Students can use Class 7 Math Solution Odia Medium and Class 7 Maths Chapter 4 Question Answer Odia Medium ଅକ୍ଷର ଓ ସଂଖ୍ୟା ମାଧ୍ୟମରେ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ to check their answers after solving exercises.
7th Class Maths Chapter 4 Question Answer Odia Medium
Class 7 Maths Chapter 4 Odia Medium
4.1 ବୀଜଗଣିତର ସ୍ଵରୂପ :
ଉଦାହରଣ – 1 :
Page No. (81 to 86)
Question 1.
ସୋଫିଆ, ଚନ୍ଦନ ଅପେକ୍ଷା 3 ବର୍ଷ ବଡ଼ । ଯେତେବେଳେ ଚନ୍ଦନର ବୟସ 10 ବର୍ଷ, ସୋଫିଆର ବୟସ ସେତେବେଳେ 13 ବର୍ଷ ହେବ । ବର୍ତ୍ତମାନ ଚନ୍ଦନର ବୟସ 18 ବର୍ଷ । ସୋଫିଆର ବୟସ କେତେ ହେବ ?
Solution:
ଚନ୍ଦନର ବୟସକୁ ଜାଣି ସୋଫିଆର ବୟସ ନିଷ୍କ୍ରିୟ କରାହେବ ?
ସୋଫିଆ ଚନ୍ଦନ ଠାରୁ 3ବର୍ଷ ବଡ଼ ।
ମନେକର ଚନ୍ଦନର ବୟସ = 18 ବର୍ଷ ।
ସୋଫିଆର ବୟସ = 18 + 3 ବର୍ଷ ।
ଚନ୍ଦନର ବୟସ 18 ବର୍ଷ । ସୋଫିଆର ବୟସ = 18 + 3 = 21 ବର୍ଷ
Question 2.
ସୋଫିଆର ବୟସ ଦିଆଯାଇଛି । ଚନ୍ଦନର ବୟସକୁ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ ।
Solution:
ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ସୋଫିଆର ବୟସ, ଚନ୍ଦନ ବୟସଠାରୁ 3 ବର୍ଷ ବଡ଼ ।
ଅର୍ଥାତ୍ ଚନ୍ଦନର ବୟସ, ସୋଫିଆ ବୟସଠାରୁ 3 ବର୍ଷ ସାନ ।
ଏହାକୁ ଗାଣିତିକ ଭାଷାରେ ଲେଖିଲେ, ଚନ୍ଦନର ବୟସ = ସୋଫିଆର ବୟସ – 3 ବର୍ଷ ।
ଯଦି ଆମେ ପୁନର୍ବାର ଚନ୍ଦନର ବୟସକୁ ସୂଚାଇବା ପାଇଁ ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର a ଓ ସୋଫିଆର ବୟସକୁ ସୂଚାଇବା ପାଇଁ ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର ୫ ବ୍ୟବହାର କରୁ, ତେବେ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ
a = s – 3 ଅର୍ଥାତ୍ a, s ଠାରୁ 3 କମ୍ ।
ସଂଖ୍ୟା ବଦଳରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଥିବା ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର a ଓ s କୁ ଅକ୍ଷର-ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ । ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା ଚଳରାଶିକୁ ନେଇ ଏହିଭଳି ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ କୁହାଯାଏ ।
Question 3.
ଯଦି ସୋଫିଆର ବୟସ 20 ବର୍ଷ ହୁଏ, ତେବେ ଏହି ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଚନ୍ଦନର ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ?
ସୂଚନା – s ର ମୂଲ୍ୟ 20 ଲେଖ ଏବଂ ସମାଧାନ କର ।
Solution:
ସୋଫିଆର ବୟସ s = 20 ବର୍ଷ |
ଚନ୍ଦନର ବୟସ = s = a – 3 = 20 – 3 ବର୍ଷ = 17 ବର୍ଷ ।
ଉଦାହରଣ – 2 :
ଗୀତା ଦିଆସିଲି କାଠିରେ ଏକ ସଂରଚନା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରୁଛି । ସେ (ଚିତ୍ର ପରି) ବାରମ୍ବାର L ସଂରଚନା ପରେ ଆଉ ଗୋଟିଏ L ସଂରଚନା କରୁଛି ।
Question 1.
ଏହିପରି 5 ଟି L ତିଆରି କରିବାକୁ କେତୋଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ?
Solution:
ଏହା 5 × 2 = 10 ଟି କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ।
Question 2.
7 ଟି L ତିଆରି କରିବାକୁ କେତୋଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ?
Solution:
ଏହା 7 × 2 = 14 ଟି କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ।
Question 3.
45 ଟି L ତିଆରି କରିବାକୁ କେତୋଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ?
Solution:
ଏହା 45 × 2 = 90 ଟି କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ।
Question 4.
ବର୍ତ୍ତମାନ L ସଂରଚନାର ସଂଖ୍ୟା ଓ ଦିଆସିଲି କାଠି ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ କ’ଣ ?
Solution:
ପ୍ରଥମେ ସମ୍ପର୍କ କିମ୍ବା ସଂରଚନାକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବା ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ L ଗଠନ ପାଇଁ 2 ଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ।
ତେଣୁ ଆବଶ୍ୟକ ଦିଆସିଲି କାଠିର ସଂଖ୍ୟା = 2 × ସଂରଚନା ‘L’ର ସଂଖ୍ୟା ।
ବର୍ତ୍ତମାନ ‘L’ର ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୂଚାଇବା ପାଇଁ ଯେକୌଣସି ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷରକୁ ନେଇ ପାରିବା ।
ମନେକର L ର ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ‘n’ ବ୍ୟବହାର କରିବା ।
ତେଣୁ n ଟି L ସଂରଚନା ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ଦିଆସିଲି କାଠି ସଂଖ୍ୟା = 2 × n ହେବ ।
ଏହି ପରିପ୍ରକାଶ (2 × n), nଟି L ସଂରଚନା ପ୍ରସ୍ତୁତି ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ହେଉଥିବା ଦିଆସିଲି କାଠି ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୂଚାଉଛି ।
ଆମେ କେବଳ ସଂରଚନା L ର ସଂଖ୍ୟାକୁ n ରେ ଲେଖୁଛୁ ।
ଉଦାହରଣ – 3 :
Question 1.
ରାକେଶ ନଡ଼ିଆ, ଗୁଡ଼, ଲଡ଼ୁ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରି ଯୋଗାଏ । ଗୋଟିଏ ନଡ଼ିଆର ଦାମ୍ 35 ଟଙ୍କା ଏବଂ 1 କି.ଗ୍ରା. ଗୁଡ଼ର ଦାମ୍ 60 ଟଙ୍କା । ଯଦି ସେ 10ଟି ନଡ଼ିଆ ଏବଂ 5 କି.ଗ୍ରା. ଗୁଡ଼ କିଣନ୍ତି, ତେବେ ସେ କେତେ ଟଙ୍କା ଦେବେ ?
Solution:
1 ଟି ନଡ଼ିଆର ଦାମ୍ = 35 ଟଙ୍କା ।
10 ଟି ନଡ଼ିଆର ଦାମ୍ = 10 × 35 ଟଙ୍କା = 350 ଟଙ୍କା ।
1 କି.ଗ୍ରା. ଗୁଡ଼ର ଦାମ୍ = 60 ଟଙ୍କା
5 କି.ଗ୍ରା. ଗୁଡ଼ର ଦାମ୍ = 5 × 60 ଟଙ୍କା = 300 ଟଙ୍କା ।
10 ଟି ନଡ଼ିଆ ଓ 5 କି.ଗ୍ରା. ଗୁଡ଼ର ଦାମ୍ = (10 × 35) ଟଙ୍କା + (5 × 60) ଟଙ୍କା
= 350 ଟଙ୍କା + 300 ଟଙ୍କା = 650 ଟଙ୍କା ।
∴ ସେ 650 ଟଙ୍କା ଦେବେ ।
Question 2.
ଯଦି ସେ 8 ଟି ନଡ଼ିଆ ଓ 9 କି.ଗ୍ରା. ଗୁଡ଼ କିଣନ୍ତି, ତେବେ ସେ କେତେ ଟଙ୍କା ଦେବେ ?
Solution:
1 ଟି ନଡ଼ିଆର ଦାମ୍ = 35 ଟଙ୍କା
8 ଟି ନଡ଼ିଆର ଦାମ୍ = 8 × 35 ଟଙ୍କା = 280 ଟଙ୍କା ।
1 କି.ଗ୍ରା. ଗୁଡ଼ର ଦାମ୍ = 60 ଟଙ୍କା ।
9 କି.ଗ୍ରା. ଗୁଡ଼ର ଦାମ୍ = 9× 60 ଟଙ୍କା = 540 ଟଙ୍କା ।
8 ଟି ନଡ଼ିଆ ଓ 9 କି.ଗ୍ରା. ଗୁଡ଼ର ଦାମ୍ = (8 × 35) ଟଙ୍କା + (9 × 60) ଟଙ୍କା
= 280 ଟଙ୍କା + 540 ଟଙ୍କା = 820 ଟଙ୍କା ।
∴ ସେ 820 ଟଙ୍କା ଦେବେ ।
Question 3.
ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟକ ନଡ଼ିଆ ଓ ଗୁଡ଼ର ପରିମାଣ ପାଇଁ ସମୁଦାୟ ମୂଲ୍ୟକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ ।
Solution:
ଏଠାରେ ଗାଣିତିକ ସମ୍ପର୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରିବା ଏବଂ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ଲେଖୁବା ।
| ଆବଶ୍ୟକ ପରିମାଣ | ସମ୍ପର୍କ | ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ |
| ନଡ଼ିଆର ମୂଲ୍ୟ | ନଡ଼ିଆ ସଂଖ୍ୟା × 35 | c × 35 |
| ଗୁଡ଼ର ମୂଲ୍ୟ | ଗୁଡ଼ର ପରିମାଣ (କି.ଗ୍ରା.ରେ) × 60 | j × 60 |
ଏଠାରେ ‘c’ ନଡ଼ିଆର ସଂଖ୍ୟା ଓ ‘j’ ଗୁଡ଼ର ପରିମାଣ (କିଲୋଗ୍ରାମ୍) ସୂଚିତ କରାଯାଇଛି ।
ସମୁଦାୟ ଦେୟ ଟଙ୍କା = ନଡ଼ିଆର ମୂଲ୍ୟ + ଗୁଡ଼ର ମୂଲ୍ୟ ।
ଅନୁରୂପ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି : c × 35 + j × 60
Question 4.
ଏହି ପରିପ୍ରକାଶ (ସୂତ୍ର)କୁ ବ୍ୟବହାର କରି 7 ଟି ନଡ଼ିଆ ଓ 4 କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ଗୁଡ଼ ପାଇଁ ସମୁଦାୟ ଟଙ୍କା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଧ୍ୟାନ ଦିଅ ଯେ, c ଏବଂ j ର ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ମଧ୍ୟ ବଦଳି ଯାଉଛି ।
Solution:
ପରିପ୍ରକାଶଟିକୁ ଆମେ ନିମ୍ନମତେ ଲେଖୁବା = c × 35 + j × 60
ସହିତ ଆମେ ପରିଚିତ । ପରିସୀମା
= (7 × 35) ଟଙ୍କା + (4 × 60) ଟଙ୍କା = 245 ଟଙ୍କା + 240 ଟଙ୍କା = 485 ଟଙ୍କା ।
ଉଦାହରଣ – 4 :
Question 1.
ସରଳ ଆକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପ୍ରଣାଳୀ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ପରିପ୍ରକାଶଟିଏ ଲେଖ ।
Solution:
ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା ଏହାର ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର 4 ଗୁଣ ।
ଯଦି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରରେ q ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ସୂଚାଏ, ତେବେ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି 4 × q = 4q ହେବ ।
Question 2.
ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହି ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ତାହାର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁ a ହେଲେ, ଏହାର ପରିସୀମା = (a × 4) ସେ.ମି. = (7 × 4) ସେ.ମି. = 28 ସେ.ମି. ।
ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟବହାର ଓ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଗାଣିତିକ ସମ୍ପର୍କକୁ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ସାଧାରଣ ରୂପ ଦେବାରେ ସହାୟକ ହୁଏ । ଏହି ପ୍ରକାର ଗାଣିତିକ ସମ୍ପର୍କର ପରିପ୍ରକାଶକୁ ସୂତ୍ର କୁହାଯାଏ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ସୂତ୍ର ଲେଖ ।
(a) ସମସ୍ତ ବାହୁ ସମାନ ଥୁବା ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ସୂତ୍ରଟିଏ ଲେଖ ।
(b) ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ସୂତ୍ରଟିଏ ଲେଖ ।
(c) ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ସୂତ୍ରଟିଏ ଲେଖ ।
Solution:
(a) ଯଦି ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ s ଧରାଯିବ,
ତେବେ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = ବାହୁ × 3 = s × 3 = 3s ହେବ ।
(b) ଯଦି ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ p ଧରାଯିବ,
ତେବେ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ପରିସୀମା = ବାହୁ × 5 = p × 5 = 5p ହେବ ।
(c) ଯଦି ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ r ଧରାଯିବ,
ତେବେ ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜର ପରିସୀମା = ବାହୁ × 6 = 1 × 6 = 6r ହେବ ।
ତିନି ବା ତିନିରୁ ଅଧୁକ ବାହୁ ଥୁବା କ୍ଷେତ୍ରର ସମସ୍ତ ବାହୁ ସମଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ହେଲେ ତାହାକୁ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ କୁହାଯାଏ ।
Question 2.
ଜନ୍ ପାଖରେ 20 ମିଟର ଲମ୍ବର ଏକ ପାଣି ପାଇପ୍ ଅଛି । ତଥାପି ସେ ନିଜ ବଗିଚାରେ ଜଳସେଚନ ପାଇଁ ଅଧିକ ଲମ୍ବର ପାଇପ୍ ସେଥିରେ ଯୋଡ଼ିବା ପାଇଁ ଚାହୁଁଛନ୍ତି । ତେଣୁ ସେ କିଛି ଲମ୍ବର ପାଇପ୍ ସେଥୁରେ ଯୋଡ଼ିଲେ, ଯୋଡ଼ାଯାଇଥିବା ଦୁଇଟି ପାଇପୂର ମୋଟ ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ । ଯୋଡ଼ା ଯାଇଥିବା ଅନ୍ୟ ପାଇପ୍ର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ସୂଚାଇବା ପାଇଁ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା ‘k’ ବ୍ୟବହାର କର ।
Solution:
ମନେକର ଅନ୍ୟ ପାଇପ୍ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = k ମିଟର ।
∴ ଦୁଇଟି ପାଇପ୍ର ଲମ୍ବ = (k + 20) ମିଟର ହେବ ।
Question 3.
ରାକେଶ ପାଖରେ 100 ଟଙ୍କା, 20 ଟଙ୍କା ଓ 5 ଟଙ୍କାର କିଛି ନୋଟ୍ ଅଛି । ନୋଟ୍ର ସଂଖ୍ୟା ସାରଣୀରେ ଦିଆଯାଇଛି । ସାରଣୀଟିକୁ ପୂରଣ କର । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)
Solution:
| 100 ଟଙ୍କାର ନୋଟ୍ ସଂଖ୍ୟା | 20 ଟଙ୍କାର ନୋଟ୍ ସଂଖ୍ୟା | 5 ଟଙ୍କାର ନୋଟ୍ ସଂଖ୍ୟା | ପରିପ୍ରକାଶ ଓ ସମୁଦାୟ ପରିମାଣ |
| 3 | 5 | 6 | 3 × 100 + 5 × 20 + 6 × 5 = 430 |
| 6 | 4 | 3 | 6 × 100 + 4 × 20 + 3 × 5 = 695 |
| 8 | 4 | z | 8 × 100 + 4 × 20 + z × 5 = 880 + 5z |
| x | y | z | x × 100 + y × 20 + z × 5 = 100× + 20y + 5z |
Question 4.
ଅନିତାର ଏକ ଅଟାକଳ ଅଛି । ଅଟାକଳରେ ଥିବା ରୋଲର ଚାଲିବା ଆରମ୍ଭ କରିବାକୁ 10 ସେକେଣ୍ଡ ସମୟ ନିଏ । ଥରେ ଚାଲିବା ପରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ 1 କି.ଗ୍ରା. ଅଟା ପେଷିବା ପାଇଁ 8 ସେକେଣ୍ଡ ସମୟ ନେଇଥାଏ । ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ପରିପ୍ରକାଶଟି ‘y’ କିଲୋଗ୍ରାମ ଅଟା ପେଷିବା ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ହେଉଥିବା ସମୟକୁ ସୂଚାଉଛି । (ଆରମ୍ଭରୁ ରୋଲରଟି ବନ୍ଦଥୁଲା)
(a) 10 + 8 + y
(b) (10 + 8) × y
(c) 10 × 8 × y
(d) 10 + 8 × y
(e) 10 × y + 8
Solution:
(d) 1 କି.ଗ୍ରା. ଅଟା ପେଷିବା ପାଇଁ ନିଏ 8 ସେକେଣ୍ଡ ।
y କି.ଗ୍ରା. ଅଟା ପେଷିବା ପାଇଁ ନିଏ = 8 × y ସେକେଣ୍ଡ ।
ଅଟାକଳ ଚାଲିବା ପାଇଁ ସମୟ ନିଏ = 10 ସେକେଣ୍ଡ ।
ମୋଟ ସମୟ = 10 + 8 × y ସେକେଣ୍ଡ ।
Question 5.
ନିଜ ପସନ୍ଦର ଅକ୍ଷର ବ୍ୟବହାର କରି ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ ।
(a) ଏକ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 5 ଅଧିକ ।
(b) ଏକ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 4 ଜଣା ।
(c) ଏକ ସଂଖ୍ୟାର 13 ଗୁଣରୁ 2 କମ୍ ।
(d) ଏକ ସଂଖ୍ୟାର 2 ଗୁଣରୁ 13 କମ୍ ।
Solution:
ଦେଖ – ଯେପରି ଏକ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 3 ଅଧିକ ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇଁ (p) ଅକ୍ଷର ନିଆଯାଏ, ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ = p + 3
(a) ଏକ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 5 ଅଧିକ = p + 5
(b) ଏକ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 4 ଊଣା = p – 4
(c) ଏକ ସଂଖ୍ୟାର 13 ଗୁଣରୁ 2 କମ୍ = p × 13 – 2 = 13p – 2
(d) ଏକ ସଂଖ୍ୟାର 2 ଗୁଣରୁ 13 କମ୍ = p × 2 – 13 = 2p – 13
Question 6.
ନିମ୍ନଲିଖୂତ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ସାଧାରଣ ଭକ୍ତିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
ଯେପରି : 3 × x + 2, x ର 3 ଗୁଣରୁ 2 ଅଧିକ ।
(କ) 8 × x + 3 × y
(ଖ) 15 × j – 2 × k
Solution:
(କ) ଯଦି ଗୋଟିଏ ଟେବୁଲର ଦାମ୍ x ଟଙ୍କା ଓ ଗୋଟିଏ ଚେୟାରର ଦାମ୍ y ଟଙ୍କା ହୁଏ, ତେବେ 8 ଟି ଟେବୁଲ ଓ 3 ଟି ଚେୟାରର ଦାମ୍ = (8 × x + 3 × y) ଟଙ୍କା = (8 x + 3y) ଟଙ୍କା ।
(ଖ) ଯଦି ଗୋଟିଏ ସେଓର ଓଜନ j ଗ୍ରାମ୍ ଓ ଗୋଟିଏ କମଳାର ଓଜନ k ଗ୍ରାମ୍, ତେବେ 15 ଟି ସେଓ ଓ 2 ଟି କମଳାର ବିୟୋଗଫଳ = 15 × j – 2 × k ଗ୍ରାମ୍ = 15j – 2k ଗ୍ରାମ୍ ।
Question 7.
ନିମ୍ନରେ 2024 ମସିହା ନଭେମ୍ବର ମାସର କ୍ୟାଲେଣ୍ଡର ଦିଆଯାଇଛି । ପ୍ରଦର୍ଶିତ 2 × 3 ଗ୍ରୀଡ଼ରେ ତାରିଖଗୁଡ଼ିକ ଲେଖାଯାଇଛି । ଗ୍ରୀଡ଼ରେ ଥିବା ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ । ନିମ୍ନସ୍ଥ 2 × 3 ଗ୍ରୀକ୍ଟରେ ତଳ ମଧ୍ୟମ କୋଠରିରେ ତାରିଖକୁ w ଅକ୍ଷରଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଇଛି ।
Solution:
| w – 8 | w – 7 | w – 6 |
| w – 1 | w | w + 1 |
4.2 ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ସମୀକ୍ଷା
Page No. (86 to 87)
Question 1.
ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ ପାଇଁ ‘+’ ଏବଂ ‘_’ ଚିହ୍ନ ସହିତ ବନ୍ଧନୀର ମଧ୍ୟ ବ୍ୟବହାର ହୋଇଥାଏ । ଚାଲ ଏହି ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକର ଠିକ୍ ବ୍ୟବହାର କରିବା ଏବଂ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ।
(a) 23 – 10 × 2
(b) 83 + 28 – 13 + 32
(c) 34 – 14 + 20
(d) 42 + 15 – (8 – 7)
(e) 68 – (18 + 13)
(f) 7 × 4 + 9 × 6
(g) 20 + 8 × (16 – 6)
Solution:
(a) 23 – 10 × 2 = 23 – (10 × 2) = 23 – 20 = 3
(b) 83 + 28 – 13 + 32 = (83 + 28 + 32) – 13 = 143 – 13 = 130
(c) 34 – 14 + 20 = (34 + 20) – 14 = 54 – 14 = 40
(d) 42 + 15 – (8 – 7) = (42 + 15) – (8 – 7) = 57 – 1 = 56
(e) 68 – (18 + 13) = 68 – 31 = 37
(f) 7 × 4 + 9 × 6 = 28 + 54 = 82
(g) 20 + 8 × (16 – 6) = 20 + 8 × 10 = 20 + 80 = 100
- ପ୍ରଥମେ ପରିପ୍ରକାଶଟିର ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ସେଥୁମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ପଦ ହେଉଛି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା, କିନ୍ତୁ ଅନ୍ୟପଦଟି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ । ଏଣୁ ଏହି ପଦଟିକୁ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାରେ ପ୍ରକାଶ କଲାପରେ ଦୁଇଟି ପଦକ ଯୋଗ କରିପାରିବା ।
ଯଥା – 23 – 10 × 2 = 23 + (-10 × 2) = 23 + (-20) = 3 - ଏହି ପରିପ୍ରକାଶରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା । ଯଦି ପରିପ୍ରକାଶଟିର ପଦମାନଙ୍କୁ ଅଦଳବଦଳ କରି ସଜାଇ ଲେଖୁବା ତେବେ ଏହାର ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ସହଜ ହେବ ।
- ଏହି ପରିପ୍ରକାଶରେ ବନ୍ଧନୀ ବାହାରେ ‘-’ ଫେଡ଼ାଣ ଚିହ୍ନ ଅଛି । ଦୁଇଟି ଉପାୟରେ ଏହି ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରିବ । ପ୍ରଥମେ ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯସ୍ଥ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ସମାଧାନ କର । (ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥୁବା ସମାଧାନ ପରି)
- ଦ୍ଵିତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଉପଯୁକ୍ତ ଶୈଳୀରେ ବନ୍ଧନୀ ଅପସାରଣ କରି (ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା ସମାଧାନ ପରି) ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିପାରିବା ।
- ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା ଧ୍ରୁବକ ସଂଖ୍ୟାରେ ପରିଣତ ହେବାପରେ ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପିତ ହୋଇଥାଏ । ଉଦାହରଣ -1 ରେ ଚନ୍ଦନର ବୟସ 23 ବର୍ଷ ହୋଇଥିବା ସମୟରେ ସୋଫିଆର ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ନିମନ୍ତେ a + 3 ପରିପ୍ରକାଶରେ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା a ବଦଳରେ 23 ବ୍ୟବହାର କରିବା ପରେ ପରିପ୍ରକାଶ a + 3 ର ମୂଲ୍ୟ 26 ହେଲା ।
4.3 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଗୁଣନ ଚିହ୍ନର ଅପସାରଣ
Page No. (88 to 89)
Question 1.
ଅନୁକ୍ରମର 3ୟ ପଦଟି କେତେ ?
Solution:
ଏହି ଅନୁକ୍ରମରେ 3ୟ ପଦଟି = 4 × 3 = 12 ଅଟେ ।
Question 2.
ଅନୁକ୍ରମର 29 ତମ ପଦଟି କେତେ ?
Solution:
ଅନୁକ୍ରମର 29 ତମ ପଦଟି ଏହା 4 × 29 = 116 ଅଟେ ।
Question 3.
ଅନୁକ୍ରମର n ତମ ପଦ ନିଶ୍ଚୟ ପାଇଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି ଲେଖ ।
Solution:
ଯେହେତୁ ଏହି ଅନୁକ୍ରମର 4ର ଗୁଣିତକର କ୍ରମ ଅଟେ ।
ତେଣୁ ଏହାର n ତମ ପଦଟି = n ର 4 ଗୁଣ = 4 × n ଗୁଣ
ଏହାକୁ ସଂକ୍ଷେପରେ 4 × n କୁ ଗୁଣନ ଚିହ୍ନ ବାଦ୍ ଦେଇ 4n ଲେଖାଯାଏ । ପ୍ରଥମେ ଧ୍ରୁବକ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖୁ
ତା’ପରେ ଅକ୍ଷର ଲେଖାଯାଏ ।
Question 4.
7k ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଯେତେବେଳେ k = 4, 7k ର ମୂଲ୍ୟ ହେବ = 7 × 4 = 28 କିନ୍ତୁ 74 ହେବ ନାହିଁ ।
Question 5.
m = 2 ହେଲେ, 5m + 3 ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?
Solution:
ଯେହେତୁ 5m = 5 × m ତେଣୁ m = 2 ବେଳେ ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ହେବ
= 5 × 2 + 3 = 10 + 3 = 13
ଭୁଲ ଚିହ୍ନଟ କର ଓ ସଂଶୋଧନ କର :
Question 1.
ନିମ୍ନରେ କିଛି ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶର ସରଳୀକରଣ ନିମନ୍ତେ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା ପରିବର୍ତ୍ତେ ତାହାର ସାଂଖ୍ୟକ ମୂଲ୍ୟକୁ ନେଇ ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶିର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇଛି ।
a. ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉକ୍ତିକୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କର । ଭୁଲ ଅଛି କି ନାହିଁ ଚିହ୍ନଟ କର ।
b. ଯଦି ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ ଅଛି ବୋଲି ଭାବୁଛ, ତେବେ ତାହା କ’ଣ ପାଇଁ ଭୁଲ ହେଲା ବୁଝାଅ ।
c. ଭୁଲର ସଂଶୋଧନ କର ଏବଂ ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।
1. ଯଦି a = (-4) ତେବେ 10 – a = 6
2. ଯଦି d = 6 ତେବେ 3d = 36
3. ଯଦି s = 7 ତେବେ 3s – 2 = 15
4. ଯଦି r= 8 ତେବେ 2r + 1 = 29
5. ଯଦି j = 5 ତେବେ 2j = 10
6. ଯଦି m = 6 ତେବେ 3(m + 1) = 19
7. ଯଦି f = 3, g = 1 ତେବେ 2f – 2g = 2
8. ଯଦି t = 3, b = 3 ତେବେ 2t + b = 24
9. ଯଦି h = 5, n = 6 ତେବେ h – (3 – n) = 4
Solution:
1. ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି । ଯଦି a = ( – 4) ତେବେ 10 – a = 10 – (- 4) = 10 + 4 = 14
2. ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି । ଯଦି d = 6 ତେବେ 3d = 3× d = 3 × 6 = 18
3. ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି । ଯଦି s = 7 ତେବେ 3s – 2 = 3 × s – 2 = 3 × 7 – 2 = 21 – 2 = 19
4. ଉକ୍ତିଟିଭୁଲ୍ ଅଛି । ଯଦି r = 8 ତେବେ 2r + 1= 2 × r + 1 = 2 × 8 + 1 = 16 + 1 = 17
5. ଉକ୍ତିଟି ଠିକ୍ ଅଛି । ଯଦି j = 5 ତେବେ 2j = 2 × j = 2 × 5 = 10
6. ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି । ଯଦି m = -6 ତେବେ 3(m + 1) = 3 × (m + 1) = 3 × (6 + 1) = 3 × -5 = -15
7. ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି । ଯଦି f = 3, g = 1 ତେବେ 2f – 2g = 2 × f – 2 × g = 2 × 3 – 2 × 1 = 6 – 1 = 5
8. ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି । ଯଦି t = 3, b = 3 ତେବେ 2t + b = 2 × t + b = 2 × 3 + 3 = 6 + 3 = 9
9. ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି । ଯଦି h = 5, n = 6 ତେବେ h – (3 – n) = 5 – (3 – 6) = 5 (3) = 5 + 3 = 8
4.4 ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶର ସରଳୀକରଣ :
Page No. (89 to 96)
Question 1.
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ଜଣାଥିଲେ, ତା’ର ପରିସୀମା କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ?
Solution:
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ + ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ
ଯଦି ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥକୁ ଯଥାକ୍ରମେ l ଓ b ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଉ ଏବଂ p ପରସୀମାକୁ ସୂଚିତ କରେ ।
ତେବେ ଆମେ ପାଇବା p = l + b + l + b
= 2 × l + 2 × b (l + 1 = 2 × l ଏବଂ b + b = 2 × b)
ତେଣୁ p = 2l + 2b ⇒ p = 2(l + b)
ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା ବଦଳରେ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ନେଲେ ଉଭୟ ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ .ସମାନ ହେବ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ – ଯଦି l = 3 ଏବଂ b = 4 ହୁଏ,
ତେବେ l + b + l + b = 3 + 4 +3 + 4 = 14 ଏବଂ 2l + 2b = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14
∴ l + b + k + b ର ସରଳୀକୃତ ରୂପ ହେଉଛି 2l + 2b = 2 (l + b)
ଉଦାହରଣ – 5 :
Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସାରଣୀରେ ଗୋଟିଏ ଦୋକାନରେ ବିକ୍ରି ହୋଇଥିବା ପେନ୍ସିଲ୍ ଓ ରବର ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଯାଇଛି । ଗୋଟିଏ ପେନସିଲ୍ର ଦାମ୍ ‘c’ ଏବଂ ଗୋଟିଏ ରବର ଦାମ୍ ‘d’ । ଏହି ତିନି ଦିନରେ ଦୋକାନୀ କେତେ ଟଙ୍କା ରୋଜଗାର କରିବ ।
Solution:
| ପ୍ରଥମ ଦିନ | ଦ୍ଵିତୀୟ ଦିନ | ତୃତୀୟ ଦିନ | |
| ଗୋଟିଏ ପେନସିଲ୍ ଦାମ୍ ‘c’ | 5 | 3 | 10 |
| ଗୋଟିଏ ରବରର ଦାମ୍ ‘d’ | 4 | 6 | 1 |
Question 2.
ପ୍ରଥମେ ପେନ୍ସିଲ୍ ବିକ୍ରିକରି ଦୋକାନୀ କେତେ ଆୟ କଲେ ?
Solution:
ପ୍ରଥମ ଦିନ ପେନ୍ସିଲ୍ ବିକ୍ରି କରି ଦୋକାନୀ ପାଇଥିବା ଟଙ୍କା = 5c
ଦ୍ଵିତୀୟଦିନ ପେନ୍ସିଲ୍ ବିକ୍ରି କରି ଦୋକାନୀ ପାଇଥିବା ଟଙ୍କା = 3c
ତୃତୀୟ ଦିନ ପେନ୍ସିଲ୍ ବିକ୍ରି କରି ଦୋକାନୀ ପାଇଥିବା ଟଙ୍କା = 10c
ପେନ୍ସିଲ୍ ବିକ୍ରିଦ୍ଵାରା ହୋଇଥିବା ମୋଟ ଆୟ = 5c + 3c + 10c = (5 + 3 + 10) × c = 18 × c = 18c
Question 3.
ରବର ବିକ୍ରିକରି ଦୋକାନୀ କେତେ ଆୟ କଲେ ?
Solution:
ପ୍ରଥମ ଦିନ ରବର ବିକ୍ରି କରି ଦୋକାନୀ ପାଇଥବା ଟଙ୍କା = 4d
ଦ୍ଵିତୀୟ ଦିନ ରବର ବିକ୍ରି କରି ଦୋକାନୀ ପାଇଥିବା ଟଙ୍କା = 6d
ତୃତୀୟ ଦିନ ରବର ବିକ୍ରି କରି ଦୋକାନୀ ପାଇଥିବା ଟଙ୍କା = 1d
ରବର ବିକ୍ରିଦ୍ଵାରା ହୋଇଥିବା ମୋଟ ଆୟ = 4d + 6d + 1d = (4 + 6 + 1) × d = 11 × d = 11d
Question 4.
ଯଦି c = ₹ 50, ତେବେ ପେନ୍ସିଲ୍ ବିକ୍ରିରୁ କେତେ ଆୟ ହେବ ?
Solution:
ପେନ୍ସିଲ୍ ବିକ୍ରିରୁ ଆୟ ହେବ = 18c = 18 × 50 = 900 ଟଙ୍କା ।
Question 5.
ତିନିଦିନରେ ରବର ବିକ୍ରିକରି ଦୋକାନୀ ପାଇଥବା ମୋଟ ଟଙ୍କାକୁ ଏକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ । ତା’ପରେ ଏହି ପରିପ୍ରକାଶର ସରଳୀକରଣ କର ।
Solution:
ତିନିଦିନରେ ରବର ବିକ୍ରିକରି ଦୋକାନୀ ପାଇଥିବା ମୋଟ ଟଙ୍କା = 4d + 6d + d = 11d
ଏହି ତିନିଦିନରେ ପେନ୍ସିଲ୍ ଓ ରବର ବିକ୍ରିକରି ଆୟ କରିଥିବା ମୋଟ ଟଙ୍କାର ପରିମାଣ = 18c + 11d
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ :
ଉଦାହରଣ – 6 :
Question 1.
ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଇଲା ଭଳି ଏକ ବଡ଼ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରକୁ ଦୁଇଟି ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି । (ଛୋଟ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ଦୁଇଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 4 ଏକକ ଓ 3 ଏକକ ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକର ପ୍ରସ୍ଥ ‘v’ ଏକକ)
ଏଠାରେ ଛୋଟ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଯଥାକ୍ରମେ 4v ଏକକ ଓ 3v ଏକକ ।
Question 2.
ବଡ଼ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯିବ ?
Solution:
ବଡ଼ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଦୁଇଟି ଉପାୟରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ ।
(a) ଦୁଇଟି ପାର୍ଶ୍ଵର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଯଥାକ୍ରମେ v ଏବଂ (4 + 3) ଏକକ ଭାବେ ବ୍ୟବହାର କରି ।
(b) ଦୁଇଟି ଛୋଟ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳକୁ ସିଧାସଳଖ ଯୋଗକରି ପ୍ରଥମ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 7v ବର୍ଗ ଏକକ ଓ ଦ୍ଵିତୀୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (4v + 3v) ବର୍ଗ ଏକକ ହେବ ।
Question 3.
ଆମେ ଜାଣିଲୁ ଯେ 4 + 3v = 7v । ଏହା ବଡ଼ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶ । ପୂର୍ବପରି ଏକ ବଡ଼ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରକୁ ନିମ୍ନରେ ଦେଖାଯାଉଥିବା ପରି ଦୁଇଟି ଛୋଟ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି ।
AEFD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ପରିପ୍ରକାଶଟି ଲେଖ ।
Solution:
AEFD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଦୁଇଟି ଉପାୟରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ ।
(a) ସିଧାସଳଖ ଦୁଇ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ n ଏକକ ଏବଂ (12 – 4) ଏକକ ବ୍ୟବହାର କରି ।
(b) ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳରୁ EBCF ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳକୁ ବିୟୋଗ କରି । ପ୍ରଥମ ଉପାୟରେ AEFD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 8 × n ବର୍ଗ ଏକକ ପାଇବା ।
ଦ୍ଵିତୀୟ ଉପାୟରେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (12n – 4n) ବର୍ଗ ଏକକ ହେବ । ଏହି ଦୁଇଟି ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ସମାନ ଅଟେ ।
ଯେହେତୁ 12n – 4n = 8n ବର୍ଗ ଏକକ । ଏହା ହେଉଛି AEFD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଗାଣିତିକ ପରି ପ୍ରକାଶ ।
ସଦୃଶ ପଦ :
(5c, c, 10c) ଏବଂ {12n, (-4n)} ପଦଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ । ଏଗୁଡ଼ିକୁ ସଦୃଶ ପଦ କୁହାଯାଏ । {18c, 11d}ରେ ପଦଗୁଡ଼ିକ ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହି ଦୁଇଟି ପଦକୁ ଅସଦୃଶ ପଦ କହନ୍ତି । ସଦୃଶ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଏକତ୍ର କରି ଯୋଗକ୍ରିୟାଦ୍ଵାରା ସରଳୀକୃତ କରି ଗୋଟିଏ ପଦରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ।
ଉଦାହରଣ – 7 :
Question 1.
ଜଣେ ଦୋକାନୀ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପାଇଁ ଚେୟାର ଏବଂ ଟେବୁଲ ଭଡ଼ାରେ ଦିଅନ୍ତି ସେଗୁଡ଼ିକର ଦୈନିକ (ଏକ ଦିନର) ବ୍ୟବହାର ପାଇଁ ଭଡ଼ା ବାବଦରେ ପ୍ରତି ଚେୟାର ଓ ଟେବୁଲ ପାଇଁ ନିମ୍ନ ପରିମାଣର ଦେୟ ଅଗ୍ରୀମ ପ୍ରଦାନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ । ଯେତେବେଳେ ଗ୍ରାହକ ଆସବାବ ପତ୍ର (ଚେୟାର ଟେବୁଲ) ଫେରସ୍ତ ଦିଅନ୍ତି ଦୋକାନୀ ନିମ୍ନମତେ କିଛି ଟଙ୍କା ଫେରସ୍ତ ଦିଅନ୍ତି ।
Solution:
| ସାମଗ୍ରୀ | ଗୋଟାପ୍ରତି ଦୈନିକ ଭଡ଼ା ପରିମାଣ |
| ଚେୟାର | 40 ଟଙ୍କା |
| ଟେବୁଲ | 75 ଟଙ୍କା |
| ସାମଗ୍ରୀ | ସାମଗ୍ରୀ ପ୍ରତି ଫେରସ୍ତ ଟଙ୍କାର ପରିମାଣ |
| ଚେୟାର | 6 ଟଙ୍କା |
| ଟେବୁଲ | 10 ଟଙ୍କା |
Question 2.
ଯଦି x ସଂଖ୍ୟକ ଚେୟାର ଏବଂ y ସଂଖ୍ୟକ ଟେବୁଲ ଭଡ଼ାରେ ନିଆଯାଏ, ତେବେ ମୋଟ ଦେୟର ପରିମାଣକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ ।
Solution:
ମୋଟ ଦେୟର ପରିମାଣ = 40x + 75y
Question 3.
ନିଆଯାଇଥିବା x ସଂଖ୍ୟକ ଚେୟାର ଓ y ସଂଖ୍ୟକ ଟେବୁଲ ପାଇଁ ମୋଟ ଅଗ୍ରୀମ ଦେୟରାଶି ଏବଂ ଆସବାବ ପତ୍ର ଫେରାଇବା ପରେ ମୋଟ ଫେରସ୍ତ ରାଶି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଫେରେଇବାର ପରିମାଣ = 6x + 10y
Question 4.
ଟଙ୍କା ପରିମାଣ ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।
Solution:
ଅଗ୍ରୀମ ପ୍ରଦାନ କରାଯାଇଥିବା ମୋଟ ଟଙ୍କାର ପରିମାଣ = 40x + 75y
ଫେରସ୍ତ ପାଇଥିବା ମୋଟ ଟଙ୍କାର ପରିମାଣ = 6x + 10y
ତେଣୁ ମୋଟ ଦେୟର ପରିମାଣ (40x + 75y) – (6x + 10y)
Question 5.
ଆମେ ଏହି ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ସରଳ କରିପାରିବା କି ? ଯଦି ହଁ, କିପରି ? ଯଦି ନୁହେଁ, କାହିଁକି ନୁହେଁ ?
Solution:
ବନ୍ଧନୀ ଅପସାରଣ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ (40x + 75y) – (6x + 10y) = 40x + 75y – 6x – 10y
= 40x + 75y + (-6x) + (-10y) = 40x + (-6x) + 75y + (-10y) = 34x + 65y
(40x + 75y) – (6x + 10y) ର ସରଳୀକୃତ ପରିପ୍ରକାଶ ହେଉଛି 34x + 65y ଯାହାକି ମୋଟ ଦେୟ ଟଙ୍କାର ପରିମାଣକୁ ସୂଚୀତ କରୁଛି ।
Question 6.
ଆମେ ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ପରିପ୍ରକାଶ (40x + 75y) + (- 6x – 10y) ଭାବେ ଲେଖୁପାରିବା କି ?
Solution:
ନା, ଲେଖୁପାରିବା ନାହିଁ ।
ଉଦାହରଣ – 8 :
Question 1.
ମଧୁ ପ୍ରତିଯୋଗିତାର ତିନିରାଉଣ୍ଡରେ ଭାଗ ନେଇପାଇଥିବା ମାର୍କଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ 7p – 3q, 8p – 4q ଏବଂ 6p – 2q ।
Solution:
ଯେଉଁଠାରେ p ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟାଟି ଗୋଟିଏ ଠିକ୍ ଉତ୍ତର ପାଇଁ ମାର୍କ ସୂଚାଉଛି ଏବଂ ୟୁ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟାଟି ଗୋଟିଏ ସ୍କୁଲ୍ ଉତ୍ତର ପାଇଁ କାଟି ଦିଆଯାଉଥବା ମାର୍କକୁ ସୂଚାଉଛି ।
Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିପ୍ରକାଶ କେଉଁ ଅର୍ଥକୁ ବୁଝାଉଛି ? ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଠିକ୍ ଉତ୍ତର ପାଇଁ 4 ମାର୍କ (p = 4) ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୁଲ ଉତ୍ତର ପାଇଁ 1 ମାର୍କ (q = 1) କାଟି ଦିଆଯାଏ ତେବେ ମଧୁ ପ୍ରଥମ ରାଉଣ୍ଡରେ କେତେ ମାର୍କ ପାଇଛି ?
Solution:
ପ୍ରଥମ ରାଉଣ୍ଡରେ ମଧୁ ପାଇଥିବା ମୋଟ ମାର୍କ 7p – 3g = 7× 4 – 3 × 1
ଆମେ ଏହାକୁ 2ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ରୂପେ ଲେଖୁ ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା ।
7 × 4 – 3 × 1 = 7 × 4 + (-3) × 1 = 28 + (-3) = 25
Question 3.
ଦ୍ଵିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟ ରାଉଣ୍ଡରେ ମଧୁ ପାଇଥିବା ମୋଟ ମାର୍କ କେତେ ?
Solution:
ଦ୍ଵିତୀୟ ରାଉଣ୍ଡରେ ମଧୁ ପାଇଥିବା ମୋଟ ମାର୍କ 8p – 4q = 8 × 4 – 4 × 1
ଆମେ ଏହାକୁ 2ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ରୂପେ ଲେଖୁ ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା ।
8 × 4 – 4 × 1 = 8 × 4 + (4) × 1 = 32 + (-4) = 28
ତୃତୀୟ ରାଉଣ୍ଡରେ ମଧୁ ପାଇଥିବା ମୋଟ ମାର୍କ óp – 2q = 6 × 4 – 2 × 1
ଆମେ ଏହାକୁ 2ଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ରୂପେ ଲେଖୁ ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା ।
6 × 4 – 2 × 1 = 6 × 4 + (-2) × 1 = 24 + (2) = 22
Question 4.
ଯଦି ଭୁଲ ଉତ୍ତର ପାଇଁ କୌଣସି ମାର୍କ କଟି ନଥାନ୍ତା, ତେବେ କ’ଣ ହୋଇଥାନ୍ତା ? ସେହି ପରିସ୍ଥିତିରେ କ୍ଷୁର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେବ ?
Solution:
ଯଦି ଭୁଲ୍ ଉତ୍ତର ପାଇଁ କୌଣସି ମାର୍କ କଟି ନଥାନ୍ତା, ତେବେ ମଧୁ
ପ୍ରଥମ ରାଉଣ୍ଡରେ ପାଇବ = 7p – 3q = 7 × 4 – 3 × 0 = 28 – 0 = 28
ଦ୍ଵିତୀୟ ରାଉଣ୍ଡରେ ପାଇବ = 8p – 4q = 8 × 4 – 4 × 0 = 32 – 0 = 32 ତ
ୃତୀୟ ରାଉଣ୍ଡରେ ପାଇବ = 6p – 2q = 6 × 4 – 2 × 0 = 24 – 0 = 24
ଯଦି ଭୁଲ୍ ଉତ୍ତର ପାଇଁ କୌଣସି ମାର୍କ କଟି ନଥାନ୍ତା, ଦୂର ମୂଲ୍ୟ ) ହେବ ।
Question 5.
ପ୍ରଥମ ପରିସ୍ଥିତିରେ ତିନିରାଉଣ୍ଡର ପରିସମାପ୍ତି ପରେ ମଧୁ କେତେ ମାର୍କ ପାଇବ ?
Solution:
ତିନି ରାଉଣ୍ଡ ପରେ ମଧୁର ମୋଟ ମାର୍କ = (7p – 3q) + (8p – 4q) + (6p – 2q)
ଯେହେତୁ ପରିପ୍ରକାଶର ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଯେକୌଣସି କ୍ରମରେ ଯୋଗକରାଯାଇ ପାରିବ, ତେଣୁ ବନ୍ଧନୀର ଅପସାରଣ କରି ଲେଖୁବା = 7p + (-3q) + 8p + (-4q) + 6p + (-2q)
= 7p + 8p + 6p + (-3q) + (-4q) + (-2q)
(ପଦଗୁଡ଼ିକର କ୍ରମ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ଓ ସଦୃଶ ପଦମାନଙ୍କୁ ଦଳଭୁକ୍ତ କରି)
= (7 + 8 + 6)p + {-(3 + 4 + 2)}q = 21p + (-9q) = 21p – 9q
ଉଦାହରଣ – 9 :
Question 1.
4 (x + y) – y ପରିପ୍ରକାଶକୁ ସରଳ କର ।
Solution:
ବଣ୍ଟନ ନିୟମର ପ୍ରୟୋଗ କରି ଏହି ପରିପ୍ରକାଶର ସରଳୀକରଣ କର ।
4 (x + y) – y = 4x + 4y – y
= 4x + 4y + (-y)
= 4x + 3y
ଉଦାହରଣ – 10 :
Question 1.
ପରିପ୍ରକାଶ 5u ଏବଂ 5 + uର ମାନ ସମାନ କି ?
Solution:
ପରିପ୍ରକାଶ 5u ର ଅର୍ଥ u ଋ 5 ଗୁଣନକୁ ବୁଝାଏ ଏବଂ 5 + u ପରିପ୍ରକାଶର ଅର୍ଥ u ଠାରୁ 5 ଅଧିକ । ଦୁଇଟି ପରିପ୍ରକାଶରେ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଭିନ୍ନ ଥିବାରୁ u ର ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ମୂଲ୍ୟ ମିଳିବ ।
Question 2.
u ର ମୂଲ୍ୟକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଉଦାହରଣ ଦେଖୁ ଖାଲି କୋଠରି ପୂରଣ କର ।
5u ଏବଂ 5 + uର ମୂଲ୍ୟକୁ ତୁଳନା କର । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)
Solution:
ଏହି ଚିତ୍ରରେ ଥିବା ଖାଲିସ୍ଥାନକୁ ପୂରଣ କରିବା ପରେ uର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ 5u ଏବଂ 5 + uର ମୂଲ୍ୟ ସମାନ ହେବ ନାହିଁ ।
Question 3.
10y – 3 ଏବଂ 10 (y – 3) ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ସମାନ କି ?
Solution:
10 × y – 3 ପାଇଁ ସଂକ୍ଷେପରେ 10y – 3 ଲେଖାଯାଏ । ଏହାର ଅର୍ଥ y ର 10 ଗୁଣ ଠାରୁ 3 କମ୍ ।
10 × (y – 3) ପାଇଁ ସଂକ୍ଷେପରେ 10 (y – 3) ଲେଖାଯାଇଛି ।
ଏହାର ଅର୍ଥ y ଠାରୁ 3 କମ୍ ସଂଖ୍ୟାର 10 ଗୁଣ ।
Question 4.
y ର ବିଭିନ୍ନ ମୂଲ୍ୟ ନେଇ 10y – 3 ଏବଂ 10(y – 3) ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ସମାନ ନା ନାହିଁ ପରୀକ୍ଷା କର । (ପ୍ରଶ୍ନସହିତ ଉତ୍ତର)
Solution:
Question 5.
ଚିତ୍ରରେ ଥିବା ଖାଲି କୋଠରିଗୁଡ଼ିକ ପୂରଣ କରିବା ପରେ ତୁମେ ଏହି ଦୁଇଟି ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ସମାନ ହେଉଥିବାର ଦେଖୁଛ କି ?
Solution:
ଖାଲି କୋଠରିଗୁଡ଼ିକ ପୂରଣ କରିବା ପରେ ଆମେ ଦେଖୁଲେ ଯେ ଏହି ଦୁଇଟି ପରିପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ସମାନ ନୁହେଁ ।
ଉଦାହରଣ 11 :
Question 1.
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ଥବା
ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି କେତେ ହେବ ?
ଅଜ୍ଞାତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର
r ଓ s ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ ହୋଇଛି ।
Solution:
ଏଠାରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରିବ ।
(i) ଧାଡ଼ିରେ ଯୋଗ କଲେ = 4 × 3 + (r + s) + (r + s) + 4 × 3
(ii) ସଦୃଶ ପଦକୁ ଏକତ୍ରିତ କରି ଯୋଗ କଲେ = 8 × 3 + (r + r) + (s + s)
(iii) ଉପର ଅର୍ଷକୁ ଯୋଡ଼ି ଦ୍ଵିଗୁଣିତ କଲେ, 2 (4 × 3 + r + s)
ତିନୋଟି ପରିପ୍ରକାଶ ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ମନେହୁଏ ।
କିନ୍ତୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ସରଳ କଲେ ତା’ର ମାନ 2r + 2s + 24 ହେବ ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ :
Question 1.
ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗକର । ସେମାନଙ୍କର ଅନୁରୂପ ପରିପ୍ରକଶଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ ଏବଂ ସରଳ କର । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ସୂଚାଅ ଏବଂ ଦେଖ । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମାନ ମୂଲ୍ୟ ମିଳିବ ।
Solution:
(a) ଧାଡ଼ି ହିସାବରେ ଯୋଗ କଲେ = (5y – 6 + x) + (x + 2 + 5y) = 2x + 10y – 4
ସ୍ତମ୍ଭ ହିସାବରେ ଯୋଗ କଲେ = (5y + x) + (- 6 + 2) + (x + 5y) = 2× + 10y – 4
ଏକାଠି ଯୋଡ଼ିଲେ = (2 × x) + (2 × 5y) + (2 – 6) = 2x + 10y – 4
(b) ଧାଡ଼ି ହିସାବରେ ଯୋଗ କଲେ = (2p + 3q – 2 + 3) + (3q + 2p + 3 – 2) + (2p + 3q) + (3q + 2p) = 8p + 12q + 2
ସ୍ତମ୍ଭ ହିସାବରେ ଯୋଗ କଲେ = (2p + 3q) + (3q + 2p) + (- 2 + 3 + 2p + 3q) + (3 – 2 + 3q + 2p) = 8p + 12q + 2
ଏକାଠି ଯୋଡ଼ିଲେ = (4 × 2p) + (4 × 3q) + [2 × (-2)] + (2 × 3) = 8p + 12q + 2
(c) ଧାଡ଼ି ହିସାବରେ ଯୋଗ କଲେ = (- 5g + 5k + 5k – 5g) + (5k + 5k + 5k + 5k) + (5k + 5k + 5k + 5k) + (- 5g + 5k + 5k – 5g) = 60k – 20g
ସ୍ତମ୍ଭ ହିସାବରେ ଯୋଗ କଲେ = (- 5g + 5k + 5k – 5g) + (5k + 5k + 5k + 5k) ] + (5k+ 5k + 5k + 5k) + (- 5g + 5k + 5k – 5g) = 60k – 20g
ଏକାଠି ଯୋଡ଼ିଲେ = (12 × 5k) + 4 × (-5g)] = 60k – 20g
Question 2.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ସରଳ କର ।
(a) p + p + p + p
(b) p – q + p – q
(c) p + q – (p + q)
(d) 2d – d – d – d
(e) 2d – d – (d – c)
(f) 2d – d – c – c
(g) p + p + p + q
(h) p + q + p – q
(i) p + q – p + q
(j) p – q – p – q
(k) 2d – d – d – c
(l) 2d – (d – d) – c
Solution:
(a) p + p + p + p = 4p
(b) p – q + p – q = p + p – q – q = (p + p) – (q + q) = 2p – 2q
(c) p + q – (p + q) = p + q – p – q = p – p + q – q = 0
(d) 2d – d – d – d = 2d – 3d = -d
(e) 2d – d – (d – c) = 2d – d – d + c = 2d – 2d + c = c
(f) 2d – d – c – c (2d – d) – (c + c) = d – 2c
(g) p + p + p + q = 3p + q
(h) P + q + p – q = p + p + q – q = 2p
(i) p + q – p + q = p – p + q + q = 2q
(j) p – q – p – q = p – p – q – q = -2q
(k) 2d – d – d – c = d – d – c = – c
(l) 2d – (d – d) – c = 2d – d + d – c = 2d – c
4.5 ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖ ଓ ଗାଣିତିକ ସମ୍ପର୍କକୁ ପ୍ରକାଶ କର :
ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ନେଇ ସଂରଚନାର ବର୍ଣ୍ଣନା :
Page No. (97 to 108)
Question 1.
ଏହି ସଂଖ୍ୟା କଳର ସୂତ୍ର ଖୋଜ ।
Solution:
ଉପରିସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା କଳର ସୂତ୍ର ହେଉଛି, ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଗୁଣରୁ ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାର ଅନ୍ତରଫଳ ।
ଯଦି ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର ‘a’ ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର ‘b’ ଦ୍ଵାରା ସୂଚୀତ କରାଯାଏ ।
ତେବେ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି = 2a – b ହେବ ।
ପରିପ୍ରକାଶ – 1 ପାଇଁ ଫଳାଫଳ = 2 × 5 – 2 = 8 ହେବ ।
ପରିପ୍ରକାଶ-2 ପାଇଁ ଫଳାଫଳ = 2 × 8 – 1 = 15 ହେବ ।
ପରିପ୍ରକାଶ -3 ପାଇଁ ଫଳାଫଳ = 2 × 9 – 11 = 7 ହେବ ।
ପରିପ୍ରକାଶ-4 ପାଇଁ ଫଳାଫଳ = 2 × 10 – 10 = 10 ହେବ ।
ପରିପ୍ରକାଶ-5 ପାଇଁ ଫଳାଫଳ = 2 × 6 – 4 = 8 ହେବ ।
ପ୍ରତ୍ୟେକ କଳପାଇଁ ଏହା ଏକ ସୂତ୍ରଭଳି ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହେବ କି ପରୀକ୍ଷା କର ।
Question 2.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟା କଳଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସୂତ୍ର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ ।
Solution:
ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ନିଜେ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ ।
ଭୁଲ ଚିହ୍ନଟକରି ଓ ସଂଶୋଧନ କର :
| ପରିପ୍ରକାଶ | ସରଳୀକୃତ ରୂପ | ଠିକ୍ ସରଳୀକୃତ ରୂପ |
| 1. 3a + 2b 2. 3b – 2b – b 3. 6(p + 2) 4. (4x + 3y) – (3x + 4y) 5. 5 – (2 – 6z) 6. 2 + (x + 3) 7. 2y + (3y – 6) 8. 7p – p + 5q – 2q 9. 5 (2w + 3x + 4w) 10. 3j + 6k + 9h + 12 11. 4 (2r + 3s + 5) |
5 0 6p + 8 x + y 3 – 6z 2x – 6 – y + 6 7p + 3q 10w + 15x + 20w 3(j + 2k + 3h + 4) – 20 – 8r – 12s |
3a + 2b ଠିକ୍ 6p + 12 x – y 3 + 6z x + 5 5y – 6 6p + 3q ଠିକ୍ ଠିକ୍ 8r + 12s + 20 |
ଉଦାହରଣ – 12 :
Question 1.
ସ୍ମିତା ଶାଢ଼ୀ ଧଡ଼ିରେ ଏକ ସଂରଚନାର ପୁନରାବୃତ୍ତି ଦେଖୁଲା ।
ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଡିଜାଇନ୍ ପୁଣିଥରେ କେଉଁସ୍ଥାନରେ ରହିବ, ନିରୂପଣ ପାଇଁ ଏକ ଉପାୟ ଥାଆନ୍ତା ।
Solution:
ଯେପରିକି
(i) A ଡିଜାଇନ୍ ଚତୁର୍ଥ ସ୍ଥାନରେ ରହିବ ।
(ii) B ଡିଜାଇନ୍ ପଞ୍ଚମ ସ୍ଥାନରେ ରହିବ ।
(iii) C ଡିଜାଇନ୍ ଖ୍ରୀଷ୍ଠ ସ୍ଥାନରେ ରହିବ ।
ଅସ ଡିଜାଇନ୍ ‘C’ରୁ ଆରମ୍ଭ କରିବା ଏହା ଆରମ୍ଭରୁ ତୃତୀୟ ସ୍ଥାନରେ ଅଛି ।
ଦ୍ଵିତୀୟଥର ଷଷ୍ଠ ସ୍ଥାନରେ ରହିଛି ।
Question 2.
n ତମ ଅବସ୍ଥିତି ପାଇଁ ଡିଜାଇନ୍ C କେଉଁ ସ୍ଥାନରେ ଦେଖାଯିବ ?
Solution:
ଡିଜାଇନ୍ C, n ଥର ପାଇଁ 3n ତମ ସ୍ଥାନରେ ଦେଖାଯିବ ।
Question 3.
ଡିଜାଇନ୍ A ଓ B , ñ ଥର ପାଇଁ କେଉଁ ସ୍ଥାନରେ ଆସିବେ ?
Solution:
ଡିଜାଇନ୍ B ର n ତମ ସ୍ଥାନ ଡିଜାଇନ୍ C ର n ତମ ସ୍ଥାନଠାରୁ 1 କମ୍ ହେବ ।
ତେଣୁ ଡିଜାଇନ୍ B ର ସ୍ଥିତି 3n – 1 ତମ ସ୍ଥାନ ହେବ ।
ସେହିପରି ଡିଜାଇନ୍ A, n ଥର ପାଇଁ ଦୃଶ୍ୟ ହେଉଥିବା ସ୍ଥାନଟି 3n – 2 ତମ ସ୍ଥାନ ହେବ ।
Question 4.
122 ତମ ସ୍ଥାନରେ କେଉଁ ଡିଜାଇନ୍ ଦୃଶ୍ୟମାନ ହେବ ?
Solution:
ଡିଜାଇନ୍ C, 3 ର ଗୁଣିତକ ସ୍ଥାନରେ ରହିବ ।
ତେଣୁ 3 ର ଗୁଣିତକ ତମ ସ୍ଥାନରୁ ଏକ କମ୍ ତମ ସ୍ଥାନରେ ଡିଜାଇନ୍ B ଆସିବ ଓ 3 ର ଗୁଣିତକ ତମ ସ୍ଥାନଠାରୁ 2 କମ୍ ତମ ସ୍ଥାନରେ ଡିଜାଇନ୍ A ଦୃଶ୍ୟମାନ ହେବ ।
Question 5.
ସ୍ଥାନର ଅବସ୍ଥିତିକୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଭାଗଶେଷ ରହୁଛି କି ? ତଳ ସାରଣୀକୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କର ।
Solution:
| ସ୍ଥାନର ଅବସ୍ଥିତି | 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜନରେ ଭାଗଫଳ | ଭାଗଶେଷ |
| 99 | 33 | 0 |
| 122 | 40 | 2 |
| 148 | 49 | 1 |
ଏହାକୁ ଦେଖୁ 99, 122 ଏବଂ 148 ତମ ସ୍ଥାନରେ କେଉଁ ଡିଜାଇନ୍ ଆସିବ ଲେଖ ।
Solution:
99 ତମ ସ୍ଥାନରେ ଡିଜାଇନ୍ C, 122 ତମ ସ୍ଥାନରେ ଡିଜାଇନ୍ B ଓ 148 ତମ ସ୍ଥାନରେ ଡିଜାଇନ୍ A ଆସିବ ।
କ୍ୟାଲେଣ୍ଡରରେ ସଂରଚନା :
Question 1.
ଏକ 2 × 2 ଗ୍ରୀଡ୍ର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵର ଉପର ସଂଖ୍ୟାଟି ଜଣାଥିଲେ ଆମେ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପାଇବା କିପରି ?
Solution:
ପ୍ରଥମେ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଗାଣିତିକ ଉକ୍ତିରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା ।
– a ର ଡାହାଣରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଟି ଏହାଠାରୁ 1 ଅଧିକ ହେବ ।
– a ର ତଳେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା a ଠାରୁ 7 ଅଧିକ ହେବ ।
– 2 × 2 ଗ୍ରୀଡ୍ର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ବ ତଳ ସଂଖ୍ୟାଟି a ଠାରୁ 8 ଅଧିକ ହେବ ।
ତେଣୁ 2 × 2 ବର୍ଗାକାର ଗ୍ରୀକ୍ଟର ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଗ୍ରୀଡ଼ରେ ଦର୍ଶାଇଲା ପରି ଲେଖାଯାଇପାରିବ । ଚାଲ ଉଭୟ କର୍ଷ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ାର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।
a + (a + 8) ଏବଂ (a + 1) + (a + 7)
| a | ? |
| ? | ? |
ଯେହେତୁ ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଯେକୌଣସି କ୍ରମରେ ଯୋଗ କରାଯାଇପାରିବ ଏବଂ ବନ୍ଧନୀ ଅପସାରଣ କରାଯାଇପାରିବ ।
a + (a + 8) = a + a + 8 = 2a + 8
(a + 1) + (a + 7) = a + a + 1 + 7 = 2a + 8
| a | a + 1 |
| a + 7 | a + 8 |
ଆମେ ଦେଖୁଲୁ ଯେ ଉଭୟ କଣ୍ଠରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ାର ଯୋଗଫଳ ସମାନ (2a + 8) ହେଲା (a ର ଦୁଇଗୁଣରୁ 8 ଅଧ୍ବକ)
Question 2.
ଯେକୌଣସି 2 × 2 ବର୍ଗାକାର ଗ୍ରୀଡ଼ର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ଉପର ସଂଖ୍ୟାକୁ a ଧରି ନେଇ ଉଭୟ କର୍ଷ ସ୍ଥାନରେ ଥୁବା ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ାର ଯୋଗଫଳ ପାଇଁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପରିପ୍ରକାଶର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।
Solution:
ଆମେ ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଉପନୀତ ହେଲୁ ଯେ ଅସୀମ କ୍ୟାଲେଣ୍ଡରରେ a ର ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟପାଇଁ 2 × 2 ଗ୍ରୀକ୍ଟରେ ଉଭୟ କଣ୍ଠରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ସମାନ ହେବ ।
ଅସୀମ ଧାଡ଼ିଥିବା କ୍ୟାଲେଣ୍ଡରରେ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାଶରେ ସଜ୍ଜିତ ସଂଖ୍ୟାର
ଏକ ସେଟ୍ ଉପରେ ଆଲୋଚନା କରିବା ।
Question 3.
ଗ୍ରୀଢ଼ରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର । କେନ୍ଦ୍ରରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା 15 ତୁଳନା କର । ଏହିପରି ଆକୃତିରେ ସଜ୍ଜିତ ହୋଇଥିବା ଆଉ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ନେଇ ପରୀକ୍ଷା କର । ତୁମେ କ’ଣ ପାଇଲ /
Solution:
ଆମେ ଦେଖୁଲୁ ଯେ, ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟାର 5 ଗୁଣ ହୋଇଛି ।
Question 4.
ଏହା ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ହେବକି ? ଏହାକୁ କିପରି ଦର୍ଶାଇ ପାରିବ ?
Solution:
ହଁ, ଏହା ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ । ମନେକର କେନ୍ଦ୍ରରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ ‘a’ ନିଆଯାଉ । ‘a’ ଉପରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା a – 7, ‘a’ ତଳେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା a + 7, ‘a’ର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା a – 1 ଏବଂ ‘a’ର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା a + 1 ।
+ ଆକୃତିର 5ଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = (a – 7) + (a + 1) + a + (a – 1) + a + 7
= a – 7 + a – 1 + a + a + 1 + a + 7
= (a + a + a + a +a) + (- 7 + 7) + (- 1 + 1) = 5a + 0 + 0 = 5a
ଏଠାରେ ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା 5a, ଅର୍ଥାତ୍ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟାର 5 ଗୁଣ ।
ଦିଆସିଲି କାଠିର ସଂରଚନା :
Question 1.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଚିତ୍ରଟିକୁ ଦେଖ । ଦିଆସିଲି କାଠି ବ୍ୟବହାର କରି ଏହି ସଂରଚନା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇଛଇ । ତୁମେ ଏହାର ସଂରଚନାର ନିୟମ ଜାଣିପାରିବ କି ?
Solution:
ପ୍ରଥମ ଚିତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ, ଦ୍ଵିତୀୟ ଚିତ୍ରରେ 2ଟି, ତୃତୀୟ ଚିତ୍ରରେ 3ଟି ଓ ଚତୁର୍ଥ ଚିତ୍ରରେ 4ଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଅଛି ଏବଂ ସଂରଚନାଟି ଏହିପରି କ୍ରମରେ ଆଗେଇଯିବ ।
Question 2.
ପଞ୍ଚମ ଚିତ୍ର ପାଇଁ କେତୋଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ?
Solution:
ପଞ୍ଚମ ଚିତ୍ର ପାଇଁ 11ଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ।
ପ୍ରଥମ ଚିତ୍ରରେ 3 ଟି କାଠି ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇଛି । ତା’ପରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରର ପରବର୍ତ୍ତୀ ଚିତ୍ର ଅଧୂକ 2ଟି ଦିଆସିଲି କାଠିଦ୍ୱାରା ଗଠିତ । ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରତିଥର ଦିଆସିଲି କାଠି ସଂଖ୍ୟା 2 ଲେଖାଏଁ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି ।
| ଚିତ୍ର ନମ୍ବର | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ଦିଆସିଲି କାଠି ସଂଖ୍ୟା | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
ପ୍ରଥମ ଚିତ୍ରରେ ଥିବା 3 ଟି କାଠି ସହ କେତୋଟି ଯୋଗ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ । ନିମ୍ନ ସାରଣୀଟିକୁ ଦେଖ ଓ ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
| ଚିତ୍ର ନମ୍ବର | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ଦିଆସିଲି କାଠି ସଂଖ୍ୟା | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
| 3 + 2 | 3 + 2 + 2 | 3 + 2 + 2 + 2 | 3 + 2 + 2 + 2 + 2 |
ଚିତ୍ର ନମ୍ବର 10 ପାଇଁ 2n + 1 = 2.10 + 1 = 21ଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ।
ଚିତ୍ର ନମ୍ବର 11 ପାଇଁ 2n + 1 = 2.11 + 1 = 23ଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ।
ଏହି ଚିତ୍ର ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ କାଠି ସଂଖ୍ୟା 2n + 1
Question 3.
33 ତମ, 84 ତମ, 108 ତମ ଚିତ୍ର ପାଇଁ କେତୋଟି କାଠି ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ?
Solution:
33 ତମ ଚିତ୍ର ପାଇଁ 2n + 1 = 2.33 + 1 = 67 ଟି କାଠି ।
84 ତମ ଚିତ୍ର ପାଇଁ 2n + 1 = 2.84 + 1 = 169 ଟି କାଠି ।
108 ତମ ଚିତ୍ର ପାଇଁ 2n + 1 = 2.108 +1 = 217 ଟି କାଠି ।
Question 4.
y ନମ୍ବର ଚିତ୍ର ପାଇଁ ପରିପ୍ରକାଶଟି କ’ଣ ହେବ ?
Solution:
ତେଣୁ ପରିପ୍ରକାଶଟି 2y + 1 ହେବ ।
∴ ଯେକୌଣସି ନମ୍ବର ଚିତ୍ର ପାଇଁ କେତୋଟି କାଠି ଦରକାର ହେବ ଖୁବ୍ ଶୀଘ୍ର ସହଜରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା ।
• ସାରଣୀଟିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟକଲେ ଦେଖିପାରିବ ପ୍ରଥମ ଚିତ୍ରରେ 2 ଠାରୁ 1 ଟି ଅଧ୍ବକ କାଠି ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଛି । ଯେହେତୁ 2n + 1 = 3
ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ ପରିପ୍ରକାଶଟି ଲେଖିପାରିବା 2n + 1
• ଅନ୍ୟ ଉପାୟରେ ମଧ୍ଯ ଦିଆସିଲି କାଠି ସଂଖ୍ୟା ଜାଣି ହେବ । ଦିଆସିଲି କାଠିଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥିତି ଦୁଇ ପ୍ରକାରର ।
(i) ଉପର ଓ ତଳେ ଭୂସମାନ୍ତର ଭାବରେ
(ii) ମଧ୍ୟ ଭାଗରେ କୌଣିକ ଦିଗରେ
• ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ ଦ୍ଵିତୀୟ ଚିତ୍ରରେ 2 ଟି କାଠି ଭୂସମାନ୍ତର ଭାବରେ ଏବଂ 3 ଟି କାଠି କୌଣିକ ଦିଗରେ ରହିଛି ।
Question 5.
ତୃତୀୟ ଓ ଚତୁର୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ଏହିଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା କେତେ ?
Solution:
ତୃତୀୟ ଚିତ୍ରରେ 3ଟି କାଠି ଭୂସମାନ୍ତର ଭାବରେ ଏବଂ 4ଟି କାଠି କୌଣିକ ଦିଗରେ ରହିଛି ।
ଚତୁର୍ଥ ଚିତ୍ରରେ 4ଟି କାଠି ଭୂସମାନ୍ତର ଭାବରେ ଏବଂ 5ଟି କାଠି କୌଣିକ ଦିଗରେ ରହିଛି ।
Question 6.
ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଚିତ୍ରର ତ୍ରିଭୁଜ ସଂଖ୍ୟାବୃଦ୍ଧି ସହିତ ଦିଆସିଲି କାଠି ସଂଖ୍ୟାର କିପରି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଉଛି ? y ନମ୍ବର ଚିତ୍ରରେ ଦିଆସିଲି କାଠି ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ । ଏହି ଦୁଇଟି ପରିପ୍ରକାଶ 2y + 1 ହେଉଛି କି ?
Solution:
ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଚିତ୍ରର ତ୍ରିଭୁଜ ସଂଖ୍ୟା ବୃଦ୍ଧି ସହିତ ଦିଆସିଲି କାଠି ସଂଖ୍ୟାର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଉଛି ।
y ନମ୍ବର ଚିତ୍ରରେ ଦିଆସିଲି କାଠିସଂଖ୍ୟା = y + (y + 1) = 2y + 1 ଦିଆସିଲି କାଠି ।
∴ ଏହି ଦୁଇଟି ପରିପ୍ରକାଶ 2y + 1 ହେଉଛି ।
ନିଜେ କରି ଦେଖ ।
ନିମ୍ନଲିଖତ ସମସ୍ୟାର ଉପଯୁକ୍ତ ପରିପ୍ରକାଶ ନିମନ୍ତେ ପ୍ରଥମେ ବର୍ତ୍ତିତ ପରିସ୍ଥିତିରେ ବିଭିନ୍ନ ପରିମାଣର ସମ୍ପର୍କକୁ ସମ୍ପର୍କିତ କର । ଆବଶ୍ୟକସ୍ଥଳେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିମାନଙ୍କ ପାଇଁ କିଛି ମୂଲ୍ୟ ଅନୁମାନ କରି ସମ୍ପର୍କ ଖୋଜିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର ।
Question 1.
ଗୋଟିଏ ରୁଟି ପ୍ଲେଟ୍ର ମୂଲ୍ୟ 30 ଟଙ୍କା ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଭାତ ପ୍ଲେଟ୍ର ମୂଲ୍ୟ 20 ଟଙ୍କା ଓ ଗୋଟିଏ ଦିନ x ପ୍ଲେଟ୍ ରୁଟି ଓ y ପ୍ଲେଟ୍ ଭାତ ବରାଦ ଦେଇଥିଲେ । ସେ ଦିନର ସମୁଦାୟ ଆୟ ଟଙ୍କାର ପରିପ୍ରକାଶଟି କ’ଣ ?
(a) 30x + 20y
(b) (30 + 20) × (x + y)
(c) 20x + 30y
(d) (30 + 20) × x + y
(e) 30x – 20y
Solution:
ଗୋଟିଏ ରୁଟି ପ୍ଲେଟ୍ର ମୂଲ୍ୟ = 30 ଟଙ୍କା । x ପ୍ଲେଟ୍ ରୁଟିର ମୂଲ୍ୟ = 30x ଟଙ୍କା ।
ଗୋଟିଏ ଭାତ ପ୍ଲେଟ୍ର ମୂଲ୍ୟ = 20 ଟଙ୍କା । y ପ୍ଲେଟ୍ ଭାତର ମୂଲ୍ୟ = 20y ଟଙ୍କା ।
∴ ସମୁଦାୟ ବରାଦ ଦେଇଥିଲେ = (30x + 20y) ଟଙ୍କା ।
∴ (a) ର ଉତ୍ତରଟି ଠିକ୍ ।
Question 2.
ପୁଷିତା ସ୍ଵାଧୀନତା ଦିବସରେ ଦୁଇ ପ୍ରକାରର ଫୁଲ (ଚମ୍ପା ଓ ଗେଣ୍ଡୁ) ବିକ୍ରି କରିଥିଲା । p ଜଣ ଗ୍ରାହକ କେବଳ ଚମ୍ପା ଫୁଲ, q ଜଣ ଗ୍ରାହକ କେବଳ ଗେଣ୍ଡୁ ଫୁଲ ଓ r ଜଣ ଗ୍ରାହକ ଉଭ ଚମ୍ପା ଓ ଗେଣ୍ଡୁ ଫୁଲ କିଣିଛନ୍ତି । ଠିକ୍ ସେହିଦିନ ସେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗ୍ରାହକକୁ ଏକ ଛୋଟ ଜାତୀୟ ପତାକା ଉପହାର ଦେଇଛନ୍ତି । ସେଦିନ ସେ କେତୋଟି ଜାତୀୟ ପତାକା ଉପହାର ଦେଇଥୁବାର ପରିପ୍ରକାଶଟି କ’ଣ ହେବ ?
(a) p + q + r
(b) p + q + 2r
(c) 2 × (p + g + r)
(d) p + g + r + 2
(e) p + q + r + 1
(f) 2 (p + q)
Solution:
p ଜଣ ଗ୍ରାହକ କେବଳ ଚମ୍ପା ଫୁଲ କିଣିଛନ୍ତି । q ଜଣ ଗ୍ରାହକ କେବଳ ଗେଣ୍ଡୁ ଫୁଲ କିଣିଛନ୍ତି ।
r ଜଣ ଗ୍ରାହକ ଉଭୟ ଚମ୍ପା ଓ ଗେଣ୍ଡୁ ଫୁଲ କିଣିଛନ୍ତି ।
ପୁଷ୍ପିତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗ୍ରାହକକୁ ଏକ ଛୋଟ ଜାତୀୟ ପତାକା ଉପହାର ଦେଇଛନ୍ତି ।
ଗ୍ରାହକଙ୍କୁ ଦେଇଥିବା ଜାତୀୟ ପତାକା ସଂଖ୍ୟା = p + g + r
∴ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ହେଉଛି (a) p + q + r
Question 3.
ଏକ ଗଭୀର କୂଅର କାନ୍ଥରେ ଗୋଟିଏ ଗେଣ୍ଡା ଚଢ଼ିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଛି । ଦିନରେ ଏହା ‘u’ ସେ.ମି. ଉପରକୁ ଯାଏ ରାତିରେ ଏହା ଧରେଧରେ ‘d’ ସେ.ମି. ତଳକୁ ଖସିଯାଏ । ଏପରି 10 ଦିନ ଓ 10 ରାତି ଧରି ଚାଲିଥିଲା ।
(a) ଗେଣ୍ଡାଟି ତା’ର ଆରମ୍ଭ ସ୍ଥାନଠାରୁ କେତେ ଦୂରରେ ଅଛି ବର୍ଣ୍ଣନା କରି ପରିପ୍ରକାଶଟିଏ ଲେଖ ।
(b) ଯଦି d > u ତେବେ ଗେଣ୍ଡାର ଗତିବିଧ୍ବ ବିଷୟରେ କ’ଣ କହିପାରିବା ?
Solution:
(a) ଗେଣ୍ଡାଟି ଦିନରେ ‘u’ ସେ.ମି. ଉପରକୁ ଯାଏ । ରାତିରେ ଏହା ‘d’ ସେ.ମି. ତଳକୁ ଖସେ । ଗୋଟିଏ ଦିନ ଓ ରାତିରେ ଗେଣ୍ଡାଟି ଯିବ = (u – d) ସେ.ମି. ।
10 ଦିନ ଓ 10 ରାତିରେ ଗେଣ୍ଡାଟି ଯିବ = 10 × (u – d) ସେ.ମି. ।
∴ ଏହାର ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେଉଛି = 10 × (u – d) ସେ.ମି. ।
(b) ଯଦି d > u
ଗେଣ୍ଡାଟି ଯେତିକି ଉପରକୁ ଯିବ ତା’ଠାରୁ ଅଧିକ ତଳକୁ ଖସିବ । ତେଣୁ u – d < 0 ଅର୍ଥାତ୍ ଗେଣ୍ଡାଟି ତା’ ପୂର୍ବସ୍ଥାନରୁ ଉପରକୁ ଉଠିପାରିବ ନାହିଁ ।
Question 4.
ଏକ ସାଇକେଲ ରେସ୍ରେ ସାଇକେଲ ଚଳାଇବା ପାଇଁ ରାଧା ପ୍ରତିଦିନ ଅଭ୍ୟାସ କରି ପ୍ରସ୍ତୁତ ହେଉଛି । ପ୍ରଥମ ସପ୍ତାହରେ ସେ ପ୍ରତିଦିନ 5 କି.ମି. ସାଇକେଲ ଚଳାଇଛି । ସେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସପ୍ତାହରେ ସାଇକେଲ ଚଳାଇବାର ପ୍ରତିଦିନ ଦୂରତ୍ନକୁ z କି.ମି. ହାରରେ ବୃଦ୍ଧି କରିଛି । ତିନି ସପ୍ତାହ ପରେ ସେ କେତେ କି.ମି. ସାଇକେଲ ଚଳାଇଥବ ?
Solution:
ରାଧା ପ୍ରତିଦିନ 5 କି.ମି. ସାଇକେଲ ଚଳାଉଛି ।
ସେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସପ୍ତାହରେ ସାଇକେଲ ଚଳାଇବାର ପ୍ରତିଦିନ ଦୂରତ୍ଵକୁ z କି.ମି. ହାରରେ ବୃଦ୍ଧି କରିଛି ।
ପ୍ରଥମ ସପ୍ତାହରେ ପ୍ରତିଦିନ ସାଇକେଲ ଚଳାଇବ = 5 କି.ମି. ।
ଦ୍ଵିତୀୟ ସପ୍ତାହରେ ପ୍ରତିଦିନ ସାଇକେଲ ଚଳାଇବ = 5 + z କି.ମି. ।
ତୃତୀୟ ସପ୍ତାହରେ ପ୍ରତିଦିନ ସାଇକେଲ ଚଳାଇବ = 5 + z + z = 5 + 2z କି.ମି. ।
1 ସପ୍ତାହ = 7 ଦିନ । ତିନି ସପ୍ତାହ ପରେ ସେ ସାଇକେଲ ଚଳାଇବ = 7(5) + 7(5 + z) + 7(5 + 2z)
= 35 + 35 + 7z + 35 + 14z 105 + 21z
∴ ତିନି ସପ୍ତାହ ପରେ ସେ 105 + 21z କି.ମି. ସାଇକେଲ ଚଳାଇଥବ ।
Question 5.
ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରେ w + 2 ପରିପ୍ରକାଶଟି ଗୋଟିଏ ପଥରେ / ଧାଡ଼ିରେ 4w + 20 ହୋଇଛି ଦେଖ ଅବଶିଷ୍ଟ ପଥର ଶୂନ୍ୟଥବା କୋଠରିଗୁଡ଼ିକ ପୂରଣ କର । ଅଣ୍ଡାଭଳି କୋଠରି ପରିପ୍ରକାଶକୁ ଓ ବର୍ଗୀକୃତି କୋଠରି ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ସୂଚାଉଛି । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)
Solution:
Question 6.
ଭୁବନେଶ୍ୱରରୁ ପୁରୀ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ରାସ୍ତାରେ ସମାନ ଦୂରତାରେ ତିନୋଟି ଷ୍ଟେସନରେ ଅଟକିଯାଏ । ଏକ ଷ୍ଟେସନରୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଷ୍ଟେସନକୁ ଯିବା ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ‘t’ ସମୟ ଲାଗୁଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଷ୍ଟେସନରେ ଟ୍ରେନ୍ 2 ମିନିଟ୍ ଅଟକିଥାଏ ।
(a) ଯଦି t = 4 ମିନିଟ୍ ହୁଏ । ଭୁବନେଶ୍ଵରରୁ ପୁରୀ ଯାତ୍ରା କରିବାର ସମୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(b) ଭୁବନେଶ୍ୱରରୁ ପୁରୀ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯାତ୍ରା ସମୟକୁ ଏକ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ ଲେଖ ? (ସୂଚନା : ପରିସ୍ଥିତିକୁ କଳ୍ପନା କରିବାକୁ ଏକ ରଫ୍ ଚିତ୍ର ପ୍ରସ୍ତୁତ କର)
Solution:
(a) ଭୁବନେଶ୍ୱରରୁ ପୁରୀ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ଟ୍ରେନ୍ ରାସ୍ତାରେ ସମାନ ଦୂରତାରେ ତିନୋଟି ଷ୍ଟେସନରେ ଅଟକିଯାଏ । ଏକ ଷ୍ଟେସନରୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଷ୍ଟେସନକୁ ଯିବା ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ‘t’ ସମୟ ଲାଗୁଛି ।
ଭୁବନେଶ୍ୱରରୁ ପୁରୀ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମୟ = 4t
ପ୍ରତ୍ୟେକ ଷ୍ଟେସନରେ ଟ୍ରେନ୍ 2 ମିନିଟ୍ ଅଟକିଯାଏ ।
ସମୁଦାୟ ସମୟ ଅଟକିଯାଏ = 3 × 2 = 6 ମିନିଟ୍ ।
ଭୁବନେଶ୍ୱରରୁ ପୁରୀ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯାତ୍ରା କରିବାର ସମୟ = 4t + 6 = 4 × 4 + 6 = 22 ମିନିଟ୍ ।
(b) ଭୁବନେଶ୍ଵରରୁ ପୁରୀ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯାତ୍ରା ସମୟକୁ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶରେ କଲେ 4t + 6 ହେବ ।
Question 7.
ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳୀକରଣ କର ।
(a) 3a + 9b – 6 + 8a – 4b – 7a + 16
(b) 3(3a – 3b) – 8a – 4b – 16
(c) 2 (2x – 3) + 8x + 12
(d) 8x – (2x – 3) + 12
(e) 8h – (5 + 7h) + 9
(f) 23 + 4(6m – 3n) – 8n – 3m – 18
Solution:
(a) 3a + 9b – 6 + 8a – 4b – 7a + 16 = 4a + 5b + 10
(b) 3 (3a – 3b) – 8a – 4b – 16 = 9a – 9b – 8a – 4b – 16 = a – 13b – 16
(c) 2 (2x – 3) + 8x + 12 = 4x – 6 + 8x + 12 = 12x + 6
(d) 8x – (2x – 3) + 12 = 8x – 2x + 3 + 12 = 6x + 15
(e) 8h (5 + 7h) + 9 = 8h – 5 – 7h + 9 = h + 4
(f) 23 + 4 (6m – 3n) – 8n – 3m – 18
= 23 + 24m – 12n – 8n – 3m – 18 = 5 + 21m – 20n
Question 8.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କର ।
(a) 4d – 7c + 9 ଏବଂ 8c – 11 + 9d
(b) – 6f + 19 – 8s ଏବଂ – 23 + 13f + 12s
(c) 8d – 14c + 9 ଏବଂ 16c – (11 + 9d)
(d) 6f – 20 + 8s ଏବଂ 23 – 13f – 12s
(e) 13m – 12n ଏବଂ 12n – 13m
(f) – 26m + 24n ଏବଂ 26m – 24n
Solution:
(a) (4d – 7c + 9) + (8c – 11 + 9d) = 4d – 7c + 9 + 8c – 11 + 9d
= 4d + 9d – 7c + 8c + 9 – 11 = 13d + c – 2
(b) (- 6f + 19 – 8s) + (- 23 + 13f + 12s) = – 6f + 19 – 8s – 23 + 13f + 12s
= – 6f + 13f – 8s + 12s + 19 – 23 = 7f + 4s – 4
(c) (8d – 14c + 9) + [16c – (11 + 9d)] = 8d – 14c + 9 + 16c – 11 – 9d
= 8d – 9d – 14c + 16c + 9 – 11 = – d + 2c – 2
(d) (6f – 20 + 8s) + (23 – 13f – 12s) = 6f – 20 + 8s + 23 – 13f – 12s
= 6f – 13f + 8s – 12s – 20 + 23 = – 7f – 4s + 3
(e) (13m – 12n) + (12n – 13m) = 13m – 12n + 12n – 13m
= 13m – 13m – 12n + 12n = 0
(f) (-26m + 24n) + (26m – 24n) = -26m+ 24n + 26m – 24n
= – 26m + 26m + 24n – 24n = 0
Question 9.
ବିୟୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(a) 6a + 9b – 18 ଗୁ 9a – 6b + 14
(b) 7y – 10 + 3x ଗୁ – 15x + 13 – 9y
(c) 11 – 10g + 3h ଗୁ 17g + 9 – 7h
(d) 6a – (9b + 18) ଗୁ 9a – 6b + 14
(e) – 3y + 8 – 3x ଗୁ 10x + 2 + 10y
(f) 7h – 8g + 20 ଗୁ 8g + 4h – 10
Solution:
(a) (6a + 9b – 18) – (9a – 6b + 14) = 6a + 9b – 18 – 9a + 6b – 14
= 6a – 9a + 9b + 6b – 18 – 14 = – 3a + 15b – 32
(b) (7y – 10 + 3x) – (-15x + 13 – 9y) = 7y – 10 + 3x + 15x – 13 + 9y
= 7y + 9y + 3x + 15x – 10 – 13 = 16y + 18x – 23
(c) (11 – 10g + 3h) – (17g + 9 – 7h) = 11 – 10g + 3h – 17g – 9 + 7h
= 11 – 9 – 10g – 17g + 3h + 7h = 2 – 27g + 10h = – 27g + 10h + 2
(d) [6a (9b + 18)] – (9a – 6b + 14) = 6a – 9b – 18 – 9a + 6b – 14
= 6a – 9a – 9b + 6b – 18 – 14 = – 3a – 3b – 32
(e) (- 3y + 8 – 3x) – (10x + 2 + 10y) = – 3y + 8 – 3x – 10x – 2 – 10y
= – 3y – 10y – 3x – 10x + 8 – 2 = – 13y – 13x + 6
(f) (7h – 8g + 20) – (8g + 4h – 10) = 7h – 8g + 20 – 8g – 4h + 10
= 7h – 4h – 8g – 8g + 20 + 10 = 3h – 16g + 30
Question 10.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ପରିସ୍ଥିତି ଅନୁସାରେ ସାଧାରଣ ଭକ୍ତିରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
(a) 8x + 3y
(b) 15x – 2x
Solution:
(a) ମୀରା 8ଟି ପ୍ୟାକେଟ୍ରେ x ସଂଖ୍ୟକ କାର୍ଡ଼ ଓ ରାଧା 3ଟି ପ୍ୟାକେଟ୍ରେ y ସଂଖ୍ୟକ କାର୍ଡ଼ ଆଣିଲେ । ମୀରା ଓ ରାଧା ପାଖରେ କେତୋଟି କାର୍ଡ଼ ଅଛି ?
(b) ମୀରା 15ଟି ପ୍ୟାକେଟ୍ରେ x ସଂଖ୍ୟକ କାର୍ଡ଼ କିଣିଲେ । ସେ ରାଧାକୁ 2 ପ୍ୟାକେଟ୍ କାର୍ଡ଼ ଦେଇଦେଲେ । ତେବେ ମୀରା ପାଖରେ କେତୋଟି କାର୍ଡ଼ ରହିଲା ?
Question 11.
ଏକ ସିଧା ଦଉଡ଼ିର କଳ୍ପନା କର । ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଇବା ପରି ଥରେ କାଟିଲେ ଆମେ 2 ଖଣ୍ଡ ଦଉଡ଼ି ପାଇବା । ଯଦି ଦଉଡ଼ିଟିକୁ ଚିତ୍ରରେ ଦେଖାହେବା ପରି ଗୋଟିଏ ଭାଙ୍ଗକରି କଟାଯାଏ ଆମେ 3 ଖଣ୍ଡ ଦଉଡ଼ି ପାଇବା ।
ସଂରଚନାଟିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟକର ଏବଂ ଦଉଡ଼ିଟି ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଇଲାପରି ଦଶଥର ଭାଙ୍ଗକରି କାଟିଲେ କେତେଖଣ୍ଡ ଦଉଡ଼ି ମିଳିବ ? ଦଉଡ଼ିଟିକୁ 1 ଥର ଭାଙ୍ଗକରି କାଟିବା ପରେ ମିଳୁଥିବା ଦଉଡ଼ିଖଣ୍ଡଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶର ରୂପ ଦେଇ ପାରିବା କି ?
Solution:
| ଭାଙ୍ଗ ସଂଖ୍ୟା | 0 | 1 | 2 | 3 | ………… | 10 | ………. | r |
| ଦଉଡି଼ଖଣ୍ଡ ସଂଖ୍ୟା | 2 | 3 | 4 | 5 | ………… | 12 | ……. . | r + 2 |
Question 12.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଦିଆସିଲି କାଠିର ସଂରଚନାକୁ ଦେଖ ଏବଂ ସଂରଚନାକୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଏହିପରି 10ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ କେତୋଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଦରକାର ହେବ । ‘w’ଟି ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ରପାଇଁ କେତୋଟି ଦିଆସିଲି କାଠି ଦରକାର ହେବ ?
Solution:
| ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ସଂଖ୍ୟା | 1 | 2 | 3 | …… | 10 | …… | w |
| ଦିଆସିଲି କାଠି ସଂଖ୍ୟା | 4 | 7 | 10 | …… | 31 | ….. | 3w = 1 |
Question 13.
ଟ୍ରାଫିକ୍ ସଂକେତର କିପରି ରଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ବଦଳିଥାଏ ତୁମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିଛ କି ? ରଙ୍ଗ ପରିବର୍ତ୍ତନର କ୍ରମ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି । 90, 190 ଏବଂ 343 ତମ ସ୍ଥାନରେ କେଉଁ କେଉଁ ରଙ୍ଗ ରହିବ ? ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥାନରେ ରଙ୍ଗର ଅବସ୍ଥାନ ପାଇଁ ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶର ପରିକଳ୍ପନା କର ଓ ତାହାକୁ ସୂତ୍ର ରୂପେ ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
Solution:
90 ତମ ସ୍ଥାନର ରଙ୍ଗ = ହଳଦିଆ ।
343 ତମ ସ୍ଥାନର ରଙ୍ଗ = ସବୁଜ ।
ହଳଦିଆ ରଙ୍ଗର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ = 2x
ସବୁଜ ରଙ୍ଗର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ = 4x – 1
190 ତମ ସ୍ଥାନର ରଙ୍ଗ = ହଳଦିଆ
ନାଲି ରଙ୍ଗର ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ = 4x – 3
Question 14.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ସଂରଚନାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟକର । ଚତୁର୍ଥ, ଦଶମ ଓ 50ତମ ସ୍ଥାନରେ କେତୋଟି ବର୍ଗାକୃତି ଚିତ୍ର ରହିବ ? ଏଥପାଇଁ ସାଧାରଣ ସୂତ୍ରଟିଏ ଲେଖ । ଯଦି ଆମେ ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ଗଣିବାକୁ ଚାହୁଁ ତେବେ ସୂତ୍ର କିପରି ବଦଳିଯିବ ?
Solution:
| ସ୍ଥାନ ସଂଖ୍ୟା | 1 | 2 | 3 | 4 | ……… | 10 | ……….. | 50 |
| ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ସଂଖ୍ୟା | 5 | 9 | 13 | 17 | …….. | 41 | ………. | 201 |
ସାଧାରଣ ସୂତ୍ର = x + 1
ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ସଂଖ୍ୟା ଗଣିବାର ସୂତ୍ର = 4 (4x + 1) = 16x + 4
Question 15.
ଏକ ଅସୀମ ଚାରି ସ୍ତମ୍ଭ ବିଶିଷ୍ଟ ଗ୍ରୀଡ଼ରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମରେ ଲେଖାଯାଇଛି ।
(a) ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସ୍ତମ୍ଭରେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇବା ପାଇଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶଟିଏ ଲେଖ । (1, 2, 3, 4)
(b) କେଉଁ ଧାଡ଼ି ଓ ସ୍ତମ୍ଭରେ ନିମ୍ନଲିଖୁତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଦେଖାଯିବ ?
(i) 124
(ii) 147
(iii) 201
(c) ‘r’ ଧାଡ଼ି ଏବଂ ‘c’ ସ୍ତମ୍ଭରେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଦେଖାଯିବ ?
(d) 3 ର ଗୁଣିତକମାନଙ୍କ ସ୍ଥାନକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟକର । ତୁମେ ଏଥୁରେ କୌଣସି ସଂରଚନା ଦେଖୁଛ କି ? ତୁମେ ଦେଖୁଥିବା ଅନ୍ୟ ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକର ତାଲିକା କର ।
Solution:
(a) ସ୍ତମ୍ଭ – 1 ରେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇବା ପାଇଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ = 4x – 3
ସ୍ତମ୍ଭ – 2ରେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇବା ପାଇଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ = 4x – 2
ସ୍ତମ୍ଭ – 3ରେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇବା ପାଇଁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ = 4x – 1
ସ୍ତମ୍ଭ – 4ରେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇବା ପାଇଁ ବୀଜଗାଣିତିକ
ପରିପ୍ରକାଶ = 4×
(b) 31 ତମ ଧାଡ଼ି ଓ 4 ତମ ସ୍ତମ୍ଭରେ 124 ଦେଖାଯିବ ।
37 ତମ ଧାଡ଼ି ଓ 3 ତମ ସ୍ତମ୍ଭରେ 147 ଦେଖାଯିବ ।
51 ତମ ଧାଡ଼ି ଓ 1 ତମ ସ୍ତମ୍ଭରେ 201 ଦେଖାଯିବ ।
(c) ‘r’ ଧାଡ଼ି ଓ ‘c’ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଦେଖାଯାଉଥିବାସ ସଂଖ୍ୟା
= 4 (r – 1) + c
(d) 
