Prasanna

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 12 Conic Sections will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 12 Conic Sections

When a plane cuts a cone in various angles the figure obtained are called conic sections. The conic sections are point, line, circle, parabola, hyperbola, ellipse etc.

Circle: A circle is the locus of all points in a plane that are equidistant from a given point.

• The given point is called the centre.
• The constant distance is called the radius.

(a) Equation of a circle:
(i) Equation of a circle with a given centre and radius:
The equation of a circle with centre at (h, k) and radius ‘r’ is (x – h)² + (y – k)² = r²

Note:
If the centre is at the origin the equation is: x² + y² = r²

(ii) Equation of a circle with given two ends of a diameter:
If A(x₁, y₂) and B(x₂, y₂) are two ends of diameter then the equation of the circle is (x – x₁)(x – x₂) + (y – y₁)(y – y₂) = 0

(iii) General form of the equation of a circle:
The general form of equation of a circle is: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0

Note:

1. The above equation is the equation of circle if g² + f² – c > 0.
2. If g² + f² – c = 0 the circle reduces to a point called point circle.
3. Centre of the circle is at (-g, -f) and radius is r = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\).

(b) Position of a point with respect to a circle:
If C is the centre, r is the radius of a circle and S is any point on that plane.

• CS = r ⇒ S lies on the circle.
• CS > r ⇒ S lies outside the circle.
• CS < r ⇒ S lies inside the circle.

(c) Length of intercept on axes:
The length of intersepts made by the circle x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
⇒ x-intercept = 2\(\sqrt{\mathrm{g}^2-\mathrm{c}}\), y-intercept = 2\(\sqrt{\mathrm{f}^2-\mathrm{c}}\)

(d) Tangents and normals to a circle:
(1) Equation of the tangent to the circle:
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 at A(x₁, y₁) is xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) +f(y + y₁) + c = 0
In particular the equation of tangent to x² + y² = r² at A(x₁, y₁) is xx₁ + yy₁ = r².

(2) Equation of normal to a circle:
Equation of the normal to the circle x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 at A(x₁, y₁) is : \(\frac{x-x_1}{x_1+g}=\frac{y-y_1}{y_1+f}\)

(3) Length of tangent:
Length of tangent from an external point A(x₁, y₁) to the circle x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 is \(A_m=\sqrt{x_1^2+y_1^2+2 g x_1+2 f y_1+c}\)

Condition of tangency:
The line y = mx + c will be a tangent to the circle x² + y² = a² if c² = a²(1 + m²)

Note:

(a) If c² < a²(1 + m²) the line is a secant.

(b) If c² > a²(1 + m²) the line does not intersect the line.

(c) The line y = mx ± a\(\sqrt{1+\mathrm{m}^2}\) is always a tangent to the circle x² + y² = a²

(d) The line lx + my + n = 0 is a tangent to the circle x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 if (lg + mf – n)² = (l² + m²)(g² + f² – c)

(e) Intersection of two circle:
Let two circle are
S₁ = x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0 ….(1)
S₂ = x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂ = 0 ….(2)
Two circles will touch each other
(i) internally if C₁C₂ = |r₁ – r₂|
(ii) Externally if C₁C₂ = |r₁ + r₂|
where C₁ = Centre of first circle
C₂ = Centre of second circle
r₁ = Centre of first circle
r₂ = Centre of second circle
⇒ Two circles intersect each other if C₁C₂ < r₁ + r₂.
⇒ Two circles do not intersect or touch each other  if C₁C₂ > r₁ + r₂.

(f) Angle between two circles:
If two circle
S₁ = x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0
S₂ = x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂ = 0  intersect each other at ‘P’ the angle between them
(1) The angle between their tangents at P.
(2) The angle between their normals at P.
(3) Angle between C₁P and C₂P.
∴ The angle ‘θ’ between two intersecting circles is given by
cos θ = \(\frac{\left(C_1 P\right)^2+\left(C_2 P\right)^2-\left(C_1 C_2\right)^2}{2\left(C_1 P\right) \cdot\left(C_2 P\right)}\)
= \(\frac{2\left(\mathrm{~g}_1 \mathrm{~g}_2+\mathrm{f}_1 \mathrm{f}_2\right)-\mathrm{C}_1-\mathrm{C}_2}{2 \sqrt{\mathrm{g}_1^2+\mathrm{f}_1^2-\mathrm{C}_1} \sqrt{\mathrm{g}_2^2+\mathrm{f}_2^2-\mathrm{C}_2}}\)

Note:
Two circle are orthogonal if θ = \(\frac{\pi}{2}\) i,.e 2(g₁g₂ + f₁f₂) – c₁ – c₂ =0

(g) Family of circles:
Let S₁ and S₂ are two circles. The equation of all circles passing through the points of intersection of two circles is given by S₁ + λS₂ = 0 where λ ≠ -1 i,e., the equation of all circles passing through the intersection of two circles
x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0 and x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂ = 0 is given by (x² + y² + 2g₁x + 2f₁y +c₁) + λ(x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂)

(h) Radical axis:
The radical axis of two circles is the locus of point which moves so that the length of tangents drawn from it to two circles are equal.

(i) If two circles are
S₁ = x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0
S₂ = x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂ = 0 the equation of radical axis of S₁ and S₂ is: S₁ – S₂ = 0
⇒ 2(g₁ – g₂)x + 2(f₁ – f₂)y + (c₁ – c₂) = 0

(ii) Properties of radical axis:

• The radical axis of two circle is perpendicular to the line joining their centres.
• If two circles touch each other then their common tangent is the radical axis.
• If two circles intersect each other the line passing through their point of intersection is the radical axis.
• If two circles neither touch nor intersect then the radical axis is the perpendicular bisector of the line segment joining two centres.
• The radical axis of three circles taken in pairs are concurrent that point of concurrency is known as Radical centre of three circles.

(i) Co-axial system of circles:
A system of circles is said to be coaxial if each pair of circles have same radical axis.

(i) Equation of co-axial system of circles:

• If the radical axis is y-axis i.e x = 0 and the line containing the centres is x-axis i.e y = 0 then the equation of the co-axial system of the circle is x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, g² > c …(1) hence g is the parameter and c is a constant.
• If the radical axis is x-axis i.e y = 0 and the line containing centres is y-axis i.e x = 0 then the equation of co-axial system of circles is x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, f² > c …(1)
• The equation of the family of circles co-axial with S₁ and S₂ = 0 is S₁ + λS₂ = 0.

(ii) Limiting points of a co-axial system:
The limiting points of the co-axial system (1) are at (±√c, 0) for c > 0 and for (2) the limiting points are (0 ± √c)

(iii) Intersecting and non-intersecting system of co-axial circles:
If the co-axial system of circles intersects the radical axis then it is an intersecting co-axial system. Otherwise, the system is a non-intersecting co-axial system.

(j) Parametric form of the equation of a circle:
The parametric equation of the (x – h)² + (y – k)² = r² is x = h + r cos θ, y = k + r sin θ.

Parabola:

A parabola is the locus of all points in a plane such that the distance of every point from a fixed point is equal to its distance from a fixed-line.

• The fixed point is the focus.
• The fixed line is the Directrix.
• The line through focus and perpendicular to the directrix is the Axis.
• The point where the parabola intersects axis is its Vertex.
• Any chord passing through focus is the focal chord.
• The focal chord perpendicular to axis is called the Latusrectum.

(a) Equation of parabola.
(i) Equation of a parabola with vertex at (0, 0) axis along x-axis, with focus at (a, 0) is y² = 4ax
(ii) Equation of parabola with vertex at (0, 0) and axis along y-axis with focus (0, a) is: x² = 4ay
(iii) Equation of the parabola with vertex at (h, k) and axis parallel to x-axis is: (y – k)² = 4a(x – h)
(iv) Equation of the parabola with vertex at (h, k) and axis parallel to y-axis is: (x – h)² = 4a(y – k)
(v) parametric form of the equation of parabola y² = 4ax is: x = at², y = 2at

Some Information About Parabola:

(b) Tangents and normals to parabola
(i) Equation of tangent to the parabola y² = 4ax at (x, y₁) is: yy₁ = 2a(x + x₁)
(ii) Equation of tangent to the parabola y² = 4ay at (x₁, y₁) is: xx₁ = 2a(y + y₁)
(iii) Equation of normal to y² = 4ax at (x₁, y₁) is: 2ax – yy₁ + 2ax₁ = 0
(iv) y = mx + c will be a tangent to y² = 4ax if c = \(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}\)
(v) y = mx + c will be a tangent to x² = 4ax if c = -am²

Ellipse:
An ellipse is the locus of all points in a plane such that the sum of the distances of any point on it form two fixed points in the plane is a constant.

• The fixed points are foci.
• Mid point of the line segment joining two foci is the centre
• The line joining two foci is the major axis
• The line perpendicular to the transverse axis at the centre is the minor axis
• The points at which the ellipse intersect the major axis are the vertices.

Equation of ellipse:
Equations of ellipse in standard form is:

Some Information About Ellipse:

(b) Tangents and normals to ellipse:

• Equation of tangent to the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 at (x₁, y₁) is \(\frac{x x_1}{a^2}+\frac{y y_1}{b^2}\) = 1
• The line y = mx + c will be a tangent to the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 if c² = a²m² + b²
• Parameteric form of equation of ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 is x = a cos θ, y = b sin θ.

Hyperbola:
A hyperbola is the locus of all points in a plane such that the difference of distances of any point on it from two fixed points is constant.

• The fixed points are foci.
• Mid point of the line segment joining two foci is the centre.
• The line joining two foci is the transverse axis.
• The line perpendicular to transverse axis and passing through the centre is the conjugate axis.

Some Information About Hyperbola:

(a) Equation of hyperbola

x = h + a sec θ, y = k + b tan θ.

(b) Tangents and normals to hyperbola:
(i) Equation of a tangent to the hyperbola \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 at (x₁, y₁) is \(\frac{x x_1}{a^2}-\frac{y y_1}{b^2}\) = 1
(ii) y = mx + c is a tangent to the hyperbola \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 if c² = a²m² – b².

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 16 Probability will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 16 Probability

Random Or Statistical Experiment:
A random or statistical experiment is one in which

• All possible outcomes of the experiment are known in advance.
• The performance of an experiment result in an outcome is not known in advance.
• The experiment can be repeated under identical conditions.

Sample Space: Sample space is the set of all possible outcomes of an experiment.

Elementary event. An element of sample space is an elementary event.

Event: An event is a subset of a sample space.

Probability of an event: Probability of an event ‘A’ = \(P(A)=\frac{\text { Size of } A}{\text { Size of } S}\)

Types Of Event:

(a) Impossible event
Φ ⊂ S known as the impossible event P(Φ) = 0

(b) Sure (certain) event:
S ⊂ S known as the sure event. P(S) = 1

(c) Mutually exclusive events:
Two events A and B are mutually, exclusive if A ∩ B = Φ i.e occurence of one excludes the occurence of the other.

(d) Equally likely events:
Two events A and B are equally likely if P(A) = P(B).

(e) Independent events:
Two events are independent if occurence if does not depend on occurence of the other.

(f) Exhaustive events:
The events E₁, E₂, ….. E_n are exhaustive if E₁ ∪ E₂ ….. ∪ E_n = S.

Verbal description of events:
Not a → A^c or \(\overline{\mathrm{A}}\) or A’
A or B (at least one of A or B) → A ∪ B
A and B → A ∩ B
A but not B → A ∩ B^c
Neither A nor B → A^c ∩ B^c = (A ∪ B)^c
Exactly one of A, B or C → (A ∩ B^c ∩ C^c) ∪ (A^c ∩ B ∩ C^c) ∪ (A^c ∩ B^c ∩ C^c).
Exactly two of A, B or C → (A ∩ B ∩ C^c) ∪ (A ∩ B^c ∩ C) ∪ (A^c ∩ B ∩ C)

Some Theorems On Probability:

(a) For any event A: 0 ≤ P(A)’ ≤ 1

(b) P(Φ) = 0, P(S) = 1

(c) P(A^c) = 1 – P(A)

(d) For any two events if A ⊆ B then P(A) ≤ P(B).

(e) For any two events A and B. P(A – B) = P(A ∩ B^c) = P(A) – P(A ∩ B)

(f) For any two events A and B P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

(g) If A and B are mutually exclusive then P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

(h) For any three events A, B and C P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 15 Statistics will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 15 Statistics

Measures Of Central Tendency:
A measure of central tendency or average is a value, that is the representative of whole data and signifies its characteristics.
Different measures of central tendency are: (a) Mean (b) Median (c) Mode.

(a) Mean (Arithmetic Mean):
Mean of ungrouped data: The mean of ‘n‘ observations x₁, x₂ …..x_n = \(\bar{x} \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{N}\)

Mean of grouped data:
(i) Direct Method
If x_i are the mid values of the intervals with frequency f_i then the mean \(\bar{x}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^n f_i x_i\)

(ii) Shortcut Methods:
(1) Assumed mean method
Mean = \(\overline{\mathrm{x}}=\mathrm{A}+\frac{1}{\mathrm{~N}} \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}\)
where A = the assumed mean ⇒ d_i = x_i – A

(iii) Step Deviation Method:
Mean = \(\overline{\mathrm{x}}=\mathrm{A}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{N}} \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}\)
where A = The assumed mean, C = Class width
u_i = \(\frac{d_i}{C}=\frac{x_i-A}{C}\)

(b) Median
(i) Median of ungrouped data:
Let n is the number of observation.
Arrange the observations in ascending or descending order.
⇒ If n is odd, Median = \(\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)^{\mathrm{th}}\) observation.
⇒ If n is even, Median = \(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)^{\mathrm{th}} \text { observation }+\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)^{\mathrm{th}} \text { observation }}{2}\)

(ii) Median of grouped data

• Get \(\frac{\mathrm{N}}{2}\) and cummulative frequencies of all classes.
• Get the Median class.
  Median class = The class whose cumulative frequency is just greater than (or near to) \(\frac{\mathrm{N}}{2}\).
  Median = l + \(\frac{\mathrm{m}-\mathrm{c}}{\mathrm{fm}}\) × h,
  where l = lower limit of median class .
  h = Class width of median class M = \(\frac{\mathrm{N}}{2}\).
  c = Cummulative frequency of the class preceeding the median class.
  f_m = Frequency of the median class.

(c) Mode
Mode is the most frequent value.
⇒ We can find mode using the empirical formula:
Mode = 3 Median – 2 Mean.
(i) Mode for Grouped data
⇒ Get the Modal class: It is the class with maximum frequency.
Mode = \(l+\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{m}}-\mathrm{f}_1}{2 \mathrm{f}_{\mathrm{m}}-\mathrm{f}_1-\mathrm{f}_2} \times \mathrm{c}\)
where l = lower limit of modal class.
f_m = Frequency of modal class.
f₁ = Frequency of the class just preceeding modal class.
f₂ = Frequency of the class just suceeding modal class.

Measure Of Dispersion:
The variability or scatter or spreading of data is known as dispersion.

Some of the measures of dispersion are:

(a) Range
(b) Mean deviation
(c) Variance
(d) Standard deviation

(a) Mean deviation: Mean deviation is the mean of absolute deviations of all observations from a central value (Mean or Median).

For Group – B
A = 35, C = 10


As C. V of Group – A is more, the data for group – A is more dispersed

For Group – A

Analysis Of Frequency Distribution:
Coefficient of variation (C. V) = \(\frac{\sigma}{x}\) × 100

Note:

• The distribution with greater C. V is more variable or dispersed and lesser C. V is less variable or more consistent.
• If two distributions have same mean then they can be compared on the basis of their standard deviation.

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 14 Limit and Differentiation will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 14 Limit and Differentiation

Limit Of A Function:

A real number ‘l’ is called the limit of the function f(x) as x tends to ‘a’ if for every ∈ > 0, there exist δ > 0 such that |f(x) – l| < ∈ whenever |x – a| < δ
We write \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) = l
Left and right hand limit:

Left hand limit of f(x) as x → a is:
\(\lim _{x \rightarrow a-}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(a – h)

Right hand limit of f(x) as x → a is:
\(\lim _{x \rightarrow a+}\) f(x) = \(\lim _{h \rightarrow 0}\) f(a + h)

Existance of limit:
\(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) exists if it is unique, irrespective of any type of approach i.e if LHL = RHL. i.e if \(\lim _{x \rightarrow a-}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow a+}\) f(x)

Indeterminate forms:
The forms : \(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}\), ∞ – ∞, 0 × ∞, 0°, ∞° and 1^∞ are called indeterminate forms in mathematics.

Properties of limit:

Some standard limits:

Limit At Infinite And Infinite Limits:

(a) We write \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) = ∞ if for a given m > 0, there exists δ > 0 such that |x – a| < δ ⇒ f(x) > m for large m.

(b) We write \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) = -∞ if for a given m < 0, there exists δ > 0 such that |x – a| < δ ⇒ f(x) < m for large |m|.

(c) \(\lim _{x \rightarrow ∞}\) f(x) = l if for given ∈ > 0 there exists k > 0 such that x > k ⇒ |f(x) – l| < ∈ for large x.

(d) \(\lim _{x \rightarrow -∞}\) f(x) = l if for given ∈ > 0, there exists k < 0 such that x < k ⇒ |f(x) – l| < ∈ for large |k|.

(e) We write \(\lim _{x \rightarrow ∞}\) f(x) = ∞ if for m > 0 there exists k > 0 such that x > x ⇒ f(x) > m for large m.

(f) \(\lim _{x \rightarrow ∞}\) xⁿ = \(\left\{\begin{array}{lll}
\infty & \text { if } & n>0 \\
1 & \text { if } & n=0 \\
0 & \text { if } & n<0
\end{array}\right.\)

(g) \(\lim _{n \rightarrow ∞}\) xⁿ = \(\left\{\begin{array}{ccc}
0 & \text { if } & |x|<1 \\
1 & \text { if } & x=1 \\
\infty & \text { for } & x>1
\end{array}\right.\) does not exist for x ≤ -1.

Some useful expansions:

Techniques to find limit:
If \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x), does not take any indeterminate form then get the limit just by putting x = a(provided that the limit is finite).
If \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) takes any indeterminate form then either use formula or simplify to remove the indeterminate form before finding limit.
The indeterminate form can be removed by using.

• Factorisation
• Rationalisation
• Expand  formula or any other techniques.

Differentiation:

(a) Let y = f(x) is a function.
The derivative (differential coefficient) of y or f(x) with respect to x is \(\frac{d y}{d x}\) = f'(x) = \(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

(b) The differentiation of y = f(x) at x = a is \(\left.\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right]_{\mathrm{x}=\mathrm{a}}\) = f'(a) = \(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

(c) Differentiability of y = f(x) at x = a:

(d) Geometrical meaning of differentiation:
Geometrically f'(x) or \(\frac{d y}{d x}\) represents the slope of tangent to y = f(x) at any point P(x, y)
⇒ Slope of tangent to y = f(x) at A(x₁, y₁) = \(\left.\frac{d y}{d x}\right]_{\left(x_1, y_1\right)}\)

(e) Some rules of differentiation:

(f) Differentiation of some standard functions:

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(c)

Question 1.
ଦତ୍ତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ ‘ନ’ ଓ ଯେଉଁଟି ଭୁଲ୍ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(i) ଏକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସମାନ ସମାନ ଥର ରହିଲେ ଏହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନାହିଁ ।
(ii) ବାରମ୍ବାରତା ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାରମ୍ବାରତା ହିଁ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଗରିଷ୍ଠକ ।
(iii) ଏକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଯଦି ଗରିଷ୍ଠକ ଥାଏ, ତେବେ ଏହାର ସର୍ବଦା ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ଗରିଷ୍ଠକ ଥବ ।
ଉ :
(i) T (ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟରେ ଏହା ଲିଖ୍)
(ii) F (ଗରିଷ୍ଠକର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ )
(iii) F ( କାରଣ 5, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9ରେ ଗରିଷ୍ଠକ 7 ଏବଂ 9 ଅଟେ ।)

Question 2.
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 5, 6, 7, 7,8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12
(ii) 12, 8, 15, 9, 11, 8, 10, 11, 13, 9, 12, 10, 14, 11, 13, 10
ସମାଧାନ :
(i) 5, 6, 7, 7,8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12 ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମେ ସଜ୍ଜିତ ।
ଏଠାରେ ଗରିଷ୍ଠକ M = 9 (∵ 9ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧିକ ।)

(ii) 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମେ ସଜ୍ଜିତ ।
ଏଠାରେ ଗରିଷ୍ଠକ M_o = 10 ଓ 11 (∵ 10 ଓ 11ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧିକ ।)

Question 3.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉଚ୍ଚତା (ସେ.ମି.) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ :	120	121	122	123	124
ବାରମ୍ବାରତା :	5	8	18	10	9

ସମାଧାନ :
ସାରଣୀରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 122 ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧ‌ିକ 18 ।
∴ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ 122 ।

Question 4.
ଦୁଇଟି ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ ଏକା ସାଙ୍ଗରେ 15 ଥର ଗଡ଼ାଇବାରେ ମିଳିଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ 7, 8, 10, 10, 11, 7, 12, 9, 7, 9, 8, 12, 11, 10, 7 । ଉକ୍ତ ବଣ୍ଟନର ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଦୁଇଟି ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ ଏକା ସାଙ୍ଗରେ 15 ଥର ଗଡ଼ାଇବାରେ ମିଳିଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ –
7, 8, 10, 10, 11, 7, 12, 9, 7, 9, 8, 12, 11, 10, 71
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମେରେ ସଜାକ ରଖିଲେ
7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12
ଏଠାରେ ଗରିଷ୍ଠକ M_o = 7 (∵ 7ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧ‌ିକ 4)

Question 5.
ଗୋଟିଏ ଜୋତା ଦୋକାନରେ ବିଭିନ୍ନ ମାପ ବିଶିଷ୍ଟ ଜୋତା ବିକ୍ରୟର ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

କୋତାମପ	5	6	7	8	9	10
ବିକ୍ରି ସଂଖ୍ୟା	20	33	40	85	15	8

(i) ଉପରିସ୍ଥ ବଣ୍ଟନକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରି କେଉଁ ମାପର ଜୋତାକୁ ମହଜୁଦ ରଖୁବା ଲାଗି ଦୋକାନୀ ଅଧ୍ବକ ଧ୍ୟାନ ଦେବ, ସ୍ଥିର କର ।
(ii) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେଉଁ ପ୍ରକାର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା ତୁମେ ନିଶ୍ଚୟ କଲ ?
ସମାଧାନ :
(i) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ୫ ନମ୍ବର ଜୋତାର ବିକ୍ରିସଂଖ୍ୟା (ବାରମ୍ବାରତା) ସର୍ବାଧ‌ିକ ‘85” ଯୋଡ଼ା । ତେଣୁ ଦୋକାନୀ ୫ ନମ୍ବର ଜୋତା ମହଜୁଦ୍ ରଖ୍ ପ୍ରତି ଅଧ‌ିକ ଧ୍ୟାନ ଦେବେ ।
(ii) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେଉଁ ପ୍ରକାର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା ତୁମେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲ ?

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 10 Sequences and Series will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 10 Sequences and Series

Sequence:
A sequence is a function whose domain is N (The set of natural numbers).
Note: We can use the set of whole numbers as a domain.

Real Sequence:
If the range of a sequence is a subset of ‘R’, then it is a real sequence.
⇒ If: N → R is a sequence then f(n) for n = 1, 2, 3, ….. are the terms of the sequence.

Finite and infinite sequence:
A sequence with a finite number of terms is a finite sequence otherwise it is infinite.
Note: We denote a sequence by (t_n) or {t_n} where f(n) = t_n

Series:
An expression of the type t₁ + t₂ + t₃ + ….. (or ∑t_n) where t_n is the nth term of a sequence is a series.

Partial sums:
If \(\sum_{n=1}^{\infty} t_n\) is a series then a sum \(\mathrm{S}_n=\sum_{k=1}^n t_k\) is called the nth partial sum of the series for n = 1, 2, 3 …..
∴ s₁ = t₁, s₂ = t₁ + t₂, s₃ = t₁ + t₂ + t₃ and so on.

Progression:
Progression is a sequence whose terms follow as pattern.
Arithmetic progression (A.P):
A sequence  (t_n) is an A.P. If t_n+1 – t_n = d (constant) for n = 1, 2, 3, …..

(a) General form: a, a + d, a + 2d, a + 3d …..
(b) n^th term: t_n = a + (n – 1)d, where t₁ = a, and the common difference = d
(c) Sum of first n terms (Sn):
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[a + l]
where a = first term
d = common difference
l = last term (or nth term)

Note:

1. If a, b, c are in A.P. then 2b = a + c.
2. If 3 numbers are in A.P. then we take them as a – d, a, a + d.
3. If 4 numbers are in A.P. then we take rhem as a – 3d, a – d, a + d, a + 3d.

(d) Insertion of arithmetic means between two given number:
Let m₁, m₂, m₃ …. m_n are ‘n’ arithmetic means between ‘a’ and ‘b’ then m_k = a + \(\frac{k(b-a)}{n+1}\) for k = 1, 2, ….. n.

Geometric progression (G.P):
If \(\frac{t_{n+1}}{t_n}\) = r (constant), for n = 1, 2, 3, ….. then the sequence (t_n) is a geometrical progression.

(a) General form: a, ar, ar², ar³ …..
(b) nth term of GP: nth term of G.P. = t_n = ar^n-1.
(c) sum of first n terms of a G.P.: S_n = \(\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}(\text { for } r \neq 1)\)
(d) sum of an infinite G.P.: If |r| < 1 then the sum of the infinite G.P. a, ar, ar² ….. is S_∞ = \(\frac{a}{1-r}\)

Note:

1. If a, b, c are in G.P. then b² = ac
2. If 3 numbers are in G.P. we take them as \(\frac{a}{r}\), a, ar.
3. If 4 numbers are in G.P. then we take them as \(\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, a r, a r^3\)

(e) Insertion of  geometric means between  two numbers:
If g₁, g₂ ……g_n are n geometric means between a and b then g_k = a \(\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n+1}}\), k = 1, 2, 3, …. n

Harmonic Progression (H.P):
A sequence a₁, a₂, a₃ ….. of non zero numbers is called a Harmonic progression if the sequence \(\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}\) ….. is an A.P.

(a) Harmonic mean:
Harmonic mean(H) between two numbers a and b is \(\frac{1}{\mathrm{H}}=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}{2}\)
= \(\frac{a+b}{2 a b}\)
⇒ H = \(\frac{2 a b}{a+b}\)

(b) Insertion of n harmonic means between two numbers:
Let H₁, H₂ ….. H_n are n harmonic means between a and b then \(\frac{1}{\mathrm{H}_K}=\frac{1}{a}\) + k_D, where D = \(\frac{a-b}{(n+1) a b}\).

Relation among A.M., G.M. and H.M.
AM ≥ GM ≥ HM

Arithmetic co-geometric sequence(AGP):
If (a_n) is an A.P. and (b_n) is an G.P. then the series (a_nb_n) is called an arithmetic co-geometric sequence.

(a) General form: a, (a + d) r, (a + 2d) r², (a + 3d)r³,…..
(b) nth term of A.G.P.: t_n = {a + (n – 1)d} r^n-1.
(c) sum of first terms of A.G.P.:
The sum of first n terms of A.G.P. a, (a + d) r, (a + 2d) r², …..  is
S_n = \(\frac{a}{1-r}+d r\left(\frac{1-r^{n-1}}{(1-r)^2}\right)-\frac{[a+(n-1) d] r^n}{1-r}\) for r ≠ 1
(d) sum of infinite A.G.P.: If |r| < 1 then we have \(S_{\infty}=\frac{a}{1-r}+\frac{d r}{(1-r)^2}\)

Sum of special sequences.:

Binomial Series:
(a) Binomial theorem for any real index:

• (1 + x) ⁿ = 1 + nx + \(\frac{n(n-1)}{2} x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} x^3+\ldots\) for |x| < 1
• (1 – x)^-1 = 1 + x + x² …..
• (1 + x)^-1 = 1 – x + x² – x³ …..
• (1 + x)^-2 = 1 – 2x + 3x² – 4x³ …..
• (1 – x)^-2 = 1 + 2x + 3x² + …..

Exponential series:

Logarithmic Series:

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(b)

(କ – ବିଭାଗ )

(a) ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ T ଓ ଯେଉଁଟି ଭୁଲ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(i) ଯେକୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା, ସେହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ସହ ସମାନ ।
(ii) ବଡ଼ରୁ ସାନ କ୍ରମାନୁସାରେ ଲେଖାଥ‌ିବା 13ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ଏହାର ଆରମ୍ଭରୁ ସପ୍ତମ ସ୍ଥାନରେ ଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସହ ସମାନ ।
(iii) କୌଣସି ଏକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସର୍ବଦା ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ।
(iv) 30 ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଥ‌ିବା ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା 15 ।
(v) 5,8, 3, 7, 11, 27, 16 ସହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା 8 ।
ଉ –
(i) F, (ii) T, (iii) F, (iv) F, (v) T

(b) ନିମ୍ନଲିଖ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ପ୍ରଦାନ କର ।
(a) ପ୍ରଥମ ନଅଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା କେତେ ?
(b) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା କେତେ ?
(c) ସମସ୍ତ ‘x’ର ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର କର ଯେତେବେଳେ 1 ≤ x < 7 ।
(d) 7, 3, 10, 5, x ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ‘x’ ହେଲେ xର ମାନ ସ୍ଥିର କର (x ∈ N) ।
(e) ପ୍ରଥମ 6 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା ପ୍ରଥମ 7 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ଯମାଠାରୁ କେତେ କମ୍ ?
ଉ –
(a) ପ୍ରଥମ ନଅଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ।

5ମ ସ୍ଥାନର ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = 5
∴ ମଧ୍ୟମା = 5

(b) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
ଏଠାରେ ପଦସଂଖ୍ୟା = 10
ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥାନ \(\frac{10}{2}\) = 5ମ ସ୍ଥାନ ଓ 5 + 1 = 6ଷ୍ଠ ସ୍ଥାନ

(c) ତଥ୍ୟାବଳୀଟି 1 ≤ x < 7 ⇒ 1, 2, 3, 4, 5, 6 1 ∴ ମଧ୍ୟମା = \(\frac{3+4}{2}\) = 3.5

(d) 7, 3, 10, 5, x ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା x (x ∈ N) ।
ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମରେ ସଜାଇଲେ 3, 5, x, 7, 10 ।
∴ x, 5 ଓ 7ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା = 6
ମଧ୍ୟମା (M_d) = 6

(e) ପ୍ରଥମ 6ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା = \(\frac{3+4}{2}\) = 3.5
ପ୍ରଥମ 7ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା = 4 ∴ 4 – 3.5 = 0.5
∴ ପ୍ରଥମ 6 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା ପ୍ରଥମ 7 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ଯମାଠାରୁ 0.5 କମ୍ ।

(ଖ – ବିଭାଗ )

Question 2.
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 7, 8, 4, 3, 10
(ii) 11, 27, 36, 58, 65, 72, 80, 95
(iii) 7, 12, 15, 6, 20, 8, 4, 10
(iv) 18, 32, 37, 25, 31, 19, 25, 29, 31
ସମାଧାନ :
(i) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ କଲେ ହେବ – 3, 4, 7, 8, 10 ।
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା = 5
ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା (M_d) = \(\frac{5+1}{2}\) ତମ ସ୍ଥାନ = 3ୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଅର୍ଥାତ୍ ମଧ୍ୟମା (M_d) = 7

(ii) 11,27, 36, 58, 65, 72, 80, 95 (ଏଠାରେ ଆଠଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ)
ଫଳରେ ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଦ୍ବୟ \(\frac{8}{2}\) = 4ର୍ଥ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ, \(\frac{8}{2}\) + 1 = 4 + 1 = 5ମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ

= \(\frac{58+65}{2}=\frac{123}{2}\) = 61.5

(iii) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ କଲେ – 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 20 ।
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 8
ଫଳରେ ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଦ୍ବୟ \(\frac{8}{2}\) = 4ର୍ଥ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ, 4 + 1 = 5ମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ

(iv) ନଅଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ କଲେ – 18, 19, 25, 25, 29, 31, 31, 32, 37
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 9
ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = \(\frac{9+1}{2}\) = 5ମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ∴ ମଧ୍ୟମା (M_d) = 29 ।

Question 3.
(i) ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର କର ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	11	12	13	14	15	16
ବାରମ୍ବାରତା (f)	2	4	6	10	8	7

ସମାଧାନ :

ଏଠାରେ ମୋଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ n ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇଥିବାରୁ ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ସ୍ଥାନ (m)
\(\frac{n+1}{2}=\frac{37+1}{2}=\frac{38}{2}\) = 19 ତମ ସ୍ଥାନ
19ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 22

(ii)

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	1	2	3	4	5	6	7	8
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	8	15	24	14	9	5	4

ସମାଧାନ :

n = 84
84
∴ ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ = \(\frac{84}{2}\) = 42 ତମ ସ୍ଥାନ । 42 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା 52 ।
∴ 52 ତମ ସ୍ଥାନର ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 4 ।
∴ ମଧ୍ୟମା (M_n) = 4

(iii) ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ 80 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ଗଣିତ ବିଷୟରେ ପାଇଥ‌ିବା ନମ୍ବର ଦିଆଯାଇଛି । ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର କର ।

ଗଣିତରେ ରଖୁଥ‌ିବା ନମ୍ବର (x)	10ରୁ କମ୍	20ରୁ କମ୍	30ରୁ କମ୍	40ରୁ କମ୍	50ରୁ କମ୍	60ରୁ କମ୍
ଛାତ୍ରସଂଖ୍ୟା (c.f.)	3	12	27	57	75	80

ସମାଧାନ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c.f.)
0-10	3	3
10-20	9	12
20-30	15	27
30-40	30	57
40-50	18	75
50-60	05	80
	n=80

ଏଠାରେ ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{n}{2}=\frac{80}{2}\) = 40
40 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 57
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ ହେଲା : (30 – 40)
l = 30, f = 30, c = 27, i = 40 – 30 = 10
ମଧ୍ୟମା (M_d) = l + \(\frac{m-c}{f}\) × i = 30 + \(\frac{40-27}{30}\) × 10 = 30 + \(\frac{13}{3}\) = 30 + 4.3 = 34.3

Question 4.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	55	65	75	85	95	105	115	125	135
ବାରମ୍ବାରତା	4	21	35	42	70	28	10	25	15

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f.
50-60	55	4	4
60-70	65	21	25
70-80	75	35	60
80-90	85	42	102
90-100	95	70	172
100-110	105	28	200
110-120	115	10	210
120-130	125	25	235
130-140	135	15	250
		n = Σf = 250

ଏଠାରେ ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{n}{2}=\frac{250}{2}\) = 125,
125 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 172
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 90 – 100
l = 90, m = 125, f = 70, c = 102, i = 100 – 90 = 10
ମଧ୍ୟମା (M_d) = l + \(\frac{m-c}{f}\) × i = 90 + \(\frac{125-102}{30}\) × 10 = 90 + \(\frac{23}{7}\) = 90 + 3.3 = 93.3

Question 5.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ ସ୍ଥିର କର ।

ଉଚ୍ଚତା ସେ.ମି.	0ରୁ ଅଧ୍ଵ	10ରୁ ଅଧ୍ଵ	20ରୁ ଅଧ୍ଵ	30ରୁ ଅଧ୍ଵ	40ରୁ ଅଧ୍ବକ
ଗସ୍ଥ	55	50	40	20	5

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f.
50-40	5	5
40-30	15	20
30-20	20	40
20-10	10	50
10-0	5	55
	N=Σf=55

ଏଠାରେ m = \(\frac{55}{2}\) = 27.5, 28 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 40
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 20 -30 ।
∴ l = 30, f = 20, c = 20, i = 20 – 30 = -10
M_d = l + \(\frac{m-c}{f}\) × i = 30 + \(\frac{27.5-20}{20}\) × (-10) = 30 + \(\frac{7.5}{2}\) = 30 – 3.75 = 26.25
∴ ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 20 – 30, ମଧ୍ୟମା = 26.25

(ଗ – ବିଭାଗ )

Question 6.
ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
ବାରମ୍ବାରତା	4	9	15	14	8

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f.
0-10	4	4
10-20	9	13
20-30	15	28
30-40	14	42
40-50	8	50
	N=Σf=50

ଏଠାରେ n = 50, m = \(\frac{50}{2}\) = 25, 25 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 28
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 20 – 30 । ସଂଭାଗ (i) = 30 – 20 = 10
∴ l = 20, f = 15, c = 13,
M_d = l + \(\frac{m-c}{f}\) × i = 20 + \(\frac{25-13}{15}\) × 10 = 20 + \(\frac{120}{15}\) = 20 + 8 = 28
∴ ମଧ୍ୟମା = 28

Question 7.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ତୁମେ ଜାଣିଥ‌ିବା ଉଭୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଉତ୍ତର ଦ୍ବୟ ମଧ୍ୟରେ କ’ଣ ସମ୍ପର୍କ ରହିଛି ଦେଖ ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	2	5	6	7	8	9	10
ବାରମ୍ବାରତା (f)	8	12	21	31	18	13	5

ସମାଧାନ :
ପ୍ରଥମ ପ୍ରଣାଳୀ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	2	5	6	7	8	9	10
ବାରମ୍ବାରତା (f)	8	12	21	31	18	13	5
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	8	20	41	72	90	103	108

ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{n+1}{2}=\frac{108+1}{2}=54.8\)
54.5 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ହେଲା 72 । ∴ ମଧ୍ୟମା = 7 (ପ୍ରାୟ)
ଦ୍ଵିତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	2	5	6	7	8	9	10
ବାରମ୍ବାରତା (f)	8	12	21	31	18	13	5
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	8	20	41	72	90	103	108

ମାଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{108}{2}\) = 54
ଅଙ୍କିତ ଲେଖ (ogive) ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କରାଯାଇଛି ।
ଯାହାର y – ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 54 (ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ) । ପୁନଶ୍ଚ P ବିନ୍ଦୁରୁ X – ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇ P ବିନ୍ଦୁର x – ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କରାଯାଇଛି ।

ଏଠାରେ x – ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 65
ଦଉ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା = 6:5 (ପ୍ରାୟ)
ଉତ୍ତର ଦ୍ବୟର ପାର୍ଥକ୍ୟ = 7 – 6.5 = 0.5

Question 8.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ (x)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	12	22	18	10	6

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	12	22	18	10	6
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା(c.f.)	5	17	39	57	67	73

∴ ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥାନ = m = \(\frac{73+1}{2}\) = 37 । m ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 39
∴ ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ (20 – 30). ଏଠାରେ, l₁= 20, l₂ = 30
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = f = 22
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ଠିକ୍ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = c = 17
ମଧ୍ୟମା = l₁ + \(\frac{m-c}{f}\) (l₁ – l₂)
= 20 + \(\frac{37-17}{22}\) (30 – 20) = 20 + \(\frac{20×10}{22}\) = 20 + 9.1 = 29.1 (ପ୍ରାୟ)

Question 9.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ଓ ଏହା ସାହାଯ୍ୟରେ
(i) ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଏବଂ
(ii) 65% ରୁ ଅଧ୍ଵ ନମ୍ବର ରଖୁଥ‌ିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ନମ୍ବର :	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା	5	10	20	25	15	12	9	8

ସମାଧାନ : (i)

ନମ୍ବର :	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	10	20	25	15	12	9	8
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c.f.)	5	15	35	60	75	87	96	104

ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ = \(\frac{1}{2} {\frac{104}{2}+(\frac{104}{2})}\) = \(\frac{1}{2}\) (52+53) = \(\frac{1}{2}\) × 105 = 52.5
ମଧ୍ୟମା ନିଶ୍ଚୟ : ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f, ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଅକ୍ଷରେ 52.5 ଏକକ ଚିହ୍ନ ପାଖରେ ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଗୋଟିଏ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ।
ଏହାର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଲେଖକୁ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ତାହାର ନାମ ‘P’ ନିଅ ।
‘P’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର, ତାହାର ନାମ M ଦିଅ ।
∴ M ଦ୍ଵାରା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ M = 37 (ପ୍ରାୟ)

(ii) 100 ର 65% = 65
x ଅକ୍ଷରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ A ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 65% ।
A ବିନ୍ଦୁରୁ ଉଲମ୍ବ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ଲେଖଚିତ୍ରକୁ ‘B’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
B ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ଆନୂଭୂମିକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର; ଯାହା y-ଅକ୍ଷକୁ ୯ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
‘C’ ବିନ୍ଦୁରୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ସଂଖ୍ୟା = 92
∴ 65%ରୁ ଅଧ୍ଵ ନମ୍ବର ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା 104 – 92 = 12

Question 10.
ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ନେଇ ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଲେଖ ଅଙ୍କନ କରି ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ	0-8	8-16	16-24	24-32	32-40	40-48	48-56
ବାରମ୍ବାରତା	4	8	14	23	15	11	5

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ	0-8	8-16	16-24	24-32	32-40	40-48	48-56
ବାରମ୍ବାରତା	4	8	14	23	15	11	5
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	4	12	28	49	64	75	80

ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{80}{2}\) = 40
ଅଙ୍କିତ ଲେଖ (ogive) ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯାହାର y- ସ୍ଥାନଙ୍କ = 40
P ବିନ୍ଦୁରୁ x- ଅକ୍ଷରେ ଲମ୍ବ PM ଅଙ୍କନ କରି P ବିନ୍ଦୁର x- ସ୍ଥାନଙ୍କ ସ୍ଥିର କରାଯାଇଛି ।
P ବିନ୍ଦୁର x ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 29 ।
ମଧ୍ୟମା = 29

Question 11.
ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଥ‌ିବା କେତେକ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ଦିଆଯାଇନାହିଁ । ଯଦି ବାରମ୍ବାରତାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 74 । ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା 36 ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ଆମକୁ ଜଣା ନଥ‌ିବା ଦୁଇ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ସ୍ଥିର କର ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ :	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା	2	8	?	20	12	?	4	3

ସମାଧାନ :

ମନେକର (20-30) ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = x
ସାରଣୀ 40 – 50 ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 42 + x
ଦତ୍ତ ଅଛି 50 – 60 ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 67
50-60 ସଂଭାଗ ବାରମ୍ବାରତା = 67 – (42 + x) = 25 – x
ଏଠାରେ ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{74}{2}\) = 37 ତମ ସ୍ଥାନ
ମଧ୍ୟମା = 36 (ଦତ୍ତ), ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 30 – 40 l₁= 30, l₂ = 40
i = l₁ – l₂ = 40 – 30 = 10 ଓ c = 10 + x
ମଧ୍ୟମା = l + \(\frac{m-c}{f}\) × i
⇒ 36 = 30 + \(\frac{37-(10+x)}{20}\) × 10
⇒ 36 -30 = \(\frac{37-10-x}{2}\)
⇒ 6 = \(\frac{27-x}{2}\) ⇒ 12 = 27 – x
⇒ x = 27 – 12 = 15
∴ (20 – 30) ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = 15
ଏବଂ (50 – 60) ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = 25

Question 12.
200 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ଗଣିତ ପରୀକ୍ଷାରେ ରଖିଥ‌ିବା ନମ୍ବର ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଶତକଡ଼ାରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

ନମ୍ବର ଶତକଡ଼ାରେ :	10-19	20-29	30-39	40-49	50-59	60-69	70-79	80-89
ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା :	6	12	20	46	57	37	15	7

(i) ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲେଖ ଅଙ୍କନ କରି ମଧ୍ୟମ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) ଗଣିତରେ 45% ନମ୍ବର ହାସଲ କରିଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :

ନମ୍ବର ଶତକଡ଼ାରେ	9.5-19.5	19.5-29.5	29.5-39.5	39.5-49.5	49.5-59.5	59.5-69.5	69.5-79.5	79.5-89.5
ବାରମ୍ବାରତା (f)	6	12	20	46	57	37	15	7
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c.f.)	6	18	38	84	141	178	193	200

[ବି.ଦ୍ର. : ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣ ବ୍ୟବସ୍ଥାର ଥିବା ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣ ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଛି ।]
ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{1}{2}\)(\(\frac{200}{2}+\frac{200}{2}+1\)) = \(\frac{1}{2}\)(100+101) = 100.5
(i) ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ : ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲେଖ ଉପରେ 100.5 ଚିହ୍ନ ପାଖରେ ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର । ଏହା ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲେଖକୁ ‘P’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ । ‘P’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ତାହାର ନାମ M ଦିଅ ।
M ଦ୍ବାରା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ M_d = 48

(ii) x ଅକ୍ଷରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ‘A’ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହାର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 45% ।
‘A’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂଲମ୍ବ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ଲେଖଚିତ୍ରକୁ ‘B’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
‘B’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ଆନୁଭୂମିକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା y-ଅକ୍ଷକୁ ୯ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
C ବିନ୍ଦୁରୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ସଂଖ୍ୟା = 80
45 % ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରସଂଖ୍ୟା = 200 – 80 = 120

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class English Solutions Lesson 2 The Thief and the Tiger Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 English Solutions Lesson 2 The Thief and the Tiger

Session – 1
Pre-Reading (ପ୍ରାକ୍-ପଠନ):

→ Man rides a horse or an elephant or a donkey. Does he ever ride a lion or a tiger or a bear? Why? See the picture below. What do you see? A man is riding a tiger. Is it possible? When? Where? Let’s read the story and see how.

ଲୋକଟି ଗୋଟିଏ ଘୋଡ଼ା, କିମ୍ବା ହାତୀ କିମ୍ବା ଗଧ ଉପରେ ଚଢ଼ିଛି । ସେ କେବେ ସିଂହ, କିମ୍ବା ବାଘ କିମ୍ବା ଭାଲୁ ଉପରେ ଚଢ଼ିଥାଏ କି ? କାହିଁକି ? ତଳେ ଥ‌ିବା ଚିତ୍ରଟିକୁ ଦେଖ । କ’ଣ ଦେଖୁଛ ? ଗୋଟିଏ ଲୋକ ବାଘ ଉପରେ ଚଢ଼ିଛି କେତେବେଳେ ? କେଉଁଠି ? ଆସ ଗପଟି ପଢ଼ି ସବୁକଥା ଜାଣିବା ।

II. While Reading

Text

• SGP – I
• Read paragraphs 1-3 silently and answer the questions that follow.
  (୧ମରୁ ୩ୟ ଅନୁଚ୍ଛେଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ପାଠକରି ନୀରବରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।)

1. Once …………………………………………… in the stable.
ଥରେ ଜଣେ ରାଜା ଥିଲେ । ସେ ତାଙ୍କର ବଳବାନ ଓ ଦ୍ରୁତଗାମୀ ଅଶୁମାନଙ୍କ ପାଇଁ ଖୁବ୍ ପ୍ରସିଦ୍ଧ ଥିଲେ । ସେ ସବୁଠାରୁ ଦକ୍ଷ ଶକ୍ତିଶାଳୀ ଘୋଡ଼ାମାନଙ୍କୁ ଆଣି ତାଙ୍କ ଘୋଡ଼ାଶାଳରେ ରଖୁଥିଲେ । ଦିନେ ଗୋଟିଏ ଚୋର ତାଙ୍କର ଗୋଟିଏ ଘୋଡ଼ାକୁ ଚୋରି କରିନେବାକୁ ଇଚ୍ଛା ପ୍ରକାଶ କଲା । ଗୋଟିଏ ବାଘ ଚୋରଟିର ଏ ଯୋଜନା ବିଷୟରେ ଜାଣିବାକୁ ପାଇଲା । ସେ ସେହି ଚୋରଟିର ମାଂସ ଖାଇବାକୁ ଚିନ୍ତାକଲା । ଏଣୁ ସେଇ ରାତିରେ ବାଘଟି ରାଜାଙ୍କ ଘୋଡ଼ାଶାଳରେ ଏକ ନିରାପଦ ସ୍ଥାନରେ ଛପିରହିଲା । ବାଘଟି ଘୋଡ଼ାମାନଙ୍କ ସହ ନୀରବରେ ଶାନ୍ତ ଅବସ୍ଥାରେ ଛିଡ଼ା ହୋଇ ରହିଲା । ସତେଯେମିତି ସେ ଘୋଡ଼ାଶାଳର ଅନ୍ୟ ଘୋଡ଼ାମାନଙ୍କ ପରି ଗୋଟିଏ ଘୋଡ଼ା ।

2. After sometime …………………………………………………… rode on it.
କିଛି ସମୟ ପରେ ଚୋରଟି ଘୋଡ଼ାଶାଳରେ ପ୍ରବେଶକଲା । ଘୋଡ଼ାଶାଳଟି ଅନ୍ଧାର ଥିଲା । ସେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଘୋଡ଼ାର ପିଠିରେ ହାତମାରି କେଉଁଟି ସବୁଠୁ ଶକ୍ତିଶାଳୀ ଘୋଡ଼ା ତାହା ପରୀକ୍ଷା କରିବାକୁ ଲାଗିଲା । ଶେଷରେ ସେ ବାଘର ପିଠିରେ ହାତ ପକାଇଲା । ଏଇଟି ସବୁଠୁ ଭଲ ଘୋଡ଼ା ବୋଲି ଚିନ୍ତାକଲା ଏବଂ ସେଇଟିକୁ ଘୋଡ଼ାଶାଳର ବାହାରକୁ ଆଣିଲା । ତା’ପରେ ସେ ବାଘର ପାଟିରେ ଲଗାମ ବାନ୍ଧିଲା ଏବଂ ତା’ଉପରେ ଚଢ଼ିଗଲା ।

3. The tiger ……………………………………… anything in the dark.
ବାଘର ଆଗରୁ ଏପରି କୌଣସି ଅଭିଜ୍ଞତା ନଥିଲା । ସେ ଚୋରକୁ ଅତି ଶକ୍ତିଶାଳୀ ବ୍ୟକ୍ତି ବୋଲି ଭାବିଲା । ସେ ଚୋରଟିକୁ ଭୟଙ୍କର ଭାବରେ ଡରିଯାଇଥିଲା । ଏଣୁ ଅତି ଦ୍ରୁତଗତିରେ ଦୌଡ଼ିବାକୁ ଲାଗିଲା । ଚୋରଟିର ମଧ୍ୟ ଏପରି ଏକ ପ୍ରାଣୀ ଉପରେ ଚଢ଼ିବାର ଅଭିଜ୍ଞତା ନଥିଲା । ସେ ଏହାକୁ ଅତି ଶକ୍ତିଶାଳୀ ଘୋଡ଼ା ବାଛି ଆଣିପାରିଛି ବୋଲି ଚିନ୍ତାକଲା । ସେ ଜାଣି ନଥିଲା ଯେ ସେ ଏକ ବାଘ ଉପରେ ଚଢ଼ିଛି କାରଣ ସ୍ଥାନଟି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅନ୍ଧକାର ଥିଲା ।

Word Meaning

famous : well-known to many people I renowned (ପ୍ରସିଦ୍ଧ, ବିଖ୍ୟାତ)
swift : fast moving (କ୍ଷିପ୍ର / ଶୀଘ୍ର ଗତି କରୁଥିବା)
stable : house for horses (ଘୋଡ଼ାଶାଳ)
steal : the act of taking something from someone unlawfully (ଚୋରିକରିବା)
plan : design / scheme (ଯୋଜନା)
flesh : meat (ମାଂସ)
hid : ଲୁଚାଇ

silently : without speaking / without making a sound (ନୀରବରେ )
touched: be in direct physical contact (ଛୁଇଁବା)
bridle: leather band put on the head of a horse to control its movement/reins
experience: the accumulation of knowledge or skills that results
from direct participation in events or activities (ଅନୁଭୂତି)
powerful : having great influence (କ୍ଷମତାଶାଳୀ / ବଳଶାଳୀ)
terribly : horribly / causing fear (ଭୟଙ୍କର ଭାବରେ)
imagine : fancy / think / suppose (କଳ୍ପନାକରିବା)

Comprehension Questions and Answers: (ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର)

Question 1.
What was the king famous for?
(ରାଜା କେଉଁଥୂପାଇଁ ପ୍ରସିଦ୍ଧ ଥିଲେ ?)
Answer:
The king was famous for his strong and swift horses.

Question 2.
What did the thief plan to do?
(ଚୋରଟି କ’ଣ କରିବାପାଇଁ ଯୋଜନା କଲା ?)
Answer:
The thief wanted to steal a horse.

Question 3.
Why did the tiger hide in the stable?
(ବାଘଟି ଘୋଡ଼ାଶାଳରେ ଛପିରହିଥିଲା କାହିଁକି ?)
Answer:
The tiger came to know about the thief’s plan and thought of eating the thief s flesh.

Question 4.
Why did the thief touch the back of each horse?
(ଚୋରଟି କାହିଁକି ପ୍ରତି ଘୋଡ଼ା ପିଠିରେ ହାତ ମାରୁଥିଲା ?)
Answer:
The thief touched the back of each horse to steal the best one.

Question 5.
Why did he think the tiger to be the best horse ?
(ସେ ବାଘକୁ କାହିଁକି ସର୍ବଶ୍ରେଷ୍ଠ ଘୋଡ଼ା ବୋଲି ଭାବୁଥିଲା ?)
Answer:
He thought the tiger was the best horse because he felt the tiger’s back was different from the other horses.

Question 6.
How did he ride on it?
(ସେ କିପରି ଏହା ଉପରେ ଚଢ଼ିଲା ?)
Answer:
He rode on the tiger putting a bridle on its mouth thinking it was a horse.

Question 7.
He did not know that he was riding a tiger. Why?
(ସେ ଜାଣି ନଥୁଲା ଯେ ସେ ଏକ ବାଘ ଉପରେ ଚଢ଼ିଥିଲା, ଏହାର କାରଣ କ’ଣ ?)
Answer:
He didn’t know that he was riding a tiger, because there was darkness inside the stable.

Question 8.
Where did the tiger run into?
(ବାଘ କେଉଁଠାକୁ ଦୌଡ଼ି ପଳାଇଲା ।)
Answer:
The tiger ran into the forest.

Session – 2

• SGP – 2
• Read paragraph 4 silently and answer the questions that follow.
  (ଚତୁର୍ଥ ଅନୁଚ୍ଛେଦଟି ପାଠକରି (ନୀରବରେ) ପ୍ରଦତ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।)

4. The day…………………………………… as it could.
ରାତି ପାହିଲା । ଅନ୍ଧକାର ଦୂରୀଭୂତ ହେଲା । ସେତେବେଳେ କେବଳ ସେ ଜାଣିପାରିଲା ଯେ ସେ ଭୁଲବଶତଃ ଗୋଟିଏ ବାଘ ଉପରେ ଚଢ଼ିଛି । ସେ ଭୟଭୀତ ହୋଇପଡ଼ିଲା । ବାଘଟି ମଧ୍ୟ ଭୟଭୀତ ହୋଇ ଅଧିକ ଦ୍ରୁତଗତିରେ ଦୌଡୁଥାଏ । ଚୋରଟି କ’ଣ କରିବ, ସ୍ଥିର କରିପାରିଲା ନାହିଁ । ସେ ପ୍ରାୟ ଅଚେତ ହେବାଭଳି ଅନୁଭବ କଲା । ଦୌଡୁଥିବାବେଳେ ବାଘ ଗୋଟିଏ ଗଛଦେଇ ଦୌଡ଼ୁଥିଲା । ଏହି ସମୟରେ ଚୋରଟି ଗଛର ଡାଳକୁ ଧରି ଗଛ ଉପରେ ଚଢ଼ିଗଲା । ବାଘ ଖୁସି ଅନୁଭବ କଲା । କାରଣ ସେ ଲୋକଟି ପାଇଁ ସେ ଅତ୍ୟଧ୍ୱ ଭୟଭୀତ ହୋଇପଡ଼ିଥିଲା । ପାରୁପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଦ୍ରୁତ ବେଗରେ ବାଘଟି ବଣମଧ୍ୟକୁ ଦୌଡ଼ିଲା ।

Word Meaning

dawn : day break / beginning of the day (ପ୍ରଭାତ / ଉଷା)
disappear : vanish from sight (ଅନ୍ତର୍ଦ୍ଧାନ ହୋଇଯିବା / ଅଦୃଶ୍ୟ ହୋଇଯିବା)
frightened : scared / intense fear (ଭୟଭୀତ କରାଇବା)
fast : swift (ଦୃତ / ଦ୍ରୁତଗାମୀ)
faint : to feel weak and lose consciousness (ଅଚେତ ହୋଇଯିବା)
passed : to cross (ଅତିକ୍ରମ କରିବା)
branch : part of a tree (ଶାଖା)
climb : ascend (ଚଢ଼ିବା)

Comprehension Questions and Answers: (ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର)

Question 1.
When did the thief come to know that he was riding a tiger?
(ଚୋରଟି କେତେବେଳେ ଜାଣିପାରିଲା ଯେ ସେ ଏକ ବାଘ ଉପରେ ଚଢ଼ିଛି ?)
Answer:
When the day dawned and darkness disappeared the thief came to know that he was riding a tiger.

Question 2.
How did he save himself?
(ସେ କିପରି ନିଜକୁ ରକ୍ଷାକଲା ?)
Answer:
When the tiger ran by a tree beside the road the thief caught hold of one of the branches of the tree and climbed up.

Question 3.
Why was the tiger happy?
(ବାଘ କାହିଁକି ଖୁସି ହୋଇଗଲା ?)
Answer:
The tiger was terribly afraid of the rider. So when the rider climbed up the tree he was happy.

• SGP – 3 (Text book page No. 34)
• Read paragraphs 5 – 8 silently and answer the questions that follow.
  (୫ମ ଠାରୁ ଅଷ୍ଟମ ଅନୁଚ୍ଛେଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ନୀରବରେ ପାଠକରି ପ୍ରଦତ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।)

5. After…………………………………………. dead body.
କିଛି ସମୟ ପରେ ଚୋରଟି ଗଛ ଉପରୁ ଓହ୍ଲାଇ ଗଛତଳେ ବିଶ୍ରାମ ନେଲା । ଅତ୍ୟଧ‌ିକ ଭୟ ଓ କ୍ଳାନ୍ତ ଅନୁଭବ କରିଥିବାରୁ ସେ ସେଠାରେ ଶୋଇପଡିଲା । ଗଭୀର ନିଦ୍ରା ଯୋଗୁଁ ସେ ଗୋଟିଏ ମୃତ ଶବଭଳି ଜଣାପଡୁଥିଲା । ସେହି ବାଟଦେଇ ଗୋଟିଏ ଗଧ୍ଵ ଯାଉଥିଲା । ସେ ଲୋକଟିକୁ ଏକ ମୃତ ଶବ ଭାବି ତା’ର ମାଂସ ଖାଇବାକୁ ଇଚ୍ଛାକଲା । ସେ ମନକୁମନ କହିଲା, ମୁଁ କି ଭାଗ୍ୟବାନ, ଏଇ ଶବଟି ମୋର ସପ୍ତାହେରୁ ଅଧିକ କାଳ ଖାଦ୍ୟ ହୋଇପାରିବ । କିନ୍ତୁ କେହିଜଣେ ଏହାକୁ ବଣଭିତରକୁ ଟାଣିନେବାପାଇଁ ମୋତେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବା ଦରକାର ।

6. Thinking so, ………………………………….. with a rope”.
ଏଇକଥା ଚିନ୍ତା କରି ଗଧ୍ଵ ଆଉ ଅନ୍ୟ ଗୋଟିଏ ପ୍ରାଣୀର ସାହାଯ୍ୟ ପାଇଁ ବଣ ଭିତରକୁ ଗଲା ଏବଂ ସେଇ ବାଘଟି ସହିତ ତା’ର ସାକ୍ଷାତ ହେଲା । ସେ ବାଘକୁ କହିଲା, ‘ବାଘ ମହାଶୟ’ ଗୋଟିଏ ମଣିଷର ଶବକୁ ଟାଣି ଆଣିବାରେ ମୋତେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବ କି ? ମୁଁ ଏହାର ଅଧା ତୁମକୁ ଦେବି । ‘ଗତ ରାତିରେ ଘଟିଥିବା ଘଟଣାର ଅନୁଭୂତିରୁ ବାଘ କହିଲା, ‘ତୁମେ ମୋତେ ଠକିଦେବ ନାହିଁ ତ ? ମୋତେ ଏକା ଛାଡ଼ିଦେଇ ତୁମେ ଦୌଡ଼ି ପଳାଇଯିବନି ତ ? ‘ଗଧ୍ଵ କହିଲା, ‘ଆମେ ଦୁହେଁ ଦିହିଁଙ୍କୁ ଗୋଟିଏ ଦଉଡ଼ିରେ ବାନ୍ଧିଦେବା, ତା’ହେଲେ କେହି କାହାକୁ ଛାଡ଼ି ପଳାଇ ଯାଇପାରିବା ନାହିଁ ।’’

7. The wolf ……………………………………. wolf died.
ଗଧ୍ଵ ଓ ବାଘ ଦୁହେଁ ଦୁହିଁଙ୍କୁ ଗୋଟିଏ ଦଉଡ଼ିରେ ବାନ୍ଧି ସନ୍ତର୍ପଣରେ ଶବ ପାଖକୁ ଚାଲିଲେ । ଚୋରଟି ନିଦରୁ ଉଠିଯାଇଥିଲା । ସେ ଏମାନଙ୍କ ଆସିବା ଜାଣିପାରି ଭୟରେ ଚିତ୍କାର କରି କହିଲା, ‘ହଇରେ ବାଘ ତୁ ପୁଣି ଆସିଛୁ ?’’ ଏବେ ବାଘଟି ସେ ଚୋରକୁ ପୁଣି ଦେଖ୍ ଭୟଭୀତ ହୋଇପଡ଼ିଲା ଏବଂ ଗଧୂକୁ ଘୋଷାରିନେଇ ଯେତେ ପାରେ ସେତେ ଜୋର୍‌ରେ ଦଉଡ଼ିବାକୁ ଲାଗିଲା । ବିଚରା ଗଧୂଟି ବାଟରେ ମରିଗଲା ।

8. Since …………………………………………………… that day.
ସେବେଠୁ ବାଘ ଆଉ ମଣିଷ ମାଂସ ନ ଖାଇବା ପାଇଁ ପ୍ରତିଜ୍ଞାକଲା । ଚୋରଟି ମଧ୍ୟ ରକ୍ଷା ପାଇଯାଇଥିବାରୁ ଖୁସି ହେଲା ଏବଂ ସେ ମଧ୍ୟ ଆଉ ଚୋରି ନ କରିବାପାଇଁ ପ୍ରତିଜ୍ଞାକଲା ।

Word Meaning

tired: of strength or energy (କ୍ଳାନ୍ତ)
wolf: a wild carnivorous animal (ଗଧୂ)
luck : destiny/fate / fortune (ଭାଗ୍ୟ)
last : continue to stay (ଚାଲୁ ରଖୁବା | ତିଷ୍ଠିବା)
drag : to pull by force (ଘୋଷାରିଘୋଷାରି ଟାଣିନେବା)
suspicious: a doubtful condition, feeling that something is wrong (ସନ୍ଦେହପରାୟଣ )
cheat: betray/deceive (ଠକିବା)
leave: to give up/abandon (ଛାଡ଼ିବା)
alone : lonely (ଏକୁଟିଆ)
suggest : to give opinion (ମତାମତ ଦେବା)
tie : to tag/join (ବାନ୍ଧିବା / ସଂଯୁକ୍ତ କରିବା)
rope : twisted cord (ଦଉଡ଼ି / ରଜ୍ଜୁ)
awake: rise/get up (ଉଠିପଡ଼ିବା)
footsteps: found of feet/sound, of a person walking (ପାଦ ଶବ୍ଦ)
promised : to make a promise / assure (ପ୍ରତିଜ୍ଞାକରିବା)
desire: want/like to get (ଇଚ୍ଛା).
give up: to avoid/abandon (ଛାଡ଼ିଦେବା )
stealing: to take others without knowledge (ଚୋରି)

Comprehension Questions and Answers: (ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନୋତ୍ତର)

Question 1.
Why did the thief fall fast asleep?
(ଚୋରଟି ଗଭୀର ନିଦ୍ରାରେ ଶୋଇଁପଡ଼ିଲା କାହିଁକି ?)
Answer:
The thief fell fast asleep because he was afraid and tired.

Question 2.
Who saw him ? What was his plan ?
(କିଏ ତାକୁ ଦେଖୁଲା ? କ’ଣ ସେ ଚିନ୍ତାକଲା ?)
Answer:
A wolf saw him. He thought he as dead and planned to use him as his food for more than a week long.

Question 3.
What did he want the tiger to do?
(ସେ ବାଘକୁ କଣ କରିବାପାଇଁ ଚାହିଁଲା ?)
Answer:
He wanted the tiger to help him to drag the dead body into the forest.

Question 4.
What did the tiger say?
(ବାଘ କ’ଣ କହିଲା ?)
Answer:
The tiger asked him if he was going to cheat him or not.

Question 5.
“Won’t you run away leaving me alone ?” Who said this?
(ତୁ ମୋତେ ଏକୁଟିଆ ଛାଡ଼ି ପଳାଇଯିବୁନି ତ ? ଏକଥା କିଏ କହିଲା ?)
Answer:
“Won’t you run away leaving me alone ?” The tiger said this to the wolf.

Question 6.
What did the wolf say?
(ଗଧୂଟି କ’ଣ କହିଲା ?)
Answer:
The wolf suggested to the tiger that they would tie each other with a rope so that no one of them could run away leaving another.

Question 7.
What awoke the thief?
(ଚୋରଟି କାହିଁକି ଉଠିପଡ଼ିଲା ?)
Answer:
The footsteps of the tiger and the wolf awoke the thief.

Question 8.
Why did the tiger run away?
(ବାଘ କାହିଁକି ଦୌଡ଼ି ପଳାଇଲା ?)
Answer:
The tiger ran away frightened of the thief.

Question 9.
How did the wolf die?
(ଗଧୂ ମଲା କିପରି ?)
Answer:
The wolf died being dragged by the tiger as they tied each other with a rope.

Question 10.
What did the tiger promise?
(ବାଘ କ’ଣ ପ୍ରତିଜ୍ଞା କଲା ?)
Answer:
The tiger promised no to desire for human flesh any more.

Question 11.
What did the thief stop doing?
(ଚୋର ସେହିଦିନଠାରୁ କ’ଣ ନ କରିବାକୁ ସ୍ଥିରକଲା ?)
Answer:
The thief stopped stealing from that day.

Session – 3
III. Post-Reading (ପଢ଼ିବା ପରେ)

1. Visual Memory Development Technique (VMDT)
Whole Text : the tiger and the thief in the stable……
(ଘୋଡ଼ାଶାଳରେ ବାଘ ଏବଂ ଚୋର…
the tiger with the thief on its back ran for life
(ବାଘ ଚୋରକୁ ପିଠିରେ ବସାଇ ଜୀବନବିକଳରେ ପଳାଇଲା)
……….. the thief and the tiger save themselves
(ଚୋର ଏବଂ ବାଘ ଉଭୟେ ନିଜ ନିଜକୁ ରକ୍ଷାକଲେ ।
……………the wolf’s plan and he died.
(ଗଧୂର ଯୋଜନା ଏବଂ ତା’ର ମୃତ୍ୟୁ)

Part Text (Para-5): “What good luck !, This dead man will last me more than a week. But someone should help me drag the dead body”.
(କି ଭାଗ୍ୟ ! ଏହି ଶବଟି ମୋର ସପ୍ତାହେରୁ ଅଧିକକାଳ ଖାଦ୍ୟ ହୋଇ ପାରିବ । କିନ୍ତୁ ଏହାକୁ ଘୋଷାରିନେବାପାଇଁ ମୋତେ କେହିଜଣେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବା ଦରକାର ।)

2. Comprehension Activity : (ବୋଧ ପରିମାପକ କାର୍ଯ୍ୟାବଳୀ)

(a) Choose the correct alternatives and complete each sentences.
(ଠିକ୍ ବିକଳ୍ପ ବାଛି ବାକ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣ କର ।)

Question 1.
The thief put a _______________ on the tiger’s mouth.
(A) saddle
(B) bridle
(C) chain
(D) rope
Answer:
(B) bridle

Question 2.
When the tiger and the thief saw each other, _______________.
(A) only the tiger was frightened
(B) only the thief was frightened
(C) both were frightened
(D) none was frightened
Answer:
(C) both were frightened

Question 3.
“What a good luck !“ said _______________.
(A) the king
(B) the tiger
(C) the thief
(D) the wolf
Answer:
(D) the wolf

Question 4.
The wolf’s final plan was to ________ the dead body.
(A) drag
(B) bury
(C) burn
(D) eat
Answer:
(D) eat

Question 5.
Seeing the thief, the tiger ran for life _______________ the wolf.
(A) dragging
(B) carrying
(C) leading
(D) following
Answer:
(A) dragging

(b) Given below are some sentences. They are about what happened in the story. But they are not in the right order. Fill in the boxes with correct serial numbers to rearrange the sentences. (ତଳେ କେତେକ ବାକ୍ୟ ଲେଖାହୋଇଛି । ସେଗୁଡ଼ିକ ଗଳ୍ପରେ ଘଟିଯାଇଥିବା ଘଟଣା ସମ୍ପର୍କିତ । କିନ୍ତୁ ସେଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ ନାହାନ୍ତି । ବାମପଟେ ଥ‌ିବା ଖାଲି ଘରଗୁଡ଼ିକରେ ଠିକ୍ କ୍ରମ ନମ୍ବର ଲେଖ୍ ବାକ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ସଜାଅ ।)

[ ] The wolf requested the tiger to drag the man.
[ ] The thief got up.
[ ] The tiger among the horses stood silently.
[ ] Once, a thief came inside the stable to steal a horse.
[ ] It was dark everywhere.
[ ] The thief fell asleep like a dead man.
[ ] He climbed up a tree.
[ ] He thought the tiger to be the best horse.
[ ] The tiger ran for life dragging the wolf.
[ ] At night a tiger entered the stable.
[ ] The wolf and the tiger tied each other with a rope.

Answer:
[ 8 ] The wolf requested the tiger to drag the man.
[ 10] The thief got up.
[ 3 ] The tiger among the horses stood silently.
[ 1 ]Once, a thief came inside the stable to steal a horse.
[ 4 ] It was dark everywhere.
[ 7 ] The thief fell asleep like a dead man.
[ 6 ] He climbed up a tree.
[ 5 ] He thought the tiger to be the best horse.
[ 11] I The tiger ran for life dragging the wolf.
[ 2 ] At night a tiger entered the stable.
[ 9 ] The wolf and the tiger tied each other with a rope.

Session – 4

3. Listening : (ଶ୍ରବଣ)
On the chart below, the characters in the story are written in the boxes from left to right at the top. Some words related to the characters are given in the boxes from top to bottom at the left. Your teacher will read out the words one by one. Listen to him/her carefully and put a tick (✓) in the box on the word line below the character. One is done for you.
(ତଳ ଚାର୍ଟରେ ବିଷୟର ଚରିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ପୃଷ୍ଠାର ଅଗ୍ରଭାଗରେ ବାମରୁ ଡାହାଣକୁ ଲେଖାଯାଇଛି । ସେମାନଙ୍କ ଚରିତ୍ର ସହିତ ଖାପଖାଉଥ‌ିବା କେତେକ ଶବ୍ଦ ଉପରୁ ତଳକୁ ବାମପଟେ ଲେଖାଯାଇଛି । ତୁମ ଶିକ୍ଷକ ସେ ଶବ୍ଦଗୁଡ଼ିକୁ ଗୋଟିଏ ପରେ ଗୋଟିଏ ପାଠକରିବେ । ଯତ୍ନର ସହିତ ତାଙ୍କ ଶବ୍ଦଗୁଡ଼ିକ ଶୁଣ ଏବଂ ଶବ୍ଦ ଧାଡ଼ି ପାଖରେ ଥ‌ିବା ଖାଲି ଘରମାନଙ୍କରେ ସେମାନଙ୍କ ଚରିତ୍ରର ଗୁଣକୁ ଖାପଖାଉଥ‌ିବା ଶବ୍ଦ ପାଖରେ ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।)

Answer:

Characters	thief	horse	tiger	wolf
Words
Strong			✓
flesh	✓
drag	✓
steal	✓
swift		✓	✓
speed			✓
Search	✓
ride	✓
stable	✓
run			✓
died				✓
branch
Forest			✓	✓
bridle		✓
slept	✓

4. Speaking : (କଥନ)
• Practise the following dialogues.
(ନିମ୍ନ ସଂଳାପଗୁଡ଼ିକ ଅଭ୍ୟାସ କର ।)
• Step : (କେଉଁ କେଉଁ ସ୍ତରଦେଇ ଏହି ସଂଳାପ ପାଠ କରାଯିବ ।)
• Rehearsal-teacher reads aloud, and students listen. The teacher reads aloud and students repeat after him/her dialogue by dialogue.
• Teacher vs Students.
• Students vs students (in two groups)
(ଶିକ୍ଷକ ପାଟି କରି ପଢ଼ିବେ – ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ଶୁଣିବେ)
ଶିକ୍ଷକ ପାଟି କରି ପାଠ କରିବାପରେ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଆଉଥରେ ଦୋହରାଇ କହିବେ ।
ଶିକ୍ଷକ –
କହିବେ –
ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ କହିବେ – କହିବେ ।
ପରସ୍ପର ସହିତ – (ଦୁଇଟି ଦଳରେ ବିଭକ୍ତ ହୋଇ)
(They do this reading from the text.)

Wolf : Good Luck ! This dead man will last me more than a week.
But who will help me drag the dead body ?
Tiger: What are you looking for, Mr. Wolf?
Wolf: Mr. Tiger, will you help me drag this dead body?
Tiger: Why should I?
Wolf: I’ll give you half of it. ,
Tiger: Aren’t you going to cheat me?
Wolf: No, no, not at all. How can I?
Tiger: Won’t you run away leaving me alone?
Wolf: How can that be? We’ll tie each other with a rope.
Tiger: Good idea! That’ll do.

Session – 5

5. Vocabulary : (ଶବ୍ଦଜ୍ଞାନ)
Match who lives where. Write the serial numbers in brackets. One is done for you.

Answer:

Session  – 6

6.  Writing : (ଲିଖନ)

a. In comprehension Activity No. 2 b you have rearranged the sentences of the story. Use the sentences serially and write the story in the space given below. (ସଂପ୍ରତି କାର୍ଯ୍ୟ ପ୍ରକ୍ରିୟା No. 2(b)ରେ ଗଛର ବାକ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ କ୍ରମରେ ସଜାଯାଇଛି ।ବାକ୍ୟଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମ ଅନୁସାରେ ଲେଖୁ ଗଳ୍ପଟି ପ୍ରସ୍ତୁତ କର ।)

The Thief And The Tiger
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
Answer:

• Once a thief came inside the stable to steal a horse. At night a tiger entered the stable.
• The tiger among the horses stood silently.
• It was dark everywhere.
• He thought the tiger to be the best horse.
• He climbed up a tree.
• The thief fell asleep like a dead man.
• The wolf requested the tiger to drag the man.
• The wolf and the tiger tied each other with a rope.
• The thief got up.
• The tiger ran for life dragging the wolf.

(b). Write answers to the following questions.

Question (i).
Where did the thief and the tiger hide? Why?
(ଚୋର ଏବଂ ବାଘ କେଉଁଠି ଲୁଚିଥିଲେ ? କାହିଁକି ?)
Answer:
They hid in the king’s stable.
The thief wanted to steal a horse.
The tiger thought of eating man’s flesh.

Question (ii).
Why did the thief think the tiger to be the best horse?
(ଚୋର ବାଘକୁ କାହିଁକି ସର୍ବଶ୍ରେଷ୍ଠ ଘୋଡ଼ା ବୋଲି ଭାବିଲା ?)
Answer:
He thought so because the back of the tiger gave him a smooth silky touch.

Question (iii).
Why was the thief frightened when it was the day?
(ଦିନ ହୋଇଯିବା ପରେ ଚୋରଟି ଭୟଭୀତ ହୋଇପଡ଼ିଲା କାହିଁକି ?)
Answer:
The thief was frightened when it was the day because he could not see due to darkness inside the stable at night.

Question (iv).
How did he save himself?
(ସେ କିପରି ନିଜକୁ ରକ୍ଷାକଲା ?)
Answer:
When the tiger was running in fear with great speed passing under a tree the thief was caught hold of one branch of the tree and climbed up.

Question (v).
Where did the theif take rest? Why did he fall asleep?
(ଚୋର କେଉଁଠି ବିଶ୍ରାମ ନେଲା ? ସେ କାହିଁକି ଗଭୀର ନିଦ୍ରାରେ ଶୋଇପଡ଼ିଲା ?)
Answer:
The thief took rest under the tree.

Question (vi).
What was the wolf’s plan?
(ଗମ୍ଵାର ଯୋଜନା କ’ଣ ଥିଲା ?)
Answer:
The wolf planned to use the dead body as his food for more than a week long.

Question (vii).
What sort of help did the wolf want from the tiger? What was his offer to him?
(ଗଧୂଆ ବାଘ ନିକଟରୁ କିପରି ସାହାଯ୍ୟ ଆଶା କରିଥିଲା । ସେ ତାକୁ କେଉଁ ଉପହାର ଦେବାପାଇଁ ପ୍ରତିଶୃତି ଦେଲା ?)
Answer:
The wolf wanted the tiger to help him drag the body to the safest place in the forest.

Question (viii).
What was the tiger’s suspicion?
(ବାଘର ସନ୍ଦେହ କ’ଣ ଥିଲା ?)
Answer:
The tiger feared that the wolf would cheat him and run away leaving him alone.

Question (ix).
Why did the two animals tie each other with a rope?
(କାହିଁକି ଦୁଇଜଣ ପ୍ରାଣୀ ପରସ୍ପରକୁ ଏକ ଦଉଡ଼ିରେ ବାନ୍ଧିଲେ ?)
Answer:
The two animals tied each other with a rope so that neither of them could cheat or run away living another.

Question (x).
What did the tiger do when the thief shouted at him?
(ମଣିଷର ବଡ଼ପାଟି ଶୁଣି ବାଘ କ’ଣ କଲା ?)
Answer:
The tiger ran as fast as he could getting frightened and seeing the thief.

Question (xi).
What did the tiger promise?
(ବାଘ କ’ଣ ପ୍ରତିଜ୍ଞାକଲା ?)
Answer:
The tiger promised not to desire for human flesh anymore.

Question (xii).
What did the thief stop doing?
(ଚୋର କେଉଁ ଅଭ୍ୟାସ ବନ୍ଦ କରିଦେଲା ?)
Answer:
The thief stopped stealing anymore.

Session – 7

7. Mental Talk : (ମାନସିକ ଆଳାପ)

• The tiger was stronger than the thief, but not so clever. Fear made him weaker.
  (ବାଘ ମଣିଷଠାରୁ ବଳବାନ ଥିଲା; କିନ୍ତୁ ଚତୁର ନଥିଲା । ଭୟ ତାକୁ ଦୁର୍ବଳ କରିଦେଲା ।)
• Mind power is mightier than muscle power.
  (ମନର ବଳ ଶାରୀରିକ ବଳଠାରୁ ଅଧୁକ ଶକ୍ତିଶାଳୀ)

Tail-Piece

Did you like the story, “The Thief and The Tiger”?
(ଚୋର ଏବଂ ବାଘ ଗଳ୍ପଟି ଭଲ ଲାଗିଲା କି ?)
Read a story here, is more interesting than this.
(ଆଉ ଗୋଟିଏ ଏହିପରି ଗପ ପଢ଼ । ଏହାଠାରୁ ଅଧିକ ମନୋରଞ୍ଜନ କି)

The Liger On A Tiger (ବାଘ ଏବଂ ଫାଘ)

One day…………………………………………………. they could.

ଦିନେ ଗୋଟିଏ ଲୋକର ଘୋଡ଼ାଛୁଆଟି ହଜିଯାଇଥିଲା । ସେ ତାକୁ ଖୋଜି ଖୋଜି ବଣଭିତରକୁ ପଶିଯାଇଥିଲା । ସେ ବହୁତ କ୍ଳାନ୍ତ ହୋଇପଡ଼ିଥିଲା ଏବଂ ଆଗକୁ ଯିବାକୁ ଅକ୍ଷମ ହୋଇପଡ଼ିଥିଲା । ସେ ଘରକୁ ଫେରିଆସିବାକୁ ଇଚ୍ଛାକଲା । ମାତ୍ର ଘରକୁ ଫେରିବା ବାଟ ନପାଇ ବାଉଳା ହୋଇଗଲା । ସେତେବେଳକୁ ରାତି ହୋଇଯାଇଥିଲା । ଘରକୁ ଫେରିଯିବା ଆଉ ସମ୍ଭବ ନଥିଲା । ସେ ଗୋଟିଏ କୁଡ଼ିଆ ଦେଖିବାକୁ ପାଇଲା । ଏହା ଗୋଟିଏ ବୁଢ଼ୀଲୋକର କୁଡ଼ିଆ ଥିଲା । ଲୋକଟି ସେଠାରେ ଆଶ୍ରୟ ନେବାକୁ ବୁଢ଼ୀକୁ ଅନୁରୋଧ କଲା । ତା’ଘରେ ମାତ୍ର ଦୁଇଟି କୋଠରି ଥିଲା । ସେ ଗୋଟିଏ କୋଠରିରେ ତାରି ନାତୁଣୀ ସହିତ ରହୁଥିଲା ଏବଂ ଅନ୍ୟ କୋଠରିଟିରେ ଘରର ଜିନିଷପତ୍ର ସବୁ ରହିଥିଲା । ସେହି ଭଣ୍ଡାରଘରେ ତାକୁ ରହିବାକୁ ବୁଢ଼ୀ ଅନୁମତି ଦେଲା ।

ନାତୁଣୀଟି ଘୋଡ଼ାଛୁଆ ବିଷୟରେ କିଛିକିଛି ଶୁଣିଥିଲା । ଏଣୁ ସେ ଲୋକଟି ପାଖକୁ ଯାଇ ଘୋଡ଼ାଛୁଆ ବିଷୟରେ ସବୁକଥା ଜାଣିବାକୁ ଚାହିଁଲା । କିନ୍ତୁ ତା’ର ବୁଢ଼ୀ ମା’ ତାକୁ କହିଲା, ‘ଆଦୌ ନୁହେଁ । ତୁ ସେଠାକୁ ଆଦୌ ଯିବା ଉଚିତ ନୁହେଁ । ସେଠାରେ ବାଘ ଫାଘ ତୋତେ ଟେକିନେଇଯିବେ ।’’ ପ୍ରକୃତରେ ‘ଫାଘ’ ବୋଲି କୌଣସି ପ୍ରାଣୀ ନଥିଲା । କିନ୍ତୁ ବୁଢ଼ୀ ଘର ପଛପଟକୁ ପ୍ରତିଦିନ ଆସୁଥ‌ିବା ବାଘଟି ବୁଢ଼ୀ ମୁହଁରୁ ଫାଘ ସମ୍ପର୍କରେ ଶୁଣିବାକୁ ପାଇ ବିଚଳିତ ହୋଇପଡ଼ିଲା । ସେ ଭାବିଲା ବୋଧହୁଏ ଫାଘଟି ତା’ଅପେକ୍ଷା ଅଧିକ ଭୟଙ୍କର ଏକ ପ୍ରାଣୀ । ସେ ଗୋଟିଏ ରାକ୍ଷସ କିମ୍ବା ଭୂତ । ସେ ଖୁବ୍ ଭୟଭୀତ ହୋଇପଡ଼ିଲା । ସେ ସେଠାରୁ ପଳାଇଯିବାକୁ ଉପାୟ ଖୋଜିଲା । ଟିକିଏ ପରେ ଲୋକଟି ବାହାରକୁ ଆସି ଏହା ଦେଖିଲା ।

ସେତେବେଳକୁ ସକାଳ ହୋଇ ଆସୁଥାଏ । ସେଇ ଜାଲୁଜାଲୁଆ ଅନ୍ଧାର ଭିତରେ ଲୋକଟି ବାଘଟିକୁ ଦେଖି ତା’ର ଘୋଡ଼ାଛୁଆ ବୋଲି ଭାବିଲା । ସେ ସଙ୍ଗେ ସଙ୍ଗେ ସେଠାକୁ ଛୁଟିଯାଇ ବାଘର ମୁହଁକୁ ଗୋଟିଏ କନାରେ ବାନ୍ଧିପକାଇଲା । ଏହାଫଳରେ ବାଘର କାନ, ନାକ, ମୁଣ୍ଡ ଓ ବେକ ଜଣାପଡ଼ିଲା ନାହିଁ । ସେ ସଙ୍ଗେ ସଙ୍ଗେ ବାଘର ପିଠିରେ ବସିଗଲା । ବାଘର କି ଭୟ ! ସେ ଲୋକଟିକୁ ଫାଘ ବୋଲି ଭାବି ଜୀବନ ବିକଳରେ ଦୌଡ଼ିବାକୁ ଲାଗିଲା । ଯେତେବେଳେ ରାତି ପାହିଲା, ଲୋକଟି ଦେଖିଲା ଯେ ସେ ଗୋଟିଏ ବାଘ ପିଠିରେ ବସିଛି । କ’ଣ କରିବ ? କେମିତି ସେ ବାଘ ପିଠିରୁ ଖସି ଜୀବନ ବଞ୍ଚାଇବ ! ଯେତେବେଳେ ବାଘଟି ଗୋଟିଏ ବରଗଛ ତଳ ଦେଇ ଦୌଡୁଥିଲା, ଲୋକଟି ସେହି ସମୟରେ ବରଗଛର ଏକ ଡାଳକୁ ଧରି ଗଛ ଉପରେ ଚଢ଼ିଗଲା ଏବଂ କହିଲା, ‘ହେ ଭଗବାନ ! ତୁମକୁ ଧନ୍ୟବାଦ !

ଯାହାହେଉ ମୁଁ ବଞ୍ଚିଯାଇଛି ।’’ ବାଘଟି ମଧ୍ୟ ଫାଘ କବଳରୁ ମୁକ୍ତି ପାଇ ନିଜକୁ ଧନ୍ୟ ମନେକଲା । ବାଘଟି ଦୌଡ଼ି ନ ପଳାଇ ଗଛତଳେ ନିଶ୍ଵାସ ମାରିଲା ଏବଂ ଅନ୍ୟ ବାଘମାନଙ୍କୁ ଚିତ୍କାର କରି ଗଛ ଉପରେ ଥ‌ିବା ଭୟଙ୍କର ପ୍ରାଣୀ ଫାଘ ବିଷୟରେ ଜଣାଇଲା । ସବୁ ବାଘମାନେ ଆସି କହିଲେ, ‘ଖବର କ’ଣ ? କିଏ ତୁମର ମୁହଁ ବାନ୍ଧି ପକାଇଛି ?’’ ବାଘଟି ଦୀର୍ଘଶ୍ଵାସ ମାରି କହିଲା, ‘‘ଭାଇମାନେ ! ମୁଁ ମୃତ୍ୟୁମୁଖରୁ ବଞ୍ଚ୍ ଫେରିଆସିଛି । ମୋତେ ଗୋଟିଏ ‘ଫାଘ’ ଧରିନେଇଥିଲା । ମୁଁ ତାକୁ ପୂଜା ଅର୍ପଣ କରିବାକୁ ପ୍ରତିଜ୍ଞା କରିବାରୁ ସେ ମୋତେ ଛାଡ଼ିଦେଇଛି । ମୁଁ ଯଦି ତାକୁ ପୂଜା ଅର୍ପଣ ନଦିଏ; ତେବେ ସେ ମୋତେ ପୁଣି ଧରିନେଇଯିବ । ‘‘ଏକଥା ଶୁଣି ସବୁ ବାଘ ‘ଫାଘ’କୁ ପୂଜା କରି ଗଣ୍ଡା, ମଇଁଷି ପ୍ରଭୃତି ବିଭିନ୍ନ ଦ୍ରବ୍ୟ ଅର୍ପଣ କରିବାକୁ ଲାଗିଲେ । ଲୋକଟି ତା’ଜୀବନରେ କେବେ ହେଲେ ଏତେସଂଖ୍ୟକ ବାଘ ଏକାଠି ହେବାର ଦେଖି ନଥିଲା ।

ସେ ଖୁବ୍ ଭୟ ପାଇଗଲା । ସେ ଗଛ ଉପରେ ବସି ଥରିବାକୁ ଲାଗିଲା । ଉଭୟ ଲୋକ ଏବଂ ଗଛ ଦୋହଲୁଥିଲେ । ବାଘମାନେ ମଧ୍ୟ ଭୟ ପାଇ ଯାଇଥିଲେ । ସେମାନେ ଉପରକୁ ଚାହିଁଲେ; ମାତ୍ର ପତ୍ରଗହଳରେ ଲୋକଟିକୁ ଦେଖୁରିଲେ ନାହିଁ । ଲୋକର ପିନ୍ଧାଲୁଗାର ଶେଷ ଅଂଶଟି ଗୋଟିଏ ଡାଳରୁ ଓହଳିଥିଲା । ସେମାନେ ଏହା ପତ୍ରଗହଳ ମଧ୍ୟରେ ଜାଣିପାରିଲେ ନାହିଁ । ସେମାନେ ଏହାକୁ ଏକ ଲାଞ୍ଜ ବୋଲି ଭାବିଲେ । ଏହା ଦେଖ୍ ଗୋଟିଏ ବୁଢ଼ା ବାଘ କହିଲା, ‘ଏହା ଏକ ବିପଜ୍ଜନକ ଜୀବଭଳି ଲାଗୁଛି । ଏହା ନିଶ୍ଚୟ ଲାଇଗର ।’’ ଏହା ଶୁଣି ସମସ୍ତ ବାଘ ଚିତ୍କାର କରି ଉଠିଲେ, ‘‘ସେ ଆମକୁ ଧରିନେବ, ଜୀବନ ବଞ୍ଚାଇ ପଳାଇଯାଅ ।’’ ଏବଂ ସମସ୍ତେ ଯେତେ ଜୋର୍‌ରେ ପାରିଲେ ଦୌଡ଼ବାକୁ ଲାଗିଲେ ।

Word Meaning

dangle: to hang or swing loosely (ଉପରୁ ଓହଳିବା / ଝୁଲିରହିବା)
escape: to get free from something (ଖସି ପଳେଇବା)
flutter: to move by waving quickly and lightly
huge: very big (ବିରାଟ, ଖୁବ୍ ବଡ଼ ଆକାରର, ବିଶାଳ)
pant: to breathe quickly (ଅଣନିଶ୍ୱାସୀ ହୋଇପଡ଼ିବା)
rush out: to go or move suddenly with great speed (ହଠାତ୍ ଧାଇଁବା)
Search: to look for (ଖୋଜିବା)
shelter: a house or a place to stay (ଆଶ୍ରୟସ୍ଥଳୀ)

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 2 ବୃତ୍ତ Ex 2(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 2 ବୃତ୍ତ Ex 2(b)

Question 1.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକରେ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ T ଓ ଭୁଲ ଉକ୍ତି ପାଇଁ F ଲେଖ ।
(i) ବୃତ୍ତର ଏକ ଉପସେଟ୍‌କୁ ଚାପ କହନ୍ତି ।
(ii) ଚାପର ଏକ ଅନ୍ତ୍ରମ୍ମ ଦିନ୍ଦୁ ସମ୍ରକ୍ର ଦୃଭର ଅନ୍ତ୍ରମ ବନ୍ଧୁ ନ୍ମ6ଦୃ |
(iii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ P ଓ Q ଦୁଇଟି ଚାପର ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରର ପରିପୂରକ ଚାପ
(iv) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚାପର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର ସହିତ ଯୋଗ କଲେ ଯେଉଁ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ ତାହା ଉକ୍ତ ଚାପର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ଅଟେ ।
(v) ଦୁଇଟି ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପର ସମଷ୍ଟି 360°ରୁ ଅଧ‌ିକ ହୋଇ ପାରିବ ନାହିଁ ।
(vi) ବୃତ୍ତ ଏକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ନୁହେଁ ।
(vii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ଚାପର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଥିଲେ ଚାପ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ଚାପ ହେବେ ।
(viii) ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା ସହ ସମ୍ପୃକ୍ତ ଚାପଦ୍ଵୟ ସନ୍ନିହିତ ଚାପ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟର ସଂଯୋଗରେ ସର୍ବଦା ବୃହତ୍ ଚାପ ଗଠିତ ହେବ ।
(ix) ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା ପରସ୍ପରକୁ ଲମ୍ବ ଭାବରେ ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ P ରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ଠାରୁ ସେମାନଙ୍କ ପ୍ରତି \(\overline{\mathrm{OQ}}\), \(\overline{\mathrm{OR}}\) ଲମ୍ବ ଗଠନ କରାଯାଇଛି । ତେବେ ଠ, Q, P ଓ R ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ହେବେ ।
(x) \(\overparen{B P C}\) ର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 30° । A ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ △ABC ରେ ∠Aର ପରିମାଣ ସର୍ବଦା 15° 6ଦ୍ଵଦା
(xi) ଗୋଟିଏ ଚାପ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁର ସମାହାର ଅଟେ ।
(xii) ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
Solution:
(i) T
(ii) T
(iii) T
(iv) F
(v) F
(vi) T
(vii) T
(viii) F
(ix) F
(x) F
(xi) T
(xii) T

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ …………….. ରୁ ବେଶୀ ।
(ii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ୍ ଷଡ଼ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ ଏହାର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କରୁଥିବା କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ……………….. |
(iii)
(iv) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ଯା \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{CD}}\) ପରସ୍ପରକୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ Pରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ B ଓ C \(\overline{\mathrm{OP}}\)ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିଲେ \(\overparen{A D}\) ଓ ……………….. ଦୁହେଁ ସର୍ବସମ ।
(v) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଏକ ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସହ ସମାନ ହେଲେ ଉକ୍ତ ଜ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଛେଦିତ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପର ତିଗ୍ରା ପରିମାପ ………….. |
(vi) \(\overline{\mathrm{AB}}\) ର ଏକ ପାଣ୍ଡରେ C ଓ D ଦୁଇଟି ଦିନ୍ଦୁ | m∠ACB = m∠ADB = 20° △ACD ର ପରିଦର୍ଭର 6କହ O 6ଦୃବେ m∠AOB ……………. |
(vii) m∠ABC = 90° ଚତୁର୍ଭୁକ △ABC ର ପରିଦଉଭେ AC ଏକ ………………… |
(viii) ABCD ଏକ ଦ୍ଵରାନ୍ତକଖର ଚତୁର୍ଭୁକ m∠BAD ………………. ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।
(ix) ଏକ ଅର୍ଥବୃତ୍ତର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ………….. |
(x) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଏକ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 90° ହେଲେ, ସଂପୃକ୍ତ ଜ୍ୟା ଓ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁ ପାତ …………….. |
Solution:
(i) 180°
(ii) 60° \(\left(\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}\right)\)
(iii) 70° m∠D = 180° – 120° = 60°
m∠C = 180° – 50° = 130°
∴ m∠C – m∠D = 130° – 60° = 70°

(iv) \(\overparen{B C}\) \(\overparen{A C B}\) ≅ \(\overparen{C A D}\) ( ∵ AB ≅ CD (ଦତ୍ତ))
⇒ BC ≅ AD

(v) 60° ଜ୍ୟାର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ଓ କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ହେବେ |
(vi) 40° O ବିଦୁଟି ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ହେବ ।
(vii) ବ୍ୟାସ (ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ ସମକୋଣ ।)
(viii) \(\overparen{B C D}\)
(ix) 90°
(x) √ 2 : 1 (ସଂପୃକ୍ତ ଜ୍ୟାଟି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ)

Question 3.
ଚିତ୍ରରେ △ABC ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ଏବଂ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ । D, E, F ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) ∠B କେଉଁ ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ?
(ii) ∠B ଦ୍ବାରା କେଉଁ ଚାପ ଛେଦିତ ?
(iii) \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଜ୍ୟା ଦ୍ବାରା ଛେଦିତ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ଓ ବୃହତ୍ ଚାପ କିଏ ?
(iv) ∠A ର ପରିମାଣ କେଉଁ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ପରିମାଣର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ?
(v) △ABC ରେ ଯଦି AB = BC ହୁଏ ତେବେ କେଉଁ ଚାପ ଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେବେ ?
(vi) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ଚାପର ନାମ ଲେଖ ଯେପରିକି ସେମାନଙ୍କ ସଂଯୋଗରେ \(\overparen{B A D}\) ଗଠିତ ହେବ ।
(vii) \(\overparen{B F C}\) ଉପରେ ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ P ନିଅ ଯେପରିକି m∠BPA = m∠C । ଏପରି କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି ? ADC ଉପରେ ଏପରି କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି କି ? \(\overparen{B E A}\) ଉପରେ ଏପରି କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି କି ?
Solution::
(i) ∠B, \(\overparen{E B F}\) ର୍ଥିଥଚା \(\overparen{A B C}\) ର ଅନ୍ତ୍ର କିଣତ |
(ii) ∠Bଦ୍ଵାରା \(\overparen{A D C}\) ଛେଦିତ ।
(iii) \(\overline{\mathrm{BC}}\) ଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଛେଦିତ ସୁଦୃତାପ \(\overparen{B F C}\) ଦ୍ଦଦ୍ର ତ୍ତାପ \(\overparen{B A C}\) |
(iv) m∠A = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠BOC
(v) △ABC ରେ \(\overparen{A E B}\) ≅ \(\overparen{B F C}\)
(vi) \(\overparen{B E A}\) ∪ \(\overparen{A D}\) = \(\overparen{B A D}\), \(\overparen{B E}\) ∪ \(\overparen{E A D}\) = \(\overparen{B A D}\)
(vii) ଏପରି ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି । \(\overparen{A D C}\) ଉପରେ ମଧ୍ୟ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି । \(\overparen{B E A}\) ଚାପ ଉପରେ ଏପରି ବିନ୍ଦୁ ରହିବା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

Question 4.
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଯାହର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
m\(\overparen{A E B}\) = 100° 6 ଦ୍ଵ6କ |

(i) ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣ ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) \(\overparen{A H D}\) ଓ \(\overparen{B F C}\) ମଧ୍ୟରେ କି ସମ୍ପର୍କ ଦେଖୁଛ ?
(iii) ABCD କି ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ ?
Solution:

m \(\overparen{A E B}\) : 100°
⇒ m∠ADB = m∠ACB = 50°
m∠COD = 100° (ତ୍ପତାପ 6କାଶ)
⇒ m∠CBD = m∠CAD = 50°
m∠BOC = 180° – 100° = 80°
⇒ m∠BAC = m∠BDC = 40°
⇒ m∠AOD = 80°
⇒ m∠ACD = m∠ABC = 40°

(i) m∠A = m∠BAC + m∠CAD = 40° + 50° = 90°
6ସ ଦ୍ଵିପରି m∠С = 90°, m∠B = 90° ଓ m∠D = 90° |
(ii) \(\overparen{A H D}\) ≅ △\(\overparen{B F C}\)
(ii) ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

Question 5.
ଚିତ୍ରରେ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{CD}}\) ଜ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ P ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । m∠PBD = 80°, m∠CAP = 45° 6ଦ୍ଵଲେ :
(i) △BPDର କୋଣ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) △APCର କୋଣ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) △APC ଓ △BPD ମଧ୍ୟରେ କି ସମ୍ପର୍କ ଦେଖୁଛ ?

Solution:
m∠PBD = 80°, m∠CAP = 45°

(i) \(\overparen{B C}\) ଉପରିସ୍ଥ m∠CDB = m∠CAP = 45°
∴ m∠BPD = 180° – 80° – 45° = 55°
∴ △BPDର m∠BPD = 55°
m∠PDB = 45°, m∠PBD = 80°

(ii)
△APCର m∠CAP = 45° (ଦଉ)
m∠APC = m∠BPD = 55° (ପ୍ରତାପ 6କାଣ)
∴ m∠ACP = m∠PBD = 80° (\(\overparen{A D}\) ଉପରିସ୍ଥ ପରିଧ୍ଵସ୍ଥ ଏକ କୋଣ)

(iii) △APC ~ △BPD (କୋ . କୋ . କୋ . ପାଦଣ୍ୟ)

Question 6.
△ABCରେ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, △BDC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
Solution:

ଦତ୍ତ : △ABCର ∠Aର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : △BDC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ପ୍ରମାଣ : ∠BAD ≅ ∠CAD (ଦଉ)
⇒ \(\overparen{B D}\) ≅ \(\overparen{D C}\) ⇒ \(\overline{\mathrm{BD}}\) ≅ \(\overline{\mathrm{DC}}\) (ଚାପ ସର୍ବସମ ହେତୁ ଜ୍ୟାଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ)
=> △BDC ସମଦିବାହୁ ।

Question 7.
ଚିତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ A ଠାରୁ \(\overrightarrow{\mathbf{AP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathbf{AR}}\) ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟ ବୃତ୍ତକୁ ଯଥାକ୍ରମେ P, Q ଏବଂ R, S ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ଯେପରି A-P-Q ଏବଂ A-R-S |
(a) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ △APR ~ △AQS
(b) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ △APS ~ △ARQ

(C) ଯଦି \(\overline{\mathrm{PS}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{QR}}\) ର ଛେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ T ହୁଏ, ତେଦେ
(i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ TP • TS = TR • TQ
(ii) ପ୍ତମାଣ କାର 6ପ m∠PTR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (m\(\overparen{Q S}\) + m\(\overparen{P R C}\))

(d) m∠PAR = 15° ଏବଂ m\(\overparen{Q X S}\) = 50° ହେଲେ m∠PTR ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:

(a) ପ୍ରମାଣ : PRSQ ଏକ ଦ୍ଵରାନୁଲଖତ ଚତୁରୁଜ |
⇒ m∠RSQ + m∠RPQ = 180°
କିନ୍ନ m∠RPQ + m∠APR = 180°
⇒ m∠RSQ + m∠RPQ = m∠RPQ + m∠APR
m∠RSQ = m∠APR
△APR ଓ △AQS ମଧ୍ୟ6ର m∠RAP = m∠QAS
ଓ m∠RSQ = m∠APR |
⇒ △APR ~ △AQS (6କା-6କା ସାଦ୍ୱଣ)

(b) △APS ଓ △ARQ ମଧ୍ୟ6ର
m∠PAS = m∠RAQ (ମଧ୍ୟ6ର 6କା)
m∠ASP = m∠AQR (ଏକ ଚାପ ଉପରିମ ପରିଧମ 6କାଣ)
⇒ △APS ~ △ARQ

(c) (i) △ TPQ ଓ △TRS ମଧ୍ୟ6ର
m∠TPQ = m∠TRS (ଏକ ଚାପ ଉପରିମ ପରିଧମ 6କାଣ)
m∠PTQ = m∠RTS (ପ୍ତତାପ 6କାଣ)
⇒ △TPQ ~ △TRS (6କା-6କା ସାଦ୍ୱଣ)
⇒ \(\frac { TP }{ TR }\) = \(\frac { TQ }{ TS }\) ⇒ TP • TS = TR • TQ
=m∠SPQ + m∠PQR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)m\(\overparen{Q S}\) + \(\frac { 1 }{ 2 }\)m\(\overparen{P R}\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (m\(\overparen{Q S}\) + m\(\overparen{P R}\)) (9flêe)

(d) m∠PAR = 15°
m\(\overparen{Q X S}\) = 50° ⇒ m∠QPS = \(\frac { 50° }{ 2 }\) = 25°
△APS 6ର 6କାଣ m∠QPS = m∠PAR + m∠PSR
⇒ 25° = 15° +m∠PSR ⇒ m∠PSR = 25° – 15° = 10°
m∠QRS = m∠QPS = 25°
∴ m∠PTR = m∠QRS + m∠TSR = 25° + 10° = 35°

Question 8.
ଚିତ୍ରରେ ABC ଦଉର \(\overparen{A X B}\) ଓ \(\overparen{B Y C}\) ହୁକରି ଚାପର ଗିଗାମାପ ଯଥାକୃମେ 80° ଓ 140° |

(i) m∠BAC କିଣ୍ଡଯ କର |
(ii) m\(\overparen{A B C}\) କିଣ୍ଡଯ କର |
(iii) m\(\overparen{A C B}\) କିଣ୍ଡଯ କର |
(iv) \(\overparen{A Z C}\) ଓ \(\overparen{B Y C}\) ମଧ୍ୟରେ କି ସମଳ ଅଛି ?
Solution:
m\(\overparen{A X B}\) + m\(\overparen{B Y C}\) + m\(\overparen{A Z C}\) = 360° ⇒ 80° + 140° + m\(\overparen{A Z C}\) = 360°
⇒ m\(\overparen{A Z C}\) = 360° – 80° – 140° = 140°
(i) M∠BAC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m\(\overparen{B Y C}\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 140° = 70°
(ii) \(\overparen{A B C}\) = 360° – 140° = 220°
(iii) \(\overparen{A C B}\) = M\(\overparen{A Z C}\) + m\(\overparen{B Y C}\) = 140° + 140° = 280°
(iv) \(\overparen{A Z C}\) ≅ \(\overparen{B Y C}\) (“: m∠AOC = m∠BOC)

Question 9.
ଏକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ଏବଂ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଏକ ବ୍ୟାସ । ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ P ଓ ଠୁ ବିଦୁ୍ୟଦ୍ୱୟ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଯଦି A ଓ P ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 60° ଏବଂ B ଓ ( ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 50° ହୁଏ ତେବେ–
(i) A ଓ Q ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପର ଡିଗ୍ରୀ
(ii) P ଓ B ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ
(iii) P ଓ Q ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Solution:
m∠AOP = 60°
m∠BOQ = 50°
⇒ m⇒POQ = 180° – (60° + 50°) = 70°
(i) m\(\overparen{A Q}\) = 60° + 70° = 130°
(ii) m\(\overparen{P B}\) = 70° + 50° = 120°
(iii) m\(\overparen{P Q}\) = 70°

Question 10.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{CD}}\) ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) M\(\overparen{A X C}\) = m\(\overparen{B Y D}\), (ii) AC = BD |

Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD 96 \(\overline{\mathrm{CD}}\) || \(\overline{\mathrm{AB}}\) |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :
(i) M\(\overparen{A X C}\) = m\(\overparen{B Y D}\)
(ii) AC = BD
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathrm{BC}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ତ୍ପମାଣ : \(\overline{\mathrm{CD}}\) || \(\overline{\mathrm{AB}}\) (ଦଉ)

⇒ m∠ABC = m∠BCD
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) m\(\overparen{A X C}\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m\(\overparen{B Y D}\)
⇒ m\(\overparen{A X C}\) = m\(\overparen{B Y D}\)

(ii) \(\overparen{A X C}\) = \(\overparen{B Y D}\) ⇒ AC = BD (ଚାପ ସବସମ ହେତ୍ ଲ୍ୟା ସଦସ୍ୟ)

Question 11.
ABCD ଏକ ଦ୍ଵରୀନ୍ତ୍ର କିଖବ ତତ୍କଲକ |
(i) AC = BD ଏବଂ \(\overline{\mathbf{AB}}\)||\(\overline{\mathbf{CD}}\) 6ଦ୍ର6କ ପ୍ରମାଣ କର ସେ, AD = BC |
(ii) AD = BC 6ଦ୍ର6କ ପ୍ରମାଣ କର ସେ, AC = BD ଏବଂ \(\overline{\mathbf{AB}}\)||\(\overline{\mathbf{CD}}\) |
Solution:
(i) ଦର : ABCD ଦୃଭାନ୍ତ୍ରରଖତ ଚତୁରୁକରେ
AC = BD ଏବଂ \(\overline{\mathbf{AB}}\)||\(\overline{\mathbf{CD}}\) |
ପ୍ରାମଣ୍ୟ: AD = BC
ପ୍ରମାଣ : AC = BD (ଦତ୍ତ)

⇒ \(\overparen{A D C}\) ≅ \(\overparen{B C D}\)
⇒ l \(\overparen{A X D}\) + l \(\overparen{D Y C}\) = l \(\overparen{D Y C}\) + l \(\overparen{B Z C}\)
⇒ l \(\overparen{A X D}\) = l \(\overparen{B Z C}\) ⇒ \(\overparen{A X D}\) ≅ \(\overparen{B Z C}\)
⇒ AD = BC

(ii) ଦଉ : ABCD ଏକ ତ୍ରଭାନ୍ତକଖତ ତଡୁରୁକ | AD = BC
ପ୍ତମାଣ୍ୟ: (i) AC = BD (ii) \(\overline{\mathbf{AB}}\)||\(\overline{\mathbf{CD}}\)
ପ୍ରମଣ : AD = BC ⇒ \(\overparen{A X D}\) ≅ \(\overparen{B Z C}\)

⇒ l \(\overparen{A X D}\) = l \(\overparen{B Z C}\)
⇒ l \(\overparen{A X D}\) + l \(\overparen{D Y C}\) = l \(\overparen{D Y C}\) + l \(\overparen{B Z C}\)
⇒ l \(\overparen{A D C}\) = l \(\overparen{B C D}\) ⇒ \(\overparen{A D C}\) ≅ \(\overparen{B C D}\) ⇒ AC = BD (i)
ପୁକଣ୍ଠ ∵ \(\overparen{A X D}\) ≅ \(\overparen{B Z C}\)
⇒ m \(\overparen{A X D}\) + m \(\overparen{B Z C}\) ⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) m \(\overparen{A X D}\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m \(\overparen{B Z C}\)
⇒ m∠ABD = m∠BDC (ଏକାନ୍ତ୍ରର) ⇒ \(\overline{\mathbf{AB}}\)||\(\overline{\mathbf{CD}}\) …(ii)

Question 12.
(i) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ \(\overparen{A X B}\) ଏକ ଚାପ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ \(\overparen{A X B}\)ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଗୋଟିଏ ଏବଂ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ C ଅଛି ଯେପରି \(\overparen{A C}\) ଓ \(\overparen{B C}\) ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେବେ । (C ବିନ୍ଦୁକୁ \(\overparen{A X B}\) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।)
(ii) ଚାପର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଧାରଣାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, AXBରେ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି ।

Solution:
(i) ଦତ୍ତ : O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର । \(\overparen{A X B}\) ଏକ ଚାପ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) \(\overparen{A X B}\) ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଗୋଟିଏ
ଏବଂ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ C ଅଛି,
ଯେପରି \(\overparen{A C}\) = \(\overparen{C B}\)ହେବ ।
(ii) \(\overparen{A X B}\) ରେ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ରହିଅଛି ।
∠AOB ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ଅଙ୍କନ :
ପ୍ରମାଣ :
(i) \(\overparen{A X B}\) ଚାପ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ଆବଶ୍ୟକ C ବିନ୍ଦୁଟି ଅନନ୍ୟ ଅର୍ଥାତ୍ ଗୋଟିଏ ଓ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ଯାହା m∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବ । ପୁନଶ୍ଚ ଚାପର ସର୍ବସମତା ଅନୁସାରେ ଦୁଇଟି ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ସମାନ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେବେ ।
ଦର ଚିତ୍ର6ର m∠AOC = m∠BOC 6ଦ୍ରଦ \(\overparen{A C}\) = \(\overparen{C B}\) 6ଦ୍ରଦ | (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ A ଓ B ବିନ୍ଦୁ ସମେତ ‘A’ ଠାରୁ ‘B’ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ମାନଙ୍କର ସେଟ୍‌କୁ ଏକ ଚାପ କୁହାଯାଏ । A ଓ B ଏହି ଚାପର ଦୁଇଟି ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଅଟନ୍ତି । ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଭିନ୍ନ ଚାପ ଉପରିସ୍ଥ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ ଚାପର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ; ଯାହା ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍ ।(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ଚିତ୍ରରେ AB ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ ଏବଂ O କେନ୍ଦ୍ର । OD ଯେକୌଣସି ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ | \(\overline{\mathbf{AC}}\)||\(\overline{\mathbf{OD}}\) ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overparen{B X D}\) ଓ \(\overparen{D Y C}\) ସର୍ବସମ ଅର୍ଥାତ୍ D, \(\overparen{B D C}\)ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । (ସୂଚନା : \(\overline{\mathbf{OC}}\) ଅଙ୍କନ କରି ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠BOD = m∠DOC)

Solution:
ଦତ୍ତ : ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O | \(\overline{\mathbf{AB}}\) ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ । \(\overline{\mathbf{AC}}\)||\(\overline{\mathbf{OD}}\) |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overparen{B X D}\) ≅ \(\overparen{D Y C}\) ଅର୍ଥାତ୍ D, \(\overparen{B D C}\) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathbf{CO}}\) ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ : △AOC ରେ OA = OC ⇒ m∠OAC = m∠OCA
କିନ୍ତୁ m∠OAC – m∠BOD (ଅନୁରୁପ)
∴ m∠OAC = m∠BOD (i)
ପୁନଶ୍ଚ m∠OCA=m∠COD …(ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠BOD = m∠COD ⇒ \(\overparen{B X D}\) ≅ \(\overparen{D Y C}\)
⇒ D, \(\overparen{B D C}\) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

Question 14.
ଚିତ୍ରରେ \(\overline{\mathbf{CD}}\) ଜ୍ୟା \(\overline{\mathbf{AB}}\) ବ୍ୟାସ ସହ ସମାନ୍ତର ଏବଂ CD = OB |
ପ୍ରମାଣ୍ୟ କର ଯେ m∠BDC = 2m∠OBD |

Solution:
ଦତ୍ତ : ବୃତ୍ତର \(\overline{\mathbf{AB}}\) ବ୍ୟାସ । \(\overline{\mathbf{CD}}\) ଜ୍ୟା । CD = OB \(\overline{\mathbf{CD}}\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସହ ସମାନ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BDC = 2m∠OBD
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathbf{OC}}\) ଏବଂ \(\overline{\mathbf{OD}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ସ୍ତମାଣ : CD = OB = OC = OD ∴ △OCD ସମବାହୁ ।

⇒ m∠OCD = 60°
ପୁନଶ୍ଚ, COBD ଏକ ରମଣ (∵ CD = OB, \(\overline{\mathbf{CD}}\)||\(\overline{\mathbf{OB}}\) ଏବଂ OB = OC = CD)
∴ m∠OBD =m∠OCD = 60° ଏବଂ m∠BDC = 120°
∴ m∠BDC = 2m∠OBD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ABCD ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖୂତ ଚତୁର୍ଭୁଜର \(\overline{\mathbf{AC}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{BD}}\) କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ P ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ B ଓ C, \(\overleftrightarrow{O P}\) ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଯଦି AC = BD ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB = CD, (ii) PA = PD 1° (iii) \(\overline{\mathbf{BC}}\) || \(\overline{\mathbf{AD}}\) |
Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ । \(\overline{\mathbf{AC}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{BD}}\) କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ P ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
AC = BD |

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AB = CD (ii) PA = PD (iii) \(\overline{\mathbf{BC}}\) || \(\overline{\mathbf{AD}}\)
ପ୍ତମାଣ: (i) AC = BD ⇒ \(\overparen{A D C}\) ≅ \(\overparen{B A D}\)
⇒ \(\overparen{A Y B}\) ≅ \(\overparen{C Z D}\)
(∵ \(\overparen{A X D}\) ଭରଯ \(\overparen{A D C}\) ଓ \(\overparen{B A D}\) ର ପାଧାରଣ ଚାପ )
⇒ AB = CD ….(i)

(ii) △ABD ଏବଂ △ADC ଦଯ6ର \(\overline{\mathbf{AD}}\) ପାଧାରଣ, AB = CD [(i) ରେ ପ୍ତମାଣିତ]
ଏବଂ AC = BD (ଦର)
∴ m∠ADB = m∠CAD ⇒ m∠ADP = m∠PAD
⇒ PA = PD …(ii)

(iii) m∠DAC = m∠DBC (ଏକ ଦ୍ଵରଖଣ୍ଡମ 6କାଣ)
କିନ୍ତୁ m∠DAC = m∠ADB
∴ m∠ADB = m∠PBC
କିନ୍ତୁ ଏମା6ନ ଏକାନ୍ତ୍ରର |
∴ \(\overline{\mathbf{BC}}\) || \(\overline{\mathbf{AD}}\)

Question 16.
(i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ପ୍ରମାଣ କରଯେ ର ଥନ୍ତ୍ର କିଣିତ 6କାଶ ଏକ ପୁର6କାଣ |
(ii) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣ ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ।
(ସୂଚନା : \(\overparen{A P B}\) ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପ ଓ \(\overparen{A Q B}\) ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ହେଉ ।
\(\overline{\mathbf{AD}}\) ଦ୍ୟାସ ଅକନ କର | m∠APD = 90° m∠APB)

Solution:
ଏବଂ m∠AQB < 90°
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathbf{AR}}\) ବ୍ୟାସ ଅଙ୍କନ କରି । \(\overline{\mathbf{PR}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : (i) \(\overline{\mathbf{AR}}\) ବ୍ୟାସ । m∠APR ଅର୍ଥବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ । ∴ m∠APR = 90°
କିନ୍ତ୍ର R, ∠APB ର ଅନ୍ତ୍ ମ ହୋଇଥିବାରୁ m∠APR + m∠RPB = m∠APB
m∠APR = 90° ହେତୁ m∠APB > 90° ….. (i)
ଅର୍ଥାତ୍ ∠APB ଏକ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ।

(iii) \(\overparen{A P B}\) କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପର ବିପରୀତ ଚାପ \(\overparen{A Q B}\) ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ।
m∠APB+m∠AQB = 180° (·.· AQBP ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ହେଉ )
(i) ରେ ପ୍ରମାଣିତ m∠APB > 90°
∴ m∠AQB < 90° ଅର୍ଥାତ୍ m∠AQB ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
(i) △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ( ତ୍ରିଭୁଜଟିର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
m∠BAC + m∠OBC = 90° |
(ii) △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ତ୍ରିଭୁଜଟିର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ । O ଏବଂ A, \(\overline{\mathbf{BC}}\) ର ବିପରୀତ ପାଣମ 6ଦୃକେ, ଦେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠BAC – m∠OBC = 90° |
Solution:
(i) ଦତ୍ତ : △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଠ, ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ତାମାଣ୍ୟ: m∠BAC + m∠OBC = 90°
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BO}}\) ବୃତ୍ତର ପରିଧ‌ିକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ । \(\overline{\mathbf{PA}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ABC ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ \(\overline{\mathbf{BP}}\) |

⇒ m∠BAP = 90° (ଅଦି ଦ୍ଵରଖଣ୍ଡମ କୋଣ)
⇒m∠BAC+m∠CAP = 90°
ମାତ୍ର m∠CAP = m∠PBC (ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ m∠PBC=m∠OBC
⇒ m∠BAC+m∠OBC = 90°

(ii) ଦତ୍ତ : △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଠ ତ୍ରିଭୁଜଟିର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ତାମାଣ୍ୟ: m∠BAC – m∠OBC = 90°
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BO}}\) ବୃତ୍ତର P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । \(\overline{\mathbf{PA}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ: ABC ଦ୍ଦଭର ବ୍ୟାସ \(\overline{\mathbf{BP}}\) |

⇒ m∠BAP = 90° (ଅଦି ଦ୍ଵରଖଣ୍ଡମ କୋଣ)
⇒ m∠BAC – m∠CAP = 90°
⇒ m∠BAC – m∠CBP = 90°
(∵ m∠CAP – m∠CBP ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ m∠BAC – m∠OBC = 90°

Question 18.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖୁତ ହେବ ।
Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ । \(\overline{\mathrm{AD}}\) || \(\overline{\mathrm{BC}}\) ଏବଂ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ≅ \(\overline{\mathrm{CD}}\) |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ ।

ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathrm{DM}}\) || \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଅଙ୍କନ କର ।.
\(\overline{\mathrm{DM}}\) , \(\overline{\mathrm{BC}}\) କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : ADBM ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(: \(\overline{\mathrm{AD}}\) || \(\overline{\mathrm{BM}}\) ଏବଂ \(\overline{\mathrm{DM}}\) || \(\overline{\mathrm{AB}}\) )
⇒ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ≅ \(\overline{\mathrm{DM}}\)
କିନ୍ତୁ ଦକ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ≅ \(\overline{\mathrm{DC}}\)
∴ \(\overline{\mathrm{DM}}\) ≅ \(\overline{\mathrm{DC}}\) ⇒ m∠DMC = m∠DCM
କିନ୍ତୁ \(\overline{\mathrm{AB}}\) || \(\overline{\mathrm{DM}}\), \(\overline{\mathrm{BC}}\) ଛେଦକ । ⇒ m∠ABM = m∠DMC (ଅନୁରୂପ)
m∠ABM = m∠DCM ⇒ m∠ABC = m∠DCB
\(\overline{\mathrm{AD}}\) || \(\overline{\mathrm{BC}}\) ହେତ୍ର m∠DAB + m∠ABC = 180°
⇒ m∠DAB + m∠DCB = 180° (∵ m∠ABC = m∠DCB)
⇒ ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 19.
ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ ପରସ୍ପରକୁ P ଓ () ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । P ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ଏକ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟକୁ K ଓ L ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ସେହିପରି Q ମଧ୍ୟଦେଇ ଏକ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟକୁ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । K ଓ M \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବରେ ଥିଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overline{\mathrm{KM}}\) || \(\overline{\mathrm{LN}}\) |

Solution:
ଦତ୍ତ : S₁ ଓ S₂ ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
P ଓ Q ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟକୁ ଯଥାକ୍ରମେ
K, L ଏବଂ M, N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overline{\mathrm{KM}}\) || \(\overline{\mathrm{LN}}\)
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : m∠KMQ = m∠QPL (∵ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖୂତ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ, ଏହାର ବିପରୀତ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ।)
କିନ୍ତୁ m∠QPL + m∠QNL = 180° (ଦୃଭାନ୍ତ୍ରକଖତ ଚତୁରୁକର ବିପର।ତ କୋଣ)
∴ m∠KMQ + m∠QNL = 180°; ମାତ୍ର ଏହି କୋଣଦ୍ଵୟ ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ।
⇒ \(\overline{\mathrm{KM}}\) || \(\overline{\mathrm{LN}}\) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 20.
ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠B ଓ ∠Dର ସମତ୍ତିଖଣ୍ଡକ ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । \(\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{D} E}\) ବୃତ୍ତକୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overline{\mathrm{BE}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BF}}\) |

Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ । ∠B ଓ ∠D ର
ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
\(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) ବୃତ୍ତକୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overline{\mathrm{BE}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BF}}\)
ପ୍ରମାଣ : m∠ADC + m∠ABC = 180° (ABCD ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ଚତୁର୍ଭୁଜ)
\(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠ADC + \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠ABC = 90°
⇒ m∠CDF + m∠EBC = 90°
କିନ୍ତୁ m∠CDF = m∠CBF (ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
m∠CBF + m∠EBC = 90° ⇒ m∠ERF = 90°
⇒ \(\overline{\mathrm{BE}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BF}}\) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 21.
△ABCର କୋଣମାନଙ୍କର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକମାନେ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ X, Y ଓ Z ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, △XYZର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 90° – \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠A, 90° – \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠B ଓ 90° – \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠C |
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ଦୁଲାନ୍ତ୍ରଖତ ∠A, ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ବୃତ୍ତକୁ ଯଥାକ୍ରମେ X, Y ଏବଂ Z ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠X = 90° \(\frac { 1 }{ 2 }\)m∠A, \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠B ଏଦ m∠Z = 90° – \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠C

ପ୍ରମାଣ : \(\overparen{A Z}\) ର ଦିପରାତ ଗାପାନୁଇଖତ m∠AXZ = m∠ACZ
ଏବଂ \(\overparen{A Y}\) ଚାପର ବିପରୀତ ଚାପାନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣ m∠AXY = m∠ABY
∴ m∠AXZ + m∠AXY = m∠ACZ = m∠ABY
⇒ m∠X = \(\frac { m∠C }{ 2 }\) + \(\frac { m∠B }{ 2 }\)
⇒ m∠X = 90° – \(\frac { m∠A }{ 2 }\) (∵ \(\frac { m∠A }{ 2 }\) + \(\frac { m∠B }{ 2 }\) + \(\frac { m∠C }{ 2 }\) = 90°)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ,
m∠Y = 90° – \(\frac { m∠B }{ 2 }\) ଏବଂ m∠Z = 90° – \(\frac { m∠C }{ 2 }\) ହେବ ।

Question 22.
△ABC ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । \(\overline{\mathbf{BC}}\) ଜ୍ୟା ସହ ସମ୍ପୃକ୍ତ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପ ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ PA = PB + PC । (ସୂଚନା : \(\overrightarrow{\mathbf{B P}}\) ଉପରେ D ନିଅ ଯେପରି PC = PD ହେବ । △BCD ଓ △ACP ର ତୁଳନା କର ।)
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । \(\overline{\mathbf{BC}}\) ଜ୍ୟା ସହ ସଂପୃକ୍ତ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PA = PB + PC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathbf{B P}}\) ଉପରେ D ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି PC = PD ହେବ । \(\overline{\mathbf{CD}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : △ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
m∠BAC = m∠CPD (ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ)
∴ m∠CPD = 60°
ସୁନଶ୍ଚ, △PCD ରେ PC = PD |

∴ △PCD ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । ⇒ PC = CD = PD
ବର୍ତ୍ତମାନ m ∠ACB = m∠PCD = 60°
⇒ m∠ACB+m∠BCP=m∠PCD+m∠BCP
⇒ m∠ACP=m∠BCD
△APC ଓ △BCD ଦୟରେ AC = BC, PC = CD
ଏକ m∠ACP=m∠BCD
∴ △ACP ≅ △BCD
⇒ AP = BD ⇒ AP = BP + PD ⇒ AP = BP + PC

Question 23.
△ABCରେ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ △ABCର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । P ବିନ୍ଦୁରୁ \(\overrightarrow{\mathbf{AB}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{AC}}\) ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଦ୍ବୟର ପାଦବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ Q ଏବଂ R । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, AQ = AR = \(\frac { AB+AC }{ 2 }\) | (ସ୍ମତନା : ଦଶାଥ ଯେ △PBQ ≅ △PCR ⇒ BQ = CR )
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ର ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି । P ବିନ୍ଦୁରୁ \(\overrightarrow{\mathbf{AB}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathbf{AC}}\) ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ପାଦବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ Q ଏବଂ R । (ଏଠାରେ △ABCର AC > AB)
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AQ = \(\frac { AB+AC }{ 2 }\) = AR
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathbf{PB}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{PC}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
⇒ \(\overparen{B P}\) = \(\overparen{P C}\) ⇒ BP = PC
△BPQ ଏକ △CPR ଦଯରେ
BP = PC, m∠BQP = m∠CRP (= 90°)
ଏବଂ PQ = PR

(∵ କୋଣର ବାହୁମାନଙ୍କଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁମାନ, କୋଣ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଉପରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବେ ।)
∴ △BPQ ≅ △CPR ⇒ BQ = CR
ପୁନଶ୍ଚ, △AQP ଓ △APR ଦ୍ବୟରେ
PQ = PR, \(\overline{\mathbf{AP}}\) ସାଧାରଣ ଏବଂ M∠AQP = m∠ARP
∴ △AQP ⇒ △APR ⇒ AQ = AR

ଚଇଂଲାନ 2AQ = AQ + AQ = AQ + AR = AB + BQ + AC – CR
= AB + AC (∵ BQ = CR)
∴ AQ = \(\frac { AB + AC }{ 2 }\) ⇒ AR = \(\frac { AB + AC }{ 2 }\)
⇒ AQ = \(\frac { AB + AC }{ 2 }\) = AR

Question 24.
△ABCରେ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ △ABCର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । \(\overline{\mathbf{AP}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{BC}}\)ର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ D ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ △ABD ଓ △APC ସଦୃଶ ଅଟନ୍ତି । ସୁତରାଂ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AB • AC = BD • DC + AD² |
(ପୁଚନା : △ABD ଓ △APC ପଦଣ ⇒ AB.AC = AD.AP, AD² = AD (AP – PD))
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ର ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, ଏହାର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । \(\overline{\mathbf{BC}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{AP}}\) ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ D |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) △ABD ~ △APC
(ii) AB AC = BD · DC + AD²
ପ୍ରମାଣ : △ABD ଓ △APC ଦ୍ବୟରେ
m∠ABD = m∠APC (ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
m∠BAD=m∠PAC ଅବଶିଷ m∠ADB = m∠ACP

∴ △ABD ~ △APC
⇒ \(\frac { AB }{ AP }\) = \(\frac { AD }{ AC }\) ⇒ AB . AC = AD . AP
⇒ AB . AC = AD (AD + DP)
= AD² + AD . DP …..(i)
ପୁନଣ୍ଡ △ABD ~ △PDC
(∵m∠BAD = m∠DCP, m∠ADB = m∠PDC)
⇒ \(\frac { BD }{ DP }\) = \(\frac { AD }{ DC }\) ⇒ BD . DC = AD . DP
(i) ରେ ପ୍ତ6ଯାଗ କଲେ AB . AC = AD² + BD . DC

Question 25.
(ଟଲେମୀଙ୍କ ଉପପାଦ୍ୟ) ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,AC · BD = AB · CD + BC · AD | ଗୁଣଫଳ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳର ସମଷ୍ଟି ସଙ୍ଗେ ସମାନ ।)
(ସୂଚନା : ମନେକର m∠ADB > m∠BDC | E, AC ଉପରେ ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଉ ଯେପରି m∠BDC = m∠ADE | ବର୍ତ୍ତମାନ △ADE ଏବଂ △BDC ସଦୃଶ ⇒ \(\frac { AE }{ BC }\) = \(\frac { AD }{ BD }\) ପୁନଶ୍ଚ △ADB ଏବଂ △EDC ସଦୃଶ ⇒ \(\frac { CD }{ BD }\) = \(\frac { EC }{ AB }\) | )
Solution:
ଦଭ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେଲେ |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AC . BD = AB . CD + BC . AD
ଅକନ : ମନେକର m∠ADB > m∠BDC |
\(\overline{\mathbf{AC}}\) ଉପରିସ୍ଥ E ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ।
ଯେପରିକି m∠ADE = m∠BDC ହେବ ।
ପ୍ରମାଣ : ବର୍ତ୍ତମାନ △ADE ଏବଂ △BDC ଦ୍ଵୟରେ
m∠ADE = m∠BDC ଏବଂ m∠DAE = m∠DBC
ଥଗଣିପୁ m∠AED = m∠BCD

∴ △ADE ~ △BDC
⇒\(\frac { AE }{ BC }\) = \(\frac { AD }{ BD }\) ⇒ AE . BD = AD . BC
ପୁନ୍ଦଣ, △ADB ଏବଂ △EDC ଦ୍ଵପ୍ରେଭେ
m∠ABD + m∠ECD = m∠ADB + m∠EDC)
(∵m∠ADE = m∠BDC ⇒ m∠ADE + m∠EDB = m∠BDC + m∠EDB)
∴ △ADB ~ △EDC
⇒\(\frac { BD }{ CD }\) = \(\frac { AB }{ EC }\) ⇒ EC . BD = AB . CD
(i) ଓ (ii) ରୁ AE . BD + EC. BD = AD. BC + AB. CD
⇒ BD (AE + EC) = AB. CD + BC. AD
⇒ BD. AC = AB. CD + BC. AD

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class English Solutions Test-1 Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 English Solutions Test-1

Test -1

1. Your teacher gives you a dictation of five 3/4 lettered words. Write them.    [05]
(ତୁମ ଶିକ୍ଷକ ତୁମକୁ ୫ଟି ତିନି କିମ୍ବା ଚାରି ଅକ୍ଷରିଆ ଇଂରାଜୀ ଶବ୍ଦ ଡାକିବେ । ତୁମେ ଶୁଣି ଲେଖିବ ।)
huge, pant, drag, old, do.

2. Your teacher will read aloud the following lines. Listen to him/her and fill in the gaps.   [07]
(ତୁମ ଶିକ୍ଷକ ଏହି ଧାଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ପାଟି କରି ପଢ଼ିବେ । ତୁମେ ତାହା ସାବଧାନତା ସହ ଶୁଣି ଦ୍ବିତୀୟ ଥର ପଢ଼ିବା ପରେ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କରିବ ।) (Questions with Answers)
“They _____________ into the king’s ___________. The ___________ man said to the king’s officer, Sir, I was ___________ to the town in my __________. This __________ wanted to __________ to the town market. He is ____________. So, I brought him to the ____________ on my horse. _________ he says that the horse is __________. Sir, ___________ help me to ___________ my horse from ____________.

Answer:
“They entered into the king’s court. The first man said to the king’s officer, Sir, I was rushing to the town in my horse. This man wanted to take my horse to the town market. He is a thief. So, I brought him to the court on my horse. Now he says that the horse is not mine. Sir, please help me to get my horse from the thief.

3. There is some relationship between spelling and pronunciation. Generally, there is, ie, ea, oo, ee, or ou, in the spelling of a word; this signals a long sound. And Odia speakers of English have problems with long sounds. They have a tendency to pronounce long sounds as short sounds. Given below are some words, underline which of them have long sounds.    [07]
(ସାଧାରଣତଃ ବନାନ ଏବଂ ଉଚ୍ଚାରଣ ମଧ୍ୟରେ କିଛିଟା ସମ୍ବନ୍ଧ ରହିଥାଏ । ସାଧାରଣତଃ ଗୋଟିଏ ଇଂରାଜୀ ଶବ୍ଦ ବନାନରେ je, ea, o୦, ce କିମ୍ବା ou ଦୀର୍ଘ ଭାବରେ ଉଚ୍ଚାରିତ ହୋଇଥା’ନ୍ତି ଏବଂ ଇଂରାଜୀ କହୁଥ‌ିବା ଓଡ଼ିଆ ବକ୍ତାମାନଙ୍କର ସମସ୍ୟା ହୋଇଥାଏ । ସେମାନେ ସାଧାରଣତଃ ଦୀର୍ଘ ଉଚ୍ଚାରଣକୁ ସୂକ୍ଷ୍ମ ଭାବରେ ଉଚ୍ଚାରଣ କରିଥା’ନ୍ତି । ତଳେ କେତେକ ଶବ୍ଦ ଦିଆଯାଇଛି । ସେଗୁଡ଼ିକରେ ଦୀର୍ଘ ଉଚ୍ଚାରିତ ଶବ୍ଦଗୁଡ଼ିକ ତଳେ ଗାର ଦିଅ ।
(Questions with Answers)

agree, market, reach, please, cover, thought, punish, village, need. speed, under, thief, steal, peace, deep, honey, seed, fields, spring, bean.

4. Write the following Odia names in English. (Teacher will give four names of persons in Odia.) (Questions with Answers)        [08]
____________________  _______________________
____________________  _______________________
____________________  _______________________
____________________  _______________________
Answer:
ମଧୁ — Madhu
ରମେଶ — Ramesh
ସଦାନନ୍ଦ — Sadananda
ବୀରେନ୍ଦ୍ର — Birendra

5. Write the following names of places in English. (Teacher will give four names of places in Odia.)     [08]
____________________  _______________________
____________________  _______________________
____________________  _______________________
____________________  _______________________
Answer:
କଟକ — Cuttack
ଭୁବନେଶ୍ୱର — Bhubaneswar
ରାଉରକେଲା — Rourkela
ସୁନ୍ଦରଗଡ଼ — Sundargarha

6. Match the words under ‘A’ with the words under ‘B’ —(who lives where).    [06]

Answer:

7. Read the following text and answer the questions. (ନିମ୍ନଲିଖ ଅନୁଚ୍ଛେଦଗୁଡ଼ିକ ପାଠ କରି ପ୍ରଦତ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।)

1. Akbar was very fond of jewellery. He had hundreds of rings, rings in which diamonds and many other gems had been set. But all of the rings he had, he liked one of them the most. It was a large ring with a number of pearls and diamonds set in it. The ring was a present to Akbar from the Queen.
2. At Akbar’s palace, there were eight servants who looked after the Emperor’s clothes and jewellery. Every day one of these eight servants used to help Akbar get ready to go to the court. None other than these eight servants could enter the Emperor’s room.
3. One day the Emperor was getting ready to go to the court. He wanted to wear his favourite ring that day. He asked one of his servants to bring it. But the servants came back saying that he could not find the ring. Akbar ordered to search for the ring, but it could not be found.
4. Akbar was very angry. He felt that one of his servants had stolen the ring. He sent for Birbal. When Birbal came, he told him what had happened and asked him to find out the thief.

(a). Answer the following questions each in one complete sentence. [05 ]
(ଏହି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବାକ୍ୟରେ ପ୍ରକାଶ କର ।)

Question 1.
What was Akbar fond of?
Answer:
Akbar was fond of jewellery.

Question 2.
Who presented the ring to Akbar?
Answer:
The Queen presented the ring to Akbar.

Question 3.
Why was Akbar angry?
Answer:
Akbar was angry when he felt that one of his servants had stolen his most favourite ring.

Question 4.
Who did Akbar tell what had happened?
Answer:
Akbar told Birbal what had happened.

Question 5.
How many servants looked after Akbar’s clothes and jewellery?
Answer:
Eight servants looked after Akbar’s clothes and jewellery.

(b). From the text, write five sentences about Akbar.   [10]
(ଏହି ପାଠରୁ ପାଞ୍ଚୋଟି ବାକ୍ୟ ଆକବରଙ୍କ ସମ୍ପର୍କରେ ଲେଖ ।)
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
Answer:
Akbar was a great Emperor of India in the Mughal period. He was a good administrator. He was liked by all classes of people in India. He married a Hindu girl and made her Queen. He was fond of jewellery.

(c). Given below are some sentences. As per the text, the sentences are not in order. Order them by putting serial numbers in brackets provided against each sentence. (Questions with Answers)    [09]
(ନିମ୍ନରେ କେତେକ ବାକ୍ୟ ରହିଛି । ବହି ପାଠ ଅନୁଯାୟୀ ଏହା ଠିକ୍ କ୍ରମରେ ନାହିଁ । ସେମାନଙ୍କୁ ଠିକ୍ କ୍ରମରେ ଲେଖିବା ପାଇଁ ଡାହାଣ ପାଖରେ ଥ‌ିବା ଖାଲି ଘରେ କ୍ରମିକ ନମ୍ବରଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।)

Akbar was very angry. [  ]
Akbar was fond of jewellery. [  ]
The queen presented the ring to Akbar. [  ]
The ring was not to be found. [  ]
Eight servants were in charge of the jewellery. [  ]
Akbar sent for Birbal. [  ]
Akbar ordered to search for the ring. [  ]

Answer:
Akbar was very angry. [ 5 ]
Akbar was fond of jewellery. [ 1 ]
The queen presented the ring to Akbar. [ 3 ]
The ring was not to be found. [ 4 ]
Eight servants were in charge of the jewellery. [ 2 ]
Akbar sent for Birbal. [ 6 ]
Akbar ordered to search for the ring. [ 7 ]

(d). See the use of the following four phrases in the text. The paragraph number is given against each phrase. Try to understand the meaning and use of the phrase from the context. Next, read the paragraph given and fill in the gaps with the right phrases. [8]
(ନିମ୍ନଲିଖ୍ ୪ଟି ଖଣ୍ଡବାକ୍ୟର ବ୍ୟବହାର ଲକ୍ଷ୍ୟ କର । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଖଣ୍ଡବାକ୍ୟର ଡାହାଣରେ ଅନୁଚ୍ଛେଦର ସୂଚନା ଦିଆଯାଇଛି । ସେଗୁଡ଼ିକର ବ୍ୟବହାର ଏବଂ ଅର୍ଥ ତୁମ ବିଷୟ ମାଧ୍ୟମରେ ଜାଣିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର । ଏହାପରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ଅନୁଚ୍ଛେଦଟିକୁ ପଢ଼ି ଠିକ୍ ଭାବରେ ଖଣ୍ଡବାକ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କର ।)
(Question with Answer)

Find out (5), looked after (2), sent for (5), fond of (1)

Abdul had a pet baby donkey. He was very __________ the baby donkey. He _____________ the donkey very well. One day the baby donkey went somewhere. He ___________ his faithful servant Ali. He asked Ali to _____________ the baby donkey.
Answer:
Abdul had a pet baby donkey. He was very fond of the baby donkey. He looked after the donkey very well. One day the baby donkey went somewhere. He sent for his faithful servant Ali. He asked Ali to find out the baby donkey.

8. Read the following text and do the tasks that.
(ନିମ୍ନ ବିଷୟଟିକୁ ପାଠ କର ଏବଂ ପ୍ରଦତ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।)

1. Long long ago, on the bank of the river Nagabali there was a small village named Hatibadi, and at the one end of this village was the chatasali, or village school, run by Ghana Rath, where many children from villages nearby came to study Ghana Ratha taught all the subjects himself, including Mathematics, Literature and Social Sciences.
(ବହୁଦିନ ତଳେ ନାଗାବଳୀ ନଦୀ କୂଳରେ ହାତୀବାଡ଼ି ବୋଲି ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ଗ୍ରାମ ଥିଲା ଏବଂ ଏହି ଗ୍ରାମର ଶେଷମୁଣ୍ଡରେ ଗୋଟିଏ ଚାଟଶାଳୀ ବା ଗାଁ ସ୍କୁଲ ଘନରଥ ନାମକ ଏକ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କଦ୍ୱାରା ଚାଲୁଥୁଲା, ଯେଉଁଠି ଆଖାପାଖ ଗାଁର ବହୁ ପିଲା ପଢ଼ିବାକୁ ଆସୁଥିଲେ । ଘନରଥ ନିଜେ ଗଣିତ, ସାହିତ୍ୟ ଓ ସାମାଜିକ ଶିକ୍ଷାସହ ସବୁ ବିଷୟ ଶିକ୍ଷାଦାନ କରୁଥିଲେ ।)

2. By the side of the Chatasali ran a narrow road that led to the river and on this road, early every morning, you could see a boy named Hatia riding a donkey and leading another by a rope. He was the son of a washerman. But as his parents were dead, he supported himself by washing the dirty clothes in the village. Every day he took a donkey load of clothes to the river, where he washed and dried them. When his work was finished, he returned home by the same road, together with his two donkeys. One was named Bhadra and the other Madri.
(ଚାଟଶାଳୀର ପାଖଦେଇ ନଈ ଆଡ଼କୁ ଗୋଟିଏ ଅଣଓସାରିଆ ରାସ୍ତା ଯାଉଥିଲା ଏବଂ ଏହି ରାସ୍ତା ଉପରେ ତୁମେ ଦେଖିବ ପ୍ରତିଦିନ ବଢ଼ିଭୋରରୁ ହଟିଆ ନାମରେ ଜଣେ ଯୁବକ ଗୋଟିଏ ଗଧ ଉପରେ ଚଢ଼ି ଏବଂ ଆଉ ଗୋଟାକୁ ଦଉଡ଼ିରେ ବାନ୍ଧି ନେଇ ଯାଉଥବ । ସେ ଗୋଟିଏ ଧୋବାର ପୁଅ । ତା’ର ବାପ ମା’ ମରିଯାଇଥିବାରୁ ସେ ନିଜେ ସବୁ ମଇଳା ଲୁଗାପଟା ଗାଁ ଲୋକଙ୍କର ନେଇ ନଈକୁ ଯାଏ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦିନ ଏକ ଗଧ ବୋଝେଇ ଗାଡ଼ିରେ ମଇଳା ଲୁଗା ନଦୀକୁ ନେଉଥିଲା । ଯେଉଁଠାରେ ସେ ତାକୁ ଧୋଇସାରି ଶୁଖାଇ ଦେଉଥିଲା ଏବଂ ସେଇ ବାଟଦେଇ ପୁଣି ଘରକୁ ଫେରୁଥିଲା ଦି ଗଧଙ୍କୁ ଧରି । ଗୋଟିକର ନାମ ଥିଲା ଭଦ୍ର ଏବଂ ଅନ୍ୟଟିର ନାମ ମାଦ୍ରି ।)

(a). Answer the following questions. [07]
(ନିମ୍ନଲିଖ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।)

Question (i)
What was the name of the river?
Answer:
The name of the river was Nagabali.

Question (ii)
What was the name of the village?
Answer:
The name of the village was Hatibadi.

Question (iii)
What was the name of the teacher?
Answer:
The name of the teacher was Ghana Ratha.

Question (iv)
What subjects did Ghana Ratha teach?
Answer:
Ghana Ratha taught all the subjects including Mathematics. Literature and Social Science.

Question (v)
What was the name of the boy?
Answer:
The name of the boy was Hatia.

Question (vi)
How many donkeys did Hatia have?
Answer:
Hatia had two donkeys.

Question (vii)
What were their names?
Answer:
The names of his two donkeys were Bhadra and Madri.

(b). Write four sentences about Hatia. [10]
(ହଟିଆ ବିଷୟରେ ୪ଟି ବାକ୍ୟ ଲେଖ ।)
(Question with Answer)
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
Answer:
1. Hatia was the son of a washerman.
2. Every day he was going to the rider riding a donkey and leading another by a rope for washing clothes.
3. His parents were dead.
4. Every day he took a donkey load of clothes to the river and there he washed and dried them.

(c). Rewrite paragraph 1 of the text replacing the following words/ phrases at the right places. [10]
(ପ୍ରଥମ ଅନୁଚ୍ଛେଦକୁ ଆଉ ଥରେ ଲେଖ ଯେପରିକି ନିମ୍ନରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ଇଂରାଜୀ ଶବ୍ଦଗୁଡ଼ିକ ତାଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ରହିବେ ।)

Mahanadi, town, Cuttack, college, principal, Satpathy, Odia, Sanskrit and English.

Answer:
Long long ago on the bank of the river Mahanadi. There was a small town named Cuttack and at the one end of this small town was a college or Mahavidyalaya run by Mr Satpathy. Where many children from the town nearby came to study. Mr Satapathy taught all the subjects himself including Odia, Sanskrit and English.

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 11 Straight Lines will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 11 Straight Lines

Distance formula:
Distance between two points A (x₁, y₁) and A (x₂, y₂) = \(\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\)

Section Formula:
If C(x, y) divides the join of A (x₁, y₁) and A (x₂, y₂) in the ratio m: n internally then, x = \(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}\), y = \(\frac{m y_2+n y_1}{m+n}\)

Note:

• If the division is external then, x = \(\frac{m x_2-n x_1}{m-n}\), y = \(\frac{m y_2-n y_1}{m-n}\)
• If C(x, y) is the midpoint then x = \(\frac{x_1+x_2}{2}\), y = \(\frac{y_1+y_2}{2}\)

Area of triangle formula:
The area of triangle with vertices A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) and C(x₃, y₃) is given by  = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

Different points related to a triangle:
(a) Centroid of the triangle with vertices A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) and C(x₃, y₃) is = G \(\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)

(b) In centre of a triangle with vertices A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) and C(x₃, y₃) is = I \(\left(\frac{a x_1+b x_2+c x_3}{3}, \frac{a y_1+b y_2+c y_3}{3}\right)\)

Slope Of A Line:
(a) Angle of inclination: the angle θ made by a line with positive x-axis is the angle of inclination.
(b) Slope of a line: Slope of a line is the tangent of angle of inclination. i,.e m = tan θ.
(c) Slope of a line joining A(x₁, y₁), and B(x₂, y₂) = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

Note:

(i) Slope of x-axis = 0
Slope of any line parallel to x-axis = 0

(ii) Slope of y-axis  = ∞
Slope of any line parallel to y-axis = ∞

Angle Between two Lines:
Angle Φ between two lines with slope m₁ and m₂ is given by tan Φ = \(\pm \frac{\left(m_1-m_2\right)}{1+m_1 m_2}\)

Note:

• To find the acute angle between two lines use the formula. tan Φ = \(\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right|\)
• Two lines are parallel if m₁ = m₂
• Two lines are perpendicular if m₁m₂ = (-1).

Collinearity Of Three Points:
Three points A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) and C(x₃, y₃) are collinear if
(i) Sum of distances between two pairs of points = Distance between the 3rd pair.
Or, (ii) Area of Δ ABC = 0
Or, (iii) Let B(x₂, y₂) divides the join of AC in ratio k: 1
∴ \(x_2=\frac{k x_3+x_1}{k+1}, y_2=\frac{k y_3+y_1}{k+1}\)
The value of k obtained from two cases are equal.
Or, (iv) Slope of AB = Slope of AC.

Equation of a straight line:
Lines parallel to co-ordinate axes:
(i) Equation of any line parallel to x-axis is, y = k
⇒ Equation of x-axis is, y = 0

(ii) Equation of any line parallel to y-axis is, x = k
⇒ Equation of y-axis is, x = 0

Lines Not Parallel To Any Axes:
(i) Slope intercept form:
Equation of a line with slope ‘m’ and y-intercepts ‘c’ is: y = mx + c

(ii) Point slope form:
Equation of a line with slope ‘m’ and passing through a point A(x₁, y₁) is: y – y₁ = m(x – x₁)

(iii) Two point form:
Equation of the line passing through A(x₁, y₁) and B(x₂, y₂) is : \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)

(iv) Intercept form:
Equation of a line with x-intercept ‘a’ and y-intercept ‘b’ is \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

(v) Normal form:
Equation of a line whose distance form origin is P and the perpendicular drawn form origin to the line makes an angle α with positive direction of x-axis is: x cos α + y sin α = P

(vi) Parameteric form or symmetric form:
Equation of the line passing through A(x₁, y₁) and making an angle θ with positive direction of x-axis is: \(\frac{x-x_1}{\cos \theta}=\frac{y-y_1}{\sin \theta}\) = r
Or, x = x₁ + r cos θ, y = y₁ + r sin θ
where r = The directed distance between points P(x, y) and A(x₁, y₁)

(vii) General form:
General equation of a straight line is Ax + By + C = 0

Note:

• Slope of this line = –\(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}\)
• x-intercept = –\(\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}}\)
• y-intercept = – \(\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{B}}\)
• Two lines a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 are parallel if \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\) perpendicular if a₁a₂ + b₁b₂ = 0 and coincident if \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)

Condition of concurrency of three lines:
Three lines a₁x + b₁y + c₁ = 0 a₂x + b₂y + c₂ = 0 and a₃x + b₃y + c₃ = 0 are concurrent if \(\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|\) = 0

Family Of Lines:

(i) Equation of lines parallel to the line ax + by + c = 0 is given by: ax + by + λ = 0
(ii) Equation of lines perpendicular to the line ax + by + c = 0 is given by bx – ay + λ = 0
(iii) Equation of lines passing through the point of intersection of two lines.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 is given by: (a₁x + b₁y + c₁) + λ(a₂x + b₂y + c₂)

Distance of a point from a line:
The perpendicular distance of A(x₁, y₁) from the line ax + by + c  = 0 is: d = \(\left|\frac{a x_1+b y_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\)

Distance between two parallel lines:
ax + by + c₁ = 0 and  ax + by + c₂ = 0 is d = \(\left|\frac{c_1-c_2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\)

Position of a point with respect to a line:
A point A(x₁, y₁) lies
(i) above the line ax + by + c = 0 if \(\frac{a x_1+b y_1+c}{b}\) > 0
(ii) below the line ax + by + c = 0 if \(\frac{a x_1+b y_1+c}{b}\) < 0

Equation of bisectors of angle between two intersecting lines:
(i) Equation of angle bisector of two lines. a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 is given by \(\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2 x+b_2 y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)

Note:

Out of two bisector take one and find the angle between that bisector and one line. If the angle is less than 45° then that bisector is the bisector of acute angle, otherwise, the other bisector is the bisector of acute angle.

(ii) Bisector of angle containing a given point (h, k):

Step – 1: Check the sign of a₁h + b₁k + c₁  and a₂h + b₂k + c₂

• If they have same sign then the bisector of angle containing (h, k) is: \(\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\frac{a_2 x+b_2 y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)
• If they have opposite sign then the bisector of angle containing (h, k) is: \(\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=-\frac{a_2 x+b_2 y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)

Change Of Axes (Shifting Of Origin):

(i) Translation of coordinate axes.
Let O'(h, k) is the origin of system S’ with respect to origin O(0, 0) of the system S. S’ is the translation of S. If (x, y) and (x’, y’) are the coordinate of a point P in the system S and S’ respectively then
x’ = x – h and y’ = y – k Or, x = x’ + h, y = y’ + k

(ii) Rotation of axes:
Let S’ is a rotation of S, α is the measure of rotation
If (x, y) and (x’, y’) are the coordinate of a point P with respect to S and S’ then x = x’ cos α – y’ sin α and y = x’ sin α + y’ cos α

(iii) Translation as well as a rotation:
If S’ is a combination of translation followed by a rotation then x = h + x’ cos α – y’ sin α, y = k + x’ sin α + y’ cos α