BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ

→ ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction) :

  • P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ (Quadratic Polynomial), ଯେଉଁଠାରେ a ଓ b ଯଥାକ୍ରମେ x², xର ସହଗ ଏବଂ c ଏକ ଧ୍ରୁବ ସଂଖ୍ୟା ।
  • P(x) = 0 ଅର୍ଥାତ୍, ax + bx+c =0, (a ≠0) ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ (Quadratic Equation) ଯେଉଁଠାରେ a, b, c ∈ ଏବଂ a ≠ 0.
  • ax² + bx + c = 0, a, b, c e R, a + 0 ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ସାଧାରଣ ରୂପ ।
  • ‘x’ର ଯେଉଁ ଯେଉଁ ମାନ ପାଇଁ ax² + bx + c = 0 ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହୁଏ, ସେହି ମାନଗୁଡିକ ସମୀକରଣର ବୀଜ ବା ମୂଳ (root) କୁହାଯାଏ ।
  • ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣରେ ଅତିବେଶୀରେ ଦୁଇଟି ବୀଜ ଥାଏ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ - 1

  • ଯଦି x = α ପାଇଁ ଦ୍ବିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ax² + bx + cର ମାନ ଶୂନ ହୁଏ, ତେବେ α କୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଏକ ଶୂନ (zero) କୁହାଯାଏ । ଏଠାରେ ମନେରଖୁବାକୁ ହେବ ଯେ, ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ‘ଶୂନ’ ଉକ୍ତ ସମୀକରଣର ଏକ ମୂଳ (root) ଅଟେ ।
  • ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦ୍ଵିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ସହ ସଂପୃକ୍ତ ଅଟେ । ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ,
    ax² + bx + c ଦ୍ବିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ସହ ସଂପୃକ୍ତ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ

→ ପୂର୍ବବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ (Solution by completing the squares) :
ମନେକର ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ - 2

→ ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :
⇒ ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
⇒ ax² + bx = -c (‘c’ର ପାର୍ଶ୍ଵପରିବର୍ତ୍ତନ କରାଗଲା ।)
⇒ 4a (ax² + bx) = -4ac (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ 4a ଗୁଣନ କଲେ)
⇒ 4a² x² + 4abx= -4ac
⇒ (2ax)² + 2.2ax. b = -4ac
⇒ (2ax)² + 2.2ax.b + b² = b² – 4ac (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ b² ଯୋଗକରାଗଲା ।)
⇒ (2ax + b)² = (±\(\sqrt{(b^2-4ac)}\))² (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ପୂର୍ଣବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରାଗଲା ।)
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ - 3
(i) ରେ ନିଶ୍ଚିତ ସୂତ୍ରକୁ ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର (Quadratic Formula) କୁହାଯାଏ ।

→ ପ୍ରଭେଦକ (Discriminant) :
b² – 4ac କୁ ax² + bx + c = 0 ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ କୁହାଯାଏ ଓ ଏହାକୁ ‘D’ ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ D = b² – 4ac ।
ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ax² + bx + c = 0 କୁ ବିଚାରକୁ ନେଲାବେଳେ, ସେଥୁରେ a, b ଓ c ରାଶିତ୍ରୟ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ଓ a ≠ 0 ।
ମୂଳଦ୍ଵୟକୁ D ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ,
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ - 4

→ ମୂଳଦ୍ବୟର ସ୍ବରୂପ (Nature of roots) :
ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ (D)କୁ ବିଚାରକୁ ନେଇ ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ବୟର ସ୍ବରୂପ ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।

  • D> 0 ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପରଠାରୁ ପୃଥକ୍ ହେବେ, ଅର୍ଥାତ୍ α ≠ ß ।
  • D = 0 ହେଲେ ମୂଳଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହେବେ । ଅର୍ଥାତ୍ α = ß ।
  • D < 0 ହେଲେ ମୂଳଦ୍ୱୟ α ଓ ß ବାସ୍ତବ ହେବେ ନାହିଁ ।
    • D > 0 ଏବଂ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ଵୟ ପରିମେୟ ଏବଂ ପୃଥକ୍ ହେବେ ।
    • D > 0 ଏବଂ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନ ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ବୟ ଅପରିମେୟ ଏବଂ ପୃଥକ୍ ହେବେ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ - 5

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ

→ ମୂଳଦ୍ଵୟ ଓ ସହଟ ମଧ୍ୟରେ ସଂପକି (Relation between roots and coefficients) :
ମନେକର ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣଟି ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) ଓ ଏହାର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ - 6

(i) ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି :
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ - 7
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ - 8

→ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ଜ୍ଞାତବ୍ୟ ଫଳାଫଳ (Some known results) :
ମନେକର ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣଟି ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) ଏବଂ ଏହାର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।
∴ α + ß = \(\frac{-b}{a}\) ଏବଂ αß = \(\frac{c}{a}\)
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ - 9

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ

→ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ଗଠନ (Formation of a quadratic equation) :
ମନେକର ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) ଏବଂ ଏହାର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।
ତେବେ α + ß = \(\frac{-b}{a}\) ଏବଂ αß = \(\frac{c}{a}\)
ବର୍ତ୍ତମାନ ax² + bx + c = 0
⇒ x² + \(\frac{b}{a}\) x + \(\frac{c}{a}\) = 0 (a ଦ୍ବାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଭାଗକଲେ ।)
⇒ x² – \(\frac{-b}{a}\) x + \(\frac{c}{a}\) = 0 ⇒ x² – (α + ß) + αß = 0
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ - 10

→ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପରେ ରୂପାନ୍ତରଣ (Equations reducible to quadratic form) :
ଏପରି ଅନେକ ସମୀକରଣ ଅଛନ୍ତି, ଯେଉଁମାନଙ୍କ ରୂପ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ରୂପ; ଯଥା ax² + bx + c = 0 ନୁହେଁ । ମାତ୍ର ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିକୁ ଉପଯୁକ୍ତ ଭାବେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ଏମାନଙ୍କୁ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପକୁ ଆଣି ସମାଧାନ କରିହେବ ।

→ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ (Application of Quadratic Equaiton) :
କେତେକ ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନରେ ‘ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ’ର ଆବଶ୍ୟକତା ପଡ଼ିଥାଏ । ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନର ତର୍ଜମା ଏବଂ ଅନୁଶୀଳନରେ ଆବଶ୍ୟକ ଥିବା ଉତ୍ତରକୁ ଏକ ଅଜ୍ଞାତରାଶି ରୂପେ ନେଇ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କରାଯାଏ । ତତ୍ପରେ ଉକ୍ତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ପରେ ଇସ୍ପାତ ଉତ୍ତର ମିଳିଥାଏ । ବେଳେବେଳେ ସମୀକରଣର ସମାଧାନରେ ମିଳୁଥିବା ଦୁଇଟି ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ, ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଥିବାବେଳେ ଅନ୍ୟଟି ସିଦ୍ଧ କରୁ ନଥାଏ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସିଦ୍ଧ କରୁଥିବା ମୂଳଟି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ହୋଇଥାଏ ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(d)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(d)

Question 1.
ଗ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :

(i) xy2, x2y
ସମାଧାନ:
xy2 = x × y × y
x2y = x × x × y
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ.

(ii) 6a3b2, 8a2b3
ସମାଧାନ:
6a3b2 = 2 × 3 × a × a × a × b × b
8a2b3 = 2 × 2 × 2 × a × a × b × b × b
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ.. = 2 × a × a × b × b = 2a2b2

(iii) 12a2b4c, 15ab2c3
ସମାଧାନ:
12a2b4c = 2 × 2 × 3 × a × a × b × b × b × b × c
15ab2c3 =3 × 5 × a × b × b × c × c × c
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = 3 × a × b × b × c = 3ab2c

(iv) x2y2, x3y, xy3
ସମାଧାନ:
x2y2 = x × x × y × y
x3y = x × x × x × y
xy3 = x × y × y × y
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = xy

(v) 144x3y9z7, 108x6y6z6
ସମାଧାନ:
144x3y9z7 = 22 × 22 × 32 × x3 × y3 × y3 × y3 × z × z6
108x6y6z6 = 22 × 32 × 3 × x3 × x3 × y3 × y3 × z6
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = 22 × 32 × x3 × y3 × y3 × z6 = 36x3y6z6

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(d)

Question 2.
ଗ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :

(i) x2 – 1, x2 + x
ସମାଧାନ:
x2 – 1 = (x + 1) ( x – 1)
x2 + x = x(x + 1)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (x + 1)

(ii) a3 – ab2, a3 – b3
ସମାଧାନ:
a3 – ab2 = a(a2 – b2) = a(a + b) (a – b)
a3 – b3 = ( a – b) (a2 + ab + b2)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a – b)

(iii) 4a2 – b2, b2 – 2ab
ସମାଧାନ:
4a2 – b2 = (2a)2 – (b)2 = (2a + b) (2a – b)
b2 – 2ab = -(2ab – b2) = -b(2a – b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (2a – b)

(iv) (x – 1)3, (1 – X)2
ସମାଧାନ:
(x – 1)3 = (x – 1) (x – 1) (x – 1)
(1 – x)2 = {-(x – 1)}2 = (x – 1)(x – 1)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (x – 1)(x – 1) = (x – 1)2

(v) x2 – xy + y2, x4 + x2y2 + y4
ସମାଧାନ:
(x2 – xy + y2) = (x2 – xy + y2)
(x4 + x2y2 + y4) = (x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (x2 – xy + y2)

(vi) 6(a2 – 4b2), 10(a3 – 8b3)
ସମାଧାନ:
6(a2 – 4b2) = 2 × 3 {(a)2 – (2b)2}
= 2 × 3 (a + 2b) (a- 2b) 10(a3 – 8b3)
= 2 × 5 {(a)3 – (2b)3}
= 2 x 5 (a – 2b) (a2 + 2ab + 4b2)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = 2(a – 2b)

(vii) x2 + 7x + 12, x2 + 9x + 20
ସମାଧାନ:
x2 + 7x + 12 = x2 + 4x + 3x + 12
= x (x + 4) + 3 (x + 4)
= (x + 4) (x + 3)
x2 + 9x + 20 = x2 + 5x + 4x + 20
= x (x + 5) + 4(x + 5)
= (x + 5) ( x + 4)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (x + 4)

(viii) 4x3 – 9x, 16x3 + 54, 2x2 + 5x + 3
ସମାଧାନ:
4x3 – 9x = x (4x2 – 9) = x {(2x)2 – (3)2} = x (2x + 3)(2x – 3)
16x3 + 54 = 2(8x3 + 27) = 2{(2x)3 + (3)3}
= 2 (2x + 3) (4x2 – 6x + 9)
2x2 + 5x + 3 = 2x2 + 3x + 2x + 3
= x (2x + 3) + 1(2x + 3) = (2x + 3) (x + 1)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (2x + 3)

(ix) a2 – b2 – c2 – 2bc, a2 + b2 – c2 + 2ab
ସମାଧାନ:
a2 – b2 – c2 + 2bc = a2 – (b2 + c2 – 2bc) = (a)2 – (b- c)2 = (a + b – c) (a – b + c)
a2 + b2 – c2 + 2ab = (a2 + b2 + 2ab) – c2 = (a + b)2 – (c)2 = (a + b + c) (a + b – c)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a + b – c)

(x) a2 – b2 – c2 – 2bc, b2 – c2 – a2 – 2ca, c2 – a2 – b2 – 2ab
ସମାଧାନ:
a2 – b2 – c2 – 2bc = a2 – (b2 + c2 + 2bc) = (a)2 – (b + c)2 = (a + b + c)(a – b – c)
b2 – c2 – a2 – 2ca = b2 – (c2 + a2 + 2ca) = (b)2 – (c + a)2 = (b + c + a)(b – c – a)
c2 – a2 – b2 – 2ab = c2 – (a2 + b2 + 2ab) = (c)2 – (a + b)2 = (c + a + b)(c – a – b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a + b + c)

(xi) 8a2 – 14 ab + 6b2, 15a2 + 18ab – 33b2, 9a2b – 7ab2 – 2b3
ସମାଧାନ:
8a2 – 14ab + 6b2 = 2(4a2 – 7ab + 3b2) = 2 (4a2 – 4ab -3ab + 3b2)
= 2 {4a(a – b) -3b(a – b)} = 2(a – b)(4a – 3b)}
15a2 + 18ab – 33b2 = 15a2 + 33ab – 15ab – 33b2
= 3a(5a + 11b) – 3b(5a + 11b) = (5a + 11b)(3a – 3b) = 3(5a + 11b)(a – b)
9a2b – 7ab2 – 2b3 = b(9a2 – 7ab – 2b2)
= b(9a2 – 9ab + 2ab – 2b2) = b{9a (a – b) + 2b(a – b)} = b(a – b) (9a + 2b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a – b)

(xii) (a + b) x2 – (2a + b) bx + ab2, (a- b) x2 – (2a – b) bx + ab2
ସମାଧାନ:
(a + b)x2 – (2a + b) bx + ab2
= (a + b)x2 – {(a + b) + a} bx + ab2 = (a + b)x2 – (a + b)bx – abx + ab2
= (a + b)x (x – b) – ab(x – b) = (x – b) {(a + b) x – ab}
= (x – b) (ax + bx – ab)
(a- b)x2 – (2a – b)bx + ab2
= (a – b)x2 – {(a – b) + a} bx + ab2 = (a – b)x2 – (a – b)bx – abx + ab2
= (a – b) x (x – b) – ab(x – b) = (x – b) (x (a – b) – ab} = (x – b) (ax – bx – ab)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (x – b)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(d)

(xiii) c2 – 2ab – a2 – b2, a3 + b3 + c3 – 3abc, b2 – 2ca – c2 – a2
ସମାଧାନ:
c2 – 2ab – a2 – b2 = c2 – (2ab + a2 + b2)
= c2 – (a2 + b2 + 2ab) = c2 – (a + b)2 = {c + (a + b)}{c – (a + b)}
= (c + a + b) (c – a – b) = (a + b + c) (c – a – b)
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
b2 – 2ca – c2 – a2 = b2 – (2ca + c2 + a2)
= b2 – (a2 + c2 + 2ca) = b2 – (a + c)2 = {b + (a + c)} {b – (a + c)}
= (b + a + c) (b – a – c) = (a + b + c) (b – a – c)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a + b + c)

(xiv) a3 – b3 – c3 – 3abc, a2 – b2 – c2 – 2bc
ସମାଧାନ:
a3 – b3 – c3 – 3abc
= a3 + (-b)3 + (-c)3 – 3a (-b) (-c)
= {a + (-b) + (-c)} {a2 + (-b)2 + (-c)2 – a (-b) – (-b) (-c) – (-c) a}
= (a – b – c) (a2 + b2 + c2 + ab – bc + ca)
a2 – b2 – c2 – 2bc = a2 – (b2 + c2 + 2bc) = a2 – (b + c)2
= {a + (b + c)} {a – (b + c)} = (a + b + c) (a – b – c)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a – b – c)

Question 3.
ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :

(i) 3a3b, 4a2b
ସମାଧାନ:
3a3b = 3 × a3 × b, 4a2b = 22 × a2 × b
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 22 × 3 × a3 × b = 12a3b

(ii) 6a2b3, 4a3b4
ସମାଧାନ:
6a2b3 = 2 × 3 × a2 x b3, 4a3b4 = 22 × 3 × a3 × b4
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 22 × 3 × a3 × b4 = 12a3b4

(iii) 20a2b3c4, 34a3c5
ସମାଧାନ:
20a2b3c4 = 22 × 5 × a2 × b3 × c4, 34a3c5 = 2 × 17 × a3 × c5
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 22 × 5 × 17 × a3 × b3 × c5 = 340a3b3c5

(iv) 3a2b, 4ab2, 6ab
ସମାଧାନ:
3a2b= 3 × a2 × b, 4ab2 = 22 × a × b2, 6ab = 2 × 3 × a × b
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 22 × 3 × a2 × b2 = 12a2b2

(v) 25x3y2z2, 30x2y3z3, x3y3z2
ସମାଧାନ:
25x3y2z2 = 52 × x3 × y2 × z2, 30x2y3z3 = 2 × 3 × 5 × x2 × y3 × z3
x3y3z2 = x3 × y3 × z2
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 2 × 3 × 52 × x3 × y3 × z3 = 150x3y3z3

Question 4.
ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :

(i) a2 + ab, ab – b2
ସମାଧାନ:
a2 + ab = a(a + b), ab – b2 = b (a – b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = ab(a + b) ( a – b) = ab ( a2 – b2)

(ii) 3(x2 – y2), 4(x2 + xy)
ସମାଧାନ:
3(x2 – y2) = 3 ( x + y) (x – y), 4(x2 + xy) = 4x ( x + y)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 3 × 4 × x(x + y)(x – y) = 12x (x2 – y2)

(iii) x3 + y3, x2y + xy2
ସମାଧାନ:
x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2), x2y + xy2 = xy (x + y)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = xy (x + y)(x2 – xy + y2) xy (x3 + y3)

(iv) 6a3b – 12a2b2, 8a3 – 64b3
ସମାଧାନ:
6a3b – 12a2b2 = 6a2b(a – 2b) = 2 × 3a2b(a – 2b)
8a3 – 64b3 = 8(a3 – 8b3) = 8{(a)3 – (2b)3} = 23 (a – 2b) (a2 + 2ab + 4b2)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 23 × 3 × a2 × b(a – 2b) (a2 + 2ab + 4b2) = 24a2b (a3 – 8b3)

(v) (x – y)3, x2 – y2
ସମାଧାନ:
(x – y)3 = (x – y)3, (x2 – y2) = (x + y) ( x – y)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (x + y) ( x – y)3

(vi) x2 – xy, (x – y)2, x2 – y2
ସମାଧାନ:
x2 – xy = x (x – y), (x – y)2 = (x – y)2, x2 – y2 = (x + y) (x – y)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = x(x – y)2 (x + y)

(vii) 6(a + b)2, 8(a2 – b2), 12 (a – b)2
ସମାଧାନ:
6(a + b)2 = 2x3 (a + b)2, 8(a2 – b2) = 23 (a + b)(a – b), 12(a – b)2 = 22 × 3 (a – b)2
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 23 × 3 (a + b)2 (a – b)2 = 24(a2 – b2)2

(viii) 2x2 + 5x – 3, 4x2 – 4x + 1
ସମାଧାନ:
2x2 + 5x- 3 = 2x2 + 6x – x – 3 = 2x (x + 3) – 1 (x + 3) = (x + 3) (2x – 1)
4x2 – 4x + 1 = (2x)2 – 2.2x.1 + (1)2 = (2x – 1)2
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (2x – 1)2 (x + 3)

(ix) 3a2 + 8a + 4, a2 + 2a
ସମାଧାନ:
3a2 + 8a + 4 = 3a2 + 6a + 2a + 4 = 3a (a + 2) + 2 (a + 2) = (a + 2) ( 3a + 2)
a2 + 2a = a ( a + 2)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = a(a + 2)(3a + 2)

(x) 6x2 – 5x – 6, 4x3 – 12x2 + 9x
ସମାଧାନ:
6x2 – 5x – 6 = 6x2 – 9x + 4x – 6 = 3x (2x – 3) + 2 (2x – 3) = (2x – 3)(3x + 2)
4x3 – 12x2 + 9x = x (4x2 – 12x + 9) = x {(2x)2 – 2.2x.3 + (3)2} = x (2x – 3)2
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = x (2x – 3)2 (3x + 2)

(xi) 3x3 + 5x2 – 2x, 6x2 + 14x + 4, 9x3 – x
ସମାଧାନ:
3x3 + 5x2 – 2x = x (3x2 + 5x – 2) = x (3x2 + 6x – x – 2)
= x {3x (x + 2) – 1(x + 2)} = x (x + 2) (3x – 1)
6x2 + 14x + 4 = 2(3x2 + 7x + 2) = 2(3x2 + 6x + x + 2)
= 2{3x (x + 2) + 1 (x + 2)} = 2 (x + 2)(3x + 1)
9x3 – x = x (9x2 – 1) = x {(3x)2 – (1)2} = x(3x + 1) (3x – 1)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 2x (x + 2) (3x + 1) (3x – 1) = 2x (x + 2) (9x2 – 1)

(xii) x2 + xy + yz + zx, y2 + xy + yz + zx, z2 + xy + yz + zx
ସମାଧାନ:
x2 + xy + yz + zx = x2 + xy + zx + yz = x (x + y) + z(x + y) = (x + y) ( x + z)
y2 + xy + yz + zx = y2 + yz + xy + zx = y (y + z) + x(y + z) = (y + z ) (x + y)
z2 + xy + yz + zx = z2 + zx + yz + xy = z(z + x) + y(z + x) = (z + x) (y + z)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (x + y) ( y + z) (z + x)

(xiii) a2 – ab – ac + bc, b2 – bc – ab + ca, c2 – ca – bc + ab
ସମାଧାନ:
a2 – ab- ac + bc = a (a – b) – c (a – b) = (a – b) (a – c) = -(a – b)(c – a)
b2 – bc – ab + ca = b(b- c)- a(b – c) = (b – c )(b – a) = -(b – c)(a – b)
c2 – ca- bc + ab = c(c – a) – b(c – a) = (c – a) (c – b) = -(c – a)(b – c)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = -(a – b) (b – c)(c – a)

(xiv) a2 – b2 – c2 – 2bc, b2 – c2 – a2 – 2ca, c2 – a2 – b2 – 2ab
ସମାଧାନ:
a2 – b2 – c2 – 2bc = a2 – (b2 + c2 + 2bc) = (a)2 – (b + c)2 = (a + b + c)(a – b – c)
b2 – c2 – a2 – 2ca = b2 – (c2 + a2 + 2ca) = (b)2 – (c + a)2 = (a + b + c)(b – c – a)
c2 – a2 – b2 – 2ab = c2 – (a2 + b2 + 2ab) = (c)2 – (a + b)2 = (a + b + c)(c – a – b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (a + b + c)(a – b – c)(b – c – a)(c – a – b)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(d)

(xv) a4 + a2b2 + b4, a3 + b3, a3 – b3
ସମାଧାନ:
a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2) (a2 – ab + b2)
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2), a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab +b2)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (a + b) (a – b) (a2 + ab + b2) (a2 – ab + b2)
= {(a + b) (a2 – ab + b2)} {(a – b) (a2 + ab + b2)}
= (a3 + b3) (a3 – b3) = a6 – b6

(xvi) a6 – b4, (a + b)3, a2 – b2
ସମାଧାନ:
a6 – b6 = (a3)2 – (b3)2 = (a3 + b3)(a3 – b3) = (a + b) (a2 – ab + b2) (a – b) (a2 + ab + b2)
(a + b)3 = (a + b)3, a2 – b2 = (a + b) (a – b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (a + b)3 (a- b) (a2 + ab + b2) (a2 – ab + b2)

(xvii) a3 + b3 – 1 – 3ab,a3 + (b – 1)3, a2 – 2a + 1 – b2
ସମାଧାନ:
a3 + b3 – 1 + 3ab = a3 + b3 + (-1)3 – 3(a) (b) (-1)
= {a + b + (-1)} {a2 + b2 + (-1)2 – ab – b (-1) – (-1) a}
= (a + b – 1) (a2 + b2 + 1 – ab + b + a)
a3 + (b – 1)3 = {a + (b – 1)} {a2 – a (b – 1) + (b – 1)2}
= (a + b – 1) (a2 – ab + a + b2 – 2b + 1) = (a + b – 1) (a2 + b2 – ab + a – 2b + 1)
a2 – 2a + 1 – b2 = (a – 1)2 – b2 = (a – 1 + b) (a – 1 – b)
= (a + b – 1) (a – b – 1)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (a + b – 1) (a – b – 1)
(a2 + b2 + 1 – ab + b + a) (a2 + b2 – ab + a – 2b + 1)

(xviii) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3, (x – y)3 – (z – y)3 – (x – z)3
ସମାଧାନ:
(x – y)3 +(y – z)3 + (z – x)3
ମନେକର x – y = a, y – z = b, z – x = c
a + b + c = x – y + y – z + z – x
⇒ a + b + c = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
⇒ (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3 (x – y) (y – z) (z – x) (abcର ମାନ ସଂସ୍ଥ।ପନ କଳେ)
(x – y)3 – (z – y)3 – (x – z)3
ମନେକର x – y = a, z – y = b, x – z = c
a – b – c = (x – y) – (z – y) – (x – z) = x – y – z + y – x + z = 0
a – b – c = 0 ହେଲେ a3 – b3 – c3 = 3a (-b) (-c) = 3abc
(x – y)3 – (z – y)3 – (x – z)3 = 3 (x – y) (z – y) (x – z)
= 3(x – y) {-(y – z)} {-(z – x)} = 3 (x – y) (y – z) (z – x)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 3 (x – y) (y – z) (z – x)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ନିଶ୍ଚୟ କର ।

(i) 3x2 – 4x = -4x + 5
ସମାଧାନ:
ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 2 ତାହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ଅଟେ ।
3x2 – 4x = -4x + 5 ⇒ 3x2 – 5 = 0 (ହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(ii) x3 – 2x2 + 4 = x3 + 2x
ସମାଧାନ:
x3 – 2x2 + 4 = x3 + 2x
⇒ -2x2 – 2x + 4 = 0 ⇒ 2x2 + 2x – 4 = 0 (ହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(iii) x + \(\frac{3}{x}\) = x2 (x ≠ 0)
ସମାଧାନ:
x + \(\frac{3}{x}\) = x2 + 3 = x3 ⇒ x3 – x2 – 3 = 0
(ଏହି ସମୀକରଣଟିର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 3 ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ ।)

(iv) x + \(\frac{1}{x}\) = 2 (x ≠ 0)
ସମାଧାନ:
x + \(\frac{1}{x}\) = 2 ⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) ⇒ x2 + 1 = 2x ⇒ x2 – 2x + 1 = 0 (ହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(v) (x + 3)2 = 0
ସମାଧାନ:
(x + 3)2 = 0 ⇒ x2 + 6x + 9 = 0 (ହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(vi) \(\frac{1}{x}\) x2 + \(\frac{3}{2}\) x – \(\frac{5}{4}\) = 0
ସମାଧାନ:
\(\frac{1}{x}\) x2 + \(\frac{3}{2}\) x – \(\frac{5}{4}\) = 0
⇒ \(\frac{2 x^2+6 x-5}{4}\) ⇒ 2x2 + 6x – 5 = 0 (ହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(vii) 3x2 = 2x + 7
ସମାଧାନ:
3x2 = 2x + 7 ⇒ 3x2 – 2x – 7 = 0 (ହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(viii) (3x + 2)2 – (x + 4)2 = (x – 3)
ସମାଧାନ:
(3x + 2)2 – (x + 4)2 = (x – 3)
⇒ 9x2 + 4 + 6x- x2 – 16 – 8x = x- 3 ⇒ 8x2 – 2x – 12 = x – 3
⇒ 8x2 – 3x – 9 = 0 (ହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(ix) 7x2 + 9 = 0
ସମାଧାନ:
7x2 + 9 = 0 (ହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b)

(x) 4x = 3 + 6x2
ସମାଧାନ:
4x = 3 + 6x2 ⇒ 6x2 – 4x + 3 = 0 (ହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ସମୀକରଣ ସିଦ୍ଧ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ତାଙ୍କର ମୂଳଦ୍ଵାରା ସିଦ୍ଧ ହୁଅନ୍ତି ।

(i) x2 – 3x = 0 (0, 1, 2, 3)
ସମାଧାନ:
x2 – 3x = 0 ⇒ x (x – 3) = 0
⇒ x = 0 ବା x = 3 ∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 0 ଓ 3 ‍।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
x2 – 3x = 0 (0 ଓ 3 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(ii) 3x2 – 12 = 0 (1, -1, 2, -2)
ସମାଧାନ:
3x2 – 12 = 0 ⇒ 3x2 = 12 ⇒ x2 = 4
⇒ x = ±√4 = ± 2 ∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ -2 ‍।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
3x2 – 12 = 0 (2 ଓ -2 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(iii) x2 – 3x + 2 = 0 (0, 1, 2, 3)
ସମାଧାନ:
x2 – 3x + 2 = 0 ⇒ x2 – 2x – x + 2 = 0
⇒ x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(x + 1) ⇒ x – 2 = 0 ବା x – 1 = 0 ⇒ x = 2 ବା x = 1
ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ 1 ‍।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
x2 – 3x + 2 = 0 (2 ଓ 1 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(iv) x2 + √2x – 4 = 0 (√2, -√2, 2√2, -2√2)
ସମାଧାନ:
x2 + √2x – 4 = 0 ⇒ x2 + 2√2x – √2x – 4 = 0
⇒ x (x + 2√2) – √2 (x + 2√2 ) = 0
(x + 2√2) (x – √2) = 0 ⇒ x + 2√2 =0 ବା x – √2 = 0
x = -2√2, x = √2
ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ -2√2 ଓ √2 ‍।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
x2 + √2x – 4 = 0 (-2√2 ଓ √2 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(v) x2 – x – 2 = 0 (1, 0, -1, 2)
ସମାଧାନ:
x2 – x – 2 ⇒ x2 – 2x + x – 2 = 0 ⇒ x (x – 2) + 1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x + 1) = 0 ⇒ x – 2 = 0 ବା x + 1 = 0 ⇒ x = 2 ବା x = -1
ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ -1 ‍।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
x2 – x – 2 = 0 (2 ଓ -1 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b)

Question 3.
ସମାଧାନ କର :

(i) 7x2 = \(\frac{1}{28}\)
ସମାଧାନ:
7x2 = \(\frac{1}{28}\)
⇒ x2 = \(\frac{1}{196}\)
⇒ x = ± \(\sqrt{\frac{1}{196}}=\pm \frac{1}{14}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ \(\frac{1}{14}\) \(\frac{-1}{14}\)

(ii) 5x2 = 3x
ସମାଧାନ:
5x2 = 3x
⇒ 5x2 – 3x = 0
⇒ x (5x – 3) = 0
⇒ x = 0 କିମ୍ବ। 5x – 3 = 0
⇒ x = 0 କିମ୍ବ। x = \(\frac{3}{4}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 0 \(\frac{3}{4}\)

(iii) x2 – 3x + 2 = 0
ସମାଧାନ:
x2 – 3x + 2 = 0
⇒ x2 – 2x – x + 2 = 0
⇒ x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x – 1) = 0
⇒ x -2 = 0 କିମ୍ବ। x – 1 = 0
⇒ x = 2 କିମ୍ବ। x = 1
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 2 ଓ 1

(iv) (x + 1) (x + 2) = 30
ସମାଧାନ:
(x + 1) (x + 2) = 30
⇒ x2  + x + 2x + 2 – 30 = 0
⇒ x2  + 3x – 28 = 0
⇒ x2  + 7x – 4x – 28 = 0
⇒ x (x + 7) – 4 (x + 7) = 0
⇒ (x + 7) (x – 4) = 0
⇒ x + 7 = 0 କିମ୍ବ। x – 4 = 0
⇒ x = -7 କିମ୍ବ। x = 4
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ -7 ଓ 4

(v) √3x2 – x – 2√3 = 0
ସମାଧାନ:
√3x2 – x – 2√3 = 0
⇒ √3x2 – 3x + 2x – 2√3 = 0
⇒ √3x (x – √3) + 2 (x – √3) = 0
⇒ (x – √3)(√3x + 2) = 0
⇒ x – √3 = 0 √3x +2 = 0
⇒ x = √3 କିମ୍ବ। x = \(\frac{-2}{\sqrt{3}}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ √3 ଓ \(\frac{-2}{\sqrt{3}}\)

(vi) 2x2 – 5x – 3 = 0
ସମାଧାନ:
2x2 – 5x – 3 = 0
⇒ 2x2 – 6x + x – 3 = 0
⇒ 2x (x – 3) + 1 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (2x + 1) = 0
⇒ x – 3 = 0 କିମ୍ବ। 2x + 1 = 0
⇒ x = 3 କିମ୍ବ। x = \(\frac{-1}{2}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 3 ଓ \(\frac{-1}{2}\) 

(vii) x2 + ax = 2a2
ସମାଧାନ:
x2 + ax = 2a2
⇒ x2 + ax – 2a2 = 0
⇒ x2 + 2ax – ax – 2a2 = 0
⇒ x (x + 2a) – a (x + 2a) = 0
⇒ (x + 2a) (x – a) = 0
⇒ x + 2a = 0 କିମ୍ବ। x – a = 0
⇒ x = -2a କିମ୍ବ। x = a
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ a ଓ -2a

(viii) x2 + 2ax + a2 – b2 = 0
ସମାଧାନ:
x2 + 2ax + a2 – b2 = 0
⇒ x2 + 2ax + a2 = b2
⇒ (x + a)2 = b2
⇒ x + a = ± √b2
⇒ x + a = ± b
∴ x + a = b କିମ୍ବ। x + a = -b
⇒ x = b – a କିମ୍ବ। x = -(a + b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (b – a) ଓ -(a + b)

Question 4.
ସମାଧାନ କର :

(i) \(\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}=\frac{4}{15}\)
ସମାଧାନ:
⇒ \(\frac{3 x-(x+2)}{x(x+2)}=\frac{4}{15}\)
⇒ \(\frac{3 x-x-2}{x^2+2 x}=\frac{4}{15}\)
⇒ 4 (x2 + 2x) = 15 (2x – 2)
⇒ 4x2 + 8x = 30x – 30
⇒ 4x2 + 8x – 30x + 30 = 0
⇒ 4x2 – 22x + 30 = 0
⇒ 4x2 – 12x – 10x + 30 = 0
⇒ 4x (x – 3) – 10 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (4x – 10) = 0
⇒ x – 3 = 0 କିମ୍ବ। 4x – 10 = 0
⇒ x = 3 କିମ୍ବ। x = \(\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 3 ଓ \(\frac{5}{2}\)

(ii) \(\frac{5}{3 x-2}+\frac{3}{x+2}\) = 1
ସମାଧାନ:
⇒ \(\frac{5(x+2)+3(3 x-2)}{(3 x-2)(x+2)}\) = 1
⇒ 5x + 10 + 9x – 6 = (3x – 2) (x + 2)
⇒ 14x + 4 = 3x2 + 6x – 2x – 4
⇒ 3x2 + 4x – 4 = 14x + 4
⇒ 3x2 + 4x – 14x – 4 – 4 = 0
⇒ 3x2 – 10x – 8 = 0
⇒ 3x2 – 12x + 2x – 8 = 0
⇒ 3x (x – 4) + 2 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (3x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 ବା 3x + 2 = 0
⇒ x = 4 ବା x = \(-\frac{2}{3}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 4 ଓ \(-\frac{2}{3}\)

(iii) \(\frac{x+1}{x+3}-\frac{1-x}{3+2 x}\) = 2
ସମାଧାନ:
⇒ \(\frac{(x+1)(2 x+3)-(x+3)(1-x)}{(x+3)(2 x+3)}\) = 2
⇒ \(\frac{\left(2 x^2+3 x+2 x+3\right)-\left(x-x^2+3-3 x\right)}{2 x^2+6 x+3 x+9}\)
⇒ (2x2 + 5x + 3) – (- x2 – 2x + 3) = 2 (2x2 + 9x + 9)
⇒ 2x2 + 5x + 3 + x2 + 2x- 3 = 4x2 + 18x + 18
⇒ 3x2 + 7x – 4x2 – 18x – 18 = 0
⇒ -x2 – 11x – 18 = 0
⇒ x2 + 11x + 18 = 0
⇒ x2 + 9x + 2x + 18 = 0
⇒ x (x + 9) + 2 (x + 9) = 0
⇒ (x + 9) (x + 2) = 0
⇒ x + 9 = 0 ବା x + 2 = 0
⇒ x = -9 ବା x = -2
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ -9 ଓ -2

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b)

(iv) \(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=\frac{5}{2}\)
ସମାଧାନ:
⇒ \(\frac{x^2+(x+1)^2}{x(x+1)}=\frac{5}{2}\)
⇒ \(\frac{x^2+x^2+2 x+1}{x^2+x}=\frac{5}{2} \Rightarrow \frac{2 x^2+2 x+1}{x^2+x}=\frac{5}{2}\)
⇒ 5(x2 + x) = 2 (2x2 + 2x + 1)
⇒ 5x2 + 5x = 4x2 + 4x + 2
⇒ 5x2 – 4x2 + 5x – 4x – 2 = 0
⇒ x2 + x – 2 = 0
⇒ x2 + 2x – x – 2 = 0
⇒ x (x + 2) – 1 (x + 2) = 0
⇒ (x – 1) (x + 2) = 0
⇒ x – 1 = 0 ବା x + 2 = 0
⇒ x = 1 ବା x = -2
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 1 ଓ -2

Question 5.
(i) x2 – 7x + a = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 3 ହେଲେ, aର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
x2 – 7x + a = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 3।
⇒ (3)2 – 7(3) + a = 0 ⇒ 9 – 21 + a = 0
a – 12 = 0⇒ a = 12
a = 12 ହେଲେ ସମୀକରଣଟି x2 – 7x + 12 = 0
⇒ x2 – 4x – 3x + 12 = 0
x (x – 4) – 3(x – 4) = 0 ⇒ (x – 3) (x – 4) = 0
x – 3 = 0 କିମ୍ବା x – 4 = 0 ⇒ x = 3 କିମ୍ବା x = 4
∴ ସମୀକରଣଟିର ଅନ୍ୟ ବୀଜ 4 । ∵ ପୂର୍ବରୁ ଗୋଟିଏ ବୀଜ 3 ଦତ୍ତ ଅଛି ।
∴ a ର ମାନ 12 ଏବଂ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି 4 ।

(ii) x2 + ax – 15 = 0) ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 5 ହେଲେ, ଥର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
x2 + ax – 15 = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 5 ।
⇒ (5)2 + a(5) – 15 = 0 ⇒ 25 + 5a – 15 = 0
⇒ 10 + 5a = 0 ⇒ 10 = -5a ⇒ a = \(\frac{10}{-5}\) = -2
aର ମାନ – 2 ହେଲେ ସମୀକରଣଟି x2 – 2x – 15 = 0 ⇒ x2 – 5x + 3x – 15 = 0
⇒ x (x – 5) + 3 (x – 5) = 0 ⇒ (x – 5) (x + 3) = 0
x – 5 = 0 ବା x + 3 = 0 ⇒ x = 5 ବା x = -3
ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି -3 ∵ ଗୋଟିଏ ବୀଜ 5 ଦତ୍ତ ଅଛି ।
aର ମାନ – 2 ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି – 3 ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(c)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(c)

Question 1.
ଦୁଇଗୋଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 221 ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ x ଓ x + 1 ।
ପ୍ରଶାନୁସାରେ x2 + (x + 1)2 = 221 ⇒ x2 + x2 + 2x + 1 = 221
⇒ 2x2 + 2x + 1 – 221 = 0 ⇒ 2x2 + 2x – 220 = 0
⇒ x2 + x – 110 = 0 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 2 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ।)
⇒ x2 + 11x – 10x – 110 = 0 ⇒ x (x + 11) − 10 (x + 11) = 0
(x + 11) (x – 10) = 0 ⇒ x + 11 = 0 ବା x – 10 = 0
⇒ x = -11 ବା x = 10 ଏଠାରେ x = -11 (ଋଣାତ୍ମକ) । ତେଣୁ x = 10 ହେବ
ଗୋଟିଏ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା 10 ହେଲେ ଅନ୍ୟଟି = 10 + 1 = 11
କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 10 ଏବଂ 11 ।

Question 2.
କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ବର୍ଗ ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ x2 = x ⇒ x2 – x = 0 ⇒ x(x – 1) = 0
⇒ x = 0 ବା x – 1 = 0 ⇒ x = 0 ବା 1
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି 0 ବା 1

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(c)

Question 3.
51 କୁ ଏପରି ଦୁଇ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯେପରି ଭାଗ ଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ 378 ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ସମାଧାନ ମନେକର ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା = x ଓ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି = 51 – x
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x (51 – x) = 378 = 0 ⇒ 51 – x2 = 378 ⇒ x2 – 51x + 378 = 0
⇒ x2 – 42x – 9x + 378 = 0 ⇒ x (x – 42) – 9(x – 42) = 0
⇒ (x – 42)(x – 9) = 0 ⇒ x – 42 = 0 ବା x – 9 = 0
⇒ x = 42 ବା x = 9
ଯଦି x = 42 ହୁଏ ତେବେ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 9 । ସେହିପରି ଯଦି x = 9 ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 42 ।
∴ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 42 ଓ 9 1

Question 4.
କୌଣସି ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ଏହାର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଦୁଇଗୁଣରୁ 1 ସେ.ମି. କମ୍ ଏବଂ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 1 ସେ.ମି. ଅଧ୍ଵ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି.
କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x – 1 ସେ.ମି. ଓ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 1) ସେ.ମି.
BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(c) ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x2 + (x + 1)2 = (2x – 1)2
⇒ x2 + x2 + 2x + 1 = 4x2 – 4x + 1
⇒ 2x2 – 4x2 + 2x + 4x + 1 – 1 = 0
⇒ -2x2 + 6x = 0
⇒ 2x2 – 6x = 0 ⇒ 2x(x – 3) = 0
⇒ x = 0 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ) ବା x – 3 = 0 ⇒ x = 3
 କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 3 ସେ.ମି.
ଅନ୍ୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 1 = 3 + 1 = 4 ସେ.ମି.
କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x – 1 = 2 × 3 – 1 = 6 – 1 = 5 ସେ.ମି.
ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. ।

Question 5.
କୌଣସି ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5x ସେ.ମି. ଓ 3x – 1 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
କୌଣସି ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ 5x ସେ.ମି. ଓ 3x – 1 ସେ.ମି. ।
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac{1}{2}\) (5x) (3x – 1) = 60 ⇒ 15x2 – 5x = 120
15x2 – 5x – 120 = 0 5(3x2 – x – 24) = 0
3x2 – x – 24 = 0 3x2 – 9x + 8x – 24 = 0
3x (x – 3) + 8 (x – 3) = 0 (x – 3)(3x + 8) = 0
x – 3 = 0 ବା 3x + 8 = 0 x = 3 ବା x = \(\frac{-8}{3}\) (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ 5x = 5 × 3 = 15 ସେ.ମି. ଏବଂ 3x – 1 = 3 × 3 – 1 = 8 ସେ.ମି. ।
କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ \(\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}\) = 17 ସେ.ମି. ।
ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି., 15 ସେ.ମି. ଓ 17 ସେ.ମି. ।

Question 6.
କୌଣସି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଏହାର ବ୍ୟତ୍‌କ୍ରମ ସଂଖ୍ୟା (Reciprocal)ର ସମଷ୍ଟି \(\frac{17}{4}\) ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x ଓ ଏହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ \(\frac{1}{x}\)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{17}{4}\) ⇒ \(\frac{x^2+1}{x}=\frac{17}{4}\)
⇒ 4x2 + 4 = 17x ⇒ 4x2 – 17x + 4 = 0
⇒ 4x2 – 16x – x + 4 = 0 ⇒ 4x (x – 4) – 1 (x + 4) = 0
⇒ (x – 4) (4x – 1) = 0 ⇒ x – 4 = 0 ବା 4x – 1 = 0
⇒ x = 491 x = \(\frac{1}{4}\)
ଯଦି x = 4 ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ବ୍ୟତ୍‌କ୍ରମ \(\frac{1}{4}\) ହେବ ।
ପୁନଶ୍ଚ ଯଦି x = \(\frac{1}{4}\) ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ବ୍ୟତ୍‌କ୍ରମ 4 ହେବ ।
ସଂଖ୍ୟାଟି 4 କିମ୍ବା \(\frac{1}{4}\) ।

Question 7.
କୌଣସି ଏକ ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥ ଅପେକ୍ଷା ୫ ମି. ଅଧ୍ବକ । ଯଦି ଉକ୍ତ ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 308 ବର୍ଗ ମି. ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ = x ମି. ଓ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 8) ମି.
ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (x + 8) x ବର୍ଗ ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, (x + 8) x = 308 = x2 + 8x – 308 = 0
x2 + 22x – 14x – 308 = 0 ⇒ x (x + 22) – 14 (x + 22) = 0
⇒ (x – 14) (x + 22) = 0 ⇒ x – 14 = 0 କିମ୍ବା x + 22 = 0
⇒ x = 14 କିମ୍ବା x = -22 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ = 16 ମି. ଓ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 8 = 14 + 8 = 22 ମିଟର ।
ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22 ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 14 ମିଟର ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(c)

Question 8.
ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀର ପିଲାମାନେ ଭ୍ରମଣରେ ଯିବା ପାଇଁ 3600 ଟଙ୍କା ଭଡ଼ାରେ ଏକ ବସ୍ ବରାଦ କଲେ । କିନ୍ତୁ ଶେଷବେଳକୁ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 3 ଜଣ ପିଲା ଓହରି ଯିବାରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କୁ ଆଉ ଚାଳିଶ ଟଙ୍କା ଲେଖାଏଁ ଅଧିକ ଦେବାକୁ ପଡ଼ିଲା । ପ୍ରଥମରୁ କେତେ ପିଲା ଯିବା ପାଇଁ ମନସ୍ଥ କରିଥିଲେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ପ୍ରଥମରୁ x ଜଣ ପିଲା ଭ୍ରମଣକୁ ଯିବାପାଇଁ ମନସ୍ଥ କରିଥିଲେ ।
x ଜଣ ପିଲା ଟଙ୍କା ପାଇଁ 3600 ବସ୍ ଭଡ଼ା ପଡ଼ିଥିଲେ
ପ୍ରତି ଜଣକୁ ଦେବାକୁ ପଡ଼ିଥା’ନ୍ତା = \(\frac{3600}{x-3}\) ଟଙ୍କା
3 ଜଣ ପିଲା ଓହରିଯିବାରୁ ଭ୍ରମଣପାଇଁ ଗଲେ = (x – 3) ଜଣ
(x – 3) ଜଣ ପିଲା ପାଇଁ 3600 ଟଙ୍କା ବସ୍‌ଭଡ଼ା ପଡ଼ିଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଭଡ଼ା ଦେବାକୁ ପଡ଼ିବ = \(\frac{3600}{x-3}\) ଟଙ୍କା
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, \(\frac{3600}{x-3}-\frac{3600}{x}\) = 40 ⇒ 3600 (\(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}\)) = 40
⇒ \(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}=\frac{40}{3600} \Rightarrow \frac{x-x+3}{x(x-3)}=\frac{1}{90}\)
⇒ x (x – 3) = 3 × 90 ⇒ x2 – 3x – 270 = 0
⇒ x2 – 18x + 15x – 270 = 0 ⇒ x (x – 18) + 15 (x – 18) = 0
⇒ (x – 18) (x + 15) = 0 ⇒ x – 18 = 0 ବା x + 15 = 0
⇒ x = 18 ବା x = -15 (ଅସମୃବ)
∴ ପ୍ରଥମରୁ 18 ଜଣ ପିଲା ଭ୍ରମଣ ପାଇଁ ମନସ୍ଥ କରିଥିଲେ ।

Question 9.
ତିନିଗୋଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 110 ହେଲେ ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା x, x + 1 ଓ (x + 2 )
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = 110
⇒ x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = 110
⇒ 3x2 + 6x + 5 = 110 ⇒ 3x2 + 6x + 5 – 110 = 0
⇒ 3x2 + 6x – 105 = 0 ⇒ 3 (x2 + 2x – 35) = 0
⇒ x2 + 2x – 35 = 0 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 3 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ।)
⇒ x2 + 7x – 5x – 35 = 0 ⇒ x (x + 7) – 5 (x + 7) = 0
⇒ (x + 7) (x – 5) = 0 ⇒ x + 7 = 0 ବା x – 5 = 0
⇒ x = -7 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ) ବା x = 5
⇒ x + 1 = 5 + 1 = 6, x + 2 = 5 + 2 = 7
∴ ତିନିଗୋଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା 5, 6 ଓ 7 1

Question 10.
ଦୁଇଗୋଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 290 ହେଲେ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ x ଓ x + 2 ।
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, x2 + (x + 2)2 = 290 ⇒ x2 + x2 + 4x + 4 – 290 = 0
⇒ 2x2 + 4x – 286 = 0 ⇒ 2(x2 + 2x – 143) = 0
⇒ x2 + 2x – 143 = 0
⇒ x2 + 13x – 11x – 143 = 0 ⇒ x (x + 13) – 11 (x + 13) = 0
⇒ (x + 13) (x – 11) = 0 ⇒ x + 13 = 0 ବା x – 11 = 0
⇒ x = -13 ବା x = 11
⇒ x = -13 ହେଲେ x + 2 = -13 + 2 = -11
⇒ x= 11 ହେଲେ x + 2 = 11 + 2 = 13
କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ – 13 ଓ – 11 ବା 11 ଓ 13 

Question 11.
ଏକ ଆୟତ କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଅପେକ୍ଷା 2 ମିଟର ଅଧୂକ । ଯଦି କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 48 ବର୍ଗ ମିଟର ହୁଏ, ତେବେ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ = x ମିଟର ଓ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 2) ମିଟର ।
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (x + 2) x ବର୍ଗ ମିଟର ।
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, x (x + 2) = 48 ⇒ x2 + 2x = 48
⇒ x2 + 2x – 48 = 0 ⇒ x2 + 8x – 6x – 48 = 0
⇒ x (x + 8)- 6 (x + 8) = 0 ⇒ (x – 6) (x + 8) = 0
⇒ x – 6 = 0 ବା x + 8 = 0 ⇒ x = 6 ବା x = -8 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
ପ୍ରସ୍ଥ = 6 ସେ.ମି., ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 2 = 6 + 2 = 8 ସେ.ମି. ।
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. ଓ 6 ସେ.ମି. ।

Question 12.
ଏକ ମୋଟର ଲଞ୍ଚ ନଦୀ ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ 36 କି.ମି. ଯାତ୍ରା କରି ଯାତ୍ରା ଆରମ୍ଭ ସ୍ଥାନକୁ ଫେରି ଆସିବାକୁ ସମୁଦାୟ 8 ଘଣ୍ଟା ସମୟ ନେଲା । ଯଦି ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ 6 କି.ମି. ହୁଏ, ତେବେ ସ୍ଥିର ଜଳରେ ଲଞ୍ଚଟିର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ମୋଟର ଲଞ୍ଚର ସ୍ଥିର ଜଳରେ ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ = x କି.ମି. ।
ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ = 6 କି.ମି. ।
ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ଲଞ୍ଚଟି 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଯିବ = (x + 6) କି.ମି. ।
ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ ଲଞ୍ଚଟି 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଯିବ = (x – 6) କି.ମି. ।
ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ଲଞ୍ଚଟିକୁ 36 କି.ମି. ଯିବାକୁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{36}{x+6}\) ଘଣ୍ଟା
ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ ଲଞ୍ଚଟିକୁ 36 କି.ମି. ଯିବାକୁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{36}{x=6}\) ଘଣ୍ଟା
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, \(\frac{36}{x+6}+\frac{36}{x-6}\) = 8 ⇒ 36(\(\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x-6}\)) = 8
⇒ \(\frac{x-6+x+6}{(x+6)(x-6)}=\frac{8}{36}\) ⇒ \(\frac{2 x}{x^2-36}=\frac{8}{36}\)
⇒ \(\frac{x}{x^2-36}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\) ⇒ x2 – 36 = 96
⇒ x2 – 9x – 36 = 0 ⇒ x2 – 12x + 3x – 36 = 0
⇒ x (x – 12) + 3 (x – 12) = 0 ⇒ (x – 12) (x + 3) = 0
⇒ x – 12 = 0 ବା x + 3 = 0 ⇒ x = 12 ବା x = -3 (ଅସମୃବ)
ମୋଟର ଲଞ୍ଚର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ 12 କି.ମି. ।

Question 13.
ଦୁଇଗୋଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅପରଟିର ଦୁଇ ଗୁଣରୁ ଏକ ମିଟର କମ୍ । ଯଦି କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳମାନଙ୍କ ଅନ୍ତର 56 ବର୍ଗ ମିଟର ହୁଏ, ତେବେ ଦୁଇଟି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ମିଟର ।
 ଅନ୍ୟ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (2x – 1) ମିଟର ।
କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଯଥାକ୍ରମେ x2 ବର୍ଗ ମି. ଏବଂ (2x – 1)2 ବର୍ଗ ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, (2x- 1)2 – x2 = ବର୍ଗ ମି. ⇒ 4x2 – 4x + 1 – x2 = 56
⇒ 3x2 – 4x + 1 – 56 = 0 ⇒ 3x2 – 4x – 55 = 0
⇒ 3x2 – 15x + 11x – 55 = 0 ⇒ 3x (x – 5) + 11 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5)(3x + 11) = 0 ⇒ x – 5 = 0 ବା 3x + 11 =0
⇒ x = 5 ବା 3x= -11 ⇒ x = 5 ବା x = \(\frac{-11}{3}\)
ଏଠାରେ x = \(\frac{-11}{3}\) (ଅସମୃବ)
x = 5 ମି. ହେଲେ 2x – 1 = 2 × 5 – 1 = 10 – 1=9 ମି.
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ମି. ଓ 9 ମି. ।

BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(c)

Question 14.
ଦୁଇଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ଅପରଟିର ତିନି ଗୁଣରୁ ଦୁଇ କମ୍ । ଯଦି ସଂଖ୍ୟା)ଦ୍ୱୟର ବର୍ଗର ଅନ୍ତର 312 ହୁଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା = x, ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ ଅନ୍ୟ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା = 3x – 2 
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, (3x- 2)2 – x2 = 312 ⇒ 9x2 – 12x + 4 – x2 = 312
⇒ 8x2 – 12x + 4 – 312 = 0 ⇒ 8x2 – 12x – 308 = 0
⇒ 4 (2x2 – 3x – 77) = 0
⇒ 2x2 – 3x – 77 = 0 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ।)
⇒ 2x2 – 14x + 11x – 77 = 0 ⇒ 2x(x – 7) + 11(x – 7) = 0
⇒ (x – 7)(2x + 11) = 0 ⇒ x – 7 = 0 ବା 2x + 11 =0
ଯଦି x – 7 = 0 ହୁଏ, ତେବେ x = 7
ଯଦି 2x + 11 = 0 ହୁଏ, ତେବେ 2x = -11 ⇒ x = \(\frac{-11}{3}\) (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
x = 7 ହେଲେ 3x – 2 = 3 × 7 – 2 = 21 – 2 = 19
ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 7 ଓ 19 ।

Question 15.
ଦୁଇଟି ଷ୍ଟେସନ୍ Á ଓ B ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା 192 କି.ମି. । ଏକ ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍ A ରୁ Bକୁ ଯିବାକୁ ଯେତିକି ସମୟ ନିଏ ଏକ ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍ ତା’ଠାରୁ ଦୁଇଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ସମୟ ନିଏ । ଯଦି ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ ଦୃତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ ଠାରୁ 16 କି.ମି. କମ୍ ହୁଏ, ତେବେ ଟ୍ରେନ୍‌ଦ୍ଵୟର ହାରାହାରି ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
 A ଓ B ଦୁଇଟି ଷ୍ଟେସନ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = 192 କି.ମି.
ମନେକର ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ = x କି.ମି.
ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ = (x – 16) କି.ମି. ।
192 କି.ମି. ବାଟ ଯିବାକୁ ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍‌କୁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{192}{x}\) ଘଣ୍ଟା (∴ ସମୟ =\(\frac{ଦୂରତା}{ବେଗ}\)
192 କି.ମି. ଯିବାକୁ ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍‌କୁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{192}{x-16}\) ଘଣ୍ଟା
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, \(\frac{192}{x-16}-\frac{192}{x}\) = 2 ⇒ 192(\(\frac{1}{x-16}-\frac{1}{x}\)) = 2 ⇒ \(\frac{1}{x-16}-\frac{1}{x}=\frac{2}{192}\)
⇒ \(\frac{x-x+16}{x(x-16)}=\frac{1}{96}\) ⇒ x(x – 16) = 16 × 96
⇒ x2 – 16x – 1536 = 0 ⇒ x2 – 48x + 32x – 1536 = 0
⇒ x(x – 48) + 32(x – 48) = 0 ⇒ (x – 48) (x + 32) = 0
⇒ x – 48 = 0 କିମୃ। x + 32 = 0 ⇒ x = 48 କିମୃ। x = -32 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ = 48 କି.ମି. ।
ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ = x – 16 = 48 – 16 = 32 କି.ମି. ।

Question 16.
ଗୋଟିଏ ନୌକାର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ସ୍ଥିର ଜଳରେ 11 କି.ମି. । ଏହା ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ 12 କି.ମି. ଗତିକରି ପୁନଶ୍ଚ ଅନୁକୂଳରେ ଫେରିଆସିବାକୁ ମୋଟ 2 ଘଣ୍ଟା 45 ମିନିଟ୍ ସମୟ ନେଲା ତେବେ ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସ୍ରୋତର ବେଗ = x କି.ମି.|ଘଣ୍ଟା । ଦତ୍ତ ଅଛି ନୌକାର ବେଗ = 11 କି.ମି. /ଘଣ୍ଟା ।
ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ନୌକାର ବେଗ (11 + x) କି.ମି. /ଘଣ୍ଟା
ଏବଂ ପ୍ରତିକୂଳରେ ନୌକାର ବେଗ = (11 – x) କି.ମି. /ଘଣ୍ଟା 
ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ 12 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{12}{11+x}\) ଘଣ୍ଟା
ଏବଂ ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ 12 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{12}{11-x}\) ଘଣ୍ଟା
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, \(\frac{12}{11+x}+\frac{12}{11-x}\) = 2 \(\frac{45}{60}\) ବା 2 \(\frac{3}{4}\) ⇒ \(\frac{132-12 x+132+12 x}{(11+x)(11-x)}=\frac{11}{4}\)
⇒ \(\frac{264}{121-x^2}=\frac{11}{4}\) ⇒ 1056 = 1331 – 11x2
⇒ 11x2 = 1331 – 1056 = 275 ⇒ x2 = \(\frac{275}{11}\) ⇒ x = √25 = 5
ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ 5 କି.ମି. ।

Question 17.
ଗୋଟିଏ ଗାଈଗୋଠର ଏକ ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଦୃଷ୍ଟିଗୋଚର ହେଉଥିଲେ । ଗୋଠରେ ଥ‌ିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗମୂଳର ଦୁଇଗୁଣ ସଂଖ୍ୟକ ଗାଈ ପାହାଡ଼ର ପାଦଦେଶରେ ଚରୁଥିଲେ ଏବଂ ଅବଶିଷ୍ଟ 15 ଟି ଗାଈ ନଦୀକୂଳରେ ଚରୁଥିଲେ । ତେବେ ଗୋଠରେ କେତୋଟି ଗାଈ ଥିଲେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଗାଈ ଗୋଠରେ x2ଟି ଗାଈ ଥିଲେ । ଦୃଷ୍ଟିଗୋଚର ହେଉଥ‌ିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = \(\frac{x^2}{4}\)
ପାହାଡ଼ର ପାଦ ଦେଶରେ ବୁଲୁଥ‌ିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = 2x  ନଦୀକୂଳରେ ଚରୁଥିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = 15
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, x2 = \(\frac{x^2}{4}\) + 2x + 15 ⇒ x2 = \(\frac{x^2+8 x+60}{4}\)
⇒ 4x2 – x2 – 8x- 60 = 0 ⇒ 3x2 – 8x – 60 = 0
⇒ 3x2 – 18x + 10x – 60 = 0 ⇒ 3x (x – 6) + 10 (x-  6) = 0
⇒ (x – 6) (3x + 10) = 0 ⇒ x – 6 = 0 ଘଣ୍ଟା  3x + 10 = 0
⇒ x = 6 ଘଣ୍ଟା x = \(\frac{-10}{3}\) (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
⇒ x2 = 62 = 36
ଗୋଠରେ 36ଟି ଗାଈ ଥିଲେ ।
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : ମନେକର ଗୋଠରେ ଥିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = x
ଦୃଷ୍ଟିଗୋଚର ହେଉଥୁବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = \(\frac{x}{4}\)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x= \(\frac{x}{4}\) + 2√x + 15 ⇒ \(\frac{3x}{4}\) – 15=2√x
⇒ 3x – 60 = 8√x ⇒ 9x2 + 3600 – 360x = 64x
⇒ 9x2 – 424x + 3600 = 0 ⇒ (x – 36) (9x – 100) = 0 ⇒ x = 36
ଗୋଠରେ ଥ‌ିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା 36 ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ

ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction) :

→ ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି x ରେ ଏକ ସରଳ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ ହେଉଛି ax + b = 0, ଯେଉଁଠାରେ a ≠ 0 ।
ଏଠାରେ à ଓ b ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ a କୁ xର ସହଗ (Coefficient) ଓ bକୁ ଧ୍ରୁବକ ରାଶି କୁହାଯାଏ ।
ଏଠାରେ ସମୀକରଣଟିର ସମାଧାନ (ମୂଳ) = \(\frac{-b}{2}\) ।

→ ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି x ଓ y ରେ ସରଳରେଖୀୟ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ ax + by + c = 0 ……. (1)
ଯେଉଁଠାରେ a ଓ b ଯଥାକ୍ରମେ x ଓ yର ସହଗ ଓ c ଧ୍ରୁବକ ରାଶି ଏବଂ a, b ଓ ୯ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି । ଏଠାରେ a ≠ 0 ଓ b ≠ 0 ।

→ xy- ସମତଳରେ y = mx + c ର ଲେଖଚିତ୍ର ଏକ ସରଳରେଖା ହେତୁ ଏହାକୁ ସରଳରେଖୀୟ ସମୀକରଣ (Linear Equation) କୁହଯାଏ ।

→ x = α ଓ y = ß ହେଲେ ଏବଂ ଯଦି ସମୀକରଣଟି aα + bß + c = 0 ହୁଏ, ତେବେ x = α ଓ y = ß ସମୀକରଣର ଏକ ସମାଧାନ ହେବ । ସମାଧାନଟି (α, ß) । xy-ସମତଳରେ (α, ß) ଏକ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Co-ordinate) ହୋଇଥାଏ ।

ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ (Geometrical Representation) :
→ ମନେକର ଦଉ ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ
a1x + b1y + c1 = 0 … (1)
ଓ a2x + b2y + c2 = 0 … (2)

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ

→ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ପାଇଁ ଦୁଇଗୋଟି ସମାଧାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।

→ ମନେକର ସମୀକରଣ (1) ଓ (2)ର ଲେଖଚିତ୍ର xy-ସମତଳରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଯଥାକ୍ରମେ L1 ଓ L2 ହେଉ ।
L1 : a1x + b1y + c1 = 0 ଏବଂ L2 : a2x + b2y + c2 = 0

→ L1 ଓ L2 ସରଳରେଖାଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ P ନେଇ ଉକ୍ତ ବିନ୍ଦୁର x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଓ y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଉ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ - 1

→ ଚିତ୍ର (i)ରେ L1 ଓ L2, ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ, ସେମାନଙ୍କର କେବଳ ଗୋଟିଏ ଛେଦବିନ୍ଦୁ P ଓ ଏହି ବିଦୁଟି ଉଭୟ L1 ଓ L2; ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଏହାର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (α, ß) ଅର୍ଥାତ୍‌ x = α ଓ y = ß ଦ୍ବାରା ଉଭୟ ସମୀକରଣ (1) ଓ (2) ସିଦ୍ଧ ହୁଅନ୍ତି ।
ସମୀକରଣ (1) ଓ (2)ର କେବଳ ଗୋଟିଏ (ଅନନ୍ୟ) ସମାଧାନ ରହିବ; ଯଦି ଓ କେବଳ ଯଦି ସମୀକରଣ ଦ୍ବୟ ଦ୍ବାରା ସୂଚିତ ସରଳରେଖାଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ହେବେ ।

→ ଚିତ୍ର (ii)ରେ L1 ଓ L2 ସରଳରେଖା ଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (coincident) ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ ଏବଂ ଅଭିନ୍ନ ଅଟନ୍ତି ।
ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ଅସଂଖ୍ୟ । ଅତଏବ ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମୀକରଣ ଦ୍ବୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

→ ଚିତ୍ର (iii)ରେ L1 ଓ L2 ସରଳରେଖା ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ସହ ସମାନ୍ତର । ଅର୍ଥାତ୍ ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ହେବେ ନାହିଁ । ସହ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଦ୍ବାରା ସୂଚିତ ସରଳରେଖା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ହେଲେ, ସହ-ସମ୍ଭବ। ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ

ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ବାରା ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ (Solution of Simultaneous equations by use of Graphs) :
ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ଏକ ସରଳରେଖା । ଦୁଇଗୋଟି ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ a1x + b1y + c1 = 0 ଏବଂ a2x + b2y + c2 = 0 ର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ସେମାନଙ୍କ ଛେଦବିନ୍ଦୁ (α, ß) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ, ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ (α, ß) ହେବ ।

ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ :

→ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ପାଇଁ ଅତି କମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ - 2

  • ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ y = mx + c ରୂପରେ ଲେଖାଯାଏ ।
  • ପ୍ରତି xର ଏପରି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାମାନ ନେଇ yର ମଧ୍ୟ ଏକ ଅନୁରୂପ ପୂର୍ଣସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
  • ମାନଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ କ୍ରମିତ ଓ ଯୋଡ଼ିମାନ ସ୍ଥିର କରାଯାଏ ।

→ ଲେଖ କାଗଜରେ XOX’ ଓ YOY’ ଅକ୍ଷ – ଅଙ୍କନ କରାଯାଏ ।

→ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣର ସ୍ଥିରୀକୃତ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ିମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଅତି କମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ L1 ଓ L2 ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଏ ।

→ ଯଦି ସେମାନେ (α, ß) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି, ତେବେ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ (α, ß) ହେବ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ

ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ଭ (Conditions of solvability of two Linear simultaneous equations) :

→ xy-ସମତଳରେ ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ଦତ୍ତ ଥିଲେ ସେମାନେ ଯଦି ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ, ସେମାନଙ୍କର ଗୋଟିଏ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ରହିବ । ସରଳରେଖାଦ୍ବୟର ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ହେଲେ,
a1x + b1y + c1 = 0 … (1)
a2x + b2y + c2 = 0 … (2)

→ ସରଳରେଖାଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରଛେଦୀ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସହ- ସମୀକରଣଦ୍ବୟ ସଙ୍ଗୀତ ଓ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର (consistent and independent), ତେବେ \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) ହେବ ।

→ ଯଦି ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହୁଅନ୍ତି ତେବେ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗୀତ ଓ ପରସ୍ପର ନିର୍ଭରଶୀଳ (consistent and dependent) ହେବେ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସହ-ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ।

→ ଯଦି ସରଳରେଖାଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ ନ କରିବେ ଏବଂ ସେମାନେ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ହେବେ ଓ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) ସର୍ଭ ପୂରଣ ହେବ ଏବଂ ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ (inconsistent) ହେବେ ଅର୍ଥାତ୍ ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର କୌଣସି ସମାଧାନ ରହିବ ନାହିଁ ।

ମନେରଖ :
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ - 3
ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ : ସମୀକରଣ a1x + b1y + = 0 ଓ a2x + b2y = 0 ଦ୍ବୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନଟି (0, 0);
ଯଦି \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) ଓ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ; ଯଦି \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\)। ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବଦା ସଙ୍ଗତ ଅଟନ୍ତି ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ

→ (ସହ-ସମୀକରଣ ଦ୍ବୟର ବୀଜଗାଣିତିକ ସମାଧାନ) :
(Algebraic solution of Simultaneous Equations):
a1x + b1y + c1 = 0 ଓ a2x + b2y + c2 = 0 … (2)
ମନେକର ଦତ୍ତ ସହ-ସମୀକରଣ ଦ୍ବୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ।

(a) ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀ (Method of Substitution) :
(b) ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀ (Method of Elimination)
(c) ବକ୍ରଗୁଣନ ପକ୍ଷିଣ (Method of Cross Multiplication)
ଏହି ଦୁଇ ସହସମୀକରଣ 3ଟି ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରଣାଳୀ/ପଦ୍ଧତି ସାହାଯ୍ୟରେ ସମାଧାନ କରାଯାଇ ପାରିବ । ଯଥା-

(a) ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀ (Method of Substitution) :
ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ କରିବାକୁ ହେଲେ, ପ୍ରଥମେ ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣରୁ y କିମ୍ବା x ର ମାନ ନେଇ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ x କିମ୍ବା y ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହେବ ।
ଉଦାହରଣ : a1x + b1y + c1 = 0 … (1)
ଓ a2x + b2y + c2 = 0 … (2)
ସମାଧାନ :
(i) ମନେକର ସମୀକରଣ (1)କୁ ବିଚାର କରାଯାଇ yକୁ x ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା
ଯଦି b1≠ 0, a1x + b1y + c = 0 ⇒ b1y = -c2 – a1x
⇒ y = \(\frac{1}{b_1}(-c_1-a_1 x)\) ……. (3)

(ii) yର ମାନ \(\frac{1}{b_1}(-c_1-a_1 x)\) କୁ ସମୀକରଣ (2) ରେ ବ୍ୟବହାର କଲେ,
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ - 4

→ ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀ (Method of Elimination) :
ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର x କିମ୍ବା yର ସହଗମାନଙ୍କୁ ଅପସାରଣ କରାଯାଏ ।
a1x + b1y + c1 = 0 ଓ a2x + b2y + c2 = 0
(i) ମନେକର ଆମେ xକୁ ଅପସାରଣ କରିବା । ସମୀକରଣ (1)ରେ xର ସହଗ a1 କୁ ସମୀକରଣ (2)ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଗୁଣନ କଲେ ଏବଂ ସମୀକରଣ (2)ରେ xର ସହଗ a1କୁ ସମୀକରଣ (1)ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଗୁଣନ କରି ବିୟୋଗ କଲେ,
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ - 5
(ii) y ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (1) [କିମ୍ବା ସମୀକରଣ (2)]ରେ ବ୍ୟବହାର କଲେ,
x = \(\frac{b_1 c_2-b_2 c_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\) ଲବ୍‌ଧ ହେବ ।
x = \(\frac{b_1 c_2-b_2 c_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}, \quad y=\frac{c_1 a_2-c_2 a_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\) ହେବ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ

(c) ବକ୍ରଗୁଣନ ପକ୍ଷିଣ (Cross Multiplication) :
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ - 6
ଏଠାରେ ସ୍ମରଣ ରହିବା ଉଚିତ ଯେ a1b2 – a2b1 ≠ 0, ଅର୍ଥାତ୍ \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \)
ସମୀକରଣ (4)ରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ଉକ୍ତିକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ କୁହାଯାଏ । ଏହାକୁ ସହଜରେ ମନେରଖ୍ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖୂ ପଦ୍ଧତି ଅବଲମ୍ବନ କରାଯାଇଥାଏ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ - 7

c1 = c2 = 0 ଓ a1b2 – a2b1 ≠ 0 ହେଲେ, aa1x + b1y = 0, a2x + b2y = 0 ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନଟି (0, 0) ଅଟେ । ଏଠାରେ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟକୁ ସମ ସହ-ସମୀକରଣ (Homogeneous Simultaneous equation) କୁହାଯାଏ I a1b2 – a2b1 = 0 ହେଲେ, ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହେବେ ଓ ଦତ୍ତ ସହ-
ଦୁଇଗୋଟି ସହ-ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଦିଆଯାଇଥିଲେ ପ୍ରଥମେ a1b2 – a2b1 ≠ 0 ସର୍ଭଟି ସତ୍ୟ ବୋଲି ପରୀକ୍ଷା କରିବା ଆବଶ୍ୟକ ।

→ ଅଣ ସରଳରେଖ୍ୟ ସହସମୀକରଣ (Non-Collinear Equation) :
ଅନେକ ସହ-ସମୀକରଣ ଯାହାକି ଏକଘାତୀ ନୁହେଁ, ସେମାନଙ୍କୁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ଏକଘାତୀ ରୂପକୁ ଅଣାଯାଇ ପାରିବ ଓ ଉପରେ ଆଲୋଚିତ ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରଣାଳୀର ଅବଲମ୍ବନରେ ସମାଧାନ କରିହେବ ।

→ କ୍ରାମରଙ୍କ ନିୟମ (Cramer’s Rule) :
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରଟିକୁ ବିଚାର କର : A = \(\left(\begin{array}{ll}
5 & 7 \\
2 & 1
\end{array}\right)\)

ଏହି ଚିତ୍ରରେ ଲେଖାଯାଇଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଦୁଇଗୋଟି ଧାଡ଼ି (row) ଓ ଦୁଇଗୋଟି ସ୍ତମ୍ଭ (column) ରେ ଲେଖାଯାଇଛି । ସମସ୍ତ ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭଗୁଡ଼ିକୁ ଦୁଇଟି ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରେ ରଖାଯାଇଛି । ଏହାକୁ A ରୂପେ ନାମିତ କରାଯାଇଛି । ଏଠାରେ Aକୁ ଏକ 2 × 2 ମାଟ୍ରିକ୍‌ (Matrix) କୁହାଯାଏ । ଆମେ ମଧ୍ୟ 3 × 3, 4 × 4 ମାଟ୍ରିକ୍‌ ଲେଖୁରିବା । ଉଚ୍ଚତର ଗଣିତରେ ମାଟ୍ରିକ୍‌ସର ବ୍ୟବହାର ବହୁଳ ଭାବେ କରାଯାଏ । ଯେହେତୁ ଏଠାରେ ଧାଡ଼ି ସଂଖ୍ୟା ସହ ସ୍ତମ୍ଭ ସଂଖ୍ୟା ସମାନ, ତେଣୁ ଏହି ମାଟ୍ରିକ୍‌ଗୁଡ଼ିକୁ ବର୍ଗ ମାଟ୍ରିକ୍‌ (Square matrix) କୁହାଯାଏ । କେବଳ 2 × 2 ମାଟ୍ରିକ୍‌ସକୁ ଏଠାରେ ବିଚାର କରାଯାଉଛି । ପ୍ରତି ବର୍ଗ ମାଟ୍ରିକ୍‌ସ ସହ ଗୋଟିଏ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ସଂପୃକ୍ତ ଓ ଏହାକୁ ବର୍ଗ ମାଟ୍ରିକ୍‌ସର ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ (determinant) କୁହାଯାଏ । ଯଦି ମାଟ୍ରିକ୍‌ A = \(\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)\) ହୁଏ,

ଉଦାହରଣ \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\) = 5 (x ≠ 0, y ≠ 0) ଏକ ଅଣସରଳରେଖୀୟ ସମୀକରଣ ।

ଅର୍ଥାତ୍ a + 2b = 5 (ଯେଉଁଠାରେ \(\frac{1}{x}\) = a ଏବଂ \(\frac{1}{y}\) = b)
ତେବେ ଏହାର ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ୍ | |A| = \(\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right|=a d-b c\) ।

ଉଦାହରଣ :
A = \(\left(\begin{array}{ll}
5 & 7 \\
2 & 1
\end{array}\right)\) ହେଲେ |A| = 5 × 1 – 7 × 2 = 5 – 14 = -9 ଅଟେ ।
ସେହିପରି,
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ - 8
∴ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ ମାଧ୍ୟମରେ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ :

x = \(\frac{Δ_x}{Δ}\), y = \(\frac{Δ_y}{Δ}\) ଯେଉଁଠାରେ Δ ≠ 0 କାରଣ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।
ବଜ୍ରଗୁଣନ ପଦ୍ଧତିରେ ଲବ୍‌ଧ ସମାଧାନକୁ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ ମାଧ୍ୟମରେ ଲେଖିଲେ,
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ - 9
ଏହାକୁ ସୁପରିଚିତ Cramer’s ନିୟମ କୁହାଯାଏ । ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ର ହିଁ Cramer’s Rule ର ଅନ୍ୟରୂପ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ

→ ପାଟିଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନରେ ପ୍ରୟୋଗ :
ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ ପ୍ରୟୋଗ କରି ଅନେକ ପାଟିଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ସମାଧାନ ସହଜରେ କରାଯାଏ । ସେହିପରି ଦୁଇ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସହ ସମାଧାନରେ ପ୍ରୟୋଗରେ ଜଟିଲ ପାଟିଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ସହଜ ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ

→ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା (Central Tendency) :
ଏକାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ବନ୍ଧିତ ତଥ୍ୟକୁ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା ଲାଗି ତଥ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ପ୍ରତିନିଧ୍ୟ କଲାଭଳି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ଓ ଏହି ପ୍ରତିନିଧୂ ସଂଖ୍ୟାକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା (Central Tendency) କୁହାଯାଏ।

→ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାକୁ ସୂଚାଇବା ପାଇଁ ତିନି ପ୍ରକାର ମାପ ଅଛି –

  1. ମାଧ୍ୟମାନ (Mean)
  2. ମଧ୍ୟମା (Median) ଏବଂ
  3. ଗରିଷ୍ଠକ (Mode) ।

1. ମାଧ୍ୟମାନ – ଗୋଟିଏ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଅନ୍ତର୍ଗତ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ହାରାହାରି ମାପକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ (Mean) କୁହାଯାଏ ।
2. ମଧ୍ୟମା – ବଡ଼ରୁ ସାନ ବା ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମରେ ସଜା ଯାଇଥିବା ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ମଧ୍ୟମା (Median) କୁହାଯାଏ ।
3. ଗରିଷ୍ଠକ – କୌଣସି ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଥ‌ିବା ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାରମ୍ବାରତା ବିଶିଷ୍ଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ (Mode) କୁହାଯାଏ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ

→ ମାଧ୍ୟମାନ (Mean) : ଗୋଟିଏ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଅନ୍ତର୍ଗତ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ହାରାହାରି ମାପକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ (Mean) କୁହାଯାଏ ।

(i) ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ (Mean of the Individual Series) :

→ ବାରମ୍ବାରତା ବିହୀନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ : କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ x1, x2, x3, …… xn ହେଲେ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ M ନିମ୍ନ ସୂତ୍ରଦ୍ୱାରା ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ - 1
ଯେଉଁଠାରେ M = ମାଧ୍ୟମାନ, Σ (ସିଗ୍‌ମା) = ସମଷ୍ଟିର ସଂକେତ, x ତଥ୍ୟାବଳୀ ଅନ୍ତର୍ଗତ ପ୍ରତ୍ୟେକ
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ, \(\sum_{k=1}^{k=n} x_k\) = x1 ଠାରୁ xn ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି
ଯେଉଁଠାରେ n = ତଥ୍ୟାବଳୀ ଅନ୍ତର୍ଗତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ - 2
ଅର୍ଥାତ୍ M = \(\frac{Σx}{n}\)

→ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣରେ ପ୍ରକାଶିତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ (Mean of a frequency distribution) : ଏକ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଅନ୍ତଗର୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)ର ମାନ x1, x2, x3, …… xn ଏବଂ ଏହି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା (f) ଯଥାକ୍ରମେ f1, f2, f3, …… fn ହେଲେ
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ - 3

(ii) ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ଏବଂ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀରେ ପ୍ରକାଶିତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ(Mean of a Grouped Frequency distribution) :
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (y) = \(\frac{l_1+l_2}{2}\) (l1 ଓ l2 ଯଥାକ୍ରମେ ସଂଭାଗର ନିମ୍ନ ଓ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ । ତତ୍‌ପରେ fy ଓ Σfy ସ୍ଥିର କରାଯାଏ । ପରବର୍ତୀ ସମୟରେ Σfy କୁ Σf ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରି ମାଧ୍ୟମାନ M ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
∴ ମାଧ୍ୟମାନ (M) = \(\frac{Σfy}{Σf}\)
ଯଦି ଭାଗବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀର ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ,
ତେବେ ମାଧ୍ଯମାନ M = A + \(\frac{Σfy’}{Σf}\) ହେବ ।
ଏଠାରେ A = ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ, Σfy’ = ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ଏବଂ Σf = ବାରମ୍ବାରତାର ସମଷ୍ଟି

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ

(iii) ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ (Short-cut Method) ବା ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ (Deviation Method) : ପୂର୍ବ ପ୍ରଣାଳୀରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ବଡ଼ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ ତଥା ଯୋଗର ଆବଶ୍ୟକ ହୋଇଥାଏ । ଏହି ଅସୁବିଧା ଦୂର କରିବାପାଇଁ ଅନ୍ୟ ଏକ ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମ୍ବନ କରାଯାଏ ଓ ଏହି ପ୍ରଣାଳୀ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ ବା ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ ନାମରେ ଅଭିହିତ ।

ଉଦାହରଣ :
93, 98, 112, 103, 97, 109ର ମାଧ୍ୟମାନ = \(\frac{1}{6}\) (93 + 98 + 112 + 103 + 97 + 109)
= \(\frac{1}{6}\) {(100 – 7) + (100 – 2) + (100 + 12) + (100 + 3) + (100 – 3) + (100 + 9)}
= \(\frac{1}{6}\) [6 × 100+ {(-7) + (-2) + 12 + (3) + (- 3) + 9}]
= \(\frac{1}{6}\) × 6 × 100 + \(\frac{1}{6}\) × 12 = 100 + = \(\frac{1}{6}\) × 12 = 100 + 2 = 102
ଏଠାରେ 100 କୁ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ (Working Zero) ବୋଲି କୁହାଯାଏ ।
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କରୁ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁକୁ ବିୟୋଗ କରି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବିଚ୍ୟୁତି (Deviation) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବିଚ୍ୟୁତି (x’) ଯଥାକ୍ରମେ -7, -2, 12, 3, -3, 9 ।
Σx’ = (-7) + (-2) + 12 + 3 + (-3) + 9 = 12
ମାଧ୍ୟମାନ (M) = A + \(\frac{1}{n}\) Σx’= 100 + \(\frac{1}{6}\) × 12 = 100 + 2 = 102
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ - 4

ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ : 100 ପରିବର୍ତ୍ତେ ଯେକୌଣସି ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ ଉତ୍ତରରେ କୌଣସି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେବନାହିଁ ।
ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣଳୀ : ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ଓ ବିଚ୍ୟୁତି ସାହାଯ୍ୟରେ ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପ୍ରଣାଳୀକୁ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ କୁହାଯାଏ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ

(iv) ସୋପାନ-ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ (Step-deviation method) :
ଏହି ପ୍ରଣାଳୀ ଏକ ଅତି ସରଳୀକୃତ ଏବଂ ଅତି ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ହିସାବ ସଂପୃକ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ । ପୂର୍ବବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ * ଭଳି ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ମଧ୍ୟ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ସଂପୃକ୍ତ ବିଚ୍ୟୁତି ମାନଙ୍କର ଆବଶ୍ୟକତା ପଡ଼ିଥାଏ । ସଂପୃକ୍ତ ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ଥ‌ିବା ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଦ୍ବାରା ବିଚ୍ୟୁତିକୁ ଭାଗକରି ଏହି ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ ।
ମାଧ୍ୟମାନ M = A + \(\frac{Σfy’}{Σf}\) × c
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ - 5
ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ = A, y’ =
Σfy’ = ବାରମ୍ବାରତା f ଓ y’ର ଗୁଣଫଳର ସମଷ୍ଟି
f = ବାରମ୍ବାରତା,
Σf = ବାରମ୍ବାରତାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ।

→ ମାଧ୍ଯମାନ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେକ ଉପାଦେୟ ତଥ୍ୟ (Some useful Results on Mean) :
x1, x2, x3, …… xn ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମନ M ହେଲେ,

  • x1 + a, x2 + a, x3 + a ……. xn + a ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧମାନ M + a ହେବ ।
  • x1 – a, x2 – a, x3 – a ……… xn – a ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ M – a ହେବ ।
  • ax1, ax2, ax3 ………… axn ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ Ma ହେବ ଯେତେବେଳେ a ≠ 0 ।
  • \(\frac{x_1}{a}, \frac{x_2}{a}, \frac{x_3}{a}, ………. \frac{x_n}{a}\) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ \(\frac{M}{a}\) ହେବ ଯେତେବେଳେ a ≠ 0 ।

→ ମଧ୍ୟମା (Median) :
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ - 6
(a) ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିଶ୍ଚୟ :
(i) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା n ଅଯୁଗ୍ମ ହେଲେ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗୋଟିଏ ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ ଥାଏ ଓ ତାହା ହେଉଛି \(\frac{n+1}{2}\) ତମ ସ୍ଥାନ । ଏଣୁ ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ \(\frac{n+1}{2}\) ତମ ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ହିଁ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ।

(ii) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା n ଯୁଗ୍ମ ହେଲେ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଦୁଇଟି ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ ଥାଏ ଓ ସେ ଦୁଇଟି ହେଲା \(\frac{n}{2}\) ତମ ଓ (\(\frac{n}{2}\)+1) ତମ ସ୍ଥାନ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ ଥ‌ିବାରୁ ସେହି ଦୁଇ ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଦ୍ବୟର ହାରାହାରି ନେଇ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
ଅର୍ଥାତ୍ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବ ବା ଅଧଃ କ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା n ହେଉ ।

n ଅଯୁଗ୍ମ ହେଲେ, ମଧ୍ୟମା (Md) = \(\frac{n+1}{2}\) ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ
n ଯୁଗ୍ମ ହେଲେ ମଧ୍ୟମା (Md) = \(\frac{1}{2}\) {\(\frac{n}{2}\) ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ + (\(\frac{n}{2}\) + 1) ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ }

(b) ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣରେ (ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ହୋଇ ନଥବା) ପ୍ରକାଶିତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିଶ୍ଚୟ :
ଯେଉଁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ (M) ଅପେକ୍ଷା ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତମ ସେହି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ହିଁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା କୁହାଯାଏ ।

(c) ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ଏବଂ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ପ୍ରକାଶିତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିଶ୍ଚୟ :

  • ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ସର୍ବଦା ଅଧଃ ବା ଊର୍ଦ୍ଧ୍ଵ କ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ ହୋଇ ରହିଥାଏ । ତେଣୁ ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ନିର୍ଣୟ କଲେ ହିଁ ମଧ୍ୟମା ମିଳିଥାଏ ।
  • n ଯୁଗ୍ମ ହେଉ ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହେଉ \(\frac{n}{2}\) ତମ ସ୍ଥାନକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ ନିଆଯାଇପାରେ ( ଅବଶ୍ୟ ଯେଉଁଠି ‘n’ ର ମାନ ଅପେକ୍ଷାକୃତ ବୃହତ୍) ।
  • ଭାଗବିଭକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନଟି ଯେଉଁ ସଂଭାଗ ଅନ୍ତର୍ଗତ ହୋଇଥାଏ, ସେହି ସଂଭାଗକୁ ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ କୁହାଯାଏ ।
  • ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ଲାଗି ପ୍ରଥମେ ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା-ସଂଭାଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
  • ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (cf) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ସାରିବା ପରେ ଯେଉଁ ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (M) ଅପେକ୍ଷା ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ହେବ ସେହି ସଂଭାଗ ହିଁ ମଧ୍ୟମା – ସଂଭାଗ ହେବ ।

ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟର ସୂତ୍ର : ମଧ୍ୟମା (M) = 1 + \(\frac{m-c}{f}\) × i
M = ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥାନ,
l = ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା
f = ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା,
c = ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ଠିକ୍ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତା ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା
ଏବଂ i = ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର ।

ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ (Inclusive) ସଂଭାଗୀକରଣରେ ପ୍ରକାଶିତ ସଂଭାଗଗୁଡ଼ିକୁ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ( Exclusive) କରିବାକୁ ହେଲେ ପ୍ରଥମ ସଂଭାଗର ଉଚ୍ଚ ସୀମା ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର ସ୍ଥିର କରି ତା’ର ଅର୍ଦ୍ଧେକକୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗ ନିମ୍ନ ସୀମାରୁ ବିୟୋଗ କରାଯାଏ ସଂଭାଗୀକରଣକୁ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣ ବିଶିଷ୍ଟ କରାଯାଇଥାଏ ।

(d) ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ସୂଚକ ଲେଖ (Ogive) ସାହାଯ୍ୟରେ ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ :
ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ସୂଚକ ଲେଖ (Ogive) ସାହାଯ୍ୟରେ ମଧ୍ୟ ଉକ୍ତ ସାରଣୀରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ । ନିମ୍ନ ସୋପାନଗୁଡ଼ିକୁ ଅନୁଧ୍ୟାନ କରି ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

  • ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ପ୍ରଥମେ ସ୍ଥିର କରାଯିବ ।
  • x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷରେ ଯଥାକ୍ରମେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଏବଂ ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିଆଯାଏ ।
  • ନେଇ ଗ୍ରାଫ୍ ଅଙ୍କନ କରାଗଲେ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଲେଖ (Ogive) ମିଳିବ ।
  • Ogive ଅଙ୍କନ କରି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମସ୍ଥାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ । ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ ନୈଇ ବୃକ୍ଷ ଉପରେ) ଏକ ବିନ୍ଦୁ (P) ଗ୍ରାଫ୍ ଉପରେ ନିଆଯାଉ, ଯାହାର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ବା ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ \(\frac{n}{2}\) ବା \(\frac{n+1}{2}\) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସହ ସମାନ ହେବ ।
  • P ବିନ୍ଦୁରୁ x-ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମାକୁ ସୂଚାଇବ ।

→ ଗରିଷ୍ଠକ (Mode) :

ସଂଜ୍ଞା : କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ସର୍ବାଧ୍ଵକବାର ରହିଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମାନ) ହିଁ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ । ଭାଗ ବିହୀନ ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନରେ ସର୍ବାଧ୍ଵକ ବାରମ୍ବାରତା ବିଶିଷ୍ଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମାନ ହିଁ ଉକ୍ତ ବଣ୍ଟନର ଗରିଷ୍ଠକ ।
ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ : ଯଦି କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା ସମାନ । ତେବେ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନାହିଁ ବୋଲି କହିବା । ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର । 3, 5, 7, 3, 8, 5,8, 7 ଏଠାରେ କୌଣସି ଗରିଷ୍ଠକ ନାହିଁ ।

ଗୋଟିଏ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧମାନ (M), ମଧ୍ୟମା (Md) ଏବଂ ଗରିଷ୍ଠକ (M0) ମଧ୍ୟରେ ଏକ ସାଧାରଣ ସମ୍ବନ୍ଧ ରହିଛି । ଏହା ଏକ ଆନୁଭବିକ ସମ୍ବନ୍ଧ ( Empirical Relation) ଅଟେ ।
ସମ୍ବନ୍ଧଟି ହେଲା : M0 =3Md – 2M

The Mushroom of Death Question Answer Class 12 Alternative English Chapter 12 CHSE Odisha

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Approaches to English Book 1 Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death Textbook Activity Questions and Answers.

Class 12th Alternative English Chapter 12 The Mushroom of Death Question Answers CHSE Odisha

The Mushroom of Death Class 12 Questions and Answers

Activity -11

Vocabulary:
Find out words from the passage, which mean more or less the following:
(i) to think deeply for a long time (3).
(ii) to spread something so that it will influence a lot of people (4)
(in) a written list of all the objects in a particular place (5)
(iv) Seen to be true of valid (explanation, argument, or statement) (6)
(v) Change in the genetic structure (12)
(vi) a similar action or decision in the past (15)

Answer:
(i) to think deeply for a long time-contemplate
(ii) to spread something so that it will influence a lot of people – propagate
(iii) a written list of all the objects in a particular place – inventory
(iv) Seen to be true of valid (explanation, argument, or statement) -plausible
(v) Change in the genetic structure -genetic mutations.
(vi) a similar action or decision in the past – historical precedent

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Activity-12

Link Words:
Choose the correct alternatives and rewrite the sentences after removing the brackets.
(a) I understand your point of view. (However / Although), I don’t agree to it.
(b) Ramesh had lived in this village for 20 years (Even though / Nevertheless) the villagers still considered him an outsider.
(c) He has lived next door to us for a year, (yet / however), we hardly even seen him.
(d) I walked up the stairs cautiously. (Even / though) I nearly slipped twice.
(e) He has refused entry to the USA. (Though / Instead) he was forced to return to India instead.
(f) Someone of his poems was published in newspapers and magazines (so that / consequently) he thought of himself as an established poet.

Answer:
(a) I understand your point of view. However, I don’t agree to it.
(b) Ramesh had lived in this village for 20 years. Nevertheless, the villagers still considered him an outsider.
(c) He has lived next door to us for a year, yet, we hardly even seen him.
(d) I walked up the stairs cautiously even I nearly slipped twice.
(e) He has refused entry to the USA. He was forced to return to India instead.
(f) Someone of his poems was published in newspapers and magazines so he thought of himself as an established poet.

Activity – 15

Cohesive Devices: Link Words
Predict whether the following words present an addition, a result, or a contrast.
(a) Those events have taught us a great deal about nuclear war’s potential physical and biological impact. But ………………….(1)
(b) The light ……………………… causes thermal effects that depend upon the thermal energy incident on the skin of man. Also ………………………. (4)
(c) Authorised unclassified estimates indicate that world arsenals contain about 50,000 weapons, although ………………………… (5)
(d) The impact of the Hiroshima bomb was geographically limited thus ………………………… (2)
(e) The consequences can be a kind that was not even contemplated till recently, that is ………………………. (3).
(f) The fireball spreads out to affirm the distinctive mushroom could and ………………………… (5)

Answer:
(a) Those events have taught us a great deal about nuclear war’s potential physical and biological impact. But it must be remembered that the cities of Hiroshima and Nagasaki experienced only a single explosion each of a weapon much smaller in field than many of those stockpiled in world nuclear arsenals today, (addition)
(b) The light ………………… causes thermal effects that depend upon the thermal energy incident on the skin of man. Also …………….. (addition)
(c) Authorised unclassified estimates indicate that world arsenals contain about 50,000 weapons, although …………………… (contrast)
(d) The impact ofthe Hiroshima bomb was geographically limited thus …………………… (result)
(e) The consequences can be a kind that was not even contemplated till recently, that is …………………….. (addition)
(f) The fireball spreads out of firm the distinctive mushroom could and ……………………. (addition)

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Activity-14(A)

Say which tense is the following sentences in:
(1) Those events have taught us a great deal ____________.
(2) The bomb dropped in Hiroshima released ____________.
(3) All the energy of the explosion is added ____________.
(4) If the explosion occurs close ____________.
(5) It may be better ____________.
(6) As the fireball rises ____________ it spreads ____________.
(7) He became an engineer.
(8) She played well
(9) She took my photograph.

Answer:
(1) Present tense
(2) Past tense
(3) Present tense
(4) Present tense
(5) Present tense
(6) Present tense
(7) Past tense
(8) Past tense
(9) Past tense

Extra Activity – (Miscellaneous)
(c) Directions: Pick up synonyms of the words from the words which follow:

Question 1.
Composure:
(a) Assumed attitude
(b) Liberty or musical
(c) Restlessness
(d) Work tranquility
Answer:
(d) Work tranquility

Question 2.
Implicate:
(a) to insult
(b) doubt
(c) involve
(d) make clear
Answer:
(c) involve

Question 3.
Concert:
(a) agreement
(b) beauty
(c) power
(d) yielding
Answer:
(c) power

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 4.
Mitigate:
(a) to heal
(b) soften
(c) pardon
(d) send on a mission
Answer:
(b) soften

Question 5.
Buoyant:
(a) childlike
(b) brisk
(c) sturdy
(d) light-hearted
Answer:
(c) sturdy

Question 6.
Unalloyed:
(a) not connected
(b) calm
(c) absolute and complete
(d) inferior
Answer:
(c) absolute and complete

Question 7.
Blandishment
(a) slanders
(b) flattering speech
(c) thieveries
(d) immaturities
Answer:
(b) flattering speech

Question 8.
Propulsive:
(a) explosive
(b) disgusting
(c) impatient
(d) impelling to action
Answer:
(d) impelling to action

Question 9.
Athorart:
(a) crosswise
(b) following
(c) flattened out
(d) just ahead
Answer:
(a) crosswise

Question 10.
Flagging:
(a) becoming afraid
(b) hesitation
(c) growing weak
(d) limping
Answer:
(c) growing weak

Question 11.
Intransigence:
(a) power
(b) bitter criticism
(c) obstinate unwillingness to agree
(d) great anger
Answer:
(c) obstinate unwillingness to agree

Question 12.
Rectify:
(a) to command
(b) destroy
(c) correct
(d) build
Answer:
(c) correct

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 13.
Incitement:
(a) timmil
(b) calm
(c) stimulus
(d) noise
Answer:
(c) stimulus

Question 14.
Devoid:
(a) evasive
(b) hopeless
(c) lacking
(d) stupid
Answer:
(c) lacking

Question 15.
Resolved:
(a) dummerised
(b) dispelled
(c) strengthened
(d) tonglad
Answer:
(b) dispelled

Question 16.
Privy:
(a) dishonest
(b) caution
(c) secretly aware
(d) quiet
Answer:
(c) secretly aware

Question 17.
Differentiation:
(a) distinction
(b) caution or grounds of difference
(c) argument
(d) quiet
Answer:
(a) distinction

Question 18.
Condon:
(a) pile of logs
(b) smokeless gun powder
(c) line of people as a guard
(d) heavy clock
Answer:
(c) line of people as a guard

Question 19.
Pilfer:
(a) to gossip
(b) steal
(c) trifle
(d) loiter
Answer:
(b) steal

Question 20.
Lore:
(a) sentiment
(b) body of tradition
(c) suspicion
(d) fabestories
Answer:
(b) body of tradition

Question 21.
Baleful:
(a) harmful
(b) kind
(c) happy
(d) dark
Answer:
(a) harmful

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 22.
Hallowed:
(a) old
(b) decayed
(c) sacred
(d) mellowed
Answer:
(c) sacred

Question 23.
Liar:
(a) landowner
(b) evil glance
(c) den
(d) trap
Answer:
(c) den

Question 24.
Bridle:
(a) to bow
(b) insult
(c) show anger
(d) trap
Answer:
(c) show anger

Question 25.
Slothful:
(a) flit
(b) stubborn
(c) lazy
(d) ignorant
Answer:
(c) lazy

Question 26.
Shift:
(a) to manage
(b) show
(c) slide
(d) drag one’s feet
Answer:
(a) to manage

Question 27.
Gruesome:
(a) dark
(b) rude
(c) painful
(d) ghostly
Answer:
(d) ghostly

Question 28.
Be token:
(a) to be a sign of
(b) invite
(c) threaten
(d) enrich
Answer:
(a) to be a sign of

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 29.
Last:
(a) unless
(b) but
(c) for fear
(d) enrich
Answer:
(a) unless

Question 30.
Requite:
(a) to repay
(b) demand
(c) complete
(d) need
Answer:
(a) to repay

Question 31.
Mite:
(a) precious stone
(b) small object
(c) strength
(d) probability
Answer:
(b) small object

Question 32.
Cite:
(a) to memorize
(b) use clearly
(c) point out with a figure
(d) quote
Answer:
(d) quote

Question 33.
Satellite:
(a) sparkling
(b) ruler
(c) gem
(d) servile attention
Answer:
(d) servile attention

Question 34.
Respite:
(a) breath
(b) fatigue
(c) ill will
(d) interval of rest
Answer:
(d) interval of rest

Question 35.
Incite:
(a) to cut of
(b) perceive the inner nature of the thing
(c) arouse or stair up
(d) commence
Answer:
(c) arouse or stair up

TEST – II
Directions

Pick up synonyms of the words from die list of words that follow every word:

Question 1.
Parasite:
(a) disease
(b) a loss of motion
(c) a hanger on
(d) an insect
Answer:
(c) a hanger on

Question 2.
Rite:
(a) solemn activity
(b) justice
(c) straitness
(d) a cleaning
Answer:
(a) solemn activity

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 3.
Apposite:
(a) appropriate
(b) highly unpleasant
(c) fulish
(d) painful
Answer:
(a) appropriate

Question 4.
Chafe:
(a) torudicile
(b) to fret and fume
(c) to cheat
(d) to etch
Answer:
(b) to fret and fume

Question 5.
Bald:
(a) broad
(b) rash
(c) unadorned
(d) insulting
Answer:
(c) unadorned

Question 6.
Clean:
(a) to get bit by bit
(b) speak
(c) to discover
(d) to polish
Answer:
(a) to get bit by bit

Question 7.
Shard:
(a) part of a plough
(b) swindle
(c) fragment
(d) layer of earth
Answer:
(c) fragment

Question 8.
Barge:
(a) to thrush forward
(b) to brag
(c) to smell
(d) to oppose
Answer:
(a) to thrush forward

Question 9.
Claim:
(a) care
(b) fortress
(c) well
(d) heap of stone
Answer:
(d) heap of stone

Question 10.
Wrought:
(a) made or fashioned
(b) broken
(c) complicated
(d) strengthened
Answer:
(a) made or fashioned

Question 11.
Drab:
(a) dull or colorless
(b) tired
(c) discouraged
(d) shabby
Answer:
(a) dull or colorless

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 12.
Err:
(a) to weaver
(b) to make a mistake
(c) to delay
(d) to become confused
Answer:
(b) to make a mistake

Question 13.
Lode:
(a) weight
(b) discouragement
(c) power
(d) vein of
Answer:
(d) vein of

Question 14.
Cadge:
(a) to be cautious
(b) to sponge
(c) to make a reservation
(d) to snatch
Answer:
(b) to sponge

Question 15.
Irk:
(a) to scold
(b) to make a werry fall
(c) to urge
(d) to annoy
Answer:
(d) to annoy

Question 16.
Butt:
(a) blunt ness
(b) stupidity
(c) target
(d) support
Answer:
(c) target

Question 17.
Wield:
(a) to throw
(b) to use with full effect
(c) to grap
(d) to cut
Answer:
(b) to use with full effect

Question 18.
Wreck:
(a) to twist
(b) to inflict
(c) to emit an unpleasant odor
(d) cadence
Answer:
(c) to emit an unpleasant odor

Question 19.
Lilt:
(a) laughter
(b) physical beauty
(c) hopefulness
(d) cadence
Answer:
(d) cadence

Question 20.
Wrath:
(a) anger
(b) garland of flower
(c) phantom
(d) halo
Answer:
(c) phantom

Question 21.
Chaff
(a) banter
(b) grist
(c) abrasion
(d) comfort
Answer:
(c) abrasion

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 22.
Crypt:
(a) puzzle
(b) silence
(c) brevity
(d) vault
Answer:
(d) vault

Question 23.
Tilt:
(a) cultivated land
(b) dispute
(c) balance
(d) point of view
Answer:
(d) point of view

Question 24.
Perturb:
(a) to upset
(b) to cause doubt
(c) to burden
(d) to test
Answer:
(c) to burden

Question 25.
Usurp:
(a) to yield
(b) to cause doubt
(c) to burden
(d) to test
Answer:
(c) to burden

Question 26.
Recriminate:
(a) to resist authority
(b) to accuse in return
(c) to respect an illegal act
(d) to restate
Answer:
(b) to accuse in return

Question 27.
Ensconce:
(a) to surround
(b) promote
(c) honor
(d) to settle comfortably
Answer:
(d) to settle comfortably

Question 28.
Elude:
(a) to evade
(b) to omit or leave out
(c) to make mention of
(d) to deceive
Answer:
(a) to evade

Question 29.
Rifle:
(a) to disturb
(b) to shoot
(c) to seize
(d) to plunder or ransack
Answer:
(d) to plunder or ransack

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 30.
Mollify:
(a) to irritate
(b) to appease
(c) to amuse
(d) to limit the meaning of
Answer:
(b) to appease

Question 31.
Recoup:
(a) to recover
(b) to trap
(c) to strengthen
(d) to shuffle
Answer:
(a) to recover

Question 32.
Substantiate:
(a) to weaken
(b) to substitute
(c) to verify
(d) to make wealthy
Answer:
(c) to verify

Question 33.
Solicit:
(a) to command
(b) to worry
(c) to sympathise with
(d) to ask for
Answer:
(d) to ask for

Question 34.
Embroil:
(a) to anger
(b) to involve in the discussion
(c) to encompass
(d) to bring to boiling point
Answer:
(b) to involve in the discussion

Question 35.
Envisage:
(a) to face
(b) to seek
(c) to understand
(d) to foresee in imagination
Answer:
(d) to foresee in imagination

TEST – III

Question 1.
Compound:
(a) to emphasize
(b) to confuse
(c) to put together
(d) to compress
Answer:
(c) to put together

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 2.
Beguile:
(a) to charm
(b) to become shy
(c) to fetter
(d) to smile at
Answer:
(a) to charm

Question 3.
Slaken:
(a) to grow weary
(b) to hampen
(c) to become less active
(d) to quentch
Answer:
(c) to become less active

Question 4.
Submerge:
(a) to walk on
(b) to sink
(c) to appear
(d) to join together
Answer:
(b) to sink

Question 5.
Replenish:
(a) to spread around
(b) to fulfill
(c) to give up
(d) to provide a new supply for
Answer:
(d) to provide a new supply for

Question 6.
Convulse:
(a) to shake violently
(b) to restrict
(c) to befuddle
(d) to impel
Answer:
(a) to shake violently

Question 7.
Placade:
(a) tofettenout
(b) to pacify
(c) to annoy
(d) to make secure
Answer:
(b) to pacify

Question 8.
Ingratiate:
(a) to make ungrateful
(b) to force one’s way in
(c) to place oneself in a favorable position
Answer:
(c) to place oneself in a favorable position

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 9.
Augury:
(a) dispute
(b) alter
(c) place of refuse
(d) omen
Answer:
(d) omen

Question 10.
Flagrant:
(a) widely scattered
(b) poisonous
(c) scandalous
(d) absurd
Answer:
(c) scandalous

Question 11.
Ferret:
(a) to search
(b) to trap
(c) to hide
(d) to flee
Answer:
(a) to search

Question 12.
Impediment:
(a) opposition
(b) told
(c) obstruction
(d) disparagement
Answer:
(c) obstruction

Question 13.
Nomenclature:
(a) adoption of a pen name
(b) system of names
(c) parliamentary rule
(d) history of names
Answer:
(b) system of names

Question 14.
Cumulative:
(a) serious
(b) swollen
(c) rich
(d) steadily increasing
Answer:
(d) steadily increasing

Question 15.
Pedantic:
(a) hanging
(b) making a needless display of leaming
(c) ignorant
(d) solemn
Answer:
(b) making a needless display of leaming

Question 16.
Disparate:
(a) radically different
(b) discouraged
(c) reckless
(d) stingy
Answer:
(a) radically different

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 17.
Regime:
(a) order of procedure
(b) system of government
(c) recipe for cooking
(d) peacefulness
Answer:
(b) system of government

Question 18.
Inimical:
(a) favorable
(b) unique
(c) unfriendly
(d) wicked
Answer:
(c) unfriendly

Question 19.
Deplete:
(a) to flatten
(b) to conquer
(c) to finish
(d) to exhaust
Answer:
(d) to exhaust

Question 20.
Despensation:
(a) distribution
(b) dismissal
(c) surrender of power
(d) delaying
Answer:
(a) distribution

Question 21.
Circuitous:
(a) surrounded
(b) dizzy
(c) round-about
(d) deceptive
Answer:
(c) round-about

Question 22.
Scintilla
(a) Knsal
(b) trace
(c) veil
(d) brilliant surface
Answer:
(d) brilliant surface

Question 23.
Conversant:
(a) well-mannered
(b) talkative
(c) argumentative
(d) familiar
Answer:
(d) familiar

Question 24.
Villify:
(a) to lie
(b) to prove
(c) to defame
(d) to defraud
Answer:
(c) to defame

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 25.
Noxious:
(a) dark
(b) injurious
(c) hateful
(d) evil-smelling
Answer:
(b) injurious

Question 26.
Cursory:
(a) informal
(b) penetrating
(c) angry
(d) rapid and superficial
Answer:
(d) rapid and superficial

Question 27.
Actuate:
(a) to explain
(b) to put in action
(c) to furnish proof
(d) to prepare a financial statement
Answer:
(b) to put in action

Question 28.
Flaceid:
(a) weak
(b) pale
(c) dull
(d) scared
Answer:
(b) pale

Question 29.
Dire:
(a) severe
(b) wicked
(c) dreadful
(d) hopeless
Answer:
(c) dreadful

Question 30.
Sequestered:
(a) quiet
(b) shady
(c) safe
(d) secluded
Answer:
(d) secluded

Question 31.
Inconceivable:
(a) unimportant
(b) unthinkable
(c) improbably
(d) inconsequential
Answer:
(b) unthinkable

Question 32.
Inopportune:
(a) untimely
(b) not instant
(c) unreasonable
(d) leisurely
Answer:
(a) untimely

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 33.
Tactless:
(a) considerable
(b) sharp
(c) pertains to the origin of touch
(d) strong
Answer:
(c) pertains to the origin of touch

Question 34.
Inconclusive:
(a) not apparent
(b) not decisive
(c) positive
(d) unanswerable
Answer:
(b) not decisive

Question 35.
Disputation:
(a) controversy
(b) formal enquiry
(c) dissertation
(d) distribution
Answer:
(a) controversy

TEST-IV

Question 1.
Benign:
(a) radiant
(b) religion
(c) kindly
(d) hopeful
Answer:
(c) kindly

Question 2.
Dictum:
(a) enunciation
(b) law
(c) autocratic ruler
Answer:
(b) law

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 3.
Appurtenance:
(a) accessory
(b) apt retort
(c) personal characteristic
(d) insult
Answer:
(a) accessory

Question 4.
Asperity:
(a) Ambition
(b) eagerness
(c) promptness
(d) harshness
Answer:
(d) harshness

Question 5.
Cogent:
(a) brief
(b) wise
(c) convincing
(d) mathematical term
Answer:
(c) convincing

Question 6.
Feline:
(a) delicate
(b) catlike
(c) very feminine
(d) slack
Answer:
(b) catlike

Question 7.
Sibilant:
(a) talkative
(b) secret
(c) soft
(d) hissing
Answer:
(d) hissing

Question 8.
Jocose:
(a) merry
(b) fat
(c) clumsy
(d) foolish
Answer:
(a) merry

Question 9.
Mendacious:
(a) bitter
(b) beggarly
(c) boastful
(d) untrustful
Answer:
(d) untrustful

Question 10.
Capitulate:
(a) to emphasize
(b) to rush
(c) to surrender
(d) to overturn
Answer:
(c) to surrender

Question 11.
Recapitulate:
(a) to recover property
(b) to sum up
(c) to repeat oneself tiresomely
(d) to surrender again
Answer:
(b) to sum up

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 12.
Celerity:
(a) grace
(b) fame
(c) slipperiness
(d) speed
Answer:
(b) fame

Question 13.
Head:
(a) to pay attention
(b) to team
(c) to hesitate
(d) to be positive
Answer:
(a) to pay attention

Question 14.
Rack:
(a) to fleece
(b) to pile up
(c) to torture
(d) to shatter
Answer:
(c) to torture

Question 15.
Squib:
(a) young pigeon
(b) pm point
(c) feather
(d) brief with paragraph
Answer:
(d) brief with paragraph

Question 16.
Bak:
(a) to luxuriate
(b) to be modest
(c) to lie down
(d) to moisten
Answer:
(c) to lie down

Question 17.
Coy:
(a) dainty
(b) glamorous
(c) petish
(d) demure
Answer:
(d) demure

Question 18.
Blurt:
(a) effusive description
(b) impulsive utterance
(c) splash of color
(d) stain
Answer:
(b) impulsive utterance

Question 19.
Want:
(a) need
(b) wish
(c) habit
(d) refusal
Answer:
(c) habit

Question 20.
Refex share:
(a) to splice
(b) to split apart
(c) to unload
(d) to brace
Answer:
(b) to split apart

Question 21.
Pore:
(a) to perspire
(b) to read carefully
(c) to look serious
(d) to rain hard
Answer:
(b) to read carefully

Question 22.
Tome:
(a) large book
(b) mausoleum
(c) echo
(d) aulted roof
Answer:
(a) large book

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 23.
Marie:
(a) grit
(b) stone
(c) gloom
(d) smudge
Answer:
(c) gloom

Question 24.
Drain:
(a) to shift
(c) to emaciate
(b) to stretch
(d) to exhaust
Answer:
(d) to exhaust

Question 25.
Feint:
(a) to challenge
(b) to make a sham
(c) to withdraw
(d) to grow weak
Answer:
(b) to make a sham

Question 26.
Brawl:
(a) to shout
(b) to cry
(c) to quarrel noisily
(d) to revolt
Answer:
(c) to quarrel noisily

Question 27.
Crime:
(a) frost
(b) dirt
(c) lubricant
(d) grain to be grown
Answer:
(b) dirt

Question 28.
Gad
(a) to stare
(b) to tease
(c) to rush about
(d) to criticize
Answer:
(c) to rush about

Question 29.
Shade:
(a) to secret
(b) amount
(c) privacy
(d) slight difference
Answer:
(a) to secret

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 30.
Shidge:
(a) soft mud
(b) menial worker
(c) slattern
(d) bookish
Answer:
(a) soft mud

Question 31.
Scrimp:
(a) to shrivel
(b) to be frugal
(c) to be selfish
(d) to be fussy
Answer:
(b) to be frugal

Question 32.
Drub:
(a) to bounce
(b) to leaf
(c) to beat
(d) to be stupid
Answer:
(c) to beat

Question 33.
Dross
(a) lustre
(b) dull surface
(c) mental depression
(d) impurity
Answer:
(d) impurity

Question 34.
Straff
(a) to discipline
(b) to bombard
(c) to rub
(d) to slice
Answer:
(d) to slice

Question 35.
Wend:
(a) to direct one’s course
(b) to wander
(c) to weave
(d) to sloop
Answer:
(a) to direct one’s course

TEST-V

Question 1.
Blunt:
(a) abrupt manner
(b) direct insult
(c) mainshock
(d) retarded shock
Answer:
(c) mainshock

Question 2.
Prime:
(a) to supply with facts
(b) to begin
(c) to assist
(d) to strut
Answer:
(a) to supply with facts

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 3.
Bode:
(a) to dwell
(b) to foreshadow
(c) to endure
(d) to wait
Answer:
(b) to foreshadow

Question 4.
Wrest:
(a) to grapple with an opponent
(b) to twist into a distorted shape
(c) to compiler
(d) to stretch forcibly
Answer:
(d) to stretch forcibly

Question 5.
Frond:
(a) decorative border
(b) palm leaf
(c) thick branch
(d) prong
Answer:
(b) palm leaf

Question 6.
Mite:
(a) to come up to or touch
(b) to make suitably
(c) to allot
(d) to challenge
Answer:
(b) to make suitably

Question 7.
Flay:
(a) to whip
(b) to spread out
(c) to splice together
(d) to strip off the skin
Answer:
(b) to spread out

Question 8.
Tend:
(a) to sympathize
(b) to incline
(c) to delay
(d) to offer
Answer:
(b) to incline

Question 9.
Pert:
(a) hide
(b) wealth
(c) track of a wild animal
(d) equipment
Answer:
(b) wealth

Question 10.
Tant:
(a) stingy
(b) hard
(c) secretive
(d) tightly drawn
Answer:
(d) tightly drawn

Question 11.
Track:
(a) climb
(b) to travel by wagon
(c) to deceive
(d) to carry
Answer:
(a) climb

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 12.
Design:
(a) to condescend
(b) to pretend
(c) to disparage
(d) to refuse
Answer:
(a) to condescend

Question 13.
Spume:
(a) spray
(b) anger
(c) foam
(d) noise
Answer:
(c) foam

Question 14.
Effectuate:
(a) to accomplish
(b) begin
(c) practice
(d) end
Answer:
(a) to accomplish

Question 15.
Perceptive:
(a) wise
(b) alert
(c) discerning
(d) precise
Answer:
(c) discerning

Question 16.
Syndrome:
(a) council
(b) combination of symptoms
(c) fetish
(d) monopoly
Answer:
(b) combination of symptoms

Question 17.
Fastidious:
(a) literal
(b) clear
(c) discrete
(d) fussy
Answer:
(d) fussy

Question 18.
Apotheosis:
(a) revelation
(b) pithy saying
(c) perfect example
(d) rhetorical address
Answer:
(c) perfect example

Question 19.
Pristine:
(a) beautiful
(b) prudish
(c) shining
(d) original
Answer:
(d) original

Question 20.
Forbearance:
(a) patience
(b) foresight
(c) stubbornness
(d) inherited traits
Answer:
(a) patience

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Question 21.
Coercive:
(a) stick
(b) compelling
(c) persuasive
(d) complaining
Answer:
(b) compelling

Question 22.
Hybrid:
(a) pure
(b) carefully selected
(c) mixed
(d) hardy
Answer:
(c) mixed

Question 23.
Sully:
(a) to ridicule
(b) leap forth
(c) deceive
(d) tarnish
Answer:
(d) tarnish

Question 24.
Blatant:
(a) conceited
(b) unpleasantly noise
(c) brutal
(d) openly hostile
Answer:
(c) brutal

Question 25.
Peregrination:
(a) land measurement
(b) uncertainty
(c) travel
(d) scheme
Answer:
(b) uncertainty

Question 26.
Oblogay:
(a) abusive language
(b) state of being of forgotten
(c) discussion
(d) burial rite
Answer:
(a) abusive language

Question 27.
Mettle:
(a) mood
(b) courage
(c) sternness
(d) belligerence
Answer:
(b) courage

Question 28.
Infraction:
(a) small portion
(b) collision
(c) oversight
(d) violation of law
Answer:
(d) violation of law

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Section – C
In Text – A you are exposed to a futuristic view of the scientific and technological world that is likely to emerge by 2050. But will the world survive so long? If your answer is in negative what possible threats do you apprehend?
(i) __________________
(ii) __________________
(iii) __________________
Discuss the possible threats in consultation with others. Now read Amalendu Bandopadhyay’s, ‘The Mushroom of Death’ and find out what dangers, the writer thinks to lie ahead for humanity.

The Mushroom of Death Summary in English

Summary:
The bombing of Hiroshima and Nagasaki has taught us the potential physical and biological impact of a nuclear war. The bomb dropped on Hiroshima released energy equalling 20 kilotons of chemical explosives. Now, the question is what will happen if many modem nuclear weapons are exploded? It is clear that the consequences can be of kind that smoke from massive nuclear-ignited urban fires can cause a worldwide disruption in the planet’s weather and climate. The effects of an air burst will form an extremely strong shock wave that propagates outward rendering the air luminous and creating a fireball in the immediate vicinity of the burst.

If the explosion takes place close to the surface, there will be a shock wave coupled to the ground and a crater can be dug in the ground. Gamma rays and neutrons also release from an air burst. While detonating a nuclear weapon, it releases heat of about tens of millions of degrees Celsius into the nearby air. Even buildings of heavy construction will collapse. Scientists are of the view that the smoke produced by the burning of cities in after match of a nuclear war may significantly affect the earth’s climate for long periods of time. There will be a substantial decrease in precipitation.

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

Analytical Outlines

  • There was a bombing on Hiroshima and Nagasaki.
  • It has brought us the potential physical impact.
  • It has also brought us a biological impact.
  • It was the impact of nuclear war.
  • The bomb was dropped on Hiroshima.
  • It released high energy.
  • It was equal to 20 kilotons of chemical explosives.
  • Then the writer asked a very powerful question.
  • What will happen if many modem nuclear weapons are exploded?
  • It is clear that the consequences will be far more severe than in 1945.
  • The consequences can be of such a kind.
  • The smoke from massive nuclear-ignited urban fires.
  • It can cause a worldwide disruption.
  • It can cause it in the planet’s weather and climate.
  • It is the effect of an air burst.
  • It will form an extremely strong shock wave.
  • It propagates outward rendering of the air luminous.

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

  • It creates a fireball.
  • The fireball is created in the immediate vicinity of the burst.
  • When the explosion takes place close to the surface.
  • There will be a shock wave coupled to the ground.
  • The aerator can be dug in the ground.
  • Gamma rays are released from an air burst.
  • Neutrons are also released from this air burst.
  • A nuclear weapon is detonated.
  • It releases heavy heat.
  • It is about tens of millions of degrees Celcius.
  • It releases it into the nearby am
  • Even buildings of heavy construction will collapse.
  • Scientists provide opinions about it.
  • They talk about the smoke produced by burning cities.
  • This burning is in the aftermath of a nuclear war.
  • It may significantly affect the earth’s climate.
  • It will affect it for a long period of time.
  • There will be a substantial decrease in the precipitation

Meanings Of Difficult Words

arsenals – stores of weapons.
deployment – organizing troops and equipment for immediate action.
incident on – something that occurs in connection with something else.
gamma rays – high-frequency rays emitted from a radioactive atom.
inventory – lit of articles.
unclassified – no longer secret.
megaton – one million tons.
buoyant – capable of keeping an object afloat.
precipitation – condensation in the atmosphere as rain, snow or hait

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text C: The Mushroom of Death

aftermath – a situation resulting from an important event.
consequences – results, aftermaths
obtain – get
devastating – terrible, horrible, dangerous
vicinity – in the nearby area,
initial – beginning, at the outset.
lethal – deadly, life-killing, dangerous.
plausible – evident, having proofs.
thermal – relating to heat or temperature
precipitation – rainfall.

Read More:

Powershift Question Answer Class 12 Alternative English Chapter 11 CHSE Odisha

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Approaches to English Book 1 Solutions Unit 4 Text B: Powershift Textbook Activity Questions and Answers.

Class 12th Alternative English Chapter 11 Powershift Question Answers CHSE Odisha

Powershift Class 12 Questions and Answers

Activity-5:

Vocabulary:
Find the words from the passage which more or less mean the following:
(i) Shocking or amazing(1)
(ii) Careful watching a suspect (2)
(ii) boring and uninteresting (9)
(iv) to include something in a larger group(10)
(v) a group of three similar things(18)

Answer:
(i) Shocking or amazing – astounding
(ii) Careful watching a suspect – surveillance technologies
(iii) boring and uninteresting-tedious repetition
(iv) to include something in larger group-subsume information.
(v) a group of three similar things – the Patriarch of a family President of a company. Prime Minister of a nation.

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text B: Powershift

Activity-6

Writer’s Bias:
‘Our best computers are still stone-axe primitive’. The italicized metaphor emphasizes the obsoleteness and inadequacy of our best computers. Can you find any other such expression in the passage which have a metaphysical meaning? Do you such expressions convey the writer’s bias?

Expression Meaning Any bias of the writer

Answer:

Expression Meaning Any bias of the writer
Stone-axe primitive obsoleteness and inadequacy of our best computer undeveloped condition of our computers.
‘dumb’ weapons uncaring for violent, abortive
power-seekers people seeking power power hungry, selfish

Activity – 7:

In many old-fashioned Grammar books, you may find some objection to the use of one-line paragraphs. Are there any one-line paragraphs in this passage? Why does the writer use them? Is he justified in using such small paragraphs?

Answer:
Yes, there are some one-line paragraphs in this passage. They are:

  1. Besides its great flexibility, knowledge has other important characteristics that make it fundamentally different from lesser sources of power in tomorrow’s world. (Paragraph – 12)
  2. Today in the first changing affluent nations, despite all inequalities of income and wealth, the coming struggle for power will increasingly turn into a struggle over the distribution of and access to knowledge. (Paragraph -12).
    The writer makes use of such one line paragraph in order to put forth his own views in the midst of a general discussion. He is quite justified to have used such a paragraph system.

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text B: Powershift

Activity – 8:

Note-Making:
In the first section of the passage, we came to know that-
1. Force and wealth of knowledge.
2. Knowledge —> power.
3. Force and wealth g knowledge.
That is to say, force and wealth depend on knowledge, is the source of the highest quality power and knowledge is the most important ingredient of force and wealth. Now, make point notes on Sections 2 and 3 using such symbols wherever possible.

Answer:
Weapons and surveillance technologies & knowledge
Knowledge —> computers.
Non-facts and disputed facts a power conflicts in society. False and lies / ‘true’ facts and scientific ‘laws’ —> knowledge.

Activity-9:

Answer the questions as briefly as you can:-
Question (i).
How does Toffler establish that knowledge is the most important ingredient of force and wealth?
Answer:
The military which rests on force uses computerized knowledge. The advanced economy can not for thirty seconds without (knowledge) computers.

Question (ii).
How does he distinguish among ‘data’ information and ‘knowledge’?
Answer:
‘Data’ means more or less connected ‘facts’, ‘information’ refers to data that have been fitted into categories and classification schemes or patterns; ‘knowledge’ means information that has been further refined into more general statements.

Question (iii).
Why is the second section named ‘facts’, ‘lies’, and ‘truth’?
Answer:
Facts, lies, and truth are the things around which the second section has been centered. The whole section is a reflection of most things.

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text B: Powershift

Question (iv).
How is it that knowledge is the most democratic source of power?
Answer:
Knowledge is the key to all kinds of things. It encompasses the means of communication that shapes the message that flows through them. Unlike bullets or budgers, knowledge itself gets used up. The revolutionary characteristics of knowledge that it can be grasped by the weak and poor as well make it the most democratic source of power.

Question (v).
What does Toffler mean by the concept of power-tria? (Paragraph -18)
Answer:
The power tria-patriarch of a family, president of a company, and Prime Minister of a nation wants to control the quantity, quality, and distribution of knowledge within his or her domain.

Question (iv).
Look at the introduction and the conclusion and say briefly, how they relate to the body paragraph of the exports.
Answer:
The introduction starts with knowledge of the part which had never imagined such an explosion of knowledge in the modem world. The conclusion tells that the modem knowledge has reached such a zenith that its provision is not too far. The control of knowledge has become the most important aspect. The introduction and conclusion of the passage are just like prefixes and suffixes ofthe body. The body passage is just an advancement between the introduction and the conclusion.

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text B: Powershift

Extra Activity – 9(A)

Find words in Text – B and use them first as nouns and then as verbs in sentences of your own.

mind shape
speed dispute
rule play
Advance form
run help
make use
turn process
concern race
force control

Answer:

mud (N) You can’t change his mind.
(V) Mind your own business.
speed (N) We should not drive cars in a high speeds.
(V) You should speed up your writing.
rule (N) The students must obey the rules of the college.
(V) Akbar ruled for a long time
advance (N) The employee asked for an advance.
(V) The army advanced forward.
run (N) The player could not make a good run.
(V) I can run five kilometers.
make (N) The watch is a foreign make.
(V) I can’t make a fire now.
turn (N) His turn came last.
(V) All his efforts turned into failure.
concern (N) Power has become the principal concern of politics.
(V) This book concerns human liberty.
force (N) He exerted force to extract money.
(V) Don’t force me to do this.
shape (N) The shape of the globe is round.
(V) Education shapes human personality.
dispute (N) The two brothers are in dispute for land division.
(V) We should not dispute for a piece of land.
play (N) The play was very attractive.
(V) He plays cricket every day.
form (N) I want an admission form.
(V) We have decided to form a club.
help (N) I want your help to do this work.
(V) I can help you in this matter.
use (N) You should know the process use of a computer.
(V) I always use a ballpoint pen.
process (N) This is not the process of preparing coffee.
(V) He processed everything for the meeting.
race (N) He participated in the 100 mtrs. race.
(V) He raced along the street to catch a thief.
control (N) Our government provides much stress on fund control.
(V) We should always control our anger.


Section – B

There is a popular saying ‘knowledge is power’. How can it be true? Give examples to explain this equation. Now, read Alvin Toffler’s ‘Power – shift’. You may find some of your points mentioned. You must focus your attention on the way Toffler presents those points while reading the text.

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text B: Powershift

Power-Shift Summary in English

Summary:

From satellites to submarines, modem weapons are constructed of information-rich electronic components. Today’s fighter plane is a flying computer. Even ‘dumb; computers are manufactured with the help of supersmart computers with electronic chips. The military, to choose a single example uses computerized knowledge – ‘expert systems’ – in missile defense. The Pentagon’s Defence Advanced Research Projects Agency (D ARPA) has set as a long-range goal the design of a system that can make ‘one million logical inferences per second’.

Logic inference, and epistemology – is short, brain work by humans and machine is today’s precondition for military power. It has so become that the advanced economy could not run for thirty seconds without computers. Therefore, knowledge is not only the source of the highest quality power but also the most important ingredient of force and wealth. Put differently knowledge has gone from being an adjunct of money power and muscle power to bringing their very essence.

It is, in feet, the ultimate amplified which is the key to the power shift that lies ahead. There are as many definitions of knowledge as there are people who regard themselves as knowledgeable. Matters grow worse when words like signs, symbols, and imagery are given highly technical meanings. To make things simple and escape from these definitional quicksands, even at the expense of vigor, the term knowledge will be expanded in the pages ahead.

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text B: Powershift

However, besides its great flexibility, knowledge has other important characteristics that make it fundamentally different from the lesser sources of power in tomorrow’s world. Thus force, for all practical concerns, is finite. There is a limit to how much force can be employed before we destroy what we wish to capture to defend knowledge, in principle different and infinitely expandable. Knowledge is also inherently different from both muscle and money because one gun can not be used simultaneously by two people. But by contrast, both ofthe men can use the same knowledge either for or against each other, and in that very process, we may even produce still more knowledge.

Unlike bullets or budgers, knowledge itself does not get used up. This alone tells us that the rules ofthe knowledge power game are sharply different from the precepts relied on by those who use force or money to accomplish their will. In fact, today, in the first changing affluent nations despite of all inequalities of income and wealth the coming struggle for power will increasingly turn into a struggle over the distribution of and access to knowledge. The control of knowledge has become the most important necessity which can save humanity.

Analytical Outlines

  • It may be a satellite.
  • Even it may be a submarine.
  • The modem weapons are constructed of information-rich electronic components.
  • Today’s fighter plane is a flying computer.
  • Even we may consider the ‘dumb’ computers.
  • They are manufactured with the help of super-smart computers.
  • They are manufactured with electronic chips.
  • Let us consider one burning example.
  • It is that the military uses computerized knowledge.
  • They use ‘expert systems’.
  • They use it in missile defense.

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text B: Powershift

  • The Pentagon’s Defence Advanced Research Projects Agents have designed such a system.
  • This system can make one million logical inferences per second.
  • This logic inference is epistemology.
  • Its use has increased military power.
  • The advanced economy can’t run without computer knowledge.
  • It becomes the source of the highest quality power.
  • It also becomes the most important ingredient of force and wealth.
  • It becomes an adjunct of money power and muscle power.
  • In fact, it is the ultimate amplifier.
  • It is really the ray to the power shift.
  • There can be as many definitions of knowledge as there are people.
  • Actually, matters grow worse.
  • Words like signs, symbols, and imagery are given highly technical meanings.
  • However, we can provide a simple definition of knowledge.
  • Hence, the term knowledge will be given an expanded meaning.
  • Actually, knowledge is greatly flexible in its meaning.
  • It has other important characterization too.
  • It makes it fundamentally different from other lesser sources of power.
  • Thus, force is finite for all practical concerns.
  • The employment force depends upon the wish of capture or defense.
  • Knowledge is also inherently different from both muscle and money.
  • Because one gun can not be simultaneously used by two people.
  • But, by contrast, both of men can use the same knowledge either for or against each other.
  • Through this process, We may even produce still more knowledge.
  • Unlike bullets or budgers, knowledge itself does not get used up.
  • The rules of knowledge are different from those who use force or money to accomplish their will.
  • In feet, today, the nations are fatty changing.
  • Even if they are having inequalities of income or wealth.
  • They are in greater struggle in the distribution of knowledge.
  • The control of knowledge has become the most important necessity.
  • Because it can save humanity.

CHSE Odisha Class 12 Alternative English Solutions Unit 4 Text B: Powershift

Meanings Of Difficult Words:

congeal – thickening of a liquid.
Pentagon – Headquarters of the US Department of Defence.
cliche(s) – A frequently used idea that has lost effectiveness.
chasm – a very deep creek (in rock, earth, or ice)
erus – the most important part of a problem.
sweeping – moving rapidly, quick movements
genius – a talented mind, a person having fabulous intelligence
astounding – amazing, surprising, wonderful
technologies – technologies that make their master’s mere servants.
supersmart – doing things very smartly even more smartly than expected.
epistemology – theory of knowledge
diverse – different, not the same of similar
maldistribution- uneven, distribution of wealth.
affluent – rich, abundant, plenty, having a lot.
abuse – misuse, wrong use of something
threat – danger, jeopardy

Read More:

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା

→ ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷାରେ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର ପ୍ରୟୋଗ :

→ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ – ସଡ଼କରେ ଯାତାୟତ କରିବା ସମୟରେ ବିଭିନ୍ନ ଟ୍ରାଫିକ୍ ନିୟମ ଓ ସଂକେତ ସବୁ ମାନିବାକୁ ପଡ଼ିଥାଏ । ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା ଦୂରତା ଓ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଅତିକ୍ରମ କରିବାର ସମୟକୁ ନେଇ ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମ (Arithmatic Sequence) ସୃଷ୍ଟି କରି ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ଏକ ଗାଣିତିକ ଭିଭି ଦେବା ଏହି ପାଠ୍ୟର
ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଅଟେ ।

→ ପ୍ରସଙ୍ଗ – ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅନୁକ୍ରମ ଓ ସେମାନଙ୍କର ସମାନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କଲାବେଳେ, ସମୟ ଓ ଦୂରତାକୁ ମଧ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ, ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ଯାନ ସଡ଼କ ପଥରେ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥାନରୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ସ୍ଥାନର ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରେ ଓ ଉକ୍ତ ଦୂରତାକୁ ଅତିକ୍ରମ କରିବାପାଇଁ ଯେଉଁ ସମୟ ନେଇଥାଏ, ତାହାକୁ ଆଧାର କରି ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ତିଆରି କରାଯାଇପାରିବ ।

ଉଦାହରଣ – 1:
A ଓ B ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା 150 କି.ମି. । A ଓ B ମଧ୍ୟରେ 10 ଟି ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତ ଅଛି । ଗୋଟିଏ କାର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି 60 କି.ମି. ବେଗରେ A ରୁ ବାହାରି ସମସ୍ତ ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତ ଅତିକ୍ରମ କରି 2 ଘଣ୍ଟା 30 ମିନିଟ୍‌ରେ B ରେ ପହଞ୍ଚେ । ମାତ୍ର ଅନ୍ୟ ଦିନ ମାନଙ୍କରେ ଅତ୍ୟଧକ ଭିଡ଼ ଯୋଗୁଁ ନିମ୍ନ ମତେ ବିଭିନ୍ନ ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତ ପାଖରେ କାରକୁ ଠିଆ ହେବାକୁ ପଡ଼ିଥାଏ ।
ପ୍ରଥମ ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତ : 1 ମିନିଟ୍
ଦ୍ଵିତୀୟ ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତ : 2 ମିନିଟ୍
ଏବଂ ଦଶମ ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ 10 ମିନିଟ୍
ଯଦି କାରର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ 60 କି.ମି. ହୁଏ ଓ କାରଟି ସମସ୍ତ ଟ୍ରାଫିକ୍ ନିୟମ ପାଳନ କରେ ତେବେ ଉକ୍ତ ଯାତ୍ରାରେ କାରଟି ନେଇଥିବା ସମୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ଉ :
1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତରେ ଅଟକିବା ସମୟଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ 1, 2, 3,…., 10
∴ ଏହା ସମାନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ ଅଟେ । A.P. = 1, 2, 3…..10
ଏଠାରେ ପ୍ରଥମପଦ a = 1, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର d = 1 ଓ ପଦସଖ୍ୟା n = 10
∴ ମୋଟ ଅଟକିଥିବା ସମୟ = \(\frac{n(n + 1)}{2}\) = \(\frac{10(10 + 1)}{2}\) = 55 ମିନିଟ୍ ।
କାରର ବେଗ ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି 60 କି.ମି. ହେଲେ ଏହା କେଉଁଠି ନ ଅଟକି 2 ଘଣ୍ଟା 30 ମିନିଟ୍‌ରେ A ଠାରୁ B ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯାଏ ।
∴ ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତରେ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ସମୟକ୍ରମରେ ଅଟକି A ଠାରୁ B ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ପହଞ୍ଚିବା ସମୟ
= 2 ଘ. 30 ମି. + 55 ମି. = 3 ଘଣ୍ଟା 25 ମିନିଟ୍ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା

ଉଦାହରଣ – 2:
ଅଶୋକ ଏକ ସଡ଼କରେ ଗାଡ଼ି ଚଳାଇ ଗଲାବେଳେ ପ୍ରଥମ, ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟ ଟ୍ରାଫିକ୍ ଲାଇଟ୍‌କୁ ଯଥାକ୍ରମେ 5, 12 ଓ 19 ସେକେଣ୍ଡରେ ଅତିକ୍ରମ କଲା । ଏହିପରି କ୍ରମରେ ଟ୍ରାଫିକ୍ ଲାଇଟ୍‌କୁ ଅତିକ୍ରମ କରି ଚାଲିଲେ, 75 ସେକେଣ୍ଡରେ କେଉଁ ନମ୍ବରର ଟ୍ରାଫିକ୍ ଲାଇଟ୍‌କୁ ଅତିକ୍ରମ କରିବ ?
ଉ :
ପ୍ରଥମ, ଦ୍ଵିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟ ଟ୍ରାଫିକ୍ ଲାଇଟ୍‌ ସମୟ ଯଥାକ୍ରମେ 5, 12 ଓ 19 ସେକେଣ୍ଡ ହେବ ।
∴ ସମୟଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ବିଶିଷ୍ଟ; AP = 5, 12, 19
∴ ଏଠାରେ ପ୍ରଥମ ପଦ a = 5, DIUINA ABQ d = 12 – 5 = 7
ମନେକର 75 ସେକେଣ୍ଡରେ ଅଶୋକ n ତମ ଟ୍ରାଫିକ୍ ଲାଇଟ୍‌କୁ ଅତିକ୍ରମ କରିବ ।
∴ tn = 75 ସେକେଣ୍ଡରେ
∴ tn = a + (n – 1) d
⇒ 75 = 5 + (n – 1)7 = 75 = 5 + 7n – 7
⇒ 7n – 2 – 75 = 0
⇒ 7n = 77
⇒ n = 11
∴ ଅଶୋକ 75 ସେକେଣ୍ଡରେ 11ଟି ଟ୍ରାଫିକ୍ ଲାଇଟ ଅତିକ୍ରମ କରିବ ।

ଉଦାହରଣ – 3:
କୌଣସି ସିଧା ସଡ଼କରେ ପ୍ରଥମ, ଦ୍ଵିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟ ଟ୍ରାଫିକ ସଂକେତ ଯଥାକ୍ରମେ 3 କି.ମି., 5 କି.ମି. ଓ 7 କି.ମି. ଦୂରରେ ଲାଗିଛି ।
ଏହି କ୍ରମରେ 10ମ ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତର ଦୂରତା କେତେ କି.ମି. ହେବ ?
ଉ :
ଦତ୍ତଅନୁସାରେ ପ୍ରଥମ, ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟ ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତ ଦୂରତା ଯଥାକ୍ରମେ 3 କି.ମି., 5 କି.ମି. ଓ 7 କି.ମି. ।
ଅର୍ଥାତ୍ ଏହି ଦୂରତା ଏକ ସମାନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ ବିଶିଷ୍ଟ ।
∴ A. P = 3, 5, 7
ଏଠାରେ ପ୍ରଥମ ପଦ a = 3, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର d = 5 – 3 = 2
∴ 10 ମ ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତର ଦୂରତା = t10 ଏଠାରେ n = 10
t10 = a + (n – 1) d = 3 + (10 – 1)2 = 3 + 18 = 21 କି.ମି.
∴10 ମ ସଂକେତର ଦୂରତା 21 କି.ମି. ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା

ଉଦାହରଣ – 4:
କୌଣସି ସଡ଼କ ଉପରେ ଲଗାଯାଇଥିବା ଟ୍ରାଫିକ୍ ଲାଇଟଗୁଡ଼ିକର ଦୂରତା ଏକ ସମାନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ ବିଶିଷ୍ଟ । ଯଦି ତୃତୀୟ ଲାଇଟର ଦୂରତା 1500 ମିଟର ଏବଂ ଅଷ୍ଟମ ଲାଇଟର ଦୂରତା 3000 ମିଟର ହୁଏ, ତେବେ 15 ତମ ଲାଇଟର ଦୂରତା କେତେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ଉ :
ତୃତୀୟ ଲାଇଟ୍‌ର ଦୂରତା = 1500 ମି. ଅର୍ଥାତ୍ t3 = 1500 ମି.
ଓ ଅଷ୍ଟମ ଲାଇଟ୍‌ର ଦୂରତା = 3000 ମି. ଅର୍ଥାତ୍ t8 = 3000 ମି.
ଏକ ସମାନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀର n ତମ ପଦ । ହେଲେ,
tn = a + (n – 1) d
ପ୍ରଶ୍ମାନୁସାରେ, t3 = 1500 ଏବଂ t8 = 3000
a + (3 – 1) d = 1500
⇒ a + 2d = 1500 …. (i)
ଏବଂ a + (8 – 1) d = 3000
⇒ a + 7d = 3000 …..(ii)
ସମୀକରଣ (ii) ରୁ (ii) କୁ ବିୟୋଗ କଲେ,
(a + 7d) − (a + 2d) = 3000 – 1500
⇒ 5d = 1500 ⇒ d = 300
‘d’ ର ମୂଲ୍ୟକୁ ସମୀକରଣ (i) ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ,
a + 2 × 300 = 1500 ⇒ a+ 600 = 1500 ⇒ a = 900
∴ 15-ତମ ଲାଇଟ୍‌ର ଦୂରତା
= t15 = a + (15 – 1) d = 900 + 14 × 300
= 900 + 4200 = 5100 ମିଟର ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା

→ ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷାରେ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ପ୍ରୟୋଗ :

→ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ – ଯାନବାହନ ଦ୍ବାରା ସୃଷ୍ଟି ପ୍ରଦୂଷଣ, ବିଭିନ୍ନ ସମୟରେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ସ୍ତରରେ ପହଞ୍ଚିଥାଏ । ପରିବେଶ ସୁରକ୍ଷା ଦୃଷ୍ଟିରୁ ବାୟୁମଣ୍ଡଳର ପ୍ରଦୂଷଣ ସ୍ତର କମାଇବା ଆବଶ୍ୟକ । ସେହିଭଳି ବିଭିନ୍ନ କାରଣରୁ ସଡ଼କ ଦୁର୍ଘଟଣା ଦିନକୁ ଦିନ ବଢ଼ିଚାଲିଛି । ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରଦୂଷଣ ତଥା ସଡ଼କ ଦୁର୍ଘଟଣା ବିଷୟକ ତଥ୍ୟ ସଂଗ୍ରହ କରିବା ଓ ତାହାର ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଭିତ୍ତିକ ଲେଖଚିତ୍ର ପ୍ରସ୍ତୁତ କରି ତାହା ମାଧ୍ୟମରେ ଜନ ସଚେତନତା ସୃଷ୍ଟି କରିବା ଏହି ପାଠ୍ୟର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ।

→ ପ୍ରସଙ୍ଗ – 1889 ଭାରତ ସରକାରଙ୍କ ମୋଟର ଯାନ ଆଇନ ଅନୁସାରେ ସବୁ ପ୍ରକାର ଡିଜେଲ ଓ ପେଟ୍ରୋଲ ଚାଳିତ ଯାନ ପାଇଁ ପ୍ରଦୂଷଣ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ପ୍ରମାଣ ପତ୍ର (PUC ଅର୍ଥାତ୍ Pollution Under Control) ଜରୁରୀ । ଏହା ଆଗରୁ ସେତେଟା କଡ଼ାକଡ଼ି ଭାବେ ଲାଗୁ ହେଉନଥିଲା । ଦିଲ୍ଲୀ, ବମ୍ବେ, ମାଡ୍ରାସ, ହାଇଦ୍ରାବାଦ ଓ ବାଙ୍ଗାଲୋର ଆଦି ପ୍ରମୁଖ ସହରରେ ନିକଟରେ ଏହି ଆଇନକୁ କଡ଼ାକଡ଼ି ଭାବେ ଲାଗୁ କରିବାକୁ ସରକାର ସ୍ଥିର କରିଛନ୍ତି । ଆଗରୁ କାଗଜ ତିଆରି ନିମ୍ନ ପ୍ରଦୂଷଣ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ପତ୍ର ଦିଆଯାଉଥିଲା । ତାହା ବେଳେ ବେଳେ ହଜି ଯାଉଥିଲା ବା ନଷ୍ଟ ହୋଇଯାଉଥିଲା । ବର୍ତ୍ତମାନ ଅକ୍ଟୋବର 1, 2019 ଠାରୁ online ପ୍ରଦୂଷଣ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ପ୍ରମାଣପତ୍ର ଦିଆଯାଉଛି । ଯେଉଁଥରେ କି ହଜିଯିବା ଓ ନଷ୍ଟ ହୋଇଯିବାର ଭୟ ନାହିଁ । ନୂଆ ଗାଡ଼ି ପାଇଁ ପ୍ରଦୂଷଣ ସାର୍ଟିଫିକେଟ ଏକ ବର୍ଷ ପାଇଁ ଓ ପୁରୁଣା ଗାଡ଼ି ପାଇଁ ଏହା 6 ମାସ ପାଇଁ ବୈଧ ଅଟେ । ପ୍ରଦୂଷଣ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ପ୍ରମାଣପତ୍ର ବିନା ଗାଡ଼ି ଚଳାଇଲେ 2000 ଟଙ୍କା କିମ୍ବା 3 ମାସ ଜେଲ (ପ୍ରଥମ ଥର ପାଇଁ), ଦ୍ଵିତୀୟ ଥର ଖିଲାପ କଲେ 4000 ଟଙ୍କା କିମ୍ବା 4 ମାସ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଜେଲ ହେବାର ପ୍ରାବଧାନ ରହିଛି । ସଡ଼କ ଦୁର୍ଘଟଣା ଦିନକୁ ଦିନ ବଢ଼ି ବଢ଼ି
ଚାଲିବାର ପ୍ରଧାନ କାରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –
(i) ଟ୍ରାଫିକ୍ ନିୟମ ପାଳନ ନ କରି ବେପରୱା ଗାଡ଼ି ଚଳାଇବା
(ii) ନିଶାସକ୍ତ ହୋଇ ଗାଡ଼ି ଚଳାଇବା ।
(iii) ଦ୍ରୁତ ଗତିରେ ଗାଡ଼ି ଚଳାଇବା ।
(iv) ବିନା ହେଲମେଟରେ ଗାଡ଼ି ଚଳାଇବା ଇତ୍ୟାଦି ।
ଏହି ସବୁ ଦୁର୍ଘଟଣାର ହାର କମାଇବା ପାଇଁ ସରକାର ନିକଟରେ କଡ଼ା ପଦକ୍ଷେପ ନେଇଛନ୍ତି । ପୂର୍ବ ଅପେକ୍ଷା ଟ୍ରାଫିକ୍ ଜୋରିମାନା ଅତ୍ୟଧିକ ବୃଦ୍ଧି କରାଯାଇଛି ।
ନୂଆ ଟ୍ରାଫିକ୍ ଜୋରିମାନାର ଏକ ତାଲିକା ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ହେଲା ।

ଉଦାହରଣ – 5
ପ୍ରଦୂଷକଙ୍କ ମାତ୍ରା ଦର୍ଶାଯାଇଛି । କେଉଁ ବର୍ଷ ପ୍ରମୁଖ ପ୍ରଦୂଷକର ମାତ୍ରା ସର୍ବନିମ୍ନ ସ୍ତରରେ ପହଞ୍ଚିଲା ? ପ୍ରଦୂଷଣ ନିମ୍ନ ସ୍ତରରେ ପହଞ୍ଚାଇବା ପାଇଁ କାହାକୁ ଶ୍ରେୟ ଦିଆଯିବ ?
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -1
ଉ :
2003 ମସିହାରେ CO ପ୍ରଦୂଷଣ ମାତ୍ରା ସବୁଠାରୁ କମ୍ । ଏହାର ଶ୍ରେୟ ସରକାରଙ୍କର କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ;
(i) ପ୍ରଦୂଷଣ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ପ୍ରମାଣ ପତ୍ରକୁ କଡ଼ାକଡ଼ି ଭାବେ ଲାଗୁ କରିବା ।
(ii) ଯାନମାନଙ୍କରେ ’CNG ଲଗାଇବା ପାଇଁ ସରକାର କଡ଼ା ନିୟମ କରିବା ।
(iii) ଜନଗହଳି ସ୍ଥାନମାନଙ୍କରେ ପ୍ରଦୂଷଣ ମାତ୍ରା ବିଷୟରେ ବଡ଼ ବଡ଼ ଲେଖଚିତ୍ରର ବିଜ୍ଞାପନ ମାରି ଲୋକଙ୍କୁ ସଚେତନ ସଚେତନ କରାଇବ। ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା

ଉଦାହରଣ – 6.
ଦତ୍ତ ସ୍ତମ୍ଭଲେଖ ଚିତ୍ରଟି କୌଣସି ଏକ ସହରର ବିଗତ BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -2 ଲୋକସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟକ୍ତ କରୁଛି ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -3
(a) 2011 – 2013 ମଧ୍ୟରେ ଦୁର୍ଘଟଣାରେ ମୃତ୍ୟୁବରଣ କରିଥିବା ଲୋକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାରେ କେତେ ବୃଦ୍ଧି ବା ହ୍ରାସ୍ ହୋଇଛି ?
(b) 2012 – 2014 ମଧ୍ଯରେ ଦୁର୍ଘଟଣାରେ ମୃତ୍ୟୁ ସଂଖ୍ୟାରେ ଶତକଡ଼ା ହ୍ରାସ ବା ବୃଦ୍ଧି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ଉ :
ଦତ୍ତ ଲେଖଚିତ୍ର ଅନୁସାରେ
(a) 2011 ମସିହାରେ ମୃତ୍ୟୁ ସଂଖ୍ୟା = 300
2013 ମସିହାରେ ମୃତ୍ୟୁ ସଂଖ୍ୟା = 350
ବୃଦ୍ଧି = 350 – 300 = 50
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -4

(b) 2012 ମସିହାରେ ମୃତ୍ୟୁ ସଂଖ୍ୟା = 400
2014 ମସିହାରେ ମୃତ୍ୟୁ ସଂଖ୍ୟା = 200
ହ୍ରାସ = 400 – 200 = 200
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -5

ଉଦାହରଣ – 7.
ଦିଆଯାଇଥବା ବୃତ୍ତଲେଖରେ 2018 ମସିହାରେ କୌଣସି ସହରରେ ସଡ଼କ ଦୁର୍ଘଟଣାରେ ବିଭିନ୍ନ କାରଣ ଯୋଗୁଁ ମୃତ୍ୟୁ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଡିଗ୍ରୀରେ ବ୍ୟକ୍ତ କରାଯାଇଛି । ଯଦି ଉକ୍ତ ବର୍ଷ 10800 ଜଣ ବ୍ୟକ୍ତି ସଡ଼କ ଦୁର୍ଘଟଣାରେ ମୃତ୍ୟୁବରଣ କରିଥା’ନ୍ତି, ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -6
(a) ମଦ ପିଇ ମୃତ୍ୟୁବରଣ କରିଥିବା ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ?
(b) ଦ୍ରୁତଗତିରେ ଗାଡ଼ି ଚଳାଇ ମୃତ୍ୟୁବରଣ କରିଥିବା ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ?
ଉ :
ସମୁଦାୟ ଦୁର୍ଘଟଣାରେ ମୃତ୍ୟୁ ସଂଖ୍ୟା = 10800
∴ ବୃତ୍ତାକାର ହେତୁ ଏହାର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ = 360°
(a) ମଦ ପିଇ ଗାଡ଼ି ଚଳାଇ ଦୁର୍ଘଟଣାରେ ପଡ଼ିଥିବା ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ = 120°
ଏହାର ସଂଖ୍ୟା = \(\frac{10800}{360°}\) × 120° = 3600 ଜଣ ।

(b) ଦ୍ରୁତଗତିରେ ଗାଡ଼ି ଚଳାଇ ମୃତ୍ୟୁବରଣ କରିଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ = 90°
ଏହାର ସଂଖ୍ୟା = \(\frac{10800}{360°}\) × 90° = 2700 ଜଣ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା

→ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ – ଦିନକୁ ଦିନ ବଢୁଥ‌ିବା ସଡ଼କ ଦୁର୍ଘଟଣାକୁ ଏଡ଼ାଇବା ପାଇଁ ରାତିରେ ସଡ଼କମାନଙ୍କରେ ଉଜ୍ଜ୍ବଳ ଆଲୋକର ବ୍ୟବସ୍ଥା କରାଯାଇଥାଏ । ଟ୍ରାଫିକ୍ ନିୟମ ଉଲ୍ଲଙ୍ଘନକାରୀଙ୍କୁ ଚିହ୍ନଟ କରିବାପାଇଁ ମଧ୍ୟ ସଡ଼କର ବିଭିନ୍ନ ସ୍ଥାନରେ CCTV କ୍ୟାମେରା ଲଗାଯାଇଥାଏ । ଏହି ସବୁ ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ତ୍ରିକୋଣମିତିକୁ କିପରି ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇପାରିବ ତାହା ଏହି ପାଠ୍ୟର ଲକ୍ଷ୍ୟ ।

→ ପ୍ରସଙ୍ଗ – ସାଧାରଣତଃ ବଡ଼ ବଡ଼ ଖୁଣ୍ଟ ଉପରେ ବା ରାସ୍ତା କଡ଼ରେ ଥ‌ିବା ବଡ଼ ବଡ଼ ଅଟ୍ଟାଳିକା, ଟାୱାର ଉପରେ ଆଲୋକ ଓ CCTV ବ୍ୟବସ୍ଥା କରାଯାଇଥାଏ । ତ୍ରିକୋଣମିତିରେ ଥ‌ିବା ଉଚ୍ଚତା ଓ ଦୂରତା (Height and distance)

ଉଦାହରଣ – 8
12 ସେ.ମି. ଉଚ୍ଚ ଏକ ସ୍ତମ୍ଭ ଉପରେ ଗୋଟିଏ CCTV କ୍ୟାମେରା ଏପରି ଭାବେ ଖଞ୍ଜି ଦିଆଯାଇଛି ଯେ ସ୍ତମ୍ଭ ଉପରୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କଲେ 13 ସେ.ମି. ଦୀର୍ଘ ଦୃଷ୍ଟି ରେଖା (Line of sight) ଆଗକୁ ଚଳାଚଳ କରୁଥିବା ଯାନବାହନ (Traffic) ସବୁ ଦୃଷ୍ଟିଗୋଚର ହୁଏ ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -7
ଯଦି ସତ୍ୟ,
(i) ସ୍ତମ୍ଭର ପାଦଦେଶରୁ ଯେଉଁ ସ୍ଥାନ ପରେ ଟ୍ରାଫିକ୍ ଦୃଷ୍ଟିଗୋଚର ହୁଏ, ତା’ର ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) ସ୍ତମ୍ଭର ଚତୁଃପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥ‌ିବା କେତେ ପରିମିତ ସ୍ଥାନକୁ ଘାସରେ ଆଚ୍ଛାଦିତ କରାଯାଇପାରିବ ? (green belt)
(iii) ତୁମେ ଭାବୁଛ କି CCTV କ୍ୟାମେରାଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରକୃତରେ ଟ୍ରାଫିକ ନିୟନ୍ତ୍ରଣରେ ସାହାଯ୍ୟକାରୀ ?
ଉ :
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -8
(i) ଦୀର୍ଘ ଦୃଷ୍ଟି ରେଖା AB = 13 ସେ.ମି. ।
ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା OA = 12 ସେ.ମି.,
ତାହା ସ୍ତମ୍ଭର ପାଦଦେଶରୁ ଯେଉଁ ସ୍ଥାନ ପରେ ଟ୍ରାଫିକ
AOB ସମକୋଣୀ ∆ରେ
= OB = \(\sqrt{AB^2 – OA^2}\)
= \(\sqrt{(13)^2-(12)^2}\)
= \(\sqrt{169-144}\) = √25 =5 ସେ.ମି. ।

(ii) ସ୍ତମ୍ଭ ଚାରିପଟେ ଥିବା OB ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରରେ ଟ୍ରାଫିକ ଦୃଶ୍ୟମାନ ହେବ ନାହିଁ । ଉକ୍ତ ବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରରେ ଘାସ ଆଚ୍ଛାଦିତ (Green belt) କରାଯାଇପାରେ ।
∴ ଉକ୍ତ ପଡ଼ିଆର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = tr = π OB² (r = OB)
= π.5² ସେ.ମି. = 25π ସେ.ମି.

(iii) ଟ୍ରାଫିକ୍ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ପାଇଁ CCTV କ୍ୟାମେରାର ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ ଭୂମିକା ରହିଛି ।
ଟ୍ରାଫିକ୍ ନିୟମ ଖୁଲାପକାରୀ CCTV କ୍ୟାମେରା ଦ୍ଵାରା ଧରାପଡ଼ି ଥା’ନ୍ତି ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା

ଉଦାହରଣ – 9
ଏକ ଚାରିଛକ ପାଖରେ ଏକ ଖମ୍ବର ଶୀର୍ଷ ଦେଶରେ ଏକ CCTV କ୍ୟାମେରା ଲାଗିଛି । ଉକ୍ତ କ୍ୟାମେରାରୁ ସଡ଼କ ଉପରେ ଥ‌ିବା ଏକ କାରର କୌଣିକ ଅବନତି 45 । ଖମ୍ବର ପାଦଦେଶରୁ କାରର ଦୂରତ୍ବ 10 ମିଟର ହେଲେ ଖମ୍ବର ଉଚ୍ଚତା
କେତେ ?
ଉ :
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -9
AB ଖମ୍ବର ଶୀର୍ଷ ଦେଶରେ ଅର୍ଥାତ୍ A ଠାରେ CCTV କ୍ୟାମେରା ଲାଗିଛି ।
ଏହାର ପାଦଦେଶ ‘B’ ଠାରୁ 10 ମି. ଦୂର ‘C’ ଠାରେ ଏକ କାରର କୌଣିକ ଅବନତି = 45°
ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ BC = 10 ମି. ଓ ∠BCA = 45°
tan 45°= \(\frac{AB}{BC}\)
⇒ 1 = \(\frac{AB}{10}\) ⇒ AB = 10 ମିଟର ।
∴ ଖମ୍ବର ଉଚ୍ଚତା 10 ମିଟର ।

ଉଦାହରଣ – 10
ଏକ 8 ମିଟର ଉଚ୍ଚ ଖମ୍ବ ଉପରେ ସଡ଼କରେ ଯାତାୟତ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ପାଇଁ ଏକ କ୍ୟାମେରା ଲାଗିଛି । କ୍ୟାମେରାଟି ଖମ୍ବର ଶୀର୍ଷରୁ 17 ମିଟର ଦୂର ଦୃଷ୍ଟିରେଖା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯାତାୟତ ଦେଖିପାରେ । କ୍ୟାମେରାଟି ଖମ୍ବର ଚାରିପଟେ କେତେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷେତ୍ରର ଯାତାୟତ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ କରିପାରିବ ?
ଉ :
ଚିତ୍ରାନୁସାରେ, ଖମ୍ବର ଉଚ୍ଚତା AB = 8
ମିଟର ଦୃଷ୍ଟିରେଖା AC = 17 ମିଟର
ସମକୋଣୀ A ABC ରେ AC² = BC² + AB²
⇒ 17² = BC² + 8²
⇒ BC² = 17² – 8² = 15²
⇒ BC = 15
କ୍ୟାମେରା ଦ୍ବାରା ଖମ୍ବର ଚାରିପଟେ ଦର୍ଶନୀୟ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = π(BC)²
= 3.14 × 225 = 706.5 ମିଟର

→ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷାର ଦୁଇ ଚଳ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ସମସ୍ୟା :
ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ – ସଡ଼କରେ ଦୃଶ୍ୟ ଉପରେ ଆଧାରିତ ସମସ୍ୟାମାନଙ୍କ ସାହାଯ୍ୟରେ ନିମ୍ନ ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରିବା ହେଲା ଏହି ଦ ର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ।

→ ସମୀକରଣ – ପ୍ରତିକ୍ରିୟା ଦୂରତା + ବେଗ କ୍ଷୟ ଦୂରତା = ସ୍ଥିରତା ଆସିବା ଦୂରତା
ସ୍ଥିରତା ଆସିବା ଦୂରତା = ପ୍ରତିକ୍ରିୟା ଦୂରତା × ପିଛା କରିବା ଦୂରତା
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -10

→ ପିଛା କରିବା ଦୂରତା (Chasing distance) :
ଆଗରେ ଯାଉଥ‌ିବା ଯାନକୁ ପିଛା କରିବା ଦୂରତା ସାଧାରଣତଃ ସେକେଣ୍ଡରେ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ କରାଯାଏ । ଏହାକୁ ପ୍ରତିକ୍ରିୟା ଦୂରତା ଓ ସ୍ଥିରତା ଆସିବା ଦୂରତା ଦ୍ଵାରା ହିସାବ କରାଯାଏ ।

BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା

ଉଦାହରଣ – 11
ତଳର ସାରଣୀରେ ହିସାବ କରି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -11
ଉ :
(i) ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସ୍ଥିରତା ଆସିବା ଦୂରତ୍ବ = ପ୍ରତିକ୍ରିୟା ଦୂରତ୍ୱ x ପିଛା କରିବା ଦୂରତ୍ୱ
ପ୍ରଥମ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପାଇଁ ସ୍ଥିରତା ଆସିବା ଦୂରତା = 54 ମି.
ଓ ପ୍ରତିକ୍ରିୟା ଦୂରତା = 18 ମି.
∴ ପିଛା କରିବା ଦୂରତା = \(\frac{54}{18}\) ମି. = 3 ମି.

(ii) ଦ୍ଵିତୀୟ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପାଇଁ ସ୍ଥିରତା ଆସିବା ଦୂରତା = 108 ମି.
ଓ ପିଛା କରିବା ଦୂରତା = 4 ମି.
∴ ପ୍ରତିକ୍ରିୟା ଦୂରତା = \(\frac{108}{4}\) = 27 ମି.

ପୂରଣ ସାରଣୀଟି ହେବ –
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -12
ବେଗ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସମୀକରଣ :
(i) v = u + at
(ii) v² = u² + 2as
ଏଠାରେ v = ଅନ୍ତିମ ବେଗ, u = ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବେଗ, a = ତ୍ୱରଣ, t = ସମୟ

ଉଦାହରଣ – 12
ଗୋଟିଏ କାର୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ 50 କି.ମି. । ଯଦି ସ୍ଥିରତାକୁ ଆସିବାର ଦୂରତା 40 ମିଟର ଓ ମନ୍ଦିତ ବେଗ 4.4 ମି./ସେକେଣ୍ଡ ହୁଏ ତେବେ କାରଟି କେତେ ସମୟ ପରେ ସ୍ଥିର ହେବ ?
ଉ :
କାରର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବେଗ u = 50 କି.ମି. | ଘଣ୍ଟା = 50 × \(\frac{5}{18}\) = \(\frac{129}{9}\) ମିଟର / ସେକେଣ୍ଡ
ସ୍ଥିରତାକୁ ଆସିବାର ଦୂରତା s = 40 ମିଟର
ମିଟର ବେଗ = 4.4 ମିଟର / ସେକେଣ୍ଡ
⇒ a = – 4.4 ମିଟର / ସେକେଣ୍ଡ
ବେଗର ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ଅନୁସାରେ : v = u + at (v = ଶେଷ ବେଗ, ସ୍ଥିରତା ସମୟରେ v = 0)
⇒ 0 = \(\frac{129}{9}\) – 4.4 t
⇒ 4.4t = \(\frac{129}{9}\)
⇒ t = \(\frac{125}{9×4.4}\) = t = \(\frac{1250}{396}\)
⇒ t = 3.16
∴ କାର୍ ସ୍ଥିର ହେବା ପାଇଁ 3.16 ସେକେଣ୍ଡ ଲାଗିବ ।

ସୂତ୍ରାବଳୀ (Formulae)

→ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି :
ପ୍ରଥମ ପଦ = a
ସାମାରଣ ଅନ୍ତର = d
∴ n-ତମ ପଦ = tn = a + (n – 1) d
n ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ଯୋଗାଗଫଳ Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = 1 + 2 + 3 + ………. + n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
ବୃତ୍ତଲେଖ :
ସମସ୍ତ ବୃତ୍ତକଳାର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = 360°
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -13

→ ତ୍ରିକୋଣମିତି :
ଉଚ୍ଚତା ଓ ଦୂରତା
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -14

→ ଦୁଇଚଳ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ସମସ୍ୟା –
ପ୍ରତିକ୍ରିୟା ଦୂରତା + ବେଗ କ୍ଷୟ ଦୂରତା = ସ୍ଥିରତା ଆସିବା ଦୂରତା ।
ପ୍ରତିକ୍ରିୟା ଦୂରତା = ସ୍ଥିରତା ଆସିବା ଦୂରତା – ବେଗ କ୍ଷୟ ଦୂରତା
ବେଗ କ୍ଷୟ ଦୂରତା = ସ୍ଥିରତା ଆସିବା ଦୂରତା – ପ୍ରତିକ୍ରିୟା ଦୂରତା
ସ୍ଥିରତା ଆସିବା ଦୂରତା = ପ୍ରତିକ୍ରିୟା ଦୂରତା × ପିଛାକରିବା ଦୂରତା ।
BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ସଡ଼କ ସୁରକ୍ଷା ଶିକ୍ଷା -15

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ Important Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

Subjective Type Questions With Answers

ଦୀର୍ଘ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୬୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

୧। ‘ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିତି’ ସମ୍ପର୍କରେ ଏକ ଟିପ୍‌ପଣୀ ଲେଖ ।
Answer:

  • ୧୯୦୩ ମସିହା ପ୍ରାରମ୍ଭରେ କେତେକ ଉତ୍ସାହୀ ଓଡ଼ିଆ ଚିଲିକା ହ୍ରଦ କୂଳ ନିକଟସ୍ଥ ରମ୍ଭାଠାରେ ଏକତ୍ର ହୋଇ ଖଲ୍ଲିକୋଟ ରାଜା ହରିହର ମର୍ଦ୍ଦରାଜ ଦେବଙ୍କ ପ୍ରେରଣାରେ ‘ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିତି’ ନାମକ ଏକ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠନ କରିଥିଲେ ।
  • ଗଞ୍ଜାମ ଓ ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଦକ୍ଷିଣାଞ୍ଚଳ ଜିଲ୍ଲାମାନଙ୍କୁ ତଥା ଓଡ଼ିଶାର ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଅଞ୍ଚଳକୁ ଏକ ଶାସନାଧୀନରେ ରଖିବାପାଇଁ ଉଦ୍ୟମ କରିବା ଥିଲା ଏହାର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ।
  • ଏହାର ପ୍ରଥମ ବୈଠକ ୧୯୦୩ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ୍ ମାସରେ ବ୍ରହ୍ମପୁରଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା, ଯେଉଁଥିରେ ଓଡ଼ିଶା, ବଙ୍ଗ, କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରଦେଶ ଓ ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ପ୍ରେସିଡ଼େନ୍ସିର ସମସ୍ତ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳରୁ ପ୍ରତିନିଧୁମାନେ ବହୁସଂଖ୍ୟାରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
  • ଏହି ବିଶାଳ ଜନସମାବେଶ ‘ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସଭା’ ଭାବେ ପରିଚିତ । ଶ୍ୟାମସୁନ୍ଦର ରାଜଗୁରୁ ଏଥିରେ ସଭାପତିତ୍ୱ କରିଥିଲେ ।
  • ମଧୁସୂଦନ ଦାସ ନିମନ୍ତ୍ରିତ ହୋଇ ଏହି ସଭାରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ । ଏହା ତାଙ୍କୁ ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳ ଓଡ଼ିଶାର ମିଶ୍ରଣ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଉତ୍କଳ ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ପାଇଁ ଏକ ବୃହତ୍ତର ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନର ଗଠନ ପାଇଁ ପ୍ରେରଣା ଦେଇଥିଲା ।

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

କ୍ଷୁଦ୍ର ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୩୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

୧। ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଲକ୍ଷ୍ୟ କ’ଣ ଥିଲା ଉଲ୍ଲେଖ କର ।
Answer:

  • ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ କରିବା ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଧାନ ଲକ୍ଷ୍ୟ ଥିଲା ।
  • ଏତଦ୍‌ବ୍ୟତୀତ ଏହାର ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଲକ୍ଷ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –
    1. ପ୍ରାକୃତିକ ଓଡ଼ିଶାର ଏକତ୍ରୀକରଣ ।
    2. ଓଡ଼ିଶାର ସମୁଦାୟ ବିକାଶ ।
    3. ସମସ୍ତ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ଶାସନାଧୀନ କରିବା ।
    4. ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳରେ ଓଡ଼ିଆମାନଙ୍କ ସ୍ବାର୍ଥର ସୁରକ୍ଷା ।

୨। ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ସତ୍ତା କିପରି ଲୋପ ପାଇଲା ?
Answer:

  1. ପଣ୍ଡିତ ଗୋପବନ୍ଧୁ ଦାସ ପ୍ରଭୃତି କଂଗ୍ରେସ ନେତାମାନେ ଭାବିଲେ ଅସହଯୋଗ ଆନ୍ଦୋଳନଦ୍ୱାରା ହିଁ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ମୂଳ ଲକ୍ଷ୍ୟ ଅର୍ଥାତ୍ ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳର ମିଶ୍ରଣ ଓ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ଉତ୍କଳ ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ସମ୍ଭବ ହୋଇପାରିବ ।
  2. ଫଳରେ ୧୯୨୦ ମସିହାରେ ସିଂହଭୂମି ଜିଲ୍ଲାର ଚକ୍ରଧରପୁରଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧୁବେଶନ କଂଗ୍ରେସର ଲକ୍ଷ୍ୟ ଓ ଆଦର୍ଶକୁ ଗ୍ରହଣ କରିନେଲା ।
  3. ଏହାଫଳରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ଏକପ୍ରକାର କଂଗ୍ରେସ ସହିତ ମିଶିଗଲା ଓ ଏହାର ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ସତ୍ତା ଲୋପପାଇଲା ।

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

୩ । ମଧୁବାବୁ କଂଗ୍ରେସ ସହିତ କାହିଁକି ସମ୍ପର୍କ ଛିନ୍ନ କରିଥିଲେ ?
Answer:

  • ୧୯୦୩ ମସିହାରେ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ମାନ୍ଦ୍ରାଜ୍ ଅଧିବେଶନରେ ମଧୁବାବୁ ଗୌରୀଶଙ୍କର ରାୟଙ୍କ ସହିତ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
  • ମଧୁବାବୁ ଏହି ଅଧ‌ିବେଶନରେ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳକୁ ନେଇ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ଓ ଗଞ୍ଜାମକୁ ଓଡ଼ିଶା ସହିତ ମିଶ୍ରଣ ନିମନ୍ତେ ପ୍ରସ୍ତାବ ଉପସ୍ଥାପନା କରିଥିଲେ ।
  • କିନ୍ତୁ ଏହି ପ୍ରସ୍ତାବକୁ ସେଠାରେ ଗୁରୁତ୍ଵ ଦିଆଯାଇ ନଥ‌ିବାରୁ ମଧୁବାବୁ ଅତ୍ୟନ୍ତ କ୍ଷୁବ୍‌ଧ ହୋଇ କଂଗ୍ରେସ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ ଛିନ୍ନ କରିଥିଲେ ।

୪। ‘ରିସ୍‌ଲେ ସର୍କୁଲାର୍‌’ କାହାକୁ କୁହାଯାଏ ? ଏହି ସର୍କୁଲାର୍‌ରେ କି ପ୍ରସ୍ତାବ ଦିଆଯାଇଥିଲା ?
Answer:

  • ଭାଇସ୍‌ୟ ଲର୍ଡ଼ କର୍ଜନଙ୍କ ସରକାରର ଗୃହସଚିବ ହେନେରୀ ରିସ୍‌ଙ୍କ ପ୍ରସ୍ତାବ ସମ୍ବଳିତ ଦଲିଲ୍‌କୁ ‘ରିସ୍‌ଲେ ସର୍କୁଲାର୍’ କୁହାଯାଏ ।
  • ୧୯୦୩ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୩ ତାରିଖରେ ବଙ୍ଗଳା ସରକାରଙ୍କ ନିକଟକୁ ଏହା ପଠାଯାଇଥିଲା ।
  • ଏହି ଦଲିଲ୍‌ରେ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ସମ୍ବଲପୁର ଓ ଏହାର ଗଡ଼ଜାତ ଅଞ୍ଚଳ, ଗଞ୍ଜାମ ଜିଲ୍ଲା ଏବଂ ଗଞ୍ଜାମ ଓ ବିଶାଖାପାଟଣା ଏଜେନ୍‌ସି ଅଞ୍ଚଳକୁ ଓଡ଼ିଶା ଡିଭିଜନ୍‌ରେ ମିଶାଇ ବଙ୍ଗଳା ଶାସନ ଅଧୀନରେ ରଖିବାପାଇଁ ପ୍ରସ୍ତାବ ଦିଆଯାଇଥିଲା ।

ସଂଷିପ୍ତ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୨୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

୧। କାହା ପ୍ରଚେଷ୍ଟାରେ କେବେ ଓ କେଉଁଠି ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:

  1. ମଧୁସୂଦନ ଦାସଙ୍କ ପ୍ରଚେଷ୍ଟାରେ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
  2. ଏହା ୧୮୮୨ ମସିହା ଅଗଷ୍ଟ ୧୬ ତାରିଖରେ କଟକଠାରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

୨। କୋଲକତାରେ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ଦ୍ଵିତୀୟ ଅଧ୍ବବେଶନ କେବେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ଏବଂ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ତରଫରୁ କେଉଁମାନେ ଏଥିରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ?
Answer:

  • କୋଲକତାରେ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ଦ୍ଵିତୀୟ ଅଧ୍ଵବେଶନ ୧୮୮୬ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୨୮ ତାରିଖରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
  • ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ତରଫରୁ ମଧୁସୂଦନ ଦାସ, ଗୋଲୋକ ଚନ୍ଦ୍ର ବୋଷ, ହରିବଲ୍ଲଭ ବୋଷ ଓ କାଳିପଦ ବାନାର୍ଜୀ ଏଥ‌ିରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

୩ । ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ର ପ୍ରଥମ ଅବେଶନରେ ଅଭ୍ୟର୍ଥନା କମିଟିର ଅଧ୍ୟକ୍ଷ ଏବଂ ସମ୍ପାଦକ କିଏ ରହିବାପାଇଁ ସ୍ଥିର କରାଯାଇଥିଲା ?
Answer:

  • ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ଵବେଶନ ବସିବା ପୂର୍ବରୁ ଏକ ଅଭ୍ୟର୍ଥନା କମିଟି ଗଠନ କରାଯାଇଥିଲା ।
  • ଏହି ଅଭ୍ୟର୍ଥନା କମିଟିର ଅଧ୍ୟକ୍ଷଭାବେ କନିକାର ରାଜା ରାଜେନ୍ଦ୍ର ନାରାୟଣ ଭଞ୍ଜଦେଓ ଏବଂ ସମ୍ପାଦକ ଭାବେ ମଧୁସୂଦନ ଦାସ ରହିବାପାଇଁ ସ୍ଥିର କରାଯାଇଥିଲା ।

୪ । ମୋତିଲାଲ୍ ଘୋଷ କିଏ ଥିଲେ ? ସେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର କେଉଁ ଅଧୂବେଶନରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ?
Answer:

  1. କୋଲକାତାର ‘ଅମୃତ ବଜାର ପତ୍ରିକା’ର ସମ୍ପାଦକ ଥିଲେ ମୋତିଲାଲ୍ ଘୋଷ ।
  2. ସେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।

Objective Type Questions with Answers
A. ଗୋଟିଏ ବାକ୍ୟରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

1. କାହାର ଉତ୍ସାହ ଓ ଉଦ୍ଦୀପନାରେ ଉତ୍କଳ ସଭା ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ମଧୁସୂଦନ ଦାସଙ୍କ ଉତ୍ସାହ ଓ ଉଦ୍ଦୀପନାରେ ଉତ୍କଳ ସଭା ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

2. ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ର ପ୍ରଥମ ସମ୍ପାଦକ ଭାବେ କିଏ କାର୍ଯ୍ୟ ନିର୍ବାହ କରିଥିଲେ ?
Answer:
କର୍ମବୀର ଗୌରୀଶଙ୍କର ରାୟ ଉତ୍କଳ ସଭାର ପ୍ରଥମ ସମ୍ପାଦକ ଭାବେ କାର୍ଯ୍ୟ କରିଥିଲେ ।

3. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ମୋଟ କେତେଗୋଟି ସମ୍ମିଳନୀ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ମୋଟ ୧୬ ଗୋଟି ସମ୍ମିଳନୀ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

4. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନରେ ଗୁରୁତ୍ଵ କ’ଣ ଥିଲା ?
Answer:
ଓଡ଼ିଶାର କଳା ଓ ସାହିତ୍ୟର ଉନ୍ନତି ସମ୍ପର୍କିତ ପ୍ରସ୍ତାବ ଓ ରିସଲେ ସର୍କୁଲାରକୁ ଅନୁମୋଦନ କରିବା ଥିଲା ଏହି ଅଧୁବେଶନର ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ କାର୍ଯ୍ୟ ।

5. ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍ଗ ଓଡ଼ିଶା ଗଠନ ପାଇଁ ସୀମା ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବା ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର କେଉଁ ଅଧୁବେଶନର ମୁଖ୍ୟ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ?
Answer:
ଏହା ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଦଶମ ଅଧ୍ଵବେଶନର ମୁଖ୍ୟ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ।

6. କଳ୍ପତରୁ ଦାସଙ୍କ ନେତୃତ୍ବରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧ୍ଵବେଶନରେ କେଉଁଠାରେ ବସିଥିଲା ?
Answer:
କଟକଠାରେ କଳ୍ପତରୁ ଦାସଙ୍କ ନେତୃତ୍ୱରେ ଅଧିବେଶନର ବୈଠକ ବସିଥିଲା ।

B. ଗୋଟିଏ ଶବ୍ଦରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

1. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧୂବେଶନରେ ଆଠଗଡ଼ର କେଉଁ ରାଜା ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ?
Answer:
ବିଶ୍ୱନାଥ ବେବର୍ତ୍ତା

2. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଷ୍ଟମ ଅଧ୍ଵବେଶନରେ କିଏ ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନକୁ ବିରୋଧ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ମଧୁସୂଦନ ଦାସ

3. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧୂବେଶନରେ ଅଭ୍ୟର୍ଥନା କମିଟିର ଅଧ୍ୟକ୍ଷଭାବେ କିଏ କାର୍ଯ୍ୟ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ରାଜେନ୍ଦ୍ର ନାରାୟଣ ଭଞ୍ଜଦେଓ

4. ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀମାନଙ୍କୁ ଏକତ୍ର କରିବାରେ କେଉଁ ଅନୁଷ୍ଠାନ ମୁଖ୍ୟ ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲା ?
Answer:
ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ

5. ଭାରତୀୟ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ଅଧିବେଶନ କେବେ ବସିଥିଲା ?
Answer:
୧୯୦୩

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

6. ‘ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସଭା’ରେ କିଏ ଅଧ୍ୟକ୍ଷତା କରିଥିଲେ ?
Answer:
ଶ୍ୟାମସୁନ୍ଦର ରାଜଗୁରୁ

7. ପ୍ରଥମ ଅଧୂବେଶନରେ ମୟୂରଭଞ୍ଜର ମହାରାଜା ସାଧାରଣ ଜନତାଙ୍କୁ କିଭଳି ସମ୍ବୋଧନ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ପ୍ରିୟ ଭାଇମାନେ

8. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧିବେଶନରେ କିଏ ସମ୍ପାଦକ ଦାୟିତ୍ୱ ନିର୍ବାହ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ମଧୁସୂଦନ ଦାସ

୨. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧୂବେଶନରେ ଓଡ଼ିଆମାନଙ୍କୁ ଜାଗ୍ରତ କରିବାପାଇଁ କେଉଁ ସ୍ଲୋଗାନ୍ ଦିଆଯାଇଥିଲା ?
Answer:
ବନ୍ଦେ ଉତ୍କଳ ଜନନୀ

10. ଚକ୍ରଧରପୁରଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧ‌ିବେଶନ କାହାର ଲକ୍ଷ୍ୟ ଓ ଆଦର୍ଶକୁ ଗ୍ରହଣ କରିନେଲେ ?
Answer:
ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସ

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

11. ଲର୍ଡ଼ କର୍ଜନଙ୍କ ଗୃହ ସଚିବଙ୍କଦ୍ୱାରା ପ୍ରସ୍ତୁତ ଦଲିଲ୍‌କୁ କ’ଣ କୁହାଯାଏ ?
Answer:
ରିସ୍‌ଲେ ସର୍କୁଲାର

12. ଉତ୍କଳ ସଭା କେବେ ଗଢ଼ି ଉଠିଥିଲା ?
Answer:
୧୮୮୨ ଅଗଷ୍ଟ ୧୬

13. ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମଳନୀ’ର ଶେଷ ବୈଠକ କେବେ ବସିଥିଲା ?
Answer:
ଅମୃତ ବଜାର ପତ୍ରିକା

14. ମଦୁବାବୁ କେଉଁ ଆନ୍ଦୋଳନର ବିରୋଧୀ ଥିଲେ ?
Answer:
୧୯୩୫ ଫେବୃୟାରୀ ୧୧

15. ବଙ୍ଗଳାର ବିଭିନ୍ନ ସମସ୍ୟା ବିଷୟରେ ବିଚାର କରି ନିଷ୍ପତ୍ତି ନେବା ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟରେ ସାର୍ ସୁରେନ୍ଦ୍ରନାଥ ବାନାର୍ଜୀଙ୍କ ନେତୃତ୍ୱରେ କେଉଁ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ଅସହଯୋଗ ଆନ୍ଦୋଳନ

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

16. ମୋତିଲାଲ ଘୋଷ କେଉଁ ପତ୍ରିକାର ସମ୍ପାଦନା କରୁଥିଲେ ?
Answer:
ବଙ୍ଗ ଜାତୀୟ ସଭା

C. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

1. ବିକ୍ରମଦେବ ବର୍ମା _______ ର ରାଜା ଥିଲେ ।
Answer:
ଜୟପୁର

2. ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ଦ୍ବିତୀୟ ଅଧୂବେଶନ _______ ଠାରେ ବସିଥିଲା ।
Answer:
କଲିକତା

3. ୧୯୦୩ ମସିହା ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ଅଧୂବେଶନରେ ଓଡ଼ିଶାରୁ _______ ଯୋଗଦେଇଥିଲେ ।
Answer:
ମଧୁସୂଦନ ଦାସ

4. ବଙ୍ଗ ଜାତୀୟ ସଭାର ନେତୃତ୍ବ ନେଇଥିଲେ _________ ।
Answer:
ସୁରେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ବାନାର୍ଜୀ

5. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ________ ମସିହାରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
Answer:
୧୯୦୩

6. ‘ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିତି’ ____ ଠାରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
Answer:
ରମ୍ଭା

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

7. ଅମୃତବଜାର ପଢ୍ରକା _________ ଠାରୁ ପ୍ରକାଶିତ ହେଉଥିଲା ।
Answer:
କୋଲକତା

8. ‘ହେନେରୀ ରିସ୍‌ଲେ’ ___________ ବଡ଼ଲାଟଙ୍କ ସମୟରେ ଗୃହସଚିବ ଥିଲେ ।
Answer:
ଲର୍ଡ଼ କର୍ଜନ

9. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ମହାସିନ୍ଧୁରେ ନିଜର ପ୍ରାଣବିନ୍ଦୁ ମିଶାଇ ଦେବାପାଇଁ ______ ଆହ୍ବାନ ଦେଇଥିଲେ ।
Answer:
ମଧୁସୂଦନ ଦାସ

10. ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ ଅଭ୍ୟର୍ଥନା କମିଟିର ପ୍ରଥମ ଅଧୂବେଶନ ପାଇଁ ଗଠିତ ଅଭ୍ୟର୍ଥନା କମିଟିର ସମ୍ପାଦକ _______ ଥିଲେ ।
Answer:
ମଧୁସୂଦନ ଦାସ

11. କିଶୋରଚନ୍ଦ୍ର ହରିଚନ୍ଦନ _______ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜ୍ୟର ରାଜା ଥିଲେ ।
Answer:
ତାଳଚେର

12. ବୈକୁଣ୍ଠନାଥ ଦେ ବାହାଦୂର _______ ର ରାଜା ଥିଲେ ।
Answer:
ବାଲେଶ୍ଵର

13. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ତରଫରୁ ମଣ୍ଟେଗୁ-ଚେମସ୍‌ଫୋର୍ଡ଼ଙ୍କୁ ______ ଠାରେ ଏକ ଦାବିପତ୍ର ଦିଆଯାଇଥିଲା ।
Answer:
କଲିକତା

14. ଆଧୁନିକ ଉତ୍କଳ ନିର୍ମାଣରେ ________ ର ଭୂମିକା ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ ଥିଲ ।
Answer:
ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

15. ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ର ସର୍ବମୋଟ _______ ଟି ଅଧୂବେଶନ ବସିଥିଲା ।
Answer:
୧୬

16. ମଧୁବାବୁ ଉତ୍କଳ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ପ୍ରଦେଶ ଗଠନର _________ ବର୍ଷ ପୂର୍ବରୁ ମୃତ୍ୟୁବରଣ କରିଥିଲେ ।
Answer:

D. ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ (✓ ) ଚିହ୍ନ ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ ( x) ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।

1. ମଧୁବାବୁଙ୍କ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ଗଠନ କରିବାପାଇଁ ମହାତ୍ମା ଗାନ୍ଧି ପ୍ରେରଣା ଦେଇଥିଲା ।
2. ‘ରମ୍ଭା’ ମହାନଦୀ କୂଳରେ ଥିବା ଏକ ସ୍ଥାନ ।
3. ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସଭାର ଅଧ୍ୟକ୍ଷ ଥିଲେ ଶ୍ୟାମସୁନ୍ଦର ରାଜଗୁରୁ ।
4. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଭ୍ୟର୍ଥନା କମିଟିର ଅଧ୍ୟକ୍ଷଭାବେ କାର୍ଯ୍ୟ କରିଥିଲେ ମଧୁବାବୁ ।
5.କଟକଠାରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ବୈଠକ ବସିଥିଲା ।
6. କେନ୍ଦୁଝରର ରାଜା ଥ୍ଲେ ସୁରପତାପ ମହେନ୍ଦ୍ର ବାହାଦୂର ।
7. ବିହାର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶକୁ ହେନେରୀ ରିସ୍‌ ବିରୋଧ କରିଥିଲେ ।
8. କିଶୋର ଚନ୍ଦ୍ର ହରିଚନ୍ଦନ କନିକାର ରାଜା ଥିଲେ ।
୨. ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ର ପ୍ରଥମ ଅଧିବେଶନ ବଙ୍ଗଳା ଭାଷାରେ ପରିଚାଳିତ ହୋଇଥିଲା ।
10. ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଥମ ସୁସଙ୍ଗଠିତ ରାଜନୀତିକ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଥିଲା ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ ।
11. ୧୯୩୫ ଫେବୃଆରୀ ୧୧ ତାରିଖରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଶେଷ ବୈଠକ ବସିଥିଲା ।
12. ୧୯୨୦ରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧ୍ବବେଶନ ଚକ୍ରଧରପୁର-ଠାରେ ବସିଥିଲା ।

Answer:
1. x
2. x
3. ✓
4. x
5. ✓
6. x
7. x
8. x
9. x
10. x
11. ✓
12. ✓

BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

E. ‘କ’ ସ୍ତମ୍ଭ ସହିତ ‘ଖ’ ସ୍ତମ୍ଭର ମିଳନ କର ।
‘କ’ ସ୍ତମ୍ଭ ସହିତ ‘ଖ’ ସ୍ତମ୍ଭର ମିଳନ କର । Q1
‘କ’ ସ୍ତମ୍ଭ ସହିତ ‘ଖ’ ସ୍ତମ୍ଭର ମିଳନ କର । Q2
‘କ’ ସ୍ତମ୍ଭ ସହିତ ‘ଖ’ ସ୍ତମ୍ଭର ମିଳନ କର । Q3

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ତ୍ରିକୋଣମିତି Ex 4(c)

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ତ୍ରିକୋଣମିତି Ex 4(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 4 ତ୍ରିକୋଣମିତି Ex 4(c)

Question 1.
ଗୋଟିଏ ବୃକ୍ଷର ପାଦଦେଶ ସହ ଏକ ସମତଳରେ ଏବଂ ଏହାଠାରୁ 120 ମିଟର ଦୂରରେ ଅବସ୍ଥିତ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁରେ ବୃକ୍ଷର ଅଗ୍ରଭାଗର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ 30° ହେଲେ ବୃକ୍ଷର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାଣଣ୍ଠ ତିତ୍ରରେ ମନେକର AB ବଘର କଲତା |
BC = ବୃକ୍ଷର ପାଦଦେଶଠାରୁ C ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତ୍ବ = 120 ମିଟର
C ଠାରେ A ବିନ୍ଦୁର କୌଣିକ ଉନ୍ନତି = 30°, ଅର୍ଥାତ୍ m∠ACB = 30° |
ABC ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଇରେ , tan 30° = \(\frac { AB }{ BC }\)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 1
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac { AB }{ 120 }\) ⇒ AB = \(\frac{120}{\sqrt{3}}\) ମି.
⇒ AB = \(\frac{120 \sqrt{3}}{3}\) ମି. = 40√3 ମି. = 40 × 1.732 ମି. = 69.28 ମି.

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ତ୍ରିକୋଣମିତି Ex 4(C)

Question 2.
27 ମିଟର ଉଚ୍ଚ ଏକ ବତୀଘରର ଶୀର୍ଷରୁ ଏକ ଜାହାଜର କୌଣିକ ଅବନତିର ପରିମାଣ 30° । ବତୀଘରଠାରୁ ଜାହାଜର ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ମନେକର AB ବତୀଘରର ଉଚ୍ଚତା = 27 ମି.
ବତୀଘର ଶୀର୍ଷ Aରୁ ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ଜାହାଜର କୌଣିକ ଅବନତି 30° |
∵ m∠DAC 30°
ବତୀଘରଠାରୁ ଜାହାଜର ଦୂରତା = BC
ଏଠାରେ \(\overline{\mathrm{BC}}\) ||\(\overline{\mathrm{AD}}\), \(\overline{\mathrm{AC}}\) ଛେଦକ ।
∴ m∠DAC = m∠ACB = 30° (ଏକାନ୍ତ୍ରର)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 2
ABC ସମକୋଣା ତ୍ରିରୁ କାଲେ tan 30° = \(\frac { AB }{ BC }\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac { 27 }{ BC }\) = 27√3 ମି. = 27 × 1.732 = 46.76 ମି.
∴ ବତୀଘରଠାରୁ ଜାହାଜର ଦୂରତା 46.76 ମିଟର ।

Question 3.
2 ମିଟର ଉଚ୍ଚ ଏକ ଦର୍ଶକ ଦେଖିଲା ଯେ, 24 ମିଟର ଦୂରରେ ଥ‌ିବା ଏକ ସ୍ତମ୍ଭର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ 30° । ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ମନେକର ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା AB |
CD = ଦର୍ଶକର ଉଚ୍ଚତା = 2 ମିଟର = BE,
∠ADE = 30°, BC = DE = 24 ମି. ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 3
AED ସମକୋଣା ତ୍ରିରୁ କାଲେ, tan 30° = \(\frac { AE }{ DE }\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac { AE }{ 24 }\) ⇒ AE = \(\frac{24}{\sqrt{3}}\) ମି. = \(\frac{24 \sqrt{3}}{3}\) ମି. = 8√3 ମି.
= 8 × 1.732 ମି. = 13.86 ମି. |
∴ ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା = AB = AE + BE = 13.86 ମି. + 2 ମି. = 15.86 ମି.
∴ ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା 1586 ମିଟର ।

Question 4.
ଏକ ସିଡ଼ି ଏକ କାନ୍ଥର ଶୀର୍ଷକୁ ସ୍ପର୍ଶ କରୁଅଛି । ସିଡ଼ର ପାଦଦେଶରୁ କାନ୍ଥର ଦୂରତା 3 ମିଟର । ସିଡ଼ିଟି ଭୂମି ସହ 60° ରେ ଆନତ । ସିଡ଼ିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ପାଣଣ୍ଠ ଚିତ୍ରରେ, କାନ୍ତର ଇଲତା = AB ଓ ପତିର ବୈଶ୍ୟ = AC |
BC = ସିଡ଼ିର ପାଦଦେଶରୁ କାନ୍ଥର ଦୂରତା = 3 ମି.,
କାନ୍ଥଟି ଭୂମି ସହ ଲମ୍ବଭାବରେ ଥିବାରୁ m∠ABC = 90°
ସିଡ଼ିଟି ଭୂମି ସହ ଅଙ୍କନ କରିଥିବା କୋଣର ପରିମାଣ = 60°,
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 4
ABC ସିଡ଼ିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ମିଟର cos 60° = \(\frac { BC }{ AC }\)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) = \(\frac { 3 }{ AC }\) ⇒ AC = 2 × 3 = 6 ମି.
∴ ସିତିର ଦେଶ୍ୟ 6 ମିଟର |

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ତ୍ରିକୋଣମିତି Ex 4(C)

Question 5.
15 ମିଟର ଉଚ୍ଚ ଜଣେ ଦର୍ଶକ ଏକ କୋଠାଘରଠାରୁ 12 ମିଟର ଦୂରସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଦେଖୁଲା ଯେ, କୋଠାଘରର ଶୀର୍ଷର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ 60° । କୋଠାଘରର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, AB = କୋଠାଘରର ଉଚ୍ଚତା |
CD = ଦର୍ଶକର ଉଚ୍ଚତା 1-5 ମିଟର = BM,
∠ACM = 60°, BD = MC = 12 ମିଟର ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 5
AMC ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁକରେ tan 60° = \(\frac { AM }{ MC }\) ⇒ √3 = \(\frac { AM }{ 12 }\)
⇒ AM = 12 √3 = 12 × 1.732 = 20.78 ମି.
∴ କୋଠାଘରର ଉଚ୍ଚତା = AB = AM + MB = 20.78 + 1.5 = 22.28 ମିଟର ।

Question 6.
ସୂର୍ଯ୍ୟର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ 60° ବେଳେ ଗୋଟିଏ ଗଛର ଛାଇର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 15 ମିଟର ଥିଲା । ଗଛର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ଗଛର ଉଚ୍ଚତା = AB | ଗଛର ଛାଇର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = BC = 15 ମି. |
ସୂର୍ଯ୍ୟର କୌଣିକ ଉନ୍ନତି 60° ଅର୍ଥାତ୍ m∠ACB = 60° |
ABC ସମକୋଣା ତ୍ରିରୁ କାଲେ
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 6
⇒ tan C = \(\frac { AB }{ BC }\)
⇒ tan 60° = \(\frac { AB }{ 15 }\) ⇒ √3 = \(\frac { AB }{ 15 }\)
⇒ AB = 15√3 ମି. = 15 × 1.732 = 25.98 ମି. |
∴ ଗାଛ୍ର ରକତା 25.98 ମିଟର |

Question 7.
300 ମି. ଉଚ୍ଚ ଏକ ପାହାଡ଼ ଉପରୁ ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ଗୋଟିଏ ସ୍ତମ୍ଭର ଶୀର୍ଷ ଓ ପାଦଦେଶର କୌଣିକ ଅବନତିର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 30° ଓ 60° ହେଲେ ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ପାହାଡ଼ର ଉଚ୍ଚତା = AB = 300 ମି.
ଓ ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା = CD |
ପାହାଡ଼ ଓ ସ୍ତମ୍ଭ ମଧ୍ଯରେ ଦୂରତା = BC = DE, m∠ACB = 60° (ଏକାନ୍ତର)
ଓ m∠MAD = m∠ADE = 30° (ଏକାନ୍ତର) , CD = BE
ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ , tan C = \(\frac { AB }{ BC }\)
⇒ tan 60° = \(\frac { 300 }{ BC }\) ⇒ √3 = \(\frac { 300 }{ BC }\)
⇒ BC = \(\frac{300}{\sqrt{3}}\) = 100√3 ମି. |
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 7
∴ BC = DE = 100√3 ମି.
AED ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ tan D = \(\frac { AE }{ ED}\)
⇒ tan 30° = \(\frac{\mathrm{AE}}{100 \sqrt{3}}\) ⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{\mathrm{AE}}{100 \sqrt{3}}\) ⇒ AE = \(\frac{100 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = 100 ମି. |
CD = BE = AB – AE = (300 – 100) ମି. = 200 ମି.
∴ ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା 200 ମିଟର ।

Question 8.
ସୂର୍ଯ୍ୟର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ 60° ରୁ 45° କୁ ହ୍ରାସ ପାଇଥିବାରୁ ଏକ ସ୍ତମ୍ଭର ଛାଇର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ମିଟର ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲା । ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା = AB ।
ସୂର୍ଯ୍ୟର କୌଣିକ ଉନ୍ନତି 60° ବେଳେ AB ସ୍ତମ୍ଭର ଛାଇର ସୂର୍ଯ୍ୟର କୌଣିକ BC |
ସୂର୍ଯ୍ୟର କୌଣିକ ଉନ୍ନତି 45° ବେଳେ AB ସ୍ତମ୍ଭର ଛାଇର ସୂର୍ଯ୍ୟର କୌଣିକ BD |
m∠ACB = 60° ଓ m∠ADB = 45°, CD = 24 ମି.
ମନେକର BC = x ମି. BD = BC + CD = (x + 24) ମି.
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 8
ABC ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan C = \(\frac { AB }{ BC }\)
⇒ tan 60° = \(\frac { AB }{ BC }\) ⇒ √3 = \(\frac { AB }{ x }\) ⇒ AB = √3x ମି. |
ABD ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan D = \(\frac { AB }{ BD }\)
⇒ tan 45° = \(\frac{\sqrt{3} x}{x+24}\) ⇒ 1 = \(\frac{\sqrt{3} x}{x+24}\)
⇒ √3x = x + 24 ⇒ √3x – x = 24 ⇒ x (√3x – 1) = 24
⇒ x = \(\frac{24}{\sqrt{3}-1}\) = \(\frac{24(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\) = \(\frac{24(\sqrt{3}+1)}{3-1}\)
= \(\frac{24(\sqrt{3}+1)}{2}\) = 12 (√3x + 1) ମି. |
∴ ପ୍ତମ୍ନର ଉକତା = AB = √3x = √3 × 12 (√3x + 1)
= (36 + 12√3) ମି. = 36 + 12 × 1.732 = 36 + 20.784 = 56.784 ମି. |
∴ ପ୍ତମ୍ନର ଉକତା 56.78 ମି. |

Question 9.
ଏକ ସମତଳ ଭୂମି ଉପରେ 40 ମିଟର ବ୍ୟବଧାନରେ ଦୁଇଟି ଖୁଣ୍ଟ ଲମ୍ବଭାବରେ ପୋତାଯାଇଛି । ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁରେ ଯେଉଁ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରନ୍ତି, ସେମାନେ ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ । ଖୁଣ୍ଟଦ୍ଵୟର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ସାନ ଖୁଣ୍ଟର ଉଚ୍ଚତା = AB ଓ ବଡ଼ ଖୁଣ୍ଟର ଉଚ୍ଚତା = EC । ଖୁଣ୍ଟଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଦୂରତା = BC = 40 ମି. |
ମନେକର AB = x ମି., ତେବେ EC = 2x ମି. |
BD = CD = \(\frac { 40 }{ 2 }\) = 20 ମି. | m∠ADB + m∠EDC = 90°
ମନେକର m∠ADB = θ |
ତେବେ m∠EDC = 90° – θ
ABD ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan θ = \(\frac { AB }{ BD }\)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 9
⇒ tan θ = \(\frac { x }{ 20 }\)
ECD ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan (90° – θ) = \(\frac { EC }{ CD }\)
⇒ cot θ = \(\frac { 2x }{ 20 }\) = \(\frac { x }{ 10 }\) ⇒ tan θ = \(\frac { 10 }{ x }\)
(i) ଓ (ii) ରୁ \(\frac { x }{ 20 }\) = \(\frac { 10 }{ x }\) ⇒ x2 = 200
⇒ x = √200 = 10√2 ମି. |
∴ AB ଖୁଣର ଉକତା = x = 10√2 ମି. |
ଓ EC ଖୁଣର ଉକତା = 2x = 10√2 × 2 ମି. = 20√2 ମି. |

BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 ତ୍ରିକୋଣମିତି Ex 4(C)

Question 10.
ଗୋଟିଏ ଗଛର ଶୀର୍ଷରୁ ଭୂମି ଉପରେ ଥ‌ିବା ଗୋଟିଏ ବସ୍ତୁର କୌଣିକ ଅବନତିର ପରିମାଣ 60° ଥିଲା । ସେହି ଗଛର ଶୀର୍ଷରୁ 15 ମିଟର ତଳକୁ ଓହ୍ଲାଇଆସିଲେ ଉକ୍ତ ବସ୍ତୁର କୌଣିକ ଅବନତିର ପରିମାଣ 30° ହୁଏ । ଗଛର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ମନେକର ଗଛର ଉଚ୍ଚତା AC = x ମିଟର, AB = 15 ମିଟର । ସୁତରାଂ BC = (x – 15) ମିଟର ।
ବସ୍ତୁର ଅବସ୍ଥିତି D ହେଉ । CD ସହିତ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{BY}}\) ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର । ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, A ଓ B ଠାରେ କୌଣିକ ଅବନତି m∠XAD = 60°
ଓ m∠YBD = 30° |
AX ଓ BY ରକାଯେ CD ସଦୃ ମାମାକୁର ହୋଇ ଥିବାରୁ m∠YBD = 30° ଓ m∠CDB = 30° |
ବର୍ତ୍ତମାନ ACD ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ \(\frac { AC }{ CD }\) = tan 60° ⇒ \(\frac { x }{ CD }\) = √3
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 10
⇒ CD = \(\frac{x}{\sqrt{3}}\)
BCD ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ \(\frac { BC }{ CD }\) = tan 30° ⇒ \(\frac { x – 15 }{ CD }\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ CD = (x – 15) √3
(i) ଓ (ii) ଉଭୟରୁ \(\frac{x}{\sqrt{3}}\) = (x −15) √3
⇒ 3 (x – 15) = x ⇒ 3x – 45 = x
⇒ 2x = 45 ଦା x = \(\frac { 45 }{ 2 }\) = 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)
∴ ଗଛର ଉଚ୍ଚତା 22.5 ମିଟର ।

Question 11.
10 ମିଟର ଉଚ୍ଚ ଏକ ସ୍ତମ୍ଭର ଅଗ୍ରଭାଗରୁ ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ଗୋଟିଏ ମନ୍ଦିରର ଶୀର୍ଷର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ ଓ ପାଦଦେଶର କୌଣିକ ଅବନତିର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 45° ଓ 30° ହୋଇଯାଏ । ମନ୍ଦିରର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 11
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା = AB = 10 ମି. । ମନ୍ଦିରର ଉଚ୍ଚତା = DC
ସ୍ତମ୍ଭ ଓ ମନ୍ଦିର ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = BC = AE I ସ୍ତମ୍ଭର ଶୀର୍ଷ Aରୁ
ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ମନ୍ଦିରର ଶୀର୍ଷ Dର କୌଣିକ ଉନ୍ନତି 45° ।
ଆଥାତ; m∠DAE = 45°, m∠EAC = m∠ACB = 30°
AB = CE = 10 ମି. BC = AE
AED ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan A = \(\frac { DE }{ AE }\)
⇒ tan 45° = \(\frac{\mathrm{DE}}{10 \sqrt{3}}\) ⇒ 1 = \(\frac{\mathrm{DE}}{10 \sqrt{3}}\) ⇒ DE = 10√3 ମି. |
DC = DE + CE = 10√3 + 10 = 10 × 1.732 + 10 = 17.32 + 10 = 27.32 ମି. |
∴ ଗଛର ଉଚ୍ଚତା 27.32 ମିଟର ।

Question 12.
12 ମିଟର ପ୍ରସ୍ଥ ଏକ ରାସ୍ତାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥ‌ିବା ଏକ କୋଠାଘର, ଏହାର ଅପରପାର୍ଶ୍ବରେ ଥ‌ିବା ଅନ୍ୟ ଏକ ଘରର ଝରକାରେ ଏକ ସମକୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରେ । କୋଠାଘରର ପାଦଦେଶରେ ଝରକାର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ 30° ହେଲେ କୋଠାଘରର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ରାସ୍ତାର ପ୍ରସ୍ଥ = BC = 12 ମି. |
କୋଠାଘରର ଉଚ୍ଚତା = AB |
ଅପର ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥ‌ିବା ଝରକାର ଅବସ୍ଥାନ = D |
m∠ADB = 90°, m∠CBD = 30°, m∠ABC = 90°
m∠ABD = 90°, m∠ABC – m∠CBD = 90° – 30° = 60°
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 12
BCD ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ , cos 30° = \(\frac { BC }{ BD }\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac { 12 }{ BD }\) ⇒ BD = \(\frac{24}{\sqrt{3}}\) = 8√3 ମି. |
ABD ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ , cos 60° = \(\frac { BC }{ BD }\)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) = \(\frac{8 \sqrt{3}}{A B}\) ⇒ AB = 16√3 = 16 × 1.732 = 27.71 ମି. |
∴କୋଠାଘରର ଉଚ୍ଚତା 27.71 ମି. |

Question 13.
ଜଣେ ଲୋକ ଗୋଟିଏ ନଦୀ କୂଳରେ ଠିଆ ହୋଇ ଦେଖୁଲା ଯେ, ନଦୀର ଅପର ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଭୂମିରେ ଥ‌ିବା ଗୋଟିଏ ଦୁର୍ଗର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ 60° | ଦୁର୍ଗ ସହିତ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ମିଟର 60 ପଛକୁ ଘୁଞ୍ଚିଆସି ଦେଖୁଲା ଯେ, ଉକ୍ତ କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ 45° ହେଲା । ନଦୀର ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ଦୁର୍ଗର ଉଚ୍ଚତା = AB | ଲୋକଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଠିଆ ହୋଇଥିଲା । A ବିନ୍ଦୁରେ C ର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ 60° ଓ D ର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ 45° |
ଅଥାତ୍ ; m∠ACB = 60° ଓ m∠ADB = 45°, CD = 60° ମି |
ମନେକର BC = x ମି |
BD = BC + CD = (x + 60) ମି
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 13
ABC ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan C = \(\frac { AB }{ BC }\)
⇒ tan 60° = \(\frac { AB }{ x }\) ⇒ √3 = \(\frac { AB }{ x }\) ⇒ AB = √3x ମି |
ABD ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan D = \(\frac { AB }{ BD }\)
⇒ tan 45° = \(\frac{\sqrt{3} x}{x+60}\)
⇒ 1 = \(\frac{\sqrt{3} x}{x+60}\)
⇒ √3x = x + 60
⇒ √3x – x = 60
⇒ x (√3 – 1) = 60
⇒ x = \(\frac{60}{\sqrt{3}-1}\) = \(\frac{60(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\) = \(\frac{60(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2-(1)^2}\) = \(\frac{60(\sqrt{3}+1)}{3-1}\) = 30 (√3x + 1) ମି |
= 30 (1.732 + 1) ମି = 30 × 2.732 = 81.96 ମି |

Question 14.
ଦୁଇଟି ସ୍ତମ୍ଭ ପରସ୍ପରଠାରୁ 12 ମିଟର ଦୂରରେ ଏକ ସମତଳ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଗୋଟିକର ଉଚ୍ଚତା ଅନ୍ୟଟିର ଦୁଇଗୁଣ । ସ୍ତମ୍ଭଦ୍ବୟର ପାଦବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥ‌ିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁରୁ ଦେଖ‌ିଲେ ସ୍ତମ୍ଭଦ୍ଵୟର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟର କୌଣିକ ଉନ୍ନତି ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ ହୁଏ, ସ୍ତମ୍ଭନ୍ୱୟର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ସ୍ତମ୍ଭଦ୍ବୟର ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ ED ସ୍ତମ୍ଭଦ୍ବୟ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = BD = 12 ମି |
BC = CD = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 ମି
ଯଦି m∠ECD = θ° ହୁଏ, ତେବେ m∠ACB = 90° – θ° ହେବ |
ମନେକର ED = x ମି ତେବେ, AB = 2x ମି (∵ AB = 2ED)
ECD ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan θ = \(\frac { ED }{ CD }\) ⇒ tan θ = \(\frac { x }{ 6 }\)
ABC ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan (90° – θ) = \(\frac { AB }{ BC }\)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 14
⇒ cot θ = \(\frac { 2x }{ 6 }\) ⇒ \(\frac { 1 }{ tan θ }\) = \(\frac { 2x }{ 6 }\)
⇒ tan θ = \(\frac { 3 }{ x }\)
(i) ଓ (ii) ର \(\frac { x }{ 6 }\) = \(\frac { 3 }{ x }\) ⇒ x2 = 18
⇒ x = √18 = 3√2 ମି , ED = x = 3√2 ମି
AB = 2x = 2 × 3√2 = 6√2 ମି
∴ ସମଦ୍ଵୟର ରକ୍ତା ଯଥାକୃଣେ 6√2 ମି ଓ 3√2 ମି |

Question 15.
ଗୋଟିଏ ଦୁର୍ଗର ପାଦଦେଶ ସହ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଥ‌ିବା ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁରୁ ଦୁର୍ଗର ଶୀର୍ଷଭାଗର କୌଣିକ ଉନ୍ନତିର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 30° ଓ 45° । ଦୁର୍ଗର ଉଚ୍ଚତା 30 ମିଟର ହେଲେ, ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ କେତେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, ଦୁର୍ଗର ଉଚ୍ଚତା AB = 30 ମିଟର ।
m∠ACB ଓ m∠ADB ଯଥାକ୍ରମେ C ଓ D ଦିନ୍ଦୁରୁ ଦୁଗର ଶୀର୍ଷ Aର କୌଣିକ ଉନ୍ନତି ଦତ୍ତ ଅଛି । ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –
m∠ACB = 45°, m∠ADB = 30°, ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଦୂରତା CD ।
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 15
ABC ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan 45° = \(\frac { AB }{ BC }\)
⇒ 1 = \(\frac { 30 }{ BC }\) ⇒ BC = 30 ମିଟର ।
ABD ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan 30° = \(\frac { AB }{ BD }\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac { 30 }{ BD }\) ⇒ 30√3 – 30
= (√3 – 1) = 30 (1.732 – 1) = 30 × 0. 732 = 21.96 ମିଟର ।

Question 16.
ଗୋଟିଏ କୋଠାର ଉଚ୍ଚତା 12 ମିଟର । କୋଠାର ଶୀର୍ଷରୁ ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏକ ସ୍ତମ୍ଭର ଶୀର୍ଷ ଓ ପାଦଦେଶର କୌଣିକ ଉନ୍ନତି ଓ ଅବନତିର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 60° ଓ 30° । ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା ଓ କୋଠାଘର ଠାରୁ ସ୍ତମ୍ଭର ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ, କୋଠାର ଉଚ୍ଚତା AB = 12 ମି. । ମନେକର ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା CD = x ମିଟର
∠DAE, A ବିନ୍ଦୁରୁ D ର କୌଣିକ ଉନ୍ନତି
∠EAC, A ବିନ୍ଦୁରୁ C ବିନ୍ଦୁର କୌଣିକ ଅବନତି ।
m∠DAE = 60°, m∠EAC = m∠ACB = 30° (ଏକାନ୍ତର)
BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 Img 16
ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜରେ tan 30° = \(\frac { AB }{ BC }\) ⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac { 12 }{ BC }\)
⇒ BC = 12√3 = 12 × 1.732 = 20.78 ମିଟର ।
DAE ସମକୋଣା ତ୍ରିଭୁଜରେ, tan 60° = \(\frac { DE }{ AE }\)
⇒ √3 = x – 12 ⇒ x = 48 ମିଟର |
∴ ସ୍ତମ୍ଭର ଉଚ୍ଚତା 48 ମିଟର ଓ କୋଠାଘର ଠାରୁ ସ୍ତମ୍ଭର ଦୂରତା 20-78 ମିଟର ।