Class 8 Maths Chapter 3 Question Answer Odia Medium ସଂଖ୍ୟାର କାହାଣୀ

Students can use Class 8 Math Solution Odia Medium and Class 8 Maths Chapter 3 Question Answer Odia Medium ସଂଖ୍ୟାର କାହାଣୀ to check their answers after solving exercises.

8th Class Maths Chapter 3 Question Answer Odia Medium

Class 8 Maths Chapter 3 Odia Medium

3.1 ରୀମାର କୌତୁହଳ

Page No. 53

Question 1.
ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୂଚିତ କରିବା ପାଇଁ ଏହି ପଦ୍ଧତିକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଯାଇ ପାରିବ କି ?
Solution:
ହଁ । ଏହି ପଦ୍ଧତିରେ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୂଚିତ କରାଯାଇଥାଏ ।
ଗଣନା ଏବଂ ଏକ ସମୂହର ଆକାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଲିଖୁତ ସଂକେତଗୁଡ଼ିକର ଏକ ମାନକ ଅନୁକ୍ରମ ଥାଏ । ଅନୁକ୍ରମକୁ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ କୁହାଯାଏ । ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ସମାହାରକୁ ମାନକ ଅନୁକ୍ରମ ଅନୁସାରେ ଏକ-ଏକ-ମେଳକ କରି ଓ କ୍ରମ ଅନୁସରଣ କରି ଗଣନ କରାଯାଇପାରିବ । ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ପରିସମାପ୍ତି ନଥୁବାରୁ ଅସୀମ ମାନକ ଅନୁକ୍ରମ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ସହଜରେ ଗଣନା କରିହେବ । କାଠି ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଅସୀମ ମାନକ ଅନୁକ୍ରମ ପାଇହେବ, କିନ୍ତୁ ବଡ଼ ପରିମାଣର ଜିନିଷମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଏହା ସୁବିଧାଜନକ ହୋଇନଥାଏ, କାରଣ ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟକ ବସ୍ତୁର ପରିମାଣ ଜାଣିବା ପାଇଁ ବହୁତ କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ହୋଇଥାଏ ।
ଦ୍ଵିତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଭାଷାର ଅକ୍ଷରକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଗଣନ କରିବା ସୁବିଧାଜନକ, କିନ୍ତୁ ଏହା ଏକ ଅସୀମ ମାନକକ୍ରମ / ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।

ତୃତୀୟ ପଦ୍ଧତିରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ମାନକକ୍ରମ | ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ପ୍ରକୃତରେ ୟୁରୋପରେ ବ୍ୟବହୃତ ହେଉଥିଲା । ଅବଶ୍ୟ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ତାର ସ୍ଥାନ ନେଇଥିଲା । ଏହାକୁ ରୋମାନ୍ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ କୁହାଯାଏ ।
ଶତାବ୍ଦୀ ଶତାବ୍ଦୀ ଧରି ୟୁରୋପରେ ବହୁଳ ଭାବରେ ପ୍ରଚଳିତ ଥିଲା ଏବଂ ଅନେକ ଦିଗରୁ ଏହାର ବ୍ୟବହାର ସୁବିଧାଜନକ ଥିଲେ ମଧ୍ୟ ଅତି ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବା ପାଇଁ ଏହି ପ୍ରଣାଳୀ ଉପଯୁକ୍ତ ନଥୁଲା, କାରଣ ଅଧିକରୁ ଅଧିକ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସୀମିତ ଅକ୍ଷର ମାଧ୍ୟମରେ ପରିପ୍ରକାଶ କରିବା ସହଜ ନଥୁଲା ଏବଂ ସଙ୍କେତ ବ୍ୟବହାର ନକରି ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖୁ ସମ୍ଭବ ହେଉନଥିଲା । ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀର ଇତିହାସରୁ ଆମେ ଜାଣୁଛେ, ଏହାର କାର୍ଯ୍ୟକାରିତା ସାଧାରଣତଃ ଏହି ତିନୋଟି ଉପାୟ, ଯଥା- କାଠି, ଗୋଡ଼ି ବା ଶରୀର ଅଙ୍ଗକୁ ନେଇ କରାଯାଉଥିଲା । କିଛି ଗୋଷ୍ଠୀର ଲୋକ ଏଥିପାଇଁ ଉଭୟ ବସ୍ତ ଓ ନାମର ବ୍ୟବହାର କରୁଥିବାବେଳେ ଚୀନ୍‌ର ଲୋକମାନେ ସଂଖ୍ୟାଗଣନା ପାଇଁ ତିନୋଟିଯାକ ଉପାୟର ଉପଯୋଗ କରୁଥିଲେ ।
ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଥିବା ପ୍ରତୀକଗୁଡ଼ିକୁ ସଂଖ୍ୟା ସୂଚକ (Numerals) କୁହାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ- 0, 1, 5, 36, 193 ଆଦି ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ବ୍ୟବହୃତ ହେଉଥିଲା ସଂଖ୍ୟାସୂଚକ ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ : (Page No. 54)

Question 1.
ମନେକର, ତୁମେ ପ୍ରଥମ ଉପାୟ / ପ୍ରଣାଳୀ ଅନୁଯାୟୀ କାଠି ସାହାଯ୍ୟରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଉପସ୍ଥାପନ କରିବା ପାଇଁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ବ୍ୟବହାର କରୁଛ । ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତିର ସଂଖ୍ୟା ନାମ ବା ସଂଖ୍ୟା ସୂଚକକୁ ବ୍ୟବହାର ନକରି କେବଳ ଦୁଇଟି କାଠି ନେଇ ବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ନେଇ ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ ଓ ହରଣ କରିବାର ଏକ ଉପାୟ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ମନେକର ଦୁଇଟି ଦଳ ମେଣ୍ଢା ଅଛନ୍ତି । ପ୍ରଥମ ଦଳରେ ଚୈ ମେଣ୍ଢା ଓ ଦ୍ଵିତୀୟ ଦଳରେ 4ଟି ମେଣ୍ଢା ଅଛନ୍ତି । ଆମେ ପଥର ଗୋଡ଼ି ବ୍ୟବହାର କରି ଗଣନା କରିଛୁ । ବାହାର କରିବେ ।
ଯୋଡ଼ିବାପାଇଁ ସମସ୍ତ ପଥରକୁ ସମାନ ପାଉଚରେ ରଖାଯାଏ ଓ ବିୟୋଗ କରିବା ପାଇଁ ଅଧୁକ ପଥର ଥୁବା ପାଉଚରୁ କମ୍ ଥୁବା ପାଉଚରେ ଯେତେ ଅଧ‌ିକ ପଥର ଆମେ ଜାଣିବା ଯେ , ପ୍ରଥମ ଦଳରେ କେତୋଟି ମେଣ୍ଢା ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଗୁଣ ହେବ ।
ଏଥ‌ିପାଇଁ ଆମେ ପଥର ବ୍ୟବହାର କରି ଦୁଇଥର ଗଣନା କରିବ ଏବଂ ସମସ୍ତ ପଥରକୁ ସମାନ ପାଉଚରେ ରଖୁବା । ମନେକର ଆମ ପାଖରେ 12ଟି ପଥର ଅଛି ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ତିନୋଟି ସମାନ ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ବିଭକ୍ତ କରିବାକୁ ଚାହିଁବା । ଆମେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ତିନୋଟି ପାତ୍ରରେ ଗୋକିକ ପରେ ଗୋଟିଏ ରଖୁ, ଯେପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସବୁ ନ ସରିଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାତ୍ରରେ ପଥର ସଂଖ୍ୟା ଭାଗଫଳ ସୂଚାଇବ ।

Question 2.
ଦ୍ଵିତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତିକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇବାର ଗୋଟିଏ ଉପାୟ ହେଉଛି, ଏଥିରେ ଏକରୁ ଅଧିକ ଅକ୍ଷର ସମାହାର ବ୍ୟବହାର କରିବା । ଯଥା – 1 ପାଇଁ a ଓ 27 ପାଇଁ ‘aa’ ନେଇପାରିବା । ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଲେଖିବା ପାଇଁ ତୁମେ ଏହି ପ୍ରଣାଳୀକୁ କିପରି ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇପାରିବ ? ଏହା କରିବା ପାଇଁ ଅନେକଗୁଡ଼ିଏ ଉପାୟ ଅଛି ।
Solution:
ଇଂରାଜୀରେ a, b……….z – ଏହିପରି 26 ଟି ଅକ୍ଷର ଥାଏ ।
କିନ୍ତୁ ଆମେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ମାନଙ୍କୁ ଲେଖୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇବା ପାଇଁ ଦୁଇଟି ଅକ୍ଷର ଯୋଡ଼ିକ ବ୍ୟବହାର କରି ପାରିବା ।
ଯଥା- aa, ab, ac………az ଇତ୍ୟାଦି ।
ଏହା 26 ଟି ଅକ୍ଷରଠାରୁ ଅଧିକ ହୋଇପାରିବ ।

Question 3.
ତୁମେ ନିଜେ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା ପାଇଁ ଚେଷ୍ଟାକର ।
Solution:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟିର ଆଧାର B
∴ 3⁰ = 1 = A, 3¹ = 3 = B, 3² = 9 = C ………

3.2 କେତେକ ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ (Some Early Number Systems)

Page No. 56

Question 1.
ସେମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ନାମଗୁଡ଼ିକ କିପରି ଗଠିତ ହୋଇଛି, ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ।
Solution:
3 ର ସଂଖ୍ୟାନାମ, 2 ଏବଂ 1 ସଂଖ୍ୟାନାମକୁ ନେଇ ଗଠିତ ହୋଇଅଛି । 4 ସଂଖ୍ୟାପାଇଁ ସଂଖ୍ୟାନାମ 2ଟି 2ର ସଂଖ୍ୟାନାମକୁ ନେଇ ଗଠିତ ହୋଇଅଛି ।

Question 2.
ଦକ୍ଷିଣ ଆମେରିକାର ଏକ ପ୍ରାଚୀନ ଗୋଷ୍ଠୀ ଓ ଦକ୍ଷିଣ ଆଫ୍ରିକାର ବୁସମେନ୍ ଆଦିବାସୀ ଗୋଷ୍ଠୀର ଲୋକମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟାପ୍ରଣାଳୀ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି । ଭୌଗୋଳିକ ଦୃଷ୍ଟିକୋଣରୁ ଏହି ତିନି ସଂପ୍ରଦାୟ ପରସ୍ପରଠାରୁ ବହୁ ଦୂରରେ ଥିଲେ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସମ୍ପର୍କ ନଥୁଲା । ଏହାସତ୍ତ୍ବେ ସେମାନେ ସମାନତା ଥୁବା ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ବିକଶିତ କରିପାରିଥିଲେ।

Solution:
ଯଦିଓ ଗୁମୁଲଗାଲର ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ କେବଳ 6 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାପାଇଁ ସଂଖ୍ୟାନାମ ଥିଲା, କିନ୍ତୁ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତିର ଉତ୍ପରି ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ସମ୍ପ୍ରଦାୟ ବ୍ୟବହାର କରୁଥିବା ସଂଖ୍ଯାପ୍ରଣାଳୀ ପରି ହୋଇଥିଲା । ସଂଖ୍ୟାକୁ ଉପସ୍ଥାପନ କରିବା ପାଇଁ ଟାଲି ପ୍ରଣାଳୀ ଅପେକ୍ଷା ଦୁଇ ଦୁଇ କରି ଗଣନା କରିବା (ଯୋଡ଼ା ଗଣନା) ଅଧିକ ଫଳପ୍ରଦ ଅଟେ । ବିଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ଯାପ୍ରଣାଳୀରୁ ନିଆଯାଇଥିବା ଧାରଣାକୁ ନିମ୍ନମତେ ସାଧାରଣୀକରଣ କରାଯାଇପାରେ । ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସମୂହ | ଦଳକରି ଗଣନା କରିବା (ଯେପରି ଗୁମୁଲଗାଲ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ 2 କୁ ନିଆଯାଇଛି) ଏବଂ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପରିପ୍ରକାଶ କରିବା ପାଇଁ ଏହି ସମାହାର ସହିତ ଜଡ଼ିତ ଶବ୍ଦ କିମ୍ବା ସଙ୍କେତ ବ୍ୟବହାର କରିବା । ବିଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ସାଧାରଣତଃ ବ୍ୟବହୃତ କିଛି ସମାହାର ହେଉଛି 2, 5, 10 ଓ 20 । ତୁମେ ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ 5ରେ (ପାଞ୍ଚ ପାଞ୍ଚ ନେଇ) ଗଣନା କରିବାର ଧାରଣା ପାଇପାରିବ।

Page No. 58

Question 1.
ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଆକାରର ସମୂହକୁ ନେଇ ସଂଖ୍ୟା ଗଣିବା ପ୍ରଣାଳୀର ବ୍ୟବହାର ଯୋଗୁଁ କେଉଁ ସବୁ ଅସୁବିଧା ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥବ ? କେବଳ 5ରେ ସମୂହରେ ଗଣନା କରି ତିଆରି ହୋଇଥୁବା ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ତୁମେ 1345କୁ କିପରି ପରିପ୍ରକାଶ କରିବ ?
Solution:
ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଆକାରର ସମୂହକୁ ନେଇ ଗଣନା କରିବା ଏବଂ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପରିପ୍ରକାଶ ପାଇଁ ଏହାକୁ ‘ବ୍ୟବହାର କରିବା ପାଇଁ ଟାଲି ପ୍ରଣାଳୀ ଅଧିକ ଉପଯୁକ୍ତ | ଫଳପ୍ରଦ ହେଲେ ମଧ୍ୟ ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ବଡ଼ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପରିପ୍ରକାଶ କରିବା କଷ୍ଟଦାୟକ ହୋଇପାରେ ।
1345କୁ ଲେଖୁବାକୁ 5ଟି ଦଳ | ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ଆମେ ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରିବା ।
1345 ÷ 5 = 269, 1345 = 5 + 5 + 5 + 5 +………. + 5 (269 ଥର)

ନିଜେ କରି ଦେଖ : (Page No. 59)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କର ।
(i) 1222
(ii) 2999
(iii) 302
(iv) 715
Solution:
(i) 1222 = MCCXXII
(ii) 2999 = MMCMXCIX
(iii) 302 = CCCII
(iv) 715 = DCCXV
ରୋମାନ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଗୁଣନ ଓ ଭାଗକ୍ରିୟାର ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସମ୍ପାଦନ କରିବା ସହଜ ହୋଇ ନଥୁଲା ।

Question 2.
ଉଦାହରଣ : ନିମ୍ନଲିଖୁତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ହିନ୍ଦୁସଂଖ୍ୟାକୁ ପରିବର୍ତ୍ତନ ନକରି ଯୋଗ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର ।
(a) CCXXXII + CCCCXIII
Solution:
ଆମେ ମୋଟ I, X ଏବଂ C ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ଦଳଭୁକ୍ତ କରିବା । C ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ଯାପରି ଦେଖାଯାଉଛି, କିନ୍ତୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର 5ଟି C(100)ରେ ଗୋଟିଏ D(500) ହୋଇଥାଏ । ତେଣୁ ଯୋଗଫଳଟି ହେଉଛି-

(b) ସମାଧାନ କର : LXXXVII + LXXVIII
Solution:

LXXXVII + LXXVIII = CLXV

Page No. 60

Question 1.
ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟାରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ ନକରି ତୁମେ କିପରି ଗୁଣନ କରିବ? ନିମ୍ନଲିଖତ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର।
V × L, L × D, V × D, VII × IX

Solution:
V × L = 5 × 50 = 250 = CCL
L × D = 50 × 500 = 25000, ରୋମାନ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା ଅସମ୍ଭବ।
V × D = 5 × 500 = 2500 = MMD
VII × IX = 7 × 9 = 63 = LXIII
CCXXXI × MDCCCLII = 231 × 1852 = 427812, ରୋମାନ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା ଅସମ୍ଭବ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ : (Page No. 60-61)

Question 1.
ପ୍ରଶାନ୍ତ ମହାସାଗରୀୟ ଦ୍ଵୀପର ଏକ ଆଦିବାସୀ ସଂପ୍ରଦାୟ ବିଭିନ୍ନ ବସ୍ତୁକୁ ଜାଣିବା ପାଇଁ ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାନାମର କ୍ରମକୁ ବ୍ୟବହାର କରୁଥିଲେ। ତେବେ ଚିନ୍ତା କରି କହ, ସେମାନେ କାହିଁକି ଏପରି କରୁଥିଲେ?
Solution:
ସେମାନେ ବିଭିନ୍ନ ବସ୍ତଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣନା କରିବା ପାଇଁ ସଂଖ୍ୟାନାମର ବିଭିନ୍ନ କ୍ରମ ବ୍ୟବହାର କରୁଥିଲେ । କାରଣ ସେମାନଙ୍କର ପଦ୍ଧତିଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସାଂସ୍କୃତିକ ବ୍ୟବହାରିକ କିମ୍ବା ଭାଷାଗତ -ଆବଶ୍ୟକତା ଅନୁଯାୟୀ ଡିଜାଇନ୍ କରାଯାଇଛି । ଏହି ପଦ୍ଧତିଗୁଡ଼ିକରେ ସେହି ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକୁ ଦଳଭୁକ୍ତ କରିବା, ମୂଲ୍ୟନିର୍ଣ୍ଣୟ, ବ୍ୟବହାର କରିବା ଓ ଉପଯୁକ୍ତ ସରଳ ଭାବେ ଗଣନା କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିପାରେ।

Question 2.
2ର ସମୂହକୁ ନେଇ ଗଣନା କରିବା ଉପାୟକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ରୁ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୁମୁଲଗାଲ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର। ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକରେ ବିଭିନ୍ନ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା (+, -, ×, ÷) ସଂପାଦନ କରିବା ପାଇଁ ଉପାୟଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର (ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟାସୂଚକ ବ୍ୟବହାର ନକରି)।
ନିମ୍ନଲିଖତଗୁଡ଼ିକୁ ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବାରେ ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କର।
(i) ଉକାସର – ଉଦାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉରାପୋନ) + (ଉକାସର – ଉଦାସର – ଉଲ୍ଲାସର – ଉରାପୋନ)
(ii) (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉରାପୋନ) – (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର)
(iii) (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉଦାସର – ଉରାପୋନ) × (ଉକାସର – ଉକାସର)
(iv) (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଭକାସର – ଉକାସର) ÷ (ଉକାସର – ଉକାସର)
Solution:
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ଉରାପୋନ 1 ସହିତ ଏବଂ ଉକାସର 2 ସହିତ ମେଳଖାଏ ଏବଂ ଗୁମୁଲଗାଲ୍ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2Sରେ ଗଣନା କରାଯାଏ । ବିଭିନ୍ନ ଗାଣିତିକ କାର୍ଯ୍ୟପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖୁତ ଉପାୟମାନ ଦିଆଯାଇଛି ।
ସଂଖ୍ୟାନାମଗୁଡ଼ିକ ଏକାଠି ଯୋଡ଼ି ଯୋଗକରାଯାଇପାରିବ ।
ଉଦାହରଣ : (ଉକାସର) + (ଉକାସର) = ଉକାସର – ଉକାସର
(ଉକାସର – ଉକାସର) + (ଉରାପୋନ) = ଉକାସର – ଉକାସର – ଉରାପୋନ
ଏକ ଲମ୍ବା କ୍ରମରୁ କିଛି ସଂଖ୍ୟାନାମ ବାହାର କରି ବିୟୋଗ କରାଯାଇପାରିବ ।
ଉଦାହରଣ : (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉରାପୋନ) – ଉରାପୋନ = ଉକାସର – ଉକାସର
(ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର) – (ଉକାସର – ଉକାସର) = ଉକାସର ।
ସମାନ ଶବ୍ଦକୁ ପୁନଃରାବୃତ୍ତି କରି ଗୁଣନ କରାଯାଇପାରିବ ।
ଉଦାହରଣ : ଉକାସର × ଉକାସର = ଉକାସର – ଉକାସର
(ଉକାସର – ଉକାସର) × ଉକାସର = ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର ।
ଶବ୍ଦକୁ ସମାନ ଦଳରେ ବିଭକ୍ତ କରି ବିଭାଜନ କରାଯାଇପାରିବ ।
ଉଦାହରଣ : (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର ÷ (ଉକାସର – ଉକାସର) = ଉକାସର ।
(i) ଉକାସର – ଉକାସର – ଉଲ୍ଲାସର – ଉକାସର – ଉରାପୋନ) + (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉତ୍ତାପୋନ) = ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉଲ୍ଲାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର (∴ ଉରାପୋନ + ଉରାପୋନ = ଉକାସର)
(ii) (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉରାପୋନ) – (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର) = ଉକାସର – ଉରାପୋନ
(iii) (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉରାପୋନ) × (ଉକାସର – ଉକାସର) = ଉସାକର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉସାକର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର
(iv) (ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର – ଉକାସର) ÷ (ଉକାସର – ଉକାସର) = ଉକାସର – ଉକାସର ।

Question 3.
ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀର ଯେଉଁ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ରୋମାନ୍ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ତୁଳନାରେ ଅଧିକ ଫଳପ୍ରଦ ବୋଲି ଭାବୁଛ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।
Solution:
(i) ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ହେଉଛି ଏକ ସ୍ଥାନୀୟମାନ ପ୍ରଣାଳୀ, ଯେଉଁଠାରେ ରୋମାନ୍ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ନାହିଁ ।
(ii) ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଶୂନ୍ୟ ପାଇଁ ପ୍ରତୀକ ଅଛି ଯାହା ‘0’ କିନ୍ତୁ ରୋମାନ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ନାହିଁ ।
(iii) ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପଢ଼ିବା ସହଜ ଓ ଶୀଘ୍ର ହୁଏ ଏବଂ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଭାବେ ଲେଖାଯାଇପାରେ । ଯେତେବେଳେ ରୋମାନ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଏହା ଅତ୍ୟଧ‌ିକ ଜଟିଳ ଏବଂ ଦୀର୍ଘ ହୋଇଥାଏ ।
(iv) ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ, ଭାଗକ୍ରିୟା ଭଳି ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସମ୍ପାଦନ କରିବା ସହଜରେ ହୋଇଥାଏ। ରୋମାନ ପ୍ରଣାଳୀରେ କେବଳ ମୌଳିକ ଯୋଗ ଅନୁମତି ଦିଏ ମାତ୍ର ଗୁଣନ ଓ ଭାଗକ୍ରିୟା ଭଳି ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସମ୍ପାଦନ କରିବା ସହଜ ହୋଇନଥିଲା।

Question 4.
ଏହି ବିଭାଗରେ ଆଲୋଚନା କରାଯାଇଥିବା ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ତୁମେ ପୂର୍ବରୁ ସୃଷ୍ଟି କରିପାରିଥିବା ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀକୁ ଅଧିକ ସୁନ୍ଦର ବା ପରିମାର୍ଜିତ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର।
Solution:
ନିଜେ ଅଭ୍ୟାସ କର।

3.3 ଆଧାରର ଧାରଣା (The Idea of a Base)

ନିଜେ କରି ଦେଖ : (Page No. 62)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ମିଶରୀୟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କର।
1023, 2660, 784, 1111, 70507
Solution:

Question 2.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାସୂଚକ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବୁଝାଏ?

Solution:
(i) 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 6 + 10 = 200 + 70 + 6 = 276
(ii) 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 1 + 1 + 10 + 10 = 4000 + 300 + 20 + 2 = 4322

Page No. 62

Question 1.
ପୂର୍ବ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ଯାର ସମାନ 10ଟି ସମୂହକୁ ଏକାଠି କରିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ (ମିଶରୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ କରାଯାଇଥିବା ଭଳି), ପୂର୍ବ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ଯାର ସମାନ 5ଟି ସମୂହକୁ ଏକାଠି କରି ଆମେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାପ୍ରଣାଳୀ ପାଇପାରିବା କି ? ଏହି 5 ସମୂହକୁ ଯେକୌଣସି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ବଦଳରେ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରିବ କି ?
Solution:
ମନେକରାଯାଉ । ହେଉଛି ପ୍ରଥମ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା ।
ପୂର୍ବ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା (1)ର 5ଟି ସମୂହକୁ ଏକାଠି କର ।
ଏବେ ମିଳିଥୁବା ଆକାରର ଦ୍ଵିତୀୟ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା 5 ହେଉ ।
ପୂର୍ବ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା (5)ର 5ଟି ସମୂହକୁ ଏକାଠି କର ।
ଏହାର ଆକାରର ତୃତୀୟ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା 5 × 5 = 25 ହେଉ ।
ଏବେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା (25)ର 5ଟି ସମୂହକୁ ଏକାଠି କର ।
ଆମେ ଚତୁର୍ଥ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା 5 × 25 = 125 ପାଇବା ।

Question 2.
ଏହି ନୂତନ ପ୍ରଣାଳୀରେ 143କୁ ପରିପ୍ରକାଶ କର ।
Solution:
143 ଠାରୁ ସାନ ହୋଇଥିବା ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା 53 = 125
125 ଠାରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ଆମେ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ସମୂହରେ ପରିଣତ କରିବା ।
ଆମେ ପାଇବା 143 = 125 + 5 + 5 + 5 + 1 + 1 + 1
ତେଣୁ ନୂତନ ସଂଖ୍ୟାପ୍ରଣାଳୀରେ 143 ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି

ନିଜେ କରି ଦେଖ : (Page No. 63)

Question 1.
ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀ – 2ରେ ଥିବା ସଂକେତଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ । 15, 50, 137, 293, 651
Solution:

Question 2.
ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଏପରି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି, ଯାହାକୁ 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ ? ଯଦି ହଁ କାହିଁକି, ଯଦି ନା କାହିଁକି ନୁହେଁ?
Solution:
ହଁ । ଶୂନ୍ୟ (0) ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଯାହାକୁ 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ, କାରଣ ଏହାର କୌଣସି ପ୍ରତୀକ ନାହିଁ ।

Question 3.
ଗୋଟିଏ 7- ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
7⁰ = 1, 7¹ = 7, 7² = 49, 7³ = 343, 7⁴ = 2401
ତେଣୁ 1, 7, 49, 343, 2401 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 7-ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ।

Question 4.
ସାଧାରଣତଃ n-ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତିର ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
n-ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ‘n’ର ଘାତ ସଂଖ୍ୟା n⁰ = 1, n, n², n³, …. ।

Question 5.
ଉଦାହରଣ : ନିମ୍ନଲିଖୂତ ମିଶରୀୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗକର :
Solution:

ଆମେ । ଏବଂ ମ୍ ର ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଏବଂ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ଯାରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସମୂହଭୁକ୍ତ କରିବା । ଏଠାରେ ମୋଟ ହେଉଛି 15ଟି ଲ ଏବଂ 15ଟି | ଅଛନ୍ତି । ଯେହେତୁ 10)ର ପରବର୍ତ୍ତୀ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ୭, ତେଣୁ ପ୍ରଦର୍ଶନ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗ କରିବାକୁ ନିମ୍ନ ପରି ଆଉଥରେ ଦଳଭୁକ୍ତ କରାଯାଇପାରିବ ।

ଯେହେତୁ 10ଟି 1କୁ ∩ ଲେଖାଯାଇପାରିବ, ତେଣୁ ଆମେ ପାଇବା

ନିଜେ କରି ଦେଖ : (Page No. 65)

Question 1.
ନିମ୍ନ ମିଶରୀୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗକର ।

Solution:

Question 2.
5 ଆଧାରବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଥିବା ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗକରୁ ।

ମନେରଖ, ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ଏକ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାରେ 5 ଗୁଣିଲେ ପରବର୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିଥାଏ ।
Solution:

Page No. 66-67

Question 1.
ଯେକୌଣସି ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାକୁ ∩ (10) ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ କ’ଣ ହୁଏ ? ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଗୁଣନ କାର୍ଯ୍ୟ ସମ୍ପାଦନ କର ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ମାର୍ଗଦଶୀ ସଂଖ୍ୟା 10ର ଘାତ ଅଟେ ଏବଂ ଏହାକୁ 10ରେ ଗୁଣନ କଲେ ଗୋଟିଏ ଘାତର ବୃଦ୍ଧିହୁଏ, ଯାହା ପରବର୍ତ୍ତୀ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ ।
Solution:

Question 2.
ଯେକୌଣସି ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାକୁ (10²) ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ କ’ଣ ପାଇବା ? ନିମ୍ନଲିଖତ ଗୁଣନ କାର୍ଯ୍ୟ ସଂପାଦନ କର।

Solution:

Question 3.
ନିମ୍ନଲିଖତ ଗୁଣନଗୁଡ଼ିକ ସଂପାଦନ କର–

ଅର୍ଥାତ୍‌, ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ଯାର ଗୁଣଫଳ ଆଉ ଏକ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।
Solution:

ମିଶରୀୟ ସଂଖ୍ୟା ପଦ୍ଧତିରେ କୌଣସି ସଙ୍କେତ ନାହିଁ ।

Question 4.
ଏହି ଧର୍ମ ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ପାଇଥବା 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀ ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହେବ କି ? ଯେକୌଣସି ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ପାଇଁ ଏହା ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ କି?
Solution:
ହଁ, 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀ (ଅର୍ଥାତ୍, ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଆଉ ଏକ୍ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା) ପାଇଁ ଏହା ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହେବ । ଅଧିକନ୍ତୁ ଯେକୌଣସି ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ପାଇଁ ଏହା ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ମଧ୍ୟ।

Page No. 68

Question 1.
ଏବେ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଗୁଣଫଳଗୁଡ଼ିକ ନିଶ୍ଚୟ କର।

Solution:

Question 2.
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ ( ସହିତ ଗୁଣନ କରିବାର ସରଳ ନିୟମ କ’ଣ ହେବ?
Solution:
ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୁଣନ କରିବାର ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣନ ସଂପୃକ୍ତ । ଯେତେବେଳେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଘାତ ଅଟନ୍ତି, ସେତେବେଳେ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ଆଉ ଏକ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ । ଏହି ତଥ୍ୟ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ସରଳ କରିଥାଏ । ମାତ୍ର ରୋମାନ୍ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଏହା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ । ସେଥ‌ିପାଇଁ ସେଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଗୁଣନ କରିବା କଷ୍ଟକର ହୋଇଥାଏ । ଅର୍ଥାତ୍, ଏକ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ଯେଉଁଥରେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଘାତ ହୋଇଥାନ୍ତି ଅର୍ଥାତ୍ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାପ୍ରଣାଳୀ କେବଳ ସଂଖ୍ୟା ପରିପ୍ରକାଶରେ ସୁବିଧାଜନକ ନୁହେଁ, ବରଂ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସଂପାଦନ କରିବାର ବହୁତ ଉପଯୋଗୀ ହୋଇଥାନ୍ତି । ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀର ଧାରଣା ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀର କ୍ରମବିକାଶ ଇତିହାସରେ ଏକ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ ମାଇଲଖୁଣ୍ଟ ଆମ୍ଭମାନଙ୍କର ଆଧୁନିକ ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟାପ୍ରଣାଳୀ ଏହି ଧାରଣା ଉପରେ ପର୍ଯ୍ୟବସିତ ।

Page No. 69

Question 1.
ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ, ସଂଖ୍ୟା 3426କୁ ନେବା।
Solution:
ଏହାକୁ ନିମ୍ନମତେ ଦଳଭୁକ୍ତ (ସମୂହୀକରଣ) କରାଯାଇପାରିବ ।
Solution:
3426 = 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
ଚିତ୍ରରେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଦର୍ଶାଯାଇଛି । 16ଟି ଏକକ କିପରି ସୂଚିତ କରାଯାଇଛି ଦେଖ ।

Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ି ଓ ଏହାର ଉପରଭାଗରେ ଥିବା ଗୋଟି (ଗୋଲି)ଗୁଡ଼ିକୁ ଏକାଠି କରାଯିବ । ଯଦି କୌଣସି ଧାଡ଼ିରେ ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା 10ରୁ ଅଧିକ ହୁଏ, ତେବେ କ’ଣ କରାଯିବ?
Solution:
ଏହି ସମସ୍ୟାଟିରେ 7 ଏକକ ଏବଂ 3 ଏକକ ମିଶି 10 ଏକକ ହେଉଛି ଯାହାକୁ 10କୁ ସୂଚାଉଥିବା ଧାଡ଼ିରେ ଗୋଟିଏ (1) ଗୋଟିଏରେ ସୂଚାଯାଇଛି ଓ ଏହା ଧାଡ଼ିର ଟିକିଏ ଉପରକୁ ରଖାଯାଇଛି ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ : (Page No. 69-70)

Question 1.
ଏପରି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି ଯାହାକୁ ମିଶରୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କଲେ ସଂକେତ 10 ଥରେ କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ ଅଧିକ ଥର ଆସିଥାଏ ? କାହିଁକି ନୁହେଁ ?
Solution:
ନା, ଏପରି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, ଯାହାର ମିଶରୀୟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କଲେ ସଂକେତ 10ଥର କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ ଅଧିକଥର ଘଟେ । କାରଣ ମିଶରୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ 10ର ଘାତ ଭାବରେ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ।
ଉଦାହରଣ : 10¹ = | | | | | | | | | | = ∩

Question 2.
4 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ନିଜର ଏକ ସଂଖ୍ଯାପ୍ରଣାଳୀ ସୃଷ୍ଟିକର ଏବଂ 1 ରୁ 16 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଲେଖ।
Solution:

Question 3.
ଆମେ ତିଆରି କରିଥିବା 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ 5ରେ ଗୁଣିବା ପାଇଁ ଏକ ସରଳ ନିୟମ ଲେଖ ।
Solution:
5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାରେ ଗୁଣିଲେ ଆମେ 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା।

3.4 ସ୍ଥାନୀୟମାନ ପରିପ୍ରକାଶ (Place Value Representation)

Page No. 71-72

Question 1.
ଉଦାହରଣ : ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ 640 ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଲେଖୁବା ।
Solution:
ଏହାକୁ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାରେ ଦଳଭୁକ୍ତ କଲେ
640 = 10 × 60 + 40
ଯଦି ମିଶରୀୟ ଧାରଣାକୁ ବ୍ୟବହାର କରୁ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ 10 S ବ୍ୟବହାର କରି ଏବଂ 40 କୁ 4 < s ବ୍ୟବହାର କରି ଲେଖାଯାଇପାରିବ ।

Question 2.
ଆମେ ଏହାକୁ ଆହୁରି ସଂକ୍ଷେପରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା କି?
Solution:
ହଁ, ଆମେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାକୁ ସରଳ ଭାବରେ ନିମ୍ନରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା ।
ଯାହାକୁ ଦଶଟି 60) ଏବଂ ଗୋଟିଏ 40 ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଇପାରିବ
ଯେପରି ପୂର୍ବରୁ ସମୀକରଣରେ ଲେଖାଯାଇଛି ।

Question 3.
ଉଦାହରଣ : 7530
Solution:
7530 = (2) × 3600 + (5) × 60 + 30
ତେଣୁ ଏହାର ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ =

Question 4.
ଯଦି ଆମେ 60ର ବିଭିନ୍ନ ଘାତ ପାଇଁ ସଙ୍କେତଗୁଡ଼ିକୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣରୂପେ ବାଦଦେଇ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ଆହୁରି ସଂକ୍ଷିପ୍ତ କରିବା, ତେବେ କ’ଣ ହେବ?
Solution:

ମେସୋପଟାମିଆର ଲୋକମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ସବୁଠାରୁ ଡାହାଣୁ ପଟରେ ଥିବା ସଙ୍କେତ ସବୁ 1 ର ସଂଖ୍ୟା ଦର୍ଶାଉଥିଲା । ତାର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା ସଙ୍କେତସବୁ )ର ସଂଖ୍ୟା ଦର୍ଶାଉଥିଲା । ପରବର୍ତ୍ତୀଟି 3600ର ସଂଖ୍ୟା ଦର୍ଶାଉଥୁଲା ଇତ୍ୟାଦି । ଯେତେବେଳେ 60ର କୌଣସି ଘାତ ଦେଖାଯାଉ ନଥୁଲା, ସେତେବେଳେ ସେହି ସ୍ଥାନକୁ ଖାଲି ଛଡ଼ାଯାଉଥିଲା ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ (Page No. 73)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ମେସୋପଟାମୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କର ।
(i) 63
(ii) 132
(iii) 200
(iv) 60
(v) 3605
Solution:

Page No. 76

Question 1.
ଉଦାହରଣ 1 : ମାୟା ପ୍ରଣାଳୀ ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନଲିଖୁତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼କୁ ପ୍ରକାଶ କର ।
(i) 77
(ii) 100
(iii) 361
(iv) 721
Solution:

(iii) (i) ଭଳି ଅଭ୍ୟାସ କର ।
(iv) (i) ଭଳି ଅଭ୍ୟାସ କର ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ : (Page No. 80)

Question 1.
ତୁମେ କାହିଁକି ଭାବୁଛି ଯେ ଚୀନ୍ ଦେଶର ଲୋକମାନେ ଜୋଙ୍ଗ (Zong) ଏବଂ ହେଙ୍ଗ (Heng) ସଂକେତ ମଧ୍ୟରେ ଅଦଳବଦଳ କରୁଥିଲେ ? ଯଦି କେବଳ ଜୋଙ୍ଗ (Zong) ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ, ତେବେ 41 କୁ କିପରି ଲେଖାଯାଇପାରିବ ? ଯଦି କ୍ରମରେ ଥ‌ିବା ଦୁଇଟି ସ୍ଥାନ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ଆଦୃଶିଆ ଖାଲିଜାଗା ନଥାଏ, ତେବେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାକୁ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ଉପାୟରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇପାରିବ କି ?
Solution:
ସବୁଠାରୁ ଉପଯୁକ୍ତ କାରଣ ହେଉଛି ସେମାନେ ପଢ଼ିବା ସମୟରେ ଭୁଲ୍ ସଂଖ୍ୟା ଏଡ଼ାଇବାକୁ ଚାହୁଁଥିଲେ । ସେମାନେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ରଡ଼୍ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଉପସ୍ଥାପନା କରୁଥିଲେ । ଯାହା ଲିଖିତ ପ୍ରଣାଳୀ ଅପେକ୍ଷା ସଂଖ୍ୟା ଲେଖୁବା ଓ ହିସାବ କରିବାରେ ଅଧିକ ଫଳପ୍ରଦ ଥିଲା । କେବଳ ଜୋଙ୍ଗ (Zong) ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରି 41କୁ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ : ||||
ଯଦି କ୍ରମିକ ସ୍ଥାନ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ଖାଲିସ୍ଥାନ ନରହେ, ଏହାକୁ ସହଜରେ 5 ଭାବେ ସହଜରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରିବ ।

Question 2.
‘ଉକାସାର’ ଏବଂ ‘ଉରାପୋନ’କୁ ଅଙ୍କ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ସ୍ଥାନୀୟମାନ ପ୍ରଣାଳୀ ଗଠନ କର । ଗୁମୁଲଗାଲ ପ୍ରଣାଳୀ ସହିତ ଏହାକୁ ତୁଳନା କର ।
Solution:
ଧରାଯାଉ 2⁰ = 1 = A, 2¹ = 2 = B, 2² = 4 = C, 2⁴ = 16 = D
ଉଭୟର ସମାନ 2 ଆଧାର ରହିଛି କିନ୍ତୁ 2 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଅନେକ ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି, ଯେତେବେଳେ ଗୁମୁଲଗାଲ ପ୍ରଣାଳୀରେ କେବଳ ଦୁଇଟି ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ।

Question 3.
ତୁମର ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ କେଉଁଠାରେ ଏବଂ କେଉଁ ବୃତ୍ତିରେ ହିନ୍ଦୁସଂଖ୍ୟା ସୂଚକ ଏବଂ 0 ଏକ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରନ୍ତି । ଯଦି ଆମର ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ଏବଂ 0 ଆବିଷ୍କୃତ ହୋଇନଥାନ୍ତା କିମ୍ବା କଳ୍ପନା କରାଯାଇ ନଥାନ୍ତା, ତେବେ ଆମର ଜୀବନ କିପରି ଭିନ୍ନ ହୋଇଥାନ୍ତା ?
Solution:
ଆମର ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ସଂଖ୍ୟା ପଢ଼ିବା । ଗଣନା କରିବା ଇତ୍ୟାଦିର ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ଏହା ସ୍ଥାନୀୟମାନ ପ୍ରଣାଳୀ ଉପରେ ଆଧାରିତ ।
ଠ କୁ ଗୋଟିଏ ଅଙ୍କ ଭାବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥାନରେ ଏକ ଅଙ୍କ ଭାବେ ବ୍ୟବହାର ହେତୁ, ଏହି ପଦ୍ଧତିରେ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖୁବାରେ କୌଣସି ଦ୍ଵନ୍ଦ ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ ନାହିଁ ।

Question 4.
ପ୍ରାଚୀନ ଭାରତୀୟମାନେ ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ପାଇଁ ସମ୍ଭବତଃ 110 କୁ ଆଧାରରୂପେ ବ୍ୟବହାର କରୁଥିଲେ । କାରଣ ମଣିଷର 10ଟି ଆଙ୍ଗୁଠି ଅଛି ଏବଂ ଆମେ ଗଣନା କରିବା ପାଇଁ ଆମର ଆଙ୍ଗୁଠିକୁ ବ୍ୟବହାର କରିଥାଉ । କିନ୍ତୁ ଯଦି ଆମର କେବଳ ୫ଟି ଆଙ୍ଗୁଠି ଥାଆନ୍ତା ତେବେ କ’ଣ ହୋଇଥାନ୍ତା ? ସେ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଆମେ ସଂଖ୍ୟା କିପରି ଲେଖୁଥାନ୍ତେ ? ଯଦି ଆମେ 10) ପରିବର୍ତ୍ତେ ୫ କୁ ଆଧାର ଭାବେ ବ୍ୟବହାର କରିଥାନ୍ତୁ, ତେବେ ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ସୂଚକଗୁଡ଼ିକ କିପରି ହୋଇଥାନ୍ତା ? ସେହିପରି 5 ଆଧାର ହୋଇଥିଲେ କ’ଣ ହୋଇଥାଆନ୍ତା ? ସେହିପରି 5 ଆଧାର ହୋଇଥିଲେ ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା 25 କୁ 8 ଆଧାର ଏବଂ 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ବ୍ୟବହାର କରି ଲେଖୁବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର । ଏହାକୁ ତୁମେ 2 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖୁରିବ କି ?

Solution:
8 ଆଧାର ପାଇଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହୋଇଥାନ୍ତି : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ଯାଗୁଡ଼ିକ : 8⁰, 8¹, 8²,…….
5 ଆଧାର ପାଇଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହୋଇଥାନ୍ତି : 0, 1, 2, 3, 4
ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ : 5⁰, 5¹, 5², 5³, 5⁴
ଏବେ ଆମେ ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ତେଣୁ 25 କୁ 8 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖୁଲେ, 25 = 3 × 8¹ + 1 × 8⁰
25 କୁ 8 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାରେ 3 1₈ ଲେଖାଯାଇପାରିବ ।
ଏହାକୁ ମଧ୍ୟ ଆମେ ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ 25 କୁ 5 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖୁବା ।
25 = 1 × 5² + 0 × 5¹ + 0 × 5⁰, 25 = 100₅
ଏବେ 2 ଆଧାର ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ, 25 = 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰
ତେଣୁ 25 = 11001₂

Class 8 Maths Chapter 3 MCQ Odia Medium

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର।

Question 1.
ଆମେ ବ୍ୟବହାର କରୁଥିବା ମୌଖ୍କ ଓ ଲିଖ ସଂଖ୍ୟାର ସୃଷ୍ଟି ___________________ ଦେଶରେ ହୋଇଥିଲା?
Answer:
ଭାରତ

Question 2.
18 କୁ ସଙ୍କେତ ମାଧ୍ୟମରେ ପରିପ୍ରକାଶ କଲେ ___________________ ହେବ।
Answer:
XVIII

Question 3.
ଗୁମୁଲଗାଲ 6 ରୁ ବଡ଼ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାକୁ ___________________ କହୁଥିଲେ।
Answer:
ରାସ୍

Question 4.
ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ନୂଆ ସଙ୍କେତଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟବହାର ହୋଇଛି, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ___________________ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ।
Answer:
ମାର୍ଗଦର୍ଶୀ ସଂଖ୍ୟା

Question 5.
ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ 2367 ର ସଂଖ୍ୟା ସୂଚକ ହେଉଛି ___________________|
Answer:
MMCCCLXVII

Question 6.
715 କୁ ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖୁଲେ ___________________ ହେବ।
Answer:
DCCXV

Question 7.
VXL ର ମାନ ___________________|
Answer:
250

Question 8.
ଏକ ଲିଖ୍ୟାତ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସୂଚ।ଉଥ୍ବ| ସଂକେତରୁଡ଼ିକୁ ___________________ କୁହାଯାଏ।
Answer:
ସୂଚକ

Question 9.
ସାରା ବିଶ୍ଵରେ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀକୁ ___________________ କୁହାଯାଏ।
Answer:
ହିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ

Question 10.
302 କୁ ରୋମାନ୍ ପ୍ରଣାଳୀରେ ପରିପ୍ରକାଶ କଲେ ___________________ ହେବ।
Answer:
CCCII

ସଂକ୍ଷେପରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ।

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ରୋମାନ୍ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ।
(a) 49
(b) 72
(c) 236
(d) 1769
Answer:
(a) 49 = XLIX (∵ 49 = 50 – 10 + 9)
(b) 72 = LXXII (∵ 72 = 50 + 10 + 10 + 2)
(c) 236 = CCXXXVI (∵ 236 = 200 + 30 + 5 + 1)
(d) 1769 = MDCCLXIX (∵ 1769 = 1000 + 500 + 200 + 50 + 10 + 9)

Question 2.
ନିମ୍ନଲିଖ୍ୟାତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଭାରତୀୟ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ।
(a) XXXIX
(b) LXXXIV
(c) LI
(d) CXXXVII
(e) DCXXV
(f) CXCVIII
Answer:
(a) XXXIX = 30 + 9 = 39
(b) LXXXIV = 50 + 30 + 4 = 84
(c) LI = 50 + 1 = 51
(d) CXXXVII = 100 + 30 + 7 = 137
(e) DCXXV = 500 + 100 + 20 + 5 = 625
(f) CXCVIII = 100 + 90 + 8 = 198