Class 12

Odisha State Board Elements of Mathematics Class 12 Solutions CHSE Odisha Chapter 9 Integration Ex 9(g) Textbook Exercise questions and Answers.

CHSE Odisha Class 12 Math Solutions Chapter 9 Integration Exercise 9(g)

Evaluate the following Integrals.
Question 1.
(i) ∫\(\frac{\sqrt{2 x+3}}{x}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\frac{\sqrt{x^2-7}}{x}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\frac{\sqrt{x}}{x+2}\) dx
Solution:

(iv) ∫x\((3 x+2)^{\frac{1}{3}}\) dx
Solution:

(v) ∫\(\frac{x+2}{(2 x-1)^{\frac{1}{3}}}\) dx
Solution:

(vi) ∫(x + 2)\((x+1)^{\frac{1}{4}}\) dx
Solution:

(vii) ∫\(\frac{x-1}{(x+2)^{\frac{3}{4}}}\) dx
Solution:

(viii) ∫\(\frac{d x}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}\) (x = t⁶)
Solution:

Question 2.
(i) ∫\(\frac{3 x+4}{\sqrt{2 x-3}}\) dx
Solution:

(ii) ∫(7x + 4)\(\sqrt{3 x+2}\) dx
Solution:

(iii) ∫(3x + 1)\((x-2)^{\frac{9}{2}}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{2 x+5}{(x+2)^{\frac{7}{2}}}\) dx
Solution:

(v) ∫\(\frac{x^2+2 x+1}{\sqrt{x+4}}\) dx
Solution:

(vi) ∫(x² + 2x + 7)\(\sqrt{x+1}\) dx
Solution:

Question 3.
(i) ∫\(\frac{d x}{\sqrt{4 x^2-4 x+5}}\)
Solution:

(ii) ∫\(\sqrt{4 x^2-4 x+5}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\frac{d x}{\sqrt{x^2-6 x+5}}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\sqrt{x^2-6 x+5}\) dx
Solution:

(v) ∫\(\frac{d x}{\sqrt{1+2 x-x^2}}\) dx
Solution:

(vi) ∫\(\sqrt{1+2 x-x^2}\) dx
Solution:

Question 4.
(i) ∫\(\frac{d x}{(1+x) \sqrt{1-x^2}}\) (1 + x = \(\frac{1}{t}\))
Solution:

(ii) ∫\(\frac{d x}{(2-x) \sqrt{5-4 x+x^2}}\)
Solution:

Question 5.
(i) ∫\(\frac{d x}{(2 x+5) \sqrt{x+2}}\)
Solution:

(ii) ∫\(\frac{1+x^2}{x \sqrt{x^4+1}}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\sqrt{\frac{x-1}{2 x+1}}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{x}{\left(a^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}\) dx
Solution:

Odisha State Board Elements of Mathematics Class 12 Solutions CHSE Odisha Chapter 9 Integration Ex 9(f) Textbook Exercise questions and Answers.

CHSE Odisha Class 12 Math Solutions Chapter 9 Integration Exercise 9(f)

Evaluate the following Integrals.
Question 1.
(i) ∫\(\frac{4 x-9}{x^2-5 x+6}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\frac{3 x}{(x-4)(x+2)}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\frac{5 x-12}{(2 x-3)(x-6)}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{20 x+3}{6 x^2-x-2}\) dx
Solution:

(v) ∫\(\frac{2 x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) dx
Solution:

(vi) ∫\(\frac{12 x^4-2 x^3-4 x^2+x-3}{6 x^2-x-2}\) dx
Solution:

Question 2.
(i) ∫\(\frac{2 x+9}{(x+3)^2}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\frac{5 x^2+4 x+4}{(x+2)(x+2)^2}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\frac{x^2+7 x+4}{x^3+x^2-x-1}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{x^4+3 x^3+x^2-1}{x^3+x^2-x-1}\) dx
Solution:

Question 3.
(i) ∫\(\frac{4 x^2-x+3}{\left(x^2+1\right)(x-1)}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\frac{5 x}{\left(x^2-2 x+2\right)(x+1)}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\frac{3}{x^3-1}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{x^5+x^4+x^3+x^2+4 x+1}{x^3+1}\) dx
Solution:

Question 4.
(i) ∫\(\frac{d x}{x^2-5}\)
Solution:

(ii) ∫\(\frac{d x}{2 x^2+8 x+7}\)
Solution:

(iii) ∫\(\frac{x+3}{2 x^2+8 x+7}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{4 x^2+20 x+25}{2 x^2+8 x+7}\) dx
Solution:

(v) ∫\(\frac{e^x}{e^{2 x}+3 e^x+1}\) dx
Solution:

(vi) ∫\(\frac{\tan ^2 \theta+1}{\tan ^2 \theta-1}\) dθ
Solution:

Question 5.
(i) ∫\(\frac{d x}{3-x^2}\)
Solution:

(ii) ∫\(\frac{d x}{7-x^2+6 x}\)
Solution:

(iii) ∫\(\frac{x-5}{7-x^2+6 x}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{\cos \theta}{3-\sin ^2 \theta}\) dθ
Solution:

(v) ∫\(\frac{x^2 d x}{\left(x^2+3\right)\left(x^2+2\right)}\)
Solution:

(vi) ∫\(\frac{x^3 d x}{x^4+3 x^2+2}\) (Put x² = t)
Solution:

(vii) ∫\(\frac{d x}{\sin x(3+2 \cos x)}\) (Put cos x = z)
Solution:

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(c)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ବା ଭୁଲ ଲେଖ ।
(a) L₁ || L₂ ଓ L₂ || L₃ ହେଲେ L₁ || L₃
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(b) L₁ ⊥ ଓ L₂ ⊥ L₃ ହେଲେ L₁ ⊥ L₃
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(c)  L₁ = L₂ ହେଲେ L₁ || L₂
ସୂଚନା : L₁ = L₂ ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି L₁ ଓ L₂ ରେଖା ଏକ ଅଭିନ୍ନ ।
ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ସଂଜ୍ଞା ବ୍ୟବହାର କର ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(d) ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(e) ∠ABC ଓ ∠DEF ମଧ୍ୟରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ED}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathbf{BC}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{EF}}\) ହେଲେ m∠ABC = m∠DEF ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

Question 2.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₃ ସେମାନଙ୍କର ଛେଦକ । ଛେଦବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣଗୁଡ଼ିକ 1, 2, 3 …. 8 ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଚିହ୍ନିତ । m∠3 = 65° ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₃ ଛେଦକ ।
m∠3 = 65° (ଦତ୍ତ)
∴ m∠3 + m∠1 = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)
⇒ m∠1 = 180° – m∠3 = 180° – 65° = 115°
m∠1 = m∠4 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠4 = 115°
m∠3 = m∠2 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠2 = 65°
m∠4 = m∠5 (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ⇒ m∠5 = 115°
m∠5 = m∠8 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠8 = 115°
m∠4 = m∠7 (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ⇒ m∠7 = 1 15°
m∠7 = m∠6 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠6 = 65°
∴ m∠1 = m∠4 = m∠5 = m∠8 = 115° ଏବଂ m∠2 = m∠3 = m∠6 = m∠7 = 65° ।

Question 3.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ || L₄ ଚିତ୍ରରୁ ନିମ୍ନଲିଖ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କରି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକୁ ପୂରଣ କର ।
m∠x = ________, m∠z = ________
m∠p = ________, m∠q = ________
m∠r = ________, m∠s = ________
ସମାଧାନ:

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₃ || L₄
m∠x = 60°, m∠z = 60° (ଅନୁପୂରକ)
m∠p = 60° = m∠z, m∠z = m∠q = 120° (ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ)
m∠r = 120° (ପ୍ରତୀପ), m∠s = 120° (∵ ∠x ଓ ∠r ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ)

Question 4.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ । ଚିତ୍ରକୁ ବ୍ୟବହାର କରି a, b, c, d ଦ୍ଵାରା ଚିହ୍ନିତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂
m∠a = 75° (∵ ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠b = 130° (∵ ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠b = m∠c = 130° (∵ ଅନୁପୂରକ କୋଣ)
m∠a = m∠d = 75° (∵ ଅନୁପୂରକ କୋଣ)

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB || CD ଏବଂ AD || BC । ଚିତ୍ରରୁ x, y, z ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ AB || CD, AD || BC ଏବଂ m∠B = 48° ।
m∠B + m∠C = 180° (∵ AB || CD)
⇒ 48° + m∠x – 180° ⇒ x = 180° – 48° = 132°
ସେ୍ହିପରି m∠C + m∠D = 180° (∵ AD || BC)
⇒ x + y = 1 80°
⇒ 132 + y = 180° ⇒ y = 180° – 132° = 48°
ପୁନଣ୍ଚ m∠D + m∠A = 180° (∵ AB || CD)
⇒ y + z = 180°
⇒ 48 + z = 180°
⇒ z = 180° – 48° = 132°
x = 132°, y = 48°, z = 132° ।

Question 6.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ || RS । \(\overleftrightarrow{\mathbf{RS}}\) କୁ \(\overleftrightarrow{\mathbf{BN}}\) C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ଚିତ୍ରରୁ x ଓ y ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACN + m∠ACB = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ) 
m∠PBC = m∠ACN = 130° (ଅନୁଗୁପ)
∴ m∠ACB = 180° – 130° = 50°
\(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{RS}}\)
⇒ m∠ACB = m∠CBQ = 50° = y (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
m∠ABP = m∠PBC – m∠ABC = 130° – 55° = 75°
∴ m∠CAB = m∠ABP (ଏକାନ୍ତର)
∴ x = 75°
∴ x = 75° ଓ y = 50°

Question 7.
ଚିତ୍ରରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ର ଦୁଇଯୋଡ଼ା ସମାନ୍ତର ରେଖାଦ୍ଵାରା ଗଠିତ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସଂକେତରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।
(i) ଚିତ୍ର (a) ରୁ x ଓ y ମଧ୍ଯରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ST}}\)
ଚିତ୍ର (a) ରୁ m∠x + m∠CQP = 180° (∵ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\))
ସେ୍ହିପରି m∠CQP = m∠QRS (ଅନୁଗୁପ କୋଣ) (∵ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ST}}\))
m∠APQ = m∠PQR (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) = x
∴ m∠x + m∠QRS = 180° (∵ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ST}}\))
ମାତ୍ର m∠y + m∠QRS = 180°
∴ m∠x + m∠QRS = m∠y + m∠QRS
⇒ m∠x – m∠y

(ii) ଚିତ୍ର (b) ରୁ a ଓ b ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PT}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{RS}}\)
⇒ m∠QPB = m∠TQR = a° (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ଏବଂ ∠TQR + m∠SRQ = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)
⇒ m∠a + m∠b = 180°

Question 8.
(i) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 74°, m∠EDC = 38° ଓ m∠BCD = 36° । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 74°, m∠EDC = 38° ଓ m∠BCD = 36° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\)
ପ୍ରମାଣ : ΔCDF ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠EFC = m∠FDC + m∠FCD = 38° + 36° = 74°
m∠ABF = 74°
∴ m∠ABF = m∠EFC = 74°
ତେଣୁ ଏମାନେ ଅନୁରୂପ । ⇒ \(\overleftrightarrow{\mathbf{DE}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{BA}}\) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 60°, m∠EDC = 38° ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) । ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ m∠BCD = 22° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 60°, m∠EDC = 38° ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BCD = 22°
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\)
m∠ABF = m∠EFC = 60° (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ΔCDF ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠EFC = 60°
m∠FCD = 60° – 38° = 22°
m∠BCD ର ପରିମାଣ 22° ।

Question 9.
(i) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\)
ଏବଂ AB ସହ ସମାନ୍ତର ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠A = m∠B ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\), ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । 
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠A = m∠B
ପ୍ରମାଣ : AB || \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) ଏବଂ AC ଛେଦକ ।
⇒ m∠A = m∠ACE (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
ସେହିପରି AB || \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) ଏବଂ BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠ABC = m∠ECD (ଅନୁରୂପ କୋଣ)
ମାତ୍ର m∠ACE = m∠ECD (ଦତ୍ତ)
ସମୀକରଣ (i) ଓ ସମୀକରଣ (ii) ରୁ m∠A = m∠ABC
⇒ m∠A = m∠B
 (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB, m∠ECD = 70° ଏବଂ 
m∠A = 50° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠ACB = 60° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB, m∠ECD = 70° ଓ mZA = 50° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠ACB = 60°
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB, BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠ECD = m∠ABC = 70° (ଅନୁରୂପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ m∠A = m∠ACE = 50°
m∠ACD = m∠ACE + m∠ECD = 50° + 70° = 120°
କିନ୍ତୁ ∠ACB ଓ ∠ACD ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ
∴ m∠ACB = 180° – 120° = 60°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₁, L₂ ର ଛେଦକ L₃
(i) m∠2 = 2m∠1 ହେଲେ, ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର । 
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଓ L₃ ଛେଦକ । m∠2 = 2m∠1
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ।
m∠1 = m∠3 (ପ୍ରତୀପ)
m∠2 + m∠3 = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 2m∠1 + m∠1 = 180° (∵ m∠2 = 2m∠1)
⇒ 3m∠1 = 180°
⇒ ∠1 = \(\frac{180°}{3}\) = 60°
⇒ m∠2 = 2m∠1 = 2 × 60° = 120°
∴ m∠1 = 60° ଓ m∠2 = 120°

(ii) m∠2 = 3m∠1 ହେଲେ, ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର । 
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠2 = 3m∠1
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ।
m∠1 = m∠3 (ପ୍ରତୀପ)
m∠2 + m∠3 = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 3∠1 + ∠1 = 180° (∵ m∠2 = 3m∠1)
⇒ 4∠1 = 180°
⇒ ∠1 = \(\frac{180°}{4}\) = 45°
⇒ ∠2 = 3m∠1 = 45° × 3 = 135°
∴ ∠1 = 45° ଓ ∠2 = 135°

(iii) m∠1 : m∠2 = 2 : 3 ହେଲେ, ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : m∠1 : m∠2 = 2 : 3
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ।
ମକେତେ m∠1 = 2x° ଓ m∠2 = 3x°
m∠1 = m∠3 (ପ୍ରତୀପ)
m∠2 + m∠3 = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = \(\frac{180°}{5}\) = 36°
∴ m∠1 = 2x = 2 × 36° = 72°
m∠2 = 3x = 3 × 36° = 108°

Question 11.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ | L₃ ଛେଦକ L₁ ଓ L₂ ସରଳ ରେ ଖାଦ୍ୟକୁ ଯଥାକ୍ରମେ A ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ∠BACର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଓ ∠ACDର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତି । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ∠AOC = 90° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଓ L₃ ଛେଦକ । 
AO, ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଓ CO, ∠Cର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠AOC = 90° 
ପ୍ରମାଣ : m∠A + m∠C = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ m∠OAC + 2m∠OCA = 180° (∵ AO, ∠BACର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଓ CO, ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
⇒ m∠OAC + m∠OCA = \(\frac{180°}{2}\) = 90°
ΔAOC ରେ m∠OAC + m∠OCA + m∠AOC = 180°
⇒ 90° + m∠AOC = 180°
⇒ m∠AOC = 180° – 90° = 90°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
(i) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\), m∠OAB = 135°, m∠OCD = 145° ହେଲେ ∠AOCର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\), m∠OAB = 35° ଓ m∠OCD = 145°
ନିର୍ଦେୟ : ∠AOCର ପରିମାଣ ।
ଅଙ୍କନ : O ବିନ୍ଦୁରେ \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\)
⇒ m∠BAO + m∠AOE = 180°
⇒ m∠AOE = 180° – m∠BAO
= 180° – 105° = 45° (∵ m∠BAO = 135°)
ସେହିପରି \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) (∵ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)  || \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\))
⇒ m∠OCD + m∠EOC = 180°
⇒ m∠EOC = 180° – m∠OCD
⇒ m∠EOC = 180° – 145° = 35°
∴ m∠AOC = m∠AOE + m∠COE = 45° + 35° = 80°

(ii) ପାର୍ଶ୍ୱ ସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{XB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{YD}}\), m∠XAO = 60°, m∠YCO = 70° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ m∠AOC = 130° ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{\mathbf{XB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{YD}}\), m∠XAO = 60° ଓ m∠YCO = 70°
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠AOC = 130°
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AO}}\), YD କୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : \(\overleftrightarrow{\mathbf{XB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{YD}}\) ଏବଂ AE ଛେଦକ ।
⇒ m∠XAE = m∠OEC = 60° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
ΔOEC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠AOC = m∠OEC + m∠OCE = 60° + 70° = 130°

Question 13.
ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦକଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) ଯେକୌଣସି ଏକାନ୍ତର କୋଣ ଦୁଇଟିର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ । \(\overrightarrow{\mathrm{AF}}\), ∠Aର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\), ∠Bର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{AF}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\)
ପ୍ରମାଣ : m∠GAB = m∠ABD (ଏକାନ୍ତର )
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠GAB = \(\frac{1}{2}\)m∠ABD
⇒ m∠FAB = m∠ABE
ମାତ୍ର ଏମାନେ ଏକାନ୍ତର ।
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{AF}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ଯେକୌଣସି ଅନୁରୂପ କୋଣ ଦୁଇଟିର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ l \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\), ∠Aର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\), ∠Bର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\)
ପ୍ରମାଣ : m∠GAC = m∠ABD (ଅନୁରୂପ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠GAC = \(\frac{1}{2}\)m∠ABD
⇒ m∠GAE = m∠ABF
(∵ \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) m∠GACର ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\), m∠ABD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
 କିନ୍ତୁ ଏମାନେ ଅନୁରୂପ କୋଣ ।
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ΔABCର m∠B = m∠C, B͞C ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖା AB ଓ AC କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠APQ = m∠AQP ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ m∠B = m∠C ଓ BC || \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\)
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠APQ = m∠AQP
ପ୍ରମାଣ : BC || \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) ।
⇒ m∠APQ = m∠B ଏବଂ m∠AQP = m∠C (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ମାତ୍ର ∠B = ∠C (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠APQ = m∠AQP
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ଗୋଟିଏ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ଅନ୍ୟ ଏକ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ସହ ସମାନ୍ତର ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୋଣଦ୍ଵୟ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ବା ପରିପୂରକ ହେବେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{ED}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠B = m∠E
(ii) m∠B + m∠E = 180°
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{DP}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)  ଛେଦକ ।
⇒ m∠ABC = m∠DPC (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{PE}}\) ଛେଦକ ।
⇒ m∠DPC = m∠PEF (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠ABC = m∠PEF
⇒ m∠B = m∠E
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{ED}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) ଛେଦକ ।
⇒ m∠B = m∠CPE (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ \(\overrightarrow{\mathrm{PC}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{PE}}\) ଛେଦକ ।
⇒ m∠CPE + m∠PEF = 180°
⇒ m∠B + m∠PEF = 180° (∵ m∠B = m∠CPE)
⇒ m∠B + m∠E = 180°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦକରି ସେଥୁମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ଗୋଟିଏ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତାହା ଅନ୍ୟଟି ପ୍ରତି ମଧ୍ୟ ଲମ୍ବ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ । L₃ ⊥ L₁
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : L₃ ⊥ L₂
ପ୍ରମାଣ :  L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ ।
⇒ m∠PAC = m∠ABD (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ମାତ୍ର m∠PAC = 90° (ଦତ୍ତ)
m∠ABD = 90° ⇒ L₁ ⊥ L₂
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board Elements of Mathematics Class 12 Solutions CHSE Odisha Chapter 9 Integration Ex 9(e) Textbook Exercise questions and Answers.

CHSE Odisha Class 12 Math Solutions Chapter 9 Integration Exercise 9(e)

Evaluate the following:
Question 1.
(i) ∫(1 + x) e^x dx
Solution:
∫(1 + x) e^x dx
[Choolse 1 + x as first and ex as second function
= (1 + x) e^x – ∫1 . e^x dx
= ( 1 + x) e^x – e^x + C = xe^x + C

(ii) ∫x³ e^x dx
Solution:
∫x³ e^x dx = x³ e^x – ∫3x² e^x dx
= x³ e^x – 3{x² e^x – ∫2x e^x dx}
= x³ e^x – 3x² e^x + 6 ∫x e^x dx
= x³ e^x – 3x² e^x +6 {x . e^x – ∫1 . e^x dx}
= x³ e^x – 3x² e^x + 6x e^x – 6e^x + C

(iii) ∫x² e^ax dx
Solution:

(iv) ∫(3x + 2)² e^2x dx
Solution:

Question 2.
(i) ∫x sin x dx
Solution:
∫x sin x dx
[x = first function
sin x = 2nd function]
= x (-cosx) – ∫\(\frac{d}{d x}\)(x) . (-cos x) dx
= -x cos x + ∫cos x dx
= -x cos x + sin x + C

(ii) ∫x² cos x dx
Solution:
∫x² cos x dx
[x² = 1st
cos x = 2nd]
= x² . sin x – ∫\(\frac{d}{d x}\)(x²) sin x dx
= x² sin x – ∫2x . sin x dx
[x = 1st
sin x = 2nd]
= x² sin x – 2 {x . (-cos x) – ∫1 . (-cos x) dx}
= x² sin x + 2x cos x – 2∫cos x dx
= x² sin x + 2x cos x – 2 sin x + C

(iii) ∫x² sin ax dx
Solution:

(iv) ∫x cos² x dx
Solution:

(v) ∫x sin³ x dx
Solution:

(vi) ∫2x sin 2x cos x dx
Solution:

(vii) ∫2x cos 3x cos 2x dx
Solution:

(viii)∫2x³ cos x² dx
Solution:
∫2x³ cos x² dx
[Put x² =t
Then 2x dx = dt]
= ∫x² . cos x² . 2x dx
= ∫t . cos t dt
= t . sin t – ∫1 . sin t dt
= t sin t + cos t + C
= x² sin x² + cos x² + C

(ix) ∫x cosec² x dx
Solution:
∫x cosec² x dx
[x = 1st
cosec² x = 2nd]
= x ∫cosec² x dx – ∫[\(\frac{d}{d x}\)(x) × ∫cosec² x dx] dx
= -x cot x + ∫cot x dx
= -x cot x + ln |sin x| + C

(x) ∫x tan² x dx
Solution:
∫x tan² x dx = ∫x (sec² x – 1) dx
= ∫x sec² x dx – ∫x dx
= x tan x – ∫1 . tan x dx – \(\frac{1}{2}\)x²
[x = 1st
sec² x = 2nd]
= x tan x + ln |cos x| – \(\frac{x^2}{2}\) + C

Question 3.
(i) ∫x ln (1 + x) dx
Solution:

(ii) ∫x⁷ ln x dx
Solution:

(iii) ∫(ln x)³ dx
Solution:

(iv) ∫ln(x² + 1) dx
Solution:
∫ln (x² + 1) dx
= ∫ln (x² + 1) . 1 dx
[Put ln (x² + 1 ) as first function and 1 as the second function.]

(v) ∫\(\frac{\ln x}{x^5}\) dx
Solution:

(vi) ∫ln (x² + x + 2) dx
Solution:

(vii) ∫ln (x + \(\sqrt{x^2+a^2}\)) dx
Solution:

(viii) ∫ln (x + \(\sqrt{x^2-a^2}\)) dx
Solution:

Question 4.
(i) ∫sin^-1 x dx
Solution:

(ii) ∫x sin^-1 dx
Solution:

(iii) ∫cos^-1 x dx
Solution:

(iv) ∫x tan^-1 dx
Solution:

(v) ∫x² tan^-1 x dx
Solution:

(vi) ∫sec^-1 x dx
Solution:

(vii) ∫x cosec^-1 x dx
Solution:

Question 5.
(i) ∫e^3x cos 2x dx
Solution:

(ii) ∫e^x sin x dx
Solution:

(iii) ∫e^x cos² x dx
Solution:

(iv) ∫x \(e^{x^2}\) sin x² dx
Solution:

(v) ∫e^ax sin (bx + c) dx
Solution:
Let I = ∫e^ax sin (bx + c) dx
Integrating by parts we get

(vi) ∫(2x² + 1)\(e^{x^2}\) dx
Solution:
I = ∫(2x² + 1)\(e^{x^2}\) dx
= ∫2x² \(e^{x^2}\) dx + ∫\(e^{x^2}\) . 1 dx
= ∫2x² \(e^{x^2}\) dx + x² \(e^{x^2}\) ∫2x\(e^{x^2}\) .x dx
= x\(e^{x^2}\) + C

Question 6.
(i) ∫\(\sqrt{9-x^2}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\sqrt{5-4 x^2}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\sqrt{1-x^2-2 x}\) dx
Solution:

(iv) ∫e^z \(\sqrt{4-e^{2 z}}\) dz
Solution:

(v) ∫cos θ \(\sqrt{5-\sin ^2 \theta}\) dθ
Solution:

Question 7.
(i) ∫\(\sqrt{x^2+4}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\sqrt{7 x^2+2}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\sqrt{4 x^2+12 x+13}\) dx (2x + 3 = z)
Solution:

(iv) ∫e^2z \(\sqrt{e^{4 z}+6}\) dz
Solution:

(v) ∫sec² θ \(\sqrt{\sec ^2 \theta+3}\) dθ
Solution:

(vi) ∫(2x² +1) \(e^{x^2}\) dx
Solution:
Same as No. 5 (vi).

Question 8.
(i) ∫\(\sqrt{x^2-8}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\sqrt{3 x^2-2}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\sqrt{x^2-4 x+2}\) dx (x – 2 = z)
Solution:

(iv) ∫a^z \(\sqrt{a^{2 z}-4}\) dz
Solution:

(v) ∫sec θ tan θ \(\sqrt{\tan ^2 \theta-3}\) dθ
Solution:

Question 9.
(i)∫e^x (tan x + ln sec x) dx
Solution:
∫e^x (tan x + ln sec x) dx
= ∫e^x tan x dx + ∫e^x ln sec x dx
(Integrating by parts)
= ∫e^x tan x dx + e^x ln sec x – ∫e^x tan x dx
= e^x ln(sec x) + C

(ii) ∫e^x (cot x + ln sin x) dx
Solution:
∫e^x (cot x + ln sin x) dx
[Integrating by parts taking e^x as first function and cot x as second function.]
= ∫e^x ln sin x – ∫e^x ln sin x dx + ∫e^x ln sin x dx + C
= e^x ln sin x + C

(iii) ∫\(\frac{e^x}{x}\) (1 + x ln x) dx
Solution:
∫\(\frac{e^x}{x}\) (1 + x ln x) dx
= ∫\(\frac{e^x}{x}\) dx + ∫\(\frac{e^x}{x}\) e^x ln x dx + C
= e^x ln x + C

(iv) ∫\(\frac{x e^x}{(1+x)^2}\) dx
Solution:

Question 10.
(i) ∫\(\left[\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}\right]\) dx
Solution:

(ii) ∫sin (ln x) dx
Solution:
Let I = ∫sin (ln x) dx
[Integrating by parts taking sin (ln x) as first and 1 as second function.]

(iii) ∫sin x ln (cosec x – cot x) dx
Solution:
∫sin x ln (cosec x – cot x) dx
[Integrating by parts taking In (cosec x cot x) as first function and sin x as second function.]
= ln (cosec x – cot x) . – cos x – ∫\(\frac{1}{{cosec} x-\cot x}\)× – cosec x . cot x + cosec² x × – cos x dx
= -cos x . ln (cosec x – cot x) + ∫\(\frac{{cosec} x({cosec} x-\cot x)}{{cosec} x-\cot x}\) . cos x dx
= -cos x . ln (cosec x – cot x) + ∫cot x dx
= -cos x . ln (cosec x – cot x) + ln sin x + C

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପଦଗୁଡ଼ିକର ସଂଜ୍ଞା ଲେଖ ।
କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ, ସନ୍ନିହିତ କୋଣ, ପ୍ରତୀପ କୋଣ, ପରିପୂରକ କୋଣ, ଅନୁପୂରକ କୋଣ ।
ସମାଧାନ:
କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ:
∠ABC ର \(\overleftrightarrow{\mathrm{BC}}\) ର A – ପାର୍ଶ୍ବ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ର C – ପାର୍ଶ୍ଵର ଛେଦକୁ ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ କୁହାଯାଏ । ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁକୁ ∠ABC ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ । ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ P, ∠ABC ର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତସ୍ଥ  ବିନ୍ଦୁ ଅଟେ । ଏହିପରି ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁକୁ ନେଇ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଗଠିତ ।

ସନ୍ନିହିତ କୋଣ: 
ଦୁଇଟି କୋଣର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ବାହୁ ଓ କୋଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ୟ ବାହୁ ଦୁଇଟି ସାଧାରଣ ବାହୁର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ ବିସ୍ତୃତ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ସନ୍ନିହିତ କୋଣ (Adjacent angles) କୁହାଯାଏ ।
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ∠PSQ ଓ ∠QSR ସନ୍ନିହିତ ଅଟନ୍ତି ।

ପ୍ରତୀପ କୋଣ:
ଗୋଟିଏ କୋଣର ବାହୁଦ୍ୱୟର ବିପରୀତ ରଶ୍ମିମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା ଗଠିତ କୋଣକୁ ଉକ୍ତ  କୋଣର ପ୍ରତୀପ କୋଣ (Vertically OppositeAngle) କୁହାଯାଏ । ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ∠BOC ଓ ∠AOD ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ ଏବଂ ∠AOC ଓ ∠BOD  ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ ଅଟନ୍ତି ।

ପରିପୂରକ କୋଣ:
ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମିର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେଲେ ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଅନ୍ତି, ସେମାନେ ପରସ୍ପର ପରି ପୂରକ (Supplementary angle); ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ଅଟେ ।

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACD + m∠BCD = 180° ଅର୍ଥାତ୍ ∠ACD ଓ ∠BCD ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ଅଟନ୍ତି ।

ଅନୁପୂରକ କୋଣ:
 ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 90° ହେଲେ ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ କୋଣ (Complementary angles) କୁହାଯାଏ ।

Question 2.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) ଗୋଟିଏ କୋଣର କେତୋଟି ବାହୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଦୁଇଟି

(ii) ଗୋଟିଏ କୋଣର କେତୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ

(ii) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଅସଂଖ୍ୟ

(iv) କୋଣ ଓ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଦେଶର ଛେଦରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ନଥାଏ

Question 3.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ତାଲିକାରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ଦର୍ଶାଅ ।
(i) ରେଖାଖଣ୍ଡ 
(ii) ରଶ୍ମି
(iii) ରେଖା
(iv) କୋଣ
(v) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦ୍ଦେଶ 
(vi) ସମତଳ
(vii) କୋଣର ବହିର୍ଦେଶ
ସମାଧାନ:
(i) ରେଖାଖଣ୍ଡ 
(ii) ରଶ୍ମି 
(iii) ରେଖା 
(v) କୋଣର ଅନ୍ତଦ୍ଦେଶ ଓ 
(vi) ସମତଳ

Question 4.
ତିନୋଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରୁଥିବାର ଏକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର । ତତ୍ପରେ ଚିତ୍ରକୁ ଦେଖ୍ ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।
ସମାଧାନ:
ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଯୋଡ଼ା:
(i) ∠EAD ଓ ∠BAC
(ii) ∠EAB ଓ ∠CAD
(iii) ∠FBG ଓ ∠ABC
(iv) ∠FBA ଓ ∠GBC
(v) ∠ICH ଓ ∠ACB
(vi) ∠ACI ଓ ∠BCH

Question 5.
ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥ‌ିବାର ଚିତ୍ରଟିଏ ଅଙ୍କନ କର । ତତ୍ପରେ ଚିତ୍ରରୁ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଯୋଡ଼ାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
(i) ∠AOBର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠AOD
(ii) ∠AOBର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠BOC
(ii) ∠BOCର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠COD
(iv) ∠CODର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠AOD

Question 6.
XY ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁକୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖାର N-ପାର୍ଶ୍ଵରେ C ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ M-ପାର୍ଶ୍ବରେ B ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, BM ଓ NC ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ ରହିବେ ?
ସମାଧାନ:
 (i) \(\overleftrightarrow{\mathrm{XY}}\) (ସରଳରେଖା)ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ ହୋଇଛି ।
(ii) ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖାର N ପାର୍ଶ୍ଵରେ C ବିନ୍ଦୁ ଓ M ପାର୍ଶ୍ବରେ B ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ ହୋଇଛି ।
(iii) ଚିତ୍ରରୁ ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, \(\overline{\mathrm{BM}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{NC}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ \(\overleftrightarrow{\mathrm{XY}}\) ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅଛନ୍ତି ।

Question 7.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ । ଆବଶ୍ୟକସ୍ଥଳେ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।
(i) X ବିନ୍ଦୁ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ନ ହେଲେ ଓ A – O – B ହେଲେ,
m∠XOA + m∠XOB କେତେ ?
ସମାଧାନ:
m∠XOA + m∠XOB = 180°
( ∵ ∠XOA ଏବଂ ∠XOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)

(ii) \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଲେ, ∠AOC ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ
କେଉଁଟି ?
ସମାଧାନ:
\(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
∠AOC ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ∠BOD ।

(iii) m∠AOB ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ m∠AOC = x ଓ m∠AOB = y ହେଲେ, m∠BOC କେତେ ?
ସମାଧାନ:
m∠AOB ର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ C NC
m∠AOC = x ଏବଂ m∠AOB = y
∴ m∠BOC = m∠AOB – m∠AOC = y – x

(iv) ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥ‌ିବା କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଯଦି ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 30° ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ପ୍ରତୀପ କୋଣର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ହେବ ?
ସମାଧାନ:
\(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ମନେକର m∠BOC = 30°
m∠BOC = m∠AOD (∵ ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠AOD ର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° – 30° = 150° (∵ ପରିପୂରକ କୋଣଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 180° ।)

Question 8.
(i) m∠AOB = x ଓ∠AOB ର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ 2x° ହେଲେ xର ମାନ ଡିଗ୍ରୀରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
ସମାଧାନ:
m∠AOB = x
m∠AOB କୋଣର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 2x
⇒ ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 90°- x = 2x
⇒ 2x + x = 90°
⇒ 3x = 90°
⇒ x = \(\frac{90^{\circ}}{3}\) = 30°

(ii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣରୁ 18° ଅଧିକ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ କେତେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣ ଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଏବଂ 2θ + 18° ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ କୌଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ । ଅର୍ଥାତ୍ θ + 2θ + 18° = 180°
⇒ 3θ = 180° – 18° = 162°
⇒ θ = \(\frac{162}{3}\) = 54°
∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = 2θ + 18° = 2 × 54 + 18 = 108 + 18 = 126°
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ:
ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ । ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (180 – θ°) ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ θ = 2(180°- θ) + 18°
⇒ θ = 360° – 2θ + 18°
⇒ 3θ = 378°
⇒ θ = \(\frac{378}{3}\) = 126°

(iii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଏକପଞ୍ଚମାଂଶ ହେଲେ କୋଣଟିର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ θ ଏବଂ \(\frac{θ}{5}\) ।
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, କୋଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
⇒ θ + \(\frac{θ}{5}\) = 180° 
⇒ \(\frac{5 \theta+\theta}{5}\) = 180°
⇒ 6θ = 180° × 5
⇒ \(\frac{180^{\circ} \times 5}{6}\) = 150°
∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{θ}{5}\) = \(\frac{150^{\circ}}{5}\) = 30°
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ:
ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ । ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (180 – θ°)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ θ = \(\frac{180^{\circ}-\theta}{5}\) 
⇒ 5θ = 180° – θ
⇒ 6θ = 180°
⇒ θ = 30°

(iv) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 4 : 5 ହେଲେ, କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 4θ ଓ 5θ ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 4θ + 5θ = 180° 
9θ = 180° 
θ = \(\frac{180}{9}\) = 20°
∴ 4θ = 4 × 20° = 80° ଓ 5θ = 5 × 20° = 100°
∴ ନିର୍ଦେୟ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 80° ଓ 100° ।

(v) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣଠାରୁ 20° କମ୍ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଓ θ – 20° ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, କୋଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
⇒ θ + θ – 20° = 180°
⇒ 20 = 180° + 20°
⇒ θ = \(\frac{200}{2}\) = 100°
∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = θ – 20° = 100° – 20° = 80°

(vi) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନ୍ତର 30° ହେଲେ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣଦ୍ବୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଓ θ + 30° ।
θ + θ + 30° = 180°
⇒  2θ + 30° = 180°
⇒ 2θ = 180° – 30°
⇒ θ = \(\frac{150}{2}\) = 75°
∴ ବୃହତ୍ତର ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ କୋଣର ପରିମାଣ = θ + 30° = 75° + 30° = 105° ।

(vii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣ ପରିମାଣର ଏକ-ପଞ୍ଚମାଂଶ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ: 
ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ x° ।
ଏହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (90 – x°) ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x = \(\frac{90-x}{5}\)
⇒ 5x = 90 − x
6x = 90
⇒ x = \(\frac{90}{6}\) = 15°
∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 15° ।

Question 9.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଅନୁସାରେ x ର ମାନ କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
(i) ଚିତ୍ର (କ) ରେ ∠AOC ଓ ∠BOC ଦ୍ବୟ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ m∠AOC + m∠BOC = 180°
⇒ 3x + 2x = 180
⇒ 5x = 180
⇒ x = \(\frac{180}{5}\) = 36
∴ x = 36°

(ii) ଚିତ୍ର (ଖ) ରେ ∠PRS ଓ ∠ORS ଦ୍ବୟ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ m∠PRS + m∠QRS = 180°
(x – 4) + (3x + 8) = 180
⇒ 4x + 4 = 180
⇒ 4x = 180 – 4
⇒ x = \(\frac{176}{4}\) = 44
∴ x = 44°

(iii) ଚିତ୍ର (ଗ) ରେ m∠MOP + m∠POQ + m∠QON = 180°
⇒ (x + 20) + (2x – 30) + (x + 10) = 180°
⇒ 4x = 180°
⇒ x = \(\frac{180}{4}\) = 45°
∴ x = 45°

Question 10.
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
m∠COE = 90° ହେଲେ x, Y ଓ z ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
m∠AOC = m∠BOD (ପ୍ରତୀପ) ⇒ 2x = y
ସେହିପରି m∠AOD = m∠BOC (ପ୍ରତୀପ)
⇒ z = 90° + x (∴ m∠COE = 90°)
m∠AOC + m∠AOD = 180°
⇒ 2x + 90° + x = 180°
⇒ 3x = 90°
⇒ x = 30° (∵ m∠AOD = 90° + x)
y = 2x = 2 × 30° = 60°,
z = 90° + x = 90° + 30° = 120°

Question 11.
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ଓ m∠POC = 75° ହେଲେ, a, b ଏବଂ c ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
∠ROP ଓ ∠POS ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ,
m∠ROP + m∠POS = 180°
⇒ m∠ROP + m∠POC + m∠COS = 180°
⇒ 4b + 75° + b = 180°
⇒ 5b + 75° = 180°
⇒ 5b = 180° – 75° = 105°
⇒ b = \(\frac{105}{5}\) = 21°
m∠QOS = m∠ROP (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) 
⇒ a = 4b = b × 21 = 84°
∠ROQ ଓ ∠QOS  m∠ROQ + m∠QOS = 180°
⇒ 2c + a = 180°
⇒ 2c + 84° = 180°
⇒ 2c = 180° – 84° = 96°
∴ c = \(\frac{96°}{2}\) =48°
∴ a = 84°, b = 21°, c = 48°

Question 12.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଦୁଇଟି ପ୍ରତୀପ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଦୁଇଟି ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେବେ । 
ସମାଧାନ:
 ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ରେଖାଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
\(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠AOC ଓ ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ :  m∠AOC + m∠AOD = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + m∠AOD = 180°
(∵ m∠AOC = \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠AOC)
\(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠BOD + m∠AOD = 180°
m∠AOM + m∠DON + m∠AOD = 180°
m∠AOM + m∠AON = 180°
\(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି । 
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ∠AOC ଓ ∠BOC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
OM ଓ ON ଯଥାକ୍ରମେ ∠BOC ଏବଂ ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ଅର୍ଥାତ୍ m∠MON = 90°
ପ୍ରମାଣ : ∠AOC ଓ ∠BOC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠AOC +m∠BOC = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠BOC = \(\frac{1}{2}\) × 180°
⇒ m∠CON + m∠COM = 90° (∵ \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\), ∠BOC ର ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\), ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
⇒ m∠MON = 90°
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{ON}}\)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\), ∠AOC କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରେ ।
m∠COD = 90° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\), ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\), ∠AOE କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ ଏବଂ m∠COD = 90° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\), ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରମାଣ : ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠AOE + m∠EOB = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠AOE + \(\frac{1}{2}\)∠EOB = 90°
⇒ m∠COE + \(\frac{1}{2}\)m∠EOB = 90° … (i)
କିନ୍ତୁ mZCOD = 90° (ଦତ୍ତ)
∴ m∠COE + m∠EOD = 90° … (ii)
⇒ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠COE + \(\frac{1}{2}\)m∠EOB = m∠COE + m∠EOD
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠EOB = m∠EOD
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\), ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । 
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
\(\overleftrightarrow{AB}\) ଓ \(\overleftrightarrow{CD}\) ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । m∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{OX}\) । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overleftrightarrow{XO}\) କୋଣ BOD କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{AB}\) ଓ \(\overleftrightarrow{CD}\) ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
\(\overrightarrow{OX}\), ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
\(\overrightarrow{OX}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{OY}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{OY}\), ZBOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{OX}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି OY ହେତୁ ଏକ ସରଳରେଖା \(\overleftrightarrow{XY}\)
ଏବଂ \(\overleftrightarrow{AB}\) ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । 
⇒ m∠AOX = m∠BOY (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ, \(\overleftrightarrow{XY}\) ଏବଂ \(\overleftrightarrow{CD}\) ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । 
⇒ m∠XOC = m∠YOD (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
\(\overrightarrow{OX}\), ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ।
⇒ m∠A0X = m∠XOC
⇒ m∠BOY = m∠YOD (∵ ∠AOX = ∠BOY ଏବଂ ∠XOC = ∠YOD)
∴ \(\overrightarrow{OY}\), ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ରଶି । କୌଣସି ରଶି ଅନ୍ୟ ରଶି ଦଇଟି ଦାରା ଗଠିତ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ବିସ୍ତୃତ ନୁହେଁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠AOB + m∠BOC + m∠COA =360°
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) , O ବିନ୍ଦୁଗାମୀ ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ରଶ୍ମି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠AOB + m∠BOC + m∠AOC = 360°
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : m∠AOE +m∠EOD = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
⇒ m∠AOE + m∠EOC + m∠COD = 180° … (i)
[∵ m∠EOD = m∠EOC + m∠COD]
ସେହିପରି m∠AOB + m∠BOD = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ) … (ii) 
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii)କୁ ଯୋଗକଲେ,
m∠AOE + m∠EOC + m∠COD + m∠AOB + m∠BOD = 180° + 180°
⇒ m∠AOB + (m∠BOD + m∠DOC) + (m∠AOE + m∠EOC) = 360°
⇒ m∠AOB + m∠BOC + m∠COA = 360°
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\), ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି । \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ,
m∠BOF = m∠AOF l
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\), ∠AOB ର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ । \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) l
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BOF=m∠AOF
ପ୍ରମାଣ : ∠BOF ଏବଂ ∠BOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠BOF + m∠BOE = 180° … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, ∠AOF ଏବଂ ∠AOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠AOF + m∠AOE = 180° … (ii)
⇒ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠BOF + m∠BOE = m∠AOF + m∠AOE
⇒ m∠BOF = m∠AOF (∵\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\), ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Math Notes Chapter 12 Vectors will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 12th Class Math Notes Chapter 12 Vectors

Important formulae:
1. If P = (x₁, y₁, z₁) and Q = (x₂, y₂, z₂) then
P͞Q = (x₂ – x₁) î + (y₂ – y₁ ) ĵ + (z₂ – z₁) k̂
where î, ĵ, k̂ are the unit vectors along x-axis, y-axis and z-axis.

2. Magnitude of a vector:

8. Properties of vector product:
(i) Area of a parallelogram whose adjacent sides are represented by the


12. The vector equation of a straight line:
(i) The vector equation of a straight line passing through a point with position vector \(\vec{a}\) and parallel to a vector \(\vec{b}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}\) where t is a parameter.
(ii) The equation ofa striaght line through two points with position vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})\).
(iii) Equation of a straight line through a point with position vector \(\vec{a}\) and perpendicualr to two non-parallel \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b} \times \vec{a})\).

13. The vector equation of a plane:
(i) The vector equation of plane through a point \(\vec{a}\) and perpendicular to n̂ is \((\vec{r}-\vec{a}) \cdot \hat{n}\) = 0
(ii) The equation of a plane through a point \(\vec{a}\) and parallel to non-parallel vectors \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}+s \vec{c}\), where t and s are parameters.
(iii) Equation of the plane passing through the points \(\vec{a}, \vec{b}\) and parallel to \(\vec{c}\) is \(\vec{r}=(1-t) \vec{a}+t \vec{b}+s \vec{c}\).
(iv) Equation of the plane through three non collinear points \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) is \(\vec{r}=(1-s-t) \vec{a}+t \vec{b}+s \vec{c}\).

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(a)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ପଦଗୁଡ଼ିକରୁ ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ ଓ ସଂଜ୍ଞାବିଶିଷ୍ଟ (ଯାହାର ସଂଜ୍ଞା ଅଛି) ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନାଅ ।
ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ସ୍ଥାନାଙ୍କ, ଦୂରତା, ସରଳରେଖା, ରଶ୍ମି, ରେଖାଖଣ୍ଡ, ସମତଳ, ବିନ୍ଦୁ ।
ସମାଧାନ:
ସଂଜ୍ଞାବିହୀନ ପଦ – ସରଳରେଖା, ସମତଳ, ବିନ୍ଦୁ, ।
ସଂଜ୍ଞାବିଶିଷ୍ଟ ପଦ – ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ସ୍ଥାନାଙ୍କ, ଦୂରତା, ରଶ୍ମି, ରେଖାଖଣ୍ଡ ।

Question 2.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ପ୍ରଦାନ କର ।
(କ) ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖାରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଅସଂଖ୍ୟ

(ଖ) ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଅସଂଖ୍ୟ

(ଗ) ଗୋଟିଏ ରେଖାଖଣ୍ଡରେ କେତୋଟି ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଓ କେତୋଟି ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଦୁଇଟି ଓ ଗୋଟିଏ

(ଘ) ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମି ଓ ତାହାର ବିପରୀତ ରଶ୍ମିର ସଂଯୋଗରେ କ’ଣ ଗଠିତ ହୁଏ ?
ସମାଧାନ:
ସରଳରେଖା

(ଙ) ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମି ଓ ତାହାର ବିପରୀତ ରଶ୍ମିର ଛେଦରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ

(ଚ) ତିନୋଟି ପୃଥକ୍ ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଅତିବେଶିରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ?
ସମାଧାନ:
ତିନୋଟି

(ଛ) ଚାରୋଟି ପୃଥକ୍ ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଅତିବେଶିରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ?
ସମାଧାନ:
ଛଅଗୋଟି

(ଜ) ଚାରୋଟି ପୃଥକ୍ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ତିନୋଟି ଏକରେଖୀ ହୋଇ ନଥିଲେ, ସେମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା କେତୋଟି ସରଳରେଖା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇ ପାରିବ ?
ସମାଧାନ:
ଛଅଗୋଟି

Question 3.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର । ଦତ୍ତ ଅଛି A – B – C
(i) A͞B ∪ \(\overrightarrow{AC}\) = ________
ସମାଧାନ:
\(\overrightarrow{AC}\)

(ii) \(\overrightarrow{BA}\) ∪ \(\overrightarrow{BC}\) = ________
ସମାଧାନ:
\(\overleftrightarrow{AC}\)

(iii) A͞B ∪ B͞C = ________
ସମାଧାନ:
AC

(iv) \(\overrightarrow{AB}\) ∪ \(\overrightarrow{AC}\) = ________
ସମାଧାନ:
\(\overrightarrow{AB}\) ବା \(\overrightarrow{AC}\)

(v) \(\overrightarrow{AB}\) ∩ \(\overrightarrow{BA}\) = ________
ସମାଧାନ:
AB

(vi) A͞C ∩ B͞C = ________
ସମାଧାନ:
BC

(vii) \(\overrightarrow{BA}\) ∩ \(\overrightarrow{BC}\) = ________
ସମାଧାନ:
{B}

(viii) AC – BC = ________
ସମାଧାନ:
AB

(ix) AC – AB = ________
ସମାଧାନ:
BC

Question 4.
L ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ À ଓ B ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 3 ଓ 5 ହେଲେ AB କେତେ ?
ସମାଧାନ:
L ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 3 ଓ 5 ହେଲେ,
A͞B ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = |-3 – 5| = |-8| = 8
ଅଥବା AB = |5 – (-3)| = |8| = 8

Question 5.
\(\overleftrightarrow{AB}\) ଉପରିସ୍ଥ A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 16 ଓ 20 ହେଲେ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ? 
ସମାଧାନ:
 A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 16 ଓ 20 ।
∴ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = \(\frac{-16+20}{2}=\frac{4}{2}\) = 2

Question 6.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକରେ ସଂପୃକ୍ତ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଏକରେଖୀ ଅଟନ୍ତି ।
(କ) A, B ଓ C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 11, 4 ଓ 2 ହେଲେ, କେଉଁ ବିନ୍ଦୁଟି ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟିର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ?
ସମାଧାନ:
A, B, C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 11, 4 ଓ 2 । ଏଠାରେ – 11 < 2 < 4 ଯୋଗୁଁ A – C – B
ଅର୍ଥାତ୍ C ବିନ୍ଦୁ A ଓ B ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(ଖ) PQ = 8, QR = 5 ଓ RP = 3 ହେଲେ P, Q, R ମଧ୍ଯରେ କେଉଁ ବିନ୍ଦୁଟି ଅନ୍ୟ ଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ?
ସମାଧାନ:
PQ = 8, QR = 5, RP = 3 10166 PQ = QR + RP
ଅର୍ଥାତ୍ R ବିନ୍ଦୁ Q ଓ P ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

(ଗ) A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 3, A – C – B, BC = 2 ଓ C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 4 ହେଲେ, B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଓ AB କେତେ ? 
ସମାଧାନ:
A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 3, BC = 2, C ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 4 ଏବଂ A – C – B ।
∴ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = – 4 – 2 = -6

BC = 2 ଯୋଗୁଁ, AB = |-6 -3| = |-9|  = 9

(ଘ) ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 11 ଓ 21 ହେଲେ, A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ଓ A ଠାରୁ ଏହାର ଦୂରତା କେତେ ?
ସମାଧାନ:
A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ – 11 ଓ 21 । A ଓ B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ C ହେଲେ
∴ A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ‘C’ ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = \(\frac{-11+21}{2}=\frac{10}{2}\) = 5
∴ A ଠାରୁ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ‘C’ ର ଦୂରତା = |-11 – 5| = |-6| = 6
∴ AC = 16

(ଙ) A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 5 ଓ ĀB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 ହେଲେ, B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ – 5 | AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (M) ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 0 |

ମନେକର B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ‘x’
∴ 0 = \(\frac{-5+x}{2}\) ⇒ x = 5
∴ B ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 5

Question 7.
A, L ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ A ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 5 ଅଟେ । A ଠାରୁ 2 ଏକକ ଦୂରତା ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ L ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବ ଓ ସେମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ କେତେ ହେବ ?
ସମାଧାନ:

L ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ A ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ 5 । A ଠାରୁ 2 ଏକକ ଦୂରତା ବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ L ଉପରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବ ।
ଆମେ ଜାଣୁ L ସରଳରେଖା ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ à ଏକ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ L 
ଉପରେ କେବଳ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ରହିବ; ଯାହାର ସ୍ଥାନାଙ୍କ P + a ଓ P – a ।
∴ L ଉପରେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ରହିବ ଯଥା B ଓ C ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ 5 + 2 = 7 ଓ 5 – 2 = 3 

Question 8.
ନିମ୍ନଲିଖ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଉଦାହରଣ ମାଧ୍ୟମରେ ବୁଝାଅ ।
ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ବିପରୀତ ରଶ୍ମି, ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା, ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତିତା ।
ସମାଧାନ:
ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ : ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଥାଏ । ମନେକର A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ
ଯଥାକ୍ରମେ x ଓ y ଏବଂ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ‘C’ ହେଲେ C ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ = \(\frac{x+y}{2}\) ହେବ ।
AC = CB = \(\frac{1}{2}\)AB 

‘C’ ବିନ୍ଦୁଟି AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

ବିପରୀତ ରଶ୍ମି : L ରେଖା ଉପରିସ୍ଥ A, O ଓ B ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି A – O – B ।
ଏଠାରେ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) କୁ ବିପରୀତ ରଶ୍ମି କୁହାଯାଏ ।

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ପରସ୍ପରର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେଲେ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ∪ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) = L
ଅର୍ଥାତ୍ ଦୁଇଟି ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ର ସଂଯୋଗ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) (AB ସରଳରେଖା) ଅଟେ ।

ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା : A ଓ B ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟର ସ୍ଥାନାଙ୍କ x ଓ y ହେଲେ,
A ଓ B ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା = AB = |x – y| (∴ A ଓ B ର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଦ୍ଵୟର ଅଣଋଣାତ୍ମକ ଅନ୍ତର = AB) 
ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ AB ଗୋଟିଏ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ହେବ । ଯାହା ହେଉଛି A ଓ B ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଦୂରତା ।

ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତିତା : ତିନୋଟି ପୃଥକ୍ ବିନ୍ଦୁ A, B ଓ C ଯଦି ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥାନ

କରନ୍ତି ଓ AB + BC = AC ହୁଏ; ତେବେ B କୁ A ଓ C
(କିମ୍ବା C ଓ A )ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।
ବିନ୍ଦୁ ତ୍ରୟର ଏ ପ୍ରକାର ଅବସ୍ଥାକୁ ସାଙ୍କେତିକ ଭାଷାରେ A – B – C କିମ୍ବା C – B – A ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ ।

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Math Notes Chapter 5 Determinants will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 12th Class Math Notes Chapter 5 Determinants

Evaluation of determinants:

Note: We can evaluate a determinant along any row or column.

Minors and cofactors:
Minor of an element a_ij is the determinant obtained by deleting ith row and jth column denoted by M_ij.
Example.

Properties of determinant:
(a) The value of a determinant remains unchanged by changing rows to columns and columns to rows.
(b) The interchange of two adjacent rows or columns of determinant changes the sign of a determinant without changing its numerical value

(c) If two rows or columns of a determinant are identical then the value of determinant is zero.
(d) If every element of any row or column is multiplied by a factor, then the determinant is multiplied by that factor.
(e) If every element of any row (or column) of a determinant is expressed as sum of two or more numbers, then the determinant can be expressed as the sum of two or more determinants.

(f) A determinant remains unchanged by adding k times the elements of any row (or column) to corresponding elements of any other row (or column) where k is any number or function.

Cramer’s rule to solve a system of linear equations:
Let
a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
is system of linear equations

Note:
(i) If D₁ = D₂ = D₃ = D = 0 then the system has infinitely many solutions.
(ii) If D = 0 and atleast one of D₁, D₂ or D₃ is not zero then the system has no solution.

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Math Notes Chapter 11 Differential Equations will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 12th Class Math Notes Chapter 11 Differential Equations

(a) Differential equation:
It is an equation involving independent variables, dependent variables and their derivatives.

(b) Ordinary D.E:
Differential equation that contains derivatives with respect to a single independent variable.

(c) Partial D.E:
Differential equation that contains derivatives with respect to more than one independent variable.

(d) Order of a D.E:
Order of a differential equation is the order of the highest order derivative occurs in the equation.
eg. \(\frac{d^3 y}{d x^3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^5\)+ y = 0 is of order – 3.

(e) Degree of D.E:
Degree of a differential equation is the power of the highest order derivative occurs in the equation after changing to integral powers.
In the above example the degree is ‘1’.

(f) Formation of a D.E:
(i) Differential equation for f(x, y, a) = 0 … (1)
can be obtained by eliminating a from (1) and
\(\frac{d}{d x}\)f(x, y, a) = 0 … (2)
(ii) Differential equation for
f(x, y, a, b) = 0 … (1)
can be obtained by eliminating a, b from (1),
\(\frac{d}{d x}\)f(x, y, a, b) = 0 … (2)
and \(\frac{{d}^2}{{dx}^2}\)f(x, y, a, b) = 0 … (3)

(g) Solution of a D.E:
A solution of a differential equation is a function which satisfies the given equation.
General Solution: A solution is a general solution if it contains as many arbitrary constants as the order of the differential equation.
Particular Solution: It is a solution that can be obtained by giving particular values to the arbitrary constants.
Singular Solution: The solutions which can not be obtained from the general solution are singular solution.

(h) First order and first degree differential equation:
Definition:
A first order first degree differential equation takes the form
\(\frac{d y}{d x}\) = f(x, y)

Standard types and methods of solution:
(i) Variable separable:
If we can express \(\frac{d y}{d x}\) = f(x, y) in the form N(y) dy = M(x) dx
then we can get a solution by direct integration. The reduced equation is called equation with separable variables.

(ii) Equations reducible to variables separable form:
If the equation is in the form
\(\frac{d y}{d x}\) = f(ax + by + c) then pur z = ax + by + c to reduce the equation to variable separable form.
The equations of the form \(\frac{d y}{d x}=\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{a_2 x+b_2 y+c_2}\) where \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\) can be reduced to variable separable form by putting z = a₁x + b₂y.

(iii) Homogeneous differential equation:
A differential equation of the form \(\frac{d y}{d x}=\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\) where f(x, y) and g(x, y) are homogeneous function of x, y and of same degree is a homogeneous differential equation.
Solution process:
Put y = vx, \(\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}\) to reduce the equation to variable separable form. Then solve

(iv) Equations reduciable to homogeneous form:
Form of the equation:

Homogeneous equations:
Let f(x,y) and g(x, y) be homogeneous functions of x and y of same degree.
Then \(\frac{d y}{d x}=\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\) is called a homogeneous differential equation.
For homogeneous differential equation put y = vx and the proceed.

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Math Notes Chapter 8 Application of Derivatives will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 12th Class Math Notes Chapter 8 Application of Derivatives

Tangents and normals:
(a) If y = f(x) is the equation of any curve then = The slope of the tangent at P(x₁, y₁).
(b) Slope of the normal at (x₁, y₁)
(c) Equation of tangent at P(x₁, y₁) is y – y₁ =
(d) Equation of normal at P(x₁, y₁) is y – y₁ =
(e) Angle between two curves is the angle between two tangents at the point of contact.

Increasing and decreasing functions:
If y = f(x) is defined in [a, b] then
(i) f'(x) > 0, x ∈ (a, b)
⇒ f is strictly increasing on (a, b).
(ii) f'(x) > 0, x ∈ (a, b)
⇒ f is monotonic increasing on (a, b).
(iii) f'(x) < 0, x ∈ (a, b)
⇒ f is strictly decreasing on (a, b).
(iv) f'(x) < 0, x ∈ (a, b)
⇒ f is monotonic decreasing on (a, b).
(v) f'(x) = 0, x ∈ (a, b)
⇒ f is a constant function on (a, b).

Approximation:
(a) If y = f(x) is a function and δx is a very small change in x then the respective change in y is δy given by
δy = f'(x) δx => dy = f'(x) δx.
∴ The approximate value of y = f(x) at
x = a + δx is f(a + δx)
= f(a) + f(a) δx

Maxima and minima:
(a) First derivative criteria to find max/min of y = f(x)
Algorithm:
Step-1 : Put and solve for x.
Let x = a, b, c ……
Step-2 : If changes sign from (+ve) to (-ve) in then at x = a, ‘f’ has a local maximum. If changes sign from (-ve) to (+ve) in then at x = a, f has a local minimum. If in thenat x = a ‘f’ has neither maxima nor a minima (it may be a point of inflexion).

(b) Second derivative criteria
Algorithm:
Step-1 : Find the roots of f'(x) = 0.
Let they are a, b, c ……
Step-2 : Find f”(x) and put x = a, b, c ……
(i) If f”(a) > 0 then at x = a, f has a local minimum.
(ii) If f”(a) < 0 then at x = a, f has a local maximum.
(iii) If f”(a) = 0 and f”(x) changes sign in (a – δ, a + δ) then x = a is a point of inflexion.
(iv) If f”(a) = 0 and f”(x) does not change sign in then use first derivative criteria to check for maxima/minima.

Mean Value Theorems:
(a) Rolle’s theorem:
If a function f is
(i) continuous on the closed interval [a, b]
(ii) differentiable on the open interval (a, b) and
(iii) f(a) = f(b) then there exists a point c ∈ (a, b) such that f(c) = 0.
Geometrical interpretation:
If f is continuous on [a, b], differentiable on (a, b) and f(a) = f(b) then there exists atleast one point c ∈ (a, b) such that at x = c the tangent is parallel to x-axis.
Algebraic interpretation:
Between two roots ‘a’ and ‘b’ of f(x) there exists atleast one root of f'(x).

(b) Cauchy’s Mean Value theorem:
If ‘f’ and ‘g’ are two functions such that
(i) both are continuous on [a, b]
(ii) both are differentiable on (a, b) and
(iii) g'(x) ≠ 0 for any x ∈ (a, b) then there exists atleast one point c ∈ (a, b) such that
Geometrical interpretation:
The conclusion of Cauchy’s theorem can be written as i.e. the ratio of the mean rate of increase of two functions in an interval equals to the ratio of actual rate of increase at some point of the interval.

(c) Lagrange’s Mean Value theorem:
If a function f is
(i) continuous on the closed interval [a, b]
(ii) differentiable on the open interval(a, b) then there exists atleast one c ∈ (a, b), such that.
Geometrical interpretation:
Between two points A and B of the graph of y = f(x) there exists atleast one point c such that the tangent is parallel to the chord AB.

Indeterminate forms & L’Hospitals rule:
A limit is said to be in indeterminate form if it takes any of the forms.
Note:
If a limit is in indeterminate form then it can be evaluated using the following methods.
(i) Change the function to determinate form (by rationalisation, expansion or any other means) then find the limit.
Or, (ii) Bring to form then use L’Hospitals rule.
L’Hospitals rule:
Let f and g are two functions differentiable on some open interval containing ‘a’ such that g'(x) ≠ 0 for x ≠ a and g(a) = f(a) = 0, then provided the latter limit exists.

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Math Notes Chapter 9 Integration will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 12th Class Math Notes Chapter 9 Integration

Indefinite integral:
If \(\frac{d}{d x}\)F(x) = f(x) then the indefinite integral of f(x) w.r.t x is
∫f(x)dx = F(x) + C
which represents the entire class of anti-derivatives.

(a) Algebra of integrals:
(i) ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx
(ii) ∫af(x) dx = α ∫f(x) dx
(iii) ∫f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫\(\left[(\frac{d}{d x} f(x)\right) \cdot \int g(x) d x]\) dx (Integration by parts)

(b) Some standard indefinite integrations:
(1) ∫x_n dx = \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) + C, n ≠ (-1)
(2) ∫\(\frac{d x}{x}\) = log_e|x| + C.
(3) ∫sin x dx = -cos x + C
(4) ∫cos x dx = sin x + C
(5) ∫tan x dx = -log |cos x| + C or log |(sec x)| + C
(6) ∫cot x dx = log |(sin x)| + C or -log |(cosec x)| + C
(7) ∫sec x dx = log |sec x + tan x| + C
(8) ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C
(9) ∫sec² x dx = tan x +C
(10) ∫cosec² x dx = -cot x + C
(11) ∫sec x tan x dx = sec x + C
(12) ∫cosec x cot x dx = -cosec x + C

[Note: To integrate by parts choose 1st function according to I LATE]
Where I → Inverse trigonometric functions.
L → Logarithmic function
A → Algebraic function
T → Trigonometric function
E → Exponential function

(c) Techniques of integration:

Definite integration: