Students can use Class 7 Math Solution Odia Medium and Class 7 Maths Chapter 7 Question Answer Odia Medium ତିନୋଟି ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ସରଳ ରେଖାର କଥା to check their answers after solving exercises.
7th Class Maths Chapter 7 Question Answer Odia Medium
Class 7 Maths Chapter 7 Odia Medium
Question 1.
ଯେତେବେଳେ ତିନୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ହେବେ ସେତେବେଳେ କ’ଣ ହେବ ?
Solution:
ଯେତେବେଳେ ତିନୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ହେବେ ସେତେବେଳେ ଏକ ସରଳରେଖା ଉତ୍ପନ୍ନ ହେବ ।
7.1 ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ :
Page No. (149 to 151)
ଯେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ବାହୁ ଓ ତିନୋଟି କୋଣ ପରସ୍ପର ସମାନ, ତାହାକୁ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ କୁହାଯାଏ । ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ
Question 1.
ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ. ମି. ।
Solution:
• ସୋପାନ – 1 : ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ଭଳି A ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି, AB = 4 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ବୃହତ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର । ‘B’ ବିନ୍ଦୁଟି ଏହି ଚାପ ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ହୋଇପାରିବ । (ଚିତ୍ର-1)
• ସୋପାନ – 2 : ‘B’ କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 4 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଅନ୍ୟ ଏକ ବୃହତଚାପ ଅଙ୍କନ କର । ଚାପଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁଟିକୁ ‘C’ ନାମରେ ନାମିତ କରାଯାଉ । (ଚିତ୍ର-2)
• ସୋପାନ – 3 : AC ଓ BCର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ହେବ । AC ଓ BC କୁ ଯୋଗ କଲାପରେ ଆମେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ABC ପାଇବା । (ଚିତ୍ର-3)
7.2 ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଥିଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ :
Page No. (151 to 163)
Question 1.
ତ୍ରିଭୁଜଟିଏ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି., 5 ସେ.ମି. ଏବଂ 6 ସେ.ମି. ।
Solution:
ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ :
ପ୍ରଥମ ସୋପାନ :
6 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟର \(\overline{\mathrm{AC}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ।
ଦ୍ଵିତୀୟ ସୋପାନ :
A କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କରି 4 ସେ.ମି. (AB) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ।
ତୃତୀୟ ସୋପାନ :
C କୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି 5 ସେ.ମି. BC ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି ତାହା ପୂର୍ବରୁ ଅଙ୍କା ହୋଇଥିବା ଚାପକୁ ଛେଦ କରିବ । ଛେଦବିନ୍ଦୁର ନାମ B ଦିଅ ।
ଚତୁର୍ଥ ସୋପାନ :
\(\overline{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{BC}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
∴ ABC ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ସୋପାନ – 1 : ଯେକୌଣସି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଭୂମିରୂପେ ନିଅ । ମନେକରୁ AB = 4 ସେ.ମି. ।
ସୋପାନ – 2 : A କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃହତ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ।
ସୋପାନ – 3 : ପୁନଶ୍ଚ ‘B’ କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 6 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଯେପରିକି ଏହା ପୂର୍ବ ଚାପକୁ ଛେଦ କରିବ ।
ସୋପାନ – 4 : ଦୁଇଟି ଚାପର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି ତୃତୀୟ ବିନ୍ଦୁ ‘C’ । AC ଓ BC କୁ ଯୋଗକଲେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ABC ପାଇବା
ଅଙ୍କନ କର :
Question 1.
ନିମ୍ନୋକ୍ତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (ସେ.ମି.) ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର ।
(a) 4, 4, 6
(b) 3, 4, 5
(c) 1, 5, 5
(d) 4, 6, 8
(e) 3.5, 3.5, 3.5
Solution:
(a) ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି., ଓ 6 ସେ.ମି.
(i) ପ୍ରଥମ ସୋପାନ : 6 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟର \(\overline{\mathrm{AC}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ଦ୍ଵିତୀୟ ସୋପାନ : A ଓ C କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କରି 4 ସେ.ମି. AB ଓ BC ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(iii) ତୃତୀୟ ସୋପାନ ; B ଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ବିନ୍ଦୁରୁ A ଓ C କୁ ଯୋଗକଲେ ABC ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ମିଳିବ ।
(b) ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି., ଓ 5 ସେ.ମି.
(i) ପ୍ରଥମ ସୋପାନ : 5 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟର \(\overline{\mathrm{AC}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ଦ୍ଵିତୀୟ ସୋପାନ : A କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କରି 3 ସେ.ମି. (AB) ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(iii) ତୃତୀୟ ସୋପାନ : C କୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି 4 ସେ.ମି. BC ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରି ତାହା ପୂର୍ବରୁ ଅଙ୍କା ହୋଇଥିବା ଚାପକୁ ଛେଦ କରିବ । ଛେଦବିନ୍ଦୁର ନାମ B ଦିଅ ।
(iv) ଚତୁର୍ଥ ସୋପାନ : \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{BC}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
∴ ABC ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ସୋପାନଗୁଡ଼ିକୁ ଅନୁସରଣ କରି ପିଲାମାନେ (c), (d) ଓ (e) ଅଙ୍କନ ନିଜେ କରିବେ ।
ଯେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ତାହାକୁ ‘ସମବାହୁ’ ତ୍ରିଭୁଜ କୁହାଯାଏ । ଯେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜର ଯେକୌଣସି ଦୁଇବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ, ତାହାକୁ ‘ସମଦ୍ଵିବାହୁ’ ତ୍ରିଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ କିମ୍ବା ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ ବ୍ୟବହାର କରି ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(i) ‘O’ କୁ କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ ଭାବେ ନେଇ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(ii) ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ A ଓ B ନି ଆଯାଉ ।
(iii) OA, AB ଓ BO କୁ ଯୋଗ କର ।
(iv) Δ AOB ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସମଢ଼ିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
Question 2.
ସମ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ କିମ୍ବା ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରକୁ ନେଇ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଏବଂ ସମଜ୍ଜିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ।
Solution:
ସମଦ୍ଵିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ :
(i) ପ୍ରଥମ ଚିତ୍ରରେ, ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ C ନି ଆଯାଉ ।
(ii) AB, CB ଓ BA କୁ ଯୋଗକର ।
(ii) Δ ABC ଗୋଟିଏ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ପ୍ରଥମ ଚିତ୍ରରେ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ :
(i) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ପାଇବାକୁ ହେଲେ ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ ଛେଦବିନ୍ଦୁକୁ P ନାମରେ ନାମିତ କରାଯାଉ ।
(ii) AP, PB ଓ BA କୁ ଯୋଗ କର ।
(iii) Δ APB ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ସମଦିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ :
(i) AB, BC ଓ CA କୁ ଯୋଗ କରାଯାଉ ।
(ii) Δ ABC ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସମଦ୍ଵିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
Question 3.
3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି., 8 ସେ.ମି. ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନେଇ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ କି ?
Solution:
ତ୍ରିଭୁଜର ଯେକୌଣସି ଦୁଇବାହୁର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ବୃହତ୍ତର । ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । (3 + 4 = 7, ଯାହା 8 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର) ତେଣୁ ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
Question 4.
2 ସେ.ମି., 3 ସେ.ମି., 6 ସେ.ମି. ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନେଇ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ କି ?
Solution:
ତ୍ରିଭୁଜର ଯେକୌଣସି ଦୁଇବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ବୃହତ୍ତର । ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । (2 + 3 = 5, ଯାହା 6 ଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର) ତେଣୁ ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
Question 5.
ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି., 15 ସେ.ମି. ଏବଂ 30 ସେ.ମି. ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କରିବା ସମ୍ଭବପର କି ନୁହେଁ ପରୀକ୍ଷା କର ।
Solution:
ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି., 15 ସେ.ମି. ଓ 30 ସେ.ମି.
ଏଠାରେ 10 + 15 < 30
ଏଠାରେ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତ୍ତର ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
Question 6.
କୌଣସି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇପାରିବ କି, ଯାହାର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି. ଏବଂ 5 ସେ.ମି. ? ଏହା ତୁମେ ଅଙ୍କନ ମାଧ୍ୟମରେ ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ ।
Solution:
ଏଥରେ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତର । ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ । ଏଠାରେ 32 + 42 = 52 ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କଲେ ଏହା ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ହେବ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ଆମେ ଅଙ୍କନ କରି ଜାଣିପାରିଲୁ ଯେ, 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି., 8 ସେ.ମି. ଏବଂ 2 ସେ.ମି., 3 ସେ.ମି., 6 ସେ.ମି.ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କରିବା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । ଏହି ବିଷୟ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ନକରି ତୁମେ ଜାଣିପାରିଛ କି ?
Solution:
ଯଦି ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବଡ଼, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ।
ଏଠାରେ 3 + 4 = 7 । 8 ଠାରୁ 7 ବଡ଼ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
Question 2.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥୁବା ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦୈର୍ଘ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ କି ନୁହେଁ, କହିପାରିବ କି ?
(a) 10 କି.ମି., 10 କି.ମି. ଏବଂ 25 କି.ମି.
(b) 5 ମି.ମି., 10 ମି.ମି. ଏବଂ 20 ମି.ମି.
(c) 12 ସେ.ମି., 20 ସେ.ମି. ଏବଂ 40 ସେ.ମି.
ତୁମେ ଅନୁଭବ କରିପାରୁଥିବେ ଯେ, ରଫ୍ ଚିତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ସଳଖ ରାସ୍ତା ଓ ବୁଲାଣି ରାସ୍ତା ଓ ବୁଲାଣି ରାସ୍ତା ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଯୋଗଫଳ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପନ କରିପାରିବା । ଏହିପରି ଭାବରେ ଆମକୁ ତିନୋଟି ପ୍ରକାରର ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପନ କରିବାକୁ ହେବ ।
Solution:
(a) 10 କି.ମି., 10 କି.ମି. ଏବଂ 25 କି.ମି. । ଏଠାରେ 10 + 10 < 25
ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ସାନ ହୋଇଥୁବାରୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
(b) 5 ମି.ମି., 10 ମି.ମି. ଏବଂ 20 ମି.ମି. । ଏଠାରେ 5 + 10 < 20
ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ସାନ ହୋଇଥିବାରୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
(c) 12 ସେ.ମି., 20 ସେ.ମି. ଏବଂ 40 ସେ.ମି.। ଏଠାରେ 12 + 20 < 40
ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁ ଠାରୁ ସାନ ହୋଇଥୁବାରୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
Question 3.
ପୂର୍ବରୁ ଆଲୋଚିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦୈର୍ଘ୍ୟମାନଙ୍କର ସେଟ୍କୁ ନେଇ ଅତିକମ୍ରେ ଦୁଇଥର ତୁଳନା କଲେ ଜାଣିପାରିବା ଯେ ସଳଖ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଯୋଗଫଳଠାରୁ କମ୍ । (ଯଦି ନୁହେଁ, ପୁନର୍ବାର ଯାଞ୍ଚ କର) ଉଦାହରଣ : 10 ସେ.ମି., 15 ସେ.ମି. ଏବଂ 30 ସେ.ମି.
ଏଠାରେ ଦୁଇଟି ତୁଳନା ହୋଇପାରିବ : 10 < 15 + 30, 15 < 10 + 30
କିନ୍ତୁ ଏହା ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପାଇଁ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ, ଯେହେତୁ : 30 > 10 + 15
(a) ଏହା କ’ଣ ସବୁବେଳେ ସମ୍ଭବ ? ବାହୁମାନଙ୍କର ଯେକୌଣସି ଦୈର୍ଘ୍ୟପାଇଁ ଅତିକମ୍ରେ ଦୁଇଟି ତୁଳନା ସର୍ବଦା ସମ୍ଭବ କି, ଯେଉଁଠାରେ ସଳଖ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟିଠାରୁ କମ୍ ହେବ ?
Solution:
ନା, ସବୁବେଳେ ତିନୋଟି ଦୈର୍ଘ୍ୟପାଇଁ ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
ତିନୋଟି ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ସେ.ମି., 6 ସେ.ମି. ଏବଂ 8 ସେ.ମି. ନେଲେ
5 + 6 > 8, 6 + 8 > 5 ଓ 5 + 8 > 6
(b) ପୁଣିଥରେ, ଦିଆଯାଇଥିବା ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟିଠାରୁ ସାନ ହେବ, ଏହା ବିନା ହିସାବରେ କହିହେବ କି ? (ସୂଚନା : ସଳଖ ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଉକ୍ରମରେ ବିଚାରକୁ ନେବା ।)
Solution:
ହଁ, ଏହା ବିନା ହିସାବରେ କହିବା ସମ୍ଭବ ହେବ । ଯଦି ଆମେ ତିନୋଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଉର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜାବ, ଏହା ସହଜ ହୋଇଯିବ ।
(i) ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥା – a < b < c (କ୍ଷୁଦ୍ରତରରୁ ବୃହତ୍ତର) ଭାବରେ ସଜାଯାଉ ।
(ii) ତା’ପରେ ଦେଖିବାକୁ ପଡ଼ିବ ଯେ, ସବୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ବାହୁ ଅନ୍ୟ (a + b) ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟିଠାରୁ ସାନ ।
(iii) ଯଦି c < a + b ହୁଏ, ତେବେ ସମସ୍ତ ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅସମାନତା ଧର୍ମ ଆପେଆପେ ସର୍ତ୍ତ ପୂରଣ କରିବ ।
(iv) ଯଦି c ≥ a + b, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ଗଠନ ସମ୍ଭବ ହେବ ନାହିଁ ।
(c) ଦିଆଯାଇଥବା ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପାଇଁ ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ କି ନୁହେଁ ଜାଣିବା ପାଇଁ ଆମେ କ’ଣ ତୁଳନା କରିବା ଆବଶ୍ୟକ ? Solution:
ଯଦି ତିନୋଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଥିଲେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ, ଜାଣିବା ପାଇଁ ଆମକୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତା ଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରିବା । ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟିଠାରୁ ନିଶ୍ଚିତ ସାନ ହେବ । ଏଥିପାଇଁ a, b ଓ c ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ଆମେ ନିଶ୍ଚୟ ଯାଞ୍ଚ କରିବା :
(1) a + b > c
(2) a + c > b ଏବଂ (3) b + c > a
ଯେତେବେଳେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟିଠାରୁ ସାନ, ତାହା ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତା ଧର୍ମକୁ ସୂଚାଏ ।
ଉଦାହରଣ : ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସେଟ୍ 3, 4, 5 ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତାକୁ ସୂଚାଏ ।
କିନ୍ତୁ 10, 15, 30 ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତାକୁ ସୂଚାଏ ନାହିଁ ।
ଆମେ ଦେଖୁଲୁ ଯେ, ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥା- 10, 15, 30 ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତାକୁ ସୂଚାଏ ନାହିଁ । ତେଣୁ ଏଗୁଡ଼ିକର ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।
Question 4.
4 ସେ.ମି., 5 ସେ.ମି. ଏବଂ 8 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁମାନଙ୍କୁ ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବପର କି ?
Solution:
ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି., 5 ସେ.ମି. ଏବଂ 8 ସେ.ମି. ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତାକୁ ସୂଚାଇଅଛି । ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ।
8 < 4 + 5 = 9
ବୃତ୍ତର ଅଙ୍କନ କଳ୍ପନା କରିବା :
• ଆମେ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ବାହୁ AB (8 ସେ.ମି.)କୁ ଭୂମି ରୂପେ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ ଆରମ୍ଭ କରିବା । ଏହାପରେ ଆମେ ପର୍ଯ୍ୟାୟକ୍ରମେ 4 ସେ.ମି., 5 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପାଇଁ ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ଅଙ୍କନ କରିବା । ଆମେ ଚାପ ପରିବର୍ତ୍ତେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବୃତ୍ତଟିଏ ଅଙ୍କନ କରିବା । ‘A’କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଭାବେ ନେଇ 4 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କର ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରିବା ।
• ବର୍ତ୍ତମାନ ‘B’ କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 5 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରିବା ।
Question 1.
ଯେଉଁ ଜ୍ୟାମିତିକ ଚିତ୍ରଟି ମିଳିବ ତାହାର ଏକ ବିଶ୍ଳେଷଣ ଚିତ୍ରଟିଏ (ରଫ ଚିତ୍ର) ଅଙ୍କନ କରିପାରିବ କି ?
Solution:
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥୁବା ଚିତ୍ରରେ AX = 4 ସେ.ମି. ଏବଂ AB = 8 ସେ.ମି. ତେଣୁ BX = ? ଏହି ଦୈର୍ଘ୍ୟଟିରେ ଆମେ କ’ଣ ଚିତ୍ରଟି ଅନୁମାନ କରିପାରିବା ? ଚିତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ବିନ୍ଦୁ X, A ଏବଂ B ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅଛନ୍ତି ।
AB = AX + BX ⇒ BX = AB – AX = (8 – 4) ସେ.ମି. = 4 ସେ.ମି. ।
• ଯେହେତୁ BX = 4 ସେ.ମି. ଏବଂ ‘B’କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 5 ସେ.ମି. ଅଟେ । ତେଣୁ ଏହା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଯେ ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ଦୈର୍ଘ୍ୟସେଟ୍ରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହୋଇପାରିବ । ତୁମର ଉତ୍ତରକୁ ବର୍ଣନା କର । ମନେରଖ ଯେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସେଟ୍ରେ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପର ଏକକ ସମାନ ।
(a) 2, 2, 5
(b) 3, 4, 6
(c) 2, 4, 8
(d) 5, 5, 8
(e) 10, 20, 25
(f) 10, 20, 35
(g) 24, 26, 28
Solution:
(a) ଏଠାରେ ବାହୁତ୍ରୟ 2, 2, 5,
∴ 2 + 2 = 4 < 5 ( ଦୁଇ ବାହୁର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତ୍ତର) ତେଣୁ 2, 2, 5 ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।
(b) ଏଠାରେ ବାହୁତ୍ରୟ 3, 4, 6,
∴ 3 + 4 = 7 > 6, 3 + 6 = 9 > 4, 4 + 6 = 10 > 3
ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତମ ।
ତେଣୁ 3, 4, 6 ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହୋଇପାରିବେ ।
(c) ଏଠାରେ ବାହୁତ୍ରୟ 2, 4, 8
∴ 2 + 4 = 6 < 8 ତେଣୁ 2, 4, 8 ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।
(d) ଏଠାରେ ବାହୁତ୍ରୟ 5, 5, 8
∴ 5 + 5 = 10 > 8, 5 + 8 = 13 > 5, 5 + 8 = 13 > 5
ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତମ ।
ତେଣୁ 5, 5, 8 ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହୋଇପାରିବେ ।
(e) ଏଠାରେ ବାହୁତ୍ରୟ 10, 20, 25
∴ 10 + 20 = 30 > 25, 10 + 25 = 35 > 20, 20 + 25 = 45 > 10
ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତମ ।
ତେଣୁ 10, 20, 25 ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହୋଇପାରିବେ ।
(f) ଏଠାରେ ବାହୁତ୍ରୟ 10, 20, 35
∴ 10 + 20 = 30 < 35 ତେଣୁ 10, 20, 35 ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।
(g) ଏଠାରେ ବାହୁତ୍ରୟ 24, 26, 28
∴ 24 + 26 = 50 > 28, 24 + 28 = 52 > 26, 26 + 28 = 54 > 24
ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତମ ।
ତେଣୁ 24, 26, 28 ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହୋଇପାରିବେ ।
ଯେତେବେଳେ ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତାକୁ ସୂଚାଏ (ଦୈର୍ଘ୍ୟମାନଙ୍କର ସେଟ୍ଟିରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟିଠାରୁ ସାନ) ସେତେବେଳେ ସେହି ଦୈର୍ଘ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ହୋଇପାରିବେ ।
Question 2.
ଆମେ କିପରି ଭାବେ ନିଶ୍ଚିତ ହେବା ଯେ, ଯେଉଁ ଦୈର୍ଘ୍ୟମାନଙ୍କର ସେଟ୍ ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତାକୁ ସୂଚାଏ ସେତେବେଳେ ହିଁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ?
Solution:
ହଁ, ତିନୋଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସେଟ୍ ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତା ଧର୍ମକୁ ସୂଚାଏ, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବଦା ସମ୍ଭବପର ହେବ ।
Question 3.
ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରି ନିମ୍ନୋକ୍ତ ପରିସ୍ଥିତିଗୁଡ଼ିକୁ ଆଲୋଚନା କର ।
Solution:
Question 4.
ଉପରୋକ୍ତ ତିନୋଟି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ପରିସ୍ଥିତି ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ସହାୟକ ହେବ ?
Solution:
ଯେତେବେଳେ ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଛେଦ କରିବେ (ପରିସ୍ଥିତି 3) ସେତେବେଳେ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ।
Question 5.
ଉପରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମ୍ଭାବ୍ୟଗୁଡ଼ିକରୁ ଆମେ ବଡ଼ ବାହୁ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ସାନ ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥିର କରିବା ।
Solution:
ପରିସ୍ଥିତି – 1 : ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ସ୍ପର୍ଶ କରନ୍ତି ।
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି = AB
କିମ୍ବା, କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି = ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ।
ପରିସ୍ଥିତି – 2 : ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ନାହିଁ ।
ଏଠାରେ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି < AB
କିମ୍ବା କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି < ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ।
ପରିସ୍ଥିତି – 3 : ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । AB ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ ଅନ୍ୟବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର କିଛି ଅଂଶକୁ ନେଇ ଗଠିତ । ବ୍ୟାସାର୍ଷଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି > AB
କିମ୍ବା, କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି > ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ।
Question 6.
ଆମେ କ’ଣ ଏହି ବିଶ୍ଳେଷଣକୁ ତ୍ରିଭୁଜ ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା କି ? (ଯେତେବେଳେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତା ପାଇଁ ସିଦ୍ଧ ହୁଏ ।)
Solution:
ଯେତେବେଳେ ଦିଆଯାଇଥିବା ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତାକୁ ସିଦ୍ଧ କରେ, ସେତେବେଳେ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ବୃହତ୍ତମର ହେବ । ଅର୍ଥାତ୍ ଏହା ପରିସ୍ଥିତି 3 କୁ ସୂଚାଏ, ଯେଉଁଠାରେ ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜ ସମ୍ଭବ ଅଟେ।
Question 7.
କେଉଁ ପ୍ରକାରର ବୃତ୍ତଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପାଇଁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅସମାନତା ସିଦ୍ଧ ହେବ ନାହିଁ । ଏହି ପ୍ରକାରର 3ଟି ଉଦାହରଣ ଦିଅ ଯେଉଁଠାରେ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସେଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ
(a) ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ସ୍ପର୍ଶ କରିବେ
(b) ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ ନାହିଁ ।
Solution:
(a) ଯେତେବେଳେ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି = ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ ।
ଉଦାହରଣ : (3, 4, 7); (5, 5, 10); (6, 8, 14)
(b) ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ ନାହିଁ : ଯେତେବେଳେ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି < ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ । ଉଦାହରଣ : (2, 3, 7); (4, 6, 11); (5, 7, 15)
Question 8.
ତ୍ରିଭୁଜଟିଏ ସମ୍ଭବପର ହେବାପାଇଁ ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରକ୍ରିୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଦିଆଯାଇଥିବା ତିନୋଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ମଧ୍ୟରୁ ଦୁଇଟି କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ଯଦି ବୃହତ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ଅଧିକ ହୁଏ, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମ୍ଭବପର ହେବ ।
• ସିଦ୍ଧାନ୍ତ : ଯଦି କୌଣସି ଏକ ସେଟ୍ର ତିନୋଟି ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତା ପାଇଁ ସିଦ୍ଧ ହୁଏ, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମ୍ଭବପର ହେବ ଏବଂ ସେହି ଦୈର୍ଘ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ । ଯଦି ଏହି ଦୈର୍ଘ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ତ୍ରିଭୁଜର ଅସମାନତାକୁ ସିଦ୍ଧ ନକରେ, ତେବେ ତାହା ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ହେବେ ନାହିଁ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥବା ଦୈର୍ଘ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସେଟ୍ରେ ତ୍ରିଭୂଜ ସମ୍ଭବ ହେବ କି ? ପରୀକ୍ଷା କର ।
(a) 1, 100, 100
(b) 3, 6, 9
(e) 1, 1, 5
(d) 5, 10, 12 ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜର ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ । (a) ଏଠାରେ 1, 100, 100 1 + 100 = 101 > 100, 1 + 100 = 101 > 100, 100 + 100 = 200 > 1
ଯେହେତୁ ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତର, ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ।
(b) ଏଠାରେ 3, 6, 9
3 + 6 = 9 = 9, 6 + 9 = 15 > 3, 3 + 9 = 12 > 6
3 + 6 = 9 ଠାରୁ 9 ବଡ଼ ନୁହେଁ, ସମାନ ।
∴ ତ୍ରିଭୁଜ ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ ଏଠାରେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
(c) ଏଠାରେ 1, 1, 5
1 + 1 = 2 < 5
∴ ତ୍ରିଭୁଜ ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ ଏଠାରେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
(d) ଏଠାରେ 5, 10, 12 5 + 10 = 15 > 12, 5 + 12 = 17 > 10, 10 + 12 = 22 > 5
ଯେହେତୁ ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଠାରୁ ବୃହତ୍ତର, ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ।
Question 2.
50, 50, 50 କୁ ନେଇ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ସମ୍ଭବ ହେବ କି ? ସାଧାରଣତଃ, ଯେକୌଣସି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପାଇଁ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ସମ୍ଭବ ହେବ କି ? ତାହା ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।
Solution:
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସମସ୍ତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ।
ଏଠାରେ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ 50, 50, 50
50 + 50 = 100 > 50
ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ।
Question 3.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥବା ମୂଲ୍ୟ ସହ ତୃତୀୟ ବାହୁର ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଅତି କମ୍ରେ 5ଟି ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କର, ଯେପରିକି ଏହା ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ । (ଦଶମିକ ମୂଲ୍ୟ ମଧ୍ଯ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରାଯାଇପାରେ)
(a) 1, 100
(b) 5, 5
(c) 3, 7
Solution:
(a) ଆମେ ଜାଣିଛେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ବେଳେ ତୃତୀୟ ବାହୁଟି ଦୁଇଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ଠାରୁ ସାନ ହେବା ଦରକାର । ତୃତୀୟ ବାହୁଟି ଦୁଇଟି ବାହୁର ବିୟୋଗଫଳଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ହେବା ଦରକାର ।
ତେଣୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଟି = 99.1, 99.2, 99.3, 99.4, 99.5, 99.6, ….. 100.9
(b) ତୃତୀୟ ବାହୁଟି 0 (5 – 5) ଠାରୁ ବଡ଼ ଓ 10 (5 + 5) ଠାରୁ ସାନ ହେବା ଦରକାର ।
ତେଣୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଟି = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
(c) ତୃତୀୟ ବାହୁଟି 4 (7 – 3) ଠାରୁ ବଡ଼ ଓ 10 (3 + 7) ଠାରୁ ସାନ ହେବା ଦରକାର । ତେଣୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ତୃତୀୟ ବାହୁଟି = 5, 6, 7, 8, 9
7.3 ତ୍ରିଭୁଜର କେତେକ ବାହୁ ଓ କୋଣ ଦତ୍ତ ଥିଲେ, ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ :
Page No. (163 to 169)
ଦୁଇଟି ବାହୁ ଓ ସେମାନଙ୍କ ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣ :
ଦୁଇଟି ବାହୁ ଓ ସେମାନଙ୍କ ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣକୁ ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ।
(i) କମ୍ପାସ ବ୍ୟବହାର କରି ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(ii) ଏହି ବାହୁର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ଵ ବିନ୍ଦୁରେ 60 କୋଣ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(iii) ସେହି ବିନ୍ଦୁରୁ ଅନ୍ୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନେଇ ଚାପ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(iv) ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗକଲେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ମିଳିବ ।
Question 1.
ତ୍ରିଭୁଜ ABC ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର AB = 5 ସେ.ମି., AC = 4 ସେ.ମି., ∠A = 45°
Solution:
ଦିଆଯାଇଥିବା ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ AB କୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିରୂପେ ନିଅ ।
ସୋପାନ – 1 : କମ୍ପାସ ସାହାଯ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ବାହୁ AB = 5 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ସୋପାନ – 2 : ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟରରେ ∠A ଠାରେ 45 କୋଣ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ସୋପାନ – 3 : A ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି 4ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ଚାପ କାଟି ଏହାର ନାମ C ଦିଆଯାଉ
ସୋପାନ – 4 : BC କୁ ଯୋଗକଲେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ABC ମିଳିବ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥବା ମାପକୁ ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର ଯେଉଁଠାରେ କୋଣଟି ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର୍ଗତ ଅଟେ ।
(a) 3 ସେ.ମି., 75°, 7 ସେ.ମି.
(b) 6 ସେ.ମି., 25°, 3 ସେ.ମି.
(c) 3 ସେ.ମି., 120°, 8 ସେ.ମି.
Solution:
(a) 3 ସେ.ମି., 75°, 7 ସେ.ମି.
(i) ଗୋଟିଏ ବାହୁ AB = 3 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ∠A = 75° ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ କୋଣର ଅନ୍ୟ ବାହୁଟିକୁ ଅଙ୍କନ ପାଇଁ B ବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 7 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହା C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
(iii) ଅନ୍ୟ ବାହୁ AB କୁ ଛାଡ଼ି ୯ ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ଯେପରି AC = 7 ସେ.ମି. ହେବ ।
(iv) BC କୁ ଯୋଗକଲେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ମିଳିବ ।
(b) 6 ସେ.ମି., 25°, 3 ସେ.ମି.
(i) ଗୋଟିଏ ବାହୁ AB = 6 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(ii) ∠A = 250 ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ କୋଣର ଅନ୍ୟ ବାହୁଟିକୁ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ଅନ୍ୟ ବାହୁ AB କୁ ଛାଡ଼ି C ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ଯେପରି AC = 3 ସେ.ମି. ହେବ ।
(iv) BC କୁ ଯୋଗକଲେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ମିଳିବ ।
(c) 3 ସେ.ମି., 120°, 8 ସେ.ମି.
(i) ଗୋଟିଏ ବାହୁ AB = 8 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ∠A = 120° ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ କୋଣର ଅନ୍ୟ ବାହୁଟିକୁ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ଅନ୍ୟ ବାହୁ AB କୁ ଛାଡ଼ି C ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ଯେପରି AC = 3 ସେ.ମି. ହେବ ।
(iv) BC କୁ ଯୋଗକଲେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ମିଳିବ ।
Question 2.
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ବାହୁମାନଙ୍କର ଯେକୌଣସି ଦୈର୍ଘ୍ୟପାଇଁ ତ୍ରିଭୂଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । ସେହିପରି କିଛି ମାପ ଅଛି କି ଯାହା ଦୁଇବାହୁ ଏବଂ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣକୁ ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ? ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମୟରେ ତୁମେ ଯାହା ଲକ୍ଷ୍ୟ କଲ ତାହାକୁ ଆଧାରିତ କରି ଦର୍ଶାଅ ।
Solution:
ଯେତେବେଳେ ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣର ପରିମାଣ 0° ବା 180° ଥିବ, ସେହି ସମୟରେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବପର ନୁହେଁ ।
ଦୁଇଟି କୋଣ ଓ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁ :
ଏଠାରେ ଦୁଇଟି କୋଣ ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ମାପ ଦିଆଯାଇଛି । ସେହି ବାହୁଟିକୁ ଆମ କୋଣଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁ କହିଥାଉ । ଯଥା –
Question 3.
ABC ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର AB = 5 ସେ.ମି., ∠A = 45°, ∠B = 80°
Solution:
ସୋପାନ – 1 : ଗୋଟିଏ ବାହୁ AB = 5 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ସୋପାନ – 2 : ∠A = 45° ଓ ∠B = 80° ପରିମାଣ ନେଇ A ଓ B ବିନ୍ଦୁରେ କୋଣ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ସୋପାନ – 3 : ଦୁଇଟି ରେଖାଖଣ୍ଡର ଛେଦବିନ୍ଦୁଟି ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁ C ହେବ ।
ABC ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଟେ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମାପକୁ ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର ।
(a) 75°, 5 ସେ.ମି., 75°
(b) 25°, 3 ସେ.ମି., 60°
(c) 125°, 6 ସେ.ମି., 30°
Solution:
(a) 75°, 5 ସେ.ମି., 75°
(i) ଗୋଟିଏ ବାହୁ AB = 5 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(ii) ∠A = 75° ଓ ∠B = 75° ପରିମାଣ ନେଇ କୋଣ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(iii) ଦୁଇଟି ରେଖାଖଣ୍ଡର ଛେଦବିନ୍ଦୁଟି ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁ C ନିଅ ।
ABC ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଟେ ।
(b) 25° 3 ସେ.ମି., 60°
(i) ଗୋଟିଏ ବାହୁ AB = 3 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ∠A = 25° ଓ ∠B = 60° ପରିମାଣ ନେଇ କୋଣ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ଦୁଇଟି ରେଖାଖଣ୍ଡର ଛେଦବିନ୍ଦୁଟି ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁ C ହେବ । ABC ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଟେ ।
(c) 125°, 6 ସେ.ମି., 30°
(i) ଗୋଟିଏ ବାହୁ AB = 6 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ∠A = 125° ଓ ∠B = 30° ପରିମାଣ ନେଇ କୋଣ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ଦୁଇଟି ରେଖାଖଣ୍ଡର ଛେଦବିଦୁଟି ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁ C ହେବ ।
ABC ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଟେ ।
ତ୍ରିଭୁଜଗୁଡ଼ିକର ଅଙ୍କନ ସବୁବେଳେ ସମ୍ଭବ କି ? :
Question 1.
ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ଦୁଇଟି କୋଣ ଓ ସଲଗ୍ନ ବାହୁ ନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ କି ? ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।
Solution:
ଯଦି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇକୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° କିମ୍ବା 180° ରୁ ଅଧିକ ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ନାହିଁ । କାରଣ ଦୁଇଟି ରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ ନାହିଁ ।
Question 2.
ଏମିତି କିଛି ଉଦାହରଣ ଦିଅ ଯାହାକି ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ଓ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁନେଇ ତ୍ରିଭୁଜ ସମ୍ଭବପର ହେବ ନାହିଁ ।
Solution:
ଉଦାହରଣ :
(a) ଯଦି ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ 90° ଲେଖାଏଁ ହେବ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବପର ହେବ ନାହିଁ ।
(b) ଯଦି ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 100° ଓ ଅନ୍ୟ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 90° ହେବ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ
ସମ୍ଭବପର ହେବ ନାହିଁ ।
ଆମେ ସେହି ପ୍ରକାରର ପରିସ୍ଥିତିକୁ କଳ୍ପନା କରିବା । ଭୂମିଟିଏ ଅଙ୍କନ କଲାପରେ ଅନ୍ୟ ପାର୍ଶ୍ଵ ଗୁଡ଼ିକ ଏପରି ଭାବରେ ଅଙ୍କନ କରିବା ଯେପରି ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ ନାହିଁ । ସେହିପରି କେତେକ ଉଦାହରଣ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା ।
ଯଦି କୋଣଦ୍ଵୟ 90° ରୁ ଅଧିକ କିମ୍ବା 90° ସହ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । ବର୍ତ୍ତମାନ ଭୂମି ଉପରିସ୍ଥ ବାହୁର କୌଣସି ଏକ କୋଣ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ହେଉ । ମନେକର 40 । ଅନ୍ୟ କୋଣଟି ସମ୍ଭାବ୍ୟ କେତେ ହେବା ଦରକାର ଯାହାଦ୍ଵାରା ବାହୁଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ ନାହିଁ ।
ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, B ଠାରୁ ରେଖାଟି ଯଥେଷ୍ଟ ଡାହାଣପଟକୁ ଅଙ୍କନ ହେଲେ, AC ରେଖା ଛେଦ କରିବ ନାହିଁ ।
ଉପରୋକ୍ତ ଚିତ୍ରରୁ ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ଯେଉଁରେଖା ସର୍ବନିମ୍ନ କୋଣ B ଠାରେ ସୃଷ୍ଟି କରୁଛି ତାହା ‘?’ ର ସମାନ୍ତରାଳ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ । ମନେକର ସେହି ସମାନ୍ତରାଳ ରେଖାଟି ‘m’ ।
Question 3.
∠B ର ପ୍ରକୃତ ମୂଲ୍ୟ କୁହାଯାଇପାରିବ କି ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଦୁଇଟି ସରଳରେଖାକୁ ଗୋଟିଏ ଛେଦକ ଛେଦକଲେ ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଅନ୍ତସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 180° । ତେଣୁ ∠B = 140° ।
Question 4.
∠Bର କେଉଁ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବପର ନୁହେଁ । AB ରେଖାଖଣ୍ଡ ଏଠାରେ କୌଣସି ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରେ କି ?
Solution:
ଉପରୋକ୍ତ ଆଲୋଚନାରୁ ଆମେ ଜାଣିପାରିଲୁ ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ପାଇଁ AB କୌଣସି ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରେ ନାହିଁ । ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବପର ନୁହେଁ ଯେତେବେଳେ ∠B ପରିମାଣ 140 ସହ ସମାନ କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ ଅଧିକ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣପାଇଁ ଅନ୍ୟ ଏକ କୋଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହା ପାଇଁ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ (i) ସମ୍ଭବ, (ii) ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଅତିକମ୍ରେ ଦୁଇଟି କୋଣ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
(a) 30°
(b) 70°
(c) 54°
(d) 144°
Solution:
ସମ୍ଭବ ହେବ : 60° : 30° + 60° = 90° (ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° ରୁ କମ୍, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ କରିଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ।)
80° : 80° + 30° = 110° (ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180 ରୁ କମ୍, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ କରିଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ।)
ସମ୍ଭବ ହେବ ନାହିଁ : 160° : 30° + 160° = 190°
(ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180ରୁ ଅଧ୍ବକ, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ)
150° : 30° + 150° = 180°
(ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।)
(b) ସମ୍ଭବ ହେବ : 50° : 50° + 70° = 120° (ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° ରୁ କମ୍, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ କରିଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ।)
80° : 80° + 70° = 150° (ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180 ରୁ କମ୍, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ କରିଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ।)
ସମ୍ଭବ ହେବ ନାହିଁ : 120° : 120° + 70° = 190°
(ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180ରୁ ଅଧ୍ବକ, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ)
110° : 110° + 70° = 180°
(ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।)
(c) ସମ୍ଭବ ହେବ : 60° : 54° + 60° = 114° (ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୌଣର ସମଷ୍ଟି 180° ରୁ କମ୍, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ କରିଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ।)
80° : 54° + 80° = 134° (ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° ରୁ କମ୍, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ କରିଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ।)
ସମ୍ଭବ ହେବ ନାହିଁ : 130° : 130° + 54° = 184°
(ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180ରୁ ଅଧ୍ବକ, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ) 126° : 126° + 54° = 180°
(ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।)
(d) ସମ୍ଭବ ହେବ : 30° : 144° + 30° = 174° (ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° ରୁ କମ୍, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ କରିଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ।)
20° : 144° + 20° = 164° (ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° ରୁ କମ୍, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ କରିଲେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ।)
ସମ୍ଭବ ହେବ ନାହିଁ : 50° : 144° + 50° = 194°
(ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°ରୁ ଅଧିକ, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ ହୋଇପାରିବ ନୁହେଁ)
40°: 40° + 144° = 184°
(ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°, ତୃତୀୟ କୋଣ ଯୋଗ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।)
Question 2.
ନିମ୍ନଲିଖତ ଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ହୋଇପାରିବ ଏବଂ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ନୁହେଁ ?
(a) 35°, 150°
(b) 70°, 30°
(c) 90°, 85°
(d) 50°, 150°
Solution:
(a) ଦୁଇଟି କୋଣକୁ ଯୋଗ କଲେ = 35° + 150° = 185°
ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ 180° ରୁ ଅଧୁକ, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
(b) ଦୁଇଟି କୋଣକୁ ଯୋଗ କଲେ = 70° + 30° = 100°
ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ 180° ରୁ କମ୍, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ।
(c) ଦୁଇଟି କୋଣକୁ ଯୋଗ କଲେ = 90° + 85° = 175°
ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ 180 ରୁ କମ୍, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ, ସମ୍ଭବ ।
(d) ଦୁଇଟି କୋଣକୁ ଯୋଗ କଲେ = 50° + 150° = 200°
ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ 180° ରୁ ଅଧୂକ, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
ଯେତେବେଳେ ` ପ୍ରଦତ୍ତ କୋଣଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 180° ରୁ କମ୍ ସେତେବେଳେ ଏହି କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସହ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ । ଯଦି ଯୋଗଫଳ 180° ସହ ସମାନ କିମ୍ବା ବଡ଼ ହୁଏ ସେତେବେଳେ ଏହି କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସହ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହୋଇ ନଥାଏ ।
Question 3.
ଦୁଇଟି କୋଣ ନେବା ଯଥା- 60° ଏବଂ 70°, ଯାହାର ସମଷ୍ଟି 180° ରୁ କମ୍ । ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁ 5 ସେ.ମି. ହେଉ । ତୃତୀୟ କୋଣର ମାପ କେତେ ହୋଇପାରିବ ? ଯଦି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ ତେବେ ତୃତୀୟ କୋଣର ମାପ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହେବ କି ? ମନେକର ବାହୁଟି 7 ସେ.ମି. ହୁଏ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛେ ଯଦି ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° ରୁ କମ୍ ହେବ, ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ହେବ ।
ଏଠାରେ ଦୁଇଟି କୋଣ 60° ଓ 70°
ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି = 60° + 70° = 130°
∴ ତୃତୀୟ କୋଣ = 180° – 130° = 50°
ଯଦି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ ତେବେ ତୃତୀୟ କୋଣର ମାପରେ କୌଣସି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେବ ନାହିଁ ।
ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜଟି ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।
Question 4.
ସାଧାରଣତଃ ଯଦି ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର ତେବେ ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ଅନ୍ତର୍ଗତ ବାହୁର ମାପ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ କି ? ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାର କୋଣ ଦୁଇଟି ଏବଂ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ଚେଷ୍ଟା କର ।
Solution:
ମାପଗୁଡ଼ିକରୁ ଜାଣିପାରିବା ଯେ ତୃତୀୟ କୋଣ ପାଇଁ ବାହୁର କୌଣସି ପ୍ରଭାବ ନାହିଁ (କିମ୍ବା ଅତି ନଗଣ୍ୟ) ।
Question 5.
ABC ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ∠B = 50° ଏବଂ ∠C = 70° । ଆସ ଦେଖୁବା କିପରି କୌଣସି ଅଙ୍କନ ନକରି ଆମେ ∠A ର ମାପକୁ ଲେଖିବା ?
Solution:
∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒∠A + 50° + 70° = 180°
⇒∠A + 120° = 180° ⇒∠A = 180° – 120° = 60°
ଆମେ ଦେଖୁଲୁ ଯେ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାର ଧାରଣା ମାଧ୍ୟମରେ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180° ରୁ କମ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଉପଯୋଗୀ ଥିଲା । ତୃତୀୟ କୋଣ ∠BACର ପରିମାଣ ଖୋଜି ବାହାର କରିବାରେ ମଧ୍ୟ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ସହାୟକ ହେବ ।
ମନେକର ‘A’ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ BC ସହ ସମାନ୍ତର XY ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଛି ।
Question 6.
ଆମେ ଏଠାରେ ∠XAB ଏବଂ ∠YAC ସୃଷ୍ଟି ହେବାର ଦେଖିପାରୁଛୁ । ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ କେତେ ?
Solution:
ଯେହେତୁ, XY ସରଳରେଖା BC ସହ ସମାନ୍ତର, ∠XAB = ∠B ଏବଂ ∠YAC = ∠C ।
କାରଣ ସେମାନେ AB ଓ AC ଛେଦକଦ୍ୱୟର ଏକାନ୍ତର କୋଣ ।
ତେଣୁ ∠XAB = 50° ଏବଂ ∠YAC = 70°
∠XAB, ∠YAC ଓ ∠BAC ଏକତ୍ର 180° କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରନ୍ତି ।
ଆମେ ଜାଣୁ, ∠XAB + ∠YAC + ∠BAC = 180°
⇒ 50° + 70° + ∠BAC = 180°
⇒ 120° + ∠BAC = 180°
⇒ ∠BAC = 180° – 120° = 60°
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ∠A = 60°, ∠B = 50° ଓ ∠C = 70°
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥବା ଦୁଇଟି କୋଣକୁ ନେଇ ତୃତୀୟ କୋଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ବ୍ୟବହାର କର)
(a) 36°, 72°
(b) 150°, 15°
(c) 90°, 30°
(d) 75°, 45°
Solution:
(a) ମନେକର ‘A’ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ BC ସହ ସମାନ୍ତର XY ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଛି । ଏହାଦ୍ଵାରା ଏଠାରେ ∠XAB ଏବଂ ∠YAC ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଛି । ଯେହେତୁ, XY ସରଳରେଖା BC
ସହ ସମାନ୍ତର, ∠XAB = ∠B ଏବଂ ∠YAC = ∠C । କାରଣ ସେମାନେ AB ଓ AC ଛେଦକଦ୍ୱୟର ଏକାନ୍ତର କୋଣ ।
ତେଣୁ ∠XAB = 36° ଏବଂ ∠YAC = 72°
ଆମେ ଜାଣୁ, ∠XAB + ∠YAC + ∠BAC = 180°
⇒ 36° + 72° + ∠BAC = 180°
⇒ 108° + ∠BAC = 180°
⇒ ∠BAC = 180° – 108° = 72°
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ∠A = 72°, ∠B = 36° ଓ ∠C = 72°
(b) ମନେକର ‘A’ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ BC ସହ ସମାନ୍ତର XY ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଛି । ଏହାଦ୍ଵାରା ∠XAB ଏବଂ ∠YAC ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଛି । ଯେହେତୁ, XY ସରଳରେଖା BC ସହ ସମାନ୍ତର, ∠XAB = ∠B ଏବଂ ∠YAC = ∠C । କାରଣ ସେମାନେ AB ଓ AC ଛେଦକଦ୍ଵୟର ଏକାନ୍ତର କୋଣ ।
ତେଣୁ ∠XAB = 150°
ଏବଂ ∠YAC = 15°
ଆମେ ଜାଣୁ,
∠XAB + ∠YAC + ∠BAC = 180°
⇒ 150° + 15° + ∠BAC = 180°
⇒ 165° + ∠BAC = 180° ⇒ ∠BAC = 180° – 165° = 15°
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ∠A = 15°, ∠B = 150° ଓ ∠C = 15°
(c) ମନେକର ‘A’ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ BC ସହ ସମାନ୍ତର XY ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଛି । ଏଠାରେ ∠XAB ଏବଂ ∠YAC ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଛି । ଯେହେତୁ, XY ସରଳରେଖା BC ସହ ସମାନ୍ତର,
∠XAB = ∠B ଏବଂ ∠YAC = ∠C I କାରଣ ସେମାନେ AB ଓ AC ଛେଦକଦ୍ୱୟର ଏକାନ୍ତର କୋଣ ।
ତେଣୁ ∠XAB = 90° ଏବଂ ∠YAC = 30°
ଆମେ ଜାଣୁ, ∠XAB + ∠YAC + ∠BAC = 180°
= 90° + 30° + ∠BAC = 180°
⇒ 120° + ∠BAC = 180°
⇒ ∠BAC = 180° – 120° = 60°
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ∠A = 60, ∠B = 90° ଓ ∠C = 30°
(d) ମନେକର ‘A’ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ BC ସହ ସମାନ୍ତର XY ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଛି ।
ଏଠାରେ ∠XAB ଏବଂ ∠YAC ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଛି । ଯେହେତୁ, XY ସରଳରେଖା BC ସହ ସମାନ୍ତର, ∠XAB = ∠B ଏବଂ ∠YAC = ∠C । କାରଣ ସେମାନେ AB ଓ AC ଛେଦକଦ୍ଵୟର ଏକାନ୍ତର କୋଣ ।
ତେଣୁ ∠XAB = 75° ଏବଂ ∠YAC = 45°
ଆମେ ଜାଣୁ, ∠XAB + ∠YAC + ∠BAC = 1800
= 75° + 45 + ∠BAC = 180
⇒ 120 + ∠BAC = 180
⇒ BAC = 180 – 120 = 60
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ∠A = 60°, ∠B = 75° ଓ ∠C = 45°
Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 70° ଥାଇ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ କି ? ଯଦି ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ 70° ଲେଖାଏଁ ହୁଏ, ତେବେ ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ? ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ଏହି କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ହେବ ?
Solution:
ନା, ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 70° ହେଲେ, 70° + 70° + 70° = 210° ଯାହା 180° ରୁ ବଡ଼ ।
ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
ଯଦି ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ 70° ହୁଏ, ତେବେ ∠A = ∠B = 70°
ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
= 70° + 70° + ∠C = 180°
= 140° + ∠C = 180°
= ∠C = 180° – 140° = 40°
ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ ସମାନ ହୁଏ ତେବେ A ABC ରେ ∠A = ∠B = ∠C
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + ∠A + ∠A = 180° ⇒ 3 × ∠A = 180° ⇒ ∠A = 60°
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ 60
Question 3.
ଏଠାରେ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ ∠B = ∠C ଏବଂ ∠A = 50° ।
ତୁମେ ∠B ଏବଂ ∠Cର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବ କି ?
Solution:
ଦଉଅଛି ∠B = ∠C, ∠A = 50°
ଆମେ ଜାଣୁ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି = 180°
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 50° + ∠B + ∠B = 180° ⇒ 50° + 2∠B = 180°
⇒ 2∠B = 180° – 50° = 130° ⇒ ∠B = 130° ÷ 2 = 65°
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ∠A = 50°, ∠B = 65° ଓ ∠C = 65°
ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ପରିମାଣ ସମ୍ପୃକ୍ତ ଧର୍ମ :
Question 1.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
Solution:
ABC ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ନିଆଯାଉ । ‘A’ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ BC ସହ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଟିଏ ଅଙ୍କନ କର ।
ଆମକୁ ∠A + ∠B + ∠C ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ ।
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ∠B = ∠XAB, ∠C = ∠YAC
ତେଣୁ ∠A + ∠B + ∠C
= ∠A + ∠XAB + ∠YAC = 180°
ତେଣୁ ଆମେ ପ୍ରମାଣ କଲୁ ଯେ ଯେକୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
ଏହା ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ପରିମାଣ ସମ୍ପୃକ୍ତ ଧର୍ମ ଅଟେ ।
ଆରମ୍ଭରେ ତୃତୀୟ କୋଣ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି କୋଣ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ପଷ୍ଟ ନଥିଲା । ତ୍ରିଭୁଜର ଉପର ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଥିବା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଧାରଣା ଯୋଗୁଁ କୋଣ ମଧ୍ଯରେ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ପଷ୍ଟ ହୋଇପାରିଲା । ଏହି ଚତୁର ଚିନ୍ତାଧାରା ଗଣିତ ଇତିହାସରେ “The Elements” ନାମକ ଏକ ପ୍ରଭାବଶାଳୀ ପୁସ୍ତକରୁ ମିଳିପାରିବ । ଏହି ପୁସ୍ତକ ଗ୍ରୀକ୍ ଗଣିତଜ୍ଞ “Euclid”ଙ୍କୁ ସମର୍ପଣ ଅଟେ ।
କୋଣର ପରିମାଣ ସମ୍ପୃକ୍ତ ଧର୍ମ ପରୀକ୍ଷାର ଆଉ ଏକ ସରଳ ଉପାୟ ରହିଅଛି । ଏକ କାଗଜରେ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ଭାଙ୍ଗ ନେଇ ନିମ୍ନରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ଉପାୟ
ଅବଲମ୍ବନ କରାଯାଇପାରିବ । ଏହି କାଗଜ ଭାଙ୍ଗଦ୍ଵାରା ତୁମେ ଦେଖିପାରୁଛ କି ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି 180 ° ।
ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ :
କୌଣସି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣକୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ କୁହାଯାଏ । ଚିତ୍ରରେ ∠ACD ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ଅଟେ ।
Question 1.
∠ACD ନିଶ୍ଚୟ କର, ଯଦି ∠A = 50 ଏବଂ ∠B = 60° ।
Solution:
∠A + ∠B + ∠ACB = 180°
⇒ 50° + 60° + ∠ACB = 180° ⇒∠ACB = 180° – 110° = 70°
ତେଣୁ ∠ACD = 180° – 70° = 110°
(ଯେହେତୁ ∠ACB ଓ ∠ACD ପରସ୍ପର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ଅଟେ ।)
Question 2.
∠A ଓ ∠B ବିଭିନ୍ନ କୋଣର ମାପ ପାଇଁ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ବହିଃସ୍ଥ କୌଣ ଓ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ମଧ୍ଯରେ କ’ଣ ସମ୍ପର୍କ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ କି ?
ସୂଚନା : କୋଣ ପରିମାଣ ସମ୍ପୃକ୍ତ ଧର୍ମରୁ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°
ପୁନଶ୍ଚ ∠ACD + ∠ACB = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)
Solution:
∠A + ∠B + ∠ACB = 180°
⇒ 50° + 60° + ∠ACB = 180° ⇒∠ACB = 180° – 110° = 70°
ତେଣୁ ∠ACD = 180° – 70° = 110° ଅର୍ଥାତ୍ ∠ACD = ∠A + ∠B
(ଯେହେତୁ ∠ACB ଓ ∠ACD ପରସ୍ପର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ଅଟେ ।)
∴ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ସମଷ୍ଟି ସଙ୍ଗେ ସମାନ ।
7.4 ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ସମ୍ପର୍କିତ ଅଙ୍କନ :
Page No. 170
Question 1.
ABC ତ୍ରିଭୁଜ ବିଚାରକୁ ନିଆଯାଉ । ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ‘A’ ରୁ ବିପରୀତ ବାହୁ ‘BC’ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ବା ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ଏବଂ ଏହାକୁ କିପରି ମାପିପାରିବା ?
Solution:
ABC ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁ ‘A’ ରୁ ବିପରୀତ ବାହୁ ‘BC’ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ । ‘BC’ ବାହୁକୁ ବର୍ଜିତ କରି B ଦିଗରେ D ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ନିଆଯାଉ । AD କୁ ମାପ କରି ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଉ ।
କାଗଜ ଭାଙ୍ଗ ମାଧ୍ୟମରେ ଉଚ୍ଚତା :
ତ୍ରିଭୁଜାକୃତି ଖଣ୍ଡିଏ କାଗଜ ନିଅ । ଏହାର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଭୂମି ଭାବରେ ଗ୍ରହଣ କରି ଏହାକୁ ଏପରି ଭାବରେ ଭାଙ୍ଗି ଦିଅ ଯେପରିକି ଭାଙ୍ଗ ପଡ଼ିଥିବା ଦାଗଟି ଉପର ଶୀର୍ଷ ବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମି ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେବ ।
ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ଅଙ୍କନ :
କୌଣସି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର । BC କୁ ଭୂମିରୂପେ ନେଇ A, B, C ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ନାମିତ କର । A ଠାରୁ BC ପ୍ରତି ଲମ୍ବ (ଉଚ୍ଚତା) ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ । ଏହା ହିଁ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ସମ୍ଭବ କି ଯାହାର ଗୋଟିଏ ବାହୁ ଏକ ଉଚ୍ଚତା ହେବ ? ସମ୍ଭବ ହେବ, ଯେତେବେଳେ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ସମକୋଣ ।
ଯେଉଁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 90° (ସମକୋଣ), ସେହି ତ୍ରିଭୁଜକୁ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।
A ଠାରୁ BC ପ୍ରତି ଲମ୍ବ (ଉଚ୍ଚତା) = AB
7.5 ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରକାରଭେଦ :
Page No. (173 to 174)
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ABC ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର BC = 5 ସେ.ମି., AB = 6 ସେ.ମି., CA = 5 ସେ.ମି. ଏବଂ A ବିନ୍ଦୁଠାରୁ BC ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(i) BC = 5 ସେ.ମି.ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ରେଖା ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) କମ୍ପାସ ସାହାଯ୍ୟରେ B ବିନ୍ଦୁରୁ 6 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) C ବିନ୍ଦୁରୁ 5 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନେଇ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ।
ଦୁଇଟି ଚାପ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ତାହାକୁ A ଦିଅ ।
AB ଓ AC କୁ ଯୋଗ କର ।
(iv) ABC ଗୋଟିଏ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।
(v) ସେୟାର ସାହାଯ୍ୟରେ A ବିନ୍ଦୁରୁ 90° ମାପ କରି ତାହାକୁ D ନାମ ଦିଅ । AD କୁ ଯୋଗ କର । AD, BC ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
Question 2.
POR ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର QR = 4 ସେ.ମି., PQ = 7 ସେ.ମି, ∠Q = 140° । P ବିନ୍ଦୁଠାରୁ QR ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
(i) ଗୋଟିଏ ବାହୁ QR = 4 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ∠Q = 140, ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ କୋଣର ଅନ୍ୟ ବାହୁଟିକୁ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ଅନ୍ୟ ବାହୁ QR କୁ ଛାଡ଼ି P ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର ଯେପରି PQ = 7 ସେ.ମି. ହେବ ।
(iv) PR କୁ ଯୋଗକଲେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ମିଳିବ ।
(v) ସେଟ୍ୟାର ସାହାଯ୍ୟରେ P ବିନ୍ଦୁରୁ 90° ମାପ କରି ତାହାକୁ S ନାମ ଦିଅ । PS କୁ ଯୋଗ କର । PS, QR ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
Question 3.
ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ∠B = 90°, AC = 5 ସେ.ମି. । ଏହି ମାପନେଇ ଆଉ କେତୋଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇପାରିବ ?
(ସୂଚନା : ଧ୍ୟାନ ଦେବା ଯେ, ଅନ୍ୟ ମାପଗୁଡ଼ିକ ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ହୋଇପାରେ । AC କୁ ଭୂମି ଭାବରେ ନିଆଯାଉ । ∠A ଓ ∠C କେଉଁ ପରିମାଣ ହୋଇପାରିବ ଯାହାଫଳରେ ଅନ୍ୟକୋଣଟି 90° ହେବ ?)
Solution:
ଯେହେତୁ AC = 5 ସେ.ମି. ଓ ∠B = 90
ମନେକର ∠A = 40°
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 40° + 90° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° – 130° ⇒ ∠C = 50°
(i) AC = 5 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ରେଖା ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) A ବିନ୍ଦୁରୁ 40° କୋଣ ଅଙ୍କନ କର ଓ B ବିନ୍ଦୁରୁ 50° କୋଣ ଅଙ୍କନ କର । ଦୁଇଟି ରେଖା ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ମିଳିତ ହେଉଛନ୍ତି ତାହାକୁ B ନାମ ଦିଅ ।
(iii) ABC ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ହେବ ।
(iv) A ର ମୂଲ୍ୟ ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ନେଇପାରିବେ ଏବଂ ∠C ର ମୂଲ୍ୟ ପାଇପାରିବେ, ଯେପରି ଉଭୟ କୋଣର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା 90° ହେବ ।
Question 4.
ଅଙ୍କନ ମାଧ୍ୟମରେ ପରୀକ୍ଷଣ କରି ଦେଖାଅ ଯେ, ଏପରି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ସମ୍ଭବପର କି ? ଯାହାର
(i) ଗୋଟିଏ କୋଣ ସମକୋଣ
(ii) ଗୋଟିଏ ସ୍ଥୂଳକୋଣଏବଂ ଏକ ସମଦିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର
(i) ଗୋଟିଏ କୋଣ ସମକୋଣ
(ii) ଗୋଟିଏ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ।
Solution:
(i) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ । ଯଦି ଏହାର ଗୋଟିଏ କୋଣ ସମକୋଣ ଅର୍ଥାତ୍ 90°, ତେବେ ଅନ୍ୟ କୋଣ ଦୁଇଟି 90° ଲେଖାଏଁ ହେବ ।
ଅର୍ଥାତ୍ କୋଣତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟି 90° + 90° + 90° = 270° ଯାହା 180° ଠାରୁ ବଡ଼ । ଏହା ଅସମ୍ଭବ ।
(ii) ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ଅର୍ଥାତ୍ 90° ରୁ ବେଶୀ ହେଲେ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ କୋଣ ମଧ୍ୟ 90° ରୁ ବେଶୀ ହେବ । ତେଣୁ ଏହା ଅସମ୍ଭବ ।
ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ :
(i) BC = 5 ସେ.ମି. ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ ∠A + ∠B + ∠A = 180°
⇒ 2∠A + 90° = 180° = 2∠A = 180° – 90° = 90°
∴ ∠A = 45°
(iii) B ବିନ୍ଦୁରେ 90° ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ 45° ଅଙ୍କନ କର ।
(iv) ଦୁଇଟି ରେଖା ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ମିଳିତ ହେବେ ତାହାକୁ A ନାମ ଦିଅ ।
(v) ବର୍ତ୍ତମାନ ABC ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ସ୍ଥଳକୋଣୀ ସମଦ୍ଵିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଙ୍କନ :
(i) BC = 6 ସେ.ମି. ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ମନେକର ∠B = 120°
(iii) ଯେହେତୁ ଏହା ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, ∠A = ∠C
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ ∠A + 120 + ∠A = 180°
⇒ 2∠A + 120° = 180° ⇒ 2∠A = 180° – 120° = 60°
∴ ∠A = 30° = ∠C
(iv) B ବିନ୍ଦୁରୁ 120° ଓ ୯ ବିନ୍ଦୁରୁ 30° ଅଙ୍କନ କର । ଯେଉଁଠି ସେମାନେ ମିଳିତ ହେବେ ତାହାର ନାମ A ଦିଅ ।
(v) ABC ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।