Class 7 Maths Chapter 6 Question Answer Odia Medium ସଂଖ୍ୟା ଖେଳ

Students can use Class 7 Math Solution Odia Medium and Class 7 Maths Chapter 6 Question Answer Odia Medium ସଂଖ୍ୟା ଖେଳ to check their answers after solving exercises.

7th Class Maths Chapter 6 Question Answer Odia Medium

Class 7 Maths Chapter 6 Odia Medium

6.1 ସଂଖ୍ୟା କହେ ଆମ ଜିନିଷ :

Page No. (130 to 131)

Question 1.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକରୁ ଆମେ କ’ଣ ଜାଣୁଛନ୍ତି ? ପିଲାମାନେ ଏକ ଭିନ୍ନ ନିୟମ ଅବଲମ୍ବନ କରି ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ନାମ କହିବେ । ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କ’ଣ ସୂଚାଉଛି ବୋଲି ତୁମେ ଭାବୁଛ ?

Solution:
ଏଠାରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିଲା ତା’ର ସମ୍ମୁଖରେ ଛିଡ଼ା ହୋଇଥିବା ଡେଙ୍ଗା ପିଲାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାର ନାମ କହିଛନ୍ତି । ପିଲାମାନେ ଅନ୍ୟ ଏକ ପ୍ରକାରରେ ସଜାଇ ହୋଇ
ଛିଡ଼ା ହେବେ ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏହି ନୂଆ ସଜ୍ଜିକରଣ ଅନୁଯାୟୀ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା କହିବେ ?

Question 2.
ତୁମେ କହିପାରିବ କି ? ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କ’ଣ ସୂଚନା ଦେଉଛନ୍ତି ? ନିରୀକ୍ଷଣ କର ଓ ଜାଣିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର ।

Solution:
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିଲା କହୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଛାତ୍ରଙ୍କ ଉପରେ ଲେଖାଯାଇଛି । ‘0’ ଲେଖାଯାଇଥିବା ଛାତ୍ରର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵର କୌଣସି ଛାତ୍ର ଡେଙ୍ଗା ନୁହେଁ । ‘1’ ଲେଖାଥିବା ଛାତ୍ରର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥ‌ିବା ଛାତ୍ର ଡେଙ୍ଗା । ‘2’ ଲେଖାଥିବା ଛାତ୍ର ତାଙ୍କ ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵର 2ଟି ଛାତ୍ର ଡେଙ୍ଗା । ‘5’ ଲେଖାଥିବା ଛାତ୍ରଙ୍କ ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ତାଙ୍କ ଅପେକ୍ଷା 5 ଜଣ ଏବଂ ସେହିପରି ‘6’ ଲେଖାଥିବା ଛାତ୍ରଙ୍କ ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ତାଙ୍କ ଅପେକ୍ଷା 6 ଜଣ ଡେଙ୍ଗା ଛିଡା ହୋଇଛନ୍ତି ।

ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମର ନିୟମଟି ହେଉଛି : ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିଲା ତା’ର ସମ୍ମୁଖରେ ଛଡ଼ା ହୋଇଥୁବା ଡେଙ୍ଗା ପିଲାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା କହିବେ । ପୂର୍ବରୁ ଦୁଇଟି ଚିତ୍ରକୁ ନିରୀକ୍ଷଣ କରି ଏହି ସୂତ୍ରଟି ଉଭୟ କ୍ଷେତ୍ରପାଇଁ ପ୍ରଜୁର୍ଯ୍ୟ କି ନାହିଁ ଅନୁଧ୍ୟାନ କର ।

Question 3.
ଏହି ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି ନିମ୍ନସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିଲା କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ନାମ କହିବେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମଟି ଲେଖ ।

Solution:

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

Question 1.
ବହିର ଶେଷରେ ସଂଖ୍ୟାକାଠିଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଥ କିମ୍ବା ଉଚ୍ଚତାକୁ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ ସଜାଡ଼ି ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର, ଯେପରିକି କ୍ରମଗୁଡ଼ିକ ଏପରି ପଢ଼ିବା ।
(a) 0, 1, 1, 2, 4, 1, 5
(b) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(c) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
(d) 0, 1, 0, 1, 0, 1,
(e) 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(f) 0, 0, 0, 3, 3, 3, 3
Solution:
(a) ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା କ୍ରମ
= 0, 1, 1, 2, 4, 1, 5
ଉଚ୍ଚତାକୁ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ ସଜାଇ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କଲେ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।

(b) ଦିଆଯାଇଥିବା କ୍ରମ
= 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
ଉଚ୍ଚତାକୁ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ ସଜାଇ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କଲେ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।

(c) ଦିଆଯାଇଥିବା କ୍ରମ
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
ଉଚ୍ଚତାକୁ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ ସଜାଇ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କଲେ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।

(d) ଦିଆଯାଇଥିବା କ୍ରମ
= 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0
ଉଚ୍ଚତାକୁ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ ସଜାଇ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କଲେ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।

(e) ଦିଆଯାଇଥିବା କ୍ରମ
= 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1
ଉଚ୍ଚତାକୁ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ ସଜାଇ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କଲେ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।

(f) ଦିଆଯାଇଥିବା କ୍ରମ
= 0, 0, 0, 3, 3, 3, 3
ଉଚ୍ଚତାକୁ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ ସଜାଇ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କଲେ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।

Question 2.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉକ୍ତି ପାଇଁ ଚିନ୍ତା କରି ଚିହ୍ନଟ କର ଯେ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ, କେବଳ ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ କିମ୍ବା ଆଦୌ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ । ଯୁକ୍ତି ମାଧ୍ୟମରେ ଏହାର ସତ୍ୟାସତ୍ୟ ପ୍ରତିପାଦନ କର ।
(a) ଯଦି ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ‘0’ (ଶୂନ) କୁହନ୍ତି ତେବେ ସେ ସେହି ଦଳରେ ସବୁଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ବ୍ୟକ୍ତି ଅଟନ୍ତି ।
(b) ଯଦି ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ସବୁଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ତେବେ ତାଙ୍କ ପାଇଁ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ‘0’ (ଶୂନ) ।
(c) ପ୍ରଥମ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ‘0’ (ଶୂନ) ।
(d) ଯଦି ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ପ୍ରଥମରେ କିମ୍ବା ଶେଷରେ ଠିଆ ହୋଇ ନଥାନ୍ତି ଅର୍ଥାତ୍ ସେ ମଝିରେ ଯେକୌଣସି ସ୍ଥାନରେ ଠିଆ ହୋଇଥାଆନ୍ତି । ସେ ‘0’ (ଶୂନ) କହିପାରିବେ ନାହିଁ ।
(e) ଯେଉଁ ବ୍ୟକ୍ତି ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ସଂଖ୍ୟା କହିବେ ତାଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା ସମସ୍ତଙ୍କଠାରୁ ନିଶ୍ଚିତ କମ୍ ।
(f) ଆଠଜଣ ବ୍ୟକ୍ତି ଥିବା ଦଳରେ ସର୍ବବୃହତ୍ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା କ’ଣ ହୋଇପାରେ ?
Solution:
(a) ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ । ପ୍ରଥମ ଚିତ୍ରରେ ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି କହିବେ ‘0’ ଓ ସେ ଗ୍ରୁପ୍‌ର ସବୁଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ।

ଦ୍ଵିତୀୟ ଚିତ୍ରରେ ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି B କହିବେ ‘0’ ଓ ସେ ଗ୍ରୁପ୍‌ ସବୁଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ନୁହେଁ ।

(b) ସବୁବେଳେ ସତ୍ୟ । କାରଣ ଯଦି ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ସବୁଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ହେଲେ ତେବେ ତାଙ୍କ ପୂର୍ବରୁ ଥ‌ିବା କୌଣସି ବ୍ୟକ୍ତି ତାଙ୍କଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ହୋଇପାରିବେ ନାହିଁ । ତେଣୁ ସବୁଠାରୁ ଡେଙ୍ଗା ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସର୍ବଦା ‘0’ ହେବ ।

(c) ସବୁବେଳେ ସତ୍ୟ । ଯେହେତୁ ପ୍ରଥମ ବ୍ୟକ୍ତିର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ କୌଣସି ବ୍ୟକ୍ତି ନଥା’ନ୍ତି ତେଣୁ ପ୍ରଥମ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସର୍ବଦା ‘0’ ହେବ ।

(d) ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ । ପ୍ରଥମ ଚିତ୍ରରେ ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ୯ ମଝିରେ ରହିଲେ ମଧ୍ୟ ସେ ‘0’ କହିବେ ।

ଦ୍ଵିତୀୟ ଚିତ୍ରରେ ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ୯ ମଝିରେ ଅଛନ୍ତି । ମାତ୍ର ‘0’ କହିପାରିବେ ନାହିଁ ।

(e) ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ । ପ୍ରଥମ ଚିତ୍ରରେ F ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା 5 କହିବେ ଓ F ମଧ୍ୟ ଏହି ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ସବୁଠାରୁ ଉଚ୍ଚତାରେ ଛୋଟ ।

ଦ୍ଵିତୀୟ ଚିତ୍ରରେ C ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା 1 ଓ C ମଧ୍ୟ ଏହି ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ଉଚ୍ଚତାରେ ନୁହେଁ ଏହି ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ।

(f) ନିମ୍ନସ୍ଥ ଦର୍ଶାଯାଇଥ‌ିବା ଚିତ୍ରରେ ଆଠଜଣ ବ୍ୟକ୍ତି ଥ‌ିବା ଦଳରେ ସର୍ବବୃହତ୍ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 7 ।

6.2 ଯୋଡ଼ ବେଯୋଡ଼ ବାଛ :

Page No. (132 to 136)

କିଶୋର ପାଖରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାକାର୍ଡ଼କୁ ନେଇ ସେ ଏକ ପ୍ରଶ୍ନଧନ୍ଦାକୁ ସମାଧାନ କରିବାରେ ଲାଗିପଡ଼ିଛି । ତା’ ପାଖରେ ଥ‌ିବା 5 ଟି ଖାଲି କୋଠରି ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଠରିରେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା କାର୍ଡ଼ ରହିବ ଯେପରିକି କୋଠରିରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି 30 ହେବ । ଏହି ଧନ୍ଦାକୁ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ କୌଶଳଟିଏ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବ କି ?

Question 1.
ଉପରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟା କାର୍ଡ଼ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ୫ଟି ସଂଖ୍ୟା କାର୍ଡ଼ର ଯୋଗପଳ 30 ହେବ ? ଏହା ସମ୍ଭବ ହେବ କି ? ଏହି ସଂଖ୍ୟା କାର୍ଡ଼ ମଧ୍ୟରୁ 5ଟି କାର୍ଡ଼ ବାଛିବାର ଅନେକ ଉପାୟ ଅଛି । ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବନା ଯାଞ୍ଚ ନକରି ସମାଧାନ ଖୋଜିବା ପାଇଁ କୌଣସି କୌଶଳ ଅଛି କି ?
Solution:
ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା 5ଟି ବାକ୍ସ ମଧ୍ଯରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାକ୍ସରେ ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ରହିବ ।
5ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ଏବଂ ଏହା 30 ସହ ସମାନ ହେବ ନାହିଁ । କାରଣ 30 ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
∴ ଏହାର ସମାଧାନ ପାଇଁ କୌଣସି କୌଶଳ ନାହିଁ ।
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ ହେବ ।
ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ଯୁଗ୍ମ ହେବ ।

Question 2.
ତିନୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ କେଉଁ ପ୍ରକାର ସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ଯୋଗଫଳକୁ ଯୋଡ଼ିରେ ପ୍ରକାଶ କରିହେବ କି ?
Solution:
ତିନୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ + ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
∴ ତିନୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଯୋଗକଲେ ଯୋଗଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ । ଯୋଗଫଳକୁ ଯୋଡ଼ିରେ ପ୍ରକାଶ କରିହେବ ନାହିଁ ।

Question 3.
ଯୋଗଫଳ କେଉଁ ପ୍ରକାର ସଂଖ୍ୟା ହେବ, ଅନ୍ଵେଷଣ କର ।
(a) ଚାରୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(b) ପାଞ୍ଚୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(c) ଛଅଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
Solution:
(a) ଚାରୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
= ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ + ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ।
= ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା + ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ।

(b) ପାଞ୍ଚୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = (ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ + ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ) + ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
= ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।

(c) ଛଅଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
= ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ + ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ + ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
= ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।

Question 4.
ସୋମ ଓ ଓମ୍ ଦୁଇଭାଇ । ଠିକ୍ ଗୋଟିଏ ବର୍ଷ ବ୍ୟବଧାନରେ ଜନ୍ମ ହୋଇଛନ୍ତି । ଆଜି ସେମାନେ ସେମାନଙ୍କର ଜନ୍ମଦିନ ପାଳନ କରୁଛନ୍ତି । ଓମ୍‌ଙ୍କ କହିବା ଅନୁଯାୟୀ ଦୁହିଁଙ୍କର ବୟସ ମିଶି 112 ଅଟେ । ଏହା ସମ୍ଭବ କି ? କାହିଁକି ହେବ କିମ୍ବା କାହିଁକି ହେବ ନାହିଁ ?
Solution:
ଯେହେତୁ ଦୁଇଭାଇ ଗୋଟିଏ ବର୍ଷ ବ୍ୟବଧାନରେ ଜନ୍ମ ହୋଇଛନ୍ତି । ସେମାନଙ୍କର ବୟସ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ହେବ । ସେମାନଙ୍କର ବୟସ 51 ଓ 52 ହୋଇପାରିବ କି ?

51 + 52 = 103 । ଆଉ କିଛି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଉଦାହରଣ ନିଅ, ଯାହାର ଯୋଗଫଳ 112 ହେବ ।
ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା 1, 2, 3, 4, 5, ….. କ୍ରମରେ ଯୁଗ୍ମ ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଗୋଟିକ ପରେ ଗୋଟିଏ ଥାଆନ୍ତି । ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଅଯୁଗ୍ମ ଅଟେ ।

ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି କେଉଁ ପ୍ରକାର ସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳକୁ ଆମେ ଯୋଡ଼ିରେ ସଜାଇ ଲେଖିପାରିବା ନାହିଁ । ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

ଯେହେତୁ 112 ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସୋମ୍ ଓ ଓମ୍‌ର ବୟସ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର ବୟସର ସମଷ୍ଟି 112 ହେବ ନାହିଁ ।
ଆମେ ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଧର୍ମକୁ ସୂଚାଇବା ପାଇଁ ଯୋଡ଼, ବେଯୋଡ଼ ଶବ୍ଦ ବ୍ୟବହାର କରିଥାଉ । ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ, ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ଅଟେ ଏବଂ ସେହିପରି ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଯୁଗ୍ମ ଅଟେ ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

Question 1.
ଯୁଗ୍ମ ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଚିତ୍ରିତ ଉପସ୍ଥାପନାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟକରି ନିମ୍ନସ୍ଥ ଯୋଗକ୍ରିୟାରେ ଯୁଗ୍ମ ବା ଅଯୁଗ୍ମ (ଯୋଡ଼, ବେଯୋଡ଼) ସ୍ଥିର କର ।
(a) ଦୁଇଟି ଯୁଗ ଓ ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
(ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ : ଯୁଗ୍ମ + ଯୁଗ୍ମ + ଅଯୁଗ୍ମ + ଅଯୁଗ୍ମ)
Solution:
ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
= ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ + ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
= ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ।

(b) ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଓ ତିନୋଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
Solution:
ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ତିନୋଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
= ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ + ତିନୋଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ।
= ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା

(c) ପାଞ୍ଚୋଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛେ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା । ତେଣୁ ପାଞ୍ଚୋଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

(d) ଆଠଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛେ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । ତେଣୁ ଆଠଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

Question 2.
ଆମେ ଜାଣୁ !
(a) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(b) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(c) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
ଠିକ୍ ସେହିପରି, ନିମ୍ନରେ ଥ‌ିବା ପରିସ୍ଥିତି ପାଇଁ ଯୁଗ୍ମ ବା ଅଯୁଗ୍ମ ଲେଖ ।
(d) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = _____________ ।
(e) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = _____________ ।
(f) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = _____________ ।
(g) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = _____________ ।
Solution:
(d) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(e) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ ସଂଖ୍ୟା ।
(f) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯଗ ସଂଖ୍ୟା ।
(g) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।

ଗ୍ରୀକ୍ଟରେ ଥ‌ିବା ଛୋଟ ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର :

ଗୋଟିଏ 3 × 3 ଗ୍ରୀଡ଼ରେ ୨ଟି ଛୋଟ ବର୍ଗାକାର କୋଠରି ଅଛି ଯାହା ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ବିଶିଷ୍ଟ । ପୁନଶ୍ଚ 3 × 4 ଗ୍ରୀଡ଼ରେ 12ଟି ବର୍ଗାକାର କୋଠରି ଅଛି ଯାହା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

Question 1.
ଏକ ଗ୍ରୀକ୍ଟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ମାପ ଜଣା ଥିଲେ ହିସାବ ନକରି ସେଥୁରେ କେତୋଟି ଛୋଟ ବର୍ଗାକାର କୋଠରି ହୋଇପାରିବ ଏବଂ ଏହା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ବା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ହେବ କହିପାରିବ କି ?
Solution:

ଯଦି ଗୋଟିଏ ଗ୍ରୀଡ଼ରେ m ସଂଖ୍ୟକ ଧାଡ଼ି ଓ n ସଂଖ୍ୟକ ସ୍ତମ୍ଭ ଥାଏ, ସେଥିରେ ଥ‌ିବା ଛୋଟ ବର୍ଗାକାର
କୋଠରି ସଂଖ୍ୟା = m × n
ଉଦାହରଣ : ଗୋଟିଏ ଗ୍ରୀଡ଼ରେ 3 ଧାଡ଼ି ଓ 4ଟି ସ୍ତମ୍ଭ ଅଛି ।
ଛୋଟ ବର୍ଗକୋଠରି ସଂଖ୍ୟା = 3 × 4 = 12
ମନେକର ଗୋଟିଏ ଗ୍ରୀଡ୍‌ର ଧାଡ଼ିସଂଖ୍ୟା = m
ଓ ସ୍ତମ୍ଭ ସଂଖ୍ୟା = n ।
ଆମେ ପାଇବା m × n ସଂଖ୍ୟକ ଛୋଟ କୋଠରି ।
ଯଦି m ଓ n ଉଭୟ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାନ୍ତି ତେବେ m × n = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
ଯଦି m ଓ n ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାନ୍ତି ତେବେ m × n = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
ଯଦି m ଓ n ଉଭୟ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାନ୍ତି ତେବେ m × n = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

Question 2.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ପରିମାପ ବିଶିଷ୍ଟ ଗ୍ରୀଡ଼ଗୁଡ଼ିକରେ ଛୋଟ ବର୍ଗାକାର କୋଠରି ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହେବ ବାହାର କର ।
(a) 27 × 13
(b) 42 × 78
(c) 135 × 654
Solution:
(a) ଦିଆଯାଇଥିବା ଗ୍ରୀଡ଼ = 27 × 13
ଏଠାରେ 27 ଓ 13 ଉଭୟ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।
∴ ଗ୍ରୀଡ଼ରେ ଥ‌ିବା ଛୋଟ ବର୍ଗାକାର କୋଠରି ସଂଖ୍ୟା ଅଯୁଗ୍ମ ହେବେ ।

(b) ଦିଆଯାଇଥିବା ଗ୍ରୀଡ଼୍ = 42 × 78
ଏଠାରେ 42 ଓ 78 ଉଭୟ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।
∴ ଗ୍ରୀଡ଼ରେ ଥ‌ିବା ଛୋଟ ବର୍ଗାକାର କୋଠରି ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ ହେବେ ।

(c) ଦିଆଯାଇଥୁବା ଗ୍ରୀଡ଼୍ = 135 × 654
ଏଠାରେ 135 ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଓ 654 ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।
∴ ଗ୍ରୀଡ଼ରେ ଥ‌ିବା ଛୋଟ ବର୍ଗାକାର କୋଠରି ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ ହେବେ ।

ପରିପ୍ରକାଶରେ ଯୋଡ଼-ବିଯୋଡ଼ :
ଏକ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ 3n + 4 ବିଚାରକୁ ନିଅ । nର ବିଭିନ୍ନ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ପରିପ୍ରକାଶର ମାନ ଯୋଡ଼ (ଯୁଗ୍ମ) ଓ ବିଯୋଡ଼ (ଅଯୁଗ୍ମ) ହେବ ।

n	3n + 4 ର ମୂଲ୍ୟ	ଯୁଗ୍ମ / ଅଯୁଗ୍ମ
3	13	ଅଯୁଗ୍ମ
8	28	ଯୁଗ୍ମ
10	34	ଯୁଗ୍ମ

Question 1.
ଏକ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ ଯାହାର ମୂଲ୍ୟ ସର୍ବଦା ଯୋଡ଼ା ଯୋଡ଼ା ହୋଇ ରହିପାରିବ ବା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ । ଉଦାହରଣ : (କ) 100b (ଖ) 48n – 2 । ଏହିପରି ଆଉ କିଛି ଉଦାହରଣ ଲେଖ ।
Solution:
(କ) ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି = 100b
ଯେହେତୁ 100 ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୁଗ୍ଧ, ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ 100b ହେଉଛି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
(ଯେକୌଣସି b ର ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ)

(ଖ) ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି 48n – 2
ଯେହେତୁ 48 ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, n ର ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ 48n ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
∴ 48n – 2 ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, କାରଣ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।

(ଗ) ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି 4n + 1
ଯେହେତୁ 4 ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, n ର ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ 4n ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
∴ 4n + 1 ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, କାରଣ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।

(ଘ) ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି 2n + 3
ଯେହେତୁ 2 ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, n ର ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ 2n ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
∴ 2n + 3 ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, କାରଣ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।

Question 2.
କିଛି ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ ଯାହାର ମୂଲ୍ୟ ସର୍ବଦା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
Solution:
ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି 4n + 1
ଯେହେତୁ 4 ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, n ର ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ 4n ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
∴ 4n + 1 ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, କାରଣ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।

Question 3.
3n + 4 ପରି ଅନ୍ୟ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ ଯାହାର ମାନ ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରେ ।
Solution:
ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି = 5n + 8, ଯେଉଁଠାରେ n ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରେ ।
5 ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । ଯଦି n ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୁଏ, 5n = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
∴ 5n + 8 ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ । କାରଣ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
ଯଦି n ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୁଏ, 5n = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
∴ 5n + 8 ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ, କାରଣ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।

Question 4.
k = 1, 2, 3, …… ପାଇଁ 6k + 2 ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ 8, 14, 20, ………….. ଯେଉଁଥରେ ଅନେକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ ।
Solution:
k = 1 ପାଇଁ, 6k + 2 = 6 × 1 + 2 = 8
k = 2 ପାଇଁ, 6k + 2 = 6 × 2 + 2 = 14
k = 3 ପାଇଁ, 6k + 2 = 6 × 3 + 2 = 20
k = 4 ପାଇଁ, 6k + 2 = 6 × 4 + 2 = 26
∴ k = 1, 2, 3, ……. ପାଇଁ 6k + 2 ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ 8, 14, 20, ………. ଯେଉଁଥରେ ଅନେକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ ।

Question 5.
ଏପରି କିଛି ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖୁପାରିବା କି ଯାହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରିପାରିବା (ସୂଚନା : ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ 2)
Solution:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ପରିପ୍ରକାଶ = 2n
n = 1 ପାଇଁ, 2n = 2 × 1= 2
n = 2 ପାଇଁ, 2n = 2 × 2 = 4
n = 3 ପାଇଁ, 2n = 2 × 3 = 6
n = 4 ପାଇଁ, 2n = 2 × 4 = 8
…………………………………
…………………………………
…………………………………
…………………………………
…………………………………
…………………………………
∴ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ 2n ପାଇଁ, ଆମେ କେବଳ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ପାଇପାରିବା 2, 4, 6, ….. ଇତ୍ୟାଦି ।

Question 6.
ଏପରି ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଅଛି କି ଯାହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ ସମସ୍ତ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରିପାରିବା । ପୂର୍ବରୁ ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ 4 ର ଗୁଣିତକ ପରିପ୍ରକାଶର n ତମ ପଦଟି ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର ‘n’କୁ ବ୍ୟବହାର କରି ସୂଚିତ ହୋଇଥାଏ ଯହିଁରେ n ଅନୁକ୍ରମର ପଦ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୂଚିତ କରେ । (ଯଥା- ପ୍ରଥମ, 23 ତମ (ତେଇଶିତମ), 100 ତମ (ଶହେତମ) ଏବଂ 17 ତମ (ସତରତମ)…. ଇତ୍ୟାଦି)
Solution:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି 2n – 1
ଯେହେତୁ 2 ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, n ର ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ 2n ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
∴ 2n – 1 ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ, କାରଣ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା – ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
n = 1 ପାଇଁ, 2n – 1 = 2 × 1 – 1 = 2 – 1 = 1
n = 2 ପାଇଁ, 2n – 1= 2 × 2 – 1 = 4 – 1 = 3
n = 3 ପାଇଁ, 2n – 1 = 2 × 3 – 1 = 6 – 1 = 5
n = 4 ପାଇଁ, 2n – 1 = 2 × 4 – 1 = 8 – 1 = 7
…………………………………
…………………………………
…………………………………
…………………………………
…………………………………
…………………………………
∴ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ 2n – 1 ପାଇଁ, ଆମେ କେବଳ ଅଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ପାଇପାରିବା 1, 3, 5, 7…… ଇତ୍ୟାଦି ।

Question 7.
2 ର ଗୁଣିତକ ପାଇଁ n ତମ ପଦଟି କ’ଣ ହୋଇପାରେ ? କିମ୍ବା n ତମ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି କ’ଣ ?
Solution:
ମନେକର ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି = 2n, ଯେଉଁଠାରେ n ଯେକୌଣସି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ।
n = 1, 2, 3, 4, ………… ପାଇଁ ଗାଣତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି 2, 4, 6, 8 ….. ହେବ, ଯାହାକି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସୂତ୍ର = 2n, ଯେଉଁଠାରେ n ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରେ ।
∴ n ତମ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2n
ମନେକର ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି = 2n – 1, ଯେଉଁଠାରେ n ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ।
n = 1, 2, 3, 4………….. ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି 1, 3, 5, 7 ………. ହେବ, ଯାହାକି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସୂତ୍ର = 2n – 1, ଯେଉଁଠାରେ n ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରେ ।
∴ n ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ସଂଖ୍ୟା = 2n – 1

Question 8.
ଶହେ ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛେ n ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2n – 1
∴ 100 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 100 – 1 = 200 – 1 = 199

Question 9.
ଶହେତମ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛେ n ତମ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2n
∴ 100 ତମ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 100 = 200

6.3 ଗ୍ରୀଡ଼ ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ଵେଷଣ :

Page No. (136 to 140)

ଏହି 3 × 3 ଗ୍ରୀଡ଼କୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କର । ଏକ ସାଧାରଣ ନିୟମକୁ ପାଥେୟ କରି ଏଥରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଲେଖାଯାଇଛି । 1 ରୁ 9 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପୁନରାବୃତ୍ତି ନକରି ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇଛି । ପୁନଶ୍ଚ ଗ୍ରୀଡ଼ ବାହାରେ ବୃତ୍ତ ମଧ୍ୟରେ କିଛି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଯାଇଛି ।

Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଗ୍ରୀଡ଼ଗୁଡ଼ିକର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

Solution:

(i) ଆମେ ଦେଖ‌ିଲେ ଯେ 13 + 14 + 18 = 45
ଓ 24 + 9 + 12 = 45
1 + 2 + 3 + …… + 8 + 9 = 45
1 ରୁ 9 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପୁନରାବୃତ୍ତି ନକରି ଗ୍ରୀଡ୍ସକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍ଗ କରି ଲେଖିହେବ ।

(ii) ଆମେ ଦେଖ‌ିଲେ ଯେ 24 + 15 + 16 = 45
ଓ 12 + 16 + 17 = 45
1 + 2 + 3 + …… + 8 + 9 =45
1 ରୁ 9 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପୁନରାବୃତ୍ତି ନକରି ଗ୍ରୀଡ଼କୁ ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍ଗ କରି ଲେଖୁହେବ ।

Question 2.
ନିମ୍ନ ଗ୍ରୀକ୍ଟର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନରେ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖୁ ଗ୍ରୀଡ୍‌ର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

Solution:

ଏହି ଗ୍ରୀଡ୍‌ରେ ସଂଖ୍ୟା 9 ଅଛି, ଯାହା ପୂରଣ ହୋଇଛି ।
ତେଣୁ ଆମେ 1, 2, 3 ……. 8 ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କରିବାକୁ ହେବ ।
ତୃତୀୟ ସ୍ତମ୍ଭର ଯୋଗଫଳ = 26
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 9 ହେଲେ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର
ଯୋଗଫଳ 26 – 9 = 17 ହେବ ।
1, 2, 3, ……..8 ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ 17 ହେବ ନାହିଁ ।
ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା 9 ପରେ 8 ଓ 7 ଅଛି । 8 + 7 = 15 ହେବ ।
ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ିର ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 5 ଅଛି ।
କିନ୍ତୁ ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 1 + 2 + 3 = 6 ହେବ ।
∴ ଗ୍ରୀଡ଼ଟି ପୂରଣ କରିବା ସମ୍ଭବ ହେବ ନାହିଁ ।

Question 3.
ଉପରିସ୍ଥ ଗ୍ରୀକ୍ଟର ଶୂନ୍ୟ କୋଠରିଗୁଡ଼ିକୁ ପୂରଣ କରିବା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । କାରଣ କ’ଣ ?
Solution:
ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସର୍ବନିମ୍ନ ରାଶି ; 1 + 2 + 3 = 6
ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସର୍ବବୃହତ୍ ରାଶି : 9 + 8 + 7 = 24
ତେଣୁ ବୃତ୍ତ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା 6 ଠାରୁ ସାନ ହେବ ନାହିଁ କିମ୍ବା 24 ଠାରୁ ବଡ଼ ହେବ ନାହିଁ । କିନ୍ତୁ ଦତ୍ତ ଗ୍ରୀଷ୍ମଲି ବୃତ୍ତସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ 5 ଏବଂ 26 ରହିଅଛି । ତେଣୁ ଏହି ଗ୍ରୀନ୍ଥର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କରିବା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

Question 4.
ତିନୋଟି ଧାଡ଼ିର ସଂଖ୍ୟା ଏକତ୍ର ମିଶିଲେ ଏବଂ ସ୍ତମ୍ଭ ସଂଖ୍ୟାମାନ ଏକତ୍ର ମିଶିଲେ ଯୋଗଫଳ କାହିଁକି 45 ହେବ ?

Solution:
ଦତ୍ତ ଗ୍ରୀଡ୍ର ଆମେ ଦେଖୁଲେ ଯେ ଧାଡ଼ିଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ ଏବଂ ସ୍ତମ୍ଭଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗପଳ ସମାନ । ଏଠାରେ 1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇଛି ।
1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ, 9ଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

ଏକ ବର୍ଗ ଗ୍ରୀଡ୍‌ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ି, ସ୍ତମ୍ଭ ଓ କୌଣିକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ସମାନ ହେଲେ ତାହାକୁ ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ କୁହାଯାଏ । ଧାଡ଼ି ବା ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳକୁ କୁହୁକ ସମଷ୍ଟି କୁହାଯାଏ ।

ମନଇଚ୍ଛା ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରି କୁହୁକ ବର୍ଗଟିର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କରିବା କଷ୍ଟକର । କାରଣ, ଆମେ ଦେଖୁଲେ 1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାରକରି (ପୁନରାବୃତ୍ତି ନକରି) ଅନେକ ଉପାୟରେ ବର୍ଗଗୁଡ଼ଇକ ସ୍ଥାନ ପୂରଣ କରାଯାଇପାରେ । ପ୍ରକୃତରେ ଦେଖାଯାଇଛି 3, 62,880 ଉପାୟରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଗ୍ରୀଡ୍ରେ ଲେଖୁହେବ । ଆଶ୍ଚର୍ଯ୍ୟର କଥା ଏଥୁମଧ୍ୟରୁ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ଉପାୟ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ ନୁହେଁ । ଏକ କୁହୁକବର୍ଗ କେତୋଟି କୌଶଳରେ ପୂରଣ କରାଯାଇପାରିବ ତାହା ମଧ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ ।

Question 1.
କୁହୁକ ରାଶି କେତେ ହୋଇପାରେ ? ଏହା ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ କି ?
Solution:
ଆମେ ଦେଖୁବା ଯେ 1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ 3 × 3 ଗ୍ରୀଡ୍‌ର ଧାଡ଼ି ରାଶିଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ 45 ହେବ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିର ରାଶିଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗପଳ 15 ହେବ । ଆମେ ଜାଣିଲେ ଯେ । ରୁ 9 ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗରେ କୁହୁକ ରାଶି 15 ହେବା ଜରୁରୀ ଅଟେ । ଏହା ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।

Question 2.
କୁହୁକ ବର୍ଗର କେନ୍ଦ୍ରରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ରାଶିଗୁଡ଼ିକ କ’ଣ ହେବ ?

Solution:
ଗୋଟିଏ ପରେ ଗୋଟିଏ ସମ୍ଭାବନାକୁ ବିଚାର କରିବା । କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା 9 ହୋଇପାରିବ କି ? ଯଦି ହଁ, ତେବେ ଅନ୍ୟ ବର୍ଗ କୋଠରିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକରେ 8 ନିଶ୍ଚିତ ଆସିବ । ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ : କୌଣସିକ ରାଶିର ଯୋଗଫଳ 8 + 9 + ଅନ୍ୟ ଏକ ସଂଖ୍ୟା = 15 ହେବ କି ? କିନ୍ତୁ ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । ଆମେ 8 କୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ସ୍ଥାନରେ ରଖୁଲେ ମଧ୍ୟ ସମାନ ପରିସ୍ଥିତି ଉପୁଜିବ । ତେଣୁ କେନ୍ଦ୍ରରେ 9 ରହିପାରିବ ନାହିଁ । କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା ‘1’ ହୋଇପାରିବ କି ? ଯଦି ହଁ 2 ଅନ୍ୟ ଏକ କୋଠରିରେ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ । ଏଠାରେ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ 2 + 1 + ଅନ୍ୟ ଏକ ସଂଖ୍ୟା = 15 । ଏହା ଅସମ୍ଭବ । କାରଣ, ଆମେ କେବଳ 1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରୁଛୁ । ଆମେ l କୁ ଯେଉଁଠାରେ ରଖିଲେ ମଧ୍ୟ ସମାନ ସମସ୍ୟା ସୃଷ୍ଟି ହେବ । ତେଣୁ । ରହିପାରିବ ନାହିଁ ।

1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା 5 ହେବା ଜରୁରୀ ।

କୁହୁକ ବର୍ଗର କେଉଁ କୋଠରିରେ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା । ଏବଂ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା 9 ଆସିବ । ଆମେ ଦ୍ଵିତୀୟ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣରୁ ଜାଣିଲୁ ଯେ । ଓ 9 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ସୀମାବର୍ତ୍ତୀ କୋଠରିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ କୋଠରିରେ ରହିବେ ।

ଯଦି 1 କୁ ବାମପଟେ ଉପରିସ୍ଥ କୋଣ ସ୍ଥାନରେ ରଖାଯାଏ ତେବେ 1 କୁ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାରେ ତିନୋଟି ଉପାୟରେ ଯୋଗ କରି ଯୋଗଫଳ 15 ନିଶ୍ଚିତ ପାଇବା ।
ଆମେ ପାଇବା, 1 + 5 + 9 = 15
1 + 6 + 8 = 15 ଦୁଇଟି ଉପାୟରେ ଲେଖିପାରିବା ।

Question 3.
9 କୁ ଏକ କୌଣିକ ସ୍ଥିତିରେ ରଖାଯାଇପାରିବ କି ?
Solution:
ସଂଖ୍ୟା 1 ଏବଂ 9 କୌଣିକ ସ୍ଥିତିରେ ଆଦୌ ରହିପାରିବେ ନାହିଁ । ତେଣୁ ସେ ଦୁହେଁ ମଝି ସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକରେ ରହିପାରିବେ ।

Question 4.
1 ଏବଂ 9 ପାଇଁ ଅନ୍ୟ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସ୍ଥିତିଗୁଡ଼ିକୁ ଦର୍ଶାଇ ପାରିବ କି ? ବର୍ତ୍ତମାନ, ଆମ କୁହୁକ ବର୍ଗର ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବ ଧାଡ଼ି କିମ୍ବା ସ୍ତମ୍ଭ ଅଛି । ଏହାକୁ ସମାପ୍ତ କର ।
Solution:

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

Question 1.
1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରି କେତୋଟି ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ କୁହୁକ ବର୍ଗ ତିଆରି କରାଯାଇପାରିବ ?
Solution:
1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପୁନରାବୃତ୍ତି ନକରି ଆମେ 8ଟି କୁହୁକ ବର୍ଗ ତିଆରି କରିପାରିବା ।

Question 2.
2 ରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କର । ଏଥନିମନ୍ତେ କେଉଁ କୌଶଳ ଅବଲମ୍ବନ କରିବ ? ଏହାକୁ 1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରି ଗଠନ କରିଥୁବା କୁହୁକ ବର୍ଗ ସହିତ ତୁଳନା କର ।
Solution:
1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯଥା – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ସଂଖ୍ୟାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଗ୍ରୀଡ଼ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିପାରିବା ।

2 ରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯଥା – 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ସଂଖ୍ୟାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଗ୍ରୀଡ଼୍ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିପାରିବା ।

Question 3.
ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ ନିଅ, ଏବଂ
(a) କୁହୁକ ବର୍ଗର ପ୍ରତି କୋଠରିରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ 1 ବଢ଼ାଅ ।
(b) କୁହୁକ ବର୍ଗର ପ୍ରତି କୋଠରିରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦ୍ଵିଗୁଣିତ କର ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଫଳାଫଳ ଗ୍ରୀଡ଼ଟି ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ ହେଉଛି କି ? ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ କୁହୁକ ରାଶି କିପରି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଉଛି ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ।
Solution:

ମନେକର 1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପୁନରାବୃତ୍ତି ନକରି ଗ୍ରୀଡ୍ ପ୍ରସ୍ତୁତ କଲେ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 15 ହେବ ଏବଂ ଗ୍ରୀଡ଼ଟି ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର
ହେବ ।

(a) କୁହୁକ ବର୍ଗର ପ୍ରତି କୋଠରିରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ 1 ବଢ଼ାଇଲେ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 18 ହେବ ଏବଂ ଗ୍ରୀଜ୍ଝଟି ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ । ଆମେ ଦେଖୁଲେ ଯେ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର କ୍ରମରେ 1 ବର୍ଦ୍ଧିତ କଲେ ଗ୍ରୀକ୍ଚର ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳରେ 3 ବୃଦ୍ଧି ଘଟୁଛି ।

(b) କୁହୁକ ବର୍ଗର ପ୍ରତି କୋଠରିରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦ୍ଵିଗୁଣିତ କଲେ ଗ୍ରୀଡ୍‌ଟି ନିମ୍ନପ୍ରକାରର ହେବ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 30 ହେବ । ଆମେ ଦେଖୁଲେ ଯେ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର କ୍ରମକୁ ଦ୍ଵିଗୁଣ କଲେ କଲେ ଗ୍ରୀନ୍ସର ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ମଧ୍ୟ ଦ୍ଵିଗୁଣିତ ହେଉଛି ।

Question 4.
ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗରେ ଅନ୍ୟ ଏକ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଅବଲମ୍ବନ କରି ଅନ୍ୟ ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କରିହେବ ?
Solution:

ହଁ, ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗରେ ଅନ୍ୟ ଏକ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଅବଲମ୍ବନ କରି ଅନ୍ୟ ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କରିହେବ । ଯଥା-
(a) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାରୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବିୟୋଗ କଲେ ଆମେ ମଧ୍ୟ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କରିପାରିବା ।
(b) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାରେ ଭାଗ କଲେ ଆମେ ମଧ୍ୟ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କରିପାରିବା ।

Question 5.
କ୍ରମାଗତ ନଅଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରି (ଯେପରିକି 2 ରୁ 10, 3 ରୁ 11, 9 ରୁ 17 …ଇତ୍ୟାଦି) ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କର ।
Solution:


1 ରୁ 9 କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କଲେ କୁହୁକ ବର୍ଗଟି ନିମ୍ନୋକ୍ତ ପ୍ରକାରର ହେବ ।
∴ କୁହୁକ ରାଶିର ଯୋଗଫଳ = 15
2 ରୁ 10 କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କଲେ କୁହୁକ ବର୍ଗଟି ନିମ୍ନୋକ୍ତ ପ୍ରକାରର ହେବ ।
∴ କୁହୁକ ରାଶିର ଯୋଗଫଳ = 18
3 ରୁ 11 କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରି କୁହୁକ ବର୍ଗ ପାଇବାକୁ ହେଲେ । ରୁ 9 କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାରେ 2 ଯୋଗ କରିବାକୁ ହେବ ।
∴ କୁହୁକ ରାଶିର ଯୋଗଫଳ = 21
9 ରୁ 17 କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରି କୁହୁକ ବର୍ଗ ପାଇବାକୁ ହେଲେ
1 ରୁ 9 କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାରେ ୫ ଯୋଗ କରିବାକୁ ହେବ ।
∴ କୁହୁକ ରାଶିର ଯୋଗଫଳ = 39

3 × 3 କୁହୁକ ବର୍ଗର ସାଧାରଣ ରୂପ :

Question 1.
କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରି ତୁମେ ଗଢ଼ିଥିବା ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ ନିଅ । ଯଦି କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟାଟି ‘m’ ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କିପରି ‘m’ ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର । ପ୍ରତି କୋଠରିର ରାଶି m ଠାରୁ କେତେ ଅଧିକ କିମ୍ବା କେତେ କମ୍ ତାହା ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ ।

Solution:

ଆମେ ଜାଣିଛେ 3 × 3 କୁହୁକ ବର୍ଗର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟାଟି m ହେଲେ, କୁହୁକ ରାଶିର ସମଷ୍ଟି 3m ହେବ ।
ସୋପାନ – 1 ; କୁହୁକ ରାଶିମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 3m ହେବ ।
ସୋପାନ – 2 : 9 ଟି ସଂଖ୍ୟା : m – 4, m – 3, m – 2, m – 1, m, m + 1, m + 2, m + 3, m + 4
ସୋପାନ – 3 : m – 4 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି 9 ଟି ସଂଖ୍ୟାରେ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କଲେ ଏହା ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।
ସୋପାନ – 4 : ଉପରୋକ୍ତ ଗ୍ରୀନ୍ସରେ 3ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 3ଟି ସ୍ତମ୍ଭ ଅଛି ଏବଂ ଯେକୌଣସି ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭର ଯୋଗଫଳ 3m ହେଉଛି । ଏହି ଗ୍ରୀଡ଼କୁ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା ପାଇଁ ଆମେ 9 ଟି ସଂଖ୍ୟା ନେଇଥିଲେ,
ଯଥା – m – 4, m – 3, m – 2, m – 1, m, m + 1, m + 2, m + 3 ଓ m + 4

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

Question 1.
ଏହି ସାଧାରଣ ରୂପକୁ ବ୍ୟବହାର କରି କେନ୍ଦ୍ରରେ 25 ରଖ୍ କୁହୁକ ବର୍ଗଟିଏ ଗଠନ କର ।

Solution:

ଯଦି ଗୋଟିଏ କୁହୁକ ବର୍ଗର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା m ହେବ, କୁହୁକ ବର୍ଗଟି ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।
ମନେକର m = 25
m – 4 = 25 – 4 = 21, m – 3 = 25 – 3 = 22, m – 2 = 25 – 2 = 23,
m – 1 = 25 – 1 = 24
m + 1 = 25 + 1 = 26, m + 2 = 25 + 2 = 27, m + 3 = 25 + 3 = 28,
m + 4 = 25 + 4 = 29
∴ ଉପର କୁହୁକ ବର୍ଗଟିରେ ଏହି ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ବଦଳାଇଲେ ଆମେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇବା = 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
∴ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା 25 କୁ ନେଇ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କଲେ ଆମେ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ପାଇବା ।
∴ କୁହୁକ ରାଶିର ଯୋଗଫଳ = 75

Question 2.
ଯେକୌଣସି ଧାଡ଼ି, ସ୍ତମ୍ଭ କିମ୍ବା କୌଣୀୟ ସ୍ଥିତିର ପଦମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳକୁ ଏକ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା କି ?
Solution:

ଯଦି କୁହୁକ ବର୍ଗର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା m ହେବ, ତେବେ ସାଧାରଣତଃ କୁହୁକ ବର୍ଗଟି ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।
ଏଠାରେ ଯେକୌଣସି ଧାଡ଼ିର ସମଷ୍ଟି = 3m
ଯେକୌଣସି ସ୍ତମ୍ଭର ସମଷ୍ଟି = 3m
ଯେକୌଣସି କଣ୍ଠରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = 3m

Question 3.
ପ୍ରାପ୍ତ ଫଳାଫଳକୁ ଲେଖ ।
(a) ସାଧାରଣ ରୂପରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ 1 ଯୋଗ କରିବା ପରେ
(b) ସାଧାରଣ ରୂପର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ ଦ୍ଵିଗୁଣିତ କରିବା ପରେ
Solution:
ଯଦି କୁହୁକ ବର୍ଗର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା m ହେବ,
ତେବେ କୁହୁକ ବର୍ଗଟି ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।

(a) ସାଧାରଣ ରୂପରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ 1 ଯୋଗ କରିବା ପରେ, ତେବେ କୁହୁକ ବର୍ଗଟି ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେବ ।
∴ କୁହୁକ ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 3m + 3 ହେବ ।

(b) ସାଧାରଣ ରୂପର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ ଦ୍ଵିଗୁଣିତ କରିବାପରେ,
ତେବେ କୁହୁକ ବର୍ଗଟି ଉପରୋକ୍ତ ପ୍ରକାରର ହେବ ।
∴ କୁହୁକ ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 6m ହେବ ।

Question 4.
କୁହୁକ ରାଶି 60 ହୋଇଥୁବା ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କର ।
Solution:

60 କୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ, 60 ÷ 3 = 20
ଏହି କୁହୁକ ବର୍ଗର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା 20 ହେବ ।
କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କରିବା ପାଇଁ ୨ଟି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି – 20 – 4, 20 – 3, 20 – 2, 20 – 1, 20, 20 + 1, 20 + 2, 20 + 3, 20 + 4 = 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କଲେ ନିମ୍ନୋକ୍ତ ପ୍ରକାରର ହେବ ।
ଏଠାରେ ଯେକୌଣସି ଧାଡ଼ିର ସମଷ୍ଟି = 60
ଯେକୌଣସି ସ୍ତମ୍ଭର ସମଷ୍ଟି = 60
ଯେକୌଣସି କର୍ଣ୍ଣ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = 60

Question 5.
କ୍ରମରେ ନଥ‌ିବା 9ଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ ସମ୍ଭବ କି ?
Solution:

ମନେକର 1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପୁନରାବୃତ୍ତି ନକରି କୁହୁକ ବର୍ଗ ପ୍ରସ୍ତୁତ କଲେ କୁହୁକ ରାଶିର ସମଷ୍ଟି 15 ହେବ ଏବଂ କୁହୁକ ବର୍ଗଟି ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର
ହେବ ।

କୁହୁକ ବର୍ଗର ପ୍ରତି କୋଠରିରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦ୍ଵିଗୁଣିତ କଲେ ଗ୍ରୀଜ୍ଝଟି ନିମ୍ନପ୍ରକାରର ହେବ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 30 ହେବ ।

ଆମେ ଦେଖୁଲେ ଯେ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର କ୍ରମକୁ ଦ୍ଵିଗୁଣ କଲେ କଲେ ଗ୍ରୀନ୍ସର ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ମଧ୍ୟ ଦ୍ଵିଗୁଣିତ ହେଉଛି ଏବଂ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର କ୍ରମଟି ବଦଳି ଯାଉଛି ।

∴ ଆମେ ଜାଣିଲେ ଯେ କ୍ରମରେ ନଥ‌ିବା ୨ଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଏକ କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ ସମ୍ଭବ ।

ସର୍ବପ୍ରଥମ 4 × 4 କୁହୁକ ବର୍ଗ :

ସର୍ବପ୍ରଥମ 4 × 4 କୁହୁକ ବର୍ଗ ଦଶମ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଭାରତର ଖଜୁରାହୋରେ ଥ‌ିବା ପାର୍ଶ୍ଵନାଥ ଜୈନ ମନ୍ଦିରରେ ଦେଖିବାକୁ ମିଳିଥିଲା । ଏହା ଚଉତିଶା ଯନ୍ତ୍ର ନାମରେ ଜଣାଶୁଣା । ଏହାର ଅର୍ଥ ଚଉତିରିଶ ବା 34 ।
Question 1.
ଏହାକୁ କାହିଁକି ଚଉତିଶା ଯନ୍ତ୍ର କୁହାଯାଉଛି ?
Solution:
ଏହାର ପ୍ରତି ଧାଡ଼ି, ସ୍ତମ୍ଭ ଓ କୌଣୀୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗକଲେ କୁହୁକ ରାଶିଟି 34 ହେବ । ଦଉଚିତ୍ର ବ୍ୟତୀତ ଧାଡ଼ି, ସ୍ତମ୍ଭ ଓ କୌଣୀୟ ସ୍ଥିତିର ଚାରୋଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଅନ୍ୟ କିଛି ସଂରଚନା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିପାରିବ କି ଯାହାର ଯୋଗଫଳ 34 ହେବ ।

6.4 ପ୍ରକୃତିର ପ୍ରିୟ ସଂଖ୍ୟା ଅନୁକ୍ରମ :

Page No. (142 to 145)

ବୀରାହଙ୍କ-ଫିବୋନାସି ସଂଖ୍ୟା :

Question 1.
କ୍ଷୁଦ୍ର ପଦଂଶ (1 ମାତ୍ରା), ଦୀର୍ଘ ପଦଂଶ (2 ମାତ୍ରା) ଥ‌ିବା ସଙ୍ଗୀତରେ କେତୋଟି 8 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳ ଅଛି ? ଅର୍ଥାତ୍ କେତୋଟି କୌଶଳରେ ଜଣେ ସେହି ସଂଗୀତରେ ଏକ ପାଦରେ ଥକ୍କା କ୍ଷୁଦ୍ରାଶ ଓ ଦୀର୍ଘ ପଦଂଶକୁ 8 ମାତ୍ରାରେ ପୂରଣ କରିବ ।
Solution:
ଗୋଟିଏ ଉଦାହରଣ ଦେଇ ଏହାକୁ ପ୍ରମାଣ କରିହେବ ।
ଉଦାହରଣ : ଷାଠିଏ ପଉଟି ଭୋଗରୁ ତୁମର, କାଢ଼ି ତ ନେଇନି ହରି
କୁହ ତେବେ କେଉଁ ଅପରାଧେ ମୋତେ, କଲ ଦାଣ୍ଡର ଭିକାରି ।
ଯଦି ଏହି ପଦରେ ଥ‌ିବା କ୍ଷୁଦ୍ର ପଦଂଶ I ମାତ୍ରା ସମୟ ଓ ଦୀର୍ଘ ପଦଂଶ 2 ମାତ୍ରା ସମୟ ନେଉଥାଏ, ତେବେ ଏଥ‌ିରେ ୫ ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ତାଳ ଅଛି ।
ଅର୍ଥାତ୍ କୁ କେତୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ କେବଳ । କିମ୍ବା 2 ର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ ।
8 = 2 + 2 + 2 + 2
8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2
8 = 2 + 2 + 1 + 1 + 2
8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
8 = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 ………… ଇତ୍ୟାଦି ।

Question 2.
1, 2, 3, 4 କୁ ଏହିପରି କେବଳ 1 କିମ୍ବା 2 ର ସମଷ୍ଟି ରୂପେ କେତେ ପ୍ରକାରରେ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ ?

	ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ	ମୋଟ ଉପାୟ ସଂଖ୍ୟା
n = 1	1	1
n = 2	1 + 1, 2	2
n = 3	1 + 1 + 1, 1 + 2, 2 + 1	3
n = 4	1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2	5
n = 5	1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 2, 2 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 2	8

ଏଥୁରୁ ଜଣାଯାଏ 5 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳର ମୋଟ ଉପାୟ ସଂଖ୍ୟା 8 ହେବ ।

ଏହି କୌଶଳରେ ଠିକ୍ ତାଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହେବାର କାରଣ ହେଉଛି 5 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳ ‘1+’ କିମ୍ବା ‘2+’ ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୁଏ । ଯଦି ଏହା 1+ ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୁଏ ତେବେ ଅବଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା 4 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ହେବ ଏବଂ ଆମେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ 5ଟି ଉପାୟରେ ପୂର୍ବପରି ଲେଖୁପାରିବା । ଯଦି ଏହା 2+ ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୁଏ ତେବେ ଅବଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା 3 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ ଆମେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ 3ଟି ଉପାୟରେ ଲେଖୁପାରିବା ।

ତେଣୁ 5 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳର ମୋଟ ଉପାୟ ସଂଖ୍ୟା 4 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳ ଓ 3 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳର ମୋଟ ଉପାୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସହ ସମାନ ହେବ । = 3 + 5 = 8

6 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ତାଳ ଅଛି ଜାଣିବା ପାଇଁ 5 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳୁ ଓ 4 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳର ମୋଟ ଉପାୟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = 8 + 5 = 13 ହେବ।

7 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ତାଳ ଅଛି ଜାଣିବା ପାଇଁ 6 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳ ଓ 5 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳର ମୋଟ ଉପାୟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = 8 + 13 = 21 ହେବ।

8 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ତାଳ ଅଛି ଜାଣିବା ପାଇଁ 7 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳ ଓ 6 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳର ମୋଟ ଉପାୟ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = 13 + 21 = 34 ହେବ ।

Question 3.
6 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ସମସ୍ତ ତାଳକୁ ବ୍ୟବସ୍ଥିତ ଢଙ୍ଗରେ 1 ଓ 2 ର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ଯଥାସମ୍ଭବ ଉପାୟରେ ଲେଖ । ତୁମେ ସମସ୍ତ 13ଟି ଉପାୟରେ ଲେଖୁପାରିଲ କି ?
Solution:
1. 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2. 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2
3. 6 = 1 + 1 + 1 + 2 + 1
4. 6 = 1 + 1 + 2 + 1 + 1
5. 6 = 1 + 2 + 1 + 1 + 1
6. 6 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1
7. 6 = 1 + 1 + 2 + 2
8. 6 = 1 + 2 + 1 + 2
9. 6 = 1 + 2 + 2 + 1
10. 6 = 2 + 1 + 1 + 2
11. 6 = 2 + 1 + 2 + 1
12. 6 = 2 + 2 + 1 + 1
13. 6 = 2 + 2 + 2
∴ ଆମେ ପାଇଲେ 13 ଗୋଟି ଉପାୟ ।

ସମୟ ଅବଧ‌ି ମଧ୍ୟରେ କ୍ଷୁଦ୍ର ଏବଂ ଦୀର୍ଘ ପଦଂଶ ଥିବା ସମସ୍ତ ସଙ୍ଗୀତରେ ତାଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟର କୌଶଳ 700 ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦରେ ପ୍ରାକୃତ ଭାଷାବିତ୍ ବୀରାହଙ୍କ ପ୍ରଥମେ ଆବିଷ୍କାର କରିଥିଲେ । ତେଣୁ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. ଅନୁକ୍ରମକୁ ବୀରାହଙ୍କ ନାମ ଅନୁସାରେ ବୀରାହଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମ ଓ ଏହି ଅନୁକ୍ରମରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବୀରାହଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ ।

ବୀରାହଙ୍କ ପରି ଅନ୍ୟ କେତେକ ଭାରତୀୟ ପଣ୍ଡିତ ସଂଗୀତ ଅଧ୍ୟୟନରେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ ଉପରେ ଗବେଷଣା କରିଥିବାର ଜଣାଯାଏ । ଏପରିକି ବୀରାହଙ୍କ ପ୍ରାଚୀନ ସଂସ୍କୃତ ପଣ୍ଡିତ ପିଙ୍ଗଳଙ୍କ (ପ୍ରାୟ 300 ଖ୍ରୀଷ୍ଟପୂର୍ବରେ ଜନ୍ମ) ଗବେଷଣାଦ୍ଵାରା ଅନୁପ୍ରେରିତ ହୋଇଥିବାର ଜଣାଯାଏ । ବୀରାହକଙ୍କ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ଗୋପାଳ (ପ୍ରାୟ 1135 ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦ) ଏବଂ ହେମଚନ୍ଦ୍ର (ପ୍ରାୟ 1150 ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦ) ଏହି ସଂଖ୍ୟା ଅନୁକ୍ରମରେ ବ୍ୟବହାର ଓ ଗବେଷଣା କରିଥିବାର ପ୍ରମାଣ ମିଳେ ।

ପାଶ୍ଚାତ୍ୟ ଦେଶରେ ଏହି ସଂଖ୍ୟା ଅନୁକ୍ରମ ଇଟାଲୀ ଦେଶର ଗାଣିତିକ ଫିବୋନାସିଙ୍କ ନାମ ଅନୁସାରେ ଫିବୋନାସି ସଂଖ୍ୟା ଭାବେ ପରିଚିତ । ଫିବୋନାସି ପ୍ରାୟ 1200 ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦରେ ଜନ୍ମଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ । ଏଣୁ ଏହି ସଂଖ୍ୟା ଅନୁକ୍ରମ ବ୍ୟବହାର କରିବାରେ ଫିବୋନାସି ପ୍ରଥମ, ଦ୍ଵିତୀୟ ବା ତୃତୀୟ ବ୍ୟକ୍ତି ନୁହଁନ୍ତି । ତେବେ କେତେକ ଏହି ସଂଖ୍ୟା ଅନୁକ୍ରମକୁ ବୀରାହଙ୍କ-ଫିବୋନାସି ସଂଖ୍ୟା କହନ୍ତି ।

Question 4.
କ୍ଷୁଦ୍ର ଓ ଦୀର୍ଘ ପଦଂଶ ଥ‌ିବା ପଦରେ 8 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ତାଳ ଅଛି ଜାଣିବା ପାଇଁ ବୀରାହଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମର ୫ମ ପଦଟିକୁ ନେଇପାରିବା ।
Solution:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ……… ଯେହେତୁ ବୀରାହଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମର ଅଷ୍ଟମ ପଦଟି 34 ଏଣୁ କ୍ଷୁଦ୍ର ଓ ଦୀର୍ଘ ପଦଂଶ ଯୁକ୍ତ ପଦରେ 8 ମାତ୍ରା ବିଶିଷ୍ଟ ତାଳର ମୋଟ ଉପାୟ ସଂଖ୍ୟା 34 ହେବ ।

Question 5.
ଏହି ଅନୁକ୍ରମର 55 ର ପରବର୍ତ୍ତୀ ପଦର ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ହେବ ?
Solution:
ଅନୁକ୍ରମର ପରବର୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି ତା’ର ଠିକ୍ ପୂର୍ବବର୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳ ସହ ସମାନ ହେବ ।
ଏଣୁ 55 ର ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା = 55 + 34 = 89
∴ 55ର ପରବର୍ତ୍ତୀ ପଦର ସଂଖ୍ୟାଟି 89 ହେବ ।

Question 6.
ନିମ୍ନଲିଖତ ଅନୁକ୍ରମର ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ।
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ,•___, __, . ___)
Solution:
ଅନୁକ୍ରମଟି ହେଉଛି 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 59, ………..
ଏହା ବୀରାହଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ ।
ମନେକର T_n ଯଦି n ସଂଖ୍ୟକ କ୍ରମକୁ ବୁଝାଏ, ଆମେ T₁₁, T₁₂, T₁₃ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।
T₁₁ = T₉ + T₁₀ = 55 + 89 = 144
T₁₂ = T₁₀ + T₁₁ = 89 + 144 = 233
T₁₃ = T₁₁ + T₁₂ = 144 + 233 = 377
∴ ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା 144, 233, 377 ହେବ ।

Question 7.
ଏହି ଅନୁକ୍ରମରେ 89 ର ପରବର୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୁଗ୍ମ ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହେବ ? (ପୂର୍ବବର୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟକୁ ଯୋଗ ନକରି) କହିପାରିବ କି ?
Solution:
ଏହି ଅନୁକ୍ରମେର 89 ର ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୁଗ୍ମ ହେବ ।

Question 8.
ଏହି ଅନୁକ୍ରମରେ ଯୁଗ୍ମ ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସ୍ଥାନ ନିରୂପଣ କରିବାର ଉପାୟ କ’ଣ ହୋଇପାରିବ ? ଏହି ଅନୁକ୍ରମ ଲେଖୁବାର ସଂରଚନା କ’ଣ ହୋଇପାରେ ? ଏହାକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ ।
Solution:
ବୀରାହଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ ହେଉଛି 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ………………….
ମନେକର ଯଦି T_n = n ତମ କ୍ରମକୁ ବୁଝାଏ, ଆମେ ଜାଣିଲେ ଯେ
T_3n ଓ T_{3n – 1} ଅଯୁଗ ହେବ, ଯେତେବେଳେ n = 0, 1, 2, 3, ………… ।
T_3n+2 ଯୁଗ୍ମ ହେବ, ଯେତେବେଳେ n = 0, 1, 2, 3, ………. ।
ଏହି ଅନୁକ୍ରମ ଲେଖୁବାର ସଂରଚନା ହେଉଛି – O, E, O, O, E, O, O, E, O, O, E, …………..
ଆଜିକାଲି ବୀରାହଙ୍କ – ଫିବୋନାସି ସଂଖ୍ୟା ସଂଗୀତ ବିଦ୍ୟାଠାରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ଚିତ୍ରକଳା, ଦୃଶ୍ଯକଳା, ବିଜ୍ଞାନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅନେକ ଗାଣିତିକ ଓ କଳାତ୍ମକ ତତ୍ତ୍ଵର ଆଧାର ହୋଇଅଛି ।

6.5 ଗୁପ୍ତ ସଂଖ୍ୟା :

Page No. (146 to 147)

Question 1.
ଏଠାରେ U ଓ T ର ମୂଲ୍ୟ କ’ଣ ହୋଇପାରେ ?

Solution:


∴ ସଂଖ୍ୟାଟି = 5

Question 2.
T ର ମୂଲ୍ୟ 2 କିମ୍ବା 3 ହୋଇପାରେ କି ?
Solution:
ନା, T ର ମୂଲ୍ୟ 2 କିମ୍ବା 3 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।

Question 3.

ଏଠାରେ K2 ଏକ ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଯାହାର ଏକକ ଅଙ୍କଟି 2 ଏବଂ K ଦଶକ ସ୍ଥାନରେ ଅଛି ।
K2 ନିଜ ସହ ମିଶିବା ପରେ ଯୋଗଫଳ ଏକ ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା HMM ହେଉଛି । M ଅକ୍ଷରଟି କେଉଁ ଅଙ୍କ ବଦଳରେ ଲେଖାଯାଇଛି ?
ଯୋଗଫଳର ଉଭୟ ଦଶକ ଓ ଏକକ ଅଙ୍କ ସମାନ ଅଛି । H କେଉଁ ଅଙ୍କ ବଦଳରେ ଲେଖାଯାଇଛି ? ଏହି ଅଙ୍କଟି 2 କିମ୍ବା 3 ହୋଇପାରେ କି ?
Solution:
ମନେକର K = 7 ହେଲେ,
∴ M = 4 ଓ H = 1
H ଅଙ୍କଟି 2 କିମ୍ବା 3 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, କାରଣ K ର ସର୍ବୋତ୍ତମ ଅଙ୍କ 9 ଓ 9 + 9 = 18
∴ ତେଣୁ H ଅଙ୍କଟି 2 କିମ୍ବା 3 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।

Question 4.
ଉଦାହରଣ :

Solution:


ଏ ପ୍ରକାର ପ୍ରଶ୍ନକୁ ଗୁପ୍ତଲିଖନ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ପ୍ରଶ୍ନ କୁହାଯାଏ ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

Question 1.
ଏକ ବିଜୁଳି ବତୀ ଜଳିବା ଅବସ୍ଥାରେ (ON) ଅଛି । ଓମ୍ ଏହାର ସୁଇଟ୍‌କୁ 77 ଥର ଦବାଇଲା । ତାହା ଜଳିବା ଅବସ୍ଥାରେ (ON) କିମ୍ବା ଲିଭିବା ଅବସ୍ଥାରେ (OFF)ରେ ରହିବ ? କାରଣ କ’ଣ ?
Solution:
ଓମ୍ ସୁଇଚ୍‌କୁ 77 ଥର ଦବାଇଲା ।
ଆମେ ଜାଣିଛେ ସୁଇଚ୍କୁ 2 ଥର, 4 ଥର, 6 ଥର ଦବାଇଲେ ଅର୍ଥାତ୍ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଥର ଦବାଇଲେ ବିଜୁଳି ବତୀର କୌଣସି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେବ ନାହିଁ ।
∴ ବିଜୁଳିବତୀ ଜଳିବା ଅବସ୍ଥାରେ (ON) ରହିବ ।
ସୁଇଟ୍‌କୁ 76 ଥର ଦବାଇଲେ ବିଜୁଳିବତୀ (ON) ରହିବ ।
ସୁଇଟ୍‌କୁ 77 ଥର ଦବାଇଲେ ବିଜୁଳିବତୀ (OFF) ରହିବ ।

Question 2.
କୁନି ପାଖରେ ଏକ ପୁରୁଣା ଜ୍ଞାନ ମଣ୍ଡଳ ଥିଲା । ସେ ଯେତେବେଳେ ଏହି ବହିଟିକୁ ଖୋଲିଲା, ସେଥୁରୁ କେତେକ ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜ (କ୍ରମରେ ନୁହେଁ) ଖସି ପଡ଼ିଲା । ଗଣିବାରୁ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଲେଖାଥିବା 50 ଫର୍ଦ୍ଦ ଖସିପଡ଼ିଥିବାର ଜଣାଗଲା । ପୃଷ୍ଠାଙ୍କ ମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 6000 ହେବ କି ? ହଁ ବା ନା କାରଣ ସହ ଦର୍ଶାଅ ।
Solution:
ଆମେ ଜାଣୁ ପୁସ୍ତକରେ ଯେକୌଣସି ପୃଷ୍ଠାର ଦୁଇପାର୍ଶ୍ୱ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ।
ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାରେ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଅଯୁଗ୍ମ ଅଟେ ।
ଗୋଟିଏ ପୁସ୍ତକର ପୃଷ୍ଠା ଦୁଇ ପାର୍ଶ୍ଵ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ – ପୃଷ୍ଠା 1 ଓ 2 ର ଯୋଗଫଳ 3 ।
ଯେହେତୁ ଖସି ପଡ଼ିଥିବା ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜ ସଂଖ୍ୟା 50, ଯାହା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ତେବେ ଖସିପଡ଼ିଥିବା 50 ଫର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କାଗଜର ମୋଟ ପୃଷ୍ଠା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
∴ ପୃଷ୍ଠାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 6000 ହୋଇ ପାରିବ ।

Question 3.
ଏଠାରେ 2 × 3 ଗ୍ରୀଡ଼୍ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଗୁପ୍ତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ଯୁଗ୍ମ (e), ଅଯୁଗ୍ମ (0) ବୃତ୍ତରେ ଦର୍ଶାଇ ଦିଆଯାଇଛି । ଯୁଗ୍ମ ପାଇଁ (even) ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ପାଇଁ ଓ (odd) ଲେଖାଯାଇଛି । 6 ଟି କୋଠରିରେ 3ଟି ଯୁଗ୍ମ ଓ 3ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଏପରି ଲେଖ ଯେପରିକି ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ବୃତ୍ତରେ ଲେଖାଥିବା ସର୍ଭକୁ ପୂରଣ କରିବ ।

Solution:
ଆମେ 3ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା 3, 5, 7 ଓ 3ଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା 2, 4, 6 ଦ୍ଵାରା
2 × 3 ଗ୍ରୀଡ୍କୁ ପୂରଣ କଲେ ଆମେ ପାଇବା =
∴ ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ବୃତ୍ତରେ ଲେଖାଥ‌ିବା ସର୍ଭକୁ ‘ପୂରଣ କରିବ ।

Question 4.
ଏକ 3 × 3 କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କର ଯେଉଁଥରେ କୁହୁକ ରାଶିର ସମଷ୍ଟି 0 (ଶୂନ) ହେବ । କୋଠରିର ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା 0 (ଶୂନ) ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । (ଆବଶ୍ୟକସ୍ଥଳେ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କର ।)
1 ଠାରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ପୁନରାବୃତ୍ତି ନକରି ନେଇ ଏକ 3 × 3 କୁହୁକ ବର୍ଗ ଗଠନ କଲେ ନିମ୍ନୋକ୍ତ ପ୍ରକାରର ହେବ ।
କୁହୁକ ରାଶି ମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 15
କୁହୁକ ରାଶିର ସମଷ୍ଟି 0 ହେବା ପାଇଁ ପ୍ରତି
ସଂଖ୍ୟାରୁ ଆମେ 5 କୁ ବିୟୋଗ କଲେ 3 × 3
କୁହୁକ ବର୍ଗଟି ହେବ-
∴ ଏହା 3 × 3 କୁହୁକ ବର୍ଗର କୁହୁକ ରାଶିର ସମଷ୍ଟି 0 ଓ କୋଠରିର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 0 ନୁହଁନ୍ତି ।

Question 5.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନକୁ ଯୁଗ୍ମ ବା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ନେଇ ପୂରଣ କର ।
(a) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ……………………..
(b) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ……………………..
(c) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ……………………..
(d) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ……………………..
Solution:
(a) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(b) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(c) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(d) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା

Question 6.
1 ରୁ 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଯୁଗ୍ମ ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହେବ ?
Solution:
1 ରୁ 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଯୋଗକଲେ = ( 1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + ……….. + (99 + 100)
ଏହି ମିଶାଣଫଳରେ 50 ଗୋଟି ବନ୍ଧନୀ ଅଛି, ପ୍ରତି ବନ୍ଧନୀରେ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ।
ଆମେ ଜାଣିଛେ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା + ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
ଯେହେତୁ 50 ଟି ବନ୍ଧନୀ ଅଛି ଆଉ 50 ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ତେଣୁ 50ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
∴ 1 ରୁ 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି ଯୁଗ୍ମ ହେବ ।

Question 7.
ବୀରାହଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଅନୁକ୍ରମରେ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା 987 ଓ 1597 । ତେବେ ଅନୁକ୍ରମର ପରବର୍ତୀ ଓ ପୂର୍ବବର୍ତୀ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ।
Solution:
ବୀରାହଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା 987 ଓ 1597 ।
ବୀରାହଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମଟି ହେଉଛି 1, 2, 3, 5, 8, ……… 987, 1597, ………….
ମନେକର T_n = 987
T_{n + 1} = 1597
T_{n + 2} = T_n + T_{n + 1} = 987 + 1597 = 2584
T_{n + 3} = T_{n + 1} + T_{n + 2} = 1597 + 2584 = 4181
∴ ଅନୁକ୍ରମର ପରବର୍ତ୍ତୀ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା = 2584 ଓ 4181
ପୁଣି T_{n + 1} = T_{n – 1} + T_n ⇒ 1597 = T_{n – 1} + 987
∴ T_{n – 1} = 1596 – 987 = 610
T_n = T_{n – 2} + T_{n – 1} ⇒ 987 = T_{n – 2} + 610
∴ T_{n – 2} = 987 – 610 = 377
∴ ଅନୁକ୍ରମର ପୂର୍ବବର୍ତୀ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା = 377 ଓ 610

Question 8.
ରମା ଆଠ ପାହାଚ ବିଶିଷ୍ଟ ସିଢ଼ି ଚଢ଼ିବାକୁ ଗଲା । ତା’ର ଚଢ଼ିବାର ନିୟମ ହେଲା, ସେ ଥରକରେ ଗୋଟିଏ ପାହାଚ ବା ଦୁଇଟି ପାହାଚ ଚଢ଼ିପାରିବ । ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ ସେ 1, 2, 2, 1, 2 ଶୈଳୀରେ ଚଢ଼ିଲା । ତେବେ ସେ କେତୋଟି ଉପାୟରେ ସିଡ଼ିଟିକୁ ଚଢ଼ିପାରିବ ?
Solution:
ରମା ଆଠ ପାହାଚ ବିଶିଷ୍ଟ ସିଢ଼ି ଚଢ଼ିବାକୁ ଗଲା ।
ସେ ଥରକରେ ଗୋଟିଏ ପାହାଚ ବା ଦୁଇଟି ପାହାଚ ଚଢ଼ିପାରିବ ।
ବୀରାହଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମଟି ହେଉଛି 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ……………
ଏଠାରେ T₈ = T₆ + T₇ = 13 + 21 = 34
∴ ରମା ସେ 34ଟି ଉପାୟରେ ସିଡ଼ିଟିକୁ ଚଢ଼ିପାରିବ ।

Question 9.
ବୀରାହଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମର 20ତମ ପଦଟି ଯୁଗ୍ମ ବା ଅଯୁଗ୍ମ କୁହ ? (ଅନୁକ୍ରମର 20ତମ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ନ ଲେଖ୍)
Solution:
ବୀରାହଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମଟି ହେଉଛି 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ………………
ଏହି ଅନୁକ୍ରମରେ (3n + 2) ତମ ପଦ ହେଉଛି ଯୁଗ୍ମ ଯେଉଁଠାରେ n = 0, 1, 2, 3, ………….
ମନେକର 3n + 2 = 20
3n = 20 – 2 = 18 ଓ n = 18 ÷ 3 = 6
20ତମ ପଦ = (3n + 2) ତମ ପଦ ଯେଉଁଠାରେ n = 6
∴ ବୀରାହଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମର 20ତମ ପଦଟି ଯୁଗ୍ମ ।

Question 10.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ଗାଣିତିକ ଉକ୍ତି ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ହେବ ଚିହ୍ନଟ କର ।
(a) m ର ଯେକୌଣସି ମାନ ପାଇଁ 4m – 1 ପରିପ୍ରକାଶର ମାନ ସର୍ବଦା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ ।
(b) ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ 6j – 4 ଭକ୍ତିରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା ।
(c) ଉଭୟ 2p + 1 ଓ 2p – 1 ସମସ୍ତ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୂଚାଏ ।
(d) 2f + 3 ପରିପ୍ରକାଶଟି ଉଭୟ ଯୁଗ୍ମ ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ।
Solution:
(a) 4m ସବୁବେଳେ ଯୁଗ୍ମ । ∴ 4m – 1 ସବୁବେଳେ ଅଯୁଗ୍ମ ହେବ । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ।

(b) j = 1, 2, 3, 4, …………. ପାଇଁ 6j = 6, 12, 18, 24, ………….
6j – 4 = 2, 8, 14, 20….. ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ।
ଏହି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 6j – 4 ଉକ୍ତିରେ ପ୍ରକାଶ କରିହେବ ନାହିଁ । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।

(c) p = 1, 2, 3, 4, ………….. ପାଇଁ 2p + 1 = 3, 5, 7, 9, ………….
q = 1, 2, 3, 4, ………….. ପାଇଁ ପାଇଁ 2q – 1 = 1, 3, 5, 7, ………….
ସମସ୍ତ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ 2p + 1 ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।

(d) f = 1, 2, 3, 4, ….. ପାଇଁ 2f + 3 = 5, 7, 9, 11, ……………
ଏଗୁଡ଼ିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।

Question 11.
ଏହି ଗୁପ୍ତ ଲେଖ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନଟିକୁ ସମାଧାନ କର। im
Solution:
ଦତ୍ତ ଗୁପ୍ତ ଲେଖଟି im ଆମେ U = 9, T = 1 ଓ A = 0 ନେଲେ, ଗୁପ୍ତଲେଖଟି im ହେବ ।
∴ ଏହାକୁ ସମାଧାନ କଲେ 91 + 10 = 101 ମିଳିବ । ତେଣୁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ।