BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିର ମୌଳିକ ଧାରଣ Ex 1(b)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିର ମୌଳିକ ଧାରଣ Ex 1(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ଜ୍ୟାମିତିର ମୌଳିକ ଧାରଣ Ex 1(b)

Question 1.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ଗୋଟିଏ କୋଣର ବାହୁଦ୍ୱୟର ______ ଗୋଟି ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଅଛି ।
(b) ଗୋଟିଏ କୋଣର ବାହୁଦ୍ୱୟର ହେଲେ, ______ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।
(c) ସାଧାରଣ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଓ ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ବାହୁବିଶିଷ୍ଟ ଦୁଇଟି କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶଦ୍ଵୟ ଅଣଛେଦୀ ହେଲେ, କୋଣ ଦୁଇଟିକୁ ______ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।
(d) A-P-B ଏବଂ \( \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ର ଏକମାତ୍ର ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ P ହେଲେ, ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣଦ୍ୱୟର ନାମ ______ ଓ ______ |
(e) \( \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ର ଏକମାତ୍ର ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ P ହେଲେ, ଗଠିତ କୋଣ ଦୁଇଟିକୁ ______ କୁହାଯାଏ ।
(f) \( \overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{OC}}\)ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଯଥାକ୍ରମେ \( \overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ହେଲେ,
(i) ∠AOCର ପ୍ରତୀପ …………. । (ii) ∠BOCର ପ୍ରତୀପ ……..
Solution:
(a) ଏକ
(b) ଶୀର୍ଷ
(c) ସନ୍ନିହିତ
(d) ∠APQ ଓ ∠BPO
(e) ସନ୍ନିହିତ
(f) (i) ∠BOD (ii) ∠AOD

Question 2.
(a) π ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ = ______ ଡିଗ୍ରୀ ।
(b) ଏକ ଡିଗ୍ରୀ = ______ ମିନିଟ୍ ।
(c) ଏକ ମିନିଟ୍ = ______ ରେଡ଼ିଆନ୍|
(d) πର ଆସନ୍ନ ମାନ = ______ |
(e) x² ପରିମାଣବିଶିଷ୍ଟ ଅନୁପୂରକ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ ______ |
(f) x² ପରିମାଣବିଶିଷ୍ଟ କୋଣର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ ______ |
(g) x² ପରିମାଣବିଶିଷ୍ଟ କୋଣର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ ______ |
Solution:
(a) 180°
(b) 60
(c) 60
(d) 3.1415
(e) 90° – x
(f) 180° – x
(g) 180° – x

Question 3.
ଏକ ସମତଳରେ ଅଙ୍କିତ ∠ABC, ଉକ୍ତ ସମତଳକୁ କେତୋଟି ଉପସେଟ୍‌ରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ? ସେମାନଙ୍କର ନାମ ଲେଖ ।
Solution:
ଏକ ସମତଳରେ ଅଙ୍କିତ ∠ABC ସମତଳକୁ ତିନୋଟି ଉପସେଟ୍‌ରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।
ସେମାନଙ୍କର ନାମ ହେଲା– ∠ABC, ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଓ ∠ABC ର ବହିର୍ଦେଶ ।

Question 4.
(a) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣରୁ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ କେତେ ?
(b) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣରୁ 15° କମ୍ ହେଲେ, ତାହାର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(c) ଯେଉଁ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ, ତାହାର ପରିମାଣ କେତେ ?
(d) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର 3 ଗୁଣରୁ 20° କମ୍ ହେଲେ, ତାହାର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:

(a) ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ ।
θ ର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = (90 – θ)°
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, θ = 90° – θ°
⇒ θ + θ = 90° ⇒ 2θ = 90° ⇒ θ = \(\frac { 90° }{ 2 }\) = 45°
∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 45° |

(b) ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ । θ ର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = ( 90 – θ)°
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, θ = 2(90° – θ°) – 15
⇒ θ = 180° – 2θ – 15° ⇒ 3θ = 165° ⇒ θ = \(\frac { 165° }{ 3 }\) = 55°
∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 55° |

(c) ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ । θ ର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = (180 – θ)°
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, θ = 180° – θ ⇒ 2θ = 180° ⇒ θ = \(\frac { 180° }{ 2 }\) = 90°
∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 90° |

(d) ମନେକର କୌଣଟିର ପରିମାଣ θ । θ ର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = (180° – θ)°
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, θ = 3(180° – θ)° – 20°
⇒ θ = 540° – 3θ – 20° ⇒ 4θ = 520° ⇒ θ = \(\frac { 520° }{ 4 }\) = 130°
∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 130° |

Question 5.
କେତେଗୁଡ଼ିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ଦିଆଯାଇଛି । ତାହାକୁ ଦେଖ୍ ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକର ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
m∠A = 63°, m∠B = 127°, m∠C = 147°, m∠D = 53°,
m∠E = 95°, m∠F = 117°, m∠G = 85°, m∠H = 33° କୋଣର,

(i) ∠A ଓ ______ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
(ii) ∠H ଓ ______ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
(iii) ______ ଓ ∠D ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
(iv) ______ ଓ ∠G ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
Solution:
(i) ∠F
(ii) ∠C
(iii) ∠B
(iv) ∠E
[ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ହେଲେ କୋଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରର ପରିପୂରକ ହେବେ ।]

Question 6.
ଚିତ୍ର ଦେଖ୍ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

ଚିତ୍ର (a) ରେ
(i) m∠ABP = 22°, m∠PBC = 38°ହେଲେ, m∠ABC କେତେ ?
(ii) m∠ABC = 58°, \( \overrightarrow{\mathrm{BP}}\), ∠ABC ର ପରିମାଣର କୋଣର, m∠PBC କେତେ ?
(iii) ଚିତ୍ର (b) ରେ
m∠AOB = 117° ଓ m∠AOP = m∠POQ = m∠QOB କୋଣର, m∠POQ, m∠AOQ ଓ m∠POB ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
(i) ଚିତ୍ର (a) ରେ m∠ABC = m∠ABP + m∠PBC = 22° + 38° = 60° (ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ)
(ii) ଚିତ୍ର (a) ରେ m∠ABC = 58° | \( \overrightarrow{\mathrm{BP}}\), ∠ABC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ଆପାତ m∠ABP = m∠PBC
∴ m∠PBC = m∠ABP = \(\frac { 58° }{ 2 }\) = 29°

(iii) ଚିତ୍ର (b) ରେ m∠AOB = 117° । (ବଇ)
m∠AOP = m∠POQ = m∠QOB (ବଇ)
m∠AOP + m∠POQ + m∠QOB = m∠AOB (ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ)
∴ m∠AOP = m∠POQ = m∠QOB = \(\frac { 117° }{ 3 }\) = 39° (∵ m∠AOB = 117°)
⇒ m∠POQ = 39°
ପୁନଶ୍ଚ, P, ∠AOQ ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେତୁ,
∴ m∠AOQ = m∠AOP + m∠POQ = 39° + 39° 78° (ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ) ଏବଂ Q, ∠POB ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ତେଣୁ m∠POB = m∠POQ + m∠QOB = 39° + 39° = 78° (ପ୍ରୋଟ୍ରାକ୍ଟର ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ)

Question 7.
ଚିତ୍ରଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନସ୍ଥ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ବୁଝାଅ ।
(a) ପ୍ରତୀପ କୋଣ (b) ସନ୍ନିହିତ କୋଣ (c) ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ
Solution:
(a) ପ୍ରତୀପ କୋଣ – ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି । ଏଠାରେ ∠AOC ଓ ∠BOD କୁ ପ୍ରତୀପ କୋଣ କୁହାଯାଏ । ସେହିପରି ∠BOC ଓ ∠AOD ମଧ୍ୟ ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଅଟନ୍ତି ।

(b) ସନ୍ନିହିତ କୋଣ – ଦୁଇଟି କୋଣ ସନ୍ନିହିତ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର (i) ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ, (ii) ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ବାହୁ ଏବଂ (iii) ସେମାନଙ୍କର ଅନ୍ତର୍ଦେଶଦ୍ଵୟ ଅଣଛେଦୀ ହୁଅନ୍ତି ।

(c) ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ – ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ସଙ୍ଗେ ସମାନ ହେଲେ, ସେ ଚିତ୍ରରେ ∠AOC ଓ ∠BOC ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ । ଏଠାରେ ∠AOC + ∠BOC = 180°

Question 8.
କାହାକୁ କହନ୍ତି ବୁଝାଇ ଲେଖ ।
(a) ଅନୁପୂରକ ଓ ପରିପୂରକ କୋଣ
(b) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଓ ବହିର୍ଦେଶ
Solution:
(a) ଅନୁପୂରକ ଓ ପରିପୂରକ କୋଣ :
ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 90° ସଙ୍ଗେ ସମାନ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ କୋଣ କୁହାଯାଏ । ମନେକର ଗୋଟିଏ କୋଣ θ,
∴ ଏହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣଟି (90 – θ)°
ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180 ସଙ୍ଗେ ସମାନ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ କୋଣ କୁହାଯାଏ ।
ମନେକର ଗୋଟିଏ କୋଣ x,
∴ ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣଟି (180 – x)°

(b) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଓ ବହିର୍ଦେଶ :
(i) ଚିତ୍ରରେ ∠ABC ଅଙ୍କିତ ହୋଇଛି । .ଏହା ABC ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଏହି ସମତଳର ଯେଉଁସବୁ ବିନ୍ଦୁ ଉଭୟ \( \overrightarrow{\mathrm{BC}}\) ର A ପାର୍ଶ୍ଵ ଓ \( \overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ର C ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ, ସେହିସବୁ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଗଠିତ; ଅର୍ଥାତ୍ ସେହି ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍ ହେଉଛି ∠ABCର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ । ଏହାକୁ ‘X’ ଚିହ୍ନଦ୍ଵାରା ଚିହ୍ନିତ କରାଯାଇଅଛି ।

(ii) ABC ସମତଳର ଯେଉଁସବୁ ବିନ୍ଦୁ ∠ABCର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ନାହାନ୍ତି କିମ୍ବା ନାହାନ୍ତି, ସେହି ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍‌କୁ ∠ABCର ବହିର୍ଦେଶ କୁହାଯାଏ ।

Question 9.
\( \overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathbf{A B}}\) ର ଏକମାତ୍ର ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ O। ଯଦି
(i) m∠AOC = 2x°, m∠BOC = 3x° ଏବଂ
(ii) m∠AOC = (x + 20)°, m∠BOC = (3x − 8)° ହୁଏ; ତେବେ xର ମାନ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଷ୍ଟେତ୍ରରେ ମିତ କର |
Solution:
(i) m∠AOC + m∠BOC = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)
⇒ 2x° + 3x° = 180° ⇒ 5x° = 180° ⇒ x° = \(\frac { 180° }{ 5 }\) = 36°

(ii) m∠AOC = (x + 20)°, m∠BOC = (3x – 8)°
m∠AOC + m∠BOC = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)
⇒ (x° + 20)° + (3x° – 8)° = 180° ⇒ 4x° + 12° = 180°
⇒ 4x° = 180° – 12° = 168°
⇒ x = \(\frac { 168 }{ 4 }\) = 42°

Question 10.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରୁ y ର ମାନ ସ୍ଥିର କର,
ସେହିସବୁ m∠AOE = 2y°, m∠DOF = 3y°,
ଏବ° m∠BOC = 5y°
Solution:
ଚିତ୍ରରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ,
m∠AOE = m∠BOF = 2y° (ପ୍ରତାପ କୋଣ)
m∠DOF = m∠EOC = 3y° (ପ୍ରତାପ କୋଣ)
m∠AOD = m∠BOC = 5y° (ପ୍ରତାପ କୋଣ)

m∠AOE + m∠AOD + m∠DOF + m∠BOF+ m∠BOC+ m∠COE = 360°
⇒ 2y°+ 5y° + 3y° + 2y° + 5y° + 3y° = 360°
⇒ 2(2y° + 3y° + 5y°) = 360° ⇒ 2 × 10y° = 360°
= y = \(\frac { 360° }{ 20 }\) = 18°