Class 8 Maths Chapter 6 Question Answer Odia Medium ବାଣ୍ଟିଲେ ବଢ଼େ

Students can use Class 8 Math Solution Odia Medium and Class 8 Maths Chapter 6 Question Answer Odia Medium ବାଣ୍ଟିଲେ ବଢ଼େ to check their answers after solving exercises.

8th Class Maths Chapter 6 Question Answer Odia Medium

Class 8 Maths Chapter 6 Odia Medium

6.1 ଗୁଣନର କେତେକ ଧର୍ମ (Some Properties of Multiplication)

Page No. 138

Question 1.
ଯଦି a = 23 ଏବଂ b = 27 ହୁଏ, ତେବେ (23 + 1) (27 + 1) = ?
Solution:

ଏହିପରି, ଯେତେବେଳେ a ଏବଂ b ପ୍ରତ୍ୟେକ। ବୃଦ୍ଧି ପାଆନ୍ତି, ଗୁଣଫଳ ab, ସେତେବେଳେ a + b + 1 ବୃଦ୍ଧି ହୋଇଥାଏ।

Question 2.
ଯଦି ଆମେ (b + 1)କୁ ଗୋଟିଏ ପଦ ଭାବରେ ନେଇ (a + 1) (b + 1)କୁ ବିସ୍ତାର କରିବା, ତେବେ ଆମେ କ’ଣ ପାଇବା?
Solution:
(a + 1) (b + 1)
(b + 1)କୁ ଗୋଟିଏ ପଦ ନେଲେ,
ଆମେ ପାଇବା (b + 1) (a + 1) = (b + 1)a + (b + 1 )1 (ବଣ୍ଟନର ନିୟମ ଅନୁସାରେ)
= ba + a + b + 1
= ab + a + b + 1 [∵ ab = ba]

Question 3.
ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 1 ବୃଦ୍ଧିପାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି 1 ହ୍ରାସ ପାଏ, ସେତେବେଳେ କ’ଣ ହୁଏ ? ଗୁଣଫଳରେ କୌଣସି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେବ କି?
Solution:
ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା a ଓ bର ଗୁଣଫଳ ab ନେବା।
ଯଦି a କୁ 1 ବୃଦ୍ଧି କରାଯାଏ ଏବଂ b କୁ 1 ହ୍ରାସ କରାଯାଏ,
ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ (a + 1) (b – 1) ହେବ।
ଏହାକୁ ବିସ୍ତାର କଲେ ଆମେ ପାଇବା
(a + 1) (b – 1) = (a + 1)b – (a + 1)1 = ab + b – (a + 1 ) = ab + [b – a – 1] (ବୃଦ୍ଧି)
ଉଦାହରଣ : ଯଦି a = 23 ଏବଂ b = 27 ହୁଏ, ତେବେ
(23 + 1)(27 – 1) = (23 + 1)27 – (23 + 1)1
= 23 × 27 + 27 – (23 + 1)
= 23 × 27 + [27 – 23 – 1] (ବୃଦ୍ଧି)

Question 4.
ଗୁଣଫଳ ସବୁବେଳେ ବୃଦ୍ଧି ପାଇବ କି ? ଗୁଣଫଳ ହ୍ରାସ ପାଉଥିବା 3ଟି ଉଦାହରଣ ଦିଅ।
Solution:
ଗୁଣଫଳ ସବୁବେଳେ ବୃଦ୍ଧି ପାଇବ ନାହିଁ। ଉଦାହରଣ–
(i) ମନେକର a = 5, b = 3, ଗୁଣଫଳ = 5 × 3 = 15
ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ । ବୃଦ୍ଧି କରାଯିବ ଓ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ । ହ୍ରାସ କରାଯିବ,
ଗୁଣଫଳ = (5 + 1) × (3 – 1) = 6 × 2 = 12
∴ ଗୁଣଫଳ ହ୍ରାସ ପାଇବ।

(ii) ମନେକର a = 10, b = 8, ଗୁଣଫଳ = 10 × 8 = 80
ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ 1 ବୃଦ୍ଧି କରାଯିବ ଓ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ। ହ୍ରାସ କରାଯିବ,
ଗୁଣଫଳ = (10 + 1) × (8 – 1) = 11 × 7 = 77
∴ ଗୁଣଫଳ ହ୍ରାସ ପାଇବ।

(iii) ମନେକର a = 2, b = 0, ଗୁଣଫଳ = 2 × 0 = 2
ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ l ବୃଦ୍ଧି କରାଯିବ ଓ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ । ହ୍ରାସ କରାଯିବ,
ଗୁଣଫଳ = (2 + 1) × (0 – 1) = 3 × -1 = -3
∴ ଗୁଣଫଳ ହ୍ରାସ ପାଇବ।

Question 5.
ଯେତେବେଳେ a ଓ b ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ହେବ, ସେତେବେଳେ କ’ଣ ହେବ ? ଉପରୋକ୍ତ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ a ଏବଂ b ପାଇଁ ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ମୂଲ୍ୟ ନେଇ ପରୀକ୍ଷା କର।
Solution:
ନିଜେ ଅଭ୍ୟାସ କର।

Page No. 139

Question 1.
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ ‘m’ ପରିମାଣ ବୃଦ୍ଧି କରାଯାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟିକୁ ‘n’ ପରିମାଣ ବୃଦ୍ଧି କରାଯାଏ, ତେବେ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ କେତେ ପରିମାଣରେ ବଦଳିବ?
Solution:
ଯଦି a ଏବଂ b ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ସଂଖ୍ୟା ହୁଅନ୍ତି ଏବଂ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିକୁ ଗୁଣ୍ଡନ କରାଯାଏ, ତେବେ a + m ଏବଂ b + nର ଗୁଣଫଳ ମିଳିବ।
ଅର୍ଥାତ୍ (a + m)(b + n) = (a + m)b + (a + m)n = ab + mb + an + mn
ଏଠାରେ ବୃଦ୍ଧି ପରିମାଣ an + bm + mn
ଗୁଣଫଳ ହେଉଛି (a + m)ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ସହିତ (b + n)ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ଗୁଣଫଳର ଯୋଗଫଳ।

Page No. 140

Question 1.
ଅଭେଦ 1 ବ୍ୟବହାର କରି ଗୁଣଫଳ କିପରି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ, ତାହା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯେତେବେଳେ
(i) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 2 ହ୍ରାସ ହୁଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି 3 ବୃଦ୍ଧି ହୁଏ।
(ii) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 3 ହ୍ରାସ ହୁଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି 4 ହ୍ରାସ ହୁଏ।
Solution:
(i) ଆମେ ଜାଣିଛେ, (a + m)(b + n) = ab + mb + an + mn
ଏଠାରେ m = -2 ଓ n = 3
∴ (a – 2)(b + 3) = ab – 2b + 3a – 6 = ab + (3a – 2b – 6) (ସୂତ୍ର (i) ଅନୁସାରେ)
∴ ଗୁଣଫଳ (3a – 2b – 6) ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଲା।

(ii) ଆମେ ଜାଣିଛେ, (a + m)(b + n) = ab + mb + an + mn
ଏଠାରେ m = -3 ଓ n = -4
∴ (a – 3)(b – 4) = ab – 3b – 4a + 12 = ab + (-3b – 4a + 12) (ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ)
∴ ଗୁଣଫଳ (-3b – 4a + 12) ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଲା।

Question 2.
ବିୟୋଗକୁ ଯୋଗରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ ନକରି ଗୁଣଫଳଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକୁ ଯାଞ୍ଚ କର।
Solution:
ଏହାକୁ ସାଧାରଣୀକରଣ କରି, ଆମେ (a + u)(b – v) ଗୁଣଫଳକୁ ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଭାବରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା।
(a + u)(b – v) = (a + u)b – (a + u)v
= ab + ub – (av + uv)
= ab + ub – av – uv
ଆମେ ପାଇବା ଯେ ଅଭେଦ 1 ରେ m = u ଏବଂ n = -v ନେବା ସହିତ ସମାନ ଅଟେ।
ଅଭେଦ 1 ପରି (a + u)(b – v)ର ଗୁଣଫଳ ହେଉଛି a + u (a ଏବଂ u)ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ b – v (b) ଏବଂ (-v)ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ସହିତ ଗୁଣଫଳର ଯୋଗଫଳ।
ଲକ୍ଷ୍ୟକର ଯେ ଗୁଣଫଳରେ ଥ‌ିବା ପଦଗୁଡ଼ିକର ଚିହ୍ନଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଗୁଣନର ସାଧାରଣ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରିବ।

Question 3.
ବିସ୍ତାର କର:
(i) (a – u)(b + v)
(ii) (a – u)(b – v)
Solution:
(i) (a – u)(b + v) = ab – ub + av – uv
(ii) (a – u)(b – v) = ab – ub – av + uv
∴ ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ଗୋଟିଏ ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ପଦ ପାଇଁ ସୀମିତ ନୁହେଁ।

Question 4.
ଉଦାହରଣ 1: ବିସ୍ତାର କର: \(\frac{3 a}{2}\left(a-b+\frac{1}{5}\right)\)
Solution:
\(\frac{3 \mathrm{a}}{2}\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}+\frac{1}{5}\right)=\left(\frac{3 \mathrm{a}}{2} \times \mathrm{a}\right)-\left(\frac{3 \mathrm{a}}{2} \times \mathrm{b}\right)+\left(\frac{3 \mathrm{a}}{2} \times \frac{1}{5}\right)\)
ସରଳୀକୃତ କଲେ ଆମେ ପାଇବା:
\(\frac{3 a}{2} \times a=\frac{3}{2} \times(a \times a)=\frac{3}{2} a^2\)
\(\frac{3 \mathrm{a}}{2} \times \mathrm{b}=\frac{3}{2} \times(\mathrm{a} \times \mathrm{b})=\frac{3}{2} \mathrm{ab}\)
\(\frac{3 \mathrm{a}}{2} \times \frac{1}{5}=\left(\frac{3}{2} \times \frac{1}{5}\right) \mathrm{a}=\frac{3}{10} \mathrm{a}\)
∴ \(\frac{3 a}{2}\left(a-b+\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{2} a^2-\frac{3}{2} a b+\frac{3}{10} a\)

Page No. 141

Question 1.
ଉଦାହରଣ: \(\frac{3}{2} a^2\) ଏବଂ \(\frac {3}{10}\)a କୁ ଯୋଗକରି ଗୋଟିଏ ପଦ କରାଯାଇପାରିବ କି?
Solution:
ଏହି ପରିପ୍ରକାଶରେ ଏକାଧିକ ସଦୃଶ ପଦ ନଥିବାରୁ ଏହାର ଅଧିକ ସରଳୀକରଣ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।

Question 2.
ସମାନ ଅକ୍ଷର—ସଂକେତ (ଚଳରାଶି) ଥୁବା ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ସଦୃଶପଦ କୁହାଯାଏ।
ଉଦାହରଣ 2: (a + b)(a + b)କୁ ବିସ୍ତାର କର।
Solution:
(a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b
= a × a + b × a + a × b + b × b
= a² + ba + ab + b²
ଯେହେତୁ ba = ab ଏବଂ ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ସଦୃଶ ପଦ ab ଓ ba ଅଛି, ତେଣୁ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ,
ba + ab = ab + ab = 2ab
ତେଣୁ ଆମେ ପାଇବା (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²

Question 3.
ଉଦାହରଣ 3: (a + b)(a² + 2ab + b²)କୁ ବିସ୍ତାର କର।
Solution:
(a + b)(a² + 2ab + b²) = (a + b)a² + (a + b)2ab + (a + b)b²
= (a × a²) + ba² + (a × 2ab) + (b × 2ab) + ab² + (b × b²)
= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
∴ (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³
[∵ a × 2ab = 2 × a × a × b = 2a²b, b × 2ab = 2 × a × b × b = 2ab², b × b² = b³]

ନିଜେ କରି ଦେଖ: (Page No. 142)

Question 1.
ନିମ୍ନରେ ଥ‌ିବା ଗୁଣନ ଗ୍ରୀଡ଼କୁ ଦେଖ। ଗ୍ରୀଡ଼ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟା, ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଅଟେ। ଯଦି ଏକ 3 × 3 ବର୍ଗାକାର କୋଠରି ମଧ୍ୟଭାଗ ସଂଖ୍ୟାକୁ ‘pq’ ପରିପ୍ରକାଶଦ୍ଵାରା ଦର୍ଶାଯାଏ, ତେବେ ଗ୍ରୀଡ଼ର ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ।

Solution:

3 × 3 ବର୍ଗାକାର କୋଠରୀର ମଧ୍ୟଭାଗ ସଂଖ୍ୟା = pq
∴ ଏହାର ସ୍ତମ୍ଭ ସଂଖ୍ୟା = q ଓ ଧାଡ଼ି ସଂଖ୍ୟା = p
∴ ଧାଡ଼ିସଂଖ୍ୟା ଉପର p = p – 1
ସ୍ତମ୍ଭର ବାମ ସଂଖ୍ୟା = q = q – 1
∴ 3 × 3 ଗ୍ରୀଡ଼ର ପରିପ୍ରକାଶ।
ଉପର ମଝି = (p – 1)q
ମଝିର ବାମ = p(q – 1)
ତଳର ବାମ = (p + 1) (q – 1)
ତଳର ଡାହାଣ = (p + 1) (q + 1)
ଧାଡ଼ି ସଂଖ୍ୟା ତଳ p = p + 1
ସ୍ତମ୍ଭର ଡାହାଣ ସଂଖ୍ୟା = q = q + 1
ବାମ ଉପର = (p – 1) (q – 1)
ଉପର ଡାହାଣ = (p – 1) (q + 1)
ମଝିର ଡାହାଣ = p(q + 1)
ତଳର ମଝି = (p + 1)q

Question 2.
ନିମ୍ନ ଗୁଣଫଳଗୁଡ଼ିକୁ ବିସ୍ତାର କର:
(i) (3 + u)(v – 3)
(ii) \(\frac {2}{3}\)(15 + 6a)
(iii) (10a + b)(10c + d)
(iv) (3 – x)(x – 6)
(v) (-5a + b)(c + d)
(vi) (5 + z)(y + 9)
Solution:
(i) (3 + u)(v – 3) = 3(v – 3) + u(v – 3)
= 3v – 9 + uv – 3u
= 3v – 3u + uv – 9

(ii) \(\frac {2}{3}\)(15+ 6a) = \(\frac {2}{3}\) × 15 + \(\frac {2}{3}\) × 6a = 10 + 4a

(iii) (10a + b)(10c + d) = 10a × 10c + 10a × d + b × 10c + b × d = 100ac + 10ad + 10bc + bd

(iv) (3 – x)(x – 6) = 3(x – 6) – x(x – 6)
= 3x – 18 – x² + 6x
= -x² + 9x – 18

(v) (-5a + b)(c + d) = -5a(c + d) + b(c + d) = -5ac – 5ad + bc + bd

(vi) (5 + z)(y + 9) = 5(y + 9) + z(y + 9) = 5y + 45 + yz + 9z

Question 3.
ଏପରି 3ଟି ଉଦାହରଣ ଦିଅ, ଯେଉଁଠାରେ ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟରୁ ଯଦି ଗୋଟିଏକୁ ‘2’ବୃଦ୍ଧି କରାଯାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟିକୁ ‘4’ ହ୍ରାସ କରାଯାଏ ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହେ।
Solution:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି a ଓ b
ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ ab = (a + 2)(b – 4)
⇒ ab = ab – 4a + 2b – 8
⇒ ab – ab + 4a + 8 = 2b
⇒ 4a + 8 = 2b (2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ)
∴ 2a + 4 = b
⇒ b = 2a + 4
ଯଦି a = 1, b = 2 × 1 + 4 = 6
⇒ ab = 1 × 6 = 6
ଏବଂ (a + 2)(b – 4) = (1 + 2)(6 – 4) = 3 × 2 = 6
∴ ab = (a + 2)(b – 4)
ଯଦି a = 2, b = 2 × 2 + 4 = 8
⇒ ab = 2 × 8 = 16
(a + 2)(b – 4) = (2 + 2)(8 – 4) = 4 × 4 = 16
∴ ab = (a + 2)(b – 4)
ଯଦି a = 3, b = 2 × 3 + 4 = 10
⇒ ab = 3 × 10 = 30
(a + 2)(b – 4) = (2 + 3)(10 – 4) = 5 × 6 = 30
∴ ab = (a + 2)(b – 4)
∴ ତିନୋଟି ଉଦାହରଣ = (ab) = (1, 6), (2, 8), (3, 10)

Question 4.
ବିସ୍ତାର କର:
(i) (a + ab – 3b²)(4 + b)
(ii) (4y + 7)(y + 11z – 3)
Solution:
(i) (a + ab – 3b²)(4 + b) = (4 + b)(a + ab – 3b²)
= 4(a + ab – 3b²) + b(a + ab – 3b²)
= 4a + 4ab – 12b² + ab + ab² – 3b³
= 4a + 5ab – 12b² + ab² – 3b³

(ii) (4y + 7)(y + 11z – 3) = 4y(y + 11z – 3) + 7(y + 11z – 3)
= 4y² + 44yz – 12y + 7y + 77z – 21
= 4y² + 44yz – 5y + 77z – 21

Question 5.
ବିସ୍ତାର କର:
(i) (a – b)(a + b)
(ii) (a – b)(a² + ab + b²)
(iii) (a – b)(a³ + a²b + ab²b³)
ତୁମେ କୌଣସି ସଂରଚନା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ କି? ତୁମେ ଦେଖୁଥ‌ିବା ସଂରଚନାରେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଭେଦଟି କ’ଣ ହେବ? ତୁମେ ଏହାକୁ ବିସ୍ତାର କରି ଯାଞ୍ଚ କରିପାରିବ କି?
Solution:
(i) (a – b)(a + b) = a(a + b) – b(a + b)
= a² + ab – ab – b²
= a² – b²

(ii) (a – b)(a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) – b(a² + ab + b²)
= a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³
= a³ – b³

(iii) (a – b)(a³ + a²b + ab²b³ = a(a³ + a²b + ab² + b³) – b(a³ + a²b + ab² + b³)
= a⁴ + a³b + a²b² + ab³ – a³b – a²b² – ab³ – b⁴
= a⁴ – b⁴
ଆମେ ସଂରଚନାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କଲୁ ଯେ, (a – b)(aⁿ + a^n-1b + ……… + bⁿ) = aⁿ⁺¹ – bⁿ⁺¹
ସଂରଚନାର ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଭେଦ ହେବ = (a – b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴) = a⁵ – b⁵

Page No. 143

Question 1.
11 ସହିତ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଗୋଟିଏ ସୋପାନରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖତ ଗୁଣନଗୁଡ଼ିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର।
(a) 3874 × 11
(b) 5678 × 11
Solution:
(a) 3874 × 11 = 3874(10 + 1)
= 38740 + 3874
= 42614

(b) 5678 × 11 = 5678(10 + 1)
= 56780 + 5678
= 62458

Page No. 144

Question 1.
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା (ଯେକୌଣସି ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ)କୁ 11ରେ ଗୁଣିବା ପାଇଁ ଏକ ସାଧାରଣ ନିୟମ ବର୍ଣ୍ଣନା କର ଏବଂ ଗୁଣଫଳକୁ ଗୋଟିଏ ଧାଡ଼ିରେ ଲେଖ।
ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:
(i) 94 × 11
(ii) 495 × 11
(iii) 3279 × 11
(iv) 4791256 × 11
Solution:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା = a, ତେଣୁ a × 11 = a × 10 + a
(i) 94 × 11 = 94 × (10 + 1)
= 94 × 10 + 94
= 940 + 94
= 1034

(ii) 495 × 11 = 495 × (10 + 1)
= 495 × 10 + 495
= 4950 + 495
= 5445

(iii) 3279 × 11 = 3279 × (10 + 1)
= 3279 × 10 + 3279
= 32790 + 3279
= 36069

(iv) 4791256 × 11 = 4791256 × (10 + 1)
= 47912560 + 42791256
= 52703816

Question 2.
‘3874’ କୁ 101 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କର।
Solution:
ଆସ ଏକ ଚାରିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ‘dcda’ ନେବା।
ଆମେ ଜାଣୁ dcba × 101 = dcba × (100 + 1) = dcba × 100 + dcba

3874 × 101 = dcba × 101 = dcba × 100 + dcba

∴ 3874 × 101 = 391274

Question 3.
101 ଦ୍ଵାରା ଏକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୁଣନ କରିବା ଏବଂ ଗୁଣଫଳକୁ ଗୋଟିଏ ଧାଡ଼ିରେ ଲେଖିବା ପାଇଁ ଏକ ସାଧାରଣ ନିୟମ କ’ଣ ହୋଇପାରେ? ଏହି ନିୟମ 1001, 10001, …… ଇତ୍ୟାଦିଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ ପାଇଁ ବିସ୍ତାର କର।
Solution:
ଏକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 101 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବାର ସାଧାରଣ ନିୟମ-
ଯଦି a ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା, ତେବେ a × 101 = a × 10¹⁺¹ + a
ଯଦି a ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା, ତେବେ a × 1001 = a × 10²⁺¹ + a
ଯଦି a ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା, ତେବେ a × 10001 = a × 10³⁺¹ + a
ସାଧାରଣ ନିୟମ: ଯଦି a ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ତେବେ ଗୁଣଫଳ = a × 10^k+1 + a, ଯେଉଁଠାରେ k = ଦୁଇଟି 1 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 0 ସଂଖ୍ୟା

Question 4.
ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
(i) 89 × 101
(ii) 949 × 101
(iii) 265931 × 1001
(iv) 1111 × 1001
(v) 9734 × 99
(vi) 23478 × 999
Solution:
ସାଧାରଣ ନିୟମ: ଯଦି a ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ତେବେ ଗୁଣଫଳ = a × 10^k+1 + a,
ଯେଉଁଠାରେ k = ଦୁଇଟି 1 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 0 ସଂଖ୍ୟା।
(i) 89 × 101 = 89 × 10¹⁺¹ + 89
= 89 × 10² + 89
= 89 × 100 + 89
= 8900 + 89
= 8989

(ii) 949 × 101 = 949 × 10¹⁺¹ + 949
= 949 × 10² + 949
= 949 × 100 + 949
= 94900 + 949
= 95849

(iii) 265931 × 1001 = 265931 × 10²⁺¹ + 265931
= 265931 × 10³ + 265931
= 265931 × 1000 + 265931
= 265931000 + 265931
= 266196931

(iv) 1111 × 1001 = 1111 × 10²⁺¹ + 1111
= 1111 × 10³ + 1111
= 1111 × 1000 + 1111
= 1111000 + 1111
= 1112111

(v) 9734 × 99 = 9734 × (101 – 2)
= 9734 × 101 – 9734 × 2
= 9734 × 10² + 9734 – 19468
= 9734 × 100 + 9734 – 19468
= 973400 + 9734 – 19468
= 983134 – 19468
= 963666

(vi) 23478 × 999 = 23478 × (1001 – 2)
= 23748 × 1001 – 23748 × 2
= 23748 × 10³ + 23748 – 47496
= 23748 × 1000 + 23748 – 47496
= 23748000 + 23748 – 47496
= 23771748 – 19468
= 23752280

6.2 ବଣ୍ଟନ ନିୟମର ବିଶେଷ ପରିସ୍ଥିତି (Special Cases of the Distributive Property)

Page No. 145

Question 1.
ଯଦି ଆମେ 652କୁ (30 + 35)² କିମ୍ବା (52 + 13)² ଭାବରେ ଲେଖୁବା, ତେବେ କ’ଣ ହେବ? ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ ପାଉଥ‌ିବା କ୍ଷେତ୍ରଫଳଟିକୁ ପରୀକ୍ଷା କର।
Solution:
‍(30 + 35)² = (30 + 35)(30 + 35)
= 30 × 30 + 30 × 35 + 35 × 30 + 35 × 35
= 30² + 2 × 30 × 35 + 35²
= 900 + 2100 + 1225
= 4225 ବର୍ଗ ଏକକ।

(52 + 13)² = (52 + 15)(52 + 13)
= 52 × 52 + 52 × 13 + 15 × 52 + 15 × 13
= 52² + 2 × 52 × 13 + 13²
= 2704 + 1352 + 169
= 4225 ବର୍ଗ ଏକକ।

Question 2.
ଯଦି a ଓ b ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ହୁଏ, ତେବେ (a + b)² ସର୍ବଦା a² + b² ଠାରୁ ବଡ଼ ହେବ କି? ଯଦି ନୁହେଁ, ତେବେ କେଉଁ ପରିସ୍ଥିତିରେ ଏହା ବଡ଼ ହୋଇଥାଏ?
Solution:
ନା, (a + b)² ସବୁବେଳେ a² + b² ଠାରୁ ବଡ଼ ନୁହେଁ।
ମନେକର a = 3, b = -5
(a + b)² = (3 + (-5))² = (3 – 5)² = (-2)² = 4
a² + b² = (3)² + (5)² = 9 + 25 = 34
ଏଠାରେ (a + b)² = 4 < 34 = a² + b² ମନେକର (a + b)² > a² + b²
⇒ a² + 2ab + b² > a² + b²
⇒ 2ab > 0
⇒ ab > 0
a ଓ b ନିଶ୍ଚିତ ରୂପେ ଉଭୟ ଧନାତ୍ମକ କିମ୍ବା ରଣାତ୍ମକ ହେବ।
∴ (a + b)² ସର୍ବଦା a² + b² ଠାରୁ ବଡ଼ ହେବ ଯେତେବେଳେ a ଓ b ଉଭୟ ଧନାତ୍ମକ କିମ୍ବା ଋଣାତ୍ମକ ହେବେ।

Question 3.
[(a + b)² = a² + 2ab + b²] ବ୍ୟବହାର କରି 104² ଓ 37²ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। (ସୂଚନା : 104 ଓ 37କୁ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ କିମ୍ବା ଅନ୍ତରଫଳରେ ପ୍ରକାଶ କର ଯାହାର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ସହଜ ଅଟେ।)
Solution:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
104² = (100 + 4)²
= 100² + 2 × 100 × 4 + 4²
= 1000 + 800 + 16
= 10816
37² = (30 + 7)²
= 30² + 2 × 30 × 7 + 7²
= 900 + 420 + 49
= 1369

Page No. 146

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ଲେଖୁବା ପାଇଁ ଅଭେଦ 1Aକୁ ବ୍ୟବହାର କର।
(i) (m + 3)²
(ii) (6 + p)²
Solution:
ଅଭେଦ 1A = (a + b)² = a² + 2ab + b²
(i) (m + 3)² = m² + 2 × m × 3 + 3² = m² + 6m + 9
(ii) 6 + p)² = 6² + 2 × 6 × p + p² = 36 + 12p + p²

Question 2.
ବିସ୍ତାର କର: (6x + 5)²
Solution:
ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରି:
(6x + 5)² = (6x + 5) × (6x + 5)
= (6x × 6x) + (5 × 6x) + (6x × 5) + 5 × 5
= (6x)² + 2 × (6x × 5) + 5²
= 36x² + 60x + 25
ଅଭେଦ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରି:
(6x + 5)² = (6x)² + 5² + 2 × (6x × 5) = 36x² + 60x + 25

Question 3.
ଅଭେଦ ଓ ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ଉଭୟ ପ୍ରୟୋଗ କରି (3j + 2k)² କୁ ବିସ୍ତାର କର।
Solution:
ଅଭେଦ ନିୟମ ଅନୁସାରେ:
(3j + 2k)² = (3j)² + 2 × 3j × 2k + (2k)² = 9j² + 12jk + 4k²
ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ଅନୁସାରେ:
(3j + 2k)² = (3j + 2k) (3j + 2k)
= 3j(3j + 2k) + 2k(3j + 2k)
= (3j × 3j) + (3j × 2k) + (2k × 3j) + (2k × 2k)
= (3j)² + 2(2k × 3j) + (2k)²
= 9j² + 12jk + 4k²

Question 4.
ଜ୍ୟାମିତି ମାଧ୍ୟମରେ 60 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ମଧ୍ୟରେ 55 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ବୁଝିବା।
Solution:
55 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (60 – 5)² = 55²
60 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳରୁ 60 ଏକକ ଏବଂ 5 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅପସାରଣ କରି ଆମେ 55 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପାଇବା।
ଅର୍ଥାତ୍ 60² – (60 × 5) – (5 × 60)

ଏହା କରିବାଦ୍ୱାରା ଆମେ 5 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଛୋଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳକୁ ଦୁଇଥର ଅପସାରଣ କରୁଛୁ।
ଆମେ ପୂର୍ବ ପରିପ୍ରେକ୍ଷୀରେ 5 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳକୁ ପୁନର୍ବାର ଯୋଗ କରିବାଦ୍ଵାରା
5 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଥରେ ମାତ୍ର ବିୟୋଗ ହୁଏ।
ତେଣୁ, (60 – 5)² = 60² – (60 × 5) – (5 × 60) + 5²
3600 – 300 – 300 + 25
= 3025
∴ 55 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 3025 ବର୍ଗଏକକ ଅଟେ।

Page No. 147

Question 1.
ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରି (a – b)² କୁ ବିସ୍ତାର କଲେ କ’ଣ ହେବ?
Solution:
(a – b)² = (a – b) × (a – b)
= (a)² – ba – ab + (b)²
= a² – 2ab + b²

Question 2.
ଆମେ (a + b)²ର ବିସ୍ତାରକୁ ମଧ୍ୟ (a – b)²ର ବିସ୍ତାର ପାଇଁ କିପରି ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା?
Solution:
(a – b)² = (a + (-b))²
= a² + (-b)² + 2 × a(-b)
= a² + b² – 2ab

Question 3.
ଅଭେଦ 1B: (a – b)² = a² + b² – 2ab
ଜ୍ୟାମିତି ପ୍ରୟୋଗ କରି (55)²କୁ ଆମେ ଯେପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିଥଲୁ, ସେହିପରି (a – b)²ର ସାଧାରଣ ବିସ୍ତାର କର।
Solution:

ମନେକର ABCDକୁ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରଭାବେ ନେବା, ଯାହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ଏବଂ ଏହି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ଏକ କୋଣରେ ଛୋଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବା, ଯାହାର ବାହୁ b ହେବ।
ବର୍ତ୍ତମାନ (a – b) ବାହୁଥୁବା କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ABCD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – ROQC ଓ APOS କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – PBQO କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= a² – 2b(a – b) – b²
= a² – 2ab + 2b² – b²
∴ (a – b)² = a² – 2ab + b²

Question 4.
ଅଭେଦ 1B ବ୍ୟବହାର କରି (i) 99² (ii) 58²ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର।
Solution:
ଅଭେଦ 1B: (a – b)² = a² – 2ab + b²
(i) 99² = (100 – 1)²
= 100² – 2 × 100 × 1 + 1²
= 10000 – 200 + 1
= 10001 – 200
= 9801

(ii) 58² = (60 – 2)²
= 60² – 2 × 60 × 2 + 2²
= 3600 – 240 + 4
= 3604 – 240
= 3364

Question 5.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ଉଭୟ ଅଭେଦ 1B ଏବଂ ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ କରି ବିସ୍ତାର କର।
(i) (b – 6)²
(ii) (-2a + 3)²
(iii) \(\left(7 y-\frac{3}{4 z}\right)^2\)
Solution:
(i) (b – 6)²
ଅଭେଦ ନିୟମ; (b – 6)² = b² – 2 × b × 6 + 6² = b² – 12b + 36
ବଣ୍ଟନ ନିୟମ :(b – 6)² = (b – 6)(b – 6)
= (b – 6)b + (b – 6)(-6)
= b² – 6b – 6b + 36
= b² – 12b + 36

(ii) (-2a + 3)² = (3 – 2a)²
ଅଭେଦ ନିୟମ: (3 – 2a)² = 3² – 2 × 3 × 2a + (2a)² = 9 – 12a + 4a²
ବଣ୍ଟନ ନିୟମ: (3 – 2a)² = (3 – 2a)(3 – 2a)
= (3 – 2a)³ + (3 – 2a)(-2a)
= 9 – 6a – 6a + 4a²
= 9 – 12a + 4a²

Page No. 148

Question 1.
ଏକ ଯୋଡ଼ା ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ନିଅ। ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ଏହି ଯୋଗଫଳର ଦୁଇଗୁଣକୁ ଦୁଇଟି ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବରେ ଲେଖିପାରିବା କି?
Solution:
ମନେକର ଦୁଇଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା 6 ଓ 7
∴ 6² + 7² = 36 + 49 = 85
ହଁ, ଏହି ଯୋଗଫଳର ଦୁଇଗୁଣକୁ ଦୁଇଟି ପୂର୍ଷବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବେ ଲେଖୁପାରିବା।
ଆମେ ଜାଣିଛେ, 2(a² + b²) = (a + b)² + (a – b)²
2(7² + 6²) = (7 + 6)² + (7 – 6)² = 13² + 1²

Page No. 148

Question 1.
ଅଭେଦ 1C ବ୍ୟବହାର କରି 98 × 102 ଏବଂ 45 × 55 ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
ଅଭେଦ 1C: (a + b)(a – b) = a² – b²
98 × 102 = (100 – 2) × (100 + 2)
= 100² – 2²
= 10000 – 4
= 9996
45 × 55 = (50 – 5) × (50 + 5)
= 50² – 5²
= 2500 – 25
= 2475

Question 2.
ଜ୍ୟାମିତି ପ୍ରୟୋଗ କରି ପ୍ରମାଣ କର ଯେ: (a + b) × (a – b) = a² – b²
Solution:

ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ଏବଂ
ତା’ଭିତରେ ଥିବା ଛୋଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = b
ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a²
PQRB ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = b²
ବଳକା କ୍ଷେତ୍ର (APQRCD) = a² – b²
⇒ APSD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + QRCS ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a² – b²
⇒ AP × AD + QR × RC = a² – b²
⇒ (a – b)a + b × (a – b) = a² – b²
⇒ (a – b)(a + b) = a² – b²

Page No. 149

Question 1.
ମନେକର a = 31 ଏବଂ b = 1 ନେଇ 31² ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। (ଶ୍ରୀଧରାଚାର୍ଯ୍ୟଙ୍କ ପଦ୍ଧତି ଅନୁସରଣ କରି)
Solution:
31² = (31 + 1)(31 – 1) + 1²
= 32 × 30 + 1
= 961

Question 2.
ମନେକର a = 197 ଏବଂ b = 3 ନେଇ 197² ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। (ଶ୍ରୀଧରାଚାର୍ଯ୍ୟଙ୍କ ପଦ୍ଧତି ଅନୁସରଣ କରି)
Solution:
197² = (197 + 3)(197 – 3) + 3²
= 200 × 194 + 9
= 38809

ନିଜେ କରି ଦେଖ: (Page No. 149)

Question 1.
କେଉଁଟି ବୃହତ୍ତର? (a – b)² କିମ୍ବା (b – a)²? ତୁମ ଉତ୍ତରର ଯଥାର୍ଥତା ପ୍ରତିପାଦନ କର।
Solution:
ଏଠାରେ (a – b)² = a² + b² – 2ab …………(1)
ଓ (b – a)² = b² + a² – 2ba
b² + a² = a² + b² ଓ ba = ab
(b – a)² = a² + b² – 2ab ………….(2)
ସମୀକରଣ (1) ଓ (2) ସହିତ ତୁଳନା କଲେ ଆମେ ପାଇବା
(a – b)² = (b – a)²

Question 2.
100 କୁ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାର ଅନ୍ତରଫଳ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର।
Solution:
a² – b² = 100
(a + b)(a – b) = 100
[100 = 1 × 100, 2 × 50, 4 × 25, 5 × 20, 10 × 10]
ମନେକର ଆମେ ନେବା 50 × 2 = 100
ତେଣୁ (a + b)(a – b) = 50 × 2
a + b = 50 ………..(1)
a – b = 2 ………(2)
ସମୀକରଣ (1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗକଲେ ଆମେ ପାଇବା
2a = 52
⇒ a = 26
ସମୀକରଣ (1) ରେ a = 26 ବସାଇଲେ,
26 + b = 50
⇒ b = 50 – 26 = 24
ପରୀକ୍ଷା କଲେ ଆମେ ଜାଣିବା
26² – 24² = 676 – 576 = 100
∴ 26² – 24² = 100 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 3.
ତୁମେ ଏ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଶିଖୁବା ଅଭେଦଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟବହାର କରି 406², 72², 145², 1097² ଏବଂ 124² ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
406² = (400 + 6)²
= 400² + 2 × 400 × 6 + 6²
= 160000 + 4800 + 36
= 164836

72² = (50 + 22)²
= 50² + 2 × 50 × 22 + 22²
= 2500 + 2200 + 484
= 5184

145² = (150 – 5)²
= 150² – 2 × 150 × 5 + 5²
= 22500 + 1500 + 25
= 21025

1097² = (1100 – 3)²
= 1100² – 2 × 1100 × 3 + 3²
= 1210000 – 6600 + 9
= 1203409

124² = (100 + 24)²
= 100² + 2 × 100 × 24 + 24²
= 10000 + 4800 + 576
= 15376

Question 4.
ସଂରଚନା 1 ଓ 2 କେବଳ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ କି? ସେଗୁଡ଼ିକ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ମଧ୍ୟ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ କି? ଭଗ୍ନାଂଶ ବିଷୟରେ କ’ଣ କୁହାଯାଇପାରେ? ତୁମ ଉତ୍ତରର ଯଥାର୍ଥତା ପ୍ରତିପାଦନ କର।
Solution:
ସଂରଚନା-1: 2(a² + b²) = (a + b)² + (a – b)²
ନମୁନା -୧: ମନେକର a = 4, b = 2
2(a² + b²) = 2(4² + 2²)
= 2 × (16 + 4)
= 2 × 20
= 40
(a + b)² + (a – b)² = (4 + 2)² + (4 – 2)²
= 6² + 2²
= 36 + 4
= 40
∴ 2(a² + b²) = (a + b)² + (a – b)²
∴ ସଂରଚନା 1 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ।

ନମୁନା-୨: ମନେକର a = -4, b = -2
2(a² + b²) = 2((-4)² + (-2)²)
= 2 × (16 + 4)
= 2 × 20
= 40
(a + b)² + (a – b)² = ((-4) + (-2))² + ((-4 – (-2))²
= (-4 – 2)² + (-4 + 2)²
= (-6)² + (-2)²
= 36 + 4
= 40
∴ 2(a² + b²) = (a + b)² + (a – b)²
∴ ସଂରଚନା 1 ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ମଧ୍ୟ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ।

ନମୁନା-୩: ମନେକର a = \(\frac {1}{2}\), b = \(\frac {1}{3}\)
2(a² + b²) = \(2\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2\right]=2\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\right]=2 \times \frac{13}{36}=\frac{13}{18}\)
(a + b)² + (a – b)² = \(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)^2=\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{25}{36}+\frac{1}{36}=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}\)
∴ 2(a² + b²) = (a + b)² + (a – b)²
∴ ସଂରଚନା 1 ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ମଧ୍ୟ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ।

ସଂରଚନା-2: a² – b² = (a + b)(a – b)
ନମୁନା–୧: ମନେକର a = 5, b = 3
a² – b² = 5² – 3²
= 25 – 9
= 16
(a + b)(a – b) = (5 + 3)(5 – 3)
= 8 × 2
= 16
∴ a² – b² = (a + b)(a – b)
∴ ସଂରଚନା 2 ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ।

ନମୁନା-୨: ମନେକର a = -5, b = -3
a² – b² = (-5)² – (-3)²
= 25 – 9
= 16
(a + b)(a – b) = [(-5) + (-3)][(-5) – (-3)]
= (-5 – 3)(-5 + 3)
=(-8) × (-2)
= 16
∴ a² – b² = (a + b)(a – b)
∴ ସଂରଚନା 2 ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ମଧ୍ଯ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ।

ନମୁନା-୩: ମନେକର a = \(\frac {1}{2}\), b = \(\frac {1}{3}\)
a² – b² = \(\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{9-4}{36}=\frac{5}{36}\)
(a + b)(a – b) = \(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{3+2}{6}\right)\left(\frac{3-2}{6}\right)=\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}\)
∴ a² – b² = (a + b)(a – b)
∴ ସଂରଚନା 2 ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ମଧ୍ୟ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ।

6.3 ଭୁଲ୍ ଚିହ୍ନଟ କର, ସଂଶୋଧନ କର (Mind the Mistake, Mend the Mistake)

Page No. 150

Question 1.
ଆମେ ନିମ୍ନରେ କେତେକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶର ସରଳତମ ରୂପକୁ ବିସ୍ତାର କରିଛୁ।
(i) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସରଳୀକରଣକୁ ଯାଞ୍ଚ କର ଏବଂ ଭୁଲ ଥିଲେ ଚିହ୍ନଟ କର।
(ii) ଯଦି କୌରସି ଭୁଲ ଥାଏ, ତେବେ କ’ଣ ଭୁଲ ହୋଇଛି ବୁଝାଅ।
(iii) ତା’ପରେ ଠିକ୍ ପରିପ୍ରକାଶଟି ଲେଖ।

Solution:
1. ଗୁଣନ ଭଲ ଭାବରେ କରାଯାଇଛି ଏବଂ ପଦଗୁଡ଼ିକ ସଠିକ୍ ଭାବେ ଯୋଡ଼ାଯାଇନାହିଁ।
ଠିକ୍ ଉତ୍ତର: -3p(-5p + 2q) = -3p × (-5p) – 1
= -3p × 2q
= 15p² – 6pq

2. ପଦଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗ ଏବଂ ଗୁଣନ ଭୁଲ ଅଛି।
ଠିକ୍ ଉତ୍ତର: 2(x – 1) + 3(x + 4) = 2x – 2 + 3x + 12 = 5x + 10

3. y + 2(y + 2) ରେ ବନ୍ଧନୀଟି ଲେଖାଯାଇନାହିଁ।
ଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (y + 2)(y + 2) = (y + 2)² = y² + 4y + 4

4. 5m + 6n ର ବର୍ଗଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି।
ଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (5m + 6m)² = (5m)² + 2 × 5m × 6n + (6n)² = 25m² + 60mn + 36n²

5. କିଛି ଭୁଲ୍ ନାହିଁ।

6. ଗୁଣନଟି ଠିକ୍ ରୂପେ ହୋଇନାହିଁ।
ଠିକ୍ ଉତ୍ତର : 3a(2b × 3c) = 3a × 6bc = 18abc

7. କୌଣସି ଭୁଲ୍ ନାହିଁ।

8. ଏଗୁଡ଼ିକ ସଦୃଶ ପଦ ନୁହଁନ୍ତି। ତେଣୁ ଯୋଗଫଳ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।
ତେଣୁ 5w² + 6w ଯୋଗଫଳର ଫଳାଫଳ ହେବ।

9. 6a²b ଓ 6ab² ଯୋଗ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ। କାରଣ ପଦଗୁଡ଼ିକ ସଦୃଶ ପଦ ନୁହନ୍ତି।
ଠିକ୍ ଉତ୍ତର: 2a³ + 3a³ + 6a²b + 6ab² = 5a³ + 6a²b + 6ab²

10. କୌଣସି ଭୁଲ୍ ନାହିଁ।

11. (a + 2) (b + 4) ଠିକ୍ ରୂପେ ଲେଖାଯାଇନାହିଁ।
ଠିକ୍ ଉତ୍ତର: (a + 2) (b + 4) = (a + 2)b + (a + 2)4 = ab + 2b + 4a + 8

12. କୌଣସି ଭୁଲ୍ ନାହିଁ ।

6.4 ପଥ ଅନେକ ଲକ୍ଷ୍ୟ ଏକ (This way or that way, All ways lead to the bay)

Page No. 152-153

Question 1.
ସୋପାନ 15ରେ ବୃତ୍ତର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଏହି ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ଲେଖ।
Solution:
ସୋପାନ kରେ ଥିବା ବୃତ୍ତର ସଂଖ୍ୟା = k² + 2k
∴ ସୋପାନ 15ରେ ଥ‌ିବା ବୃତ୍ତର ସଂଖ୍ୟା = 15² + 2 × 15
= 225 + 30
= 255

Question 2.
ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରେ ବର୍ଗାକୃତି ଟାଇଲ୍‌ରେ ତିଆରି ହୋଇଥିବା ସଂରଚନାକୁ ବିଚାର କର।

(i) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ କେତୋଟି ବର୍ଗୀକୃତି ଟାଇଲ୍ ଅଛି?
(ii) ଏହି କ୍ରମରେ ଚତୁର୍ଥ ସୋପାନରେ କେତୋଟି ବର୍ଗାକୃତି ଟାଇଲ୍ ଅଛି? ଦଶମ ସୋପାନ ବିଷୟରେ କ’ଣ କୁହାଯାଇପାରେ?
(iii) n ତମ ସୋପାନରେ ଥିବା ଟାଇଲ ସଂଖ୍ୟା ଜାଣିବା ପାଇଁ ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ। ତୁମେ ଅନୁସରଣ କରିଥିବା ପଦ୍ଧତିକୁ ଶ୍ରେଣୀରେ ଆଲୋଚନା କର। ଉତ୍ତର ପାଇବା ପାଇଁ ତୁମେ ଏକାଧ୍ଵକ ପଦ୍ଧତି ଖୋଜିପାରିଲ କି?
Solution:
(i) ଚିତ୍ର–1: ଏଥୁରେ 3 × 3 ବର୍ଗାକୃତି ଟାଇଲ୍ ଓ ମଝିରେ 1 × 1 ଆକୃତିର ଫାଙ୍କା ଅଛି।
ସମୁଦାୟ ବର୍ଗାକୃତି ଟାଇଲ୍ ସଂଖ୍ୟା = 3² – 1² = 9 – 1 = 8
ଚିତ୍ର–2: ଏଥୁରେ 4 × 4 ବର୍ଗାକୃତି ଟାଇଲ୍ ଓ ମଝିରେ 2 × 2 ଆକୃତିର ଫାଙ୍କା ଅଛି।
ସମୁଦାୟ ବର୍ଗାକୃତି ଟାଇଲ୍ ସଂଖ୍ୟା = 4² – 2² = 16 – 4 = 12
ଚିତ୍ର-3: ଏଥୁରେ 5 × 5 ବର୍ଗାକୃତି ଟାଇଲ୍ ଓ ମଝିରେ 3 × 3 ଆକୃତିର ଫାଙ୍କା ଅଛି।
ସମୁଦାୟ ବର୍ଗୀକୃତି ଟାଇଲ୍ ସଂଖ୍ୟା = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

(ii) ଚତୁର୍ଥ ସୋପାନରେ ଥିବା ବର୍ଗାକୃତି ଟାଇଲ୍ ସଂଖ୍ୟା = 6² – 4² = 36 – 16 = 20
ଦଶମ ସୋପାନରେ ଥ‌ିବା ବର୍ଗାକୃତି ଟାଇଲ୍ ସଂଖ୍ୟା = 12² – 10² = 144 – 100 = 44

(iii) ପ୍ରଣାଳୀ 1: n ତମ ସୋପାନରେ, ବର୍ଗୀକୃତି ଟାଇଲ୍ ସଂଖ୍ୟା = (n + 2)² – n²
= n² + 4n + 4 – n² [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= 4n + 4
∴ n ତମ ସୋପାପନର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ 4n + 4

Page No. 153

Question 1.
ଉଭୟ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ବିସ୍ତାର କରି ପରୀକ୍ଷା କର ଯେ, (m + n)² – 4mn = (n – m)²
Solution:
ବାମପାର୍ଶ୍ଵ: (m + n)² – 4mn
= m² + 2mn + n² – 4mn [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= m² – 2mn + n²
ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵ: (n – m)² = n² – 2nm + m²
[∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
∴ ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ = ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ଵ।
∴ (m + n)² – 4mn = (n – m)²

Page No. 154

Question 1.
ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ବିସ୍ତାର କରି ସମସ୍ତ ତିନୋଟି ପରିପ୍ରକାଶ ସମାନ କି ନାହିଁ ପରୀକ୍ଷା କର। ଯଦି x = 8 ଏବଂ y = 3 ହୁଏ, ତେବେ ଛାୟାଙ୍କିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:

ଦତ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ = x² – xy, x(x + 2y) – 3xy ଓ x(x – y)
ବର୍ତ୍ତମାନ x(x + 2y) – 3xy = x × x + x × 2y – 3xy [ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ]
= x² + 2xy – 3xy
= x² – xy
x(x – y) = x × x – x × y = x² – xy
ତିନୋଟି ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ସମାନ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ଛାୟାଙ୍କିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = x² – xy
= (8)² – 8 × 3 [∵ x = 8, y = 3]
= 64 – 24
= 40 ବର୍ଗ ଏକକ

Question 2.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚିତ୍ରରେ ତୀର୍ଯ୍ୟକ ଚିହ୍ନ ଥୁବା ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପାଇଁ ଏକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ। ଉତ୍ତର ପାଇବା ପାଇଁ ଏକାଧ୍ଵକ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କର ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ବର୍ତ୍ତମାନ p = 6, r = 3.5 ଏବଂ s = 9 ନେଇ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

Solution:
ନିଜେ ଅଭ୍ୟାସ କର।

ନିଜେ କରି ଦେଖ: (Page No. 154-156)

Question 1.
ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଅଭେଦ ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନଗୁଣଫଳଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
(i) (a + b)² ପାଇଁ ଅଭେଦ 1A ବ୍ୟବହାର କରି (46)²
(ii) (a + b)(a – b) ପାଇଁ ଅଭେଦ 1C ବ୍ୟବହାର କରି 397 × 403
(iii) (a – b)² ପାଇଁ ଅଭେଦ 1B ବ୍ୟବହାର କରି (91)²
(iv) (a + b)(a – b) ପାଇଁ ଅଭେଦ 1C ବ୍ୟବହାର କରି 43 × 45
Solution:
(i) (46)² = (40 + 6)²
= (40)² + 2 × 40 × 6 + (6)² [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= 1600 + 480 + 36
= 2116

(ii) 397 × 403 = (400 – 3)(400 + 3)
= (400)² – (3)² [∵ (a – b)(a + b) = a² – b²]
= 160000 – 9
= 159991

(iii) 91² = (100 – 9)²
= (100)² – 2 × 100 × 9 + (9)² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
= 10000 – 1800 + 81
= 10081 – 1800
= 8281

(iv) 43 × 45 = (44 – 1)(44 + 1)
= (44)² – (1)² [∵ (a – b)(a + b) = a² – b²]
= (40 + 4)² – 1
= (40)² + 2 × 40 × 4 + (4)² – 1
= 1600 + 320 + 16 – 1
= 1936 – 1
= 1935

Question 2.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାପାଇଁ ଏକ ଉପଯୁକ୍ତ ଅଭେଦ କିମ୍ବା ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କର।
(i) (p – 1)(p + 11)
(ii) (3a – 9b)(3a + 9b)
(iii) -(2y + 5)(3y + 4)
(iv) (6x + 5y)²
(v) \(\left(2 x-\frac{1}{2}\right)^2\)
(vi) (7p) × (3r) × (p + 2)
Solution:
(i) (p – 1)(p + 11)
= p(p + 11) – 1(p + 11) (ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ଅନୁସାରେ)
= p² + 11p – p – 11
= p² + 10p – 11

(ii) (3a – 9b)(3a + 9b)
= (3a)² – (9b)² [∵ (a + b)(a – b) = a² – b²]
= 9a² – 81b²

(iii) -(2y + 5)(3y + 4)
= (-2y – 5)(3y + 4)
= -2y(3y + 4) – 5(3y + 4) (ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ଅନୁସାରେ)
= -6y² – 8y – 15y – 20
= -6y² – 23y – 20

(iv) (6x + 5y)²
= (6x)² + 2 × 6x × 5y + (5y)² [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= 36x² + 60xy + 25y²

(v) \(\left(2 x-\frac{1}{2}\right)^2\)
= (2x)² – 2 × 2x × \(\frac {1}{2}\) + \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= 4x² – 2x + \(\frac {1}{4}\)

(vi) (7p) × (3r) × (p + 2)
= 21pr × (p + 2)
= 21pr × p + 21pr × 2
= 21p²r + 42pr

Question 3.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉକ୍ତି ପାଇଁ ଉପଯୁକ୍ତ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର।
(i) ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ ‘2’ ଅଧିକ
2 + s, (s + 2)², s² + 2, s² + 4, 2s², 2²s
(ii) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ
(m² + n²), (m + n)², m² + 1, m² + (m + 1)², m² + (m – 1)², m + (m + 1)², (2m²) + (2m + 1)²
Solution:
(i) ମନେକର ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା = s
ସଂଖ୍ୟାଟିର ବର୍ଗ = s2
ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ ‘2’ ଅଧିକ
⇒ s² ଠାରୁ 2 ଅଧୂକ = s² + 2
∴ ଉପଯୁକ୍ତ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି s² + 2

(ii) ମନେକର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା = m ଓ m + 1
ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ = m²
ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ (m + 1)²
ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ = m² + (m + 1)²
∴ ଉପଯୁକ୍ତ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି m² + (m + 1)²

Question 4.
ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥୁବା ପରି ଏକ କ୍ୟାଲେଣ୍ଡରରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ କୌଣସି ଏକ 2 × 2 ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ ବିଚାର କର।

ପ୍ରତ୍ୟେକ କର୍ଷରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର: 4 × 12 = 48, 5 × 11 = 55
ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟା ଅନ୍ୟ ଏକ 2 × ବର୍ଗଚିତ୍ର ପାଇଁ ଅବଲମ୍ବନ କର। କର୍ଣ୍ଣରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର। ଗୁଣଫଳ ବିଷୟରେ ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ? ଏହା କାହିଁକି ହୁଏ ବୁଝାଏ।
ସୂଚନା: ପ୍ରତ୍ୟେକ 2 × 2 ବର୍ଗଚିତ୍ରରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ନିମ୍ନପରି ଲେଖ।

Solution:

ପ୍ରଣାଳୀ-1: ଏଠାରେ 6 × 14 = 84, 13 × 7 = 91
ପାର୍ଥକ୍ୟ = 91 – 84 = 7
ପ୍ରଣାଳୀ-୨ : ଏଠାରେ 9 × 17 = 153, 16 × 10 = 160
ପାର୍ଥକ୍ୟ = 160 – 153 = 7
ଆମେ ଜାଣିଲେ ଯେ, କଣ୍ଠ ଦୁଇଟିର ଗୁଣଫଳର ବିୟୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ସମାନ।

Question 5.
ନିମ୍ନଲିଖତ ଉତ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ ତାହା ପରୀକ୍ଷା କର।
(i) (k + 1)(k + 2) – (k +3) ସର୍ବଦା ‘2’ ର ଏକ ଗୁଣିତକ।
(ii) (2q + 1)(2q – 3) ହେଉଛି ‘4’ର ଏକ ଗୁଣିତକ।
(iii) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ‘4’ର ଗୁଣିତକ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ‘8’ ଗୁଣିତକଠାରୁ ‘1’ ଅଧ୍ବକ।
(iv) (6n + 2)² – (4n + 3)² ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 5 କମ୍।
Solution:
(i) (k + 1 )(k + 2) – (k + 3) ସର୍ବଦା ‘2’ ର ଏକ ଗୁଣିତକ।
ମନେକର k = 5, ତେଣୁ (5 + 1)(5 + 2) – (5 + 3)
= 6 × 7 – 8
= 42 – 8
= 34
∴ 34, 2ର ଗୁଣିତକ ଅଟେ।
∴ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

(ii) (2q + 1)(2q – 3) ହେଉଛି ‘4’ର ଏକ ଗୁଣିତକ।
ମନେକର q = 3, ତେଣୁ (6 + 1)(6 – 3) = 7 × 3 = 21
∴ 21, 4ର ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ।
∴ ଉକ୍ତିଟି ମିଥ୍ୟା।

(iii) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ‘4’ର ଗୁଣିତକ।
2² = 4 = 4 × 1
4² = 16 = 4 × 4
6² = 36 = 4 × 9
∴ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।
ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ‘8’ ଗୁଣିତକଠାରୁ ‘1’ ଅଧିକ।
3² = 9 = 8 × 1 + 1
5² = 25 = 8 × 3 + 1
7² = 49 = 8 × 6 + 1
∴ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ।

(iv) (6n + 2)² – (4n + 3)² ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 5 କମ୍।
ମନେକର n = 2
(6n + 2)² – (4n + 3)² = (6 × 2 + 2)² – (4 × 2 + 3)²
= 14² – 11²
= 196 – 121
= 75
= 80 – 5
କିନ୍ତୁ 80 ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।
∴ ଉକ୍ତିଟି ମିଥ୍ୟା।

Question 6.
ଏକ ସଂଖ୍ୟା ‘7’ ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘3’ ରହେ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଏକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 7 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ‘5’ ରହେ। ଯେତେବେଳେ ସେମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ, ଅନ୍ତରଫଳ ଏବଂ ଗୁଣଫଳକୁ 7 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରାଯାଏ, ସେତେବେଳେ ଭାଗଶେଷ କେତେ ରହିବ?
Solution:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି x ଓ y
ପ୍ରଶାନୁସାରେ x = 7a + 3, y = 7b + 5
ଯୋଗଫଳ = x + y
= 7a + 3 + 7b + 5
= 7(a + b) + 8
= 7(a + b) + 7 + 1
= 7(a + b + 1) + 7
∴ ଯୋଗଫଳକୁ 7 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 5 ରହିବ।
ବିୟୋଗଫଳ = x – y
= (7a + 3) – (7b + 5)
= 7a + 3 – 7b – 5
= 7(a – b) – 2
= 7(a – b) – 7 + 5
= 7(a – b – 1) + 5
∴ ବିୟୋଗଫଳକୁ 7 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 5 ରହିବ।
ଗୁଣଫଳ = xy
= (7a + 3)(7b + 5)
= 49ab + 35a + 21b + 15
= (49ab + 35a + 21b + 14) + 1
= 7(7ab + 5a + 3b + 2) + 1
∴ ଗୁଣଫଳକୁ 7 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ 1 ରହିବ।

Question 7.
ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ବାଛ। ମଝି ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗରୁ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳକୁ ବିୟୋଗ କର। ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ସମୂହରେ ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାର ପୁନରାବୃତ୍ତି କର। ତୁମେ କେଉଁ ସଂରଚନା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ? ଆମେ ଏହାକୁ କିପରି ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ ଭାବରେ ଲେଖୁବା? ଏହି ଅଭେଦର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା ପାଇଁ ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ବିସ୍ତାର କର।
Solution:
ମନେକର କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି = 7, 8 ଓ 9
ବର୍ତ୍ତମାନ 8² – 7 × 9 = 64 – 63 = 1
ପୁନଶ୍ଚ ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି ନିଆଯାଉ = 10, 11, 12
ବର୍ତ୍ତମାନ 11² – 10 × 12 = 121 – 120 = 1
ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ:
କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି a – 1, a, a + 1
ବର୍ତ୍ତମାନ a² – (a + 1)(a – 1) = 1
LHS = a² – (a + 1)(a – 1)
= a² – (a² – 1)
= a² – a² + 1
= 1
= RHS
∴ ସଂରଚନାଟି ସତ୍ୟ।

Question 8.
ନିମ୍ନଲିଖତ ସୋପାନଗୁଡ଼ିକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କରୁଥିବା ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି କ’ଣ ଅଟେ। ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ଯୋଗକର। ଏହାକୁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଯୋଗଫଳର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ସହିତ ଗୁଣନ କର। ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଏହି ଫଳାଫଳ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳର ବର୍ଗର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ହେବ?
Solution:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି a ଓ b
ସୋପାନ-1: a + b
ସୋପାନ-2: (a + b) × \(\frac {1}{2}\)(a + b)
(a + b) × \(\frac {1}{2}\)(a + b) = \(\frac {1}{2}\)(a + b)² (ପ୍ରମାଣିତ)
ଯାହା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳର ବର୍ଗର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ହେବ।

Question 9.
ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ ଗୁଣଫଳ ନିଶ୍ଚୟ ନକରି କେଉଁଟି ବୃହତ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
(i) 14 × 26 କିମ୍ବା 16 × 24
(ii) 25 × 75 କିମ୍ବା 26 × 74
Solution:
(i) ମନେକର p = 14 × 26
q = 16 × 24
= (14 + 2)(26 – 2)
= 14 × 26 + 2 × 26 – 14 × 2 – 2 × 2
= 14 × 26 + 2(26 – 14 – 2)
= 14 × 26 + 2 × 10
q = p + 2 × 10
∴ q > p କିମ୍ବା, 16 × 24 > 14 × 26

(ii) 25 × 75 କିମ୍ବା 26 × 74
ମନେକର p = 25 × 75
q = 26 × 74
= (25 + 1)(75 – 1)
= 25 × 75 + 75 × 1 – 25 × 1 – 1 × 1
= p + (75 – 25 – 1)
= p + 49
q = p + 49
∴ q > p କିମ୍ବା, 26 × 74 > 25 × 75

Question 10.
ଧଉଳିରେ ଏକ ଛୋଟ ପାର୍କ ନିର୍ମାଣ ହେଉଛି । ଏହାର ନକ୍‌ଟି ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି। ପାର୍କ ମଧ୍ୟରେ ସବୁଜ ଆବରଣ ଥିବା g² ବର୍ଗଫୁଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ବର୍ଗାକାର ପ୍ଲଟ୍ ଅଛି। ଏହାର ଚତୁଃପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା w ଫୁଟ ଚଉଡ଼ା ଚଲାପଥକୁ ଟାଇଲଦ୍ଵାରା ଆଚ୍ଛାଦିତ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ। ଟାଇଲଦ୍ଵାରା ଆଚ୍ଛାଦିତ ହେବାକୁ ଥ‌ିବା କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ଏକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ।

Solution:
ପାର୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = w + g + 2w + g + w = 4w + 2g
ଏବଂ ପାର୍କର ପ୍ରସ୍ଥ = w + g + w = 2w + g
ପାର୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (4w + 2g)(2w + g) = 8w² + 4wg + 4wg + 2g² = 8w² + 8wg + 2g²
ଟାଇଲଦ୍ଵାରା ଆଚ୍ଛାଦିତ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ପାର୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – ସବୁଜ ଆବରଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 8w² + 8wg + 2g² – 2g²
= 8w² + 8wg ବର୍ଗଫୁଟ।
∴ ଟାଇଲଦ୍ଵାରା ଆଚ୍ଛାଦିତ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 8w² + 8wg ବର୍ଗଫୁଟ।

Question 11.
ନିମ୍ନରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂରଚନା ପାଇଁ
(i) ସେହି କ୍ରମରେ ଥ‌ିବା ପରବର୍ତ୍ତୀ ଚିତ୍ରଟିକୁ ଅଙ୍କନ କର।
(ii) ସୋପାନ- 10ରେ କେତୋଟି ମୌଳିକ ଏକକ ଅଛି।
(iii) ସୋପାନ-yରେ ଥିବା ମୌଳିକ ଏକକ ସଂଖ୍ୟା ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ପାଇଁ ଏକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ।

Solution:
ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ନିଜେ କରିବେ।

Class 8 Maths Chapter 6 MCQ Odia Medium

ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଚାରୋଟି ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ।

Question 1.
ନିମ୍ନ ମଧ୍ଯରୁ (-25) × (6 + 4) ପରିପ୍ରକାଶଟି କାହା ସହ ସମାନ ନୁହେଁ?
(a) -25 × 10
(b) -25 × 6 + (-25) × 4
(c) (-25) × 6 × 4
(d) -250
Answer:
(c) (-25) × 6 × 4

Question 2.
(-9) × (-3) + (-9) × 4 ର ମାନ କାହାସହ ସମାନ?
(a) 63
(b) -9
(c) -63
(d) 54
Answer:
(c) -63

Question 3.
18 × (12 – 3) କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ସହ ସମାନ?
(a) 18 × 12 + 18 × 3
(b) 18 × 12 × (-3)
(c) 18 × 12 – 18 × 3
(d) 18 × 8
Answer:
(c) 18 × 12 – 18 × 3

Question 4.
(5 + a) (5 – b) ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
(a) 5a + 5b + ab + 25
(b) 5a – 5b – ab – 25
(c) 5b – 5a + ab – 25
(d) 5a – 5b – ab + 25
Answer:
(d) 5a – 5b – ab + 25

Question 5.
\(\frac {3}{4}\)a(a + 4b – 12) ର ବିସ୍ତାରିତ ରୂପଟି କିଏ?
(a) \(\frac{3}{4} a^2+a b-9 a\)
(b) \(\frac{3}{4} a^2+3a b-9 a\)
(c) \(\frac{3}{2} a^2+3a b-6 a\)
(d) \(\frac{3}{2} a^2+a b-6 a\)
Answer:
(b) \(\frac{3}{4} a^2+3a b-9 a\)

Question 6.
ଯେତେବେଳେ b ରେ 1 ବଢ଼ିବ, ତେବେ ab ରେ କେତେ ବଢ଼ିବ?
(a) b
(b) ab
(c) a
(d) କୌଣସିଟି ନୁହେଁ
Answer:
(c) a

Question 7.
ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା 36 ଓ 42 ଉଭୟରେ 1 ଲେଖାଏଁ ବଢ଼ିଲେ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ କେତେ ବଢ଼ିବ?
(a) 78
(b) 79
(c) 81
(d) 80
Answer:
(b) 79

Question 8.
ଯଦି a = 42 ଓ b = 56 ରେ 42 ରେ 6 ବଢ଼ିବ ଓ 56 ରେ 8 ବଢ଼ିବ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳରେ କେତେ ବଢ଼ିବ?
(a) 720
(b) 672
(c) 704
(d) 684
Answer:
(a) 720

Question 9.
a + 4 ଏକକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ?
(a) a² + 8a + 8
(b) a² + 8a + 16
(c) a² – 8a + 16
(d) a² – 8a – 8
Answer:
(b) a² + 8a + 16

Question 10.
104² ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
(a) 11236
(b) 11086
(c) 10186
(d) 10816
Answer:
(d) 10816

Question 11.
(x – 16)² ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
(a) x² + 32x – 256
(b) x² – 32x + 196
(c) x² – 32x + 256
(d) x² + 32x – 196
Answer:
(c) x² – 32x + 256

Question 12.
ଯଦି (a + b)² = 729 ଓ (a – b)² = 81 ତେବେ a² + b² ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
(a) 385
(b) 405
(c) 416
(d) 396
Answer:
(b) 405

Question 13.
ଯଦି u + v = 13 ଓ u – v = 1 ତେବେ uvର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
(a) 39
(b) 52
(c) 48
(d) 42
Answer:
(d) 42

Question 14.
47 × 53 ର ଗୁଣଫଳ କାହାଦ୍ଵାରା ଗଣନା କରାଯିବ?
(a) (50 + 3)(50 + 3)
(b) (50 + 7)(50 – 3)
(c) (50 – 3)(50 + 3)
(d) (40 + 7)(40 + 3)
Answer:
(c) (50 – 3)(50 + 3)

Question 15.
537 × 11 ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
(a) 5907
(b) 6066
(c) 5832
(d) 5708
Answer:
(a) 5907

Question 16.
326 ଓ 101 ର ଗୁଣଫଳ କେତେ?
(a) 31862
(b) 32926
(c) 32296
(d) 31682
Answer:
(b) 32926

ସଂକ୍ଷେପରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ।

Question 1.
ଆବଶ୍ୟକ ଅଭେଦ ପ୍ରୟୋଗ କରି ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର।
(i) 99²
(ii) 998²
(iii) 297 × 303
(iv) 78 × 82
Solution:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(i) (99)² = (100 – 1)²
= (100)² – 2 × 100 × 1 + (1)²
= 10000 – 200 + 1
= 9801

(ii) (998)² = (1000 – 2)²
= (1000)² – 2 × 1000 × 2 + (2)²
= 1000000 – 4000 + 4
= 996004
(a – b)(a + b) = a² – b²

(iii) 297 × 303
= (300 – 3)(300 + 3)
= (300)² – (3)²
= 90000 – 9
= 89991

(iv) 78 × 82 = (80 – 2)(80 + 2)
= (80)² – (2)²
= 6400 – 4
= 6396

Question 2.
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab ଅଭେଦ ପ୍ରୟୋଗ କରି ଗୁଣଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର।
(i) 103 × 104
(ii) 103 × 98
Solution:
(i) 103 × 104 = (100 + 3)(100 + 4)
= (100)² + (3 + 4)100 + 3 × 4
= 10000 + 700 + 12
= 10712

(ii) 103 × 98 = (100 + 3)(100 – 2)
= (100)² + (3 – 2)100 – 3 × 2
= 10000 + 100 – 6
= 10094