BSE Odisha 8th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 8 Maths Notes Algebra Chapter 2 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

→ ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction):
→ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ବା ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Natural Numbers) :
(i) ଆମ ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନ ଓ ଜୀବିକାରେ ପ୍ରଥମେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାସମୂହ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଥିଲା, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ବା ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା କହନ୍ତି ।
(ii) ଏହି ସଂଖ୍ୟାସମୂହକୁ N ସେଟ୍‌ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ ।
N = {1,2,3,4,5,6, …}

→ ସମ୍ପ୍ରସାରିତ ସ୍ବାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Extended Natural Numbers) :
(i) ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ସହ 0 କୁ ନେଇ ଗଠିତ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌କୁ ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ବାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ କହନ୍ତି ।
(ii) ଏହି ସଂଖ୍ୟାସମୂହକୁ ସାମଗ୍ରୀକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ (Whole number set) N* ବା W (Extended natural number set) ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ ।
N* = {0, 1, 2, 3, 4 …}

→ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା (Integers) :
(i) 0 ଏକମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା, ଯାହା ଧନାତ୍ମକ ନୁହେଁ କି ଋଣାତ୍ମକ ନୁହେଁ ।

(ii) ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା, ଶୂନ ଓ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ସମୂହକୁ Z ସେଟ୍‌ଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ।
Z = {… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

• Z ସେଟ୍ ଏକ ଅସୀମ ସେଟ୍ । N ସେଟ୍ Z ସେଟ୍‌ ଏକ ଉପସେଟ୍‌ ।

(iii) ଅଣ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (Non-positive Integers) ସେଟ୍ = {… – 5, – 4, – 3, -2, -1, 0}
ଏବଂ ଅଣ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (Non-Negative Integers) ବା ସମ୍ପ୍ରସାରିତ ସ୍ବାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା 696= {0, 1, 2, 3, …} ପ୍ରତ୍ୟେକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ର ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଉପସେଟ୍ ।
N ⊂ N* ⊂ Z

→ ସଂଖ୍ୟାରେଖା (Number line) :
ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଇପାରେ ।

(i) ଏକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରି ଏହାର ଯେ କୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁକୁ O ନାମରେ ନାମିତ କରାଯାଉ ।
(ii) O ବିନ୍ଦୁର ଡାହାଣକୁ A, B, C, D …….. ବିନ୍ଦୁମାନ ଚିହ୍ନଟ କର, ଯାହା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା 1, 2, 3, 4 ………. ମାନଙ୍କ ପ୍ରତୀକ ହେବ ।
(iii) O ବିନ୍ଦୁର ବାମପାର୍ଶ୍ବରେ A’, B’, C’, D’ ବିନ୍ଦୁମାନ ଚିହ୍ନଟ କର, ଯାହା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା -1, -2, -3, -4 ….. ମାନଙ୍କ ପ୍ରତୀକ ହେବ ।
(iv) ଏହି ପ୍ରକାରରେ Z ସେଟ୍‌ର ସମସ୍ତ ଉପାଦାନ ପାଇଁ ବିନ୍ଦୁମାନ ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଇପାରିବ । ଉକ୍ତ ସରଳରେଖାକୁ ସଂଖ୍ୟାରେଖା (Number line) କୁହାଯାଏ । ଉକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରେଖାକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ସୂଚକ ରେଖାଚିତ୍ର ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ ।

ସଂଖ୍ୟାରେଖାର ଧର୍ମ :

• ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ଥ‌ିବା ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁଟି ଡାହାଣରେ ଅବସ୍ଥିତ ତାର ସୂଚକ ସଂଖ୍ୟାଟି ଅନ୍ୟ ବିନ୍ଦୁର ସୂଚକ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ ବଡ଼ ।
• ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ, ରେଖାଚିତ୍ରର ଏହାର ବାମକୁ ଥ‌ିବା ଉପାଦାନ ଅପେକ୍ଷା ବଡ଼ ।

→ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Rational Number) :
(i) ଯଦି p ଓ q ଦୁଇଟି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଓ q ≠ 0; ତେବେ p ÷ q ବା \(\frac{p}{q}\) କୁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କହନ୍ତି ।
(ii) ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍‌କୁ Q ସଙ୍କେତଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ ।
(iii) Q ଏକ ଅସୀମ ସେଟ୍ ଏବଂ N ⊂ Z ⊂ Q ।
(iv) 0 ମଧ୍ଯ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।

• \(\frac{p}{q}\)ରେ q = 0 ହେଲେ, \(\frac{p}{q}\)

→ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଧର୍ମ (Properties of Rational numbers) :
ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ (Closure Law):
ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Natural Numbers) ଏବଂ ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Extended Natural Numbers):

ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (Integers) :

(iii) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Rational Numbers) :
(a) ଯୋଗକ୍ରିୟା :
ମନେକର \(\frac{2}{5}\) ∈ Q ଓ \(\frac{3}{7}\) ∈ Q
\(\frac{2}{5}+\frac{3}{7}=\frac{2 \times 7+5 \times 3}{5 \times 7}=\frac{14+15}{35}=\frac{29}{35}\) (∵ \(\frac{29}{35}\) ∈ Q)
a ∈ Q, b ∈ Q ⇒ a + b ∈ Q
ଅର୍ଥାତ୍ ଯୋଗକ୍ରିୟା ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ଯୋଗକ୍ରିୟା ନିୟମ ପାଳନ କରେ ।

(b) ବିୟୋଗକ୍ରିୟା :
ମନେକର \(\frac{2}{3}\) ∈ Q ଓ \(\frac{3}{7}\) ∈ Q
ବର୍ତ୍ତମାନ \(\frac{2}{3}-\frac{4}{7}=\frac{2 \times 7-4 \times 3}{3 \times 7}=\frac{14-12}{21}=\frac{2}{21}\) ଏଠାରେ \(\frac{2}{21}\) ∈ Q
ସେହିପରି ମନେକର \(– \frac{2}{3}\) ∈ Q ଓ \(– \frac{1}{2}\) ∈ Q
\(\left(-\frac{2}{3}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{-2 \times 2+1 \times 3}{3 \times 2}=\frac{-4+3}{6}=-\frac{1}{6},-\frac{1}{6}\) ∈ Q
a ∈ Q, b ∈ Q ⇒ a – b ∈ Q
ଅର୍ଥାତ୍ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ବିୟୋଗକ୍ରିୟା ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ ।

(c) ଗୁଣନକ୍ରିୟା :
ମନେକର \(– \frac{7}{8}\) ∈ Q ଓ \(– \frac{5}{6}\) ∈ Q
∴ \(\left(-\frac{7}{8}\right) \times\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{+35}{48} \in \mathrm{Q}\)
ସେହିପରି \(\frac{4}{5}\) ∈ Q ଓ 0 ∈ Q ହେଲେ, \(\frac{4}{5}\) × 0 = 0 ∈ Q
ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅର୍ଥାତ୍ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ଗୁଣନକ୍ରିୟା
a ∈ Q, b ∈ Q ⇒ a × b ∈ Q

(d) ଭାଗକ୍ରିୟା :
ମନେକର \(– \frac{2}{3}\) ∈ Q ଓ \(\frac{4}{9}\) ∈ Q
∴ \(-\frac{2}{3} \div \frac{4}{9}=-\frac{2}{3} \times \frac{9}{4}=-\frac{3}{2} \in Q\)
ସେହିପରି \(-\frac{3}{8} \div-\frac{2}{9}=-\frac{3}{8} \times \frac{-9}{2}=\frac{27}{16}\) ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

କିନ୍ତୁ \(– \frac{5}{7}\) ଓ 0 ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, \(– \frac{5}{7}\) ÷ 0 ନିରର୍ଥକ ।

ଯେ କୌଣସି ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା a ପାଇଁ a ÷ 0 ନିରର୍ଥକ । ତେଣୁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ଭାଗକ୍ରିୟା ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ ନାହିଁ । ଶୂନ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ଭାଗକ୍ରିୟା ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ ।

ନିଜେ କର :
ଦତ୍ତ ସେଗୁଡ଼ିକ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ କି ନାହିଁ (ହଁ ନାହିଁ) ମାଧ୍ୟମରେ ଦତ୍ତ ସାରଣୀର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକୁ ପୂରଣ କର ।

ଡ –

→ କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ (Commutative Law):
(i) ସ୍ବାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା :

(ii) ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା :

(iii) ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା :

(iv) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା :
(a) ଯୋଗକ୍ରିୟା :
ମନେକର \(– \frac{1}{7}\) ଓ \(\frac{1}{5}\) ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।
∴ \(-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}=\frac{-5+7}{35}=\frac{2}{35}\)
\(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7-5}{35}=\frac{2}{35}\) ତେଣୁ \(-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\)
ଅର୍ଥାତ୍ a ଓ b ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ a + b = b + a
ଅର୍ଥାତ୍ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରରେ ଯୋଗକ୍ରିୟା କ୍ରମବିନିମୟୀ ।

(b) ବିୟୋଗକ୍ରିୟା :
\(\frac{2}{5}-\frac{4}{7}=\frac{14-20}{35}=\frac{-6}{35}, \frac{4}{7}-\frac{2}{5}=\frac{20-14}{35}=\frac{6}{35}\)
ଅର୍ଥାତ୍ \(\frac{2}{5}-\frac{4}{7} \neq \frac{4}{7}-\frac{2}{5}\)
a ଓ b ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ a – b ≠ b – a
ଅର୍ଥାତ୍ ବିୟୋଗକ୍ରିୟା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାକ୍ଷେତ୍ରରେ କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ ନାହିଁ ।

(c) ଗୁଣନକ୍ରିୟା :
\(\left(-\frac{5}{7}\right) \times \frac{2}{3}=\frac{-10}{21},\left(\frac{2}{3}\right) \times\left(\frac{-5}{7}\right)=\frac{-10}{21}\) ଅର୍ଥାତ୍ \(\left(\frac{-5}{7}\right) \times \frac{2}{3}=\frac{2}{3} \times\left(-\frac{5}{7}\right)\)
ତେଣୁ ଗୁଣନକ୍ରିୟା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରରେ କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ ।
ଅର୍ଥାତ୍‌ a ଓ b ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ a × b = b × a ବା ab = ba

(d) ଭାଗକ୍ରିୟା :
\(\left(-\frac{5}{4}\right) \div\left(-\frac{3}{7}\right)=-\frac{5}{4} \times\left(\frac{-7}{3}\right)=\frac{35}{12},\left(-\frac{3}{7}\right) \div\left(-\frac{5}{4}\right)=-\frac{3}{7} \times \frac{-4}{5}=\frac{12}{35}\)
ଅର୍ଥାତ୍ \(\left(-\frac{5}{4}\right) \div\left(-\frac{3}{7}\right) \neq\left(-\frac{3}{7}\right) \div\left(-\frac{5}{4}\right)\)
ଯେ କୌଣସି ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ଅଣଶୂନ୍ୟ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା a ଓ b ପାଇଁ a ÷ b ≠ b ÷ a
ଅର୍ଥାତ୍ ଭାଗକ୍ରିୟା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରରେ କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ ନାହିଁ ।

ନିଜେ କର :
ଦତ୍ତ ସେଗୁଡ଼ିକ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ କି ନାହିଁ (ହଁ / ନାହିଁ) ମାଧ୍ୟମରେ ଦତ୍ତ ସାରଣୀର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର।

ତ୍ତ –

→ ସହଯୋଗୀ ନିୟମ (Associative Law) :

(i) ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା : ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାରେ ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀରେ ପଢ଼ିଥ‌ିବା ସହଯୋଗୀ ନିୟମକୁ ମନେପକାଇବା ।

(ii) ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା : ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାରେ ସହଯୋଗ ନିୟମକୁ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଦିଆଗଲା ।

(iii) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା :
(a) ଯୋଗକ୍ରିୟା :

ତେଣୁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ଯୋଗକ୍ରିୟା ସହଯୋଗୀ ଅର୍ଥାତ୍ a, b, c ∈ Q ହେଲେ a + (b + c) = (a + b) + c

(b) ବିୟୋଗକ୍ରିୟା :

ଅର୍ଥାତ୍ ବିୟୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାରେ ସହଯୋଗୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ ନାହିଁ ।

(c) ଗୁଣନକ୍ରିୟା :

ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୁଣନକ୍ରିୟା ସହଯୋଗୀ । ଅର୍ଥାତ୍ a,b,c ∈ Q ପାଇଁ a × (b × c) = ( a × b) × c

(d) ଭାଗକ୍ରିୟା :

a ÷ (b ÷ c) + (a ÷ b) ÷ c ଅର୍ଥାତ୍ ଭାଗକ୍ରିୟା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାରେ ସହଯୋଗୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ ନାହିଁ ।

ନିଜେ କର :
ଦତ୍ତ ସେଗୁଡ଼ିକ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ସହଯୋଗୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ କି ନାହିଁ (ହଁ / ନାହିଁ) ମାଧ୍ୟମରେ ଦତ୍ତ ସାରଣୀର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର।

ତ୍ତ –

→ ଶୂନର ତାତ୍ପର୍ଯ୍ୟ :
5 + 0 = 0 + 5 = 5, (-5) + 0 = 0 + (-5)= -5
\(\left(-\frac{3}{5}\right)+0=0+\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{3}{5}\)
-a ଏକ ପୂର୍ଣସଂଖ୍ୟା ହେଲେ a + 0 = 0 + a = a
x ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ x + 0 = 0 + x = x

• ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରରେ (Q ସେଟ୍‌ରେ) 0 (ଶୂନ)କୁ ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ ବୋଲି କୁହାଯାଏ ।

→ ସଂଖ୍ୟା 1 ର ତାତ୍ପର୍ଯ୍ୟ :
7 × 1 = 1 × 7 = 7, (-5) × 1 = 1 × (-5) = -5
\(\left(-\frac{3}{8}\right)×1=1×\left(-\frac{3}{8}\right)=-\frac{3}{8}\)
ଯେକୌଣସି ଗଣନସଂଖ୍ୟା, ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ବା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ 1 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି ମିଳିଥାଏ ।
ଅର୍ଥାତ୍ x ∈ Q ହେଲେ, 1 × x = x × 1 = x

• 1 କୁ କ୍ଷେତ୍ରରେ (Q ସେଟ୍‌ରେ) ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ ବୋଲି କୁହାଯାଏ ।

→ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ (Additive Inverse of a Number) :
(-3) + 3 = 3+ (-3) = 0, (-4) + 4 = 4+ (-4) = 0
∴ a ଏକ ପୂର୍ଣସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, a + (- a) = (- a) + a = 0 ହେବ ।
ଏଠାରେ a ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ -a ଓ a ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ + a ।
ସେହିପରି ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, \(\left(\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{-a}{b}\right)=\left(\frac{-a}{b}\right)+\frac{a}{b}=0\)
ଅର୍ଥାତ୍ \(\frac{a}{b}\) ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ –\(\frac{a}{b}\) ଓ –\(\frac{a}{b}\) ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ \(\frac{a}{b}\) ।
ଯେ କୌଣସି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା x ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ -x ଅଟେ ।
ଅର୍ଥାତ୍ x + (-x) = (- x ) + x = 0

→ ବ୍ୟତ୍‌କ୍ରମ : (Reciprocal of a Number) :
\(\frac{5}{13}\) କୁ \(\frac{13}{5}\) ସହ ଗୁଣନକଲେ ଗୁଣଫଳ 1 ହେବ ।
ଏଠାରେ \(\frac{13}{5}\) ସଂଖ୍ୟାଟି \(\frac{5}{13}\) ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟତିକ୍ରମ (Inverse) । ସେହିପରି \(\frac{-2}{5}\)ର ବ୍ୟତ୍‌କ୍ରମ \(\frac{-5}{2}\) (ବା \(\frac{5}{-2}\)) ।
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟକ୍ରମକୁ ତା’ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ବୋଲି କୁହାଯାଏ ।
\(\frac{a}{b}\)ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ \(\frac{c}{d}\) ହେଲେ, (b ≠ 0 ଓ d ≠ 0) \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=1\)
ଯଦି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା x ≠ 0 ହୁଏ; ତେବେ xର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ \(\frac{1}{x}\) ଓ \(\frac{1}{x}\) ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ x ହେବ ।

• 0 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ନାହିଁ ।

→ ବଣ୍ଟନ ନିୟମ (Distributive Law):

a, b, c ତିନୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, a(b + c) = a × b + a × c । ଏହି ନିୟମକୁ ବଣ୍ଟନ ନିୟମ କହନ୍ତି ।

→ ବିଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ସମ୍ପର୍କ ।

N – ଗଣନ ବା ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ।
N* – ସମ୍ପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍
Z – ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍
Q – ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ହେଲେ

• N ⊂ N* ⊂ Z ⊂ Q

→ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା :
ସଂଖ୍ୟାରେଖାର ଧନାତ୍ମକ ଦିଗରେ ଧନାତ୍ମକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଓ ରଣାମ୍କ ଦିଗରେ ରଣାମକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବିନ୍ଦୁଭାବେ ଚିହ୍ନଟ କରାଯାଏ ।

ଉଦାହରଣ – 1:
ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ \(\frac{2}{3}\) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ସୂଚାଅ ।
ସମାଧାନ :
\(\frac{2}{3}\) ର ଅର୍ଥ 3 ସମାନ ଭାଗରୁ 2 ଭାଗ । 0 < \(\frac{2}{3}\) < 1
ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ଧନାତ୍ମକ ଦିଗରେ 0 ଓ 1 ର ସୂଚକ ବିଦୁ୍ୟଦ୍ବୟ ଦ୍ବାରା ନିରୂପିତ ରେଖାଖଣ୍ଡ \(\overrightarrow{OA}\) ଉପରେ ସଂଖ୍ୟାଟିର ସୂଚକବିନ୍ଦୁଟି ଅବସ୍ଥିତ ।

\(\overrightarrow{OA}\) କୁ ସମାନ ତିନିଭାଗ କଲେ ଆମେ P, Q ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ପାଇବା । \(\overline{\mathrm{OP}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{QA}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ପ୍ରଥମ, ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟ ଭାଗ । ବର୍ତ୍ତମାନ ଠQ ବିନ୍ଦୁଟି \(\frac{2}{3}\) ସଂଖ୍ୟାଟିର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ।

ଉଦାହରଣ – 2:
\(\frac{2}{3}\) ଓ \(\frac{3}{4}\) ମଧ୍ୟରେ କେଉଁଟି ବଡ଼ ।
ସମାଧାନ :
3 ଓ 4 ର ଲ.ସା.ଗୁ. = 12
\(\frac{2}{3}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{8}{12}, \frac{3}{4}=\frac{3 \times 3}{4 \times 3}=\frac{9}{12}\)
9 > 8 ହେତୁ \(\frac{9}{12}\) > \(\frac{8}{12}\) ଅର୍ଥାତ୍ \(\frac{3}{4}\) > \(\frac{2}{3}\)

→ ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା :
(i) ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ରହିଛି ।
(ii) ସେହିପରି ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ରହିଛି । 4 ଓ 6 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା 5 ଅଛି । ସେହିପରି 20 ଓ 30 ଦୁଇଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 ଓ 2 । କିନ୍ତୁ 4 ଓ 5 ମଧ୍ୟରେ ଆଦୌ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ ।
(iii)

• ଦୁଇଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଅସଂଖ୍ୟ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ବିଦ୍ୟମାନ ।
• ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ରହି ନ ପାରେ ମାତ୍ର ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ରହିବା ସୁନିଶ୍ଚିତ।

ଉଦାହରଣ – 3:
– 1 ଓ 0 ମଧ୍ୟରେ 5ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ।
ସମାଧାନ :
-1 = \(\frac{-10}{10}\) ଓ 0 = \(\frac{10}{10}\)
\(\frac{-10}{10}\) ଓ \(\frac{10}{10}\) ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡ଼ିକ ହେଲା
\(-\frac{9}{10},-\frac{8}{10}, \frac{-7}{10}, \frac{-6}{10}, \frac{-5}{10}, \frac{-4}{10}, \frac{-3}{10}, \frac{-2}{10}, \frac{-1}{10}\)
ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଯେ କୌଣସି 5 ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନେଇ ଉତ୍ତରଟି ଲେଖାଯାଇପାରେ
ଯଥା : \(\frac{-9}{10}<\frac{-8}{10}<\frac{-6}{10}<\frac{-4}{10}<\frac{-2}{10}\) ।

ଉଦାହରଣ – 4:
\(– \frac{1}{2}\) ଓ \(\frac{1}{2}\) ମଧ୍ୟରେ 12ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
\(– \frac{1}{2}=- \frac{10}{20}\) ଓ \(\frac{1}{2}=\frac{10}{20}\)
ବର୍ତ୍ତମାନ \(\frac{-10}{20}\) ଓ \(\frac{10}{20}\) ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ
\(-\frac{9}{20},-\frac{8}{20}, \frac{-7}{20}, \frac{-6}{20}, \frac{-5}{20}, \frac{-4}{20}, \frac{-3}{20}, \frac{-2}{20}, \frac{-1}{20},0,\frac{1}{20}\) ……….. \(\frac{9}{20}\)
ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେ କୌଣସି 12 ଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାନେଇ ଉତ୍ତର ଲେଖାଯାଇପାରିବ ।

• a ଓ b ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, \(\frac{a+b}{2}\), a ଓ bର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । a < b ହେଲେ, a < \(\frac{a+b}{2}\) < b ହେବ ।

ଉଦାହରଣ – 5:
\(\frac{1}{2}\) ଓ \(\frac{1}{3}\) ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
\(\frac{1}{2}\) ଓ \(\frac{1}{3}\) ମଧ୍ୟରେ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା = \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{3+2}{6}=\frac{5}{12}\) ଅର୍ଥାତ୍ \(\frac{1}{2} > \frac{5}{2} > \frac{1}{3}\)

ଉଦାହରଣ – 6:
\(\frac{1}{3}\) ଓ \(\frac{1}{4}\) ମଧ୍ୟରେ ତିନୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥାପନ କର ।
ସମାଧାନ :

ହାରାହାରି ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗରେ ଆମେ ସଂଖ୍ୟା ରେଖାରେ ସୂଚିତ ଯେ କୌଣସି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅସଂଖ୍ୟ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇପାରିବା ।

→ ସଂଖ୍ୟା ଖେଳ (Playing With Numbers):
ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତିରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ଓ 9 ।
ଏ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକଦ୍ଵାରା ସଂଖ୍ୟା ଗଠିତ ହୁଏ । ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସେମାନଙ୍କ ସ୍ଥାନୀୟମାନ ଅନୁସାରେ ଲେଖାଯାଏ ।

→ ସଂଖ୍ୟାର ବିସ୍ତାରିତ ରୂପ (General Form of Numbers) :
67 = 6 × 10 + 7 ଏଠାରେ ରେ ସ୍ଥାନୀୟମାନ ଛଅଦଶ ଅର୍ଥାତ୍ 60 ଓ 7 ର ସ୍ଥାନୀୟମାନ 7 ଏକକ ବା, 7
ସେହିପରି 2563 କୁ ବିସ୍ତାରିତ ରୂପରେ ଲେଖୁଲେ ହେବ 2 × 1000 + 5 × 100 +6 × 10 + 3 × 1 ।

• ଏକ ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ a ଓ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ b ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟିର ମାନ 10 × a + 1 × b = 10 a + b ।
• ଏକ ତିନି ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଶତକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ a, ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ b ଓ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ଧ ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟିର ମାନ 100a + 10b + c ହେବ ।

ନିଜେ କର:
Question 1.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବ୍ୟାପକ ରୂପ ଲେଖ ।
(i) 25
(ii) 73
(iii) 569
ଉ –
(i) 25ର ବ୍ୟାପକ ରୂପ = 10 × 2 + 1 × 5
(ii) 73ର ବ୍ୟାପକ ରୂପ = = 10 × 7 + 1 × 3
(iii) 569ର ବ୍ୟାପକ ରୂପ = 100 × 5 + 10 × 6 + 1 × 9

Question 2.
ନିମ୍ନରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟାପକ ରୂପ ଦର୍ଶାଯାଇଛି । ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।
(i) 10 × 5 + 6
(ii) 100 × 7 + 10 × 1 + 8
(iii) 10p + 10q + r
ଉ –
(i) 10 × 5+ 6 = 56
(ii) 100 × 7 + 10 × 1 + 8 = 718
(iii) 10p + 10q + r = 10 (p + q) + r

→ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଖେଳ (Game with Numbers) :
ଦୁଇ ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଖେଳ :
ପ୍ରଥମ ଖେଳ :

ଶରତ	ସୁନିତା
(1) ଯେ କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଭାବ ।	ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି (49)
(2) ଭାବିଥିବା ସଂଖ୍ୟାଟିର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ କର ।	ସଂଖ୍ୟାର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ କଲେ (94)
(3) ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରଥମେ ନେଇଥିବା ସଂଖ୍ୟା ସହ ମିଶାଅ ।	ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି (143)
(4) ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳକୁ ‘11’ ଦ୍ବାରା ଭାଗ କରି ଭାଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।	ସମଷ୍ଟିକୁ ‘‘11’’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଫଳ (13)
(5) ଦେଖୁ ‘11’’ ଦ୍ବାରା ଭାଗ କରିବା ଫଳରେ ଭାଗଶେଷ ନାହିଁ ।	ଭାଗଶେଷ (0) ଶୂନ ।

ସୁନିତା ପୁଣି ଶରତକୁ କହିଲା ଭାଇ ତୁମେ କିପରି ଜାଣିଲ ଯେ, ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଭାଗଶେଷ କିଛି ରହିବ ନାହିଁ ? ବର୍ତ୍ତମାନ ଆସ ଏ ଖେଳ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କୌଶଳଟି କ’ଣ ବୁଝିବା ।

→ ଖେଳରେ ବ୍ୟବହୃତ କୌଶଳର ବିଶ୍ଳେକ୍ଷଣ :
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି ab, ଯାହାର ବ୍ୟାପକ ରୂପ 10a + b । ସଂଖ୍ୟାର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ କରିବା ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି ba ହେବ, ଯାହାର ବ୍ୟାପକ ରୂପ 10b + a ହେବ ।
ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟର ସୁନିତା = 10a + b + 10b + a
= 10a + a + 10b + b
= 11a + 11b
= 11′(a + b)
[ଯଦି a > b ହୋଇଥାଏ ଅନ୍ତରଫଳ 9(a – b) ହେବ ।

ବିଶ୍ଳେକ୍ଷଣ : (10a + b) – (10b + a) = 10a + b – 10b – a
= 10a – a + b – 10b = 9a – 9b = 9(a – b)]

ଏଥିରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଜଣାପଡ଼ିଲା ଯେ, ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତରଫଳ ସଦାସର୍ବଦା ‘‘9’’ ର ଗୁଣିତକ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତରଫଳକୁ ‘‘9” ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ରହିବ ନାହିଁ ।
ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟର ଅନ୍ତରଫଳକୁ ‘‘9’’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ, ଭାବିଥ୍ୟା ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତରଫଳ ସହ ସମାନ ହେବ ।
(i) a < b ହେଲେ b – a ଏବଂ (ii) a > b ହେଲେ, a – b ହେବ ।
ଦ୍ଵିତୀୟ ଖେଳରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ହେବ ଯେ, ଭୋଗ କରିବା ଦ୍ବାରା ଭାଗଫଳଟି ‘‘7’’ ଯାହା ଭାବିଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟା 29ର ଅଙ୍କଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତରଫଳ ସହ ସମାନ ।

ନିଜେ କର:
ପ୍ରଥମ ଖେଳକୁ ଅନୁସରଣ କରି ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଭାଗଶେଷ ଏବଂ ଭାଗଫଳ କେତେ ରହୁଛି ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ ।
(i) 27
(ii) 39
(iii) 64
(iv) 78
ଉ –
ସଂଖ୍ୟାଟି = 27 ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା = 72
ଯୋଗଫଳ = 27 + 72 = 99
99 ÷ 11 = ୨ (ଭାଗଫଳ)
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି = 2 + 7 = 9

(ii) ସଂଖ୍ୟାଟି = 39, ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା = 93
ଯୋଗଫଳ = 39 + 93 = 132, 132 ÷ 11 = 12 (ଭାଗଫଳ)
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି = 3 +9 = 12

(iii) ସଂଖ୍ୟାଟି = 64 । ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା = 46
ଯୋଗଫଳ = 64 + 46 = 110, 110 ÷ 11 = 10 (ଭାଗଫଳ)
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି = 6 + 4 = 10

(iv) ସଂଖ୍ୟାଟି = 78 । ଅଙ୍କଦ୍ବୟର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା = 87
ଯୋଗଫଳ = 78 + 87 = 165, 165 ÷ 11 = 15 (ଭାଗଫଳ)
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ବୟର ସମଷ୍ଟି = 7+ 8 = 15

ଦ୍ବିତୀୟ ଖେଳ :
ଶରତ ପୁଣି ସୁନିତାକୁ ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଭାବିବାକୁ କହି ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରରେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଦେବାକୁ ଲାଗିଲା ।

ଶରତ	ସୁନିତା
(1) ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଭାବ ।	ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି (29)
(2) ଭାବିଥିବା ସଂଖ୍ୟାଟିର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ କର ।	ସଂଖ୍ୟାର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ କଲେ (92)
(3) ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରଥମେ ନେଇ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତରଫଳ ସ୍ଥିର କର । ( ଅନ୍ତରଫଳ ଧନାତ୍ମକ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।)	ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲା (92 – 29 = 63)
(4) ଅନ୍ତରଫଳକୁ ‘‘9’’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକର ।	ଅନ୍ତରଫଳକୁ ‘‘9’’ ଦ୍ବାରା ଭାଗ କଲେ ଭାଗଫଳ (7)
(5) ଦେଖୁବ ‘‘9”” ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରିବା ଫଳରେ ଭାଗଶେଷ ରହିବ ନାହିଁ ।	ଭାଗଶେଷ (0) ।

ସୁନିତା ପୁଣି ଶରତକୁ କହିଲା ଭାଇ ତୁମେ କିପରି ଜାଣିଲ ଯେ, ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଭାଗଶେଷ କିଛି ରହିବ ନାହିଁ ? ବର୍ତ୍ତମାନ ଆସ ଏ ଖେଳ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କୌଶଳଟି କ’ଣ ବୁଝିବା ।

ଖେଳରେ ବ୍ୟବହୃତ କୌଶଳର ବିଶ୍ଳେଷଣ :
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି ab ଯାହାର ବ୍ୟାପକ ରୂପ 10a + b । ସଂଖ୍ୟାର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ କରିବା ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି ba ହେବ, ଯାହାର ବ୍ୟାପକ ରୂପ 10 b + a ହେବ ।
= (10 b + a) (10a + b) (a < b) = 10 ba – 10 a- b = 10b – b + a – 10 a = 9b – 9a = 9 (b – a) [ଯଦି a > b ହୋଇଥାଏ ଅନ୍ତରଫଳ 9 (a – b) ହେବ ।
ବିଶ୍ଳେଷଣ :
(10a + b) – (10b + a) = 10a + b – 10b – a
= 10a – a + b – 10b = 9a – 9b = 9(a – b)]
ଏଥୁରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଜଣାପଡ଼ିଲା ଯେ, ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତରଫଳ ସଦାସର୍ବଦା ‘‘9’’ର ଗୁଣିତକ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତରଫଳକୁ ‘‘9’’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ରହିବ ନାହିଁ ।
ଲକ୍ଷ୍ୟ କର :
ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତରଫଳକୁ ‘9’’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ, ଭାବିଥ୍ୟା ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତରଫଳ ସହ ସମାନ ହେବ ।
(i) a < b ହେଲେ, b – a ଏବଂ (ii) a > b ହେଲେ a – b ହେବ ।
ଦ୍ଵିତୀୟ ଖେଳରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ହେବ ଯେ, ଭାଗ କରିବା ଦ୍ବାରା ଭାଗଫଳଟି ‘7” ଯାହା ଭାବିଥିବା ସଂଖ୍ୟା 29 ର ଅଙ୍କଦ୍ବୟର ଅନ୍ତରଫଳ ସହ ସମାନ ।

ନିଜେ କର:
(i) 17
(ii) 21
(iii) 96
(iv) 37
ଉ –
(i) ସଂଖ୍ୟାଟି = 17, ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି = 71
ବିୟୋଗଫଳ = 71 – 17 = 54, 54 ÷ 9 = 6 (ଭାଗଫଳ)
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ବୟର ବିୟୋଗଫଳ = 7 – 1 = 6

(ii) ସଂଖ୍ୟାଟି = 21, ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି = 12
ବିୟୋଗଫଳ = 21 – 12 = 9, 9 ÷ 9 = 1 (ଭାଗଫଳ)
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ବୟର ବିୟୋଗଫଳ = 2 – 1 = 1.

(iii) ସଂଖ୍ୟାଟି = 96, ଅଙ୍କଦ୍ବୟର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି = 69
ବିୟୋଗଫଳ = 96 – 69 = 27, 27 ÷ 9 = 3 (ଭାଗଫଳ)
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ବିୟୋଗଫଳ = 9 – 6 = 3 (ଭାଗଫଳ)

(iv) ସଂଖ୍ୟାଟି = 37, ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନ ବିନିମୟ ଦ୍ବାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି = 73
ବିୟୋଗଫଳ = 73 – 37 = 36, 36 ÷ 9 = 4 (ଭାଗଫଳ).
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ବିୟୋଗଫଳ = 7 – 3 = 4

ତିନି ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଖେଳ :
ତୃତୀୟ ଖେଳ :
ବର୍ତ୍ତମାନ ସୁନିତାର ପାଳି । ସୁନିତା, ଶରତକୁ ଗୋଟିଏ ତିନି ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଭାବିବାକୁ କହିଲା ଏବଂ ପରେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଅନୁଯାୟୀ କାର୍ଯ୍ୟ କରିବାକୁ କହିଲା ।

ଖେଳରେ ବ୍ୟବହୃତ କୌଶଳର ବିଶ୍ଳେଷଣ :
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି abc ଯାହାର ବ୍ୟାପକ ରୂପ 100a + 10b + c (a > c) ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଓଲଟା କ୍ରମରେ ଲେଖୁଲେ cba ହେବ ।
cba ବ୍ୟାପକ ରୂପ ହେଲା : 100c + 10b + a ହେବ ।
ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାରୁ ସାନ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ପାଇବା :
(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)
= 100a + 10b + c – 100c – 10b – a
= 100a – a – 100c + c = 99a – 99c = 99 (a – c)
(ଯଦି c > a ହୋଇଥାଏ ତେବେ ବିୟୋଗଫଳ 99 (c – a) ହେବ)
ଏଥିରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଜଣାପଡ଼ିଲା ଯେ, ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ବିୟୋଗଫଳ ‘“99’’ ର ଏକ ଗୁଣିତକ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟର ବିୟୋଗଫଳକୁ ‘‘99’’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ରହିଲା ନାହିଁ ।

ଲକ୍ଷ୍ୟ କର :
ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ବିୟୋଗଫଳକୁ ‘‘99’’ ଦ୍ୱାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ ଶତକ ଏବଂ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ଦ୍ବୟର ଅନ୍ତରଫଳ ସହ ସମାନ ହେବ ।
ଉକ୍ତ ଖେଳରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ହେବ ଯେ, ଭାଗ କରିବା ଦ୍ଵାରା ଭାଗଫଳ ‘‘6” ଯାହା ଭାବିଥ୍‌ ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ‘‘349’’ର ଏକକ ଓ ଶତକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତରଫଳ ସହ ସମାନ ।

ନିଜେ କର :
ତୃତୀୟ ଖେଳକୁ ଅନୁସରଣ କରି ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଭାଗଶେଷ ଓ ଭାଗଫଳ କେତେ ରହୁଛି ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ ।
(i) 132
(ii) 469
(iii) 543
(iv) 901 = 231
ଉ –
(i) ସଂଖ୍ୟାଟି = 132, ଓଲଟାଇ କ୍ରମରେ ଲେଖୁଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି = 231
ବିୟୋଗଫଳ = 231 – 132 = 99, 99 ÷ 99 = 1 (ଭାଗଫଳ)
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ବିୟୋଗଫଳ = 2 – 1 = 1

(ii) ସଂଖ୍ୟାଟି = 469, ଓଲଟାଇ କ୍ରମରେ ଲେଖୁଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି = 964
ବିୟୋଗଫଳ = 964 – 469 = 495, 495 ÷ 99 = 5 (ଭାଗଫଳ)
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ବିୟୋଗଫଳ = 9 – 4 = 5

(iii) ସଂଖ୍ୟାଟି = 543, ଓଲଟାଇ କ୍ରମରେ ଲେଖୁଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି = 345
ବିୟୋଗଫଳ = 543 – 345 = 198, 198 ÷ 99 = 2 (ଭାଗଫଳ)
ସଂଖ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ବିୟୋଗଫଳ = 5 – 3 = 2

(iv) ସଂଖ୍ୟାଟି = 901, ଓଲଟାଇ କ୍ରମରେ ଲେଖୁଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଟି = 109
ବିୟୋଗଫଳ = 231 – 132 = 792, 792 ÷ 99 = 8 (ଭାଗଫଳ)
ଶତକ ଓ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଦ୍ଵୟର ବିୟୋଗଫଳ = 9 – 1=8

ଚତୁର୍ଥ ଖେଳ :
ବର୍ତ୍ତମାନ ଶରତର ପାଳି । ଶରତ ସୁନିତାକୁ ତିନୋଟି ଅଙ୍କ ଭାବିବାକୁ କହିଲା ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ମୁତାବକ କାର୍ଯ୍ୟ କରିବାକୁ କହିଲା ।

ଖେଳରେ ବ୍ୟବହୃତ କୌଶଳର ବିଶ୍ଳେଷଣ :
abcର ବ୍ୟାପକ ରୂପ 100a + 10b + c
cabର ବ୍ୟାପକ ରୂପ 100c + 10a + b ଓ bcaର ବ୍ୟାପକ ରୂପ 100b+ 10c + a
ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟି = (100a + 10b+c) + (100c + 10a + b) + (100b + 10c + a)
= (100a + 10a + a) + (100b+ 10b + 10b) + (100c + 10c + c)
= 111a + 111b + 111c = 111 (a + b + c) = 37 × 3 (a + b + c)
ଏଥିରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଜଣାପଡ଼ିଲା ଯେ, ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟି ସଦାସର୍ବଦା ‘‘37’’ ର ଏକ ଗୁଣିତକ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟିକୁ 37 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ରହିବ ନାହିଁ ।

ଲକ୍ଷ୍ୟକର :
ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟିକୁ ‘37’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଫଳ, ଭାବିଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟିର 3 ଗୁଣ ସହ ସମାନ ହେବ ।

ନିଜେ କର :
Question 1.
ଚତୁର୍ଥ ଖେଳକୁ ଅନୁସରଣ କରି ନିମ୍ନ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଭାଗଶେଷ ଓ ଭାଗଫଳ କେତେ ରହୁଛି ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ ।
(i) 4, 1, 7
(ii) 6, 3, 2
(iii) 1, 2, 3
(iv) 9, 3, 7
ଉ –
(i) 4, 1, 7 କୁ ନେଇ ଗଠିତ ତିନୋଟି ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖୁଲେ ହେବ 417, 174, 741 ।
ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟର ଯୋଗଫଳ = 417 + 174 + 741 = 1332
1332 ÷ 37 = 36 (ଭାଗଫଳ)
ଅଙ୍କତ୍ରୟର ଯୋଗଫଳର ତିନିଗୁଣ 3(4 + 1 + 7) = 36

(ii) 6, 3, 2 କୁ ନେଇ ଗଠିତ ତିନୋଟି ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖୁଲେ ହେବ 632, 326 ଓ 263 ।
ସଂଖ୍ୟାତ୍ରୟର ଯୋଗଫଳ = 632 + 326 + 263 = 1221
1221 ÷ 37 = 33 (ଭାଗଫଳ)
ଅଙ୍କତ୍ରୟର ଯୋଗଫଳର ତିନିଗୁଣ = 3(6 + 3 + 2) = 33

(iii) 1, 2, 3 କୁ ନେଇ ଗଠିତ ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି ହେବ 123, 231, 312 ।
ସଂଖ୍ୟା ତ୍ରୟର ଯୋଗଫଳ = 123 + 231 + 312 = 666
666 ÷ 37 = 18 (ଭାଗଫଳ)
ଅଙ୍କ ତ୍ରୟର ଯୋଗଫଳର ତିନିଗୁଣ = 3 (1 + 2 + 3) = 18

(iv) 9, 3, 7 କୁ ନେଇ ଗଠିତ ତିନୋଟି ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖୁଲେ ହେବ 937, 379, 793 ।
ସଂଖ୍ୟତ୍ରୟର ଯୋଗଫଳ = 937 + 379 + 793 = 2109
2109 ÷ 37 = 57 (ଭାଗଫଳ), ଅଙ୍କ ତ୍ରୟର ଯୋଗଫଳର ତିନିଗୁଣ = 3(9 + 3 + 7) = 57

Question 2.
(a) 7 × 9 = 63
77 × 99 = 7623
777 × 999 = 776223
7777 × 9999 = 77762223
ଉ –
77777 × 99999 = 7777622223
777777 × 999999 = 777776222223

(b) 2178 × 4 = 8712
21978 × 4 = 87912
219978 × 4 = 879912
2199978 × 4 = 8799912
ଉ –
21999978 × 4 = 87999912
219999978 × 4 = 879999912

→ ବିଭାଜ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା (Tests of Divisibility) :
→ ସଂଖ୍ୟା 10 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟତା (Divisibility by 10) :
କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ( ହୋଇଥିଲେ, ଦତ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଟି 10 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।

ନିଜେ କର :
ନିମ୍ନ ସଂରଚନାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରି ପରବର୍ତ୍ତୀ ଦୁଇ ଧାଡ଼ି ଲେଖ ।
(a) 10 = 10¹
10 × 10 = 100 = 10²
10 × 10 × 10 = 1000 = 10³
10 × 10 × 10 × 10 = 10000 = 10⁴

(b) \(\frac{1}{10}=10^{-1}=0.1\)
\(\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=10^{-2}=0.01\)
\(\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=10^{-3}=0.001\)
\(\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=10^{-4}=0.0001\)
ଉ –
(a) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100000 = 105
10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100000 = 106

(b) \(\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=10^{-5}=0.00001\)
\(\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=10^{-6}=0.000001\)

→ ସଂଖ୍ୟା 5 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟତା (Divisibility by 5) :
କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ( ବା 5 ହୋଇଥିଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

→ ସଂଖ୍ୟା 2 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟତା (Divisibility by 2) :
କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ ଯଦି (, 2, 4, 6 ବା 8 ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

→ ସଂଖ୍ୟା 9 ଏବଂ3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟତା (Divisibility by 9 and 3) :
(i) କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜିତ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।
(ii) କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜିତ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।
(iii) 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜିତ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ଯ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।

• କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କ ସମଷ୍ଟି 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହୁଏ । ଅନ୍ୟଥା ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବନାହିଁ ।
• 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । କିନ୍ତୁ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନ ହୋଇପାରେ ।

ନିଜେ କର :
Question 1.
‘9’ର ବିଭାଜ୍ୟତା ନିୟମକୁ ଆଧାର କରି ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ‘9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟତାକୁ ପରୀକ୍ଷା କର ।
(i) 108
(ii) 616
(iii) 294
(iv) 432
(v) 927
ଉ –
(i) 108ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 1 + 0 + 8 = 9, ଯାହା 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
(ii) 616ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 6 + 1 + 6 = 13, 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ 616, 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
(iii) 294ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 2 + 9 + 4 = 15, 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ 294, 9ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
(iv) 432ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 4 + 3 + 2 = 9, ଯାହା 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେଣୁ 432, 9ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
(v) 927ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 9 + 2 + 7 = 18, ଯାହା 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେଣୁ 927, 9ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

Question 2.
‘3’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜିତ ନିୟମକୁ ଆଧାର କରି ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର “‘3” ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟତାକୁ ପରୀକ୍ଷା କର । ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଉଭୟ 3 ଏବଂ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?
(i) 117
(ii) 213
(iii) 1735
(iv) 52722
(v) 317424
(vi) 63171423
ଉ –
(i) 117ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 1 + 1 + 7 = 9, ଏହା ୨ ଓ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେଣୁ 117 ଉଭୟ 3 ଓ 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।
(ii) 213ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 2 + 1 + 3 = 6, ଯାହା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ; କିନ୍ତୁ 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ 213 ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
(iii) 1735ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 1 + 7 + 3 + 5 = 16, ଏହା ଉଭୟ 3 ଓ 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ 1735 ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଓ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
(iv) 52722ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 5 + 2 + 7 + 2 + 2 = 18, ଏହା ଉଭୟ 3 ଓ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ଉଭୟ 3 ଓ 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।
(v) 317424ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 3 + 1 +7+4+2+4= 21, ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ 317424 ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
(vi) 63171423ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 6 + 3 + 1 + 7 + 1 + 4 + 2 + 3 = 27, ଏହା ଉଭୟ 3 ଓ 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେଣୁ 63171423 ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଓ 9 ଉଭୟ ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।

→ ସଂଖ୍ୟା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟତା (Divisibility by 11) :
କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନୀୟ ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟିର ଅନ୍ତର ଯଦି 11 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହୁଏ ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।

କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଯୁଗ୍ମସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ଏବଂ ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟିର ଅନ୍ତର, 11 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜିତ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜିତ ହେବ ।

ନିଜେ କର :
Question 1.
11’ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟତା ନିୟମକୁ ଆଧାର କରି ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର 11 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟତାକୁ ପରୀକ୍ଷା କର ।
(i) 1331
(ii) 14641
(iii) 132055
(iv) 2354012
(v) 2573439
ଉ –
(i) 1331 ରେ ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି =1+3 = 4
ଯୁଗ୍ମ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 3 + 1 = 4
ଅନ୍ତର 4 – 4 = 0, 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ .:. 1331, ଏହା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।

(ii) 14641ରେ (1 + 6 + 1) − (4 + 4) = 8 – 8 = 0, ଏହା 11 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

(iii) 132055 ରେ (5 + 0 + 3) – (5 + 2 + 1) = 8 – 8 = 0, ଏହା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

(iv) 2354012 ରେ (2 + 0 + 5 + 2) – (1 + 4 + 3) = 9 – 8 = 1, ଏହା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।

(v) 2573439 ରେ (9 + 4 + 7 + 2) – (3 + 3 + 5) = 22 – 11 = 11, ଏହା 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

Question 2.
ନିମ୍ନ ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖ୍ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଧାଡ଼ିଟି ଲେଖ ।
11 = 11
11 × 11 = 121
11 × 11 × 11 = 1331
11 × 11 × 11 × 11 = 14641

1 + 1 = 2¹
1 + 2 + 1 = 2²
1 + 3 + 3 + 1 = 2³
1+ 4 + 6 + 4 + 1 = 2⁴
ଉ –
11 × 11 × 11 × 11 × 11 =161051 ≠ 2⁵
11 × 11 × 11 × 11 × 11 × 11 = 1771561 ≠ 2⁶
(i) ଉତ୍ପନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଓଲଟାଇ ଲେଖୁଲେ ମଧ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି ଅପରିବର୍ତିତ ରହେ ।
(ii) ଗୁଣଫଳର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ଯଥାକ୍ରମେ 2, 22, 23, 24 ଇତ୍ୟାଦି ହେବ ।