Prasanna

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(e) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(e)

Question 1.
ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ କୋଠରି ମଧ୍ୟରେ ‘✓’ ଚିହ୍ନ ଓ ଭୁଲ ଉକ୍ତି ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ କୋଠରି ମଧ୍ୟରେ ‘✗’ ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।

(i) \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=\frac{x+y}{5}\)
ସମାଧାନ:
✗

(ii) \(\frac{x}{y-z}-\frac{x}{z-y}\) = 0
ସମାଧାନ:
✗

(iii) \(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-x}\) = 0
ସମାଧାନ:
✓

(iv) \(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\) = 0
ସମାଧାନ:
✗

(v) \(\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\)
ସମାଧାନ:
✓

(vi) \(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}\) = 0
ସମାଧାନ:
✗

Question 2.
ସରଳ କର :

(i) \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{x-y+x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{2 x}{x^2-y^2}\)

(ii) \(\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}\)
ସମାଧାନ:

(iii) \(\frac{a-b}{a b}+\frac{b-c}{b c}+\frac{c-a}{c a}\)
ସମାଧାନ:

(iv) \(\frac{x-y}{x+y}-\frac{x+y}{x-y}\)
ସମାଧାନ:

(v) \(\frac{1}{x^2-y^2}-\frac{1}{(x-y)^2}\)
ସମାଧାନ:

(vi) \(\frac{a^2}{a+b}\) – a + b
ସମାଧାନ:

(vii) \(\frac{1}{x+2 y}+\frac{1}{x-2 y}+\frac{2 x}{4 y^2-x^2}\)
ସମାଧାନ:

(viii) \(\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}+\frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}\)
ସମାଧାନ:

(ix) \(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+2}\)
ସମାଧାନ:

(x) \(\frac{3 x+1}{x-3}-\frac{x-3}{3 x+9}-\frac{5 x^2+24 x}{2 x^2-18}\)
ସମାଧାନ:

Question 3.
ସରଳ କର :

(i) \(\frac{x^3 y}{a z^2} \times \frac{y^3 z}{b x^2} \times \frac{z^3 x}{c y^2}\)
ସମାଧାନ:
= \(\frac{x^4 y^4 z^4}{a b c x^2 y^2 z^2}=\frac{x^2 y^2 z^2}{a b c}\)

(ii) \(\frac{x-y}{x+y} \times \frac{x^2+x y}{x^2 y-y^3}\)
ସମାଧାନ:

(iii) \(\frac{x^3+y^3}{x^2-y^2} \times \frac{x^3-y^3}{x^4+x^2y^3+y^4}\)
ସମାଧାନ:

(iv) \(\frac{x^2-7 x+10}{x^2-5 x-14} \times \frac{x^3+8}{x^3-8}\)
ସମାଧାନ:

(v) \(\left(1+\frac{x}{y^2}+\frac{x^2}{y^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{y^2}+\frac{x^2}{y^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{y^2}\right)\)
ସମାଧାନ:

ବିକଳ୍ପ ସଣାଳା –

(vi) \(\frac{x^2-y^2}{x-z} \times \frac{x^2-z^2}{x y+y^2} \times\left(x+\frac{x y}{x-y}\right)\)
ସମାଧାନ:

(vii) \(\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{a-b}{a+b}\right) \times \frac{a^2-b^2}{2\left(a^2+b^2\right)}\)
ସମାଧାନ:

(viii) \(\left(\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{x}+\mathbf{y}}+\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{x}-\mathbf{y}}\right) \div\left(\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{x}-\mathbf{y}}-\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{x}+\mathbf{y}}\right)\)
ସମାଧାନ:

(ix) \(\frac{x^3+y^3}{(x-y)^2+3 x y} \div \frac{(x+y)^2-3 x y}{x^3-y^3} \times \frac{x y}{x^2-y^2}\)
ସମାଧାନ:

(x) \(\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a+b)^2-(a-b)^2} \div \frac{a^4-b^4}{2 a b(a-b)} \times \frac{a^2-b^2}{a}\)
ସମାଧାନ:

(xi) \(\frac{a^2+3 a-18}{a^2-4} \div \frac{a^2-36}{a^2-5 a-14}\)
ସମାଧାନ:

(xii) \(\frac{3 a^2+a-4}{2 a^2-a-3} \div \frac{3 a^2-2 a-8}{2 a^2-7 a+6}\)
ସମାଧାନ:

Question 4.
ସରଳ କର :

(i) \(\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}\)
ସମାଧାନ:

(ii) \(\frac{a}{a-\frac{a-1}{1-\frac{1}{a+1}}}\)
ସମାଧାନ:

(iii) \(\frac{y}{y^2-\frac{y^3-1}{y+\frac{1}{y+1}}}\)
ସମାଧାନ:

(iv) \(\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{x}-\frac{1}{\mathbf{x}-\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{1}+\mathbf{x}}}}\)
ସମାଧାନ:

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 10 ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶର ପ୍ରତିଷ୍ଠା Important Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 History Important Questions Chapter 10 ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶର ପ୍ରତିଷ୍ଠା

Subjective Type Questions With Answers

ଦୀର୍ଘ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୬୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

୧। ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭା ନିର୍ବାଚନରେ କଂଗ୍ରେସ ସଂଖ୍ୟାଗରିଷ୍ଠତା ଲାଭ କରିଥିଲେ ସୁଦ୍ଧା କାହିଁକି ମନ୍ତ୍ରୀମଣ୍ଡଳ ଗଠନ କରିବାକୁ ରାଜି ହୋଇନଥିଲା ? ଏହାଫଳରେ ବି ବିକଳ୍ପ ବ୍ୟବସ୍ଥା ଗ୍ରହଣ କରାଯାଇଥିଲା ?
Answer:

• ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭା ନିର୍ବାଚନରେ କଂଗ୍ରେସ ୫୬ ଟି ଆସନରୁ ୩୬ଟି ଆସନ ଲାଭ କରି ଏକକ ସଂଖ୍ୟାଗରିଷ୍ଠ ଦଳ ଭାବରେ ପରିଗଣିତ ହୋଇଥିଲା ।
• କିନ୍ତୁ ଏହା ମନ୍ତ୍ରୀମଣ୍ଡଳ ଗଠନ କରିବାକୁ ରାଜିହୋଇ ନଥିଲା; କାରଣ କଂଗ୍ରେସ ଆଶଙ୍କା କରୁଥିଲା ଯେ ୧୯୩୫ ଭାରତ ଶାସନ ଆଇନରେ ରାଜ୍ୟପାଳଙ୍କୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିଶେଷ କ୍ଷମତାଦ୍ବାରା ମନ୍ତ୍ରୀମଣ୍ଡଳର କ୍ଷମତା ସଙ୍କୁଚିତ ହୋଇଯିବ ।
• କଂଗ୍ରେସ ସହିତ ଆଲୋଚନା ବିଫଳ ହେବାପରେ ଏହାର ବିକଳ୍ପ ବ୍ୟବସ୍ଥା ସ୍ବରୂପ ରାଜ୍ୟପାଳଙ୍କ ନିମନ୍ତ୍ରଣକ୍ରମେ ମହାରାଜା କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ନାରାୟଣ ଦେବ ସଂଖ୍ୟାଲଘୁ ସଭ୍ୟଙ୍କ ସମର୍ଥନରେ ୧୯୩୭ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ୍ ୧ ତାରିଖରେ ମନ୍ତ୍ରିମଣ୍ଡଳ ଗଠନ କଲେ ।
• ମହାରାଜା କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି ହେଲେ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଥମ ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ । ମାନ୍ଧାତା ଗୋରାଚାନ୍ଦ ପଟ୍ଟନାୟକ, ମୌଲବୀ ଲତିଫୁର ରେହମାନ ତାଙ୍କ ମନ୍ତ୍ରିମଣ୍ଡଳର ଅନ୍ୟ ଦୁଇଜଣ ମନ୍ତ୍ରୀ ହେଲେ ।
• ପରବର୍ତୀ ସମୟରେ କଂଗ୍ରେସ ମନ୍ତ୍ରୀମଣ୍ଡଳ ଗଠନ କରିବାକୁ ରାଜିହେବାରୁ ୧୯୩୭ ମସିହା ଜୁଲାଇ ୧୩ ତାରିଖରେ ମହାରାଜା କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତିଙ୍କ ମନ୍ତ୍ରୀମଣ୍ଡଳ ଇସ୍ତଫା ଦେଇଥିଲା ।

୨ । କେବେ ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ ହୋଇଥିଲେ ? ତାଙ୍କ କାର୍ଯ୍ୟାବଳୀ ସଂକ୍ଷେପରେ ଲେଖ ।
Answer:

• ଦ୍ବିତୀୟ ବିଶ୍ଵଯୁଦ୍ଧ ପରବର୍ତୀ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭା ନିର୍ବାଚନରେ କଂଗ୍ରେସ ସଂଖ୍ୟାଗରିଷ୍ଠତା ହାସଲ କରିବାରୁ ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ ବିଧାୟକ ଦଳର ନେତା ଭାବେ ୧୯୪୬ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ୍ ୨୩ ତାରିଖରେ ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ ରୂପେ ଶପଥ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ।
• ତାଙ୍କ ସହିତ ନବକୃଷ୍ଣ ଚୌଧୁରୀ, ପଣ୍ଡିତ ଲିଙ୍ଗରାଜ ମିଶ୍ର, ନିତ୍ୟାନନ୍ଦ କାନୁନ୍‌ଗୋ ଓ ରାଧାକୃଷ୍ଣ ବିଶ୍ଵାସରାୟ ଅନ୍ୟ ଚାରିଜଣ ମନ୍ତ୍ରୀ ଭାବେ ଶପଥ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ।
• ସେହିବର୍ଷ ଭାରତକୁ ଆସିଥିବା କ୍ୟାବିନେଟ୍ ମିଶନ୍ ନିକଟରେ ଓଡ଼ିଶାର ଗଡ଼ଜାତ ରାଜ୍ୟସମୂହର ମିଶ୍ରଣ ସପକ୍ଷରେ ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ ଦୃଢ଼ ଯୁକ୍ତି ଉପସ୍ଥାପନ କରିଥିଲେ ।
• ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ ୧୯୪୬ ମସିହାରୁ ୧୯୫୦ ମସିହା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଓଡ଼ିଶା ସରକାରଙ୍କ ନେତୃତ୍ୱ ନେଇଥିଲେ ।
• ଏହି ସମୟ ଅବଧୂ ମଧ୍ଯରେ ତାଙ୍କର ଉଲ୍ଲେଖନୀୟ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ହେଲା ଗଡ଼ଜାତ ମିଶ୍ରଣ, ହୀରାକୁଦ ନଦୀବନ୍ଧ ଯୋଜାନାର ଆରମ୍ଭ ଓ ଭୁବନେଶ୍ଵରରେ ଓଡ଼ିଶାର ନୂଆ ରାଜଧାନୀ ପ୍ରତିଷ୍ଠା ।

କ୍ଷୁଦ୍ର ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୩୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

୧। ନୂତନ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶର ରାଜଧାନୀ କେଉଁଠାରେ ପ୍ରତିଷ୍ଠିତ ହେଲା ? ଏହାର ଆୟତନ ଓ ଲୋକସଂଖ୍ୟା କେତେ ଥିଲା ?
Answer:

1. ନୂତନ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶର ରାଜଧାନୀ କଟକଠାରେ ପ୍ରତିଷ୍ଠିତ ହେଲା ।
2. ନୂତନ ଓଡ଼ିଶାର ଆୟତନ ଥିଲା ୩୨,୬୯୫ ବର୍ଗ ମାଇଲ୍ ।
3. ଏହାର ଲୋକସଂଖ୍ୟା ଥିଲା ୮,୦୪୩,୬୮୧ ।

୨। ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଶାସନିକ କମିଟି କେବେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ? ଅଧ୍ୟକ୍ଷଙ୍କ ବ୍ୟତୀତ ଏଥ‌ିରେ କେତେଜଣ ସଦସ୍ୟ ଥିଲେ ? ଏହି କମିଟିର ଗୁରୁତ୍ବପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରସ୍ତାବ କେଉଁ ବିଷୟ ଉପରେ ଥିଲା ?
Answer:

• ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଶାସନିକ କମିଟି ସାର୍ ଜନ୍ ଅଷ୍ଟିନ୍ ହବାକ୍‌ଙ୍କ ଅଧ୍ୟକ୍ଷତାରେ ୧୯୩୩ ମସିହା ଜୁନ୍ ୨୪ ତାରିଖରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଅଧ୍ୟକ୍ଷଙ୍କ ବ୍ୟତୀତ ଏଥୁରେ ମଧୁସୂଦନ ଦାସଙ୍କ ସମେତ ଏଥିରେ ଜଣ ସଦସ୍ୟ ରହିଥିଲେ ।
• ଏହି କମିଟି ୧୯୩୩ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୨୦ ତାରିଖରେ ନୂତନ ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ବିଭିନ୍ନ ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ ନିମନ୍ତେ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରସ୍ତାବ ଦେଇଥିଲା ।

୩ । ବିଶ୍ଵନାଥ ଦାସ କେବେ ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ ଭାବେ ଶପଥ ନେଇଥିଲେ ? ତାଙ୍କ ସହିତ ଅନ୍ୟ କେଉଁମାନେ ଶପଥ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ଏବଂ ବିଧାନସଭାର ପ୍ରଥମ ଅବେଶନ କେଉଁଠି ବସିଥିଲା ?
Answer:

• ବିଶ୍ଵନାଥ ଦାସ ୧୯୩୭ ମସିହା ଜୁଲାଇ ୧୯ ତାରିଖ ଦିନ ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ ରୂପେ ଶପଥ ନେଇଥିଲେ ।
• ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀଙ୍କ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ଦୁଇଜଣ ମନ୍ତ୍ରୀ ନିତ୍ୟାନନ୍ଦ କାନୁନ୍‌ଗୋ ଓ ବୋଧରାମ ଦୁବେ ଏବଂ ଚାରିଜଣ ପାର୍ଲିଆମେଣ୍ଟାରୀ ସେକ୍ରେଟାରୀ ଯଦୁମଣି ମଙ୍ଗରାଜ, ଜଗନ୍ନାଥ ମିଶ୍ର, ପ୍ୟାରିଶଙ୍କର ରାୟ ଓ ରାଧାନାଥ ବିଶ୍ଵାସରାୟ ଶପଥ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ।
• ବିଧାନସଭାର ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ବବେଶନ ରେଭେନ୍ସା କଲେଜ୍ ହଲ୍‌ରେ ବସିଥିଲା ।

ସଂଷିପ୍ତ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୨୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

୧। ନୂତନ ଓଡ଼ିଶା କେତୋଟି ଜିଲ୍ଲାକୁ ନେଇ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ଓ ସେଗୁଡ଼ିକର ନାମ କ’ଣ ?
Answer:

1. ନୂତନ ଓଡ଼ିଶା ଛଅଗୋଟି ଜିଲ୍ଲାକୁ ନେଇ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
2. ସେଗୁଡ଼ିକର ନାମ ହେଲା – କଟକ, ପୁରୀ, ବାଲେଶ୍ଵର, ସମ୍ବଲପୁର, ଗଞ୍ଜାମ ଓ କୋରାପୁଟ ।

୨। ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନର ଉଦ୍‌ଘାଟନୀ ଉତ୍ସବରେ କିଏ, କେଉଁଠାରେ ଏକ ବିଶାଳ ଭୋଜିର ଆୟୋଜନ କରି ବହୁ ମାନ୍ୟଗଣ୍ୟ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କୁ ଆପ୍ୟାୟିତ କରିଥିଲେ ?
Answer:

• ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନର ଉଦ୍‌ଘାଟନୀ ଉତ୍ସବରେ ମହାରାଜ କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି ନାରାୟଣ ଦେଓ ଏକ ବିଶାଳ ଭୋଜନର ଆୟୋଜନ କରିଥିଲେ ।
• କଟକର ବାରବାଟୀ ଦୁର୍ଗରେ ଏହି ଭୋଜିରେ ବହୁ ମାନ୍ୟଗଣ୍ୟ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କୁ ଆପ୍ୟାୟିତ କରାଯାଇଥିଲା ।

୩ । କେଉଁ ଭାରତ ଶାସନ ଆଇନ ଅନୁସାରେ ଓଡ଼ିଶାରେ ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭା ପାଇଁ ନିର୍ବାଚନ ବ୍ୟବସ୍ଥା ଥିଲା ? ପ୍ରଥମ ବିଧାନସଭା ନିର୍ବାଚନ କେବେ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:

• ୧୯୩୫ ମସିହା ଭାରତ ଶାସନ ଆଇନ ଅନୁସାରେ ଓଡ଼ିଶାରେ ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭା ପାଇଁ ନିର୍ବାଚନ ବ୍ୟବସ୍ଥା ଥିଲା ।
• ପ୍ରଥମ ବିଧାନସଭା ନିର୍ବାଚନ ୧୯୩୭ ମସିହା ଜାନୁୟାରୀ ୧୮ରୁ ୨୩ ତାରିଖ ମଧ୍ୟରେ ହୋଇଥିଲା ।

୪ । ପ୍ରଥମ ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭା ନିର୍ବାଚନରେ କନିକା ରାଜା କେଉଁ ଦଳର ନେତୃତ୍ଵ ନେଇଥିଲେ ? ଏହି ନିର୍ବାଚନରେ ତାଙ୍କ ଦଳ କେତୋଟି ଆସନ ଲାଭ କରିଥିଲା ?
Answer:

1. ପ୍ରଥମ ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭା ନିର୍ବାଚନରେ କନିକା ରାଜା ସଂଯୁକ୍ତ ଦଳର ନେତୃତ୍ଵ ନେଇଥିଲେ ।
2. ଏହି ନିର୍ବାଚନରେ ତାଙ୍କ ଦଳ ୬ଟି ଆସନ ହାସଲ କରିଥିଲା ।

୫ । ପ୍ରଥମ ବିଧାନସଭାର ପ୍ରଥମ ଅଧିବେଶନ କେବେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ଏବଂ ଏହାର ପ୍ରଥମ ବାଚସ୍ପତି କିଏ ଥିଲେ ?
Answer:

• ପ୍ରଥମ ବିଧାନସଭାର ପ୍ରଥମ ଅଧିବେଶନ ୧୯୩୭ ମସିହା ଜୁଲାଇ ୨୮ ତାରିଖରେ ରେଭେନ୍ସା କଲେଜ ହଲ୍‌ରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହି ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନରେ ବାଚସ୍ପତି ଥିଲେ ମୁକୁନ୍ଦ ପ୍ରସାଦ ଦାସ ।

୬ । ମହାରାଜା କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି ନାରାୟଣ ଦେଓଙ୍କ ନେତୃତ୍ବାଧୀନ ଦଳର ନାମ କ’ଣ ଥିଲା ? ସେ ପ୍ରଥମ ପ୍ରାଦେଶିକ ନିର୍ବାଚନରେ କେତୋଟି ଆସନ ଲାଭ କରିଥିଲେ ?
Answer:

• ମହାରାଜା କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି ନାରାୟଣ ଦେଓଙ୍କ ନେତୃତ୍ଵାଧୀନ ଦଳର ନାମ ‘ଜାତୀୟ ଦଳ’ ଥିଲା ।
• ଏହା ପ୍ରଥମ ପ୍ରାଦେଶିକ ନିର୍ବାଚନରେ ୪ଟି ଆସନ ଲାଭ କରିଥିଲେ ।

Objective Type Questions with Answers
A. ଗୋଟିଏ ବାକ୍ୟରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

1. ମଧୁସୂଦନ ଦାସ ଓ କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତିଙ୍କ ସ୍ବପ୍ନ କେବେ ବାସ୍ତବରେ ପରିଣତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
୧୯୩୬ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ୍ ୧ ତାରିଖରେ ମଧୁସୂଦନ ଦାସ ଓ କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତିଙ୍କ ସ୍ୱପ୍ନ ବାସ୍ତବରେ ପରିଣତ ହୋଇଥିଲା ।

2. କେଉଁସବୁ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳ ଓଡ଼ିଶା ବାହାରେ ରହିଯାଇଥିଲା ?
Answer:
ମେଦିନିପୁର, ଫୁଲଝର, ସୋମପେଟା, ମଞ୍ଜୁଷା ଆଦି ଅନେକ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳ ଓଡ଼ିଶା ବାହାରେ ରହିଯାଇଥିଲା ।

3. ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ଅବସରରେ କିଏ ଏକ ବିରାଟ ଭୋଜିର ଆୟୋଜନ କରାଇଥୁଲେ ?
Answer:
ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ଅବସରରେ କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି ନାରାୟଣ ଦେଓ ଏକ ବିରାଟ ଭୋଜିର ଆୟୋଜନ କରାଇଥିଲେ ।

4. ନୂତନ ଓଡ଼ିଶା ଶାସନ ଦାୟିତ୍ୱ ଚଳାଇବାପାଇଁ କେଉଁମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଏକ ଉପଦେଷ୍ଟା ପରିଷଦ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ନୂତନ ଓଡ଼ିଶାର ରାଜ୍ୟପାଳ ଓ ତାଙ୍କଦ୍ବାରା ମନୋନୀତ କୋଡ଼ିଏ ଜଣ ସଦସ୍ୟଙ୍କୁ ଏକ ଉପଦେଷ୍ଟା ପରିଷଦ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

5. ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଶାସନିକ କମିଟି କେବେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଶାସନିକ କମିଟି ୧୯୩୩ ଜୁନ୍ ୨୪ ତାରିଖରେ ସାର୍ ଜନ୍ ଅଷ୍ଟିନ୍ ହବାକ୍‌ଙ୍କ ଅଧ୍ୟକ୍ଷତାରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

6. କଂଗ୍ରେସ ତରଫରୁ ଓଡ଼ିଶାରେ ପ୍ରଥମେ କିଏ, କେବେ ମନ୍ତ୍ରିମଣ୍ଡଳ ଗଠନ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ବିଶ୍ଵନାଥ ଦାସ ୧୯୩୭ ଜୁଲାଇ ୧୯ ତାରିଖରେ କଂଗ୍ରେସ ତରଫରୁ ଓଡ଼ିଶାରେ ମନ୍ତ୍ରୀମଣ୍ଡଳ ଗଠନ କରିଥିଲେ ।

7. ଓଡ଼ିଶାର ଦ୍ବିତୀୟ ରାଜ୍ୟପାଳ ଭାବେ କିଏ ଦାୟିତ୍ବ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ଉଇଲିୟମ୍ ଲୁଇସ୍ ୧୯୪୧ ଏପ୍ରିଲ୍ ୧ ତାରିଖରେ ଓଡ଼ିଶାର ଦ୍ବିତୀୟ ରାଜ୍ୟପାଳଭାବେ ଦାୟିତ୍ବ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ।

8. କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି କେବେ ଶେଷ ନିଃଶ୍ବାସ ତ୍ୟାଗ କରିଥିଲେ ?
Answer:
୧୯୭୪ ମସିହା ମେ ୨୫ ତାରିଖରେ କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି ଶେଷ ନିଃଶ୍ୱାସ ତ୍ୟାଗ କରିଥିଲେ ।

B. ଗୋଟିଏ ଶବ୍ଦରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

1. କେଉଁ ଆଇନ ବଳରେ ଓଡ଼ିଶା ନୂତନ ପ୍ରଦେଶ ଭାବେ ଗଠିତ ହେଲା ?
Answer:
୧୯୩୫ ଭାରତ ଶାସନ ଆଇନ

2. ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶରେ ନିର୍ବାଚିତ ସରକାର ଗଠନ ହେବା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏହାର ଶାସନ ଦାୟିତ୍ବ ବହନ କରିଥିବା ଉପଦେଷ୍ଟା ପରିଷଦରେ କିଏ ଉପ-ସଭାପତି ଥିଲେ ?
Answer:
ଲକ୍ଷ୍ମୀଧର ମହାନ୍ତି

3. କାହା ନେତୃତ୍ୱରେ ସ୍ବାଧୀନ ଦଳ ୧୯୩୭ ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭା ନିର୍ବାଚନରେ ପ୍ରତିଦ୍ବନ୍ଦିତା କରିଥିଲା ?
Answer:
ଖଲ୍ଲିକୋଟର ରାଜା ରାମଚନ୍ଦ୍ର ମର୍ଦ୍ଦରାଜ

4. ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଶାସନିକ କମିଟିରେ ଅଧ୍ୟକ୍ଷଙ୍କ ବ୍ୟତୀତ କେତେ ଜଣ ସଦସ୍ୟ ଥିଲେ ?
Answer:
୯ଜଣ

5. ମହାରାଜା କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି କେଉଁଠାରେ ଶେଷ ନିଃଶ୍ୱାସ ତ୍ୟାଗ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ପାରଳାଖେମୁଣ୍ଡି

6. ଜୟପୁର ଜମିଦାର କେଉଁ ଅଞ୍ଚଳରୁ ଆସି ଓଡ଼ିଶା ସହ ମିଶିଥିଲା ?
Answer:
ବିଶାଖାପାଟଣା ଏଜେନ୍‌ସି

7. ଉଇଲିୟମ୍ ଲୁଇସ୍ କେବେ ଓଡ଼ିଶାର ରାଜ୍ୟପାଳ ଦାୟିତ୍ୱ ନେଇଥିଲେ ?
Answer:
୧୯୪୧ ଏପ୍ରିଲ୍ ୧

8. ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଶାସନିକ କମିଟି କେବେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
୧୯୩୩ ଜୁନ୍ ୨୪

9. ୧୯୩୭ ମସିହା ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭାର କେତୋଟି ଆସନ ପାଇଁ ନିର୍ବାଚନ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
୫୬ଟି

10. ସାର୍ କୋଟ୍ରୋ ଟେରେଲା କେଉଁ ହାଇକୋର୍ଟର ମୁଖ୍ୟ ବିଚାରପତି ଥିଲେ ?
Answer:
ପାଟନା

11. ୧୯୪୬-୧୯୫୦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଓଡ଼ିଶା ସରକାରର ନେତୃତ୍ୱ କିଏ ନେଇଥିଲେ ?
Answer:
ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ

12. ବୋଧରାମ ଦୁବେ ଓଡ଼ିଶାର କେଉଁ ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀଙ୍କ ମନ୍ତ୍ରୀମଣ୍ଡଳର ଜଣେ ମନ୍ତ୍ରୀ ଥିଲେ ?
Answer:
ବିଶ୍ଵନାଥ ଦାସ

13. ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶରେ ହୋଇଥିବା ପ୍ରଥମ ନିର୍ବାଚନରେ କେତେ ଜଣ ସ୍ଵାଧୀନ ଦଳ ଓ ନିର୍ଦ୍ଦଳୀୟ ପ୍ରାର୍ଥୀ ବିଜୟୀ ହୋଇଥିଲେ ?
Answer:
୧୦ ଜଣ

14. କେବେ କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି ମିଳିତ ମନ୍ତ୍ରୀମଣ୍ଡଳର ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ ପଦରୁ ଇସ୍ତଫା ଦେଇଥିଲେ ?
Answer:
୧୯୪୪ ଜୁନ୍ ୨୯

15. ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ କାହା ନିକଟରେ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜ୍ୟ ମିଶ୍ରଣ ସପକ୍ଷରେ ଦାବି ଉପସ୍ଥାପନ କରିଥିଲେ ?
Answer:
କ୍ୟାବିନେଟ୍ ମିଶନ

C. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର।

1. ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ଗଠନ ନିମନ୍ତେ _______ ନିଜ ଚେଷ୍ଟା ଓ ତ୍ୟାଗପାଇଁ ଚିରନମସ୍ୟ ।
Answer:
ମହାରାଜା କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି

2. ୧୯୪୬ ଏପ୍ରିଲ ୧୩ ତାରିଖ ଦିନ _______ ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ ଭାବେ ଶପଥ ଗ୍ରହଣ କରିଲେ ।
Answer:
ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ

3. ନିତ୍ୟାନଦ କାନୁନ୍ଗୋ ________ ଙ୍କ ମନ୍ତ୍ରିମଣ୍ଡଳରେ ଜଣେ ମନ୍ତ୍ରୀ ଥିଲେ ।
Answer:
ବିଶ୍ଵନାଥ ଦାସ ୧୯୩୭

4. ଭୁବନେଶ୍ୱରରେ ନୂଆ ରାଜଧାନୀ ପ୍ରତିଷ୍ଠା ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ ________ ଙ୍କ ସମୟରେ ହୋଇଥିଲା ।
Answer:
ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ

5. ବିଶ୍ଵନାଥ ଦାସଙ୍କ ନେତୃତ୍ୱାଧୀନ କଂଗ୍ରେସ ସରକାର _________ ସମୟ ପାଇଁ କ୍ଷମତାରେ ଥିଲେ ।
Answer:
ଦୁଇବର୍ଷ ସାଢ଼େ ତିନିମାସ

6. ୧୯୩୫ ଭାରତ ଶାସନ ଆଇନ ଅନୁସାରେ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭା ପାଇଁ __________ ମସିହାରେ ନିର୍ବାଚନ ହୋଇଥିଲା ।
Answer:
୧୯୩୭

7. ୧୯୩୭ ମସିହାରେ ଓଡ଼ିଶାରେ ହୋଇଥିବା ପ୍ରଥମ ନିର୍ବାଚନରେ _______  ଟି ଆସନ ପାଇଁ ନିର୍ବାଚନ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
Answer:
୫୬

8. ଖଲ୍ଲିକୋଟର ରାଜା ରାମଚନ୍ଦ୍ର ମର୍ଦ୍ଦରାଜ ________ ଦଳର ନେତୃତ୍ୱ ନେଇଥିଲେ ।
Answer:
ସ୍ବାଧୀନ

9. ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶର ପ୍ରଥମ ବିଧାନସଭାର ପ୍ରଥମ ଅଧିବେଶନରେ _________ ବାଚସ୍ପତି ନିର୍ବାଚିତ ହୋଇଥିଲେ ।
Answer:
ମୁକୁନ୍ଦପ୍ରସାଦ ଦାସ

10. ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶର ପ୍ରଥମ ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ ________ ହୋଇଥିଲେ ।
Answer:
କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି

11. ଜଗନ୍ନାତ ମିଶ୍ର ବିଶ୍ବନାଥ ଦାସଙ୍କ ନେତୃତ୍ବାଧୀନ ସରକାରରେ _________ ଭାବେ କାର୍ଯ୍ୟ କରିଥିଲେ ।
Answer:
ପାର୍ଲାମେଣ୍ଟାରି ସେକ୍ରେଟାରୀ

12. କୋଦଳା ଓ ସୋରଡ଼ାକୁ _______ ରୁ ଅଣାଯାଇ ଓଡ଼ିଶା ସହ ମିଶାଇ ଦିଆଗଲା ।
Answer:
ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ପ୍ରେସିଡ଼େସି

13. ଦ୍ଵିତୀୟ ବିଶ୍ୱଯୁଦ୍ଧ ପରେ ________ ଓଡ଼ିଶାର କଂଗ୍ରେସ ମନ୍ତ୍ରୀମଣ୍ଡଳର ନେତୃତ୍ବ ନେଇଥିଲେ ।
Answer:
ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ

14. ସାର୍ କୋଟ୍ରେନେ ଟେରେଲା ________ ହାଇକୋର୍ଟର ପ୍ରଧାନ ବିଚାରପତି ଥିଲେ ।
Answer:
ପାଟନା

15. ୧୯୩୬ ଏପ୍ରିଲ୍ ୧ରେ ଗଠିତ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶର ଆୟତନ ୩୨,୬୯୫ ବର୍ଗ ମାଇଲ୍ ଓ ଲୋକସଂଖ୍ୟା ________ ଥିଲା ।
Answer:
୮,୦୪୩,୬୮୧

D. ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ (✓) ଚିହ୍ନ ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ (x) ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।

1.ବିଜେବି କଲେଜ ହଲ୍‌ରେ ଓଡ଼ିଶାର ଉଦ୍‌ଘାଟନୀ ଉତ୍ସବ ପାଳନ କରାଯାଇଥିଲା ।
2. ଲକ୍ଷ୍ମୀକ୍ଷର ମହାନ୍ତି ଉପଦେଷ୍ଟା କମିଟିର ଉପସଭାପତି ଥିଲେ ।
3. ମଧୁସୂଦନ ଦାସ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଶାସନିକ କମିଟିର ଅଧ୍ୟକ୍ଷ ଥିଲେ ।
4 ଉତ୍କଳ ବିଶ୍ଵବିଦ୍ୟାଳୟର ପ୍ରତିଷ୍ଠାତା ଥିଲେ ବିଶ୍ଵନାଥ ଦାସ ।
5. ଓଡ଼ିଶାର ଗଡ଼ଜାତ ମିଶ୍ରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ମୁଖ୍ୟ ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ ।
6. ହରେକୃଷ୍ଣ ମହତାବ ୧୯୪୭ ଏପ୍ରିଲ ୨୩ରେ ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ ରୂପେ ଶପଥ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ।
7. ନିତ୍ୟାନନ୍ଦ କାନୁନ୍‌ଗୋ ବିଶ୍ଵନାଥ ଦାସଙ୍କ ମନ୍ତ୍ରୀମଣ୍ଡଳରେ ଜଣେ ମନ୍ତ୍ରୀ ଥିଲେ ।
8. ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଥମ ବିଧାନ ସଭାରେ ସମୁଦାୟ ୬୦ଟି ଆସନରୁ ୫ଟି ଆସନ ମନୋନୀତ ସଦସ୍ୟଙ୍କ ପାଇଁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଥିଲା ।
9. ଦ୍ବିତୀୟ ବିଶ୍ବଯୁଦ୍ଧ ସମାପ୍ତି ପରେ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରାଦେଶିକ ବିଧାନସଭା ନିର୍ବାଚନରେ କଂଗ୍ରେସ ସଂଖ୍ୟା ଗରିଷ୍ଠତା ହାସଲ କରିଥିଲା ।
10. ଭୁବନେଶ୍ଵରରେ ଓଡ଼ିଶାର ନୂଆ ରାଜଧାନୀ ପ୍ରତିଷ୍ଠା କରିଥିଲେ ମଧୁସୂଦନ ଦାସ
11. ୧୯୭୫ ମସିହାରେ ମହାରାଜା କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି ଶେଷ ନିଃଶ୍ୱାସ ତ୍ୟାଗ କରିଥିଲେ ।
12. ୧୯୩୫ ଭାରତ ଶାସନ ଆଇନ୍‌ର ଧାରା ୯୩ ଅନୁଯାୟୀ ପ୍ରଦେଶ ଶାସନର ପ୍ରତ୍ୟକ୍ଷ ଦାୟିତ୍ଵ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ।

Answer:
1. x
2. ✓
3. x
4. x
5. ✓
6. x
7. ✓
8. ×
9. ✓
10. ×
11. x
12. ✓

E. ‘କ’ ସ୍ତମ୍ଭ ସହିତ ‘ଖ’ ସ୍ତମ୍ଭର ମିଳନ କର ।

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class History Important Questions Chapter 9 ୧୯୩୬ ମସିହା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଓଡ଼ିଆ ଆନ୍ଦୋଳନ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ Important Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 History Important Questions Chapter 9 ୧୯୩୬ ମସିହା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଓଡ଼ିଆ ଆନ୍ଦୋଳନ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ

Subjective Type Questions With Answers

ଦୀର୍ଘ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୬୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

1. ଓଡ଼ିଆ ଭାଷା ଆନ୍ଦୋଳନରେ ସମ୍ବଲପୁରବାସୀମାନଙ୍କର ଭୂମିକା କ’ଣ ଥିଲା ?
Answer:

• ୧୮୯୫ ମସିହା ଜାନୁଆରୀ ୧୫ ତାରିଖରେ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରଦେଶର ମୁଖ୍ୟ କମିଶନର ସାର୍ ଆଣ୍ଡ୍ରାଫ୍ରେଜର ସମ୍ବଲପୁର କୋର୍ଟ କଚେରୀମାନଙ୍କରୁ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷା ଉଚ୍ଛେଦ କରି ହିନ୍ଦୀ ଭାଷା ପ୍ରଚଳନ କରିଥିଲେ ।
• ନୀଳମଣି ବିଦ୍ୟାରମୂଙ୍କ ସମ୍ପାଦନାରେ ପ୍ରକାଶିତ ‘ସମ୍ବଲପୁର ହିତୈଷିଣୀ’ ପତ୍ରିକାରେ ଏହାକୁ ସମାଲୋଚନା କରାଯାଇଥିଲା ।
• ସମ୍ବଲପୁର ଅଞ୍ଚଳର ଧରଣୀଧର ମିଶ୍ର, ମଦନମୋହନ ମିଶ୍ର, ବ୍ରଜମୋହନ ପଟ୍ଟନାୟକ ଓ ବଳଭଦ୍ର ସୂପକାର ପ୍ରଭୃତି ସଚେତନ ନାଗରିକମାନେ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷା ଆନ୍ଦୋଳନରେ ନେତୃତ୍ୱ ନେଇଥିଲେ ।
• ୧୯୦୧ ମସିହା ଅଗଷ୍ଟ ମାସରେ ସିମଳାଠାରେ ଲର୍ଡ଼ କର୍ଜନଙ୍କୁ ସମ୍ବଲପୁରର ନେତୃସ୍ଥାନୀୟ ବ୍ୟକ୍ତିମାନେ ଏହି ମର୍ମରେ ସ୍ମାରକ ପତ୍ର ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ ।
• ଏହି ଦାବିଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କରିବାକୁ ଲର୍ଡ କର୍ଜନ ପ୍ରତିଶ୍ରୁତି ଦେଇଥିଲେ ଏବଂ ସେ ସମ୍ପର୍କରେ ସାର୍ ଆଣ୍ଡ୍ରାଫ୍ରେଜରକୁ ପତ୍ର ଲେଖିଲେ ।

2. ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍ଗ ଓଡ଼ିଶାର ସ୍ଵପ୍ନକୁ ସାକାର କରିବାପାଇଁ ମଧୁବାବୁଙ୍କ ଆନ୍ତରିକ ଉଦ୍ୟମ ଉଲ୍ଲେଖ କର ।
Answer:

• ପୂର୍ଣାଙ୍ଗ ଓଡ଼ିଶାର ସ୍ବପ୍ନକୁ ସାକାର କରିବାପାଇଁ ମଧୁବାବୁ ୧୯୦୭ରେ ଇଂଲଣ୍ଡ ଯାତ୍ରା କରି ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ କରିବା ନିମନ୍ତେ ଭାରତ ଶାସନ ସହିତ ସମ୍ପୃକ୍ତ କର୍ମକର୍ତ୍ତାଙ୍କୁ ପ୍ରବର୍ତ୍ତାଇ ଥିଲେ ।
• ବିହାର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରାଦେଶିକ ଲେନିସ୍‌ଲେଟିଭ କାଉନ୍ସିଲର ସଭ୍ୟ ଭାବେ ମଧୁବାବୁ ଓଡ଼ିଶା ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ପାଇଁ ଦାବି ଉପସ୍ଥାପନ କରିଥିଲେ ।
• ୧୯୧୨ ଏପ୍ରିଲ୍ ୬ ଓ ୭ ତାରିଖରେ ବ୍ରହ୍ମପୁରଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଷ୍ଟମ ଅଧିବେଶନରେ ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନକୁ ମଧୁବାବୁ ବିରୋଧ କରିଥିଲେ ।
• ୧୯୧୭ ଡିସେମ୍ବର ୧୧ରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ ତରଫରୁ ମଧୁବାବୁଙ୍କ ନେତୃତ୍ୱରେ ସାତଜଣ ସଭ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ କମିଟି କଲିକତାଠାରେ ମଣ୍ଟେଗୁ ଓ ଚେମ୍ସଫୋର୍ଡଙ୍କୁ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳଗୁଡ଼ିକର ମିଶ୍ରଣ ସମ୍ପର୍କରେ ଏକ ଦାବିପତ୍ର ଦେଇଥିଲେ ।
• ମଧୁବାବୁଙ୍କ ଦୀର୍ଘଦିନର ଆନ୍ତରିକ ଉଦ୍ୟମ ଓ ଅନ୍ୟ ନେତୃସ୍ଥାନୀୟ ବ୍ୟକ୍ତିମାନଙ୍କ ସହଯୋଗ ଫଳରେ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ଗଠନ ସ୍ବପ୍ନ ସାକାର ହୋଇପାରିଥିଲା ।

3. ମଣ୍ଡେଗୁ-ଚେମସ୍କୋର୍ଡ଼ ଶାସନ ଖସଡ଼ା କେବେ ଓ କାହିଁକି ପ୍ରସ୍ତୁତ ହେଲା ଓ ଏହା ଓଡ଼ିଶାବାସୀଙ୍କ ମନରେ କାହିଁକି ଦୁଃଖ ଦେଇଥୁଲା ?
Answer:

1. ୧୯୧୭ ମସିହାରେ ଭାରତ ସଚିବ ଇ.ଏସ୍. ମଣ୍ଡେଗୁ ଭାରତରେ ସ୍ୱାୟତ୍ତ ଶାସନର ବିକାଶ ନିମନ୍ତେ ବଡ଼ଲାଟ୍ ଲର୍ଡ଼ ଚେମ୍ସଫୋର୍ଡ଼ଙ୍କ ସହିତ ଆଲୋଚନା କରିବାପାଇଁ ଭାରତ ଆସିଥିଲେ ।
2. ୧୯୧୭ ଡିସେମ୍ବର ୧୧ ରେ ‘ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ’ ତରଫରୁ ମଧୁବାବୁଙ୍କ ନେତୃତ୍ୱରେ ସାତଜଣ ସଭ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ କମିଟି କଲିକତାଠାରେ ମଣ୍ଟେଗୁ ଓ ଚେମ୍ସଫୋର୍ଡ଼ଙ୍କୁ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳଗୁଡ଼ିକର ମିଶ୍ରଣ ସମ୍ପର୍କରେ ଏକ ଦାବିପତ୍ର ଦେଇଥିଲେ ।
3. କିନ୍ତୁ ୧୯୧୮ରେ ପ୍ରସ୍ତୁତ ମଣ୍ଟେଗୁ ଚେମ୍ସଫୋର୍ଡ଼ ଖସଡ଼ାରେ ଓଡ଼ିଶାର ବିଚ୍ଛିନ୍ନାଞ୍ଚଳ ଏକତ୍ରୀକରଣ ନିମନ୍ତେ କୌଣସି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଶାସନ ଯୋଜନା ନଥିଲା ।
4. ୧୯୧୯ ଭାରତ ଆଇନରେ ମଧ୍ୟ ଓଡ଼ିଆମାନଙ୍କ ପାଇଁ କୌଣସି ସୁବିଧା ରଖାଯାଇନଥିଲା ।
5. ଏହା ଓଡ଼ିଶାବାସୀଙ୍କ ମନରେ ଦୁଃଖ ଦେଇଥିଲା ।

କ୍ଷୁଦ୍ର ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୩୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

1. ସିହ୍ନା ପ୍ରସ୍ତାବ କିଏ, କେବେ ଆଗତ କରିଥିଲେ ? କେଉଁମାନେ ଏହି ପ୍ରସ୍ତାବରେ ରାଜି ହୋଇନଥିଲେ ?
Answer:

• ୧୯୨୦ ଫେବୃୟାରୀ ୨୦ରେ କେନ୍ଦ୍ରରେ ସମ୍ରାଟଙ୍କ ବିଧାୟକ ପରିଷଦରେ ‘ସିହ୍ନା ପ୍ରସ୍ତାବ’ ସଚ୍ଚିଦାନନ୍ଦ ସିହ୍ନା ଆଗତ କରିଥିଲେ ।
• ବଙ୍ଗ, ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ଓ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରଦେଶରେ ଥ‌ିବା ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାଭାଷୀ ଅଞ୍ଚଳଗୁଡ଼ିକୁ ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶର ଓଡ଼ିଶା ଡ଼ିଭିଜନରେ ମିଶାଇ ଦିଆଯାଉ ବୋଲି ପ୍ରସ୍ତାବ ଦେଇଥିଲେ ।
• କିନ୍ତୁ ବଙ୍ଗ, ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ଓ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରଦେଶ ସରକାର ଏହି ପ୍ରସ୍ତାବରେ ରାଜି ହୋଇନଥିଲେ ।

2. ଫିଲିପ୍-ଡଫ୍ କମିଟି କେବେ ଓ କ’ଣ ପାଇଁ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ? ଏଥିରେ କେଉଁମାନେ ସଦସ୍ୟ ଥିଲେ ?
Answer:

• ୧୯୨୪ ମସିହାର ଶେଷ ଭାଗରେ ଫିଲିପ୍-ଡଫ୍ କମିଟି ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଗଞ୍ଜାମର ଓଡ଼ିଶାରେ ମିଶ୍ରଣ ଦାବିରେ ଯଥାର୍ଥତା ଅନୁଧ୍ୟାନ କରିବାପାଇଁ ଏହି କମିଟି ଗଟନ କରାଯାଇଥିଲା ।
• ଏହି କମିଟିର ସଦସ୍ୟ ଥିଲେ ଗଡ଼ଜାତ ରାଜ୍ୟ ସମୂହର ପଲିଟିକାଲ୍ ଏଜେଣ୍ଟ ସି. ଏଲ୍. ଫିଲିପ୍ ଓ ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ପ୍ରେସିଡ଼େନ୍ସିର ବେଲା ଜିଲ୍ଲାର ଜିଲ୍ଲାପାଳ ଏ.ସି.ଡଫ୍ ।

3. ଅଟଲି ସବ୍ କମିଟି କ’ଣ ପାଇଁ ଓ କାହା ଅଧ୍ଯକ୍ଷତାରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ? ଏହାର ସୁପାରିଶ କାହିଁକି କାର୍ଯ୍ୟକାରୀ ହୋଇପାରି ନଥିଲା ?
Answer:

1. ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ସମ୍ପର୍କରେ ମତାମତ ଦେବାପାଇଁ ଅଟଲି ସବ୍ କମିଟି ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
2. ଏହାର ଅଧ୍ୟକ୍ଷ ଥିଲେ ସାଇମନ କମିଶନର ଅନ୍ୟତମ ସଦସ୍ୟ ସି.ଆର୍. ଅଟଲି ।
3. ଏହାର ସୁପାରିସ ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ସରକାରଙ୍କ ବିରୋଧ ଯୋଗୁଁ କାର୍ଯ୍ୟକାରୀ ହୋଇପାରି ନଥିଲା ।

4. ପ୍ରଥମ ଗୋଲଟେବୁଲ ବୈଠକରେ କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତିଙ୍କର ତିନିଗୋଟି ମୁଖ୍ୟ କାର୍ଯ୍ୟ କ’ଣ ଥିଲା ?
Answer:

• ପ୍ରଥମତଃ କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି ‘ଓଡ଼ିଆମାନଙ୍କ ଦାବି ଓ ଯୁକ୍ତି’ ନାମକ ଏକ ପୁସ୍ତିକା ପ୍ରଥମ ଗୋଲଟେବୁଲ ବୈଠକରେ ପ୍ରତିନିଧିମାନଙ୍କୁ ବିତରଣ କରିଥିଲେ ।
• ଦ୍ଵିତୀୟତଃ ୧୯୩୧ ଜାନୁଆରୀ ୧୬ ତାରିଖରେ ସେ ଏକ ଐତିହାସିକ ଭାଷଣ ମାଧ୍ୟମରେ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନର ଯୌକ୍ତିକତା ଉପସ୍ଥାପିତ କରିଥିଲେ ।
• ତୃତୀୟତଃ ସେ ଇଂଲଣ୍ଡର ଭାରତ ସଚିବ ସାମୁଏଲ ହୋରଙ୍କୁ ଲଣ୍ଡନଠାରେ ସାକ୍ଷାତ କରି ଓଡ଼ିଆମାନଙ୍କର ଦାବି ସମ୍ପର୍କରେ ଅବଗତ କରାଇଥିଲେ ।

5. ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ସମ୍ପର୍କରେ କିଏ ଘୋଷଣା କରିଥିଲେ ? ଏ ସମ୍ପର୍କିତ ଶ୍ବେତପତ୍ର କେବେ ପ୍ରକାଶ ପାଇଥିଲା ଓ ଏଥିରେ କ’ଣ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇଥିଲା ?
Answer:

• ଭାରତ ସଚିବ ସାମୁଏଲ୍ ହୋର୍ ଏକ ପୃଥକ୍ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନର ଘୋଷଣା କରିଥିଲେ ।
• ତୃତୀୟ ଗୋଲଟେବୁଲ ବୈଠକ ପରେ ୧୯୩୩ ମାର୍ଚ୍ଚ ୧୭ରେ ଏ ସମ୍ପର୍କିତ ଶ୍ବେତପତ୍ର ପ୍ରକାଶ ପାଇଥିଲା ।
• ଏଥୁରେ ଓଡ଼ିଶା ଏକ ରାଜ୍ୟପାଳ ଶାସିତ ପୂର୍ଣାଙ୍ଗ ପ୍ରଦେଶ ରୂପେ ଗଠିତ ହେବ ବୋଲି ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇଥିଲା ।

6. ମିଳିତ ସଂସଦୀୟ କମିଟି କେବେ ଓ କେଉଁମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ? ଏହାର ଅଧ୍ୟକ୍ଷ କିଏ ଥିଲେ ? ଏହାଦ୍ଵାରା ଓଡ଼ିଶାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳକୁ କେତେ ବର୍ଗ ମାଇଲ୍‌କୁ ବୃଦ୍ଧି କରାଯାଇଥିଲା ?
Answer:

1. ୧୯୩୩ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ ମାସରେ ବ୍ରିଟିଶ ପାର୍ଲିଆମେଣ୍ଟର ଉଭୟ ଗୃହର ୧୬ ଜଣ ସଦସ୍ୟଙ୍କୁ ନେଇ ମିଳିତ ସଂସଦୀୟ କମିଟି ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
2. ଏହାର ଅଧ୍ୟକ୍ଷ ଥିଲେ ଲର୍ଡ଼ ଲିନ୍‌ଲିଥ୍‌ ।
3. ଏହାଦ୍ଵାରା ଓଡ଼ିଶାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ୩୨,୬୯୫ ବର୍ଗମାଇଲକୁ ବୃଦ୍ଧି କରାଯାଇଥିଲା ।

ସଂଷିପ୍ତ ଉତ୍ତରମୂଳକ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୨୦ ଗୋଟି ଶବ୍ଦରେ ଲେଖ ।

1. ଇଂରେଜମାନେ କେବେ ଗଞ୍ଜାମ ଅଞ୍ଚଳକୁ ଅଧିକାର କଲେ ଓ କାହା ସହିତ ମିଶାଇ ଦେଇଥିଲେ ?
Answer:

• ୧୭୫୯ ମସିହାରେ ଇଂରେଜମାନେ ଗଞ୍ଜାମ ଅଞ୍ଚଳକୁ ଅଧିକାର କରିଥିଲେ ।
• ସେମାନେ ଏହାକୁ ମାଡ୍ରାସ ପ୍ରେସିଡ଼େନ୍ସିରେ ମିଶାଇ ଦେଇଥିଲେ ।

2. କିଏ କେବେ ବଙ୍ଗଳା ଭାଷାକୁ ସରକାରୀ ଭାଷାର ମାନ୍ୟତା ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ ?
Answer:

• କଟକର ତତକାଳୀନ କଲେକ୍ଟର ବଙ୍ଗଳା ଭାଷାକୁ ସରକାରୀ ଭାଷାର ମାନ୍ୟତା ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ ।
• ସେ ୧୮୪୯ ମସିହାରେ ଏହା କରିଥିଲେ ।

3. ଗଞ୍ଜାମ ଅଞ୍ଚଳକୁ ଓଡ଼ିଶାରେ ମିଶାଇବାପାଇଁ କେଉଁ ସଂଗଠନ ଗଠନ କରାଯାଇଥିଲା ? ଏହାର କାର୍ଯ୍ୟ କ’ଣ ଥିଲା ?
Answer:

1. ଗଞ୍ଜାମ ଅଞ୍ଚଳକୁ ଓଡ଼ିଶାରେ ମିଶାଇବାପାଇଁ ‘ଗଞ୍ଜାମ ଉତ୍କଳ ହିତବାଦିନୀ ସଭା’ ନାମକ ଏକ ସଂଗଠନ ଗଠନ କରାଯାଇଥ୍ଲା
2. ଗଞ୍ଜାମ ଅଞ୍ଚଳକୁ ମାଡ୍ରାସ ପ୍ରେସିଡ଼େନ୍ସି ଅଧୀନରୁ ଆଣି ଓଡ଼ିଶାରେ ମିଶାଇବା ପାଇଁ ଏହି ସଂଗଠନ ଦାବି ଉପସ୍ଥାପନ କରିଥିଲା ।

4. ସାର୍ ଆଣ୍ଡ୍ରାଫ୍ରେଜର କିଏ ? ତାଙ୍କୁ ସମ୍ବଲପୁରବାସୀ କାହିଁକି ମନେ ରଖୁଛନ୍ତି ?
Answer:

• ସାର୍ ଆଣ୍ଡ୍ରାଫ୍ରେଜର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରଦେଶର ମୁଖ୍ୟ କମିଶନର ଥିଲେ ।
• ସେ ୧୮୯୫ ଜାନୁଆରୀ ୧୫ ରେ ସମ୍ବଲପୁର କୋର୍ଟ କଚେରୀରୁ ଓଡ଼ିଆ ଭାଷା ଉଚ୍ଛେଦ କରି ହିନ୍ଦୀ ଭାଷା ପ୍ରଚଳନ କରିଥିବାରୁ ତାଙ୍କୁ ସମ୍ବଲପୁରବାସୀ ମନେ କରିଛନ୍ତି ।

5. ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ନାମକ ଏକ ନୂତନ ପ୍ରଦେଶ କେବେ ଗଠିତ ହେଲା ? ଏହାକୁ ଓଡ଼ିଆମାନେ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ କି ?
Answer:

• ୧୯୧୨ ଅଗଷ୍ଟ ୧ ତାରିଖରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ନୂତନ ପ୍ରଦେଶ ।
• ଏହାକୁ ଓଡ଼ିଆମାନେ ଗ୍ରହଣ କରିନଥିଲେ ।

6. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଷ୍ଟମ ଅଧୂବେଶନ କେଉଁଠାରେ ବସିଥିଲା ? ଏଥରେ ମଧୁବାବୁ କାହାକୁ ବିରୋଧ କଲେ ?
Answer:

1. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଷ୍ଟମ ଅଧିବେଶନ ବ୍ରହ୍ମପୁରଠାରେ ବସିଥିଲା ।
2. ଏଥରେ ମଧୁବାବୁ ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନକୁ ବିରୋଧ କରିଥିଲେ ।

7. ଭାରତର କେଉଁ ପୂର୍ବତନ ବଡ଼ଲାଟ୍‌ କେଉଁଠାରେ ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନକୁ ସମାଲୋଚନା କରିଥିଲେ ?
Answer:

• ଭାରତର ପୂର୍ବତନ ବଡ଼ଲାଟ ଲର୍ଡ଼ କର୍ଜନ ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ନୂତନ ପ୍ରଦେଶ ଗଠନକୁ ସମାଲୋଚନା କରିଥିଲେ ।
• ସେ ୧୯୧୨ ମସିହା ଫେବୃୟାରୀ ୧ ତାରିଖରେ ଇଂଲଣ୍ଡର ଲର୍ଡ଼ ସଭାରେ ଏହା କରିଥିଲେ ।

8. ଭାରତ ସଚିବ ଇ.ଏସ୍. ମଣ୍ଡେଗୁ କେବେ ଓ କାହିଁକି ଭାରତ ଆସିଥିଲେ ?
Answer:

• ଭାରତ ସଚିବ ଇ.ଏସ୍. ମଣ୍ଟେଗୁ ୧୯୧୭ ମସିହାରେ ଭାରତ ଆସିଥିଲେ ।
• ଭାରତରେ ସ୍ୱାୟତ୍ତ ଶାସନର ବିକାଶ ନିମନ୍ତେ ବଡଲାଟ୍ ଲର୍ଡ ଚେମ୍ପୋର୍ଡ଼ଙ୍କ ସହିତ ଆଲୋଚନା କରିବାପାଇଁ ସେ ଭାରତ ଆସିଥିଲେ ।

9. ବିଶ୍ଵନାଥ କର ଓ ଶଶିଭୂଷଣ ରଥ କେଉଁ ପରିଷଦର ସଦସ୍ୟ ଥିଲେ ?
Answer:

1. ୧୯୨୧ ମସିହାରେ ବିହାର-ଓଡ଼ିଶା ବିଧାନ ପରିଷଦର ସଦସ୍ୟ ଥିଲେ ବିଶ୍ବନାଥ କର ।
2. ସେହି ସମୟରେ ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ବିଧାନ ପରିଷଦର ସଦସ୍ୟ ଥିଲେ ଶଶିଭୂଷଣ ରଥ ।

10. ସାଇମନ କମିଶନକୁ ଭାରତରେ କେଉଁମାନେ ବିରୋଧ କରିଥିଲେ ଓ କେଉଁମାନେ ତାଙ୍କୁ ସ୍ବାଗତ କରିଥିଲେ ?
Answer:

• ସାଇମନ କମିଶନକୁ ଭାରତୀୟ କଂଗ୍ରେସ ଓ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରାଦେଶିକ କଂଗ୍ରେସ ବିରୋଧ କରୁଥିଲେ ।
• କିନ୍ତୁ ଉତ୍କଳ-ସମ୍ମିଳନୀର ସଭ୍ୟମାନେ ପାଟନାଠାରେ କମିଶନକୁ ସ୍ବାଗତ ସମ୍ବର୍ଦ୍ଧନା ଜଣାଇଥିଲେ ।

Objective Type Questions with Answers
A. ଗୋଟିଏ ବାକ୍ୟରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

1. ଅଟଲି ସବ୍ କମିଟିର ସୁପାରିସ କ’ଣ ଥିଲା ?
Answer:
ଅଟଲି ସବ୍‌ କମିଟିର ସୁପାରିସ ଥିଲା ଯେ– ‘ଓଡ଼ିଆମାନଙ୍କର ଦାବି ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ଏବଂ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ସାର୍ବଜନୀନ ମତ’ ।

2. ପ୍ରଥମ ଗୋଲଟେବୁଲ ବୈଠକ କେବେ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ କେବେ ଶେଷ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ପ୍ରଥମ ଗୋଲଟେବୁଲ ବୈଠକ ଲଣ୍ଡନରେ ୧୯୩୦ ମସିହା ନଭେମ୍ବର ୧୨ ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ ୧୯୩୧ ମସିହା ଜାନୁଆରୀ ୧୯ରେ ଶେଷ ହୋଇଥିଲା ।

3. ପ୍ରଥମ ଗୋଲଟେବୁଲ ବୈଠକ ସମୟରେ ଇଂଲଣ୍ଡର ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ କିଏ ଥିଲେ ?
Answer:
ପ୍ରଥମ ଗୋଲଟେବୁଲ ବୈଠକ ସମୟରେ ଇଂଲଣ୍ଡର ପ୍ରଧାନମନ୍ତ୍ରୀ ଥିଲେ ଇଉନ୍‌ଷ୍ଟନ୍‌ ଚର୍ଚ୍ଚିଲ ।

4. ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର କରାଚୀ ଅଧୂବେଶନ କେବେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥଲା?
Answer:
ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର କରାଚୀ ଅଧୂବେଶନ ୧୯୩୧ ମସିହା ମାର୍ଚ୍ଚ ୨୯ ତାରିଖରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

5. ଓଡ଼ିଶା ପାଇଁ କେବେ ଏକ ସୀମା ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କମିଟି ଗଠନ କରାଯାଇଥିଲା ?
Answer:
୧୯୩୧ ମସିହା ସେପ୍ଟେମ୍ବର ୧୩ ତାରିଖରେ ଓଡ଼ିଶା ପାଇଁ ଏକ ସୀମା ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କମିଟି ଗଠନ କରାଯାଇଥିଲା ।

6. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଜରୁରୀ ଅଧ୍ଵବେଶନ କେବେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଜରୁରୀ ଅଧିବେଶନ ଲକ୍ଷ୍ମୀଧର ମହାନ୍ତିଙ୍କ ଅଧ୍ୟକ୍ଷତାରେ ୧୯୩୨ ମସିହା ଅଗଷ୍ଟ ୨୧ରେ ବ୍ରହ୍ମପୁରଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

7. ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ପାଇଁ ପ୍ରକାଶିତ ଶ୍ଵେତପତ୍ରରେ କ’ଣ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇଥିଲା ?
Answer:
ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ପାଇଁ ପ୍ରକାଶିତ ଶ୍ଵେତପତ୍ରରେ ଓଡ଼ିଶା ଏକ ରାଜ୍ୟପାଳ ଶାସିତ ପୂର୍ଣାଙ୍ଗ ପ୍ରଦେଶ ରୂପେ ଗଠିତ ହେବ ବୋଲି ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇଥିଲା ।

8. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ତ୍ରୟୋବିଂଶ ଅବେଶନ କେଉଁଠାରେ ବସିଥିଲା ?
Answer:
୧୯୩୪ ମସିହା ଫେବୃୟାରୀ ୧୧ ତାରିଖରେ ମଧୁସୂଦନ ପାଣିଗ୍ରାହୀଙ୍କ ସଭାପତିତ୍ବରେ କଟକଠାରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ତ୍ରୟୋବିଂଶ ଅଧିବେଶନ ବସିଥିଲା ।

9. ୧୯୩୩ ମସିହାରେ ଗଠିତ ‘ମିଳିତ ସଂସଦୀୟ କମିଟି’ କାହା ଅଧ୍ଯକ୍ଷତାରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
୧୯୩୩ ଏପ୍ରିଲ ମାସରେ ଲର୍ଡ଼ ଲିନ୍‌ଲିଷ୍ଟୋଙ୍କ ଅଧ୍ୟକ୍ଷତାରେ ‘ମିଳିତ ସଂସଦୀୟ କମିଟି’ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

10. ୧୯୩୪ ମସିହାରେ ଓଡ଼ିଶାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ବର୍ଗ ମାଇଲକୁ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିଲା ?
Answer:
୧୯୩୪ ମସିହାରେ ପ୍ରକାଶିତ ଶ୍ଵେତପତ୍ରରେ ଓଡ଼ିଶାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ୨୧, ୫୫୫ ବର୍ଗ ମାଇଲରୁ ବୃଦ୍ଧି ପାଇ ୩୨,୬୯୫ ବର୍ଗ ମାଇଲ୍ ହୋଇଥିଲା ।

11. ୧୯୩୫ ମସିହା ଭାରତ ଶାସନ ଆଇନର କେଉଁ ଧାରାଟି ଓଡ଼ିଶା ପାଇଁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଥିଲା ?
Answer:
୧୯୩୫ ମସିହା ଭାରତ ଶାସନ ଆଇନର ୨୮୯ ଧାରାଟି ଓଡ଼ିଶା ପାଇଁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଥିଲା ।

12. ଓଡ଼ିଶା ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ପ୍ରଦେଶ ଭାବେ କେବେ ଆତ୍ମପ୍ରକାଶ କରିଥିଲା ?
Answer:
୧୯୩୬ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ ୧ ତାରିଖରେ ଓଡ଼ିଶା ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ପ୍ରଦେଶ ଭାବେ ଆତ୍ମପ୍ରକାଶ କରିଥିଲା ।

13. ଇଂରେଜମାନେ କେଉଁ ନୀତିଦ୍ୱାରା ସମ୍ବଲପୁର ଦଖଲ କରିଥିଲେ ?
Answer:
୧୮୪୯ ମସିହାରେ ‘ରଜସ୍ବତ୍ୱ ଲୋପନୀତି’ଦ୍ଵାରା ଇଂରେଜମାନେ ସମ୍ବଲପୁର ଦଖଲ କରିଥିଲେ ।

14. ଓଡ଼ିଆ ଏକ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଭାଷା ନୁହେଁ ବୋଲି କିଏ ମତ ପ୍ରକାଶ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ବଙ୍ଗର ବିଶିଷ୍ଟ ଐତିହାସିକ ରାଜେନ୍ଦ୍ର ଲାଲ ମିତ୍ର ଓ ଅନ୍ୟମାନେ ଏହି ମତ ପ୍ରକାଶ କରିଥିଲେ ।

15. ‘ସମ୍ବଲପୁର ହିତୈଷିଣୀ’ ପତ୍ରିକାର ସମ୍ପାଦକ କିଏ ଥିଲେ ?
Answer:
‘ସମ୍ବଲ ହିତୈଷିଣୀ’ ପତ୍ରିକାର ସମ୍ପାଦକ ଥିଲେ ନୀଳମଣି ବିଦ୍ୟାରମ୍ଭ ।

B. ଗୋଟିଏ ଶବ୍ଦରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

1. ସମ୍ବଲପୁରକୁ ଇଂରେଜମାନେ ଯେଉଁ ନୀତିଦ୍ୱାରା ଅସ୍କୋର କରିଥିଲେ ।
Answer:
ରାଜସ୍ବତ୍ୱ ଲୋପନୀତି

2. ଓଡ଼ିଆ ଭାଷାର ସୁରକ୍ଷା ପାଇଁ ହୋଇଥିବା ଆନ୍ଦୋଳନ ।
Answer:
ଭାଷା ଆନ୍ଦୋଳନ

3. ଓଡ଼ିଶାର ପ୍ରଥମ ସମ୍ବାଦପତ୍ର ।
Answer:
ଉତ୍କଳ ଦୀପିକା

4. ବ୍ୟାସକବି ହିସାବରେ କିଏ ଖ୍ୟାତି ଅର୍ଜନ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ଫକୀରମୋହନ ସେନାପତି

5. ସମ୍ବଲପୁରରୁ ପ୍ରକାଶିତ ହେଉଥ‌ିବା ପତ୍ରିକା ।
Answer:
ସମ୍ବଲପୁର ହିତୈଷିଣୀ

6. ୧୯୦୩ ଡିସେମ୍ବରରେ ପ୍ରକାଶ ପାଇଥିବା ସର୍କୁଲାର ।
Answer:
ରିସ୍‌ଲେ ସର୍କୁଲାର

7. ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍ଗ ଓଡ଼ିଶାର ସ୍ବପ୍ନକୁ ସାକାର କରିଥିବା ‘ସଂଗଠନ’ ।
Answer:
ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀ

8. ଗଞ୍ଜାମକୁ ଓଡ଼ିଶାରେ ମିଶାଇବାପାଇଁ ଦାବିର ବିଚାର ପାଇଁ ଗଠିତ କମିଟି ।
Answer:
ଫିଲିପ୍ ଡପ୍ କମିଟି

9. ୧୯୨୮ ମସିହାରେ ଭାରତକୁ ଆସିଥ୍‌ ଏକ କମିଶନ ।
Answer:
ସାଇମନ କମିଶନ

10. ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ସମ୍ପର୍କରେ ମତାମତ ଦେବାପାଇଁ ଗଠିତ କମିଟି ।
Answer:
ଅଟ୍‌ଲି ସବ୍ କମିଟି

11. ପ୍ରଥମ ଗୋଲଟେବୁଲ ବୈଠକରେ ବିତରଣ କରାଯାଇଥିବା ପୁସ୍ତିକା ।
Answer:
ଓଡ଼ିଆମାନଙ୍କ ଦାବି ଓ ଯୁକ୍ତି

12. ଓଡ଼ିଶା ଏକ ରାଜ୍ୟପାଳ ଶାସିତ ପୂର୍ଣାଙ୍ଗ ପ୍ରଦେଶ ରୂପେ ଗଠିତ ହେବ ବୋଲି କେଉଁଥିରେ ପ୍ରକାଶ ପାଇଥିଲା ?
Answer:
ଶ୍ଵେତପତ୍ର

13. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ତ୍ରୟୋବିଂଶ ଅଧିବେଶନ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିବା ସ୍ଥାନ ।
Answer:
କଟକ

14. ୧୬ ଜଣ ସଦସ୍ୟଙ୍କୁ ନେଇ ଲର୍ଡ ଲିନ୍‌ଲିଥଗୋଙ୍କ ଅଧ୍ଯକ୍ଷତାରେ ଗଠିତ କମିଟି
Answer:
ମିଳିତ ସଂସଦୀୟ କମିଟି

15. ୧୯୩୫ ମସିହାରେ ଇଂରେଜ ସରକାରଦ୍ୱାରା ପ୍ରଣୀତ ଆଇନ ।
Answer:
ଭାରତ ଶାସନ ଆଇନ

C. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

1. ଓଡ଼ିଶାର _______ ରାଜ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଇଂରେଜମାନଙ୍କର ପରୋକ୍ଷ ଶାସନାଧୀନ ଥିଲା ।
Answer:
ଗଡ଼ଜାତ

2. ୧୭୫୯ ମସିହାରେ ଇଂରେଜମାନେ ଓଡ଼ିଶାର _______ ଅଞ୍ଚଳକୁ ଅତ୍‌କାର କରିଥିଲେ ।
Answer:
ଗଞ୍ଜାମ

3. ରାଜସ୍ବତ୍ୱ ଲୋପନୀତିଦ୍ୱାରା ଇଂରେଜମାନେ ଓଡ଼ିଶାର ________ ଅଞ୍ଚଳକୁ ଅଧିକାର କରିଥିଲେ ।
Answer:
ସମ୍ବଲପୁର

4.୧୮୪୯ରେ ବଙ୍ଗଳା ଭାଷାକୁ ସରକାରୀ ଭାଷାର ମାନ୍ୟତା ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ କଟକର ତତ୍‌କାଳୀନ ________ ।
Answer:
କଲେକ୍ଟର

5. ରାଜେନ୍ଦ୍ର ଲାଲ ମିତ୍ର ଥୁଲେ ବଙ୍ଗର ଜଣେ ବିଶିଷ୍ଟ ________ ।
Answer:
ଐତିହାସିକ

6. ସମୃଲପୁର କୋଟ କଚେରାରେ ________ ହିନ୍ଦୀ ଭାଷା ପ୍ରଚଳନ କରିଥିଲେ ।
Answer:
ସାର୍ ଆଣ୍ଡ୍ରାଫ୍ରେଜର

7. ଗଙ୍ଗାଧର ମେହେରଙ୍କୁ ______ କବି ଭାବରେ ଆଖ୍ୟା ଦିଆଯାଇଛି ।
Answer:
ସ୍ବଭାବ

8. ମଧୁବାବୁ ________ ଠାରେ ବଡ଼ଲାଟ୍ ଲର୍ଡ଼ କର୍ଜନଙ୍କୁ ସାକ୍ଷାତ କରିଥିଲେ ।
Answer:
ସିମଳା

9. ରିସ୍‌ଲେ ସର୍କୁଲାର ______ ମସିହାରେ ପ୍ରକାଶ ପାଇଥିଲା ।
Answer:
୧୯୦୩

10. ଲର୍ଡ଼ ଆମ୍ପୁଥୁଲ୍ _______ ର ଗଭର୍ଣ୍ଣର ଥିଲେ ।
Answer:
ମାନ୍ଦ୍ରାଜ

11. ମାନ୍ଦ୍ରାଜର ମୁଖ୍ୟ ଶାସନ ସଚିବ ଥିଲେ ______ ।
Answer:
ଏମ୍ ହାମରିକ୍

12. __________ ମସିହାରେ ଲର୍ଡ଼ ହାଡ଼ିଞ ପୂର୍ବାଞ୍ଚଳ ରାଜ୍ଯସୀମା ପରିବର୍ତ୍ତନ ପାଇଁ ଘୋଷଣା କରିଥିଲେ ।
Answer:
୧୯୧୧

13. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଷ୍ଟମ ଅଧିବେଶନ ________ ଠାରେ ବସିଥିଲା ।
Answer:
ବ୍ରହ୍ମପୁର

14. ବିକ୍ରମଦେବ ବର୍ମା ________ ର ରାଜା ଥିଲେ ।
Answer:
ଜୟପୁର

15. ଏକ ପୃଥକ୍ ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ ବିଷୟରେ ___________ ଘୋଷଣା କରିଥିଲେ ।
Answer:
ସାମୁଏଲ ହୋର

D. ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ (✓) ଚିହ୍ନ ଓ ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ (×) ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।

1. ୧୯୧୯ ମସିହାରେ ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଧିବେଶନ ପୁରୀଠାରେ ବସିଥିଲା ।
2. ରାଜେନ୍ଦ୍ର ଭଞ୍ଜଦେଓ କନିକାର ରାଜା ଥିଲେ ।
3. ଉତ୍କଳ ସମ୍ମିଳନୀର ଅଷ୍ଟମ ଅଧ୍ଵବେଶନ ୧୯୧୪ ମସିହାରେ ବସିଥିଲା ।
4. ୧୯୧୯ ଭାରତ ଆଇନରେ ଓଡ଼ିଆମାନଙ୍କ ପାଇଁ କୌଣସି ସୁବିଧା ରଖାଯାଇନଥିଲା ।
5. ସମ୍ରାଟଙ୍କ ବିଧାୟକ ପରିଷଦରେ ସିହ୍ନା ପ୍ରସ୍ତାବ ୧୯୨୧ ମସିହାରେ ଆଗତ କରାଯାଇଥିଲେ ।
6. ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ବିଧାନ ପରିଷଦର ସଭ୍ୟ ଥିଲେ ଶଶିଭୂଷଣ ରଥ ।
7. ୧୯୨୫ ମସିହାର ଶେଷ ଭାଗରେ ଫିଲପ-ଡଫ୍ କମିଟି ଗଠନ କରାଯାଇଥିଲା ।
8. ମାନ୍ଦ୍ରାଜ ସରକାର ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ଓଡ଼ିଶା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନକୁ ଘୋର ବିରୋଧ କରୁଥିଲେ ।
9. ସାଇମନ କମିଶନ ୧୯୨୯ ମସିହାରେ ଭାରତରେ ପଦାର୍ପଣ କରିଥିଲା ।
10. କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ବିଧାୟକ ସଭାର ସଦସ୍ୟ ଥିଲେ ଡକ୍ଟର ସୁରୱାର୍ଦ୍ଦି ।
11. ପ୍ରଥମ ଗୋଲଟେବୁଲ ବୈଠକରେ ମଧୁବାବୁ ଯୋଗ ଦେଇଥିଲେ ।
12. ବର୍ତ୍ତମାନ କରାଚୀ ପାକିସ୍ତାନରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
13. ୧୯୩୧ରେ ଗଠିତ ସୀମା ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କମିଟିରେ ତିନିଜଣ ସଦସ୍ୟ ଥିଲେ ।
14. ୧୯୩୪ ମସିହାରେ କୃଷ୍ଣଚନ୍ଦ୍ର ଗଜପତି ପରଲୋକ ଗମନ କରିଥିଲେ
15. ବ୍ରିଟିଶ ପାର୍ଲାମେଣ୍ଟର ୧୬ ଜଣ ସଦସ୍ୟଙ୍କୁ ନେଇ ମିଳିତ ସଂସଦୀୟ କମିଟି ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

Answer:
1. ✓
2. ✓
3. x
4. ✓
5. ×
6. ✓
7. x
8. ✓
9. x
10. ✓
11. x
12. ✓
13. ✓
14. x
15. ✓

E. ‘କ’ ସ୍ତମ୍ଭ ସହିତ ‘ଖ’ ସ୍ତମ୍ଭର ମିଳନ କର ।

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Algebra Chapter 3 ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି

→ ଅନୁକ୍ରମ (Sequence) :
ଗୋଟିଏ ନିୟମକୁ ଭିଭିକରି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମ (order)ରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ସମୂହକୁ ଏକ ଅନୁକ୍ରମ (sequence) କୁହାଯାଏ ।
ଉଦାହରଣ୍ୟରୂପ : 3, 6, 9, 12 …….., 1, 3, 5, 7…….. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\), …… 2, 6, 18, 54 ….. ଇତ୍ୟାଦି ।

• ଅନୁକ୍ରମରେ ଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପଦ (term) କୁହାଯାଏ । ଅନୁକ୍ରମର ବିଶେଷତ୍ଵ ହେଲା, ପ୍ରଥମ ତିନୋଟି କିମ୍ବା ଚାରୋଟି ପଦକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରି ଏହାର ପରବର୍ତ୍ତୀ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଜାଣିହୁଏ ।
• ଅନୁକ୍ରମର ପଦଗୁଡିକୁ ପ୍ରଥମ ପଦ (first term) ବା t₁, ଦ୍ବିତୀୟ ପଦ (second term) t₂, ତୃତୀୟ ପଦ (third term) t₃, ଚତୁର୍ଥ ପଦ (fourth term) t₄, ସେହପରି n ତମ ପଦ t_n ଦ୍ଵାରା ସୂଚାଯାଇଥାଏ ।
• n ତମ ପଦ (t_n) କୁ ଅନୁକ୍ରମର ସାଧାରଣ ପଦ (General term) କୁହାଯାଏ ।
• ଯଦି t_n+1 = t_n+2 = ……… = 0 (ଶୂନ) ତେବେ ଅନୁକ୍ରମଟି t₁, t₂, t₃ ……… t_n ଓ ଏହା ସସୀମ ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ବିଶିଷ୍ଟ ।
• ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ନିୟମକୁ ନେଇ କ୍ରମରେ ଥ‌ିବା ଅନୁକ୍ରମକୁ ଗୋଟିଏ ପ୍ରଗତି (Progression) କୁହାଯାଏ ।

→ ପ୍ରଗତି ସଧାରଣତଃ ତିନି ପ୍ରକାରର :

• ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (Arithmetic Progression)
• ଗୁଣୋତ୍ତର ପ୍ରଗତି (Geometric Progression)
• ହରାମକ ପ୍ରଗତି (Harmonic Progression)

→ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (Arithmetic Progression) A.P. :
ଯଦି କୌଣସି ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରୁ (ପ୍ରଥମଟିକୁ ଛାଡ଼ି) ପୂର୍ବ ପଦର ବିୟୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ଅନୁକ୍ରମଟିକୁ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.) କୁହାଯାଏ । ଏଠାରେ ବିୟୋଗଫଳକୁ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର (Common difference) କୁହାଯାଏ । ଏହାର ସଂକେତ ‘d’ ।
∴ A.P. ପାଇଁ t₂ – t₁ = t₃ – t₂ = t₄ – t₃ = t_n – t_n-1 = d ଅଟେ ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ A.P. ଗୋଟିଏ ଅନୁକ୍ରମ; କିନ୍ତୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନୁକ୍ରମ ଗୋଟିଏ A.P. ନହୋଇପାରେ ।

→ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର n ତମ ପଦ ନିଶ୍ଚୟ :
ମନେକର A.P.ର ପ୍ରଥମ ପଦ = a ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର = d ହେଲେ,

∴ A.P.ର n ତମ ପଦର ସୂତ୍ର : t = a + (n – 1) d

A.P. ରେ ଥିବା ସାଧାରଣତଃ ପ୍ରଥମ ପଦକୁ a ଓ ସାଧାରଣ ଅନ୍ତରକୁ ‘d’ ନିଆଯାଇଥାଏ ।
A.P. ରେ ଥ‌ିବା ଅନୁକ୍ରମର ସଧାରଣ ରୂପଟି a, a+d, a +2d, a+3d ………. ହୋଇଥାଏ ।

→ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର ପ୍ରଥମ n-ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ସମଷ୍ଟି ନିଶ୍ଚୟ :
A.P.ର ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ପଦର ଯୋଗଫଳର ସୂତ୍ରକୁ ପ୍ରଥମେ ଜର୍ମାନୀର ବିଖ୍ୟାତ ଗଣିତଜ୍ଞ ଗସ୍ (Gauss) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିଥିଲେ ।
ଗସ୍‌ଙ୍କ ଯୋଗଫଳର ପଦ୍ଧତି ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ।
ମନେକର 1 ରୁ 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ଯୋଗଫଳ S₁₀₀


ଯଦି A.P.ର ପ୍ରଥମ ପଦ = a, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର d = 0 ହୁଏ,
ତେବେ S = a + a + a + a ……. n ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ = na ହେବ । ∴ S_n = na

→ ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିର

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଗକଲେ
• ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରୁ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ
• ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ ‘0’ ବ୍ୟତୀତ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କଲେ
• ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ 0 ବ୍ୟତୀତ ସମାନ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ଲବ୍‌ଧ ଅନୁକ୍ରମଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ A.P. ରେ ରହିବ ।

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class History Notes Chapter 1 ଭାରତୀୟ ଜାତୀୟ ଆନ୍ଦୋଳନରେ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ ଆବିର୍ଭାବ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 History Notes Chapter 1 ଭାରତୀୟ ଜାତୀୟ ଆନ୍ଦୋଳନରେ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ ଆବିର୍ଭାବ

ବିଷୟଭିଭିକ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

→ ଭାରତୀୟ ଜାତୀୟ ଆନ୍ଦୋଳନରେ ଗାନ୍ଧିଜୀ :

• ପୃଥ‌ିବୀ ଇତିହାସ ପୃଷ୍ଠାରେ ଉଲ୍ଲିଖ୍ ବିଶିଷ୍ଟ ବ୍ୟକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଭାରତର ମହାନ୍ ଜନନାୟକ ତଥା ସ୍ଵାଧୀନତା ଆନ୍ଦୋଳନର କର୍ଣ୍ଣଧାର ମହାତ୍ମା ଗାନ୍ଧି ଅନ୍ୟତମ ।
  

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପରିଚୟ:
ପୂରା ନାମ : ମୋହନଦାସ କରମଚାନ୍ଦ ଚାନ୍ଧି
ଜନ୍ମ ତାରିଖ : ଅକ୍ଟୋବର ୨, ୧୮୬୯
ଜନ୍ମସ୍ଥାନ : ପୋରବନ୍ଦର (ଗୁଜରାଟ)
ବିବାହ : ୧୮୮୨ ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦ
ପତ୍ନୀଙ୍କ ନାମ : କସ୍ତୁରବା ଗାନ୍ଧି (ଶ୍ରଦ୍ଧାନାମ – ବା)
ଇଂଲଣ୍ଡ ଯାତ୍ରା : : ୧୮୮୮ ଅକ୍ଟୋବର
ଆଇନ ଶିକ୍ଷା ସମାପ୍ତି : ୧୮୯୧ ଜୁନ୍
ଆଇନ ବ୍ୟବସାୟ ଆରମ୍ଭ : ୧୮୯୫ ଜୁନ୍ (ରାଜକୋଟ ଓ ବମ୍ବେଠାରେ)

→ ଦକ୍ଷିଣ ଆଫ୍ରିକାରେ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ କାର୍ଯ୍ୟାବଳୀ :

• ଦାଦା ଅବଦୁଲ୍ଲା ନାମକ ଜଣେ ଭାରତୀୟ ମୁସଲମାନ ବ୍ୟବସାୟୀଙ୍କ ମୋକଦ୍ଦମା ଲଢ଼ିବାପାଇଁ ଗାନ୍ଧିଜୀ ଦକ୍ଷିଣ ଆଫ୍ରିକାର ନାଟାଲ୍ ନାମକ ସ୍ଥାନକୁ ଯାଇଥିଲେ ।
• ସେଠାରେ କୃଷ୍ଣକାୟ ଆଫ୍ରିକୀୟଙ୍କ ସହ ପ୍ରବାସୀ ଭାରତୀୟମାନେ ଶ୍ୱେତାଙ୍ଗ ଇଂରେଜମାନଙ୍କ ବର୍ଣ୍ଣବୈଷମ୍ୟ ନୀତି ଯୋଗୁଁ ବିଭିନ୍ନ ଅତ୍ୟାଚାରର ସମ୍ମୁଖୀନ ହେଉଥିଲେ ।
• ସେଠାକାର ଭାରତୀୟମାନଙ୍କର ଭୋଟଦାନ ଅଧିକାର ନ ଥିଲା, ସେମାନଙ୍କୁ ନାମ ପଞ୍ଜୀକରଣ କରି ନିର୍ବାଚନ କର ଦେବାକୁ ହେଉଥୁଲା, ଅସ୍ବାସ୍ଥ୍ୟକର ପରିବେଶରେ ବସବାସ କରିବାକୁ ପଡୁଥିଲା ।
• ଭାରତୀୟମାନେ ରେଳଗାଡ଼ିର ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀ ବା ଦ୍ୱିତୀୟ ଶ୍ରେଣୀ କୋଠରିରେ ଯାତ୍ରା କରିପାରୁ ନ ଥିଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ଶ୍ବେତାଙ୍ଗମାନେ ‘କୁଲି’ ବୋଲି ସମ୍ବୋଧନ କରୁଥିଲେ ।
• ଏକଦା ଗାନ୍ଧିଜୀ ରେଳଗାଡ଼ିରେ ପ୍ରଥମ ଶ୍ରେଣୀରେ ଯାତ୍ରା କରୁଥିବାବେଳେ ଶ୍ଵେତାଙ୍କ ସହଯାତ୍ରୀଙ୍କ ଅଭିଯୋଗକ୍ରମେ ରେଳଗାଡ଼ିର ଗାର୍ଡ଼ ଓ ପୋଲିସ୍ ଏକ ଷ୍ଟେସନରେ ତାଙ୍କୁ ତାଙ୍କ ଜିନିଷପତ୍ର ସହ ବାହାରକୁ ଠେଲି ଦେଇଥିଲେ ।
• ଜନସାଧାରଣଙ୍କୁ ସଚେତନ କରିବାପାଇଁ ଗାନ୍ଧିଜୀ ୧୮୯୪ ମସିହାରେ ‘ନାଟାଲ୍ ଭାରତୀୟ କଂଗ୍ରେସ’ ନାମକ ଏକ ରାଜନୈତିକ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠନ କରିଥିଲେ ଓ ‘ଇଣ୍ଡିଆନ୍ ଓପିନିଅନ୍’ ନାମକ ଏକ ସମ୍ବାଦପତ୍ରିକା ପ୍ରକାଶ କରିଥିଲେ ।
• ୧୯୦୬ ମସିହାରେ ଦକ୍ଷିଣ ଆଫ୍ରିକା ସରକାର ଆଇନ ପ୍ରଣୟନ କରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭାରତୀୟଙ୍କୁ ନିଜ ଅଙ୍ଗୁଳି ଛାପିଥ‌ିବା ପ୍ରମାଣପତ୍ର ସବୁ ସମୟରେ ବହନ କରିବା ବାଧ୍ୟତାମୂଳକ କରିଦେଲେ ।
• ଗାନ୍ଧିଜୀ ଏହି ଆଇନ ବିରୋଧରେ ଆନ୍ଦୋଳନ କଲେ ଏବଂ ସତ୍ୟାଗ୍ରହ ଅସ୍ତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ । ଏଥିପାଇଁ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କୁ ଜୋହାନେସବର୍ଗ ଥାଏଟର୍‌ରେ ବନ୍ଦୀ କରି ରଖାଗଲା ।
• ୧୯୦୮ରେ ପ୍ରଣୀତ ଦେଶାନ୍ତର ଗମନ ନିଷେଧ ଆଇନର ବିରୋଧ କରି ଅଧିକାଂଶ ଭାରତୀୟ ନାଟାଲ୍ ସୀମା ପାର ହୋଇ ଟ୍ରାନ୍ସଭାଲ୍ ଗଲେ ଓ ଗିରଫ ହେଲେ । ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କୁ ମଧ୍ୟ ବନ୍ଦୀ କରାଗଲା ।
• ୧୯୦୮ରେ ପ୍ରଣୀତ ଦେଶାନ୍ତର ଗମନ ନିଷେଧ ଆଇନର ବିରୋଧ କରି ଅଧିକାଂଶ ଭାରତୀୟ ନାଟାଲ୍ ସୀମା ପାର ହୋଇ ଟ୍ରାନ୍ସଭାଲ୍ ଗଲେ ଓ ଗିରଫ ହେଲେ । ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କୁ ମଧ୍ୟ ବନ୍ଦୀ କରାଗଲା ।
• ୧୯୧୩ ମାର୍ଚ୍ଚ ୧୪ରେ ଦକ୍ଷିଣ ଆଫ୍ରିକା ଉଚ୍ଚତମ ନ୍ୟାୟାଳୟ ନିର୍ଦ୍ଦେଶରେ ଖ୍ରୀଷ୍ଟିଆନ୍ ରୀତିରେ ହୋଇନଥିବା ଓ ଅଣପଞ୍ଜୀକୃତ ଭାରତୀୟମାନଙ୍କ ବିବାହର ସ୍ବୀକୃତି ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରାଗଲା ।
• ଗାନ୍ଧିଜୀ ଏହି ଆଇନ ବିରୋଧରେ ଆନ୍ଦୋଳନ କଲେ ଓ ଇଂରେଜ ସରକାର ଆଇନ ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରିବାକୁ ବାଧ୍ୟ ହେଲେ ।
• ୧୯୧୫ ଜାନୁୟାରୀ ୧୫ ତାରିଖରେ ଗାନ୍ଧିଜୀ ଭାରତକୁ ଫେରି ଆସିଥିଲେ । ନିଜର ରାଜନୈତିକ ଗୁରୁ ଗୋପାଳକୃଷ୍ଣ ଗୋଙ୍କ ଉପଦେଶ ଅନୁସାରେ ରାଜନୀତିରୁ ଦୂରେଇ ଯାଇ ଭାରତର ବିଭିନ୍ନ ସ୍ଥାନ ଭ୍ରମଣ କରିଥିଲେ ।
• ଦକ୍ଷିଣ ଆଫ୍ରିକାରେ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ ମହାନ୍ ନୀତି ପାଇଁ ବିଶ୍ୱକବି ରବୀନ୍ଦ୍ରନାଥ ଠାକୁର ତାଙ୍କୁ ‘ମହାତ୍ମା’ ଆଖ୍ୟା ଦେଇଥିଲେ ।
• ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ସ୍ତରରେ ତାଙ୍କଦ୍ୱାରା ଭାରତରେ ସଙ୍ଗଠିତ କେତେକ ଆନ୍ଦୋଳନ ସଫଳତା ଲାଭ କରିଥିଲା ।

→ ଚମ୍ପାରନ୍ ଆନ୍ଦୋଳନ (୧୯୧୭) :

• ଏହି ଆନ୍ଦୋଳନ ଭାରତରେ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କଦ୍ବାରା ସଙ୍ଗଠିତ ପ୍ରଥମ ଆନ୍ଦୋଳନ ଥିଲା
• ବିହାରର ଚମ୍ପାରନ୍ ଜିଲ୍ଲାରେ ଇଂରେଜ ବୃକ୍ଷରୋପଣକାରୀଙ୍କଦ୍ବାରା ଚାଷୀମାନଙ୍କୁ ଜମିର କୋଡ଼ିଏ ଭାଗରୁ ତିନିଭାଗ ଅଞ୍ଚଳରେ ନୀଳ ଉତ୍ପାଦନ କରିବାକୁ ବାଧ୍ୟ କରାଯାଉଥିଲା । ବେଆଇନ ଟିକସ ମଧ୍ୟ ଆଦାୟ କରାଯାଉଥିଲା ।
• ରାଜକୁମାର ଶୁକ୍ଳ ନାମକ ଜଣେ ସ୍ଥାନୀୟ ବାସିନ୍ଦାଙ୍କ ନିମନ୍ତ୍ରଣକ୍ରମେ ଗାନ୍ଧିଜୀ ୧୯୧୭ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ୍ ମାସରେ ମୋତିହାରିରେ ପହଞ୍ଚିଲେ । ଏହି ଆନ୍ଦୋଳନର ନେତୃତ୍ଵ ନେଇ ସେ ସଫଳତା ହାସଲ କରିଥିଲେ ।
• ତିନିକାଠିଆ ବ୍ୟବସ୍ଥା ଉଚ୍ଛେଦ ହେଲା ଏବଂ ବେଆଇନ ଭାବେ ଆଦାୟ ଅର୍ଥର ଶତକଡ଼ା ପଚିଶ ଭାଗ ଚାଷୀମାନଙ୍କୁ ଫେରାଇ ଦିଆଗଲା । ଏହା ଥିଲା ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ ନେତୃତ୍ଵରେ ପ୍ରଥମ ସଫଳ ଅହିଂସ ଆନ୍ଦୋଳନ ।
• ତିନିକାଠିଆ ବ୍ୟବସ୍ଥା –  ଏହି ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ବିହାରର ଚମ୍ପାରନ୍ ଜିଲ୍ଲାରେ ଚାଷୀମାନଙ୍କୁ ଜମିର କୋଡ଼ିଏ ଭାଗରୁ ତିନି ଭାଗ ଅଞ୍ଚଳରେ ନୀଳ ଉତ୍ପାଦନ କରିବାପାଇଁ ଇଂରେଜ ବୃକ୍ଷ ରୋପଣକାରୀମାନଙ୍କଦ୍ବାରା ବାଧ କରାଯାଇ ସେମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ଦରରେ ତାଙ୍କୁ ବିକ୍ରୟ କରିବାକୁ ପଡୁଥିଲା 

→ ଖେଡ଼ା ଆନ୍ଦୋଳନ (୧୯୧୮) :

1. ତତ୍‌କାଳୀନ ରାଜସ୍ୱ ବିଭାଗର ଏକ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ଜମିର ସ୍ଵାଭାବିକ ଉତ୍ପାଦନର ଏକ ଚତୁର୍ଥାଂଶରୁ କମ୍ ପରିମାଣରେ ଶସ୍ୟ ଉତ୍ପାଦନ ହେଲେ ଚାଷୀମାନଙ୍କର ରାଜସ୍ୱ ଦେୟ ପରିମାଣ କୋହଳ କରାଯିବାର ବ୍ୟବସ୍ଥା ଥିଲା; କିନ୍ତୁ ୧୯୧୮ ମସିହାରେ ଦୁର୍ଭିକ୍ଷ ସମୟରେ ଖେଡ଼ା ଜିଲ୍ଲାରେ ଶସ୍ୟ ଉତ୍ପାଦନ ବାଧାପ୍ରାପ୍ତ ହୋଇଥିଲେ
   ମଧ୍ୟ ଇଂରେଜ କର୍ମଚାରୀମାନେ ଚାଷୀମାନଙ୍କୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରାଜସ୍ୱ ଦେବାକୁ ବାଧ୍ୟ କରିଥିଲେ ।
2. ଗାନ୍ଧିଜୀ ଏହା ବିରୋଧରେ ଚାଷୀମାନଙ୍କୁ ସଙ୍ଗଠିତ କରି ସତ୍ୟାଗ୍ରହ କଲେ, ଖଜଣା ଦେୟକୁ ପ୍ରତ୍ୟାଖ୍ୟାନ କଲେ ।
3. ଶେଷରେ ଇଂରେଜ ସରକାର ବାଧ୍ୟତାମୂଳକ ରାଜସ୍ୱ ଆଦାୟରୁ ନିବୃତ୍ତ ହେଲେ; କିନ୍ତୁ ସାମର୍ଥ୍ୟ ଥିବା ଚାଷୀମାନଙ୍କଠାରୁ ଏହା ଆଦାୟ କରିଥିଲେ ।
4. ଏହି ଆନ୍ଦୋଳନରେ ଇନ୍ଦୁଲାଲ ଯାଞ୍ଜିକ୍ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କୁ ସହଯୋଗ କରିଥିଲେ ।
5. ଖେଡ଼ା ଜିଲ୍ଲାର ଅଧ୍ୟାବାସୀ ତଥା ଅହମ୍ମଦାବାଦର ବିଶିଷ୍ଟ ଆଇନଜୀବୀ ସର୍ଦ୍ଦାର ବଲ୍ଲଭଭାଇ ପଟେଲ ଏହି ଖେଡ଼ା ଆନ୍ଦୋଳନରେ ସଫଳତାରେ ପ୍ରଭାବିତ ହୋଇ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କର ଜଣେ ପ୍ରଧାନ ଅନୁଗାମୀ ହୋଇଗଲେ ।

→ ଅହମ୍ମଦାବାଦ୍ ଲୁଗା କାରଖାନା ଆନ୍ଦୋଳନ :

• ତତ୍‌କାଳୀନ ରାଜସ୍ୱ ବିଭାଗର ଏକ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ଜମିର ସ୍ଵାଭାବିକ ଉତ୍ପାଦନର ଏକ ଚତୁର୍ଥାଂଶରୁ କମ୍ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ଭତ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରିନେବାରୁ ଶ୍ରମିକ ଓ ମାଲିକମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ କଳହର ସୂତ୍ରପାତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଜିଲ୍ଲାପାଳଙ୍କ ଅନୁରୋଧରେ ଗାନ୍ଧିଜୀ ଏକ ଟ୍ରିବ୍ୟୁନାଲ ନିଯୁକ୍ତ କରି ସମସ୍ୟା ସମାଧାନ ପାଇଁ ଉଦ୍ୟମ କଲେ । କିନ୍ତୁ ମାଲିକମାନେ ଏଥୁ ଓହରି ଯିବାରୁ ଗାନ୍ଧିଜୀ ଶ୍ରମିକମାନଙ୍କୁ ଅହିଂସ ଉପାୟରେ ଆନ୍ଦୋଳନ କରିବାକୁ ପ୍ରବର୍ତ୍ତାଇ ନିଜେ ଅନଶନ ଆରମ୍ଭ କଲେ ।
• କଳକାରଖାନାର ମାଲିକମାନେ ଏହି ଆନ୍ଦୋଳନରେ ଭୟଭୀତ ହୋଇ ଶ୍ରମିକମାନଙ୍କ ମଜୁରି ପଞ୍ଚତିରିଶ ଭାଗ ବୃଦ୍ଧି କରିବାପାଇଁ ସମ୍ମତି ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ ।
• ଏହି ଆନ୍ଦୋଳନଦ୍ଵାରା ଗାନ୍ଧିଜୀ ଜନସାଧାରଣଙ୍କ ମନରେ ‘ସତ୍ୟାଗ୍ରହ’ ପ୍ରତି ଆଗ୍ରହ, ଶ୍ରଦ୍ଧା ଓ ସମ୍ମାନ ଆଣିପାରିଥିଲେ ।
• ‘ପ୍ଲେଗ୍ ବୋନସ୍’’ – ଗୁଜରାଟର ଅହମ୍ମଦାବାଦ୍ୱାରେ ଥ‌ିବା ଲୁଗାକଳଗୁଡ଼ିକର ମାଲିକମାନେ ପ୍ଲେଟ୍ ମହାମାରୀ ପାଇଁ ଶ୍ରମିକମାନଙ୍କୁ ଦେଉଥୁବା ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ଭତ୍ତାକୁ ପ୍ଲେଗ୍ ବୋନସ୍ କୁହାଯାଉଥିଲା ।

→ ରାଓଲାତ୍ ଆଇନ ବିରୋଧରେ ଆନ୍ଦୋଳନ (୧୯୧୯) :

• ୧୯୧୯ ମସିହାରେ ଇଂରେଜ ସରକାରଙ୍କଦ୍ଵାରା ପ୍ରଣୀତ ରାଓଲାତ୍ ଆଇନ ବିରୋଧୀ ଆନ୍ଦୋଳନ ଥିଲା ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ ପ୍ରଥମ ଜାତୀୟ ସ୍ତରୀୟ ଆନ୍ଦୋଳନ ।
• ପ୍ରଥମ ବିଶ୍ବଯୁଦ୍ଧରେ ଇଂରେଜ ଓ ମିତ୍ରଶକ୍ତିକୁ ବିପୁଳ ସାହାଯ୍ୟ ଓ ସମର୍ଥନ ଦେଇଥ‌ିବା ଭାରତୀୟମାନେ ଯୁଦ୍ଧ ପରେ ରାଜନୀତିକ ଦାବିଗୁଡ଼ିକ ହାସଲ କରିନପାରି ନିରାଶ ହୋଇଥିଲେ । ତେଣୁ ସାମ୍ଭାବ୍ୟ ବିଦ୍ରୋହ ଆଶଙ୍କାରେ ଇଂରେଜ ବିଚାରପତି ରାଓଲାତ୍ରଙ୍କ ଅଧ୍ୟକ୍ଷତାରେ ଏକ କମିଟି ଗଠନ କରାଯାଇ କଠୋର ଆଇନ ପ୍ରଣୟନ କରାଯାଇଥିଲା ।
• ଏହି ଆଇନ ବଳରେ ଇଂରେଜ ସରକାର ଯେ କୌଣସି ଭାରତୀୟଙ୍କୁ ଗିରଫ କରି ବିନା ବିଚାରରେ କାରାଦଣ୍ଡରେ ଦଣ୍ଡିତ କରିପାରିବାର ବ୍ୟବସ୍ଥା ଥିଲା । ୧୯୧୯ ମସିହା ମାର୍ଚ୍ଚ ୧୮ ତାରିଖରେ ଏହି ଆଇନ ଗୃହୀତ ହୋଇଥିଲା । ଗାନ୍ଧିଜୀ ଏହି ଆଇନ ବିରୋଧରେ ଏକ ଗଣ ସତ୍ୟାଗ୍ରହ ପାଇଁ ଆହ୍ୱାନ କରିଥିଲେ ।
• ଗାନ୍ଧିଜୀ ଏହି ଆଇନ ବିରୋଧରେ ଏକ ଗଣ ସତ୍ୟାଗ୍ରହ ପାଇଁ ଆହ୍ବାନ କରିଥିଲେ ।
• ଶ୍ରୀମତୀ ଆନିବେଶାନ୍ତ, ସୁରେନ୍ଦ୍ରନାଥ ବାନାର୍ଜୀ, ଦିନ୍ସ ଏଦୁଲ୍‌ ୱାଚା, ତେଗ୍ ବାହାଦୂର ସାହୁ ଓ ଶ୍ରୀନିବାସ ଶାସ୍ତ୍ରୀଙ୍କ ନେତାଗଣ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ ସତ୍ୟାଗ୍ରହକୁ ବିରୋଧ କରିଥିଲେ ।
• ୧୯୧୯ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ୍ ୬ ତାରିଖ ଦିନ ଦେଶବ୍ୟାପୀ ହରତାଳ ପାଳନ କରାଯାଇଥିଲା । ୧୯୧୯ ଏପ୍ରିଲ୍ ୯ ତାରିଖରେ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କୁ ଗିରଫ କରାଯାଇ ପରେ ଛାଡ଼ି ଦିଆଯାଇଥିଲା ।
• ୧୯୧୯ ମସିହା ମାର୍ଚ୍ଚ ୨୦ ତାରିଖରେ ଦିଲ୍ଲୀରେ ରାଓଲାତ୍ ଆଇନ ବିରୋଧରେ ହିନ୍ଦୁ ଓ ମୁସଲମାନମାନଙ୍କ ଏକ ଶୋଭାଯାତ୍ରା ଉପରେ ପୋଲିସ୍ ଗୁଳିବର୍ଷଣ କରିଥିଲା ।

→ ଜାଲିଆନାଓ୍ବାଲାବାଗ୍ ହତ୍ୟାକାଣ୍ଡ :

1. ଅମୃତସରର ଜାଲିଆନାଓ୍ବାଲାବାଗ୍‌ଠାରେ ୧୯୧୯ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ୍ ୧୩ ତାରିଖରେ ବହୁସଂଖ୍ୟକ ଲୋକ ଦୁଇ ସ୍ଥାନୀୟ ନେତା ଡ. ସତ୍ୟପାଲ ଓ ଡ. ସଇଫୁଦ୍ଦିନ କିଲୁଦଙ୍କ ଗିରଫର ପ୍ରତିବାଦ ଓ ବୈଶାଖୀ ଉତ୍ସବ ପାଳନ ପାଇଁ ଏକ ସଭାରେ ଏକତ୍ରିତ ହୋଇଥିଲେ ।
2. ସହରରେ ସଭାସମିତି କରାଯିବା ଉପରେ ସରକାରଙ୍କଦ୍ଵାରା ପୂର୍ବଦିନ ଘୋଷିତ ନିଷେଧାଜ୍ଞା ବିଷୟରେ ଜନସାଧାରଣ ଅବଗତ ନ ଥିଲେ ।
3. ସଭା ଚାଲିଥିବାବେଳେ ଅମୃତସରର ସାମରିକ ମୁଖ୍ୟ ଜେନେରାଲ ଡାୟାର ହଠାତ୍ ଦଳେ ସୈନ୍ୟଙ୍କ ସହ ପହଞ୍ଚି ବିନା ସତର୍କ ସୂଚନାରେ ନିରସ୍ତ୍ର ଓ ନିରୀହ ଲୋକମାନଙ୍କ ଉପରକୁ ଗୁଳିବର୍ଷଣ କରିଥିଲେ; ଫଳରେ ଅନେକ ଲୋକ ମୃତାହତ ହେଲେ ।
4. ସରକାରୀ ହିସାବ ଅନୁଯାୟୀ ୩୭୯ ଜଣ ମୃତ ଓ ୧୨୦୦ ଜଣ ଆହତ ହୋଇଥିଲେ । ମାତ୍ର ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ ନିର୍ଦ୍ଦେଶରେ ହୋଇଥ‌ିବା ତଦନ୍ତ ଅନୁସାରେ ମୃତକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ୧୨୦୦ ଓ ଆହତଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ୩୬୦୦ ଥିଲା ।
5. ଏହି ବର୍ବରୋଚିତ ହତ୍ୟାକାଣ୍ଡ ସାରା ବିଶ୍ୱକୁ ଚକିତ କରିଦେଇଥିଲା ।
6. ଇଂରେଜ ସରକାରଙ୍କର ଏହି ହତ୍ୟାକାଣ୍ଡର ପ୍ରତିବାଦରେ ବିଶ୍ୱକବି ରବୀନ୍ଦ୍ରନାଥ ଠାକୁର ‘ନାଇଟ୍‌’ ପଦ ଓ ଗାନ୍ଧିଜୀ ‘କାଇଜର-ଇ-ହିନ୍ଦୁ’ ଉପାଧ୍ ପ୍ରତ୍ୟାଖ୍ୟାନ କରିଥିଲେ ।
7. ‘ସାର୍‌’ ଉପାଧ୍ – କୌଣସି ବ୍ୟକ୍ତିର ମହତ୍ ଗୁଣ ବା ରାଜ ସେବା ବା ସାମାଜିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଅସାଧାରଣ ବୀରତ୍ୱ ପାଇଁ ଇଂରେଜ ସରକାରଙ୍କଦ୍ଵାରା ପ୍ରଦତ୍ତ ନାଇଟ୍‌ ପଦପ୍ରାପ୍ତ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କୁ ‘ସାର୍’ କୁହାଯାଉଥିଲା ।
8. ‘‘କାଇଜର୍‌-ଇ-ହିନ୍ଦ୍’’ ର ଅର୍ଥ ‘ହିନ୍ଦୁସ୍ଥାନର ସମ୍ରାଟ’’ । ଏହା ଇଂରେଜ ସରକାରଙ୍କଦ୍ବାରା ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କୁ ତାଙ୍କ ଅସାଧାରଣ ନେତୃତ୍ଵର ସ୍ଵୀକୃତିରୂପେ ପ୍ରଦାନ କରାଯାଇଥିଲା ।

ଐତିହାସିକ ଘଟଣାବଳୀ ଓ ସମୟ:

୧୮୬୯ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଅକ୍ଟୋବର ୨) ମୋହନଦାସ କରମଚାନ୍ଦ ଗାନ୍ଧିଙ୍କ ଜନ୍ମ ।
୧୮୮୨ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କର କସ୍ତୁରବାଙ୍କ ସହ ବିବାହ ।
୧୮୮୮ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଅକ୍ଟୋବର) ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କର ବାରିଷ୍ଟରୀ ପଢ଼ିବାପାଇଁ ଇଂଲଣ୍ଡ ଯାତ୍ରା ।
୧୮୯୧ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଜୁନ୍) ବାରିଷ୍ଟର ଭାବେ ରାଜକୋଟ ଓ ବମ୍ବେଠାରେ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କର ଆଇନ ବ୍ୟବସାୟ ଆରମ୍ଭ ।
୧୮୯୪ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କଦ୍ବାରା ଦକ୍ଷିଣ ଆଫ୍ରିକାରେ ‘‘ନାଟାଲ୍ ଭାରତୀୟ କଂଗ୍ରେସ’’ ନାମକ ଏକ ରାଜନୈତିକ ଅନୁଷ୍ଠାନ ଗଠନ ।
୧୯୦୬ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଦକ୍ଷିଣ ଆଫ୍ରିକାରେ ଭାରତୀୟମାନେ ନିଜର ଅଙ୍ଗୁଳି ଛାପ ଥିବା ପଞ୍ଜୀକୃତ ପ୍ରମାଣପତ୍ରକୁ ସବୁ ସମୟରେ ନିଜ ସହିତ ବହନ କରିବାପାଇଁ ଆଇନ ପ୍ରଣୟନ ।
୧୯୦୮ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଅଗଷ୍ଟ) ନାଟାଲ୍ ସୀମା ପାର ହୋଇ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ ଟ୍ରାନ୍ସଭାଲ ଗମନ ଓ ଗିରଫ ।

୧୯୧୩ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ମାର୍ଚ୍ଚ ୧୪) ଦକ୍ଷିଣ ଆଫ୍ରିକାର ଉଚ୍ଚତମ ନ୍ୟାୟାଳୟଦ୍ବାରା ଖ୍ରୀଷ୍ଟିଆନ୍ ରୀତି ଅନୁସାରେ ସମ୍ପାଦିତ ଓ ପଞ୍ଜୀକରଣ ହୋଇ ନଥିବା ଭାରତୀୟମାନଙ୍କର ବିବାହର ସ୍ଵୀକୃତି ପ୍ରତ୍ୟାହାର ।
୧୯୧୫ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଜାନୁୟାରୀ ୯) ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କର ଦକ୍ଷିଣ ଆଫ୍ରିକାରୁ ଭାରତକୁ ପ୍ରତ୍ୟାବର୍ତ୍ତନ ।
୧୯୧୬ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଅହମ୍ମଦାବାଦରେ ସାବରମତୀ ନଦୀକୂଳରେ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କଦ୍ବାରା ଏକ ଆଶ୍ରମ ପ୍ରତିଷ୍ଠା ।
୧୯୧୭ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଏପ୍ରିଲ୍) ଚମ୍ପାରନ୍ ଆନ୍ଦୋଳନ ପାଇଁ ଚମ୍ପାରନ୍ ଜିଲ୍ଲାର ସଦର ମହକୁମା ମୋତିହାରିରେ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ ପଦାର୍ପଣ ।
୧୯୧୮ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଗୁଜରାଟର ଖେଡ଼ା ଆନ୍ଦୋଳନ ସଂଘଟିତ ।
୧୯୧୯ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ରାଓଲାତ୍ ଆଇନ ବିରୋଧରେ ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କ ଆନ୍ଦୋଳନ ।
୧୯୧୯ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ମାର୍ଚ୍ଚ ୧୮) ରାଓଲାତ୍ ଆଇନ ଗୃହୀତ ।
୧୯୧୯ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଏପ୍ରିଲ୍ ୧୩) ଜାଲିଆନାୱାଲାବାଗ୍ ହତ୍ୟାକାଣ୍ଡ ସଂଘଟିତ ।
୧୯୧୯ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଏପ୍ରିଲ୍ ୧୮) ଗାନ୍ଧିଜୀଙ୍କଦ୍ବାରା ରାଓଲାତ୍ ଆଇନବିରୋଧୀ ଆନ୍ଦୋଳନ ପ୍ରତ୍ୟାହୃତ ।

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Algebra Chapter 2 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ

→ ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction) :

• P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ (Quadratic Polynomial), ଯେଉଁଠାରେ a ଓ b ଯଥାକ୍ରମେ x², xର ସହଗ ଏବଂ c ଏକ ଧ୍ରୁବ ସଂଖ୍ୟା ।
• P(x) = 0 ଅର୍ଥାତ୍, ax + bx+c =0, (a ≠0) ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ (Quadratic Equation) ଯେଉଁଠାରେ a, b, c ∈ ଏବଂ a ≠ 0.
• ax² + bx + c = 0, a, b, c e R, a + 0 ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ସାଧାରଣ ରୂପ ।
• ‘x’ର ଯେଉଁ ଯେଉଁ ମାନ ପାଇଁ ax² + bx + c = 0 ସମୀକରଣଟି ସିଦ୍ଧ ହୁଏ, ସେହି ମାନଗୁଡିକ ସମୀକରଣର ବୀଜ ବା ମୂଳ (root) କୁହାଯାଏ ।
• ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣରେ ଅତିବେଶୀରେ ଦୁଇଟି ବୀଜ ଥାଏ ।

• ଯଦି x = α ପାଇଁ ଦ୍ବିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ax² + bx + cର ମାନ ଶୂନ ହୁଏ, ତେବେ α କୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଏକ ଶୂନ (zero) କୁହାଯାଏ । ଏଠାରେ ମନେରଖୁବାକୁ ହେବ ଯେ, ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ‘ଶୂନ’ ଉକ୍ତ ସମୀକରଣର ଏକ ମୂଳ (root) ଅଟେ ।
• ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦ୍ଵିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ସହ ସଂପୃକ୍ତ ଅଟେ । ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ,
  ax² + bx + c ଦ୍ବିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ସହ ସଂପୃକ୍ତ ।

→ ପୂର୍ବବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ (Solution by completing the squares) :
ମନେକର ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣଟି ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

→ ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :
⇒ ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
⇒ ax² + bx = -c (‘c’ର ପାର୍ଶ୍ଵପରିବର୍ତ୍ତନ କରାଗଲା ।)
⇒ 4a (ax² + bx) = -4ac (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ 4a ଗୁଣନ କଲେ)
⇒ 4a² x² + 4abx= -4ac
⇒ (2ax)² + 2.2ax. b = -4ac
⇒ (2ax)² + 2.2ax.b + b² = b² – 4ac (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ b² ଯୋଗକରାଗଲା ।)
⇒ (2ax + b)² = (±\(\sqrt{(b^2-4ac)}\))² (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ପୂର୍ଣବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରାଗଲା ।)

(i) ରେ ନିଶ୍ଚିତ ସୂତ୍ରକୁ ଦ୍ବିଘାତ ସୂତ୍ର (Quadratic Formula) କୁହାଯାଏ ।

→ ପ୍ରଭେଦକ (Discriminant) :
b² – 4ac କୁ ax² + bx + c = 0 ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ କୁହାଯାଏ ଓ ଏହାକୁ ‘D’ ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ D = b² – 4ac ।
ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ax² + bx + c = 0 କୁ ବିଚାରକୁ ନେଲାବେଳେ, ସେଥୁରେ a, b ଓ c ରାଶିତ୍ରୟ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ଓ a ≠ 0 ।
ମୂଳଦ୍ଵୟକୁ D ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ,

→ ମୂଳଦ୍ବୟର ସ୍ବରୂପ (Nature of roots) :
ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ (D)କୁ ବିଚାରକୁ ନେଇ ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ବୟର ସ୍ବରୂପ ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।

• D> 0 ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପରଠାରୁ ପୃଥକ୍ ହେବେ, ଅର୍ଥାତ୍ α ≠ ß ।
• D = 0 ହେଲେ ମୂଳଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହେବେ । ଅର୍ଥାତ୍ α = ß ।
• D < 0 ହେଲେ ମୂଳଦ୍ୱୟ α ଓ ß ବାସ୍ତବ ହେବେ ନାହିଁ ।
• • D > 0 ଏବଂ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ଵୟ ପରିମେୟ ଏବଂ ପୃଥକ୍ ହେବେ ।
  • D > 0 ଏବଂ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନ ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ବୟ ଅପରିମେୟ ଏବଂ ପୃଥକ୍ ହେବେ ।

→ ମୂଳଦ୍ଵୟ ଓ ସହଟ ମଧ୍ୟରେ ସଂପକି (Relation between roots and coefficients) :
ମନେକର ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣଟି ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) ଓ ଏହାର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।

(i) ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି :

→ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ଜ୍ଞାତବ୍ୟ ଫଳାଫଳ (Some known results) :
ମନେକର ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣଟି ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) ଏବଂ ଏହାର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।
∴ α + ß = \(\frac{-b}{a}\) ଏବଂ αß = \(\frac{c}{a}\)

→ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ଗଠନ (Formation of a quadratic equation) :
ମନେକର ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣ ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) ଏବଂ ଏହାର ମୂଳଦ୍ଵୟ α ଓ ß ।
ତେବେ α + ß = \(\frac{-b}{a}\) ଏବଂ αß = \(\frac{c}{a}\)
ବର୍ତ୍ତମାନ ax² + bx + c = 0
⇒ x² + \(\frac{b}{a}\) x + \(\frac{c}{a}\) = 0 (a ଦ୍ବାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ଭାଗକଲେ ।)
⇒ x² – \(\frac{-b}{a}\) x + \(\frac{c}{a}\) = 0 ⇒ x² – (α + ß) + αß = 0

→ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପରେ ରୂପାନ୍ତରଣ (Equations reducible to quadratic form) :
ଏପରି ଅନେକ ସମୀକରଣ ଅଛନ୍ତି, ଯେଉଁମାନଙ୍କ ରୂପ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ରୂପ; ଯଥା ax² + bx + c = 0 ନୁହେଁ । ମାତ୍ର ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିକୁ ଉପଯୁକ୍ତ ଭାବେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ଏମାନଙ୍କୁ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପକୁ ଆଣି ସମାଧାନ କରିହେବ ।

→ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ (Application of Quadratic Equaiton) :
କେତେକ ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନରେ ‘ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ’ର ଆବଶ୍ୟକତା ପଡ଼ିଥାଏ । ପାଟୀଗାଣିତିକ ପ୍ରଶ୍ନର ତର୍ଜମା ଏବଂ ଅନୁଶୀଳନରେ ଆବଶ୍ୟକ ଥିବା ଉତ୍ତରକୁ ଏକ ଅଜ୍ଞାତରାଶି ରୂପେ ନେଇ ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ଗଠନ କରାଯାଏ । ତତ୍ପରେ ଉକ୍ତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ପରେ ଇସ୍ପାତ ଉତ୍ତର ମିଳିଥାଏ । ବେଳେବେଳେ ସମୀକରଣର ସମାଧାନରେ ମିଳୁଥିବା ଦୁଇଟି ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ, ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଥିବାବେଳେ ଅନ୍ୟଟି ସିଦ୍ଧ କରୁ ନଥାଏ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସିଦ୍ଧ କରୁଥିବା ମୂଳଟି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ହୋଇଥାଏ ।

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ଅଭେଦ Ex 3(d)

Question 1.
ଗ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :

(i) xy², x²y
ସମାଧାନ:
xy² = x × y × y
x²y = x × x × y
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ.

(ii) 6a³b², 8a²b³
ସମାଧାନ:
6a³b² = 2 × 3 × a × a × a × b × b
8a²b³ = 2 × 2 × 2 × a × a × b × b × b
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ.. = 2 × a × a × b × b = 2a²b²

(iii) 12a²b⁴c, 15ab²c³
ସମାଧାନ:
12a²b⁴c = 2 × 2 × 3 × a × a × b × b × b × b × c
15ab²c³ =3 × 5 × a × b × b × c × c × c
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = 3 × a × b × b × c = 3ab²c

(iv) x²y², x³y, xy³
ସମାଧାନ:
x²y² = x × x × y × y
x³y = x × x × x × y
xy³ = x × y × y × y
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = xy

(v) 144x³y⁹z⁷, 108x⁶y⁶z⁶
ସମାଧାନ:
144x³y⁹z⁷ = 2² × 2² × 3² × x³ × y³ × y³ × y³ × z × z⁶
108x⁶y⁶z⁶ = 2² × 3² × 3 × x³ × x³ × y³ × y³ × z⁶
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = 2² × 3² × x³ × y³ × y³ × z⁶ = 36x³y⁶z⁶

Question 2.
ଗ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :

(i) x² – 1, x² + x
ସମାଧାନ:
x² – 1 = (x + 1) ( x – 1)
x² + x = x(x + 1)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (x + 1)

(ii) a³ – ab², a³ – b³
ସମାଧାନ:
a³ – ab² = a(a² – b²) = a(a + b) (a – b)
a³ – b³ = ( a – b) (a² + ab + b²)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a – b)

(iii) 4a² – b², b² – 2ab
ସମାଧାନ:
4a² – b² = (2a)² – (b)² = (2a + b) (2a – b)
b² – 2ab = -(2ab – b²) = -b(2a – b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (2a – b)

(iv) (x – 1)³, (1 – X)²
ସମାଧାନ:
(x – 1)³ = (x – 1) (x – 1) (x – 1)
(1 – x)² = {-(x – 1)}² = (x – 1)(x – 1)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (x – 1)(x – 1) = (x – 1)²

(v) x² – xy + y², x⁴ + x²y² + y⁴
ସମାଧାନ:
(x² – xy + y²) = (x² – xy + y²)
(x⁴ + x²y² + y⁴) = (x² + xy + y²)(x² – xy + y²)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (x² – xy + y²)

(vi) 6(a² – 4b²), 10(a³ – 8b³)
ସମାଧାନ:
6(a² – 4b²) = 2 × 3 {(a)² – (2b)²}
= 2 × 3 (a + 2b) (a- 2b) 10(a³ – 8b³)
= 2 × 5 {(a)³ – (2b)³}
= 2 x 5 (a – 2b) (a² + 2ab + 4b²)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = 2(a – 2b)

(vii) x² + 7x + 12, x² + 9x + 20
ସମାଧାନ:
x² + 7x + 12 = x² + 4x + 3x + 12
= x (x + 4) + 3 (x + 4)
= (x + 4) (x + 3)
x² + 9x + 20 = x² + 5x + 4x + 20
= x (x + 5) + 4(x + 5)
= (x + 5) ( x + 4)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (x + 4)

(viii) 4x³ – 9x, 16x³ + 54, 2x² + 5x + 3
ସମାଧାନ:
4x³ – 9x = x (4x² – 9) = x {(2x)² – (3)²} = x (2x + 3)(2x – 3)
16x³ + 54 = 2(8x³ + 27) = 2{(2x)³ + (3)³}
= 2 (2x + 3) (4x² – 6x + 9)
2x² + 5x + 3 = 2x² + 3x + 2x + 3
= x (2x + 3) + 1(2x + 3) = (2x + 3) (x + 1)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (2x + 3)

(ix) a² – b² – c² – 2bc, a² + b² – c² + 2ab
ସମାଧାନ:
a² – b² – c² + 2bc = a² – (b² + c² – 2bc) = (a)² – (b- c)² = (a + b – c) (a – b + c)
a² + b² – c² + 2ab = (a² + b² + 2ab) – c² = (a + b)² – (c)² = (a + b + c) (a + b – c)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a + b – c)

(x) a² – b² – c² – 2bc, b² – c² – a² – 2ca, c² – a² – b² – 2ab
ସମାଧାନ:
a² – b² – c² – 2bc = a² – (b² + c² + 2bc) = (a)² – (b + c)² = (a + b + c)(a – b – c)
b² – c² – a² – 2ca = b² – (c² + a² + 2ca) = (b)² – (c + a)² = (b + c + a)(b – c – a)
c² – a² – b² – 2ab = c² – (a² + b² + 2ab) = (c)² – (a + b)² = (c + a + b)(c – a – b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a + b + c)

(xi) 8a² – 14 ab + 6b², 15a² + 18ab – 33b², 9a²b – 7ab² – 2b³
ସମାଧାନ:
8a² – 14ab + 6b² = 2(4a² – 7ab + 3b²) = 2 (4a² – 4ab -3ab + 3b²)
= 2 {4a(a – b) -3b(a – b)} = 2(a – b)(4a – 3b)}
15a² + 18ab – 33b² = 15a² + 33ab – 15ab – 33b²
= 3a(5a + 11b) – 3b(5a + 11b) = (5a + 11b)(3a – 3b) = 3(5a + 11b)(a – b)
9a²b – 7ab² – 2b³ = b(9a² – 7ab – 2b²)
= b(9a² – 9ab + 2ab – 2b²) = b{9a (a – b) + 2b(a – b)} = b(a – b) (9a + 2b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a – b)

(xii) (a + b) x² – (2a + b) bx + ab², (a- b) x² – (2a – b) bx + ab²
ସମାଧାନ:
(a + b)x² – (2a + b) bx + ab²
= (a + b)x² – {(a + b) + a} bx + ab² = (a + b)x² – (a + b)bx – abx + ab²
= (a + b)x (x – b) – ab(x – b) = (x – b) {(a + b) x – ab}
= (x – b) (ax + bx – ab)
(a- b)x² – (2a – b)bx + ab²
= (a – b)x² – {(a – b) + a} bx + ab² = (a – b)x² – (a – b)bx – abx + ab²
= (a – b) x (x – b) – ab(x – b) = (x – b) (x (a – b) – ab} = (x – b) (ax – bx – ab)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (x – b)

(xiii) c² – 2ab – a² – b², a³ + b³ + c³ – 3abc, b² – 2ca – c² – a²
ସମାଧାନ:
c² – 2ab – a² – b² = c² – (2ab + a² + b²)
= c² – (a² + b² + 2ab) = c² – (a + b)² = {c + (a + b)}{c – (a + b)}
= (c + a + b) (c – a – b) = (a + b + c) (c – a – b)
a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
b² – 2ca – c² – a² = b² – (2ca + c² + a²)
= b² – (a² + c² + 2ca) = b² – (a + c)² = {b + (a + c)} {b – (a + c)}
= (b + a + c) (b – a – c) = (a + b + c) (b – a – c)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a + b + c)

(xiv) a³ – b³ – c³ – 3abc, a² – b² – c² – 2bc
ସମାଧାନ:
a³ – b³ – c³ – 3abc
= a³ + (-b)³ + (-c)³ – 3a (-b) (-c)
= {a + (-b) + (-c)} {a² + (-b)² + (-c)² – a (-b) – (-b) (-c) – (-c) a}
= (a – b – c) (a² + b² + c² + ab – bc + ca)
a² – b² – c² – 2bc = a² – (b² + c² + 2bc) = a² – (b + c)²
= {a + (b + c)} {a – (b + c)} = (a + b + c) (a – b – c)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଗ.ସା.ଗୁ. = (a – b – c)

Question 3.
ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :

(i) 3a³b, 4a²b
ସମାଧାନ:
3a³b = 3 × a³ × b, 4a²b = 2² × a² × b
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 2² × 3 × a³ × b = 12a³b

(ii) 6a²b³, 4a³b⁴
ସମାଧାନ:
6a²b³ = 2 × 3 × a² x b³, 4a³b⁴ = 2² × 3 × a³ × b⁴
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 2² × 3 × a³ × b⁴ = 12a³b⁴

(iii) 20a²b³c⁴, 34a³c⁵
ସମାଧାନ:
20a²b³c⁴ = 2² × 5 × a² × b³ × c⁴, 34a³c⁵ = 2 × 17 × a³ × c⁵
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 2² × 5 × 17 × a³ × b³ × c⁵ = 340a³b³c⁵

(iv) 3a²b, 4ab², 6ab
ସମାଧାନ:
3a²b= 3 × a² × b, 4ab² = 2² × a × b², 6ab = 2 × 3 × a × b
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 2² × 3 × a² × b² = 12a²b²

(v) 25x³y²z², 30x²y³z³, x³y³z²
ସମାଧାନ:
25x³y²z² = 5² × x³ × y² × z², 30x²y³z³ = 2 × 3 × 5 × x² × y³ × z³
x³y³z² = x³ × y³ × z²
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 2 × 3 × 5² × x³ × y³ × z³ = 150x³y³z³

Question 4.
ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର :

(i) a² + ab, ab – b²
ସମାଧାନ:
a² + ab = a(a + b), ab – b² = b (a – b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = ab(a + b) ( a – b) = ab ( a² – b²)

(ii) 3(x² – y²), 4(x² + xy)
ସମାଧାନ:
3(x² – y²) = 3 ( x + y) (x – y), 4(x² + xy) = 4x ( x + y)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 3 × 4 × x(x + y)(x – y) = 12x (x² – y²)

(iii) x³ + y³, x²y + xy²
ସମାଧାନ:
x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²), x²y + xy² = xy (x + y)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = xy (x + y)(x² – xy + y²) xy (x³ + y³)

(iv) 6a³b – 12a²b², 8a³ – 64b³
ସମାଧାନ:
6a³b – 12a²b² = 6a²b(a – 2b) = 2 × 3a²b(a – 2b)
8a³ – 64b³ = 8(a³ – 8b³) = 8{(a)³ – (2b)³} = 2³ (a – 2b) (a² + 2ab + 4b²)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 2³ × 3 × a² × b(a – 2b) (a² + 2ab + 4b²) = 24a²b (a³ – 8b³)

(v) (x – y)³, x² – y²
ସମାଧାନ:
(x – y)³ = (x – y)³, (x² – y²) = (x + y) ( x – y)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (x + y) ( x – y)³

(vi) x² – xy, (x – y)², x² – y²
ସମାଧାନ:
x² – xy = x (x – y), (x – y)² = (x – y)², x² – y² = (x + y) (x – y)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = x(x – y)² (x + y)

(vii) 6(a + b)², 8(a² – b²), 12 (a – b)²
ସମାଧାନ:
6(a + b)² = 2x³ (a + b)², 8(a² – b²) = 2³ (a + b)(a – b), 12(a – b)² = 2² × 3 (a – b)²
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 2³ × 3 (a + b)² (a – b)² = 24(a² – b²)²

(viii) 2x² + 5x – 3, 4x² – 4x + 1
ସମାଧାନ:
2x² + 5x- 3 = 2x² + 6x – x – 3 = 2x (x + 3) – 1 (x + 3) = (x + 3) (2x – 1)
4x² – 4x + 1 = (2x)² – 2.2x.1 + (1)² = (2x – 1)²
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (2x – 1)² (x + 3)

(ix) 3a² + 8a + 4, a² + 2a
ସମାଧାନ:
3a² + 8a + 4 = 3a² + 6a + 2a + 4 = 3a (a + 2) + 2 (a + 2) = (a + 2) ( 3a + 2)
a² + 2a = a ( a + 2)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = a(a + 2)(3a + 2)

(x) 6x² – 5x – 6, 4x³ – 12x² + 9x
ସମାଧାନ:
6x² – 5x – 6 = 6x² – 9x + 4x – 6 = 3x (2x – 3) + 2 (2x – 3) = (2x – 3)(3x + 2)
4x³ – 12x² + 9x = x (4x² – 12x + 9) = x {(2x)² – 2.2x.3 + (3)²} = x (2x – 3)²
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = x (2x – 3)² (3x + 2)

(xi) 3x³ + 5x² – 2x, 6x² + 14x + 4, 9^x3 – x
ସମାଧାନ:
3x³ + 5x² – 2x = x (3x² + 5x – 2) = x (3x² + 6x – x – 2)
= x {3x (x + 2) – 1(x + 2)} = x (x + 2) (3x – 1)
6x² + 14x + 4 = 2(3x² + 7x + 2) = 2(3x² + 6x + x + 2)
= 2{3x (x + 2) + 1 (x + 2)} = 2 (x + 2)(3x + 1)
9x³ – x = x (9x² – 1) = x {(3x)² – (1)²} = x(3x + 1) (3x – 1)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 2x (x + 2) (3x + 1) (3x – 1) = 2x (x + 2) (9x² – 1)

(xii) x² + xy + yz + zx, y² + xy + yz + zx, z² + xy + yz + zx
ସମାଧାନ:
x² + xy + yz + zx = x² + xy + zx + yz = x (x + y) + z(x + y) = (x + y) ( x + z)
y² + xy + yz + zx = y² + yz + xy + zx = y (y + z) + x(y + z) = (y + z ) (x + y)
z² + xy + yz + zx = z² + zx + yz + xy = z(z + x) + y(z + x) = (z + x) (y + z)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (x + y) ( y + z) (z + x)

(xiii) a² – ab – ac + bc, b² – bc – ab + ca, c² – ca – bc + ab
ସମାଧାନ:
a² – ab- ac + bc = a (a – b) – c (a – b) = (a – b) (a – c) = -(a – b)(c – a)
b² – bc – ab + ca = b(b- c)- a(b – c) = (b – c )(b – a) = -(b – c)(a – b)
c² – ca- bc + ab = c(c – a) – b(c – a) = (c – a) (c – b) = -(c – a)(b – c)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = -(a – b) (b – c)(c – a)

(xiv) a² – b² – c² – 2bc, b² – c² – a² – 2ca, c² – a² – b² – 2ab
ସମାଧାନ:
a² – b² – c² – 2bc = a² – (b² + c² + 2bc) = (a)² – (b + c)² = (a + b + c)(a – b – c)
b² – c² – a² – 2ca = b² – (c² + a² + 2ca) = (b)² – (c + a)² = (a + b + c)(b – c – a)
c² – a² – b² – 2ab = c² – (a² + b² + 2ab) = (c)² – (a + b)² = (a + b + c)(c – a – b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (a + b + c)(a – b – c)(b – c – a)(c – a – b)

(xv) a⁴ + a²b² + b⁴, a³ + b³, a³ – b³
ସମାଧାନ:
a⁴ + a²b² + b⁴ = (a² + ab + b²) (a² – ab + b²)
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²), a³ – b³ = (a – b) (a² + ab +b²)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (a + b) (a – b) (a² + ab + b²) (a² – ab + b²)
= {(a + b) (a² – ab + b²)} {(a – b) (a² + ab + b²)}
= (a³ + b³) (a³ – b³) = a⁶ – b⁶

(xvi) a⁶ – b⁴, (a + b)³, a² – b²
ସମାଧାନ:
a⁶ – b⁶ = (a³)² – (b³)² = (a³ + b³)(a³ – b³) = (a + b) (a² – ab + b²) (a – b) (a² + ab + b²)
(a + b)³ = (a + b)³, a² – b² = (a + b) (a – b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (a + b)³ (a- b) (a² + ab + b²) (a² – ab + b²)

(xvii) a³ + b³ – 1 – 3ab,a³ + (b – 1)³, a² – 2a + 1 – b²
ସମାଧାନ:
a³ + b³ – 1 + 3ab = a³ + b³ + (-1)³ – 3(a) (b) (-1)
= {a + b + (-1)} {a² + b² + (-1)² – ab – b (-1) – (-1) a}
= (a + b – 1) (a² + b² + 1 – ab + b + a)
a³ + (b – 1)³ = {a + (b – 1)} {a² – a (b – 1) + (b – 1)²}
= (a + b – 1) (a² – ab + a + b² – 2b + 1) = (a + b – 1) (a² + b² – ab + a – 2b + 1)
a² – 2a + 1 – b² = (a – 1)² – b² = (a – 1 + b) (a – 1 – b)
= (a + b – 1) (a – b – 1)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = (a + b – 1) (a – b – 1)
(a² + b² + 1 – ab + b + a) (a² + b² – ab + a – 2b + 1)

(xviii) (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³, (x – y)³ – (z – y)³ – (x – z)³
ସମାଧାନ:
(x – y)³ +(y – z)³ + (z – x)³
ମନେକର x – y = a, y – z = b, z – x = c
a + b + c = x – y + y – z + z – x
⇒ a + b + c = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc
⇒ (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 3 (x – y) (y – z) (z – x) (abcର ମାନ ସଂସ୍ଥ।ପନ କଳେ)
(x – y)³ – (z – y)³ – (x – z)³
ମନେକର x – y = a, z – y = b, x – z = c
a – b – c = (x – y) – (z – y) – (x – z) = x – y – z + y – x + z = 0
a – b – c = 0 ହେଲେ a³ – b³ – c³ = 3a (-b) (-c) = 3abc
(x – y)³ – (z – y)³ – (x – z)³ = 3 (x – y) (z – y) (x – z)
= 3(x – y) {-(y – z)} {-(z – x)} = 3 (x – y) (y – z) (z – x)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ଲ.ସା.ଗୁ. = 3 (x – y) (y – z) (z – x)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ସମୀକରଣମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ନିଶ୍ଚୟ କର ।

(i) 3x² – 4x = -4x + 5
ସମାଧାନ:
ଯେଉଁ ସମୀକରଣର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 2 ତାହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ଅଟେ ।
3x² – 4x = -4x + 5 ⇒ 3x² – 5 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(ii) x³ – 2x² + 4 = x³ + 2x
ସମାଧାନ:
x³ – 2x² + 4 = x³ + 2x
⇒ -2x² – 2x + 4 = 0 ⇒ 2x² + 2x – 4 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(iii) x + \(\frac{3}{x}\) = x² (x ≠ 0)
ସମାଧାନ:
x + \(\frac{3}{x}\) = x² + 3 = x³ ⇒ x³ – x² – 3 = 0
(ଏହି ସମୀକରଣଟିର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 3 ତେଣୁ ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ ।)

(iv) x + \(\frac{1}{x}\) = 2 (x ≠ 0)
ସମାଧାନ:
x + \(\frac{1}{x}\) = 2 ⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) ⇒ x² + 1 = 2x ⇒ x² – 2x + 1 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(v) (x + 3)² = 0
ସମାଧାନ:
(x + 3)² = 0 ⇒ x² + 6x + 9 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(vi) \(\frac{1}{x}\) x² + \(\frac{3}{2}\) x – \(\frac{5}{4}\) = 0
ସମାଧାନ:
\(\frac{1}{x}\) x² + \(\frac{3}{2}\) x – \(\frac{5}{4}\) = 0
⇒ \(\frac{2 x^2+6 x-5}{4}\) ⇒ 2x² + 6x – 5 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(vii) 3x² = 2x + 7
ସମାଧାନ:
3x² = 2x + 7 ⇒ 3x² – 2x – 7 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(viii) (3x + 2)² – (x + 4)² = (x – 3)
ସମାଧାନ:
(3x + 2)² – (x + 4)² = (x – 3)
⇒ 9x² + 4 + 6x- x² – 16 – 8x = x- 3 ⇒ 8x² – 2x – 12 = x – 3
⇒ 8x² – 3x – 9 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(ix) 7x² + 9 = 0
ସମାଧାନ:
7x² + 9 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

(x) 4x = 3 + 6x²
ସମାଧାନ:
4x = 3 + 6x² ⇒ 6x² – 4x + 3 = 0 (ଏହା ଏକ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ)

Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ସମୀକରଣ ସିଦ୍ଧ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ତାଙ୍କର ମୂଳଦ୍ଵାରା ସିଦ୍ଧ ହୁଅନ୍ତି ।

(i) x² – 3x = 0 (0, 1, 2, 3)
ସମାଧାନ:
x² – 3x = 0 ⇒ x (x – 3) = 0
⇒ x = 0 ବା x = 3 ∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 0 ଓ 3 ‍।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
x² – 3x = 0 (0 ଓ 3 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(ii) 3x² – 12 = 0 (1, -1, 2, -2)
ସମାଧାନ:
3x² – 12 = 0 ⇒ 3x² = 12 ⇒ x² = 4
⇒ x = ±√4 = ± 2 ∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ -2 ‍।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
3x² – 12 = 0 (2 ଓ -2 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(iii) x² – 3x + 2 = 0 (0, 1, 2, 3)
ସମାଧାନ:
x² – 3x + 2 = 0 ⇒ x² – 2x – x + 2 = 0
⇒ x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(x + 1) ⇒ x – 2 = 0 ବା x – 1 = 0 ⇒ x = 2 ବା x = 1
∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ 1 ‍।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
x² – 3x + 2 = 0 (2 ଓ 1 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(iv) x² + √2x – 4 = 0 (√2, -√2, 2√2, -2√2)
ସମାଧାନ:
x² + √2x – 4 = 0 ⇒ x2 + 2√2x – √2x – 4 = 0
⇒ x (x + 2√2) – √2 (x + 2√2 ) = 0
(x + 2√2) (x – √2) = 0 ⇒ x + 2√2 =0 ବା x – √2 = 0
x = -2√2, x = √2
∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ -2√2 ଓ √2 ‍।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
x² + √2x – 4 = 0 (-2√2 ଓ √2 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

(v) x² – x – 2 = 0 (1, 0, -1, 2)
ସମାଧାନ:
x² – x – 2 ⇒ x² – 2x + x – 2 = 0 ⇒ x (x – 2) + 1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x + 1) = 0 ⇒ x – 2 = 0 ବା x + 1 = 0 ⇒ x = 2 ବା x = -1
∴ ଏହି ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟ 2 ଓ -1 ‍।
ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ଏଠାରେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପାଇଁ ସମୀକରଣଟି ‘0’ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।
x² – x – 2 = 0 (2 ଓ -1 ସମୀକରଣକୁ ସିଦ୍ଧ କରୁଛି ।)

Question 3.
ସମାଧାନ କର :

(i) 7x² = \(\frac{1}{28}\)
ସମାଧାନ:
7x² = \(\frac{1}{28}\)
⇒ x² = \(\frac{1}{196}\)
⇒ x = ± \(\sqrt{\frac{1}{196}}=\pm \frac{1}{14}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ \(\frac{1}{14}\) ଓ \(\frac{-1}{14}\) ।

(ii) 5x² = 3x
ସମାଧାନ:
5x² = 3x
⇒ 5x² – 3x = 0
⇒ x (5x – 3) = 0
⇒ x = 0 କିମ୍ବ। 5x – 3 = 0
⇒ x = 0 କିମ୍ବ। x = \(\frac{3}{4}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 0 ଓ \(\frac{3}{4}\) ।

(iii) x² – 3x + 2 = 0
ସମାଧାନ:
x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – 2x – x + 2 = 0
⇒ x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x – 1) = 0
⇒ x -2 = 0 କିମ୍ବ। x – 1 = 0
⇒ x = 2 କିମ୍ବ। x = 1
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 2 ଓ 1

(iv) (x + 1) (x + 2) = 30
ସମାଧାନ:
(x + 1) (x + 2) = 30
⇒ x²  + x + 2x + 2 – 30 = 0
⇒ x²  + 3x – 28 = 0
⇒ x²  + 7x – 4x – 28 = 0
⇒ x (x + 7) – 4 (x + 7) = 0
⇒ (x + 7) (x – 4) = 0
⇒ x + 7 = 0 କିମ୍ବ। x – 4 = 0
⇒ x = -7 କିମ୍ବ। x = 4
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ -7 ଓ 4

(v) √3x² – x – 2√3 = 0
ସମାଧାନ:
√3x² – x – 2√3 = 0
⇒ √3x² – 3x + 2x – 2√3 = 0
⇒ √3x (x – √3) + 2 (x – √3) = 0
⇒ (x – √3)(√3x + 2) = 0
⇒ x – √3 = 0 √3x +2 = 0
⇒ x = √3 କିମ୍ବ। x = \(\frac{-2}{\sqrt{3}}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ √3 ଓ \(\frac{-2}{\sqrt{3}}\)

(vi) 2x² – 5x – 3 = 0
ସମାଧାନ:
2x² – 5x – 3 = 0
⇒ 2x² – 6x + x – 3 = 0
⇒ 2x (x – 3) + 1 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (2x + 1) = 0
⇒ x – 3 = 0 କିମ୍ବ। 2x + 1 = 0
⇒ x = 3 କିମ୍ବ। x = \(\frac{-1}{2}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 3 ଓ \(\frac{-1}{2}\) 

(vii) x² + ax = 2a²
ସମାଧାନ:
x² + ax = 2a²
⇒ x² + ax – 2a² = 0
⇒ x² + 2ax – ax – 2a² = 0
⇒ x (x + 2a) – a (x + 2a) = 0
⇒ (x + 2a) (x – a) = 0
⇒ x + 2a = 0 କିମ୍ବ। x – a = 0
⇒ x = -2a କିମ୍ବ। x = a
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ a ଓ -2a

(viii) x² + 2ax + a² – b² = 0
ସମାଧାନ:
x² + 2ax + a² – b² = 0
⇒ x² + 2ax + a² = b²
⇒ (x + a)² = b²
⇒ x + a = ± √b²
⇒ x + a = ± b
∴ x + a = b କିମ୍ବ। x + a = -b
⇒ x = b – a କିମ୍ବ। x = -(a + b)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ (b – a) ଓ -(a + b)

Question 4.
ସମାଧାନ କର :

(i) \(\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}=\frac{4}{15}\)
ସମାଧାନ:
⇒ \(\frac{3 x-(x+2)}{x(x+2)}=\frac{4}{15}\)
⇒ \(\frac{3 x-x-2}{x^2+2 x}=\frac{4}{15}\)
⇒ 4 (x² + 2x) = 15 (2x – 2)
⇒ 4x² + 8x = 30x – 30
⇒ 4x² + 8x – 30x + 30 = 0
⇒ 4x² – 22x + 30 = 0
⇒ 4x² – 12x – 10x + 30 = 0
⇒ 4x (x – 3) – 10 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (4x – 10) = 0
⇒ x – 3 = 0 କିମ୍ବ। 4x – 10 = 0
⇒ x = 3 କିମ୍ବ। x = \(\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 3 ଓ \(\frac{5}{2}\)

(ii) \(\frac{5}{3 x-2}+\frac{3}{x+2}\) = 1
ସମାଧାନ:
⇒ \(\frac{5(x+2)+3(3 x-2)}{(3 x-2)(x+2)}\) = 1
⇒ 5x + 10 + 9x – 6 = (3x – 2) (x + 2)
⇒ 14x + 4 = 3x² + 6x – 2x – 4
⇒ 3x² + 4x – 4 = 14x + 4
⇒ 3x² + 4x – 14x – 4 – 4 = 0
⇒ 3x² – 10x – 8 = 0
⇒ 3x² – 12x + 2x – 8 = 0
⇒ 3x (x – 4) + 2 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (3x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 ବା 3x + 2 = 0
⇒ x = 4 ବା x = \(-\frac{2}{3}\)
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 4 ଓ \(-\frac{2}{3}\)

(iii) \(\frac{x+1}{x+3}-\frac{1-x}{3+2 x}\) = 2
ସମାଧାନ:
⇒ \(\frac{(x+1)(2 x+3)-(x+3)(1-x)}{(x+3)(2 x+3)}\) = 2
⇒ \(\frac{\left(2 x^2+3 x+2 x+3\right)-\left(x-x^2+3-3 x\right)}{2 x^2+6 x+3 x+9}\)
⇒ (2x² + 5x + 3) – (- x² – 2x + 3) = 2 (2x² + 9x + 9)
⇒ 2x² + 5x + 3 + x² + 2x- 3 = 4x² + 18x + 18
⇒ 3x² + 7x – 4x² – 18x – 18 = 0
⇒ -x² – 11x – 18 = 0
⇒ x² + 11x + 18 = 0
⇒ x² + 9x + 2x + 18 = 0
⇒ x (x + 9) + 2 (x + 9) = 0
⇒ (x + 9) (x + 2) = 0
⇒ x + 9 = 0 ବା x + 2 = 0
⇒ x = -9 ବା x = -2
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ -9 ଓ -2

(iv) \(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=\frac{5}{2}\)
ସମାଧାନ:
⇒ \(\frac{x^2+(x+1)^2}{x(x+1)}=\frac{5}{2}\)
⇒ \(\frac{x^2+x^2+2 x+1}{x^2+x}=\frac{5}{2} \Rightarrow \frac{2 x^2+2 x+1}{x^2+x}=\frac{5}{2}\)
⇒ 5(x² + x) = 2 (2x² + 2x + 1)
⇒ 5x² + 5x = 4x² + 4x + 2
⇒ 5x² – 4x² + 5x – 4x – 2 = 0
⇒ x² + x – 2 = 0
⇒ x² + 2x – x – 2 = 0
⇒ x (x + 2) – 1 (x + 2) = 0
⇒ (x – 1) (x + 2) = 0
⇒ x – 1 = 0 ବା x + 2 = 0
⇒ x = 1 ବା x = -2
∴ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ 1 ଓ -2

Question 5.
(i) x² – 7x + a = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 3 ହେଲେ, aର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
x² – 7x + a = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 3।
⇒ (3)² – 7(3) + a = 0 ⇒ 9 – 21 + a = 0
⇒ a – 12 = 0⇒ a = 12
a = 12 ହେଲେ ସମୀକରଣଟି x² – 7x + 12 = 0
⇒ x² – 4x – 3x + 12 = 0
⇒ x (x – 4) – 3(x – 4) = 0 ⇒ (x – 3) (x – 4) = 0
⇒ x – 3 = 0 କିମ୍ବା x – 4 = 0 ⇒ x = 3 କିମ୍ବା x = 4
∴ ସମୀକରଣଟିର ଅନ୍ୟ ବୀଜ 4 । ∵ ପୂର୍ବରୁ ଗୋଟିଏ ବୀଜ 3 ଦତ୍ତ ଅଛି ।
∴ a ର ମାନ 12 ଏବଂ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି 4 ।

(ii) x² + ax – 15 = 0) ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 5 ହେଲେ, ଥର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
x² + ax – 15 = 0 ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ବୀଜ 5 ।
⇒ (5)² + a(5) – 15 = 0 ⇒ 25 + 5a – 15 = 0
⇒ 10 + 5a = 0 ⇒ 10 = -5a ⇒ a = \(\frac{10}{-5}\) = -2
aର ମାନ – 2 ହେଲେ ସମୀକରଣଟି x² – 2x – 15 = 0 ⇒ x² – 5x + 3x – 15 = 0
⇒ x (x – 5) + 3 (x – 5) = 0 ⇒ (x – 5) (x + 3) = 0
⇒ x – 5 = 0 ବା x + 3 = 0 ⇒ x = 5 ବା x = -3
∴ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି -3 ∵ ଗୋଟିଏ ବୀଜ 5 ଦତ୍ତ ଅଛି ।
∴ aର ମାନ – 2 ଓ ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟ ବୀଜଟି – 3 ।

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 4 ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ Ex 4(c)

Question 1.
ଦୁଇଗୋଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 221 ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱୟ x ଓ x + 1 ।
ପ୍ରଶାନୁସାରେ x² + (x + 1)² = 221 ⇒ x² + x² + 2x + 1 = 221
⇒ 2x² + 2x + 1 – 221 = 0 ⇒ 2x² + 2x – 220 = 0
⇒ x² + x – 110 = 0 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 2 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ।)
⇒ x² + 11x – 10x – 110 = 0 ⇒ x (x + 11) − 10 (x + 11) = 0
⇒ (x + 11) (x – 10) = 0 ⇒ x + 11 = 0 ବା x – 10 = 0
⇒ x = -11 ବା x = 10 ଏଠାରେ x = -11 (ଋଣାତ୍ମକ) । ତେଣୁ x = 10 ହେବ
ଗୋଟିଏ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା 10 ହେଲେ ଅନ୍ୟଟି = 10 + 1 = 11
∴ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 10 ଏବଂ 11 ।

Question 2.
କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ବର୍ଗ ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ x² = x ⇒ x² – x = 0 ⇒ x(x – 1) = 0
⇒ x = 0 ବା x – 1 = 0 ⇒ x = 0 ବା 1
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି 0 ବା 1

Question 3.
51 କୁ ଏପରି ଦୁଇ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କର ଯେପରି ଭାଗ ଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ 378 ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ସମାଧାନ ମନେକର ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା = x ଓ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି = 51 – x
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x (51 – x) = 378 = 0 ⇒ 51 – x² = 378 ⇒ x² – 51x + 378 = 0
⇒ x² – 42x – 9x + 378 = 0 ⇒ x (x – 42) – 9(x – 42) = 0
⇒ (x – 42)(x – 9) = 0 ⇒ x – 42 = 0 ବା x – 9 = 0
⇒ x = 42 ବା x = 9
ଯଦି x = 42 ହୁଏ ତେବେ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 9 । ସେହିପରି ଯଦି x = 9 ହୁଏ, ତେବେ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 42 ।
∴ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 42 ଓ 9 1

Question 4.
କୌଣସି ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ଏହାର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଦୁଇଗୁଣରୁ 1 ସେ.ମି. କମ୍ ଏବଂ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 1 ସେ.ମି. ଅଧ୍ଵ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି.
କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x – 1 ସେ.ମି. ଓ ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 1) ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x² + (x + 1)² = (2x – 1)²
⇒ x² + x² + 2x + 1 = 4x² – 4x + 1
⇒ 2x² – 4x² + 2x + 4x + 1 – 1 = 0
⇒ -2x² + 6x = 0
⇒ 2x² – 6x = 0 ⇒ 2x(x – 3) = 0
⇒ x = 0 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ) ବା x – 3 = 0 ⇒ x = 3
 କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 3 ସେ.ମି.
ଅନ୍ୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 1 = 3 + 1 = 4 ସେ.ମି.
କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x – 1 = 2 × 3 – 1 = 6 – 1 = 5 ସେ.ମି.
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. ।

Question 5.
କୌଣସି ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5x ସେ.ମି. ଓ 3x – 1 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
କୌଣସି ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ 5x ସେ.ମି. ଓ 3x – 1 ସେ.ମି. ।
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac{1}{2}\) (5x) (3x – 1) = 60 ⇒ 15x² – 5x = 120
⇒ 15x² – 5x – 120 = 0 ⇒ 5(3x² – x – 24) = 0
⇒ 3x² – x – 24 = 0 ⇒ 3x² – 9x + 8x – 24 = 0
⇒ 3x (x – 3) + 8 (x – 3) = 0 ⇒ (x – 3)(3x + 8) = 0
⇒ x – 3 = 0 ବା 3x + 8 = 0 ⇒ x = 3 ବା x = \(\frac{-8}{3}\) (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟ 5x = 5 × 3 = 15 ସେ.ମି. ଏବଂ 3x – 1 = 3 × 3 – 1 = 8 ସେ.ମି. ।
କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ \(\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}\) = 17 ସେ.ମି. ।
∴ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି., 15 ସେ.ମି. ଓ 17 ସେ.ମି. ।

Question 6.
କୌଣସି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଏହାର ବ୍ୟତ୍‌କ୍ରମ ସଂଖ୍ୟା (Reciprocal)ର ସମଷ୍ଟି \(\frac{17}{4}\) ହେଲେ, ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି x ଓ ଏହାର ବ୍ୟୁତ୍‌କ୍ରମ \(\frac{1}{x}\)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{17}{4}\) ⇒ \(\frac{x^2+1}{x}=\frac{17}{4}\)
⇒ 4x² + 4 = 17x ⇒ 4x² – 17x + 4 = 0
⇒ 4x² – 16x – x + 4 = 0 ⇒ 4x (x – 4) – 1 (x + 4) = 0
⇒ (x – 4) (4x – 1) = 0 ⇒ x – 4 = 0 ବା 4x – 1 = 0
⇒ x = 491 x = \(\frac{1}{4}\)
ଯଦି x = 4 ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ବ୍ୟତ୍‌କ୍ରମ \(\frac{1}{4}\) ହେବ ।
ପୁନଶ୍ଚ ଯଦି x = \(\frac{1}{4}\) ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ବ୍ୟତ୍‌କ୍ରମ 4 ହେବ ।
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି 4 କିମ୍ବା \(\frac{1}{4}\) ।

Question 7.
କୌଣସି ଏକ ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥ ଅପେକ୍ଷା ୫ ମି. ଅଧ୍ବକ । ଯଦି ଉକ୍ତ ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 308 ବର୍ଗ ମି. ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ = x ମି. ଓ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 8) ମି.
ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (x + 8) x ବର୍ଗ ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, (x + 8) x = 308 = x² + 8x – 308 = 0
⇒ x² + 22x – 14x – 308 = 0 ⇒ x (x + 22) – 14 (x + 22) = 0
⇒ (x – 14) (x + 22) = 0 ⇒ x – 14 = 0 କିମ୍ବା x + 22 = 0
⇒ x = 14 କିମ୍ବା x = -22 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ = 16 ମି. ଓ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 8 = 14 + 8 = 22 ମିଟର ।
∴ ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22 ମିଟର ଓ ପ୍ରସ୍ଥ 14 ମିଟର ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ଶ୍ରେଣୀର ପିଲାମାନେ ଭ୍ରମଣରେ ଯିବା ପାଇଁ 3600 ଟଙ୍କା ଭଡ଼ାରେ ଏକ ବସ୍ ବରାଦ କଲେ । କିନ୍ତୁ ଶେଷବେଳକୁ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ 3 ଜଣ ପିଲା ଓହରି ଯିବାରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କୁ ଆଉ ଚାଳିଶ ଟଙ୍କା ଲେଖାଏଁ ଅଧିକ ଦେବାକୁ ପଡ଼ିଲା । ପ୍ରଥମରୁ କେତେ ପିଲା ଯିବା ପାଇଁ ମନସ୍ଥ କରିଥିଲେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ପ୍ରଥମରୁ x ଜଣ ପିଲା ଭ୍ରମଣକୁ ଯିବାପାଇଁ ମନସ୍ଥ କରିଥିଲେ ।
x ଜଣ ପିଲା ଟଙ୍କା ପାଇଁ 3600 ବସ୍ ଭଡ଼ା ପଡ଼ିଥିଲେ
ପ୍ରତି ଜଣକୁ ଦେବାକୁ ପଡ଼ିଥା’ନ୍ତା = \(\frac{3600}{x-3}\) ଟଙ୍କା
3 ଜଣ ପିଲା ଓହରିଯିବାରୁ ଭ୍ରମଣପାଇଁ ଗଲେ = (x – 3) ଜଣ
(x – 3) ଜଣ ପିଲା ପାଇଁ 3600 ଟଙ୍କା ବସ୍‌ଭଡ଼ା ପଡ଼ିଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଭଡ଼ା ଦେବାକୁ ପଡ଼ିବ = \(\frac{3600}{x-3}\) ଟଙ୍କା
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, \(\frac{3600}{x-3}-\frac{3600}{x}\) = 40 ⇒ 3600 (\(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}\)) = 40
⇒ \(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}=\frac{40}{3600} \Rightarrow \frac{x-x+3}{x(x-3)}=\frac{1}{90}\)
⇒ x (x – 3) = 3 × 90 ⇒ x² – 3x – 270 = 0
⇒ x² – 18x + 15x – 270 = 0 ⇒ x (x – 18) + 15 (x – 18) = 0
⇒ (x – 18) (x + 15) = 0 ⇒ x – 18 = 0 ବା x + 15 = 0
⇒ x = 18 ବା x = -15 (ଅସମୃବ)
∴ ପ୍ରଥମରୁ 18 ଜଣ ପିଲା ଭ୍ରମଣ ପାଇଁ ମନସ୍ଥ କରିଥିଲେ ।

Question 9.
ତିନିଗୋଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 110 ହେଲେ ସଂଖ୍ୟା ତିନୋଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା x, x + 1 ଓ (x + 2 )
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, x² + (x + 1)² + (x + 2)² = 110
⇒ x² + x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 = 110
⇒ 3x² + 6x + 5 = 110 ⇒ 3x² + 6x + 5 – 110 = 0
⇒ 3x² + 6x – 105 = 0 ⇒ 3 (x² + 2x – 35) = 0
⇒ x² + 2x – 35 = 0 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 3 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ।)
⇒ x² + 7x – 5x – 35 = 0 ⇒ x (x + 7) – 5 (x + 7) = 0
⇒ (x + 7) (x – 5) = 0 ⇒ x + 7 = 0 ବା x – 5 = 0
⇒ x = -7 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ) ବା x = 5
⇒ x + 1 = 5 + 1 = 6, x + 2 = 5 + 2 = 7
∴ ତିନିଗୋଟି କ୍ରମିକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା 5, 6 ଓ 7 1

Question 10.
ଦୁଇଗୋଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗର ସମଷ୍ଟି 290 ହେଲେ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ x ଓ x + 2 ।
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, x² + (x + 2)² = 290 ⇒ x² + x² + 4x + 4 – 290 = 0
⇒ 2x² + 4x – 286 = 0 ⇒ 2(x² + 2x – 143) = 0
⇒ x² + 2x – 143 = 0
⇒ x² + 13x – 11x – 143 = 0 ⇒ x (x + 13) – 11 (x + 13) = 0
⇒ (x + 13) (x – 11) = 0 ⇒ x + 13 = 0 ବା x – 11 = 0
⇒ x = -13 ବା x = 11
⇒ x = -13 ହେଲେ x + 2 = -13 + 2 = -11
⇒ x= 11 ହେଲେ x + 2 = 11 + 2 = 13
∴ କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ – 13 ଓ – 11 ବା 11 ଓ 13 

Question 11.
ଏକ ଆୟତ କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଅପେକ୍ଷା 2 ମିଟର ଅଧୂକ । ଯଦି କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 48 ବର୍ଗ ମିଟର ହୁଏ, ତେବେ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ = x ମିଟର ଓ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 2) ମିଟର ।
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (x + 2) x ବର୍ଗ ମିଟର ।
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, x (x + 2) = 48 ⇒ x² + 2x = 48
⇒ x² + 2x – 48 = 0 ⇒ x² + 8x – 6x – 48 = 0
⇒ x (x + 8)- 6 (x + 8) = 0 ⇒ (x – 6) (x + 8) = 0
⇒ x – 6 = 0 ବା x + 8 = 0 ⇒ x = 6 ବା x = -8 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
ପ୍ରସ୍ଥ = 6 ସେ.ମି., ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 2 = 6 + 2 = 8 ସେ.ମି. ।
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. ଓ 6 ସେ.ମି. ।

Question 12.
ଏକ ମୋଟର ଲଞ୍ଚ ନଦୀ ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ 36 କି.ମି. ଯାତ୍ରା କରି ଯାତ୍ରା ଆରମ୍ଭ ସ୍ଥାନକୁ ଫେରି ଆସିବାକୁ ସମୁଦାୟ 8 ଘଣ୍ଟା ସମୟ ନେଲା । ଯଦି ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ 6 କି.ମି. ହୁଏ, ତେବେ ସ୍ଥିର ଜଳରେ ଲଞ୍ଚଟିର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ମୋଟର ଲଞ୍ଚର ସ୍ଥିର ଜଳରେ ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ = x କି.ମି. ।
ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ = 6 କି.ମି. ।
ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ଲଞ୍ଚଟି 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଯିବ = (x + 6) କି.ମି. ।
ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ ଲଞ୍ଚଟି 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଯିବ = (x – 6) କି.ମି. ।
ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ଲଞ୍ଚଟିକୁ 36 କି.ମି. ଯିବାକୁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{36}{x+6}\) ଘଣ୍ଟା
ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ ଲଞ୍ଚଟିକୁ 36 କି.ମି. ଯିବାକୁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{36}{x=6}\) ଘଣ୍ଟା
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, \(\frac{36}{x+6}+\frac{36}{x-6}\) = 8 ⇒ 36(\(\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x-6}\)) = 8
⇒ \(\frac{x-6+x+6}{(x+6)(x-6)}=\frac{8}{36}\) ⇒ \(\frac{2 x}{x^2-36}=\frac{8}{36}\)
⇒ \(\frac{x}{x^2-36}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\) ⇒ x² – 36 = 96
⇒ x² – 9x – 36 = 0 ⇒ x² – 12x + 3x – 36 = 0
⇒ x (x – 12) + 3 (x – 12) = 0 ⇒ (x – 12) (x + 3) = 0
⇒ x – 12 = 0 ବା x + 3 = 0 ⇒ x = 12 ବା x = -3 (ଅସମୃବ)
∴ ମୋଟର ଲଞ୍ଚର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ 12 କି.ମି. ।

Question 13.
ଦୁଇଗୋଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅପରଟିର ଦୁଇ ଗୁଣରୁ ଏକ ମିଟର କମ୍ । ଯଦି କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳମାନଙ୍କ ଅନ୍ତର 56 ବର୍ଗ ମିଟର ହୁଏ, ତେବେ ଦୁଇଟି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ମିଟର ।
 ଅନ୍ୟ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (2x – 1) ମିଟର ।
କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଯଥାକ୍ରମେ x² ବର୍ଗ ମି. ଏବଂ (2x – 1)² ବର୍ଗ ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, (2x- 1)² – x² = ବର୍ଗ ମି. ⇒ 4x² – 4x + 1 – x² = 56
⇒ 3x² – 4x + 1 – 56 = 0 ⇒ 3x² – 4x – 55 = 0
⇒ 3x² – 15x + 11x – 55 = 0 ⇒ 3x (x – 5) + 11 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5)(3x + 11) = 0 ⇒ x – 5 = 0 ବା 3x + 11 =0
⇒ x = 5 ବା 3x= -11 ⇒ x = 5 ବା x = \(\frac{-11}{3}\)
ଏଠାରେ x = \(\frac{-11}{3}\) (ଅସମୃବ)
x = 5 ମି. ହେଲେ 2x – 1 = 2 × 5 – 1 = 10 – 1=9 ମି.
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ମି. ଓ 9 ମି. ।

Question 14.
ଦୁଇଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ଅପରଟିର ତିନି ଗୁଣରୁ ଦୁଇ କମ୍ । ଯଦି ସଂଖ୍ୟା)ଦ୍ୱୟର ବର୍ଗର ଅନ୍ତର 312 ହୁଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା = x, ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ ଅନ୍ୟ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା = 3x – 2 
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, (3x- 2)² – x² = 312 ⇒ 9x² – 12x + 4 – x² = 312
⇒ 8x² – 12x + 4 – 312 = 0 ⇒ 8x² – 12x – 308 = 0
⇒ 4 (2x² – 3x – 77) = 0
⇒ 2x² – 3x – 77 = 0 (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4 ଦ୍ବାରା ଭାଗକଲେ ।)
⇒ 2x² – 14x + 11x – 77 = 0 ⇒ 2x(x – 7) + 11(x – 7) = 0
⇒ (x – 7)(2x + 11) = 0 ⇒ x – 7 = 0 ବା 2x + 11 =0
ଯଦି x – 7 = 0 ହୁଏ, ତେବେ x = 7
ଯଦି 2x + 11 = 0 ହୁଏ, ତେବେ 2x = -11 ⇒ x = \(\frac{-11}{3}\) (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
x = 7 ହେଲେ 3x – 2 = 3 × 7 – 2 = 21 – 2 = 19
∴ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ 7 ଓ 19 ।

Question 15.
ଦୁଇଟି ଷ୍ଟେସନ୍ Á ଓ B ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା 192 କି.ମି. । ଏକ ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍ A ରୁ Bକୁ ଯିବାକୁ ଯେତିକି ସମୟ ନିଏ ଏକ ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍ ତା’ଠାରୁ ଦୁଇଘଣ୍ଟା ଅଧିକ ସମୟ ନିଏ । ଯଦି ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ ଦୃତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ ଠାରୁ 16 କି.ମି. କମ୍ ହୁଏ, ତେବେ ଟ୍ରେନ୍‌ଦ୍ଵୟର ହାରାହାରି ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
 A ଓ B ଦୁଇଟି ଷ୍ଟେସନ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = 192 କି.ମି.
ମନେକର ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ = x କି.ମି.
ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ = (x – 16) କି.ମି. ।
192 କି.ମି. ବାଟ ଯିବାକୁ ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍‌କୁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{192}{x}\) ଘଣ୍ଟା (∴ ସମୟ =\(\frac{ଦୂରତା}{ବେଗ}\)
192 କି.ମି. ଯିବାକୁ ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍‌କୁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{192}{x-16}\) ଘଣ୍ଟା
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, \(\frac{192}{x-16}-\frac{192}{x}\) = 2 ⇒ 192(\(\frac{1}{x-16}-\frac{1}{x}\)) = 2 ⇒ \(\frac{1}{x-16}-\frac{1}{x}=\frac{2}{192}\)
⇒ \(\frac{x-x+16}{x(x-16)}=\frac{1}{96}\) ⇒ x(x – 16) = 16 × 96
⇒ x² – 16x – 1536 = 0 ⇒ x² – 48x + 32x – 1536 = 0
⇒ x(x – 48) + 32(x – 48) = 0 ⇒ (x – 48) (x + 32) = 0
⇒ x – 48 = 0 କିମୃ। x + 32 = 0 ⇒ x = 48 କିମୃ। x = -32 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
∴ ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ = 48 କି.ମି. ।
ପାସେଞ୍ଜର ଟ୍ରେନ୍‌ର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ହାରାହାରି ବେଗ = x – 16 = 48 – 16 = 32 କି.ମି. ।

Question 16.
ଗୋଟିଏ ନୌକାର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ ସ୍ଥିର ଜଳରେ 11 କି.ମି. । ଏହା ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ 12 କି.ମି. ଗତିକରି ପୁନଶ୍ଚ ଅନୁକୂଳରେ ଫେରିଆସିବାକୁ ମୋଟ 2 ଘଣ୍ଟା 45 ମିନିଟ୍ ସମୟ ନେଲା ତେବେ ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟାପ୍ରତି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସ୍ରୋତର ବେଗ = x କି.ମି.|ଘଣ୍ଟା । ଦତ୍ତ ଅଛି ନୌକାର ବେଗ = 11 କି.ମି. /ଘଣ୍ଟା ।
∴ ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ ନୌକାର ବେଗ (11 + x) କି.ମି. /ଘଣ୍ଟା
ଏବଂ ପ୍ରତିକୂଳରେ ନୌକାର ବେଗ = (11 – x) କି.ମି. /ଘଣ୍ଟା 
ସ୍ରୋତର ଅନୁକୂଳରେ 12 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{12}{11+x}\) ଘଣ୍ଟା
ଏବଂ ସ୍ରୋତର ପ୍ରତିକୂଳରେ 12 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରିବା ପାଇଁ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{12}{11-x}\) ଘଣ୍ଟା
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, \(\frac{12}{11+x}+\frac{12}{11-x}\) = 2 \(\frac{45}{60}\) ବା 2 \(\frac{3}{4}\) ⇒ \(\frac{132-12 x+132+12 x}{(11+x)(11-x)}=\frac{11}{4}\)
⇒ \(\frac{264}{121-x^2}=\frac{11}{4}\) ⇒ 1056 = 1331 – 11x²
⇒ 11x² = 1331 – 1056 = 275 ⇒ x² = \(\frac{275}{11}\) ⇒ x = √25 = 5
∴ ସ୍ରୋତର ଘଣ୍ଟା ପ୍ରତି ବେଗ 5 କି.ମି. ।

Question 17.
ଗୋଟିଏ ଗାଈଗୋଠର ଏକ ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଦୃଷ୍ଟିଗୋଚର ହେଉଥିଲେ । ଗୋଠରେ ଥ‌ିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗମୂଳର ଦୁଇଗୁଣ ସଂଖ୍ୟକ ଗାଈ ପାହାଡ଼ର ପାଦଦେଶରେ ଚରୁଥିଲେ ଏବଂ ଅବଶିଷ୍ଟ 15 ଟି ଗାଈ ନଦୀକୂଳରେ ଚରୁଥିଲେ । ତେବେ ଗୋଠରେ କେତୋଟି ଗାଈ ଥିଲେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଗାଈ ଗୋଠରେ x²ଟି ଗାଈ ଥିଲେ । ଦୃଷ୍ଟିଗୋଚର ହେଉଥ‌ିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = \(\frac{x^2}{4}\)
ପାହାଡ଼ର ପାଦ ଦେଶରେ ବୁଲୁଥ‌ିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = 2x  ନଦୀକୂଳରେ ଚରୁଥିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = 15
ପ୍ରଶ୍ନ।ନୁସାରେ, x² = \(\frac{x^2}{4}\) + 2x + 15 ⇒ x² = \(\frac{x^2+8 x+60}{4}\)
⇒ 4x² – x² – 8x- 60 = 0 ⇒ 3x² – 8x – 60 = 0
⇒ 3x² – 18x + 10x – 60 = 0 ⇒ 3x (x – 6) + 10 (x-  6) = 0
⇒ (x – 6) (3x + 10) = 0 ⇒ x – 6 = 0 ଘଣ୍ଟା  3x + 10 = 0
⇒ x = 6 ଘଣ୍ଟା x = \(\frac{-10}{3}\) (ଏହା ଅସମ୍ଭବ)
⇒ x² = 6² = 36
∴ ଗୋଠରେ 36ଟି ଗାଈ ଥିଲେ ।
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : ମନେକର ଗୋଠରେ ଥିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = x
∴ ଦୃଷ୍ଟିଗୋଚର ହେଉଥୁବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା = \(\frac{x}{4}\)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x= \(\frac{x}{4}\) + 2√x + 15 ⇒ \(\frac{3x}{4}\) – 15=2√x
⇒ 3x – 60 = 8√x ⇒ 9x² + 3600 – 360x = 64x
⇒ 9x² – 424x + 3600 = 0 ⇒ (x – 36) (9x – 100) = 0 ⇒ x = 36
∴ ଗୋଠରେ ଥ‌ିବା ଗାଈ ସଂଖ୍ୟା 36 ।

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Algebra Chapter 1 ସରଳ ସହସମୀକରଣ

ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction) :

→ ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି x ରେ ଏକ ସରଳ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ ହେଉଛି ax + b = 0, ଯେଉଁଠାରେ a ≠ 0 ।
ଏଠାରେ à ଓ b ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ a କୁ xର ସହଗ (Coefficient) ଓ bକୁ ଧ୍ରୁବକ ରାଶି କୁହାଯାଏ ।
ଏଠାରେ ସମୀକରଣଟିର ସମାଧାନ (ମୂଳ) = \(\frac{-b}{2}\) ।

→ ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି x ଓ y ରେ ସରଳରେଖୀୟ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ ax + by + c = 0 ……. (1)
ଯେଉଁଠାରେ a ଓ b ଯଥାକ୍ରମେ x ଓ yର ସହଗ ଓ c ଧ୍ରୁବକ ରାଶି ଏବଂ a, b ଓ ୯ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି । ଏଠାରେ a ≠ 0 ଓ b ≠ 0 ।

→ xy- ସମତଳରେ y = mx + c ର ଲେଖଚିତ୍ର ଏକ ସରଳରେଖା ହେତୁ ଏହାକୁ ସରଳରେଖୀୟ ସମୀକରଣ (Linear Equation) କୁହଯାଏ ।

→ x = α ଓ y = ß ହେଲେ ଏବଂ ଯଦି ସମୀକରଣଟି aα + bß + c = 0 ହୁଏ, ତେବେ x = α ଓ y = ß ସମୀକରଣର ଏକ ସମାଧାନ ହେବ । ସମାଧାନଟି (α, ß) । xy-ସମତଳରେ (α, ß) ଏକ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Co-ordinate) ହୋଇଥାଏ ।

ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ (Geometrical Representation) :
→ ମନେକର ଦଉ ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ
a₁x + b₁y + c₁ = 0 … (1)
ଓ a₂x + b₂y + c₂ = 0 … (2)

→ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ପାଇଁ ଦୁଇଗୋଟି ସମାଧାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।

→ ମନେକର ସମୀକରଣ (1) ଓ (2)ର ଲେଖଚିତ୍ର xy-ସମତଳରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଯଥାକ୍ରମେ L₁ ଓ L₂ ହେଉ ।
L₁ : a₁x + b₁y + c₁ = 0 ଏବଂ L₂ : a₂x + b₂y + c₂ = 0

→ L₁ ଓ L₂ ସରଳରେଖାଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ P ନେଇ ଉକ୍ତ ବିନ୍ଦୁର x-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଓ y-ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଉ ।

→ ଚିତ୍ର (i)ରେ L₁ ଓ L₂, ସରଳରେଖାଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ, ସେମାନଙ୍କର କେବଳ ଗୋଟିଏ ଛେଦବିନ୍ଦୁ P ଓ ଏହି ବିଦୁଟି ଉଭୟ L₁ ଓ L₂; ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଏହାର ସ୍ଥାନାଙ୍କ (α, ß) ଅର୍ଥାତ୍‌ x = α ଓ y = ß ଦ୍ବାରା ଉଭୟ ସମୀକରଣ (1) ଓ (2) ସିଦ୍ଧ ହୁଅନ୍ତି ।
ସମୀକରଣ (1) ଓ (2)ର କେବଳ ଗୋଟିଏ (ଅନନ୍ୟ) ସମାଧାନ ରହିବ; ଯଦି ଓ କେବଳ ଯଦି ସମୀକରଣ ଦ୍ବୟ ଦ୍ବାରା ସୂଚିତ ସରଳରେଖାଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ହେବେ ।

→ ଚିତ୍ର (ii)ରେ L₁ ଓ L₂ ସରଳରେଖା ଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (coincident) ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ ଏବଂ ଅଭିନ୍ନ ଅଟନ୍ତି ।
ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ ଅସଂଖ୍ୟ । ଅତଏବ ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମୀକରଣ ଦ୍ବୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

→ ଚିତ୍ର (iii)ରେ L₁ ଓ L₂ ସରଳରେଖା ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ସହ ସମାନ୍ତର । ଅର୍ଥାତ୍ ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ ହେବେ ନାହିଁ । ସହ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଦ୍ବାରା ସୂଚିତ ସରଳରେଖା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ହେଲେ, ସହ-ସମ୍ଭବ। ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ବାରା ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ (Solution of Simultaneous equations by use of Graphs) :
ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ଏକ ସରଳରେଖା । ଦୁଇଗୋଟି ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ a₁x + b₁y + c₁ = 0 ଏବଂ a₂x + b₂y + c₂ = 0 ର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ସେମାନଙ୍କ ଛେଦବିନ୍ଦୁ (α, ß) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ, ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ (α, ß) ହେବ ।

ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ :

→ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ପାଇଁ ଅତି କମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।

• ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ y = mx + c ରୂପରେ ଲେଖାଯାଏ ।
• ପ୍ରତି xର ଏପରି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାମାନ ନେଇ yର ମଧ୍ୟ ଏକ ଅନୁରୂପ ପୂର୍ଣସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
• ମାନଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ କ୍ରମିତ ଓ ଯୋଡ଼ିମାନ ସ୍ଥିର କରାଯାଏ ।

→ ଲେଖ କାଗଜରେ XOX’ ଓ YOY’ ଅକ୍ଷ – ଅଙ୍କନ କରାଯାଏ ।

→ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣର ସ୍ଥିରୀକୃତ କ୍ରମିତ ଯୋଡ଼ିମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଅତି କମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ L₁ ଓ L₂ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଏ ।

→ ଯଦି ସେମାନେ (α, ß) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି, ତେବେ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ (α, ß) ହେବ ।

ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ଭ (Conditions of solvability of two Linear simultaneous equations) :

→ xy-ସମତଳରେ ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ଦତ୍ତ ଥିଲେ ସେମାନେ ଯଦି ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ, ସେମାନଙ୍କର ଗୋଟିଏ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ରହିବ । ସରଳରେଖାଦ୍ବୟର ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ହେଲେ,
a₁x + b₁y + c₁ = 0 … (1)
a₂x + b₂y + c₂ = 0 … (2)

→ ସରଳରେଖାଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରଛେଦୀ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସହ- ସମୀକରଣଦ୍ବୟ ସଙ୍ଗୀତ ଓ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର (consistent and independent), ତେବେ \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) ହେବ ।

→ ଯଦି ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହୁଅନ୍ତି ତେବେ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗୀତ ଓ ପରସ୍ପର ନିର୍ଭରଶୀଳ (consistent and dependent) ହେବେ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସହ-ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ।

→ ଯଦି ସରଳରେଖାଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ ନ କରିବେ ଏବଂ ସେମାନେ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ହେବେ ଓ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) ସର୍ଭ ପୂରଣ ହେବ ଏବଂ ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ (inconsistent) ହେବେ ଅର୍ଥାତ୍ ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର କୌଣସି ସମାଧାନ ରହିବ ନାହିଁ ।

ମନେରଖ :

ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ : ସମୀକରଣ a₁x + b₁y + = 0 ଓ a₂x + b₂y = 0 ଦ୍ବୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନଟି (0, 0);
ଯଦି \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) ଓ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ; ଯଦି \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\)। ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବଦା ସଙ୍ଗତ ଅଟନ୍ତି ।

→ (ସହ-ସମୀକରଣ ଦ୍ବୟର ବୀଜଗାଣିତିକ ସମାଧାନ) :
(Algebraic solution of Simultaneous Equations):
a₁x + b₁y + c₁ = 0 ଓ a₂x + b₂y + c₂ = 0 … (2)
ମନେକର ଦତ୍ତ ସହ-ସମୀକରଣ ଦ୍ବୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ସ୍ବତନ୍ତ୍ର ।

(a) ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀ (Method of Substitution) :
(b) ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀ (Method of Elimination)
(c) ବକ୍ରଗୁଣନ ପକ୍ଷିଣ (Method of Cross Multiplication)
ଏହି ଦୁଇ ସହସମୀକରଣ 3ଟି ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରଣାଳୀ/ପଦ୍ଧତି ସାହାଯ୍ୟରେ ସମାଧାନ କରାଯାଇ ପାରିବ । ଯଥା-

(a) ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀ (Method of Substitution) :
ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ କରିବାକୁ ହେଲେ, ପ୍ରଥମେ ଏମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣରୁ y କିମ୍ବା x ର ମାନ ନେଇ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ x କିମ୍ବା y ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହେବ ।
ଉଦାହରଣ : a₁x + b₁y + c₁ = 0 … (1)
ଓ a₂x + b₂y + c₂ = 0 … (2)
ସମାଧାନ :
(i) ମନେକର ସମୀକରଣ (1)କୁ ବିଚାର କରାଯାଇ yକୁ x ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା
ଯଦି b₁≠ 0, a₁x + b₁y + c = 0 ⇒ b₁y = -c₂ – a₁x
⇒ y = \(\frac{1}{b_1}(-c_1-a_1 x)\) ……. (3)

(ii) yର ମାନ \(\frac{1}{b_1}(-c_1-a_1 x)\) କୁ ସମୀକରଣ (2) ରେ ବ୍ୟବହାର କଲେ,

→ ଅପସାରଣ ପ୍ରଣାଳୀ (Method of Elimination) :
ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର x କିମ୍ବା yର ସହଗମାନଙ୍କୁ ଅପସାରଣ କରାଯାଏ ।
a₁x + b₁y + c₁ = 0 ଓ a₂x + b₂y + c₂ = 0
(i) ମନେକର ଆମେ xକୁ ଅପସାରଣ କରିବା । ସମୀକରଣ (1)ରେ xର ସହଗ a1 କୁ ସମୀକରଣ (2)ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଗୁଣନ କଲେ ଏବଂ ସମୀକରଣ (2)ରେ xର ସହଗ a1କୁ ସମୀକରଣ (1)ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଗୁଣନ କରି ବିୟୋଗ କଲେ,

(ii) y ର ମାନକୁ ସମୀକରଣ (1) [କିମ୍ବା ସମୀକରଣ (2)]ରେ ବ୍ୟବହାର କଲେ,
x = \(\frac{b_1 c_2-b_2 c_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\) ଲବ୍‌ଧ ହେବ ।
x = \(\frac{b_1 c_2-b_2 c_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}, \quad y=\frac{c_1 a_2-c_2 a_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\) ହେବ ।

(c) ବକ୍ରଗୁଣନ ପକ୍ଷିଣ (Cross Multiplication) :

ଏଠାରେ ସ୍ମରଣ ରହିବା ଉଚିତ ଯେ a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0, ଅର୍ଥାତ୍ \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \)
ସମୀକରଣ (4)ରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ଉକ୍ତିକୁ ବଜ୍ରଗୁଣନ କୁହାଯାଏ । ଏହାକୁ ସହଜରେ ମନେରଖ୍ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖୂ ପଦ୍ଧତି ଅବଲମ୍ବନ କରାଯାଇଥାଏ ।

c₁ = c₂ = 0 ଓ a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0 ହେଲେ, aa₁x + b₁y = 0, a₂x + b₂y = 0 ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନଟି (0, 0) ଅଟେ । ଏଠାରେ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟକୁ ସମ ସହ-ସମୀକରଣ (Homogeneous Simultaneous equation) କୁହାଯାଏ I a₁b₂ – a₂b₁ = 0 ହେଲେ, ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହେବେ ଓ ଦତ୍ତ ସହ-
ଦୁଇଗୋଟି ସହ-ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଦିଆଯାଇଥିଲେ ପ୍ରଥମେ a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0 ସର୍ଭଟି ସତ୍ୟ ବୋଲି ପରୀକ୍ଷା କରିବା ଆବଶ୍ୟକ ।

→ ଅଣ ସରଳରେଖ୍ୟ ସହସମୀକରଣ (Non-Collinear Equation) :
ଅନେକ ସହ-ସମୀକରଣ ଯାହାକି ଏକଘାତୀ ନୁହେଁ, ସେମାନଙ୍କୁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ଏକଘାତୀ ରୂପକୁ ଅଣାଯାଇ ପାରିବ ଓ ଉପରେ ଆଲୋଚିତ ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରଣାଳୀର ଅବଲମ୍ବନରେ ସମାଧାନ କରିହେବ ।

→ କ୍ରାମରଙ୍କ ନିୟମ (Cramer’s Rule) :
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରଟିକୁ ବିଚାର କର : A = \(\left(\begin{array}{ll}
5 & 7 \\
2 & 1
\end{array}\right)\)

ଏହି ଚିତ୍ରରେ ଲେଖାଯାଇଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଦୁଇଗୋଟି ଧାଡ଼ି (row) ଓ ଦୁଇଗୋଟି ସ୍ତମ୍ଭ (column) ରେ ଲେଖାଯାଇଛି । ସମସ୍ତ ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭଗୁଡ଼ିକୁ ଦୁଇଟି ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରେ ରଖାଯାଇଛି । ଏହାକୁ A ରୂପେ ନାମିତ କରାଯାଇଛି । ଏଠାରେ Aକୁ ଏକ 2 × 2 ମାଟ୍ରିକ୍‌ (Matrix) କୁହାଯାଏ । ଆମେ ମଧ୍ୟ 3 × 3, 4 × 4 ମାଟ୍ରିକ୍‌ ଲେଖୁରିବା । ଉଚ୍ଚତର ଗଣିତରେ ମାଟ୍ରିକ୍‌ସର ବ୍ୟବହାର ବହୁଳ ଭାବେ କରାଯାଏ । ଯେହେତୁ ଏଠାରେ ଧାଡ଼ି ସଂଖ୍ୟା ସହ ସ୍ତମ୍ଭ ସଂଖ୍ୟା ସମାନ, ତେଣୁ ଏହି ମାଟ୍ରିକ୍‌ଗୁଡ଼ିକୁ ବର୍ଗ ମାଟ୍ରିକ୍‌ (Square matrix) କୁହାଯାଏ । କେବଳ 2 × 2 ମାଟ୍ରିକ୍‌ସକୁ ଏଠାରେ ବିଚାର କରାଯାଉଛି । ପ୍ରତି ବର୍ଗ ମାଟ୍ରିକ୍‌ସ ସହ ଗୋଟିଏ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ସଂପୃକ୍ତ ଓ ଏହାକୁ ବର୍ଗ ମାଟ୍ରିକ୍‌ସର ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ (determinant) କୁହାଯାଏ । ଯଦି ମାଟ୍ରିକ୍‌ A = \(\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)\) ହୁଏ,

ଉଦାହରଣ \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\) = 5 (x ≠ 0, y ≠ 0) ଏକ ଅଣସରଳରେଖୀୟ ସମୀକରଣ ।

ଅର୍ଥାତ୍ a + 2b = 5 (ଯେଉଁଠାରେ \(\frac{1}{x}\) = a ଏବଂ \(\frac{1}{y}\) = b)
ତେବେ ଏହାର ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ୍ | |A| = \(\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right|=a d-b c\) ।

ଉଦାହରଣ :
A = \(\left(\begin{array}{ll}
5 & 7 \\
2 & 1
\end{array}\right)\) ହେଲେ |A| = 5 × 1 – 7 × 2 = 5 – 14 = -9 ଅଟେ ।
ସେହିପରି,

∴ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ ମାଧ୍ୟମରେ ନିର୍ଦେୟ ସମାଧାନ :

x = \(\frac{Δ_x}{Δ}\), y = \(\frac{Δ_y}{Δ}\) ଯେଉଁଠାରେ Δ ≠ 0 କାରଣ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ।
ବଜ୍ରଗୁଣନ ପଦ୍ଧତିରେ ଲବ୍‌ଧ ସମାଧାନକୁ ଡିଟରମିନାଣ୍ଟ ମାଧ୍ୟମରେ ଲେଖିଲେ,

ଏହାକୁ ସୁପରିଚିତ Cramer’s ନିୟମ କୁହାଯାଏ । ବଜ୍ରଗୁଣନ ସୂତ୍ର ହିଁ Cramer’s Rule ର ଅନ୍ୟରୂପ ।

→ ପାଟିଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନରେ ପ୍ରୟୋଗ :
ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ ପ୍ରୟୋଗ କରି ଅନେକ ପାଟିଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ସମାଧାନ ସହଜରେ କରାଯାଏ । ସେହିପରି ଦୁଇ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସହ ସମାଧାନରେ ପ୍ରୟୋଗରେ ଜଟିଲ ପାଟିଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ସହଜ ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ।

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 10 Maths Notes Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ

→ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା (Central Tendency) :
ଏକାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ବନ୍ଧିତ ତଥ୍ୟକୁ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା ଲାଗି ତଥ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ପ୍ରତିନିଧ୍ୟ କଲାଭଳି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ଓ ଏହି ପ୍ରତିନିଧୂ ସଂଖ୍ୟାକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା (Central Tendency) କୁହାଯାଏ।

→ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତାକୁ ସୂଚାଇବା ପାଇଁ ତିନି ପ୍ରକାର ମାପ ଅଛି –

1. ମାଧ୍ୟମାନ (Mean)
2. ମଧ୍ୟମା (Median) ଏବଂ
3. ଗରିଷ୍ଠକ (Mode) ।

1. ମାଧ୍ୟମାନ – ଗୋଟିଏ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଅନ୍ତର୍ଗତ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ହାରାହାରି ମାପକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ (Mean) କୁହାଯାଏ ।
2. ମଧ୍ୟମା – ବଡ଼ରୁ ସାନ ବା ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମରେ ସଜା ଯାଇଥିବା ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ମଧ୍ୟମା (Median) କୁହାଯାଏ ।
3. ଗରିଷ୍ଠକ – କୌଣସି ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଥ‌ିବା ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାରମ୍ବାରତା ବିଶିଷ୍ଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କକୁ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ (Mode) କୁହାଯାଏ ।

→ ମାଧ୍ୟମାନ (Mean) : ଗୋଟିଏ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଅନ୍ତର୍ଗତ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ହାରାହାରି ମାପକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ (Mean) କୁହାଯାଏ ।

(i) ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ (Mean of the Individual Series) :

→ ବାରମ୍ବାରତା ବିହୀନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ : କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ x₁, x₂, x₃, …… x_n ହେଲେ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ M ନିମ୍ନ ସୂତ୍ରଦ୍ୱାରା ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।

ଯେଉଁଠାରେ M = ମାଧ୍ୟମାନ, Σ (ସିଗ୍‌ମା) = ସମଷ୍ଟିର ସଂକେତ, x ତଥ୍ୟାବଳୀ ଅନ୍ତର୍ଗତ ପ୍ରତ୍ୟେକ
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ, \(\sum_{k=1}^{k=n} x_k\) = x₁ ଠାରୁ x_n ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି
ଯେଉଁଠାରେ n = ତଥ୍ୟାବଳୀ ଅନ୍ତର୍ଗତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ।

ଅର୍ଥାତ୍ M = \(\frac{Σx}{n}\)

→ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣରେ ପ୍ରକାଶିତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ (Mean of a frequency distribution) : ଏକ ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଅନ୍ତଗର୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)ର ମାନ x₁, x₂, x₃, …… x_n ଏବଂ ଏହି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା (f) ଯଥାକ୍ରମେ f₁, f₂, f₃, …… f_n ହେଲେ

(ii) ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ଏବଂ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀରେ ପ୍ରକାଶିତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ(Mean of a Grouped Frequency distribution) :
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (y) = \(\frac{l_1+l_2}{2}\) (l₁ ଓ l₂ ଯଥାକ୍ରମେ ସଂଭାଗର ନିମ୍ନ ଓ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ । ତତ୍‌ପରେ fy ଓ Σfy ସ୍ଥିର କରାଯାଏ । ପରବର୍ତୀ ସମୟରେ Σfy କୁ Σf ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରି ମାଧ୍ୟମାନ M ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
∴ ମାଧ୍ୟମାନ (M) = \(\frac{Σfy}{Σf}\)
ଯଦି ଭାଗବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀର ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ,
ତେବେ ମାଧ୍ଯମାନ M = A + \(\frac{Σfy’}{Σf}\) ହେବ ।
ଏଠାରେ A = ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ, Σfy’ = ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ଏବଂ Σf = ବାରମ୍ବାରତାର ସମଷ୍ଟି

(iii) ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ (Short-cut Method) ବା ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ (Deviation Method) : ପୂର୍ବ ପ୍ରଣାଳୀରେ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ବଡ଼ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ ତଥା ଯୋଗର ଆବଶ୍ୟକ ହୋଇଥାଏ । ଏହି ଅସୁବିଧା ଦୂର କରିବାପାଇଁ ଅନ୍ୟ ଏକ ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମ୍ବନ କରାଯାଏ ଓ ଏହି ପ୍ରଣାଳୀ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ ବା ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ ନାମରେ ଅଭିହିତ ।

ଉଦାହରଣ :
93, 98, 112, 103, 97, 109ର ମାଧ୍ୟମାନ = \(\frac{1}{6}\) (93 + 98 + 112 + 103 + 97 + 109)
= \(\frac{1}{6}\) {(100 – 7) + (100 – 2) + (100 + 12) + (100 + 3) + (100 – 3) + (100 + 9)}
= \(\frac{1}{6}\) [6 × 100+ {(-7) + (-2) + 12 + (3) + (- 3) + 9}]
= \(\frac{1}{6}\) × 6 × 100 + \(\frac{1}{6}\) × 12 = 100 + = \(\frac{1}{6}\) × 12 = 100 + 2 = 102
ଏଠାରେ 100 କୁ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ (Working Zero) ବୋଲି କୁହାଯାଏ ।
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କରୁ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁକୁ ବିୟୋଗ କରି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବିଚ୍ୟୁତି (Deviation) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବିଚ୍ୟୁତି (x’) ଯଥାକ୍ରମେ -7, -2, 12, 3, -3, 9 ।
Σx’ = (-7) + (-2) + 12 + 3 + (-3) + 9 = 12
ମାଧ୍ୟମାନ (M) = A + \(\frac{1}{n}\) Σx’= 100 + \(\frac{1}{6}\) × 12 = 100 + 2 = 102

ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ : 100 ପରିବର୍ତ୍ତେ ଯେକୌଣସି ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ ଉତ୍ତରରେ କୌଣସି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେବନାହିଁ ।
ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣଳୀ : ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ଓ ବିଚ୍ୟୁତି ସାହାଯ୍ୟରେ ମାଧମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପ୍ରଣାଳୀକୁ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ କୁହାଯାଏ ।

(iv) ସୋପାନ-ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ (Step-deviation method) :
ଏହି ପ୍ରଣାଳୀ ଏକ ଅତି ସରଳୀକୃତ ଏବଂ ଅତି ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ହିସାବ ସଂପୃକ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ । ପୂର୍ବବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ * ଭଳି ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ମଧ୍ୟ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ସଂପୃକ୍ତ ବିଚ୍ୟୁତି ମାନଙ୍କର ଆବଶ୍ୟକତା ପଡ଼ିଥାଏ । ସଂପୃକ୍ତ ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ଥ‌ିବା ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଦ୍ବାରା ବିଚ୍ୟୁତିକୁ ଭାଗକରି ଏହି ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ ।
ମାଧ୍ୟମାନ M = A + \(\frac{Σfy’}{Σf}\) × c

ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ = A, y’ =
Σfy’ = ବାରମ୍ବାରତା f ଓ y’ର ଗୁଣଫଳର ସମଷ୍ଟି
f = ବାରମ୍ବାରତା,
Σf = ବାରମ୍ବାରତାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ।

→ ମାଧ୍ଯମାନ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କେତେକ ଉପାଦେୟ ତଥ୍ୟ (Some useful Results on Mean) :
x₁, x₂, x₃, …… x_n ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମନ M ହେଲେ,

• x₁ + a, x₂ + a, x₃ + a ……. x_n + a ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧମାନ M + a ହେବ ।
• x₁ – a, x₂ – a, x₃ – a ……… x_n – a ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ M – a ହେବ ।
• ax₁, ax₂, ax₃ ………… ax_n ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ Ma ହେବ ଯେତେବେଳେ a ≠ 0 ।
• \(\frac{x_1}{a}, \frac{x_2}{a}, \frac{x_3}{a}, ………. \frac{x_n}{a}\) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ \(\frac{M}{a}\) ହେବ ଯେତେବେଳେ a ≠ 0 ।

→ ମଧ୍ୟମା (Median) :

(a) ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିଶ୍ଚୟ :
(i) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା n ଅଯୁଗ୍ମ ହେଲେ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗୋଟିଏ ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ ଥାଏ ଓ ତାହା ହେଉଛି \(\frac{n+1}{2}\) ତମ ସ୍ଥାନ । ଏଣୁ ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ \(\frac{n+1}{2}\) ତମ ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ହିଁ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ।

(ii) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା n ଯୁଗ୍ମ ହେଲେ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଦୁଇଟି ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ ଥାଏ ଓ ସେ ଦୁଇଟି ହେଲା \(\frac{n}{2}\) ତମ ଓ (\(\frac{n}{2}\)+1) ତମ ସ୍ଥାନ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ ଥ‌ିବାରୁ ସେହି ଦୁଇ ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଦ୍ବୟର ହାରାହାରି ନେଇ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
ଅର୍ଥାତ୍ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବ ବା ଅଧଃ କ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା n ହେଉ ।

n ଅଯୁଗ୍ମ ହେଲେ, ମଧ୍ୟମା (M_d) = \(\frac{n+1}{2}\) ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ
n ଯୁଗ୍ମ ହେଲେ ମଧ୍ୟମା (M_d) = \(\frac{1}{2}\) {\(\frac{n}{2}\) ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ + (\(\frac{n}{2}\) + 1) ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ }

(b) ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣରେ (ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ହୋଇ ନଥବା) ପ୍ରକାଶିତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିଶ୍ଚୟ :
ଯେଉଁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ (M) ଅପେକ୍ଷା ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତମ ସେହି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ହିଁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା କୁହାଯାଏ ।

(c) ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ଏବଂ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ପ୍ରକାଶିତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିଶ୍ଚୟ :

• ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ସର୍ବଦା ଅଧଃ ବା ଊର୍ଦ୍ଧ୍ଵ କ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ ହୋଇ ରହିଥାଏ । ତେଣୁ ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ନିର୍ଣୟ କଲେ ହିଁ ମଧ୍ୟମା ମିଳିଥାଏ ।
• n ଯୁଗ୍ମ ହେଉ ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହେଉ \(\frac{n}{2}\) ତମ ସ୍ଥାନକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ ନିଆଯାଇପାରେ ( ଅବଶ୍ୟ ଯେଉଁଠି ‘n’ ର ମାନ ଅପେକ୍ଷାକୃତ ବୃହତ୍) ।
• ଭାଗବିଭକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନଟି ଯେଉଁ ସଂଭାଗ ଅନ୍ତର୍ଗତ ହୋଇଥାଏ, ସେହି ସଂଭାଗକୁ ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ କୁହାଯାଏ ।
• ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ଲାଗି ପ୍ରଥମେ ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା-ସଂଭାଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
• ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (cf) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ସାରିବା ପରେ ଯେଉଁ ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (M) ଅପେକ୍ଷା ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ହେବ ସେହି ସଂଭାଗ ହିଁ ମଧ୍ୟମା – ସଂଭାଗ ହେବ ।

ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟର ସୂତ୍ର : ମଧ୍ୟମା (M) = 1 + \(\frac{m-c}{f}\) × i
M = ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥାନ,
l = ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା
f = ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା,
c = ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ଠିକ୍ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତା ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା
ଏବଂ i = ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର ।

ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ (Inclusive) ସଂଭାଗୀକରଣରେ ପ୍ରକାଶିତ ସଂଭାଗଗୁଡ଼ିକୁ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ( Exclusive) କରିବାକୁ ହେଲେ ପ୍ରଥମ ସଂଭାଗର ଉଚ୍ଚ ସୀମା ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ତର ସ୍ଥିର କରି ତା’ର ଅର୍ଦ୍ଧେକକୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗ ନିମ୍ନ ସୀମାରୁ ବିୟୋଗ କରାଯାଏ ସଂଭାଗୀକରଣକୁ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣ ବିଶିଷ୍ଟ କରାଯାଇଥାଏ ।

(d) ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ସୂଚକ ଲେଖ (Ogive) ସାହାଯ୍ୟରେ ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ :
ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ସୂଚକ ଲେଖ (Ogive) ସାହାଯ୍ୟରେ ମଧ୍ୟ ଉକ୍ତ ସାରଣୀରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ । ନିମ୍ନ ସୋପାନଗୁଡ଼ିକୁ ଅନୁଧ୍ୟାନ କରି ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

• ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ପ୍ରଥମେ ସ୍ଥିର କରାଯିବ ।
• x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷରେ ଯଥାକ୍ରମେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଏବଂ ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିଆଯାଏ ।
• ନେଇ ଗ୍ରାଫ୍ ଅଙ୍କନ କରାଗଲେ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଲେଖ (Ogive) ମିଳିବ ।
• Ogive ଅଙ୍କନ କରି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମସ୍ଥାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ । ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ ନୈଇ ବୃକ୍ଷ ଉପରେ) ଏକ ବିନ୍ଦୁ (P) ଗ୍ରାଫ୍ ଉପରେ ନିଆଯାଉ, ଯାହାର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ବା ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ \(\frac{n}{2}\) ବା \(\frac{n+1}{2}\) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସହ ସମାନ ହେବ ।
• P ବିନ୍ଦୁରୁ x-ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମାକୁ ସୂଚାଇବ ।

→ ଗରିଷ୍ଠକ (Mode) :

ସଂଜ୍ଞା : କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ସର୍ବାଧ୍ଵକବାର ରହିଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମାନ) ହିଁ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ । ଭାଗ ବିହୀନ ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନରେ ସର୍ବାଧ୍ଵକ ବାରମ୍ବାରତା ବିଶିଷ୍ଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମାନ ହିଁ ଉକ୍ତ ବଣ୍ଟନର ଗରିଷ୍ଠକ ।
ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ : ଯଦି କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା ସମାନ । ତେବେ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନାହିଁ ବୋଲି କହିବା । ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର । 3, 5, 7, 3, 8, 5,8, 7 ଏଠାରେ କୌଣସି ଗରିଷ୍ଠକ ନାହିଁ ।

ଗୋଟିଏ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧମାନ (M), ମଧ୍ୟମା (M_d) ଏବଂ ଗରିଷ୍ଠକ (M₀) ମଧ୍ୟରେ ଏକ ସାଧାରଣ ସମ୍ବନ୍ଧ ରହିଛି । ଏହା ଏକ ଆନୁଭବିକ ସମ୍ବନ୍ଧ ( Empirical Relation) ଅଟେ ।
ସମ୍ବନ୍ଧଟି ହେଲା : M₀ =3M_d – 2M