Prasanna

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(e) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(e)

Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର, ଯେଉଁ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର
(i) ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ଡେସି ମି. ଓ ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା 1 ଡେସି ମି. 8 ସେ.ମି. ।
(ii) ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ମି. 55 ସେ.ମି., ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା 1 ମି. 8 ସେ.ମି. ।
(iii) ଗୋଟିଏ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମି. ଓ ଏହାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵ ଗୋଟିଏ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହାପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ମି. ।
Solution:
(i) ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ଡେସିମି. = 40 ସେ.ମି.
ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା = 1 ଡେସିମି. 8 ସେ.ମି. = 18 ସେ.ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା = 40 × 18 = 720 ବଗ ସେ.ମି.

(ii) ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2 ମି. 55 ସେ.ମି. = 255 ସେ.ମି.
ଓ ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା = 1ମି. 4 ସେ.ମି. = 104 ସେ.ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା
= 255 × 104 = 26520 ବଗ ସେ.ମି.

(iii) ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12 ମି.
ଓ ବିପରୀତ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହାପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ×ଏହି କଣ୍ଠ ଉପରେ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12 × 4 = 48 ବଗ ମି.

Question 2.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ବାହୁ ଓ ଏକ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 26 ମି. ଓ 28 ମି. ଏବଂ 30 ମି. ହେଲେ, ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ଦତ୍ତ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରରେ AB = 26 ମି., BC = 28 ମି. ଓ AC = 30 ମି.
ଅର୍ଥାତ୍ ABC ତ୍ରିଭୁଜର a = 26 ମି., b = 28. ମି. c = 30 ମି.

Question 3.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ତ୍ତୃଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 204 ସେ.ମି. ଓ 252 ସେ.ମି. ଏବଂ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 60 ସେ.ମି. । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣଦ୍ଵୟ AC = 252 ସେ.ମି. ଓ BD = 204 ସେ.ମି.
⇒ OC = \(\frac { 252 }{ 2 }\) = 126 ସେ.ମି. ଏବଂ OB = \(\frac { 204 }{ 2 }\) = 102 ସେ.ମି.
∴ △ OBC ର ବାହୁତ୍ରୟର ଦେଶ୍ୟ 102 ସେ.ମି., 126 ସେ.ମି. ଓ 60 ସେ.ମି. |
∴ △ OBC ର ଆଦିପରିପାପ = \(\frac { 102+126+60 }{ 2 }\) = \(\frac { 288 }{ 2 }\) = 144 ସେ.ମି.

∴ ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 4 × △ OBC କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × 3024 = 12096 ବଗ ସେ.ମି. |

Question 4.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 34 ସେ.ମି. ଓ 50 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 26 ସେ.ମି. ହେଲେ, ସେହି ବାହୁ ଓ ତାହାର ବିପରୀତ ବାହୁ ମଧ୍ୟରେ ଲମ୍ବ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିଲ ଚିତ୍ରରେ, AC = 34 ସେ.ମି., BD = 50 ସେ.ମି. ଏବଂ BC = 26 ସେ.ମି.
∴ OB = \(\frac { BD }{ 2 }\) = 25 ସେ.ମି., OC = \(\frac { AC }{ 2 }\) = 17 ସେ.ମି., BC = 26 ସେ.ମି.
△ OBC ର ଅଦିପରିସମା (s) = \(\frac { 25+17+26 }{ 2 }\) = \(\frac { 68 }{ 2 }\) = 34 ସେ.ମି.

ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × △ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × 204 = 816 ସେ.ମି.
କିନ୍ତୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମି × ଇଲ୍ତ ଭୂମିର ବିପରୀତ ଭୁମି ମଧ୍ୟରେ ବୃଣତା (ବୃଣତା) = BC × AM
⇒ 816 = 26 × AM ⇒ AM = \(\frac { 816 }{ 26 }\) = 31\(\frac { 5 }{ 13 }\) ସେ.ମି. = 31.38 ସେ.ମି.
∴ ବୃଣତା = 31.38 ସେ.ମି. |

Question 5.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁ ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 20 ସେ.ମି., 42 ସେ.ମି. ଓ 34 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଉକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁପ୍ରତି ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର AB, BC ଏବଂ AC କଣ୍ଠ ଯଥାକ୍ରମେ 20 ସେ.ମି. 42 ସେ.ମି. ଏବଂ 34 ସେ.ମି. ।
∴ △ABCର ଅର୍ଥପରିସୀମା (s) = \(\frac { 20+42+34 }{ 2 }\) = \(\frac { 96 }{ 2 }\) = 48 ସେ.ମି.

∴ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ସେ.ମି. ।

Question 6.
କୌଣସି ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 75 ମିଟର ଏବଂ ଏହି ବାହୁ ଉପରେ କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 0.8 ମିଟର ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 7.5 ମି.
କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ= 0.8 ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 2 × ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ସେହି ବାହୁପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= 2 × 7.5 × 0.8 = 12 ଜଣ ମି. |

Question 7.
63 ମିଟର ଭୂମି ଓ 36 ମିଟର ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ । ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 42 ମିଟର ହେଲେ, ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 63 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 36 ମି.
ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 63 × 36 = 1134 ବର୍ଗ ମି.
ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରରେ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 42 ମି.
ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା = x ମି.
ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = 42x ବର୍ଗ ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ 42x = 1134 ⇒ x = \(\frac { 1134 }{ 42 }\) = 27 ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକକ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା 27 ମି. |

Odisha State Board BSE Odisha 7th Class Maths Solutions Chapter 4 ଘାତାଙ୍କ ଓ ଘାତରାଶି InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 7 Maths Solutions Chapter 4 ଘାତାଙ୍କ ଓ ଘାତରାଶି InText Questions

ଉତ୍ତର ଲେଖ:
(କ) 16, 2 ଆଧାରର କେଉଁ ଘାତ?
ସମାଧାନ:
ଚତୁର୍ଥ ଘାତ

(ଖ) 3 ଆଧାରର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ କେତେ?
ସମାଧାନ:
81

(ଗ) 125, କେଉଁ ଆଧାରର ତୃତୀୟ ଘାତ?
ସମାଧାନ:
5

(ଘ) 216କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶି ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରିହେବ?
ସମାଧାନ:
6 ଆଧାରର ତୃତୀୟ ଘାତ

(ଙ) 135724 ଓ 2164593 କୁ ବିସ୍ତାରିତ ରୂପରେ ଲେଖ ।
ତୁମେ ଲେଖୁଥ‌ିବା ବିସ୍ତାରିତ ରୂପକୁ 10 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
ସମାଧାନ:
135724 = 1 × 1,00,000 + 3 × 10000 + 5 × 1000 + 7 × 100 + 2 × 10 + 4
= 1 × 10⁵ + 3 × 10⁴ + 5 × 10³ + 7 × 10² + 2 × 10¹ + 4
2164593 = 2 × 1 ,000,000 + 1 × 100,000 + 6 × 10,000 + 4 × 1000 + 5 × 100 + 9 × 10 + 3
= 2 × 10⁶ + 1 × 10⁵ + 6 × 10⁴ + 4 × 10³ + 5 × 10² + 9 × 10¹ + 3

ନିଜେ କରି ଦେଖ:
ନିମ୍ନ ସାରଣୀର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକୁ ପୂରଣ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହ ଉତ୍ତର)

ସଂଖ୍ୟା	ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପ	ଆଧାର	ଘାତାଙ୍କ
125		5
128			7
243			3
256		4
216			3

ସମାଧାନ:

ସଂଖ୍ୟା	ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପ	ଆଧାର	ଘାତାଙ୍କ
125	53	5	3
128	27	2	7
243	35	3	5
256	44	4	4
216	63	6	3

1. ନିଜେ ପରୀକ୍ଷା କରି ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର :
(କ) 3² × 3³ = 3⁵
ସମାଧାନ:
ବାମପାର୍ଶ୍ଵ = 3² × 3³ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁵ = ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ଵ

(ଖ) 4² × 4² = 4⁴
ସମାଧାନ:
ବାମପାର୍ଶ୍ଵ = 4² × 4² = 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁴ = ଦକ୍ଷିଣପାର୍ଶ୍ଵ

2. ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଗୋଟିଏ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(କ) 2³ × 2⁵
ସମାଧାନ:
2³ × 2⁵ =2³⁺⁵ = 2⁸

(ଖ) p³ × p⁴
ସମାଧାନ:
p³ × p⁴ = p³⁺⁴ = p⁷

(ଗ) 5² × 5³
ସମାଧାନ:
5² × 5³ = 5²⁺³ = 5⁵

3. ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଏକ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(କ) 2⁹ ÷ 2³
ସମାଧାନ:
2⁹ ÷ 2³ = 2^9-3 = 2⁶

(ଖ) 10⁵ ÷ 10³
ସମାଧାନ:
10⁵ ÷ 10³ = 10^5-3 = 10²

(ଗ) 9¹¹ ÷ 9⁷
ସମାଧାନ:
9¹¹ ÷ 9⁷ = 9^11-7 = 9⁴

(ଘ) 20¹⁵ ÷ 20⁷
ସମାଧାନ:
20¹⁵ ÷ 20⁷ = 20^15-7 = 20⁸

4. ନିମ୍ନ ଘାତରାଶିର ଘାତକୁ ଏକ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(କ) (7³)⁶
ସମାଧାନ:
(7³)⁶ = 7^3×6 = 7¹⁸

(ଖ) (5²)³
ସମାଧାନ:
(5²)³ = 5^2×3 = 5⁶

(ଗ) (4³)⁵
ସମାଧାନ:
(4³)⁵ = 4^3×5 = 4¹⁵

5. ନିମ୍ନ ସମଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘାତରାଶିଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳକୁ ଏକ ଘାତରାଶିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(a ଓ b ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା)

(କ) 5² × 3²
ସମାଧାନ:
5² × 3² = (5 × 3)² = 15²

(ଖ) 3³ × a³
ସମାଧାନ:
3³ × a³ = (3 × a)² = (3a)³

(ଗ) a⁴ × b⁴
ସମାଧାନ:
a⁴ × b⁴ = (a × b)⁴ = (ab)⁴

Odisha State Board BSE Odisha 7th Class Maths Solutions Chapter 6 ବୀଜଗଣିତ Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 7 Maths Solutions Chapter 6 ବୀଜଗଣିତ Ex 6.5

Question 1.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣର ଡାହାଣର ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସମୀକରଣର ମୂଳ, ତାହା ବାଛି ଲେଖ।

(କ) 3x – 7 = 2 [0, 1, 2, 3]
ସମାଧାନ:
3

(ଖ) 2y + 3 = y + 2 [0, 1, -1, 2]
ସମାଧାନ:
-1

(ଗ) \(\frac{z}{5}\) = 3 [12, 15, 18, 19]
ସମାଧାନ:
15

(ଘ) \(\frac{y}{5}\) -2 = 1 [4, 8, 12, 15]
ସମାଧାନ:
15

(ଙ) 30 – 5x = x – 6 [2, 5, 6, -6]
ସମାଧାନ:
6

Question 2.
ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଲାଗି ବିଭିନ୍ନ ମାନ ନେଇ ପରୀକ୍ଷା ଦ୍ବାରା ସମାଧାନ କର ।

(କ) 2x + 3 = 13
ସମାଧାନ:

ସମାକରଶ	ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ମାନ	ବାମପାର୍ଣ୍ନ	ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଣ୍ନ
2x + 3 = 13	0	3	13
	1	5	13
	2	7	13
	3	9	13
	4	11	13
	5	13	13

(ଖ) 3 – x = x – 5
ସମାଧାନ:

ସମାକରଶ	ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ମାନ	ବାମପାର୍ଣ୍ନ	ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଣ୍ନ
3 – x = x – 5	0	3	-5
	1	2	-4
	2	1	-3
	3	0	-2
	4	-1	-1

(ଗ) 4x = 20
ସମାଧାନ:

ସମାକରଶ	ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ମାନ	ବାମପାର୍ଣ୍ନ	ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଣ୍ନ
4x = 20	0	0	20
	1	4	20
	2	8	20
	3	12	20
	4	16	20
	5	20	20

∴ x = 5

(ଘ) 3y – 2 = 7
ସମାଧାନ:

ସମାକରଶ	ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ମାନ	ବାମପାର୍ଣ୍ନ	ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଣ୍ନ
3y – 2 = 7	0	-2	7
	1	1	7
	2	4	7
	3	7	7

Question 3.
ସମୀକରଣର ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ ଓ ହରଣ ନିୟମ ମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଉପଯୁକ୍ତ ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ କରି ସମାଧାନ କର ।

(କ) x + 5 = 2
ସମାଧାନ:
x + 5 = 2 ବା x + 5 – 5 = 2 – 5 (ବିୟୋଗ ନିୟମ) ବା x = -3

(ଖ) z – 4 = 0
ସମାଧାନ:
z – 4 = 0 ବା z – 4 + 4 = 0 + 4 (ଯୋଗ ନିୟମ) ବା z = 4

(ଗ) y – 3 = 2 – y
ସମାଧାନ:
y – 3 = 2 – y ବା y – 3 + y = 2 – y + y (ଯୋଗ ନିୟମ)
ବା 2y – 3 = 2 ବା 2y – 3 + 3 = 2 + 3 (ଯୋଗ ନିୟମ)
ବା 2y = 5 ବା \(\frac{2y}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) (ହରଣ ନିୟମ) ବା y = 2 \(\frac{1}{2}\)

(ଘ) 5x – 3 = 2
ସମାଧାନ:
5x – 3 = 2 ବା 5x – 3 + 3 = 2 + 3 (ଯୋଗ ନିୟମ)
ବା 5x = 5 ବା \(\frac{5x}{5}\) = \(\frac{5}{5}\) (ହରଣ ନିୟମ) ବା x = 1

Question 4.
ପାର୍ଶ୍ୱ ପରିବର୍ତ୍ତନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଅବଲମ୍ବନ କରି ସମାଧାନ କର :

(କ) 3x – 2 = 46
ସମାଧାନ:
3x – 2 = 46
ବା 3x = 46 + 2
ବା 3x = 48
ବା x = \(\frac{48}{3}\)
ବା x = 16

(ଖ) 5m + 7 = 17
ସମାଧାନ:
5m + 7 = 17
ବା 5m = 17 – 7
ବା 5m = 10
ବା m = \(\frac{10}{5}\)
ବା m = 2

(ଗ) 2q + 6 = 12
ସମାଧାନ:
2q + 6 = 12
ବା 2q = 12 – 6
ବା 2q = 6
ବା q = \(\frac{6}{2}\)
ବା q = 3

(ଘ) \(\frac{2a}{3}\) = 6
ସମାଧାନ:
\(\frac{2a}{3}\) = 6
ବା 2a = 6 × 3
ବା 2a = 18
ବା a = \(\frac{18}{2}\)
ବା a = 9

(ଙ) \(\frac{3p}{3}\) = 6
ସମାଧାନ:
\(\frac{3p}{3}\) = 6
ବା 3p = 6 × 3
ବା 3p = 18
ବା p = \(\frac{18}{3}\)
ବା p = 6

(ଚ) 2q + 7 = q + 9
ସମାଧାନ:
2q + 7 = q + 9
ବା 2q – q = 9 – 7
ବା q = 2

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(g) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(g)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
– 1,- 125,- 5832, -17576, – 2744000
ସମାଧାନ :
m, n ∈ Z ଏବଂ n = m³ ହେଲେ, m, nର ଘନମୂଳ ହେବ ।

(i) -1 = (-1) × (-1) × (-1) = (-1)³
∴ (-1), (-1) ର ଘନମୂଳ ହେବ । ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-1}\) = (-1)

(ii) -125 = (-5) × (-5) × (-5) = (-5)³
∴ -5, -125 ର ଘନମୂଳ ହେବ । ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-125}\) = -5

(iii) -5832 = (-18) × (-18) × (-18) = (-18)³
ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-5832}\) = (-18)

(iv) -17576 = -(2 × 2 × 2 × 13 × 13 × 13)
-[(2)³ × (13)³] = – [2× 13]³ = -(26)³ = (-26)³
ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-17576}\) = -26

(v) -2744000 = -(2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 10 × 10 × 10)
= -[(2)³ × (7)³ × (10)³] = – [(2× 7 × 10)³]
= (140)³ = (-140)³
ଏହାକୁ ଲେଖିଲେ, \(\sqrt[3]{-2744000}\) = (-140)

Question 2.
8 × 64 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{8 \times 64}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 4 \times 4 \times 4}=2 \times 4=8\)

Question 3.
(-216) × (1728) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{(-6)^3 \times 1728}=\sqrt[3]{-6^3 \times 12^3}=-6 \times 12=-72\)

Question 4.
343 × (-512) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{343 \times -512}=\sqrt[3]{7^3 \times -8^3}\) = 7 × (-8) = -56

Question 5.
(-125) × (-3375) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{-125 \times -3375}=\sqrt[3]{(-5)^3 \times (-15)^3}\) = -5 × -15 = 75

Question 6.
729 × 15625 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{729 \times 15625}=\sqrt[3]{9^3 \times (25)^3}\) = 9 × 25 = 225

Question 7.
-456533 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{456533}=\sqrt[3]{-1 \times 11 \times 11 \times 11 \times 7 \times 7 \times 7}\) = -1 × 11 × 7 = -77

Question 8.
216000 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{216000}=\sqrt[3]{6 \times 6 \times 6 \times 10 \times 10 \times 10}\) = 6 × 10 = 60

Question 9.
28 × 98 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{28 \times 98}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7 \times 7}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7}\) = 2 × 7 = 14

Question 10.
(-27) × 27 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ = \(\sqrt[3]{-27 \times 27}=\sqrt[3]{(-3)^3 \times 3^3}=-3 \times 3=-9\)

Question 11.
(-24) × (-72) ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଘନମୂଳ

Question 12.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡିକ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଘନସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ? କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଘନସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ; ସେହିଗୁଡ଼ିକର ଘନମୂଳ ସ୍ଥିର କର ।
-64, -1056, -1728, -2197, -3888
ସମାଧାନ :
n = m³ ହେଲେ, n ର ଘନମୂଳ କୁହାଯାଏ (m, n, ∈ Z) ।
(i) -64 = (-4) × (-4) × (-4) = (-4)³
∴ -64 ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା । ∴ \(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{(-4)^3}=(-4)\)

(ii) -1056 ଏକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

1056 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 11 ତାହା ଘନରାଶି ନୁହେଁ ।

(iii) (-1728) = (-12) × (-12) × (-12) = (-12)³
∴ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି । ∴ \(\sqrt[3]{-1728}=\sqrt[3]{(-12)^3}=-12\)

(iv) (-2197) = (-13) × (-13) × (-13) = (-13)³
∴ ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି ।
∴ \(\sqrt[3]{-2197}=\sqrt[3]{(-13)^3}=-13\)

(v) (-3888) ଏହା ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି ନୁହେଁ ।
କାରଣ 3888 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

Question 13.
ସରକ କର :
(i) \(\sqrt[3]{-216 \times 125}\)
(ii) \(\sqrt[3]{-512 \times 729}\)
(iii) \(\sqrt[3]{-1728 \times 15625}\)
(iv) \(\sqrt[3]{-1000 \times 512}\)
ସମାଧାନ :
(i) \(\sqrt[3]{-216 \times 125}=\sqrt[3]{(-6)^3 \times 5^3}=(-6) \times 5=-30\)
(ii) \(\sqrt[3]{-512 \times 729}=\sqrt[3]{(-8)^3 \times 9^3}=(-8) \times 9=-72\)
(iii) \(\sqrt[3]{-1728 \times 15625}=\sqrt[3]{(-12)^3 \times(25)^3}=(-12) \times 25=-300\)
(iv) \(\sqrt[3]{-1000 \times 512}=\sqrt[3]{(-10)^3 \times 8^3}=(-10) \times 8=-80\)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(f) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(f)

Question 1.
ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :
(i) 343 (ii) 1000 (iii) 74088 (iv) 157464 (v) 8,000,000
ସମାଧାନ :
(i) \(\sqrt[3]{343}=\sqrt[3]{7 \times 7 \times 7}=7\)

(ii) \(\sqrt[3]{1000}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5}=2 \times 5=10\)

(iii) \(\sqrt[3]{74088}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 7}=2 \times 3 \times 7=42\)

(iv) \(\sqrt[3]{157464}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}=2 \times 3 \times 3 \times 3=54\)

(v) \(\sqrt[3]{8000000}=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}=2 \times 10 \times 10=200\)

Question 2.
2744 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାରେ ଗୁଣିଲେ, ଗୁଣଫଳ ଏକ ପୂର୍ବ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ଉକ୍ତ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
2744 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 = 2³ × 7³ = (2 × 7)³
2744କୁ 1 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣିଲେ ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ଓ ଉକ୍ତ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଘନମୂଳ 2 × 7 = 14 ହେବ ।

Question 3.
5488 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ? ଉକ୍ତ ଭାଗଫଳର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
5488 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 = (2)³ × (7)³ × 2 = (2 × 7)³ × 2
5488କୁ 2 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ଉକ୍ତ ଭାଗଫଳର ଘନମୂଳ 2 × 7 = 14 ହେବ ।

Question 4.
ଏକ ସମଘନର ଆୟତନ 512 ଘନମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ହେବ ?
ସମାଧାନ :
ଏକ ସମଘନର ଆୟତନ = 512 ଘନମିଟର ।
ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt[3]{512}\) ମି. = \(\sqrt[3]{2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2}\) = 2 × 2 × 2 = 8 ମି.
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = (8 ମି)² = 64 ବର୍ଗମିଟର ।
ସମଘନର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 64 ବର୍ଗମିଟର ।

Question 5.
53240 କୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାରେ ଭାଗକଲେ, ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ଏବଂ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଗୁଣିଲେ ଗୁଣଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ?
ସମାଧାନ :
53240 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11 × 5 = 2³ × 11³ × 5
ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ 5 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନରାଶି ହେବ । ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ 25 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନକଲେ ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(c)

Question 1.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 900 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ମିଟର ।
∴ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a² ବର୍ଗମିଟର ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, a² = 900 ⇒ a= √900 = 30 ମି.
∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = 4 × a = 4 × 30 = 120 ମିଟର ।

Question 2.
ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାର ଘାସପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ଏହାର ପ୍ରସ୍ଥର ଦୁଇଗୁଣ । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 800 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ = x ମି.
∴ ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2x ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 800 ବ.ମି.
⇒ ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ = 800 ବ.ମି. (∵ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ)
⇒ 2x × x = 800
→ x2 = 400 = x = 20 ମି.
ପ୍ରସ୍ଥ = x = 20 ଏବଂ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x = 2 × 20 = 40 ମିଟର ।
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 40 ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 20 ମିଟର ।

Question 3.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 139876 ବର୍ଗମିଟର । ଏହାର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ଦେବାରେ ପ୍ରତି ମିଟରକୁ ଟ. 15.00 ହିସାବରେ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ?
Solution:
ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 139876 ବ.ମି.
∴ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ = \(\sqrt{139876}\) = 374 ମି.
∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁ = 4 × 374 = 1496 ମିଟର ।
ପ୍ରତି ମିଟରକୁ ବାଡ଼ଦେବା ଖର୍ଚ୍ଚ 15 ଟଙ୍କା ହେଲେ,
ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରଟିର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ଦେବା ଖର୍ଚ୍ଚ
= 1496 × 15 = 22,440 ଖର୍ଚ୍ଚ |
∴ ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ଦେବାରେ 22440 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ।

Question 4.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗାକାର ବଗିଚାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 30 ମିଟର । ତାହାର ଭିତର ସୀମାର ଚାରିଧାରକୁ ଲାଗି 1 ମିଟର ଚଉଡ଼ାର ଏକ ରାସ୍ତା ନିର୍ମାଣ କରାଯାଇଛି ।
(i) ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) ରାସ୍ତାଟି ତିଆରିପାଇଁ ବର୍ଗମିଟରକୁ ଟ. 240 ପଇସା ହିସାବରେ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ବର୍ଗାକାର ବଗିଚାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = 30 ମି.
EFGH ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 30 – (1 × 2) = 28 ମି.
(i) ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ABCD ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – EFGH ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= (30)² – (28)² = (30 + 28) (30 – 28)
= 58 × 2 = 116 ଚଟା.ମି.

(ii) 1 ବର୍ଗମିଟରକୁ ଟ. 2.40 ପଇସା ହିସାବରେ
116 ବର୍ଗମିଟରକୁ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ
= (116 × 2. 40) ଖର୍ଚ୍ଚ = 278.40 ଖର୍ଚ୍ଚ
∴ ରାସ୍ତାଟି ତିଆରି ପାଇଁ 278.40 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା ।

Question 5.
5 ମି. × 3 ମି. ପାପର ଘର ମାଣକୁ ଗାଲିଲ କିଛିଳତାକୁ ଦେଲେ, 60 ସେ.ମି. × 50 ସେ.ମି. ପାପର କେତେ ଖଣ୍ଡ ଟାଇଲ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଘର ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 5 ମି. × 3 ମି.
= (5 × 100) ସେ.ମି. × (3 × 100) ସେ.ମି. = 150000 ବଶ ସେ.ମି.
ଗୋଟିଏ ଗାଲଲଭ ଯେତ୍ରପଲ = 60 ସେ.ମି. × 50 ସେ.ମି. = 3000 ବଶ ସେ.ମି.
ଟାଇଲର ସଂଖ୍ୟା = \(\frac { ଘର ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ }{ ଗାଲିଲ କିଛିଳତାକୁ }\) = \(\frac { 150000 }{ 3000 }\) = 50 ଖର୍ଚ୍ଚ
∴ 50 ଖଣ୍ଡ ଟାଇଲ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ |

Question 6.
ରାମ କିଣିଥିବା ଖଣ୍ଡିଏ ଜମିର ଆକାର 20 ମି. × 24 ମି. । ଶ୍ୟାମ କିଣିଥିବା ଖଣ୍ଡିଏ ଜମିର ଆକାର 22 ମି. × 22 ମି. । ଏହି ଦୁଇଖଣ୍ଡ ଜମିର (i) ପରିସୀମାର ଅନ୍ତର (ii) କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ରାମ କିଣିଥିବା ଜମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ ଯଥାକ୍ରମେ 24 ମି. 20 ମି. ।
∴ପରିସୀମା = 2 (ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ) = 2(24 + 20) = 88 ମିଟର
ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ = 24 × 20 = 480 ବଗମିଟର |
ଶ୍ୟାମ କିଣିଥିବା କାମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 22 ମି. ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ = 22 ମି. | ଅର୍ଥାତ୍ ଜମିଟି ବର୍ଗାକାରକ୍ଷେତ୍ର ।
∴କ୍ଷେତ୍ରଟିର ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 × 22 = 88 ମିଟର |
କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = (22)² = 484 ବର୍ଗମିଟର ।
∴ ରାମ ଓ ଶ୍ୟାମ କିଣିଥିବା ଜମିର ପରିସୀମା ସମାନ ଅର୍ଥାତ୍ ଅନ୍ତର 0।
ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର = 484 – 480 = 4 ଦ.ମି. |

Question 7.
ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 125 ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 60 ମିଟର । ଏହାର ଭିତର ପାଖରେ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୋଟିଏ ଧାରକୁ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ଦୁଇ ଧାରକୁ ଏହିପରି ତିନି ଧାରକୁ ଲାଗି 2 ମିଟର ଚଉଡ଼ାର ଏକ ରାସ୍ତା ଅଛି । ରାସ୍ତାଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABCD ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = 125 ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = AD = 60 ମି.
∴ କ୍ଷେତ୍ରଟିର ଭିତର ପାଖରେ ରାସ୍ତାଟି ଅଛି ।
EFGH ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = EF = (125 – 2 × 2) = 121 ମିଟର
ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = EH = 60 – 2 = 58 ମିଟର

∴ ରାମାର ଯେତ୍ରଫଲ = ABCD ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – EFGH
ଆୟତାକାରକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (AB × AD) – (EF × EH)
= (125 × 60) ଦ.ମି. – (121 × 58) ଦ.ମି. = (7500 – 7018) ଦ.ମି. = 482 ଦ.ମି. |

Question 8.
ଗୋଟିଏ ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ମଧ୍ୟଭାଗରେ 2 ମିଟର ଚଉଡ଼ାର ଦୁଇଟି ରାସ୍ତା ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ଛେଦକରନ୍ତି, ଯେପରିକି ପ୍ରତ୍ୟେକ ରାସ୍ତା ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଗୋଟିଏ ବାହୁ ସହିତ ସମାନ୍ତର । ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 72 ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 48 ମି. ହେଲେ, ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
PORS ଏବଂ EFGH ଦୁଇଗୋଟି ରାସ୍ତା କ୍ଷେତ୍ରଟିର ମଧ୍ୟଭାଗରେ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରନ୍ତି ।
ABCD ଆୟତାକାର ପଡ଼ିଆର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = 72 ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = BC = 48 ମି.
∴ AB = EF = GH ଏବଂ BC = QR = PS
ରାସ୍ତାର ଚଉରା = 2 ମି. ଅର୍ଥାତ୍ PQ = SR = EH = FG = 2 ମି.
PORS କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ PS × PQ = (48 × 2) = 96 ଦ.ମି.

EFGH କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = EF × EH = (72 × 2) = 144 ବ.ମି.
∴ UVWX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = UV × UX = (2 × 2) = 4 ବ.ମି.
∴ ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= PORS ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + EFGH ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – UVWX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 96 + 144 – 4 = 236 ବ. ମିଟର ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(b)

Question 1.
ପମଦିବ।ତୁ ତିଭୁଲରେ
(i) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?
(ii) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 41 ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ୨ ସେ.ମି. ହେଲେ, ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
(iii) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 14 ସେ.ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 24 ସେ.ମି. ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
(iv) ଉଚ୍ଚତା 12 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉଚ୍ଚତାଠାରୁ 2 ସେ.ମି. କମ୍ ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
Solution:
(i) ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ।

(ii) ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 41 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର 9 ସେ.ମି. ।

(iii) ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର 24 ସେ.ମି. ।

(iv) ABC ସମଡ଼ିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 2 ସେ.ମି. କମ୍।
ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ = 12 – 2 = 10 ସେ.ମି. କମ୍।

Question 2.
ABC ସମକୋଣା ପ୍ରଭୁକରେ m∠B = 90° ଓ AB = AC
(i) AB = 8 ସେ.ମି., କଣ୍ଠ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) AB = 7 ସେ.ମି. ହେଲେ, କଅଁ AC ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) କଣ୍ଠ A ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 40 ସେ.ମି. ହେଲେ, \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iv) କଣ୍ଠ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 25 ସେ.ମି. ହେଲେ, \(\overline{\mathrm{AB}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର
m∠B = 90° ଓ AB = BC
∴ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।

(i) AB = 8 ସେ.ମି. (ବର)
∴ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଷ (AC) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= ସମାନ ବାହୁ × √2 = AB × √2
= 8 × 2 = 8√2 ସେ.ମି.
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ : AC² = AB² + BC² ⇒ AC² = 8² + 8²
⇒ AC² = 2 × 8² ⇒ AC = 8√2 ସେ.ମି.,

(ii) AB = 7 ସେ.ମି. (ବର)
ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କଣ୍ଠ = √2 × ସମାନ ବାହୁ = 7√2 ସେ.ମି.
∴ AC = 7√2 ସେ.ମି.

(iii) କଣ୍ଠ (AC) = 40 ସେ.ମି. (ଦତ୍ତ)
ଗମଲୋଗ ସମବିବାହି ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେଲ ପାଦନ ଦବାନ୍ତୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }{ 2 }\)
⇒ BC = \(\frac{\mathrm{AC}}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{\mathrm{40}}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{40 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) = \(\frac{40 \sqrt{2}}{2}\) = 20√2
∴BC = 20√2 ସେ.ମି.
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ : AC² = AB² + BC² = BC² + BC² (∵ AB = BC)
⇒ 40² = 2 BC² ⇒ √2BC = 40
⇒ AB = \(\frac{\mathrm{40}}{\sqrt{2}}\) = 20√2 ସେ.ମି.

(iv) କର୍ଷ (AC) = 25 ସେ.ମି. (ଦ୍‌ର)
ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }{ 2 }\)
\(\frac{25}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{25 \sqrt{2}}{2}\) = 12.5√2 ସେ.ମି. |
∴AB = 12.5√2 ସେ.ମି. |

Question 3.
(i) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. ହେଲେ, କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 18 ସେ.ମି. ହେଲେ, ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22√2 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iv) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ସେ.ମି. ବର୍ଗଚିତ୍ରର କଣ୍ଠ କେତେ ସେ.ମି. ବଢ଼ିବ ?
Solution:
(i) ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 7 ସେ.ମି.
∴ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × √2 = 7 × √2 = 7√2 ସେ.ମି.

(ii) ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 18 ସେ.ମି.
∴ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }{ 2 }\) = \(\frac{18}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{18 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) = \(\frac{18 \sqrt{2}}{2}\) = 9√2 ସେ.ମି.

(iii) ବର୍ଗଚିତ୍ରର କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 22√2 ସେ.ମି.
∴ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ }{ 2 }\) = \(\frac{22 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) = 22 ସେ.ମି.
ପରିସୀମା = ବାହ୍ନ × 4 = 22 × 4 = 88 ସେ.ମି. |

(iv) ମନେକର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ସେ.ମି. ଓ କର୍ଣ୍ଣ = √2 a ସେ.ମି. |
2 ସେ.ମି. ବଢ଼ିଗଲେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (a + 2) ସେ.ମି. ଓ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = √2(a + 2) ସେ.ମି. |
ଅଧ୍ଵଜ = √2(a + 2) – √2a = √2a + 2√2 – √2a = 2√2 ସେ.ମି.
∴ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ସେ.ମି. ବଢ଼ିଲେ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2√2 ସେ.ମି. ବଢ଼ିବ ।

Question 4.
ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ରର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ଅଛି । କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 75 ମି. ଓ 40 ମି.
(ii) 14 ମି. ଓ 48 ମି.
Solution:
(i) ଆୟତଚିତ୍ରର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 75ମି. ଓ 40 ମି. ।
∴ଏହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= \(\sqrt{75^2+40^2}\) = \(\sqrt{5^2 \times 15^2+5^2 \times 8^2}\) = \(\sqrt{5^2 \times\left(15^2+8^2\right)}\) = \(\sqrt{5^2 \times 17^2}\) ( ∵ 8, 15, 17 ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପଲ୍)
= 5 × 17 = 85 ମି. ।

(ii) ଆୟତଚିତ୍ରର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 14ମି. ଓ 48 ମି. ।
∴ଏହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= \(\sqrt{14^2+48^2}\) = \(\sqrt{2^2 \times 7^2+2^2 \times 24^2}\) = \(\sqrt{2^2\left(7^2+24^2\right)}\) = \(\sqrt{2^2 \times 25^2}\) (∵ 7, 24 ଓ 25 ଏକ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପଲ୍)
= 2 × 25 = 50 ମି. ।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 24 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମବାହୁ △ ର ପରିସୀମା = 24 ସେ.ମି. ।
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { ପରିସୀମା }{ 3 }\)
∴ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac { 24 }{ 3 }\) = 8 ସେ.ମି.
ଉଚ୍ଚତା = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 8 = 4√3 ସେ.ମି.
∴ ସମବାହୁ △ ର ଉଚ୍ଚତା 4√3 ସେ.ମି. ।

Question 6.
ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ ବିପରୀତ ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା 15√3 ଡେସିମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ ବିପରୀତ ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା
= ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା = 15√3 ଡେସି ମି.
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ମପାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ଉଚ୍ଚତା × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) = 15√3 × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) = 30 ଡେସି ମି.
∴ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × 3 = 30 ହେକିମି. × 3 = 90 ଡେସି ମି. |

Question 7.
ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁ 51 ସେ.ମି. ଓ ତୃତୀୟ ବାହୁ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 45 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
AB = AC = 51 ସେ.ମି. , AD = 45 ସେ.ମି.
∴ BD (ଅର୍ଦ୍ଧଭୂମି)
= \(\sqrt{A B^2-A D^2}\) = \(\sqrt{51^2-45^2}\) = \(\sqrt{3^2 \cdot 17^2-3^2 \cdot 15^2}\) = \(\sqrt{3^2\left(17^2-15^2\right)}\) = \(\sqrt{3^2 \cdot 8^2}\) = 3 × 8 = 24 ସେ.ମି.
∴ BC = 2BD = 2 × 24 = 48 ସେ.ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 48 ସେ.ମି. |

Question 8.
ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 96 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 14 ସେ.ମି. ଦ୍ରେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ △ ର BC = ଭୂମି = 6 ସେ.ମି.
∴BD = 1/2 BC = 1/2 × 96 = 48 ସେ.ମି.
AD = ଉଚ୍ଚତା = 14 ସେ.ମି. AB ଓ AC ତ୍ରିଭୁଜର ସମାନ ବାହୁ ।
ABD ସମରୋଗ ତ୍ରିଭୁଜର ∠D ପପକୋଶୀ | AB = କଣ୍ଡ, AD = ଭଲତା BD = ଭୁମି ପିଆରେ।ଉପକ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ,
∴ AB = \(\sqrt{\mathrm{AD}^2+\mathrm{BD}^2}\) = \(\sqrt{14^2+48^2}\) = \(\sqrt{2^2 \cdot 7^2+2^2 \cdot 24^2} \) = \(\sqrt{2^2\left(7^2+24^2\right)}\) = \(\sqrt{2^2 \cdot 25^2}\) = 2 × 25 = 50 ସେ.ମି. | ( ∵57, 24, 25 ଏକ ପିଆରେ।ଦାପ ବାହୁର )
∴ ପରିମାପ। = 96 + 50 + 50 = 196 ସେ.ମି. |
∴ ସମଙ୍ଗିବାହୁ △ ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 50 ସେ.ମି. ଓ ପରିସୀମା 196 ସେ.ମି. ।

Question 9.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 8(√2 + 1) ମିଟର ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = 8(√2 + 1) ମିଟର |
ମନେକର ସମକୋଣୀ ସମଦିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ୍ ବାହୁ = a ମିଟର
ତେବେ କାଣ୍ଡର ଦେଶ୍ୟ = √2a ମି. |
∴ △ ର ପରିସୀମା = a + a + √2.a = 2a + √2.a = √2a (√2 + 1) ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ √2.a (√2 + 1) = 8 ( √2 + 1)
⇒ √2.a = 8 ⇒ a = \(\frac{8}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{8 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) = \(\frac{8 \sqrt{2}}{2}\) = 4√2 ମି.
∴ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ୍ କାଣ୍ଡର ଦେଶ୍ୟ 4√2 ମି.

Question 10.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ସେ.ମି. ବଢ଼ିଗଲେ ଏହାର ପରିସୀମାରେ କେତେ ବୃଦ୍ଧି ଘଟିବ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟରେ ମଧ୍ୟ କେତେ ବୃଦ୍ଧି ଘଟିବ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ମନେକର ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ସେ.ମି.
∴କଣ୍ଠ = √2 a ସେ.ମି. ଓ ପରିସୀମା = 4a ସେ.ମି.
ବାହୁ 5 ସେ.ମି. ବଢ଼ିଲେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (a + 5) ସେ.ମି.
କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = √2(a + 5) ସେ.ମି. ହେବା
ଓ ପରିସୀମା = 4(a + 5) ସେ.ମି.
ପରିସୀମା ବୃଦ୍ଧି ହେବ = 4(a + 5) – 4a = 4a + 20 – 4a = 20 ସେ.ମି.
କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବୃଦ୍ଧି ହେବ = √2(a + 5) – √2a = √2a + 5√2 – √2a = 5√2 ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି ଘଟିବ |

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(a)

Question 1.
କେତେକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ବାହୁ ଦୁଇଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି । ପିଥାଗୋରୀୟ ତ୍ରୟୀ ସାହାଯ୍ୟରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 3 ମି. ଓ 4 ମି.
(ii) 5 ସେ.ମି. ଓ 12 ସେ.ମି.
(iii) 7 ସେ.ମି. ଓ 24 ସେ.ମି.
(iv) 8 ମି. ଓ 15 ମି.
(v) 1.5 ସେ.ମି. ଓ 2 ସେ.ମି.
(vi) 10 ସେ.ମି. ଓ 24 ସେ.ମି.
Solution:
(i) 5 ମି. ( ∵3, 4 ଓ 5 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)
(ii) 13 ସେ.ମି. (∵ 15, 12 ଓ 13 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)
(iii) 25 ସେ.ମି. (∵ 7, 24 ଓ 25 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)
(iv) 17 ମି. (∵ 8, 15 ଓ 17 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)
(v) 2.5 ସେ.ମି. (∵1.5, 2 ଓ 2.5 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)
(vi) 26 ସେ.ମି. (∵ 3, 4 ଓ 5 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟ ପିଥାଗୋରୀୟ ଟ୍ରିପ୍‌ଲ)

Question 2.
ନିମ୍ନରେ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଯଥାକ୍ରମେ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ତ୍ରିଭୁଜର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।
(i) 2.5 ସେ.ମି. ଓ 2.4 ସେ.ମି.
(ii) 4.1 ମି. ଓ 4 ମି.
(iii) 12.5 ମି. ଓ 10 ମି.
(iv) 125 ମି. ଓ 100 ମି.
(v) 299 ମି. ଓ 276 ମି..
Solution:
(i) ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2.5 ସେ.ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2.4 ସେ.ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{(2 \cdot 5)^2-(2 \cdot 4)^2}\) = \(\sqrt{6 \cdot 25-5 \cdot 76}\) = \(\sqrt{0 \cdot 49}\) = 0.7 ସେ.ମି.
ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିଣ୍ଡୟର ବିକନ୍ତ ପଣାଲା :
\(\sqrt{(2 \cdot 5)^2-(2 \cdot 4)^2}\) = \(\sqrt{(2 \cdot 5+2 \cdot 4)(2 \cdot 5-2 \cdot 4)}\) [∵a² – b² = (a + b) (a – b)]
= \(\sqrt{4 \cdot 9 \times 0 \cdot 1}\) = \(\sqrt{0.49}\) = 0.7 ସେ.ମି.

(ii) ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4.1 ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{(4 \cdot 1)^2-(4)^2}\) = \(\sqrt{16 \cdot 81-16}\) = \(\sqrt{0 \cdot 81}\) = 0.9 ମି.

(iii) ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 12.5 ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 10 ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{(12.5)^2-(10)^2}\) = \(\sqrt{(156.25-100)}\) = \(\sqrt{56.25}\) = 7.5 ମି.

(iv) ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 125 ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 100 ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{(125)^2-(100)^2}\) = \(\sqrt{(125+100)(125-100)}\) = \(\sqrt{225 \times 25}\) = 15 × 5 = 75 ମି.
ଅଥବା \(\sqrt{125^2-100^2}\) = \(\sqrt{25^2 \times 5^2-25^2 \times 4^2}\) = \(\sqrt{25^2\left(5^2-4^2\right)}\) = \(\sqrt{25^2 \times 3^2}\) = 25 × 3 = 75 ମି.

(v) ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 299 ମି. ଓ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 276 ସେ.ମି.
∴ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{(299)^2-(276)^2}\) = \(\sqrt{(299+276)(299-276)}\) = \(\sqrt{575 \times 23}\) = \(\sqrt{5 \times 5 \times 23 \times 23}\) = 5 × 23 = 115 ମି.

Question 3.
ନିମ୍ନରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ସମକୋଣା ତୁରୁକ |
(i) 11 ସେ.ମି., 60 ସେ.ମି. ଓ 61 ସେ.ମି.
(ii) 0.8 ମି., 1.5 ମି. ଓ 1.7 ମି.
(iii) 0.9 ତେ.ମି., 4 ତେ.ମି. ଓ 4.1 ତେ.ମି.
(iv) 0.7 ସେ.ମି., 24 ସେ.ମି. ଓ 2.5 ସେ.ମି.
Solution:
(i) 11² + 60² = 121 + 3600 = 3721 = (61)²
∴ ଏହା ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
(ii)
(0.8)² + (1.5)² = 0.64 + 2.25 = 2.89 = (1.7)²
∴ ଏହା ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

(iii) (0.9)² + (4)² = 0.81 + 16 = 16.81 = (4.1)²
∴ ଏହା ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

(iv) (0.7)² + (2.4)² = 0.49 + 5.76 = 6.25 = (2.5)²
∴ ଏହା ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Question 4.
ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଦିଆଯାଇଛି । ପ୍ରଥମେ ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ କି ? ଯଦି ଉତ୍ତର ହଁ ହୁଏ, ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜର କେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହେବ ?
(i) AB = 3 ସେ.ମି., BC = 4 ସେ.ମି. ଏବଂ CA = 5 ସେ.ମି.
(ii) CA = 5 ସେ.ମି., AB = 12 ସେ.ମି. ଏବଂ BC = 13 ସେ.ମି.
(iii) BC = 7 ସେ.ମି., CA = 24 ସେ.ମି. ଏବଂ AB = 25 ସେ.ମି.
(iv) BC = 9 ସେ.ମି., AB = 40 ସେ.ମି. ଏବଂ AC = 41 ସେ.ମି.
(v) AB = 8 ସେ.ମି., BC = 15 ସେ.ମି. ଏବଂ CA = 17 ସେ.ମି.
Solution:
(i) ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ AB = 3 ସେ.ମି., BC = 4 ସେ.ମି. ଓ AC = 5 ସେ.ମି. |
(ii) AB² + BC² = (3)² + (4)² = 9 + 16 = 25 = (5)² = AC²
ତେଣୁ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ AC = ତ୍ରିଭୁଜର କଣ୍ଠ ।
AC କର୍ପୂର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ∠ABC ର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।

(ii) ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ CA = 5 ସେ.ମି., AB = 12 ସେ.ମି. ଏବଂ BC = 13 ସେ.ମି. |
AC² + AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² = BC²
ତେଣୁ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ BC = ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ।
BC କର୍ପୂର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ∠BAC ର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।

(iii) ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ BC = 7 ସେ.ମି., CA = 24 ସେ.ମି. ଏବଂ AB = 25 ସେ.ମି.
BC² + AC² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² = AB²
ତେଣୁ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ AB = ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ।
AB କର୍ପୂର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ZACB ର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।

(iv) ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ BC = 9 ସେ.ମି., AB = 40 ସେ.ମି. ଏବଂ AC = 41 ସେ.ମି.
BC² + AB² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41² = AC²
ତେଣୁ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ AC = ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ।
AC କର୍ପୂର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ∠ABC ର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।

(v) ABC ତ୍ରିଭୁଜରେ AB = 8 ସେ.ମି., BC = 15 ସେ.ମି. ଏବଂ CA = 17 ସେ.ମି.
AB² + BC² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² = AC²
ତେଣୁ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଏହି ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ AC = ତ୍ରିଭୁଜର କଣ୍ଠି ।
AC କର୍ପୂର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ∠ABC ର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।

Question 5.
ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି A ସ୍ଥାନରୁ ବାହାରି ପୂର୍ବ ଦିଗକୁ 50 ମିଟର ଗତିକଲା ପରେ ସେଠାରୁ ଉଭର 120 ମିଟର ଗତିକରି B ନାମକ ସ୍ଥାନରେ ପହଞ୍ଚିଲେ । A ଠାରୁ B ର ଦୂରତା କେତେ ?
Solution:
ଜଣେ ବାହାରି ଗତିପଥ A ରୁ ପୂର୍ବକୁ 50 ମି. ଗତିକରି ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ପହଞ୍ଚିଲା । ପୁନଶ୍ଚ O ରୁ ଉତ୍ତରକୁ 120 ମି. ଗତିକରି B ନାମକ ସ୍ଥାନରେ ପହଞ୍ଚି AOB ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଲା ।
ଏହାର m∠O = 90°
∴ AOB ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ BO = 120 ମି. ଏବଂ AO = 50 ମି. |
A ଓ B ମତରେ ଦୁଇତା = କଣ୍ଡ = AB = \(\sqrt{\mathrm{OB}^2+\mathrm{OA}^2}\) = \(\sqrt{(120)^2+(50)^2}\) (ପିଥାଗୋରୀୟ ଉପପାଦ୍ୟ)
= \(\sqrt{14400+2500}\) = \(\sqrt{16,900}\) = 130 ମିଟର |

Question 6.
20 ମିଟର ଉଚ୍ଚ. ଗୋଟିଏ ତାଳଗଛ ଝଡ଼ରେ ନଇଁ ପଡ଼ିବାରୁ‘ତା’ର ଅଗ୍ରଭାଗ ସେହି ଗଛର ମୂଳଠାରୁ 12 ମିଟର ଦୂରରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏକ ସ୍ତମ୍ଭର ଅଗ୍ରଭାଗକୁ ସ୍ପର୍ଶକଲା । ସ୍ତମ୍ଭଟିର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
AB = ତାଳଗଛର ଉଚ୍ଚତା = 20 ମିଟର,
ତାଳଗଛ ଝଡ଼ରେ ନଇଁପଡ଼ିବାରୁ ତା’ର ଅଗ୍ରଭାଗ ସ୍ତମ୍ଭଠାରୁ 12 ମି. ଦୂରରେ ଥ‌ିବା
ସ୍ତମ୍ଭ DCର ଅଗ୍ରଭାଗ C କୁ ସ୍ପର୍ଶକଲା ।

ବର୍ତ୍ତମାନ BDC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ∠D ସମକୋଣ
AB = BC = 20 ମିଟର, BD = 12 ମିଟର
ପିଥାଗୋରସ୍‌ଙ୍କ ଉପପାଦ୍ୟ ଅନୁସାରେ CD = \(\sqrt{\mathrm{BC}^2-\mathrm{BD}^2}\) = \(\sqrt{20^2-12^2}\) = \(\sqrt{400-144}\) = \(\sqrt{256}\) = 16 ମିଟର
∴ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା 16 ମିଟର ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ କୋଠାଘରର ବାହାର କାନ୍ଥର ପାଦଦେଶରୁ 8 ମିଟର ଦୂରରେ ଗୋଟିଏ ନିଶୁଣି ରଖ୍ କାନ୍ଥକୁ ଡେରିଦେଲେ, ନିଶୁଣିର ଅଗ୍ରଭାଗ କାନ୍ଥର ଉପରକୁ ସ୍ପର୍ଶ କରେ । ନିଶୁଣଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ମିଟର ହେଲେ, କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
କୋଠାର ବାହାର କାନ୍ତର ଇଳତା = AB
ଏହାର ବାହାର ପାଦଦେଶ ‘B’ ଠାରୁ 8 ମି. ଦୂର ‘C’ ଠାରେ ଏକ ନିଶୁଣି
କାନ୍ଥର ଅଗ୍ରଭାଗ ‘A’ ଠାରେ ସ୍ପର୍ଶ କରେ ।

ବର୍ତ୍ତମାନ ABC ସମକୋଣୀ △ର ∠B ସମକୋଣ ।
ନିଶୁଣିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ AC = 10 ମିଟର, BC = 8 ମି.
∴ AB = \(\sqrt{\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2}\) = \(\sqrt{10^2-8^2}\) = \(\sqrt{100-64}\) = \(\sqrt{36}\) = 6 ମିଟର
∴ କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା 6 ମିଟର ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ଘରର ଦୁଇ ବିପରୀତ କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ 25 ଡେସି ମି. ଓ 4 ଡେସି ମି. । କାନ୍ଥ ଦୁଇଟିର ଉପରିଭାଗକୁ ଲାଗିଥିବା ଗୋଟିଏ ସଳଖ କଡ଼ିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 65 ଡେସି ମି. ହେଲେ, ଘରର ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଘରର ଦୁଇ ବିପରୀତ କାନ୍ଥ AB ଓ CD | ଘରର ପ୍ରସ୍ଥ : = BC
କଡ଼ିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ AD = 65 ଡେସି ମି. AB = 64 ଡେସି ମି. ଏବଂ CD = 25 ତେ.ମି.ମି.
D ବିନ୍ଦୁରୁ AB ଉପରେ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ପାଦବିନ୍ଦୁ M ହେଲେ,
△AMD ରେ MD = BC ଏବଂ

AM = AB – BM = AB – CD = 64 – 25 = 39 ତେ.ମି.ମି.
MD = \(\sqrt{\mathrm{AD}^2-A M^2}\) = \(\sqrt{65^2-39^2}\) = \(\sqrt{4225-1521}\) = \(\sqrt{2704}\) = 52 ତେ.ମି.ମି.
କିନ୍ତୁ MD = BC
∴ ଘରର ପ୍ରସ୍ଥ = BC = 52 ତେ.ମି.ମି.

Question 9.
ଗୋଟିଏ ପୋଖରୀରେ ଥିବା ଏକ ପଦ୍ମକଢ଼ିର ଅଗ୍ରଭାଗ ଜଳ ଉପରକୁ 1 ମିଟର ଦେଖାଯାଉଥିଲା । କିନ୍ତୁ ବାୟୁଦ୍ଵାରା ଏହି କଢ଼ିଟି ଆସ୍ତେ ଆସ୍ତେ ଘୁଞ୍ଚିଯାଇ ମିଟର ଦୂରରେ ଜଳସ୍ତର ସଙ୍ଗେ ମିଶିଗଲା । ପୋଖରୀରେ ଜଳର ଗଭୀରତା ନିଶ୍ଚୟ କର ।
Solution:
AB = ପଦ୍ମନାଡ଼ର ପ୍ରଥମ ଅବସ୍ଥା । ଏହାର AC ଅଂଶ ପାଣି ଉପରକୁ ଦେଖାଯାଉଛି ।
BC = ଜଳର ଗଭୀରତା । ପବନଦ୍ଵାରା ଚାଳିତ ହୋଇ ପଦ୍ମନାଡ଼ଟି 3 ମିଟର ଦୂରରେ D ବିନ୍ଦୁରେ ଜଳ ସହିତ ମିଶିଗଲା ।
BD = ପଦ୍ମନାଡ଼ର ଦ୍ଵିତୀୟ ଅବସ୍ଥା ।
∴ AB = BD = BC + AC
ମନେକର ଜଳର ଗଭୀରତା BC = x ମିଟର
∴ BD = (x + 1) ମିଟର

ବରମାନ BCD ସମକୋଣା ପ୍ରତିଭୁଲରହି BD² = BC² + CD²
⇒ (x + 1)² = x² + 3² ⇒ x² + 2x + 1 = x² + 9
⇒ 2x = 9 – 1 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = \(\frac { 8 }{ 2 }\) = 4 ମିଟର |
∴ ଜଳର ଗଭୀରତା 4 ମିଟର ।

Question 10.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 32 ସେ.ମି. । ତାହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅପେକ୍ଷା ୫ ସେ.ମି. ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର AB ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 32 ସେ.ମି.
ମନେକର BC ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି.
ପ୍ରଶାନୁସାରେ AC କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 8) ସେ.ମି.

ଆମେ ଜାଣିଛେ, ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ, AC² = AB² + BC²
⇒ (x + 8)² = (32)² + x² ⇒ x² +8² + 2·x·8 = 1024 + x²
⇒ 64 + 16x = 1024 ⇒ 16x = 1024 – 64
⇒ 16x = 960 ⇒ x = \(\frac { 960 }{ 16 }\) = 60 ⇒ AC = (x + 8) ସେ.ମି.
= (60 + 8) ସେ.ମି. = 68 ସେ.ମି.
∴କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 68 ସେ.ମି. |

Odisha State Board BSE Odisha 7th Class Maths Solutions Chapter 6 ବୀଜଗଣିତ Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 7 Maths Solutions Chapter 6 ବୀଜଗଣିତ Ex 6.2

Question 1.
ସଦୃଶ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଏକାଠି କରି ସରଳ କର ।

(କ) 21b – 74 + 3b – 2a
ସମାଧାନ:
21b – 7a – 3b – 2a
= 21b – 3b – (-7a) – (-2a)
= (21 – 3)b – {(-7) – (-2)} a
= 24b – (-9a) = 24b – 9a

(ଖ) -z² +  13z² – 5z +  7z³ – 15z
ସମାଧାନ:
-z² +  13z² – 5z +  7z³ – 15z
= 7z³ – z² + 13z² – 5z – 15z
= 7z³ – (-1 + 13)z² + {(-5) + (-15)}z
= 7z³ + 112z² – 20z

(ଗ) 3a – 2b – c – 5b – 6c – 2a
ସମାଧାନ:
3a – 2b – c – 5b – 6c – 2a
= 3a – 2a- 2b – 5b – c – 6c
= (3 + 2)a + (-2 – 5)b + (-1 + 6)c
= 5a – 7b + 5c

(ଘ) 6ab + 2a – 3ab – ab + 5a
ସମାଧାନ:
6ab + 2a – 3ab – ab + 5a
= 6ab – 3ab – ab + 2a + 5a
= (6 – 3 – 1)ab + (2 + 5)a
= 2ab + 7a

(ଙ) 5x²y – 5x² + 3yx² – 3y² +  x² + y² + 4xy² – 2y²
ସମାଧାନ:
5x²y – 5x² + 3yx² – 3y² +  x² + y² + 4xy² – 2y²
= 5x²y + 3yx² – 5x² + x² – 3y² + y² – 2y² + 4xy²
= (5 + 3)x²y + (-5 + 1)x² + (-3 + 1 – 2)y² + 4xy²
= 8x²y – 4x² – 4y² + 4xy²

Question 2.
ଯୋଗଫଳ ସ୍ଥିର କର ।

(କ) 3mn, -5mn, 8mn, -4mn
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = 3mn – 5mn + 8mn – 4mn
= (3 – 5 + 8 – 4)mn = (11 – 9)mn = 2mn

(ଖ) 5a, 8a, -9a, -2a
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = 5a + 8a – 9a – 2a = (5 + 8 – 9 – 2)a = 2a

(ଗ) a + b – 3, b – 2a + 3
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = a + b – 3 + b – 2a + 3 = a – 2a + b + b – 3 + 3
= {1 + (-2)}a + (1 + 1)b + {(-3) + 3} = -1 × a + 2b + 0 = 2b – a

(ଘ) -7mn + 5, 2mn + 2
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = -7mn + 5 + 2mn + 2 = -7mn + 2mn + 5 + 2
= (-7 + 2)mn + (5 + 2) = -5mn + 7

(ଙ) x² – 2y + 3, 3y² + 5y – 7
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = x² – 2y + 3 + 3y² + 5y – 7 = x² + 3y² + (-2y) + 5y + 3 – 7
= x² + 3y² + (-2 + 5)y + (3 – 7) = x² + 3y² + 3y – 4

(ଚ) 14x + 10y – 12xy – 13, 18 – 7x – 10y + 8xy
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = 14x + 10y – 12xy – 13 + 18 – 7x – 10y + 8xy
= 14x – 7x + 10y – 10y – 12xy + 8xy – 13 + 18
= (14 – 7)x + (10 – 10)y + (-12 + 8)xy + (18 – 13)
= 7x + 0 . y – 4xy + 5 = 7x – 4xy + 5

(ଛ) 5m – n + 5, 3m + 4n – 1
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = 5m – n + 5 + 3m + 4n – 1 = 5m + 3m – n + 4n + 5 – 1
= (5 + 3)m + (-1 + 4)n + (5 – 1) = 8m + 3n + 4

(ଜ) x² – y² – 1, y² – 1 – x², 1 – x²y²
ସମାଧାନ:
ଯୋଗଫଳ = x² – y² – 1 + y² – 1 – x² + 1 – x²y²
= x² – x² – y² + y² – 1 – 1 + 1 – x²y²
= (x – x²) + (-y² + y²) + (-1 + 1 )- 1 – x²y²
= 0 + 0 + 0 – 1 – x²y²
= -x²y² – 1

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(h) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 6 ବର୍ଗ-ବର୍ଗମୂଳ ଏବଂ ଘନ-ଘନମୂଳ Ex 6(h)

Question 1.
ଘନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) \(\frac{7}{9}\)
(ii) \(– \frac{8}{11}\)
(iii) \(\frac{12}{7}\)
(iv) \(– \frac{13}{8}\)
(v) \(2 \frac{3}{5}\)
(vi) \(3 \frac{1}{4}\)
(vii) \(-1 \frac{2}{3}\)
(viii) 0.2
(ix) 1.3
(x) 0.03
ସମାଧାନ :
(i) \(\frac{7}{9}\)ର ଘନ = \(\left(\frac{7}{9}\right)^3=\frac{7^3}{9^3}=\frac{343}{729}\)

(ii) \(– \frac{8}{11}\)ର ଘନ = \(\left(\frac{-8}{11}\right)^3=\frac{(-8)^3}{11^3}=-\frac{512}{1331}\)

(iii) \(\frac{12}{7}\)ର ଘନ = \(\left(\frac{12}{7}\right)^3=\frac{12^3}{7^3}=\frac{1728}{343}\)

(iv) \(– \frac{13}{8}\)ର ଘନ = \(\left(\frac{-13}{8}\right)^3=\frac{(-13)^3}{8^3}=\frac{-2197}{512}\)

(v) \(2 \frac{3}{5}\)ର ଘନ = \(\left(2 \frac{3}{5}\right)^3=\left(\frac{13}{5}\right)^3=\frac{13^3}{5^3}=\frac{2197}{125}\)

(vi) \(3 \frac{1}{4}\)ର ଘନ = \(\left(3 \frac{1}{4}\right)^3=\left(\frac{13}{4}\right)^3=\frac{13^3}{4^3}=\frac{2197}{64}\)

(vii) \(-1 \frac{2}{3}\)ର ଘନ = \(\left(-1 \frac{2}{3}\right)^3=\left(-\frac{5}{3}\right)^3=\frac{(-5)^3}{3^3}=\frac{-125}{27}\)

(viii) 0.2ର ଘନ = \((0 \cdot 2)^3=\left(\frac{2}{10}\right)^3=\frac{2^3}{10^3}=\frac{8}{1000}=0.008\)

(ix) 1.3ର ଘନ = \((1 \cdot 3)^3=\left(\frac{13}{10}\right)^3=\frac{13^3}{10^3}=\frac{2197}{1000}=2 \cdot 197\)

(x) 0.03ର ଘନ = \((0 \cdot 03)^3=\left(\frac{3}{100}\right)^3=\frac{(3)^3}{(100)^3}=\frac{27}{1000000}=0 \cdot 000027\)

Question 2.
ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) \(\frac{8}{125}\)
(ii) \(\frac{-64}{1331}\)
(iii) \(\frac{-27}{4096}\)
(iv) \(– \frac{2197}{9261}\)
(v) 0.001
(vi) 0.008
(vii) 1.728
(viii) 0.000125
ସମାଧାନ :
(i) \(\sqrt[3]{\frac{8}{125}}=\sqrt[3]{\frac{2^3}{5^3}}=\sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^3}=\frac{2}{5}\)

(ii) \(\sqrt[3]{-\frac{64}{1331}}=\sqrt[3]{\frac{(-4)^3}{(11)^3}}=\sqrt[3]{\left(\frac{-4}{11}\right)^3}=\frac{-4}{11}\)

(iii) \(\sqrt[3]{\frac{-27}{4096}}=\sqrt[3]{\frac{(-3)^3}{(16)^3}}=\sqrt[3]{\left(\frac{-3}{16}\right)^3}=\frac{-3}{16}\)

(iv) \(\sqrt[3]{\frac{2197}{9261}}=\sqrt[3]{\frac{(13)^3}{(21)^3}}=\sqrt[3]{\left(\frac{13}{21}\right)^3}=\frac{13}{21}\)

(v) \(\sqrt[3]{0.001}=\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}=\sqrt[3]{\frac{1^3}{10^3}}=\sqrt[3]{\left(\frac{1}{10}\right)^3}=\frac{1}{10}=0 \cdot 1\)

(vi) \(\sqrt[3]{0 \cdot 008}=\sqrt[3]{\frac{8}{1000}}=\sqrt[3]{\frac{2^3}{10^3}}=\sqrt[3]{\left(\frac{2}{10}\right)^3}=\frac{2}{10}=0 \cdot 2\)

(vii) \(\sqrt[3]{1 \cdot 728}=\sqrt[3]{\frac{1728}{1000}}=\sqrt[3]{\frac{12^3}{10^3}}=\sqrt[3]{\left(\frac{12}{10}\right)^3}=\frac{12}{10}=1 \cdot 2\)

(viii) \(\sqrt[3]{0 \cdot 000125}=\sqrt[3]{\frac{125}{1000000}}=\sqrt[3]{\frac{5^3}{(100)^3}}=\sqrt[3]{\left(\frac{5}{100}\right)^3}=\frac{5}{100}=0 \cdot 05\)

Question 3.
ନିମ୍ନୋକ୍ତ କେଉଁ ରାଶି କୌଣସି ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଅଟେ ?
(i) \(\frac{27}{64}\)
(ii) \(\frac{125}{128}\)
(iii) \(\frac{-216}{729}\)
(iv) \(– \frac{-250}{686}\)
(v) 0.08
(vi) 0.125
(vii) 0.1331
ସମାଧାନ :
(m, n ∈ Q ଏବଂ n = m³ ହେଲେ, n ଏକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।)
(i) \(\frac{27}{64}=\frac{3 \times 3 \times 3}{4 \times 4 \times 4}=\left(\frac{3}{4}\right)^3\) ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ।

(ii) \(\frac{125}{128}=\frac{5 \times 5 \times 5}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{5^3}{2^3 \times 2^3 \times 2}\) ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ନୁହେଁ ।

(iii) \(\frac{-216}{729}=\frac{(-6) \times(-6) \times(-6)}{9 \times 9 \times 9}=\left(\frac{-6}{9}\right)^3\) ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଅଟେ ।

(iv) \(– \frac{-250}{686}=\frac{-5 \times 5 \times 5 \times 2}{7 \times 7 \times 7 \times 2}=\left(\frac{-5}{7}\right)^3\) ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ନୁହେଁ ।

(v) 0.08 = \(\frac{8}{10}=\frac{2 \times 2 \times 2}{2 \times 5}=\frac{(2)^3}{2 \times 5}\) ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଅଟେ ।

(vi) 0.125 = \(\frac{125}{1000}=\frac{5 \times 5 \times 5}{5 \times 5 \times 5 \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{1}{2^3}=\left(\frac{1}{2}\right)^3\) ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଅଟେ ।

(vii) 0.1331 = \(\frac{1331}{10000}=\frac{11 \times 11 \times 11}{10 \times 10 \times 10 \times 10}=\frac{11^3}{10^3 \times 10}\) ଏହା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ନୁହେଁ ।

Odisha State Board BSE Odisha 7th Class Maths Solutions Chapter 6 ବୀଜଗଣିତ Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 7 Maths Solutions Chapter 6 ବୀଜଗଣିତ Ex 6.1

Question 1.
ନିମ୍ନ ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶିଗୁଡ଼ିକର ପଦ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ଏବଂ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଅଲଗା ଅଲଗା କରି ଲେଖ ।
(କ) – 4x + 5  (ଖ) – 4x + 5y  (ଗ) 3y + 2y²  (ଘ) 1 + x + x²  (ଙ) 5xy² + 5x²y – 3xy  (ଚ) pq + q  (ଛ) 4p² – 3q²  (ଜ) 2x + \(\frac{1}{4}\)
ସମାଧାନ:

ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶି	ପଦ ସଂଖ୍ୟା	ପଦ
(କ) – 4x + 5	2	– 4x, 5
(ଖ) – 4x + 5y	2	– 4x, 5y
(ଗ) 3y + 2y2	2	3y, 2y2
(ଘ) 1 + x + x2	3	1, x, x2
(ଙ) 5xy2 + 5x2y – 3xy	3	5xy2, 5x2y, -3xy
(ଚ) pq + q	2	pq, q
(ଛ) 4p2 – 3q2	2	4p2, 3q2
(ଜ) 2x + \(\frac{1}{4}\)	2	2x, \(\frac{1}{4}\)

Question 2.
ଦତ୍ତ ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶିର ଧ୍ରୁବକ ସଂଖ୍ୟା ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ସାଂଖ୍ୟକ ସହଗଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।
(କ) 5 – 3t²  (ଖ) 7xy – 5x² – 2  (ଗ) -p²q² + 7pq  (ଘ) x + 2xy + 3y  (ଙ) m + 3n
ସମାଧାନ:

ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶି	ଧ୍ରୁବକବିହାନ ପଦସମୁହ	ପଦଗୁଡ଼ିକର ସାଂଖ୍ୟକ ସହର
(କ) 5 – 3t2	– 3t2	-3
(ଖ) 7xy – 5x2 – 2	7xy – 5x2	7, -5
(ଗ) -p2q2 + 7pq	-p2q2 7pq	-1, 7
(ଘ) x + 2xy + 3y	x, 2xy, 3y	1, 2, 3
(ଙ) m + 3n	m, 3n	1, 3

Question 3.
‘x’ ଚଳରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର ଏବଂ ପଦଗୁଡ଼ିକରୁ ‘x’ ର ସହଗ ସ୍ଥିର କର ।
(କ) xy² + x  (ଖ) 13y² – 8xy  (ଗ) 2 – x  (ଘ) x + y + 2  (ଙ) 12xy² + 25  (ଚ) 7xy + xy²
ସମାଧାନ:

ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶି	ଧ୍ରୁବକବିହାନ ପଦସମୁହ	ପଦଗୁଡ଼ିକର ସାଂଖ୍ୟକ ସହର
(କ) xy2 + x	xy2, x	y2, 1
(ଖ) 13y2 – 8xy	-8xy	-8y
(ଗ) 2 – x	-x	-1
(ଘ) x + y + 2	x	1
(ଙ) 12xy2 + 25	12xy2	12y2
(ଚ) 7xy + xy2	7xy + xy2	7y, y2

Question 4.
ନିମ୍ନଲିଖତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସଦୃଶ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଏକାଠି କରି ଲେଖ ।

(କ) 4 – xy², -4yx², 8x², 2xy², 7y, -11x², -100x, -11yz, 20x²y, 5x, -3
ସମାଧାନ:
+4, -3 ପଦଦ୍ବୟ ସଦୃଶ; -xy², 2xy² ପଦଦ୍ୱୟ ସଦୃଶ;
-4yx², 20x²y ପଦଦ୍ୱୟ ସଦୃଶ; 8x², -11x² ପଦଦ୍ଵୟ ସଦୃଶ;
-100x, 5x ପଦଦ୍ୱୟ ସଦୃଶ ଏବଂ 7y ଓ -11yz ପଦର ସଦୃଶ ପଦ ନାହିଁ ।

(ଖ) 10pq, 7p, 8q, p³q², 7qp, -100p, -23, 12q²p², -3p, 7, 20q²p³, 78pq, 13p²q, qp², 701p²
ସମାଧାନ:
10pq, 7qp, 78pq ପଦମାନ ସଦୃଶ; 7p, -100p, -3p ପଦମାନ ସଦୃଶ;
p³q², 20q²p³ ପଦଦ୍ୱୟ ସଦୃଶ; -23, 7 ପଦଦ୍ଵୟ ସଦୃଶ;
13p²q, qp² ପଦଦ୍ୱୟ ସଦୃଶ ଏବଂ 8q, 12q²p² ଓ 701p² ର ସଦୃଶ ପଦ ନାହିଁ ।