଏବଂ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କରି ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।

(c) ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3.2 ସେ.ମି. ହେବ ।
Solution:

ସୋପାନ :
(i) 3.2 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ AB ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) B ବିନ୍ଦୁରେ ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି m∠ABX ଅଙ୍କନ କର ଯେପରିକି ଏହାର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।
(iii) Bକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଏବଂ 3.2 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ନେଇ \(\overline{\mathrm{BX}})\) ରୁ BC = 3.2 ସେ.ମି. ଚାପ କାଟ ଏବଂ ଏହାର ନାମ C ଦିଅ ।
(iv) C ବିନ୍ଦୁ ଓ A ବିନ୍ଦୁରୁ 3.2 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(v) CD ଓ AD ଅଙ୍କନ କରି ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(c)

Question 1.
△ABC ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର a = 7.5 ସେ.ମି. , m∠B = 75° ଓ m∠C = 30° |
Solution:

(i) BC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର; ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7.5 ସେ.ମି. ହେବ ।
(ii) B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଯଥାକ୍ରମେ ∠XBC ଏବଂ ∠YCB ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି mZXBC = 75° ଏବଂ m∠YCB = 30° ହେବ ।
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{CY}}\) ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ A ହେଉ ।
(iv) △ABC ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Question 2.
△ABC ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି m∠A = 60°, m∠B = 75° ଓ c = 5.9 ସେ.ମି. |
Solution:

(i) 5.9 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ AB ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) A ଓ B ବିନ୍ଦୁରେ ଯଥାକ୍ରମେ 60 ଏବଂ 75° ପରିମିତ ∠XAB ଏବଂ ∠YBA କୋଣ ଜଳନ କରାଯାଇ |
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଏବଂ \( \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) ର ଶ୍ମି ଦ୍ଵୟ ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ C ହେଉ । ବର୍ତ୍ତମାନ △ABC ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Question 3.
△ABC ର BC = 6.5 ସେ.ମି., \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ = 75° । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି AB ଓ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:

(i) BC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.5 ସେ.ମି. |
(ii) B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଯଥାକ୍ରମେ ∠XBC ଏବଂ ∠YCB ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି କି m∠XBC = 75° = m∠YCB ହେବ ।
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{CY}}\) ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ A ହେଉ ।
(iv) △ABC ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।
(v) AB ଓ BC ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପି ଲେଖ ।

Question 4.
△POR ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର PQ = 5.7 ସେ.ମି., m∠P = 60° ଓ m∠Q = 45° |
Solution:
(i) 5.7 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ∠QPX ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି m∠XPQ = 60° ହେଉ ।
(iii) ∠PQY ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି କି m∠YQP = 45° ହେଉ ।

(iv) \( \overrightarrow{\mathrm{PX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{QY}}\) ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ R ହେଉ ।
(v) ବର୍ତ୍ତମାନ POR ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Question 5.
b = 7 ସେ.ମି., m∠A = 60° ଓ m∠B = 75° ନେଇ △ABC ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
[ଏଠାରେ m∠A = 60° ଓ m∠B = 75° ନେଇ
m∠C = 180° – (m∠A + m∠B)
= 180° – (60° + 75°)
= 180° – 135° = 45°]

(i) 7 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ AC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) A ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଯଥାକ୍ରମେ ∠XAC ଏବଂ ∠YCA କୋଣ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି m∠XAC = 60° ଏବଂ m∠YCA = 45° ନେଇ |
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{CY}}\) ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ B ହେଉ ।
(iv) ବର୍ତ୍ତମାନ ABC ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(b)

Question 1.
△ABC ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର a = 5.6 ସେ.ମି., m∠B = 60°, c = 6.3 ସେ.ମି. | ସିଭୁଲଟି ଅଜନ୍ କରି ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(i) BC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5.6 ସେ.ମି. ।
(ii) B ବିନ୍ଦୁରେ 60° ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ∠XBC ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ରୁ BA (= 6.3 ସେ.ମି.) ଅଂଶ ଛେଦନ କର ।

(iv) A ଓ Cକୁ ଯୋଗକରି △ABC ସଂପୂର୍ଣ କର ।
(v) C ବିନ୍ଦୁରେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ତାହା AC ଓ BC କୁ ଯଥାକ୍ରମେ N ଓ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବ ।
(vi) M ଓ Nକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି MNର ଅର୍ଦ୍ଧାତ୍ମକ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । \( \overrightarrow{\mathrm{CP}}\), ∠Cର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ହେବ ।

Question 2.
△ABC ର AB = AC = 5.7 ସେ.ମି., m∠A = 120, ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି ∠B ଓ ∠C ର ପରିମାଣ ମାପି ଲେଖ । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କ ଲେଖ ।
Solution:

(i) 5.7 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) A ବିନ୍ଦୁରେ ∠XAB ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ଏହାର ପରିମାଣ 120° ହେବ ।
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ର AC = 5.7 ଅଂଶ ଛେଦନ କର । C, Bକୁ ଯୋଗକରି △ABC ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(iv) ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସାହାଯ୍ୟରେ ∠B ଓ ∠C କୋଣକୁ ମାପ ଏବଂ ଦେଖୁବ ଯେ, m∠B = m∠C = 30° |

Question 3.
△POR ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର PQ = 7 ସେ.ମି., PR = 5.6 ସେ.ମି. ଓ m∠P = 45° । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି R ବିନ୍ଦୁରୁ PQ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:

(i) PQ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କରି, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. ।
(ii) P ବିନ୍ଦୁରେ ∠XPQ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ଏହାର ପରିମାଣ 45° ହେବ |
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{PX}}\) ରୁ PR 5.6
(v) R, Q କୁ ଯୋଗକରି △POR ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(vi) R ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସ ର୍ଷବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ତାହା PQକୁ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ T ଓ S ରେ ଛେଦ କରିବ ।
ତତ୍ପରେ ଉକ୍ତ ଦୁଇ ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି TSର ଅର୍ଦ୍ଧାଧିକ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ଚାପ ପରସ୍ପରକୁ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(vi) RN ଓ PQ ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ M ହେଉ ।
(vii) \(\overline{\mathrm{RM}})\), △PQR ର R ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{PQ}})\) ପତି ଲମ ଅଟେ |

Question 4.
△ABC ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର m∠B = 75°, AB = 3 ସେ.ମି. BC = 4 ସେ.ମି. |
Solution:

(i) 4 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) B ବିନ୍ଦୁରେ ∠XBC ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି m∠XBC = 75° ହେବ |
(iii) \( \overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ରୁ BA = 3 ସେ.ମି. ଅଂଶ ଛେଦନ କର ।
(iv) A, Cକୁ ଯୋଗକରି △ABC ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(a)

Question 1.
ABC ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯହିଁରେ a = 7 ସେ.ମି., b = 3.5 ସେ.ମି., c = 5 ସେ.ମି. | ଏହାର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ A ରୁ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ବାହୁପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର । ସେହି ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପ ।
Solution:

(i) BC a = 7 ସେ.ମି. ଅଙ୍କନ କର |
(ii) B ଓ C କୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 5 ସେ.ମି. ଏବଂ 6 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହା ପରସ୍ପରକୁ A ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବେ । △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(iii) A ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ \(\widehat{\mathrm{BC}}\) କୁ R ଓ S ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
(iv) R ଓ S କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି RS ର ଅନ୍ଧାଧ‌ିକ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(v) AM ଓ BC ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ D ହେଉ ।
(vi) A ବିନ୍ଦୁରୁ BC ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ AD ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପି ସ୍ଥିର କର ।

Question 2.
△ABC ର AB = AC = BC = 6.1 ସେ.ମି.; ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି ଏହାର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ମାପି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:

(i) BC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.1 ସେ.ମି. |
(ii) B ଓ C ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 6.1 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର କୁ A ବିନ୍ଦୁ ରେ ଛେଦକରୁ ।
(iii) AB ଏବଂ AC ଅଙ୍କନ କରି △ABC କୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।
(iv) △ ର ତିନିକୋଣକୁ ମାପି ସ୍ଥିର କର । ଦେଖ‌ିବ ଯେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ହେବ ।

Question 3.
ABC △ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର BC = 5 ସେ.ମି., AB = AC = 6.3 ସେ.ମି. । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:

(i) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ସେ.ମି. ।
(ii) B ଓ C କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 6.3 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ A ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(iii) A, B କୁ ଏବଂ A, C କୁ ଯୋଗ କରି △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(iv) ∠B ଓ ∠C କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର । ଦେଖୁ ଯେ m∠B = m∠C ହେବ।

Question 4.
△LMN ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର LM = 5 ସେ.ମି. LN = 4.7 ସେ.ମି. ଓ MN = 6.1 ସେ.ମି., ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି ଏହାର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମାପ ଓ କେଉଁ କୋଣଟି ବୃହତ୍ତମ ତାହା ଦେଖାଅ ।
Solution:

(i) \(\overline{\mathrm{MN}})\) ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.1 ସେ.ମି. ହେବ ।
(ii) M ଓ N କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଯଥାକ୍ରମେ 5 ସେ.ମି. ଓ 4.7 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହା ପରସ୍ପରକୁ L ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବ ।
(iii) \(\overline{\mathrm{LM}})\) ଓ LN ଲେଖାଖଣ୍ଡ ଅଳନ୍ କରି △LMN ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(iv) ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସାହାଯ୍ୟରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣକୁ ମାପ ଏବଂ ଦେଖୁବ ଯେ, ∠L ର ପରିମାଣ ବୃହତ୍ତମ ଅଟେ ।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ତିନି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 5.8 ସେ.ମି., 4.7 ସେ.ମି. ଓ 3.9 ସେ.ମି. । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କରି 5.8 ସେ.ମି. ଓ 4.7 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:

(i) BC = 5.8 ସେ.ମି. ଅଙ୍କନ କର |
(ii) B ଓ C କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଯଥାକ୍ରମେ 4.7 ସେ.ମି. ଏବଂ 3.9 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ର ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ A ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ- କରନ୍ତୁ |
(iii) AB ଓ AC ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କରି, △ABC ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(iv) Bକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଯାହା AB ଓ BC ବାହୁକୁ D ଓ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବେ ।
(v) D ଓ E କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି DEର ଅର୍ଦ୍ଧାଧ‌ିକ ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବେ ।
(vi) \( \overrightarrow{\mathrm{BF}}\) ରଶ୍ମି ଅଙ୍କନ କର, ଯାହା ∠ABCର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ହେବ।

Question 6.
a = 6 ସେ.ମି., b = 7 ସେ.ମି. ଓ ୯ = 8 ସେ.ମି. ନେଇ △ABC ଅଙ୍କନ କର । ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବମାନ ଅଙ୍କନ କର ।
[ଅଙ୍କନ ତ୍ରୁଟିଶୂନ୍ୟ ହୋଇଥିଲେ, ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରିବେ ।]
Solution:
(i) 6 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ BC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) B କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 8 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ପୁନଶ୍ଚ C କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 7 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ (ii ରେ) ପୂର୍ବୋକ୍ତ ଚାପକୁ ଛେଦକରୁ । ଛେଦବିନ୍ଦୁର ନାମ A ହେଉ ।
(iv) △ABC ଅଙ୍କନ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
(v) AB, BC ଓ \(\overline{\mathrm{CA}})\) ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବମାନ ଅଙ୍କନ କର।

ଦାଦୁର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅନନ ସମହାସ ପୋପାଳ:
\(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ :
(i) A ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର ନେଇ AB ର ଅଧାରୁ ଅଧିକ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ AB ର ଉଭୟପାର୍ଶ୍ଵରେ ଦୁଇଟି ଚାପ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(ii) B ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର ନେଇ ପୂର୍ବ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ଚାପ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ, ଯେପରିକି ଚାପଦ୍ଵୟ AB ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ପୂର୍ବ ଅଙ୍କିତ ଚାପଦ୍ଵୟକୁ ଛେଦକରିବେ । ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଦୁଇଟିର ନାମ P ଓ Q ହେଉ ।
(iii) \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\), AB ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ହେବ ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(a)

Question 1.
ନିମ୍ନ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
27, 37, 46, 118, 225
ସମାଧାନ :
27² = 27 × 27 = 729,
37² = 37 × 37 = 1369,
46² = 46 × 46 = 2116
118² = 118 × 118 = 13924,
225² = 225 × 225 = 50625

Question 2.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହଁନ୍ତି । କାରଣ ଦର୍ଶାଅ ।
64000, 89722, 2220, 505050, 1057, 23453, 222222
ସମାଧାନ :
64000ର ଶେଷ ତିନିଅଙ୍କ ଶୂନହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
89722ର ଏକକ ଅଙ୍କ 2 ହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ନାହିଁ ।
2220ର ଶେଷରେ ଗୋଟିଏ ଶୂନ ହେତୁ ପୂଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
505050ର ଶେଷରେ ଗୋଟିଏ ଶୂନ ହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
1057ର ଏକକ ଅଙ୍କ 7 ହେତୁ ଏହା ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ନାହିଁ ।
23453ର ଏକକ ଅଙ୍କ 3 ହେତୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
222222ର ଏକକ ଅଙ୍କ 2 ହେତୁ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ନାହିଁ ।

Question 3.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ କେଉଁଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କାରଣ ସହ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
28, 113, 278, 314, 4315, 23872
ସମାଧାନ :
113, 4315 ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେତୁ ଏମାନଙ୍କ ବର୍ଗ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
28, 278, 314, 23872 ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେତୁ ଏମାନଙ୍କ ବର୍ଗ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

Question 4.
100 ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ ସ୍ଥିର କର ।
(ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ମଧ୍ୟରେ ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନଥାଏ; ତେବେ ସେମାନେ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟୀ ହେବେ ।)
ସମାଧାନ :
(i) ଆମେ ଜାଣୁ m ∈ N ଓ m > 1 ହେଲେ 2m, m² – 1 ଓ m² + 1 ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।
ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ନିରୂପଣ ପାଇଁ m ଯୁଗ୍ମ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ (m > 1) । ଏଠାରେ m < 10 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।
ତେଣୁ ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ନିରୂପଣ ପାଇଁ m < 10 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।
m = 2, 4, 6 ଓ 8 ହେଲେ ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ ହେବ (4, 3, 5), (8, 15, 17), (12, 35, 37) 3 (16, 63, 65) |

(ii) m (m > 2) ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, m, \((\frac{1}{2})^2\) – 1, \((\frac{1}{2})^2\) + 1 ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।
m = 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 ହେଲେ, ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ ହେବ (4, 3, 5), (6, 8, 10), (8, 15, 17), (10, 24, 26), (12, 35, 37), (14, 48, 50), (16, 63, 65) 8 (18, 80, 82) |
ଏଗୁଡ଼ିକର ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେଲା –
(3, 4, 5), (8, 15, 17), (5, 12, 13), (12, 35, 37), (14, 48, 50), (16, 63, 65) 8 (9, 40, 41) |

(iii) m (m > 1) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, (\(\mathrm{m}, \frac{\mathrm{m}^2-1}{2}, \frac{\mathrm{m}^2+1}{2}\)) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରିୟୀ ହେବ ।
m = 15 ହେଲେ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}\) > 100 ହେବ, ତେଣୁ m < 15 ହେବ ।
m = 3, 5, 7, 9, 11, 13 ହେଲେ, ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀମାନ (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61) 3 (13, 84, 85) |
ତେଣୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ମୌଳିକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀଗୁଡ଼ିକ ହେଲା – (4, 3, 5), (8, 15, 17), (12, 35, 37), (16, 63, 65), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61) 3 (13, 84, 85) I

Question 5.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ଦୁଇଟି ବର୍ଗର ଅନ୍ତର ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର । 19, 27, 31, 41, 53
ସମାଧାନ :
\(a=a \times 1=\left(\frac{a+1}{2}\right)^2-\left(\frac{a-1}{2}\right)^2\)

19 = 19 × 1 = \(\left(\frac{19+1}{2}\right)^2-\left(\frac{19-1}{2}\right)^2=\left(\frac{20}{2}\right)^2-\left(\frac{18}{2}\right)^2=10^2-9^2\)

27 = 27 × 1 = \(\left(\frac{27+1}{2}\right)^2-\left(\frac{27-1}{2}\right)^2=\left(\frac{28}{2}\right)^2-\left(\frac{26}{2}\right)^2=14^2-13^2\)

27 = 9 × 3 = \(\left(\frac{9+3}{2}\right)^2-\left(\frac{9-3}{2}\right)^2=\left(\frac{12}{2}\right)^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2=6^2-3^2\)

31 = 31 × 1 = \(\left(\frac{31+1}{2}\right)^2-\left(\frac{31-1}{2}\right)^2=\left(\frac{32}{2}\right)^2-\left(\frac{30}{2}\right)^2=16^2-15^2\)

41 = 41 × 1 = \(\left(\frac{41+1}{2}\right)^2-\left(\frac{41-1}{2}\right)^2=\left(\frac{42}{2}\right)^2-\left(\frac{40}{2}\right)^2=21^2-20^2\)

53 = 53 × 1 = \(\left(\frac{53+1}{2}\right)^2-\left(\frac{53-1}{2}\right)^2=\left(\frac{54}{2}\right)^2-\left(\frac{52}{2}\right)^2=27^2-26^2\)

Question 6.
କେତେକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀର ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ସଂଖ୍ୟା ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି । ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗରେ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ । 7, 11, 15, 12, 16
ସମାଧାନ :
(i) ଯେ କୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା m (m > 1) ପାଇଁ (\(\mathrm{m}, \frac{\mathrm{m}^2-1}{2}, \frac{\mathrm{m}^2+1}{2}\)) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।
(ii) ଯେ କୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା m (m > 2) ପାଇଁ (\(m,\left(\frac{m}{2}\right)^2-1,\left(\frac{m}{2}\right)^2+1\)) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ହେବ ।

(i) m = 7 ହେଲେ, \(\frac{\mathrm{m}^2-1}{2}=\frac{7^2-1}{2}=\frac{48}{2}=24\) ଏବଂ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}=\frac{7^2+1}{2}=\frac{50}{2}=25\)
ଏଠାରେ (7, 24, 25) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।

(ii) m = 11 ହେଲେ, \(\frac{\mathrm{m}^2-1}{2}=\frac{11^2-1}{2}=\frac{120}{2}=60\) ଏବଂ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}=\frac{11^2+1}{2}=\frac{122}{2}=61\)
ଏଠାରେ (11, 60, 61) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।

(iii) m = 15 ହେଲେ, \(\frac{\mathrm{m}^2-1}{2}=\frac{15^2-1}{2}=\frac{224}{2}=112\) ଏବଂ \(\frac{\mathrm{m}^2+1}{2}=\frac{15^2+1}{2}=\frac{226}{2}=113\)
ଏଠାରେ (15, 112, 113) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।

(iv) m = 12 ହେଲେ, \(\left(\frac{m}{2}\right)^2-1=\left(\frac{12}{2}\right)^2-1\) = 36 – 1 = 35 ଏବଂ \(\left(\frac{m}{2}\right)^2+1=\left(\frac{12}{2}\right)^2+1\) = 36 + 1 = 37
ଏଠାରେ (12, 35, 37) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।

(v) m = 16 ହେଲେ, \(\left(\frac{m}{2}\right)^2-1=\left(\frac{16}{2}\right)^2-1\) = 64 – 1 = 63 ଏବଂ \(\left(\frac{m}{2}\right)^2+1=\left(\frac{16}{2}\right)^2+1\) = 64 + 1 = 65
ଏଠାରେ (16, 63, 65) ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ।

Question 7.
ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସମ୍ବନ୍ଧଗୁଡ଼ିକର ବିଭିନ୍ନ ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖ୍ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) 1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = ……
111111² = ….

(b) 11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = ……….
10000001² = ………

(c) 11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = ………..
101010101² = ………

(d) 1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12²= 13²
4² + 5² + … = 21²
5² + … + 30² = ……²

(e) 11² × (11² ରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = 222
(ଅର୍ଥାତ୍ 11²(1 + 2+ 1) = 484 = 22²)
111² × (111² ରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = 333²
1111² × (1111² ରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = …….
11111² × (11111² ରେ ଥ‌ିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି) = ………

(f) 7² = 49
67² = 4489
667² = 444889
6667² = 44448889
66667² = ……..
666667² = ……
ଉ –
(a) 11111² = 12345321
111111² = 12345654321

(b) (100001)² = 10000200001
(10000001)² = 100000020000001

(c) (1010101)² = 1020304030201
(101010101)² = 10203040504030201

(d) 4² + 5² + 20² = 21²
5² + 6² + 30² = 31²

(e) (4444)²
(55555)²

(f) (66667)² = 4444488889
(666667)² = 444444888889.

Question 8.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(m+1)² – m² = (m + 1) + m
18² – 17² = ……..
25² – 24² = ………
112² – 111² = ……..
171² – 170² = ………
ଉ –
18² – 17² = 35
25² – 24² = 49
112² – 111² = 223
171² – 170² = 341

Question 9.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଯେଉଁ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ (✓) ଚିହ୍ନ ଏବଂ ଯେଉଁ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଭୁଲ୍ ତା’ ପାଖରେ (✗) ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।
(a) ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାରେ ଥିବା ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ ।
(b) ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(c) କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
(d) ଦୁଇଟି ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଏକ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା
(e) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(f) ଗୋଟିଏ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ।
(g) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ 1 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟିର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ସର୍ବଦା 1 ହେବ ।
ଉ –
(a) ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାରେ ଥିବା ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ । (✗)
(b) ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । (✗)
(c) କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ । (✓)
(d) ଦୁଇଟି ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଏକ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା । (✗)
(e) ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । (✓)
(f) ଗୋଟିଏ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା । (✗)
(g) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ 1 ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟିର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ସର୍ବଦା 1 ହେବ । (✓)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(f) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 4 ଅଙ୍କନ Ex 4(f)

Question 1.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି AB = 7.0 ସେ.ମି., BC = 5.5 ସେ.ମି., AD = 7.4 ସେ.ମି., AC = 8.0 ସେ.ମି. ଓ BD = 8.5 ସେ.ମି. |
Solution:
(i) △ABC ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର AB = 7 ସେ.ମି., BC = 5.5 ସେ.ମି. ଏବଂ AC = 8 ସେ.ମି. |
(ii) A ଓ Bକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 7.4 ସେ.ମି. ଏବଂ 8.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତୁ ।

(iii) D, C କୁ ଯୋଗକରି ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର।

Question 2.
PORS ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯହିଁରେ QR = 7.5 ସେ.ମି., RP = PS = 6.0 ସେ.ମି., RS = 5 ସେ.ମି. ଓ QS = 10 ସେ.ମି. |
Solution:
(i) △PSR ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର PS = PR = 6.0 ସେ.ମି., SR = 5 ସେ.ମି. |

(ii) S ଓ Rକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 10 ସେ.ମି. ଏବଂ 7.5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(ii) Q, P କୁ ଯୋଗକରି PORS ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 3.
BC = 7.5 ସେ.ମି., AC = AD 8.3 ସେ.ମି., CD = 6.5 ସେ.ମି., ଓ BD = 11.0 ସେ.ମି., ମାପନେଇ ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(i) △ACD ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର AC = AD = 8.3 ସେ.ମି. ଏବଂ CD = 6.5 ସେ.ମି. ।
(ii) C ଓ Dକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 7.5 ସେ.ମି. ଏବଂ 11.0 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ B ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।

(iii) B, A କୁ ଯୋଗ କରି ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 4.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର BC = 2.6 ସେ.ମି., CA = 4.0 ସେ.ମି., AD = 3.5 ସେ.ମି. CD = 2 ସେ.ମି. ଓ BD = 3.0 ସେ.ମି. |
Solution:

(i) △ACD ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର AD = 3.5 ସେ.ମି., CD = 2 ସେ.ମି. ଏବଂ CA = 4.0 ସେ.ମି. |
(ii) D ଓ Cକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 3.0 ସେ.ମି. ଏବଂ 2.6 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ B ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(iii) B, A କୁ ଯୋଗ କରି ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 5.
ABCD ଜଣାଇଲଗେ AB = 4.5 ସେ.ମି., CD = 6.0 ସେ.ମି., AD = 6.3 ସେ.ମି., BD = 5.0 ସେ.ମି. ଓ AC = 5.5 ସେ.ମି. | ପଣଭୁଲ ଫଳନ କର |
Solution:

(i) △ABD ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର AD = 6.3 ସେ.ମି., AB = 4.5 ସେ.ମି. ଏବଂ BD = 5.0 ସେ.ମି. |
(ii) A ଓ Dକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି ଯଥାକ୍ରମେ 5.5 ସେ.ମି. ଏବଂ 6.0 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତୁ ।
(iii) C, B କୁ ଯୋଗକରି ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(c)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତ ରାଶି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) 2^-2
(ii) 2^-4
(iii) 3^-3
(iv) 3^-5
(v) 10^-4
(vi) 5^-3
(vii) 20^-3
(viii) 50^-3
(ix) 100^-1
(x) (0.1)⁵
(xi) (-1)^-1
(xii) (-1)^-27
ସମାଧାନ :
(i) 2^-2 = \(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\)
(ii) 2^-4 = \(\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}\)
(iii) 3^-3 = \(\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\)
(iv) 3^-5 = \(\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}\)
(v) 10^-4 = \(\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10000}\)
(vi) 5^-3 = \(\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\)
(vii) 20^-3 = \(\frac{1}{20^3}=\frac{1}{8000}\)
(viii) 50^-3 = \(\frac{1}{50^3}=\frac{1}{125000}\)
(ix) 100^-1 = \(\frac{1}{100^1}=\frac{1}{100}\)
(x) (0.1)⁵ = \(\left(\frac{1}{10}\right)^5=\frac{1}{10^5}=\frac{1}{100000}\)
(xi) (-1)^-1 = \(\frac{1}{(-1)^1}=\frac{1}{-1}=-1\)
(xii) (-1)^-27 = \(\frac{1}{(-1)^{27}}=\frac{1}{-1}=-1\)

Question 2.
ସରଲ କର ।
(i) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\)
(ii) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}\)
(iii) \(\left(\frac{1}{10}\right)^{-4}\)
(iv) (0.2)³
(v) \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}\)
(vi) \(\left(\frac{3}{10}\right)^{-3}\)
(vii) (-1)^-101
(viii) (-1)¹⁰⁰⁰
ସମାଧାନ :
(i) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9\)
(ii) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}=\frac{1}{\left(\frac{2}{5}\right)^3}=\frac{1}{\frac{8}{125}}=\frac{125}{8}\)
(iii) \(\left(\frac{1}{10}\right)^{-4}=\frac{1}{\left(\frac{1}{10}\right)^4}=\frac{1}{\frac{1}{10000}}=10000\)
(iv) (0.2)³ = \(\left(\frac{2}{10}\right)^3=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}\)
(v) \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}=\left(\frac{5}{3}\right)^3=\frac{125}{27}\)
(vi) \(\left(\frac{3}{10}\right)^{-3}=\left(\frac{10}{3}\right)^3=\frac{1000}{27}\)
(vii) \((-1)^{-101}=\frac{1}{(-1)^{101}}=\frac{1}{-1}=-1\)
(viii) (-1)¹⁰⁰⁰ = 1

Question 3.
ମୌଳିକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) 3⁶
(ii) (6)³
(iii) -216
(iv) 625
(v) 343
(vi) \(\frac{1}{512}\)
(vii) \(\frac{64}{729}\)
ସମାଧାନ :
(i) 3⁶ = \(\frac{1}{3^{-6}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-6}\)
(ii) (6)³ = \(\frac{1}{6^{-3}}=\left(\frac{1}{6}\right)^{-3}\)
(iii) -216 = \((-6)^3=\left(\frac{-6}{1}\right)^3=\left(\frac{1}{-6}\right)^{-3}\)
(iv) 625 = \(5^4=\frac{1}{5^{-4}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{-4}\)
(v) 343 = \(7^3=\frac{1}{7^{-3}}=\left(\frac{1}{7}\right)^{-3}\)
(vi) \(\frac{1}{512}=\frac{1}{2^9}=2^{-9}\)
(vii) \(\frac{64}{729}=\frac{2^6}{3^6}=\left(\frac{2}{3}\right)^6=\left(\frac{3}{2}\right)^{-6}\)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ସୂଚକ ତତ୍ତ୍ଵ Ex 5(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତ ରାଶି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) 3⁶ × 3⁴
(ii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^6 \times\left(\frac{1}{2}\right)^5\)
(ii) \(\left(\frac{2}{3}\right)^7 \times\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
(iv) (4)⁶ × (-4)^-3
(v) \(\left(\frac{3}{2}\right)^5 \times\left(\frac{2}{3}\right)^4\)
(vi) (-4)⁶ × (4)³
(vii) (9)³ × (27)⁴
(viii) (8)³ × (-4)⁴
(ix) (7)⁸ × (-7)⁵
(x) (8)⁵ ÷ (4)⁴
(xi) {(5)³}⁴
(xii) {(-2)³}⁴
(xiii) \(\frac{7^4}{3^4}\)
(xiv) (3)⁹ + (4)⁹
(xv) \(\left(\frac{a}{b}\right)^7 \div\left(\frac{b}{a}\right)^3\)
(xvi) \(\left(\frac{a}{b}\right)^7 \div\left(\frac{-b}{a}\right)^3\)
ସମାଧାନ :
(i) 3⁶ × 3⁴ = (3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3)
= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3¹⁰
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : 3⁶ × 3⁴ = 3⁶⁺⁴ = 3¹⁰

(ii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^6 \times\left(\frac{1}{2}\right)^5=\left(\frac{1}{2}\right)^{6+5}=\left(\frac{1}{2}\right)^{11}\)

(iii) \(\left(\frac{2}{3}\right)^7 \times\left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^{7+3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\)

(iv) (4)⁶ × (-4)^-3 = (4)⁶ × (-1 × 4)³
= (4)⁶ × (-1)³ × (4)³ = (-1)³ × (4)⁶ × (4)³
= (-1) × 4⁶⁺³ = (-1)⁹ × 4⁹ = (-1 × 4)⁹ = (-4)⁹

(v)

(vi) (-4)⁶ × (4)³ = (-1 × 4)⁶ × (4)³
= (-1)³ × (4)⁶ × (4)³ = 1 × 4⁶⁺³ = (4)⁹

(vii) (9)³ × (27)⁴ = (3²)³ × (3³)⁴
= 3^2×3 × 3^3×4
= 3⁶ × 3¹² = 3⁶⁺¹² = 3¹⁸

(viii) (8)³ × (-4)⁴ = (8)³ × (-1 × 4)⁴ = (8)³ × (-1)⁴ × (4)⁴
= (-1)⁴ × 8³ × (4)⁴ = 1 × (2³)³ × (2²)⁴ = 2⁹ × 2⁸ = 2⁹⁺⁸ = 2¹⁷

(ix) (7)⁸ × (-7)⁵ = 7⁸ × (-1 × 7)⁵
= 7⁸ × (-1)⁵ × 7⁵ = (-1)⁵ × 7⁸ × 7⁵ = -1 × 7⁸⁺⁵
= -1 × 7¹³ = (-1)¹³ × 7¹³ = (-1 × 7)¹³ 4= (-7)¹³

(x) (8)⁵ ÷ (4)⁴ = ((2)³)⁵ ÷ ((2)²)⁴ = (2)¹⁵ ÷ (2)⁸ = 2^15-8 = 2⁷

(xi) {(5)³}⁴ = 5^3×4 = 5¹²

(xii) {(-2)³}⁴ = (-2)^3×4 = (-2)¹²

(xiii) \(\frac{7^4}{3^4}\) = \((\frac{7}{3})^4\)

(xiv) (3)⁹ ÷ (4)⁹ = \((\frac{3}{4})^9\)

(xv)

(xvi) \(\left(\frac{a}{b}\right)^7 \div\left(\frac{-b}{a}\right)^3\)

Question 2.
ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 3⁴ × 3³ ÷ 3⁵
(ii) (3¹¹ × 4⁵) ÷ (4⁴ × 3⁶)
(iii) (4³ × 4² × 4) ÷ (2⁴ × 2³ × 2²)
(iv) 2¹¹ ÷ 8³ × 4²
(v) \(\left(\frac{3}{2}\right)^6 \div\left(\frac{2}{3}\right)^2\)
ସମାଧାନ :
(i) 3⁴ × 3³ ÷ 3⁵
= \(3^4 \times\left(\frac{3^3}{3^5}\right)=3^4 \times \frac{1}{3^{5-3}}=3^4 \times \frac{1}{3^2}=\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2=9\)

(ii) (3¹¹ × 4⁵) ÷ (4⁴ × 3⁶)
= \(\frac{3^{11} \times 4^5}{4^4 \times 3^6}=\frac{3^{11}}{3^6} \times \frac{4^5}{4^4}=3^{11-6} \times 4^{5-4}\) = 3⁵ × 4 = 243 × 4=972

(iii) (4³ × 4² × 4) ÷ (2⁴ × 2³ × 2²)
= 4³⁺²⁺¹ ÷ 2⁴⁺³⁺² = 4⁶ ÷ 2⁹
= (2²)⁶ ÷ 2⁹ = 2¹² ÷ 2⁹ = 2^{12 – 9} = 2³ = 8

(iv) 2¹¹ ÷ 8³ × 4² = 2¹¹ ÷ (2³)³ × (2²)²
= 2¹¹ ÷ 2^3×3 × 2^2×2 = 2¹¹ ÷ 2⁹ × 2⁴ = 2^11-9 × 2⁴ = 2² × 2⁴ = 2²⁺⁴ = 2⁶ = 62

(v)

Question 2.
ସରଲ କର ।
(i) (2² × 2)³
(ii) (ab)⁵ × a³ × b²
(iii) \(\left(\frac{a}{b}\right)^7 \times a^6 \times b^5 \times\left(\frac{b}{a}\right)^6\)
(iv) 3⁹ × 3⁵+ 9⁷
(v) \(\left(\frac{2}{3}\right)^5 \div\left(\frac{2}{3}\right)^8 \times\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
ସମାଧାନ :
(i) (2² × 2)³ = (2²⁺¹)³ = (2³)³ = 2^3×3 = 2⁹ = 512

(ii) (ab)⁵ × a³ × b² = a⁵ × b⁵ × a³ × b²
= (a⁵ × a³) × (b⁵ × b²) = a⁵⁺³ × b⁵⁺² =a⁸b⁷

(iii) \(\left(\frac{a}{b}\right)^7 \times a^6 \times b^5 \times\left(\frac{b}{a}\right)^6\) = \(\left(\frac{a^7}{b^7}\right) \times a^6 \times b^5 \times\left(\frac{b^6}{a^7}\right)\)

(iv) 3⁹ × 3⁵ ÷ 9⁷ = 3⁹ × 3⁵ ÷ (3²)⁷ = 3⁹ × 3⁵ ÷ 3^2×7
= 3⁹ × 3⁵ ÷ 3¹⁴ = 3⁹ × \(\frac{3^5}{3^14}\) = 3⁹ × \(\frac{1}{3^14-5}\) = \(\frac{3^9}{3^9}\) = 1

(v)

Question 4.
ମୌଳିକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) (64)³
(ii) (9)⁷
(iii) (125)^m-1
(iv) (-8)¹¹
ସମାଧାନ :
(1) 64³ = (2⁶)3 = 2^6×3 = 2¹⁸ [∵ 64 ର ଏକ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ 2]
(ii) (9)⁷ = (3²)⁷ = 3^2×7 = 3¹⁴ [∵ 9 ର ଏକ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ 3]
(iii) (125)^m-1 = (5³)^m-1 = 5³(^m-1) = 5^3m-3 [125 ର ଏକ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ 5]
(iv) (-8)¹¹ = {(-2)¹¹}¹¹ = (-2)¹¹ = (-2)¹¹ [(-8) ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ -2]

Question 5.
ନିମ୍ନଲିଖ୍ତ ଉକ୍ତି ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ (T) ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ (F) ଲେଖ ।
(i) 2³ × 3⁵ = 6⁸
(ii) 3⁵ × 5⁵ = 15⁵
(iii) (4³)⁴ = (4)⁷
(iv) (5²)³ = 5⁶
(v) (3)³ × (3)² = 3⁶
(vi) (a³ . b⁵) = (ab)¹⁵
(vii) (2³ × 3³) = 6³
(viii) \(\left(\frac{3}{4}\right)^6 \div\left(\frac{4}{3}\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^4\)
(ix) (3)⁴ × (3)⁵ × (-3)² = (-3)¹¹
(x) -3⁴ × 3³ = -3^{7
ସମାଧାନ :}
(i) F
(ii) T
(iii) F
(iv) T
(v) T
(vi) F
(vii) T
(viii) F
(ix) F
(x) F

Question 6.
କେଉଁ କ୍ଷେତ୍ରରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ?
(i) 2ⁿ = 32
(n) 5ⁿ = loo
(iii) 4ⁿ = 512
(iv) 4ⁿ = 1024
(v) 3ⁿ = 729
(vi) 5ⁿ = 1250
(vii) 7ⁿ = 343
(viii) (\(\frac{1}{2}\))ⁿ = \(\frac{1}{64}\)
(ix) (\(\frac{2}{3}\))ⁿ = \(\frac{32}{15}\)
(x) (-2)ⁿ = -512
ସମାଧାନ :
ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵର ଆଧାର ସମାନ କରି ଘାତଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ନିରୂପଣ କର ଏବଂ ଉଦ୍ଧୃତ ସମ୍ବନ୍ଧରୁ ‘n’ କେଉଁ ପ୍ରକାରର ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
(i) 2ⁿ = 32 ⇒ 2ⁿ=2ⁿ ⇒ n = 5, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(ii) 5ⁿ = 100 ⇒ 5ⁿ = 5² × 4, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
(iii) 4ⁿ = 512 ⇒ (2²)ⁿ = 2⁹ ⇒ 2n = 9 ⇒ n =
(iv) 4ⁿ = 1024 ⇒ (2²)ⁿ = 2¹⁰ ⇒ 2²ⁿ = 2¹⁰ ⇒ 2n = 10 ⇒ n = 5, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(v) 3ⁿ = 729 ⇒ 3ⁿ = 3⁶ ⇒ n = 6, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(vi) 5ⁿ = 1250 ⇒ 5ⁿ = 5⁴ × 2, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
(vii) 7ⁿ = 343 ⇒ 7ⁿ = 7³ ⇒ n = 3, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(viii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}}=\frac{1}{64} \Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}}=\left(\frac{1}{2}\right)^6\) ⇒ n = 6, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(ix) (\(\frac{2}{3}\))ⁿ = \(\frac{32}{15}\) ⇒ (\(\frac{2}{3}\))ⁿ = \(\frac{2^5}{3×5}\) ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
(x) (-2)ⁿ = -512 ⇒ (-2)ⁿ = (-2)⁹ ⇒ n = 9, ଏଠାରେ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।