Class 12

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(d)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. । ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 3 ସେ.ମି. ହେଲେ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a  = 3 ସେ.ମି. ଓ b = 5 ସେ.ମି. । 
ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = ଉଚ୍ଚତା (h) = 3 ସେ.ମି. । 
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) h (a + b) ସେ.ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × 3(3 + 5) ବର୍ଗ’ସେ.ମି. = 12 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 12 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

(ii) ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 18 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 36 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା ବ୍ୟବଧାନ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି = 18 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 36 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
ମନେକର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = x ସେ.ମି. ।
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × (ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା)
∴ 36 = \(\frac{1}{2}\) × 18 × x
⇒ 9x = 36 ⇒ x = 4 ସେ.ମି. ।
∴ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବ୍ୟବଧାନ 4 ସେ.ମି. ।

(iii) ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ A͞B || C͞D । ଯଦି AB = 6 ସେ.ମି., ବ୍ୟବଧାନ AE = 4 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 28 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହୁଏ, ତେବେ CD କେତେ ?
ସମାଧାନ:

ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ A͞B || C͞D ଓ AB = 6 ସେ.ମି. ।
A͞B ଓ C͞D ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ (h) = AE = 4 ସେ.ମି. ।
ମନେକର CD ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି. ।
ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 28 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) h (a + b) ⇒ 28 = \(\frac{1}{2}\) × 4 (AB + CD)
⇒ 28 = 2(6 + x) ⇒ x + 6 = \(\frac{28}{2}\) = 14
⇒ x = 14 – 6 = 8 ସେ.ମି. ।
∴ CD ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. ।

(iv) ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ସରଳରେଖାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. ଓ 
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 40 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା ବ୍ୟବଧାନ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ସରଳରେଖାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 8 ସେ.ମି. ଓ 
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 40 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

∴ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ବ୍ୟବଧାନ 5 ସେ.ମି. ।

(v) ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ A͞B || C͞D ଓ 2AB = CD । ଯଦି ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବ୍ୟବଧାନ 4 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 42 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହୁଏ, ତେବେ CD କେତେ ?
ସମାଧାନ:

ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ A͞B || C͞D ଓ 2AB = CD ।
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ (h) = AE = 4 ସେ.ମି. ।
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 42 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
⇒ \(\frac{1}{2}\) × AE (AB + CD) = 42
⇒ \(\frac{1}{2}\) × 4 (AB + 2AB) = 42 (∵ CD = 2AB)
⇒ 3AB = \(\frac{42}{2}\) = 21
⇒ AB = \(\frac{21}{3}\) = 7 ସେ.ମି.
CD = 2AB = 2 × 7 ସେ.ମି. = 14 ସେ.ମି.
∴ CD ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 14 ସେ.ମି.

Question 2.
(i) ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 12 ସେ.ମି. ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 96% ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = 12 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି.

∴ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 16 ସେ.ମି. । 

(ii) ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 5 ମିଟର ଓ 7 ମିଟର ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 6 ମିଟର ହେଲେ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 5 ମିଟର ଓ 7 ମିଟର ।
∴ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ ଅର୍ଥାତ୍ ଉଚ୍ଚତା = 6 ମିଟର ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଉଚ୍ଚତା × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଯୋଗଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) × 6 ମି. × (5ମି. + 7 ମି.) = 3 ମି. × 12 ମି. = 36 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 36 ବର୍ଗ ମିଟର ।

(iii) ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ A͞B ଓ C͞D ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ଏବଂ AB = 2CD । ଯଦି ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି, ତେବେ Δ AOB ଓ Δ CODର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ A͞B || C͞D ଏବଂ AB = 2CD
A͞B || C͞D ଓ BD ଛେଦକ m∠ABO = m∠CDO (ଏକାନ୍ତର)
ସେହିପରି m∠OAB = m∠OCD (ଏକାନ୍ତର)
m∠AOB = m∠COD (ପ୍ରତୀପ)
∴ Δ AOB ~ Δ COD
ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ, ଅନୁରୂପ ବାହୁମାନଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବର୍ଗାନୁପାତୀ ସହ ସମାନ ।


∴ Δ AOB ଓ Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ 4 : 1 ।

Question 3.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 384 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । ଯଦି ଏହାର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 3 : 5 ହୁଏ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 12 ସେ.ମି. ହୁଏ ତେବେ କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3x ସେ.ମି. ଓ 8x ସେ.ମି. ।
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ (h) = 12 ସେ.ମି.
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 384 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି × ଉଚ୍ଚତା
⇒ 384 = \(\frac{1}{2}\) × (3x + 5x) × 12
⇒ 8x = \(\frac{384}{6}\) = 64
⇒ x = \(\frac{64}{8}\) = 8 ସେ.ମି. ।
କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 3x ସେ.ମି. = 3 × 8 ସେ.ମି. = 24 ସେ.ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷୁଦ୍ରତର ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ସେ.ମି. ।

Question 4.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 58 ମିଟର ଓ 72 ମିଟର । ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 15 ମିଟର ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 58 ମି. ଓ 78 ମି. ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା 15 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଉଚ୍ଚତା × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି
= \(\frac{1}{2}\) × 15 × (58 + 72) ବର୍ଗ ମି. 
= \(\frac{1}{2}\) × 15 × 130 = 975 ବର୍ଗ ମି. ।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 55 ମିଟର ଓ 35 ମିଟର । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 810
ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ, ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 55 ମି. ଓ 35 ମି. ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 810 ମି. ।
ମନେକର ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ମି.
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଉଚ୍ଚତା × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି
⇒ 810 = \(\frac{1}{2}\) × x × (55 + 35)
⇒ 810 = \(\frac{90x}{2}\)
⇒ 45x = 810
⇒ x = \(\frac{810}{45}\) = 18 ମିଟର ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 18 ମିଟର ।

Question 6.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଦୁଇ ସମାନ୍ତର ବାହୁ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଠାରୁ 20 ସେ.ମି. ବେଶୀ ଓ ଏହି ବାହୁଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 25 ସେ.ମି. । ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1250 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 
ସମାଧାନ: 
ମନେକର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଅନ୍ୟ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 20) ସେ.ମି. ।
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ = 25 ସେ.ମି. = ଉଚ୍ଚତା, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1250 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଉଚ୍ଚତା × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି
1250 = \(\frac{1}{2}\) × 25 × (x + x + 20)
⇒ 2500 = 25 (2x + 20)
⇒ 2x + 20 = \(\frac{2500}{25}\) = 100
⇒ 2x = 100 – 20 = 80
⇒ x = \(\frac{80}{2}\) = 40
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 40 ସେ.ମି.
ଓ ଅନ୍ୟ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 20 = 40 + 20 = 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 30 ମିଟର ଏବଂ ସେହି ଦୁଇଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 2 : 3 ଅଟେ । ଗୋଟିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଠାରୁ 10 ମିଟର ଅଧ‌ିକ ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 2x ମି. ଓ 3x ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ବାନୁସାରେ, 3x = 2x + 10
⇒ 3x – 2x = 10 ⇒ x = 10
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ, 2x = 2 × 10 = 20 ମି. ଓ 3x = 3 × 10 = 30 ମି.
ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ ଅର୍ଥାତ୍ ଉଚ୍ଚତା = 30 ମି.
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଉଚ୍ଚତା × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି
= \(\frac{1}{2}\) × 30 × (20 + 30) = 15 × 50 = 750 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 960 ବର୍ଗ ମିଟର । ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 6 ମିଟର ଓ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର 20 ମିଟର ହେଲେ, ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଅନ୍ୟ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 20) ମି. ।
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 960 ବର୍ଗ ମି., ଉଚ୍ଚତା = 6 ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଉଚ୍ଚତା × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଯୋଗଫଳ
⇒ 960 = \(\frac{1}{2}\) × 6 × (x + x + 20)
⇒ 960 = 3(2x + 20)
⇒ 2x + 20 = \(\frac{960}{3}\)
⇒ 2x + 20 = 320
⇒ 2x = 300
⇒ x = 150 ମି.
ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 20 = 150 + 12 = 170 ସେ.ମି.
∴ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 150 ମି. ଓ 170 ସେ.ମି. ।

Question 9.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଏକ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 44 ମିଟର ଓ ଅନ୍ୟ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଉଚ୍ଚତାର ଅର୍ଦ୍ଧେକ । ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 885 ବର୍ଗ ମିଟର ହେଲେ, ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ: 
 ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 44 ମି., କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 885 ବ. ମି. ।
ମନେକର ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ମି. । 
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଅନ୍ୟ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{x}{2}\) ମି. I
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଉଚ୍ଚତା × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି
⇒ 885 = \(\frac{1}{2}\) × x × (45 + \(\frac{x}{2}\))
⇒ 885 = \(\frac{88 x+x^2}{4}\)
⇒ 3540 = 88x + x²
⇒ x² + 88x – 3540 = 0
⇒ x² + 118x – 30x – 3540 = 0
⇒ x(x + 118) – 30(x + 118) = 0
⇒ (x + 118)(x – 30) = 0
⇒ x + 118 = 0 ବା x – 30 = 0
⇒ x = -118 ଏହା ଅସମ୍ଭବ ଓ x = 30
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 30 ମିଟର ।

Question 10.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଛେଦ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 39 ସେ.ମି. । ଏହି ରେଖାଖଣ୍ଡଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୂରତା 12 ସେ.ମି. ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ a ସେ.ମି. ଓ b ସେ.ମି. ।
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{1}{2}\) (a + b) = 39 ସେ.ମି.
ଏହି ରେଖାଖଣ୍ଡଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୂରତା = \(\frac{h}{2}\) = 12 ସେ.ମି. ⇒ h = 24 ସେ.ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) h (a + b) = 24 × 39 = 936 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 11.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 24 ମିଟର ଓ 50 ମିଟର ଓ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 12 ମିଟର । ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌କୁ ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ସେମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
ସମାଧାନ:

ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ A͞B || C͞D ଏବଂ P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ A͞D ଓ B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ମନେକର D͞E ⊥ A͞B ଓ ଏହା PQ କୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି ।
AB = 50 ମି., CD = 24 ମି. ଏବଂ DE = 12. ମି. ।

Question 12.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 35 ମିଟର ଓ 50 ମିଟର । ଏହାର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଓ ଅନ୍ୟଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 17 ମିଟର ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର A͞B || CD ଏବଂ AD
AB ଓ CD ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
ମନେକର AB = 50 ମି., CD = 35 ମି. ଓ BC = 17 ମି. ।
C ବିନ୍ଦୁରୁ AB ପ୍ରତି C͞E ଲମ୍ବ ଅଙ୍କିତ ହୋଇଛି ।
ବର୍ତ୍ତମାନ AECD ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ।
∴ AE = CD = 35 ମି. । ତେଣୁ BE = AB – AE = 50 – 35 = 15 ମି. ।

Question 13.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 210 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । ଏହାର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 17 ସେ.ମି. ଓ ଅନ୍ୟଟି ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ । ଯଦି ଗୋଟିଏ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଠାରୁ 8 ସେ.ମି. ଅଧିକ ହୁଏ, ତେବେ ବାହୁ ତିନୋଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AB || CD ଏବଂ
AD, AB ଓ CD ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 210 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
ମନେକର CD = x ସେ.ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, AB = (x + 8) ସେ.ମି.
C ବିନ୍ଦୁରୁ AB ପ୍ରତି CE ଲମ୍ବ ଅଙ୍କିତ ହୋଇଛି ।
ବର୍ତ୍ତମାନ AECD ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର । ∴ AE = CD = x ସେ.ମି.
ତେଣୁ BE = AB – AE = 8 ସେ.ମି.

CD = x = 10 ସେ.ମି. ଓ AB = x + 8 = 10 + 8 = 18 ସେ.ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ଯଥାକ୍ରମେ 10 ସେ.ମି. ଓ 18 ସେ.ମି. ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 15 ସେ.ମି. ।

Question 14.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଦୁଇ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 54 ସେ.ମି. ଓ 30 ସେ.ମି. ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ସେ.ମି. ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର AB ||CD ଏବଂ AD ଓ BC ଅସମାନ୍ତର ବାହୁ ।
AB = 54 ସେ.ମି., CD = 30 ସେ.ମି. ଓ AD = BC = 20 ସେ.ମି. ।
ମନେକର CE || AD ଏବଂ CF ⊥ BE ।
ବର୍ତ୍ତମାନ AECD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
∴ CE = AD = BC = 20 ସେ.ମି. ଏବଂ AE = CD = 30 ସେ.ମି. ।
∴ BE = AB – AE = 54 – 30 = 24 ସେ.ମି. Δ BCE ରେ BC = EC ।
ତେଣୁ ଏହା ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
C ବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମି B͞E ପ୍ରତି C͞F ଲମ୍ବ ।

Question 15.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ଅଟେ । ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ସେ.ମି. ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 336√3 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର AB || CD ଏବଂ m∠ABC = 60° ।
AD = BC = 16 ସେ.ମି.
C ବିନ୍ଦୁରେ DA ସହ ସମାନ୍ତରଭାବେ ଅଙ୍କିତ ରେଖା AB କୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ଏବଂ C ବିନ୍ଦୁରୁ AB ପ୍ରତି CF ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ AECD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
AD = CE = 16 ସେ.ମି.
Δ BCE ରେ BC = CE
⇒ m∠CEB = m∠CBE = 60°
∴ m∠BCE = 180° – (m∠CEB + m∠CBE) = 180° – (60° + 60°) = 60°
∴ Δ BCE ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
∴ BE = 16 ସେ.ମି.

∴ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 34 ସେ.ମି. ଓ (x + 16) = 50 ସେ.ମି. ।

Question 16.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 550√3 ବର୍ଗ ମିଟର ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ମିଟର । ଏହାର ବୃହତ୍ତର ସମାନ୍ତର ବାହୁ ସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ 60 ହେଲେ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର AB || CD ଏବଂ m∠ABC = 60° ।
AB = BC= 20 ମି. ।
C ବିନ୍ଦୁରୁ AD ସହ ସମାନ୍ତରଭାବେ ଅଙ୍କିତ ରେଖା 
AB କୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ଏବଂ C ବିନ୍ଦୁରୁ
AB ପ୍ରତି CF ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ । 
ବର୍ତ୍ତମାନ AECD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
∴ AE = CD ଏବଂ AD = EC = BC = 20 ମି.
Δ BCF ରେ BC = CE, ତେଣୁ m∠CEB = m∠CBE = 60°
∴ m∠BCE = 180° – (m∠CEB + m∠CBE) = 180° – (60° + 60°) = 60°
∴ Δ BCE ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
⇒ AD = EC = BC = BE = 20 ମି.

∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 65 ମି, ଓ 45 ମି. ।

Question 17.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ର ଦୁଇ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 42 ମିଟର ଓ 30 ମିଟର । ଏହାର ବୃହତ୍ତମ ସମାନ୍ତର ବାହୁର ସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ 90° ଓ 45° ହେଲେ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
ସମାଧାନ:

ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AB = 30 ସେ.ମି., CD = 42 ସେ.ମି.,
m∠ADC = 90° ଓ m∠BCD = 45° ।
B ବିନ୍ଦୁରୁ CD ପ୍ରତି BE ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ । 
∴ AB = DE = 30 ମିଟର, 
CE = CD – DE = 42 ମି. – 30 ମି. = 12 ମି. ।
∴ Δ BCE ସମକୋଣୀ ତ୍ରିର୍ଭୁଜରେ m∠BCE = 45°
m∠CBE = 180° – (m∠BEC + m∠BCE) = 180° – (90° +45°) = 45°
∴ Δ BCE ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
∴ CE = BE = 12 ମି.
∴ BE ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 12 ମି. ।
∴ ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଉଚ୍ଚତା × ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି
= \(\frac{1}{2}\) × 12 × (30 + 42) = 6 × 72 = 432 ବର୍ଗ ମି. ।
∴ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 432 ବର୍ଗ ମିଟର ।

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ଉତ୍ତର ସଂକ୍ଷେପରେ ଦିଅ ।
(i) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 6 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 3 ସେ.ମି., ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 6 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 3 ସେ.ମି. । 
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ଉଚ୍ଚତା = 6 ସେ.ମି. × 3 ସେ.ମି. = 18 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

(ii) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 10 ସେ.ମି. ଓ ଏହାର ସମ୍ମୁଖୀନ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର
ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 6 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 10 ସେ.ମି.
ଏହାର ସମ୍ମୁଖୀନ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 6 ସେ.ମି.
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x କଣ୍ଠପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 
= 10 ସେ.ମି × 6 ସେ.ମି = 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

(iii) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର AB + BD + AD = 2s ଏକକ । s(s – AB) (s – BD) (s – AD) = 64 ହେଲେ, ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର AB + BD + AD = 2s ଏକକ ।
s(s – AB) (s – BD) (s – AD) = 64
⇒ \(\sqrt{s(s-A B)(s-B D)(s-A D)}=\sqrt{64}\)
⇒ ABD ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 8 ବର୍ଗ ଏକକ ।
∴ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × ABD ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 2 × 8 ବର୍ଗ ଏକକ = 16 ବର୍ଗ ଏକକ ।

(iv) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 96 ବର୍ଗ ଏକକ ଓ ଏହାର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 8 ଏକକ ହେଲେ, କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମିପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 96 ବର୍ଗ ଏକକ ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ BC = 8 ଏକକ
ମନେକର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମି ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ O͞E ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ଏକକ
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମି ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ
⇒ 96 = 2 × 8 × x
⇒ 96 = 16 × x
⇒ x = \(\frac{96}{16}\) = 6 ଏକକ
∴ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମିପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ଏକକ ।

(v) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 144 ବର୍ଗ ଏକକ ଓ ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ଏକକ ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣର ସମ୍ମୁଖୀନ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ କଣ୍ଠପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  = 144 ବର୍ଗ ଏକକ ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 24 ଏକକ
ମନେକର କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ଏକକ
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ।
⇒ 144 = 24 × x
⇒ x = \(\frac{144}{24}\) = 6 ଏକକ
∴ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ଏକକ ।

Question 2.
ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2.5 ଡେସିମିଟର ଓ ଉଚ୍ଚତା 4.8 ଡେସିମିଟର ବିଶିଷ୍ଟ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର । 
ସମାଧାନ: 
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2.5 ଡେସି ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 4.8 ଡେସି ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା
= 2.5 × 4.8 ବର୍ଗ ଡ଼େସି ମି. = 12 ବର୍ଗ ଡେସିମିଟର

Question 3.
କୌଣସି ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ଡେସିମିଟର 6 ସେଣ୍ଟିମିଟର ଏବଂ ଏହି କଣ୍ଠପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ
ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22 ସେଣ୍ଟିମିଟର ହେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ଡେ.ମି. 6 ସେ.ମି. = 46 ସେ.ମି. ଓ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 22 ସେ.ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଏଥପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 
= (46 x 22) ବର୍ଗ ସେ.ମି. = 1012 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 4.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 50 ସେ.ମି. ଓ 58 ସେ.ମି. ଏବଂ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 36 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର BD = 50 ସେ.ମି., AC = 58 ସେ.ମି. ଏବଂ AB = 36 ସେ.ମି. ।
A͞C ଓ B͞D କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।

∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 4 × 360 ବର୍ଗ ସେ.ମି. = 1440 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 26 ମିଟର ଓ 28 ମିଟର ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 30 ମିଟର ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ: 
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ AB = 26 ମି., BC = 28 ମି. ଓ କର୍ଣ୍ଣ AC = 30 ମି. ।


= 2 × 7 × 4 × 3 × 2 × 2 = 672 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 6.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହି ବାହୁ ଉପରେ କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁରୁ ପତିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ହେଲେ, କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର A͞C ଓ B͞D ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।

O ବିନ୍ଦୁରୁ C͞D ପ୍ରତି O͞E ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଅଟେ ।
ଦଉ ଅଛି CD = 24 ସେ.ମି. ଏବଂ OE = 10 ସେ.ମି.
∴ Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × CD × OE = \(\frac{1}{2}\) × 24 × 10 = 120 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × DOCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4 × 120 = 480 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 2 : 3 ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 726 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 3x ସେ.ମି. । 
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = 2x × 3x = 6x² ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ବାନୁସାରେ, 6x² = 726 ⇒ x² = \(\frac{726}{6}\) = 121
⇒ x = \(\sqrt{121}\) = 11 ସେ.ମି. । 
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2 × 11 = 22 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା = 3 × 11 = 33 ସେ.ମି. ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟର \(\frac{3}{4}\) ଅଂଶ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 300 ବର୍ଗମିଟର । କ୍ଷେତ୍ରଟିର ଉଚ୍ଚତା ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା 15 ମିଟର ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ମିଟର ।

Question 9.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ତା’ର ଉଚ୍ଚତା ଅପେକ୍ଷା 4 ମିଟର ଅଧୂକ । କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 285 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଉଚ୍ଚତା ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ  ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା = x ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 4) ମି. ।
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା
∴ ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x(x + 4) = 285
⇒ x² + 19x – 15x – 285 = 0
⇒ x² + 19x – 15x – 285 = 0
⇒ x(x + 19) – 15 (x + 19) = 0
⇒ (x + 19) (x – 15) = 0
⇒ x + 19 = 0  କିମ୍ବା x – 15 = 0
ଯଦି x + 19 = 0 ହୁଏ, ତେବେ x = -19 ଏହା ଅସମ୍ଭବ 
∴ x – 15 = 0 ⇒ x = 15 ମି. = ଉଚ୍ଚତା
ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 4 = 15 + 4 = 19 ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଉଚ୍ଚତା 15 ମି. ଏବଂ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 19 ମି. ।

Question 10.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 420 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଓ ଗୋଟିଏ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ କଳ୍ପ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 14 ସେ.ମି. ହେଲେ, କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି. । ଉକ୍ତ କର୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 14 ସେ.ମି. ।
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (x × 14) ବର୍ଗ ସେ.ମି. = 14x ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 14x = 420 
⇒ x = \(\frac{420}{14}\) = 30 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 30 ସେ.ମି. ।

Question 11.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 25 ମିଟର, 29 ମିଟର ଓ 36 ମିଟର । ଏହି କଣ୍ଠପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

∴ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ବିପରୀତ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ମିଟର ।

Question 12.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ,.ଗୋଟିଏ 40 ସେ.ମି. କଣ୍ଠ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସହ ସମାନ । ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 40 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

Question 13.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ମିଟର ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 336 ବର୍ଗମିଟର । ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅପେକ୍ଷା 2 ମିଟର ଅଧ‌ିକ ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AB = 13 ମି. ।

⇒ x² + 7x – 6x – 42 = 168
⇒ x² + x – 210 = 0
⇒ x² + 15x – 14x – 210 = 0
⇒ x(x + 15) – 14 (x + 15) = 0
⇒ (x + 15) (x – 14) = 0
ପ୍ରତି x + 15 = 0 ହୁଏ, x = 15 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ) ।
ପ୍ରତି x – 14 = 0 ହୁଏ, ତେଟେ ⇒ x = 14
∴ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x = 2 × 14 = 28 ମିଟର
ଓ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x + 2 = 28 + 2 = 30 ମିଟର ।

Question 14.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ସନ୍ନିହିତ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 16 ସେ.ମି. ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ସେ.ମି. । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 48 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ, ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ AB + AD = 16 ସେ.ମି ।
ଏବଂ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ BD = 8 ସେ.ମି ।
ମନେକର AB = x ସେ.ମି । ତେବେ AD = (16 – x) ସେ.ମି ।

⇒ 16x – 48 – x² = 12
⇒ x² – 16x + 60 = 0
⇒ x² – 10x – 6x + 60 = 0
⇒ x(x – 10) – 6 (x – 10) = 0
⇒ (x – 10) (x – 6) = 0
⇒ x – 10 = 0 କିମ୍ବା x – 6 = 0
⇒ x = 10 କିମ୍ବା x = 6
ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ହେଲେ ଅନ୍ୟଟି = 16 – x = 16 – 10 = 6 ସେ.ମି. ହେବ ।
ସେହିପରି ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଅନ୍ୟଟି = 16 – x = 16 – 6 = 10 ସେ.ମି. ହେବ ।
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ଓ 6 ସେ.ମି. ।

Question 15.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ସନ୍ନିହିତ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର 8 ମିଟର ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ମିଟର । ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 192 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ AB – AD = 8 ମି. ଏବଂ B͞D କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 16 ମି. ।
ମନେକର AD = x ମି. । ∴ AB = (x + 8) ମି. ।

⇒ x² + 8x – 240 = 0
⇒ x² + 20x – 12x – 240 = 0 
⇒ x(x + 20) – 12 (x + 20) = 0
⇒ (x + 20) (x − 12) = 0
⇒ x + 20 = 0 or x – 12 = 0
⇒  x = –20 or x = 12.
∴ x = -20 ଏହା ଅସମ୍ଭବ ଏବଂ ହେଲେ x + 8 = 12 + 8 = 20
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମିଟର ଓ 20 ମିଟର ।

Question 16.
ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ମିଟର ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 21 ମିଟର ଏବଂ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 168 ବର୍ଗମିଟର । ମିଟରକୁ 12 ଟଙ୍କା ହିସାବରେ ଏହାର ଚାରିପାଖରେ ତାରବାଡ଼ ଦେବାକୁ କେତେ ଖର୍ଜ ଲାଗିବ ?
ସମାଧାନ:
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର BC = 10 ମି., କଣ୍ଠ AC = 21 ମି., B͞E ⊥ A͞C ହେଉ ।

∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ =  2 (AB + BC) = 2 (17+ 10) ମି. = 54 ମି.
1 ମିଟରକୁ 12 ଟଙ୍କା ହିସାବରେ 54 ମିଟରକୁ ବାଡ଼ ଦେବାରେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ = 54 × 12 ଟ୍. = 648 ଟଙ୍କା ।
∴ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଚାରିପାଖରେ ବାଡ଼ଦେବାକୁ ମିଟରକୁ 12 ଟଙ୍କା ହିସାବରେ 648 ଟଙ୍କା ଲାଗିବ ।

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(c)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 288 ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 18 ମିଟର ହେଲେ ଉଚ୍ଚତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ = 288 ବର୍ଗ ମିଟର ଓ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 18 ମିଟର ।

ରମ୍ବସ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 16 ମିଟର ।

(ii) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 16 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 28 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କଣ୍ଠଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 196 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 28 ସେ.ମି.

∴ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 14 ଏକକ ।

(iii) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଦୁଇ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ମିଟର ଓ 10 ମିଟର ହେଲେ, ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ରମ୍ବସ୍‌ର ଦୁଇ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ d₁ = 24 ମିଟର ଓ d₂ = 10 ମିଟର ।

∴ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 13 ମିଟର ।

(iv) ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ଏବଂ AO = 3 ସେ.ମି. ଓ OB = 4 ସେ.ମି. ହେଲେ ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ‘O’, AO = 3 ସେ.ମି. ଏବଂ OB = 4 ସେ.ମି. ।
AC = 2 × AO = 2 × 3 = 6 ସେ.ମି.
ଓ BD = 2 × OB = 2 × 4 = 8 ସେ.ମି. ।
ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳ 
= \(\frac{1}{2}\) × 6 ସେ.ମି. × 8 ସେ.ମି. = 24 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 24 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

(v) ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ଓ AO = 6 ସେ.ମି. ଓ AB = 10 ସେ.ମି. ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ‘O’,
AO = 6 ସେ.ମି. ଓ AB = 10 ସେ.ମି. ।
∴ AC କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2 × AO = 2 × 6 ସେ.ମି. = 12 ସେ.ମି. ।
ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।

Question 2.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 10 ସେ.ମି. ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₁)= 12 ସେ.ମି. । 
ମନେକର ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₂)= x ସେ.ମି. ।

∴ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 3.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା 52 ମିଟର ଏବଂ ଏହାର ବୃହତ୍ତମ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ମିଟର ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ରମ୍ବସ୍‌ ପରିସୀମା = 52 ମିଟର ।

ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ମିଟର ।

Question 4.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 144 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଟିର 2 ଗୁଣ ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ରମ୍ବସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 144 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
ମନେକର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି. ଓ ପ୍ରଶାନୁସାରେ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x ସେ.ମି. ।
ରମ୍ବସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ସେ.ମି. ଓ ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x ସେ.ମି. ।
⇒ 144 = \(\frac{1}{2}\) (x × 2x) ⇒ x² = 144 ⇒ x = 12 ସେ.ମି. ।
ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x = 12 ସେ.ମି.
ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 2x = 2 × 12 = 24 ସେ.ମି.
∴ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ଓ 24 ସେ.ମି. ।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 18 ସେ.ମି. ଏବଂ ବିପରୀତ ବାହୁଠାରୁ ଏହାର ଦୂରତା 14 ସେ.ମି. ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 18 ସେ.ମି. ।
ବିପରୀତ ବାହୁଠାରୁ ଏହାର ଦୂରତା = ରମ୍ବସ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = 14 ସେ.ମି. ।
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଉଚ୍ଚତା = 18 ସେ.ମି. × 14 ସେ.ମି. = 252 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । 
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 252 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 6.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଏକ କର୍ଷର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ କର୍ତ୍ତଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟର 80 ପ୍ରତିଶତ (ଶତକଡ଼ା 80 ଭାଗ) ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବୃହତ୍ତମ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବର୍ଗର କେତେ ଗୁଣ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ରମ୍ବସ୍‌ର ବୃହତ୍ତମ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ଏକକ

Question 7.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍ ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଦଣ୍ଡାୟମାନ । ତେବେ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ କେତେ ହେବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

ABCD ରମ୍ବସ୍ ଓ XBCY ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଏକା ଭୂମି BC ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ 
ମନେକର ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ଏକକ
= ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
∴ ରମ୍ବସ୍‌ର ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ଏକକ

∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ 1 : 1 ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 560 ବର୍ଗ ମିଟର । ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ୍ର 7 : 5 ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7x ମିଟର ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5x ମିଟର ।
ରମ୍ବସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ଉଚ୍ଚତା = 7x × 5x = 35x² ବର୍ଗ ମି.
ପ୍ରଶ୍ବାନୁସାରେ, 35x² = 560 ⇒ x² = \(\frac{560}{35}\) = 15
⇒ x = \(\sqrt{16}\) = 4 ମି.
∴ ରମ୍ବସର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 7x = 7 × 4 = 28 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 5x = 5 × 4 = 20 ମି. ।

Question 9.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ଡେସିମିଟର 8 ସେଣ୍ଟିମିଟର ଓ 6 ଡେସିମିଟର 4 ସେଣ୍ଟିମିଟର ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ପରିସୀମା ନିଶ୍ଚୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₁) = 4 ଡେ. ମି. 8 ସେ.ମି. = 48 ସେ.ମି. 
ଓ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₂) = 6 ଡେ.ମି. 4 ସେ.ମି. = 64 ସେ.ମି.

ରମ୍ବସର ପରିସୀମା = 4 × 40 = 160 ସେ.ମି. ।

Question 10.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1320 ବର୍ଗ ମିଟର । ଏହାର ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22 ମିଟର ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₁) = 22 ମି. । 
ମନେକର ଏହାର ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₂) = x ମି.

Question 11.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 3456 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଓ ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଅନୁପାତ 3 : 4 ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 3x ସେ.ମି. ଏବଂ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4x ସେ.ମି.

ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 × 60 = 240 ସେ.ମି. ।

Question 12.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 867 ବର୍ଗମିଟର ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟଟିର \(\frac{2}{3}\) ହେଲେ କର୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 
ସମାଧାନ:

Question 13.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 240 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 14 ସେ.ମି. ବେଶୀ ହେଲେ, ରମ୍ବସର ପରିସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି. । ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (x + 14) ସେ.ମି.

ରମ୍ବସ୍‌ର ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 × 17 = 68 ସେ.ମି. ।

Question 14.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 13 ମିଟର ଓ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 24 ମିଟର । ଏହାର ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₁) = 24 ମି. । ମନେକର ରମ୍ବସ୍‌ର ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₂) = 2x ମି. ।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ରେ AC = 24 ମି. ଓ BC = 13 ମି.

Question 15.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ ବାହୁ 17 ସେ.ମି. ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 8 : 15 ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଗୋଟିଏ କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₁) = 8x ସେ.ମି. ଏବଂ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₂) = 15x ସେ.ମି. ।

ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 8x = 8 x 2 = 16 ସେ.ମି. ଏବଂ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 15x = 15 × 2 = 30 ସେ.ମି.
∴ ରମ୍ବସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × 16 × 30 = 240 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 16.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 15 ମିଟର ଏବଂ ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 6 ମିଟର ବେଶୀ । ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₁) = x ମି. । ପ୍ରଶାନୁସାରେ, ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₂) = (x + 6) ମି. ।

⇒ 2x² + 12x + 36 – 900 = 0
⇒ 2x² + 12x – 864 = 0
⇒ 2(x² + 6x – 432) = 0
⇒ x² + 6x – 432 = 0
⇒ x² + 24x – 18x – 432 = 0
⇒ x(x + 24) – 18 (x + 24) = 0
⇒ (x + 24) (x – 18) = 0
⇒ x + 24 = 0 କିମ୍ବା x – 18 = 0
ଯଦି x + 24 = 0 ⇒ x = -24 (ଏହା ଅସମ୍ଭବ )
ଏବଂ x – 18 = 0 ⇒ x = 18
ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 18 ମିଟର ଏବଂ ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x + 6 = 18 + 6 = 24 ମିଟର
∴ ରମ୍ବସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × 18 × 24 = 216 ବର୍ଗ ମି. ।

Question 17.
720 ବର୍ଗମିଟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 41 ମିଟର ହେଲେ, କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ରମ୍ବସ୍‌ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ x ମି. ଓ Y ମି. ।

∴ y = 98 – 80 = 18 ମି. 
∴ ରମ୍ବସର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 80 ମିଟର ଓ 18 ମିଟର ।

Question 19.
ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 8 ମିଟର ହେଲେ, ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର AB = 8 ମି. ଓ m∠BAD = 60°
Δ ABD ରେ AB = AD ⇒ m∠ABD = m∠ADB
କିନ୍ତୁ m∠BAD + m∠ABD + m∠ADB = 180°
⇒ 60° + m∠ABD + m∠ABD = 180°
⇒ 2m∠ABD = 180° – 60° = 120° ⇒ m∠ABD = 60°
m∠ABD = m∠ADB = 60°

ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣତ୍ରୟର ପରିମାଣ ସମାନ । ତେଣୁ ଏହା ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । BD = AB = 8 ମି. । 
ତେଣୁ ଗୋଟିଏ କର୍ଷ ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₁) = 8 ମିଟର । ମନେକର ଅନ୍ୟ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (d₂) = x ମିଟର ।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:

ABCD ରମ୍ବସ୍‌ରେ m∠B = 60°, AB = BC = CD = DA = 8 ସେ.ମି. ।
କଣ୍ଠ A͞C ଓ କଣ୍ଠ B͞D ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
m∠B = 60°, AB = BC ହେତୁ m∠BAC = m∠BCA = 60°
∴ Δ ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । ∴ AC = 8 ମିଟର ।
ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା OB = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 8 ମି. = 4√3
∴ BD = 2 × OB = 2 × 4√3 = 8√3 ମି. ।
∴ ABCD ରମ୍ବସର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × AC × BD = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 8√3 = 32√3 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(a)

Question 1.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) Δ ABC ର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି., 5 ସେ.ମି. ଓ 13 ସେ.ମି., ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ବାହୁ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a ସେ.ମି., b ସେ.ମି. ଓ c ସେ.ମି. ହେଲେ a = 12 ସେ.ମି., b = 5 ସେ.ମି. ଓ c = 13 ସେ.ମି. ।

∴ Δ ABC ର ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 30 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :
ଏଠାରେ 12² + 5² = 13² । ତେଣୁ Δ ABC ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ।
Δ ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × 12 × 5 = 30 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

(ii) Δ ABC ରେ ଉଚ୍ଚତା AD = 12 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି. । ଭୂମି BC କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ABC ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା (h) = AD = 12 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 96 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ମନେକର ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମି BC ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = b ସେ.ମି.
∴ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) bh
= \(\frac{1}{2}\) × b × 12 = 6b ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ବାନୁସାରେ, 6b = 96 ⇒ b = \(\frac{96}{6}\) = 16 ସେ.ମି.
∴ Δ ABC ର ଭୂମି BC ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ସେ.ମି. ।

(iii) ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 25√3 ବର୍ଗ ଏକକ । ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ମନେକର ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ଏକକ
[∵ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (ବାହୁ)²]

∴ ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ସେ.ମି. । 

(iv) ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 25√3 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ମନେକର ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା = h ଏକକ
[∵ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ =  \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × (ଉଚ୍ଚତା)²]
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ =  \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × h² ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ବାନୁସାରେ, , ⇒ h² = 25 × 3
⇒ h = \(\sqrt{25 \times 3}\) = 5√3 ସେ.ମି. ।
∴ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା 5√3 ସେ.ମି. ।

(v) ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କୌଣସି ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁରୁ ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି., ଓ 5 6ସେ.ମି., ହେଲେ ଏହାର ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ମନେକର ABC ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜରେ O, ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ I O͞P, O͞Q, O͞R ଯଥାକ୍ରମେ B͞C, A͞C ଓ A͞B ବାହୁ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
OP = 3 ସେ.ମି., OQ = 4 ସେ.ମି., ଏବଂ OR = 5 ସେ.ମି.
ମନେକର ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ସେ.ମି.
O͞A, O͞B ଓ O͞C ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।


⇒ h = 12 ସେ.ମି.
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା 12 ସେ.ମି. ।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ:
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା = ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁରୁ ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 
= (3 + 4 + 5) ସେ.ମି. = 12 ସେ.ମି. ।

(vi) ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରିବାରୁ ଏହା ଦୁଇଗୋଟି ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରରେ ପରିଣତ ହେଲା । ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁମାନଙ୍କ ଅନୁପାତ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ABCD ଏକ ଅ‍।ୟତକ୍ଷେତ୍ର । E͞F ଅଙ୍କନ କରି ଦୁଇଟି ବର୍ଗଚିତ୍ର ADFE ଏବଂ EFCB ସୃଷ୍ଟି କରାଯାଇଛି ।
ଏଠାରେ AD = AE ଏବଂ BC = EB ।
ମନେକର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ଏକକ ।
∴ AD = AE = EB = BC = a ଏକକ
∴ AB : AD = (a + a) : a = 2a : a = 2 : 1
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ଅନୁପାତ 2 : 1 ।

(vii) ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥକୁ 3 ଗୁଣ କଲେ, ଲବ୍ଧ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଦତ୍ତ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର କେତେ ଗୁଣ ?
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ଏକକ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = b ଏକକ .. କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ab ବର୍ଗ ଏକକ
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ପ୍ରତ୍ୟେକ 3 ଗୁଣ ଲେଖାଏଁ ହୋଇଗଲେ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 3a ଏକକ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = 3b ଏକକ ହେବ । 
ସେତେବେଳେ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 3a × 3b = 9ab ବର୍ଗ ଏକକ ହେବ ।
∴ ନୂତନ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପ୍ରଥମ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର = \(\frac{9 a b}{a b}\) = 9 ଗୁଣ ହେବ ।

(viii) ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁ 4 ମିଟର ଓ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ମିଟର । କ୍ଷେତ୍ରଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ ବାହୁ = 4 ମି. ଓ କର୍ଣ୍ଣୟ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 5 ମି.
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଅନ୍ୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\sqrt{5^2-4^2}\) = \(\sqrt{25-16}\) = 3 ମି.
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ = 4 × 3 ବ. ମି. = 12 ବ.ମି. 
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରଫର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 12 ବର୍ଗ ମିଟର ।

(ix) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ହେଲେ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 ସେ.ମି. ।
[∵ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ]
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) କଣ୍ଠର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = \(\frac{4}{\sqrt{2}}\) = 2√2 ସେ.ମି. ।
∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = (2√2)² = 8 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

(x) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ । ସେମାନଙ୍କ କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ।
ମନେକର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ଏକକ ।
∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)² = a² ବର୍ଗ ଏକକ ।

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ 4 : √3 ।

(xi) ଏକ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ହେଲେ ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
Δ ABC ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = AB = BC = 4 ସେ.ମି. ।
Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × (4 × 4) = 8 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
Δ ABC ରେ B͞D ⊥ A͞C । ମନେକର BD ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି. I
AC କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ସମାନ ବାହୁ × √2 = 4√2 ସେ.ମି. ।
A͞C କୁ ଭୂମି ଓ B͞D କୁ ଉଚ୍ଚତା ନେଲେ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) AC . BD
= \(\frac{1}{2}\) × 4√2 × x ବର୍ଗ ସେ.ମି. = 2√2x ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 2√2x = 8
⇒ x = \(\frac{8}{2 \sqrt{2}}\) =2√2 ସେ.ମି. ।
∴ ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2√2 ସେ.ମି. ।

Question 2.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ :
(i) ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର BC – AB = 20 ମିଟର ଓ AB : BC = 4 : 5 । ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର BC – AB = 20 ମିଟର ଓ AB : BC = 4 : 5 । 
ମନେକର ABର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4x ମି. ଓ BC ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 5x ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 5x – 4x = 20 ⇒ x = 20 ମି.
∴ AB = 4x = 4 × 20 = 80 ମିଟର ଓ BC = 5x = 5 × 20= 100 ମିଟର
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = 2 (ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ) = 2 (100 + 80) ମିଟର = 2 × 180 ମିଟର = 360 ମିଟର ।
∴ ABCD ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା 360 ମିଟର ।

(ii) ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧିକଲେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳରେ 60 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି ହୁଏ । ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ମନେକର ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ସେ.ମି. ।
ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ବାହୁ) = x² ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 4 ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧିହେଲେ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ = (x + 4) ସେ.ମି.
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (x + 4) ବ. ସେ.ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, (x + 4)² = x² + 60
⇒ (x + 4)² – x² = 60
⇒ (x + 4 + x) (x + 4 – x) = 60
⇒ 2x + 4 = \(\frac{60}{4}\) =15 ⇒ 2x = 11
⇒ x = \(\frac{11}{2}\) = 5.5 ସେ.ମି.
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5.5 ସେ.ମି. ।

(iii) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 18 ସେ.ମି. । ଭୂମି ଓ ଏକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 8 : 5 ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିରୂପଣ କର ।
ସମାଧାନ:

ମନେକର ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 8x ସେ.ମି. 
ଓ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 5x ସେ.ମି.
ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = 18 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ବାନୁସାରେ, 8x + 5x + 5x = 18
⇒ 18x = 18 ⇒ x = \(\frac{18}{18}\) = 1 ସେ.ମି.
∴ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 8x = 8 ସେ.ମି. ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 5x = 5 ସେ.ମି.
ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (BC) = 8 ସେ.ମି. ଓ ସମାନବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ  AB = AC = 5 ସେ.ମି.
ଓ A͞D ⊥ B͞C ।

Question 3.
ଗୋଟିଏ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା । ଏହାର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ 12 ମିଟର ବେଶୀ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ମିଟର କମ୍ ହେଲେ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ମି., ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a² ବ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (a + 12) ମି. ଓ ପ୍ରସ୍ଥ = (a – 12) ମି.
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ପ୍ରସ୍ଥ (a + 12)(a – 12) ବ.ମି. = (a² – 144) ବ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, a – 144 = \(\frac{\mathrm{a}^2}{2}\)
⇒ 2a² – 288 = a² ⇒ a² = 288 ବ.ମି.
∴ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରଶାନୁସାରେ, a² – 144 = 288 – 144 = 144 ବ.ମି.

Question 4.
ଗୋଟିଏ ଘରର ଚାରିକାନ୍ଥର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 540 ବର୍ଗମିଟର ଏବଂ କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା 10 ମିଟର । ଘରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥର ଅନୁପାତ 5 : 4 ହେଲେ, ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଘରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଓ ପ୍ରସ୍ଥ ଯଥାକ୍ରମେ 5x ମି. ଓ 4x ମି. । କାନ୍ଥର ଉଚ୍ଚତା = 10 ମି. ।
ଘରର ଚାରିକାନ୍ଥର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 (ଦୈର୍ଘ୍ୟ + ପ୍ରସ୍ଥ) × ଉତ୍ତର = 2(5x + 4x) × 10 = 180x ବ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ବାନୁସାରେ, 180x = 540
⇒ x = \(\frac{540}{180}\) = 3
ଘରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 5x = 5 x 3 = 15 ମି. ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ = 4x = 4 × 3 = 12 ମି.
ଚଟାଣର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ପ୍ରସ୍ଥ = 15 ମି. × 12 ମି. = 180 ବର୍ଗ ମି. 

Question 5.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗାକାର ଜମିର ବାହାର ଧାରକୁ ଲାଗି 2 ମିଟର ଚଉଡ଼ାର ଏକ ରାସ୍ତା ଅଛି । ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 416 ବର୍ଗମିଟର ହେଲେ, ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ)²
ମନେକର ABCD ବର୍ଗାକାର ଜମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ =  AB = a ମି.
ଏହି କ୍ଷେତ୍ରର ବାହାର ଧାରକୁ ଲାଗି 2 ମି. ଚଉଡ଼ାର ଏକ ରାସ୍ତା ଅଛି । 
∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = PQ
= a ମି. + 2 × 2 ମି. = (a + 4) ମି.
ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a² ବର୍ଗ ମି.
PORS ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (a + 4)² ବର୍ଗ ମି.
PORS ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ରାସ୍ତାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ (a + 4)² – a² = 416
⇒ a² + 8a + 16 – a² = 416
⇒ 8a + 16 = 416 ⇒ 8a = 400
⇒ a = \(\frac{400}{8}\) = 50
∴ ଜମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a² = (50)² = 2500 ବର୍ଗମିଟର ।

Question 6.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 44 ମିଟର ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି 88 ମିଟର ହେଲେ, ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = x ମି. । ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (88 – x) ମି. 
ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 44 ମି.
ଅ‍।ମେ ଜାଶିଛେ h² = p² + b²
⇒ x² = (88 – x)² + (44)²
⇒ x² = 7744 + x² – 176x + 1936
⇒ 176x = 9680 ⇒ x = 55
ସମକୋଣୀ Δ ର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (88 – x) ମି. = (88 – 55) ମି. = 33 ମି.
ସମକୋଣୀ Δ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା = \(\frac{1}{2}\) × 44 × 33 = 726 ବର୍ଗ ମି.

Question 7.
କୌଣସି ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 45 ସେ.ମି. ଓ 60 ସେ.ମି. ହେଲେ ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

Question 8.
ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ମିଟର ବଢ଼ାଇଦେଲେ ଏହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 6√3 ବର୍ଗମିଟର ବଢ଼ିଯାଏ । ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

⇒ (a + 2)² = a² + 24 ⇒ a² + 4a + 4 = a² + 24
⇒ 4a = 20 ⇒ a = 5 ମି.

Question 9.
ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2 ସେ.ମି. କମାଇଦେଲେ ତାହାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 16/3 ବର୍ଗସେ.ମି. କମିଯାଏ । ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ  ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ସେ.ମି.

⇒ (a – 2)² = a² – 64
⇒ a² – 4a + 4 = a² – 64
⇒ 4a = 68
⇒ a = \(\frac{68}{4}\) = 17 ସେ.ମି.
∴ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 17 ସେ.ମି.

Question 10.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ସମଙ୍ଗିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 96 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ସମକୋଣରୁ କର୍ଣ୍ଣପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ABC ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ସମାନ ବାହୁ AB = BC = 96 ସେ.ମି.

Question 11.
ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର 3.5 ଗୁଣ । ବର୍ଗାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ମିଟର ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ନିଶ୍ଚୟ କର । ( √3 = 1\(\frac{3}{4}\))
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 20 ମି.

∴ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = 3a = 3 x 40 ମି. = 120 ମି. ।

Question 12.
ଗୋଟିଏ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏହାର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ABC ସମବାହୁ Δ ରେ O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।

O͞P, O͞Q, O͞R ଯଥାକ୍ରମେ B͞C, A͞C ଓ A͞B ବାହୁ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
∴ OP = 3 ସେ.ମି., OQ = 4 ସେ.ମି. ଏବଂ OR = 5 ସେ.ମି. ।
ମନେକର ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ସେ.ମି. ।
ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a² ବର୍ଗସେ.ମି.
O͞A, O͞B ଓ O͞C ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।

Question 13.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 84 ସେ.ମି., ଏହାର ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 30 ସେ.ମି. ଓ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 336 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହେଲେ ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା = 84 ସେ.ମି., ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 30 ସେ.ମି.
ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି = (84 – 30) ସେ.ମି. = 54 ସେ.ମି. ।
ମନେକର, ଏଥୁମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ସେ.ମି. । ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ବାହୁଟିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (54 – x) ସେ.ମି ।

⇒ 42x – 504 – x² + 12x = 224
⇒ x² – 54x + 728 = 0
⇒ x² – 26x – 28x + 728 = 0
⇒ x (x – 26) – 28 (x – 26) = 0
⇒ (x – 26) (x – 28) = 0
⇒ x – 26 = 0 ବୀ x – 28 = 0
⇒ x = 26 ବୀ x = 28
x = 26 ସେ.ମି. ହେଲେ (54 – x) = 28 ସେ.ମି. ଏବଂ ଯଦି x = 28 ହେଲେ 54 – x = 26
∴ ତ୍ରିଭୁଜର ଅନ୍ୟ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 26 ସେ.ମି. ଓ 28 ସେ.ମି. ।

Question 14.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 25 ସେ.ମି., 29 ସେ.ମି. ଓ 36 ସେ.ମି. ହେଲେ, ଏହାର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ Δ ର ବାହୁତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ a = 25 ସେ.ମି., b = 29 ସେ.ମି. ଓ c = 36 ସେ.ମି ।

∴ ବୃହତ୍ତମ ବାହୁ ଉପରେ ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20 ସେ.ମି. ।

Question 15.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ 3 : 5 : 7 ଓ ପରିସୀମା 300 ମିଟର ହେଲେ, ତ୍ରଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3x ମି., 5x ମି. ଓ 7x ମି. ।
ପରିସୀମା = 3x + 5x + 7x = 15x ମିଟର ।

∴ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 1500√3 ବର୍ଗ ମିଟର ।

Question 16.
ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା 30 ସେ.ମି. ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12 ସେ.ମି. ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:

ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ ବାହୁ AB = BC = 12 ସେ.ମି.
∴ Δ ABC ର ପରିସୀମା = 30 ସେ.ମି.
∴ ଭୂମି (BC) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 30 – (2 × 12) = 30 – 24 = 6 ସେ.ମି. ।

∴ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 9√15 ବର୍ଗ ମିଟର ।

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 4 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ Ex 4 Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 4 କ୍ଷେତ୍ରଫଳ Ex 4

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଥ‌ିରେ ଚିତ୍ରିତ (shaded) ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା ?

ସମାଧାନ:
(i), (ii) ଏବଂ (iv) ରେ ଚିତ୍ରିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା

Question 2.
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଓ DCEX ଦୁଇଟି ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର, AB = CF; B ଓ X ବିନ୍ଦୁ A ଓ E ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ହେଲେ,

(i) ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ?
(a) ABCD ଓ DCEX କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(b) ABCD ଓ CFEX କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(c) DCEX ଓ EFCB କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ । 
(d) DCEX ଓ CFEX କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ସମାଧାନ:
(a) ଠିକ୍
(b) ଠିକ୍
(d) ଠିକ୍

(ii) ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କରେ ଭୁଲ୍ ଥିଲେ ସଂଶୋଧନ କର ।
(a) Δ  XDC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ABCD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(b) Δ XCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BCFE କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(c) Δ BCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BCFE କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(d) Δ CEX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ CEX କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(e) ABCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 x Δ CEX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(f) BCEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 x Δ DCX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ସମାଧାନ:
(b) Δ XCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) XEFC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(c) Δ CXE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × XDCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(f) DCEX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × Δ DCX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

Question 3.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{A F}}\|\overleftrightarrow{\mathbf{B G}}, \overleftrightarrow{\mathbf{A B}}\| \overleftrightarrow{\mathbf{D C}}, \overleftrightarrow{\mathbf{B E}} \| \overleftrightarrow{\mathbf{C F}} \text { ଓ } \overleftrightarrow{\mathbf{A C}} \| \overleftrightarrow{\mathbf{D G}}\) ।

(a) ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) ABCD କ୍ଷେତ୍ରସହ _________ ଓ _________ କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।
(ii) Δ ABC କ୍ଷେତ୍ରସହ _________ ଓ _________ କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।
ସମାଧାନ:
(i) EBCF ସାମାନ୍ତରିକ, ACGD ସାମାନ୍ତରିକ
(ii) Δ ACD, Δ DCG

(b) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ :
(i) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (ACGD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
(ii) Δ ACD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (BCFE କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
ସମାଧାନ:
(i) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ACGD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ACGD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (ACGD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)

(ii) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BCEF ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BCEF ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ ACD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (BCEF ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)

(c) E ଯଦି AD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ ନିମ୍ନୋକ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) Δ ABC ଓ Δ BCF
(ii) Δ AEB ଓ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ABCD
(iii) Δ BCF ଓ BCFE କ୍ଷେତ୍ର
(iv) Δ DFC ଓ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର BCFE
(v) Δ ABE ଓ Δ DCF
ସମାଧାନ:
(i) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BCF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
(ଏକା ଭୂମି ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।)

(ii) Δ AEB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{4}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
[Δ AEB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)]

(iii) Δ BCF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BCFE ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(∵ B͞F କଣ୍ଠ, ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।)

(iv) Δ DFC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{4}\) BCFE ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(∵ AD = EF ⇒ AE + DE = DE + DF ⇒ AE = DF)
∴ Δ AEB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DCF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 

(v) Δ ABE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DCF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(∵ AD = EF ⇒ AD – ED = EF – ED ⇒ AE = DF)

Question 4.
ଚିତ୍ର (i) ଓ (ii) ରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶଦ୍ଵୟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କାହିଁକି ସମାନ ?

ସମାଧାନ:
ଉତ୍ତର : ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶମାନ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜ ।
ଚିତ୍ର (i) ରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × 6 × 4 = 12 ବ.ମି. (∵ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ଭୂମି × ଉଚ୍ଚତା)
ଏବଂ (ii) ରେ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 3 = 12 ବ.ମି.
ତେଣୁ ଉଭୟ ଚିହ୍ନିତ ଅଂଶର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । CX ⊥ AD, BY ⊥ \(\overrightarrow{\mathrm{CA}}\) ଏବଂ CZ ⊥ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\), ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କରୁ କେଉଁ ଭକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ? କାରଣ ଦର୍ଶାଅ ।

(i) AD . CX = BZ . CZ
(ii) AD . CX = CY . BY
(iii) BZ . CZ = AC . BY
(iv) BC . CX = AB . CZ
(v) AB . CZ = 2AC . BY
ସମାଧାନ:
(i) AD . CX = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
BZ . CZ ≠ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ (i) ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି ।

(ii) AD . CX = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
CY . BY ≠ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ (ii) ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି ।

(iii) BZ . CZ ≠ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
AC . BY = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ (iii) ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି ।

(iv) BC . CX = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
AB . CZ = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ (iv) ଉକ୍ତିଟି ଠିକ୍ ଅଛି ।

(v) AB . CZ = ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
2AC . BY = 2 × ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ (v) ଉକ୍ତିଟି ଭୁଲ୍ ଅଛି ।

Question 6.
Δ ABC ରେ BC ଓ AC ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଯଥାକ୍ରମେ 16 ସେ.ମି. ଓ 12 ସେ.ମି. ।
Aରୁ BC ଉପରେ ପତିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 9 ସେ.ମି ।
(i)  Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
(ii) B ରୁ AC ଉପରେ ପତିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ BC = 16 ସେ.ମି., AC = 12 ସେ.ମି. ।
AD ⊥ BC ଏବଂ BE ⊥ AC, AD = 9 ସେ.ମି. ।
ନିର୍ଦେୟ : (i) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (ii) BE ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ

ଉତ୍ତର : (i) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BC × AD = \(\frac{1}{2}\) × 16 × 9 = 72 ସେ.ମି.
(ii) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) AC × DE
⇒ 72 = \(\frac{1}{2}\) × 12 × BE 
⇒ BE = \(\frac{72}{6}\) = 12 ବ. ସେ.ମି. ।

Question 7.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AN ⊥ BC ଏବଂ AM ⊥ CD । BC = 25 ସେ.ମି., AN = 10 ସେ.ମି., CD = 15 ସେ.ମି. ହେଲେ,
(i) AM କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର ।
(ii) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
(iii) Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AM ଓ AN ଉତ୍ତତାଦ୍ବୟ ।
BC = 25 ସେ.ମି., AN = 10 ସେ.ମି., CD = 15 ସେ.ମି.

ନିର୍ମେୟ : (i) AM ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
(ii) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
(iii) Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
[ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ଉଚ୍ଚତା
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ଭୂମି ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଉଚ୍ଚତା ]
ଉତ୍ତର : (i) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BC × AN = CD × AM
⇒ BC × AN = CD × AM ⇒ 25 × 10 = 15 × AM
⇒ AM = \(\frac{25 \times 10}{15}\) = \(\frac{50}{3}\) ସେ.ମି. ବା 16 \(\frac{2}{3}\) ସେ.ମି.
(ii) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BC × AN = \(\frac{1}{2}\) × 25 × 10 = 125 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
(iii) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) CD × AM = \(\frac{1}{2}\) × 15 × \(\frac{50}{3}\) = 125 ବ. ସେ.ମି.

Question 8.
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । PQ || AD, XY || AB ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
(i) POYB ଓ XOOD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) AXYB ଓ APQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(iii) PBCQ ଓ XYCD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ PQ || AD ଏବଂ XY || AB ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) POYB ଓ XOOD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) AXYB ଓ APQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(iii) PBCQ ଓ XYCD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

ପ୍ରମାଣ : (i) AXOP ଓ OYCQ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
AO ଏବଂ OC ଯଥାକ୍ରମେ କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକର କର୍ଣ୍ଣ । ∴ β = β ଏବଂ α = α₁
ପୁନଶ୍ଚ, ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ହେତୁ A ABCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = A ADCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ β₁ + POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + α₁ = β + XOQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + α
⇒ POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = XOQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (∵ β = β₁ ଏବଂ α = α₁) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) (i)ରୁ POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = XOQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + APOX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= XOOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + APOX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ AXYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = APQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) (i)ରୁ ପ୍ରମାଣିତ POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = XOOD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ POYB କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + OYCQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= XOQD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + OYCQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ PBCQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = XYCD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.
ଦତ୍ତ ମାନ ଅନୁଯାୟୀ ନିମ୍ନଲିଖତ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର – ଯାହାର,
(i) ଉଚ୍ଚତା 5 ସେ.ମି. ଓ ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେ.ମି. ।
(ii) ଗୋଟିଏ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 18 ମି. ଓ ବିପରୀତ ସମାନ୍ତର ବାହୁଠାରୁ ତାହାର ଦୂରତା 7 ସେ.ମି. ।
(iii) ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 120 ଡେ.ମି. ଓ ତାହାର ବିପରୀତ କୌଣିକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 22 ଡେ.ମି. ।
ସମାଧାନ :
(i) ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ଉଚ୍ଚତା = (10 × 5) ବ. ସେ.ମି. = 50 ବ. ସେ.ମି. ।
(ii) ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ବିପରୀତ ସମାନ୍ତର ବାହୁଠାରୁ ବାହୁର ଦୂରତା
= 18 ମି. × 7 ବ. ସେ.ମି. = (180 × 7) ବ. ସେ.ମି. = 1260 ବ. ସେ.ମି. ।
(iii) ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଭୂମିର ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ବିପରୀତ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁରୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ
= (120 × 22) ବ. ଡେ.ମି. = 2640 ବ. ଡେ.ମି. ।

Question 10.
ଚିତ୍ରରେ AP ⊥ BC, CQ ⊥ AB ଏବଂ XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । ନିମ୍ନ ଦତ୍ତମାନ ଅନୁଯାୟୀ Δ ABC ଓ XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଏବଂ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।
(i) BC = 16 ସେ.ମି., AP = 6 ସେ.ମି.
(ii) AB = 12 ସେ.ମି., CQ = 8 ସେ.ମି.

ସମାଧାନ:
(i) BC = 16 ସେ.ମି., AP = 6 ସେ.ମି.
∴ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) BC . AP = \(\frac{1}{2}\) × 16 × 6 = 48 ବ. ସେ.ମି.
XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 16 × 6 = 96 ବ. ସେ.ମି.
ଏଠାରେ A ABCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।  (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BC × AP = 16 × 6 = 96 ବ. ସେ.ମି.
∴ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) AB × CQ = \(\frac{1}{2}\) × 12 × 8 = 48 ବ. ସେ.ମି.
ଏଠାରେ A ABCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) XBCY ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଓ ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍ ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଓ ତାହାର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ; ସେମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ; ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ସେମାନେ ଏକ ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଏବଂ EBCF ରମ୍ବସ୍ ଏକା ଭୂମି ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AF || BC
ଅଙ୍କନ : EM ⊥ BC ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = EBCF ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
⇒ BC × AB = BC × EM
⇒ AB = EM
ପୁନଶ୍ଚ, AB ⊥ BM ଓ EM ⊥ BM
∴ AE || BM ⇒ AF || BC
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
Δ ABC ର BC ଉପରିସ୍ଥ D ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି BD = \(\frac{1}{2}\) DC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{3}\) × Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : Δ ABC ର BC ଉପରିସ୍ଥ D ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି BD = \(\frac{1}{2}\) DC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{3}\) × Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ଅଙ୍କନ : AM ⊥ BC ଅଙ୍କନ କର ।

Question 13.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ତାହାକୁ ଦୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AD ମଧ୍ୟମା ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ଅଙ୍କନ : A ବିନ୍ଦୁରୁ BC ପ୍ରତି AM ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AD ମଧ୍ୟମା ⇒ BD = CD 
Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) BD . AM = CD . AM (∵ BD = CD)
ସେହିପରି Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) CD · AM
∴ Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

Question 14.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର ଗୋଟିଏ କର୍ଷ କ୍ଷେତ୍ରଟିକୁ ଦୁଇଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AC ଏକ କଣ୍ଠ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : B͞D କଣ୍ଠ ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ଅଙ୍କନ : Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ପ୍ରମାଣ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର AC ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ ଜରନ୍ତ ।
ଅର୍ଥାତ୍ AO = OC ଏବଂ BO = DO
Δ ABC ରେ BO ମଧ୍ୟମା ।
ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।
Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହିପରି Δ BCD ରେ CO ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
Δ ADC ରେ DO ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ପୁନଶ୍ଚ, Δ ABD ରେ AO ମଧ୍ୟମା
⇒ Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । ପ୍ରମାଣ କରଯେ,
(i) ADQP ଓ BCQP କ୍ଷେତ୍ରତ୍ବୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{4}\) ABCD
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର AC ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O । 
PQ, AB ଓ DC କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) ADQP କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BCQP କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(ii) Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{4}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ପ୍ରମାଣ : (i) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ A͞C ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
Δ AOP ଓ Δ QOC ଦ୍ବୟରେ AO = CO, m∠AOP = m∠QOC (ପ୍ରତୀପ) ଏବଂ
m∠PAO = m∠OCQ (ଏକାନ୍ତର)
∴ Δ AOP ≅ Δ QOC (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ Δ AOP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ QOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (i)
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର AC (କର୍ଣ୍ଣ) ।
∴ Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – Δ QOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ AOP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – Δ AOP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ QOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
(∵ Δ AOP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ QOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
⇒ ADOP କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = BCQP କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

(ii) Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) × A ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (∵ AO = \(\frac{1}{2}\) AD)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{4}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍, ଏହାର \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) || \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DC}}\); ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) Δ ADC ଓ Δ BDC ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) Δ ADB ଓ Δ ACB ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) || \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DC}}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) Δ ADCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BDC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
(ii) Δ ADBର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ପ୍ରମାଣ : (i) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) || \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DC}}\) ଏବଂ Δ ADC ଦ୍ବୟ ଓ Δ BDC ଏକ ଭୂମି D͞C ବିଶିଷ୍ଟ ।
⇒ Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BDC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
(ii) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) || \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{DC}}\) ଏବଂ Δ ADB ଓ Δ ACB ଦ୍ଵୟ ଏକା ଭୂମି AB ବିଶିଷ୍ଟ ।
⇒ Δ ADB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

Question 17.
Δ ABC ର E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ
(i) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, EBCF ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
(ii) Δ ABCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 50 ବ. ସେ.ମି. ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, EBCF ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 37.5 ବ. ସେ.ମି. ।
ସମାଧାନ:
(i) ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : EBCF ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ E ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ F ।
⇒ EF || BC
∴ EBCF ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।

(ii) Δ ABC ରେ E, AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଓ F, ACର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
⇒ EF || BC ଏବଂ EF = \(\frac{1}{2}\) BC = BD = CD
EFDB କ୍ଷେତ୍ରରେ EF || BD ଓ EF = BD ।
∴ EFDB ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

EFDB ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ED କର୍ଣ୍ଣ EFDB ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଦୁଇ ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।
⇒ Δ EBD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ EFD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
∴ ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ଯେ, Δ AEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ EBD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= Δ EFD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ FDC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 50 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
Δ AEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{4}\) × 50 = 12.5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
∴ EBCF ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – Δ AFF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 50 ବର୍ଗ ସେ.ମି. – 12.5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. = 37.5 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।

Question 18.
Δ ABC ର E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । C͞E ଓ B͞F ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଲେ,
ଦର୍ଶାଅ ଯେ Δ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = AEOF ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ :  Δ ABC ର E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ A͞B ଓ A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । C͞E ଓ B͞F ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  =  AEOF ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

ପ୍ରମାଣ :  Δ ABC ରେ E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ A͞B ଓ A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
Δ ABC ରେ B͞F ମଧ୍ୟମା ।
Δ ABF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
[∵ ମଧ୍ୟମା ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।]
Δ ABC ରେ C͞E ମଧ୍ୟମା ।
Δ BCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ ABF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BCE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ AEOF ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BOE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= Δ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BOE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ AEOF ଚତୁର୍ଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 19.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଚାରିଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । ଏହାର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOC ର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ COD ର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ଅର୍ଥାତ୍ କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ କ୍ଷେତ୍ରଟିକୁ ଚାରିଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ବ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରନ୍ତି ।

ପ୍ରମାଣ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର A͞C ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମନ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି । 
ଅର୍ଥାତ୍ AO = OC ଏବଂ BO = DO 
Δ ABC ରେ B͞O ମଧ୍ୟମା ।
[ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ଯମା, ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ବ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।]
⇒ Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = A BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (i) 
ସେହିପରି Δ BCD ରେ C͞O ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (ii)
Δ ADC ରେ D͞O ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ COD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (iii)
ପୁନଶ୍ଚ, Δ ABD ରେ A͞O ମଧ୍ୟମା । 
⇒ Δ AODର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AOBର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (iv)
∴ (i), (ii), (iii) (iv)ରୁ Δ AOBର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOCର  କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CODର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ AODର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 20.
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଉପପାଦ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗ କରି ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) ତ୍ରିଭୁଜର ଯେକୌଣସି ଦୁଇ ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ସରଳରେଖା ତୃତୀୟ ବାହୁ ସଙ୍ଗେ ସମାନ୍ତର ।
(ii) ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ସରଳରେଖା ସମାନ୍ତର ବାହୁ ସହ ସମାନ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
(i) ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ D ଓ E ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DE || B͞C
ଅଙ୍କନ : DC ଓ B͞E ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : AEB ରେ E͞D ମଧ୍ୟମା ।
∴ Δ ADE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DBE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
[∵ ମଧ୍ୟମା ତ୍ରିଭୁଜକୁ ଦୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ।]

ସେହିପରି Δ ADC ରେ DE ମଧ୍ୟମା ।
∴ Δ ADE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ECD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
∴ Δ DBE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ECD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
କିନ୍ତୁ ଏମାନେ ଏକା ଭୂମି DE ବିଶିଷ୍ଟ । ତେଣୁ ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ଵୟ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ବୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ଅର୍ଥାତ୍ DE || BC ।

(ii) ଦତ୍ତ : ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AD || BC । M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ AB ଓ DC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । 
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MN || AD

ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{DM}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{CB}}\) କୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADM ଏବଂ Δ PBM ଦ୍ବୟରେ
AM = MB (ଦତ୍ତ), m∠AMD = m∠PMB (ପ୍ରତୀପ)
ଏବଂ m∠ADM = m∠MPB (ଏକାନ୍ତର)
∴ Δ ADM ≅ Δ PBM (କୋ-କୋ-ବା)
MD = PM
⇒ M, P͞D ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ Δ DPC ରେ M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ DP ଓ D͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
MN || PC
⇒ MN || AD (∵ AD || BC) (ପ୍ରମାଣିତ)

ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :
ଦତ୍ତ : ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AD || BC । AB ଓ DC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ M ଓ N ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MN || AD ।
ଅଙ୍କନ : AC ଓ BD ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : AD || BC ଏବଂ Δ ABC ଓ Δ DBC ଦ୍ଵୟ ଏକା ଭୂମି BC ବିଶିଷ୍ଟ ।
⇒ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DB Cର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
⇒ \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ DBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
Δ BMC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ (C͞M ମଧ୍ୟମା ହେତୁ)
ସେହିପରି Δ BNC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ DBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ( BY ମଧ୍ୟମା ହେତୁ)
Δ BMC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BNCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
Δ BMC ଓ Δ BNC ଦ୍ଵୟ BC ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
⇒ MN || BC
BC || AD (ଦତ୍ତ)
⇒ MN || AD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 21.
P, ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
Δ APB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ CDP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
‘P’ ଏହାର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ CDP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଅଙ୍କନ : P ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ AB ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡ MN ଅଙ୍କନ କର, ଯାହା AD ଓ BC କୁ ଯଥାକ୍ରମେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
ପ୍ରମାଣ : ABNM ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ଓ ABP ଦ୍ଵୟ ଏକା ଭୂମି ଏବଂ ଏକା ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାଦ୍ବୟ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
∴ Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ABNM ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହପରି Δ CDP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) MDCN ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ CDP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) (ABNM ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + MDCN ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
= \(\frac{1}{2}\) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 22.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ଥ‌ିବା Δ ABCରେ AB = AC, BC ଉପରିସ୍ଥ P କୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ । PX ⊥ AB, PY ⊥ AC ଓ  CQ ⊥ AB ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, PX + PY = CQ ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC; BC ଉପରିସ୍ଥ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।
PX ⊥ AB, PY ⊥ AC ଓ  CQ ⊥ AB
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PX + PY = CQ
ଅଙ୍କନ : A͞P ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ : Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ APC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ \(\frac{1}{2}\) AB . PX + \(\frac{1}{2}\) AC . PY = \(\frac{1}{2}\) AB . CQ
⇒ \(\frac{1}{2}\)AB . PX + \(\frac{1}{2}\) AB . PY = \(\frac{1}{2}\) AB . CQ (∵ AB = AC)
⇒ \(\frac{1}{2}\) AB (PX + PY) = \(\frac{1}{2}\) AB . CQ
⇒ PX + PY = CQ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 23.
Δ ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ; O ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ; OX, OY ଓ OZ ଯଥାକ୍ରମେ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, OX + OY + OZ = ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ B = BC = AC । ‘O’ ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।
OX ⊥ BC, OY ⊥ AC, OZ ⊥ AB
ଏବଂ AM ⊥ BC ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : OX + OY + OZ = AM
ଅଙ୍କନ : OA, OB, OC ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ OBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ OAC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ OAB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ \(\frac{1}{2}\) BC . OX + \(\frac{1}{2}\) AC . OY + \(\frac{1}{2}\) AB . OZ = \(\frac{1}{2}\) BC . AM
⇒ \(\frac{1}{2}\) BC . OX + \(\frac{1}{2}\) BC . OY + \(\frac{1}{2}\) BC . OZ = \(\frac{1}{2}\) BC . AM
⇒ \(\frac{1}{2}\) BC (OX + OY + OZ) = \(\frac{1}{2}\) BC . AM (∵ AB = BC = AC)
⇒ OX + OY + OZ = AM

Question 24.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ଏହାର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ରମ୍ବସ୍‌ରେ AC ଓ BD ଏହାର ଦୁଇଟି କଣ୍ଠ ।
ସେମାନଙ୍କର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) AC . BD
ପ୍ରମାଣ : ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= Δ AOD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ AOB ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ DOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) AO . OD + \(\frac{1}{2}\) AO . BO + \(\frac{1}{2}\) BO . OD + \(\frac{1}{2}\) OC . OD
= \(\frac{1}{2}\) AO . (OD + BO) + \(\frac{1}{2}\) OC . (BO + OD) = \(\frac{1}{2}\) AO . BD + \(\frac{1}{2}\) OC . BD
= \(\frac{1}{2}\) BD (AO + OC) = \(\frac{1}{2}\) AC . BD

ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ :
ABCD ରମ୍ବସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) BD . AO + \(\frac{1}{2}\) BD . CO
= \(\frac{1}{2}\) BD (AO + OC) = \(\frac{1}{2}\) BD . AC

Question 25.
Δ ABC ର AD ମଧ୍ୟମା ଉପରେ X ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, Δ ABX ଓ Δ ACX ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ AB Cର AD ମଧ୍ୟମା । AD ମଧ୍ୟମା ଉପରେ ‘X’ ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ର AD ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହିପରି Δ ABD ରେ XD ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ BXD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CXD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – Δ BXD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= Δ ADC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ – Δ CXD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
⇒ Δ ABX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 26.
Δ ABC ର BC ବାହୁ ଉପରେ P ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ, AP ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ X ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
Δ XBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର BC ବାହୁ ଉପରେ P ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।
A͞P ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ X ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ XBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ପ୍ରମାଣ : Δ ABP ର BX ର ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ BXP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ABX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ BXP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହିପରି Δ ACP ର CX ମଧ୍ୟମା ।
⇒ Δ CPX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ ACX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ CPX ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ACP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ BXP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CXP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (Δ ABP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ ACP ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
⇒ Δ XBC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 27.
ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର; P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ DC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, PBOD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅଧା ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ DC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PBQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) ABCD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ଅଙ୍କନ : P͞Q ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ POD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) APQD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
[∵ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କଣ୍ଠ, କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଦୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ ।]
ସେହିପରି Δ PBQର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) PBCQ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ POD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ PBQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= \(\frac{1}{2}\) Δ APQD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + \(\frac{1}{2}\) PBCQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ PBOD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) (APQD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + PBCQ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
⇒ PBOD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) ABCD କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 28.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡତ୍ରୟ ତ୍ରିଭୁଜଟିକୁ ଚାରୋଟି
ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ D, E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB, BC ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DE, EF, DF ରେଖାଖଣ୍ଡତ୍ରୟ ତ୍ରିଭୁଜଟିକୁ
ଚାରିଗୋଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରିବ ।

ପ୍ରମାଣ : D ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ⇒ DE || BC
ସେହିପରି EF || AB ଏବଂ DE || AC ।
∴ ADEF, DBEF ଏବଂ CEDF ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
ADEF ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର D͞F କର୍ଣ୍ଣ ।
⇒ Δ ADF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ, Δ BDE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଏବଂ Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ ADF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BDE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 29.
ABCD ଚତର୍ଭୁଜର A͞C ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । AO = CO ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ
କର ଯେ Δ ABD ଓ Δ BCD ଦ୍ବୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତର୍ଭୁଜର AC ଓ BD କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O
ଏବଂ AO = CO ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ର BO ମଧ୍ୟମା । (‘. AO = OC)
∴ Δ ABO ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOCର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (i)
ସେହିପରି Δ ADC ର DO ମଧ୍ୟମା । (∵ AO = OC)
∴ Δ ADO ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ Δ ABO ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ ADO ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ DOC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ ABD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BCD ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 30.
D, E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ Δ ABC ର AB, BC ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ,
(i) FDEC ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ
(ii) FDEC ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ D, E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB, BC ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) FDEC ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ii) FDEC ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।

ପ୍ରମାଣ : D ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
DF || BC ⇒ DF || EC
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ଯେ DE || CF ।
∴ DECF ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । (ପ୍ରମାଣିତ)
ସେହିପରି ADEF, DBEF ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
DECF ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର EF କର୍ଣ୍ଣ ।
[∵ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣ, କ୍ଷେତ୍ରକୁ ଦୁଇଟି ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ]
⇒ Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ
= Δ BDE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଏବଂ Δ ADF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ Δ ADF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ BDE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
Δ ADF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ BDE ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= 2 × Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + 2 × Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
⇒ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 (Δ DEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + Δ CEF ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ)
⇒ Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2 × FDEC ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
∴ FDEC କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = \(\frac{1}{2}\) Δ ABC ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(c)

Question 1.
ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ || L₃ || L₄, \(\overleftrightarrow{\mathbf{A D}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{P S}}\) ଓ AB = BC = CD ।
(a) ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(i) AQ = _______ = _______
ସମାଧାନ:
AQ = QE = EF

(ii) PQ = \(\frac{1}{3}\) ( _______ )
ସମାଧାନ:
PQ = \(\frac{1}{3}\) PS

(iii) EF = \(\frac{1}{3}\) ( _______ )
ସମାଧାନ:
EF = \(\frac{1}{3}\) AF

(iv) BQ = \(\frac{1}{2}\) ( _______ )
ସମାଧାନ:
BQ = \(\frac{1}{2}\) CE

(v) RE = \(\frac{1}{2}\) ( _______ )
ସମାଧାନ:
RE = \(\frac{1}{2}\) SF

(b) ନିମ୍ନଲିଖ୍ତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଭୁଲ୍ ଓ ଠିକ୍ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକୁ ଦର୍ଶାଅ ।
(i) AQ = \(\frac{1}{2}\)AE
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍ ଉକ୍ତି

(ii) BQ = \(\frac{1}{2}\)DF
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି

(iii) AF = 2AQ
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ୍ ଉକ୍ତି

(iv) AP = DS
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍ ଉକ୍ତି

(v) RE = \(\frac{1}{2}\)SF
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍ ଉକ୍ତି

(vi) 3QE = AF
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍ ଉକ୍ତି

Question 2.
ପାର୍ଶ୍ୱ ସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ FG || DE || BC ଏବଂ AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D, AD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ F ହେଲେ ନିମ୍ନ ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ସ୍ଥିର କର ।

(i) AG : GE
ସମାଧାନ:
1 : 1

(ii) AG : GC
ସମାଧାନ:
1 : 3

(iii) GE : EC
ସମାଧାନ:
1 : 2

(iv) AG : AC
ସମାଧାନ:
1 : 4

(v) GE : AC
ସମାଧାନ:
1 : 4

(vi) EC : AC
ସମାଧାନ:
1 : 2

Question 3.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଯୋଗକଲେ, ଉତ୍ପନ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି __________ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର

(b) ଗୋଟିଏ ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଯୋଗକଲେ, ଉତ୍ପନ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି __________ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ରମ୍ବସ୍

(c) ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ରର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଯୋଗକଲେ, ଉତ୍ପନ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି __________ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗଚିତ୍ର

(d) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଯୋଗକଲେ, ଉତ୍ପନ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି __________ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର

(e) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଯୋଗକଲେ, ଉତ୍ପନ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି __________ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର

Question 4.
ଏକ ସମବାହୁ Δ ABC ର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D, E ଓ F ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, Δ DEF ସମବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ସମବାହୁ Δ ABC ରେ AB = AC = BC ।
D, E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ AB, BC ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ DEF ସମବାହୁ ।

ପ୍ରମାଣ : ABC ରେ A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ଓ A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ F ।
DF = \(\frac{1}{2}\) BC
ସେହିପରି DE = \(\frac{1}{2}\) BC ଏବଂ EF = \(\frac{1}{2}\) AB
କିନ୍ତୁ AB = BC = AC
⇒ \(\frac{1}{2}\) AB = \(\frac{1}{2}\) BC = \(\frac{1}{2}\) AC
⇒ EF = DF = DE
⇒ Δ DEF ସମବାହୁ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 5.
ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗକଲେ ଯେଉଁ ଚାରିଗୋଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ, ସେମାନେ ସର୍ବସମ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ D, E ଓ F ଯଥାକ୍ରମେ A͞B, B͞C ଓ A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
D, E ଓ F କୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଯୋଗକଲେ ଚାରିଗୋଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଛି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ DEF ≅ Δ ADF ≅ Δ BED ≅ Δ ECF
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ର A͞B ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ F ।

⇒ DF || BC
⇒ DF || BE
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ଯେ, EF || AB
⇒ EF || BD
BDFE ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ଏହାର D͞E କଣ୍ଠ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରକୁ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜରେ ପରିଣତ କରେ
∴ Δ BDE ≅ Δ DEF
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ, Δ DEF ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ Δ ADF ≅ Δ DEF ।
ପୁନଣ୍ଚ, DECF ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ Δ CEF ≅ Δ DEF
∴ Δ DEF ≅ Δ ADF ≅ Δ BDE ≅ Δ CEF

Question 6.
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ । D͞C || A͞B; E, AD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । EF || AB ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ F, B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ DC || EF || AB ଏବଂ E, AD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : F, B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଅର୍ଥାତ୍ CF = FB ।
ପ୍ରମାଣ : DC || EF || AB, DA ଓ B͞C ଦୁଇ ଛେଦକ ।
DA ଛେଦକର ଛେଦିତ ଅଂଶମାନ ସମାନ, ଅର୍ଥାତ୍ DE = EA 
∴ ଅନ୍ୟ ଛେଦକ B͞C ର ଛେଦିତ ଅଂଶମାନ ସମାନ ହେବେ, ଅର୍ଥାତ୍ CF = FB
⇒ F, BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
ଚିତ୍ରରେ AD ⊥ l ଏବଂ BE ⊥ l, C, A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହେଲେ, CD = CE ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : l ରେଖା ଉପରେ AD ଓ BE ଲମ୍ବ । A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ C ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : CD = CE
ଅଙ୍କନ : C͞M ⊥ l ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : AD || CM || BE (∵ AD, CM ଏବଂ B͞E ପ୍ରତ୍ୟେକ l ପ୍ରତି ଲମ୍ବ)
ଏବଂ AC = CB (∵ C, A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
∴ M, D͞E ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
Δ CDE ରେ C͞M, D͞E ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ।
⇒ Δ CDE ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
⇒ CD = CE (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
Δ ABC ରେ M ଓ N, A͞B ବାହୁକୁ ସମତ୍ରିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି । M͞P ଓ NQ ପ୍ରତ୍ୟେକ B͞C ସହ ସମାନ୍ତର ଏବଂ ସେମାନେ 
A͞C କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ ଠୁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, P ଏବଂ Q, AC କୁ ସମତ୍ରିଖଣ୍ଡ କରିବେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର A͞B ଉପରେ M ଓ N ଏପରି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି 
AM = MN = NB ଏବଂ MP || NQ || BC ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AP = PQ = QC
ପ୍ରମାଣ : MP || NQ || BC ଏବଂ A͞B ଓ A͞C ଏମାନଙ୍କର ଦୁଇଟି ଛେଦକ । 
A͞B ଛେଦକର ଛେଦିତ ଅଂଶମାନ ସର୍ବସମ । ଅର୍ଥାତ୍ AM = MN = NB 
AP = PQ = QC (A͞C ଛେଦକର ଛେଦିତ ଅଂଶମାନ ସର୍ବସମ ହେବେ ।) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.
Δ ABC ରେ M, P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ BC, AB ଓ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ P͞Q ଓ A͞M ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ R । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
AR = RM, PR = RQ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ M, P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ BC, AB ଓ A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।  
PQ ଓ A͞M ଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରକୁ R ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AR = RM ଏବଂ PR = RQ 
ଅର୍ଥାତ୍ A͞M ଓ PQ ପରସ୍ପରକୁ 
R ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରିବେ ।

ପ୍ରମାଣ : QM || AB ଏବଂ PM || AC
⇒ APMQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । 
∴ ଏହାର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ A͞M ଓ PQ
ପରସ୍ପରକୁ R ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରିବେ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ A͞D ଓ B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । C͞X ଓ A͞Y, B͞D କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, DP = PQ = QB । 
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ A͞D ଓ B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । C͞X ଓ A͞Y, B͞D କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DP = PQ = BQ
ପ୍ରମାଣ : X, AD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ⇒ AX = XD

Y, B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ⇒ BY = CY
∴ AD = BC ⇒ \(\frac{1}{2}\)AD = \(\frac{1}{2}\)BC
⇒ AX = CY
ପୁନଣ୍ଚ A͞D || B͞C ⇒ AX || CY
∴ AXCY ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ⇒ XC || AY
Δ ADQ ରେ X, A͞D ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ X͞P || A͞Q
⇒ P, D͞Q ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ⇒ DP = PQ … (i)
ସେହିପରି Δ BPC ରେ Y, B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ Q͞Y || P͞C
⇒ Q, BP ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ⇒ BQ = PQ ... (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ DP = PQ = BQ (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
Δ ABC ରେ A͞M ମଧ୍ଯମାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ R । \(\overrightarrow{\mathrm{BR}}\) ଓ A͞C ପରସ୍ପରକୁ S ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
AS= \(\frac{1}{3}\) AC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ A͞M ମଧ୍ଯମାର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ R । \(\overrightarrow{\mathrm{BR}}\) ଓ A͞C ପରସ୍ପରକୁ S ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AS= \(\frac{1}{3}\) AC

ଅଙ୍କନ : M ବିନ୍ଦୁରୁ BS ସହ ସମାନ୍ତର କରି M͞N ଅଙ୍କନ କର ଯାହା A͞C କୁ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ AMN ରେ R, A͞M ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ RS || MN (ଅଙ୍କନ) ।
⇒ S, AN ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ
⇒ AS = SN
ପୁନଶ୍ଚ, Δ CBS ରେ M, BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ M͞N || B͞S ।
⇒ N, SC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ
⇒ SN = NC
∴ AS = SN = NC ⇒ AS = \(\frac{1}{3}\) AC (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ P। \(\overrightarrow{\mathrm{DP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ପରସ୍ପରକୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
AQ = 2AB ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ P। \(\overrightarrow{\mathrm{DP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ପରସ୍ପରକୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AQ = 2AB
ପ୍ରମାଣ : Δ BQP ଓ Δ DPC ଦ୍ଠୟରେ BP = PC

m∠BPQ = m∠CPD (ପ୍ରତୀପ)
ଏବଂ m∠PBQ = m∠PCQ (ଏକାନ୍ତର)
Δ BQP ≅ Δ DPC
⇒ PQ = PD
⇒ P, DQ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ
Δ AQD ରେ P, DQ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ BP || AD
B, AQ ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ
⇒ AB = BQ
⇒ 2AB = AQ

Question 13.
Δ ABC ରେ CM, AB କୁ M ଚିତ୍ରରେ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ ଓ B͞Q, C͞M କୁ P ଚିତ୍ରରେ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ । Q, A͞C ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, AQ = 2QC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : AABC ରେ C͞M, A͞B କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ । P, M͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ \(\overrightarrow{\mathrm{BP}}\) ଓ A͞C ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ Q ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AQ = 2QC
ଅଙ୍କନ : M ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ B͞Q ସହ ସମାନ୍ତର କରି M͞N ଅଙ୍କନ କର ଯାହା A͞C କୁ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।

ପ୍ରମାଣ : Δ CMN ରେ P, MC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ PQ || MN
⇒ NQ = QC … (i)
Δ ABQ ରେ M, A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏକ MN || BQ
⇒ AN = NQ … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ AN = NQ = QC
⇒ AN = NQ = QC + QC
⇒ AQ = 2QC (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଦୁଇ ଅସମାନ୍ତର ବାହୁର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡ ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନଙ୍କ ସହ ସମାନ୍ତର ଏବଂ ଏହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟିର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ । M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ AD ଓ B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MN || DC ଏବଂ MN = \(\frac{1}{2}\) (AB + CD)

ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AN}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{DC}}\) ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ P
ପ୍ରମାଣ : Δ ABN ଓ Δ CNP ରେ BN = NC, m∠ANB = m∠CNP (ପ୍ରତୀପ)
ଏବଂ m∠ABN = m∠NCP
∴ Δ ABN ≅ Δ CNP
⇒ AN = NP ଏବଂ AB = CP
ବର୍ତ୍ତମାନ Δ ADP ରେ M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ A͞D ଓ A͞P ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
∴ M͞N || D͞P … (i)
ଏବଂ MN = \(\frac{1}{2}\) DP … (ii)
(i) ରୁ M͞N || D͞P ⇒ MN || DC
(ii) ରୁ MN = \(\frac{1}{2}\) DP = \(\frac{1}{2}\) (DC + DP) = \(\frac{1}{2}\) (DC + AB) [∵ AB = CP]
MN = \(\frac{1}{2}\) (AB + CD) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
Δ ABC ରେ ∠B ସମକୋଣ । AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ‘P’ ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, PA = PB = PC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠B = 90° ଏବଂ P, AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PA = PB = PC

ଅଙ୍କନ : C ବିନ୍ଦୁରେ BP ସହ ସମାନ୍ତର କରି CM ଅଙ୍କନ କର ଯାହା \(\overrightarrow{\mathrm{AM}}\) କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ AMC ରେ P, A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ PB || CM ।
⇒ AB = BM ଏବଂ 2BP = MC
ଏଠାରେ C͞B, A͞M ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ହେଲା ।
⇒ AC = MC
2AP = 2BP ⇒ AP = BP
କିନ୍ତୁ ଦତ୍ତ AP = PC
∴ AP = BP = PC (ପ୍ରମାଣିତ)

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠B = 90° ଏବଂ AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ P ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PA = PB = PC

ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BP}}\) ଉପରେ D ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଉ ଯେପରିକି B – P – D ଓ BP = PD ।
QA ଓ QC ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ BP = PD (ଅଙ୍କନ) ଓ AP = PC (ଦତ୍ତ)
⇒ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
∠B ସମକୋଣ ହେତୁ ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
⇒ କଣ୍ଠ AC = BD
\(\frac{1}{2}\) AC = \(\frac{1}{2}\) BD
⇒ PA = PB
∴ PA = PB = PC (∵ AP = PC) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ଗୋଟିଏ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ସମାନ୍ତର ବାହୁମାନଙ୍କ ସହ ସମାନ୍ତର ଏବଂ ସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତରର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ରେ AB || CD । M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ B͞D ଓ A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : M͞N || D͞C ଏବଂ MN = \(\frac{1}{2}\) (DC – AB)

ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BN}}\) ଓ D͞C ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ Q ଚିହ୍ନଟ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABN ଏବଂ Δ QCN ଦ୍ଠୟରେ
m∠ANB = m∠CNQ (ପ୍ରତୀପ)
AN = NC (∵ N, A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
m∠BAN = m∠NCQ (ଏକାନ୍ତର)
∴ Δ ABN ≅ Δ QCN (କୋ-ବା-କୋ-ସର୍ବସମତା)
⇒ BN = NQ ଏବଂ AB = QC
Δ BDQ ରେ M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ B͞D ଓ B͞Q ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
∴ M͞N || D͞Q ଏବଂ MN = \(\frac{1}{2}\) DQ
M͞N || D͞Q ⇒ MN || DC
ପୁନଶ୍ଚ, MN = \(\frac{1}{2}\) DQ = \(\frac{1}{2}\) (DC – DQ) = \(\frac{1}{2}\) (DC – AB) (∵ AB = QC)
∴ MN = \(\frac{1}{2}\) (DC – AB)  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ପର୍ଯ୍ୟାୟକ୍ରମେ ଯୋଗକଲେ, ଉତ୍ପନ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର M, N, P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ A͞B, A͞D, D͞C ଓ B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MNPQ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।

ଅଙ୍କନ : A͞C କଣ୍ଠ ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ BAC ରେ M ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ A͞B ଓ B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
⇒ MQ || AC ଏବଂ MQ = \(\frac{1}{2}\) AC … (i)
ସେହିପରି Δ DAC ରେ N ଓ P ଯଥାକ୍ରମେ AD ଓ D͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
⇒ NP || AC ଏବଂ NP = \(\frac{1}{2}\) AC … (ii)
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ MQ || NP ଏବଂ MQ = NP
⇒ MNPQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 18.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଆୟତଚିତ୍ରର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ପର୍ଯ୍ୟାୟକ୍ରମେ ଯୋଗକଲେ, ଉତ୍ପନ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ରମ୍ବସ୍ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଆୟତଚିତ୍ରରେ M, N, P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ AB, AD, DC ଓ B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । MNPQ ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MNPQ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।

ଅଙ୍କନ : A͞C ଓ B͞D କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ଅ‍।ୟତଚିତ୍ରରେ AC = BD ।
Δ ABD ରେ A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M ଓ AD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ N ।
⇒ MN = \(\frac{1}{2}\) BD … (i)
ସେହିପରି PQ = \(\frac{1}{2}\) BD … (i)
(i) ଓ (ii) ରୁ MN = PQ
ସେହିପରି MQ = \(\frac{1}{2}\) AC ଓ NP = \(\frac{1}{2}\) AC
⇒ MQ = NP
⇒ NP = MN (∵ AC = BD)
∴ M = NP = PQ = MQ ଅର୍ଥ।ତ୍ MNPQ ଏକ ରମ୍ବସ୍ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 19.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ବର୍ଗଚିତ୍ରର ବାହୁମାନଙ୍କର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ପର୍ଯ୍ୟାୟକ୍ରମେ ଯୋଗକଲେ, ଉତ୍ପନ୍ନ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ବର୍ଗଚିତ୍ରରେ M, N, P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ AB, AD, DC ଓ BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MNPO ଏକ ବର୍ଗଚିତ ।

ଅଙ୍କନ : A͞C ଓ B͞D ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : 17 ନମ୍ବର ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନରୁ ପାଇବା MNPQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
କିନ୍ତୁ MQ = \(\frac{1}{2}\) AC ଏବଂ MN = \(\frac{1}{2}\) BD
⇒ MQ = MN (∵ AC = BD)
⇒ MNPQ ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।
ପୁନଶ୍ଚ, Δ AMN ରେ AM = AN
(∵ AB = AD ⇒ \(\frac{1}{2}\) AB = \(\frac{1}{2}\) AD)
m∠A = 90° ହେତୁ m∠AMN = 45° । ସେହିପରି m∠BMQ = 45° ।
∴ m∠NMQ = 180° – (45° + 45°) = 90°
∴ MNPQ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 20.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ C͞D ଓ C͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ PQ, AC କଣ୍ଠକୁ R ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ 4CR = AC ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ P ଓ Q ଯଥାକ୍ରମେ D͞C ଓ BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । P͞Q ଓ A͞C ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ R ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : CR = \(\frac{1}{4}\) AC
ଅଙ୍କନ : B͞D ଅଙ୍କନ କର । କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ M ସ୍ଥିର କର ।
ପ୍ରମାଣ : CDB ରେ P ଓ Q
ଯଥାକ୍ରମେ C͞D ଓ C͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
⇒ P͞Q || D͞B
Δ CDM ରେ P, C͞D ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ PR || DM (∵ PQ || DB)
⇒ R, C͞M ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
⇒ CR = \(\frac{1}{2}\) CM
⇒ CR = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{1}{2}\) AC) [∵ CM = AM]
⇒ CR = \(\frac{1}{4}\) AC 4CR = AC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଭୁଲ୍ କି ଠିକ୍ ଲେଖ ।
(a) ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରୋଟି ବାହୁ ସର୍ବସମ ହେଲେ, ତାହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(b) ପ୍ରତ୍ୟେକ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(c) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(d) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସମାନ ହେଲେ, ତାହା ଏକ ରମ୍ବସ୍ ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(e) ରମ୍ବସ୍‌ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(f) ଗୋଟିଏ ଆୟତଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(g) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହେଲେ, ତାହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(h) ଗୋଟିଏ ବର୍ଗଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମକୋଣରେ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(i) ଯଦି ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(j) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(k) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(l) ରମ୍ବସ୍ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

Question 2.
ନିମ୍ନ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖ୍ ‘x’ ର ମୂଲ୍ୟ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର:
m∠DAB + m∠ABC = 180°
⇒ 75° + m∠ABD + m∠DBC = 180°
⇒ 75° + m∠ABD + 60° = 180°
⇒ m∠ABD = 180° – 135° = 45°
ବର୍ତ୍ତମାନ x = 45° (∵ m∠ABD = m∠CDB)

ରମ୍ବସ୍:
m∠ABC + m∠BCD = 180°
⇒ m∠BCD = 180° – m∠ABC = 180° – 120° = 60°
କିନ୍ତୁ Δ ABC ରେ m∠BAC + m∠BCA
= 180° – 120° = 60°
⇒ m∠BCA = \(\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30° (∵ m∠BAC = m∠BCA)
m∠BCD = 60°
⇒ m∠BCA + m∠ACD = 60°
⇒ 30° + x = 60°
⇒ x = 30°

ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର:
m∠BAC + m∠ACB = 90°
⇒ m∠ACB = 90° – m∠BAC = 90° – 32° = 58°
କିନ୍ତୁ m∠OBC = m∠OCB = 58° (∵ OB = OC)
⇒ x = 58°

ବର୍ଗଚିତ୍ର:
m∠DOC = m∠POB = 85° କିନ୍ତୁ m∠OBP = 45°
Δ APB ରେ m∠POB + m∠OBP = m∠OPA
⇒ 85° + 45° = x
⇒ x = 130°

Question 3.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ________ ର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ଏବଂ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗଚିତ୍ର

(b) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠A ଓ ∠B ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍

(c) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ ________ ।
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗଚିତ୍ର

(d) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AB = CD, A͞B || C͞D ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର

(e) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର AB = BC ଏବଂ AC = BD ଏବଂ ∠B ଏକ ସମକୋଣ ହେଲେ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗଚିତ୍ର

(f) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସ୍‌ର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 90° ହେଲେ ରମ୍ବସ୍‌ ________ ।
ସମାଧାନ:
ବର୍ଗଚିତ୍ର

(g) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର A͞C ଓ B͞D କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମସ୍ଵିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ m∠A = 90° ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର

(h) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର A͞C ଓ B͞D କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ଏବଂ AC ≅ BD ହେଲେ, ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର

Question 4.
(i) ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠B = (x + 30°) 3 m∠C = (2x – 60°) ହେଲେ m∠A କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠B = (x + 30°), m∠C = (2x – 60°) ।
ନିର୍ଦେୟ : m∠A ର ପରିମାଣ
ଉତ୍ତର : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ m∠B+ m∠C = 180°
⇒ (x + 30) + (2x – 60) = 180°
⇒ 3x – 30° = 180°
⇒ 3x = 210°
⇒ x = 70°
∴ m∠A = m∠C = 2x – 60° = 2 × 70° – 60° = 80°

(ii) ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠B ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ∠APB ର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠B ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଯଥାକ୍ରମେ \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{BP}}\)
ପରସ୍ପରକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
ନିର୍ମେୟ : ∠APB ର ପରିମାଣ ।
ଡତ୍ତର : m∠A + m∠B = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\) m∠A + \(\frac{1}{2}\) m∠B = \(\frac{1}{2}\) × 180°
⇒ m∠PAB + m∠PBA = 90°
Δ APB ରେ m∠PAB + m∠PBA + m∠APB = 180°
[ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।]
⇒ 90° + m∠APB = 180°
(∵ m∠PAB + m∠PBA = 90°)
⇒ m∠APB = 180° – 90° = 90°

(iii) ଗୋଟିଏ ରମ୍ବସର କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ପୂର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ଏହାର ଏକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହ ସମାନ ହେଲେ, ରମ୍ବସ୍‌ର ବୃହତ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ରମ୍ବସ୍‌ରେ A͞C କ୍ଷୁଦ୍ରତର କର୍ଣ୍ଣ ଓ BC = AC ।
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠BCD ର ପରିମାଣ ।
ଉତ୍ତର : ABCD ରମ୍ବସ୍‌ରେ AB = BC । କିନ୍ତୁ BC= AC (ଦତ୍ତ)
∴ AB = BC = AC
⇒ Δ ABC ସମବାହୁ
⇒ m∠ACB = 60°
ସେହିପରି Δ ACD ସମବାହୁ
⇒ m ∠ACD = 60°
∴ m∠BCD=m∠ACB + m∠ACD = 60° + 60° = 120°

(iv) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 ହେଲେ, ବୃହତ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଶୀର୍ଷରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 ।
ଦତ୍ତ : ବୃହତ୍ତର କୋଣର ପରିମାଣ ।
ନିଶ୍ଚେୟ : ମନେକର କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ 2x ଏବଂ 3x ।
ଉତ୍ତର : ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ 2x + 3x = 180°
[ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।]
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ 2x + 3x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 36°
∴ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ = 3x = 3 x 36° = 108°

(v) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ଏକ ସନ୍ନିହିତ କୋଣର \(\frac{4}{5}\) ହେଲେ, ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ଅନ୍ୟ ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ପରିମାଣ \(\frac{4}{5}\) ଅଂଶ ।
ନିଶ୍ଚେୟ : ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ।
ଉତ୍ତର : ମନେକର ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ x ଏବଂ \(\frac{4 \mathrm{x}^{\circ}}{5}\) ।
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
x + \(\frac{4 \mathrm{x}^{\circ}}{5}\) = 180° 
⇒ 5x + 4x = 900
⇒ 9x = 900
⇒ x = 100
∴ ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 100 ଏବଂ ଅନ୍ୟ ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° – 100° = 80° ।

Question 5.
(i) ABCD ଏକ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜ । ଏଥ‌ିରେ ∠B, ∠C, ∠D ର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ ∠A ର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣ, ତିନିଗୁଣ, ଚାରିଗୁଣ ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଏହା ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ । m∠B = 2m∠A, m∠C = 3m∠A ଏବଂ m∠D = 4m∠A
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ପ୍ରମାଣ : ମନେକର m∠A = x ତେବେ m∠B = 2x, m∠C = 3x ଏବଂ m∠D = 4x
ABCD ଟ୍ରାପିଜିମ୍ବସ୍‌ରେ m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°
⇒ x + 2x + 3x + 4x = 360°
⇒ 10x = 360°
⇒ x = 36°
∴ m∠A = 36°, m∠B = 2 x 36° = 72°,
m∠C = 3 × 36° = 108° ଏବଂ m∠D = 4 × 36° = 144°
ଲଷ୍ୟକର ଏଠାରେ m∠B + m∠C = 72° + 108° = 180°
∴ A͞B || D͞C
⇒ ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ । (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠A ଓ ∠B ର ସମତ୍ତିଖଣ୍ଡକ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ଏବଂ ∠AOB ଏକ ସମକୋଣ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠A ଓ ∠B ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
m∠AOB = 90°
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ AOB ରେ m∠OAB + m∠ABO + m∠AOB = 180°
⇒ m∠OAB + m∠ABO = 90°
[∵ m∠AOB = 90° (ଦତ୍ତ)]
⇒ 2m∠OAB + 2m∠ABO = 2 × 90°
⇒ m∠A + m∠B = 180°
⇒ A͞D || B͞C
⇒ ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠ADC ଏକ ସମକୋଣ, m∠BAC = m∠ACB = 45° ଏବଂ AD = DC ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କରି ଯେ, ଏହା ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ତୁର୍ଭୁଜରେ m∠ADC = 90°, AD = DC, m∠BAC = m∠ACB = 45° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADC ରେ m∠ADC = 90° ଏବଂ AD = DC
⇒ m∠DAC = m∠DCA => m∠DAC = m∠DCA = 45°
Δ ADC ଓ Δ ABC ଦ୍ଠୟରେ m∠DAC = m∠BAC
m∠DCA = m∠ACB ଏବଂ A͞C ସାଧାରଣ ।
∴ Δ ADC ≅ Δ ABC
⇒ AD = AB ଏବଂ DC = BC କିନ୍ତୁ ଦତ୍ତ AD = DC
∴ AD = AB = DC = BC
⇒ ABCD ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର । (∵ m∠D = 90°)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AD = BC = 3 ସେ.ମି., CD = 8 ସେ.ମି. । AB ୟପରେ E ଓ F ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ,
m∠BCF = m∠BFC = m∠AED = m∠ADE = 45° ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AD = BC = 3 ସେ.ମି., CD = 8 ସେ.ମି., EF = 2 ସେ.ମି. ଏବଂ
m∠BCF = m∠BFC = m∠AED = m∠ADE = 45°
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADE ରେ m∠ADE = m∠AED = 45°
⇒ AD = AE ଏବଂ m∠A = 90°
∴ AE = 3 ସେ.ମି.
ସେହିପରି Δ FBC ରେ m∠B = 90° ଏବଂ BC = BF = 3 ସେ.ମି.
∴ AB = AE + EF + BF = 3 + 2 + 3 = 8 ସେ.ମି.
ଏଠାରେ AD = BC (ଦତ୍ତ)
AB = DC ଏବଂ m∠A = m∠B = 90°
∴ ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

(v) ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ଯଦି AB = 2AD ଏବଂ P, C͞D ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ହୁଏ ତେବେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ,m∠APB = 90° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ AB = 2AD, P, D͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ 
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠APB = 90°
ପ୍ରମାଣ : Δ ADP ରେ AD = DP
(∵ 2AD = AB = CD ଏବଂ P, C͞D ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
m∠DAP = m∠APD = α (ମନେକର)
ସେହିପରି Δ PBC ରେ PC = BC (∵ AD = BC = DP = PC)
m∠PBC = m∠BPC = β (ମନେକର)
Δ ADP ରେ m∠D =180° – 2α (∵ m∠D + m∠PAD + m∠APD = 180°)
ଓ Δ BPC ରେ m∠C = 180° – 2β
କିନ୍ତୁ m∠D + m∠C = 180° (∵ A͞D || B͞C)
180° – 2α + 180° – 2β = 180°
⇒ 2α + 2β = 180°
⇒ α + β = 90°
m∠APD + m∠BPC = 90°
⇒ m∠APB = 90°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 6.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ m∠ABD = m∠BDC ଏବଂ m∠ADB = m∠CBD ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କରି ଯେ, ଏହା ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ Δ ABC = Δ ADC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : m∠ABD = m∠BDC ଏବଂ m∠ADB = m∠CBD ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ii) Δ ABC ≅ Δ ADC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ BDC ରେ m∠ABD = m∠BDC,
m∠ADB = m∠DBC ଏବଂ B͞D ସାଧାରଣ ବାହୁ
⇒ Δ ABD ≅ Δ ADC ⇒ m∠A = m∠C … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, m∠ABD + m∠DBC = m∠BDC + m∠ADB
⇒ m∠B = m∠D … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଇଲେ, ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ବିପରୀତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ । ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
∴ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ BC || AD । A͞C ଓ B͞D ଯଥାକ୍ରମେ ∠BAD ଓ ∠CDA କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ପ୍ରମାଣ
କର ଯେ AB = BC = CD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ BC || AD । A͞C ଓ B͞D ଯଥାକ୍ରମେ ∠BAD ଓ ∠CDA କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ ଜରେ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = BC = CD
ପ୍ରମାଣ : m∠BAC = m∠CAD (∵ A͞C, ∠BAD ର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ)
BC || AD
⇒ m∠CAD = m∠BCA (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
⇒ m∠BAC = m∠BCA
⇒ AB = BC … (i)
ସେହିପରି m∠BDC = m∠BDA (ଦତ୍ତ)
BC || AD ⇒ m∠CBD = m∠BDA (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
⇒ m∠BDC = m∠CBD
⇒ BC = CD … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଇଲେ, AB = BC = CD
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଯଥାକ୍ରମେ \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{CQ}}\) । ଏମାନେ ଯଦି D͞C ଓ A͞B କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, APCQ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି ଯଥାକ୍ରମେ DC ଓ AB କୁ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : APCQ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ପ୍ରମାଣ : m∠A = m∠C
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠A = \(\frac{1}{2}\)m∠C
⇒ m∠BCQ = m∠DAP ଏବଂ m∠PCQ = m∠PAQ … (i)
⇒ m∠BCQ + m∠B = m∠DAP + m∠D (∵ m∠B = m∠D)
⇒ m∠AQC = m∠APC … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ ପାଇବା APCQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(∵ ବିପରୀତ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସମାନ ।)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ D͞C ଓ A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) MCBN ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର 
(ii) DMBN ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏବଂ
(iii) D͞B ଓ M͞N ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ M ଓ N ଯଥାକ୍ରମେ D͞C ଓ A͞B ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) MCBN ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ii) DMBN ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(iii) D͞B ଓ M͞N ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
ପ୍ରମାଣ : MCBN ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ N͞B || M͞C (∵ A͞B || D͞C)
NB = MC (∵ AB = DC ଏବଂ \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)DC)
∴ MCBN ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । … (i) (ପ୍ରମାଣିତ)
DMBN ଚିତ୍ରରେ B͞M || D͞N (∵ A͞B || D͞C)
NB = DM (∵ AB = DC ଏବଂ \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)DC)
∴ DMBN ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । … (ii) (ପ୍ରମାଣିତ)
DMBN ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ହେତୁ B͞D ଓ N͞M କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରିବେ । … (iii) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ A͞C ଓ B͞D କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । DO ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ X ଓ BO ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ Y ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ AXCY ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ A͞C ଓ B͞D କଣ୍ଠଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ‘O’ । X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ DO ଏବଂ B͞O ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AXCY ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
AO = CO ଏବଂ DO = BO
AO = CO ଏବଂ \(\frac{1}{2}\)DO = \(\frac{1}{2}\)BO
AYCX ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଯାହାର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି ।
AXCY ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ABCD ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । A͞C ଉପରେ K, L ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AK = CL । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । A͞C ଉପରେ K, L ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AK = CL ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ଅଙ୍କନ : B͞D ଅଙ୍କନ କର । A͞C ଓ B͞D ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଉ ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
⇒BO = DO ଏବଂ AO = CO
⇒BO = DO ଏବଂ AO – AK = CO – CL
⇒BO = DO ଏବଂ KO = LO
⇒ DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
ABCD ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । B͞D ଉପରେ P ଓ Q ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AP || CQ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, DP = BQ ଏବଂ APCQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । B͞D ଉପରେ P ଓ Q ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି A͞P || C͞Q ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) DP = BQ
(ii) APCQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ପ୍ରମାଣ : A͞P || C͞Q, B͞D ଛେଦକ
∴ m∠APQ = m∠PQC
⇒ m∠APD = m∠BQC … (i)
Δ ADP ଓ Δ BQC ରେ
AD = BC (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ ବାହୁ)
m∠ADP = m∠QBC, ( AD || BC )
m∠APD = m∠BQC [(i) ରୁ ପ୍ରମାଣିତ]
Δ ADP ≅ Δ BQC
DP = BQ ଏବଂ AP = QC … (ii)
⇒ AP || QC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ AP = QC,
⇒ APCQ ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ DK ⊥ AC, BL ⊥ AC ଏବଂ K ଓ I ଯଥାକ୍ରମେ ଲମ୍ବନ୍ବୟର ପାଦବିନ୍ଦୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ DK ⊥ AC, BL ⊥ AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
ଅଙ୍କନ : D͞B ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADK ଓ Δ BCL ଦ୍ଠୟରେ AD = BC,
ଏବଂ m∠DKA = m∠BLC
Δ ADK ≅ Δ BCL
⇒ AK = CL
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ DO = BO ଏବଂ AO = CO
⇒ DO = BO ଏବଂ AO – AK = CO – CL
⇒ DO = BO ଏବଂ KO = OL
⇒ DKBL ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । A͞D ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି DC = DP, \(\overrightarrow{\mathrm{CP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ପରସ୍ପରକୁ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
(i) AQ = AP
(ii) BC = BQ
(iii) AD = CD + AQ
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । A͞D ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି DC = DP । \(\overrightarrow{\mathrm{CP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ପରସ୍ପରକୁ Q ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AQ = AP
(ii) BC = BQ
(iii) AD = CD + AQ

ପ୍ରମାଣ : Δ PCD ରେ DC = DP
m∠DCP = m∠DPC
କିନ୍ତୁ m∠DPC = m∠QPA (ପ୍ରତୀପ)
ଏବଂ m∠DCP = m∠AQP (ଏକାନ୍ତର) (∵ B͞Q || C͞D, Q͞C ଛେଦକ)
m∠DPC = m∠DCP ତେଣ୍ଙ m∠QPA = m∠AQP
⇒ AQ = AP … (i) (ପ୍ରମାଣିତ)
କିନ୍ତୁ m∠DCP = m∠AQP (ଏକାନ୍ତର)
ପୁନଶ୍ଚ, m∠DPC = m∠PCB (ଏକାନ୍ତର)
∠DCP = m∠DPC ତେଣ୍ଙ m∠AQP = m∠PCB
⇒ BC = BQ … (ii) (ପ୍ରମାଣିତ)
ପୂର୍ବ ରୁ ପ୍ରମାଣିତ CD = PD ଏବଂ AQ = AP
CD + AQ = PD + AP
⇒ CD + AQ = AD … (iii) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ D͞C ବାହୁ ଉପରେ X ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = AX । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠XAB = m∠ABC ଏବଂ AC = BX ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । D͞C ଉପରେ X ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = AX ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠XAB = m∠ABC
(ii) AC = BX

ପ୍ରମାଣ : AD = AX
⇒ m∠ADX = m∠AXD
କିନ୍ତୁ m∠ADX = m∠ABC (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବିପରୀତ କୋଣ)
m∠AXD = m∠XAB (ଏକାନ୍ତର)
∴ m∠XAB = m∠ABC … (i) (∵ m∠ADX = m∠AXD) (ପ୍ରମାଣିତ)
Δ AXB ଓ Δ BAC ଦ୍ଠୟରେ m∠XAB = m∠ABC,
∴ A͞B ସାଧାରଣ ଏବଂ AX = BC (∵ AX = AD = BC)
Δ AXB ≅ Δ BAC
⇒ BX = AC … (ii) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣମାନଙ୍କର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରେଖାମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା ଗଠିତ ଚତୁର୍ଭୁଜଟି ଏକ ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର । ∠A ଓ ∠B ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ M, ∠B ଓ ∠C ର
ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ N, ∠C ଓ ∠D ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ P ଏବଂ ∠D ଓ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ Q ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MNPQ ଏକ ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର ।

ପ୍ରମାଣ : m∠A + m∠B = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠A + \(\frac{1}{2}\)m∠B = 180°
⇒ m∠MAB + m∠MBA = 90°
⇒ m∠AMB = 90°
⇒ m∠AMB = m∠QMN = 90° (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ଯେ, m∠QPN = 90°, m∠MQP= 90° ଏବଂ m∠MNP = 90°
∴ MNPQ ଏକ ଅ‍।ୟତଚିତ୍ର । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ଅଙ୍କିତ ଓ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ବାହୁମାନଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ସୀମାବଦ୍ଧ ରେଖାଖଣ୍ଡ କର୍ତ୍ତୃମାନଙ୍କ ଛେଦବିନ୍ଦୁଠାରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡିତ ହୁଏ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରରେ A͞C ଓ B͞D କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O।
O ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଅଙ୍କିତ ଏକ ରେଖା A͞B ଓ CD କୁ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁଛି ।

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : MO = ON
ପ୍ରମାଣ : Δ BMO ଏବଂ Δ DNO ଦ୍ବୟରେ
m∠MOB = m∠NOD (ପ୍ରତୀପ)
m∠MBO = m∠NDO (ଏକାନ୍ତର),
BO = CO (ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି)
∴ Δ BMO ≅ Δ DNO (∵ କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ MO = ON (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 18.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ R͞P || A͞B, RQ || BC ଏବଂ PQ || AC ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ BC = \(\frac{1}{2}\)QR ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ RP || AB, RQ || BC ଏବଂ PQ || AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BC = \(\frac{1}{2}\)QR

ପ୍ରମାଣ : RQ || BC, RP || AB
⇒ RABC ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
⇒ BC = RA
ସେହିପରି RQ || BC, PQ || AC
⇒ AQBC ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର
⇒ BC = AQ
⇒ 2BC = RA + AQ
⇒ 2BC = RQ
⇒ BC = \(\frac{1}{2}\)QR (ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(a)

Question 1.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
360°

(ii) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
540°

(iii) ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
360°

(iv) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
120°

(v) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 45° ହେଲେ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ________ ।
ସମାଧାନ:
8

(vi) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 150° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ________ ।
ସମାଧାନ:
12

(vii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 1440° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ________ ।
ସମାଧାନ:
10

(viii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ୨ ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
40°

(ix) n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{2 n-4}{n}\) × 90°

(x) n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{360^{\circ}}{n}\)

Question 2.
(i) ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 4 : 6 ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 2x°, 3x°, 4x° ଏବଂ 6x° ।
∴ 2x° + 3x° + 4x° + 6x° = 360° ⇒ 15x  = 360° ⇒ x = 24
∴ 2x° = 2 × 24 = 48°, 3x° = 3 × 24 = 72°,
4x° = 4 × 24 = 96° ଏବଂ 6x° = 6 × 24 = 144°
∴ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 48°, 72°, 96° ଓ 144° ।

(ii) ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ କ୍ରମିକ କୋଣ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ ଅନ୍ୟର ପରିମାଣର \(\frac{3}{2}\) ଗୁଣ ହେଲେ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ x ଏବଂ ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ ଅନ୍ୟଟିର ପରିମାଣ \(\frac{3 x^{\circ}}{2}\) ।
∴ x° + \(\frac{3 x^{\circ}}{2}\) = 180°
⇒ \(\frac{5 x^{\circ}}{2}\) = 180° ⇒ x = 72°
ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 72° ଏବଂ ଅନ୍ୟ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{3 x^{\circ}}{2}\) × 72 = 108°
∴ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ 72°, 108°, 72° ଓ 108° ।

(iii) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 4: 5 : 6 ହେଲେ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୂଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ ।
ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 5 – 4) × 90° = 540°
ମନେକର ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 2x°, 3x°, 4x°, 5x° ଏବଂ 6x° ।
∴ 2x° + 3x° + 4x° + 5x° + 6x° = 540° → 20x = 540 = x = 27
∴ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ = 6x = 6 × 27 = 162°

(iv) ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣ ସମକୋଣ ଏବଂ ଅନ୍ୟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ 120° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା n । 
∴ ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା n ।
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, 90° + 90° + (n – 2) 120° = (2n – 4) × 90°
n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟକର, ବହୁଭୁଜର n ସଂଖ୍ୟକ କୋଣ ମଧ୍ୟରୁ ଦୁଇଟି କୋଣ ସମକୋଣ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ କୋଣମାନ (n – 2 ସଂଖ୍ୟକ) ପ୍ରତ୍ୟେକେ 120° ।
⇒ 180 + (n – 2) 120 = (2n – 4) x 90
⇒ 18 + (n – 2) 12 = (2n – 4) 9
⇒ 18 + 12n – 24 = 18n – 36
⇒ 12n – 6 = 18n – 36
⇒  6n = 30 ⇒ n = 5
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 5 ।

(v) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର x°, (x − 10°), (x − 20°), (2x – 40°), (2x – 90°) ହେଲେ ‘x’ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
n ଭୁଜ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ । 
∴ ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 5 – 4) × 90° = 540°
⇒ 7x – 160 = 540 ⇒ 7x = 700 ⇒ x = 100

(vi) ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଅନ୍ତଃ ସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 8 – 4) × 90° = 1080°
ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = 360°

(vii) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ କ୍ରମିକ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 ହେଲେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଅନ୍ୟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
ମନେକର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 2x° ଏବଂ 3x° ।
∴ 2x + 3x = 180°
⇒ 5x = 180° ⇒ x = 36
∴ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 2x° = 2 × 36 = 72° ଓ 3x° = 3 × 36 = 108°
∴ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 72°, 108°, 72° ଏବଂ 108° ।

Question 3.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ ।
ସମାଧାନ:
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ (n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ) ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ =  \(\frac{2 n-4}{n}\) ସମକୋଣ ।
ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2×8-4}{8}\) × 90° = \(\frac{12}{8}\) × 90 = 135°
ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(=\frac{360^{\circ}}{n}\)
ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(=\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟକର, 45° x 3 = 135° ହେତୁ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ।

Question 4.
ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜ ହେଲେ, Δ BED ର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜ ।
ସୁଷମ ବହୁଭୂଜ (n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ)ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2 n-4}{n}\) ସମକୋଣ ।
ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2×5-4}{5}\) × 90° = 108°
Δ ABE ରେ m∠A = 108°, m∠ABE = m∠AEB = \(\frac{72}{2}\) = 36°
∴ Δ BED ରେ m∠BED = m∠AED – m∠AEB
= 108° – 36° = 72°
ସେହିପରି m∠BDE = 72°
∴ Δ BDE ରେ m∠EBD = 180° – (72° + 72°) = 36°
∴ Δ BDE ର କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ 36°, 72°, 72°।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 5 : 1 ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = 5x°
ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = x°

⇒ n= 10 + 2
⇒ n= 12
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 12 ।

Question 6.
n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଓ (n + 2) ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ମଧ୍ଯରେ ଅନ୍ତର 9° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
n-ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{360^{\circ}}{n}\)

⇒ n² + 2n – 80 = 0
⇒ n² + 10n – 8n – 80 = 0
⇒ n(n + 10) – 8(n + 10) = 0
⇒ (n + 10)(n – 8) = 0
⇒ n = -10 କିମ୍ଚ‍।
ଏଠାରେ n = 8 ଗ୍ରହଣୀୟ କିନ୍ତୁ n = -10 ଗ୍ରହଣୀୟ ନୁହେଁ । 
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 8 ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 120° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା n ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac{2 n-4}{n}\) × 90° = 120°
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2 n-4}{n}\) ସମକୋଣ ।
⇒ (2n – 4) 9 = 12n
⇒ 18n – 36 = 12n
⇒ 6n = 36
⇒ n = 6
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 6 ।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 120° ।
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° – 120° = 60° ।
n-ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{360^{\circ}}{n}\)
⇒ \(\frac{360^{\circ}}{n}\) = 60° 
⇒ 60° n = 360° 
⇒ n =\(\frac{360^{\circ}}{60}\) = 6
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 6 ।

Question 8.
(n – 1) ସଂଖ୍ୟକ ଏବଂ (n + 2) ସଂଖ୍ୟକ ସୁଷମ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର 6° ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ‘n’ ର ମାନ 13 ହେବ ।
ସମାଧାନ:
n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{360^{\circ}}{n}\)

⇒ n² + n – 2 = 180
⇒ n² + n – 182 = 0
⇒ n² + 14n – 13n – 182 = 0
⇒ n (n + 14) – 13(n + 14) = 0
⇒ (n + 14) (n- 13) = 0
⇒ n + 14 = 0 ବା n – 13 = 0
⇒ n = -14   ଅସମ୍ଭବ ∴ n = 13

Question 9.
ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 140 । ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରମାଣର ଅନୁପାତ 1 : 2 : 3 : 4 ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ 160° ।
ସମାଧାନ:
n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ ।
ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 5 – 4) × 90 = 540° 
ପଞ୍ଚଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ = 140°
ମନେକର ଅନ୍ୟ 4ଟି କୋଣର ପରିମାଣ x°, 2x°, 3x° ଓ 4x° ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x + 2x° + 3x° + 4x° + 140° = 540°
⇒ 10x = 400 ⇒ x = 40°
∴ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ = 4x° = 4 × 40° = 160°

Question 10.
ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର AD, ∠CDE କୁ ଦୁଇଭାଗ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ m∠ADE : m∠ADC = 1 : 2 ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର A͞D, ∠CDE କୁ ଦୁଇଭାଗ କରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠ADE : m∠ADC = 1 : 2 ।
ପ୍ରମାଣ : ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2 \times 5-4}{5}\) × 90 = \(\frac{6}{5}\) × 90° = 108°
AE = ED
⇒ m∠EAD = m∠EDA
m∠AED = 108° = m∠EDC
AAED ରେ m∠EAD = m∠ADE = \(\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}\) = \(\frac{72^{\circ}}{2}\) = 36°
m∠ADC = m∠EDC – m∠ADE = 108° – 36° = 72°
∴ m∠ADE : m∠ADC = 36° : 12°
⇒ m∠ADE : m∠ADC = 1 : 2
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(b)

Question 1.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(a) Δ ABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 75° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
m∠A = 40°, m∠B = 75°
⇒ Δ ABCର m∠C = (180 – 40 – 75)° = 65°
m∠B > m∠C > m∠A
⇒ AC > AB > BC
∴ ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ AC ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ BC ।

(b) Δ ABC ରେ m∠A = 110°, m∠B = 20° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କେଉଁ ବାହୁଟି କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ?
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠A = 110°, m∠B = 20° ∴ m∠C = (180 – 110 – 20)° = 50°
m∠A > m∠C > m∠B
⇒ BC > AB > AC
∴ AC କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।

(c) Δ ABC ରେ m∠B = 90° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କେଉଁ ବାହୁଟି ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ?
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠B = 90° ।
⇒ m∠C < 90° ଓ m∠A < 90°
∴ ∠B ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ AC ବାହୁଟି ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ।

(d) Δ ABC ରେ m∠A = m∠B + m∠C ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ କେଉଁଟି ?
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠A = m∠B + m∠C
ଆମେ କଣ୍ଙ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
⇒ m∠A = m∠B + m∠C = 90°
∴ ∠A ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ BC ର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।

(e) Δ ABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 50° । ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଉକ୍ରମରେ ସଜାଇ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 50° ⇒ m∠C = 180° – 40° – 50° = 90°
∴ m∠C > m∠B > m∠A
⇒ AB > AC > BC

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି, ଏହାର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
ବୃହତ୍ତର

(b) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର, ଏହାର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
କ୍ଷୁଦ୍ରତର

(c) ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି, ଏହାର ପରିସୀମାଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
କ୍ଷୁଦ୍ରତର

(d) ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା, ଏହାର ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟିଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
ବୃହତ୍ତର

(e) ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମିପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
କ୍ଷୁଦ୍ରତର

Question 3.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠CBD > m∠BCE ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ AB > AC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଚିତ୍ରରେ m∠CBD > m∠BCE
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB > AC
ପ୍ରମାଣ : m∠CBD > m∠BCE
⇒ m∠A + m∠ACB > m∠A + m∠ABC
(∵ ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ)
⇒ m∠ACB > m∠ABC ⇒ AB > AC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 4.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ = PR । ଦର୍ଶାଅ ଯେ PS > PQ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଚିତ୍ରରେ PQ = PR
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PS > PQ
ପ୍ରମାଣ : PQ = PR ⇒ m∠PRQ = m∠PQR … (i)
m∠PQR > m∠PSQ
(∵ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣଠାରୁ ବୃହତ୍ତର)
⇒ m∠PQR >m∠PSR ⇒ m∠PRQ > m∠PSR (∵ m∠PRQ = m∠PQR)
⇒ m∠PRS > m∠PSR ⇒ PS > PR
⇒ PS > PQ (∵ PQ = PR)

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ A͞D, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ (i) AB > BD (ii) AC > CD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ A͞D, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AB > BD ଏବଂ (ii) AC > CD
ପ୍ରମାଣ : Δ ADC ରେ m∠ADB > m∠CAD
m∠ADB > m∠BAD (∵ m∠BAD = m∠CAD)
AB > BD … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, Δ ABD ରେ m∠ADC > m∠BAD
m∠ADC > m∠CAD (∵ m∠CAD = m∠BAD)
AC > CD … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 6.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PR > PQ ଏବଂ P͞S, ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ x > y ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PR > PQ । P͞S, ∠P ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : x > y
ପ୍ରମାଣ : PQR ରେ PR > PQ ⇒ m∠POS > m∠PRS … (i)
APQS ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠PSR = m∠PQS + m∠QPS
APSR ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠PSQ = m∠PRS + m∠RPS
କିନ୍ତୁ (i) ରୁ m∠PQS > m∠PRS
⇒ m∠PQS + m∠QPS > m∠PRS + m∠RPS (∵ m∠QPS = m∠RPS)
⇒ m∠PSR > m∠PSQ ⇒ x > y
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ > PR, \(\overrightarrow{\mathrm{QS}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠Q ଓ ∠R ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ SQ > SR ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ > PR ।
\(\overrightarrow{\mathrm{QS}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠Q ଓ ∠R ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : SQ > SR
ପ୍ରମାଣ : PQ > PR ⇒ m∠PRQ > m∠PQR
\(\frac{1}{2}\)m∠PRQ > \(\frac{1}{2}\)m∠PQR ⇒ m∠SRQ > m∠SQR
⇒ SQ > SR
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠B = 90° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : A͞C, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
ପ୍ରମାଣ : m∠ABC = 90°
⇒ m∠BAC +m∠ACB = 90°
∴ m∠ABC > m∠BAC ⇒ AC > BC … (i)
ପୁନଣ୍ଚ, m∠ABC > m∠ACB ⇒ AC > AB … (ii)
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ A͞C ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.
PQRS ଚତୁର୍ଭୁଜରେ P͞S ଓ Q͞R ଯଥାକ୍ରମେ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) m∠PQR > m∠PSR
(ii) m∠QRS > m∠SPQ ଏବଂ
(iii) m∠P + m∠S < m∠Q + m∠R
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : PQRS ଚତୁର୍ଭୁଜରେ P͞S ଓ Q͞R ଯଥାକ୍ରମେ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠PQR > m∠PSR
(ii) m∠QRS > m∠SPQ ଏବଂ
(iii) m∠P + m∠S < m∠Q + m∠R
ଅଙ୍କନ : S͞Q ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ PSQ ରେ m∠PQS > m∠PSQ
(:: P͞S ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ)
Δ QSR ରେ m∠SQR > m∠QSR
(: Q͞R କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ)
⇒ m∠PQS + m∠SQR > m∠PSQ + m∠QSR
⇒ m∠PQR > m∠PSR … (i)
ସେହିପରି P͞R ଅଙ୍କନ କରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ଯେ, 
m∠QRS > m∠SPQ … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠PQR + m∠QRS > m∠PSR + m∠SPQ
⇒ m∠Q + m∠R > m∠S + m∠P
⇒ m∠S + m∠P < m∠Q + m∠R … (iii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
Δ ABC ର AD, BE ଓ CF ଉଚ୍ଚତାତ୍ରେୟ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB + AC > 2AD
(ii) AB + BC + AC > AD + BE + CF
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର A͞D ⊥ B͞C, BE ⊥ AC ଏବଂ CF ⊥ AB
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AB + AC > 2AD
(ii) AB + BC + AC > AD + BE + CF
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ରେ AB > AD ଏବଂ Δ ADC ରେ AC > AD
⇒ AB + AC > 2AD … (i)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ, AC + BC > 2CF ଏବଂ AB + BC > 2BE
∴ AB + AC + AC + BC + AB + BC > 2AD + 2CF + 2BE
⇒ 2(AB + AC + BC) > 2(AD + BE + CF)
⇒ AB + AC + BC > AD + BE + CF … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
Δ ABC ର AD, BE ଏବଂ CF ମଧ୍ଯମାତ୍ରୟ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB + AC > 2AD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : (i) Δ ABC ରେ AD ମଧ୍ୟମା ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + AC > 2AD
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ଉପରେ M ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = DM ହେବ । CM ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CDM ଦ୍ବୟରେ BD = CD (ଦତ୍ତ),
AD = DM (ଅଙ୍କନ) ଏବଂ m∠ADB = m∠CDM (ପ୍ରତୀପ)
Δ ABD ≅ Δ CDM => AB = CM … (i)
ବର୍ଭମାନ Δ ACM ରେ AC + CM > AM
AC + CM > 2AD => AC + AB > 2AD … (i) ରୁ
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AB + AC + BC > AD + BE + CF
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର AD, BE ଓ CF ମଧ୍ଯମାତ୍ରୟ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB+ AC + BC > AD + BE + CF 
ପ୍ରମାଣ : (i) ରେ ପ୍ରମାଣିତ ଯେ, AB + AC > 2AD
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ, 
AB + BC > 2BE ଏବଂ BC + AC > 2BF
∴ AB + AC + AB + BC + BC + AC > 2AD + 2BE + 2CF
⇒ 2(AB + AC + BC) > 2(AD + BE + CF)
⇒ AB + AC + BC > AD + BE + CF … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
(i) BO + CO < AB + AC
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BO + CO < AB + AC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BO}}\), A͞C କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ MOC ରେ OM + MC > CO, Δ ABM ରେ AB + AM > BM
∴ AB + AM + MC + OM > CO + BM ⇒ AB + AC + OM > CO + BO + OM
⇒ AB + AC > CO + BO ⇒ BO + CO < AB + AC … (i)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AO + BO + CO < AB + AC + BC ଏବଂ
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AO + BO + CO < AB + AC + BC
ପ୍ରମାଣ : (i) ରେ ପ୍ରମାଣିତ BO + CO < AB + AC
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ,
AO + CO < AB + BC ଏବଂ AO + BO < AC + BC
⇒ BO + CO + AO + CO + AO + BO < AB + AC + AB + BC + AC + BC
⇒ 2(AO + BO + CO) < 2(AB + AC + BC)
⇒ AO + BO + CO < AB + AC + BC … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) AO + BO + CO > \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC)
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AO + BO + CO > \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC)
ପ୍ରମାଣ : Δ AOB ରେ AO + BO > AB, Δ BOC ରେ BO + CO > BC
Δ AOC ରେ AO + CO > AC
∴ AO + BO + BO + CO + AO + CO > AB + BC + AC
⇒ 2(AO + BO + CO) > AB + BC + AC
⇒ AO + BO + CO > \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC) … (iii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ Δ ABC ରେ AB > AC ଏବଂ AD = AC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) m∠ACD = \(\frac{1}{2}\) (m∠B + m∠C)
(ii) m∠BCD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C – m∠B)
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB > AC ଏବଂ AD = AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠ACD = \(\frac{1}{2}\) (m∠B + m∠C)
(ii) m∠BCD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C – m∠B)
ପ୍ରମାଣ : (i) Δ ADC ରେ AD = AC
⇒ m∠ADC = m∠ACD ⇒ 2m∠ADC = 2m∠ACD
⇒ m∠ADC + m∠ADC = 2m∠ACD
⇒ m∠ADC + m∠DBC + m∠DCB = 2m∠ACD
⇒ (m∠ACD + m∠DCB) + m∠DBC = 2m∠ACD (∵ m∠ADC = m∠ACD)
⇒ m∠C + m∠B = 2m∠ACD
⇒ m∠ACD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C + m∠B) … (i) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପୁନଣ୍ଚ, m∠BCD = m∠ACB – m∠ACD
⇒ 2m∠BCD = 2m∠ACB – 2m∠ACD
⇒ 2m∠BCD = 2m∠ACB – m∠ACD – m∠ACD = 2m∠ACB – m∠ACD – m∠ADC
= 2m∠ACB – m∠ACD – (m∠DBC + m∠DCB)
= 2m∠ACB – m∠ACD – m∠DBC – m∠DCB
= 2m∠ACB – (m∠ACD + m∠DCB) – m∠DBC
= 2m∠ACB – m∠ACB – m∠DBC = m∠ACB – m∠DBC = m∠C – ∠B
m∠BCD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C – m∠B) … (ii) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) AB + BC + CD > AD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + BC + CD > AD
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB + BC > AC … (1)
Δ ADC ରେ AC + CD > AD … (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗକଲେ AB + BC + AC + CD > AC + AD
⇒ AB + BC + CD > AD (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରୁ AC ବାଦଦେଲେ) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AB + BC + CD + AD > AC + BD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + BC + CD + AD > AC + BD
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB + BC > AC … (1)
Δ BDC ରେ BC + CD > BD … (2)
Δ ADC ରେ AD + CD > AC … (3)
Δ ADB ରେ AD + AB > BD … (4)
( 1), (2), (3) ଓ (4) କୁ ଯୋଗକଲେ
AB + BC + BC + CD + AD + CD + AD + AB > AC + AC + BD + BD
⇒ 2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD)
⇒ AB + BC + CD + AD > AC + BD (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AB + BC + CD + AD > AC + BD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + BC + CD + AD > 2AC
ପ୍ରମାଣ : ABC Δରେ AB + BC > AC … (1)
ସେହିପରି ADC Δରେ AD + CD > AC … (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗକଲେ AB + BC + CD + AD > AC + AC
⇒ AB + BC + CD + AD > 2AC (ପ୍ରମାଣିତ)

 

Question 15.
Δ ABC ରେ AC > AB ଏବଂ A͞D ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ m∠BAD > m∠CAD ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AC > AB । A͞D, Δ ABC ର ଏକ ମଧ୍ୟମା ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BAD > m∠CAD
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ଉପରେ M ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = DM ।
CM ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CMD ଦ୍ବୟରେ BD = CD,
AD = DM ଏବଂ m∠ADB = m∠CDM (ପ୍ରତୀପ)
∴ Δ ABD ≅ ACMD ⇒ AB = CM ଏବଂ m∠CMD = m∠BAD
∴ Δ ACM ରେ AC > CM (∵ AC > AB ଦତ୍ତ)
⇒ m∠CMD > m∠CAD
⇒ m∠BAD > m∠CAD (∵ m∠CMD = m∠BAD) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ‘O’ ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ (କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଭିନ୍ନ) ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ‘O’ ଏକ ବିନ୍ଦୁ । ଯାହା କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ନୁହେଁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD
ପ୍ରମାଣ : Δ AOB ରେ OA + OB > AB … (i)
Δ AAD ରେ OA + OD > AD … (ii)
Δ ADC ରେ OD + OC > CD … (iii)
Δ ABC ରେ OB + OC > BC … (iv)
(i), (ii), (iii) ଓ (iv) କୁ ଯୋଗକଲେ
OA + OB + OA + OD + OD + OC + OB + OC > AB + AD + CD + BC
⇒ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) OA + OB + OC + OD > AC + BD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ‘O’ ଏକ ଅନ୍ତସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : OA + OB + OC + OD > AC + BD
ପ୍ରମାଣ : Δ AOC ରେ OA + OC > AC … (1)
Δ BOD ରେ OB + OD > BD … (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗକଲେ
OA + OC + OB + OD > AC + BD
OA + OB + OC + OD > AC + BD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠PAX = m∠QAY ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, PA +AQ < PB + BQ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠PAX = m∠QAY ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PA + AQ < PB + BQ
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\) ଉପରେ R ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି P – A – R ଓ AQ = AR ହେବ ।
ପ୍ରମାଣ : m∠PAX = m∠BAR (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠PAX = m∠QAY (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠QAY = m∠BAR
∴ Δ ABQ ଓ Δ ABR ମଧ୍ୟରେ
AQ = AR (ଅଙ୍କନ)
m∠QAY = m∠BAR (ପ୍ରମାଣିତ)
A͞B ସଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ
Δ ABQ ≅ Δ ABR (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ BQ = BR
Δ PBR ରେ PR < PB + BR
⇒ PA + AR < PB + BR
⇒ PA + AQ < PB + BQ (∵ AR = AQ ଓ BR = BQ) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ  AB = AC ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AF > AE ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ  AB = AC
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AF > AE
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
m∠ABC = m∠ACB
Δ DFC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠FCB > m∠CFD
⇒ m∠ACB > m∠CFD ⇒ m∠ACB > m∠AFE … (i)
[7 m∠AFE = m∠CFD (ପ୍ରତୀପ)]
⇒ m∠ABC > m∠AFE (∵ m∠ABC = m∠ACB)
ପୁନଶ୍ଚ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠AEF > m∠ABC
m∠AEF > m∠ACB (∵ m∠ABC = m∠ACB)
m∠AEF > m∠AFE [∵ (i) ରୁ]
⇒ AF > AE (ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(a)

Question 1.
ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।
(i) Δ ABC ଓ Δ POR ସର୍ବସମ ହେବେ ଯଦି
(a) AB = PQ, AC = QR, m∠B = m∠Q
(b) AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠R
(c) AB = PQ, AC = PR, m∠A = m∠P
(d) AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠Q
ସମାଧାନ:
AB = PQ, AC = PR, m∠A = m∠P; AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠Q

(ii) Δ ABC ଓ Δ DEF ସର୍ବସମ ହେବେ ଯଦି
(a) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DF
(b) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DE
(c) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, BC = DE
(d) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AC = DF
ସମାଧାନ:
m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DF

(iii) Δ ABC ଓ Δ DE ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜରେ m∠A = m∠D ଓ AB = DE ହେଲେ ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସର୍ଭଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ?
(a) BC = EF
(b) m∠ACB = m∠DFE
(c) AC = DF
(d) m∠ABC = m∠DEF
ସମାଧାନ:
m∠ABC = m∠DEF

(iv) Δ ABC ଓ Δ POR ସର୍ବସମ ହେଲେ, ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ହେବ ?
(a) AB = PQ, BC = QR, m∠C = m∠R
(b) BC = PQ, CA = QR, m∠A= m∠P
(c) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠P
(d) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q
ସମାଧାନ:
AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q

(v) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ର ଅନୁସାରେ m∠BAD : m∠ADB ହେଉଛି,

(a) 2 : 1
(b) 3 : 1
(c) 1 : 2
(d) 1 : 3
ସମାଧାନ:
3 : 1

Question 2.
ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ କେଉଁ ସର୍ଭରେ Δ ABC ଓ Δ POR ସର୍ବସମ ହେବେ ?
(i) AB = PQ, BC = QR, m∠C = m∠R
(ii) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q
(iii) BC = PQ, CA = QR, m∠A = m∠P
(iv) m∠P = m∠B = 90°, PQ = AB, PR = BC
(v) PQ = AB, PR = AC, A ଓ P ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
(vi) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠R
ସମାଧାନ:
(ii) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
(iv) m∠P = m∠B = 90°, PQ = AB, PR = BC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
(v) PQ = AB, PR = AC, A ଓ P ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
(vi) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠R (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)

Question 3.
(i) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 100° ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC, m∠A = 100° ।
ନିର୍ମେୟ : Δ ABC ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ ।
ଡତ୍ତର : m∠A + m∠B + m∠C = 180°
⇒ 100° + m∠B + m∠B = 180° (∵ m∠B = m∠C)
⇒ 2m∠B = 80° ⇒ m∠B = 40°
∴ ΔABC ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ 40° ।

(ii) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ 45° ହେଲେ ଏହାର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଏବଂ m∠B = m∠C = 45°
ନିର୍ମେୟ : ∠BAC ର ପରିମାଣ ।
ଡତ୍ତର : m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 45° + 45° = 180° (∵ m∠B = m∠C = 45°)
m∠A = 180° – 90° = 90°
∴ ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 90° ।

Question 4.
Δ ABC ରେ AC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ AB କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ AB = BD + DC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର ACର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ DE, AB କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ,
ଅର୍ଥାତ୍ DE = E͞C ଓ D͞E ⊥ AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = BD + DC
ଅଙ୍କନ : ED ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADE ଓ Δ DEC ମଧ୍ୟରେ AE = CE (ଦତ୍ତ )
m∠DEA = m∠DEC = 90° (DE ⊥ AC)
DE ସାଧାରଣ ବାହୁ ।
∴ Δ ADE = Δ CDE (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ AD ≅ CD
AB = AD + BD = CD + BD (∵ AD = CD)
AB = BD + DC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 5.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC = BC
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠A = m∠B = m∠C = 60° 
AB = AC ⇒ m∠B = m∠C 
ସେହିପରି AC = BC = m∠A = m∠B 
∴ m∠A = m∠B = m∠C
କିନ୍ତୁ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
∴ m∠A = m∠B = m∠C = \(\frac{180^{\circ}}{3}\) = 60°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 6.
(i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ଅର୍ଥାତ୍ m∠ABD = m∠ACE ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ଅର୍ଥାତ୍ AB = AC ।
ପ୍ରମାଣ : ∠ABD = ∠ACE
m∠ABD + m∠B= 180° = m∠ACE + ∠C  (∵ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
m∠B = m∠C (∵ ∠ABD = m∠ACE) 
AB = AC ଅର୍ଥାତ୍ Δ ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
  (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) Δ ABCରେ AB = AC ହେଲେ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ।
B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ବୟ ∠ABD ଓ ∠ACE ଅଟେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  m∠ABD = m∠ACE
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ACB = m∠ABC
(ସମାନ ବାହୁର ବିପରୀତ କୋଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ)
⇒ m∠ABD + m∠ABC = m∠ACB + m∠ACE = 180°  (∵ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
⇒ m∠ABD = m∠ACE (∵ m∠ABC = m∠ACB)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
Δ ABC ରେ m∠A = 72° ଏବଂ m∠B = 2m∠C ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠A = 72° ଏବଂ m∠B = 2m∠C ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ସମଦିବାହୁ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
⇒ 72° + 2m∠C + m∠C = 180° (∵ m∠B = 2m∠C)
⇒ 3m∠C = 108° – 72° = 108° ⇒ m∠C = 36°
∴ m∠B = 180° – (m∠A + m∠C) = 180° – (72° + 36°)
= 180° – 108° = 72°
∴ m∠A = m∠B ⇒ BC = AC ⇒ Δ ABC ସମଦିବାହୁ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = AC ଏବଂ BO = CO, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ∠ABO ≅ ∠ACO ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଏବଂ OB = OC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ∠ABO ≅ ∠ACO ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC ⇒ m∠ABC = m∠ACB … (i)
Δ OBC ରେ OB = OC (ଦତ୍ତ) ⇒ m∠OBC = m∠OCB … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠ABC – m∠OBC = m∠ACB – m∠OCB
⇒ m∠ABO = m∠ACO
⇒ ∠ABO = ∠ACO (ପ୍ରମାଣିତ)

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଏବଂ BO = CO ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ∠ABO ≅ ∠ACO ।
ଅଙ୍କନ : Δ ABO ଓ Δ ACO ମଧ୍ୟରେ 
∴ AB = AC (ଦତ୍ତ) , BO = CO (ଦତ୍ତ) ଏବଂ A͞O ସାଧାରଣ ବାହୁ ।
Δ ABO ≅ Δ ACO (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ m∠ABO = m∠ACO ⇒ ∠ABO ≅ ∠ACO

Question 9.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = AC, m∠CAD = 160°, m∠BCE = 40° । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, BE = BC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁରେ m∠CAD = 160° ଏବଂ  m∠BCE = 40° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BE = BC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ର ବହିଃସ୍ଥ ∠CAD ର ପରିମାଣ 160° ।
ବହିଃସ୍ଥ m∠CAD = m∠ACB + m∠ABC
m∠CAD = 2m∠ABC (m∠ACB = m∠ABC ∵ AB = AC)
⇒ 160° = 2m∠ABC ⇒ m∠ABC = 80° = m∠ACB
ପୁନଶ୍ଚ Δ CBE ରେ m∠ABC = m∠BCE + m∠CEB
⇒ 80° = 40° + m∠CEB ⇒ m∠CEB = 40°
m∠BCE = m∠CEB = 40° ⇒ BE = BC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
Δ ABC ରେ AB = AC ଓ A͞D ⊥ B͞C । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, BD = DC ଓ m∠BAD = m∠CAD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଓ A͞D ⊥ B͞C ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BD = DC ଓ m∠BAD = m∠CAD ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ ADC  ମଧ୍ୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
m∠ADB = m∠ADC (ସମକୋଣ) ଓ AD ସାଧାରଣ ବାହୁ ।
∴ Δ ABD ≅ Δ ADC (ସ-କ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ BD = CD ଏବଂ m∠BAD = m∠CAD
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = PQ, BC = QR ଏବଂ m∠ABX = m∠PQY । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, Δ ABC ≅ Δ PQR ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁରେ AB = PQ, BC = QR ଏବଂ m∠ABX = m∠PQY ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ≅ Δ PQR ।
ପ୍ରମାଣ : m∠ABX + m∠ABC = 180° ଏବଂ m∠PQY + m∠PQR = 180°
m∠ABX + m∠ABC = m∠PQY +m∠PQR
⇒ m∠ABC = m∠PQR (∵ m∠ABX = m∠PQY)
Δ ABC ଓ Δ PQR ଦ୍ଠୟରେ AB = PQ, m∠ABC = m∠PQR ଏବଂ BC = QR
∴ Δ ABC ≅ Δ PQR (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ A͞B ଓ C͞D ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ  ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ A͞D || B͞C ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : A͞B ଓ C͞D ରେଖାଖଣ୍ଡ ଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
A͞B ଓ C͞D ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି,
ଅର୍ଥାତ୍ AO = BO ଏବଂ CO = DO ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : A͞D || B͞C
ପ୍ରମାଣ  : Δ AOD ଓ Δ BOC ଦ୍ଠୟରେ m∠AOD = m∠BOC 
AO = BO (ଦତ୍ତ) ଏବଂ DO = CO (ଦତ୍ତ)
∴ Δ AOD = Δ BOC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ m∠DAO = m∠CBO କିନ୍ତୁ ଏ ଦ୍ବୟ ଏକାନ୍ତର କୌଣହେତୁ AD || BC 
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AC କଣ୍ଠ ∠A ଓ ∠C କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥୁଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AB = AD ଏବଂ CB = CD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ A͞C  କଣ୍ଠ, m∠BAC = m∠DAC ଓ m∠BCA = m∠DCA ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = AD ଏବଂ CB = CD
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ଏବଂ Δ ADC ଦ୍ଠୟରେ
m∠BAC = m∠DAC (ଦତ୍ତ), A͞C ସାଧାରଣ ବାହୁ
ଏବଂ m∠BCA = m∠DCA (ଦତ୍ତ)
∴ Δ ABC = Δ ADC (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ AB = AD ଏବଂ CB = CD
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
Δ ABC ରେ A ବିନ୍ଦୁରୁ B͞C ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ B͞C କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥୁଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ A͞D ⊥ B͞C ଓ BD = DC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ଅର୍ଥାତ୍ AB = AC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଏବଂ Δ ADC ଦ୍ଠୟରେ BD = CD (ଦତ୍ତ)
A͞D ସାଧାରଣ ବାହୁ ଏବଂ m∠ADB = m∠ADC (ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମକୋଣ)
∴ Δ ABD ≅ Δ ADC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
∴ AB = AC (ଅନୁରୂପ ବାହୁ) ⇒ Δ ABCଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ବୃତ୍ତ ଅଛି, m∠BAD = m∠BCE ଏବଂ AB = BC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁରେ m∠BAD = m∠BCE ଏବଂ AB = BC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABD ≅ Δ CBE
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CBE ଦ୍ଠୟରେ
m∠ABD = m∠CBE (ସାଧାରଣ)
AB = BC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ m∠BAD = m∠BCE (ଦତ୍ତ)
Δ ABD ≅ Δ CBE (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ AD = CE
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ O, P͞Q  ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । P͞A ଏବଂ Q͞B, A͞B ଉପରେ ଲମ୍ବ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ A͞P = B͞Q ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ O, P͞Q ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ଅର୍ଥାତ୍ PO = OQ ।
P͞A ⊥ AB ଏବଂ Q͞B ⊥ A͞B
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AP = BQ
ପ୍ରମାଣ : Δ APO ଏବଂ Δ BQO ମଧ୍ୟରେ PO = OQ (ଦତ୍ତ)
m∠PAO = m∠QBO (ସମକୋଣ) ଏବଂ m∠AOP = m∠BOQ (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
Δ APO ≅ Δ BQO (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା) ⇒ AP = BQ
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
Δ ABC ରେ AB = AC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଏହାର ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC,
B͞D ⊥ A͞C ଓ CE ⊥ AB ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : B͞D ≅ C͞D
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ ACE ଦ୍ଵୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ) 
m∠BAD = m∠CAE (ସାଧାରଣ)
 m∠ADB = m∠AEC = 90°
Δ ABD ≅ Δ ACE ⇒ BD ≅ CD
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 18.
Δ ABC ରେ AB = AC । ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
BO = CO ଏବଂ \( \overrightarrow{\mathrm{AO}}\), ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC । \( \overrightarrow{\mathrm{BO}}\) ଏବଂ \( \overrightarrow{\mathrm{CO}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠B ଓ ∠C ର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ । ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ AC ଓ AB କୁ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) BO = CO
(ii) m∠BAO = m∠CAO;
ଅର୍ଥାତ୍ \( \overrightarrow{\mathrm{AO}}\), ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରମାଣ : m∠ABC = m∠ACB (∵ AB = AC)
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠ABC = \(\frac{1}{2}\)m∠ACB
⇒ m∠OBC = m∠OCB ⇒ OB = OC … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, Δ ABO ଏବଂ Δ ACO ଦ୍ବୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
m∠ABO = m∠ACO (∵ B͞O ଏବଂ C͞O ଯଥାକ୍ରମେ ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ)
ଏବଂ OB = OC ∴ Δ ABO ≅ Δ ACO
⇒ m∠BAO = m∠CAO ଅର୍ଥାତ୍ \( \overrightarrow{\mathrm{AO}}\), ∠A ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 19.
Δ ABC ରେ ∠B ସମକୋଣ । A͞C କର୍ପୂର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ BD = \(\frac{1}{2}\)AC l
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠B = 90° ଏବଂ
D, A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଅର୍ଥାତ୍ AD = DC l
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BD = \(\frac{1}{2}\)AC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\) ଉପରେ ‘E’ ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି
B – D – E ଓ BD = DE l
C͞E ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ EDC ଦ୍ୱୟରେ AD = DC (∵ D, A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
BD = DE (ଅଙ୍କନ) ଏବଂ m∠ADB = m∠EDC (ପ୍ରତୀପ) 
∴ Δ ABD ≅ Δ EDC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ AB = EC ଏବଂ m∠ABD = m∠CED
କିନ୍ତୁ m∠ABD = m∠CED (ଏକାନ୍ତର)
⇒ AB || CE ⇒ m∠ABC + m∠ECB = 180° ⇒ m∠ECB = 90°
Δ ABC ଓ Δ ECB ଦ୍ୱୟରେ AB = CE (ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରମାଣିତ)
B͞C ସାଧାରଣ ବାହୁ ଏବଂ m∠ABC = m∠ECB = 90°
∴ Δ ABC ≅ Δ ECB (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ AC = BE ⇒ AC = 2BD ⇒ BD = \(\frac{1}{2}\)AC

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : Δ ABCରେ ∠B ସମକୋଣ । A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ଅର୍ଥାତ୍ A
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BD = \(\frac{1}{2}\)AC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\) ଉପରେ E ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି BD = DE ହେବ ।
AE ଓ C͞E ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AD = CD (ଦତ୍ତ) ଓ BD = DE (ଅଙ୍କନ) ।
ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
କିନ୍ତୁ m∠ABC = 90° ହେତୁ ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
BE = AC (ଆୟତଚିତ୍ରର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)BE = \(\frac{1}{2}\)AC ⇒ BD = \(\frac{1}{2}\)AC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 20.
କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତାତ୍ରୟ ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ A͞D ⊥ B͞C, C͞E ⊥ A͞B, BF ⊥ AC ଏବଂ AD = CE = BF ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = BC = AC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଏବଂ Δ BCE ଦ୍ଵୟରେ
m∠ABD = m∠CBE (ସାଧାରଣ)
m∠ADB = m∠CEB = 90° ଏବଂ AD = CE (ଦତ୍ତ) 
∴ Δ ABD ≅ Δ BCE (କୋ-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା) ⇒ AB = BC
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ, Δ BFC ≅ Δ ADC ⇒ BC = AC
∴ AB = BC = AC
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 21.
ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏହାର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ ∠A ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\), B͞C କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ 
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = AC ଅର୍ଥାତ୍ A ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ଉପରେ E ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି A – D – E ଏବଂ AD = DE | C͞E ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CDE ଦ୍ଵୟରେ AD = DE (ଅଙ୍କନ)
BD = DC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ m∠ADB = m∠CDE (ପ୍ରତୀପ)
∴ Δ ABD = Δ CDE (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ AB = CE ଏବଂ m∠BAD = m∠CED … (i)
m∠BAD = m∠CAD (ଦତ୍ତ)
m∠CED = m∠CAD ⇒ AC = CE … (ii)
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ AB = AC

(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 22.
Δ ABC ଓ Δ DEF ରେ X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ B͞C ଓ E͞F ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । AB = DF, BC = EF ଓ AX = DY ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, Δ ABC ≅ Δ DEF ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : X, B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ Y, B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, AX = DY, AB = DF ଏବଂ BC = EF ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ≅ Δ DEF 
ପ୍ରମାଣ : Δ ABX ଓ Δ DFY ମଧ୍ୟରେ, AB = DF, AX = DY ଏବଂ BX = FY
(∵ BC = FE ଏବଂ X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ B͞C ଓ F͞E ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
∴ Δ ABC ≅ Δ DEF (ବା-ବା-ବା ସର୍ବସମତା )
⇒ m∠ABX = m∠DFY ⇒ m∠ABC = m∠DFE
ଟର୍ଭମାନ Δ ABC ଓ Δ DFE ଦ୍ଵୟରେ, AB = DF, BC = FE ଏବଂ m∠ABC = m∠DFE
∴ Δ ABC = Δ DFE (ବା-କୋ-ବା ସ୍ଵୀକାର୍ଯ୍ୟ) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 23.
Δ ABC ରେ AB = AC । X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ A͞B ଓ A͞C ଉପରିସ୍ଥ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AX = AY ।
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, CX = BY ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC । A͞B ଓ A͞C ଉପରିସ୍ଥ X ଓ Y ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AX = AY ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : CX = BY
ପ୍ରମାଣ : Δ ABY ଏବଂ Δ ACX ଦ୍ଵୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
AY = AX (ଦତ୍ତ) , m∠BAY = m∠CAX (ସାଧାରଣ କୋଣ)
∴ Δ ABY ≅ Δ ACX (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ BY = CX ⇒ CX = BY
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 24.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = CD ଓ AC = BD । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ AO = DO ଓ BO = CO ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = CD, AC = BD ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AO = DO ଏବଂ BO = CO ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ACB ଏବଂ Δ DBC ଦ୍ୱୟରେ 
AB = CD (ଦତ୍ତ), AC = BD (ଦତ୍ତ) ଏବଂ C͞B (ସାଧାରଣ ବାହୁ)
∴ Δ ACB ≅ Δ DBC (ବା-କୋ-ବା ସ୍ଵୀକାର୍ଯ୍ୟ)
⇒ m∠CAB = m∠CDB ଓ m∠ABC = m∠DCB
⇒ m∠OBC = m∠OCB ⇒ BO = CO
⇒ AB = CD (ଦତ୍ତ) ⇒ AO + BO = CO + DO ⇒ AO = DO (∵ BO = CO)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 25.
Δ ABC ରେ AB = AC । ∠ABC ଓ ∠ACB କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ  ଦର୍ଶାଅ ଯେ, Δ OBC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ।
∠ABC ଓ ∠ACB କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ OBC ସମଦ୍ବିବାହୁ । ଅର୍ଥାତ୍ OB = OC ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC
⇒ m∠ACB = m∠ABC (ସମାନ ବାହୁର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ସମାନ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠ACB = \(\frac{1}{2}\)m∠ABC ⇒ m∠OCB = m∠OBC (ଦତ୍ତ)
⇒ OB = OC
ଅର୍ଥାତ୍ OBC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 26.
Δ ABC ରେ AB ଓ AC ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ଏପରି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = AE ଏବଂ DB = EC । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, DE || BC ।
ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB ଓ AC ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ 
ଯେପରିକି AD = AE ଓ DB = EC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DE || BC ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADE ରେ AD = AE (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ADE = m∠AED (ଭୁମି ସଂଲଗ୍ଶ କୋଣ)
AD + BD = AE + EC ⇒ AB = AC ⇒ m∠B = m∠C
Δ ADE ରେ m∠A + m∠ADE + m∠AED = 180°
m∠A + 2m∠ADE = 180° (∵ m∠ADE = m∠AED) … (i)
Δ ABC ରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 2m∠B = 180° (m∠C = m∠B) … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠A + 2m∠ADE = m∠A + 2m∠B
2m∠ADE = 2m∠B ⇒ m∠ADE = m∠B
କିନ୍ତୁ ଏହି କୋଣଦ୍ଵୟ ଏକାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି ।
∴ DB = EC ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(d)

Question 1.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଭୁଲ ଉକ୍ତ ପାଖରେ ‘✗’ ଚିହ୍ନ ଏବଂ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଖରେ ‘✓’ ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।
(a)କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମକୋଣୀ ।
ସମାଧାନ:
✓

(b) କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ।
ସମାଧାନ:
✓

(c) ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ।
ସମାଧାନ:
✓

(d) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜରେ ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ରହିପାରିବ ।
ସମାଧାନ:
✓

(e) ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 180° ।
ସମାଧାନ:
✓

(f) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରର ପରିପୂରକ ।
ସମାଧାନ:
✗

(g) ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥକୋଣ ସର୍ବଦା ଏକ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ।
ସମାଧାନ:
✗

(h) ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥକୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
✓

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ 30° ହେଲେ, ଅନ୍ୟଟିର ପରିମାଣ ________ । 
ସମାଧାନ:
60°

(b) ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 130° । ଏହାର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ 75° ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
55°

(c ) ΔABC ରେ m∠A = 55° ଏବଂ m∠B = 75° ହେଲେ ∠C ର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
50°

(d) କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
180°

(e) ΔABC ରେ m∠A = 90°, m∠B = 2 m∠C ହେଲେ ∠Cର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
30°

(f) ΔABC ରେ AB = AC, m∠A = 60° ହେଲେ m∠B =  ________ ।
ସମାଧାନ:
60°

(g) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 120° ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଦୁଇକୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
30°

(h) ΔABC ରେ AB = AC, m∠B = 30° ହେଲେ ∠A ର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
120°

Question 3.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ‘x’ ଚିହ୍ନିତ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
(i)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ACD = m∠ABC + m∠BAC
⇒ 130° = x + 70°
⇒ x = 130 – 70° = 60°

(ii)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠DCE = m∠ACB = 50° (ପ୍ରତୀପ)
ΔABC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ABF = m∠A + m∠ACB
⇒ 125° = x + 50°
⇒ x = 125° – 50° = 75°

(iii)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACD + m∠ACB = 180°  (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
⇒ 125° + m∠ACB = 180°
⇒ m∠ACB = 180° – 125° = 55°
ΔABC ରେ m∠BAC = 125° – 45° = 80°
⇒ ପୁନଣ୍ଚ m∠FAB + m∠BAC + m∠CAE = 180°
⇒ 60° + 80° + x = 180°
⇒ 140° + x = 180°
⇒ x = 180° – 140° = 40°

(iv)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACD + m∠ACB = 180°
⇒ 132° + m∠ACB = 180°
⇒ m∠ACB = 180° – 132° = 48°
ΔABC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠EAB = m∠ABC + m∠ACB
⇒ 126° = x + 48°
⇒ x = 126° – 48° = 78°

(v)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠DOC = m∠AOB = 45° (ପ୍ରତୀପ)
ΔAOB ରେ  m∠ABO = 180° – (80° + 45°)
= 180° – 125° = 55°
AB || CD ଏବଂ BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠ABO = m∠ODC = 50° (ଏକାନ୍ତର)

(vi)

ସମାଧାନ:
\(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || BC ଏବଂ BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠EDB = m∠DBC = 30° (ଏକାନ୍ତର)
m∠DAC = m∠DBC + m∠ACB = 30° + 50° = 80
m∠BAC = 180° – m∠DAC = 180° – 80° = 100°

(vii)

ସମାଧାନ:
ΔABC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ACD = m∠A + m∠B = 70° + 56° = 126°
ମାତ୍ର m∠ACE = m∠ECD (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ACE + m∠ECD = m∠ACD
⇒ 2m∠ECD = 126° ⇒ 2x = 126°
⇒ x = \(\frac{126°}{2}\) = 63°

Question 4.
ΔABCର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ O । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : O, ΔABCର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AO}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ΔABO ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠BOE = m∠BAO + m∠ABO … (i)
ΔACO ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠COE = m∠OAC + m∠OCA … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ ସମୀକରଣ (ii)କୁ ଯୋଗକଲେ
⇒ m∠BOE + m∠COE = m∠BAO + m∠ABO + m∠OAC + m∠ACO
⇒ m∠BOC = (m∠BAO + m∠OAC) + (m∠ABO + m∠ACO)
⇒ m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ  ଚିତ୍ରରୁ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, a° + b° = x° + y° ।

ସମାଧାନ:
ମନେକରାଯାଉ ∠BCD = c° ଓ ∠DAB = d°
a° + c° = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
b° + d° = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
ଯୋଗକକେ a° + b° + c° + d° = 180° + 180° = 360° … (i)
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର  x° + c° + y° + d° = 360° … (ii)
(ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 360°) 
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ 
a° + b° + c° + d° = x° + c° +y° + d° ⇒ a° + b° = x° + y° (ପ୍ରମାଣିତ)
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : BD ଅଙ୍କନ କର ।
ΔADB ରେ ବହିଃସ୍ଥ b° = m∠ADB + m∠ABD
ΔCDB ରେ ବହିଃସ୍ଥ a° = m∠CDB + m∠CBD
∴ a° + b° = (m∠ADB + m∠CDB) + m∠ABD + m∠CBD
= m∠ADC + m∠ABC = y° + x°
∴ a° + b° = x° + y°

Question 6.
ΔABC ରେ ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AD, BC କୁ D) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠ABC + m∠ACE = 2m∠ADC ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABCରେ ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AD, BC କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁଛି । 
ΔABCର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ Cରେ ∠ACE କୋଣ ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠ABC + m∠ACE = 2m∠ADC
ପ୍ରମାଣ : ΔABD ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ADC = m∠ABD + m∠BAD
⇒ m∠ADC = m∠ABD + m∠CAD
[∵ m∠BAD = m∠CAD ଦତ୍ତ]
⇒ m∠ABD = m∠ADC – m∠CAD … (i)
ΔACD ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ACE = m∠CAD + m∠ADC … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗକଲେ,
m∠ABD + m∠ACE = m∠ADC – m∠CAD + m∠CAD + m∠ADC
⇒ m∠ABD + m∠ACE = m∠ADC + m∠ADC
⇒ m∠ABD + m∠ACE = 2m∠ADC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
ΔABC ରେ m∠B = 90° । BD ⊥ AC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠ABD = m∠ACB ଏବଂ m∠BAD = m∠DBC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ∠B ସମକୋଣ ଏବଂ BD ⊥ AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠ABD = m∠ACB
(ii) m∠BAD = m∠DBC
ପ୍ରମାଣ : (i) m∠ABC = 90° (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ABD + m∠DBC = 90° (କୋଣ ସମଷ୍ଟି ସ୍ୱାକା୍ଯ) … (i)
ΔBDC ରେ m∠BDC = 90° (ଦତ୍ତ)
m∠DBC + m∠DCB = 90° (∵ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180°) … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii)ରୁ
⇒ m∠ABD + m∠DBC = m∠DBC + m∠DCB
m∠ABD = m∠DCB
⇒ m∠ABD = m∠ACB
 (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) m∠ABC = 90° (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ABD + m∠DBC = 90° (କୋଣ ସମଷ୍ଟି ସ୍ୱାକା୍ଯ) … (i)
ΔABD ରେ m∠DBC = 90° (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠BAD + m∠ABD = 90° (∵ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180°) … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii)ରୁ
m∠ABD + m∠DBC = m∠BAD + m∠ABD
⇒ m∠DBC = m∠BAD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ΔABC ରେ D͞E || B͞C, m∠ABC = 60° ଏବଂ m∠DEC = 135° ହେଲେ, ∠Aର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ DE || BC, m∠DEC = 135° ଓ m∠DBC = 60° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ∠A ର ପରିମାଣ ।
ପ୍ରମାଣ : DE || BC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ E͞C ଛେଦକ ।
⇒ m∠DEC + m∠ECB = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 135° + m∠ECB = 180°
⇒ m∠ECB = 180° – 135° = 45°
ΔABC ରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 60° + 45° = 180°
⇒ m∠A + 105° = 180°
⇒ m∠A = 180° – 105° = 75°
∴ ∠A ର ପରିମାଣ 75° ।

Question 9.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯୋଡ଼ା କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି, ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ  ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ABC ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ । m∠B + m∠C > m∠A, m∠A + m∠C > m∠B, m∠A + m∠B > m∠C
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ΔABC ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ।
ପ୍ରମାଣ : ΔABC ରେ m∠B + m∠C > m∠A (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠A + m∠B + m∠C > m∠A + m∠A (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ m∠A ଯୋଗକରାଗଲେ ।)
⇒ 180° > 2m∠A ⇒ \(\frac{180^{\circ}}{2}\) > \(\frac{2 \mathrm{~m} \angle \mathrm{A}}{2}\)
⇒ 90° > m∠A ⇒ m∠A < 90° … (i)
ସେହିପରି m∠A + m∠C > m∠B
⇒ m∠A + m∠B + m∠C > m∠B + m∠B (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ m∠B ଯୋଗକରାଗଲେ ।)
⇒ 180° > 2m∠B ⇒ \(\frac{180^{\circ}}{2}\) > \(\frac{2 \mathrm{~m} \angle \mathrm{B}}{2}\)
⇒ 90° > m∠B ⇒ m∠B < 90° … (ii)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ m∠C < 90° … (iii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ ∠A < 90°, ∠B < 90° ଓ ∠C < 90°
∴ ΔABC ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
A ABCରେ m∠ABC = m∠ACB, ∠BACର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ BC କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ AD, BC ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ m∠ABC = m∠ACB ଏବଂ AD, m∠Aର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AD ⊥ BC
ପ୍ରମାଣ : ΔABCରେ m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB = 180°
⇒ m∠ABC + m∠BAD + m∠CAD + m∠ACB = 180°
ମାତ୍ର m∠ABC = m∠ACB (ଦତ୍ତ)
ଏବଂ m∠BAD = m∠CAD (∠BACର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ AD)
⇒ 2m∠ABC + 2m∠BAD = 180°
⇒ 2(m∠ABC + m∠BAD) = 180°
⇒ m∠ABC + m∠BAD = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
⇒m∠ABD + m∠BAD = 90°
ΔABD ରେ m∠ABD + m∠BAD + m∠ADB = 180°
⇒ 90° + m∠ADB = 180° ⇒ m∠ADB = 180° – 90° = 90
⇒ A͞D ⊥ B͞C
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ΔABCରେ ∠Bର ଅନ୍ତଃସମଖଣ୍ଡକ ଏବଂ C ବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ବହିଃସ୍ଥକୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକର ଛେଦବିନ୍ଦୁ E ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠BEC = m∠A ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ∠Bର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ BE ଓ ∠C ବହିଃସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ CE ପରସ୍ପରକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

Question 12.
ΔABCରେ ∠ABC ଓ ∠ACB ର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
m∠BOC = 90° + \(\frac{1}{2}\)m∠A ।
ସମାଧାନ:

Question 13.
ΔABCରେ ∠B ଓ ∠Cର ବହିଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରକୁ ୦ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
m∠BOC = 90° – \(\frac{1}{2}\)m∠A ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ∠B ଓ ∠Cର ବହିଃ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ ଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O।

Question 14.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PS, ∠Pର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ PT ⊥ OR ।
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠TPS = \(\frac{1}{2}\)(m∠Q – m∠R)
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔPQR ରେ PS, ∠Pର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ PT ⊥ OR ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠TPS = \(\frac{1}{2}\)(m∠Q – m∠R)
ପ୍ରମାଣ : PT ⊥ OR (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠PTQ = m∠PTR = 90°
ΔPQT ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠PTS = m∠Q + m∠QPT … (i)
ΔPTS ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠PTQ = m∠TPS + m∠PST … (ii)
ମାତ୍ର m∠PTQ = m∠PTS = 90°
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠Q + m∠QPT = m∠TPS + m∠PST
⇒ m∠Q + m∠QPT + m∠TPS = m∠TPS + m∠PST + m∠TPS
(ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ m∠TPS ଯୋଗ କରାଗଲେ ।)
⇒ m∠Q + m∠QPS = 2m∠TPS + m∠PST
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠PST + m∠QPS
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠PSQ + m∠SPR (∵ PS, ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠SPR – m∠R + m∠SPR
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠R (∵ ΔPSR ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠PSQ = m∠SPR + m∠R)
⇒ m∠TPS = \(\frac{1}{2}\)(m∠Q – m∠R)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ΔABC ରେ BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ O ଏବଂ BQ = AQ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ∠BAC ସମକୋଣ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ Q ଅର୍ଥାତ୍ BQ = AQ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  m∠BAC = 90°
ପ୍ରମାଣ : BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ Q । ⇒ BQ = CQ
BQ = AQ (ଦତ୍ତ) ⇒ AQ = BQ = CQ
⇒ m∠BAQ = m∠ABQ = m∠ACQ = m∠QAC
(Δର ଦୁଇଟି ବାହୁ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କର ବିପରୀତ କୌଣମାନ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ହେବେ ।)
ΔABCରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180° (Δର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ m∠BAQ + m∠CAQ + m∠ABQ + m∠ACQ = 180°
⇒ 2m∠BAQ + 2m∠CAQ = 180°
⇒ 2(m∠BAQ + m∠CAQ) = 180°
⇒ m∠BAQ + m∠CAQ = \(\frac{180°}{2}\)
⇒ m∠BAC = 90°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ΔABCର O ଏକ ଅନ୍ତସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ । ଯଦି m∠OAB = m∠OCA ହୁଏ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ m∠A0C + m∠BAC = 180° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ‘O’ ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ଅର୍ଥାତ୍ m∠OAB = m∠OCA ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  mZAOC + m∠BAC = 180°
ପ୍ରମାଣ : ΔAOC ରେ m∠AOC + m∠OCA + m∠OAC = 180° (Δର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ m∠AOC + m∠BAO + m∠OAC = 180° [∵ m∠OAB = m∠OCA (ଦତ୍ତ)]
⇒ m∠AOC + m∠BAC = 180°
(ପ୍ରମାଣିତ)