Class 6 Maths Chapter 1 Question Answer Odia Medium ଗଣିତରେ ସଂରଚନା

Students can use Class 6 Math Solution Odia Medium and Class 6 Maths Chapter 1 Question Answer Odia Medium ଗଣିତରେ ସଂରଚନା to check their answers after solving exercises.

6th Class Maths Chapter 1 Question Answer Odia Medium

Class 6 Maths Chapter 1 Odia Medium

1.1 ଗଣିତ କ’ଣ? (What is Mathematics?)

ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 2)

Question 1.
ଏକ ଉଦାହରଣ ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତାକର, ଯେଉଁଠାରେ ଗଣିତ ଆମକୁ ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିଥାଏ।
Solution:
ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ଗଣିତ ଆମକୁ ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିଥାଏ। ଯଥା-

• ସମୟ ଗଣନା କରିବାରେ
• ବିଭିନ୍ନ ମାପ ବିଷୟରେ ଗଣନା କରିବା
• ବଜେଟରେ ଖର୍ଚ୍ଚ ଓ ଆୟ ବିଷୟରେ ହିସାବ କରିବା ଇତ୍ୟାଦି।

Question 2.
ଗଣିତ କିପରି ମାନବିକତାକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ?
(ବିଜ୍ଞାନର ପରୀକ୍ଷଣ, ଆମର ଅର୍ଥନୀତି ଓ ଗଣତନ୍ତ୍ର ଚଳାଇବା, ପୋଲ, ଘର କିମ୍ବା ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଜଟିଳ ଗୃହନିର୍ମାଣ, ଟିଭି, ମୋବାଇଲ, କମ୍ପ୍ୟୁଟର, ସାଇକେଲ, ରେଳଗାଡ଼ି, ମୋଟର କାର୍, ଉଡ଼ାଜାହାଜ, କ୍ୟାଲେଣ୍ଡର, ଘଣ୍ଟା ଇତ୍ୟାଦି ତିଆରି କରିବା ସହ ସଂପୃକ୍ତ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତା କରିପାର।)
Solution:
ଗଣିତ ସବୁଠାରେ ଓ ସବୁ ସମୟରେ ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସାହାଯ୍ୟ କରି ମାନବିକତାକୁ ସଂଚାଳିତ କରି ଅର୍ଥନୀତିକୁ ବଢ଼ାଇଥାଏ। ଯଥା-

• ଗୃହ ନିର୍ମାଣ କ୍ଷେତ୍ରରେ।
• କମ୍ପ୍ୟୁଟର, ସାଇକେଲ, ରେଳଗାଡ଼ି, ମୋଟରକାର୍ ନିର୍ମାଣ, ବିଭିନ୍ନ ରୋଗର ନିରାକରଣ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଇତ୍ୟାଦି।

1.2 ସଂଖ୍ୟାରେ ସଂରଚନା (Patterns in Numbers)

ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 3)

Question 1.
ଗଣିତ ପ୍ରକାଶ ସାରଣୀରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିର ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମରେ ଥିବା ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରିପାରୁଛ?
Solution:
(a) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …
ଏହି ସଂରଚନାରେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଓ 1

(b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
ଏହି ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ। ଏହା ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାଠାରୁ 1 ଲେଖାଏଁ ଅଧିକ। ଏଥିରେ 1 ଯୋଗ କରାଯାଇଛି।

(c) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …
ଏହି ସଂରଚନାମାନ 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ ହେଉଥ‌ିବା କ୍ରମାଗତ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ କ୍ରମ। ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାରେ 2 ଲେଖାଏଁ ଯୋଗ କରି।

(d) -2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା 2 ରୁ ଆରମ୍ଭ ହେଉଥ‌ିବା କ୍ରମାଗତ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟାର ଏକ କ୍ରମ।

(e) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ।
2 ଯୋଗକର, 1 + 2 = 3
3 ଯୋଗକର, 3 + 3 = 6
4 ଯୋଗକର, 6 + 4 = 10
ଓ ଏହିପରି କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ହେଉଛି ପ୍ରଥମ n କ୍ରମାଗତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ।

(f) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗଣନସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ।
ପ୍ରଥମ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 1 × 1 = 1
ଦ୍ଵିତୀୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 2 = 4
ତୃତୀୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 3 × 3 = 9
ଚତୁର୍ଥ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 4 × 4 = 16 ଓ ଏହିପରି।

(g) 1, 8, 27, 64, 125, 216, ….
ଏହା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ତୃତୀୟ ଘାତ।
ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା = 1 × 1 = 1
ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 2 × 2=8
ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = 3 × 3 × 3 = 27
ଚତୁର୍ଥ ସଂଖ୍ୟା = 4 × 4 × 4 = 64 ଓ ଏହିପରି………

(h) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
ବିରହାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା (ଶେଷ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ)
ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = 1, ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = 2
ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା + ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା = 2 + 1 = 3
ଚତୁର୍ଥ ସଂଖ୍ୟା = ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟା + ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = 3 + 2 = 5
ପଞ୍ଚମ ସଂଖ୍ୟା = ଚତୁର୍ଥ ସଂଖ୍ୟା + ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = 5 + 3 = 8
ଷଷ୍ଠ ସଂଖ୍ୟା = ପଞ୍ଚମ ସଂଖ୍ୟା + ଚତୁର୍ଥ ସଂଖ୍ୟା = 8 + 5 = 13 ଓ ଏହିପରି………

(i) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,……
2 ର ବର୍ଗ
2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 2 × 2 = 4, 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 ଓ ଏହିପରି………….

(j) 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729,….
3 ର ବର୍ଗ
3⁰ = 1, 3¹ = 3, 3² = 3 × 3 = 9, 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 ଓ ଏହିପରି………..

Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ ପରେ, ଯେଉଁ ନିୟମରେ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମଟି ଲେଖାଯାଇଛି, ତାହାକୁ ନିଜ ଭାଷାରେ ଲେଖ।
Solution:
(a) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … (ତିନିଥର 1 ପୁନରାବୃତ୍ତି ହୋଇଛି)

(b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … (ପରବର୍ତୀ ତିନୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା)

(c) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19… (ପରବର୍ତୀ ତିନୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

(d) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, … (ପରବର୍ତୀ ତିନୋଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)

(e) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … (ପରବର୍ତ୍ତୀ ତିନୋଟି ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା)

(f) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … (ପରବର୍ତୀ ତିନୋଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା)
8 × 8 = 64, 9 × 9 = 81, 10 × 10 = 100

(g) 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,… (ପରବର୍ତୀ ତିନୋଟି ଘନ ସଂଖ୍ୟା)
7 × 7 × 7 = 343, 8 × 8 × 8 = 512, 9 × 9 × 9 = 729

(h) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … (ପରବର୍ତୀ ବିରହାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା)
13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55, 34 + 55 = 89

(i) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,… (ପୂର୍ବବର୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାକୁ 2 ସହ ଗୁଣନ)
64 × 2 = 128, 128 × 2 = 256, 256 × 2 = 512

(j) 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19863,… (ପୂର୍ବବର୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାକୁ 3 ସହ ଗୁଣନ)
729 × 3 = 2187, 2187 × 3 = 6561, 6561 × 3 = 19863

1.3 ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମର ଚିତ୍ରିତ ଉପସ୍ଥାପନା (Visualising Number Sequences)

ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 5)

Question 1.
ସାରଣୀ 2ରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମର ଚିତ୍ରିତ ଉପସ୍ଥାପନାକୁ ନିଜ ଖାତାରେ ଲେଖ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମପାଇଁ ପରବର୍ତୀ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର।
Solution:

Question 2.
(a) 1, 3, 6, 10, 15 …. କୁ କାହିଁକି ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ?
Solution:
ଏହି ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମରେ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ଆକାରରେ ସଜ୍ଜିତ କରାଯାଇ ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜ ଉତ୍ପନ୍ନ କରୁଥିବାରୁ ଏଗୁଡ଼ିକୁ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ।
1, 3, 6, 10, 15, …. ଇତ୍ୟାଦି ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି।

(b) 1, 4, 9, 16, 25 …. କୁ କାହିଁକି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ?
Solution:
ଏହି ସଂଖ୍ୟାର ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ବର୍ଗାକୃତି ଭାବରେ ସଜ୍ଜିତ ହୋଇଥିବାରୁ ଏହି ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମକୁ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ।
1, 4, 9, 16,……… ଇତ୍ୟାଦି ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି।

(c) 1, 8, 27, 64, 125 …. କୁ କାହିଁକି ଘନ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ?
Solution:
ଏହି ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମକୁ ଏକ ଘନାକାର ଭାବେ ସଜ୍ଜିତ କରି ସମଘନ ହୋଇଥାଏ।
ତେଣୁ ଏହି ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ 1, 8, 27, 64, 125 …. ଘନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି।

Question 3.
36 ଏକ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା। ଅର୍ଥାତ୍ 3ଟି ବିନ୍ଦୁକୁ ନେଇ ଉଭୟ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ଚିତ୍ର ଏବଂ ବର୍ଗ ଚିତ୍ରରେ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣରୂପେ ସଜାଇ ପାରିବା। ତୁମ ଖାତାରେ ଚିତ୍ର କରି ଏହାକୁ ଦେଖାଅ।
Solution:
ଏହିପରି ଅନ୍ୟ ତିନୋଟି ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 1, 1225 ଓ 41616.
1 ହେଉଛି 1 ତମ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା। 1225 ହେଉଛି 49 ତମ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା।
ଏହା ସହିତ 1225 ସଂଖ୍ୟାଟି ଏହାର ବାହୁରେ 36ଟି ଡଟଥିବା ଏକ ବର୍ଗାକୃତି ପାର୍ଶ୍ୱ।

Question 4.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମକୁ ତୁମେ କ’ଣ ନାମ ଦେବ?

ଏଗୁଡ଼ିକୁ ଷଡ଼ଭୁଜୀୟ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ। ଏହାକୁ ନିଜ ଖାତାରେ ଅଙ୍କନ କର। ଏହି ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମର ପରବର୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ହେବ?
Solution:

ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା = 1
ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = 1 + 6 = 7 (ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା + 6 × 1)
ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = 7 + 12 = 19 (ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟା = ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା + 6 × 2)
ଚତୁର୍ଥ ସଂଖ୍ୟା = 19 + 18 = 37 (ଚତୁର୍ଥ ସଂଖ୍ୟା = ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟା + 6 × 3)
ପଞ୍ଚମ ସଂଖ୍ୟା = 37 + 24 = 61 (ପଞ୍ଚମ ସଂଖ୍ୟା = ଚତୁର୍ଥ ସଂଖ୍ୟା + 6 × 4)
ତେଣୁ ଏହି କ୍ରମର ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି 61।

Question 5.
2ର ଘାତ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମକୁ ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଇବା ପାଇଁ ତୁମେ ଉପାୟ ଚିନ୍ତା କରିପାରିବ କି? ସେହିପରି 3 ର ଘାତ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମର ଚିତ୍ରିତ ଉପସ୍ଥାପନା କର। ଏଠାରେ 2ର ଘାତ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମକୁ ଦର୍ଶାଇବା ପାଇଁ ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଚିତ୍ର ଦିଆଯାଇଛି।

Solution:
ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ସହାୟତା ନେଇ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ।

1.4 ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ (Relations Among Number Sequences)

Page No. 6

Question 1.
ଏପରି କାହିଁକି ହୋଇଥାଏ? ଏପରି ସବୁବେଳେ ହେବ ବୋଲି ତୁମେ ଭାବୁଛ କି?
Solution:
ଏପରି ଘଟିବାର କାରଣ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = (2n – 1)
ଯେତେବେଳେ ‘n’ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ,
ପ୍ରଥମ ‘n’ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 1 + 3 + 5 + ………. + (2n – 1) = n²
∴ ‘n’ ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = ମୋଟ ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ।

Question 2.
1, 3, 5, 7, …….. ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ବିନ୍ଦୁ (ଡଟ)କୁ ବର୍ଗ ଗ୍ରୀଡ଼ରେ କିପରି ଭାଗକରି ଉପସ୍ଥାପନ କରିବ?

Solution:
ଏହା କିପରି ସମ୍ଭବ, ତାହା ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି।
ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
କାରଣ ଯେକୌଣସି ଆକାରର ବର୍ଗପାଇଁ ଏହିପରି ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରାଯାଇପାରିବ।
ଏହା ବର୍ଣ୍ଣନା କରୁଛି ଯେ କାହିଁକି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗକଲେ ଏକ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା ମିଳେ।

Page No. 7

Question 1.
ପ୍ରଥମ 10ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ କେତେ ହେବ, ତୁମେ କହିପାରିବ କି?
Solution:
ପ୍ରଥମ 10ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
= n²
= (10)²
= 10 × 10
= 100

Question 2.
ପ୍ରଥମ 100ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର।
Solution:
ପ୍ରଥମ 100ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 1 + 3 + 5 ……………
= n²
= (100)²
= 100 × 100
= 10,000

ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 8-9)

Question 1.
ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଆଗକୁ ଓ ପଛକୁ ଲେଖୁ ଯୋଗକଲେ ଯେପରି 1, 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 3 + 2 + 1,…….. ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା କାହିଁକି ହୁଏ, ଜାଣିବା ପାଇଁ ତୁମେ ଏକ ସମାନ ପ୍ରକାରର ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବ ତାହାକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିପାରିବ କି?
Solution:

ସମାଧାନ ପ୍ରଣାଳୀ:
1 = 1 = (1)²
1 + 2 + 1 = 4 = (2)²
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = (3)²
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = (4)²
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = (5)²
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 = (6)²
ଏହିପରି ଭାବରେ କରାଯାଇପାରିବ।

Question 2.
ଆଙ୍କିଥୁବା ତୁମ ଚିତ୍ରର ଏକ ବୃହତ୍ ରୂପକୁ କଳ୍ପନା କରି କିମ୍ବା ଆବଶ୍ୟକ ଅନୁଯାୟୀ ଏହାକୁ ଆଂଶିକ ଅଙ୍କନ କରି ନିମ୍ନ ସଂରଚନାର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେବ କହିପାରିବ କି?
1 + 2 + 3 + ………… + 99 + 100 + 99 + ……… + 3 + 2 + 1
Solution:
1 + 2 + 3 + …………. + 99 + 100 + 99 + ………. + 3 + 2 + 1 = 100 × 100 = 10000
∴ 100² = 100 × 100 = 10,000

Question 3.
ସମସ୍ତ 1 କୁ କ୍ରମରେ ଯୋଗକରି ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇଲେ ତୁମେ କେଉଁ ସଂରଚନା ପାଇବ? ଯେତେବେଳେ ତୁମେ ସମସ୍ତ 1 ର କ୍ରମକୁ ଆଗକୁ ଓ ପଛକୁ ଯୋଗ କରିବ, କେଉଁ ସଂରଚନା ପାଇବ?
Solution:
ସମସ୍ତ 1 ର କ୍ରମକୁ ଆଗକୁ ଯୋଗକଲେ: 1 + 1 + 1 + 1 = 4
ସମସ୍ତ 1 ର କ୍ରମକୁ ପଛକୁ ଯୋଗକଲେ: 1 + 1 + 1 + 1 = 4
∴ ଉଭୟ ଦୁଇଟି କ୍ରମରେ ଯୋଗଫଳ ସମାନ।

Question 4.
ତୁମେ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇ ଯୋଗକଲେ କେଉଁ କ୍ରମଟି ପାଇବ? ଏହାର ଏକ ଛୋଟ ଚିତ୍ରିତ ଉପସ୍ଥାପନ କରି ବର୍ଣ୍ଣନା କର।
Solution:

ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣନା କଲେ 1, 1 + 2 , 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4,…….
କିମ୍ବା, 1, 3, 6, 10…………

Question 5.
ତୁମେ କ୍ରମିକ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରିବା ଆରମ୍ଭ କଲେ, ଯଥା: 1 + 3, 3 + 6, 6 + 10, 10 + 15,…… ତୁମେ କେଉଁ କ୍ରମଟି ପାଇବ ଓ କାହିଁକି? ଏହାର ଚିତ୍ରିତ ଉପସ୍ଥାପନା କରିପାରିବ କି?
Solution:
1 + 3 = 4 = 2 × 2
3 + 6 = 9 = 3 × 3
6 + 10 = 16 = 4 × 4
10 + 15 = 25 = 5 × 5 …..
ଉପରୋକ୍ତ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିର ଯୋଗଫଳରେ ଆମେ ବର୍ଗର ଏକ କ୍ରମ ପାଇବା।

Question 6.
1 ଠାରୁ ଆରମ୍ଭ କରି 2 ର ଘାତଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରିବା ଆରମ୍ଭ କଲେ ଯଥା- 1, 1 + 2, 1 + 2 + 4, 1 + 2 + 4 + 8,… କ’ଣ ପାଇବ? ଏହି କ୍ରମର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାରେ 1 ଯୋଗକର, ତୁମେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବ? ଏପରି କାହିଁକି ହୋଇଥାଏ?
Solution:
ମନେକର 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ଘାତ 2 ଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କୁ ଯୋଗ କରାଯାଉ।
1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 4 = 7
1 + 2 + 4 + 8 = 15
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
ତେଣୁ ଅନୁକ୍ରମ 1, 3, 7, 15, 31, ….. ଗଠନ ହୋଇଛି।
ବର୍ତ୍ତମାନ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାରେ 1 ଯୋଗ କରାଯାଉ।
1 + 1 = 2 = 2¹
1 + 2 + 1 = 4 = 2 × 2 = 2²
1 + 2 + 4 + 1 = 8 = 2 × 2 × 2= 2³
1 + 2 + 4 + 8 + 1 = 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴
ଏହିପରି ହେବାର କାରଣ ହେଉଛି ଆମେ (1 + 1 = 2) ଯୋଗ କରିଛୁ।
ତେଣୁ 2 ର ଘାତ ବୃଦ୍ଧି ହେବ।

Question 7.
ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 6 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରି 1 ଯୋଗକଲେ, କ’ଣ ପାଇବ? ଏହାଦ୍ଵାରା ତୁମେ କେଉଁ କ୍ରମଟି ପାଇବ? ତୁମେ ଏହି କ୍ରମର ଚିହ୍ନିତ ଉପସ୍ଥାପନ କରି, ଏହାକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କର।
Solution:
ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
1 × 6 + 1 = 7
3 × 6 + 1 = 19 (12 ବୃଦ୍ଧି ପାଇଛି; ଅର୍ଥାତ୍‌, 6 × 2)
6 × 6 + 1 = 37 (18 ବୃଦ୍ଧି ପାଇଛି; ଅର୍ଥାତ୍‌, 6 × 3)
10 × 6 + 1 = 61 (24 ବୃଦ୍ଧି ପାଇଛି; ଅର୍ଥାତ୍, 6 × 4)
15 × 6 + 1 = 91 (30 ବୃଦ୍ଧି ପାଇଛି; ଅର୍ଥାତ୍‌, 6 × 5)

ଉତ୍ପନ୍ନ ଅନୁକ୍ରମଟି 1, 7, 19, 37, 81, ………. ହେବ।

Question 8.
ଷଡ଼ଭୁଜକାର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଆଗକୁ ଯୋଗ କରିବା ଆରମ୍ଭ କଲେ; ଯଥା : 1, 1 + 7, 1 + 7 + 19, 1 + 7 + 19 + 37, ……… କ’ଣ ହେବ? ତୁମେ କେଉଁ କ୍ରମଟି ପାଇବ? ଏକ ଘନର ଚିତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ଏହାକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କର।

Solution:
ଷଡ଼ଭୁଜକାର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଆଗକୁ ଯୋଗକଲେ 1, 7, 19, 37, …..
ବତ୍ତର୍ମାନ ଯୋଗ କଲେ,
ପ୍ରଥମ ଷଡ଼ଭୁଜ ସଂଖ୍ୟା 1 ର ଯୋଗଫଳ = 1 = 1³ (1 ର ତୃତୀୟ ଘାତ)
ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଷଡଭୁଜ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = 1 + 7 = 8 = 2 × 2 × 2 = 2³ (2 ର ତୃତୀୟ ଘାତ)
ପ୍ରଥମ ତିନୋଟି ଷଡ଼ଭୁଜ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = 1 + 7 + 19 = 27 = 3 × 3 × 3 = 3³ (3 ର ତୃତୀୟ ଘାତ)
ପ୍ରଥମ ଚାରୋଟି ଷଡ଼ଭୁଜ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = 1 + 7 + 19 + 37 = 64 = 4 × 4 × 4 = 4³ (4 ର ତୃତୀୟ ଘାତ)
ପ୍ରଥମ ପାଞ୍ଚୋଟି ଷଡ଼ଭୁଜ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = 1 + 7 + 19 + 37 + 61 = 125 = 5 × 5 × 5 = 5³ (5 ର ତୃତୀୟ ଘାତ)
ଏହି କ୍ରମଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 1, 8, 27, 64 = 1³, 2³, 3³, 4³

Question 9.
ସାରଣୀ-1ରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସଂରଚନା ସମ୍ପକର୍କୁ ବାହାର କରି ସଂରଚନା ତିଆରି କର। ସେଗୁଡ଼ିକ କାହିଁକି ଏପରି ହୋଇଛି ତାହାକୁ ଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ କିମ୍ବା ଅନ୍ୟ କୌଣସି ଉପାୟରେ ତୁମେ ବୁଝାଅ?
Solution:
3, 6, 9, 12, 15, 18, ……… (3 ର କ୍ରମିକ ଗୁଣିତକ ସଂଖ୍ୟା)
10, 15, 20, 25 ….. (ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି 10। ଉତ୍ପନ୍ନ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାରେ 5 ଯୋଗ କରାଯାଇଛି।)

1.5 ଆକୃତିରେ ସଂରଚନା (Pattern in Shapes)

ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 11)

Question 1.
ସାରଣୀ–3ର ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମରେ ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରି କୁହ।
Solution:
(a) ସରଳ ବହୁଭୁଜ: ତ୍ରିଭୁଜ, ଚତୁର୍ଭୁଜ, ପଞ୍ଚଭୁଜ, ଷଡ଼ଭୁଜ, ସପ୍ତଭୁଜ, ଅଷ୍ଟଭୁଜ, ନଅଭୁଜ, ଦଶଭୁଜ….
ଏହି ସଂରଚନାରେ ୩ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ ସଂଖ୍ୟାରେ ୧ ଯୋଗ କରାଯାଇଛି।

(b) ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ ଲେଖଚିତ୍ର:

ଏଠାରେ ରେଖାଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରର, ଯଥା–
K₂ = 1, K₃ = 3, K₄ = 6, K₅ = 10, K₆ = 15
କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ହେବ: 1, 3, 6, 10, 15
ତେଣୁ ଏହା ଗୋଟିଏ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ।

(c) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ଏକାଧ୍ଵକ ଛୋଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର:

ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମଟି = 1, 4, 9, 16, 25, ……
∴ ଏହା ଏକ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା କ୍ରମର ଉପସ୍ଥାପନା।

(d) ଅନେକଗୁଡ଼ିଏ ତ୍ରିଭୁଜ:

∴ ଏହା ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵାରା ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ଏକ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ।

(e) କଚ୍ ତୁଷାରକଣା:

∴ ପ୍ରତ୍ୟେକରେ ବାହୁର ସଂଖ୍ୟା 4 ଗୁଣ ହୁଏ।

Question 2.
ତୁମ ଖାତାରେ ସାରଣୀ–3ରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମର ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର। ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମର ପରବର୍ତୀ ଆକୃତିକୁ ତୁମେ ଅଙ୍କନ କରିପାରିବ କି? ଯଦି ହଁ/ନା, ତେବେ କାହିଁକି? ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମର ପରବର୍ତୀ ଆକୃତିଟି ତିଆରି ହେବାର ନିୟମ କିମ୍ବା ସଂରଚନାକୁ ନିଜ ଭାଷାରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କର।
Solution:
(a) ସରଳ ବହୁଭୁଜ: ଏହା 11 ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ବହୁଭୂଜ କ୍ଷେତ୍ର।

(b) ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ ଲେଖଚିତ୍ର: K₇

(c) ଅନେକଗୁଡ଼ିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ର:

ସମୁଦାୟ ଚତୁର୍ଭୁଜ ସଂଖ୍ୟା = 6 × 6 = 36

(d) ଅନେକଗୁଡ଼ିଏ ତ୍ରିଭୁଜ:

ସମୁଦାୟ ତ୍ରିଭୁଜ ସଂଖ୍ୟା = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

(e) କଚ୍ ତୁଷାରକଣା:

1.6 ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ (Relation to Number Sequences)

ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 11-12)

Question 1.
ସରଳ ବହୁଭୁଜ ଆକୃତି କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିର ବାହ୍ମସଂଖ୍ୟାକୁ ଗଣି ଲେଖ। ତୁମେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ ପାଇବ? ସରଳ ବହୁଭୁଜର କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିର କୋଣ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗଣି ଲେଖ। ତୁମେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ ପାଇବ କି? ଏପରି କାହିଁକି ହେଉଛି ତୁମେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିପାରିବ କି?
Solution:

ଉଭୟର କ୍ରମ ସମାନ। କାରଣ ଗୋଟିଏ ସରଳ ବହୁଭୁଜର ବାହୁସଂଖ୍ୟା ଶୀର୍ଷ ସଂଖ୍ୟା ସହ ସମାନ।

Question 2.
ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ ଲେଖଚିତ୍ର କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିର ରେଖା ସଂଖ୍ୟା ଗଣ। ତୁମେ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ ପାଇବ? ଏପରି କାହିଁକି ହେଉଛି, ତୁମେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିପାରିବ କି?
Solution:

ତେଣୁ ଆମେ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ ପାଇଲୁ: 1, 3, 6, 10, 15,…….।
ଏହା ଗୋଟିଏ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ।

Question 3.
ଅନେକଗୁଡ଼ିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିରେ କେତୋଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର ଅଛି? ଏହା କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମକୁ ଦର୍ଶାଉଛି? ଏପରି କାହିଁକି ହେଉଛି, ତୁମେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିପାରିବ କି?
Solution:

ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ: 1, 4, 9, 16, 25, 36,……… ତେଣୁ ଆମେ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ ପାଇଲୁ।

Question 4.
ଅନେକଗୁଡ଼ିଏ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିରେ କେତୋଟି ଛୋଟ ତ୍ରିଭୁଜ ଅଛି? ଏହା କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମକୁ ଦର୍ଶାଉଛି? ଏପରି କାହିଁକି ହେଉଛି, ତୁମେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିପାରିବ କି? (ସୂଚନା: କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିର, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିରେ କେତୋଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଅଛି?)
Solution:

ଆମେ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମ ପାଇଲୁ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,……….
ଏହା ଗୋଟିଏ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା କ୍ରମ। ତଳେ ଏକ ଛୋଟ ତ୍ରିଭୁଜ ଯୋଡ଼ିବାଦ୍ଵାରା ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।

Question 5.
ତୁଷାରକଣା କ୍ରମରେ ଗୋଟିଏ ଆକୃତିରୁ ପରବର୍ତୀ ଆକୃତି ପାଇବା ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ରେଖାଖଣ୍ଡ (—) କୁ ଏକ ଗତି ଅବରୋଧକ ଉଠାଣି (ହମ୍ପସ) (__/\__)ଦ୍ଵାରା ବଦଳାଯାଇଥାଏ। ଯେହେତୁ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଆକୃତିଗୁଡ଼ିକରେ ଏହାକୁ ଅଧୁକରୁ ଅଧିକ କରାଯାଏ, ପରିବର୍ତ୍ତିତ ଆକୃତିଗୁଡ଼ିକ ଅତି କ୍ଷୁଦ୍ର ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵାରା କ୍ଷୁଦ୍ରର କ୍ଷୁଦ୍ରତର ହୋଇଥାଏ। ଏହି ତୁଷାରକଣା ଚିତ୍ର କ୍ରମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆକୃତିରେ କେତୋଟି ରେଖାଖଣ୍ଡ ଅଛି? ଏହାର ଅନୁରୂପ ସଂଖ୍ୟାକ୍ରମଟି କ’ଣ?
(ଏହାର ଉତ୍ତର ହେଉଛି 3, 12, 48,… ଅର୍ଥାତ୍ 4 ର ଘାତର 3 ଗୁଣ ଅର୍ଥାତ୍ 3 × 4⁰, 3 × 4¹, 3 × 4² …….। ସାରଣୀ–1ରେ ଏହି କ୍ରମକୁ ଦର୍ଶାଯାଇନାହିଁ।
Solution:

ଆମେ କ୍ରମ ପାଇଲୁ: 3, 12, 48, 192, 768……..
ପ୍ରଥମ ପଦ 3 ତା’ ପରବର୍ତ୍ତୀ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ 4 ର ଘାତର 3ଗୁଣ।