Class 12

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଭୁଲ୍ କି ଠିକ୍ ଲେଖ ।
(a) ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟି ବାହୁ ସର୍ବସମ ହେଲେ, ତାହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(b) ପ୍ରତ୍ୟେକ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(c) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(d) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହେଲେ, ତାହା ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(e) ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(f) ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(g) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହେଲେ, ତାହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(h) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(i) ଯଦି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(j) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(k) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(l) ରମ୍ବସ୍ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

Question 2.
ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖ୍ ‘x’ ର ମୂଲ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର:
m∠DAB + m∠ABC = 180°
⇒ 75° + m∠ABD + m∠DBC = 180°
⇒ 75° + m∠ABD + 60° = 180°
⇒ m∠ABD = 180° – 135° = 45°
ବର୍ତ୍ତମାନ x = 45° (∵ m∠ABD = m∠CDB)

ରମ୍ବସ୍:
m∠ABC + m∠BCD = 180°
⇒ m∠BCD = 180° – m∠ABC = 180° – 120° = 60°
କିନ୍ତୁ Δ ABC ରେ m∠BAC + m∠BCA
= 180° – 120° = 60°
⇒ m∠BCA = \(\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30° (∵ m∠BAC = m∠BCA)
m∠BCD = 60°
⇒ m∠BCA + m∠ACD = 60°
⇒ 30° + x = 60°
⇒ x = 30°

ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର:
m∠BAC + m∠ACB = 90°
⇒ m∠ACB = 90° – m∠BAC = 90° – 32° = 58°
କିନ୍ତୁ m∠OBC = m∠OCB = 58° (∵ OB = OC)
⇒ x = 58°

ବର୍ଗଚିତ୍ର:
m∠DOC = m∠POB = 85° କିନ୍ତୁ m∠OBP = 45°
Δ APB ରେ m∠POB + m∠OBP = m∠OPA
⇒ 85° + 45° = x
⇒ x = 130°

Question 3.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ________ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ଏବଂ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗଚିତ୍ର

(b) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠A ଓ ∠B ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍

(c) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ ________ ।
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗଚିତ୍ର

(d) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AB = CD, A͞B || C͞D ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର

(e) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AB = BC ଏବଂ AC = BD ଏବଂ ∠B ଏକ ସମକୋଣ ହେଲେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗଚିତ୍ର

(f) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହେଲେ ରମ୍ବସ୍‌ ________ ।
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗଚିତ୍ର

(g) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର A͞C ଓ B͞D କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମସ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ m∠A = 90° ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର

(h) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର A͞C ଓ B͞D କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ AC ≅ BD ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର

Question 4.
(i) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠B = (x + 30°) 3 m∠C = (2x – 60°) ହେଲେ m∠A କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠B = (x + 30°), m∠C = (2x – 60°) ।
ନିର୍ଦେୟ : m∠A ର ପରିମାଣ
ଉତ୍ତର : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠B+ m∠C = 180°
⇒ (x + 30) + (2x – 60) = 180°
⇒ 3x – 30° = 180°
⇒ 3x = 210°
⇒ x = 70°
∴ m∠A = m∠C = 2x – 60° = 2 × 70° – 60° = 80°

(ii) ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠B ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ∠APB ର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠B ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଯଥାକ୍ରମେ \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{BP}}\)
ପରସ୍ପରକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
ନିର୍ମେୟ : ∠APB ର ପରିମାଣ ।
ଡତ୍ତର : m∠A + m∠B = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\) m∠A + \(\frac{1}{2}\) m∠B = \(\frac{1}{2}\) × 180°
⇒ m∠PAB + m∠PBA = 90°
Δ APB ରେ m∠PAB + m∠PBA + m∠APB = 180°
[ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।]
⇒ 90° + m∠APB = 180°
(∵ m∠PAB + m∠PBA = 90°)
⇒ m∠APB = 180° – 90° = 90°

(iii) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସର କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ଏହାର ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର ବୃହତ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ରମ୍ବସ୍‌ରେ A͞C କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ଣ୍ଣ ଓ BC = AC ।
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠BCD ର ପରିମାଣ ।
ଉତ୍ତର : ABCD ରମ୍ବସ୍‌ରେ AB = BC । କିନ୍ତୁ BC= AC (ଦତ୍ତ)
∴ AB = BC = AC
⇒ Δ ABC ସମବାହୁ
⇒ m∠ACB = 60°
ସେହିପରି Δ ACD ସମବାହୁ
⇒ m ∠ACD = 60°
∴ m∠BCD=m∠ACB + m∠ACD = 60° + 60° = 120°

(iv) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 ହେଲେ, ବୃହତ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 ।
ଦତ୍ତ : ବୃହତ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ ।
ନିଶ୍ଚେୟ : ମନେକର କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ 2x ଏବଂ 3x ।
ଉତ୍ତର : ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ 2x + 3x = 180°
[ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।]
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ 2x + 3x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 36°
∴ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ = 3x = 3 x 36° = 108°

(v) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ଏକ ସନ୍ନିହିତ କୋଣର \(\frac{4}{5}\) ହେଲେ, ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ଅନ୍ୟ ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ପରିମାଣ \(\frac{4}{5}\) ଅଂଶ ।
ନିଶ୍ଚେୟ : ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ।
ଉତ୍ତର : ମନେକର ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ x ଏବଂ \(\frac{4 \mathrm{x}^{\circ}}{5}\) ।
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
x + \(\frac{4 \mathrm{x}^{\circ}}{5}\) = 180° 
⇒ 5x + 4x = 900
⇒ 9x = 900
⇒ x = 100
∴ ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 100 ଏବଂ ଅନ୍ୟ ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° – 100° = 80° ।

Question 5.
(i) ABCD ଏକ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ । ଏଥ‌ିରେ ∠B, ∠C, ∠D ର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ ∠A ର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣ, ତିନିଗୁଣ, ଚାରିଗୁଣ ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଏହା ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ । m∠B = 2m∠A, m∠C = 3m∠A ଏବଂ m∠D = 4m∠A
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ପ୍ରମାଣ : ମନେକର m∠A = x ତେବେ m∠B = 2x, m∠C = 3x ଏବଂ m∠D = 4x
ABCD ଟ୍ରାପିଜିମ୍ବସ୍‌ରେ m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°
⇒ x + 2x + 3x + 4x = 360°
⇒ 10x = 360°
⇒ x = 36°
∴ m∠A = 36°, m∠B = 2 x 36° = 72°,
m∠C = 3 × 36° = 108° ଏବଂ m∠D = 4 × 36° = 144°
ଲଷ୍ୟକର ଏଠାରେ m∠B + m∠C = 72° + 108° = 180°
∴ A͞B || D͞C
⇒ ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠A ଓ ∠B ର ସମତ୍ତିଖଣ୍ଡକ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ଏବଂ ∠AOB ଏକ ସମକୋଣ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠A ଓ ∠B ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
m∠AOB = 90°
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ AOB ରେ m∠OAB + m∠ABO + m∠AOB = 180°
⇒ m∠OAB + m∠ABO = 90°
[∵ m∠AOB = 90° (ଦତ୍ତ)]
⇒ 2m∠OAB + 2m∠ABO = 2 × 90°
⇒ m∠A + m∠B = 180°
⇒ A͞D || B͞C
⇒ ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠ADC ଏକ ସମକୋଣ, m∠BAC = m∠ACB = 45° ଏବଂ AD = DC ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କରି ଯେ, ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ତୁର୍ଭୁଜରେ m∠ADC = 90°, AD = DC, m∠BAC = m∠ACB = 45° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADC ରେ m∠ADC = 90° ଏବଂ AD = DC
⇒ m∠DAC = m∠DCA => m∠DAC = m∠DCA = 45°
Δ ADC ଓ Δ ABC ଦ୍ଠୟରେ m∠DAC = m∠BAC
m∠DCA = m∠ACB ଏବଂ A͞C ସାଧାରଣ ।
∴ Δ ADC ≅ Δ ABC
⇒ AD = AB ଏବଂ DC = BC କିନ୍ତୁ ଦତ୍ତ AD = DC
∴ AD = AB = DC = BC
⇒ ABCD ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର । (∵ m∠D = 90°)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AD = BC = 3 ସେ.ମି., CD = 8 ସେ.ମି. । AB ୟପରେ E ଓ F ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ,
m∠BCF = m∠BFC = m∠AED = m∠ADE = 45° ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AD = BC = 3 ସେ.ମି., CD = 8 ସେ.ମି., EF = 2 ସେ.ମି. ଏବଂ
m∠BCF = m∠BFC = m∠AED = m∠ADE = 45°
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADE ରେ m∠ADE = m∠AED = 45°
⇒ AD = AE ଏବଂ m∠A = 90°
∴ AE = 3 ସେ.ମି.
ସେହିପରି Δ FBC ରେ m∠B = 90° ଏବଂ BC = BF = 3 ସେ.ମି.
∴ AB = AE + EF + BF = 3 + 2 + 3 = 8 ସେ.ମି.
ଏଠାରେ AD = BC (ଦତ୍ତ)
AB = DC ଏବଂ m∠A = m∠B = 90°
∴ ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

(v) ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ଯଦି AB = 2AD ଏବଂ P, C͞D ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହୁଏ ତେବେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ,m∠APB = 90° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AB = 2AD, P, D͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ 
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠APB = 90°
ପ୍ରମାଣ : Δ ADP ରେ AD = DP
(∵ 2AD = AB = CD ଏବଂ P, C͞D ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
m∠DAP = m∠APD = α (ମନେକର)
ସେହିପରି Δ PBC ରେ PC = BC (∵ AD = BC = DP = PC)
m∠PBC = m∠BPC = β (ମନେକର)
Δ ADP ରେ m∠D =180° – 2α (∵ m∠D + m∠PAD + m∠APD = 180°)
ଓ Δ BPC ରେ m∠C = 180° – 2β
କିନ୍ତୁ m∠D + m∠C = 180° (∵ A͞D || B͞C)
180° – 2α + 180° – 2β = 180°
⇒ 2α + 2β = 180°
⇒ α + β = 90°
m∠APD + m∠BPC = 90°
⇒ m∠APB = 90°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 6.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ m∠ABD = m∠BDC ଏବଂ m∠ADB = m∠CBD ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କରି ଯେ, ଏହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ Δ ABC = Δ ADC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : m∠ABD = m∠BDC ଏବଂ m∠ADB = m∠CBD ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ii) Δ ABC ≅ Δ ADC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ BDC ରେ m∠ABD = m∠BDC,
m∠ADB = m∠DBC ଏବଂ B͞D ସାଧାରଣ ବାହୁ
⇒ Δ ABD ≅ Δ ADC ⇒ m∠A = m∠C … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, m∠ABD + m∠DBC = m∠BDC + m∠ADB
⇒ m∠B = m∠D … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଇଲେ, ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ । ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
∴ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ BC || AD । A͞C ଓ B͞D ଯଥାକ୍ରମେ ∠BAD ଓ ∠CDA କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ପ୍ରମାଣ
କର ଯେ AB = BC = CD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ BC || AD । A͞C ଓ B͞D ଯଥାକ୍ରମେ ∠BAD ଓ ∠CDA କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ ଜରେ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = BC = CD
ପ୍ରମାଣ : m∠BAC = m∠CAD (∵ A͞C, ∠BAD ର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ)
BC || AD
⇒ m∠CAD = m∠BCA (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
⇒ m∠BAC = m∠BCA
⇒ AB = BC … (i)
ସେହିପରି m∠BDC = m∠BDA (ଦତ୍ତ)
BC || AD ⇒ m∠CBD = m∠BDA (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
⇒ m∠BDC = m∠CBD
⇒ BC = CD … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଇଲେ, AB = BC = CD
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଯଥାକ୍ରମେ \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{CQ}}\) । ଏମାନେ ଯଦି D͞C ଓ A͞B କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, APCQ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ଯଥାକ୍ରମେ DC ଓ AB କୁ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : APCQ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ପ୍ରମାଣ : m∠A = m∠C
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠A = \(\frac{1}{2}\)m∠C
⇒ m∠BCQ = m∠DAP ଏବଂ m∠PCQ = m∠PAQ … (i)
⇒ m∠BCQ + m∠B = m∠DAP + m∠D (∵ m∠B = m∠D)
⇒ m∠AQC = m∠APC … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଇବା APCQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(∵ ବିପରୀତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ ।)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ D͞C ଓ A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) MCBN ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର 
(ii) DMBN ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ
(iii) D͞B ଓ M͞N ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ D͞C ଓ A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) MCBN ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ii) DMBN ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(iii) D͞B ଓ M͞N ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
ପ୍ରମାଣ : MCBN ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ N͞B || M͞C (∵ A͞B || D͞C)
NB = MC (∵ AB = DC ଏବଂ \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)DC)
∴ MCBN ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । … (i) (ପ୍ରମାଣିତ)
DMBN ଚିତ୍ରରେ B͞M || D͞N (∵ A͞B || D͞C)
NB = DM (∵ AB = DC ଏବଂ \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)DC)
∴ DMBN ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । … (ii) (ପ୍ରମାଣିତ)
DMBN ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ହେତୁ B͞D ଓ N͞M କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରିବେ । … (iii) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ A͞C ଓ B͞D କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । DO ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ X ଓ BO ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ Y ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ AXCY ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ A͞C ଓ B͞D କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ‘O’ । X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ DO ଏବଂ B͞O ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AXCY ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
AO = CO ଏବଂ DO = BO
AO = CO ଏବଂ \(\frac{1}{2}\)DO = \(\frac{1}{2}\)BO
AYCX ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଯାହାର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
AXCY ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ABCD ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । A͞C ଉପରେ K, L ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AK = CL । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । A͞C ଉପରେ K, L ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AK = CL ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ଅଙ୍କନ : B͞D ଅଙ୍କନ କର । A͞C ଓ B͞D ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଉ ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
⇒BO = DO ଏବଂ AO = CO
⇒BO = DO ଏବଂ AO – AK = CO – CL
⇒BO = DO ଏବଂ KO = LO
⇒ DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
ABCD ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । B͞D ଉପରେ P ଓ Q ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AP || CQ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, DP = BQ ଏବଂ APCQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । B͞D ଉପରେ P ଓ Q ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି A͞P || C͞Q ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) DP = BQ
(ii) APCQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ପ୍ରମାଣ : A͞P || C͞Q, B͞D ଛେଦକ
∴ m∠APQ = m∠PQC
⇒ m∠APD = m∠BQC … (i)
Δ ADP ଓ Δ BQC ରେ
AD = BC (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ)
m∠ADP = m∠QBC, ( AD || BC )
m∠APD = m∠BQC [(i) ରୁ ପ୍ରମାଣିତ]
Δ ADP ≅ Δ BQC
DP = BQ ଏବଂ AP = QC … (ii)
⇒ AP || QC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ AP = QC,
⇒ APCQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ DK ⊥ AC, BL ⊥ AC ଏବଂ K ଓ I ଯଥାକ୍ରମେ ଲମ୍ବନ୍ବୟର ପାଦବିନ୍ଦୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ DK ⊥ AC, BL ⊥ AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ଅଙ୍କନ : D͞B ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADK ଓ Δ BCL ଦ୍ଠୟରେ AD = BC,
ଏବଂ m∠DKA = m∠BLC
Δ ADK ≅ Δ BCL
⇒ AK = CL
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ DO = BO ଏବଂ AO = CO
⇒ DO = BO ଏବଂ AO – AK = CO – CL
⇒ DO = BO ଏବଂ KO = OL
⇒ DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । A͞D ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି DC = DP, \(\overrightarrow{\mathrm{CP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ପରସ୍ପରକୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
(i) AQ = AP
(ii) BC = BQ
(iii) AD = CD + AQ
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । A͞D ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି DC = DP । \(\overrightarrow{\mathrm{CP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ପରସ୍ପରକୁ Q ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AQ = AP
(ii) BC = BQ
(iii) AD = CD + AQ

ପ୍ରମାଣ : Δ PCD ରେ DC = DP
m∠DCP = m∠DPC
କିନ୍ତୁ m∠DPC = m∠QPA (ପ୍ରତୀପ)
ଏବଂ m∠DCP = m∠AQP (ଏକାନ୍ତର) (∵ B͞Q || C͞D, Q͞C ଛେଦକ)
m∠DPC = m∠DCP ତେଣ୍ଙ m∠QPA = m∠AQP
⇒ AQ = AP … (i) (ପ୍ରମାଣିତ)
କିନ୍ତୁ m∠DCP = m∠AQP (ଏକାନ୍ତର)
ପୁନଶ୍ଚ, m∠DPC = m∠PCB (ଏକାନ୍ତର)
∠DCP = m∠DPC ତେଣ୍ଙ m∠AQP = m∠PCB
⇒ BC = BQ … (ii) (ପ୍ରମାଣିତ)
ପୂର୍ବ ରୁ ପ୍ରମାଣିତ CD = PD ଏବଂ AQ = AP
CD + AQ = PD + AP
⇒ CD + AQ = AD … (iii) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ D͞C ବାହୁ ଉପରେ X ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = AX । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠XAB = m∠ABC ଏବଂ AC = BX ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । D͞C ଉପରେ X ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = AX ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠XAB = m∠ABC
(ii) AC = BX

ପ୍ରମାଣ : AD = AX
⇒ m∠ADX = m∠AXD
କିନ୍ତୁ m∠ADX = m∠ABC (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣ)
m∠AXD = m∠XAB (ଏକାନ୍ତର)
∴ m∠XAB = m∠ABC … (i) (∵ m∠ADX = m∠AXD) (ପ୍ରମାଣିତ)
Δ AXB ଓ Δ BAC ଦ୍ଠୟରେ m∠XAB = m∠ABC,
∴ A͞B ସାଧାରଣ ଏବଂ AX = BC (∵ AX = AD = BC)
Δ AXB ≅ Δ BAC
⇒ BX = AC … (ii) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣମାନଙ୍କର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରେଖାମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା ଗଠିତ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠B ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ M, ∠B ଓ ∠C ର
ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ N, ∠C ଓ ∠D ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ P ଏବଂ ∠D ଓ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ Q ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MNPQ ଏକ ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର ।

ପ୍ରମାଣ : m∠A + m∠B = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠A + \(\frac{1}{2}\)m∠B = 180°
⇒ m∠MAB + m∠MBA = 90°
⇒ m∠AMB = 90°
⇒ m∠AMB = m∠QMN = 90° (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ଯେ, m∠QPN = 90°, m∠MQP= 90° ଏବଂ m∠MNP = 90°
∴ MNPQ ଏକ ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ଅଙ୍କିତ ଓ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବାହୁମାନଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ସୀମାବଦ୍ଧ ରେଖାଖଣ୍ଡ କର୍ତ୍ତୃମାନଙ୍କ ଛେଦବିନ୍ଦୁଠାରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡିତ ହୁଏ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ A͞C ଓ B͞D କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O।
O ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଅଙ୍କିତ ଏକ ରେଖା A͞B ଓ CD କୁ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁଛି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MO = ON
ପ୍ରମାଣ : Δ BMO ଏବଂ Δ DNO ଦ୍ବୟରେ
m∠MOB = m∠NOD (ପ୍ରତୀପ)
m∠MBO = m∠NDO (ଏକାନ୍ତର),
BO = CO (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି)
∴ Δ BMO ≅ Δ DNO (∵ କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ MO = ON (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 18.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ R͞P || A͞B, RQ || BC ଏବଂ PQ || AC ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ BC = \(\frac{1}{2}\)QR ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ RP || AB, RQ || BC ଏବଂ PQ || AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BC = \(\frac{1}{2}\)QR

ପ୍ରମାଣ : RQ || BC, RP || AB
⇒ RABC ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
⇒ BC = RA
ସେହିପରି RQ || BC, PQ || AC
⇒ AQBC ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
⇒ BC = AQ
⇒ 2BC = RA + AQ
⇒ 2BC = RQ
⇒ BC = \(\frac{1}{2}\)QR (ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(a)

Question 1.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
360°

(ii) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
540°

(iii) ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
360°

(iv) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
120°

(v) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 45° ହେଲେ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ________ ।
ସମାଧାନ:
8

(vi) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 150° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ________ ।
ସମାଧାନ:
12

(vii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 1440° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ________ ।
ସମାଧାନ:
10

(viii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ୨ ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
40°

(ix) n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{2 n-4}{n}\) × 90°

(x) n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{360^{\circ}}{n}\)

Question 2.
(i) ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 4 : 6 ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 2x°, 3x°, 4x° ଏବଂ 6x° ।
∴ 2x° + 3x° + 4x° + 6x° = 360° ⇒ 15x  = 360° ⇒ x = 24
∴ 2x° = 2 × 24 = 48°, 3x° = 3 × 24 = 72°,
4x° = 4 × 24 = 96° ଏବଂ 6x° = 6 × 24 = 144°
∴ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 48°, 72°, 96° ଓ 144° ।

(ii) ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ କ୍ରମିକ କୋଣ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ ଅନ୍ୟର ପରିମାଣର \(\frac{3}{2}\) ଗୁଣ ହେଲେ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ x ଏବଂ ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ ଅନ୍ୟଟିର ପରିମାଣ \(\frac{3 x^{\circ}}{2}\) ।
∴ x° + \(\frac{3 x^{\circ}}{2}\) = 180°
⇒ \(\frac{5 x^{\circ}}{2}\) = 180° ⇒ x = 72°
ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 72° ଏବଂ ଅନ୍ୟ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{3 x^{\circ}}{2}\) × 72 = 108°
∴ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ 72°, 108°, 72° ଓ 108° ।

(iii) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 4: 5 : 6 ହେଲେ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୂଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ ।
ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 5 – 4) × 90° = 540°
ମନେକର ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 2x°, 3x°, 4x°, 5x° ଏବଂ 6x° ।
∴ 2x° + 3x° + 4x° + 5x° + 6x° = 540° → 20x = 540 = x = 27
∴ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ = 6x = 6 × 27 = 162°

(iv) ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣ ସମକୋଣ ଏବଂ ଅନ୍ୟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ 120° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା n । 
∴ ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା n ।
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, 90° + 90° + (n – 2) 120° = (2n – 4) × 90°
n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟକର, ବହୁଭୁଜର n ସଂଖ୍ୟକ କୋଣ ମଧ୍ୟରୁ ଦୁଇଟି କୋଣ ସମକୋଣ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ କୋଣମାନ (n – 2 ସଂଖ୍ୟକ) ପ୍ରତ୍ୟେକେ 120° ।
⇒ 180 + (n – 2) 120 = (2n – 4) x 90
⇒ 18 + (n – 2) 12 = (2n – 4) 9
⇒ 18 + 12n – 24 = 18n – 36
⇒ 12n – 6 = 18n – 36
⇒  6n = 30 ⇒ n = 5
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 5 ।

(v) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର x°, (x − 10°), (x − 20°), (2x – 40°), (2x – 90°) ହେଲେ ‘x’ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
n ଭୁଜ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ । 
∴ ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 5 – 4) × 90° = 540°
⇒ 7x – 160 = 540 ⇒ 7x = 700 ⇒ x = 100

(vi) ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଅନ୍ତଃ ସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 8 – 4) × 90° = 1080°
ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = 360°

(vii) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ କ୍ରମିକ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 ହେଲେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଅନ୍ୟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
ମନେକର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 2x° ଏବଂ 3x° ।
∴ 2x + 3x = 180°
⇒ 5x = 180° ⇒ x = 36
∴ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 2x° = 2 × 36 = 72° ଓ 3x° = 3 × 36 = 108°
∴ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 72°, 108°, 72° ଏବଂ 108° ।

Question 3.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ ।
ସମାଧାନ:
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ (n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ) ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ =  \(\frac{2 n-4}{n}\) ସମକୋଣ ।
ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2×8-4}{8}\) × 90° = \(\frac{12}{8}\) × 90 = 135°
ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(=\frac{360^{\circ}}{n}\)
ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(=\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟକର, 45° x 3 = 135° ହେତୁ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ।

Question 4.
ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜ ହେଲେ, Δ BED ର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜ ।
ସୁଷମ ବହୁଭୂଜ (n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ)ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2 n-4}{n}\) ସମକୋଣ ।
ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2×5-4}{5}\) × 90° = 108°
Δ ABE ରେ m∠A = 108°, m∠ABE = m∠AEB = \(\frac{72}{2}\) = 36°
∴ Δ BED ରେ m∠BED = m∠AED – m∠AEB
= 108° – 36° = 72°
ସେହିପରି m∠BDE = 72°
∴ Δ BDE ରେ m∠EBD = 180° – (72° + 72°) = 36°
∴ Δ BDE ର କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ 36°, 72°, 72°।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 5 : 1 ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = 5x°
ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = x°

⇒ n= 10 + 2
⇒ n= 12
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 12 ।

Question 6.
n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଓ (n + 2) ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ମଧ୍ଯରେ ଅନ୍ତର 9° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
n-ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{360^{\circ}}{n}\)

⇒ n² + 2n – 80 = 0
⇒ n² + 10n – 8n – 80 = 0
⇒ n(n + 10) – 8(n + 10) = 0
⇒ (n + 10)(n – 8) = 0
⇒ n = -10 କିମ୍ଚ‍।
ଏଠାରେ n = 8 ଗ୍ରହଣୀୟ କିନ୍ତୁ n = -10 ଗ୍ରହଣୀୟ ନୁହେଁ । 
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 8 ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 120° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା n ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac{2 n-4}{n}\) × 90° = 120°
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2 n-4}{n}\) ସମକୋଣ ।
⇒ (2n – 4) 9 = 12n
⇒ 18n – 36 = 12n
⇒ 6n = 36
⇒ n = 6
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 6 ।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 120° ।
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° – 120° = 60° ।
n-ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{360^{\circ}}{n}\)
⇒ \(\frac{360^{\circ}}{n}\) = 60° 
⇒ 60° n = 360° 
⇒ n =\(\frac{360^{\circ}}{60}\) = 6
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 6 ।

Question 8.
(n – 1) ସଂଖ୍ୟକ ଏବଂ (n + 2) ସଂଖ୍ୟକ ସୁଷମ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର 6° ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ‘n’ ର ମାନ 13 ହେବ ।
ସମାଧାନ:
n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{360^{\circ}}{n}\)

⇒ n² + n – 2 = 180
⇒ n² + n – 182 = 0
⇒ n² + 14n – 13n – 182 = 0
⇒ n (n + 14) – 13(n + 14) = 0
⇒ (n + 14) (n- 13) = 0
⇒ n + 14 = 0 ବା n – 13 = 0
⇒ n = -14   ଅସମ୍ଭବ ∴ n = 13

Question 9.
ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 140 । ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରମାଣର ଅନୁପାତ 1 : 2 : 3 : 4 ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ 160° ।
ସମାଧାନ:
n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ ।
ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 5 – 4) × 90 = 540° 
ପଞ୍ଚଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ = 140°
ମନେକର ଅନ୍ୟ 4ଟି କୋଣର ପରିମାଣ x°, 2x°, 3x° ଓ 4x° ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x + 2x° + 3x° + 4x° + 140° = 540°
⇒ 10x = 400 ⇒ x = 40°
∴ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ = 4x° = 4 × 40° = 160°

Question 10.
ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର AD, ∠CDE କୁ ଦୁଇଭାଗ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ m∠ADE : m∠ADC = 1 : 2 ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର A͞D, ∠CDE କୁ ଦୁଇଭାଗ କରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠ADE : m∠ADC = 1 : 2 ।
ପ୍ରମାଣ : ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2 \times 5-4}{5}\) × 90 = \(\frac{6}{5}\) × 90° = 108°
AE = ED
⇒ m∠EAD = m∠EDA
m∠AED = 108° = m∠EDC
AAED ରେ m∠EAD = m∠ADE = \(\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}\) = \(\frac{72^{\circ}}{2}\) = 36°
m∠ADC = m∠EDC – m∠ADE = 108° – 36° = 72°
∴ m∠ADE : m∠ADC = 36° : 12°
⇒ m∠ADE : m∠ADC = 1 : 2
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(b)

Question 1.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(a) Δ ABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 75° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
m∠A = 40°, m∠B = 75°
⇒ Δ ABCର m∠C = (180 – 40 – 75)° = 65°
m∠B > m∠C > m∠A
⇒ AC > AB > BC
∴ ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ AC ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ BC ।

(b) Δ ABC ରେ m∠A = 110°, m∠B = 20° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କେଉଁ ବାହୁଟି କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ?
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠A = 110°, m∠B = 20° ∴ m∠C = (180 – 110 – 20)° = 50°
m∠A > m∠C > m∠B
⇒ BC > AB > AC
∴ AC କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।

(c) Δ ABC ରେ m∠B = 90° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କେଉଁ ବାହୁଟି ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ?
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠B = 90° ।
⇒ m∠C < 90° ଓ m∠A < 90°
∴ ∠B ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ AC ବାହୁଟି ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ।

(d) Δ ABC ରେ m∠A = m∠B + m∠C ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ କେଉଁଟି ?
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠A = m∠B + m∠C
ଆମେ କଣ୍ଙ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
⇒ m∠A = m∠B + m∠C = 90°
∴ ∠A ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ BC ର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।

(e) Δ ABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 50° । ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଉକ୍ରମରେ ସଜାଇ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 50° ⇒ m∠C = 180° – 40° – 50° = 90°
∴ m∠C > m∠B > m∠A
⇒ AB > AC > BC

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି, ଏହାର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
ବୃହତ୍ତର

(b) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର, ଏହାର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
କ୍ଷୁଦ୍ରତର

(c) ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି, ଏହାର ପରିସୀମାଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
କ୍ଷୁଦ୍ରତର

(d) ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା, ଏହାର ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟିଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
ବୃହତ୍ତର

(e) ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମିପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
କ୍ଷୁଦ୍ରତର

Question 3.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠CBD > m∠BCE ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ AB > AC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଚିତ୍ରରେ m∠CBD > m∠BCE
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB > AC
ପ୍ରମାଣ : m∠CBD > m∠BCE
⇒ m∠A + m∠ACB > m∠A + m∠ABC
(∵ ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ)
⇒ m∠ACB > m∠ABC ⇒ AB > AC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 4.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ = PR । ଦର୍ଶାଅ ଯେ PS > PQ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଚିତ୍ରରେ PQ = PR
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PS > PQ
ପ୍ରମାଣ : PQ = PR ⇒ m∠PRQ = m∠PQR … (i)
m∠PQR > m∠PSQ
(∵ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣଠାରୁ ବୃହତ୍ତର)
⇒ m∠PQR >m∠PSR ⇒ m∠PRQ > m∠PSR (∵ m∠PRQ = m∠PQR)
⇒ m∠PRS > m∠PSR ⇒ PS > PR
⇒ PS > PQ (∵ PQ = PR)

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ A͞D, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ (i) AB > BD (ii) AC > CD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ A͞D, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AB > BD ଏବଂ (ii) AC > CD
ପ୍ରମାଣ : Δ ADC ରେ m∠ADB > m∠CAD
m∠ADB > m∠BAD (∵ m∠BAD = m∠CAD)
AB > BD … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, Δ ABD ରେ m∠ADC > m∠BAD
m∠ADC > m∠CAD (∵ m∠CAD = m∠BAD)
AC > CD … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 6.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PR > PQ ଏବଂ P͞S, ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ x > y ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PR > PQ । P͞S, ∠P ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : x > y
ପ୍ରମାଣ : PQR ରେ PR > PQ ⇒ m∠POS > m∠PRS … (i)
APQS ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠PSR = m∠PQS + m∠QPS
APSR ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠PSQ = m∠PRS + m∠RPS
କିନ୍ତୁ (i) ରୁ m∠PQS > m∠PRS
⇒ m∠PQS + m∠QPS > m∠PRS + m∠RPS (∵ m∠QPS = m∠RPS)
⇒ m∠PSR > m∠PSQ ⇒ x > y
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ > PR, \(\overrightarrow{\mathrm{QS}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠Q ଓ ∠R ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ SQ > SR ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ > PR ।
\(\overrightarrow{\mathrm{QS}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠Q ଓ ∠R ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : SQ > SR
ପ୍ରମାଣ : PQ > PR ⇒ m∠PRQ > m∠PQR
\(\frac{1}{2}\)m∠PRQ > \(\frac{1}{2}\)m∠PQR ⇒ m∠SRQ > m∠SQR
⇒ SQ > SR
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠B = 90° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : A͞C, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
ପ୍ରମାଣ : m∠ABC = 90°
⇒ m∠BAC +m∠ACB = 90°
∴ m∠ABC > m∠BAC ⇒ AC > BC … (i)
ପୁନଣ୍ଚ, m∠ABC > m∠ACB ⇒ AC > AB … (ii)
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ A͞C ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.
PQRS ଚତୁର୍ଭୁଜରେ P͞S ଓ Q͞R ଯଥାକ୍ରମେ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) m∠PQR > m∠PSR
(ii) m∠QRS > m∠SPQ ଏବଂ
(iii) m∠P + m∠S < m∠Q + m∠R
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : PQRS ଚତୁର୍ଭୁଜରେ P͞S ଓ Q͞R ଯଥାକ୍ରମେ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠PQR > m∠PSR
(ii) m∠QRS > m∠SPQ ଏବଂ
(iii) m∠P + m∠S < m∠Q + m∠R
ଅଙ୍କନ : S͞Q ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ PSQ ରେ m∠PQS > m∠PSQ
(:: P͞S ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ)
Δ QSR ରେ m∠SQR > m∠QSR
(: Q͞R କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ)
⇒ m∠PQS + m∠SQR > m∠PSQ + m∠QSR
⇒ m∠PQR > m∠PSR … (i)
ସେହିପରି P͞R ଅଙ୍କନ କରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ଯେ, 
m∠QRS > m∠SPQ … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠PQR + m∠QRS > m∠PSR + m∠SPQ
⇒ m∠Q + m∠R > m∠S + m∠P
⇒ m∠S + m∠P < m∠Q + m∠R … (iii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
Δ ABC ର AD, BE ଓ CF ଉଚ୍ଚତାତ୍ରେୟ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB + AC > 2AD
(ii) AB + BC + AC > AD + BE + CF
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର A͞D ⊥ B͞C, BE ⊥ AC ଏବଂ CF ⊥ AB
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AB + AC > 2AD
(ii) AB + BC + AC > AD + BE + CF
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ରେ AB > AD ଏବଂ Δ ADC ରେ AC > AD
⇒ AB + AC > 2AD … (i)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ, AC + BC > 2CF ଏବଂ AB + BC > 2BE
∴ AB + AC + AC + BC + AB + BC > 2AD + 2CF + 2BE
⇒ 2(AB + AC + BC) > 2(AD + BE + CF)
⇒ AB + AC + BC > AD + BE + CF … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
Δ ABC ର AD, BE ଏବଂ CF ମଧ୍ଯମାତ୍ରୟ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB + AC > 2AD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : (i) Δ ABC ରେ AD ମଧ୍ୟମା ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + AC > 2AD
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ଉପରେ M ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = DM ହେବ । CM ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CDM ଦ୍ବୟରେ BD = CD (ଦତ୍ତ),
AD = DM (ଅଙ୍କନ) ଏବଂ m∠ADB = m∠CDM (ପ୍ରତୀପ)
Δ ABD ≅ Δ CDM => AB = CM … (i)
ବର୍ଭମାନ Δ ACM ରେ AC + CM > AM
AC + CM > 2AD => AC + AB > 2AD … (i) ରୁ
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AB + AC + BC > AD + BE + CF
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର AD, BE ଓ CF ମଧ୍ଯମାତ୍ରୟ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB+ AC + BC > AD + BE + CF 
ପ୍ରମାଣ : (i) ରେ ପ୍ରମାଣିତ ଯେ, AB + AC > 2AD
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ, 
AB + BC > 2BE ଏବଂ BC + AC > 2BF
∴ AB + AC + AB + BC + BC + AC > 2AD + 2BE + 2CF
⇒ 2(AB + AC + BC) > 2(AD + BE + CF)
⇒ AB + AC + BC > AD + BE + CF … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
(i) BO + CO < AB + AC
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BO + CO < AB + AC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BO}}\), A͞C କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ MOC ରେ OM + MC > CO, Δ ABM ରେ AB + AM > BM
∴ AB + AM + MC + OM > CO + BM ⇒ AB + AC + OM > CO + BO + OM
⇒ AB + AC > CO + BO ⇒ BO + CO < AB + AC … (i)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AO + BO + CO < AB + AC + BC ଏବଂ
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AO + BO + CO < AB + AC + BC
ପ୍ରମାଣ : (i) ରେ ପ୍ରମାଣିତ BO + CO < AB + AC
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ,
AO + CO < AB + BC ଏବଂ AO + BO < AC + BC
⇒ BO + CO + AO + CO + AO + BO < AB + AC + AB + BC + AC + BC
⇒ 2(AO + BO + CO) < 2(AB + AC + BC)
⇒ AO + BO + CO < AB + AC + BC … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) AO + BO + CO > \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC)
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AO + BO + CO > \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC)
ପ୍ରମାଣ : Δ AOB ରେ AO + BO > AB, Δ BOC ରେ BO + CO > BC
Δ AOC ରେ AO + CO > AC
∴ AO + BO + BO + CO + AO + CO > AB + BC + AC
⇒ 2(AO + BO + CO) > AB + BC + AC
⇒ AO + BO + CO > \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC) … (iii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ Δ ABC ରେ AB > AC ଏବଂ AD = AC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) m∠ACD = \(\frac{1}{2}\) (m∠B + m∠C)
(ii) m∠BCD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C – m∠B)
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB > AC ଏବଂ AD = AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠ACD = \(\frac{1}{2}\) (m∠B + m∠C)
(ii) m∠BCD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C – m∠B)
ପ୍ରମାଣ : (i) Δ ADC ରେ AD = AC
⇒ m∠ADC = m∠ACD ⇒ 2m∠ADC = 2m∠ACD
⇒ m∠ADC + m∠ADC = 2m∠ACD
⇒ m∠ADC + m∠DBC + m∠DCB = 2m∠ACD
⇒ (m∠ACD + m∠DCB) + m∠DBC = 2m∠ACD (∵ m∠ADC = m∠ACD)
⇒ m∠C + m∠B = 2m∠ACD
⇒ m∠ACD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C + m∠B) … (i) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପୁନଣ୍ଚ, m∠BCD = m∠ACB – m∠ACD
⇒ 2m∠BCD = 2m∠ACB – 2m∠ACD
⇒ 2m∠BCD = 2m∠ACB – m∠ACD – m∠ACD = 2m∠ACB – m∠ACD – m∠ADC
= 2m∠ACB – m∠ACD – (m∠DBC + m∠DCB)
= 2m∠ACB – m∠ACD – m∠DBC – m∠DCB
= 2m∠ACB – (m∠ACD + m∠DCB) – m∠DBC
= 2m∠ACB – m∠ACB – m∠DBC = m∠ACB – m∠DBC = m∠C – ∠B
m∠BCD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C – m∠B) … (ii) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) AB + BC + CD > AD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + BC + CD > AD
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB + BC > AC … (1)
Δ ADC ରେ AC + CD > AD … (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗକଲେ AB + BC + AC + CD > AC + AD
⇒ AB + BC + CD > AD (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରୁ AC ବାଦଦେଲେ) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AB + BC + CD + AD > AC + BD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + BC + CD + AD > AC + BD
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB + BC > AC … (1)
Δ BDC ରେ BC + CD > BD … (2)
Δ ADC ରେ AD + CD > AC … (3)
Δ ADB ରେ AD + AB > BD … (4)
( 1), (2), (3) ଓ (4) କୁ ଯୋଗକଲେ
AB + BC + BC + CD + AD + CD + AD + AB > AC + AC + BD + BD
⇒ 2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD)
⇒ AB + BC + CD + AD > AC + BD (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AB + BC + CD + AD > AC + BD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + BC + CD + AD > 2AC
ପ୍ରମାଣ : ABC Δରେ AB + BC > AC … (1)
ସେହିପରି ADC Δରେ AD + CD > AC … (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗକଲେ AB + BC + CD + AD > AC + AC
⇒ AB + BC + CD + AD > 2AC (ପ୍ରମାଣିତ)

 

Question 15.
Δ ABC ରେ AC > AB ଏବଂ A͞D ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ m∠BAD > m∠CAD ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AC > AB । A͞D, Δ ABC ର ଏକ ମଧ୍ୟମା ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BAD > m∠CAD
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ଉପରେ M ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = DM ।
CM ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CMD ଦ୍ବୟରେ BD = CD,
AD = DM ଏବଂ m∠ADB = m∠CDM (ପ୍ରତୀପ)
∴ Δ ABD ≅ ACMD ⇒ AB = CM ଏବଂ m∠CMD = m∠BAD
∴ Δ ACM ରେ AC > CM (∵ AC > AB ଦତ୍ତ)
⇒ m∠CMD > m∠CAD
⇒ m∠BAD > m∠CAD (∵ m∠CMD = m∠BAD) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ‘O’ ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ (କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଭିନ୍ନ) ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ‘O’ ଏକ ବିନ୍ଦୁ । ଯାହା କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ନୁହେଁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD
ପ୍ରମାଣ : Δ AOB ରେ OA + OB > AB … (i)
Δ AAD ରେ OA + OD > AD … (ii)
Δ ADC ରେ OD + OC > CD … (iii)
Δ ABC ରେ OB + OC > BC … (iv)
(i), (ii), (iii) ଓ (iv) କୁ ଯୋଗକଲେ
OA + OB + OA + OD + OD + OC + OB + OC > AB + AD + CD + BC
⇒ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) OA + OB + OC + OD > AC + BD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ‘O’ ଏକ ଅନ୍ତସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : OA + OB + OC + OD > AC + BD
ପ୍ରମାଣ : Δ AOC ରେ OA + OC > AC … (1)
Δ BOD ରେ OB + OD > BD … (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗକଲେ
OA + OC + OB + OD > AC + BD
OA + OB + OC + OD > AC + BD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠PAX = m∠QAY ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, PA +AQ < PB + BQ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠PAX = m∠QAY ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PA + AQ < PB + BQ
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\) ଉପରେ R ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି P – A – R ଓ AQ = AR ହେବ ।
ପ୍ରମାଣ : m∠PAX = m∠BAR (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠PAX = m∠QAY (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠QAY = m∠BAR
∴ Δ ABQ ଓ Δ ABR ମଧ୍ୟରେ
AQ = AR (ଅଙ୍କନ)
m∠QAY = m∠BAR (ପ୍ରମାଣିତ)
A͞B ସଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ
Δ ABQ ≅ Δ ABR (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ BQ = BR
Δ PBR ରେ PR < PB + BR
⇒ PA + AR < PB + BR
⇒ PA + AQ < PB + BQ (∵ AR = AQ ଓ BR = BQ) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ  AB = AC ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AF > AE ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ  AB = AC
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AF > AE
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
m∠ABC = m∠ACB
Δ DFC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠FCB > m∠CFD
⇒ m∠ACB > m∠CFD ⇒ m∠ACB > m∠AFE … (i)
[7 m∠AFE = m∠CFD (ପ୍ରତୀପ)]
⇒ m∠ABC > m∠AFE (∵ m∠ABC = m∠ACB)
ପୁନଶ୍ଚ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠AEF > m∠ABC
m∠AEF > m∠ACB (∵ m∠ABC = m∠ACB)
m∠AEF > m∠AFE [∵ (i) ରୁ]
⇒ AF > AE (ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(a)

Question 1.
ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।
(i) Δ ABC ଓ Δ POR ସର୍ବସମ ହେବେ ଯଦି
(a) AB = PQ, AC = QR, m∠B = m∠Q
(b) AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠R
(c) AB = PQ, AC = PR, m∠A = m∠P
(d) AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠Q
ସମାଧାନ:
AB = PQ, AC = PR, m∠A = m∠P; AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠Q

(ii) Δ ABC ଓ Δ DEF ସର୍ବସମ ହେବେ ଯଦି
(a) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DF
(b) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DE
(c) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, BC = DE
(d) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AC = DF
ସମାଧାନ:
m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DF

(iii) Δ ABC ଓ Δ DE ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜରେ m∠A = m∠D ଓ AB = DE ହେଲେ ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସର୍ଭଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ?
(a) BC = EF
(b) m∠ACB = m∠DFE
(c) AC = DF
(d) m∠ABC = m∠DEF
ସମାଧାନ:
m∠ABC = m∠DEF

(iv) Δ ABC ଓ Δ POR ସର୍ବସମ ହେଲେ, ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ହେବ ?
(a) AB = PQ, BC = QR, m∠C = m∠R
(b) BC = PQ, CA = QR, m∠A= m∠P
(c) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠P
(d) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q
ସମାଧାନ:
AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q

(v) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ର ଅନୁସାରେ m∠BAD : m∠ADB ହେଉଛି,

(a) 2 : 1
(b) 3 : 1
(c) 1 : 2
(d) 1 : 3
ସମାଧାନ:
3 : 1

Question 2.
ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ କେଉଁ ସର୍ଭରେ Δ ABC ଓ Δ POR ସର୍ବସମ ହେବେ ?
(i) AB = PQ, BC = QR, m∠C = m∠R
(ii) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q
(iii) BC = PQ, CA = QR, m∠A = m∠P
(iv) m∠P = m∠B = 90°, PQ = AB, PR = BC
(v) PQ = AB, PR = AC, A ଓ P ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
(vi) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠R
ସମାଧାନ:
(ii) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
(iv) m∠P = m∠B = 90°, PQ = AB, PR = BC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
(v) PQ = AB, PR = AC, A ଓ P ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
(vi) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠R (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)

Question 3.
(i) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 100° ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC, m∠A = 100° ।
ନିର୍ମେୟ : Δ ABC ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ ।
ଡତ୍ତର : m∠A + m∠B + m∠C = 180°
⇒ 100° + m∠B + m∠B = 180° (∵ m∠B = m∠C)
⇒ 2m∠B = 80° ⇒ m∠B = 40°
∴ ΔABC ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ 40° ।

(ii) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ 45° ହେଲେ ଏହାର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଏବଂ m∠B = m∠C = 45°
ନିର୍ମେୟ : ∠BAC ର ପରିମାଣ ।
ଡତ୍ତର : m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 45° + 45° = 180° (∵ m∠B = m∠C = 45°)
m∠A = 180° – 90° = 90°
∴ ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 90° ।

Question 4.
Δ ABC ରେ AC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ AB କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ AB = BD + DC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର ACର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ DE, AB କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ,
ଅର୍ଥାତ୍ DE = E͞C ଓ D͞E ⊥ AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = BD + DC
ଅଙ୍କନ : ED ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADE ଓ Δ DEC ମଧ୍ୟରେ AE = CE (ଦତ୍ତ )
m∠DEA = m∠DEC = 90° (DE ⊥ AC)
DE ସାଧାରଣ ବାହୁ ।
∴ Δ ADE = Δ CDE (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ AD ≅ CD
AB = AD + BD = CD + BD (∵ AD = CD)
AB = BD + DC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 5.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC = BC
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠A = m∠B = m∠C = 60° 
AB = AC ⇒ m∠B = m∠C 
ସେହିପରି AC = BC = m∠A = m∠B 
∴ m∠A = m∠B = m∠C
କିନ୍ତୁ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
∴ m∠A = m∠B = m∠C = \(\frac{180^{\circ}}{3}\) = 60°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 6.
(i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ଅର୍ଥାତ୍ m∠ABD = m∠ACE ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ଅର୍ଥାତ୍ AB = AC ।
ପ୍ରମାଣ : ∠ABD = ∠ACE
m∠ABD + m∠B= 180° = m∠ACE + ∠C  (∵ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
m∠B = m∠C (∵ ∠ABD = m∠ACE) 
AB = AC ଅର୍ଥାତ୍ Δ ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
  (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) Δ ABCରେ AB = AC ହେଲେ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ।
B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ବୟ ∠ABD ଓ ∠ACE ଅଟେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  m∠ABD = m∠ACE
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ACB = m∠ABC
(ସମାନ ବାହୁର ବିପରୀତ କୋଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ)
⇒ m∠ABD + m∠ABC = m∠ACB + m∠ACE = 180°  (∵ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
⇒ m∠ABD = m∠ACE (∵ m∠ABC = m∠ACB)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
Δ ABC ରେ m∠A = 72° ଏବଂ m∠B = 2m∠C ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠A = 72° ଏବଂ m∠B = 2m∠C ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ସମଦିବାହୁ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
⇒ 72° + 2m∠C + m∠C = 180° (∵ m∠B = 2m∠C)
⇒ 3m∠C = 108° – 72° = 108° ⇒ m∠C = 36°
∴ m∠B = 180° – (m∠A + m∠C) = 180° – (72° + 36°)
= 180° – 108° = 72°
∴ m∠A = m∠B ⇒ BC = AC ⇒ Δ ABC ସମଦିବାହୁ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = AC ଏବଂ BO = CO, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ∠ABO ≅ ∠ACO ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଏବଂ OB = OC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ∠ABO ≅ ∠ACO ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC ⇒ m∠ABC = m∠ACB … (i)
Δ OBC ରେ OB = OC (ଦତ୍ତ) ⇒ m∠OBC = m∠OCB … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠ABC – m∠OBC = m∠ACB – m∠OCB
⇒ m∠ABO = m∠ACO
⇒ ∠ABO = ∠ACO (ପ୍ରମାଣିତ)

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଏବଂ BO = CO ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ∠ABO ≅ ∠ACO ।
ଅଙ୍କନ : Δ ABO ଓ Δ ACO ମଧ୍ୟରେ 
∴ AB = AC (ଦତ୍ତ) , BO = CO (ଦତ୍ତ) ଏବଂ A͞O ସାଧାରଣ ବାହୁ ।
Δ ABO ≅ Δ ACO (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ m∠ABO = m∠ACO ⇒ ∠ABO ≅ ∠ACO

Question 9.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = AC, m∠CAD = 160°, m∠BCE = 40° । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, BE = BC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁରେ m∠CAD = 160° ଏବଂ  m∠BCE = 40° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BE = BC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ର ବହିଃସ୍ଥ ∠CAD ର ପରିମାଣ 160° ।
ବହିଃସ୍ଥ m∠CAD = m∠ACB + m∠ABC
m∠CAD = 2m∠ABC (m∠ACB = m∠ABC ∵ AB = AC)
⇒ 160° = 2m∠ABC ⇒ m∠ABC = 80° = m∠ACB
ପୁନଶ୍ଚ Δ CBE ରେ m∠ABC = m∠BCE + m∠CEB
⇒ 80° = 40° + m∠CEB ⇒ m∠CEB = 40°
m∠BCE = m∠CEB = 40° ⇒ BE = BC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
Δ ABC ରେ AB = AC ଓ A͞D ⊥ B͞C । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, BD = DC ଓ m∠BAD = m∠CAD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଓ A͞D ⊥ B͞C ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BD = DC ଓ m∠BAD = m∠CAD ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ ADC  ମଧ୍ୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
m∠ADB = m∠ADC (ସମକୋଣ) ଓ AD ସାଧାରଣ ବାହୁ ।
∴ Δ ABD ≅ Δ ADC (ସ-କ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ BD = CD ଏବଂ m∠BAD = m∠CAD
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = PQ, BC = QR ଏବଂ m∠ABX = m∠PQY । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, Δ ABC ≅ Δ PQR ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁରେ AB = PQ, BC = QR ଏବଂ m∠ABX = m∠PQY ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ≅ Δ PQR ।
ପ୍ରମାଣ : m∠ABX + m∠ABC = 180° ଏବଂ m∠PQY + m∠PQR = 180°
m∠ABX + m∠ABC = m∠PQY +m∠PQR
⇒ m∠ABC = m∠PQR (∵ m∠ABX = m∠PQY)
Δ ABC ଓ Δ PQR ଦ୍ଠୟରେ AB = PQ, m∠ABC = m∠PQR ଏବଂ BC = QR
∴ Δ ABC ≅ Δ PQR (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ A͞B ଓ C͞D ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ  ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ A͞D || B͞C ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : A͞B ଓ C͞D ରେଖାଖଣ୍ଡ ଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
A͞B ଓ C͞D ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି,
ଅର୍ଥାତ୍ AO = BO ଏବଂ CO = DO ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : A͞D || B͞C
ପ୍ରମାଣ  : Δ AOD ଓ Δ BOC ଦ୍ଠୟରେ m∠AOD = m∠BOC 
AO = BO (ଦତ୍ତ) ଏବଂ DO = CO (ଦତ୍ତ)
∴ Δ AOD = Δ BOC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ m∠DAO = m∠CBO କିନ୍ତୁ ଏ ଦ୍ବୟ ଏକାନ୍ତର କୌଣହେତୁ AD || BC 
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AC କଣ୍ଠ ∠A ଓ ∠C କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥୁଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AB = AD ଏବଂ CB = CD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ A͞C  କଣ୍ଠ, m∠BAC = m∠DAC ଓ m∠BCA = m∠DCA ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = AD ଏବଂ CB = CD
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ଏବଂ Δ ADC ଦ୍ଠୟରେ
m∠BAC = m∠DAC (ଦତ୍ତ), A͞C ସାଧାରଣ ବାହୁ
ଏବଂ m∠BCA = m∠DCA (ଦତ୍ତ)
∴ Δ ABC = Δ ADC (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ AB = AD ଏବଂ CB = CD
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
Δ ABC ରେ A ବିନ୍ଦୁରୁ B͞C ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ B͞C କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥୁଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ A͞D ⊥ B͞C ଓ BD = DC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ଅର୍ଥାତ୍ AB = AC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଏବଂ Δ ADC ଦ୍ଠୟରେ BD = CD (ଦତ୍ତ)
A͞D ସାଧାରଣ ବାହୁ ଏବଂ m∠ADB = m∠ADC (ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମକୋଣ)
∴ Δ ABD ≅ Δ ADC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
∴ AB = AC (ଅନୁରୂପ ବାହୁ) ⇒ Δ ABCଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ବୃତ୍ତ ଅଛି, m∠BAD = m∠BCE ଏବଂ AB = BC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁରେ m∠BAD = m∠BCE ଏବଂ AB = BC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABD ≅ Δ CBE
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CBE ଦ୍ଠୟରେ
m∠ABD = m∠CBE (ସାଧାରଣ)
AB = BC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ m∠BAD = m∠BCE (ଦତ୍ତ)
Δ ABD ≅ Δ CBE (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ AD = CE
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ O, P͞Q  ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । P͞A ଏବଂ Q͞B, A͞B ଉପରେ ଲମ୍ବ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ A͞P = B͞Q ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ O, P͞Q ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ଅର୍ଥାତ୍ PO = OQ ।
P͞A ⊥ AB ଏବଂ Q͞B ⊥ A͞B
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AP = BQ
ପ୍ରମାଣ : Δ APO ଏବଂ Δ BQO ମଧ୍ୟରେ PO = OQ (ଦତ୍ତ)
m∠PAO = m∠QBO (ସମକୋଣ) ଏବଂ m∠AOP = m∠BOQ (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
Δ APO ≅ Δ BQO (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା) ⇒ AP = BQ
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
Δ ABC ରେ AB = AC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଏହାର ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC,
B͞D ⊥ A͞C ଓ CE ⊥ AB ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : B͞D ≅ C͞D
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ ACE ଦ୍ଵୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ) 
m∠BAD = m∠CAE (ସାଧାରଣ)
 m∠ADB = m∠AEC = 90°
Δ ABD ≅ Δ ACE ⇒ BD ≅ CD
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 18.
Δ ABC ରେ AB = AC । ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
BO = CO ଏବଂ \( \overrightarrow{\mathrm{AO}}\), ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC । \( \overrightarrow{\mathrm{BO}}\) ଏବଂ \( \overrightarrow{\mathrm{CO}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠B ଓ ∠C ର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ । ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ AC ଓ AB କୁ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) BO = CO
(ii) m∠BAO = m∠CAO;
ଅର୍ଥାତ୍ \( \overrightarrow{\mathrm{AO}}\), ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରମାଣ : m∠ABC = m∠ACB (∵ AB = AC)
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠ABC = \(\frac{1}{2}\)m∠ACB
⇒ m∠OBC = m∠OCB ⇒ OB = OC … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, Δ ABO ଏବଂ Δ ACO ଦ୍ବୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
m∠ABO = m∠ACO (∵ B͞O ଏବଂ C͞O ଯଥାକ୍ରମେ ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ)
ଏବଂ OB = OC ∴ Δ ABO ≅ Δ ACO
⇒ m∠BAO = m∠CAO ଅର୍ଥାତ୍ \( \overrightarrow{\mathrm{AO}}\), ∠A ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 19.
Δ ABC ରେ ∠B ସମକୋଣ । A͞C କର୍ପୂର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ BD = \(\frac{1}{2}\)AC l
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠B = 90° ଏବଂ
D, A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଅର୍ଥାତ୍ AD = DC l
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BD = \(\frac{1}{2}\)AC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\) ଉପରେ ‘E’ ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି
B – D – E ଓ BD = DE l
C͞E ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ EDC ଦ୍ୱୟରେ AD = DC (∵ D, A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
BD = DE (ଅଙ୍କନ) ଏବଂ m∠ADB = m∠EDC (ପ୍ରତୀପ) 
∴ Δ ABD ≅ Δ EDC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ AB = EC ଏବଂ m∠ABD = m∠CED
କିନ୍ତୁ m∠ABD = m∠CED (ଏକାନ୍ତର)
⇒ AB || CE ⇒ m∠ABC + m∠ECB = 180° ⇒ m∠ECB = 90°
Δ ABC ଓ Δ ECB ଦ୍ୱୟରେ AB = CE (ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରମାଣିତ)
B͞C ସାଧାରଣ ବାହୁ ଏବଂ m∠ABC = m∠ECB = 90°
∴ Δ ABC ≅ Δ ECB (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ AC = BE ⇒ AC = 2BD ⇒ BD = \(\frac{1}{2}\)AC

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : Δ ABCରେ ∠B ସମକୋଣ । A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ଅର୍ଥାତ୍ A
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BD = \(\frac{1}{2}\)AC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\) ଉପରେ E ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି BD = DE ହେବ ।
AE ଓ C͞E ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AD = CD (ଦତ୍ତ) ଓ BD = DE (ଅଙ୍କନ) ।
ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
କିନ୍ତୁ m∠ABC = 90° ହେତୁ ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
BE = AC (ଆୟତଚିତ୍ରର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)BE = \(\frac{1}{2}\)AC ⇒ BD = \(\frac{1}{2}\)AC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 20.
କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତାତ୍ରୟ ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ A͞D ⊥ B͞C, C͞E ⊥ A͞B, BF ⊥ AC ଏବଂ AD = CE = BF ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = BC = AC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଏବଂ Δ BCE ଦ୍ଵୟରେ
m∠ABD = m∠CBE (ସାଧାରଣ)
m∠ADB = m∠CEB = 90° ଏବଂ AD = CE (ଦତ୍ତ) 
∴ Δ ABD ≅ Δ BCE (କୋ-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା) ⇒ AB = BC
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ, Δ BFC ≅ Δ ADC ⇒ BC = AC
∴ AB = BC = AC
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 21.
ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏହାର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ ∠A ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\), B͞C କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ 
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = AC ଅର୍ଥାତ୍ A ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ଉପରେ E ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି A – D – E ଏବଂ AD = DE | C͞E ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CDE ଦ୍ଵୟରେ AD = DE (ଅଙ୍କନ)
BD = DC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ m∠ADB = m∠CDE (ପ୍ରତୀପ)
∴ Δ ABD = Δ CDE (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ AB = CE ଏବଂ m∠BAD = m∠CED … (i)
m∠BAD = m∠CAD (ଦତ୍ତ)
m∠CED = m∠CAD ⇒ AC = CE … (ii)
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ AB = AC

(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 22.
Δ ABC ଓ Δ DEF ରେ X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ B͞C ଓ E͞F ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । AB = DF, BC = EF ଓ AX = DY ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, Δ ABC ≅ Δ DEF ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : X, B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ Y, B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, AX = DY, AB = DF ଏବଂ BC = EF ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ≅ Δ DEF 
ପ୍ରମାଣ : Δ ABX ଓ Δ DFY ମଧ୍ୟରେ, AB = DF, AX = DY ଏବଂ BX = FY
(∵ BC = FE ଏବଂ X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ B͞C ଓ F͞E ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
∴ Δ ABC ≅ Δ DEF (ବା-ବା-ବା ସର୍ବସମତା )
⇒ m∠ABX = m∠DFY ⇒ m∠ABC = m∠DFE
ଟର୍ଭମାନ Δ ABC ଓ Δ DFE ଦ୍ଵୟରେ, AB = DF, BC = FE ଏବଂ m∠ABC = m∠DFE
∴ Δ ABC = Δ DFE (ବା-କୋ-ବା ସ୍ଵୀକାର୍ଯ୍ୟ) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 23.
Δ ABC ରେ AB = AC । X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ A͞B ଓ A͞C ଉପରିସ୍ଥ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AX = AY ।
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, CX = BY ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC । A͞B ଓ A͞C ଉପରିସ୍ଥ X ଓ Y ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AX = AY ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : CX = BY
ପ୍ରମାଣ : Δ ABY ଏବଂ Δ ACX ଦ୍ଵୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
AY = AX (ଦତ୍ତ) , m∠BAY = m∠CAX (ସାଧାରଣ କୋଣ)
∴ Δ ABY ≅ Δ ACX (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ BY = CX ⇒ CX = BY
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 24.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = CD ଓ AC = BD । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ AO = DO ଓ BO = CO ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = CD, AC = BD ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AO = DO ଏବଂ BO = CO ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ACB ଏବଂ Δ DBC ଦ୍ୱୟରେ 
AB = CD (ଦତ୍ତ), AC = BD (ଦତ୍ତ) ଏବଂ C͞B (ସାଧାରଣ ବାହୁ)
∴ Δ ACB ≅ Δ DBC (ବା-କୋ-ବା ସ୍ଵୀକାର୍ଯ୍ୟ)
⇒ m∠CAB = m∠CDB ଓ m∠ABC = m∠DCB
⇒ m∠OBC = m∠OCB ⇒ BO = CO
⇒ AB = CD (ଦତ୍ତ) ⇒ AO + BO = CO + DO ⇒ AO = DO (∵ BO = CO)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 25.
Δ ABC ରେ AB = AC । ∠ABC ଓ ∠ACB କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ  ଦର୍ଶାଅ ଯେ, Δ OBC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ।
∠ABC ଓ ∠ACB କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ OBC ସମଦ୍ବିବାହୁ । ଅର୍ଥାତ୍ OB = OC ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC
⇒ m∠ACB = m∠ABC (ସମାନ ବାହୁର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ସମାନ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠ACB = \(\frac{1}{2}\)m∠ABC ⇒ m∠OCB = m∠OBC (ଦତ୍ତ)
⇒ OB = OC
ଅର୍ଥାତ୍ OBC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 26.
Δ ABC ରେ AB ଓ AC ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ଏପରି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = AE ଏବଂ DB = EC । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, DE || BC ।
ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB ଓ AC ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ 
ଯେପରିକି AD = AE ଓ DB = EC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DE || BC ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADE ରେ AD = AE (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ADE = m∠AED (ଭୁମି ସଂଲଗ୍ଶ କୋଣ)
AD + BD = AE + EC ⇒ AB = AC ⇒ m∠B = m∠C
Δ ADE ରେ m∠A + m∠ADE + m∠AED = 180°
m∠A + 2m∠ADE = 180° (∵ m∠ADE = m∠AED) … (i)
Δ ABC ରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 2m∠B = 180° (m∠C = m∠B) … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠A + 2m∠ADE = m∠A + 2m∠B
2m∠ADE = 2m∠B ⇒ m∠ADE = m∠B
କିନ୍ତୁ ଏହି କୋଣଦ୍ଵୟ ଏକାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି ।
∴ DB = EC ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(d)

Question 1.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଭୁଲ ଉକ୍ତ ପାଖରେ ‘✗’ ଚିହ୍ନ ଏବଂ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଖରେ ‘✓’ ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।
(a)କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମକୋଣୀ ।
ସମାଧାନ:
✓

(b) କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ।
ସମାଧାନ:
✓

(c) ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ।
ସମାଧାନ:
✓

(d) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜରେ ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ରହିପାରିବ ।
ସମାଧାନ:
✓

(e) ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 180° ।
ସମାଧାନ:
✓

(f) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରର ପରିପୂରକ ।
ସମାଧାନ:
✗

(g) ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥକୋଣ ସର୍ବଦା ଏକ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ।
ସମାଧାନ:
✗

(h) ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥକୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
✓

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ 30° ହେଲେ, ଅନ୍ୟଟିର ପରିମାଣ ________ । 
ସମାଧାନ:
60°

(b) ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 130° । ଏହାର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ 75° ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
55°

(c ) ΔABC ରେ m∠A = 55° ଏବଂ m∠B = 75° ହେଲେ ∠C ର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
50°

(d) କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
180°

(e) ΔABC ରେ m∠A = 90°, m∠B = 2 m∠C ହେଲେ ∠Cର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
30°

(f) ΔABC ରେ AB = AC, m∠A = 60° ହେଲେ m∠B =  ________ ।
ସମାଧାନ:
60°

(g) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 120° ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଦୁଇକୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
30°

(h) ΔABC ରେ AB = AC, m∠B = 30° ହେଲେ ∠A ର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
120°

Question 3.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ‘x’ ଚିହ୍ନିତ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
(i)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ACD = m∠ABC + m∠BAC
⇒ 130° = x + 70°
⇒ x = 130 – 70° = 60°

(ii)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠DCE = m∠ACB = 50° (ପ୍ରତୀପ)
ΔABC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ABF = m∠A + m∠ACB
⇒ 125° = x + 50°
⇒ x = 125° – 50° = 75°

(iii)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACD + m∠ACB = 180°  (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
⇒ 125° + m∠ACB = 180°
⇒ m∠ACB = 180° – 125° = 55°
ΔABC ରେ m∠BAC = 125° – 45° = 80°
⇒ ପୁନଣ୍ଚ m∠FAB + m∠BAC + m∠CAE = 180°
⇒ 60° + 80° + x = 180°
⇒ 140° + x = 180°
⇒ x = 180° – 140° = 40°

(iv)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACD + m∠ACB = 180°
⇒ 132° + m∠ACB = 180°
⇒ m∠ACB = 180° – 132° = 48°
ΔABC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠EAB = m∠ABC + m∠ACB
⇒ 126° = x + 48°
⇒ x = 126° – 48° = 78°

(v)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠DOC = m∠AOB = 45° (ପ୍ରତୀପ)
ΔAOB ରେ  m∠ABO = 180° – (80° + 45°)
= 180° – 125° = 55°
AB || CD ଏବଂ BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠ABO = m∠ODC = 50° (ଏକାନ୍ତର)

(vi)

ସମାଧାନ:
\(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || BC ଏବଂ BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠EDB = m∠DBC = 30° (ଏକାନ୍ତର)
m∠DAC = m∠DBC + m∠ACB = 30° + 50° = 80
m∠BAC = 180° – m∠DAC = 180° – 80° = 100°

(vii)

ସମାଧାନ:
ΔABC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ACD = m∠A + m∠B = 70° + 56° = 126°
ମାତ୍ର m∠ACE = m∠ECD (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ACE + m∠ECD = m∠ACD
⇒ 2m∠ECD = 126° ⇒ 2x = 126°
⇒ x = \(\frac{126°}{2}\) = 63°

Question 4.
ΔABCର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ O । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : O, ΔABCର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AO}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ΔABO ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠BOE = m∠BAO + m∠ABO … (i)
ΔACO ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠COE = m∠OAC + m∠OCA … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ ସମୀକରଣ (ii)କୁ ଯୋଗକଲେ
⇒ m∠BOE + m∠COE = m∠BAO + m∠ABO + m∠OAC + m∠ACO
⇒ m∠BOC = (m∠BAO + m∠OAC) + (m∠ABO + m∠ACO)
⇒ m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ  ଚିତ୍ରରୁ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, a° + b° = x° + y° ।

ସମାଧାନ:
ମନେକରାଯାଉ ∠BCD = c° ଓ ∠DAB = d°
a° + c° = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
b° + d° = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
ଯୋଗକକେ a° + b° + c° + d° = 180° + 180° = 360° … (i)
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର  x° + c° + y° + d° = 360° … (ii)
(ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 360°) 
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ 
a° + b° + c° + d° = x° + c° +y° + d° ⇒ a° + b° = x° + y° (ପ୍ରମାଣିତ)
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : BD ଅଙ୍କନ କର ।
ΔADB ରେ ବହିଃସ୍ଥ b° = m∠ADB + m∠ABD
ΔCDB ରେ ବହିଃସ୍ଥ a° = m∠CDB + m∠CBD
∴ a° + b° = (m∠ADB + m∠CDB) + m∠ABD + m∠CBD
= m∠ADC + m∠ABC = y° + x°
∴ a° + b° = x° + y°

Question 6.
ΔABC ରେ ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AD, BC କୁ D) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠ABC + m∠ACE = 2m∠ADC ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABCରେ ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AD, BC କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁଛି । 
ΔABCର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ Cରେ ∠ACE କୋଣ ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠ABC + m∠ACE = 2m∠ADC
ପ୍ରମାଣ : ΔABD ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ADC = m∠ABD + m∠BAD
⇒ m∠ADC = m∠ABD + m∠CAD
[∵ m∠BAD = m∠CAD ଦତ୍ତ]
⇒ m∠ABD = m∠ADC – m∠CAD … (i)
ΔACD ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ACE = m∠CAD + m∠ADC … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗକଲେ,
m∠ABD + m∠ACE = m∠ADC – m∠CAD + m∠CAD + m∠ADC
⇒ m∠ABD + m∠ACE = m∠ADC + m∠ADC
⇒ m∠ABD + m∠ACE = 2m∠ADC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
ΔABC ରେ m∠B = 90° । BD ⊥ AC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠ABD = m∠ACB ଏବଂ m∠BAD = m∠DBC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ∠B ସମକୋଣ ଏବଂ BD ⊥ AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠ABD = m∠ACB
(ii) m∠BAD = m∠DBC
ପ୍ରମାଣ : (i) m∠ABC = 90° (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ABD + m∠DBC = 90° (କୋଣ ସମଷ୍ଟି ସ୍ୱାକା୍ଯ) … (i)
ΔBDC ରେ m∠BDC = 90° (ଦତ୍ତ)
m∠DBC + m∠DCB = 90° (∵ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180°) … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii)ରୁ
⇒ m∠ABD + m∠DBC = m∠DBC + m∠DCB
m∠ABD = m∠DCB
⇒ m∠ABD = m∠ACB
 (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) m∠ABC = 90° (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ABD + m∠DBC = 90° (କୋଣ ସମଷ୍ଟି ସ୍ୱାକା୍ଯ) … (i)
ΔABD ରେ m∠DBC = 90° (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠BAD + m∠ABD = 90° (∵ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180°) … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii)ରୁ
m∠ABD + m∠DBC = m∠BAD + m∠ABD
⇒ m∠DBC = m∠BAD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ΔABC ରେ D͞E || B͞C, m∠ABC = 60° ଏବଂ m∠DEC = 135° ହେଲେ, ∠Aର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ DE || BC, m∠DEC = 135° ଓ m∠DBC = 60° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ∠A ର ପରିମାଣ ।
ପ୍ରମାଣ : DE || BC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ E͞C ଛେଦକ ।
⇒ m∠DEC + m∠ECB = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 135° + m∠ECB = 180°
⇒ m∠ECB = 180° – 135° = 45°
ΔABC ରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 60° + 45° = 180°
⇒ m∠A + 105° = 180°
⇒ m∠A = 180° – 105° = 75°
∴ ∠A ର ପରିମାଣ 75° ।

Question 9.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯୋଡ଼ା କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି, ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ  ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ABC ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ । m∠B + m∠C > m∠A, m∠A + m∠C > m∠B, m∠A + m∠B > m∠C
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ΔABC ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ।
ପ୍ରମାଣ : ΔABC ରେ m∠B + m∠C > m∠A (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠A + m∠B + m∠C > m∠A + m∠A (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ m∠A ଯୋଗକରାଗଲେ ।)
⇒ 180° > 2m∠A ⇒ \(\frac{180^{\circ}}{2}\) > \(\frac{2 \mathrm{~m} \angle \mathrm{A}}{2}\)
⇒ 90° > m∠A ⇒ m∠A < 90° … (i)
ସେହିପରି m∠A + m∠C > m∠B
⇒ m∠A + m∠B + m∠C > m∠B + m∠B (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ m∠B ଯୋଗକରାଗଲେ ।)
⇒ 180° > 2m∠B ⇒ \(\frac{180^{\circ}}{2}\) > \(\frac{2 \mathrm{~m} \angle \mathrm{B}}{2}\)
⇒ 90° > m∠B ⇒ m∠B < 90° … (ii)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ m∠C < 90° … (iii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ ∠A < 90°, ∠B < 90° ଓ ∠C < 90°
∴ ΔABC ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
A ABCରେ m∠ABC = m∠ACB, ∠BACର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ BC କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ AD, BC ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ m∠ABC = m∠ACB ଏବଂ AD, m∠Aର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AD ⊥ BC
ପ୍ରମାଣ : ΔABCରେ m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB = 180°
⇒ m∠ABC + m∠BAD + m∠CAD + m∠ACB = 180°
ମାତ୍ର m∠ABC = m∠ACB (ଦତ୍ତ)
ଏବଂ m∠BAD = m∠CAD (∠BACର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ AD)
⇒ 2m∠ABC + 2m∠BAD = 180°
⇒ 2(m∠ABC + m∠BAD) = 180°
⇒ m∠ABC + m∠BAD = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
⇒m∠ABD + m∠BAD = 90°
ΔABD ରେ m∠ABD + m∠BAD + m∠ADB = 180°
⇒ 90° + m∠ADB = 180° ⇒ m∠ADB = 180° – 90° = 90
⇒ A͞D ⊥ B͞C
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ΔABCରେ ∠Bର ଅନ୍ତଃସମଖଣ୍ଡକ ଏବଂ C ବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ବହିଃସ୍ଥକୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକର ଛେଦବିନ୍ଦୁ E ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠BEC = m∠A ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ∠Bର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ BE ଓ ∠C ବହିଃସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ CE ପରସ୍ପରକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

Question 12.
ΔABCରେ ∠ABC ଓ ∠ACB ର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
m∠BOC = 90° + \(\frac{1}{2}\)m∠A ।
ସମାଧାନ:

Question 13.
ΔABCରେ ∠B ଓ ∠Cର ବହିଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରକୁ ୦ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
m∠BOC = 90° – \(\frac{1}{2}\)m∠A ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ∠B ଓ ∠Cର ବହିଃ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ ଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O।

Question 14.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PS, ∠Pର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ PT ⊥ OR ।
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠TPS = \(\frac{1}{2}\)(m∠Q – m∠R)
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔPQR ରେ PS, ∠Pର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ PT ⊥ OR ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠TPS = \(\frac{1}{2}\)(m∠Q – m∠R)
ପ୍ରମାଣ : PT ⊥ OR (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠PTQ = m∠PTR = 90°
ΔPQT ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠PTS = m∠Q + m∠QPT … (i)
ΔPTS ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠PTQ = m∠TPS + m∠PST … (ii)
ମାତ୍ର m∠PTQ = m∠PTS = 90°
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠Q + m∠QPT = m∠TPS + m∠PST
⇒ m∠Q + m∠QPT + m∠TPS = m∠TPS + m∠PST + m∠TPS
(ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ m∠TPS ଯୋଗ କରାଗଲେ ।)
⇒ m∠Q + m∠QPS = 2m∠TPS + m∠PST
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠PST + m∠QPS
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠PSQ + m∠SPR (∵ PS, ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠SPR – m∠R + m∠SPR
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠R (∵ ΔPSR ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠PSQ = m∠SPR + m∠R)
⇒ m∠TPS = \(\frac{1}{2}\)(m∠Q – m∠R)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ΔABC ରେ BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ O ଏବଂ BQ = AQ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ∠BAC ସମକୋଣ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ Q ଅର୍ଥାତ୍ BQ = AQ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  m∠BAC = 90°
ପ୍ରମାଣ : BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ Q । ⇒ BQ = CQ
BQ = AQ (ଦତ୍ତ) ⇒ AQ = BQ = CQ
⇒ m∠BAQ = m∠ABQ = m∠ACQ = m∠QAC
(Δର ଦୁଇଟି ବାହୁ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କର ବିପରୀତ କୌଣମାନ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ହେବେ ।)
ΔABCରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180° (Δର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ m∠BAQ + m∠CAQ + m∠ABQ + m∠ACQ = 180°
⇒ 2m∠BAQ + 2m∠CAQ = 180°
⇒ 2(m∠BAQ + m∠CAQ) = 180°
⇒ m∠BAQ + m∠CAQ = \(\frac{180°}{2}\)
⇒ m∠BAC = 90°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ΔABCର O ଏକ ଅନ୍ତସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ । ଯଦି m∠OAB = m∠OCA ହୁଏ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ m∠A0C + m∠BAC = 180° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ‘O’ ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ଅର୍ଥାତ୍ m∠OAB = m∠OCA ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  mZAOC + m∠BAC = 180°
ପ୍ରମାଣ : ΔAOC ରେ m∠AOC + m∠OCA + m∠OAC = 180° (Δର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ m∠AOC + m∠BAO + m∠OAC = 180° [∵ m∠OAB = m∠OCA (ଦତ୍ତ)]
⇒ m∠AOC + m∠BAC = 180°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(c)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ବା ଭୁଲ ଲେଖ ।
(a) L₁ || L₂ ଓ L₂ || L₃ ହେଲେ L₁ || L₃
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(b) L₁ ⊥ ଓ L₂ ⊥ L₃ ହେଲେ L₁ ⊥ L₃
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(c)  L₁ = L₂ ହେଲେ L₁ || L₂
ସୂଚନା : L₁ = L₂ ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି L₁ ଓ L₂ ରେଖା ଏକ ଅଭିନ୍ନ ।
ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ସଂଜ୍ଞା ବ୍ୟବହାର କର ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(d) ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(e) ∠ABC ଓ ∠DEF ମଧ୍ୟରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ED}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathbf{BC}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{EF}}\) ହେଲେ m∠ABC = m∠DEF ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

Question 2.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₃ ସେମାନଙ୍କର ଛେଦକ । ଛେଦବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣଗୁଡ଼ିକ 1, 2, 3 …. 8 ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଚିହ୍ନିତ । m∠3 = 65° ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₃ ଛେଦକ ।
m∠3 = 65° (ଦତ୍ତ)
∴ m∠3 + m∠1 = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)
⇒ m∠1 = 180° – m∠3 = 180° – 65° = 115°
m∠1 = m∠4 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠4 = 115°
m∠3 = m∠2 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠2 = 65°
m∠4 = m∠5 (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ⇒ m∠5 = 115°
m∠5 = m∠8 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠8 = 115°
m∠4 = m∠7 (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ⇒ m∠7 = 1 15°
m∠7 = m∠6 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠6 = 65°
∴ m∠1 = m∠4 = m∠5 = m∠8 = 115° ଏବଂ m∠2 = m∠3 = m∠6 = m∠7 = 65° ।

Question 3.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ || L₄ ଚିତ୍ରରୁ ନିମ୍ନଲିଖ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କରି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକୁ ପୂରଣ କର ।
m∠x = ________, m∠z = ________
m∠p = ________, m∠q = ________
m∠r = ________, m∠s = ________
ସମାଧାନ:

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₃ || L₄
m∠x = 60°, m∠z = 60° (ଅନୁପୂରକ)
m∠p = 60° = m∠z, m∠z = m∠q = 120° (ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ)
m∠r = 120° (ପ୍ରତୀପ), m∠s = 120° (∵ ∠x ଓ ∠r ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ)

Question 4.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ । ଚିତ୍ରକୁ ବ୍ୟବହାର କରି a, b, c, d ଦ୍ଵାରା ଚିହ୍ନିତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂
m∠a = 75° (∵ ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠b = 130° (∵ ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠b = m∠c = 130° (∵ ଅନୁପୂରକ କୋଣ)
m∠a = m∠d = 75° (∵ ଅନୁପୂରକ କୋଣ)

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB || CD ଏବଂ AD || BC । ଚିତ୍ରରୁ x, y, z ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ AB || CD, AD || BC ଏବଂ m∠B = 48° ।
m∠B + m∠C = 180° (∵ AB || CD)
⇒ 48° + m∠x – 180° ⇒ x = 180° – 48° = 132°
ସେ୍ହିପରି m∠C + m∠D = 180° (∵ AD || BC)
⇒ x + y = 1 80°
⇒ 132 + y = 180° ⇒ y = 180° – 132° = 48°
ପୁନଣ୍ଚ m∠D + m∠A = 180° (∵ AB || CD)
⇒ y + z = 180°
⇒ 48 + z = 180°
⇒ z = 180° – 48° = 132°
x = 132°, y = 48°, z = 132° ।

Question 6.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ || RS । \(\overleftrightarrow{\mathbf{RS}}\) କୁ \(\overleftrightarrow{\mathbf{BN}}\) C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ଚିତ୍ରରୁ x ଓ y ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACN + m∠ACB = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ) 
m∠PBC = m∠ACN = 130° (ଅନୁଗୁପ)
∴ m∠ACB = 180° – 130° = 50°
\(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{RS}}\)
⇒ m∠ACB = m∠CBQ = 50° = y (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
m∠ABP = m∠PBC – m∠ABC = 130° – 55° = 75°
∴ m∠CAB = m∠ABP (ଏକାନ୍ତର)
∴ x = 75°
∴ x = 75° ଓ y = 50°

Question 7.
ଚିତ୍ରରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ର ଦୁଇଯୋଡ଼ା ସମାନ୍ତର ରେଖାଦ୍ଵାରା ଗଠିତ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସଂକେତରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।
(i) ଚିତ୍ର (a) ରୁ x ଓ y ମଧ୍ଯରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ST}}\)
ଚିତ୍ର (a) ରୁ m∠x + m∠CQP = 180° (∵ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\))
ସେ୍ହିପରି m∠CQP = m∠QRS (ଅନୁଗୁପ କୋଣ) (∵ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ST}}\))
m∠APQ = m∠PQR (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) = x
∴ m∠x + m∠QRS = 180° (∵ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ST}}\))
ମାତ୍ର m∠y + m∠QRS = 180°
∴ m∠x + m∠QRS = m∠y + m∠QRS
⇒ m∠x – m∠y

(ii) ଚିତ୍ର (b) ରୁ a ଓ b ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PT}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{RS}}\)
⇒ m∠QPB = m∠TQR = a° (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ଏବଂ ∠TQR + m∠SRQ = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)
⇒ m∠a + m∠b = 180°

Question 8.
(i) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 74°, m∠EDC = 38° ଓ m∠BCD = 36° । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 74°, m∠EDC = 38° ଓ m∠BCD = 36° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\)
ପ୍ରମାଣ : ΔCDF ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠EFC = m∠FDC + m∠FCD = 38° + 36° = 74°
m∠ABF = 74°
∴ m∠ABF = m∠EFC = 74°
ତେଣୁ ଏମାନେ ଅନୁରୂପ । ⇒ \(\overleftrightarrow{\mathbf{DE}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{BA}}\) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 60°, m∠EDC = 38° ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) । ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ m∠BCD = 22° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 60°, m∠EDC = 38° ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BCD = 22°
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\)
m∠ABF = m∠EFC = 60° (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ΔCDF ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠EFC = 60°
m∠FCD = 60° – 38° = 22°
m∠BCD ର ପରିମାଣ 22° ।

Question 9.
(i) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\)
ଏବଂ AB ସହ ସମାନ୍ତର ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠A = m∠B ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\), ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । 
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠A = m∠B
ପ୍ରମାଣ : AB || \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) ଏବଂ AC ଛେଦକ ।
⇒ m∠A = m∠ACE (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
ସେହିପରି AB || \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) ଏବଂ BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠ABC = m∠ECD (ଅନୁରୂପ କୋଣ)
ମାତ୍ର m∠ACE = m∠ECD (ଦତ୍ତ)
ସମୀକରଣ (i) ଓ ସମୀକରଣ (ii) ରୁ m∠A = m∠ABC
⇒ m∠A = m∠B
 (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB, m∠ECD = 70° ଏବଂ 
m∠A = 50° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠ACB = 60° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB, m∠ECD = 70° ଓ mZA = 50° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠ACB = 60°
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB, BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠ECD = m∠ABC = 70° (ଅନୁରୂପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ m∠A = m∠ACE = 50°
m∠ACD = m∠ACE + m∠ECD = 50° + 70° = 120°
କିନ୍ତୁ ∠ACB ଓ ∠ACD ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ
∴ m∠ACB = 180° – 120° = 60°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₁, L₂ ର ଛେଦକ L₃
(i) m∠2 = 2m∠1 ହେଲେ, ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର । 
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଓ L₃ ଛେଦକ । m∠2 = 2m∠1
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ।
m∠1 = m∠3 (ପ୍ରତୀପ)
m∠2 + m∠3 = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 2m∠1 + m∠1 = 180° (∵ m∠2 = 2m∠1)
⇒ 3m∠1 = 180°
⇒ ∠1 = \(\frac{180°}{3}\) = 60°
⇒ m∠2 = 2m∠1 = 2 × 60° = 120°
∴ m∠1 = 60° ଓ m∠2 = 120°

(ii) m∠2 = 3m∠1 ହେଲେ, ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର । 
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠2 = 3m∠1
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ।
m∠1 = m∠3 (ପ୍ରତୀପ)
m∠2 + m∠3 = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 3∠1 + ∠1 = 180° (∵ m∠2 = 3m∠1)
⇒ 4∠1 = 180°
⇒ ∠1 = \(\frac{180°}{4}\) = 45°
⇒ ∠2 = 3m∠1 = 45° × 3 = 135°
∴ ∠1 = 45° ଓ ∠2 = 135°

(iii) m∠1 : m∠2 = 2 : 3 ହେଲେ, ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : m∠1 : m∠2 = 2 : 3
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ।
ମକେତେ m∠1 = 2x° ଓ m∠2 = 3x°
m∠1 = m∠3 (ପ୍ରତୀପ)
m∠2 + m∠3 = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = \(\frac{180°}{5}\) = 36°
∴ m∠1 = 2x = 2 × 36° = 72°
m∠2 = 3x = 3 × 36° = 108°

Question 11.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ | L₃ ଛେଦକ L₁ ଓ L₂ ସରଳ ରେ ଖାଦ୍ୟକୁ ଯଥାକ୍ରମେ A ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ∠BACର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଓ ∠ACDର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତି । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ∠AOC = 90° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଓ L₃ ଛେଦକ । 
AO, ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଓ CO, ∠Cର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠AOC = 90° 
ପ୍ରମାଣ : m∠A + m∠C = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ m∠OAC + 2m∠OCA = 180° (∵ AO, ∠BACର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଓ CO, ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
⇒ m∠OAC + m∠OCA = \(\frac{180°}{2}\) = 90°
ΔAOC ରେ m∠OAC + m∠OCA + m∠AOC = 180°
⇒ 90° + m∠AOC = 180°
⇒ m∠AOC = 180° – 90° = 90°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
(i) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\), m∠OAB = 135°, m∠OCD = 145° ହେଲେ ∠AOCର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\), m∠OAB = 35° ଓ m∠OCD = 145°
ନିର୍ଦେୟ : ∠AOCର ପରିମାଣ ।
ଅଙ୍କନ : O ବିନ୍ଦୁରେ \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\)
⇒ m∠BAO + m∠AOE = 180°
⇒ m∠AOE = 180° – m∠BAO
= 180° – 105° = 45° (∵ m∠BAO = 135°)
ସେହିପରି \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) (∵ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)  || \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\))
⇒ m∠OCD + m∠EOC = 180°
⇒ m∠EOC = 180° – m∠OCD
⇒ m∠EOC = 180° – 145° = 35°
∴ m∠AOC = m∠AOE + m∠COE = 45° + 35° = 80°

(ii) ପାର୍ଶ୍ୱ ସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{XB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{YD}}\), m∠XAO = 60°, m∠YCO = 70° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ m∠AOC = 130° ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{\mathbf{XB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{YD}}\), m∠XAO = 60° ଓ m∠YCO = 70°
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠AOC = 130°
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AO}}\), YD କୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : \(\overleftrightarrow{\mathbf{XB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{YD}}\) ଏବଂ AE ଛେଦକ ।
⇒ m∠XAE = m∠OEC = 60° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
ΔOEC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠AOC = m∠OEC + m∠OCE = 60° + 70° = 130°

Question 13.
ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦକଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) ଯେକୌଣସି ଏକାନ୍ତର କୋଣ ଦୁଇଟିର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ । \(\overrightarrow{\mathrm{AF}}\), ∠Aର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\), ∠Bର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{AF}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\)
ପ୍ରମାଣ : m∠GAB = m∠ABD (ଏକାନ୍ତର )
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠GAB = \(\frac{1}{2}\)m∠ABD
⇒ m∠FAB = m∠ABE
ମାତ୍ର ଏମାନେ ଏକାନ୍ତର ।
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{AF}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ଯେକୌଣସି ଅନୁରୂପ କୋଣ ଦୁଇଟିର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ l \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\), ∠Aର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\), ∠Bର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\)
ପ୍ରମାଣ : m∠GAC = m∠ABD (ଅନୁରୂପ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠GAC = \(\frac{1}{2}\)m∠ABD
⇒ m∠GAE = m∠ABF
(∵ \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) m∠GACର ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\), m∠ABD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
 କିନ୍ତୁ ଏମାନେ ଅନୁରୂପ କୋଣ ।
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ΔABCର m∠B = m∠C, B͞C ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖା AB ଓ AC କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠APQ = m∠AQP ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ m∠B = m∠C ଓ BC || \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\)
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠APQ = m∠AQP
ପ୍ରମାଣ : BC || \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) ।
⇒ m∠APQ = m∠B ଏବଂ m∠AQP = m∠C (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ମାତ୍ର ∠B = ∠C (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠APQ = m∠AQP
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ଗୋଟିଏ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ଅନ୍ୟ ଏକ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ସହ ସମାନ୍ତର ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୋଣଦ୍ଵୟ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ବା ପରିପୂରକ ହେବେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{ED}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠B = m∠E
(ii) m∠B + m∠E = 180°
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{DP}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)  ଛେଦକ ।
⇒ m∠ABC = m∠DPC (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{PE}}\) ଛେଦକ ।
⇒ m∠DPC = m∠PEF (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠ABC = m∠PEF
⇒ m∠B = m∠E
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{ED}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) ଛେଦକ ।
⇒ m∠B = m∠CPE (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ \(\overrightarrow{\mathrm{PC}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{PE}}\) ଛେଦକ ।
⇒ m∠CPE + m∠PEF = 180°
⇒ m∠B + m∠PEF = 180° (∵ m∠B = m∠CPE)
⇒ m∠B + m∠E = 180°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦକରି ସେଥୁମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ଗୋଟିଏ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତାହା ଅନ୍ୟଟି ପ୍ରତି ମଧ୍ୟ ଲମ୍ବ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ । L₃ ⊥ L₁
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : L₃ ⊥ L₂
ପ୍ରମାଣ :  L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ ।
⇒ m∠PAC = m∠ABD (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ମାତ୍ର m∠PAC = 90° (ଦତ୍ତ)
m∠ABD = 90° ⇒ L₁ ⊥ L₂
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପଦଗୁଡ଼ିକର ସଂଜ୍ଞା ଲେଖ ।
କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ, ସନ୍ନିହିତ କୋଣ, ପ୍ରତୀପ କୋଣ, ପରିପୂରକ କୋଣ, ଅନୁପୂରକ କୋଣ ।
ସମାଧାନ:
କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ:
∠ABC ର \(\overleftrightarrow{\mathrm{BC}}\) ର A – ପାର୍ଶ୍ବ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ର C – ପାର୍ଶ୍ଵର ଛେଦକୁ ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ କୁହାଯାଏ । ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁକୁ ∠ABC ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ । ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ P, ∠ABC ର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତସ୍ଥ  ବିନ୍ଦୁ ଅଟେ । ଏହିପରି ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁକୁ ନେଇ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଗଠିତ ।

ସନ୍ନିହିତ କୋଣ: 
ଦୁଇଟି କୋଣର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ବାହୁ ଓ କୋଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ୟ ବାହୁ ଦୁଇଟି ସାଧାରଣ ବାହୁର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ ବିସ୍ତୃତ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ସନ୍ନିହିତ କୋଣ (Adjacent angles) କୁହାଯାଏ ।
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ∠PSQ ଓ ∠QSR ସନ୍ନିହିତ ଅଟନ୍ତି ।

ପ୍ରତୀପ କୋଣ:
ଗୋଟିଏ କୋଣର ବାହୁଦ୍ୱୟର ବିପରୀତ ରଶ୍ମିମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା ଗଠିତ କୋଣକୁ ଉକ୍ତ  କୋଣର ପ୍ରତୀପ କୋଣ (Vertically OppositeAngle) କୁହାଯାଏ । ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ∠BOC ଓ ∠AOD ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ ଏବଂ ∠AOC ଓ ∠BOD  ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ ଅଟନ୍ତି ।

ପରିପୂରକ କୋଣ:
ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମିର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେଲେ ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଅନ୍ତି, ସେମାନେ ପରସ୍ପର ପରି ପୂରକ (Supplementary angle); ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ଅଟେ ।

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACD + m∠BCD = 180° ଅର୍ଥାତ୍ ∠ACD ଓ ∠BCD ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ଅଟନ୍ତି ।

ଅନୁପୂରକ କୋଣ:
 ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 90° ହେଲେ ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ କୋଣ (Complementary angles) କୁହାଯାଏ ।

Question 2.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) ଗୋଟିଏ କୋଣର କେତୋଟି ବାହୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଦୁଇଟି

(ii) ଗୋଟିଏ କୋଣର କେତୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ

(ii) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଅସଂଖ୍ୟ

(iv) କୋଣ ଓ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଦେଶର ଛେଦରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ନଥାଏ

Question 3.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ତାଲିକାରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ଦର୍ଶାଅ ।
(i) ରେଖାଖଣ୍ଡ 
(ii) ରଶ୍ମି
(iii) ରେଖା
(iv) କୋଣ
(v) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦ୍ଦେଶ 
(vi) ସମତଳ
(vii) କୋଣର ବହିର୍ଦେଶ
ସମାଧାନ:
(i) ରେଖାଖଣ୍ଡ 
(ii) ରଶ୍ମି 
(iii) ରେଖା 
(v) କୋଣର ଅନ୍ତଦ୍ଦେଶ ଓ 
(vi) ସମତଳ

Question 4.
ତିନୋଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରୁଥିବାର ଏକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର । ତତ୍ପରେ ଚିତ୍ରକୁ ଦେଖ୍ ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।
ସମାଧାନ:
ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଯୋଡ଼ା:
(i) ∠EAD ଓ ∠BAC
(ii) ∠EAB ଓ ∠CAD
(iii) ∠FBG ଓ ∠ABC
(iv) ∠FBA ଓ ∠GBC
(v) ∠ICH ଓ ∠ACB
(vi) ∠ACI ଓ ∠BCH

Question 5.
ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥ‌ିବାର ଚିତ୍ରଟିଏ ଅଙ୍କନ କର । ତତ୍ପରେ ଚିତ୍ରରୁ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଯୋଡ଼ାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
(i) ∠AOBର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠AOD
(ii) ∠AOBର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠BOC
(ii) ∠BOCର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠COD
(iv) ∠CODର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠AOD

Question 6.
XY ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁକୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖାର N-ପାର୍ଶ୍ଵରେ C ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ M-ପାର୍ଶ୍ବରେ B ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, BM ଓ NC ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ ରହିବେ ?
ସମାଧାନ:
 (i) \(\overleftrightarrow{\mathrm{XY}}\) (ସରଳରେଖା)ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ ହୋଇଛି ।
(ii) ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖାର N ପାର୍ଶ୍ଵରେ C ବିନ୍ଦୁ ଓ M ପାର୍ଶ୍ବରେ B ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ ହୋଇଛି ।
(iii) ଚିତ୍ରରୁ ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, \(\overline{\mathrm{BM}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{NC}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ \(\overleftrightarrow{\mathrm{XY}}\) ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅଛନ୍ତି ।

Question 7.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ । ଆବଶ୍ୟକସ୍ଥଳେ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।
(i) X ବିନ୍ଦୁ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ନ ହେଲେ ଓ A – O – B ହେଲେ,
m∠XOA + m∠XOB କେତେ ?
ସମାଧାନ:
m∠XOA + m∠XOB = 180°
( ∵ ∠XOA ଏବଂ ∠XOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)

(ii) \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଲେ, ∠AOC ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ
କେଉଁଟି ?
ସମାଧାନ:
\(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
∠AOC ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ∠BOD ।

(iii) m∠AOB ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ m∠AOC = x ଓ m∠AOB = y ହେଲେ, m∠BOC କେତେ ?
ସମାଧାନ:
m∠AOB ର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ C NC
m∠AOC = x ଏବଂ m∠AOB = y
∴ m∠BOC = m∠AOB – m∠AOC = y – x

(iv) ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥ‌ିବା କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଯଦି ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 30° ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ପ୍ରତୀପ କୋଣର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ହେବ ?
ସମାଧାନ:
\(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ମନେକର m∠BOC = 30°
m∠BOC = m∠AOD (∵ ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠AOD ର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° – 30° = 150° (∵ ପରିପୂରକ କୋଣଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 180° ।)

Question 8.
(i) m∠AOB = x ଓ∠AOB ର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ 2x° ହେଲେ xର ମାନ ଡିଗ୍ରୀରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
ସମାଧାନ:
m∠AOB = x
m∠AOB କୋଣର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 2x
⇒ ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 90°- x = 2x
⇒ 2x + x = 90°
⇒ 3x = 90°
⇒ x = \(\frac{90^{\circ}}{3}\) = 30°

(ii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣରୁ 18° ଅଧିକ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ କେତେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣ ଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଏବଂ 2θ + 18° ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ କୌଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ । ଅର୍ଥାତ୍ θ + 2θ + 18° = 180°
⇒ 3θ = 180° – 18° = 162°
⇒ θ = \(\frac{162}{3}\) = 54°
∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = 2θ + 18° = 2 × 54 + 18 = 108 + 18 = 126°
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ:
ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ । ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (180 – θ°) ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ θ = 2(180°- θ) + 18°
⇒ θ = 360° – 2θ + 18°
⇒ 3θ = 378°
⇒ θ = \(\frac{378}{3}\) = 126°

(iii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଏକପଞ୍ଚମାଂଶ ହେଲେ କୋଣଟିର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ θ ଏବଂ \(\frac{θ}{5}\) ।
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, କୋଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
⇒ θ + \(\frac{θ}{5}\) = 180° 
⇒ \(\frac{5 \theta+\theta}{5}\) = 180°
⇒ 6θ = 180° × 5
⇒ \(\frac{180^{\circ} \times 5}{6}\) = 150°
∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{θ}{5}\) = \(\frac{150^{\circ}}{5}\) = 30°
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ:
ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ । ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (180 – θ°)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ θ = \(\frac{180^{\circ}-\theta}{5}\) 
⇒ 5θ = 180° – θ
⇒ 6θ = 180°
⇒ θ = 30°

(iv) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 4 : 5 ହେଲେ, କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 4θ ଓ 5θ ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 4θ + 5θ = 180° 
9θ = 180° 
θ = \(\frac{180}{9}\) = 20°
∴ 4θ = 4 × 20° = 80° ଓ 5θ = 5 × 20° = 100°
∴ ନିର୍ଦେୟ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 80° ଓ 100° ।

(v) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣଠାରୁ 20° କମ୍ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଓ θ – 20° ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, କୋଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
⇒ θ + θ – 20° = 180°
⇒ 20 = 180° + 20°
⇒ θ = \(\frac{200}{2}\) = 100°
∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = θ – 20° = 100° – 20° = 80°

(vi) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନ୍ତର 30° ହେଲେ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣଦ୍ବୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଓ θ + 30° ।
θ + θ + 30° = 180°
⇒  2θ + 30° = 180°
⇒ 2θ = 180° – 30°
⇒ θ = \(\frac{150}{2}\) = 75°
∴ ବୃହତ୍ତର ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ କୋଣର ପରିମାଣ = θ + 30° = 75° + 30° = 105° ।

(vii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣ ପରିମାଣର ଏକ-ପଞ୍ଚମାଂଶ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ: 
ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ x° ।
ଏହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (90 – x°) ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x = \(\frac{90-x}{5}\)
⇒ 5x = 90 − x
6x = 90
⇒ x = \(\frac{90}{6}\) = 15°
∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 15° ।

Question 9.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଅନୁସାରେ x ର ମାନ କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
(i) ଚିତ୍ର (କ) ରେ ∠AOC ଓ ∠BOC ଦ୍ବୟ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ m∠AOC + m∠BOC = 180°
⇒ 3x + 2x = 180
⇒ 5x = 180
⇒ x = \(\frac{180}{5}\) = 36
∴ x = 36°

(ii) ଚିତ୍ର (ଖ) ରେ ∠PRS ଓ ∠ORS ଦ୍ବୟ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ m∠PRS + m∠QRS = 180°
(x – 4) + (3x + 8) = 180
⇒ 4x + 4 = 180
⇒ 4x = 180 – 4
⇒ x = \(\frac{176}{4}\) = 44
∴ x = 44°

(iii) ଚିତ୍ର (ଗ) ରେ m∠MOP + m∠POQ + m∠QON = 180°
⇒ (x + 20) + (2x – 30) + (x + 10) = 180°
⇒ 4x = 180°
⇒ x = \(\frac{180}{4}\) = 45°
∴ x = 45°

Question 10.
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
m∠COE = 90° ହେଲେ x, Y ଓ z ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
m∠AOC = m∠BOD (ପ୍ରତୀପ) ⇒ 2x = y
ସେହିପରି m∠AOD = m∠BOC (ପ୍ରତୀପ)
⇒ z = 90° + x (∴ m∠COE = 90°)
m∠AOC + m∠AOD = 180°
⇒ 2x + 90° + x = 180°
⇒ 3x = 90°
⇒ x = 30° (∵ m∠AOD = 90° + x)
y = 2x = 2 × 30° = 60°,
z = 90° + x = 90° + 30° = 120°

Question 11.
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ଓ m∠POC = 75° ହେଲେ, a, b ଏବଂ c ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
∠ROP ଓ ∠POS ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ,
m∠ROP + m∠POS = 180°
⇒ m∠ROP + m∠POC + m∠COS = 180°
⇒ 4b + 75° + b = 180°
⇒ 5b + 75° = 180°
⇒ 5b = 180° – 75° = 105°
⇒ b = \(\frac{105}{5}\) = 21°
m∠QOS = m∠ROP (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) 
⇒ a = 4b = b × 21 = 84°
∠ROQ ଓ ∠QOS  m∠ROQ + m∠QOS = 180°
⇒ 2c + a = 180°
⇒ 2c + 84° = 180°
⇒ 2c = 180° – 84° = 96°
∴ c = \(\frac{96°}{2}\) =48°
∴ a = 84°, b = 21°, c = 48°

Question 12.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଦୁଇଟି ପ୍ରତୀପ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଦୁଇଟି ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେବେ । 
ସମାଧାନ:
 ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ରେଖାଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
\(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠AOC ଓ ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ :  m∠AOC + m∠AOD = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + m∠AOD = 180°
(∵ m∠AOC = \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠AOC)
\(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠BOD + m∠AOD = 180°
m∠AOM + m∠DON + m∠AOD = 180°
m∠AOM + m∠AON = 180°
\(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି । 
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ∠AOC ଓ ∠BOC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
OM ଓ ON ଯଥାକ୍ରମେ ∠BOC ଏବଂ ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ଅର୍ଥାତ୍ m∠MON = 90°
ପ୍ରମାଣ : ∠AOC ଓ ∠BOC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠AOC +m∠BOC = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠BOC = \(\frac{1}{2}\) × 180°
⇒ m∠CON + m∠COM = 90° (∵ \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\), ∠BOC ର ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\), ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
⇒ m∠MON = 90°
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{ON}}\)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\), ∠AOC କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରେ ।
m∠COD = 90° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\), ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\), ∠AOE କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ ଏବଂ m∠COD = 90° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\), ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରମାଣ : ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠AOE + m∠EOB = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠AOE + \(\frac{1}{2}\)∠EOB = 90°
⇒ m∠COE + \(\frac{1}{2}\)m∠EOB = 90° … (i)
କିନ୍ତୁ mZCOD = 90° (ଦତ୍ତ)
∴ m∠COE + m∠EOD = 90° … (ii)
⇒ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠COE + \(\frac{1}{2}\)m∠EOB = m∠COE + m∠EOD
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠EOB = m∠EOD
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\), ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । 
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
\(\overleftrightarrow{AB}\) ଓ \(\overleftrightarrow{CD}\) ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । m∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{OX}\) । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overleftrightarrow{XO}\) କୋଣ BOD କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{AB}\) ଓ \(\overleftrightarrow{CD}\) ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
\(\overrightarrow{OX}\), ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
\(\overrightarrow{OX}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{OY}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{OY}\), ZBOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{OX}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି OY ହେତୁ ଏକ ସରଳରେଖା \(\overleftrightarrow{XY}\)
ଏବଂ \(\overleftrightarrow{AB}\) ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । 
⇒ m∠AOX = m∠BOY (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ, \(\overleftrightarrow{XY}\) ଏବଂ \(\overleftrightarrow{CD}\) ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । 
⇒ m∠XOC = m∠YOD (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
\(\overrightarrow{OX}\), ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ।
⇒ m∠A0X = m∠XOC
⇒ m∠BOY = m∠YOD (∵ ∠AOX = ∠BOY ଏବଂ ∠XOC = ∠YOD)
∴ \(\overrightarrow{OY}\), ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ରଶି । କୌଣସି ରଶି ଅନ୍ୟ ରଶି ଦଇଟି ଦାରା ଗଠିତ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ବିସ୍ତୃତ ନୁହେଁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠AOB + m∠BOC + m∠COA =360°
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) , O ବିନ୍ଦୁଗାମୀ ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ରଶ୍ମି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠AOB + m∠BOC + m∠AOC = 360°
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : m∠AOE +m∠EOD = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
⇒ m∠AOE + m∠EOC + m∠COD = 180° … (i)
[∵ m∠EOD = m∠EOC + m∠COD]
ସେହିପରି m∠AOB + m∠BOD = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ) … (ii) 
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii)କୁ ଯୋଗକଲେ,
m∠AOE + m∠EOC + m∠COD + m∠AOB + m∠BOD = 180° + 180°
⇒ m∠AOB + (m∠BOD + m∠DOC) + (m∠AOE + m∠EOC) = 360°
⇒ m∠AOB + m∠BOC + m∠COA = 360°
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\), ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି । \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ,
m∠BOF = m∠AOF l
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\), ∠AOB ର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ । \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) l
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BOF=m∠AOF
ପ୍ରମାଣ : ∠BOF ଏବଂ ∠BOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠BOF + m∠BOE = 180° … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, ∠AOF ଏବଂ ∠AOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠AOF + m∠AOE = 180° … (ii)
⇒ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠BOF + m∠BOE = m∠AOF + m∠AOE
⇒ m∠BOF = m∠AOF (∵\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\), ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(a)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ପଦଗୁଡ଼ିକରୁ ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ ଓ ସଂଜ୍ଞାବିଶିଷ୍ଟ (ଯାହାର ସଂଜ୍ଞା ଅଛି) ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନାଅ ।
ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ସ୍ଥାନାଙ୍କ, ଦୂରତା, ସରଳରେଖା, ରଶ୍ମି, ରେଖାଖଣ୍ଡ, ସମତଳ, ବିନ୍ଦୁ ।
ସମାଧାନ:
ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ ପଦ – ସରଳରେଖା, ସମତଳ, ବିନ୍ଦୁ, ।
ସଂଜ୍ଞାବିଶିଷ୍ଟ ପଦ – ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ସ୍ଥାନାଙ୍କ, ଦୂରତା, ରଶ୍ମି, ରେଖାଖଣ୍ଡ ।

Question 2.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ପ୍ରଦାନ କର ।
(କ) ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖାରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଅସଂଖ୍ୟ

(ଖ) ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଅସଂଖ୍ୟ

(ଗ) ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡରେ କେତୋଟି ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଓ କେତୋଟି ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଦୁଇଟି ଓ ଗୋଟିଏ

(ଘ) ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମି ଓ ତାହାର ବିପରୀତ ରଶ୍ମିର ସଂଯୋଗରେ କ’ଣ ଗଠିତ ହୁଏ ?
ସମାଧାନ:
ସରଳରେଖା

(ଙ) ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମି ଓ ତାହାର ବିପରୀତ ରଶ୍ମିର ଛେଦରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ

(ଚ) ତିନୋଟି ପୃଥକ୍ ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଅତିବେଶିରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ?
ସମାଧାନ:
ତିନୋଟି

(ଛ) ଚାରୋଟି ପୃଥକ୍ ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଅତିବେଶିରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ?
ସମାଧାନ:
ଛଅଗୋଟି

(ଜ) ଚାରୋଟି ପୃଥକ୍ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ତିନୋଟି ଏକରେଖୀ ହୋଇ ନଥିଲେ, ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା କେତୋଟି ସରଳରେଖା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇ ପାରିବ ?
ସମାଧାନ:
ଛଅଗୋଟି

Question 3.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର । ଦତ୍ତ ଅଛି A – B – C
(i) A͞B ∪ \(\overrightarrow{AC}\) = ________
ସମାଧାନ:
\(\overrightarrow{AC}\)

(ii) \(\overrightarrow{BA}\) ∪ \(\overrightarrow{BC}\) = ________
ସମାଧାନ:
\(\overleftrightarrow{AC}\)

(iii) A͞B ∪ B͞C = ________
ସମାଧାନ:
AC

(iv) \(\overrightarrow{AB}\) ∪ \(\overrightarrow{AC}\) = ________
ସମାଧାନ:
\(\overrightarrow{AB}\) ବା \(\overrightarrow{AC}\)

(v) \(\overrightarrow{AB}\) ∩ \(\overrightarrow{BA}\) = ________
ସମାଧାନ:
AB

(vi) A͞C ∩ B͞C = ________
ସମାଧାନ:
BC

(vii) \(\overrightarrow{BA}\) ∩ \(\overrightarrow{BC}\) = ________
ସମାଧାନ:
{B}

(viii) AC – BC = ________
ସମାଧାନ:
AB

(ix) AC – AB = ________
ସମାଧାନ:
BC

Question 4.
L ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ À ଓ B ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 3 ଓ 5 ହେଲେ AB କେତେ ?
ସମାଧାନ:
L ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 3 ଓ 5 ହେଲେ,
A͞B ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = |-3 – 5| = |-8| = 8
ଅଥବା AB = |5 – (-3)| = |8| = 8

Question 5.
\(\overleftrightarrow{AB}\) ଉପରିସ୍ଥ A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 16 ଓ 20 ହେଲେ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ? 
ସମାଧାନ:
 A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 16 ଓ 20 ।
∴ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = \(\frac{-16+20}{2}=\frac{4}{2}\) = 2

Question 6.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକରେ ସଂପୃକ୍ତ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଏକରେଖୀ ଅଟନ୍ତି ।
(କ) A, B ଓ C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 11, 4 ଓ 2 ହେଲେ, କେଉଁ ବିନ୍ଦୁଟି ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟିର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ?
ସମାଧାନ:
A, B, C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 11, 4 ଓ 2 । ଏଠାରେ – 11 < 2 < 4 ଯୋଗୁଁ A – C – B
ଅର୍ଥାତ୍ C ବିନ୍ଦୁ A ଓ B ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(ଖ) PQ = 8, QR = 5 ଓ RP = 3 ହେଲେ P, Q, R ମଧ୍ଯରେ କେଉଁ ବିନ୍ଦୁଟି ଅନ୍ୟ ଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ?
ସମାଧାନ:
PQ = 8, QR = 5, RP = 3 10166 PQ = QR + RP
ଅର୍ଥାତ୍ R ବିନ୍ଦୁ Q ଓ P ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(ଗ) A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 3, A – C – B, BC = 2 ଓ C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 4 ହେଲେ, B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଓ AB କେତେ ? 
ସମାଧାନ:
A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 3, BC = 2, C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 4 ଏବଂ A – C – B ।
∴ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = – 4 – 2 = -6

BC = 2 ଯୋଗୁଁ, AB = |-6 -3| = |-9|  = 9

(ଘ) ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 11 ଓ 21 ହେଲେ, A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ଓ A ଠାରୁ ଏହାର ଦୂରତା କେତେ ?
ସମାଧାନ:
A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 11 ଓ 21 । A ଓ B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ C ହେଲେ
∴ A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ‘C’ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = \(\frac{-11+21}{2}=\frac{10}{2}\) = 5
∴ A ଠାରୁ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ‘C’ ର ଦୂରତା = |-11 – 5| = |-6| = 6
∴ AC = 16

(ଙ) A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 5 ଓ ĀB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 ହେଲେ, B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 5 | AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (M) ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 |

ମନେକର B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ‘x’
∴ 0 = \(\frac{-5+x}{2}\) ⇒ x = 5
∴ B ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 5

Question 7.
A, L ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 5 ଅଟେ । A ଠାରୁ 2 ଏକକ ଦୂରତା ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ L ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବ ଓ ସେମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ହେବ ?
ସମାଧାନ:

L ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ A ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 5 । A ଠାରୁ 2 ଏକକ ଦୂରତା ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ L ଉପରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ।
ଆମେ ଜାଣୁ L ସରଳରେଖା ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ à ଏକ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ L 
ଉପରେ କେବଳ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ରହିବ; ଯାହାର ସ୍ଥାନାଙ୍କ P + a ଓ P – a ।
∴ L ଉପରେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ରହିବ ଯଥା B ଓ C ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ 5 + 2 = 7 ଓ 5 – 2 = 3 

Question 8.
ନିମ୍ନଲିଖ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଉଦାହରଣ ମାଧ୍ୟମରେ ବୁଝାଅ ।
ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ବିପରୀତ ରଶ୍ମି, ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା, ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତିତା ।
ସମାଧାନ:
ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ : ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଥାଏ । ମନେକର A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ
ଯଥାକ୍ରମେ x ଓ y ଏବଂ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ‘C’ ହେଲେ C ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = \(\frac{x+y}{2}\) ହେବ ।
AC = CB = \(\frac{1}{2}\)AB 

‘C’ ବିନ୍ଦୁଟି AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

ବିପରୀତ ରଶ୍ମି : L ରେଖା ଉପରିସ୍ଥ A, O ଓ B ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି A – O – B ।
ଏଠାରେ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) କୁ ବିପରୀତ ରଶ୍ମି କୁହାଯାଏ ।

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ପରସ୍ପରର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେଲେ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ∪ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) = L
ଅର୍ଥାତ୍ ଦୁଇଟି ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ର ସଂଯୋଗ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) (AB ସରଳରେଖା) ଅଟେ ।

ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା : A ଓ B ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନାଙ୍କ x ଓ y ହେଲେ,
A ଓ B ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା = AB = |x – y| (∴ A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଅଣଋଣାତ୍ମକ ଅନ୍ତର = AB) 
ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ AB ଗୋଟିଏ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ହେବ । ଯାହା ହେଉଛି A ଓ B ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା ।

ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତିତା : ତିନୋଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ A, B ଓ C ଯଦି ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥାନ

କରନ୍ତି ଓ AB + BC = AC ହୁଏ; ତେବେ B କୁ A ଓ C
(କିମ୍ବା C ଓ A )ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।
ବିନ୍ଦୁ ତ୍ରୟର ଏ ପ୍ରକାର ଅବସ୍ଥାକୁ ସାଙ୍କେତିକ ଭାଷାରେ A – B – C କିମ୍ବା C – B – A ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ ।

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Math Notes Chapter 13 Three Dimensional Geometry will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 12th Class Math Notes Chapter 13 Three Dimensional Geometry

Important Formulae:
Distance Formula:
The distance between two points (x₁, y₁, z₁) and (x₂, y₂, z₂)
= \(\sqrt{\left(x_1-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}\)

Division Formula:
(i) Internal division:
If P (x, y, z) divides the line segment joining, A (x₁, y₁, z₁) and B (x₂, y₂, z₂) into the ratio m : n internally then

Remark:
(i) If P (x, y, z) divides the line segment joining the points A (x₁, y₁, z₁) and B (x₂, y₂, z₂) into the ratio λ : 1 then

(ii) Co-ordinates of the mid-point of the line segment joining the points (x₁, y₁, z₁) and (x₂, y₂, z₂) are
\(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)\)

Direction Cosines:
Suppose that a straight line makes angles α, β, γ with the positive directions of x-axis, y-axis and z-axis respectively.
Then direction cosines of the line are < cos α, cos β, cos γ >
We denote l = cos α, m = cos β and n = cos γ
Then l² + m² + n² = 1

Direction Ratios:
The direction ratios of a straight line are proportional to direction cosines.
If < a, b, c > are d. rs. and < l, m, n > are d.cs then

Direction ratios of a line segment joining the points (x₁, y₁, z₁) and (x₂, y₂, z₂) are
< x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁ >

The projection of a line segment joining the points A (x₁, y₁, z₁) and B (x₂, y₂, z₂) onto the line ‘L’ with d.cs. < l, m, n >
= l (x₂ – x₁) + m (y₂ – y₁) + n (z₂ – z₁)

Angle between two lines:
Angle between two lines with d.cs.
< l₁, m₁, n₁ > and < l₂, m₂, n₂ > is given by cos θ = l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
(i) Two lines are parallel if their d.cs. are equal or d.r.s. are proportional.
(ii) Two lines are perpendicular if l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0

Plane
Important formulae:
1. The general equation of the plane is ax + by + cz + d = 0
2. Equation of the plane passing through a poing (x₁, y₁, z₁) and having l, m, n direction cosines of the normal to the plane is l (x – x₁) + m (y – y₁) + n (z – z₁) = 0
3. Equation of the plane in intercept form is \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1
where a, b, c are the intercepts from the axes.
4. Equation of the plane in normal form is lx + my + nz = p
where < l, m, n > are d.cs of the normal and p is the length of the normal.
5. Equation of the plane passing through three points.
(x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂) and (x₃, y₃, z₃) is
\(\left|\begin{array}{rrr}
x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{array}\right|\) = 0

6. (i) Angle between two planes is the angle between their normals.
(ii) If two planes are
a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 and
a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0
then the direction ratios of their normal are < a₁, b₁, c₁ > and < a₂, b₂, c₂ >
(iii) If θ is the angle between two planes then
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
(iv) Two planes a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 are parallel if \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
(v) The above two planes are perpendicular if a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0.

7. The distance of a point (x₁, y₁, z₁) from a plane ax + by + cz + d = 0 is
\(\left|\frac{a x_1+b y_1+c z_1+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|\)

8. Equations of the planes bisecting the angle between two planes
a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 and
a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 are
\(\frac{a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}}=\pm \frac{a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)

The Straight Line
Important formulae:
1. Unsymmetrical From:
The joint equation of two planes represent a stright line. Thus the equation of a straight line in unsymmetrical form a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0

2. Symmetrical Form:
Equation of a straight line through a point (x₀, y₀, z₀) and having d.c. < l, m, n > is
\(\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\)

3. Two-point Form:
The equation of a straight line passing through two points (x₁, y₁, z₁) and (x₂, y₂, z₂) is
\(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\)

4. Condition that a line will lie on a Plane:
The straight line
\(\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\) lie in a plane ax + by + cz + d = 0
if (i) al + bm + cn = 0
and (ii) ax₀ + by₀ + cz₀ + d = 0

5. Condition for Two Lines to be Coplanar:

6. Angle between a line and a plane:
The angle between the line

7. Distance of a Point from a Line:
The distance of a point (x₁, y₁, z₁) from a line

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Math Notes Chapter 12 Vectors will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 12th Class Math Notes Chapter 12 Vectors

Important formulae:
1. If P = (x₁, y₁, z₁) and Q = (x₂, y₂, z₂) then
P͞Q = (x₂ – x₁) î + (y₂ – y₁ ) ĵ + (z₂ – z₁) k̂
where î, ĵ, k̂ are the unit vectors along x-axis, y-axis and z-axis.

2. Magnitude of a vector:

8. Properties of vector product:
(i) Area of a parallelogram whose adjacent sides are represented by the


12. The vector equation of a straight line:
(i) The vector equation of a straight line passing through a point with position vector \(\vec{a}\) and parallel to a vector \(\vec{b}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}\) where t is a parameter.
(ii) The equation ofa striaght line through two points with position vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})\).
(iii) Equation of a straight line through a point with position vector \(\vec{a}\) and perpendicualr to two non-parallel \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b} \times \vec{a})\).

13. The vector equation of a plane:
(i) The vector equation of plane through a point \(\vec{a}\) and perpendicular to n̂ is \((\vec{r}-\vec{a}) \cdot \hat{n}\) = 0
(ii) The equation of a plane through a point \(\vec{a}\) and parallel to non-parallel vectors \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}+s \vec{c}\), where t and s are parameters.
(iii) Equation of the plane passing through the points \(\vec{a}, \vec{b}\) and parallel to \(\vec{c}\) is \(\vec{r}=(1-t) \vec{a}+t \vec{b}+s \vec{c}\).
(iv) Equation of the plane through three non collinear points \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) is \(\vec{r}=(1-s-t) \vec{a}+t \vec{b}+s \vec{c}\).

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Math Notes Chapter 11 Differential Equations will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 12th Class Math Notes Chapter 11 Differential Equations

(a) Differential equation:
It is an equation involving independent variables, dependent variables and their derivatives.

(b) Ordinary D.E:
Differential equation that contains derivatives with respect to a single independent variable.

(c) Partial D.E:
Differential equation that contains derivatives with respect to more than one independent variable.

(d) Order of a D.E:
Order of a differential equation is the order of the highest order derivative occurs in the equation.
eg. \(\frac{d^3 y}{d x^3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^5\)+ y = 0 is of order – 3.

(e) Degree of D.E:
Degree of a differential equation is the power of the highest order derivative occurs in the equation after changing to integral powers.
In the above example the degree is ‘1’.

(f) Formation of a D.E:
(i) Differential equation for f(x, y, a) = 0 … (1)
can be obtained by eliminating a from (1) and
\(\frac{d}{d x}\)f(x, y, a) = 0 … (2)
(ii) Differential equation for
f(x, y, a, b) = 0 … (1)
can be obtained by eliminating a, b from (1),
\(\frac{d}{d x}\)f(x, y, a, b) = 0 … (2)
and \(\frac{{d}^2}{{dx}^2}\)f(x, y, a, b) = 0 … (3)

(g) Solution of a D.E:
A solution of a differential equation is a function which satisfies the given equation.
General Solution: A solution is a general solution if it contains as many arbitrary constants as the order of the differential equation.
Particular Solution: It is a solution that can be obtained by giving particular values to the arbitrary constants.
Singular Solution: The solutions which can not be obtained from the general solution are singular solution.

(h) First order and first degree differential equation:
Definition:
A first order first degree differential equation takes the form
\(\frac{d y}{d x}\) = f(x, y)

Standard types and methods of solution:
(i) Variable separable:
If we can express \(\frac{d y}{d x}\) = f(x, y) in the form N(y) dy = M(x) dx
then we can get a solution by direct integration. The reduced equation is called equation with separable variables.

(ii) Equations reducible to variables separable form:
If the equation is in the form
\(\frac{d y}{d x}\) = f(ax + by + c) then pur z = ax + by + c to reduce the equation to variable separable form.
The equations of the form \(\frac{d y}{d x}=\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{a_2 x+b_2 y+c_2}\) where \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\) can be reduced to variable separable form by putting z = a₁x + b₂y.

(iii) Homogeneous differential equation:
A differential equation of the form \(\frac{d y}{d x}=\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\) where f(x, y) and g(x, y) are homogeneous function of x, y and of same degree is a homogeneous differential equation.
Solution process:
Put y = vx, \(\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}\) to reduce the equation to variable separable form. Then solve

(iv) Equations reduciable to homogeneous form:
Form of the equation:

Homogeneous equations:
Let f(x,y) and g(x, y) be homogeneous functions of x and y of same degree.
Then \(\frac{d y}{d x}=\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\) is called a homogeneous differential equation.
For homogeneous differential equation put y = vx and the proceed.