Students can use Class 7 Math Solution Odia Medium and Class 7 Maths Chapter 8 Question Answer Odia Medium ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟବହାର to check their answers after solving exercises.
7th Class Maths Chapter 8 Question Answer Odia Medium
Class 7 Maths Chapter 8 Odia Medium
8.1 ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ :
Page No. (176 to 189)
Question 1.
ଅମ୍ଳାନ 1 ଘଣ୍ଟାରେ 3 କିଲୋମିଟର ବାଟ ଚାଲିପାରେ । ତେବେ ସେ 5 ଘଣ୍ଟାରେ କେତେ ଦୂର ବାଟ ଚାଲିପାରିବ ?
Solution:
ଅମ୍ଳାନ 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରୁଥିବା ଦୂରତା = 3 କି.ମି. ।
5 ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରୁଥିବା ଦୂରତା = (5 × 3) କି.ମି. = (3 + 3 + 3 + 3 + 3) କି.ମି. = 15 କି.ମି. ।
∴ ଅମ୍ଳାନ 5 ଘଣ୍ଟାରେ 15 କି.ମି. ଚାଲିପାରିବ ।
କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମିକ ଯୋଗକୁ ଆମେ ଗୁଣନ କହିଥାଉ ।
Question 2.
ଅମ୍ଳାନର ପୋଷା ବିରାଡ଼ି 1 ଘଣ୍ଟାରେ ମାତ୍ର ମୁଁ \(\frac{1}{4}\) କି.ମି. ଚାଲିପାରେ । ସେହି ବେଗରେ ସେ 3 ଘଣ୍ଟାରେ କେତେ ଦୂର ଚାଲିପାରିବ ?
Solution:
1 ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା = \(\frac{1}{4}\) କି.ମି. ।
3 ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା = 3 × \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\) କି.ମି. ।
(ଏଠାରେ 3ଟି \(\frac{1}{4}\) ଯୋଗଫଳ = 3 × \(\frac{1}{4}\))
∴ ବିରାଡ଼ିଟି 3 ଘଣ୍ଟାରେ \(\frac{3}{4}\) କି.ମି. ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିପାରିବ ।
Question 3.
ଅମ୍ଳାନ 1 ଘଣ୍ଟାରେ 3 କି.ମି. ବାଟ ଚାଲିଲେ \(\frac{1}{5}\) ଘଣ୍ଟାରେ କେତେ ଦୂର ଚାଲିପାରିବ ?
Solution:
1 ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରାଯାଇଥିବା ଦୂରତା = 3 କି.ମି. ।
\(\frac{1}{5}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରାଯାଇଥିବା ଦୂରତା = 3 × \(\frac{1}{5}\) କି.ମି. = \(\frac{3}{5}\) କି.ମି. ।
Question 4.
\(\frac{2}{5}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅମ୍ଳାନ କେତେ ଦୂର ଚାଲିପାରିବ ?
Solution:
\(\frac{2}{5}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିବ = \(\frac{2}{5}\) × 3 କି.ମି.= \(\frac{6}{5}\) ଓ କି.ମି. ।
(1) ଆମେ ପ୍ରଥମେ \(\frac{1}{5}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।
(2) ଯେହେତୁ \(\frac{2}{5}\) ହେଉଛି \(\frac{1}{5}\) ର 2 ଗୁଣ ।
ଏଣୁ ଆମେ ଏହି ଦୂରତାକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ
\(\frac{2}{5}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ମୋଟ ଦୂରତା ପାଇପା `ବା ।
1 ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା = 3 କି.ମି. ।
(1) \(\frac{1}{5}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥୁବା ଦୂରତା = 3 କି.ମି.କୁ ସମାନ 5 ଭାଗ କଲେ ପାଇବା \(\frac{1}{5}\) କି.ମି. ।
(2) ଏହି ଦୂରତାକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ ଆମେ ପାଇବା 2 x \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{6}{5}\) କି.ମି. ।
ଏଥୁରୁ ଆମେ ଦେଖୁଲୁ ଯେ \(\frac{2}{5}\) × 3 = \(\frac{6}{5}\)
ଆମେ ପ୍ରଥମେ ଗୁଣକ 3 କୁ \(\frac{2}{5}\) ର ହର 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରି \(\frac{3}{5}\) ପାଇଲୁ ଓ ସେହି ଫଳାଫଳକୁ ଗୁଣ୍ୟର ଲବ ଦ୍ଵାରା ଅର୍ଥାତ୍ 2 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରି \(\frac{6}{5}\) ପାଇଲୁ ।
Question 5.
ଉଦାହରଣ – 1 : ଜଣେ ମହିଳା ଚାଷୀଙ୍କର 5 ଜଣ ନାତିନାତୁଣୀ ଥିଲେ । ସେ ତାଙ୍କର ପ୍ରତ୍ୟେକ ନାତି ନାତୁଣୀଙ୍କୁ \(\frac{2}{3}\) ଏକର ଲେଖାଏଁ ଜମି ଭାଗକରି ଦେଲେ ସେ ସମସ୍ତ ନାତିନାତୁଣୀଙ୍କୁ କେତେ ଜମି ଦେଇଥିଲେ ?
Solution:
ସମସ୍ତ ନାତୁଣୀ ମୋଟ ଜମି ପାଇବେ = 5 × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{10}{3}\)
Question 6.
ଉଦାହରଣ – 2 : 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଇଣ୍ଟରନେଟ୍ ପାଇଁ ଖର୍ଚ୍ଚ 8 ଟଙ୍କା ହେଲେ, 1\(\frac{1}{4}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଇଣ୍ଟରନେଟ୍ ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେବ ?
Solution:
1 ଘଣ୍ଟାର ଇଣ୍ଟରନେଟ୍ ପାଇଁ ଖର୍ଚ୍ଚ = 8 ଟଙ୍କା । 1\(\frac{1}{4}\) ଘଣ୍ଟା = \(\frac{5}{4}\) ଘଣ୍ଟା ।
\(\frac{5}{4}\)ଘଣ୍ଟା ପାଇଁ ଇଣ୍ଟରନେଟ୍ ଖର୍ଚ୍ଚ = \(\frac{5}{4}\) × 8 ଟଙ୍କା = 5 × \(\frac{8}{4}\) ଟଙ୍କା = 10 ଟଙ୍କା ।
∴ 1\(\frac{1}{4}\) ଘଣ୍ଟାର ଇଣ୍ଟରନେଟ୍ ପାଇଁ ଖର୍ଚ୍ଚ 10 ଟଙ୍କା ହେବ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ରମେଶ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦିନ \(\frac{1}{2}\) ଗ୍ଲାସ୍ କ୍ଷୀର ପିଏ । ସେ ଏକ ସପ୍ତାହରେ କେତେ ଗ୍ଲାସ୍ କ୍ଷୀର ପିଇବ ? ସେ ଜାନୁଆରୀ ମାସରେ କେତେ କ୍ଷୀର ପିଇବ ?
Solution:
1 ସପ୍ତାହ = 7 ଦିନ । ରମେଶ ଗୋଟିଏ ଦିନରେ କ୍ଷୀର ପିଏ = \(\frac{1}{2}\) ଗ୍ଲାସ୍ ।
ରମେଶ 7 ଦିନରେ କ୍ଷୀର ପିଏ 7 × \(\frac{1}{2}\) ଗ୍ଲାସ୍ = \(\frac{7}{2}\) ଗ୍ଲାସ୍ = 3\(\frac{1}{2}\) ଗ୍ଲାସ୍ ।
∴ ରମେଶ ଏକ ସପ୍ତାହରେ 3\(\frac{1}{2}\) ଗ୍ଲାସ୍ କ୍ଷୀର ପିଏ ।
ଜାନୁୟାରୀ ମାସ = 31 ଦିନ ।
ରମେଶ ଗୋଟିଏ ଦିନରେ କ୍ଷୀର ପିଏ = \(\frac{1}{2}\) ଗ୍ଲାସ୍
ରମେଶ 31 ଦିନରେ କ୍ଷୀର ପିଏ = \(\frac{1}{2}\) × 31 ଗ୍ଲାସ୍ = \(\frac{31}{2}\) କ୍ଲାସ୍ = 15\(\frac{1}{2}\) ଗ୍ଲାସ୍ ।
∴ ରମେଶ ଜାନୁୟାରୀ ମାସରେ 15\(\frac{1}{2}\) ଗ୍ଲାସ୍ କ୍ଷୀର ପିଏ ।
Question 2.
ଏକ ଶ୍ରମିକ ଦଳ 8 ଦିନରେ 1 କିଲୋମିଟର କେନାଲ ତିଆରି କରନ୍ତି । ଏକ ଦିନରେ ସେହି ଶ୍ରମିକ ଦଳଟି କେତେ କିଲୋମିଟର କେନାଲ ତିଆରି କରିପାରିବେ ? ଯଦି ସେମାନେ ଗୋଟିଏ ସପ୍ତାହରେ 5 ଦିନ କାମ କରନ୍ତି, ତେବେ ସେହି ସପ୍ତାହରେ କେତେ କି.ମି. କେନାଲ ତିଆରି କରିପାରିବେ ?
Solution:
ଏକ ଶ୍ରମିକ ଦଳ 8 ଦିନରେ 1 କିଲୋମିଟର କେନାଲ ତିଆରି କରନ୍ତି ।
1 ଦିନରେ କେନାଲ ତିଆରି କରିବେ = \(\frac{1}{8}\) କି.ମି. ।
5 ଦିନରେ କେନାଲ ତିଆରି କରିବେ = \(\frac{1}{8}\) × 5 କି.ମି. = \(\frac{5}{8}\) କି.ମି. ।
∴ ତେବେ ସେହି ସପ୍ତାହରେ \(\frac{5}{8}\) କି.ମି. । କେନାଲ ତିଆରି କରିପାରିବେ ।
Question 3.
ମଞ୍ଜୁ ଓ ତା’ର ଦୁଇଜଣ ପଡ଼ୋଶୀ ପ୍ରତି ସପ୍ତାହରେ 5 ଲିଟର ତେଲ କିଣି, ଏହାକୁ 3 ପରିବାର ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ଭାବରେ ବାଣ୍ଟି ନିଅନ୍ତି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିବାର ସପ୍ତାହରେ କେତେ ତେଲ ପାଆନ୍ତି ? ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିବାର ଚାରି ସପ୍ତାହରେ କେତେ ତେଲ ପାଆନ୍ତି ।
Solution:
ପ୍ରତି ସପ୍ତାହରେ 5 ଲିଟର ତେଲ କିଣି, ଏହାକୁ 3 ପରିବାର ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ଭାବରେ ବାଣ୍ଟି ଦେଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିବାର ପାଇବେ = 6\(\frac{5}{3}\) ଲିଟର ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିବାର ଚାରି ସପ୍ତାହରେ ପାଇବେ = \(\frac{5}{3}\) × 4 ଲିଟର = \(\frac{20}{3}\) ଲିଟର = 6\(\frac{2}{3}\) ଲିଟର ।
∴ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିବାର ଚାରିସପ୍ତାହରେ 6\(\frac{2}{3}\) ଲିଟର ତେଲ ପାଆନ୍ତି ।
Question 4.
ସୋମବାର ରାତି 10ଟାରେ ସୋଫିଆ ଚନ୍ଦ୍ର ଦେଖିଲେ । ତାଙ୍କ ମାଆ ଜଣେ ବୈଜ୍ଞାନିକ । ସେ ତାଙ୍କୁ କହିଲେ ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦିନ ଚନ୍ଦ୍ର ପୂର୍ବଦିନ ଅପେକ୍ଷା \(\frac{5}{6}\) ଘଣ୍ଟା ବିଳମ୍ବରେ ଦେଖାଦିଏ । ତେବେ ସେହି ସପ୍ତାହର ଗୁରୁବାର ରାତି 10ଟା ପରେ କେଉଁ ସମୟରେ ଚନ୍ଦ୍ର ଦେଖାଦେବ ?
Solution:
ସୋମବାର ରାତି 10 ଟାରେ ସୋଫିଆ ଚନ୍ଦ୍ର ଦେଖିଲେ ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦିନ ଚନ୍ଦ୍ର ପୂର୍ବଦିନ ଅପେକ୍ଷା \(\frac{5}{6}\) ଘଣ୍ଟା ବିଳମ୍ବରେ ଦେଖାଯାଏ ।
ସୋମବାର ଦେଖାଦିଏ = 10 ଘଣ୍ଟାରେ ।
ମଙ୍ଗଳବାର ଦେଖାଯିବ = (10 + \(\frac{5}{6}\)) ଘଣ୍ଟାରେ ।
ବୁଧବାର ଦେଖାଯିବ = (10 + \(\frac{5}{6}\) + \(\frac{5}{6}\) ଘଣ୍ଟାରେ ।
ଗୁରୁବାର ଦେଖାଯିବ = (10 + \(\frac{5}{6}\) + \(\frac{5}{6}\) + \(\frac{5}{6}\)) ଘଣ୍ଟାରେ ।
ସରଳ କଲେ (10 + \(\frac{5}{6}\) + \(\frac{5}{6}\) + \(\frac{5}{6}\)) = (10 + \(\frac{15}{6}\)) = 12 : 30 AM (ରାତି 12 ଟା 30 ମିନିଟ୍ରେ)
∴ ସେହି ସପ୍ତାହର ଗୁରୁବାର ରାତି 10ଟା ପରେ 12 ଟା 30 ମିନିଟ୍ (ଅର୍ଥାତ୍ 2 ଘଣ୍ଟା 30 ମିନିଟ୍ ବିଳମ୍ବରେ) ଚନ୍ଦ୍ର ଦେଖାଦେବ ।
Question 5.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରଥମେ ଗୁଣନ କର । ତା’ପରେ ଗୁଣଫଳକୁ ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(a) 7 × \(\frac{3}{5}\)
(b) 4 × \(\frac{1}{3}\)
(c) \(\frac{9}{7}\) × 6
(d) \(\frac{13}{11}\) × 6
Solution:
(a) 7 × \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{21}{5}\) = 4\(\frac{1}{5}\)
(b) 4 × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{4}{3}\) = 1\(\frac{1}{3}\)
(c) \(\frac{9}{7}\) × 6 = \(\frac{54}{7}\) = 7\(\frac{5}{7}\)
(d) \(\frac{13}{11}\) × 6 = \(\frac{78}{11}\) = 7\(\frac{1}{11}\)
ଦୁଇଟି ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ :
Question 1.
ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଯେ, ଅମ୍ଳାନର ପୋଷା ବିରାଡ଼ି 1 ଘଣ୍ଟାରେ ମାତ୍ର \(\frac{1}{4}\) କିଲୋମିଟର ଚାଲିପାରେ । \(\frac{1}{2}\) ବା ଅଧା ଘଣ୍ଟାରେ ସେ କେତେ ଦୂର ଚାଲିପାରିବ ?
Solution:
ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଅନୁସରଣ କରି ପାଇବା
\(\frac{1}{2}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{4}\)
1 ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା = \(\frac{1}{4}\) କି.ମି. ।
ତେଣୁ \(\frac{1}{4}\) ଧିକୁ ସମାନ 2 ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କଲେ ଯେଉଁ ଦୂରତା ପାଇବା ତାହା ହେଉଛି \(\frac{1}{2}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା ।
Question 2.
ଏବେ ଆମେ ଏହି \(\frac{1}{4}\) କୁ ସମାନ 2 ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କଲେ କ’ଣ ପାଇବୁ ?
Solution:
ରେଖାଙ୍କିତ ହୋଇଥିବା ଅଂଶଟି ପୂରା ଚିତ୍ରର କେତେ ଅଂଶ : ଯେହେତୁ ପୂରା ଚିତ୍ରକୁ 8 ସମାନ ଭାବରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଅଂଶ ମାତ୍ର ଚିତ୍ରିତ ହୋଇଛି ।
ଏଣୁ ଆମେ କହିପାରିବା ଚିତ୍ରିତ ଅଂଶଟି ପୂରା ଚିତ୍ରର \(\frac{1}{8}\) ଅଂଶ ।
ତେଣୁ ବିରାଡ଼ିଟି \(\frac{1}{2}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ
କରିଥୁବା ଦୂରତା = \(\frac{1}{8}\) କି.ମି. ।
ଏବେ ଆମେ କହିପାରିବା = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{8}\) କି.ମି. ।
Question 3.
ଯଦି ବିରାଡ଼ିଟି ଦ୍ରୁତଗତିରେ ଚାଲେ ଓ 1 ଘଣ୍ଟାରେ \(\frac{2}{5}\) କିଲୋମିଟର ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରେ, ତେବେ \(\frac{3}{4}\) ଘଣ୍ଟାରେ ସେ କେତେ କିଲୋମିଟର ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିପାରିବ ?
Solution:
ପୂର୍ବ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିବ = \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{5}\)
(i) ପ୍ରଥମେ ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।
(ii) ଉତ୍ତର ସହିତ 3 ଗୁଣନ କଲେ ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା ।
ଏହାକୁ ବର୍ଗଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଇବା –
(i) \(\frac{1}{4}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା :
ବର୍ଗଚିତ୍ରର \(\frac{2}{5}\) ଅଂଶକୁ 4 ସମାନ ଭାଗକରି ଆମେ ଉତ୍ତର କିଲୋମିଟରରେ ପାଇବା । ଦିଆଯାଇଥିବା ବର୍ଗଚିତ୍ରର କଳା ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶଟି \(\frac{2}{5}\) ଅଂଶ ।
ଏହି \(\frac{2}{5}\) ଅଂଶକୁ ସମାନ 4 ଭାଗ କରାଯାଇଛି ।
ଏଠାରେ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ 5ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 4ଟି ସ୍ତମ୍ଭରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି । ଏଣୁ ବର୍ଗଚିତ୍ରଟି 5 × 4 = 20 ଟି ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ ହୋଇଛି ।
ଚିତ୍ରରେ ରେଖାଙ୍କିତ ଅଂଶ ବର୍ଗଚିତ୍ରର \(\frac{2}{5}\) ଅଂଶର 4 ସମାନ ଭାଗରୁ 2 ଭାଗ । ଏଣୁ \(\frac{1}{4}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରାଯାଇଥିବା ଦୂରତା \(\frac{2}{20}\)।
ଏବେ ଆମେ \(\frac{2}{20}\) କୁ 3 ସହିତ ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ ।
∴ \(\frac{3}{4}\) ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରୁଥିବା ଦୂରତା = 3 × \(\frac{2}{20}\) = \(\frac{6}{20}\)
ତେଣୁ \(\frac{3}{4}\) x \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{6}{20}\) = \(\frac{3}{10}\) କି.ମି. ।(ଏଠାରେ \(\frac{3}{4}\) ଟି \(\frac{2}{5}\) ର
ଯୋଗଫଳ = \(\frac{3}{10}\) ବୋଲି କହିପାରିବା କି ? ନାଁ, କାରଣ \(\frac{3}{4}\) ଟିର କୌଣସି ଅର୍ଥ ନାହିଁ । 2ଟି, 3ଟି କହିପାରିବା ।
ଗଣିବା ପାଇଁ କେବଳ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ କିନ୍ତୁ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।)
ଆଲୋଚନା କରିବା :
ଏହି ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାକୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା ସମୟରେ ଆମେ ଏକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାକୁ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା ପଦ୍ଧତି ଅନୁସରଣ କରିଥାଉ ।
ଆମେ \(\frac{3}{4}\) କୁ \(\frac{2}{5}\) ଦ୍ଵାରା ଏପରି ଗୁଣନ କଲୁ
Question 4.
ଏହି ପଦ୍ଧତି ଅନୁଯାୟୀ ଗୁଣନ କର : \(\frac{5}{4}\) × \(\frac{3}{2}\)
Solution:
ପ୍ରଥମେ ଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ \(\frac{3}{2}\) କୁ ଦର୍ଶାଇବା ।
ଯେହେତୁ \(\frac{3}{2}\) ହେଉଛି 1 + \(\frac{1}{2}\) ବା ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ଚିତ୍ର ଓ ଏକ ଅଧା ବର୍ଗଚିତ୍ର ରୂପେ ଦେଖାଇ ପାରିବା ।
ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ସୋପାନକୁ ଅନୁସରଣ କରି
ଆମେ ପ୍ରଥମେ \(\frac{3}{2}\) କୁ 4 ସମାନ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରିବା ।
ଚିତ୍ରରେ ଦେଖାଯାଉଥିବା ପରି କରାଯିବ ।
ଯେପରିକି କଳା ଚିତ୍ରିତ \(\frac{3}{2}\) ଅଂଶ କୁ 4 ସମାନ ଭାଗକରି ଦର୍ଶାଉଛି ।
ଏହି ହଳଦିଆ ରଙ୍ଗଦ୍ଵାରା ରଙ୍ଗୀନ ଅଂଶ \(\frac{3}{2}\) ଚିତ୍ରର କେତେ ଅଂଶ ?
ଆମେ ଦେଖୁବା ଯେ ପୂରା ଚିତ୍ରଟିକୁ 2ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 4ଟି ସ୍ତମ୍ଭରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ଫଳରେ ବର୍ଗଚିତ୍ରଟି 8ଟି ସମାନ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ ହୋଇଛି ।
ମୋଟ ରଙ୍ଗୀନ ହୋଇଥିବା ଅଂଶ ସଂଖ୍ୟା = 3
ତେଣୁ ହଳଦିଆ ରଙ୍ଗୀନ ହୋଇଥିବା ଅଂଶ = \(\frac{3}{8}\)
ବର୍ତ୍ତମାନ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସୋପାନ ହେଉଛି ଏହି ଫଳାଫଳକୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବା ।
ଏହା \(\frac{5}{4}\) ଓ \(\frac{3}{2}\) ର ଗୁଣଫଳକୁ ସୂଚାଇବ । \(\frac{5}{4}\) × \(\frac{3}{2}\) = 5 × \(\frac{3}{8}\) = \(\frac{15}{8}\)
Question 5.
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏବଂ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ ମଧ୍ୟରେ ସଂଯୋଗ ସ୍ଥାପନ : ଚିତ୍ରରେ ରେଖାଙ୍କିତ ଆୟତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ କେତେ ?
Solution:
ଯେହେତୁ ଆମେ ଏକକ ବର୍ଗ (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ଵ 1 ଏକକ) ନେଇ ଆ ରମ୍ଭ କରିଥିଲୁ ।
ଏଣୁକରି ରେଖାଙ୍କିତ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{1}{2}\) ଏକକ
ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = \(\frac{1}{4}\) ଏକକ ହେବ ।
ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ଏହି ବର୍ଗଚିତ୍ରରେ ଏହିପରି 8ଟି ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ସୃଷ୍ଟି ହେଉଛି ।
ଏଣୁ ରେଖାଙ୍କିତ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{8}\) ବର୍ଗ ଏକକ ହେବ ।
Question 6.
ତୁମେ ରେଖାଙ୍କିତ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏବଂ ତା’ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ଗୁଣଫଳ ମଧ୍ଯରେ କୌଣସି ସମ୍ପର୍କ ଦେଖୁଛ କି ?
Solution:
ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ଗୁଣଫଳ ସହିତ ସମାନ ।
ସାଧାରଣତଃ ଯଦି ଆମେ ଦୁଇଟି ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ଚାହୁଁ ତେବେ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟିକୁ ନେଇ ଗଠିତ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ମାଧ୍ୟମରେ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଗୁଣନ କ୍ରିୟାର ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଏକ ବର୍ଗ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର ନେଇ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଚିତ୍ରିତ ଉପସ୍ଥାପନା କର ।
(a) \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{5}\)
(b) \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{3}\)
(c) \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{1}{6}\) × \(\frac{1}{5}\)
Solution:
(a) ଏକ ବର୍ଗ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ 5ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 3ଟି ସ୍ତମ୍ଭ, 5 × 3 = 15 ଟି ଛୋଟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ଏଠାରେ \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{1}{15}\)
(b) ଏକ ବର୍ଗ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ 3ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 4ଟି ସ୍ତମ୍ଭ, 3 × 4 = 12 ଟି ଛୋଟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ଏଠାରେ \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{12}\)
(c) ଏକ ବର୍ଗ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ 2ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 5ଟି ସ୍ତମ୍ଭ, 2 × 5 = 10 ଟି ଛୋଟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ଏଠାରେ \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{10}\)
(d) ଏକ ବର୍ଗ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ 5ଟି ଧାଡ଼ି ଓ ଟି ସ୍ତମ୍ଭ, 5 × 6 = 30 ଟି ଛୋଟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ଏଠାରେ \(\frac{1}{6}\) × \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{1}{30}\)
Question 2.
ବର୍ତ୍ତମାନ \(\frac{1}{12}\) × \(\frac{1}{18}\) ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଏଠାରେ ଏକ ବର୍ଗ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ରରେ ଏହି ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟକୁ ଦର୍ଶାଇବା କଷ୍ଟକର । ତେଣୁ ଉପରୋକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଆମ କ’ଣ କଲୁ ତାହା ଅନୁଧ୍ୟାନ କରି ଏହାର ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଏଠାରେ ଏକ ପୂରା କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ଧାଡ଼ି ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା (ଗୁଣ୍ୟ)ର ହର ଯାହା, ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ 18 ଓ ସ୍ତମ୍ଭ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା (ଗୁଣ୍ୟ)ର ହର ଯାହା, ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ 12 । ତେଣୁ ପୂରା ଚିତ୍ରକୁ 18 × 12 ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ତେଣୁ \(\frac{1}{18}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{18 \times 12}\) = \(\frac{1}{216}\)
ଦୁଇଟି ଏକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ହେଉଛି = 
ଯେଉଁ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଲବ 1 (ଏକ) ତାହାକୁ ଏକକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ ।
ତାହାକୁ ଆମେ ଦର୍ଶାଇ ପାରିବା \(\frac{1}{b} \times \frac{1}{d}=\frac{1}{b \times d}\)
Question 3.
ନିମ୍ନଲିଖତ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଚିତ୍ରରେ ଉପସ୍ଥାପନା କରିବା ପାଇଁ ଏବଂ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସମ୍ପନ୍ନ ପାଇଁ ଏକକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ବ୍ୟବହାର କର ।
(a) \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{4}{5}\)
(b) \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{3}{5}\) × \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{4}{6}\) × \(\frac{3}{5}\)
Solution:
(a) ଏକ ବର୍ଗ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ 5ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 3ଟି ସ୍ତମ୍ଭରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ସମୁଦାୟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର = 5 × 3 = 15
ଓ 2 × 4 = 8 ଟି ଛୋଟ ଛାୟାଯୁକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ର ।
ସମୁଦାୟ ଛାୟାଯୁକ୍ତ ଅଂଶ = \(\frac{8}{15}\)
ଏଠାରେ \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{8}{15}\)
(b) ଏକ ବର୍ଗ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ 3ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 4ଟି ସ୍ତମ୍ଭରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ସମୁଦାୟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର = 4 × 3 = 12
ଓ 1 × 2 = 2 ଟି ଛୋଟ ଛାୟାଯୁକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ର ।
ସମୁଦାୟ ଛାୟାଯୁକ୍ତ ଅଂଶ = \(\frac{2}{12}\) = \(\frac{1}{6}\)
ଏଠାରେ \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{2}{12}\) = \(\frac{1}{6}\)
(c) ଏକ ବର୍ଗ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ 2ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 5ଟି ସ୍ତମ୍ଭରେ ଦ୍ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ସମୁଦାୟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର = 2 × 5 = 10
ଓ 3 × 1 = 3 ଟି ଛୋଟ ଛାୟାଯୁକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ର ।
ସମୁଦାୟ ଛାୟାଯୁକ୍ତ ଅଂଶ = \(\frac{3}{10}\)
ଏଠାରେ \(\frac{3}{5}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{10}\)
(d) ଏକ ବର୍ଗ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ 5ଟି ଧାଡ଼ି ଓ 6ଟି ସ୍ତମ୍ଭରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
ସମୁଦାୟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର = 5 × 6 = 30
ଓ 4 × 3 = 12 ଟି ଛୋଟ ଛାୟାଯୁକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ର ।
ସମୁଦାୟ ଛାୟାଯୁକ୍ତ ଅଂଶ = \(\frac{12}{30}\) = \(\frac{6}{15}\) = \(\frac{2}{5}\)
ଏଠାରେ \(\frac{4}{6}\) × \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{12}{30}\) = \(\frac{6}{15}\) = \(\frac{2}{5}\)
ଲବ ଓ ହରର ଗୁଣନ :
Question 1.
ବର୍ତ୍ତମାନ \(\frac{5}{12}\) × \(\frac{7}{18}\) ର ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।
Solution:
ପ୍ରଥମେ ଏକ କ୍ଷେତ୍ର (ସମଗ୍ର ଅଂଶ)କୁ 18 ଧାଡ଼ି ଓ 12ଟି ସ୍ତମ୍ଭରେ ବିଭକ୍ତ କରି 12 × 18 ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କର ।
ପ୍ରଥମେ ଏହି ଚିତ୍ରରୁ 12 × 18 ର \(\frac{7}{18}\) ଅଂଶର କୋଠରି ସଂଖ୍ୟା \(\frac{7}{12 \times 18}\) ଅଂଶ ହେବ ।
ତା’ପରେ ଆମେ ଏହି ଫଳାଫଳକୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ \(\frac{5 \times 7}{12 \times 18}\)ଗୁଣଫଳ ପାଇବା ।
ତେଣୁ \(\frac{5}{12}\) × \(\frac{7}{8}\) = \(\frac{5 \times 7}{12 \times 18}\) = \(\frac{35}{216}\)
ଏଥୁରୁ ଆମେ ଜାଣିଲେ ଯେ, \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\) = \(\frac{\mathrm{a} \times \mathrm{c}}{\mathrm{~b} \times \mathrm{d}}\)
ଏହି ସୂତ୍ରଟି ପ୍ରଥମେ ବ୍ରହ୍ମଗୁପ୍ତଙ୍କଦ୍ଵାରା 628 ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦରେ ତାଙ୍କଦ୍ୱାରା ଲିଖ୍ତ ବ୍ରହ୍ମସ୍ଫୁଟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଏହିଭଳି ଏକ ସାଧାରଣ ଗାଣିତିକ ଉକ୍ତିରେ କୁହାଯାଇଥିଲା ।
ଗୁଣକ କିମ୍ବା ଗୁଣ୍ୟ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥିଲେ ମଧ୍ୟ ଉପରୋକ୍ତ ସୂତ୍ରଟି ପ୍ରୟୋଗ କରିବା । ଆମେ ଯେକୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାକୁ ହର 1 (ଏକ) ନେଇ ଏକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ଭାବେ ପୁନଃଲିଖନ କରିପାରିବା ।
ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ 3 × \(\frac{3}{4}\) କୁ \(\frac{3}{1}\) × \(\frac{3}{4}\) ଭାବେ ଲେଖୁପାରିବା ।
ତେଣୁ \(\frac{3 \times 3}{1 \times 4}\) = \(\frac{9}{4}\)
ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ : ଲଘିଷ୍ଠ (ସର୍ବନିମ୍ନ) ଆକାରକୁ ସରଳୀକରଣ :
Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଗୁଣନ କର ଏବଂ ଗୁଣଫଳକୁ ଲଘିଷ୍ଠ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
\(\frac{12}{7}\) × \(\frac{5}{24}\)
Solution
ପ୍ରଥମେ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଲବ (12 ଏବଂ 5) ଓ ହର (7 ଏବଂ 24)କୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ ଆମେ ନିମ୍ନୋକ୍ତ ଉପାୟରେ ସରଳ କରି ଲଘିଷ୍ଠ କରିପାରିବା ।
ଉଭୟ ଗୋଲ୍ ବୁଲାଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାର ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ 12 ଅଛି ।
ଯେତେବେଳେ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଲବ ଓ ହରକୁ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରାଯାଏ ସେତେବେଳେ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ମୂଲ୍ୟ ଅପରିବର୍ତିତ ରହିଥାଏ ।
ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ଆମେ ଗୋଲ ବୁଲାଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ 12 ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରିପାରିବା ।
ଆସ ଆଉ ଏକ ଗୁଣନରେ ସମାନ ପଦ୍ଧତି ଅବଲମ୍ବନ କରିବା ।
ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୁଣନ କରିବା ସମୟରେ ପ୍ରଥମେ ଲବ ଓ ହରରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ସେମାନଙ୍କର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକଦ୍ଵାରା ଭାଗ କରି ଏବଂ ତାପରେ ଲବ୍ଧ ଲବ ଓ ହରକୁ ପୂର୍ବ ପଦ୍ଧତିରେ ଗୁଣନ କରିବା । ଏହାକୁ ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦକଗୁଡ଼ିକୁ ବାତିଲ କରିବା ପଦ୍ଧତି କୁହାଯାଏ । (ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଲବ ଓ ହରକୁ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକଦ୍ୱାରା କାଟି ଦିଆଯାଏ ।)
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ଏକ ପାଣିଟାଙ୍କିକୁ ଏକ ନଳ ଦ୍ଵାରା ପୂର୍ଣ କରାଯାଏ । ଯଦି ନଳଟି 1 ଘଣ୍ଟା ପାଇଁ ଖୋଲା ରହେ, ତେବେ ଟାଙ୍କିର \(\frac{7}{10}\) ଅଂଶ ପୂରଣ ହୁଏ । ଯଦି ନଳଟି ତଳଲିଖତ ସମୟ ପାଇଁ ଖୋଲା ରହେ ତେବେ ଟାଙ୍କିର କେତେ ଅଂଶ ପୂର୍ଣ୍ଣ ହେବ ?
(a) \(\frac{1}{3}\) ଘଣ୍ଟାରେ
(b) \(\frac{2}{3}\) ଘଣ୍ଟାରେ
(c) \(\frac{3}{4}\) ଘଣ୍ଟାରେ
(d) \(\frac{7}{10}\) ଘଣ୍ଟାରେ
(e) ଟାଙ୍କିଟି ପୂର୍ଣ୍ଣ ହେବା ପାଇଁ କେତେ ସମୟ ଲାଗିବ ?
Solution:
(a) 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଟାଙ୍କିର ପୂର୍ଣ୍ଣହୁଏ = \(\frac{7}{10}\) ଅଂଶ ।
\(\frac{1}{3}\) ଘଣ୍ଟାରେ ପୂର୍ବ ହୁଏ = \(\frac{7}{10}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{7}{30}\) ଅଂଶ ।
∴ ଯଦି ନଳଟି \(\frac{1}{3}\) ଘଣ୍ଟା ସମୟ ପାଇଁ ଖୋଲା ରହିଲେ ତେବେ ଟାଙ୍କିର \(\frac{7}{30}\)
(b) 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଟାଙ୍କିର ପୂର୍ଣ୍ଣହୁଏ = \(\frac{7}{10}\) ଅଂଶ ।
\(\frac{2}{3}\) ଘଣ୍ଟାରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ହୁଏ = \(\frac{7}{10}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{14}{30}\) = \(\frac{7}{15}\) ଅଂଶ ।
∴ ଯଦି ନଳଟି \(\frac{2}{3}\) ଘଣ୍ଟା ସମୟ ପାଇଁ ଖୋଲା ରହିଲେ ତେବେ ଟାଙ୍କିର \(\frac{7}{15}\) ଅଂଶ ପୂର୍ଷ ହେବ ।
(c) 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଟାଙ୍କିର ପୂର୍ଷହୁଏ = \(\frac{7}{10}\) ଅଂଶ ।
\(\frac{3}{4}\) ଘଣ୍ଟାରେ ପୂର୍ଣ ହୁଏ = \(\frac{7}{10}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{21}{40}\) ଅଂଶ ।
∴ ଯଦି ନଳଟି \(\frac{3}{4}\) ଘଣ୍ଟା ସମୟ ପାଇଁ ଖୋଲା ରହିଲେ ତେବେ ଟାଙ୍କିର \(\frac{21}{40}\) ଅଂଶ ପୂର୍ଷ ହେବ ।
(d) 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଟାଙ୍କିର ପୂର୍ଣହୁଏ = \(\frac{7}{10}\) ଅଂଶ ।
\(\frac{7}{10}\) ଘଣ୍ଟାରେ ପୂର୍ବ ହୁଏ = \(\frac{7}{10}\) × \(\frac{7}{10}\) = \(\frac{49}{100}\) ଅଂଶ ।
∴ ଯଦି ନଳଟି \(\frac{7}{10}\) ଘଣ୍ଟା ସମୟ ପାଇଁ ଖୋଲା ରହିଲେ ତେବେ ଟାଙ୍କିର \(\frac{49}{100}\) ଅଂଶ ପୂର୍ଣ୍ଣ ହେବ।
(e) 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଟାଙ୍କିର ପୂର୍ଣ୍ଣହୁଏ = \(\frac{7}{10}\) ଅଂଶ ।
ଟାଙ୍କିଟି ପୂର୍ଣ ହେବ = \(\frac{\frac{1}{7}}{10}\) = \(\frac{10}{7}\) = 1\(\frac{3}{7}\) ଘଣ୍ଟାରେ ।
∴ ଟାଙ୍କିଟି ପୂର୍ଣ୍ଣ ହେବା ପାଇଁ 1\(\frac{3}{7}\) ଘଣ୍ଟା ସମୟ ଲାଗିବ ।
Question 2.
ସରକାର ରାସ୍ତା ନିର୍ମାଣ ପାଇଁ ରେବତୀଙ୍କ ଜମିର \(\frac{1}{6}\) ଅଂଶ ନେଇଛନ୍ତି । ବର୍ତ୍ତମାନ ରେବତୀ ପାଖରେ
ମୋଟ ଜମିର କେତେ ଅଂଶ ଅଛି ? ସେ ତାଙ୍କ ପାଖରେ ଥିବା ବଳକା ଜମିର ଅଧା ଝିଅ କ୍ରିଷ୍ଣାକୁ ଏବଂ \(\frac{1}{3}\)
ଅଂଶ ତାଙ୍କ ପୁଅ ଅନିଲକୁ ଦେଇ ଅବଶିଷ୍ଟ ଜମି ନିଜପାଇଁ ରଖୁଲେ ?
(a) କ୍ରିଷ୍ଣା ସମୁଦାୟ ଜମିର କେତେ ଅଂଶ ପାଇଥିଲା ?
(b) ଅନିଲ ସମୁଦାୟ ଜମିର କେତେ ଅଂଶ ପାଇଥିଲା ?
(c) ରେବତୀ ସମୁଦାୟ ଜମିର କେତେ ଅଂଶ ନିଜ ପାଇଁ ରଖୁଥିଲେ ?
Solution:
ମନେକର ସମୁଦାୟ ଜମିକୁ 1 ଧରାଯାଉ ।
ସରକାର ରାସ୍ତା ନିର୍ମାଣ ପାଇଁ ରେବତୀଙ୍କ ଜମିରୁ \(\frac{1}{6}\) ଅଂଶ ନେଇଛନ୍ତି ।
ରେବତୀଙ୍କ ପାଖରେ ବଳକା ଜମି ରହିଲା = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{6-1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
∴ ରେବତୀଙ୍କ ପାଖରେ ବଳକା \(\frac{5}{6}\) ଅଂଶ ଜମି ରହିଲା ।
(a) ରେବତୀଙ୍କ ପାଖରେ ଜମି ରହିଲା = \(\frac{5}{6}\) ଅଂଶ ।
ସେ ତାଙ୍କ ଝିଅ କ୍ରିଷ୍ଣାଙ୍କୁ ଅଧା ଅଂଶ ଦେଇଥିଲେ ।
କ୍ରିଷ୍ଣା ପାଇଥିଲେ = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{5}{12}\) ଅଂଶ ।
∴ କ୍ରିଷ୍ଣା ସମୁଦାୟ ଜମିର \(\frac{5}{12}\) ଅଂଶ ପାଇଥିଲା ।
(b) ରେବତୀଙ୍କ ପାଖରେ ଜମି ରହିଲା \(\frac{5}{6}\)
ସେ ଅନିଲକୁ ଦେଲେ = \(\frac{1}{3}\)ଅଂଶ ।
ଅନିଲ ପାଇଥିଲେ = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{5}{18}\) ଅଂଶ ।
∴ ଅନିଲ ସମୁଦାୟ ଜମିର \(\frac{5}{18}\) ଅଂଶ ପାଇଥିଲା ।
(c) ସରକାର, କ୍ରିଷ୍ଣା ଓ ଅନିଲ ଜମି ନେଇଥିଲେ
= \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{5}{12}\) + \(\frac{5}{18}\) = \(\frac{31}{36}\) ଅଂଶ ।
ରେବତୀ ପାଖରେ ରହିଲା = 1 – \(\frac{31}{36}\) = \(\frac{5}{36}\) ଅଂଶ ।
∴ ରେବତୀ ସମୁଦାୟ ଜମିର \(\frac{5}{36}\) ଅଂଶ ନିଜ ପାଇଁ ରଖୁଥଲେ ।
Question 3.
ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁ (ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ) ଯଥାକ୍ରମେ 3\(\frac{3}{4}\) ଫୁଟ ଓ 9\(\frac{3}{5}\) ଫୁଟ ହେଲେ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
Solution:
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 3\(\frac{3}{4}\) ଫୁଟ = \(\frac{15}{4}\) ଫୁଟ
ପ୍ରସ୍ଥ 9\(\frac{3}{5}\) ଫୁଟ = \(\frac{48}{5}\) ଫୁଟ ।
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ
= \(\frac{15}{4}\) × \(\frac{48}{5}\) = (3 × 12) ବର୍ଗଫୁଟ = 36 ବର୍ଗଫୁଟ ।
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 36 ବର୍ଗଫୁଟ ।
Question 4.
ରହିମ୍ ତାଙ୍କ ବଗିଚାରେ ଗୋଟିଏ ଧାଡ଼ିରେ 4ଟି ଚାରା ଲଗାଇଛନ୍ତି । ଦୁଇଟି ଚାରା ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା \(\frac{3}{4}\) ମିଟର ହେଲେ ପ୍ରଥମ ଓ ଶେଷ ଚାରା ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା କେତେ ? (ସୂଚନା : ଦୁଇଟି ଚାରା ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା \(\frac{3}{4}\) ମିଟର ସହିତ ଚାରୋଟି ଚାରାର୍ ରଫ୍ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।)
Solution:
ପ୍ରଥମ ଓ ଶେଷ ଚାରା ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = ଦୂରତା ସଂଖ୍ୟା × ଦୁଇଟି ଚାରା ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା
= 3 × \(\frac{3}{4}\) ମିଟର = \(\frac{3 \times 3}{4}\) = \(\frac{9 }{4}\) ମିଟର = 2\(\frac{1}{4}\) ମିଟର ।
∴ ପ୍ରଥମ ଓ ଶେଷ ଚାରା ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା 2\(\frac{1}{4}\) ମିଟର ।
Question 5.
କେଉଁଟି ଅଧ୍ବକ ଭାରୀ : 500 ଗ୍ରାମର \(\frac{12}{15}\) କିମ୍ବା 4 କିଲୋଗ୍ରାମ୍ବର \(\frac{3}{20}\)
Solution:
500 ଗ୍ରାମର \(\frac{12}{15}\) = \(\frac{12}{15}\) × 500 = 400 ଗ୍ରାମ୍ ।
4 କିଲୋଗ୍ରାମ୍ = 4000 ଗ୍ରାମ୍ ।
4 କିଲୋଗ୍ରାମ୍ \(\frac{3}{20}\) = \(\frac{3}{20}\) × 4000 = 600 ଗ୍ରାମ୍ ।
400 ଗ୍ରାମ୍ < 600 ଗ୍ରାମ୍ ।
∴ 500 ଗ୍ରାମ୍ର \(\frac{12}{15}\) ଠାରୁ 4 କିଲୋଗ୍ରାମର \(\frac{3}{20}\) ଭାରୀ ।
Question 6.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାକ୍ଟର 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଏକ ଜମିକୁ ହଳ କରିପାରେ ଏବଂ ଏଥିପାଇଁ 2 ଲିଟର ଡିଜେଲ ଦରକାର ହୁଏ । ତେବେ 1 ଲିଟର ଡିଜେଲରେ ଜମିର କେତେ ଅଂଶ ହଳ ହୋଇପାରିବ ?
Solution:
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାକ୍ଟର 1 ଘଣ୍ଟାରେ ଏକ ଜମିକୁ ହଳ କରିପାରେ ।
1 ଘଣ୍ଟାରେ ଲାଗେ 2 ଲିଟର ଡିଜେଲ । 1 ଲିଟର ଡିଜେଲରେ ହଳ କରିବ 1 × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
ତେବେ 1 ଲିଟର ଡିଜେଲରେ ଜମିର \(\frac{1}{2}\) ଅଂଶ ହଳ ହୋଇପାରିବ ।
ଗୁଣଫଳ ସର୍ବଦା ଗୁଣନ କରାଯାଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଅପେକ୍ଷା ବଡ଼ କି ?
ଯେତେବେଳେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାକୁ 1 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରାଯାଏ, ଗୁଣଫଳ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହେ ଅର୍ଥାତ୍ ଗୁଣଫଳ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ହୁଏ । ଆମେ ଗୁଣନ ପାଇଁ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ା ନେବା ଯେଉଁଠାରେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା 1 (ଏକ) ହୋଇ ନ ଥିବ ।
∴ 3 × 5 = 15
ଏଠାରେ ଗୁଣଫଳ 15 ଉଭୟ 3 ଏବଂ 5 ଠାରୁ ବଡ଼ ।
କିନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ଆମେ \(\frac{1}{4}\) ଓ 8 କୁ ଗୁଣନ କରିବା,ଏହାର ଗୁଣଫଳ ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ ବଡ଼ ହେବ କି ? \(\frac{1}{4}\) x 8 = 2
ଏହି ଗୁଣନରେ ଗୁଣଫଳ 2, ଯାହା \(\frac{1}{4}\) ଠାରୁ ବଡ଼ କିନ୍ତୁ 8 ଠାରୁ ସାନ ।
Question 1.
\(\frac{3}{4}\) ଓ \(\frac{2}{5}\) କୁ ଗୁଣନ କଲେ କ’ଣ ହେବ, ଆସ ପରୀକ୍ଷା କରିବା ।
Solution:
\(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{6}{20}\)
∴ ଗୁଣଫଳ \(\frac{6}{20}\) କୁ \(\frac{3}{4}\) ଏବଂ ସହିତ ତୁଳନା କରିଲେ
ଆମେ \(\frac{3}{4}\) କୁ \(\frac{15}{20}\) ଓ \(\frac{2}{5}\) କୁ \(\frac{8}{20}\) ଭଗ୍ନାଂଶ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା ।
∴ ଗୁଣଫଳ \(\frac{6}{20}\) ଉଭୟ \(\frac{15}{20}\) ଓ \(\frac{8}{20}\) ଠାରୁ ସାନ ହେବ ।
| ପରିସ୍ଥିତି | ଗୁଣନ | ସମ୍ପର୍କ |
| ପରିସ୍ଥିତି – 1 | ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 1 ଅଧୂକ । ଉଦାହରଣ : \(\frac{4}{3}\) × 4 | ଗୁଣଫଳ \(\frac{16}{3}\) ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ ବଡ଼ । |
| ପରିସ୍ଥିତି – 2 | ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାର ମୂଲ୍ୟ 0 ଓ 1 ମଧ୍ୟରେ । ଉଦାହରଣ : \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{5}\) | ଗୁଣଫଳ \(\frac{3}{10}\) ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର । |
| ପରିସ୍ଥିତି – 3 | ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 0 ଓ 1 ମଧ୍ଯରେ ଓ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଟି 1 ଠାରୁ ବଡ଼ । ଉଦାହରଣ \(\frac{3}{4}\) × 5 | ଗୁଣଫଳ \(\frac{15}{4}\) ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଓ 0 ଓ 1 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ ବୃହତ୍ତର । |
Question 2.
ଯେତେବେଳେ ଗୁଣନ କରାଯାଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ି ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 0 ଏବଂ 1 ମଧ୍ଯରେ ଥାଏ, ଗୁଣଫଳ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ଅପେକ୍ଷା ________________ (ଅଧିକ / କମ୍) ହୋଇଥାଏ ।
Solution:
କମ୍ ହୋଇଥାଏ ।
Question 3.
ଯେତେବେଳେ ଗୁଣନ କରାଯାଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 1 (ଏକ) ଠାରୁ ଅଧିକ ହୋଇଥାଏ, ଗୁଣଫଳ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ଅପେକ୍ଷା _________________ (ଅଧିକ / କମ୍) ହୋଇଥାଏ ।
Solution:
ଅଧିକ ହୋଇଥାଏ ।
ଗୁଣନର କ୍ରମ :
ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଯେ \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{8}\)
ବର୍ତ୍ତମାନ \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{8}\)
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥ ଅଦଳବଦଳ ହେଲେ ମଧ୍ୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ରହିଥାଏ ।
ଗୁଣନରେ କ୍ରମ ବଦଳିଲେ ମଧ୍ୟ ଗୁଣଫଳ ସମାନ ରହେ । ଏଣୁ \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\) = \(\frac{c}{d} \times \frac{a}{b}\)
ଏହି ନିୟମ ବ୍ରହ୍ମଗୁପ୍ତଙ୍କ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ ପାଇଁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସୂତ୍ରରେ ମଧ୍ୟ ଦେଖାଯାଏ ।
8.2 ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ହରଣ :
Page No. (189 to 192)
ଆମେ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାକୁ ହରଣ କରିବା ପାଇଁ ହେଲେ ହରଣ ଚିହ୍ନକୁ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟାରେ ପରିଣତ କରିବା
Question 1.
1 ÷ \(\frac{2}{3}\) = କେତେ ?
Solution:
ଏହାକୁ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟାରେ ପରିଣତ କରି ଲେଖୁବା ହେବ = \(\frac{2}{3}\) × ? = 1
ବା \(\frac{2}{3}\) ସହ କେତେ ଗୁଣନ କଲେ ଗୁଣଫଳ 1 ପାଇବା ।
ଯଦି କୌଣସି ପ୍ରକାରେ 2 ଓ 3 କୁ କଟାଯାଇପାରିବ, ତେବେ ଆମ ପାଖରେ । (ଏକ) ରହିବ ।
ଆସ ଆଉ ଏକ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଚେଷ୍ଟା କରିବା ।
Question 2.
3 ÷ \(\frac{2}{3}\) = କେତେ ? ଏହ । \(\frac{2}{3}\) × ?= 3 ଭକ୍ତି ସହ ସମାନ ଅଟେ ।
Solution:
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, 1 ପାଇବା ପାଇଁ \(\frac{2}{3}\) କୁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ । 3 ପାଇବା ପାଇଁ ଆମକୁ କେବଳ ସେଥୁରେ 3 ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ ।
Question 3.
\(\frac{1}{5}\) ÷ \(\frac{1}{2}\) = କେତେ ?
Solution:
Question 4.
\(\frac{2}{3}\) ÷ \(\frac{3}{5}\) = କେତେ ?
Solution:
Question 5.
ଆଲୋଚନା କରିବା :
Solution:
1. ପ୍ରଥମେ ଖୋଜି ଦେଖୁବା, ଭାଜକଦ୍ଵାରା କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଣନ କଲେ 1 ମିଳୁଛି, ଆମେ ଦେଖୁଲେ ଯେ ଭାଜକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଲବକୁ ହର ଓ ହରକୁ ଲବ ରୂପେ ଲେଖୁଲେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାଟି
ମିଳୁଛି । ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାର ଭାଜକ \(\frac{3}{5}\) ପାଇଁ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାଟି \(\frac{5}{3}\)। ଆମେ \(\frac{5}{3}\) କୁ \(\frac{3}{5}\) ର ବ୍ୟକ୍ରମ / ପ୍ରତିଲୋମୀ ବୋଲି କହିଥାଉ । ଅର୍ଥାତ୍ ଯେତେବେଳେ ଆମେ ଏକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାକୁ ତାହାର ବ୍ୟତ୍କ୍ରମ ବା ପ୍ରତିଲୋମୀ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରୁ ଭାଗଫଳ 1 ମିଳିବ । ତେଣୁ ପ୍ରଥମେ ଆମେ ଭାଜକର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମକୁ ଜାଣିବା ।
2. ଆମେ ଭାଗ୍ୟକୁ ଭାଜକର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ସହିତ ଗୁଣନ କରି ଭାଗଫଳ ପାଇବା । ସଂକ୍ଷେପରେ ଦୁଇଟି ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ଭାଗ କରିବା ପାଇଁ
– ଭାଜକର ବ୍ୟକ୍ରମ ଜାଣିବା
– ଭାଗଫଳ ପାଇବା ପାଇଁ ଭାଜ୍ୟକୁ ଭାଜକର ବ୍ୟକ୍ରମ ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ।
ତେଣୁ =\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\) = \(\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\) = \(\frac{\mathrm{a} \times \mathrm{d}}{\mathrm{~b} \times \mathrm{c}}\)
ଯେପରି ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ, ବିୟୋଗ ଓ ଗୁଣନ ପାଇଁ ପଦ୍ଧତି ଏବଂ ସୂତ୍ର ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ଶିଖୁଥିଲେ, ସେହିପରି ଏହି ପଦ୍ଧତି ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାର ଭାଗକ୍ରିୟା ପାଇଁ ଏକ ସାଧାରଣ ସୂତ୍ର ଅଟେ । ପ୍ରଥମେ ଏହା ବ୍ରହ୍ମଗୁପ୍ତଙ୍କଦ୍ଵାରା ଲିଖ୍ତ ବ୍ରହ୍ମସ୍ଫୁଟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ (628 ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦରେ) ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇଥିଲା ।
Question 6.
ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ (ବ୍ରହ୍ମଗୁପ୍ତଙ୍କ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କର)
Solution:
\(\frac{2}{3}\) ÷ \(\frac{3}{5}\) କୁ ସମୀକ୍ଷା କଲେ ଆମେ ଲେଖୁପାରିବା
\(\frac{2}{3}\) ÷ \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{5}{3}\) \(\frac{2 \times 5}{3 \times 3}\) = \(\frac{10}{9}\)
ଭାଜ୍ୟ, ଭାଜକ ଓ ଭାଗଫଳ :
ଆମେ ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାକୁ ଭାଗକରୁ, ମନେକର 6 + 3
6 ÷ 3 = 2, ଏଠାରେ ଭାଗଫଳ = 2
ଏଠାରେ ଭାଗଫଳ ଭାଜ୍ୟଠାରୁ କମ୍, 6 ÷ 3 = 2, 2 < 6
କିନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ଆମେ 6 କୁ \(\frac{1}{4}\) ଦ୍ଵାରା ଭାଗକରୁ 6 ÷ \(\frac{1}{4}\) = 24
ଏଠାରେ ଭାଗଫଳ, ଭାଜ୍ୟଠାରୁ ବଡ଼ 24 > 6
ଯେତେବେଳେ ଆମେ \(\frac{1}{8}\) କୁ \(\frac{1}{4}\) ଦ୍ଵାରା ଭାଗ କଲେ ପାଇବା, \(\frac{1}{8}\) ÷ \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)
ଏଠାରେ ମଧ୍ୟ ଭାଗଫଳ, ଭାଜ୍ୟଠାରୁ ବଡ଼ ।
8.3 ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ସମ୍ପର୍କିତ କିଛି ପ୍ରଶ୍ନ :
Page No. (193 to 201)
Question 1.
ଉଦାହରଣ – 3 : ଲୀନା 5 କପ୍ ଚା ତିଆରି କରିଥିଲା । ସେ ଏଥିପାଇଁ \(\frac{1}{4}\) ଲିଟର କ୍ଷୀର ବ୍ୟବହାର କରିଥିଲା । ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କପ୍ ଚା’ ପାଇଁ କେତେ କ୍ଷୀର ଆବଶ୍ୟକ ହୋଇଛି ?
Solution:
ଲୀନା \(\frac{1}{4}\) ଲିଟର କ୍ଷୀରରେ 5 କପ୍ ଚା’ ତିଆରି କରେ ।
ତେଣୁ 1 କପ୍ ଚା’ ପାଇଁ ଦରକାର ହେଉଥିବା କ୍ଷୀରର ପରିମାଣ = \(\frac{1}{4}\) ÷ 5
ଆମେ ଏହାକୁ ଗୁଣନ କ୍ରିୟାରେ ଲେଖୁପାରିବା
= 5 × (ପ୍ରତ୍ୟେକ କପ୍’ ଚା’ ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ କ୍ଷୀର) = \(\frac{1}{4}\)
ବ୍ରହ୍ମଗୁପ୍ତଙ୍କ ପଦ୍ଧତି ଅନୁସାରେ ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖୁତ ଉପାୟରେ ଭାଗକ୍ରିୟା କରିଥାଉ ।
(i) ଭାଜକ 5 ର ବ୍ୟକ୍ରମ ହେଉଛି \(\frac{1}{5}\) (ପ୍ରଥମେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହୁଏ)
(ii) ଏହି ବ୍ୟକ୍ରମକୁ ଭାଗ୍ୟ \(\frac{1}{4}\) ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ ପାଇବୁ \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{20}\) (ଭାଗଫଳ)
ତେଣୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କପ୍ ଚା’ ପାଇଁ \(\frac{1}{20}\) ଲିଟର କ୍ଷୀର ଆବଶ୍ୟକ ହୋଇଛି ।
Question 2.
ଉଦାହରଣ – 4 : 7\(\frac{1}{2}\) ବର୍ଗ ଏକକ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷେତ୍ରକୁ \(\frac{1}{5}\) ଏକକ ବର୍ଗାକୃତି ଇଟାରେ ଆଚ୍ଛାଦିତ କର । ତେବେ ସେହି କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଆଚ୍ଛାଦିତ କରିବା ପାଇଁ କେତୋଟି ବର୍ଗକୃତି ଇଟା ଦରକାର ?
Solution:
ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗାକୃତି ଇଟାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{1}{25}\) ବର୍ଗ ଏକକ ।
ଦିଆଯାଇଥିବା କ୍ଷେତ୍ରର ମୋଟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 7\(\frac{1}{2}\) ବର୍ଗ ଏକକ = \(\frac{15}{2}\) ବର୍ଗ ଏକକ ।
ଇଟା ସଂଖ୍ୟା = କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ÷ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଇଟାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{15}{2}\) ÷ \(\frac{1}{25}\)
ଏଠାରେ ଭାଜକର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ 25 ଅଟେ ।
ଭାଜ୍ୟ \(\frac{15}{2}\) ସହିତ ଏହି ବ୍ୟକ୍ରମକୁ ଗୁଣନ କଲେ ଆମେ ପାଇବା, 25 × \(\frac{15}{2}\) = \(\frac{25 \times 15}{2}\) = \(\frac{375}{2}\) ଖଣ୍ଡ ଇଟା ।
Question 3.
ଉଦାହରଣ – 5 : ଗୋଟିଏ କୁଣ୍ଡ ଚାରୋଟି ନଳଦ୍ଵାରା ସଂଯୁକ୍ତ । ପ୍ରଥମ ଦଳଦ୍ଵାରା ଏକ ଦିନରେ କୁଣ୍ଡଟି ପୂର୍ଷ ହୋଇପାରିବ । ଦ୍ଵିତୀୟଟି ଏହାକୁ ଅଧା ଦିନରେ ପୂରଣ କରିପାରିବ । ତୃତୀୟ ନଳ ଏହାକୁ ଦିନର ଏକ ଚତୁର୍ଥାଂଶ ସମୟରେ ପୂରଣ କରିପାରିବ । ଚତୁର୍ଥ ନଳଟି ଏକ ଦିନର ଏକ ପଞ୍ଚମାଂଶ ସମୟରେ କୁଣ୍ଡଟିକୁ ପୂରଣ କରିପାରିବ । ଯଦି ସମସ୍ତ ଚାରୋଟି ନଳ ଏକ ସମୟରେ ଖୋଲିଦିଆଯାଏ, ତେବେ କୁଣ୍ଡଟି କେତେ ସମୟରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ହେବ ?
Solution:
ଗୋଟିଏ ଦିନରେ ନଳଦ୍ଵାରା କେତୋଟି କୁଣ୍ଡ ପୂରଣ ହୋଇପାରିବ ଦେଖୁବା ।
ପ୍ରଥମ ନଳ । ଦିନରେ ପୂରଣ କରିବ = 1 ÷ 1 = 1ଟି ।
ଦ୍ଵିତୀୟ ନଳ । ଦିନରେ ପୂରଣ କରିବ = 1 ÷ \(\frac{1}{2}\) = 2 ଟି ।
ତୃତୀୟ ନଳ । ଦିନରେ ପୂରଣ କରିବ = 1 ÷ \(\frac{1}{4}\) = 4 ଟି ।
ଚତୁର୍ଥ ନଳ 1 ଦିନରେ ପୂରଣ କରିବ = 1 ÷ 1 ÷ \(\frac{1}{5}\) = 5 ଟି ।
ଗୋଟିଏ ଦିନ ଚାରୋଟି ନଳ ଏକାଠି ଏହିଭଳି କେତୋଟି କୁଣ୍ଡ ପୂରଣ କରିପାରିବେ ?
= 1 ଟି + 2 ଟି + 4 ଟି + 5 ଟି = 12 ଟି
ତେଣୁ ଚାରୋଟି ନଳଦ୍ଵାରା କୁଣ୍ଡଟିକୁ ପୂରଣ କରିବାପାଇଁ ସମୟ ଲାଗିବ \(\frac{1}{12}\) ଦିନ ।
ଭଗ୍ନଅଂଶର ସମ୍ପର୍କ :
ଏଠାରେ ଥିବା ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟରେ କେତେକ ରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଇଛି ଓ କେତେକ ଅଂଶକୁ ରେଖାଙ୍କିତ କରାଯାଇଛି ।
ରେଖାଙ୍କିତ ଅଂଶଟି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର କେତେ ଅଂଶ ?
ଏହି ସମସ୍ୟାଟିକୁ ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ ।
ଏଠାରେ ଗୋଟିଏ ଉପାୟ ଦିଆଗଲା ।
ମନେକର ସମଗ୍ର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1 (ଏକ) ବର୍ଗ ଏକକ ।
ଆମେ ଚିତ୍ର (ଖ)ରେ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵ କୋଣରେ ଏକ ଛୋଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଦେଖୁଛୁ । ତାହା ବଡ଼ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର । \(\frac{1}{4}\) ଅଂଶରେ ଅଛି ।
ବଡ଼ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ଲାଲ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ \(\frac{1}{4}\) ବର୍ଗ ଏକକ ହେବ ।
ଏହି ରଙ୍ଗୀନ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ ଅନୁଧ୍ୟାନ କରିବା ।
ଏହା ଭିତରେ ଦୁଇଟି ବଡ଼ ତ୍ରିଭୁଜ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବଡ଼ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଲାଲ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଅଧା ।
(ଗ) ତେଣୁ ହଳଦିଆ ରଙ୍ଗ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{8}\) ବର୍ଗଏକକ ।
Question 1.
ବର୍ତ୍ତମାନ ହଳଦିଆ ତ୍ରିଭୁଜର କେତେ ଅଂଶ ରେଖାଙ୍କିତ ହୋଛି ?
Solution:
ଯଦି ତ୍ରିଭୁଜ ମଧ୍ୟସ୍ଥ କ୍ଷୁଦ୍ର ବର୍ଗଚିତ୍ରଟିକୁ ଦୁଇ ସମାନ ଭାଗ କରିବ । ତେବେ ହଳଦିଆ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମାନ ଚାରି ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ ହେବ ଏବଂ ଏଥୁରୁ 3 ସମାନ ଭାଗ ରେଖାଙ୍କିତ ହୋଇଥିବାର ଦେଖୁପାରିବ । ଏଣୁ ରେଖାଙ୍କିତ ଅଂଶଟି ଏହି ହଳଦିଆ ରଙ୍ଗ ତ୍ରିଭୁଜର \(\frac{3}{4}\) ଅଂଶ ।
ତେଣୁ ରେଖାଙ୍କିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{8}\) ର \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{8}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{3}{32}\) ବର୍ଗ ଏକକ ।
∴ ରେଖାଙ୍କିତ ଅଂଶଟି ସମଗ୍ର ବର୍ଗଚିତ୍ରର \(\frac{3}{32}\) ଅଂଶ ଅଧିକାର କରିଛି ।
Question 2.
ତଳେ ଦିଆଯାଇଥବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ରେଖାଙ୍କିତ ଅଂଶଟି ସମଗ୍ର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କେତେ ଅଂଶରେ ରହିଛି, ତାହା ନିଶ୍ଚୟ କର ।
Solution:
ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ନିଜେ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ ।
Question 3.
ଜଣେ କୃପଣର ଦାନ : ନିମ୍ନଲିଖତ ସମସ୍ୟାଟିକୁ ଭାସ୍କରାଚାର୍ଯ୍ୟ (ଦ୍ଵିତୀୟ ଭାସ୍କର)ଙ୍କ 1150 ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦରେ ଲିଖ୍ତ ପୁସ୍ତକ ଲୀଳାବତୀରୁ ଅନୁବାଦ କରାଯାଇଛି : ହେ ବୁଦ୍ଧଜନେ ! ଜଣେ କୃପଣ ଲୋକ ଭିକାରୀକୁ ଏକ ଡ୍ରାମାର \(\frac{1}{5}\) ଅଂଶର \(\frac{1}{16}\) ଅଂଶର \(\frac{1}{4}\) ଅଂଶର \(\frac{1}{2}\) ଅଂଶର \(\frac{2}{3}\) ଅଂଶର \(\frac{3}{4}\) ଅଂଶ ଦାନ କଲେ । ଯଦି ଅଛି, ତେବେ ମୋତେ କୁହ ସେହି କୃପଣ ଲୋକଟି ଭିକାରୀକୁ ତୁମର ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ଗଣିତରେ ଦକ୍ଷତା କେତେ କଉଡ଼ି ଦାନ କରିଥିଲେ ?
Solution:
ତତ୍କାଳୀନ ସମୟରେ ଡ୍ରାମା ଏକ ରୂପା ମୁଦ୍ରାକୁ ବୁଝାଏ ଏବଂ ଏହି କାହାଣୀରେ କୁହାଯାଇଛି ଯେ ଏକ ଡ୍ରାମାର ମୂଲ୍ୟ 1280 କଉଡ଼ି ସହିତ ସମାନ ।
ଆସ ଦେଖୁବା ସେହି କୃପଣ ଲୋକଟି ଏକ ଡ୍ରାମର କେତେ ଅଂଶ ଦାନ କରିଥିଲେ ।
ଡ୍ରାମାର ଦେଇଥିବା ଅଂଶ = \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{1}{16}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = 6
(କଉଡ଼ି – ଏହା ପୂର୍ବକାଳ ପ୍ରଚଳିତ ଏକ ମୁଦ୍ରା)
= 1280 × \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{1}{16}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = 1280 × \(\frac{6}{7680}\) × \(\frac{7680}{7680}\) = 1
ଏହାକୁ ଲଘିଷ୍ଠ ଆକାରରେ ସରଳ କଲେ ଆମେ ପାଇବା \(\frac{1}{7680}\) = \(\frac{1}{1280}\)
∴ ସେ ମାତ୍ର ଗୋଟିଏ କଉଡ଼ି ଦାନ ଦେଇଥିଲେ ।
ବିକଳ୍ପ ଉତ୍ତର : ଏଠାରେ ଆମେ ଜାଣିଲୁ । (ଏକ) ଡ୍ରାମା = 1280 କଉଡ଼ି ।
ଅର୍ଥାତ୍ ସେ ପ୍ରଥମେ 1280 କଉଡ଼ିର \(\frac{1}{5}\) = 1280 × \(\frac{1}{5}\) = 256
256 ର \(\frac{1}{16}\) = 256 × \(\frac{1}{16}\) = 16, 16 ର \(\frac{1}{4}\) = 16 × \(\frac{1}{4}\)= 4
4 ର \(\frac{1}{2}\) = 4 × \(\frac{1}{2}\) = 2, 2 ର \(\frac{2}{3}\) = 2 × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{3}\), \(\frac{4}{3}\) ର \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = 1
ଯଦି ଆମେ ଧରିନେବା 1 ସୁନା ଦିନାର = 12 ରୁପା ଡ୍ରାମା ।
1 ରୁପା ଡ୍ରାମା = 4 ତମ୍ବା ପାନା, 1 ତମ୍ବା ପାନା = 6 ମଶାକା ଏବଂ 1 ତମ୍ବା ପାନା = 30 କଉଡ଼ି ।
1 ଡମ୍ବା ପାନା = ସୁନା ଦିନାର \(\frac{1}{48}\) ସୁନା ଦିନାର (\(\frac{1}{12}\) × \(\frac{1}{4}\))
1 କଉଡ଼ି = \(\frac{1}{30}\) ତମ୍ବା ପାନା, 1 କଉଡ଼ି = \(\frac{1}{1440}\) ସୁନା ଦିନାର ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କର ଓ ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।
Solution:
Question 2.
ତଳେ ଦିଆଯାଇଥବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ସମାଧାନ ନିମନ୍ତେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଭକ୍ତି ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତିଟି ବାଛ । ତା’ପରେ ସରଳ କର ।
(a) ମାରିଆ ସ୍କୁଲ ବ୍ୟାଗ୍ଗୁଡ଼ିକରେ ଲେସ୍ ଲଗାଇ ସଜାଇବା ପାଇଁ 8 ମିଟର ଲେସ୍ କିଣିଥିଲା । ସେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟାଗରେ \(\frac{1}{4}\) ମିଟର ଲେସ୍ ଲଗାଇ ସବୁ ଲେସ୍ ଶେଷ କରିଥିଲେ । ସେ କେତୋଟି ବ୍ୟାଗରେ ଲେସ୍ ଲଗାଇଥିଲେ ?
(i) 8 × \(\frac{1}{4}\)
(ii) \(\frac{1}{8}\) × \(\frac{1}{4}\)
(iii) 8 ÷ \(\frac{1}{4}\)
(iv) \(\frac{1}{4}\) ÷ 8
Solution:
ମାରିଆ ପାଖରେ ଥିଲା ଲେସ୍ = 8 ମିଟର ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟାଗରେ ଲାଗେ = \(\frac{1}{4}\) ମିଟର ଲେସ୍ ।
8 ମିଟର ଲେସ୍ ଲାଗିବ = 8 ÷ \(\frac{1}{4}\)ବ୍ୟାଗରେ ।
∴ (iii) ଟି ଠିକ୍ ଉତ୍ତର ।
ଯେହେତୁ \(\frac{1}{4}\) ର ପ୍ରତିଲୋମାନୁପାତୀ 4 ⇒ 8 ÷ \(\frac{1}{4}\) = 8 × 4 = 32ଟି ବ୍ୟାଗରେ ।
∴ ସେ 32ଟି ବ୍ୟାଗରେ ଲେସ୍ ଲଗାଇଥିଲେ ।
(b) 8 ଟି ବ୍ୟାଜ୍ ତିଆରି କରିବା ପାଇଁ \(\frac{1}{2}\) ମିଟର ରିବନ ଫିତା ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟାଜ୍
ତିଆରି ପାଇଁ କେତେ ଲମ୍ବର ରିବନ ଫିତା ଦରକାର ?
(i) 8 × \(\frac{1}{2}\)
(ii) \(\frac{1}{2}\) ÷ \(\frac{1}{8}\)
(iii) 8 ÷ \(\frac{1}{2}\)
(iv) \(\frac{1}{2}\) ÷ 8
Solution:
8ଟି ବ୍ୟାଜ୍ ତିଆରି ପାଇଁ ରିବନ୍ ଫିତା ଦରକାର = \(\frac{1}{2}\) ମିଟର ।
1ଟି ବ୍ୟାଜ୍ ତିଆରି ପାଇଁ ରିବନ ଫିତା ଆବଶ୍ୟକ = \(\frac{1}{2}\) ÷ 8 ମିଟର ।
∴ (iv) ଟି ଠିକ୍ ଉତ୍ତର ।
ଯେହେତୁ 8ର ପ୍ରତିଲୋମାନୁପାତୀ \(\frac{1}{8}\) ⇒ \(\frac{1}{2}\) ÷ 8 = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{1}{16}\) ମିଟର ।
∴ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟାଜ୍ ତିଆରି ପାଇଁ \(\frac{1}{16}\) ମିଟର ରିବନ ଫିତା ଦରକାର ।
(c) ଜଣେ ରୁଟି ପ୍ରସ୍ତୁତକାରୀଙ୍କୁ ଗୋଟିଏ ରୁଟି ତିଆରି ପାଇଁ \(\frac{1}{6}\) କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ମଇଦା ଦରକାର ହୁଏ । ତାଙ୍କ ପାଖରେ 5 କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ମଇଦା ଅଛି । ସେ କେତୋଟି ରୁଟି ତିଆରି କରିପାରିବେ ?
(i) 5 × \(\frac{1}{6}\)
(ii) \(\frac{1}{6}\) ÷ 5
(iii) 5 ÷ \(\frac{1}{6}\)
(iv) 5 × 6
Solution:
\(\frac{1}{6}\) କିଲୋଗ୍ରାମ୍ରେ ତିଆରି ହୁଏ = 1 ଟି ରୁଟି ।
5 କିଲୋଗ୍ରାମ୍ରେ ତିଆରି ହେବ = 5 ÷ \(\frac{1}{6}\) ରୁଟି ।
∴ (iii) ଟି ଠିକ୍ ଉତ୍ତର ।
ଯେହେତୁ \(\frac{1}{6 }\) ର ପ୍ରତିଲୋମାନୁପାତୀ 6 ⇒ 5 ÷ \(\frac{1}{6}\) = 5 × 6 = 30ଟି ରୁଟି ।
∴ ସେ 30ଟି ରୁଟି ତିଆରି କରିପାରିବେ ।
Question 3.
ଯଦି 12ଟି ରୁଟି ତିଆରି କରିବା ପାଇଁ \(\frac{1}{4}\) କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ଅଟା ଦରକାର ହୁଏ । ତେବେ ସେହିପରି ଟି ରୁଟି ତିଆରି କରିବାକୁ କେତେ କି.ଗ୍ରା. ଅଟା ଦରକାର ହେବ ?
Solution:
12ଟି ରୁଟି ତିଆରି କରିବା ପାଇଁ ଅଟା ଦରକାର = \(\frac{1}{4}\) କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ।
1 ଟି ରୁଟି ତିଆରି କରିବା ପାଇଁ ଅଟା ଦରକାର = \(\frac{1}{4}\) ÷ 12 କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ।
ଯେହେତୁ 12 ର ପ୍ରତିଲୋମାନୁପାଢୀ \(\frac{1}{12}\) ⇒ \(\frac{1}{4}\) ÷ 12 = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{48}\) = କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ।
6 ଟି.ରୁଟି ତିଆରି କରିବା ପାଇଁ ଅଟା ଦରକାର = \(\frac{1}{48}\) × 6 = \(\frac{1}{8}\) କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ।
∴ 6ଟି ରୁଟି ତିଆରି କରିବାକୁ \(\frac{1}{8}\) କି.ଗ୍ରା. ଅଟା ଦରକାର ହେବ ।
Question 4.
9ମ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଶ୍ରୀଧରାଚାର୍ଯ୍ୟ, ତାଙ୍କଦ୍ୱାରା ଲିଖୁତ ପାଟୀଗଣିତ ପୁସ୍ତକରେ ଏହି ସମସ୍ୟାଟିକୁ ଉଲ୍ଲେଖ କରିଥିଲେ । ବନ୍ଧୁ ‘ଚିନ୍ତା କରିବା ଓ ପରେ କହିବା – 1 ÷ \(\frac{1}{6}\) , 1 ÷ \(\frac{1}{10}\), 1 ÷ \(\frac{1}{13}\), 1 ÷ \(\frac{1}{9}\) ଓ 1 ÷ \(\frac{1}{2}\)‘ କୁ ମିଶାଇଲେ ମିଶାଣଫଳ କେତେ ହେବ ? ବନ୍ଧୁ କ’ଣ ଉତ୍ତର ଦେବା ଉଚିତ ?
Solution:
ଯୋଗ କରିଲେ = 1 ÷ \(\frac{1}{6}\) + 1 ÷ \(\frac{1}{10}\) + 1 ÷ \(\frac{1}{13}\) + 1 ÷ \(\frac{1}{9}\) + 1 ÷ \(\frac{1}{2}\)
ଯେହେତୁ \(\frac{1}{6}\) ର ପ୍ରତିଲୋମାନୁପାତୀ 6, \(\frac{1}{10}\) ର 10,
\(\frac{1}{13}\) ର 13, \(\frac{1}{9}\) ର 9, \(\frac{1}{2}\) ର 2
∴ ମିଶାଣଫଳ 1 ÷ \(\frac{1}{6}\) + 1 ÷ \(\frac{1}{10}\) + 1 ÷ \(\frac{1}{13}\) + 1 ÷ \(\frac{1}{9}\) + 1 ÷ \(\frac{1}{2}\)‘
= 1 × 6 + 1 × 10 + 1 × 13 + 1 × 9 + 1 × 2 = 6 + 10 + 13 + 9 + 2 = 40
∴ ବନ୍ଧୁ 40 ଉତ୍ତର ଦେବା ଉଚିତ ।
Question 5.
ମୀରା 400 ପୃଷ୍ଠା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଉପନ୍ୟାସ ପଢୁଛନ୍ତି । ସେ ଗତିକାଲି ବହିର \(\frac{1}{5}\) ପୃଷ୍ଠା ଏବଂ ଆଜି ବହିର
\(\frac{3}{10}\) ପୃଷ୍ଠା ପଢ଼ିଛନ୍ତି । ଉପନ୍ୟାସଟି ଶେଷ କରିବା ପାଇଁ ତାଙ୍କୁ ଆଉ କେତେ ପୃଷ୍ଠା ପଢ଼ିବାକୁ ପଡ଼ିବ ?
Solution:
ମୀରା 400 ପୃଷ୍ଠା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଉପନ୍ୟାସ ପଢୁଛନ୍ତି ।
ସେ ଗତକାଲି ବହିର \(\frac{1}{5}\) ପୃଷ୍ଠା ପଢ଼ିଛନ୍ତି ।
ସେ ଗତକାଲି ପଢ଼ିଛନ୍ତି = 400 × \(\frac{1}{5}\) = 80 ପୃଷ୍ଠା ।
ସେ ଆଜି ବହିର \(\frac{3}{10}\) ପୃଷ୍ଠା ପଢ଼ିଛନ୍ତି ।
ସେ ଆଜି ପଢ଼ିଛନ୍ତି = 400 × \(\frac{3}{10}\) = 120 ପଣ୍ଡା ।
∴ ସେ ଦୁଇ ଦିନରେ ପଢ଼ିଛନ୍ତି = 80 + 120 = 200 ପୃଷ୍ଠା |
ବାକି ରହିଛି ପଢ଼ିବାକୁ = 400 – 200 = 200 ପୃଷ୍ଠା ।
∴ ଉପନ୍ୟାସଟି ଶେଷ କରିବା ପାଇଁ ତାଙ୍କୁ ଆଉ 200 ପୃଷ୍ଠା ପଢ଼ିବାକୁ ପଡ଼ିବ ।
Question 6.
ଗୋଟିଏ କାର 1 ଲିଟର ପେଟ୍ରୋଲ ବ୍ୟବହାର କରି 16 କିଲୋମିଟର ଚାଲିଥାଏ । 2\(\frac{3}{4}\) ଲିଟର ପେଟ୍ରୋଲ ବ୍ୟବହାର କରି କେତେ କିଲୋମିଟର ଚାଲିପାରିବ ?
Solution:
1 ଲିଟର ପେଟ୍ରୋଲରେ ଯାଏ = 16 କିଲୋମିଟର ।
2\(\frac{3}{4}\) ଲିଟର ପେଟ୍ରୋଲରେ ଯାଏ = 16 × 2\(\frac{3}{4}\) = 16 × \(\frac{11}{4}\) = 4 × 11 = 44 କି.ମି.
∴ 2\(\frac{3}{4}\) ଲିଟର ପେଟ୍ରୋଲ ବ୍ୟବହାର କରି କାଟି 44 କିଲୋମିଟର ଚାଲିପାରିବ ।
Question 7.
ଅମୃତ ପାଲ ତାଙ୍କ ଅବକାଶ ଛୁଟିରେ ଏକ ପର୍ଯ୍ୟଟନ ସ୍ଥଳକୁ ଯିବାପାଇଁ ସ୍ଥିର କଲେ । ଯଦି ସେ ଟ୍ରେନ୍ରେ ଯିବେ, ତେବେ ତାଙ୍କୁ ସେଠାରେ ପହଞ୍ଚିବାକୁ 5\(\frac{1}{6}\) ଘଣ୍ଟା ସମୟ ଲାଗିବ । ଯଦି ସେ ବିମାନରେ ଯିବେ ତେବେ ତାଙ୍କୁ \(\frac{1}{2}\) ଘଣ୍ଟା ସମୟ ଲାଗିବ । ବିମାନରେ ଗଲେ ସେ କେତେ ସମୟ ବଞ୍ଚାଇ ପାରିବେ ?
Solution:
ଯଦି ସେ ଟ୍ରେନ୍ରେ ଯିବେ ସମୟ ଲାଗିବ = 5\(\frac{1}{6}\) ଘଣ୍ଟା = \(\frac{31}{6}\) ଘଣ୍ଟା ।
ଯଦି ସେ ବିମାନରେ ଯିବେ ସମୟ ଲାଗିବ = \(\frac{1}{2}\) ଘଣ୍ଟା ।
ବିମାନରେ ଗଲେ ସମୟ ବଞ୍ଚିପାରିବ = \(\frac{31}{6}\) – \(\frac{1}{2}\) ଘଣ୍ଟା = \(\frac{31}{3}\) – \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{31 – 3}{6}\) = \(\frac{28}{6}\) = \(\frac{14}{3}\) = 4\(\frac{2}{3}\) ଘଣ୍ଟା
∴ ବିମାନରେ ଗଲେ ସେ 4\(\frac{2}{3}\) ଘଣ୍ଟା ସମୟ ବଞ୍ଚାଇ ପାରିବେ ।
Question 8.
ସରିତାଙ୍କ ଜେଜେ ମା’ ଏକ କେକ୍ ତିଆରି କରିଥିଲେ । ସରିତା ଓ ତା’ର ସମ୍ପର୍କୀୟ ଭାଇମାନେ କେଜ୍ର \(\frac{4}{5}\) ଅଂଶ ଖାଇଦେଲେ । ବଳକା କେକ୍ ସରିତା ଓ ତା’ର ତିନି ସାଙ୍ଗଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ଭାବରେ ବାଣ୍ଟିଦେଲା । ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସାଙ୍ଗ କେକ୍ର କେତେ ଅଂଶ ପାଇଲେ ?
Solution:
ମନେକର କେକ୍କୁ 1 ଧରାଯାଉ ।
ସରିତା ଓ ତା’ ସମ୍ପର୍କୀୟ ଭାଇମାନେ କେକ୍ର \(\frac{4}{5}\) ଅଂଶ ଖାଇଦେଲେ ।
ଆଉ କେକ୍ ରହିଲା = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{4}{5}\) = ଅଂଶ ।
\(\frac{1}{5}\) ଅଂଶ କେକ୍କୁ ତିନି ଜଣ ସାଙ୍ଗଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ଭାବରେ ବାଣ୍ଟିଦିଆଗଲା ।
∴ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସାଙ୍ଗ ପାଇବେ = \(\frac{1}{5}\) ÷ 3 ଅଂଶ ।
ଯେହେତୁ 3 ର ପ୍ରତିଲୋମାନୁପାତୀ \(\frac{1}{3}\) ⇒ \(\frac{1}{5}\) ÷ 3 = \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{15}\)
∴ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସାଙ୍ଗ କେକ୍ର \(\frac{1}{15}\) ଅଂଶ ପାଇଲେ ।
Question 9.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥବା ବିକଳ୍ପ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକୁ ବାଛ । ଯେଉଁ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ (\(\frac{565}{465}\) × \(\frac{707}{676}\)) ର ଗୁଣଫଳକୁ ଠିକ୍ ଭାବେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରୁଛି ।
(a) > \(\frac{565}{465}\)
(b) < \(\frac{565}{465}\)
(c) > \(\frac{707}{676}\)
(d) < \(\frac{707}{676}\)
(e) > 1
(f) < 1
Solution:
\(\frac{565}{465}\) × \(\frac{707}{676}\) > 1 → ବିକଳ୍ପ (e)
\(\frac{565}{465}\) × \(\frac{707}{676}\) > \(\frac{565}{465}\) → ବିକଳ୍ପ (a)
\(\frac{565}{465}\) × \(\frac{707}{676}\) > \(\frac{707}{676}\) → ବିକଳ୍ପ (c)
∴ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି (a), (c) ଓ (e)
Question 10.
ସମସ୍ତ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କେତେ ଅଂଶ ରେଖାଙ୍କିତ ହୋଇଛି ?
(ଯହିଁରେ ଚିହ୍ନିତ ବିନ୍ଦୁଟି ସାନ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
Solution:
ଏଠାରେ ସମସ୍ତ ବର୍ଗଚିତ୍ରକୁ 4ଟି ଛୋଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଅଂଶରେ ଭାଗ ହେଉଛି ।
ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵର ତଳେ ଥିବା ଛୋଟ ବର୍ଗଚିତ୍ରରେ ରେଖାଙ୍କିତ ଅଂଶ ଦେଖୁଛୁ ।
ଯାହା ସମସ୍ତ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର \(\frac{1}{4}\) ଅଂଶ ।
ଏହା ମଧ୍ଯରେ ହଳଦିଆ ରଙ୍ଗର ତ୍ରିଭୁଜ ଅଂଶ = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{8}\) ଅଂଶ ।
∴ ସମସ୍ତ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ରେଖାଙ୍କିତ ଅଂଶ = \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{3}{32}\)
Question 11.
ଖାଦ୍ୟ ସନ୍ଧନାରେ ପିମ୍ପୁଡ଼ିମାନଙ୍କର ଏକ ଦଳ ବାହାରି ପଡ଼ିଲେ । ସେମାନେ ଖାଦ୍ୟ ଖୋଜିବା ସମୟରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଛକସ୍ଥାନରେ ସମାନ ଭାବରେ ଭାଗ ହୋଇ ଚାଲନ୍ତି ଏବଂ ଦୁଇଟି ଖାଦ୍ୟ ଥିବା ସ୍ଥାନକୁ ଯଥା- ଗୋଟିଏ ଆମ୍ବ ଗଛ ନିକଟରେ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଆଖୁ କ୍ଷେତ ନିକଟରେ ପହଞ୍ଚନ୍ତି । ତେବେ ଦଳର କେତେ ଅଂଶ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଖାଦ୍ୟ ଉତ୍ସ ନିକଟରେ ପହଞ୍ଚିଗଲେ ?
Solution:
ଖାଦ୍ୟ ଉତ୍ସରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା 7ଟି ରାସ୍ତା ଅଛି ।
ଆମ୍ବଗଛ ନିକଟକୁ 5ଟି ରାସ୍ତା ଏବଂ ଆଖୁଗଛ ନିକଟକୁ 2ଟି ରାସ୍ତା ଅଛି ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲାଲ ବିନ୍ଦୁ (ଛକ)ରେ ପିମ୍ପୁଡ଼ିମାନେ ଦୁଇଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ ହେଲେ ।
ଖାଦ୍ୟ ଉତ୍ସରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦଳର ଅଂଶ = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{16}\) ଅଂଶ ।
ତେଣୁ, ଆମ୍ବଗଛ ନିକଟରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ 5ଟି ରାସ୍ତାର ପିମ୍ପୁଡ଼ିଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା 5 × \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{5}{16}\) ଅଂଶ।
∴ ଆଖୁଗଛ ନିକଟରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ 2ଟି ରାସ୍ତାରେ ପିମ୍ପୁଡ଼ି ସଂଖ୍ୟା 2 × \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{2}{16}\) = \(\frac{1}{8}\) ଅଂଶ ।
Question 12.
ସରଳ କର ।
(a) 1 – \(\frac{1}{2}\)
(b) (1 – \(\frac{1}{2}\)) × (1 – \(\frac{1}{3}\))
(c) (1 – \(\frac{1}{2}\)) × (1 – \(\frac{1}{3}\)) × (1 – \(\frac{1}{4}\)) × (1 – \(\frac{1}{5}\))
(d) (1 – \(\frac{1}{2}\)) × (1 – \(\frac{1}{3}\)) × (1 – \(\frac{1}{4}\)) × (1 – \(\frac{1}{5}\)) × (1 – \(\frac{1}{6}\)) × (1 – \(\frac{1}{7}\)) × (1 – \(\frac{1}{8}\)) × (1 – \(\frac{1}{9}\)) × (1 – \(\frac{1}{10}\))
Solution:
