Prasanna

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Geometry Chapter 5 ପରିମିତି will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Geometry Chapter 5 ପରିମିତି

→ ବୃତ୍ତର ପରିଧ୍ (Circumference of circle):
ବୃତ୍ତର ପରିସୀମାକୁ ବୃତ୍ତର ପରିସ୍ କୁହାଯାଏ ।
ବ୍ୟାସାର୍ଷକୁ ଯଥାକ୍ରମେ c, d ଓ r ଏକକ ରୂପେ ସୂଚିତ କରାଯାଏ ।
ବୃତ୍ତର ପରିସ୍ ଓ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସର ଅନୁପାତ ସର୍ବଦା ଏକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ । ଉକ୍ତ ସ୍ଥିରାଙ୍କ π ଯାହାକୁ Johann Lambert ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଆଖ୍ୟା ଦେଇଥିଲେ ।

ବୃତ୍ତର ପରିସ୍ = πd, ଆମେ ଜାଣୁ d = 2r (r = ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ)
ବୃତ୍ତର ପରିଧ୍ (c) = π.2r = 2πr

→ ବୃତ୍ତର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (Length of an arc)

ଅର୍ଥବୃତ୍ତର ପରିଧ୍ = πr
ଅର୍ଥବୃତ୍ତର ପରିସୀମା = πr + 2r

ଅର୍ଥବୃତ୍ତର ପରିସୀମା :
ଚିତ୍ର (a)ରେ OAXB ବୃତ୍ତକଳାର ପରିସୀମା = OA+OB+ $\widehat{\mathbf{A X B}}$ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= 2OA + $\widehat{\mathbf{A X B}}$ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (2r + l) ଏକକ ।

→ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area of a Circle) :
ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ A ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r ଏକକ ଦ୍ବାରା ସୂଚିତ ହେଲେ
A = πr² ବର୍ଗ ଏକକ

→ ବୃତ୍ତୀୟ ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area of a circular annulus) :
ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହାର ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – ଭିତର ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଯଦି ବହିଃବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ OA = R ଏକକ ଏବଂ ଅନ୍ତଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ OB = r ଏକକ ହୁଏ,
ବୃତ୍ତୀୟ ବଳୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = π( R² – r²) ବର୍ଗ ଏକକ

→ ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area of a sectorial region) :
(i) ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2}$ × ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ବ୍ୟାପଦ୍ଧ
ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2}$ lr ବର୍ଗ ଏକକ

(ii) ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପଟିର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ θ° ଏବଂ ବୃତ୍ତର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 360° ହେଲେ ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

ଦୁଇଟି ଏକକେନ୍ଦ୍ରୀକ ବୃତ୍ତକଳାଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର = $\frac{1}{2}$ × ବ୍ୟାସାର୍ଷଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର × ଚାପଦ୍ଵୟର
ସମଷ୍ଟି = $\frac{1}{2}$ × ବ୍ୟାସାର୍ଷଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି × ଚାପଦ୍ବୟର ଅନ୍ତର
ଯଦି ଏକକେନ୍ଦ୍ରୀକ ବୃତ୍ତକଳାଦ୍ୱୟର ବ୍ୟାସାର୍ଷଦ୍ବୟର R ଓ r ଏକକ ଏବଂ ଚାପଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ L ଓ l ଏକକ ହୁଏ, ତେବେ
ବୃତ୍ତକଳାଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନ୍ତର = $\frac{1}{2}$ (R – r) (L + l) ବା $\frac{1}{2}$ (R + r) (L – l)

→ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Area of a sectorial region) :
AXBA ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = OAXB ବୃତ୍ତକଳାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – ∆ OAB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ବୃହତ୍ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡ AYBAର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – କ୍ଷୁଦ୍ର ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡର AXBAର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

→ ପ୍ରିଜିମ୍ବର ପୃଷ୍ଟତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Surface Area of a Prism) :
ଏହା ଏକ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍ ଯାହାର ଭୂମି ଓ ଶୀର୍ଷତଳଦ୍ଵୟ ତ୍ରିଭୁଜାକାର କ୍ଷେତ୍ର ଓ ପାର୍ଶ୍ଵତଳ ତ୍ରୟ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ।

• ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଆଧାରର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା
• ପ୍ରିଜିମୂର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ପତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

→ ବୃତ୍ତଭୂମିକ ନିଦା ସରଳ ସିଲିଣ୍ଡର (ସମବର୍ଭୁଳ)ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Curved surface area of a right circular solid cylinder):
ନିଦା ସିଲିଣ୍ଡରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r ଏକକ ଓ ଉଚ୍ଚତା h ଏକକ ହେଲେ
(i) ସିଲିଣ୍ଡରର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳ ବା ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ସିଲିଣ୍ଡରର ଆଧାରର ପରିଧ୍ × ଉଚ୍ଚତା
= 2лrh ବର୍ଗ ଏକକ

(ii) ସିଲିଣ୍ଡରର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = = ବକ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 2xrh + 2πr² = 2πr (h + r) ବର୍ଗ ଏକକ

→ ବୃତ୍ତୀୟ ବଳୟଭୂମିକ ଫମ୍ପା ସରଳ ସିଲିଣ୍ଡରର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (Surface area of a right circular cylinder) :
ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ଅନ୍ତଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r ଏକକ, ବହିଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ R ଏକକ ଓ ଉଚ୍ଚତା h ଏକକ ହେଲେ
(i) ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ବହିଃପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2πRh ବର୍ଗ ଏକକ
(ii) ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ଅନ୍ତଃପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2πrh ବର୍ଗ ଏକକ
(iii) ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2πRh + 2πrh = 2π(R + r) h ବର୍ଗ ଏକକ
(iv) ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = : ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
=2л(R + r) h + 2л(R² – r²) = 2л(R + r) [h+ (R – r)]
= 2л(R + r)(h + t) ବର୍ଗ ଏକକ [ବେଧ (t) = R – r]

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ

→ ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction) :

• ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ବିଶ୍ଳେଷଣ ଚିତ୍ରର ସାହାଯ୍ୟ ନିଆଯାଇଥାଏ । କାରଣ ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀର ସୋପାନଗୁଡ଼ିକ ସେଥୁରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଜଣାପଡ଼ିଯାଇଥାଏ ।
• ପରୀକ୍ଷା ଖାତାରେ ଅଙ୍କନ କଲାବେଳେ ବିଶ୍ଳେଷଣ ତଥ୍ୟ ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀଗୁଡ଼ିକ ଲେଖୁବା ଅନାବଶ୍ୟକ ।

ଅଙ୍କନ – 1 :
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏବଂ ସେହି ବାହୁର ବିପରୀତ କୋଣର ପରିମାଣ ଦତ୍ତ ଥିଲେ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ ।

→ ଉଦାହରଣ – 1 :
∆ ABC ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର BC = a ଏକକ, m∠A = 8°, AX ମଧ୍ୟମା = x ଏକକ
ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ :

• BC ଏବଂ ∠Aର ପରିମାଣକୁ ନେଇ ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
  (BC = a ଏକକ ଏବଂ m∠OBC=m∠OCB = 90° – θ ନେଇ ∆ OBC ଅଙ୍କନ କର ।)
• BC ର ମଧ୍ୟବିଦୁ X ଚିହ୍ନଟ କର ।
• Xକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି AX ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ଅଙ୍କିତ ପରିବୃତ୍ତକୁ À ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
• AB ଓ AC ଅଙ୍କନ କର ।
• ABC ଆବଶ୍ୟକୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ ।

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Geometry Chapter 4 ତ୍ରିକୋଣମିତି will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Geometry Chapter 4 ତ୍ରିକୋଣମିତି

→ ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction) :
sin θ, cos θ ଆଦି ଛଅଟି ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତକୁ ଉଚ୍ଚତର ଗଣିତରେ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଫଳନ କୁହାଯାଏ ।
ସଂଜ୍ଞା :
(1) sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0, cot 0° = ନିରର୍ଥକ, sec 0° = 1 ଓ cosec 0° = ନିରର୍ଥକ ।
(2) sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° = a, cot 90° = 0, sec 90° = ନିରର୍ଥକ ଓ cosec 90° = 1

ସୂତ୍ର (A) : ଅନୁପୂରକ କୋଣର ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ ମଧ୍ଯରେ ସଂପର୍କ :
sin (90° – θ) = cos θ
tan (90° – θ) = cot θ
cos (90° – θ) = sin θ
sec (90° – θ) = cosec θ
cot (90° – θ) = tan θ
cosec (90° – θ) = sec θ

ସଂଜ୍ଞା :
sin 180° = 0
tan 180° = 0
sec 180° = -1
cos 180° = -1
cot 180° = ନିରର୍ଥକ ବା ସଂଜ୍ଞା ବିହୀନ
cosec 180° = ସଂଜ୍ଞା ବିହୀନ

→ ମନେରଖ :

ସୂତ୍ର (B) : ସ୍ଥୂଳକୋଣ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ ମଧ୍ଯରେ ସମ୍ପର୍କ :

ସୂତ୍ର (C) : ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ 8 ଓ ସ୍ଥୂଳକୋଣ (90° + 8)ର ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ ମଧ୍ଯରେ ସମ୍ପର୍କ:

→ କେତେକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ଅନୁପାତ : (0°, 30°, 45, 60°, 90, 120°, 135°, 150° ଏବଂ 180)

ମନେରଖ :

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 7 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 7(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 7 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 7(a)

Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ	10	11	12	13	14	15	16	17	18
ବାରମ୍ବାରତା	5	8	17	29	41	36	27	16	10

ସମାଧାନ:

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ	ବାରମ୍ବାରତା	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c. f)
10	5	5
11	8	13
12	17	30
13	29	59
14	41	100
15	36	136
16	27	163
17	16	179
18	10	189
	Σf = 189

Question 2.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସାରଣୀରେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ଦତ୍ତ ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତାରୁ ସେଗୁଡ଼ିକର ବାରମ୍ବାରତା ନିଶ୍ଚୟ କର ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ	1	2	3	4	5	6	7	8
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	5	13	25	43	56	66	73	77

ସମାଧାନ:

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c. f)	ବାରମ୍ବାରତା
1	5	5
2	13	8	(13-5)
3	25	12	(25-13)
4	43	18	(43-25)
5	56	13	(56-43)
6	66	10	(66-56)
7	73	7	(73-66)
8	77	4	(77-73)
		Σf = 77

Question 3.
(a) ନିମ୍ନରେ 25 ଜଣ ଲୋକଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା (ସେ.ମି.ରେ) ଲେଖାଯାଇଛି । ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଊକ୍ରମରେ ସଜାଇ ଏକ ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

160	162	170	171	165	166	161	159	158	175	163	162	165
166	170	172	171	170	173	180	160	165	164	163	167

ସମାଧାନ:
ଊକ୍ରମରେ ସଜାଇ ରଖ୍ ଲେ 

158	159	160	160	161	161	162	163	163	164	164	165	165
166	166	167	170	170	170	171	171	172	173	175	180

ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ	ଟାଲିଚିହୃ	ବାରମ୍ବାରତା
158	/	1
159	/	1
160	//	2
161	/	1
162	//	2
163	//	2
164	//	2
165	//	2
166	//	2
167	/	1
170	///	3
171	//	2
172	/	1
173	/	1
175	/	1
180	/	1
		Σ(f) = 25

(b) ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀରୁ ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) ସର୍ବନିମ୍ନ ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?
(ii) ସର୍ବାଧ‌ିକ ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଲୋକସଂଖ୍ୟା କେତେ ?
(iii) କେଉଁ ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ସର୍ବାଧ‌ିକ ଲୋକ ଅଛନ୍ତି ?
(iv) କେତେଜଣ ଲୋକଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା 180 ସେ.ମି.ରୁ କମ୍ ?
(v) କେତେଜଣ ଲୋକଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା 170 ସେ.ମି.ରୁ 180 ସେ.ମି. (ଉଭୟ ଉଚ୍ଚତା ସହ) ମଧ୍ୟରେ ହୋଇଛି ?
ସମାଧାନ:
(i) ସର୍ବନିମ୍ନ ଉଚ୍ଚତା 158 ସେ.ମି. ।
(ii) ସର୍ବାଧ‌ିକ ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଲୋକସଂଖ୍ୟା = 1
(iii) 170 ସେ.ମି. ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ସର୍ବାଧ‌ିକ ଲୋକ ଅଛନ୍ତି ।
(iv) 24 ଜଣ ଲୋକଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା 180 ସେ.ମି.ରୁ କମ୍ ।
(v) 9 ଜଣ ଲୋକଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା 170 ସେ.ମି.ରୁ 180 ସେ.ମି. ।

Question 4.
(a) 30 ଜଣ ପିଲାଙ୍କର ଗଣିତ ପରୀକ୍ଷା ନମ୍ବର ଦିଆଯାଇଛି ( ପରୀକ୍ଷାର ମୋଟ ନମ୍ବର 100) । ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ନେଇ ଏକ ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀ ପ୍ରକାଶ କର ।

21	12	51	48	21	32	48	32	81	72	32	48	48	91	51
61	51	81	72	51	61	51	61	51	51	91	61	72	81	61

ସମାଧାନ:
ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ	ଟାଲିଚିହୃ	ବାରମ୍ବାରତା(f)
12	/	1
21	//	2
32	///	3
48	////	4
51	////  //	7
61	////	5
72	///	3
81	///	3
91	//	2
		Σ(f) = 30

(b) ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିଥିବା ସାରଣୀରୁ ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) ଯଦି ପାସ୍ ନମ୍ବର 30 ହୁଏ, ତେବେ କେତେଜଣ ପିଲା ପାସ୍‌ କରିଛନ୍ତି ?
(ii) ଯଦି 90 – 100 ନମ୍ବରକୁ A ଗ୍ରେଡ, 60 – 80 ନମ୍ବରକୁ B ଗ୍ରେଡ୍, 30 – 50 ନମ୍ବରକୁ C ଗ୍ରେଡ୍, 10 – 20 କୁ D ଗ୍ରେଡ୍ ଓ 10 ରୁ କମ୍‌କୁ E ଗ୍ରେଡ୍ ଦିଆଯାଏ, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗ୍ରେଡ଼ ପାଇଥିବା ପିଲାଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) ପାସ୍ ନମ୍ବର କେତେ ରଖିଲେ 29 ଜଣ ପିଲା ପାସ୍ କରିବେ ?
ସମାଧାନ:
(i) ଯଦି ପାସ୍ ନମ୍ବର 30 ହୁଏ, ତେବେ 27 ଜଣ ପିଲା ପାସ୍ କରିଛନ୍ତି ।
(ii) A ଗ୍ରେଡ୍ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରସଂଖ୍ୟା 2 ।
B ଗ୍ରେଡ୍ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରସଂଖ୍ୟା 11 ।
C ଗ୍ରେଡ୍ ପାଇଥ‌ିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା 7 ।
D ଗ୍ରେଡ୍ ପାଇଥ୍‌ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା 1 ।
E ଗ୍ରେଡ୍ ପାଇଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା 0 ।
(iii) ପାସ୍ ନମ୍ବର 20 ରଖିଲେ 29 ଜଣ ପିଲା ପାସ୍ କରିବେ ।

Question 5.
(a) ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଊର୍ଜକ୍ରମରେ ସଜାଅ ।

74	64	67	73	80	78	65	69	73	84	83	73	93	62	72
72	62	79	88	79	61	53	87	56	87	81	42	70	45	66

ସମାଧାନ:

42	45	53	56	61	62	62	64	65	66	67	69	70	72	72
73	73	73	74	78	79	79	80	81	83	84	87	87	88	93

(b) ଉପରୋକ୍ତ ବିନ୍ୟାସ (Array)କୁ ଏକ ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
ସମାଧାନ:
ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ	ଟାଲିଚିହୃ	ବାରମ୍ବାରତା(f)
42	/	1
45	/	1
53	/	1
56	/	1
61	/	1
62	//	2
64	/	1
65	/	1
66	/	1
67	/	1
69	/	1
70	/	1
72	//	2
73	///	3
74	/	1
78	/	1
79	//	2
80	/	1
81	/	1
83	/	1
84	/	1
87	//	2
88	/	1
93	/	1
		Σ(f) = 30

(c) ଉପରୋକ୍ତ ବିତରଣରୁ ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ କେତେ ?
(ii) ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ କେତେ ?
(iii) କେଉଁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧ୍ଵକ ?
(iv) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା କେତେ ?
ସମାଧାନ:
(i) ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = 42
(ii) ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = 93
(iii) 73 ଏହାର ବାରମ୍ବାରତା 3, ଯାହା ସର୍ବାଧ୍ଵ । 
(iv) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା = 30

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(c)

Question 1.
ଏକ ସରଳ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମିବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମିର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a, b, c, ଉଚ୍ଚତା h, ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ L, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ W ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ସମାଧାନ କର ।
(a) a = 10 ସେ.ମି., b = 6 ସେ.ମି., c = 8 ସେ.ମି., h = 20 ସେ.ମି. କ୍ଷେତ୍ରଫଳ L ଓ W ସ୍ଥିର କର ।
(b) a=5 ମି., b = 5 ମି., c = 6 ମି., h = 8 ମି. ହେଲେ L ଓ W ସ୍ଥିର କର ।
(c) a = b = 15 ମି., c = 24 ମି., b = 18 ମି. ହେଲେ L ଓ W ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (L) = ଆଧାରର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା
ପ୍ରିଜିମୂର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (W) = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (L) + 2× ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

(a) △ ର ବାହୁତପର ବୈଶ୍ୟ a = 10 ସେ.ମି., b = 6 ସେ.ମି., ଓ c = 8 ସେ.ମି
ଏଠାରେ 6² + 8² = 10² ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମକୋଣୀ । ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ 6 ସେ.ମି 8 ସେ.ମି |
△ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac { 1 }{ 2 }$ × 6 × 8 = 24 ଦଗ ସେ.ମି
△ ର ପରିସାମା = (6 + 8 + 10) ସେ.ମି = 24 ସେ.ମି
∴ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (L) = △ ର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା = 24 × 20 = 480 ଦଗ ସେ.ମି
ଏବଂ ପ୍ରିଜିମ୍‌ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (W) = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × △ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 480 + 2 × 24 = 480 + 48 = 528 ଦଗ ସେ.ମି

(b) △ ର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 5 ମି., b = 5 ମି. ଓ c = 6 ମି.
ପ୍ରିଲକର ଅବ ପରିପାପ = s = $\frac{a+b+c}{2}$ = $\frac{5+5+6}{2}$ = 8 ମି.
△ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}$
= $\sqrt{8 \times 3 \times 3 \times 2}$ = 12 ଦଗ ମି
△ ର ପରିସାମା = (5 + 5 + 6) ମି = 16 ମି.
∴ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (L) = △ ର ପରିସୀମା x ଉଚ୍ଚତା = 16 × 8 = 128 ଦଗ ମି
ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (W) = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × △ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 128 + 2 × 12 = 128 + 24 = 152 ଦଗ ମି

(c) △ ର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 15 ମି., b = 15 ମି.. ଓ c = 24 ମି.
△ ର ପରିସାମା = (15 + 15 + 24) ମି. = 54 ମି.
∴ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (L) = △ ର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା = 54 × 18 = 972 ଦଗ ମି
ତ୍ରିୟକର ଅବପରିପାପା = s = $\frac{a+b+c}{2}$ = $\frac{15+15+24}{2}$ = 27 ମି.
△ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
= $\sqrt{27(27-15)(27-15)(27-24)}$
= $\sqrt{27 \times 12 \times 12 \times 3}$ = 9 × 12 ଦଗ ମି = 108 ଦଗ ମି
ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (W)
= ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (L) + 2 × △ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 972 + 2 × 108 = 972 + 216 ≈ 1188 ଦଗ ମି

Question 2.
ଗୋଟିଏ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା h, ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ L ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ W ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କର ।
(a) ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦିବାହୁ ଯାହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 40 ମି, h = 50 ମି, L ଓ W କେତେ ?
(b) ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜାକାର ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ଭୂମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ଡେ.ମି., h = 20 ସେ.ମି ହେଲେ L ଓ W କେତେ ?
(c) ପିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ସେ.ମି., h = 25 ସେ.ମି., ହେଲେ L ଓ W କେତେ ? [√3 ≃ 1.732]
Solution:
(a) ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ, ଯାହାର କଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 40 ମି.
ତ୍ତିକଲାଭ ବାମନ ବାହାର ଦେଶ୍ୟ = କଣ୍ଡର ଦେଶ୍ୟ / √2 = $\frac{40}{\sqrt{2}}$ ମି. = 20√2 ମି.
ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{1}{2}$ × 20√2 × 20√2 = 400 ଦଗ ମି
∴ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (L) = ଅଧାରର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା
= 40(√2 + 1) × 50 = 2000 (1.414 + 1)
= 2000 × 2.414 = 4828 ଦଗ ମି
ଓ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (W) = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × △ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 4828 + 2 × 400 = 5628 ଦଗ ମି |

(b) ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜ ଯାହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ସେ.ମି. ।
ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି 6 ଗୋଟି ସମବାହୁ △ ରେ ପରିଣତ ହେଲା,
ଯାହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 6 ଡେ.ମି. ।
ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6 × $\frac{\sqrt{3}}{4}$ × (6)² = 54√3 ବର୍ଗ ଡେ.ମି.
= 54 × 1.732 ଦଗ ମି = 93.528 ବର୍ଗ ଡେ.ମି. |
ଭୂମିର ପରିସୀମା = 6 × 6 = 36 ଡେ.ମି.

∴ ପ୍ରିଜିମ୍ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (L) = ଭୂମିର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା
ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 36 × 20 = 720 ବର୍ଗ ଡେ.ମି.
ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (720 + 2 × 93.528) ବର୍ଗ ଡେ.ମି. = 907.056 ବର୍ଗ ଡେ.ମି.|

(c) ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (L) = ଆଧାରର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା = 3 × 16 × 25 = 1200 ବର୍ଗ ଡେ.ମି.
ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ × (16)²

ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= (1200 + 2 × 64 √3) = (1200 + 128 × 1.732)
= (1200 + 221.696) = 1421.696 ବର୍ଗ ଡେ.ମି.|

Question 3.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମି ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମିର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 13 ସେ.ମି., ସେ.ମି. ଓ 15 ସେ.ମି. । ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 840 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ ପ୍ରିଜିମ୍ଟିର ଉଚ୍ଚତା ଓ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ତ୍ରିକାରର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈଶ୍ୟ (a) 13 ସେ.ମି., (b) 14 ସେ.ମି. ଓ (c) 15 ସେ.ମି. |
ତ୍ରିଭୁଜର ଅର୍ଦ୍ଧପରିସୀମା (s) = $\frac{13+14+15}{2}$ = $\frac { 42 }{ 2 }$ = 21 ସେ.ମି.
ପ୍ରିଜିମ୍ବର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ = $\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$
= $\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$ = $\sqrt{3 \times 7 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 3 \times 2}$ = 3 × 7 × 2 × 2 = 84 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ଆଧାରର ପରିପାପା = (13 + 14 + 15) ସେ.ମି. = 42 ସେ.ମି.
ମନେକର ପ୍ରିଜିମ୍ବର ଉଚ୍ଚତା = h ସେ.ମି.
ପ୍ରିଜିମ୍ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରପଳ = ଆଧାରର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା = 42h ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରମାନୁସାରେ, 42h = 840 ⇒ h = $\frac { 840 }{ 42 }$ = 20 ସେ.ମି.
∴ ପ୍ରିଜିମୂର ଉଚ୍ଚତା = 20 ସେ.ମି.
∴ ପ୍ରିଜିମ୍‌ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଆଧାରର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା + 2 × ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 42 × 20 + 2 × 84 = (840 + 168) ର୍ଗ ସେ.ମି. = 1008 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

Question 4.
ଗୋଟିଏ ଖୁଣ୍ଟ ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମି ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍ । ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵତଳଗୁଡ଼ିକୁ କାଗଜ ମଡ଼ାଇବା ପାଇଁ ପ୍ରତି ବର୍ଗ ସେ.ମି.କୁ 15 ପଇସା ହିସାବରେ ଟ 18.90 ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା । ଖୁଣ୍ଟଟିର ଉଚ୍ଚତା 8√3 ସେ.ମି. ହେଲେ ଭୂମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
(√3 = 1$\frac { 3 }{ 4 }$)
Solution:
ପ୍ରିଜିମ୍ ଆକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ ସ୍ତମ୍ଭର ପାର୍ଶ୍ଵତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac { 18.90 }{ 0.15 }$ = $\frac { 1890 }{ 15 }$ = 126 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରପଳ = ଆଧାରର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା
⇒ 126 = ଆଧାରର ପରିସୀମା × 8√3
ଭୂମି ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ହେତୁ ଆଧାରର ପରିସୀମା = 3a (a = ଭୂମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)
⇒ 3a = $\frac{126}{8 \sqrt{3}}$ ⇒ a = $\frac{126 \times 4}{8 \times 3 \times 7}$ (∵ √3 = $\frac { 7 }{ 4 }$) ⇒ a = $\frac { 504 }{ 168 }$
∴ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି. |

Question 5.
18 ମିଟର ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମି ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମିର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମି., 16 ମି. ଓ 20 ମି. ହେଲେ ପ୍ରିଜିମୂର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଦେଶ୍ୟ 12 ମି., 16 ମି. ଓ 20 ମି. | ଏଠ।ରେ 12² + 16² = 20²
∴ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମକୋଣୀ । ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମି. ଓ 16 ମି. ।
∴ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac { 1 }{ 2 }$ × 12 × 16 = 96 ବର୍ଗ ମି.
ଆଧାରର ପରିସୀମା (12 + 16 +20) ମି. = 48 ମି.
∴ ପ୍ରିଜିମୂର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା + 2 × ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (48 × 18 + 2 × 96) = 864 + 192 = 1056 ବର୍ଗ ମି. |

Question 6.
ଗୋଟିଏ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 2100 ବ.ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 30 ସେ.ମି. । ଏହାର ଆଧାର ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 29 ସେ.ମି. । ଆଧାରର ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଆଧାରର ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ a ସେ.ମି. ଓ b ସେ.ମି. |
ପ୍ରିଜିମୂର ଆଧାର ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଓ ଏହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 29 ସେ.ମି. ।
ଏଠ।ରେ a² + b² = 29² ⇒ a² + b² = 841 …(i)
ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = (a + b + 29) ସେ.ମି.
ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଆଧାରର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା = (a + b + 29) × 30 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର, (a + b + 29) × 30 = 2100 ⇒ a + b + 29 = $\frac { 2100 }{ 30 }$ = 70
⇒ a + b = 70 – 29 = 41 ⇒ a + b = 41 …(ii)
⇒ (a+b)² = (41)² ⇒ a² + b² + 2ab = 1681
⇒ 841 + 2 ab 1681 (∵ a² + b² = 841)
⇒ 2ab = 1681 – 841 = 840 ⇒ ab = 420
∴ (a – b)² = (a + b)² – 4ab = (41)² – 4 × 420 = 1681 – 1680 = 1
⇒ a – b = 1 ….(iii)
(ii) ଓ (iii)କୁ ଯୋଗକଲେ, 2a = 42 ⇒ a= $\frac { 2100 }{ 30 }$ = 21 69.
∴ b = 41 — 21 = 20 ସେ.ମି.
∴ ଆଧାରର ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 21 ସେ.ମି. ଓ 20 ସେ.ମି. ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ଯାହାର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ସେ.ମି. ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ସେ.ମି. । ପ୍ରିଜିମ୍ବର ଉଚ୍ଚତା 20 ସେ.ମି. ହେଲେ, ପ୍ରିଜିମୂର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ପ୍ତିକମର କାମି ଏକ ସମବାହୁ ତିକୁଳ |
△ABCର AC = AB 13 ସେ.ମି. ଓ BC = 24 ସେ.ମି. |
$\overline{\mathrm{AD}}$ ⊥ $\overline{\mathrm{BC}}$ ବ୍ରେକେ BD = CD = $\frac { 24 }{ 2 }$ = 12 ସେ.ମି. |

∴ AD = $\sqrt{13^2-12^2}$ = $\sqrt{169-144}$ = √25 = 5 ସେ.ମି.
∴ △ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac { 1 }{ 2 }$ × 24 × 5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. = 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
∴ ପ୍ରିଜିମୂର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଅଧାରର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା
= (13 + 13 + 24) × 20 = 50 × 20 = 1000 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
∴ ପ୍ରିଜିମୂର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × △ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 1000 + 2 × 60 = 1120 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

Question 8.
ଗୋଟିଏ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । ଯାହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 50 ସେ.ମି., ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 1.2 ମି. ହେଲେ, ପ୍ରିଜିମ୍‌ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (√3 ≃ 1.732)
Solution:
ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମି ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 50 ସେ.ମି. = $\frac { 1 }{ 2 }$ ମି. ।
ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ତ୍ରିଭୁଜ (h) = 1.2 ମି.
ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଆଧାରର ପରିସୀମା × ଉଚ୍ଚତା
∴ ପ୍ରିଜିମୂର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 3 × $\frac { 1 }{ 2 }$ × 1.2 = 1.8 ବର୍ଗ ମି.
ଆଖାଇର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ × ($\frac { 1 }{ 2 }$)² = $\frac{\sqrt{3}}{16}$ = $\frac { 1.732 }{ 16 }$ = 0.10825 ବର୍ଗ ମି.
∴ ପ୍ରିଜିମୂର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × △ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (1.8 + 2 × 0.10825) = 2.0165 ବର୍ଗ ମି.

Question 9.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମି ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଭୂମିର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 13 ସେ.ମି., 14 ସେ.ମି. ଓ 15 ସେ.ମି. । ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1050 ବ.ସେ.ମି. ହେଲେ, ପ୍ରିଜିମ୍ବର ଉଚ୍ଚତା ଓ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍‌ ଆଧାରର ପରିସୀମା = (13 + 14 + 15) ସେ.ମି. = 42 ସେ.ମି. ।
∴ ପ୍ରିକମର ଭକତା = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର / ଆଧାରର ପରିମାପ = $\frac { 1050 }{ 42 }$ ସେ.ମି. = 25 ସେ.ମି.
ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
= $\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$ (∵ s = $\frac { 13 + 14 + 15 }{ 2 }$ = 21 ସେ.ମି. )
= $\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$ = $\sqrt{7 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 2 \times 3}$
= 7 × 3 × 2 × 2 = 84 ବଗ ସେ.ମି.
∴ ପ୍ରିଜିମ୍‌ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (1050 + 2 × 84) = (1050 + 168) = 1218 ବଗ ସେ.ମି.

Question 10.
ଗୋଟିଏ କାଠବାଡ଼ି ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ଭୂମି ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ପ୍ରିଜିମ୍ । ଏହାର ପାର୍ଶ୍ଵତଳଗୁଡ଼ିକୁ କାଗଜ ମଡ଼ାଇବା ପାଇଁ ପ୍ରତି ବର୍ଗ ସେ.ମି.କୁ 15 ପଇସା ହିସାବରେ ଟ. 18.90 ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲା । କାଠବାଡ଼ିଟିର ଉଚ୍ଚତା 8√3 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଭୂମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ? (√3 = 1$\frac { 3 }{ 4 }$)
Solution:
ପ୍ରିଜିମ୍‌ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac { 1890 }{ 15 }$ ବର୍ଗସେ.ମି. = 126 ବଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରିଜିମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = 8√3 = 8 × $\frac { 7 }{ 4 }$ = 14 ସେ.ମି.
ଆଧାରର ପରିମାପ = ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ / ଉଚ୍ଚତା = $\frac { 126 }{ 14 }$ ସେ.ମି. = 9 ସେ.ମି.
∴ ଭୂମିର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = $\frac { 9 }{ 3 }$ ସେ.ମି. = 3 ସେ.ମି. (∵ ଆଧାର ଏକ ସମବାହ ଚିକକ |)

Question 11.
ଗୋଟିଏ ସିଲିଣ୍ଡରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r, ବ୍ୟାସ d ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା h ଦ୍ବାରା ସୂଚିତ ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କର | (π ≃ $\frac { 22 }{ 7 }$)
(a) d = 16 ସେ.ମି., h = 21 ସେ.ମି. ହେଲେ ମକୁପାରଦତଳର ସ୍ନେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
(b) ମକୁପାରଦତଳର ସ୍ନେତ୍ରଫଳ 1188 ବ.ମି., d = 18 ମି. ହେଲେ, h କେତେ ?
(c) ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1386 ବ.ସେ.ମି. ଓ h = 36 ସେ.ମି. ହେଲେ, ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
Solution:
(a) ସିଲିଣ୍ଡରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ (d) = 16 ସେ.ମି., ଉଚ୍ଚତା (h) = 21 ସେ.ମି.
⇒ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = $\frac { 16 }{ 2 }$ = 8 ସେ.ମି.
∴ ସିଲିଣ୍ଡରର ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2πrh ବର୍ଗ ସେ.ମି. = 2 × $\frac { 22 }{ 7 }$ × 8 × 21 ବ. ସେ.ମି. = 1056 ବଗ ସେ.ମି.

(b) ମନେକର ସିଲିଣ୍ଡରର ଉଚ୍ଚତା = h ମି.
ସିଲିଣ୍ଡରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ (d) = 18 ମି. ⇒ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = $\frac { 18 }{ 2 }$ = 9 ମି.
∴ ସିଲିଣ୍ଡରର ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରପଳ = 2πrh
= (2 × $\frac { 22 }{ 7 }$ × 9 × h) ବଗ. ମି. = $\frac { 396 }{ 7 }$ h ବ.ମି.
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, h = 1188 ⇒ h = $\frac { 1188 × 7 }{ 396 }$ = 21 ମି.
∴ ସିଲିଣ୍ଡରର ଉଚ୍ଚତା 21 ମିଟର ।

(c) ମନେକର ସିଲିଣ୍ଡରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = r ସେ.ମି. ।
∴ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରପଳ = πr² ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, πr² = 1386
⇒ r² = $\frac { 1386 × 7 }{ 22 }$ = 441 ⇒ r = √441 = 21 ସେ.ମି.
∴ ସିଲିଣ୍ଡରର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2πr (h + r)
= 2 × $\frac { 22 }{ 7 }$ × 21 (36 +21) = 132 × 57 = 7524 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

Question 12.
ଗୋଟିଏ ରୋଲର୍‌ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 1.6 ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 70 ସେ.ମି. । ଏହା କେତେଥର ଘୂରିଲେ 26.4 ଏୟର ସ୍ଥାନ ସମତଳ କରିପାରିବ ? (π ≃ $\frac { 22 }{ 7 }$)
Solution:
ରୋଲର୍‌ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 1.6 ମି, ଉଚ୍ଚତା = 70 ସେ.ମି. = $\frac { 70 }{ 100 }$ ମି. = 0.7 ମି.
⇒ ରୋଲର୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = $\frac { 1.6 }{ 2 }$ = 0.8 ମି.
∴ ରୋଲର୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2πrh = 2 × $\frac { 22 }{ 7 }$ × 0.8 × 0.7 ବ.ମି. = 3.52 ବ.ମି.
ରୋଲର୍‌ଟି 1 ଥର ଘୂରିଲେ 3.52 ବ.ମି. ସ୍ଥାନ ସମତଳ କରିପାରେ ।
26.4 ଏୟର ବା (26.4 × 100) ବ.ମି. ମାନ ସମତଳ କରିପାରିବ = $\frac { 26.4 × 100 }{ 3.52 }$ = 750 ଥର ଘୂରିଲେ
∴ ରୋଲର୍‌ଟି 750 ଥର ଘୂରିଲେ 26.4 ଏୟର ସ୍ଥାନ ସମତଳ କରିପାରିବ ।

Question 13.
1540 ବର୍ଗ ମିଟର ଭୂମିରେ ଗୋଟିଏ ରୋଲର 90 ଥର ଗଡ଼ାଇବାକୁ ପଡ଼େ । ରୋଲର୍‌ଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ବ୍ୟାସ ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ $\frac { 22 }{ 7 }$)
Solution:
1540 ବ. ମି. ଭୂମିରେ ଗୋଟିଏ ରୋଲର୍‌ 90 ଥର ଗଡ଼ାଇବାକୁ ପଡ଼େ ।
ରୋଲର୍‌ଟିର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = $\frac { 1540 }{ 90 }$ = $\frac { 154 }{ 9 }$ ବର୍ଗ ମି.
ମନେକର ରୋଲର୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = r ମି. | ⇒ ବ୍ୟାସ = 2r ମି. = ରଳତା
∴ ରୋଲର୍‌ର ପାର୍ଶ୍ଵପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 · π · r · (2г) = 4πr² ବ.ମି. [∵ ରଳତା (h) = 2r ମି.]
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ,,4πr² = $\frac { 154 }{ 9 }$ ⇒ r² = $\frac { 154 }{ 9 }$ × $\frac { 7 }{ 22 }$ × $\frac { 1 }{ 4 }$ = $\frac { 49 }{ 36 }$ ⇒ r = $\frac { 7 }{ 6 }$ ମି.
∴ ରୋଲର୍‌ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2r = 2 × $\frac { 7 }{ 6 }$ = $\frac { 7 }{ 3 }$ ମି. = 2$\frac { 1 }{ 3 }$ ମି.

Question 14.
ଗୋଟିଏ ସିଲିଣ୍ଡର ଆକାର ସ୍ତମ୍ଭର ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳକୁ ରଙ୍ଗ କରିବାରେ ପ୍ରତି ବର୍ଗମିଟରକୁ 60 ପଇସା ହିସାବରେ 792 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ ହେଲା । ଏହାର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 154 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ ଏହାର ଉଚ୍ଚତା କେତେ ? (π ≃ $\frac { 22 }{ 7 }$)
Solution:
60 ପଇସା ପ୍ରତି ବର୍ଗମିଟର ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳ ରଙ୍ଗ ପାଇଁ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେଲେ 792 ଟଙ୍କା ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ = $\frac { 79200 }{ 60 }$ ବ. 1320 ଦଗମିଟର ଭଳ ପାଇ
ସିଲିଣ୍ଡରର ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1320 ବର୍ଗମିଟର
ମନେକର ସିଲିଣ୍ଡରର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = 1 ମି.
ସିଲିଣ୍ଡରର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr² ବର୍ଗ ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, πr² = 154
⇒ $\frac { 22 }{ 7 }$ × r² = 154 ⇒ r² = $\frac { 154 × 7 }{ 22 }$ = 49 ⇒ r = 7 ମି.
ମନେକର ସିଲିଣ୍ଡରର ଉଚ୍ଚତା = h ମି.
∴ ସିଲିଣ୍ଡରର ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2πrh
⇒ 1320 = 2 × $\frac { 22 }{ 7 }$ × 7 × h ⇒ h = $\frac { 1320 }{ 2 × 22 }$ = 30 ମି.
∴ ସିଲିଣ୍ଡରର ଉଚ୍ଚତା 30 ମିଟର |

Question 15.
ଗୋଟିଏ ଦୁଇପାଖ ଖୋଲା ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ବହିଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 5 ମି. । ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 14 ମି. ଏବଂ ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 748 ବ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଅନ୍ତଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ $\frac { 22 }{ 7 }$)
Solution:
ମନେକର ପଣା ସିଲିଣ୍ଡରର ଅନ୍ତଦ୍ୟାପାଦ = r ମି.
ବହିଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (R) = 5 ମି., ଉଚ୍ଚତା (h) = 14 ମି.
∴ ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ସମଗ୍ର ସିଲିଣ୍ଡରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2π(R + r)(h + R – r)
= 2 × $\frac { 22 }{ 7 }$ (5 + r)(14 + 5 – r) ବ.ମି. = $\frac { 44 }{ 7 }$ (5 + r)(19 – r) ବ. ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, $\frac { 44 }{ 7 }$ (5 + r)(19 – r) = 748
⇒ 95 – 5r + 19r – r² = $\frac { 748 × 7 }{ 44 }$ ⇒ 95 + 14r – r² = 119
⇒ r² – 14r + 24 = 0
⇒ r² – 2r – 12r + 24 = 0 ⇒ r(r – 2) – 12 (r – 2) = 0
⇒ (r – 2) (r – 12) = 0 ⇒ r – 2 = 0 or r – 12 = 0
⇒ r = 2 or 12
∵ ବହିଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (R) = 5.ମି. ତେଣୁ ଅନ୍ତରଦ୍ୟାସାଦ (r) = 2 ମି.
∴ ଫମ୍ପା ସିଲିଣ୍ଡରର ଅନ୍ତଦ୍ୟାପାଦ 2 ମିଟର |

Question 16.
ଗୋଟିଏ ଲୁହା ନଳର ଦୈଶ୍ୟ 84 ସେ.ମି. | ଏହାର ବେଧ 2 ସେ.ମି. | ଭୁମିର ବହି ବ୍ୟାପାଇଁ 8 ସେ.ମି ହେଲେ, ସମଣ୍ତତ୍ପ୍ଳର ଯେତ୍ରଫଳ ନିଶଯ କର |
Solution:
ଲୁହାସଲର ଦେଶ୍ୟ (h) = 84 ସେ.ମି. ବହଦ୍ୟାପାଦ (R) = 8 ସେ.ମି. |
ଦେଧ (t) = 2 ସେ.ମି. ⇒ R – r = 2 ⇒ r = R – 2 = 8 – 2 = 6 ସେ.ମି. |
∴ ସମଗପଗଳର ଯେତ୍ରଫଳ = 2π(R + r)(h + t) = 2 × $\frac { 22 }{ 7 }$ (8 + 6)(84 + 2) ବ. ସେ.ମି.
= 2 × $\frac { 22 }{ 7 }$ × 14 × 86 ବ. ସେ.ମି. = 7568 ବ. ସେ.ମି.

Question 17.
ଗୋଟିଏ ଲୁହାନଳର ଦୈଶ୍ୟ 100 ସେ.ମି. | ଏବଂ କୁହାଇ ତ୍ପମ 4 ସେ.ମି. | ଏହାର ସମଗପଗଳର ଯେତ୍ରଫଳ 9152 ବ. ସେ.ମି. ହେଲେ ଦୁମିର ସମଣ୍ତତ୍ପ୍ଳର ଓ ଅନ୍ତଦ୍ୟାପାଦ ନିଶ୍ରୟ କର | (π ≃ $\frac { 22 }{ 7 }$)
Solution:
ମନେକର କୁହାନଳାର ଅନ୍ତଦ୍ୟାପାଦ = r ସେ.ମି.
ଲୁହାନଳର ପ୍ରମ (t) = R – r = 4 ସେ.ମି.
R = (r + 4) ସେ.ମି. ଓ h = 100 ସେ.ମି.
∴ ସମଗପଗଳର ଯେତ୍ରଫଳ = 2π(R + r)(h + t) = 2 × $\frac { 22 }{ 7 }$ (r + 4 + r)(100 + 4) ବ. ସେ.ମି.
= $\frac { 44 }{ 7 }$ (2r + 4) × 104 ବ. ସେ.ମି. = $\frac { 44 }{ 7 }$ × 2(r + 2) × 104 ବ. ସେ.ମି.
= $\frac { 9152 }{ 7 }$ (r + 2) ବ. ସେ.ମି.
ସମଗପଗଳର $\frac { 9152 }{ 7 }$ (r + 2) = 9152
⇒ r + 2 = 7 ⇒ r = 7 – 2 = 5
∴ R = r + 4 = 5 + 4 = 9
∴ ଜମିର ବହଦ୍ୟାପାଦ 9 ସେ.ମି. ଓ ଅନ୍ତଦ୍ୟାପାଦ 5 ସେ.ମି. |

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 8 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା Ex 8(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 8 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା Ex 8(b)

Question 1.
ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ (i) ଥରେ, (ii) ଦୁଇଥର ଟସ୍ କଲେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍‌ଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ ଫଳ H ଓ T ହେବ ।
ଏହାର ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = {H, T}
ମୁଦ୍ରାଟିକୁ 2 ଥର ଟସ୍‌କଲେ ଫଳ HH, HT, TH, TT ହେବ ।
ଏହାର ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = {HH, HT, TH, TT}

Question 2.
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଢ଼ାଇଲେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍‌ଟି କ’ଣ ହେବ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ 1, 2, 3, 4, 5, 6 । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଥରେ ଲେଖାଏଁ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା ଥାଏ ।
ଏଠାରେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = {HH, HT, TH, TT}

Question 3.
ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କରାଗଲା । ଘଟଣା E = {T} ହେଲେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E) ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍‌ଲେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = {T, H} 
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ E = {T} = |E] = 1 ଏବଂ |S| = 2
ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E) = $\frac{|E|}{|S|}=\frac{1}{2}$

Question 4.
ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଦୁଇଥର ଟସ୍ କଲେ ଘଟଣାଟି ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ T ପାଇବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 2 ଥର ଟସ୍କକଲେ ଅତିବେଶିରେ ଗୋଟିଏ T, ଆସିବାର ଫଳାଫଳ HT, TH, TT ହେବ ।
E = {HT, TH, TT} ⇒ |E| = 3
ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = {TT, HT, TH, HH} ⇒ |S| = 4 ∴ P(E) = $\frac{|E|}{|S|}=\frac{3}{4}$

Question 5.
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇବାରେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍‌ଟି କ’ଣ ହେବ ଲେଖ ଓ I ଘଟଣାଟି ଫଳ 5ରୁ କମ୍ ହେଲେ ଘଟଣାଟିକୁ ପ୍ରକାଶ କର ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E ଘଟଣାଟିର ଫଳ 5ରୁ କମ୍ ଅର୍ଥାତ୍ E = {1, 2, 3, 4}

Question 6.
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇବାରେ ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଘଟଣାମାନଙ୍କ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(i) E : ଫଳ 5;
ସମାଧାନ:
E : ଫଳ 5, E = {5}
∴ |S| = 6, |E| = 1, P(E) = $\frac{|E|}{|S|}=\frac{1}{6}$

(ii) E : ଫଳ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା; [ଏଠାରେ ଫଳ 2 କିମ୍ବା 4 କିମ୍ବା 6]
ସମାଧାନ:
E : ଫଳ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା E = {2, 4, 6} ⇒ |E| = 3
କିନ୍ତୁ |S| = 6 ∴ P(E) = $\frac{|E|}{|S|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

(iii) E : ଫଳ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା; [ଏଠାରେ ଫଳ 1 କିମ୍ବା 3 କିମ୍ବା 5]
ସମାଧାନ:
E : ଫଳ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା, E = {1, 3, 5} ⇒ |E| = 3 କିନ୍ତୁ |S| = 6
∴ P(E) = $\frac{|E|}{|S|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

(iv) E : ଫଳ ଏକ ସଂଖ୍ୟା k < 5[ଏଠାରେ ଫଳଗୁଡ଼ିକ 1, 2, 3, 4]
ସମାଧାନ:
E : ଫଳ ଏକ ସଂଖ୍ୟା k < 5
∴ E = {1, 2, 3, 4} ⇒ |E| =  4 କିନ୍ତୁ |S| = 6
P(E) = $\frac{|E|}{|S|}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Question 7.
ଗୋଟିଏ ମୁଣି ଭିତରେ ଧଳା, ନାଲି, କଳା, ହଳଦିଆ ଓ ସବୁଜ ରଙ୍ଗର ଏକ ଆକାରର 5 ଗୋଟି ମାର୍ବଲ ଗୋଟି ଅଛି । ଗୋଟିଏ ଗୋଟି ମୁଣି ଭିତରୁ ହାତ ପୁରାଇ କଢ଼ାଗଲା I ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
(i) E : ଗୋଟିଟି ଧଳା (ii) 2 : ଗୋଟିଟି ଧଳା କିମ୍ବା କଳା କିମ୍ବା ନାଲି ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ମୁଣି ଭିତରେ ଧଳା, ନାଲି, କଳା, ହଳଦିଆ ଓ ସବୁଜ ରଙ୍ଗର ଏକ ଆକାରର 5 ଗୋଟି ବଲ୍‌ ଅଛି । ଏଠାରେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = { ଧଳା, ନାଲି, କଳା, ହଳଦିଆ, ସବୁଜ}
⇒ |S| = 5, E = {ଧଳା}
(i) E : ଗୋଟିଟି ଧଳା, ଏଠାରେ |E | = 1
E = {ଧଳା}, P(E) = $\frac{|E|}{|S|}=\frac{1}{5}$
(ii) E : ଗୋଟିଟି ଧଳା କିମ୍ବା କଳା କିମ୍ବା ନାଲି
∴ E = {ଧଳା, କଳା, ନାଲି} ⇒ |E| = 3 କିନ୍ତୁ |S| = 5
∴ P(E) = $\frac{|E|}{|S|}=\frac{3}{5}$
ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ ଗୋଟିଟି ଧଳା ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $\frac{1}{5}$
ସେହିପରି ଗୋଟିଟି କଳା ଓ ନାଲି ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $\frac{1}{5}$ ।
ଗୋଟିଟି ଧଳା କିମ୍ବା କଳା କିମ୍ବା ନାଲି ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

Question 8.
ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାଗରେ 1, 2, 3, 13, 14, 15 ଲେଖାଥିବା 15ଟି କାର୍ଡ଼ ଅଛି । ବ୍ୟାଗରୁ ଗୋଟିଏ କାର୍ଡ଼ ବାହାର କରିବାକୁ ହେବ । ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଘଟଣାମାନଙ୍କ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
(i) E : ଫଳ ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଥ‌ିବା କାର୍ଡ଼ ।
(ii) E : ଫଳ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଥ‌ିବା କାର୍ଡ଼ ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ବ୍ୟାଗରେ 1, 2, 3 ……. 13, 14, 15 ଲେଖାଥ‌ିବା କାର୍ଡ଼ ଅଛି ।
ଏଠାରେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = {1, 2, 3,…..13, 14, 15}
⇒ |S|= 15
(i) E : ଫଳ ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଥିବା କାର୍ଡ଼
E: {2, 3, 5, 7, 11, 13} ⇒ |E| = 6
∴ P(E) = $\frac{|E|}{|S|}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$
(ii) E : ଫଳ ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଥିବା କାର୍ଡ଼
E : {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ⇒ | E| = 7 କିନ୍ତୁ |S| = 15
∴ P(E) = $\frac{|E|}{|S|}=\frac{7}{15}$

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 7 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 7(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 7 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 7(c)

Question 1.
ଦିନର ବିଭିନ୍ନ ସମୟରେ ଜଣେ ରୋଗୀର ତାପମାତ୍ରା ଫାରେନ୍ହାଇଟ୍ ଏକକରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଲେଖାଯାଇଅଛି । ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଏକ ରେଖାଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

ସମୟ	8.00 a.m.	10.00 a.m.	12.00 noon	2.00 p.m.	4.00 p.m.	6.00 p.m.	8.00 p.m.
ଫାରେନ୍ହାଇଟ୍ ରେ ତାପମାତ୍ରା	100.4°	102.4°	103.6°	104.0°	102.8°	102.0°	100.8°

ଅଙ୍କିତ ରେଖାଚିତ୍ରରୁ ନିମ୍ନସ୍ଥ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ଉତ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) ଅପରାହ୍ନ 3.00 ଘଣ୍ଟା ସମୟରେ ରୋଗୀର ତାପମାତ୍ରା କେତେ ଥିଲା? 
(ii) କେଉଁ ସମୟରେ ରୋଗୀର ତାପମାତ୍ରା 103° ଫାରେନ୍ହାଇଟ୍ ଥିଲା?
ସମାଧାନ:
ସମୟ ଓ ତାପ ରେଖାଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ :
(a) ଗ୍ରାଫ୍ କାଗଜରେ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବଭାବରେ x- ଅକ୍ଷ ଓ y- ଅକ୍ଷ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ । ଏହି ଦୁଇ ଅକ୍ଷର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁକୁ O ଧରାଯାଉ।
x- ଅକ୍ଷରେ ସେ.ମି. = 2 ଘଣ୍ଟା ସ୍କେଲ୍‌ର ସମୟ ଏବଂ y – ଅକ୍ଷରେ ସେ.ମି. = 1°F ସ୍କେଲ୍‌ରେ ତାପମାତ୍ରା ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଉ
(b) ସାରଣୀକୁ ଦେଖୁ ସମୟ ଓ ସଂପୃକ୍ତ ତାପମାତ୍ରାକୁ ଯଥାକ୍ରମେ x ଓ y ସ୍ଥାନାଙ୍କ ରୂପେ ନେଇ ବିନ୍ଦୁମାନ ସଂସ୍ଥାପନ କରାଯାଉ ।
(c) ଏହି ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ରେଖାଖଣ୍ଡମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା ସଂଯୋଗ କଲେ ତାହା ସମୟ ଓ ତାପମାତ୍ରାର ରେଖାଚିତ୍ର ହେବ ।

(i) ଅପରାହ୍ନ 3 ଘଣ୍ଟା ସମୟରେ ରୋଗୀର ତାପମାତ୍ରା 103.3° ଫାରେନ୍ହାଇଟ୍ ଥିଲା ।
(ii) ଅପରାହ୍ନ 3.30 ଘଣ୍ଟା ସମୟରେ ରୋଗୀର ତାପାମାତ୍ରା 103° ଫାରେନ୍ହାଇଟ୍ ଥିଲା ।

Question 2.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଥିବା ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ (Time-Temperature) ଲେଖଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

ସମୟ (in hrs)	8.00 a. m.	10.00 a.m.	12.00 noon	2.00 p.m.	4.00 p.m.	6.00 p.m.	8.00 p.m.
ତାପମାତ୍ରା (in °F)	100	101	104	103	99	88	100

ସମାଧାନ:

Question 3.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର (Velocity-Time) ଉପସ୍ଥାପନା ଲେଖଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

ସମୟ (in hrs)	7.00 a.m.	8.00 a.m.	9.00 a.m.	10.00 a.m.	11.00 a.m.	12.00 noon	1.00 p.m.	2.00 p.m.
ତାପମାତ୍ରା (in km/hr.)	30	45	60	50	70	50	40	45

ସମାଧାନ:

Question 4.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସାରଣୀରେ ଥିବା ତଥ୍ୟାବଳୀର ଏକ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ରେଖାଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
ବାରମ୍ବାରତା	8	13	22	30	24	12

ସମାଧାନ:

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ	ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	ବାରମ୍ବାରତା
0-5	2.5	8
5-10	7.5	13
10-15	12.5	22
15-20	17.5	30
20-25	22.5	24
25-30	27.5	12

ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ରେଖାଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ :
(i) ଗ୍ରାଫ୍ କାଗଜରେ x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(ii) x-ଅକ୍ଷରେ 1 ସେ.ମି. = 5 ଏକକ ସ୍କେଲର ସାହାଯ୍ୟରେ 0 ଠାରୁ 30 ଏକକ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନ ଦର୍ଶାଯାଇ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ କରାଯାଉ ।
(iii) y-ଅକ୍ଷରେ l ସେ.ମି. = 5 ଏକକ ସ୍କେଲ ସାହାଯ୍ୟରେ ( ଠାରୁ 35 ଏକକ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ କରାଯାଉ ।
(iv) ସାରଣୀକୁ ଦେଖ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଓ ତାହା ସହିତ ସଂପୃକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ଯଥାକ୍ରମେ x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଓ y- ସ୍ଥାନାଙ୍କ ରୂପେ ନେଇ ଗ୍ରାଫ କାଗଜରେ ବିନ୍ଦୁମାନ ସଂସ୍ଥାପନ କରାଯାଉ ।
(v) ସେହି ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ରେଖାଖଣ୍ଡମାନଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ଯୋଗକଲେ ତାହା ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ରେଖାଚିତ୍ର ହେବ ।

Question 5.
130 ଜଣ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା ସେ.ମି. ମାପରେ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଦିଆଯାଇଛି । ଏହି ତଥ୍ୟର ପୌନଃପୁନ୍ୟ ରେଖାଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

ଉଚ୍ଚତା (ସେ.ମି.ରେ)	145-155	155-165	165-175	175-185	185-195	195-205
ବାରମ୍ବାରତା	3	35	48	32	10	2

ସମାଧାନ:

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (ସଂଭାଗ)	ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	ବାରମ୍ବାରତା
145-155	150	3
155-165	160	35
165-175	170	48
175-185	180	32
185-195	190	10
195-205	200	2

Question 6.
ଗୋଟିଏ ବସ୍ତିରେ ଥ‌ିବା 205 ଜଣ ବାସିନ୍ଦାଙ୍କର ମାସିକ ଖର୍ଚ୍ଚ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଦିଆଯାଇଅଛି । ଏହି ତଥ୍ୟର ପୌନ୍ୟପୁନ୍ୟ ରେଖାଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

ମାସିକ ଖର୍ଚ୍ଚ	100-150	150-200	200-250	250-300	300-350	350-400	400-450	450-500
ବାରମ୍ବାରତା	25	33	40	31	30	22	16	3

ସମାଧାନ:

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (ସଂଭାଗ)	ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	ବାରମ୍ବାରତା
100-150	125	25
150-200	175	33
200-250	225	40
250-300	275	31
300-350	325	30
350-400	375	22
400-450	425	16
450-500	475	3
		200

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 8 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା Ex 8(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 8 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା Ex 8(a)

Question 1.
ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କଲେ ଫଳାଫଳ ଦ୍ଵୟକୁ ସୂଚାଅ ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କଲେ ଫଳାଫଳ H କିମ୍ବା T ହେବ । ଅର୍ଥାତ୍ {H, T}

Question 2.
ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକ କ’ଣ ହେବ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ ଗଡ଼ାଇଲେ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକ l କିମ୍ବା 2 କିମ୍ବା 3 କିମ୍ବା 4 କିମ୍ବା 5 କିମ୍ବା 6 ଅର୍ଥାତ୍ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ହେବ

Question 3.
ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କରାଗଲା । ଫଳ H କିମ୍ବା T ମିଳିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକ ଥର ଟସ୍କକଲେ ଫଳାଫଳ H କିମ୍ବା T ହେବ ।
ଏଠାରେ ଦୁଇଗୋଟି ଘଟଣା ଉପୁଜିଲା ବୋଲି କୁହାଯିବ ।
ସୁତରାଂ E ଘଟଣା ହେଲେ ଏହାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E) = $\frac{m}{n}$
ଏଠାରେ m = ଫଳାଫଳ ଆସିବା ସମ୍ଭାବନା, n = ମୋଟ ଫଳାଫଳ
∴ P(H) = $\frac{m}{n}$  = $\frac{Hର ବାରମ୍ବାରତା}{ମୋଟ ଫଳାଫଳ}$ = $\frac{1}{2}$
⇒ P(T) = $\frac{m}{n}$ = $\frac{1}{2}$

Question 4.
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ଫଳ <7 ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଥରେ ଗଡ଼ାଇଲେ 6ଟି ଘଟଣା ଉପୁଜିବ ବୋଲି କୁହାଯିବ । 
ଏହା 1 କିମ୍ବା 2 କିମ୍ବା 3 କିମ୍ବା 4 କିମ୍ବା 5 କିମ୍ବା 6 ହେବ ।
ଏଠାରେ P(E) = $\frac{m}{n}$= $\frac{ଫଳଟିର ବାରମ୍ବାରତା}{ମୋଟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା}$
P(1) = $\frac{1}{6}$, P(2) = $\frac{1}{6}$, P(3) = $\frac{1}{6}$, P(4) = $\frac{1}{6}$, P(5) = $\frac{1}{6}$, P(6) = $\frac{1}{6}$
ସମୁତାୟ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = 6 × $\frac{1}{6}$ = 1

Question 5.
ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକ ସଙ୍ଗେ ଟସ୍ କରାଗଲା । ଫଳ HH କିମ୍ବା TT କିମ୍ବା HT କିମ୍ବା TH ମିଳିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କେତେ?
ସମାଧାନ:
ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍‌କଲେ HH କିମ୍ବା TT କିମ୍ବା HT କିମ୍ବା TH ମୋଟ 4ଟି ଘଟଣା ଉପୁଜିବାର ସମ୍ଭାବନା ଥାଏ ।
∴ P(E) = $\frac{m}{n}$ = $\frac{ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ଘଟଣାର ଫଳ}{ମୋଟ ଘଟଣାର ଫଳ}$
P(HH) = $\frac{1}{4}$, P(TT) = $\frac{1}{4}$, P(HT) = $\frac{1}{4}$, P(TH) = $\frac{1}{4}$
∴ ପ୍ରତ୍ୟେକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା = $\frac{1}{4}$
∴ ଫଳ HH କିମ୍ବା TT କିମ୍ବା HT କିମ୍ବା TH ମିଳିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା HT = $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = 1

Question 6.
ଗୋଟିଏ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳରେ ଜଣେ ବ୍ୟାଟ୍ସମ୍ୟାନ୍ 30 ବଲ୍‌ ଖେଳି ଟି ବଲ୍‌କୁ ସୀମାପାର କରାଇ ଥିଲେ । ବ୍ୟାଟ୍‌ସମ୍ୟାନ୍‌
(i) ବିଲ୍‌କୁ ସୀମାପାର କରାଇବାର
(ii) ସୀମାପାର ନ କରାଇବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ:
ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣରେ ଖେଳାଯାଇଥିବା ସମୁଦାୟ ବଲ୍‌ ସଂଖ୍ୟା n = 30
ସୀମାପାର ହୋଇଥିବା ବଲ୍ ସଂଖ୍ୟା m = 6
ସୀମାପାର ନ ହୋଇଥିବା ବଲ୍‌ ସଂଖ୍ୟା m = 30 – 6 = 24
(i) P (କୌଣସି ବଲ୍ ସୀମାପାର ହେବା) = $\frac{m}{n}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$
(ii) P (କୌଣସି ବଲ୍ ସୀମାପାର ନହେବା) = $\frac{m}{n}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$

Question 7.
କୌଣସି ଏକ ସହରର ଦୈନିକ ପାଣିପାଗର ସୂଚନା 305 ଦିନ ପାଇଁ 2008 ମସିହାରେ ସତ୍ୟ ହେଲା । ତେବେ କୌଣସି ଦିବସର ପାଣିପାଗ ସୂଚନା ଅସତ୍ୟ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ:
2008 ଅଧ୍ବବର୍ଷ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାର ମୋଟ ଦିବସ ସଂଖ୍ୟା n = 366
305 ଦିବସର ପାଣିପାଗ ସତ୍ୟ ହେଲା ।
ଅସତ୍ୟ ହୋଇଥିବା ପାଣିପାଗ ସୂଚନାର ଦିବସ ସଂଖ୍ୟା m = 366 – 305 = 61
ଏଠାରେ P(E) = $\frac{m}{n}$
P(କୌଣସି ଦିବସର ପାଣିପାଗର ସୂଚନା ଅସତ୍ୟ ହେବ) = $\frac{m}{n}$ = $\frac{61}{366}$

Question 8.
ଗୋଟିଏ ସ୍ଥାନରେ 1500 ପରିବାର ଯଦୃଚ୍ଛା (randomly) ବଛାଗଲେ । ପରିବାରରେ ଥ‌ିବା ଝିଅମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ପର୍କିତ ତଥ୍ୟ ନିମ୍ନ ଟେବୁଲ୍‌ରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

ପରିବାରରେ ଝିଅ ସଂଖ୍ୟା	0	1	2
ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା	211	814	475

ତେବେ ଯେକୌଣସି ଏକ ପରିବାରରେ
(i) ଦୁଇଟି ଝିଅ ଥ‌ିବାର (ii) ଗୋଟିଏ ଝିଅ ଥୁବାର (iii) କୌଣସି ଝିଅ ନଥ‌ିବାର; ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ମୋଟ ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା n = 1500
P(E) = $\frac{m}{n}$, ଯେଉଁଠାରେ m = ପରିବାରରେ ଥ‌ିବା ଝିଅ ସଂଖ୍ୟାର ବାରମ୍ବାରତା
(i) P(2) = $\frac{m}{n}=\frac{475}{1500}$ (ii) P(1) = $\frac{m}{n}=\frac{814}{1500}$ (iii) P(0) = $\frac{m}{n}=\frac{211}{1500}$

Question 9.
ତିନିଗୋଟି ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକ ସଙ୍ଗେ 500 ଥର ଟସ୍ କରାଯିବାରୁ ଲବ୍‌ଧ ଫଳ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର ହେଲା ।

ଫଳ।ଫଳ	ତିନିଟି H	ଦୁଇଟି H	ଗୋଟିଏ H	କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H
ବାରମ୍ବାରତା	60	180	195	65

ନିମ୍ନଲିଖତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ନିରୂପଣ କର ।
ଉପରେ ନିଶ୍ଚିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାମାନଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ:
ସମୁଦାୟ ମୁଦ୍ରାର ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟା (ମୋଟ ବାରମ୍ବାରତା) = 500 
ମନେକର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫଳାଫଳର ବାରମ୍ବାରତା = m
∴ P(E) = $\frac{m}{n}$

(i) P (ତିନିଟି H)
ସମାଧାନ:
(i) ପରୀକ୍ଷଣରୁ ତିନୋଟି H ପାଇଥିବା ଫଳଫଳର ବାରମ୍ବାରତା = 60
∴ P(ତିନୋଟି H) = $\frac{60}{500}$

(ii) P (ଦୁଇଟି H)
ସମାଧାନ:
ପରୀକ୍ଷଣରୁ ଦୁଇଟି H ପାଇଥବା ଫଳାଫଳର ବାରମ୍ବାରତା = 180
P (ଦୁଇଟି H) = $\frac{180}{500}$

(iii) P (ଗୋଟିଏ H)
ସମାଧାନ:
ପରୀକ୍ଷଣରୁ ଗୋଟିଏ H ପାଇଥିବା ଫଳାଫଳର ବାରମ୍ବାରତା = 195
P (ଗୋଟିଏ H) = $\frac{195}{500}$

(iv) P(କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H)
ସମାଧାନ:
କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H ପାଇଥିବା ଫଳାଫଳର ବାରମ୍ବାରତା 65
P(କୌଣସିଟି ନୁହେଁ H) = $\frac{65}{500}$
= $\frac{60}{500}+\frac{180}{500}+\frac{195}{500}+\frac{65}{500}=\frac{60+180+195+65}{500}=\frac{500}{500}$

Question 10.
ଗୋଟିଏ ଗୋଟିକୁ 800 ଥର ଗଢ଼ାଗଲା । ଗୋଟି ଗଢ଼ାଇବାରେ ପଢ଼ୁଥ‌ିବା ଫଳର ବାରମ୍ବାରତାକୁ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଦିଆଯାଇଛି । ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫଳର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସ୍ଥିର କର ।

ଫଳ।ଫଳ	1	2	3	4	5	6
ବାରମ୍ବାରତା	144	152	136	128	118	122

ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ପରୀକ୍ଷଣର ମୋଟ ବାରମ୍ବାରତା (n) = 800
ମନେକର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫଳାଫଳର ବାରମ୍ବାରତା = m
(i) ଫଳ 1ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(1) = $\frac{m}{n}=\frac{144}{800}=\frac{18}{100}$ = 0.18
(ii) ଫଳ 2ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(2) = $\frac{m}{n}=\frac{152}{800}=\frac{19}{100}$ = 0.19
(iii) ଫଳ 3ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(3) = $\frac{m}{n}=\frac{136}{800}=\frac{17}{100}$ = 0.17
(iv) ଫଳ 4ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(4) = $\frac{m}{n}=\frac{128}{800}=\frac{16}{100}$ = 0.16
(v) ଫଳ 5ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(5) = $\frac{m}{n}=\frac{118}{800}$ = 0.1475
(vi) ଫଳ 6ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(6) = $\frac{m}{n}=\frac{122}{800}$ = 0.1525

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 7 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 7(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 7 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 7(b)

Question 1.
ଗୋଟିଏ ସାଇକେଲ୍ ଦୋକାନରେ ମାସକର ବିଭିନ୍ନ ଦିନମାନଙ୍କରେ ବିକ୍ରି ହୋଇଥିବା ସାଇକେଲ ସଂଖ୍ୟା ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

18	32	30	23	11	8	24	15	27	29	32	22	13	17	21
10	28	30	15	12	26	31	22	19	14	17	15	21	18	23

ସମାଧାନ:

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ	ପୌନଃପୁନ୍ୟ
8	1
9	0
10	1
11	1
12	1
13	1
14	1
15	3
16	0
17	2
18	2
19	1
20	0
21	2
22	2
23	2
24	1
25	0
26	1
27	1
28	1
29	1
30	2
31	1
32	2

(a) ଉପରେ ଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଓ ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 32, ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 8

(b) ଉପରୋକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ବିସ୍ତାର କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଉପରୋକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ବିସ୍ତାର = (32 – 8) + 1 = 25

(c) 5 – 9, 10 – 14 ଆଦି ସଂଭାଗମାନ (ସମାନ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର ବିଶିଷ୍ଟ) ନେଇ ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣୀ ସାରଣୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କର ।
ସମାଧାନ:

ସଂଭାଗ	ପୌନଃପୁନ୍ୟ
5-9	1
10-14	5
15-19	8
20-24	7
25-29	4
30-34	5
	30

(d) ଉପରୋକ୍ତ ସଂଭାଗମାନଙ୍କର ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର = 9 – 5 + 1 = 5
[∵ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର = (ଉଚ୍ଚ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସୀମା – ନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସୀମା) + 1]

(e) କେଉଁ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧିକ
ସମାଧାନ:
15 – 19 ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧ୍ଵକ, ଅର୍ଥାତ୍ 8 ।

(f) କେଉଁ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବନିମ୍ନ ?
ସମାଧାନ:
5 – 9 ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବନିମ୍ନ, ଅର୍ଥାତ୍ 1 ।

(g) 5 – 10, 10 – 15 ଆଦି ସଂଭାଗ (ସମାନ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର ବିଶିଷ୍ଟ) ନେଇ ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କର ।
ସମାଧାନ:

ସଂଭାଗ	ପୌନଃପୁନ୍ୟ(ବାରମ୍ବାରତା)
5-10	1
10-145	5
15-20	8
20-25	7
25-30	4
30-35	5
	30

Question 2.
50 ନଡ଼ିଆଗଛ ଥ‌ିବା ନଡ଼ିଆ ବଗିଚାରେ ଗଛମାନଙ୍କରୁ ବର୍ଷ ମଧ୍ୟରେ ତୋଳାଯାଇଥିବା ନଡ଼ିଆ ସଂଖ୍ୟା ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

192	160	120	135	210	222	190	138	157	216
154	188	205	208	175	145	168	127	161	132
180	200	172	125	133	147	152	209	212	216
146	173	227	136	185	140	189	130	188	150
210	170	183	190	220	164	200	128	193	171

(a) ଉପରୋକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀରୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ଓ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = 120 ଏବଂ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = 227

(b) ତଥ୍ୟାବଳୀର ବିସ୍ତାର କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ତଥ୍ୟାବଳୀର ବିସ୍ତାର = ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ – ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ + 1 = 227 – 120 + 1= 108

(c) 120 – 130, 130 – 140 ଇତ୍ୟାଦି ସଂଭାଗମାନ ନେଇ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ପୌନଃପୁନଃ ସାରଣୀରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
ସମାଧାନ:

ସଂଭାଗ	ଅନୁମେଳନ ରେଖା	ପୌନଃପୁନ୍ୟ
120-130	////	4
130-140	//// /	6
140-150	////	4
150-160	////	4
160-170	////	4
170-180	////	5
180-190	//// /	6
190-200	////	4
200-210	////	5
210-220	////	5
220-230	///	3
		50

(d) ଉପରୋକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣର ସଂଭାଗର ବିସ୍ତାର କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର = 130 – 120 = 10

(e) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 150 କେଉଁ ସଂଭାଗର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ହେବ ?
ସମାଧାନ:
150 – 160 ସଂଭାଗରେ 150 ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଟି ବିଦ୍ୟମାନ ।

(f) କେଉଁ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧ‌ିକ ?
ସମାଧାନ:
130 −140 ଓ 180 – 190 ସଂଭାଗଦ୍ଵୟର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧ‌ିକ ଅର୍ଥାତ ‘6’ ।

(g) କେଉଁ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବନିମ୍ନ ?
ସମାଧାନ:
220 – 230 ସଂଭାଗର ବାମ୍ବାରତା ସର୍ବନିମ୍ନ, ଅର୍ଥାତ୍ ‘3’ ।

Question 3.
ଯେଉଁ ଭାଗ-ବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ସାରଣୀର ସଂଭାଗମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁମାନ ହେଲା 25, 35, 45, 55, 65, 75 ଓ 85 ସେହି ସାରଣୀସ୍ଥ ସଂଭାଗ-ବିସ୍ତାର ଓ ସଂଭାଗ-ସୀମାମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ସଂଭାଗମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁମାନ 25, 35, 45, …. 85 
ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର = ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଭାଗର ଅନ୍ତର = 35 – 25 = 10
ଆମେ ଜାଣିଛୁ, ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ = $\frac{ଉଚ୍ଚ ସଂଭାଗ ସୀମା + ନିମ୍ନ ସଂଭାଗ ସୀମା}{2}$

ସଂଭାଗ	ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	ସଂଭାଗ ନିମ୍ନସୀମା	ସଂଭାଗ ଉଚ୍ଚସୀମା
20-30	25	20	30
30-40	35	30	40
40-50	45	40	50
50-60	55	50	60
60-70	65	60	70
70-80	75	70	80
80-90	85	80	90

Question 4.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗମାନଙ୍କର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 39ର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା, ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗ	0-9	10-19	20-29	30-39	40-49
ବାରମ୍ବାରତା	8	13	21	15	6

ସମାଧାନ:

ସଂଭାଗ	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା
0-9	8	8 (8 + 0)
10-19	13	21 (13 + 8)
20-29	21	42 (21 + 21)
30-39	15	57 (42 + 15)
40-49	6	63 (57 + 6)
	Σf = 63

ଏଠାରେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 39 ର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 57
ଅଥବା, 39 ର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ହେଉଛି 30 – 39 ସଂଭାଗ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଥ‌ିବା ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତାର ସମଷ୍ଟି = 8 + 13 + 21 + 15 = 57

Question 5.
(a) ନିମ୍ନସ୍ଥ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ 0 – 9, 10 – 19, 20 – 29 ଆଦି ସଂଭାଗ ବିଶିଷ୍ଟ ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀରେ ପ୍ରକାଶ କର ଓ ତତ୍‌ପରେ ସଂଭାଗମାନଙ୍କର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ଲେଖ ।

25	32	38	52	32	11	5	8	18	37
35	42	68	35	42	52	2	18	7	22
30	41	56	64	31	27	32	41	28	7
53	41	46	58	12	25	64	45	39	40

ସମାଧାନ:

ସଂଭାଗ	ଅନୁମେଳନ ରେଖା	ବାରମ୍ବାରତା	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା
0-9	////	5	5
10-19	////	4	9
20-29	////	5	14
30-39	////  ////	10	24
40-49	////  //	8	32
50-59	////	5	37
60-69	///	3	40
		40

(b) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 39 ର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା କେତେ ?
ସମାଧାନ:
39 ର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା 24 ।

(c) କେଉଁ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ବୃହତ୍ତମ ?
ସମାଧାନ:
30 – 39 ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ବୃହତ୍ତମ ଅର୍ଥାତ୍ 10 ।

(d) କେଉଁ ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ବୃହତ୍ତମ ?
ସମାଧାନ:
60 – 69 ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ବୃହତ୍ତମ ଅର୍ଥାତ୍‌ 40 ।

Question 6.
200 ପରୀକ୍ଷାର୍ଥୀଙ୍କର କୌଣସି ଏକ ପରୀକ୍ଷାର ଶତକଡ଼ାରେ ପ୍ରକାଶିତ ଫଳାଫଳ ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ସହ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

ପରୀକ୍ଷା ନମୃର ଶତକଡ଼ାରେ	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	5	12	27	46	102	135	160	181	196	200

ସାରଣୀଟି ଦେଖ୍ ନିମ୍ନସ୍ଥ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) ପାସ୍ ନମ୍ବର ଶତକଡ଼ା 30 ହୋଇଥିଲେ କେତେ ଛାତ୍ର ଫେଲ୍ ହୋଇଛନ୍ତି ?
(ii) ଶତକଡ଼ା 60 ବା ତଦୂର୍ଦ୍ଧ୍ବ ନମ୍ବର ରଖୁଥିଲେ ପରୀକ୍ଷାରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ମିଳିଥାଏ । ତେବେ ଉପରୋକ୍ତ ପରୀକ୍ଷାରେ କେତେ ଛାତ୍ର ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀରେ ପାସ୍ କରିଛନ୍ତି ?
(iii) 40% ବା ତହିଁରୁ ଅଧ‌ିକ ମାତ୍ର 60% ରୁ କମ୍ ନମ୍ବର ରଖିଥ‌ିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା କେତେ ?
(iv) ଶତକଡ଼ା 80 ବା ତଦୂର୍ଦ୍ଧ ନମ୍ବର ରଖିଥ‌ିବା ପରୀକ୍ଷାର୍ଥୀଙ୍କୁ ବୃତ୍ତି ମିଳିବାର ବ୍ୟବସ୍ଥା ଥିଲେ ଉପରୋକ୍ତ ପରୀକ୍ଷାରେ କେତେ ପରୀକ୍ଷାର୍ଥୀ ବୃତ୍ତି ପାଇବା ଲାଗି ଉପଯୁକ୍ତ ବିବେଚିତ ହେବେ ?
ସମାଧାନ:

ପରୀକ୍ଷା ନମୃର (ଲବ୍ ଧାଙ୍କ)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	ବାରମ୍ବାରତା
0-10	5	5
10-20	12	7
20-30	27	15
30-40	46	19
40-50	102	56
50-60	135	33
60-70	160	25
70-80	181	21
80-90	196	15
90-100	200	4
		200

ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀରୁ ଜଣାଯାଏ ଯେ –
(i) ପାସ୍ ନମ୍ବର ଶତକଡ଼ା 30 ହୋଇଥିଲେ 27 ଜଣ ଛାତ୍ର ଫେଲ୍ ହୋଇଛନ୍ତି ।
(ii) ଶତକଡ଼ା 60 ବା ତଦୂର୍ଖ ନମ୍ବର ରଖୁଥ‌ିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = 200 – 135 = 65
(iii) 40% ବା ତହିଁରୁ ଅଧ‌ିକ ମାତ୍ର 60 % ରୁ କମ୍ ନମ୍ବର ରଖିଥ‌ିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = 135 – 46 = 89
(iv) 80 % ବା ତଦୂର୍ଣ୍ଣ ନମ୍ବର ରଖି ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = 200 – 181 = 19

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Geometry Chapter 2 ବୃତ୍ତ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Geometry Chapter 2 ବୃତ୍ତ

→ ମୌଳିକ ଧାରଣା (Basic Concepts) :

• ଗୋଟିଏ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ କୌଣସି ଏକ ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦୂରତାରେ ଉକ୍ତ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍‌କୁ ବୃତ୍ତ (Circle) କୁହାଯାଏ ।
• ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁଟିକୁ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର କୁହାଯାଏ ।
• ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଷ କହିଲେ ଆମେ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଓ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତାକୁ ବୁଝିଥାଉ ।
• ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଷ କହିଲେ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ P ଓ କେନ୍ଦ୍ର O ର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡ ।
• ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ‘ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ’ ହେଉଛି ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡ ।
• ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ଜ୍ୟା (chord) କୁହାଯାଏ ।
• ଯେଉଁ ଜ୍ୟାରେ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଅବସ୍ଥିତ ସେହି ଜ୍ୟାକୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ କହନ୍ତି ।
  ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଏକ ବ୍ୟାସ ହେଉଛି ଏହାର ଦୀର୍ଘତମ ଜ୍ୟା ।

ଉପରିସ୍ଥ ବୃତ୍ତରେ O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ $\overline{\mathrm{AB}}$ ବୃତ୍ତର ଏକ ଜ୍ୟା । $\overline{\mathrm{AC}}$ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ଏବଂ $\overline{\mathrm{OP}}$ ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ।

ବୃତ୍ତର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଓ ବହିର୍ଦେଶ (Interior and Exterior of Circle):
ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ଦୂରତା ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ବୃତ୍ତର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ (Interior points) କୁହାଯାଏ ଏବଂ ସମସ୍ତ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସମାହାରକୁ ବୃତ୍ତର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ (Interior) କୁହାଯାଏ ।

(ii) ବୃତ୍ତ ଓ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ବ୍ୟତୀତ ସମତଳର ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍‌କୁ ବୃତ୍ତର୍ ବହିର୍ଦେଶ (Exterior) କୁହାଯାଏ । ବୃତ୍ତର ବହିର୍ଦେଶରେ ଥ‌ିବା ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ ବୃତ୍ତର ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।
ବୃତ୍ତର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଏକ ଉତ୍ତଳ (convex) ସେଟ୍

• ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତ : ଏକାଧିକ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କୁ ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତ (Congruent circles) କୁହାଯାଏ ।
• ସର୍ବସମ କ୍ୟା : ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ବା ଏକାଧିକ ବୃତ୍ତରେ ଯେଉଁ ଜ୍ୟାମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ସେମାନଙ୍କୁ ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା (Congruent Chords) କୁହାଯାଏ ।

ଉପପାଦ୍ୟ 7 : ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଏହାର ବ୍ୟାସ ଭିନ୍ନ ଏକ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଉକ୍ତ ଜ୍ୟାକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରେ ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ : ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତକୁ ଦୁଇଟିରୁ ଅଧ‌ିକ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ନାହିଁ ।

ପ୍ରମେୟ 2.1 :
କୌଣସି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ଭିନ୍ନ ଏକ ଜ୍ୟାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଓ କେନ୍ଦ୍ରକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖା ଉକ୍ତ ଜ୍ୟା ଅଟେ ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 1: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏହାର ଯେକୌଣସି ଜ୍ୟାର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ । କାରଣ ଯେକୌଣସି ଜ୍ୟାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁଠାରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ଲମ୍ବ ଅଙ୍କିତ ହୋଇପାରିବ ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 2:
(i) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଅସମାନ୍ତର ଜ୍ୟାର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ ଲୟଦ୍ୱୟ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରେ ମିଳିତ ହୁଅନ୍ତି । କାରଣ ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ-1 ଅନୁଯାୟୀ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
(ii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟାର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବଦ୍ଵୟ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଦେଇ ଯାଇଥିବା ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

କାରଣ ଏକ ଜ୍ୟାର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ସର୍ବଦା କେନ୍ଦ୍ରଦେଇ ଯିବ ଏବଂ ଜ୍ୟାଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ହେତୁ ଅନ୍ୟ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେବ ଏବଂ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରୁ ଏକ ଜ୍ୟା ପ୍ରତି ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ ସମ୍ଭବ ।

• $\overline{\mathrm{AB}}$ ବୃତ୍ତର ଏକ ଜ୍ୟା ହେଲେ A ଓ B ଭିନ୍ନ ଜ୍ୟାଟିର ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ବୃତ୍ତର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
• ଯଦି A ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଓ P ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ ବୃତ୍ତକୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବ ।
• ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ ଅତି କମ୍‌ରେ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁର ଅବସ୍ଥିତି ଜାଣିବା ଆବଶ୍ୟକ ।

ପ୍ରମେୟ 2.2 :
ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ନ ଥୁବା ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟ ଦେଇ ଗୋଟିଏ ଏବଂ କେବଳ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇ ପାରିବ ।
ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତର ସଂଜ୍ଞା :
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିଦୁ୍ୟତ୍ରୟ ଦେଇ ଅଙ୍କିତ ବୃତ୍ତକୁ ଉକ୍ତ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତ (Circum-Circle) ଓ ଏହାର କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁକୁ ଉକ୍ତ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିକେନ୍ଦ୍ର (Circum-Centre) କୁହାଯାଏ ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ : ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ ପରସ୍ପରକୁ ଦୁଇଟିରୁ ଅଧ୍ଵ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ନାହିଁ ।

ଉପପାଦ୍ୟ 8 :
ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ଜ୍ୟାମାନେ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ।
କଥନ : ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତର ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ଜ୍ୟାମାନେ ନିଜ ନିଜ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ।

ପ୍ରମେୟ 2.3 :
ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଜ୍ୟାମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ।
କଥନ : ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତରେ ନିଜ ନିଜ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଜ୍ୟାମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 1: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିକଟତର ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 2: ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଜ୍ୟାଟି କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ ଅଧିକ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ।

→ ଜ୍ୟାଦ୍ଵାରା କେନ୍ଦ୍ରରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ (Angle subtended by the chord at the centre) :
ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର $\overline{\mathrm{AB}}$ ବ୍ୟାସଭିନ୍ନ ଏକ ଜ୍ୟା ଏବଂ O କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ∠AOBକୁ ଜ୍ଯା $\overline{\mathrm{AB}}$ ଦ୍ଵାରା କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ ଅଥବା $\overline{\mathrm{AB}}$ ଜ୍ୟା ସହ ସଂପୃକ୍ତ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ (Central angle) କୁହାଯାଏ ।

∠AOB, $\overline{\mathrm{AB}}$ ଜ୍ୟା ସହ ସଂପୃକ୍ତ ଏକ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୌଣ ।

ଉପପାଦ୍ୟ 9 : ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଯେଉଁ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରନ୍ତି ସେମାନେ ସର୍ବସମ ।
କଥନ : ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା ନିଜ ନିଜ କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଯେଉଁ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରନ୍ତି ସର୍ବସମ ।

ପ୍ରମେୟ 2.4 :
ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟାଦ୍ଵାରା କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ହେଲେ ଜ୍ୟା ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ହେବେ ।
କଥନ : ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟାଦ୍ଵାରା ନିଜ ନିଜ କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ହେଲେ ଜ୍ୟା ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ହେବେ ।

→ ଚାପ (Arc) :
(i) ଚିତ୍ର (a)ରେ S ଏକ ବୃତ୍ତ ଏବଂ ଉକ୍ତ ବୃତ୍ତ ଉପରେ A ଓ B ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ବୃତ୍ତଟି A ଓ B ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ଵାରା ଦୁଇ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ ହୁଏ । A ଓ B ବିନ୍ଦୁ ସମେତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭାଗକୁ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଚାପ କୁହାଯାଏ ।

(ii) ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାର କହିଲେ A ଓ B ବିନ୍ଦୁ ଦ୍ବୟ ସହିତ “A ଠାରୁ B ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ” ବୃତ୍ତର ଏକ ଅବିଛିନ୍ନ ଅଂଶ ହେଉଛି ଏକ ଚାପ । ଚିତ୍ର (b)ରେ $\stackrel{\leftrightarrow}{AB}$, S ବୃତ୍ତର ଏକ ଛେଦକ (Secant) ।

(iii) P, ଛେଦକ $\overleftrightarrow{AB}$ ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଅନ୍ୟ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଉ । ବୃତ୍ତର ଯେଉଁ ଅଂଶରେ P ବିନ୍ଦୁ ଅଛି ସେହି ଅଂଶଟିକୁ APB ଅଥବା BPA ଚାପ କୁହାଯାଏ ।
ସଂକେତରେ ଚାପକୁ $\widehat{\mathbf{A P B}}$ ବା $\widehat{\mathbf{B P A}}$ ରୂପେ ଲେଖାଯାଏ ।

ସଂଜ୍ଞା : ଏକ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ A ଓ B ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ A ଓ B ବିନ୍ଦୁ ସମେତ $\overline{\mathrm{AB}}$ କ୍ୟାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବରେ ଥ‌ିବା ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ସେଟ୍‌କୁ ଏକ ଚାପ କୁହାଯାଏ । ଉକ୍ତ ସେଟ୍ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ଚାପକୁ APB କିମ୍ବା BPA ଚାପରୂପେ ନାମିତ କରାଯାଏ ଏବଂ ଉକ୍ତ ଚାପକୁ $\widehat{\mathbf{A P B}}$ କିମ୍ବା $\widehat{\mathbf{B P A}}$ ସଂକେତ ଦ୍ବାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ।

(iv) $\widehat{\mathbf{A P B}}$ ଏକ ଚାପ ହେଲେ A ଓ B, ଚାପର ଦୁଇଟି ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ (End points) ଅଟନ୍ତି ଏବଂ ଚାପର ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁଙ୍କୁ ଚାପର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ (Interior points) କୁହାଯାଏ ।

(v) Q, ଛେଦକ $\overleftrightarrow{AB}$ ର ଅପର ପାର୍ଶ୍ଵ ଚିତ୍ର (b)ରେ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ AQB ଚାପକୁ $\widehat{\mathbf{A Q B}}$ ବା BQÀ ସଂକେତ ଦ୍ଵାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ।

(vi) A ଓ B ଉଭୟ $\widehat{\mathbf{A P B}}$ ଏବଂ $\widehat{\mathbf{A Q B}}$ ଚାପର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଅଟନ୍ତି । $\widehat{\mathbf{A P B}}$ ଓ $\widehat{\mathbf{A Q B}}$ ଚାପଦ୍ଵୟକୁ ପରସ୍ପରର ବିପରୀତ ଚାପ (Opposite are) କୁହାଯାଏ । ଉକ୍ତ ଚାପଦ୍ଵୟର ସଂଯୋଗରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବୃତ୍ତଟି ଗଠିତ ହେଉଥ‌ିବାରୁ ଗୋଟିକୁ ଅପରର ପରିପୂରକ ଚାପ (Supplementary are) ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ । ଏହି ଚାପଦ୍ଵୟକୁ $\overline{\mathrm{AB}}$ ଜ୍ୟା ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ବା ଛେଦିତ ଚାପ କୁହାଯାଏ ଏବଂ $\overline{\mathrm{AB}}$ ଜ୍ୟାକୁ ଉଭୟ ଚାପର ସମ୍ପୃକ୍ତ ଜ୍ୟା (Corresponding chord) କୁହାଯାଏ ।

→ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ, ବୃହତ୍‌ପ ଏବଂ ଅଭିବୃତ୍ତ (Minor arc, Major arc and Semi circle) :
କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ, ବୃହତ୍‌ପ (Minor are, Major arc) :
(i) ଯଦି କୌଣସି ଚାପ $\widehat{\mathbf{A P B}}$ର P ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ ସମ୍ପୃକ୍ତ $\overline{\mathrm{AB}}$ ଜ୍ୟାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ ହୁଅନ୍ତି ତେବେ $\widehat{\mathbf{A P B}}$କୁ ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ (Minor are) କୁହାଯାଏ । ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପର ବିପରୀତ ଚାପକୁ ବୃହତ୍‌ପ (Major acr) କୁହାଯାଏ ।

(ii) ଚିତ୍ର (c)ରେ $\widehat{\mathbf{A P B}}$ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ଓ $\widehat{\mathbf{A Q B}}$ ବୃହତ୍ ଚାପ ଅଟନ୍ତି । $\widehat{\mathbf{A P B}}$ ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ହେଲେ ଏହାକୁ ‘AB କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ’ ଦ୍ଵାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ଓ ସେହିପରି $\widehat{\mathbf{A Q B}}$ ବୃହତ୍ ଚାପକୁ ‘‘AB ବୃହତ୍ ଚାପ’’ ଦ୍ବାରା ପ୍ରକାଶ
କରାଯାଏ ।

→ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତ (Semi Circle) :
ଏକ ବୃତ୍ତରେ କୌଣସି ଚାପର ସମ୍ପୃକ୍ତ ଜ୍ୟା ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ ହେଲେ ଚାପଟିକୁ ଏକ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତ (Semi circle) କୁହାଯାଏ । ଚିତ୍ର (c)ରେ $\widehat{\mathbf{C Q D}}$ ଏବଂ $\widehat{\mathbf{C P D}}$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତ ଅଟନ୍ତି । ସଂଜ୍ଞାନୁସାରେ ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତ ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ବା ବୃହତ୍ ଚାପ ନୁହେଁ । ଏକ ଅର୍ବବୃତ୍ତର ବିପରୀତ ଚାପ ମଧ୍ଯ ଏକ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତ ।

→ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (Length of the arc):
$\overline{\mathrm{AB}}$ ଜ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ଚାପ ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବୃହତ୍ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର । ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (length) କୁ l ଚିହ୍ନଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ । l $\widehat{\mathbf{A P Q}}$, $\widehat{\mathbf{A P Q}}$ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟମାପକୁ ସୂଚାଏ । ଦୁଇ ବିପରୀତ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି ବୃତ୍ତର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଟେ । ବୃତ୍ତର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ବୃତ୍ତର ପରିଧ (Circumference) କୁହାଯାଏ ।

→ ସନ୍ନିହିତ ଚାପ (Adjacent arcs) :
ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ଚାପର ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ଥିଲେ ଉକ୍ତ ବିନ୍ଦୁଟି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚାପର ଏକ ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ଏବଂ ଏହିପରି ଦୁଇଟି ଚାପକୁ ସନ୍ନିହିତ ଚାପ (Adjacent ares) କୁହାଯାଏ । ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ଚାପର ସଂଯୋଗରେ ନୂତନ ଚାପ ଗଠିତ ହୁଏ । ଚିତ୍ରରେ $\widehat{\mathbf{OCA}}$ ଏବଂ $\widehat{\mathbf{APB}}$ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ଚାପର ସଂଯୋଗରେ $\widehat{\mathbf{QAB}}$ ଗଠିତ ହେଉଅଛି ।

ମନେରଖ : ଦୁଇଟି ବୃହତ୍ ଚାପ କିମ୍ବା ଦୁଇଟି ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତ ସନ୍ନିହିତ ଚାପ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।

→ ଚାପଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ (Angle subtended by an Arc):
(i) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ $\widehat{\mathbf{APB}}$ ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପ । X, $\overline{\mathrm{AB}}$ ଜ୍ୟା ଉପରେ ନ ଥିବା ବୃତ୍ତର ସମତଳରେ ଅନ୍ୟ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ∠AXBକୁ $\widehat{\mathbf{APB}}$ ଚାପଦ୍ବାରା X ଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ (angle subtended at X) କୁହାଯାଏ ।

(ii) ବତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଠ ହେଲେ ∠AOB କୁ $\widehat{\mathbf{APB}}$ ଦ୍ଵାରା କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ ବା ସଂକ୍ଷେପରେ $\widehat{\mathbf{APB}}$ ର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ (Central angle) କୁହାଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପଦ୍ବାରା କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ ଉକ୍ତ ଚାପର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ।

(iii) $\widehat{\mathbf{AB}}$ ର P ଯେକୌଣସି ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ∠APB କୁ $\widehat{\mathbf{AB}}$ ଚାପର ଏକ ଅନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣ (Inscribed angle) କୁହାଯାଏ । Q, $\widehat{\mathbf{APB}}$ ର ବିପରୀତ ଚାପ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ∠AQBକୁ $\widehat{\mathbf{APB}}$ ଚାପର ବିପରୀତ ଚାପାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ବା ପରିପୂରକ ଚାପାନ୍ତର୍ଲିଖୁତ କୋଣ (Angle subtended at a point on the opposite arc or supplementary arc) କୁହାଯାଏ ।

(iv) ∠AOB ଟି $\overline{\mathrm{AB}}$ କ୍ୟା ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ । ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ $\overline{\mathrm{AB}}$ ଜ୍ୟାଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ଏବଂ $\widehat{\mathbf{AB}}$ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ଦ୍ଵୟ ଅଭିନ୍ନ । ଚିତ୍ରରେ $\widehat{\mathbf{AQB}}$ ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ।

(v) $\widehat{\mathbf{ARB}}$ ଦ୍ବାରା Q ଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣ ∠AQB, $\widehat{\mathbf{AQB}}$ର ଏକ ଅନ୍ତର୍ଲିଖୁତ କୋଣ । ∠ARB, $\widehat{\mathbf{AQB}}$ର ଏକ ବିପରୀତ ଚାପାନ୍ତଲିଷ୍କୃତ କୋଣ ।

→ କୋଣଦ୍ୱାରା ଛେଦିତ ଚାପ (Arc intercepted by the angle) :
ଗୋଟିଏ କୋଣର ବାହୁଦ୍ୱୟ ଏକ ବୃତ୍ତକୁ ଛେଦକଲେ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଥ‌ିବା ଚାପ, ଯାହାର ପ୍ରାନ୍ତବିଦୁଦ୍ଵୟ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ହୁଅନ୍ତି, ତାହାକୁ ଉକ୍ତ କୋଣଦ୍ୱାରା ଛେଦିତ ଚାପ କୁହାଯାଏ ।

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ CEOF ଦ୍ୱାରା ଛେଦିତ ଚାପ $\widehat{\mathbf{GQF}}$ ଏବଂ ∠AXB ଦ୍ୱାରା ଛେଦିତ ଚାପଦ୍ୱୟ $\widehat{\mathbf{APB}}$ ଓ $\widehat{\mathbf{CQD}}$ |

→ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ (Degree measure of an arc) :
ସଂଜ୍ଞା : କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 0 ଓ 360° ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ନିମ୍ନମତେ ସ୍ଥିରୀକୃତ ହୁଏ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରକୁ ଦେଖ ।

O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ହେଲେ,
(i) m$\widehat{\mathbf{APB}}$ 818 = m∠AOB
(ii) m$\widehat{\mathbf{ABC}}$ = 180°
(iii) m$\widehat{\mathbf{ACB}}$ ବୃହତ୍ ଚାପ = 360°- m∠AOB
ସଂଜ୍ଞାନୁଯାୟୀ ଏକ ଚାପ ଓ ଏହାର ବିପରୀତ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପର ସମଷ୍ଟି 360° ।
ବି.ଦ୍ର. m$\widehat{\mathbf{APB}}$ ଦ୍ଵାରା $\widehat{\mathbf{APB}}$ର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପକୁ ସୂଚିତ କରାଯାଏ ।

→ ଚାପର ସର୍ବସମତା (Congruence of arcs) :
ସଂଜ୍ଞା : ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ (ଅଥବା ଦୁଇ ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତରେ) ଦୁଇଟି ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ସମାନ ହେଲେ ଚାପ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ (Congruent) ହୁଅନ୍ତି ।

ଚିତ୍ରରେ m∠AOB = m∠COD ⇔ $\widehat{\mathbf{APB}}$ ≅ $\widehat{\mathbf{CQD}}$ |
ଏଥୁରୁ ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ
(i) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ଏବଂ ବିପରୀତ କ୍ରମେ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେବେ ।

(ii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ସର୍ବସମ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କର ବିପରୀତ ବୃହତ୍ ଚାପ ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟ ସର୍ବସମ ହେବେ । ଏହାର ବିପରୀତ ଉକ୍ତିଟି ମଧ୍ୟ ସତ୍ୟ ।

(iii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତ ସର୍ବସମ ।
ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଚାପର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୌଣ ପରିମାପ ସହ ସମାନୁପାତୀ । କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୌଣ ପରିମାଣର ହ୍ରାସ ବା ବୃଦ୍ଧି ସହିତ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମାନୁପାତିକ ହ୍ରାସ ବା ବୃଦ୍ଧି ଘଟିଥାଏ ।

ମନେରଖ : ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହୁଏ ଏବଂ ବିପରୀତ କ୍ରମେ ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହୁଅନ୍ତି ।

ଉପପାଦ୍ୟ 10 : ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଚାପ ସହ ସଂପୃକ୍ତ ଜ୍ୟାଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
ମନ୍ତବ୍ୟ 1 : ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଚାପ ସହ ସଂପୃକ୍ତ ଜ୍ୟା ଦ୍ବୟ ସର୍ବସମ ।
ପ୍ରମେୟ 2.5 : କୌଣସି ବୃତ୍ତର ଦୁଇଟି ଜ୍ୟା ସର୍ବସମ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କ ସହ ସଂପୃକ୍ତ (i) କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ଏବଂ (ii) ବୃହତ୍ ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।

→ ଗୋଟିଏ ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ୍ତ କୋଣ ସମ୍ପର୍କିତ ଏକ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ ତଥ୍ୟ :
ପ୍ରମେୟ 2.6 : ଏକ ବୃତ୍ତରେ କୌଣସି ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ବିପରୀତ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 1 : (i) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ । ବିପରୀତ କ୍ରମେ, ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖତ କୋଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
(ii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଚାପର ବିପରୀତ ଚାପାନ୍ତଲିଖ୍ତ କୋଣଦ୍ବୟ ସର୍ବସମ । ବିପରୀତ କ୍ରମେ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ଚାପର ବିପରୀତ ଚାପାନ୍ତଲିଖ କୋଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 2 : (i) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ କୌଣସି ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବସମ ।
(ii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ କୌଣସି ଚାପର ବିପରୀତ ଚାପାନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସର୍ବସମ ।

ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 3 : ଏକ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣ ସମକୋଣ ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 4 : କୌଣସି ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ୍ କୋଣ ଏକ ସମକୋଣ ହେଲେ ଚାପଟି ଏକ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତ ।

→ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡ, ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ ଏବଂ ବୃତ୍ତକଳା (Segment, angle inscribed in a segment and sector) :
ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡ (Segment) :
ବୃତ୍ତର ଏକ ଜ୍ୟା ଏବଂ ଜ୍ୟା ସହ ସଂପୃକ୍ତ କୌଣସି ଏକ ଚାପର ସଂଯୋଗରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ସେଟ୍‌କୁ ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡ କୁହାଯାଏ ।

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AXBA ଏକ ବୃହତ୍ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡ (Major segment) ଓ AYB ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡ (Minor segment) ।

→ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ (Angle inscribed in a segment) :
କୌଣସି ଚାପର ଏକ ଅନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣକୁ ସଂପୃକ୍ତ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ କୁହାଯାଏ । ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ABXA ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ ∠ADB ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ ।

ସେହିପରି ∠ACB ମଧ୍ୟ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୌଣ ।

• କୌଣସି ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ ସମସ୍ତ କୋଣ ସର୍ବସମ ।
• ଅଦ୍ଧି ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ ଏକ ସମକୋଣ ।

→ ବୃତ୍ତକଳା (Sector) :
ବୃତ୍ତର କୌଣସି ଏକ ଚାପ, ଚାପର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର ସହିତ ଯୋଗ କରୁଥିବା ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଦ୍ଵୟର ସଂଯୋଗରେ ବୃତ୍ତକଳା ଗଠିତ ହୁଏ । ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ OACB ଏକ ବୃତ୍ତକଳା ।

→ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ (Cyclic quadrilateral) :
ସଂଜ୍ଞା : ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିଦୁଗୁଡ଼ିକ ଏକ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେଉଥ୍ଲେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟିକୁ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।

ପାର୍ଶ୍ୱ ସ୍ଥ ଚିତ୍ର ରେ ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ ।

ପ୍ରମେୟ 2.7 :
ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡ ତା’ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କରୁଥିବା କୋଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ ବିନ୍ଦୁ ଚାରିଟି ଏକ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ରହିବେ ।
ଉପପାଦ୍ୟ 11 : ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ କୋଣମାନ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
ମନ୍ତବ୍ୟ : ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରନ୍ତି ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 1 : ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 2 : ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ତ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ 3 : ବୃତ୍ତାନ୍ତଲିଵତ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିପରୀତ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ।
ପ୍ରମେୟ 2.8 : ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ କୌଣମାନ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ହେଲେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ହେବ ।

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class History Notes Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 History Notes Chapter 8 ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଗଠନ

ବିଷୟଭିଭିକ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ:

→ ଉତ୍କଳ ସଭା :

• ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ ଗଠିତ ହେବା ପୂର୍ବରୁ ମଧୁସୂଦନ ଦାସ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ଗଠନ କରିଥିଲେ ।
  
• ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ମଧୁସୂଦନ ଦାସଙ୍କ ଉତ୍ସାହ ଓ ଉଦ୍ୟମରେ ୧୮୮୨ ମସିହା ଅଗଷ୍ଟ ୧୬ ତାରିଖରେ କଟକଠାରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା । ଏହା ଥିଲା ଓଡ଼ିଶାର ସର୍ବପ୍ରଥମ ସୁସଙ୍ଗଠିତ ରାଜନୀତିକ ଅନୁଷ୍ଠାନ ।
• ସ୍ଥାନୀୟ ସ୍ୱାୟତ୍ତ ଶାସନ ଅନୁଷ୍ଠାନ ସୃଷ୍ଟି କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବା ଓ ଜନକଲ୍ୟାଣ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରୋତ୍ସାହିତ କରିବା ଏହି ଅନୁଷ୍ଠାନର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ।
• ୧୮୮୬ ଡିସେମ୍ବର ୨୮ରେ କଲିକତାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ଦ୍ଵିତୀୟ ଅଧୂବେଶନରେ ମଧୁସୂଦନ ଦାସ, ଗୋଲୋକଚନ୍ଦ୍ର ବୋଷ, ହରିବଲ୍ଲଭ ବୋଷ ଓ କାଳିପଦ ବାନାର୍ଜୀ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ତରଫରୁ ପ୍ରତିନିଧ୍ୟ କରିଥିଲେ ।
• ଉତ୍କଳ ସଭାର କାର୍ଯ୍ୟ ପରିସର ସଂକୀର୍ଣ୍ଣ ଥିବାରୁ ମଧୁବାବୁ ଏକ ବୃହତ୍ତର ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠନ ପାଇଁ ଉଦ୍ୟମ କରିଥିଲେ । ବଙ୍ଗଳାର ବିଭିନ୍ନ ସମସ୍ୟା ସମାଧାନ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟରେ ସାର୍ ସୁରେନ୍ଦ୍ରନାଥ
• ବାନାର୍ଜୀଙ୍କ ନେତୃତ୍ଵରେ ଗଠିତ ‘ବଙ୍ଗ ଜାତୀୟ ସଭା’ ଏ ଦିଗରେ ତାଙ୍କୁ ଯଥେଷ୍ଟ ପ୍ରେରଣା ଦେଇଥିଲା ।
• ଉତ୍କଳ ସଭାର ପ୍ରଥମ ସଭାପତି ଥିଲେ ଚୌଧୁରୀ କାଶୀନାଥ ଦାସ ଓ ପ୍ରଥମ ସମ୍ପାଦକ ଥିଲେ, ଗୌରୀଶଙ୍କର ରାୟ ।

→ ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିତି :

• ୧୯୦୩ ମସିହା ଆରମ୍ଭରେ କେତେକ ଉତ୍ସାହୀ ଯୁବକ ଗଞ୍ଜାମ ଜିଲ୍ଲାର ରମ୍ଭାଠାରେ ଏକତ୍ର ହୋଇ ଖଲ୍ଲିକୋଟ ରାଜା ହରିହର ମର୍ଦ୍ଦରାଜ ଦେବଙ୍କ ପ୍ରେରଣାରେ ‘ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିତି’ ନାମକ ଏକ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠନ କରିଥିଲେ ।
• ଗଞ୍ଜାମ ଓ ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଦକ୍ଷିଣାଞ୍ଚଳ ଜିଲ୍ଲା ତଥା ଓଡ଼ିଶାର ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଅଞ୍ଚଳକୁ ଏକ ଶାସନାଧୀନରେ ରଞ୍ଝାପାଇଁ ଉଦ୍ୟମ କରିବା ଥିଲା ଏହାର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ।
• ଏହାର ପ୍ରଥମ ବୈଠକ ବ୍ରହ୍ମପୁରଠାରେ ୧୯୦୩ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ ମାସରେ ବସିଥିଲା ଯାହା ‘ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସଭା’ ନାମରେ ପରିଚିତ ।
• ଏହି ପ୍ରଥମ ବୈଠକରେ ଓଡ଼ିଶା, ବଙ୍ଗ, କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରଦେଶ ଓ ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ପ୍ରେସିଡ଼େନ୍ସିର ସମସ୍ତ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳରୁ ପ୍ରତିନିଧିମାନେ ବହୁସଂଖ୍ୟାରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
• ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସଭାରେ ଅଧ୍ୟକ୍ଷତା କରିଥିଲେ ଶ୍ୟାମସୁନ୍ଦର ରାଜଗୁରୁ ।
• ମଧୁସୂଦନ ଦାସ ନିମନ୍ତ୍ରିତ ହୋଇ କଟକରୁ ଏହି ସଭାରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
• ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସଭାର ସଫଳତା ମଧୁବାବୁଙ୍କୁ ସମଗ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପାଇଁ ଏକ ଜାତୀୟ ସଭା ଡକାଇବାକୁ ପ୍ରେରଣା ଦେଇଥିଲା । କନିକା ରାଜା ରାଜେନ୍ଦ୍ର ନାରାୟଣ ଭଞ୍ଜଦେଓ ଏ ଦିଗରେ ତାଙ୍କୁ ଉତ୍ସାହିତ କରିଥିଲେ ।
• ୧୯୦୩ ମସିହାରେ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ଅଶେନରେ ମଧୁସୂଦନ ଦାସ ଓ ଗୌରୀଶଙ୍କର ରାୟ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ । ମଧୁବାବୁଙ୍କର ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳକୁ ନେଇ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ପ୍ରସ୍ତାବକୁ ସେଠାରେ ଗୁରୁତ୍ଵ ଦିଆନଯିବାରୁ ମଧୁବାବୁ କଂଗ୍ରେସ ସହ ସମ୍ପର୍କ ଛିନ୍ନ କରିଥିଲେ ।

→ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ :

1. ୧୯୦୩ ମସିହାରେ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜାମାନଙ୍କର ବାର୍ଷକ ଅଧୁବେଶନରେ ମୟୂରଭଞ୍ଜର ରାଜା ଶ୍ରୀରାମଚନ୍ଦ୍ର ଭଞ୍ଜଦେଓ,ଖଲ୍ଲିକୋଟର ରାଜା ଓ କନିକାର ରାଜା ମଧୁସୂଦନଙ୍କ ବିଚାରଧାରାକୁ ଉଚ୍ଚ ପ୍ରଶଂସା କରିବା ସଙ୍ଗେ ସଙ୍ଗେ ସମର୍ଥନ ଜଣାଇଥ୍ଲୋ ।
   
2. ମଧୁବାବୁ ତାଙ୍କର ଏହି ପରିକଳ୍ପନାକୁ କାର୍ଯ୍ୟରେ ପରିଣତ କରିବାପାଇଁ ୧୯୦୩ ମସିହାରେ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ ଆନୁକୂଲ୍ୟରେ କଟକଠାରେ ଏକ ସଭା ଆହ୍ୱାନ କରିଥିଲେ ।
3. ଏହି ସଭାରେ ସମଗ୍ର ଓଡ଼ିଶା ତଥା ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳ ସମୂହର ଏକତ୍ରୀକରଣ ଦିଗରେ ଉଦ୍ୟମ କରିବାପାଇଁ ଏକ ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠନ କରାଯିବାପାଇଁ ନିଷ୍ପତ୍ତି ଗ୍ରହଣ କରାଗଲା ।
4. ଏହି ଜାତୀୟ ଅନୁଷ୍ଠାନର ନାମ ରଖାଗଲା ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ । ଏହିଦିନ ‘ଉତ୍କଳ ସଭା’ର ବିଲୋପ ଘଟିଥିଲା ।
5. ଏହି ବୈଠକରେ ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ର ପ୍ରଥମ ଅଧିବେଶନର ପ୍ରସ୍ତୁତି ସ୍ବରୂପ ଅଭ୍ୟର୍ଥନା କମିଟିର ଅଧ୍ୟକ୍ଷଭାବେ କନିକା ରାଜା ରାଜେନ୍ଦ୍ର ନାରାୟଣ ଭଞ୍ଜଦେଓ ଓ ସମ୍ପାଦକ ଭାବେ ମଧୁସୂଦନ ଦାସ କାର୍ଯ୍ୟନିର୍ବାହ କରିବା ପାଇଁ ସ୍ଥିର ହେଲା । ପାଇଁ ସ୍ଥିର ହେଲା ।

→ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଲକ୍ଷ୍ୟ:

• ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ ଏକ ଅଣରାଜନୀତିକ ସଂସ୍ଥାରୂପେ କାର୍ଯ୍ୟ ଆରମ୍ଭ କଲା ।
• ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ଥିଲା ଏହାର ମୁଖ୍ୟ ଲକ୍ଷ୍ୟ । ଏତଦ୍‌ବ୍ୟତୀତ ଏହାର ଅନ୍ୟ କେତେକ ଲକ୍ଷ୍ୟ ମଧ୍ୟ ଥିଲା । ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –
  (i) ପ୍ରାକୃତିକ ଓଡ଼ିଶାର ଏକତ୍ରୀକରଣ ।
  (ii) ଓଡ଼ିଶାର ସମୁଦାୟ ବିକାଶ ।
  (iii) ସମସ୍ତ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ଶାସନାଧୀନ କରିବା ।
  (iv) ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳରେ ଓଡ଼ିଆମାନଙ୍କ ସ୍ବାର୍ଥର ସୁରକ୍ଷା ।
• ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ମୋଟ ୧୬ଟି ଅଧୂବେଶନ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକଟି ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳର ଏକତ୍ରୀକରଣ ନିମନ୍ତେ ସରକାରଙ୍କ ନିକଟରେ ଦାବି କରାଯାଇଥିଲା ।

→ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନ :

• ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ର ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନ ୧୯୦୩ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୩୦ ଓ ୩୧ ତାରିଖରେ କଟକଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହି ଅଧୂବେଶନରେ ମାନ୍ଦ୍ରାଜ, କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରଦେଶ ଏବଂ ବଙ୍ଗଳାର ଓଡ଼ିଆ ପ୍ରତିନିଧୂମାନେ ତଥା ସେହି ଅଞ୍ଚଳର ତିରିଶ ଜଣ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜା ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
• ଓଡ଼ିଶାର ଖଲ୍ଲିକୋଟ, କନିକା, ମୟୂରଭଞ୍ଜ, ଢେଙ୍କାନାଳ, କେନ୍ଦୁଝର, ଆଠଗଡ଼ ଏବଂ ତାଳଚେରର ରାଜାମାନେ ଏହି ଅଧୂବେଶନରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
• ଏହାଛଡ଼ା ଓଡ଼ିଶାର ବିଭିନ୍ନ ଅଞ୍ଚଳରୁ ଅନେକ ଜମିଦାର, ସରକାରୀ କର୍ମଚାରୀ, ଆଇନଜୀବୀ, ବ୍ୟବସାୟୀ ଓ ଛାତ୍ରମାନେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
• ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ର ପ୍ରଥମ ଅଧୂବେଶନରେ ସଭାପତିତ୍ୱ କରିଥିଲେ ମୟୂରଭଞ୍ଜର ରାଜା ଶ୍ରୀରାମଚନ୍ଦ୍ର ଭଞ୍ଜ ।
• ଏହି ଅଧ୍ଵବେଶନର ସମସ୍ତ କାର୍ଯ୍ୟ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାରେ ପରିଚାଳିତ ହୋଇଥିଲା ।
• କୋଲ୍‌କତାର ‘ଅମୃତବଜାର ପତ୍ରିକା’ର ସମ୍ପାଦକ ମୋତିଲାଲ ଘୋଷ ଏହି ଅଧୁବେଶନରେ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।

• ଏହି ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ଵବେଶନରେ ଓଡ଼ିଶାର କଳା ଓ ସାହିତ୍ୟର ଉନ୍ନତି ସମ୍ପର୍କିତ ଏକ ପ୍ରସ୍ତାବ ଗୃହୀତ ହୋଇଥିଲା ଏବଂ ରିସ୍‌ ସର୍କୁଲାରକୁ ଅନୁମୋଦନ କରାଯାଇଥିଲା ।
• ଭାଇସରାୟ ଲର୍ଡ କର୍ଜନଙ୍କ ସରକାରରେ ଗୃହ ସଚିବ ହେନେରୀ ରିସ୍‌ଲେଙ୍କ ପ୍ରସ୍ତାବ ସମ୍ବଳିତ ଦଲିଲ୍ ରିସ୍‌ଲେ ସର୍କୁଲାରରେ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ସମ୍ବଲପୁର ଓ ଏହାର ଗଡ଼ଜାତ ଅଞ୍ଚଳ, ଗଞ୍ଜାମ ଜିଲ୍ଲା ଏବଂ ଗଞ୍ଜାମ ଓ ବିଶାଖାପାଟଣା ଏଜେନ୍ସି ଅଞ୍ଚଳକୁ ଓଡ଼ିଶା ଡିଭିଜନରେ ମିଶାଇ ବଙ୍ଗଳା ଶାସନ ଅଧୀନରେ ରଖିବାକୁ ପ୍ରସ୍ତାବ ଦିଆଯାଇଥିଲା ।
• ଏହି ସମ୍ମିଳନୀରେ ମଧୁବାବୁ ଓଡ଼ିଆ ଭାଇମାନଙ୍କୁ ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ମହାସିନ୍ଧୁରେ ନିଜର ପ୍ରାଣବିନ୍ଦୁକୁ ମିଶାଇ ଦେବାପାଇଁ’ ଆହ୍ଵାନ ଦେଇଥିଲେ ।
• ନିଜର ଆତ୍ମଗର୍ବ ଓ ସ୍ଵାର୍ଥପରତାକୁ ତ୍ୟାଗକରି ମାତୃଭୂମିର ସେବାରେ ବ୍ରତୀ ହେବାକୁ ଉତ୍କଳୀୟମାନଙ୍କୁ ସେ ଆହ୍ବାନ ଦେଇଥିଲେ ।
• ଏହି ଅଧୂବେଶନରେ ଯୋଗ ଦେଇଥ‌ିବା ସମସ୍ତ ପ୍ରତିନିଧିଙ୍କୁ ମଧୁବାବୁଙ୍କ କଳ୍ପନାପ୍ରସୂତ ଗୋଲାପି ରଙ୍ଗ ସିଲ୍କ କନାର ଭାରତୀୟ ପଗଡ଼ି ପିନ୍ଧିବାକୁ ବାଧ୍ୟ କରାଯାଇଥିଲା ଓ ‘ବନ୍ଦେ ଉତ୍କଳ ଜନନୀ’ ସ୍ଲୋଗାନ୍ ଦିଆଯାଇଥିଲା ।
• ମୟୂରଭଞ୍ଜର ମହାରାଜା ଶ୍ରୀରାମଚନ୍ଦ୍ର ଭଞ୍ଜ ସମବେତ ଜନତାକୁ ‘ପ୍ରିୟ ଭାଇମାନେ’ ବୋଲି ସମ୍ବୋଧନ କରି ଇତିହାସ ସୃଷ୍ଟି କରିଥିଲେ ।

→ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଅଧୂବେଶନ :

1. ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନ ପରଠାରୁ ମଧୁସୂଦନ ଦାସଙ୍କ ନେତୃତ୍ଵରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ବାର୍ଷିକ ଅବେଶନ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ସ୍ଥାନରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇ ଓଡ଼ିଆ ଆନ୍ଦୋଳନକୁ ସକ୍ରିୟ କରିଥିଲା ।
2. ଏହାର ଅଷ୍ଟମ ଅଧ୍ଵବେଶନ ୧୯୧୨ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ ୬ ଓ ୭ ତାରିଖରେ ବ୍ରହ୍ମପୁରଠାରେ ବସିଥିଲା । ଏହି ଅଧିବେଶନରେ ମଧୁବାବୁ ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନକୁ ବିରୋଧ କରିଥିଲେ ।
3. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଦଶମ ଅଧ‌ିବେଶନ ୧୯୧୪ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୨୬ ଓ ୨୭ ତାରିଖରେ ପାରଳାଖେମୁଣ୍ଡିଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା । ଜୟପୁରର ମହାରାଜା ବିକ୍ରମଦେବ ବର୍ମା ଏଥ‌ିରେ ଅଧ୍ୟକ୍ଷତା କରିଥିଲେ । ଏହି ସମ୍ମିଳନୀର ମୁଖ୍ୟ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍ଗ ଓଡ଼ିଶା ଗଠନ ପାଇଁ ସୀମା
4. 4. ୧୯୧୭ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୧୧ ତାରିଖରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ତରଫରୁ ମଧୁବାବୁଙ୍କ ନେତୃତ୍ୱରେ ମଣ୍ଟେଗୁ—ଚେମସଫୋର୍ଡ଼ଙ୍କୁ କୋଲକତାଠାରେ ଏକ ଦାବିପତ୍ର ଦିଆଯାଇଥିଲା ।
5. ମଣ୍ଟେଗୁ-ଚେମସ୍କୋର୍ଡ଼ ଖସଡ଼ାରେ ଓଡ଼ିଶା ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳ ଏକତ୍ରୀକରଣ ପାଇଁ କୌଣସି ଯୋଜନା ନ ଥିବାର ୧୯୧୮ ଡିସେମ୍ବରରେ କଟକରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଅଧ‌ିବେଶନରେ ତାହାର ଦୃଢ଼ ନିନ୍ଦା କରାଯାଇଥିଲା ।
6. ୧୯୨୦ ମସିହାରେ ମହାତ୍ମା ଗାନ୍ଧିଙ୍କ ଆହ୍ଵାନକ୍ରମେ ୧୯୨୧ ମସିହାରୁ ସାରା ଭାରତରେ ବ୍ରିଟିଶ୍ ସରକାରଙ୍କ ବିରୋଧରେ ଅସହଯୋଗ ଆନ୍ଦୋଳନ ଜୋରସୋରରେ ଚାଲିଲା । ଓଡ଼ିଶାର ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳସମୂହର ମିଶ୍ରଣ ଓ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ଉତ୍କଳ ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ଅସହଯୋଗ ଆନ୍ଦୋଳନଦ୍ୱାରା ହୋଇପାରିବ ବୋଲି ଗୋପବନ୍ଧୁ ଦାସ ପ୍ରମୁଖ କଂଗ୍ରେସ ନେତାମାନେ ଭାବିଲେ ।
7. ୧୯୨୦ ମସିହାରେ ସିଂହଭୂମି ଜିଲ୍ଲାର ଚକ୍ରଧରପୁରଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧୂବେଶନ କଂଗ୍ରେସର ଲକ୍ଷ୍ୟ ଓ ଆଦର୍ଶକୁ ଗ୍ରହଣ କରିନେଲା । ଏହା ଫଳରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ଏକ ପ୍ରକାର କଂଗ୍ରେସ ସହିତ ମିଶିଗଲା ଓ ଏହାର ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ସତ୍ତା ଲୋପପାଇଲା ।
8. ମଧୁବାବୁ ଅସହଯୋଗ ଆନ୍ଦୋଳନର ବିରୋଧୀ ଥିଲେ, ତେଣୁ ସେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ସହ ସମସ୍ତ ସମ୍ପର୍କ ତୁଟାଇଦେଲେ ।
9. କଂଗ୍ରେସ ସହ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ମିଶ୍ରଣକୁ ବିରୋଧ କରୁଥିବା ନେତାମାନେ ୧୯୨୪ ମସିହାରେ ଉତ୍କଳ
10. ୧୯୨୫ ମସିହାରେ କଟକରେ କଳ୍ପତରୁ ଦାସଙ୍କ ସଭାପତିତ୍ବରେ ଏହାର ଅଧିବେଶନ ବସିଥିଲା ।
11. ଏହାପରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ତରଫରୁ ବିଭିନ୍ନ ଶାସନ ସଂସ୍କାର କମିଟିମାନଙ୍କୁ ସ୍ମାରକପତ୍ରମାନ ଦିଆଯାଇଥିଲା ।
12. ଆଧୁନିକ ଉତ୍କଳ ନିର୍ମାଣରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଭୂମିକା ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ ଥିଲା । କିନ୍ତୁ ଦୁଃଖର କଥା ଓଡ଼ିଶା ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ପ୍ରଦେଶ ହେବା ଆଗରୁ ମଧୁବାବୁ ୧୯୩୪ ମସିହା ଫେବୃୟାରୀ ୪ ତାରିଖରେ ପ୍ରାଣତ୍ୟାଗ କରିଥିଲେ ।
13. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଶେଷ ବୈଠକ କଟକଠାରେ ୧୯୩୫ ମସିହା ଫେବୃୟାରୀ ୧୧ ତାରିଖରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
14. ଓଡ଼ିଶା ବହୁ ଘାତପ୍ରତିଘାତ ମଧ୍ଯରେ ଗତିକରି ଶେଷରେ ୧୯୩୬ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ୍ ୧ ତାରିଖରୁ ଏକ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ପ୍ରଦେଶ ଭାବେ ଗଠିତ ହେଲା ଏବଂ ମଧୁବାବୁଙ୍କ ସ୍ଵପ୍ନ ସାକାର ହେଲା ।

ଐତିହାସିକ ଘଟଣାବଳୀ ଓ ସମୟ:

୧୮୮୨ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଅଗଷ୍ଟ ୧୬) ଉତ୍କଳ ସଭା ଗଠନ ।
୧୮୮୬ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଡିସେମ୍ବର ୨୮) କୋଲକତାଠାରେ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ଦ୍ଵିତୀୟ ଅଧ୍ବବେଶନ ଅନୁଷ୍ଠିତ ।
୧୯୦୩ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଗଞ୍ଜାମ ଜାତୀୟ ସମିତି ଗଠନ ଓ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ଅଧିବେଶନ ଅନୁଷ୍ଠିତ ।
୧୯୦୩ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଗଡ଼ଜାତ ରାଜାମାନଙ୍କର ବାର୍ଷିକ ଅଧ୍ବବେଶନ ଅନୁଷ୍ଠିତ ।
୧୯୦୩ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଡିସେମ୍ବର ୩୦, ୩୧) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପ୍ରଥମ ଅବେଶନ ଅନୁଷ୍ଠିତ ।
୧୯୧୨ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଏପ୍ରିଲ୍ ୬ ଓ ୭) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ବ୍ରହ୍ମପୁରଠାରେ ଅଷ୍ଟମ ଅଧିବେଶନ ଅନୁଷ୍ଠିତ ।
୧୯୧୪ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଡିସେମ୍ବର ୨୬, ୨୭) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ପାରଳାଖେମୁଣ୍ଡିଠାରେ ଦଶମ ଅଧ୍ଵବେଶନ ଅନୁଷ୍ଠିତ ।
୧୯୧୭ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଡିସେମ୍ବର ୧୧) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ତରଫରୁ ମଧୁବାବୁଙ୍କ ନେତୃତ୍ୱରେ ମଣ୍ଟେଗୁ-ଚେମସ୍‌ଫୋର୍ଡ଼ଙ୍କୁ କୋଲକତାଠାରେ ଏକ ଦାବିପତ୍ର ପ୍ରଦାନ ।
୧୯୨୦ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ମହାତ୍ମା ଗାନ୍ଧିଙ୍କ ଅସହଯୋଗ ଆନ୍ଦୋଳନ ଡାକରା ।
୧୯୨୦ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧୂବେଶନ ଚକ୍ରଧରପୁରଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ।
୧୯୨୪ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ପୁନର୍ବାର ସଙ୍ଗଠିତ ।
୧୯୨୫ ଖ୍ରୀ.ଅ. – କଟକରେ କଳ୍ପତରୁ ଦାସଙ୍କ ସଭାପତିତ୍ୱରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ବୈଠକ ଅନୁଷ୍ଠିତ ।
୧୯୩୪ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଫେବୃୟାରୀ ୪) ମଧୁବାବୁଙ୍କର ପ୍ରାଣତ୍ୟାଗ ।
୧୯୩୫ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଫେବୃୟାରୀ ୧୧) ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଶେଷ ବୈଠକ ଅନୁଷ୍ଠିତ ।
୧୯୩୬ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଏପ୍ରିଲ୍ ୧) ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ।