Students can use Class 8 Math Solution Odia Medium and Class 8 Maths Chapter 4 Question Answer Odia Medium ଚତୁର୍ଭୁଜ to check their answers after solving exercises.
8th Class Maths Chapter 4 Question Answer Odia Medium
Class 8 Maths Chapter 4 Odia Medium
Page No. 82
Question 1.
ଅନ୍ୟ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ନୁହନ୍ତି, କାହିଁକି?
Solution:
ଚିତ୍ର (iv) ଓ (v) ରେ ଅନ୍ୟ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ଏକ ସରଳରେଖାରେ ନଥିବାରୁ ଏଗୁଡ଼ିକୁ ଚତୁର୍ଭୁଜ ନୁହଁନ୍ତି।
4.1 ଆୟତଚିତ୍ର ଓ ବର୍ଗଚିତ୍ର (Rectangle and Square)
Page No. 84
Question 1.
ଯଦି ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. ହୁଏ, ଅନ୍ୟ କର୍ଷଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ?
Solution:
ସର୍ବସମତା ସର୍ଭେ ବ୍ୟବହାର କରି ଏହାକୁ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିହେବ।
ଯେହେତୁ ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର, ତେଣୁ AB = CD
ଏବଂ ∠BAD = ∠CDA = 90
AD ଉଭୟ ତ୍ରିଭୁଜର ସାଧାରଣ ବାହୁ ।
∴ ∆ADC ≅ ∆DAB (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ AC = BD
ଆୟତଚିତ୍ରର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ।
ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. ହେଲେ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି.।
Question 2.
କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ କ’ଣ?
Solution:
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ଦ୍ଵାରା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କ ଜାଣିବା ପାଇଁ
ପ୍ରତୀକ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ ନୀଳରଙ୍ଗ ଚିହ୍ନିତ କୋଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
ସର୍ବସମତା ଦର୍ଶାଇବା ପାଇଁ ∠1 ଓ ∠2 କୁ ନିଅ ।
ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ ।
ଅର୍ଥାତ୍ ∠1 = ∠2
ଯେହେତୁ ∠B = 90°, ∠1 + ∠3 = 90°
∆BCD ରେ ∠3 + ∠2 + 90° = 180°
ହୋଇଥିବାରୁ ଆମେ ପାଇବା ∠3 + ∠2 = 90°
ତେଣୁ ∠1 = ∠2 = (90° – ∠3)
∠2 = (90° – ∠3)
କୋ –କୋ–ବା ସର୍ବସମତା ସର୍ଭେ ଅନୁସାରେ ∆AOB ≅ ∆COD
ଅର୍ଥାତ୍ OA = OC ଏବଂ OB = OD, କାରଣ ସେମାନେ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଂଶ ।
ତେଣୁ AC ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି ‘O’।
Page No. 85
Question 1.
∆AOB ≅ ∆COD ପ୍ରମାଣ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନ ସମାନ ମାପଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା କି?
AO = CO (ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରମାଣିତ)
∠AOB = ∠COD (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
AD = CB
Solution:
∆AOB ≅ ∆COD ପ୍ରମାଣ କରିବାପାଇଁ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମାନ ମାପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ AD = CB ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା ନାହିଁ।
Question 2.
କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵର ଛେଦବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ କି ସମ୍ପର୍କ ଥାଏ?
Solution:
ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରୁଥୁବା ଦୁଇଟି ସମଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ କର୍ଣ୍ଣମଧ୍ୟରେ ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା କୋଣର ପରିମାଣ 60° ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ହେବ । (ଚିତ୍ର-୧)
Question 3.
ତୁମେ ଆୟତଚିତ୍ରର ଅବଶିଷ୍ଟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବ କି?
Solution:
ପ୍ରତୀପକୋଣ ଏବଂ ସରଳରେଖୀୟ ଯୋଡ଼ି ଧାରଣାର ବ୍ୟବହାର କରି ଅବଶିଷ୍ଟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା। (ଚିତ୍ର-୨)
Question 4.
∆AOBରେ, OA = OB ହୋଇଥିବାରୁ, ସେମାନଙ୍କର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସମାନ। ମନେକର କୋଣଟି ‘a’। ‘a’ର ମାନ କେତେ?
Solution:
∠AOBରେ, a + a + 60° = 180°
ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = 180°
ତେଣୁ 2a = 120°
ଅର୍ଥାତ୍, a = 60° (ଚିତ୍ର-୩)
ସେହିପରି ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇଛି । (ଚତ୍ର-୪)
Page No. 86
Question 1.
ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ABCD କି ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ କହିପାରିବା କି?
Solution:
ABCD ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର କାରଣ ଏହାର ସମସ୍ତ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 90° (30° + 60°)
Question 2.
ଆମେ ଏହାର ବାହୁମାନଙ୍କ ସମ୍ବନ୍ଧରେ କ’ଣ କହିପାରିବା?
Solution:
∆AOB ≅ ∆COD ଏବଂ ∆AOD ≅ ∆COB
[ବା–କୋ–ବା ସର୍ବସମତା ସର୍ଭ ଅନୁସାରେ]
ତେଣୁ AB = CD ଏବଂ AD = BC [∵ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କର ଅନୁରୂପ ଅଂଶ|]
∴ ABCD ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର, କାରଣ ଏହା ଆୟତଚିତ୍ରର ସମସ୍ତ ସର୍ଭ ପୂରଣ କରୁଛି ।
Question 3.
ଯଦି କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା କୋଣର ପରିମାଣ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ, ଆମେ ଏହାକୁ ସାଧାରଣୀକରଣ କରିପାରିବା କି?
Solution:
କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଗୋଟିଏ କୋଣକୁ x ନିଅ।
ଅନ୍ୟ କୋଣଟି = 180° – x (ସରଳ ରେଖ୍ୟ ଯୋଡ଼ି)
କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଚାରୋଟି କୋଣର ପରିମାଣ ହେଉଛି x, x, 180° – x, 180° – x
Page No. 87
Question 1.
∆AOB ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । ଏହାକୁ ଆଧାର କରି ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ୟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
AOB ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି-ସଂଲଗ୍ନ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣକୁ ‘a’ ନିଆଯାଉ।
a (ଡିଗ୍ରୀ ଏକକରେ)ର ମୂଲ୍ୟକୁ ‘x’ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ,
a + a + x = 180 (ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି)
⇒ 2a = 180° – x
⇒ a = \(\frac{\left(180^{\circ}-x\right)}{2}=90^{\circ}-\frac{x}{2}\)
ସେହିପରି AOD ସମଦିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜରେ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ
ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣକୁ ‘b’ ନିଆଯାଉ।
b + b + (180° – x) = 180°
⇒ 2b = 180° – (180° – x)
⇒ 2b = 180° – 180° + x
⇒ 2b = x
⇒ b = \(\frac {x}{2}\)
∴ ଚତୁର୍ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ହେଉଛି a + b, ଯାହାକି
90° – \(\frac {x}{2}\) + \(\frac {x}{2}\) = 90°
∴ ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ ।
Question 2.
ଆମେ AB, CD ଏବଂ AD, BC ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କ କ’ଣ?
Solution:
∆AOB ≅ ∆COD ଏବଂ ∆AOD ≅ ∆COB
ତେଣୁ AB = CD ଏବଂ AD = BC, ଯେହେତୁ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟର ଅନୁରୂପ ଅଂଶ ସର୍ବସମ ଅଟେ।
Page No. 89
Question 1.
ପୂର୍ବରୁ ଆମେ ଜାଣିଥୁଲୁ ଯେ ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ରରେ (କ) ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଏବଂ (ଖ) ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ ସମକୋଣ ହୋଇଥାଏ । ଯଦି କୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ ତାହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ବୋଲି କହିଲେ ଭୁଲ୍ ହେବ କି?
Solution:
ନା, ଭୁଲ୍ ହେବ ନାହିଁ । କାରଣ ଯଦି ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ ହେବ, ତାହେଲେ ତା’ର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହେବ । ତେଣୁ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଆୟତଚିତ୍ର ହେବ।
Question 2.
ଯଦି ତୁମେ ଭାବୁଛ ଏହି ସଂଜ୍ଞା ଅସଂପୂର୍ଣ୍ଣ, ତେବେ ଏପରି ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ, କିନ୍ତୁ ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅସମାନ ହେଉଥିବ।
Solution:
ଯଦି ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ, କିନ୍ତୁ ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅସମାନ ହେଉଥୁବ, ଏପରି ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କରିବା ଅସମ୍ଭବ।
Question 3.
ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ ଥିବା ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଆକୃତି କିପରି?
Solution:
BD ଅଙ୍କନ କର। ∆BAD ଓ ∆DCB ସର୍ବସମ।
ଚିତ୍ରରେ ∆BAD ଓ ∆DCB ମଧ୍ୟରେ ଦୁଇଟି ସମାନତା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରାଯାଇପାରିବ।
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠B = 90°, ∠3 + ∠1 = 90°,
ଏବଂ ∆BCD ରେ ∠3 + ∠2 + 90° = 180°
⇒ ∠3 + ∠2 = 90°
ତେଣୁ, ∠1 = ∠2
∆BAD ≅ ∆DCB କୋ-କୋ–ବା ସର୍ବସମତା ସର୍ଭ ଅନୁସାରେ
ତେଣୁ AD = CB ଏବଂ DC = BA କାରଣ ସେମାନେ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ବାହୁ ଅଟନ୍ତି।
Page No. 90
Question 1.
∆BAD ≅ ∆CDB ଲେଖୁବା ଭୁଲ୍ ହେବ କି? କାହିଁକି?
Solution:
ହଁ, ∆BAD ≅ ∆CDB ଲେଖୁବା ଭୁଲ୍ ହେବ।
କାରଣ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ର କ୍ରମ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ।
ଅନୁରୂପ କୋଣ ଓ ଅନୁରୂପ ବାହୁ ମେଳ ଖାଉନାହିଁ । ତେଣୁ ଏହା ଭୁଲ୍।
ତେଣୁ ∆BAD ≅ ∆DCB ଉକ୍ତିଟି ଠିକ୍।
ଆମେ ଜାଣିଲେ ଯେ ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ ହେଲେ, ଏହାର ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହେବ।
Question 2.
ଆୟତଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁମାନେ ସମାନ୍ତର କି?
Solution:
ଛେଦକର ଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରି ଏହି ତଥ୍ୟର ଯଥାର୍ଥତା ପ୍ରତିପାଦନ କରାଯାଇପାରିବ।
AD ଓ BC ପାଇଁ ରେଖାଖଣ୍ଡ AB ଏକ ଛେଦକ ଭାବେ କାର୍ଯ୍ୟ କରେ।
∠A + ∠B = 90° + 90° = 180°
ଦୁଇଟି ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ଏକ ଛେଦକ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ ଯଦି ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵ ସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି 180° ହୁଏ, ତେବେ ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ହୁଅନ୍ତି।
ଏହି ତଥ୍ୟକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ପହଞ୍ଚିପାରିବା ଯେ AD || BC|
ସେହିପରି ଆମେ ପାଇପାରିବା AB || CD
Page No. 92
Question 1.
କିପରି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବା ଯାହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି.|
Solution:
ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବାବେଳେ ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିଥିଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 90° (ଏବଂ ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବିପରୀତ ବାହୁ)।
କିନ୍ତୁ ବର୍ଗଚିତ୍ର ପାଇବା ପାଇଁ କର୍ଷଗୁଡ଼ିକୁ ଏପରି ଅଙ୍କନ କରିବାକୁ ହେବ, ଯେପରି – (କ) ସେମାନେ ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ହେବେ ଏବଂ (ଖ) ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରିବେ।
Question 2.
କର୍ଷଗୁଡ଼ିକଦ୍ଵାରା ସୃଷ୍ଟ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ହେବା ଉଚିତ?
Solution:
ସର୍ବସମତା ଧାରଣାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି କଣ୍ଠମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା କୋଣ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ଜାଣିହେବ । ଆମେ ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ କର୍ଷ AC ଓ BDକୁ ଏପରି ଯୋଡ଼ିବା, ଯେପରି ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ABCD ସୃଷ୍ଟି କରିବେ।
ଏହି ବର୍ଗଚିତ୍ରର ନାମ ABCD ହେଉ।
∆BOA ≅ ∆BOC, ବା-ବା-ବା- ସର୍ବସମତା ସର୍ଭେ ଅନୁସାରେ।
ଯେହେତୁ ∠BOA ଓ ∠BOC ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜ ଏବଂ (∆BOA ଓ ∆BOC)ର ଅନୁରୂପ ଅଂଶ,
ଅର୍ଥାତ୍ ∠BOA = ∠BOC
∠BOA + ∠BOC = 180 [∵ କୋଣଦ୍ଵୟ ସରଳରେଖୀୟ ଯୋଡ଼ି।]
ତେଣୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 90°।
Page No. 93
Question 1.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି.।
Solution:
(i) AC = 8 ସେ.ମି.ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ରେଖା ଅଙ୍କନ କର।
(ii) କମ୍ପାସ ସାହାଯ୍ୟରେ A ଓ C ବିନ୍ଦୁରୁ 4 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଚାପ ଅଙ୍କନ କର।
(iii) ଯାହାର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁକୁ B ଓ D ହେଉ। AB, BC, CD ଓ AD କୁ ରୁଲର ବ୍ୟବହାର କରି ଯୋଗ କର।
(iv) ABCD ଗୋଟିଏ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ବର୍ଗଚିତ୍ର।
Question 2.
∠1, ∠2, ∠3 ଓ ∠4 ର ପରିମାଣ କେତେ? ଏହାକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଉପଯୁକ୍ତ ଯୁକ୍ତି ଉପସ୍ଥାପନ କର ଏବଂ ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ।
Solution:
∆ADCରେ ଆମେ ପାଇବା ∠1 + ∠3 + 90° = 180°
ଯେହେତୁ AD = DC, ଆମେ ପାଇଲେ ∠1 = ∠3
ତେଣୁ ∠1 = ∠3 = 45° ………………… (i)
∆ABCରେ ଆମେ ପାଇବା ∠2 + ∠4 + 90° = 180°
ଯେହେତୁ AB = BC, ଆମେ ପାଇଲେ ∠2 = ∠4
ତେଣୁ ∠2 = ∠4 = 45° ………….. (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ ଆମେ ପାଇଲେ, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 45°
ନିଜେ କରି ଦେଖ: (Page No. 94)
Question 1.
ନିମ୍ନ ଆୟତଚିତ୍ରମାନଙ୍କରେ ଥିବା ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ କୋଣର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
(i) ଦତ୍ତ ABCD ଆୟତଚିତ୍ର।
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°, ∠1 = 30°
∠1 + ∠2 = 90°
∠2 = 90° – ∠1 = 90° – 30° = 60°
MD = MA
⇒ ∠3 = ∠2 = 60°
∠3 + ∠4 = 90°
⇒ ∠4 = 90° – ∠3 = 90° – 60° = 30°
MC = MD
⇒ ∠5 = ∠4 = 30°
∠5 + ∠6 = 90°
⇒ ∠6 = 90° – ∠5 = 90° – 30° = 60°
MB = MC
⇒ ∠7 = ∠6 = 60°
MB = MA
⇒ ∠8 = ∠1 = 30°
∆AMBରେ ∠1 + ∠9 + ∠8 = 180°
⇒ ∠30° + ∠9 + ∠30° = 180°
⇒ ∠9 = 180° – 60° = 120°
∴ ∠11 = ∠9 = 120° (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
∠9 + ∠10 = 180° (ସରଳରେଖୀୟ କୋଣ)
⇒ ∠10 = 180° – 120° = 60°
∠12 = ∠10 = 60° (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
∴ ∠1 = 30°, ∠2 = 60°, ∠3 = 60°, ∠4 = 30°, ∠5 = 30°, ∠6 = 60°, ∠7 = 60°, ∠8 = 30°,
∠9 = 120°, ∠10 = 60°, ∠11 = 120° ଓ ∠12 = 60°
(ii) PQRS ଆୟତଚିତ୍ରରେ। ∠9 = 110°
⇒ ∠11 = ∠9 = 110° (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
∠9 + ∠10 = 180° (ସରଳରେଖୀୟ କୋଣ)
∴ ∠10 = 180° – 110° = 70°
∠12 = ∠10 = 70° (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
MP = MS
⇒ ∠1 = ∠8
∆PMS ରେ ∠1 + ∠11 + ∠8 = 180° (ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି)
⇒ ∠1 + 110° + ∠1 = 180°
⇒ 2∠1 = 180° – 110° = 70°
⇒ ∠1 = 35°
∴ ∠8 = 35°
∠1 + ∠2 = 90°
⇒ ∠2 = 90° – ∠1 = 90° – 35° = 55°
MQ = MP
⇒ ∠3 = ∠2 = 55°
∠3 + ∠4 = 90°
⇒ ∠4 = 90° – ∠3 = 90° – 55° = 35°
MR = MQ
⇒ ∠5 = ∠4 = 35°
∠5 + ∠6 = 90°
⇒ ∠6 = 90° – ∠5 = 90° – 35° = 55°
MS = MR
⇒ ∠7 = ∠6 = 55°
∴ ∠1 = 35°, ∠2 = 55°, ∠3 = 55°, ∠4 = 35°, ∠5 = 35°, ∠6 = 55°, ∠7 = 55°, ∠8 = 35°, ∠9 = 110°, ∠10 = 70°, ∠11 = 110° ଓ ∠12 = 70°
Question 2.
ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ କର୍ଷର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. ଓ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣ :
(i) 30°
(ii) 40°
(iii) 90°
(iv) 140°
Solution:
(i) 8 ସେ.ମି. ବିଶିଷ୍ଟ AB ରେଖା ଅଙ୍କନ କର । AB ଉପରିସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ M ଚିହ୍ନଟ କର।
ଯେପରି AM = BM = 4 ସେ.ମି. । 8 ସେ.ମି.
ବିଶିଷ୍ଟ ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖା CD ଅଙ୍କନ କର । ଏହି ରେ ଖାମଧ୍ଯ ବିନ୍ଦୁ M ମଧ୍ୟଦେଇ ଗତି କରିବ।
ଏପରି କି CD ରେ ଖାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M (DM = MC) ଏବଂ ∠BMC ର ପରିମାଣ 30° ହେବ।
AD, DB, BC ଏବଂ CA ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ଅଙ୍କନ କରି ACBD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର।
ଯେହେତୁ କର୍ଣ୍ଣ AB ଓ CD ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ M ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି, ACBD ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ର।
(ii) 8 ସେ.ମି. ବିଶିଷ୍ଟ AB ରେଖା ଅଙ୍କନ କର।
AB ଉପରିସ୍ଥ ମଧ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ M ଚିହ୍ନଟ କର ।
ଯେପରି AM = BM = 4 ସେ.ମି. ।
8 ସେ.ମି. ବିଶିଷ୍ଟ ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖା CD ଅଙ୍କନ କର । ଏହି ରେଖାମଧ୍ଯ ବିନ୍ଦୁ M ମଧ୍ୟଦେଇ ଗତି କରିବ
ଏପରି କି CD ରେଖାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M (DM = MC) ଏବଂ ∠BMC ର ପରିମାଣ 40° ହେବ ।
AD, DB, BC ଏବଂ CAକୁ ଅଙ୍କନ କରି
ACBD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର।
ଯେହେତୁ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ AB ଓ CD ସମଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ M ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି,
ACBD ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ର ।
(iii) 8 ସେ.ମି. ବିଶିଷ୍ଟ AB ରେଖା ଅଙ୍କନ କର।
AB ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ M ନିଅ,
ଯେପରି AM = BM = 4 ସେ.ମି.।
ଏକ ପୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି MB ଉପରେ M ବିନ୍ଦୁରେ 90° କୋଣ ଅଙ୍କନ କର, 8 ସେ.ମି. ବିଶିଷ୍ଟ ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖା
CD ଅଙ୍କନ କର । ଏହି ରେଖାମଧ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ M ମଧ୍ୟଦେଇ ଗତିକରିବ।
ଯେପରି MC = MD = 4 ସେ.ମି. ଏବଂ ∠BMC = 90°, AD, DB, BC ଏବଂ AC ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ଅଙ୍କନ କରି ACBD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର।
ABCD ହେଉଛି ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଚତୁର୍ଭୁଜ।
ଯେହେତୁ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ AB ଓ CD ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ M ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
ACBD ଏବ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଟେ।
(iv) 8 ସେ.ମି. ବିଶିଷ୍ଟ AB ରେଖା ଅଙ୍କନ କର ।
AB ଉପରିସ୍ଥ ମଧ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ M ଚିହ୍ନଟ କର । ଯେପରି AM = BM = 4 ସେ.ମି. ।
8 ସେ.ମି. ବିଶିଷ୍ଟ ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖା CD ଅଙ୍କନ କର । ଏହି ରେଖାମଧ୍ଯ ବିନ୍ଦୁ M ମଧ୍ୟଦେଇ ଗତିକରିବ
ଏପରିକି CD ରେଖାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M (DM = MC) ଏବଂ ∠AMC ର ପରି ମାଣ 140° ହେବ।
AD, DB, BC ଏବଂ CA ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ଅଙ୍କନକରି ACBD ଚତୁର୍ଭୁଜ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।
ଯେହେତୁ କର୍ଷ AB ଓ CD ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ M ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି, ACBD ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ର।
Question 3.
ଏକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ‘O’। PL ଓ AM ବ୍ୟାସଦ୍ଵୟର ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ । APML କି ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ? ତୁମ ଉତ୍ତର ସପକ୍ଷରେ ଯୁକ୍ତି ଉପସ୍ଥାପନ କର ଓ ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ।
Solution:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O।
PL ଓ AM ବ୍ୟାସଦ୍ଵୟର ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ।
ମନେକର ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = r
∴ PL = PO + OL = r + r = 2r
ଏବଂ AM = AO + OM = r + r = 2r
∴ PL = AM
AMPL ଚତୁର୍ଭୁଜରେ PL ଓ AM କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ।
OP = OA = OL = OM = r
∴ ବ୍ୟାସ PL ଓ AM ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।
∴ ଚତୁର୍ଭୁଜ APML ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର।
Question 4.
ଆମେ କାଗଜ ଭାଙ୍ଗି 90° ପରିମାଣର କୋଣ କିପରି ପାଇପାରିବା ତାହା ପୂର୍ବରୁ ଦେଖୁଛୁ । ମନେକର ଆମ ପାଖରେ କୌଣସି କାଗଜ ନାହିଁ କିନ୍ତୁ ଦୁଇଟି ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟର କାଠି ଏବଂ ଏକ ସୂତା ଅଛି । ଏଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ କିପରି ୨୦ ପରିମାଣର କୋଣ ଦେଖାଇ ପାରିବା?
Solution:
AB ଓ CD ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି କାଠି 6 ସେ.ମି. ନିଆଯାଉ ।
ଏକ ରୁଲର ବ୍ୟବହାର କରି କାଠିଗୁଡ଼ିକର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଚିହ୍ନଟ କରନ୍ତୁ । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉପରେ ଏକ ସ୍କୁ ଲଗାଅ।
ଏକ ସୂତା ବ୍ୟବହାର କରି AD ଏବଂ BDର ଦୂରତା ମାପ ।
ସ୍କୁ ଚାରି ପାଖରେ ଏପରି ଘୁଞ୍ଚାଇଚାଲି ଯାହାଦ୍ଵାରା AD ଓ BDର ଦୂରତା A ସମାନ ହେବ।
ଏହି ସ୍ଥିତିରେ ସ୍ତୁକୁ ଶକ୍ତ କରି କାଠିଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଅ । କାଠି ଗୁ ଡ଼ି କରେ ନୂଆ। ସ୍ଥିତି ଚିତ୍ର ପରି ଦେଖାଯାଇଛି ।
AD ଏବଂ BD ସହିତ ସୂତାର ଖଣ୍ଡକୁ ବାନ୍ଧିଦିଅ।
∆AMD ଏବଂ ∆BMD କୁ ବିଚାର କର।
AM = BM
AD = BD ଏବଂ MD ସାଧାରଣ ବାହୁ।
∴ ∆AMD ≅ ∆BMD (ବା–ବା–ବା ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ)
∴ ∠AMD = ∠BMD
∠AMD + ∠AMD = 180° (ସରଳରେଖୀୟ ଯୋଡ଼ି)
⇒ 2∠AMD = 180°
⇒ ∠AMD = 90°
∴ କାଠିଗୁଡ଼ିକର ମଧ୍ୟସ୍ଥ କୋଣ ହେଉଛି 90°।
Question 5.
ଆମେ ଦେଖୁଲୁ ଯେ ଆୟତଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ ଧର୍ମ ହେଉଛି, ଏହାର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର। ଏହାକୁ ଆୟତଚିତ୍ରର ସଂଜ୍ଞା ଭାବେ ନିଆଯାଇ ପାରିବ କି ? ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ଓ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ, ତାହା ଆୟତଚିତ୍ର ହେବ କି?
Solution:
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ଓ ସମାନ।
ଏଠାରେ AB || DC ଏବଂ AD || BC
AB = DC ଓ AD = BC
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ।
ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ହେବାପାଇଁ ଆମକୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ 90° ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ଦତ୍ତ ଅଛି – AB || DC ଏବଂ AD || BC ସୂଚନା ଦିଆଯାଇଥିବାରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ 90° ବୋଲି ପ୍ରମାଣିତ କରିବାରେ ଆମକୁ ସାହାଯ୍ୟ କରିପାରିବ ନାହିଁ।
∴ ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ନ ହୋଇପାରେ।
ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରକୁ ସମାନ ଓ ସମାନ୍ତର ବିପରୀତ ବାହୁ ସହିତ ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂଜ୍ଞା ଭାବେ ନିଆଯାଇପାରିବ ନାହିଁ।
4.2 ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣ (Angles in a Quadrilateral)
Page No. 94
Question 1.
ଏପରି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କରିବା ସମ୍ଭବ କି, ଯାହାର ତିନୋଟି କୋଣର ପରିମାଣ 90° ଏବଂ ଚତୁର୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହୋଇ ନଥିବ?
Solution:
ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ । କାରଣ ଏହା ଚତୁର୍ଭୁଜମାନଙ୍କର କୋଣ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଏକ ସାଧାରଣ ଧର୍ମ ଯୋଗୁଁ ହୋଇଥାଏ ।
ଆମେ ଜାଣିଛୁ, ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180°।
ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360°।
Page No. 95
Question 1.
ପ୍ରାମଣ କର ଯେ, ଯେକୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360°।
Solution:
ଚତୁର୍ଭୁଜ SOME ରେ SM କଣ୍ଠ।
ଆମେ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ SEM ଓ SOM ପାଇବା।
ତ୍ରିଭୁଜ SEM ରେ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
ଏବଂ ତ୍ରିଭୁଜ SOMରେ ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180°
ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜର ସମସ୍ତ ଛଅଟିଯାକ କୋଣର ପରିମାଣକୁ ମିଶାଇଲେ
ଆମେ ପାଇବା ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180° + 180° = 360°
କିମ୍ବା, (∠1 + ∠4) + (∠3 + ∠6) + (∠2 + ∠5) = 360°
ଯେହେତୁ (∠1 + ∠4), (∠3 + ∠6) ଓ (∠2 + ∠5)
ଏହି ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣ ଅଟନ୍ତି, ଆମେ ପାଇଲେ ଯେ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣ ମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 360°।
4.3 ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ହୋଇଥିବା ଆଉ କେତେକ ଚତୁର୍ଭୁଜ (More Quadrilaterals with Parallel Opposite Sides)
Page No. 96
Question 1.
ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 4 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. ଏବଂ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର୍ଗତ କୋଣର ପରିମାଣ 30°।
Solution:
(i) ସୋପାନ-୧: AB ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି.।
A ବିନ୍ଦୁରେ ∠BAD = 30 ଅଙ୍କନ କର।
AD = 5 ସେ.ମି, ନିଅ।
(ii) ସୋପାନ-୨: D ବିନ୍ଦୁରେ AB ରେ ଖାଖଣ୍ଡ ସହିତ ଏକ ସମାନ୍ତର ରେଖା ଏବଂ B ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ AD ରେ ଖାଖଣ୍ଡ ସହ ଏକ ସମାନ୍ତର ରେଖା
ଅଙ୍କନ କର, ସେମାନେ ପର ସ୍ଵ ର କୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁର ନାମ ‘C’ ଦିଅ।
ଏବେ ଆମେ ପାଇଲେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ABCD।
4.4 ସମାନ ବାହୁବିଶିଷ୍ଟ ଚତୁର୍ଭୁଜ (Quadrilaterals with Equal Sidelengths)
Page No. 101
Question 1.
ଏହି ଚିତ୍ରରେ ବର୍ଗଚିତ୍ରମାନଙ୍କର ସେଟ୍କୁ କେଉଁଠାରେ ଦର୍ଶାଯିବ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛୁ, ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର। ଯେହେତୁ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର, ତେଣୁ ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ଯେହେତୁ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ସମସ୍ତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ, ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟ ଏକ ରମ୍ବସ୍ ଅଟେ। ତେଣୁ ଭେନ୍ଚିତ୍ର ନିମ୍ନଭଳି ହେବ।
Page No. 102
Question 1.
GAME ରମ୍ବସ୍ରେ ∆GEO ≅ ∆MOE (କାହିଁକି?)
Solution:
∠GOE = ∠MOE,
କାରଣ ସେମାନେ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନୁରୂପ ଅଂଶ।
ଯେହେତୁ ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 180°, ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 90°।
ନିଜେ କରି ଦେଖ: (Page No. 102)
Question 1.
ନିମ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜମାନଙ୍କର ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
(i) ଆମେ ଜାଣିଛେ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ।
∴ ∠RPE = ∠EAR = 40° ଓ ∠PEA = ∠PRA = x (ମନେକର)
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୌଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = ∠RPE + ∠PEA + ∠EAR + ∠ARP = 360°
⇒ 40° + x + 40° + x = 360°
⇒ 80° + 2x = 360°
⇒ 2x = 360° – 80° = 280°
⇒ x = 140°
∴ ∠PEA = ∠PRA = 140°
(ii) ଆମେ ଜାଣିଛେ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ।
∴ ∠SPQ = ∠QRS = 110° ଓ ∠PQR = ∠PSR = x (ମନେକର)
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୌଣଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = ∠PQR + ∠QRS + ∠RSP + ∠SPQ = 360°
⇒ x + 110° + x + 110° = 360°
⇒ 2x + 220° = 360°
⇒ 2x = 360° – 220° = 140°
⇒ x = 70°
∴ ∠PQR = ∠PSR = 70°
(iii) ଦତ୍ତ ଚତୁର୍ଭୁଜ UVWX ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍ କାରଣ ଏହାର ସମସ୍ତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଓ ବିପରୀତ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ କିନ୍ତୁ 90° ନୁହେଁ।
∴ ∠UXV = ∠UVX = 30° [∵ UV = UX]
ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଧର୍ମ ଅନୁଯାୟୀ ∆XUVରେ
∠XUV + ∠UVX + ∠VXU = 180°
⇒ ∠XUV + 30° + 30° = 180°
⇒ ∠XUV = 180° – 60° = 120°
ଓ ∠XUV = ∠VWX = 120°
ଯେହେତୁ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ପ୍ରକାର ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
∴ ∠UVX = ∠VXW = 30° [∵ UV || XW]
ଓ ∠UXV = ∠XVW = 30°
ତେଣୁ ∠UXW = ∠UVW = 60°
(iv) ଦତ୍ତ ଚତୁର୍ଭୁଜ AEIO ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍ କାରଣ ଏହାର ସମସ୍ତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଓ ବିପରୀତ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ କିନ୍ତୁ 90° ନୁହେଁ।
∴ ∠AEO = ∠AOE = 20° [∵ AE = AO]
ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଧର୍ମ ଅନୁଯାୟୀ ∆AOEରେ
∠AEO + ∠AOE + ∠OAE = 180°
⇒ 20° + 20° + ∠OAE = 180°
⇒ ∠OAE = 180° – 40° = 140°
ତେଣୁ ∠OAE = ∠OIE = 140°
ଯେହେତୁ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ପ୍ରକାର ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
∴ ∠AEO = ∠EOI = 20° [∵ AE || OI]
ଓ ∠AOE = ∠OEI = 20°
ତେଣୁ ∠AOI = ∠AEI = 40°
Question 2.
କର୍ଷର ଧର୍ମକୁ ଉପଯୋଗ କରି, ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 7 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. ଏବଂ କର୍ଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିବା କୋଣର ପରିମାଣ 140°।
Solution:
ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ :
(i) 7 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ରେଖା AB ଅଙ୍କନ କର।
AB ରେଖାଖଣ୍ଡ ଉପରେ ବିନ୍ଦୁ O ନିଅ,
ଯେପରି AO = OB = 3.5 ସେ.ମି.।
(ii) OB ଉପରେ O ବିନ୍ଦୁରେ 140° କୋଣ ଅଙ୍କନ କର।
କୋଣରେଖା ଉପରିସ୍ଥ C ଓ D ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର।
ଯେପରି OC = OD = 2.5 ସେ.ମି.।
∴ CD = 5 ସେ.ମି. ଏବଂ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ O।
(iii) AC, CB, BD ଏବଂ DA କୁ ଯୋଗ କର।
ACBD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଏବଂ ଏହାର କଣ୍ଠ AB ଓ CD, O ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।
(iv) ABCD ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର।
Question 3.
ଏକ ରମ୍ବସ୍ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 4 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି.।
Solution:
(i) 4 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ରେଖାଖଣ୍ଡ AB ଅଙ୍କନ କର।
AB ଉପରେ ବିନ୍ଦୁ O ବିନ୍ଦୁ ନିଅ, ଯାହାର AO = OB = 2 ସେ.ମି.।
(ii) AB ଉପରେ ଲମ୍ବ ଭାବରେ O ମଧ୍ୟଦେଇ ବର୍ଦ୍ଧିତ କରି ଏକ ରେଖା ଅଙ୍କନ କର।
ଏହି ଲମ୍ବରେଖା ଉପରେ ବିନ୍ଦୁ C ଓ D ଚିହ୍ନଟ କର, ଯେପରି OC = OD = 2.5 ସେ.ମି.।
(iii) CD = 5 ସେ.ମି. ଏବଂ AB ଓ CDର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ O।
AC, CB, BD ଓ DA ଯୋଗକର।
(iv) ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଏବଂ ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ AB ଓ CD ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
(v) ABCD ଏକ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ରମ୍ବସ୍।
4.5 ଚତୁର୍ଭୁଜକୁ ନେଇ ଖେଳ (Playing with Quadrila Terals)
ତ୍ରିଭୁଜ ଯୋଡ଼ିବା : (Page No. 104-105)
Question 1.
ଏକ କାର୍ଡ଼ବୋର୍ଡ଼ (କାଗଜପଟି)ରୁ 8 ସେ.ମି. ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ କାଟି ସଂଗ୍ରହ କର।
ତୁମେ ସେ ଦୁଇଟି ଖଣ୍ଡକୁ ଯୋଡ଼ି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ତିଆରି କରିପାରିବ କି?
ଏହା କି ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ?
Solution:
ଆମେ ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜ ପାଇବା । ଯାହାର ଚାରି ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଓ ବିପରୀତ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ (60° ଓ 120°) ଏବଂ ଦୁଇଟି କର୍ଡ଼ ପରସ୍ପରକୁ 90° କୋଣରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
ତେଣୁ ଏହା ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍ । ଯେହେତୁ କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ସମାନ ନୁହଁନ୍ତି, ତେଣୁ ଏହା ବର୍ଗଚିତ୍ର ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।
Question 2.
କାର୍ଡ଼ବୋର୍ଡ଼ (କାଗଜପଟି) କାଟି 8 ସେ.ମି., 8 ସେ.ମି. ଓ 6 ସେ.ମି. ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ସମଦ୍ଵିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ତିଆରି କର।
ସେମାନଙ୍କୁ କେଉଁ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଯୋଡ଼ି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ପାଇପାରିବ?
ଏଗୁଡ଼ିକ କି ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ?
Solution:
ଚିତ୍ର-୧ ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସର ସମସ୍ତ ଧର୍ମ ପୂରଣ କରୁଥିବାରୁ ଏହା ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍।
ଚିତ୍ର-୨ର ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ ଓ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି। ଏହା ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର।
Question 3.
କାର୍ଡ଼ବୋର୍ଡ଼ (କାଗଜପଟି) କାଟି 6 ସେ.ମି., 9 ସେ.ମି. ଏବଂ 12 ସେ.ମି. ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ବିଷମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ତିଆରି କର।
ଚତୁର୍ଭୁଜ ପାଇବା ପାଇଁ ସେମାନଙ୍କୁ କେଉଁ ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଯୋଡ଼ାଯାଇପାରିବ?
ତ୍ରିଭୁଜଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଡ଼ିବାଦ୍ଵାରା ପ୍ରାପ୍ତ ବିଭିନ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରିବାକୁ ତୁମେ ସକ୍ଷମ କି?
Solution:
ନିଜେ ଅଭ୍ୟାସ କର।
4.6 ଗୁଡ଼ି (Kite) ଓ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ (Trapeziums)
Page No. 106
Question 1.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ XWZY କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ?
Solution:
ଯେହେତୁ WX || UV
a = 180° – ∠XYZ = 90° ଏବଂ
b = 180° – ∠WZY = 90°
(ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180°।)
ତେଣୁ XWZY ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର।
ସେହିପରି ∆UXY ≅ ∆VWZ
ତେଣୁ ∠U = ∠V
ନିଜେ କରି ଦେଖ: (Page No. 107-109)
Question 1.
4 ସେ.ମି. ବାହୁବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଯୋଡ଼ି ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
4 ସେ.ମି. ବାହୁବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଯୋଡ଼ିଲେ ଚିତ୍ରଟି ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେବ।
ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCDର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ 4 ସେ.ମି.।
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ।
∠A = 60° + 60° = 120°, ∠B = 60°
∠C = 60° + 60 = 120°, ∠D = 60°
Question 2.
ଏକ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 6 ସେ.ମି, ଓ 8 ସେ.ମି.।
Solution:
(i) 8 ସେ.ମି.ଦୈର୍ଘବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡ AB ଅଙ୍କନ କର।
(ii) AB ରେଖାଖଣ୍ଡରେ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ P ନିଅ।
P ବିନ୍ଦୁରେ AB ପ୍ରତି ଗୋଟିଏ ଲମ୍ବ CD ଅଙ୍କନ କର ଯେପରିକି PC = PD = 3 ସେ.ମି. ହେବ।
(iii) AC, CB, BD ଓ DA ରେଖାଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ACBD ଚତୁର୍ଭୁଜ ଅଙ୍କନ କର।
(iv) ACBD ଗୋଟିଏ ଗୁଡ଼ି ହେବ ଯାହାର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ 6 ସେ.ମି. ଓ 8 ସେ.ମି.।
Question 3.
ନିମ୍ନ ଟ୍ରପିଜିୟମ୍ଗୁଡ଼ିକରେ ଅବଶିଷ୍ଟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
(i) ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ରେ AB || DC
∴ ∠A + ∠D = 180° ଓ ∠B + ∠C = 180
∠A + ∠D = 180°
⇒ 135° + ∠D = 180°
⇒ ∠D = 180° – 135° = 45°
∠B + ∠C = 180
⇒ ∠105° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° – 105° = 75°
∴ ଅବଶିଷ୍ଟ କୋଣଗୁଡ଼ିକ 45° ଓ 75°
(ii) ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍।
ଦଇଅଛି AD = BC, ABCD ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ଵିବାହୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍।
∴ ବିପରୀତ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର।
∴ ∠C = ∠D = 100 (∵ AB ଓ DC ରେଖା ସମାନ୍ତର)
ତେଣୁ ∠A + ∠D = 180° ଓ ∠B + ∠C = 180°
∠A + ∠D = 180°
⇒ ∠A + 100° = 180°
⇒ ∠A = 180° – 100° = 80°
∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠B + 100° = 180°
⇒ ∠B = 180° – 100° = 80°
∴ ଅବଶିଷ୍ଟ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ∠A = 80°, ∠B = 80° ଓ ∠C = 100°
Question 4.
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର, ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି, ରମ୍ବସ୍, ଆୟତଚିତ୍ର ଏବଂ ବର୍ଗଚିତ୍ରମାନଙ୍କର ସେଟୁ ଦର୍ଶାଉଥିବା ଏକ ଭେନ୍ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର।
(i) କେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଉଭୟ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ଓ ସାମାନ୍ତରିକଚିତ୍ର?
(ii) ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଉଭୟ ଗୁଡ଼ିଆକୃତି ଓ ଆୟତଚିତ୍ର ହୋଇପାରିବ କି?
(iii) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୁଡ଼ିଆକୃତି ଏକ ରମ୍ବସ୍ କି ? ଯଦି ନୁହେଁ, ତେବେ ଏହି ଦୁଇପ୍ରକାରର ଚତୁର୍ଭୁଜ ମଧ୍ୟରେ ଉପଯୁକ୍ତ ସମ୍ପର୍କଟି କ’ଣ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଯେ-
(କ) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆୟତଚିତ୍ର ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର।
(ଖ) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର।
(ଗ) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଏକ ରମ୍ବସ।
(ଘ) ପ୍ରତ୍ୟେକ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତିର।
ନିମ୍ନ ଭେନ୍ଚିତ୍ରରେ ସାମାନ୍ତରିଚ ଚିତ୍ରମାନଙ୍କର ସେଟ୍, ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି, ରମ୍ବସ, ଆୟତଚିତ୍ର ଏବଂ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ସେଟ୍ ଦେଖାଯାଇଛି।
(i) ରମ୍ବସ୍ର ସେଟ୍ ହେଉଛି ଉଭୟ ଗୁଡ଼ିଆକୃତି ଓ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ସେଟ୍ର ସାଧାରଣ।
∴ ରମ୍ବସ୍ ହେଉଛି ଉଭୟ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ଓ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର।
(ii) ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ନୁହେଁ ଏବଂ ଏକ, ଆୟତଚିତ୍ର ମଧ୍ୟ ଗୁଡ଼ିଆକୃତି ନୁହେଁ।
କୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜ ଯାହା ଉଭୟ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ଓ ଆୟତଚିତ୍ର ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।
ଆହୁରି ମଧ୍ୟ ଗୁଡ଼ି ଆକୃତି ସେଟ୍ ଏବଂ ଆୟତଚିତ୍ର ସେଟ୍ର କୌଣସି ସାଧାରଣ ନାହିଁ।
(iii) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୁଡ଼ିଆକୃତି ଏକ ରମ୍ବସ୍ ନୁହେଁ।
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ରମ୍ବସ୍ ନୁହେଁ।
ରମ୍ବସ୍ ହେଉଛି ଏକ ବିଶେଷପ୍ରକାର ଗୁଡ଼ି, ଯେତେବେଳେ ଏହାର ଚାରୋଟି ବାହୁ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ।
ଗୁଡ଼ି ହେଉଛି ଯାହାର ଦୁଇ କ୍ରମିକ ବାହୁ ପରସ୍ପର ସମାନ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।
Question 5.
ଯଦି PAIR ଏବଂ RODS ଦୁଇଟି ଆୟତଚିତ୍ର, ତେବେ ∠IOD କେତେ?
Solution:
RI କୁ ସମାନ୍ତର କରି O ବିନ୍ଦୁରୁ OK ଅଙ୍କନ କର।
∴ ∠KOR = ∠ORI = 30° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
∠KOR + ∠ROI = 90°
⇒ 30° + ∠ROI = 90°
⇒ ∠ROI = 90° – 30° = 60°
ତେଣୁ ∠ROI + ∠IOD = 90°
⇒ ∠60° + ∠IOD = 90°
⇒ ∠IOD = 90° – 60° = 30°
Question 6.
ପ୍ରୋଟାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର ନକରି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ସେ.ମି.।
Solution:
ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ :
(i) 6 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ BD ଅଙ୍କନ କର।
(ii) 6 ÷ 2 = 3
B ଓ D କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି 3 ସେ.ମି.ରୁ ସାମାନ୍ୟ ବଡ଼କରି (ଯଥା- 4 ସେ.ମି.) ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କନ କଲେ AC ଉପରେ ଛେଦ କରିବ । ଚାପର ଛେଦବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟକୁ ଯୋଗ କରାଯାଉ ।
(iii) AC ରେଖାଖଣ୍ଡ BD କୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । AC ହେଉଛି BD ର ସମ ଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ।
ତେଣୁ OA = OC = 3 ସେ.ମି.।
(iv) AB, BC, CD ଓ ADକୁ ଯୋଗକଲେ ABCD ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର।
Question 7.
CASE ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର। U, Y, W ଓ X ହେଉଛି ଯଥାକ୍ରମେ AC, CE, ES ଓ SAର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ। UVWX କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ ? ଜ୍ୟାମିତିକ ତର୍କ ବ୍ୟବହାର କରି ଓ ଏହାର ଅଙ୍କନ ଓ ମାପ କରି ଉତ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ୟ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବାର ଅନ୍ୟ ଉପାୟଗୁଡ଼ିକ ଖୋଜ, ଯେପରି ଚିତ୍ରରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ ହେବାଭଳି ଭିତର ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ବାହାର ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁ ଉପରେ ରହିବ?
Solution:
(i) CASE ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର।
U, V, W ଓ X ହେଉଛି ଯଥାକ୍ରମେ AC, CE, ES ଓ SAର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ।
ତ୍ରିଭୁଜ VCU ଓ UAX ମଧ୍ୟରେ_VC = UA
∠VCU = ∠UAX = 90° ଓ CU = AX
∴ ବା-କୋ–ବା ସର୍ଭଅନୁଯାୟୀ ∆VCU ≅ ∆UAX
∴ VU = UX
VU = XW, VU = WV
∴ UVWX ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ।
∆VCU, VC = CU
⇒ ∠1 = ∠2
∠1 + ∠C + ∠2 = 180°
⇒ ∠1 + 90° + ∠1 = 180°
⇒ 2∠1 = 90°
⇒ ∠1 = 45°
∴ ∠2 = 45°
ସେହିପରି ଆମେ ପାଇପାରିବା ∠3 = ∠4 = 45°
ସେହିପରି ∠2 + ∠VUX + ∠3 = 180°
⇒ 45° + ∠VUX + 45° = 180°
⇒ ∠VUX = 180° – 90° = 90°
ସେହିପରି ∠UXW = 90°, ∠XWV = 90° ଓ ∠WVU = 90°
∴ UVWX ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର।
(ii) ମନେକର ABCD ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର।
P, Q, R ଓ S, AS = BP = CQ = DR
ଯେହେତୁ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ, ତେଣୁ DS = AP = BQ = CR
∆PAS ଓ ∆SDR ତବ
PA = SD, ∠PAS = ∠SDR = 90° ଓ AS = DR
ବା–କୋ–ବା ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ ∆PAS ଓ ∆SDR ସର୍ବସମ।
∴ PS = SR
ସେହିପରି, PS = RQ, PS = QP
∴ PQRS ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ।
∆PAS ତବ, ∠1 + ∠2 + 90° = 180°
⇒ ∠1 + ∠2 = 90°
⇒ ∠3 + ∠2 = 90° (∵ ∠1 = ∠3)
ସେହିପରି ∠2 + ∠4 + ∠3 = 180°
∴ 90° + ∠4 = 180°
⇒ ∠4 = 180° – 90° = 90°
ସେହିପରି ∠5 = 90°, ∠6 = 90° ଓ ∠7 = 90°
∴ PQRS ଚତୁର୍ଭୁଜଟି, ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର।
Question 8.
ଯଦି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଓ ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହୁଏ, ତେବେ ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ କି?
Solution:
ମନେକର ABCD ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର AB = BC = CD = DA ଓ ∠DAB = 90°
BDକୁ ଯୋଗ କରାଯାଉ।
ADB ଓ CDB ସେହିପରି AD = CD, AB = CB
∴ ADB ଓ CDB ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ।
∴ ∠C = ∠A = 90°
∆ADBତେ, ∠1 = ∠2 (∵ AB = AD)
ତେଣୁ ∠1 + 90 + ∠2 = 180°
∴ ∠1 + ∠2 = 90°
∴ ∠1 = 45° ଓ ∠2 = 45° (∵ ∠1 = ∠2)
∆CDBତେ, ∠3 = ∠4 (∵ CD = CB)
ତେଣୁ ∠3 + 90° + ∠4 = 180°
∴ ∠3 + ∠4 = 90°
∴ ∠3 = 45° ଓ ∠4 = 45° (∵ ∠3 = ∠4)
∴ ∠ABC = ∠1 + ∠4 = 45° + 45° = 90°
ଓ ∠ADC = ∠2 + ∠3 = 45° + 45° = 90°
∴ ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ 90°
∴ ABCD ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ର।
ଅଧୂକନ୍ତୁ ମାପକଲେ ଆମେ ପାଇବା
AB = BC = CD = DA ଓ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
Question 9.
କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଥାଏ ? ତୁମର ଉତ୍ତରର ଯଥାର୍ଥତା ପ୍ରତିପାଦନ କର।
ସୂଚନା : ଏକ କର୍ପୂ ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ ଏଥିରେ ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜ ସୃଷ୍ଟି ହେଉଛି କି? ପରୀକ୍ଷା କର।
Solution:
ମନେକର ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ, ଯାହାର ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ।
ବର୍ତ୍ତମାନ AC ଅଙ୍କନ କର।
∆ADC ଓ ∆CBAରେ, AD = CB, DC = BA ଏବଂ AC ସାଧାରଣ ବାହୁ।
∴ ADC ≅ CBA (ବା–ବା–ବା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ)
ତେଣୁ ∠1 = ∠3 ଏବଂ ∠2 = ∠4
∴ AB, DC ଏବଂ ଏମାନଙ୍କର ଛେଦକ AC। (∵ ∠1 ଓ ∠3 ଏକାନ୍ତର କୋଣ ∠A = ∠3)
∴ AB ଓ DC ରେଖାଖଣ୍ଡ ସମାନ୍ତର ହେବେ।
ପୁନଶ୍ଚ AD, BC ଏବଂ ଏମାନଙ୍କର ଛେଦକ AC ଏବଂ ∠2 ଓ ∠4 ଏକାନ୍ତର କୋଣ ସମାନ।
∴ AD ଓ BC ରେଖାଖଣ୍ଡ ସମାନ୍ତର ହେବେ।
∴ ସର୍ଭେ ଅନୁସାରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ହେବ।
Question 10.
ନିମ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜ ପରି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜରେ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି 360° ହେବ କି? ଜ୍ୟାମିତିକ ଯୁକ୍ତି ବ୍ୟବହାର କରି ଓ ଏହାର ଅଙ୍କନ ଓ ମାପକରି ଉତ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
ଦତ୍ତ ଚତୁର୍ଭୁଜରେ BDକୁ ଯୋଗ କରାଯାଉ।
∆ABDରେ, ∠A + ∠3 + ∠1 = 180°
∆CBDରେ, ∠C + ∠4 + ∠2 = 180°
ଯୋଗ କଲେ, ଆମେ ପାଇବା
(∠A + ∠3 + ∠1) + (∠C + ∠4 + ∠2) = 180° + 180°
⇒ ∠A + (∠3 + ∠4) + ∠C + (∠1 + ∠2) = 360°
⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
∴ ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 360°
ଆମେ ପୋଟ୍ରାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ଜାଣିପାରିବା ଯେ ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 360°.
Question 11.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ବାକ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ କି ଭୁଲ ଲେଖ।
ତୁମର ଉତ୍ତରର ଯଥାର୍ଥତା ପ୍ରତିପାଦନ କର।
(i) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି, ତାହା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ।
(ii) ତିନୋଟି ସମକୋଣ ଥିବା ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ନିଶ୍ଚିତ ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ହେବ।
(iii) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି, ତାହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର।
(iv) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ, ତାହା ଏକ ରମ୍ବସ୍।
(v) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ, ତାହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର।
(vi) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ, ତାହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର।
(vii) ସମଦ୍ଵିବାହୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ଗୁଡ଼ିକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର।
Solution:
(i) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ
ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି,
ତାହା ସବୁବେଳେ ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ ନାହିଁ।
ଚିତ୍ରରେ AC = DB ଓ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରୁଛନ୍ତି।
ତେଣୁ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ହେବ।
∴ ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍।
(ii) ମନେକର ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର A, D ଓ C କୋଣ ସମକୋଣ।
ଆମେ ଜାଣିଛେ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
⇒ ∠90° + ∠B + ∠90° + ∠90° = 360°
⇒ ∠B = 360° – 270 = 90°
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣ ସମକୋଣ।
ତେଣୁ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ର।
∴ ଉକ୍ତଟି ସତ୍ୟ।
(iii) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ କର୍ଣ୍ଣ AC ଓ BD ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରନ୍ତି।
ଏଠାରେ ∆AOD ≅ ∆COB
∴ ∠1 = ∠2
∴ BC || AD
ତେଣୁ ∆AOB ≅ ∆COD
∴ ∠3 = ∠4
∴ AB || DC
ଯେହେତୁ ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର, ଏହା ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର।
∴ ଉକ୍ତଟି ସତ୍ୟ।
(iv) ମନେକର ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ AC ଓ BD ପରସ୍ପରକୁ ଲମ୍ବ ଭାବରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି।
ଏହି ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ରମ୍ବସ ହୋଇନପାରେ, କାରଣ କର୍ଣ୍ଣ AC ଓ BC
ପରସ୍କରକୁ ଲମ୍ବ ଭାବରେ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରୁନାହାନ୍ତି।
∴ ଉକ୍ତଟି ଭୁଲ୍।
(v) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠1 = ∠3 ଓ ∠2 = ∠4
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360° (ଯେକୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360°)
⇒ ∠1 + ∠2 + ∠1 + ∠2 = 360°
⇒ 2(∠1 + ∠2) = 360°
⇒ ∠1 + ∠2 = 180°
∴ AD || BC
ପୁନଶ୍ଚ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
⇒ ∠3 + ∠2 + ∠3 + ∠2 = 360°
⇒ 2(∠2 + ∠3) = 360°
⇒ ∠2 + ∠3 = 180°
AB || CD
∴ ଉକ୍ତଟି ସତ୍ୟ।
(vi) ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ, ତାହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର।
∴ ଉକ୍ତଟି ସତ୍ୟ।
ମନେକର ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4
ଆମେ ଜାଣିଛେ, ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
∴ ∠1 + ∠1 + ∠1 + ∠1 = 360°
⇒ 4∠1 = 360°
⇒ ∠1 = 90°
∴ ∠2 = 90°, ∠3 = 90°, ∠4 = 90°
ଆମେ ପାଇବା ∠5 + ∠6 = 90°
ଏବଂ ∠6 + 90° + ∠8 = 180°
∴ ∠5 + ∠6 = ∠6 + ∠8
⇒ ∠5 = ∠8
ପୁନଶ୍ଚ ∠7 + 90° + ∠5 = 180°
⇒ ∠7 + ∠5 = 90°
∴ ∠5 + ∠6 = ∠7 + ∠5
⇒ ∠6 = ∠7
ବର୍ତ୍ତମାନ ∆DAB ଏବଂ ∆BCDରେ ଆମେ ପାଇଲେ,
∠5 = ∠8, ∠7 = ∠6 ଏବଂ BD ସାଧାରଣ ବାହୁ।
∴ ∠DAB ≅ ∠BCD (କୋ–ବା–କୋ ସର୍ବସମ ସର୍ଭ ଅନୁଯାୟୀ)
ତେଣୁ DA = BC ଏବଂ AB = CD
∴ ଚତୁର୍ଭୁଜ ABCDର ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ ହେତୁ ଏହା ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର।
(vii) ସମଙ୍ଗିବାହୁ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ଗୁଡ଼ିକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ନୁହନ୍ତି, କାରଣ ଏହାର କେବଳ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ।
∴ ଉକ୍ତଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ।
Class 8 Maths Chapter 4 MCQ Odia Medium
ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଚାରୋଟି ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ।
Question 1.
ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅତି କମ୍ରେ ଗୋଟିଏ ଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ତାହାକୁ କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ କୁହାଯାଏ?
(a) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍
(b) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
(c) ରମ୍ବସ୍
(d) ବର୍ଗଚିତ୍ର
Answer:
(a) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍
Question 2.
ଯେଉଁ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ତାହାକୁ କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ କୁହାଯାଏ?
(a) ଆୟତଚିତ୍ର
(b) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
(c) ରମ୍ବସ୍
(d) ବର୍ଗଚିତ୍ର
Answer:
(d) ବର୍ଗଚିତ୍ର
Question 3.
PQRS ଚତୁର୍ଭୁଜ କେଉଁ କେଉଁ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ନେଇ ଗଠିତ?
(a) PQ, PR, RS, SP
(b) PQ, QR, RS, SP
(C) PR, RQ, QS, SP
(d) PS, SQ, QR, RP
Answer:
(b) PQ, QR, RS, SP
Question 4.
ଯେଉଁ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବାହୁମାନଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ତାହାକୁ କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ କୁହାଯାଏ?
(a) ଆୟତଚିତ୍ର
(b) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
(c) ରମ୍ବସ୍
(d) ବର୍ଗଚିତ୍ର
Answer:
(c) ରମ୍ବସ୍
Question 5.
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହେଲେ ତାହାକୁ କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ କୁହାଯାଏ?
(a) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍
(b) ଆୟତଚିତ୍ର
(c) ବର୍ଗଚିତ୍ର
(d) ରମ୍ବସ୍
Answer:
(b) ଆୟତଚିତ୍ର
Question 6.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AB || CD, AD || BC ଏବଂ m∠ABC = 90° ହେଲେ ଏହା କେଉଁ ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେବ?
(a) ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
(b) ବର୍ଗଚିତ୍ର
(c) ଆୟତଚିତ୍ର
(d) ରମ୍ବସ୍
Answer:
(c) ଆୟତଚିତ୍ର
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର।
Question 1.
ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ________________ ସମାନ ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ରମ୍ବସ୍ ହୁଏ।
Answer:
ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
Question 2.
ଏକ ________________ ର କୋଣମାନ ସମକୋଣ ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ଆୟତଚିତ୍ର ହେବ।
Answer:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
Question 3.
ଏକ ________________ ର କୋଣମାନ ସମକୋଣ ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ।
Answer:
ରମ୍ବସ୍
Question 4.
ଏକ ଆୟତଚିତ୍ରର ________________ ସମାନ ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ।
Answer:
ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
Question 5.
କୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର ଏକଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ________________ ହେବ।
Answer:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍
Question 6.
କୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଯୋଡ଼ା ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ୍ତର ହେଲେ, ଚିତ୍ରଟି ________________ ହେବ।
Answer:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
Question 7.
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ର ସ୍କୁଲ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଦୂରତାକୁ ଏହାର ________________ କୁହାଯାଏ।
Answer:
ଉଚ୍ଚତା
Question 8.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର \(\overline{\mathrm{AB}} \| \overline{\mathrm{CD}}\), AD || BC ଏବଂ m∠ABC = 90° ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ________________ ହେବ।
Answer:
ଆୟତଚିତ୍ର
Question 9.
ABCD ଚତୁକୁକରେ AB || CD ଏବଂ AD || BC ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________________।
Answer:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
Question 10.
ABCD ଚତୁକୁକରେ AB || CD, AD || BC ଏବଂ AC = BD ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________________।
Answer:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
Question 11.
________________ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।
Answer:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
Question 12.
________________ ର କର୍ଣ୍ଣ ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।
Answer:
ରମ୍ବସ୍
Question 13.
________________ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରପ୍ରତି ଲମ୍ବ, ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ।
Answer:
ବର୍ଗଚିତ୍ର
Question 14.
________________ ର କର୍ଣ୍ଣ ଦ୍ଵୟ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।
Answer:
ଆୟତଚିତ୍ର
Question 15.
________________ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି; କିନ୍ତୁ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ନ ହୋଇପାରନ୍ତି।
Answer:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
ସଂକ୍ଷେପରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ।
Question 1.
ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ବାହୁ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ଅନ୍ୟଟି ଉପରେ ଲମ୍ବ। ଅନ୍ୟ କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 4 ହେଲେ, ଭକ୍ତ କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର
କର।
Solution:
ABCD ଚତୁର୍ଭୂଜର କେ। ଣ ମ। ନଙ୍କର ପରିମାଣ 90°, 2x°, 3x°, 4x°|
∴ 90° + 2x + 3x + 4x = 360°
⇒ 9x = 270°
⇒ x = 30°
∴ କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ 60°, 90°, 120°.
Question 2.
ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 5 : 8 ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର।
Solution:
ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ହେଲା,
2x°, 3x°, 5x° ଏବଂ 8x°
∴ 2x° + 3x° + 5x° + 8x° = 360° (∵ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360°)
⇒ 18x = 360°
⇒ x = 20°
∴ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 40°, 60°, 100 ଏବଂ 160°|
Question 3.
ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 60° ଓ 80°। ଅନ୍ୟ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ, କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର।
Solution:
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର
m∠A = 60°, m∠B = 80° ଏବଂ m∠C = m∠D (ଦତ୍ତ),
ଆମେ ଜାଣିଛୁ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360°।
ଅର୍ଥାତ୍ m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°
⇒ 60° + 80° + m∠C + m∠D = 360°
⇒ m∠C + m∠D = 360° – (60° + 80°) = 220°
କିନ୍ତୁ m∠C = m∠D (ଦର)
∴ m∠C = m∠D = 110°
Question 4.
ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 1 : 3 : 7 : 9 ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର।
Solution:
ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ x°, 3x°, 7x° ଓ 9x°|
ଆମେ ଜାଣିଛୁ, ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360°|
⇒ x° + 3x° + 7x° + 9x° = 360°
⇒ 20x = 360°
⇒ x = 18°
ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣ;
x = 18°
3x = 3 × 18° = 54;
7x = 7 × 18° = 126°; ଏବଂ
9x = 9 × 18° = 162°
∴ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣ 18°, 54°, 126° ଓ 162°|
Question 5.
ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 90°। ଅନ୍ୟ କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ଏହି କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର।
Solution:
ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 90°|
∴ ଅନ୍ୟ କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = 360° – 90° = 270°
କିନ୍ତୁ ଅନ୍ୟ କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ସମାନ ହେତୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac {270}{3}\) = 90°
Question 6.
ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ର ABCDର କର୍ଣ୍ଣ ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତି। \(\overline{\mathrm{AC}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{BD}}\) କର୍ଣ୍ଣ ଦ୍ଵୟ ଏବଂ BO ଓ CO ମଧ୍ୟରେ ସଂପର୍କ ସ୍ଥିର କର।
Solution:
ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର।
⇒ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର।
ଆମେ ଜାଣିଛୁ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।
ତେଣୁ BO = CO
ପୁନଶ୍ଚ, ABCD ଆୟତ ଚିତ୍ର ହେତୁ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ।
ଅର୍ଥାତ୍ AC = BD
Question 7.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରି ମାଣ 45° ହେଲେ, ଏହାର ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର।
Solution:
m∠D = m∠B = 45° [ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣ ହେତୁ]
∴ m∠B + m∠D = 45° + 45° = 90°
ତେଣୁ m∠C + m∠A = 360° – (m∠B + m∠D)
= 360° – 90°
= 270°
କିନ୍ତୁ m∠A = m∠C
∴ m∠A = m∠C = \(\frac {270}{2}\) = 135°
Question 8.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ ଅନ୍ୟଟିର ଦୁଇଗୁଣ ହେଲେ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର।
Solution:
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଯାହାର,
m∠A = m∠C ଏବଂ m∠B = m∠D
ଏଠାରେ ∠B ଓ ∠C ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣ।
ପ୍ରଶ୍ନ ନୁ ସାରେ, ∠C ତିର ପରି ମାଣ ∠Bର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣ।
ମନେକର m∠B = x°
∴ m∠C = 2x°
ଆମେ ଜାଣିଛୁ m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°
⇒ 2x° + x° + 2x° + x° = 360°
⇒ 6x° = 360°
⇒ x = 60°
∴ ∠B = ∠D = 60°
ଏବଂ ∠A = ∠C = 2x = 2 × 60° = 120°
⇒ ∠A, ∠B, ∠C ଓ ∠D କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 120°, 60°, 120° ଏବଂ 60°|
Question 9.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ କୋଣ ∠C ଓ ∠Dର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ (x + 30°) ଓ (2x – 60°) ହେଲେ, ଦତ୍ତ ମାପକୁ ନେଇ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର।
Solution:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠A = m∠C = x + 30°
ଓ m∠B = m∠D = 2x – 60°
(∵ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ବିପରୀତ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ)
ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 360°|
ତେଣୁ m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°
⇒ x + 30°+ 2x – 60° + x + 30° + 2x – 60° = 360°
⇒ 6x – 60° = 360°
⇒ 6x = 360° + 60° = 420°
⇒ x = 70°
∴ m∠D = 2x – 60°
= 2 × 70° – 60°
= 80°
= m∠B
ଏବଂ m∠C = x + 30°
= 70° + 30°
= 100°
= m∠A