Students can use Class 7 Math Solution Odia Medium and Class 7 Maths Chapter 5 Question Answer Odia Medium ସମାନ୍ତର ସରଳ ରେଖା ଓ ଛେଦକ to check their answers after solving exercises.
7th Class Maths Chapter 5 Question Answer Odia Medium
Class 7 Maths Chapter 5 Odia Medium
5.1 ଗୋଟିଏ ସମତଳରେ ଥିବା ଏକାଧୁକ ସରଳରେଖା :
Question 1.
ସେମାନେ କେତୋଟି କୋଣ ଗଠନ କରନ୍ତି ?
Solution:
ସେମାନେ 4ଟି କୋଣ ଗଠନ କରନ୍ତି ।
ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରେ l ଓ m ରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି । ଆମେ
ଦେଖୁପାରିବା ଏଠାରେ 4ଟି କୋଣ a, b, c, d ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଛି ।
Question 2.
ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଏକରୁ ଅଧିକ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିପାରିବେ କି ?
Solution:
ଛେଦ କରିପାରିବେ ନାହିଁ । ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ।
Question 3.
ଯଦି ∠a = 120° ହୁଏ, ତେବେ ଅଙ୍କନ କିମ୍ବା ମାପ ନକରି ∠b, ∠c ଓ ∠d ର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବ କି ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଯେ ∠a ଓ ∠b ର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = 180° । ଯଦି ∠a = 120° ହୁଏ,
ତେବେ ∠b = 180° – 120° = 60° ହେବ ।
ସେହିପରି ∠b ଓ ∠c ର ପରିମାଣ = 180° । ଯଦି ∠b = 60° ହୁଏ, ତେବେ ∠c = 120° ହେବ । ∠c ଓ ∠d ର ପରିମାଣ = 180° । ଯଦି ∠c = 120° ହୁଏ, ତେବେ ∠d = 60° ହେବ ।
ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରନ୍ତି ଏବଂ ∠a, ∠b, ∠c ଓ ∠d ପରି ଚାରୋଟି କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରନ୍ତି ସେଥୁମଧ୍ଯରୁ ∠a ଓ ∠c ର ପରିମାଣ ପରସ୍ପର ସମାନ ଏବଂ ∠b ଓ ∠d ର ପରିମାଣ ପରସ୍ପର ସମାନ ହୋଇଥାଏ । ।
Question 4.
ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ଯେକୌଣସି ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ପାଇଁ ଉପରୋକ୍ତ ସମ୍ପର୍କ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ କି ?
Solution:
ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରୁ ଆମେ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମାପି ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଉପନୀତ ହୋଇପାରିବା ଯେ,
∠a + ∠b = ∠a + ∠d = ∠b + ∠c = ∠c + ∠d = 180°
ପୁନଶ୍ଚ କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ନମାପି ମଧ୍ଯ ଆମେ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଉପନୀତ ହୋଇପାରିବା ଯେ,
∠a + ∠b = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ) ଏବଂ ∠a + ∠d = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରଣ କୋଣ)
∴ ∠a + ∠b = ∠a + ∠d
ତେଣୁ ∠b = ∠d ସେହିପରି ∠a = ∠c ମଧ୍ୟ ପ୍ରମାଣ କରିପାରିବା ।
ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା ସନ୍ନିହିତ କୋଣଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳରେଖକ ଯୋଡ଼ି କୁହାଯାଏ ଏବଂ ସରଳରେଖକ ଯୋଡ଼ିର ମାପ ସର୍ବଦା 180° ହୁଏ ।
ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ ସନ୍ନିହିତ ନୁହଁନ୍ତି ବା ବିପରୀତ ଅଟନ୍ତି ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ କୋଣ କୁହାଯାଏ । ପ୍ରତୀପ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ମାପ ସର୍ବଦା ସମାନ । ଏହିଭଳି କୌଶଳ ଅବଲମ୍ବନ କରି କୌଣସି ଗାଣିତିକ ଉକ୍ତିର ସତ୍ୟାସତ୍ୟ ପ୍ରଦିପାଦନ କରିବାକୁ ଗଣିତରେ ପ୍ରମାଣ କୁହାଯାଏ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ଚିତ୍ର ଦେଖୁ ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ପୂରଣ କର । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)
Solution:
| ସରଳରେଖକ ଯୋଡ଼ି | ∠AOC ଓ ∠AOD, ∠DOB ଓ ∠BOC |
| ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ କୋଣ | ∠AOC ଓ ∠BOD, ∠AOD ଓ ∠BOC |
ପରିମାପ ଓ ଜ୍ୟାମିତି :
- ସରଳରେଖ୍କ ଯୋଡ଼ି ଅଙ୍କନ କଲାବେଳେ ଏହାର ପରିମାଣ ପ୍ରୋଟାକ୍ଟର ସାହାଯ୍ୟରେ ମାପ କଲେ, ବେଳେବେଳେ ଏହାର ସମଷ୍ଟି 180 ହୁଏ ନାହିଁ । ଏହିପରି କ୍ଷେତ୍ରରେ ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ବେଳେବେଳେ ସମାନ ହୋଇ ନଥାଏ ।
- ସମ୍ଭାବ୍ୟ କାରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –
- ପ୍ରୋଟୋକ୍ଟର ଠିକ୍ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର ନ କଲେ, କୋଣର ପରିମାଣ ମାପରେ ତ୍ରୁଟି ଦେଖାଯାଏ ।
- ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ ବେଳେ ସରଳରେଖାର ମୋଟେଇର ତାରତମ୍ୟତା । ପ୍ରକୃତରେ ସରଳରେଖାର କୌଣସି ମୋଟେଇ ନଥାଏ । ମାତ୍ର ବିନା ମୋଟେଇରେ ଆମେ କାଗଜ ଉପରେ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରିପାରିବା କଷ୍ଟକର ।
- ଯେଉଁ ପୃଷ୍ଠ ଉପରେ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉଛି ତାହା ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ ସମତଳ ହୋଇ ନଥାଇପାରେ ।
- ଦୁଇଟି ସରଳରେଖକ ଯୋଡ଼ିର ସମଷ୍ଟି 180 । ଅର୍ଥାତ୍ ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମିର ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥାନ କଲେ ଓ ରଶ୍ମିଟି ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ନହେଲେ, ଯେଉଁ ଦୁଇଟି କୋଣ ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ, ସେହି ଦୁଇକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ହେବ ।
5.2 ଲମ୍ବରେଖା :
Question 1.
ତୁମେ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରିପାରିବ କି ଯେପରି ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା ଚାରୋଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହେବ ?
? ଏହି ପରିସ୍ଥିତିରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ହେବ ?
Solution:
ଯଦି ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରନ୍ତି ଏବଂ ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା ଚାରୋଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହୁଏ ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହେବ ।
ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ 90° କୋଣରେ ଛେଦକଲେ ରେଖାଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେବେ । ଚିତ୍ର 5.4 ରେ l ଓ m ରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟନ୍ତି । ଅର୍ଥାତ୍ l ରେଖା m ରେଖା ପ୍ରତି କିମ୍ବା m ରେଖା l ରେଖା ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟନ୍ତି ।
5.3 ସରଳରେଖାର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଅଂଶ :
Question 1.
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ରେଖାଖଣ୍ଡଗୁଡ଼ିକ କିପରି ମିଳିତ ହେଉଛନ୍ତି କିମ୍ବା କିପରି ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି, ଏହାର ଉପଯୁକ୍ତ ଗାଣିତିକ ଶବ୍ଦ (ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁରେ, ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁରେ, ମିଳିତ ହୋଇଛନ୍ତି ବା ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି)
Solution:
ଯେପରି FG ରେଖାଖଣ୍ଡ ଓ FH ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ସହିତ F ବିନ୍ଦୁରେ ମିଳିତ ହୋଇ 115° ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରୁଛନ୍ତି ।
Question 2.
ST ଓ UV ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟକୁ ବର୍ଦ୍ଧିତ କଲେ ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ମିଳିତ ହେବେ କି ?
Solution:
ST ଓ UV ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟକୁ ବର୍ଦ୍ଧିତ କଲେ ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ମିଳିତ ହେବେ ନାହିଁ ।
Question 3.
OP ଓ QR ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ବର୍ଦ୍ଧିତ କଲେ ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ଛେଦ କରିବେ କି ?
Solution:
OP ଓ OR ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ବର୍ଦ୍ଧିତ କଲେ ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ଛେଦ କରିବେ ନାହିଁ ।
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସମତଳରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ସରଳରେଖାକୁ ଉଭୟ ଦିଗରେ ଯେତେ ବର୍ଦ୍ଧିତ କଲେ ମଧ୍ୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରନ୍ତି ନାହିଁ । ସେମାନଙ୍କୁ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା କୁହାଯାଏ ।
Question 4.
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ କେଉଁ ସରଳରେଖାଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ପରି ଦେଖାଯାଉଛନ୍ତି ?
Solution:
(i) a, i, h ସରଳରେଖା ସମାନ୍ତର ।
(ii) b ଓ e ସରଳରେଖା ସମାନ୍ତର ।
(iii) c ଓ g ସରଳରେଖା ସମାନ୍ତର ।
(iv) d ଓ f ସରଳରେଖା ସମାନ୍ତର ।
5.4 ସମାନ୍ତର ରେଖା ଓ ଲମ୍ବ ରେଖା :
ନିଜେ କର :
Question 1.
ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ରେଖାଉପରେ ଭୂଲମ୍ବ ରେଖା ଅଙ୍କନ କର ।
Solution:
ମନେକର ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଛି ସରଳରେଖା l, m, n ଓ p । ଆମେ l’, m’, n’ ଓ p’ ଅଙ୍କନ କରିଲୁ । ଆମେ ଜାଣିଲୁ ଯେ l’ ରେଖା l ପ୍ରତି ଲମ୍ବ , m’ ରେଖା m ପ୍ରତି ଲମ୍ବ , n’ ରେଖା n ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଓ p’ ରେଖା p ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
Question 2.
ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ ଚିତ୍ରରେ ସମାନ୍ତର ରେଖାଗୁଡ଼ିକୁ ସଂକେତଦ୍ୱାରା ଚିହ୍ନଟ କର । (ଗୋଟିଏ ତୀର ଚିହ୍ନ, ଦୁଇଟି ତୀର ଚିହ୍ନ ଇତ୍ୟାଦି) ଏବଂ ଲମ୍ବରେଖାଗୁଡ଼ିକୁ ବର୍ଗଚିହ୍ନଦ୍ଵାରା ସୂଚାଅ ।
(a) ଲମ୍ବ ରେଖାଗୁଡ଼ିକୁ କିପରି ଚିହ୍ନଟ କର ?
(b) ସମାନ୍ତର ରେଖାଗୁଡ଼ିକୁ କିପରି ଚିହ୍ନଟ କଲ ?
Solution:
(a) ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ୨୦ କୋଣରେ ଛେଦ କରେ ରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେବେ ।
(b) ଯଦି ଗୋଟିଏ ସମତଳରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ସରଳରେଖାକୁ ଉଭୟ ଦିଗରେ ଯେତେ ବର୍ଦ୍ଧିତ କଲେ ମଧ୍ୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରନ୍ତି ନାହିଁ, ସେଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ହେବେ ।
Question 3.
ବିନ୍ଦୁଗ୍ରୀଡ଼ରେ ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ସମାନ୍ତର ରେଖାଯୋଡ଼ି ଅଙ୍କନ କର । ଏହି ସମାନ୍ତର ରେଖାଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକରେ ରେଖାଖଣ୍ଡଗୁଡ଼ିକ ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ହୋଇଥବ ଏବଂ ରେଖାଖଣ୍ଡଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ବିନ୍ଦୁଗ୍ରୀଢ଼ରେ ଥବା ବିନ୍ଦୁ ହୋଇଥବ । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)
Solution:
Question 4.
ଚିତ୍ରରେ ବିନ୍ଦୁଗ୍ରୀଡ୍ରେ କିଛି ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ରେଖାଖଣ୍ଡସହ ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅଙ୍କନ କର । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)
(a) ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅଙ୍କନ ସହଜ ଥିଲା କି ?
(b) କେଉଁ ରେଖାଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅଙ୍କନ ସହଜ ନଥିଲା ?
(c) ତୁମେ ସେହି ରେଖାଗୁଡ଼ିକର ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅଙ୍କନ କିପରି କଲ ?
Solution:
(a) ଦିଆଯାଇଥିବା କିଛି ରେଖା ସହିତ ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅଙ୍କନ ସହଜ ନଥିଲା ।
(b) e, f, g ଓ h ରେଖାଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅଙ୍କନ ସହଜ ନଥିଲା ?
(c) e, f, g ଓ h ରେଖାଗୁଡ଼ିକ ବିନ୍ଦୁ ଗତି କରୁ ନଥିଲା । e, f, g ଏବଂ h ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ ରେଖାଗୁଡ଼ିକ କେବଳ ରେଖାଗୁଡ଼ିକର ଶେଷ ବିନ୍ଦୁ ଦେଖୁ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଛି ।
Question 5.
ନିମ୍ନୋକ୍ତ ଚିତ୍ରରେ a ରେଖା ସହ b ଓ c ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସମାନ୍ତର ? ତୁମେ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲ ?
Solution:
a, b ଓ c ରେଖାକୁ ବର୍ଜିତ କରାଯାଇଛି । ଆମେ ଦେଖିଲେ ଯେ a ଓ c ରେଖା କେବେବି ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଏକାଠି ହୋଇପାରିବେ ନାହିଁ, କିନ୍ତୁ a ଓ b ରେଖାକୁ ବର୍ଜିତ କଲେ ବାମପଟେ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ମିଳିତ ହୋଇପାରିବେ । ∴ ସରଳରେଖା a ଓ c ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।
5.5 ଛେଦକ :
Question 1.
ଏହି ପରିସ୍ଥିତିରେ ଉତ୍ପନ୍ନ 8ଟି କୋଣର ପରିମାଣ ଭିନ୍ନ କି ?
Solution:
ଉତ୍ପନ୍ନ 8ଟି କୋଣର ପରିମାଣ ଭିନ୍ନ ହୋଇଥାଏ ।
Question 2.
ଯଦି ଭିନ୍ନ ତେବେ କାହିଁକି ?
Solution:
ଗୋଟିଏ ଛେଦକ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ରେଖାକୁ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଵରୁ ଚାରି ଯୋଡ଼ା କୋଣ ପରସ୍ପର ସମାନ (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) କିନ୍ତୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯୋଡ଼ା କୋଣର ପରିମାଣ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅଲଗା ହୋଇଥାଏ ।
Question 3.
ଯଦି ଭିନ୍ନ ନୁହେଁ, ତେବେ କାହିଁକି ?
Solution:
ଯଦି ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଭୂଲମ୍ବ ଭାବେ ଗୋଟିଏ ରେଖା ଛେଦକରେ ତେବେ ଉତ୍ପନ୍ନ ଟି କୋଣର ପରିମାଣ ଭିନ୍ନ ହେବ ନାହିଁ, କାରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣ ସମକୋଣ ହେବେ ।
Question 4.
କେଉଁ କୋଣ ଯୋଡ଼ିର ପରିମାଣ ସମାନ । କାରଣ ସହ କୁହ ।
Solution:
∠1 ଓ ∠3, ∠2 ଓ ∠4, ∠5 ଓ ∠7, ∠6 ଓ ∠8 କୋଣ ଯୋଡ଼ିର ପରିମାଣ ସମାନ । କାରଣ ସେମାନେ ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।
Question 5.
∠6, ∠5, ∠4, ∠3 ଓ ∠2 ମଧ୍ଯରେ କିଛି ସମ୍ପର୍କ ଅଛି କି ?
Solution:
ଏହି କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ଅଟନ୍ତି ।
ଚିତ୍ରରେ ∠1 ଓ ∠3 ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ । ∠2 ଓ ∠4, ∠5 ଓ ∠7, ∠6 ଓ 28 କୋଣ ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ ।
ତେଣୁ ଗୋଟିଏ ଛେଦକ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ସରଳ ରେଖାକୁ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ଟି କୋଣ ମଧ୍ୟରୁ ସର୍ବାଧିକ 4ଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପରିମାଣର କୋଣ ମିଳିଥାଏ ।
5.6 ଅନୁରୂପ କୋଣ :
ଶିକ୍ଷଣ କାର୍ଯ୍ୟ – 3 :
Question 1.
ଆସ ଆମେ ଏପରି ଦୁଇଟି ରେଖା ଅଙ୍କନ କରିବା, ଯେପରି ଏକ ଛେଦକ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା 8ଟି କୋଣରୁ 2ଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କୋଣ ହେବ ।
Solution:
ସୋପାନ – 1 : ଗୋଟିଏ ରେଖା l ଅଙ୍କନ କର ଏବଂ ଛେଦକ t ଏହି ରେଖାକୁ x ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ସୋପାନ – 2 : l ଓ t ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵାରା ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା ∠a କୁ ମାପ । (ମନେକର ∠a = 60°) । ଯଦି ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60°ତେବେ ଏହାର ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ପରିମାଣ 120° ହେବ, ତେଣୁ ଆମେ 2ଟି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପରିମାଣର କୋଣ ସମୂହ ପାଇଲୁ ।
ତେଣୁ ଆମେ ଯେତେବେଳେ ଛେଦକ t କୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖା ଅଙ୍କନ କରିବୁ ଯେପରି ଏହି ରେଖାଟିର ଛେଦରୁ ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା କୋଣ 60° କିମ୍ବା 120° ହେବ ।
ସୋପାନ – 3 : ଛେଦକ t ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ Y ନିଆଯାଉ ।
ସୋପାନ- 4 : Y ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ m ରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ, ଯେପରି ଛେଦକର ଯେଉଁ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ∠a ଅଛି ସେହି ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଏହା 60° କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରିବ । ଏହି ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ଟ୍ରେସ୍ ପେପର କିମ୍ବା ପ୍ରୋଟାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା ।
ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କଲୁ ଯେ l ଓ m ରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ସମାନ୍ତର । ∠a ଓ ∠b କୋଣଦ୍ଵୟ ଅନୁରୂପ କୋଣ । ଏହା l ଓ m ରେଖାର ଛେଦକ । ରୁ ସୃଷ୍ଟି । ଏହି ଅନୁରୂପ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସମାନ ।
ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନରେଖାକୁ ଏକ ଛେଦକ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା ଅନୁରୂପ କୋଣ ସମାନ ହେଲେ ରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ସହିତ ସମାନ୍ତର ହେବେ ।
ଶିକ୍ଷଣ କାର୍ଯ୍ୟ – 4 :
Question 1.
ଗୋଟିଏ ଛେଦକ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦ କରୁଛି । ଏଠାରେ ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା ଅନୁରୂପ କୋଣ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ କ’ଣ ହେବ ?
Solution:
ଚିତ୍ରରେ l ଓ m ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳ ରେଖା t ରେଖା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟକୁ ଛେଦ କରୁଛି ଓ ଏଥୁରୁ ଉତ୍ପନ୍ନ ଅନୁରୂପ କୋଣଦ୍ଵୟ ହେଲେ ∠a ଓ ∠b । ଗୋଟିଏ ଟ୍ରେସ୍ ପେପର ବ୍ୟବହାର କରି ∠a ପରିମାଣକୁ ସୂଚିତ କର । ସୂଚିତ ହୋଇଥିବା ଟ୍ରେସ୍ ପେପରକୁ ∠bଉପରେ ରଖୁ କୋଣର ପରିମାଣକୁ ସୂଚିତ କର । ବର୍ତ୍ତମାନ ∠a ଓ ∠bର ପରିମାଣକୁ ପ୍ରୋଟାକ୍ଟରର ସାହାଯ୍ୟର ମାପି ପରୀକ୍ଷା କଲେ ଜାଣିବା ଯେ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସମାନ । ଏଥୁରୁ ଆମେ ଜାଣିଲୁ ଯେ,
ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦକଟିଏ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା ଅନୁରୂପ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ସର୍ବଦା ସମାନ ।
ଶିକ୍ଷଣ କାର୍ଯ୍ୟ – 5 :
1 ଓ m ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ଏକ ଛେଦକ t ଅଙ୍କନ କର ଯେପରି ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥିବା ଅନୁରୂପ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ ହେବ । କୋଣର ପରିମାଣ ମାପିବା ପାଇଁ ପ୍ରୋଟାକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବ ।
Question 1.
ଅନୁରୂପ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ ଛେଦକ ଅଙ୍କନ କରିପାରିବ କି ?
Solution:
ନା, ଯଦି ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ହୋଇନଥିବେ, ତେବେ ଏହି ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟର ଛେଦକଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ଅନୁରୂପ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସମାନ ହେବ ନାହିଁ ।
5.7 ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅଙ୍କନ କରିବା
ପ୍ରଥମେ ସ୍କେଲ୍ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ରେଖା l ଅଙ୍କନ କର । ଏବେ ସେୟାର ବ୍ୟବହାର କରି l ରେଖାପ୍ରତି ଦୁଇଟି ଲମ୍ବରେଖା ଅଙ୍କନ କର ।
Question 1.
ଦୁଇଟି ରେଖା ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ସମାନ୍ତର କି ?
Solution:
ଏହି ଦୁଇଟି ରେଖା ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ସମାନ୍ତର ।
Question 2.
ଏହି ରେଖାଦ୍ଵୟ l ରେଖାସହିତ ସୃଷ୍ଟି କରିଥିବା କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
Solution:
ଆମେ ଏଠାରେ ସେୟାର ବ୍ୟବହାର କରିଥିବାରୁ l ରେଖାପ୍ରତି ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଥିବା ଦୁଇଟି ରେଖା ସମକୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରୁଛନ୍ତି । ଦୁଇଟି ରେଖା ଭିନ୍ନ ହୋଇଥିଲେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ ରେଖା l ପ୍ରତି ସମକୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରିଛନ୍ତି । ଯଦି । ରେଖାକୁ ଆମେ ଛେଦକ ଭାବରେ ନେବୁ ତେବେ ଦୁଇଟି ଅନୁରୂପ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ 90° ।
ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଛେଦକଦ୍ଵାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ଅନୁରୂପ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ ରେଖାଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ହେବେ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା l ରେଖା ସହ ସମାନ୍ତର ହେଉଥୁବା A ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅଙ୍କନ କରିପାରିବ କି ? ଜ୍ୟାମିତି ବାକ୍ସର କେଉଁ କେଉଁ ଉପକରଣ ବ୍ୟବହାର କରିବ ତାହା ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।
Solution:
ହଁ, ସମ୍ଭବ । ଏଥପାଇଁ ଆମେ ସେୟାର, ପ୍ରୋଟାକ୍ଟର ଇତ୍ୟାଦି ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା ।
କାଗଜ ଭାଙ୍ଗି ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅଙ୍କନ :
- ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରେ କାଗଜ ଉପରେ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଥିବା l ରେଖା ସହ ସମାନ୍ତର କରି A ବିନ୍ଦୁରେ ସମାନ୍ତର ରେଖା ତିଆରି କରାଯିବ ।
- କାଗଜଟିକୁ ଏପରି ଭାଙ୍ଗ, ଯେପରି ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା ନୂତନ ରେଖାଟି l ରେଖାପ୍ରତି ଭୂଲମ୍ବ ହେବ ଏବଂ A ବିନ୍ଦୁକୁ ଛେଦ କରିବ । ଏହି ନୂତନ ରେଖାର ନାମ t ହେଉ ।
- ପୁନଶ୍ଚ ସେହି କାଗଜକୁ ଏପରି ଭାଙ୍ଗିବା ଯେପରି ସୃଷ୍ଟି ହେଉଥିବା ରେଖାଟି A ବିନ୍ଦୁକୁ ଛେଦ କରିବ ଏବଂ t ରେଖାପ୍ରତି ଭୂଲମ୍ବ ହେବ । ଏହି ରେଖାର ନାମ m ହେଉ । ବର୍ତ୍ତମାନ ହିଁ l ଓ m ରେଖାଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ହେବ ।
Question 1.
ଏଠାରେ l ଓ m ରେଖା କାହିଁକି ସମାନ୍ତର ହେବେ ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଛେଦକଦ୍ଵାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ଅନୁରୂପ କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ ରେଖାଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ହେବେ । ତେଣୁ l ଓ m ରେଖା ସମାନ୍ତର ହେବେ ।
5.8 ଏକାନ୍ତର କୋଣ
∠f ର ଏକାନ୍ତର କୋଣ ପାଇବାକୁ ହେଲେ ପ୍ରଥମେ ∠f ର ଅନୁରୂପ କୋଣ ଚିହ୍ନଟ କରିବା । ଏଠାରେ ∠ର ଅନୁରୂପ କୋଣ ∠b । ∠b କୋଣର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ∠d। ତେଣୁ ∠f କୋଣର ଏକାନ୍ତର କୋଣ ∠d ।
ସେହିପରି ∠e କୋଣର ଏକାନ୍ତର କୋଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା । ∠e କୋଣର ଅନୁରୂପ କୋଣ ∠a । ∠a କୋଣର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ∠c । ତେଣୁ ∠e କୋଣର ଏକାନ୍ତର କୋଣ ∠c ।
ଶିକ୍ଷଣ କାର୍ଯ୍ୟ – 6 :
Question 1.
ପୂର୍ବ ଚିତ୍ରରେ ∠f = 120° ହେଲେ, ଏହାର ଏକାନ୍ତର କୋଣ ∠d ର ପରିମାଣ କେତେ ?
Solution:
∠d ଓ ∠b କୋଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ ∠b = ∠d ।
∠b ଓ ∠f ଦ୍ଵୟ ଅନୁପୂରକ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ ∠b = ∠f ।
ଯେହେତୁ ∠f = 120°, ∠b = 120°
∴ ∠d = 120°
ପ୍ରକୃତରେ ∠f ର ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ∠f = ∠b କାରଣ ∠b ଓ ∠f ଦ୍ଵୟ ଅନୁପୂରଣ କୋଣ ।
ସେହିପରି ∠b ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ∠b = ∠d କାରଣ ∠b ଓ ∠d ଦ୍ଵୟ ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।
ତେଣୁ ହିଁ ଓ m ସମାନ୍ତର ରେଖାପାଇଁ ସର୍ବଦା ∠f = ∠d ।
ଆମେ ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଉପନୀତ ହେଲୁ ଯେ, ସମାନ୍ତର ରେଖା ଓ ଏହାର ଛେଦକରୁ ଉତ୍ପନ୍ନ ଏକାନ୍ତର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସର୍ବଦା ସମାନ ହେବ ।
Question 2.
ଉଦାହରଣ – 1 : ନିମ୍ନସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ହିଁ l ଓ m ସମାନ୍ତର ରେଖାଦ୍ୱୟର ଛେଦକ t । ଯଦି ∠6 = 135° ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
l ଓ m ରେଖା ସମାନ୍ତର ହୋଇଥିବାରୁ ∠6 ଓ ∠2 କୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ । କାରଣ ଏହି ଦୁଇକୋଣ ଅନୁରୂପ କୋଣ ।
ତେଣୁ ∠2 = 135° ।
∠6 ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ∠8, ତେଣୁ ∠8 = 135° । ∠2 ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ∠4, ତେଣୁ ∠4 = 135° ।
ତେଣୁ ∠2, ∠4, ∠6 ଓ 28 ପ୍ରତ୍ୟେକର ମାପ 135° ।
∠5 ଓ ∠6 ସରଳରେଖକ ଯୋଡ଼ି ଏହି ଦୁଇ କୋଣର ପରିମାଣ ମିଶି 180° ।
ଯେହେତୁ ∠6 = 135°, ତେଣୁ ∠5 = 180° – 135° = 45° ।
= ଯେହେତୁ ∠2 = 135°, ତେଣୁ ∠1 = 180° – 135° = 45° ।
∠1 ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ∠3, ତେଣୁ 23 = 45° । ∠5 ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ∠7, ତେଣୁ ∠7 = 45° ।
∴ ∠1 = 45°, ∠2 = 135°, ∠3 = 45°, ∠4 = 135°, ∠5 = 45°,
∠6 = 135°, ∠7 = 45°, ଓ ∠8 135° ।
Question 3.
ଉଦାହରଣ – 2 : l ଓ m ରେଖାକୁ t ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି । ଯଦି ∠a = 120° ଓ ∠f = 70° ହୁଏ, ତେବେ l ଏବଂ m ରେଖାଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ହେବେ କି ?
Solution:
∠a ଏବଂ ∠b ସରଳରେଖକ ଯୋଡ଼ି ହୋଇଥିବାରୁ ଉଭୟ କୋଣର ପରିମାଣ ମିଶି 180° ହେବ ।
∠b = 180° – 120° = 60°
ପୁନଶ୍ଚ ∠b ଏବଂ ∠f ଦ୍ଵୟ ଅନୁରୂପ କୋଣ ।
ମାତ୍ର ଉକ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ∠f = 70° । ତେଣୁ ∠b ≠ ∠f
ଏଠାରେ ଅନୁରୂପ କୋଣଦ୍ଵୟ ସମାନ ହୋଇ ନଥିବାରୁ l ଏବଂ m ରେଖାଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ହେବ ନାହିଁ ।
Question 4.
ଉଦାହରଣ – 3 : ଚିତ୍ରରେ l ଓ m ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟର ଛେଦକ t । ଯଦି ∠3 = 50° ହୁଏ, ତେବେ ∠6 ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।
Solution:
∠3 = 50°
∠2 ଓ ∠3 ଦ୍ଵୟ ସରଳରେଖକ ଯୋଡ଼ି ହୋଇଥିବାରୁ ଉଭୟ କୋଣର ପରିମାଣ ମିଶି 180° ହେବ ।
ତେଣୁ ∠2 = 180° – 50° = 130°
ପୁନଶ୍ଚ ∠2 ଓ ∠6 ଅନୁରୂପ କୋଣ ଏବଂ l ଏବଂ m ରେଖାଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ।
ତେଣୁ ∠2 = ∠6 ଏବଂ ∠6 = 130°
ଏଠାରେ ∠3 ଓ ∠6 ଦ୍ଵୟକୁ ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ କହିବା ।
ଆମେ ଜାଣିବାକୁ ପାଇଲୁ ଯେ, ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ରେଖାର ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ଦୁଇଟିର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 180 ହେବ ।
Question 5.
ଉଦାହରଣ – 4 : \(\overline{\mathbf{A B}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡ \(\overline{\mathbf{C D}}\) ସହ ସମାନ୍ତର ଏବଂ \(\overline{\mathbf{A D}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡ \(\overline{\mathbf{B C}}\) ସହ ସମାନ୍ତର । ∠DAC ର ପରିମାଣ 65° ଏବଂ ∠ADC ର ପରିମାଣ 60° ହେଲେ, ∠CAB, ∠ABC ଓ ∠BCDର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଚିତ୍ରରେ \(\overline{\mathbf{A B}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{C D}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ଏବଂ \(\overline{\mathbf{A D}}\) ଏମାନଙ୍କର ଛେଦକ । ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାର ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° । ∠DACର ପରିମାଣ 65° ଏବଂ ∠ADC ର ପରିମାଣ ∠60° ହେଲେ,
∠ADC + ∠DAB = 180° ⇒ 60° + ∠DAB = 180°
⇒∠DAB = 180° – 60° ⇒ ∠DAB = 120°
∠DAB ର ପରିମାଣରୁ ∠CAB ର ମୂଲ୍ୟ ପାଇପାରିବା କି ?
∠DAB = ∠DAC + CAB
⇒ 120° = 65° + ∠CAB ⇒∠CAB = 120° – 65° ⇒ ∠CAB = 55°
ଲକ୍ଷ୍ୟକର ଯେ, AD ଓ BC ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ଓ CD ଏମାନଙ୍କର ଛେଦକ ।
ତେଣୁ, ∠ADC + ∠BCD = 180° ⇒ ∠BCD = 180° – 60° = 120°
∴ ∠CAB = 55°, ∠ABC = 60° ଓ ∠BCD = 120°।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକରେ ସୂଚିତ ହୋଇଥିବା କୋଣର ମାପ ନିରୂପଣ କର ।
Solution:
(i) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ l ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = 48° ଓ ∠BCD = a°
∠ABC ଓ ∠BCD ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC = 48° = ∠BCD = a°
∴ a° = 48°
∴ a = 48°
(ii) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ
ଆଉ ଦୁଇଟି ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = 52° ଓ ∠BCD = b°
∠ABC ଓ ∠BCD ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC = ∠BCD
∴ 52° = b°
∴ b = 52°
(iii) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ l ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = 81° ଓ ∠BCD = c°
∠ABC ଓ ∠BCD ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC = ∠BCD
∴ 81° = c°
∴ c = 81°
(iv) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ l ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = d° ଓ ∠BCD = 99°
∠ABC ଓ ∠BCD ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC = ∠BCD
∴ 99° = d°
∴ d = 99°
(v) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ l ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = e° ଓ ∠BCD = 69°
∠ABC ଓ ∠BCD ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC = ∠BCD
∴ 69° = e°
⇒ e = 69°
(vi) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ l ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = f° ଓ ∠BCD = 132
∠ABC ଓ ∠BCD ଅନୁରୂପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC + ∠BCD = 180°
∴ f° + 132° = 180°
∴ f° = 180° – 132° = 48°
∴ f = 148°
(vii) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ l ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = g° ଓ ∠BDE = 122°
∠ABC ଓ ∠BDE ଅନୁରୂପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC = ∠BDE
∴ g° = 122°
∴ g = 122°
(viii) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ l ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = 75° ଓ ∠BCD = h°
∠ABC ଓ ∠BCD ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC = ∠BCD
∴ 75° = h°
∴ h = 75°
(ix) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ l ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = i° ଓ ∠BCD = 54°
∠ABC ଓ ∠BCD ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC = ∠BCD
∴ i° = 75° ⇒ i = 54°
(x) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ l ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = 97° ଓ ∠BCD = j°
∠ABC ଓ ∠BCD ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC = ∠BCD
∴ 97° = j°
⇒ j = 97°
Question 2.
ନିମ୍ନରେ ଥିବା ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକରେ ‘a’ ଚିହ୍ନିତ କୋଣର ମାପ ନିରୂପଣ କର ।
Solution:
(i) ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସରଳରେଖାକୁ ଗୋଟିଏ ରେଖା । ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ACB = 42° ଓ∠CEF = a
∠ACB ଓ ∠BCE ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∴ ∠ACB + ∠BCE = 180°
= 42° + ∠BCE = 180°
⇒∠BCE = 180° – 42° = 138°
⇒∠BCE ଓ ∠CEF ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ,
∠BCE = ∠CEF = 138°
∴ 138° = a ⇒ a = 138°
(ii) ଚିତ୍ରରେ m ଓ m’ ସରଳରେଖାକୁ l ଓ l’ ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = 62° ଓ ∠DEF = a
∠ABC ଓ ∠BCE ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC = ∠BCE ⇒ 62° = ∠BCE
∠BCE ଓ ∠GED ଅନୁରୂପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
ABCE = ∠GED ⇒ 62° = ∠GED
∠GED ଓ ∠DEF ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠GED + ∠DEF = 180° ⇒ 62° + a = 180°
⇒ a = 180° – 62° = 118°
(iii) ଚିତ୍ରରେ l, m ଓ n ସରଳରେଖାକୁ p ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = 110°, ∠BDC = 35° ଓ ∠DEF = a
∠ABC ଓ ∠CBD ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC + ∠CBD = 180° ⇒ 110° + ∠CBD = 180°
⇒ ∠CBD = 180° – 110° = 70°
BCD ତ୍ରିଭୁଜରେ ∠CBD + ∠BCD + ∠CDB = 180°
∴ 70° + ∠BCD + 35° = 180°
⇒∠BCD = 180° – 105° = 75°
∠GCB ଓ ∠BCD ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ ∠GCB + ∠BCD = 180°
⇒∠GCB + 75° = 180° ⇒ ∠GCB = 180° – 75° = 105°
∠GCB ଓ ∠DEF ଅନୁରୂପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ ∠GCB = ∠DEF ⇒ 105° = a
∴ a = 105°
(iv) ଚିତ୍ରରେ l ଓ m’ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦକ n ଓ p ରେଖା ଛେଦ କରୁଛି ।
ଏଠାରେ ∠ABC = 67°, ∠DBE = 90° ଓ ∠BED = a
∠ABC, ∠ABE ଓ ∠DBE ବୈଖ୍ୟକ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABC + ∠ABE + ∠DBE = 180°
⇒ 67° + ∠ABE + 90° = 180°
⇒∠ABE = 180° – 157° = 23°
∠ABE ଓ ∠BED ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ ∠ABE = ∠BED
⇒ 23° = a. ∴ a = 23°
Question 3.
ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରେ x ଓ y କୋଣର ମାପ ନିରୂପଣ କର ।
Solution:
(i) ଚିତ୍ରରେ ସମାନ୍ତର ରେଖା l ଓ m କୁ n ଓ p ରେଖା ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
∠ABG = 90°, ∠BDG = 65°, ∠EDF = x ଓ ∠DGH = y
∠ABG ଓ ∠DBG ରୈଚ୍ଛୁକ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠ABG + ∠DBG = 180°
⇒ 90° + ∠DBG = 180°
⇒ ∠DBG = 180° – 90° = 90° ଏବଂ ∠DBG ଓ ∠BDE କୋଣ ଦୁଇଟି ଏକାନ୍ତର ।
∴∠DBG = ∠BDE ⇒ 90° = ∠BDE
∠EDF, ∠BDE ଓ ∠BDG
∴∠EDF + ∠BDE + ∠BDG = 180°
⇒ x + 90° + 650 = 180°
⇒ x = 180° – 155° = 25°
∠EDF ଓ ∠BGD ଅନୁରୂପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠EDF = ∠BGD
⇒ x = ∠BGD ⇒ ∠BGD = 25°
∠BGD ଓ ∠DGH ରୈଖ୍ୟକ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠BGD + ∠DGH = 180° ⇒ 25° + y = 180° ⇒ y = 180° – 25° = 155°
∴ x = 25° ଓ y 155°
(ii) ଚିତ୍ରରେ ସମାନ୍ତର ରେଖା l ଓ m କୁ n ଓ p ରେଖା ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
ଏଠାରେ ∠GAD = x, ∠ABC = 53° ଓ ∠ACF = 78°
∠DAE ଓ ∠ABC ଅନୁରୂପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠DAE = ∠ABC ⇒ ∠DAE = 53°
∠GAE ଓ ∠ACF ଅନୁରୂପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠GAE = ∠ACF ⇒ ∠GAE = 78°
∠GAE = ∠GAD + ∠DAE
∴ 78° = x + 53°
⇒ x = 78° – 53° = 25°
Question 4.
ଚିତ୍ରରେ ∠ABC = 45° ଓ ∠IKJ = 78° ହେଲେ, ∠GEH, CHEF ଓ ∠FED ର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଚିତ୍ରରେ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା l ଓ m କୁ n ଓ p ଛେଦକରି E ବିନ୍ଦୁରେ ମିଳିତ ହୋଇଛନ୍ତି ।
ଆମେ ପାଇଲେ ଯେ,, ∠GEH, ∠HEF ଓ∠FED
∠BKE ଓ ∠IKJ କୋଣଦୁଇଟି କୌଣିକ କୋଣ ।
∠BKE = 78°, ∠BKE = ∠IKJ
⇒ ∠EBK = ∠ABC ⇒ ∠EBK = 45°
ତ୍ରିଭୁଜ BEK ରେ ∠EBK + ∠BKE + ∠KEB = 180°
∴ 45° + 78° + ∠KEB = 180°
⇒ ∠KEB = 180° – 123° = 57°
∠HEF ଓ ∠KEB କୌଣିକ କୋଣ ହେଲେ,
∠HEF = ∠KEB ⇒ ∠HEF = 57°
∠IKJ ଓ ∠GEJ ଅନୁରୂପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠IKJ = ∠GEJ ⇒ 78° = ∠GEJ
∠GEJ ଓ ∠FED କୌଣିକ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠GEJ = ∠FED ⇒ 78° = ∠FED
∠ABC ଓ ∠BED ଅନୁରୂପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ ∠ABC = ∠BED ⇒ 45° = ∠BED
∠BED = ଓ ∠GEH କୌଣିକ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ ∠BED = ∠GEH ⇒ 45° = ∠GEH
ତେଣୁ ∠GEH = 45°, ∠HEF = 57° ଓ ∠FED = 78°
Question 5.
ଚିତ୍ରରେ AB ସମାନ୍ତର CD ଏବଂ CD ସମାନ୍ତର EF । ପୁନଶ୍ଚ EA ରେଖା AB ପ୍ରତି ଲମ୍ବ । ଯଦି ∠BEF = 55° ହୁଏ, ତେବେ x, y ର ମାପ ନିରୂପଣ କର ।
Solution:
∠DEF = 55°, ∠GBE = x, ∠HDE = y ଓ ∠IAB = 90°
∠CDE ଓ DEF ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠CDE = ∠DEF ⇒ ∠CDE = 55°
∠CDE ଓ ∠HDE ବୈଖ୍ୟକ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠CDE + ∠HDE = 180°
⇒ 55° + y = 180°
⇒ y = 180° – 55 = 125°
∠HDE ଓ ∠GBE ଅନୁରୂପ କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ ∠HDE = ∠GBE
⇒ y = x ⇒ x= 125°
∴ x = 125° y = 125°
Question 6.
ଚିତ୍ରରେ ∠NOP ର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ସେୟାର ସାହାଯ୍ୟରେ l ରେଖା ଅଙ୍କନ କର, ଯାହା LM ସହିତ ସମାନ୍ତର । ଆଉ ଗୋଟିଏ ରେଖା m ଅଙ୍କନ କର ଯାହା PQ ସହ ସମାନ୍ତର ।
∠LMN = 40°, ∠MNO = 96°,
∠NOP = a° ଓ ∠OPQ = 52°
∠LMN ଓ ∠MNA ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠LMN = ∠MNA ⇒ 40° ∠MNA
∠MNO = ∠MNA + ∠ANO
∴ 96° = 40° + ∠ANO
⇒ ∠ANO = 96° – 40° = 56°
∠ANO ଓ ∠NOC ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∴ ∠ANO = ∠NOC
⇒ 56° = ∠NOC
∠COP ଓ ∠OPQ ଏକାନ୍ତର କୋଣ ହୋଇଥିବାରୁ
∠COP = ∠OPQ
∠COP = 52°
ତେଣୁ ∠NOP = ∠NOC + ∠COP
∴ a° = 56° + 52° = 108°
5.9 ଭ୍ରମ ସୃଷ୍ଟିକାରୀ ସମାନ୍ତର ରେଖା :
Question 1.
ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକରେ ସମାନ୍ତର ରେଖା ଅଛି କି ନାହିଁ ?
Solution:
ଚିତ୍ର (i)ରେ l ଓ m ରେଖା ପ୍ରାୟ ସମାନ୍ତର ।