Prasanna

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 8 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 8 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

ଉପକ୍ରମଣିକା (Introduction):
(1) କୌଣସି ଏକ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବନାର ପରିମାପରୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ବ (Probability Theory) ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିଲା । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି ଏକ ଜୁଆ ଖେଳ । ଏଥ‌ିରେ ଆମେ ବାଜି ଜିତିପାରୁ କିମ୍ବା ହାରିପାରୁ ।
(2) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି ଏକ ଜୁଆ ଖେଳ । ଏଥରେ ଆମେ ବାଜି ଜିତିପାରୁ କିମ୍ବା ହାରିପାରୁ ।
(3) ବାଜି ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବନା ସଂପର୍କିତ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ Blaise Pascal (1623 – 1662) ଓ Pierre de Formal (1601–1655) କରିଥିଲେ । ଏହି ଦୁଇ ଗଣିତଜ୍ଞଙ୍କଦ୍ଵାରା ସମାଧାନର ସୂତ୍ରରୁହିଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ବ ଷୋଡ଼ଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଜନ୍ମଲାଭ କରିଥିଲେ ।
(4) ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ବର ପ୍ରଥମ ପୁସ୍ତକ, ଯାହା 1654 ମସିହାରେ ପ୍ରକାଶିତ ହୋଇଥିଲା, ତାହାର ରଚୟିତା ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନବିତ୍ Christiaan Huygens 
(5) ଯେଉଁ ଗଣିତଜ୍ଞସମୂହ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ଵକୁ ଆଧୁନିକ ଗଣିତର ରୂପ ପ୍ରଦାନ କରିଛନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ A. N. Kalmogorov, A. A. Markov ଙ୍କ ନାମ ଉଲ୍ଲେଖଯୋଗ୍ୟ ।
(6) ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନ, ଜୀବବିଜ୍ଞାନ, ଅର୍ଥନୀତି, ଯୋଜନା ପ୍ରକରଣ, ପାଣିପାଗର ପୂର୍ବାନୁମାନ, ବାଣିଜ୍ୟ ବିଭାଗ ଆଦିରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତତ୍ତ୍ଵର ବହୁଳ ପ୍ରୟୋଗ ଅଛି ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା :
(i) ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା ପରୀକ୍ଷଣ (Experiments) ଓ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ (Observations) ଉପରେ ଆଧାରିତ । 
(ii) ପ୍ରକୃତ ପରୀକ୍ଷଣ କରି ଏବଂ ସେଥୁରୁ ଉଦ୍ଭବ ଫଳାଫଳର ପ୍ରକୃତ ଉପସ୍ଥାପନା କରାଯାଇ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ସଂଖ୍ୟାରେ ମାପ କରାଯାଇଥିବାରୁ ଏହାକୁ Empirical probability କୁହାଯାଏ ।
(iii) ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ (Tossing a coin) ଓ ଲୁଡୁ ଗୋଟି ଗଡ଼ାଇବା (Throwing of dice) ଡ଼ାଇସ୍ ଫୋପାଡିବା ଆମେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସ୍ପଷ୍ଟ ଧାରଣା ପାଇପାରିବା ।
(iv) ମୁଦ୍ରାଟିକୁ ଟସ୍କେଲେ Head (H) କିମ୍ବା Tail (T) ଏହାର ଯେକୌଣସି ପାର୍ଶ୍ବ ଉପରକୁ ଆସି ପଡ଼ିବ । ଟସ୍ ପୂର୍ବରୁ ଆମେ କହିପାରିବା କି ? ପଡ଼ିଥ‌ିବା ପାର୍ଶ୍ଵଟି Head ହେବ କି Tail ହେବ ? କାରଣ ଏହି ଫଳାଫଳ କୌଣସି ନିୟମର ଅଧୀନ ନୁହେଁ ।

ମନେରଖ :
{ମୁଦ୍ରା ଟସ୍‌ରେ ମୁଦ୍ରାଟି ସର୍ବଦା ଅପ୍ରବଣ ଓ ସମତୁଲ୍ୟ । ଏହି ବିଶେଷଣ ଦ୍ଵୟକୁ ବ୍ୟବହାର ନ କଲେ ମଧ୍ୟ ଆମେ ମୁଦ୍ରାଟିକୁ ଅପ୍ରବଣ ଓ ସମତୁଲ୍ୟ ବୋଲି ଧରିନେବା ।}

ଘଟଣା (Event) : ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ଉପୁଜୁଥ‌ିବା ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳ ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟକ ଫଳାଫଳମାନଙ୍କୁ ବିଚାର କରିବାଦ୍ୱାରା ଗୋଟିଏ ଘଟଣା ଉପୁଜିଥାଏ । ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ ମୁଦ୍ରା ଟସ୍‌ରେ ଫଳାଫଳସ୍ଵୟ H କିମ୍ବା T, ଯାହା ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଘଟଣା ଅଟେ ।

ପ୍ରଥମ ପରୀକ୍ଷଣ, ମୁଦ୍ରାଟସ୍ (Tossing a coin) :
(1) ପ୍ରଥମେ ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଦଶଥର ଟସ୍ କରିବା । ଆମେ ଜାଣିଛେ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ H କିମ୍ବା T ପଡ଼ିବ । 
(2) ଦଶଥର ଟସ୍କେଲେ ପଡୁଥିବା H ଏବଂ Tକୁ ଠିକ୍ ଭାବେ ଲିପିବଦ୍ଧ କରିବା ।
(3) ଟସ୍‌ଦ୍ବାରା ପଡ଼ିଥ‌ିବା ସମୁଦାୟ H ପାର୍ଶ୍ଵ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ମୁଦ୍ରାର ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତକୁ P(H) କୁହାଯାଏ ।

• ଅର୍ଥାତ୍ P(H) = \(\frac{ସମୁଦାୟ H ସଂଖ୍ୟା}{ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟା}\) [P(H) = \(\frac{1}{2}\)]
  ସେହିପରି ସମୁଦାୟ T ପାର୍ଶ୍ଵ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତକୁ P(T) କୁହାଯାଏ
• ଅର୍ଥାତ୍ P(T) = \(\frac{ସମୁଦାୟ T ସଂଖ୍ୟା}{ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ ସଂଖ୍ୟା}\) [P(T) = \(\frac{1}{2}\)]
  Hର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଓ Tର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସମଷ୍ଟି = P(H) + T(H) = 1

ଦ୍ଵିତୀୟ ପରୀକ୍ଷଣ :
(i) ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ 15 ଥର ଗଡ଼ାଇବା । ପ୍ରତ୍ୟେକ ଥର 1, 2, 3,4, 5 ଓ 6 ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଗୋଟିର ଉପର ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଦୃଶ୍ୟମାନ ହେବ ।
(ii) 0 < P(E) < 1 ଅର୍ଥାତ୍ ଯେକୌଣସି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଫଳର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 0 ଓ 1 ମଧ୍ୟସ୍ଥ ଏକ ସଂଖ୍ୟା; ଯାହା ସମାନ ।
(iii) ଗୋଟିଏ ପରୀକ୍ଷଣରେ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 1 ସହ ସମାନ ।
(iv) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାରମ୍ବାରତା ସହିତ ଲୁଡୁଗୋଟିର ଅନୁପାତକୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(1), P(2) ….. P(6) କୁହାଯିବ ।
(v) ସେହିପରି ଆମେ n ଥର ଲୁଡୁଗୋଟି ଗଡ଼ାଇ ଏହାର ଫଳାଫଳ 1, 2, 3, 4, 5 ଓ 6 ର ବାରମ୍ବାରତା ସ୍ଥିର କରିବା ।
(vi) ମନେକର ଆମେ ଲୁଡୁଗୋଟି n ଥର ଗଡ଼ାଇ 4 ର ବାରମ୍ବାରତା m ପାଇଲୁ । ଏଠାରେ P(4) = \(\frac{m}{n}\)

• ସୁତରାଂ E ଏକ ଘଟଣା ହେଲେ ଏହାରା ସମ୍ଭାବ୍ୟତା P(E) = \(\frac{m}{n}\)
• (ଏଠାରେ m = ଫଳର ବାରମ୍ବାରତା, n = ସମୁଦାୟ ଗୋଟି ଗଡ଼ିବାର ସଂଖ୍ୟା ।)

ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ :
(i) ପରୀକ୍ଷଣରେ ଯଦି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଫଳ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଘଟେ । ତେବେ ଉକ୍ତ ଫଳର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 1 ସହ ସମାନ ହେବ ।
(ii) ପରୀକ୍ଷଣରେ ଯଦି କୌଣସି ଫଳ କେବେ ହିଁ ଉପୁଝି ନଥାଏ । ତେବେ ଏହାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଶୂନ ।
ତେଣୁ 0 ≤ P(E) ≤ 1

ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ବ ଉପରେ ଆଧାରିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଧାରଣା :

{ସେଟ୍ ମାଧ୍ୟମରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସଂଜ୍ଞା ଓ ଧାରଣା ଗଣିତଜ୍ଞ Kalmogorov ପ୍ରଦାନ କରିଥିଲେ}

(i) ମନେକର ଏକ ଅପ୍ରବଣ ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କରାଗଲା । ଫଳ H ଓ T ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ପଡ଼ିବ । ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳମାନଙ୍କର ସେଟ୍ S ହେଲେ, S = {H, T} ହେବ ।
(ii) ଏଠାରେ Sକୁ ସାମ୍ପଲ୍ ସେସ୍ (Sample space) କୁହାଯାଏ । ସେହିଭଳି ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଦୁଇଥର ଟସ୍ କଲେ ପରୀକ୍ଷଣର ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S = {HH, HT, TH, TT} ହେବ ।
(iii) ଏକ ନିରପେକ୍ଷ ଲୁଡୁ ଗୋଟିକୁ ଭୂମିରେ ଗଡ଼ାଇଲେ ଫଳାଫଳ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ହେବ । ଏଠାରେ ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳମାନଙ୍କ ସେଟ୍ ଅର୍ଥାତ୍ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ।

ମନେରଖ :

{ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ 2 ଥର ଟସ୍ କରିବା ଓ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଏକସଙ୍ଗେ ଥରେ ଟସ୍ କରିବା ଏହି ଦୁଇ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ ସମାନ}

ଘଟଣା (Event):
(i) ଏକ ପରୀକ୍ଷଣରେ ସାମ୍ପଲ୍ ସ୍ପେସ୍ S ହେଲେ ଏହାର ଯେକୌଣସି ଉପସେଟ୍ (subset) E ଏକ ଘଟଣା । ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ ଘଟଣା E ⊂ S
(ii) ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାକୁ ଥରେ ଟସ୍ କଲେ ଘଟଣା E : ଶୂନ୍ୟସେଟ୍ Φ, {H}, {T}, (H, T}ରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ । E = Φ
(iii) E = Φ କୁ ବାକ୍ୟରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ E ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ H ଓ Tରୁ କୌଣସିଟି ନୁହେଁ ।
(iv) E = S କୁ ବାକ୍ୟରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ, E : : ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ H କିମ୍ବା T ।
(v) E = {H} ର ଅର୍ଥ ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ H ଏବଂ E = {T}ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ମୁଦ୍ରାଟି ଥରେ ଟସ୍ ହେତୁ ଫଳ T

ସଂଜ୍ଞା : ଏକ ପରୀକ୍ଷଣରେ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ S ହେଲେ Sର ଯେକୌଣସି ଉପସେଟ୍ E ଏକ ଘଟଣା ଓ E ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା
⇒ P(E) = \(\frac{E ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା}{S ର ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା}\) = \(\frac{|E|}{|S|}\)
ମନେକର ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ ପରୀକ୍ଷଣରେ |S| = 2 ⇒ S = {H, T}
⇒ E = {H} ହେଲେ, |E| = 1 ଓ P(E) = \(\frac{|E|}{|S|}\) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ E = {T} ହେଲେ, |E| = 1 ଓ P(E) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ E = Φ ହେଲେ, |E| = 0 ଓ P(Φ) = \(\frac{0}{2}\) = 0, E = S ହେଲେ |S| = 2 ଓ P(S) = \(\frac{2}{2}\) = 1

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ Ex 6(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 6 ଅଙ୍କନ Ex 6(a)

Question 1.
△ABC ରେ BC = 6 ସେ.ମି., m∠A = 45°, ତ୍ରକୁକର ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) BC = 6 ସେ.ମି. ଏବଂ m∠OBC = m∠OCB = 90° – 45° = 45° ନେଇ AOBC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) ଠିକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ OB (କିମ୍ବା OC)କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ A ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି BC ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵ ରେ O ଏବଂ A ବିନ୍ଦୁ ମାନ ଅବସ୍ଥାନ କରିବେ ।

Question 2.
△ABC ରେ AC = 7 ସେ.ମି., m∠B = 60°, ତ୍ରକୁକର ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) AC = 7 ସେ.ମି. ଏବଂ m∠OAC = m∠OCA = 90° – 60° = 30° ନେଇ △OAC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) O କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OA}})\) (କିମ୍ବା \(\overline{\mathrm{OC}})\)) କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ B ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ O ଏବଂ B ଅବସ୍ଥାନ କରିବ । △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 3.
△ABC ରେ AB = 6.5 ସେ.ମି., m∠C= 90°, ତ୍ରକୁକର ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) AB ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6-5 ସେ.ମି. ।
(ii) AB ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ O ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) Oକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OA}})\) ବା \(\overline{\mathrm{OB}})\) କୁ ବ୍ୟାସାର୍ବନେଇ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iv) ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଯେକୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁ C ନେଇ △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 4.
△ABC ରେ m∠A = 120°, BC = 4.5 ସେ.ମି. | ତ୍ରକୁକର ପରିବର ଅନନ କର |
(i) BC= 4.5 ସେ.ମି. ଏବଂ ∠OBC = ∠OCB = 120° – 90° = 30° ନେଇ △OBC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) O କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ OB (କିମ୍ବା OC)କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ A ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି BC ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ O ଏବଂ A ବିନ୍ଦୁମାନ ଅବସ୍ଥାନ କରିବେ ।
(iv) △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।

Question 5.
△ABC ରେ BC = 7 ସେ.ମି., m∠A = 60, AX ମଧ୍ୟମା = 4.5 68. ., ସେ.ମି., ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) BC ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. ।
(ii) B ବିନ୍ଦୁରେ 90° – m∠A = 30° ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ∠OBC ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର, ଯାହାର \(\overrightarrow{\mathrm{BO}}\) କୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ |
(iv) O କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଏବଂ OB ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(v) ‘X’ କୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି XA ( = 4.5 ସେ.ମି.)ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍ଥବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ବୃତ୍ତକୁ A ଓ A’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(vi) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଅଙ୍କନ କରି △ABC ବା A’BC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 6.
△ABC ରେ ∠B ସମକୋଣ । AC = 7 ସେ.ମି., B ବିନ୍ଦୁରୁ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ପ୍ରତିଲମ୍ବ । \(\overline{\mathrm{BD}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେ.ମି. । ତ୍ରିଭୁଜଟି ଅଙ୍କନ କର । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବରେ B ବିନ୍ଦୁର କେତେ ଗୋଟି ଅବସ୍ଥିତି ପାଇଲ ?
Solution:
(i) \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. |
(ii) AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ O ଚିହ୍ନଟ କର । O କୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OA}})\) ବା \(\overline{\mathrm{OC}})\) କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଷ ନେଇ ଅର୍ଥବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) A ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ପ୍ରତି \(\overline{\mathrm{AM}})\) କତ୍ମ ଅଙ୍କନ କରି, AM = BD = 3 ସେ.ମି. ଅଂଶ ଛେଦନ କର ।

(iv) M ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଏକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ତାହା ଅର୍ଥବୃତ୍ତକୁ B ଏବଂ B’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରିବ ।
(v) \(\overline{\mathrm{BA}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କରି △ABC ଏବଂ B’A ଓ B’C ଅଙ୍କନ କରି △AB’C ସମ୍ପୁର୍ଣ୍ଣ କର ।
(ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ B ବିନ୍ଦୁର ଦୁଇଗୋଟି ଅବସ୍ଥିତି ପାଇବ ।)

Question 7.
△ABC ରେ BC = 8 ସେ.ମି., m∠A = 45°, AD ଭଲତା 3 ସେ.ମି. ହେଲେ ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) BC = 8 ସେ.ମି. ଏବଂ m∠OBC = m∠OCB =90° – 45° = 45° ନେଇ △OBC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) Oକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ \(\overline{\mathrm{OB}})\) (କିମ୍ବା \(\overline{\mathrm{OC}})\)୯କୁ) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) B ବିନ୍ଦୁରେ 90° ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ କୋଣ ଅଙ୍କନ କରି, BM = AD = 3 ସେ.ମି. ଅଂଶ ଛେଦନ କର |

(iv) M ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଏକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ବୃତ୍ତକୁ A ଓ A’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(v) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଅଙ୍କନ କରି △ABC ଏବଂ \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}\) ଓ \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C} ଅଙ୍କନ କରି △A’BC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 8.
△ABC ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର m∠B = 60°, AC = 6.5 ସେ.ମି. ଏବଂ \(\overline{\mathrm{AX}})\) ମଧ୍ଯମାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 5 ସେ.ମି. |
Solution:
(i) \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 6.5 ସେ.ମି. ।
(ii) \(\overline{\mathrm{AC}})\) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ଚିହ୍ନଟ କର ।
(iii) D ବିନ୍ଦୁରେ m∠YDC = 30° ଅଙ୍କନ କର ।
\(\overline{\mathrm{DC}})\) ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ଓ ତାହା \(\overrightarrow{\mathrm{DY}}\) କୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(iv) O କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି \(\overline{\mathrm{OD}})\) ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।

(v) Aକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି \(\overline{\mathrm{AX}})\) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ପରିମିତ ଚାପ ପରିବୃତ୍ତକୁ X ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(vi) \(\overrightarrow{\mathrm{CX}}\) ରେଖା ଉପରେ B ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯୋଗକରି BX = CX ଏବଂ C – X – B ହେବ ।
(vii) B, A କୁ ଯୋଗକରି △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 9.
△ABC m∠A = 60°, BC = 7 ସେ.ମି., \(\overline{\mathrm{BE}})\) ⊥ \(\overline{\mathrm{AC}})\), BE = 6.3 ସେ.ମି. ଛେଦନ ଅନନ କର |
Solution:
(i) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. |
(ii) \(\overline{\mathrm{BC}})\) କୁ ଭୂମି ଏବଂ ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 60° ନେଇ ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) \(\overline{\mathrm{BC}})\) କୁ ବ୍ୟାସ ନେଇ ଏକ ଅଦ୍ଧବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।

(iv) Bକୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି \(\overline{\mathrm{BE}})\) ପରିମିତ ବ୍ୟାସାର୍କ୍ (6-3 ସେ.ମି.) ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅର୍ଥବୃତ୍ତକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(v) \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\), ଅଙ୍କନ ପରିବୃତ୍ତ A ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(vi) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଅଙ୍କନ କରି △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କର ।

Question 10.
△ABC ର m∠A =150°, BC = 5 ସେ.ମି., AD ଉଳତା = 3 ସେ.ମି. ତ୍ରକୁକର ପରିବର ଅନନ କର |
Solution:
(i) BC = 5 ସେ.ମି., m∠OBC = 150°- 90° = 60° ନେଇ △OBC ଅଙ୍କନ କର ।
(ii) Oକୁ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ (\(\overline{\mathrm{OB}})\) କିମ୍ବା \(\overline{\mathrm{OC}})\))କୁ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।

(iii) B ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ପତି \(\overline{\mathrm{BX}})\) ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ସେଥୁରୁ BM = AD = 3 ସେ.ମି. ଅଂଶ ଛେଦନ କର ।
(iv) M ବିନ୍ଦୁରେ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଏକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ବୃତ୍ତକୁ À ଓ A’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(v) AB, AC ଅଙ୍କନ କରି △ABC ଏବଂ \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}\) ଓ \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}\) ଅଙ୍କନ କରି △A’BC ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।

Question 11.
△ABC ନର m∠A = 60°, b : c = 2 : 3, BC = 7 ସେ.ମି. | ତ୍ରକୁକର ଅନନ କର |
Solution:
(i) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି. |
(ii) \(\overline{\mathrm{BC}})\) କୁ ଭୂମି ଏବଂ ∠Aର ପରିମାଣ 60° ନେଇ ଏକ ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।
(iii) \(\overline{\mathrm{BC}})\) କୁ 3 : 2 ଅନୁପାତରେ P ବିନ୍ଦୁରେ ଅନ୍ତର୍ବିଭକ୍ତ କର ।
(iv) \(\overline{\mathrm{BC}})\) ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ ବୃତ୍ତକୁ S ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।

(v) \(\overrightarrow{\mathrm{SP}}\) ଅଙ୍କିତ ପରିବୃତ୍ତକୁ A ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(vi) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{AC}})\) ଅଙ୍କନ କରି △ABC ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।

Question 12.
ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର AB = 5.5 ସେ.ମି., କଣ୍ଠ \(\overline{\mathrm{BD}})\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 8 ସେ.ମି. ଓ m∠DAC = 60° |
(i) \(\overline{\mathrm{DC}})\) ଅଙ୍କନ କର ଯାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5-5 ସେ.ମି. ।
(ii) \(\overline{\mathrm{DC}})\) କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ କରି M ବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) \(\overline{\mathrm{MC}})\) କୁ ଭୂମି ଏବଂ 30° ଭୂମି ସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ ନେଇ ଏକ ପରିବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କର ।

(iv) D କୁ କେନ୍ଦ୍ର କରି DR (4 ସେ.ମି. ) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପ ଅଙ୍କିତ ପରିବୃତ୍ତକୁ R ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ ।
(v) \(\overrightarrow{\mathrm{CR}}\) ଉପରିସ୍ଥ A ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି CR = AR ହେବ । \(\overline{\mathrm{AD}})\) ଅଙ୍କନ କର ।
(vi) ବର୍ତ୍ତମାନ A ଏବଂ C କୁ କେନ୍ଦ୍ରକରି ଯଥାକ୍ରମେ \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଏବଂ \(\overline{\mathrm{AD}})\) ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନେଇ ଦୁଇଟି ଚାପ ଅଙ୍କନ କର ଯେପରି ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ B ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବେ ।
(vii) \(\overline{\mathrm{AB}})\) ଓ \(\overline{\mathrm{BC}})\) ଅଙ୍କନ କରି ABCD ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ସମ୍ପୂର୍ଣ କର ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class History Solutions Chapter 5 ଭାରତୀୟ ଜାତୀୟତାବାଦୀ ଆନ୍ଦୋଳନ Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 History Solutions Chapter 5 ଭାରତୀୟ ଜାତୀୟତାବାଦୀ ଆନ୍ଦୋଳନ

୧। ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ ୭୫ଟି ଶବ୍ଦରେ ଦିଅ ।

(କ) ଭାରତରେ ଜାତୀୟତାବାଦର ବିକାଶ ପାଇଁ ସାମାଜିକ, ସାଂସ୍କୃତିକ ଓ ରାଜନୈତିକ ଐକ୍ୟଭାବ କିପରି ଦାୟୀ ଥିଲା ?
Answer:
ସାମାଜିକ ଐକ୍ୟଭାବ :

• ପ୍ରାଚୀନ କାଳରେ ହିମାଳୟଠାରୁ କୁମାରୀକା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଭୂଖଣ୍ଡରେ ବସବାସ କରୁଥିବା ସମସ୍ତ ଅସ୍ଵାସୀ ଭାରତୀୟ ସନ୍ତତି ଭାବରେ ପରିଚିତ ହେଉଥିଲେ ।
• ଭାରତ ବର୍ଷରେ ହିମାଳୟ ପର୍ବତ ଓ ଗଙ୍ଗା, ଯମୁନା ଭଳି ନଦୀଗୁଡ଼ିକୁ ସମସ୍ତେ ପବିତ୍ର ମନେ କରନ୍ତି ।
• ଭାରତର ବିଭିନ୍ନ ସ୍ଥାନରେ ସମସ୍ତ ଧର୍ମର ତୀର୍ଥସ୍ଥାନ ମଧ୍ୟ ରହିଛି ।

ସାଂସ୍କୃତିକ ଐକ୍ୟଭାବ :

• ଜାତି, ଧର୍ମ, ବର୍ଣ୍ଣ ନିର୍ବିଶେଷରେ ସମସ୍ତ ଭାରତୀୟମାନେ ପାଳନ କରୁଥିବା ଉତ୍ସବ, ରୀତି-ନୀତି ତଥା ସାମାଜିକ ପ୍ରଥା ଓ ଚଳଣିରେ ସାମଞ୍ଜସ୍ୟ ଦେଖାଯାଏ ।
• ଖାଦ୍ୟପେୟ ଓ ପୋଷାକପତ୍ରରେ ଆଞ୍ଚଳିକ ଭିନ୍ନତା ଥିଲେ ମଧ୍ୟ ସେଗୁଡ଼ିକର ଆଦର ଦେଶର ସବୁସ୍ଥାନରେ କରାଯାଇଥାଏ ।

ରାଜନୈତିକ ଐକ୍ୟଭାବ :

• ଐତିହାସିକ ଯୁଗର ବିଭିନ୍ନ ପର୍ଯ୍ୟାୟରେ ଏକ ଶାସନାଧୀନ ରହି ଭାରତୀୟମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଐକ୍ୟଭାବ ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥିଲା ।
• ଇଂରେଜ ଶାସନ କାଳରେ ଭାରତର ସମସ୍ତ ଅଞ୍ଚଳ ମଧ୍ୟରେ ରାଜନୈତିକ ଏକତା ଦୃଢ଼ୀଭୂତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଭାରତର ସମସ୍ତ ଦେଶୀୟ ରାଜ୍ୟ ବ୍ରିଟିଶ୍ ଶାସନାଧୀନ ହେବା ଫଳରେ ଭାରତୀୟମାନଙ୍କ ମନରେ ଜାତୀୟତାବାଦ ବୃଦ୍ଧି କରିବାରେ ପରୋକ୍ଷରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିଥିଲା ।

(ଖ) ଭାରତରେ ଜାତୀୟତାବାଦୀ ଆନ୍ଦୋଳନ ପାଇଁ ଇଂରାଜୀ ଭାଷା ଓ ଇଂରେଜ ଶାସନ କିପରି ସହାୟକ ହେଲା ?
Answer:
ଇଂରାଜୀ ଭାଷାର ପ୍ରଭାବ :

• ଇଂରାଜୀ ଭାଷା ଓ ଶିକ୍ଷାର ପ୍ରଚଳନ ଫଳରେ ଇଂରାଜୀ ଶିକ୍ଷିତ ଭାରତୀୟମାନେ ପରସ୍ପର ମଧ୍ୟରେ ଭାବ ବିନିମୟ କରିପାରିଲେ, ଯାହାଫଳରେ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଐକ୍ୟଭାବ ସୃଷ୍ଟି ହେଲା ।
• ଭାରତୀୟ ଶିକ୍ଷିତ ବୁଦ୍ଧିଜୀବୀମାନେ ଆମେରିକାର ସ୍ଵାଧୀନତା ସଂଗ୍ରାମ, ରୁଷ୍ ବିପ୍ଲବ, ଫରାସୀ ବିପ୍ଳବ ଓ ଜର୍ମାନୀ ଏବଂ ଇଟାଲୀ ଏକତ୍ରୀକରଣ ପ୍ରଭୃତି ବିଦେଶୀ ବିଦ୍ରୋହ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ଜ୍ଞାନ ଆହରଣ କଲେ ।
• ପୁନଶ୍ଚ ରୁଷୋ, ଭଲ୍‌ଟାୟାର ଓ ମଣ୍ଡେସ୍କୁଙ୍କ ଦାର୍ଶନିକଙ୍କ ଚିନ୍ତାଧାରା, ପାଶ୍ଚାତ୍ୟ ଗଣତନ୍ତ୍ର, ସ୍ଵାଧୀନତା, ସାହିତ୍ୟ, ଦର୍ଶନ, ରାଜନୀତି ଓ ଇତିହାସ ଭାରତୀୟମାନେ ଜାଣିବାର ସୁଯୋଗ ପାଇଲେ । ତେଣୁ ବିଦେଶୀ ଇଂରେଜ ଶାସନ କବଳରୁ ମୁକ୍ତ ହୋଇ ସେମାନେ ସ୍ଵାଧୀନ ହେବାକୁ ପ୍ରୟାସ କଲେ ।

ଇଂରେଜ ଶାସନର ପ୍ରଭାବ :

• ଇଂରେଜ ଶାସନ କାଳରେ ବେଣ୍ଟିଙ୍ଗ୍‌ଙ୍କଦ୍ୱାରା ଭାରତରେ କେତେକ କୁପ୍ରଥା ଉଚ୍ଛେଦ ଓ ଇଂରାଜୀ ଭାଷା ପ୍ରଚଳନ ଭାରତୀୟମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଜାତୀୟତାଭାବ ସୃଷ୍ଟି କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିଥିଲା ।
• ଗଭର୍ଣ୍ଣର ଜେନେରାଲ୍ ଲର୍ଡ ଡେଲ୍ହାଉସୀଙ୍କଦ୍ୱାରା ଭାରତରେ ରେଳ ଚଳାଚଳ ଓ ଡାକ ବ୍ୟବସ୍ଥା ପ୍ରଚଳନ ଯୋଗୁ ଭାରତର ନେତୃସ୍ଥାନୀୟ ବ୍ୟକ୍ତିମାନେ ପରସ୍ପର ମଧ୍ୟରେ ଯୋଗାଯୋଗ ରକ୍ଷାକରି ନିଜର ସଙ୍ଗଠନ ଦୃଢ଼ କଲେ । ଲର୍ଡ ରିପନ୍‌ଙ୍କଦ୍ୱାରା ପ୍ରଚଳିତ ସ୍ୱାୟତ୍ତ ଶାସନ ବ୍ୟବସ୍ଥା ଭାରତୀୟମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ରାଜନୈତିକ ଚେତନା ସୃଷ୍ଟି କରିଥିଲା ।

(ଗ) ଇଂରେଜମାନଙ୍କର ଦମନମୂଳକ ଶାସନ ପଦ୍ଧତିର ଏକ ବିବରଣୀ ପ୍ରଦାନ କର ।
Answer:
ଇଂରେଜମାନଙ୍କ ଶାସନରେ ପ୍ରାଧାନ୍ୟ ବିସ୍ତାର :

1. ଇଂରେଜ ଶାସନ କାଳରେ ଭାରତୀୟମାନଙ୍କର ଶାସନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଅଂଶଗ୍ରହଣ କରିବାର କୌଣସି ସୁଯୋଗ ନଥିଲା । ଇଂରେଜ ଶାସନମୁଖ୍ୟ ବଡ଼ଲାଟ୍ ବ୍ରିଟିଶ୍ ପାର୍ଲାମେଣ୍ଟଦ୍ୱାରା ପ୍ରଣୀତ ଆଇନ ଅନୁଯାୟୀ ଭାରତରେ ଦମନମୂଳକ ଶାସନ ଚଳାଉଥିଲେ । ବଡ଼ଲାଙ୍କ କାର୍ଯ୍ୟକାରୀ ପରିଷଦ ଓ ବ୍ୟବସ୍ଥାପକ ପରିଷଦରେ ଅଧିକାଂଶ ଇଂରେଜ ସଭ୍ୟ ଥିଲେ ।
2. ‘ପ୍ରଶାସନିକ ସେବା’ ପରୀକ୍ଷା ଇଂଲଣ୍ଡରେ ହେଉଥ‌ିବାରୁ ଗରିବ ମେଧାବୀ ଭାରତୀୟମାନେ ଏହି ସୁଯୋଗରୁ ବଞ୍ଚିତ ହେଉଥିଲେ ।

ଅର୍ଥନୈତିକ ଶୋଷଣ :

1. ଇଂରେଜମାନେ ଅର୍ଥନୈତିକ ଶୋଷଣମୂଳକ ଓ ଦମନମୂଳକ ଶାସନ ଭାରତରେ ଚଳାଉଥିଲେ । ଭାରତୀୟମାନଙ୍କଠାରୁ କର, ରାଜସ୍ଵ ଓ ବାଣିଜ୍ୟ ମାଧ୍ୟମରେ ବହୁତ ଅର୍ଥ ଇଂଲଣ୍ଡକୁ ଚାଲିଯାଉଥିଲା । ଭାରତରୁ କଞ୍ଚାମାଲ ଇଂଲଣ୍ଡକୁ ରପ୍ତାନି ହୋଇ ଇଂଲଣ୍ଡର ଶିଳ୍ପଜାତ ଦ୍ରବ୍ୟ ଭାରତରେ ବିକ୍ରି ହେବାରୁ ଭାରତୀୟ କୁଟୀର ଶିଳ୍ପର ଅବନତି ଘଟିଲା ।
2. ଇଂରେଜ ଶାସନ କାଳରେ ଜମିଦାରମାନେ କୃଷକମାନଙ୍କୁ ଶୋଷଣ କରୁଥିଲେ ଏବଂ ଜମିଜମା ଆଇନଗୁଡ଼ିକ ଚାଷୀମାନଙ୍କ ସ୍ଵାର୍ଥବିରୋଧୀ ଥିଲା ।

ବର୍ଣ୍ଣବୈଷମ୍ୟ ନୀତି :
ଇଂରେଜମାନେ ଭାରତରେ ବର୍ଣ୍ଣବୈଷମ୍ୟ ନୀତି ଅନୁସରଣ କରୁଥିଲେ । ଭାରତୀୟ ବିଚାରପତିମାନେ ଇଂରେଜ ଅପରାଧୀମାନଙ୍କର ବିଚାର କରିପାରୁ ନଥିଲେ । ଶିକ୍ଷିତ ଭାରତୀୟମାନେ ଯୋଗ୍ୟ ହେଲେବି ଉଚ୍ଚ ପଦବୀ ଓ ଚାକିରିରୁ ବଞ୍ଚିତ ହେଉଥିଲେ ।

(ଘ) ଭାରତରେ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର କିପରି ଆବିର୍ଭାବ ଓ ବିକାଶ ହେଲା ?
Answer:
ଆଲାନ୍ ଅକ୍ଟୋଭିଆନ ହ୍ୟୁମ୍‌ଙ୍କ ପରାମର୍ଶ :

• ୧୮୮୫ ମସିହାରେ ଆଲାନ୍ ଅକ୍ସାଭିଆନ ହ୍ୟୁମ୍ ନାମକ ଜଣେ ଅବସରପ୍ରାପ୍ତ ଇଂରେଜ ଶାସନ ତତ୍କାଳୀନ ବଡ଼ଲାଟ ଡଫରିଙ୍କୁ ଭାରତୀୟମାନଙ୍କ ନିମନ୍ତେ ଏକ ସଙ୍ଗଠନର ଆବଶ୍ୟକତା ବିଷୟରେ ଅବଗତ କରାଇଲେ ।
• ହ୍ୟୁମ୍ନଙ୍କ ମତରେ ଏହି ସଙ୍ଗଠନ ସରକାରଙ୍କୁ ଦେଶବାସୀଙ୍କ ଅଭାବ, ଅସୁବିଧା ଓ ଅଭିଯୋଗ ଜଣାଇବ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କୁ ବିଦ୍ରୋହରୁ ନିବୃତ୍ତ କରିବ ।

ଡରଫିନ୍‌ଙ୍କ ଉଦ୍ୟମ :
ଡଫରିନ୍‌ ମଧ୍ୟ ଇଂଲଣ୍ଡ ସରକାରଙ୍କ ଦୋଷତ୍ରୁଟି ଜଣାଇବା ଭଳି ସଙ୍ଗଠନ ଭାରତରେ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ ହୃଦୟଙ୍ଗମ କରି ହ୍ୟୁମ୍‌ଙ୍କୁ ଏ ଦିଗରେ ଉତ୍ସାହିତ କଲେ ।

• ହ୍ୟୁମ୍‌ଙ୍କ ଦିଗ୍‌ଦର୍ଶନରେ ‘ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସ’ ପ୍ରତିଷ୍ଠା ହେଲା ଏବଂ ୧୮୮୫ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୨୮ ଓ ୨୯ ତାରିଖରେ ଏହାର ପ୍ରଥମ ଅଧ‌ିବେଶନ ବମ୍ବେଠାରେ ଅନୁଷ୍ଠିତ ହେଲା ।
• ସମୟାନୁକ୍ରମେ ଶିକ୍ଷିତ ମଧ୍ୟବିତ୍ତ ସମ୍ପ୍ରଦାୟର ଲୋକ, ଓକିଲ, ଡାକ୍ତର, ଲେଖକ ଓ ସାମ୍ବାଦିକ ଆଦି ବୁଦ୍ଧିଜୀବୀ ଓ ସରକାରୀ କର୍ମଚାରୀମାନେ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସରେ ଯୋଗଦେବାରୁ ଏହାର ବିକାଶ ଘଟିଲା ।

(ଙ) ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ନରମପନ୍ଥୀମାନେ କି କି ଦାବି ଉପସ୍ଥାପନ କରିଥିଲେ ?
Answer:
ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ନରମପନ୍ଥୀମାନେ ସ୍ଵଭାବସୁଲଭ ଭଙ୍ଗୀରେ ଅନୁରୋଧ କରି ସେମାନଙ୍କ ଦାବି ଉପସ୍ଥାପନ କରୁଥିଲେ ।

→ ନରମପନ୍ଥୀଙ୍କର ଦାବି :
ସେମାନେ ଇଂରେଜ ସରକାରଙ୍କ ନିକଟରେ କେତେକ ଦାବି ଉପସ୍ଥାପନ କରିଥିଲେ । ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା —
(a) ପ୍ରାଦେଶିକ ଓ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଆଇନ ସଭାରେ ଭାରତୀୟ ପ୍ରତିନିଧୂ ରହିବାର ବ୍ୟବସ୍ଥା କରିବା ।
(b) ଭାରତୀୟ ପ୍ରଶାସନିକ ପରୀକ୍ଷା ଇଂଲଣ୍ଡରେ ହେବା ସହ ଭାରତରେ କରିବାର ବ୍ୟବସ୍ଥା ହେବା ।
(c) ଭାରତୀୟ ପ୍ରଶାସନିକ ପରୀକ୍ଷା ପାଇଁ ଭାରତୀୟ ପରୀକ୍ଷାର୍ଥୀମାନଙ୍କର ବୟସସୀମା ବୃଦ୍ଧି କରିବା ।
(d) ସାମରିକ ଖର୍ଚ୍ଚ କମାଇ ଶିକ୍ଷା, କୃଷି ଓ ଶିଳ୍ପର ଅଧ୍ଵ ବିକାଶ ଘଟାଇବା ।
(e) ଅସ୍ତ୍ରଶସ୍ତ୍ର ଆଇନର ସଂସ୍କାର କରିବା ।

(ଚ) ବଙ୍ଗ ପ୍ରଦେଶ କିପରି ବିଭାଜିତ ହେଲା ?
Answer:
ବଙ୍ଗଳା ପ୍ରଦେଶ ଗଠନ :

• ବଙ୍ଗ, ବିହାର ଓ ଓଡ଼ିଶାକୁ ନେଇ ଗଠିତ ବଙ୍ଗଳା ପ୍ରଦେଶ ବିଶାଳ ଥିଲା । ଏତେବଡ଼ ପ୍ରଦେଶର ପ୍ରଶାସନିକ ଅସୁବିଧା ଅନୁଭବ କରି ତତ୍‌କାଳୀନ ଇଂରେଜ ବଡ଼ଲାଟ୍ ଲର୍ଡ ନାଥାନିଏଲ୍‌ କର୍ଜନ୍ ବଙ୍ଗ ପ୍ରଦେଶ ବିଭାଜନ କଥା ଚିନ୍ତାକଲେ ।
• ବଙ୍ଗର ପୂର୍ବଭାଗକୁ ଆସାମ ସହିତ ମିଶାଇ ଦିଆଗଲା । ଢାକାଠାରେ ଏହାର ରାଜଧାନୀ ରହିଲା । ସେହିପରି ବଙ୍ଗର ପଶ୍ଚିମଭାଗ, ବିହାର ଓ ଓଡ଼ିଶାକୁ ନେଇ ପଶ୍ଚିମବଙ୍ଗ ଗଠିତ ହେଲା । ଏହାର ରାଜଧାନୀ କଲିକତା (କୋଲକାତା)ଠାରେ ରହିଲା ।

ବଙ୍ଗ ଭଙ୍ଗ ନୀତି :
ଫଳରେ ବଙ୍ଗଳା ଭାଷାଭାଷୀ ଲୋକ ଦୁଇଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ ହେଲେ । ବଙ୍ଗର ସାଧାରଣ ଜନତା ଉତ୍‌କ୍ଷିପ୍ତ ହୋଇପଡ଼ିଲେ । ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସ ଏହି ବଙ୍ଗଭଙ୍ଗ ନୀତିକୁ ବିରୋଧ କଲା ।

ବଙ୍ଗ ବିଭାଜନ :
ଭାରତର ଲୋକମାନଙ୍କର ବିରୋଧଭାବକୁ ଇଂରେଜ ସରକାର ଭୂକ୍ଷେପ ନକରି ୧୯୦୫ ଅକ୍ଟୋବର ୧୬ ତାରିଖ ଦିନ ଲର୍ଡ କର୍ଜନ ‘ବଙ୍ଗ ବିଭାଜନ’ ଘୋଷଣା କଲେ ।

ସାମ୍ପ୍ରଦାୟିକତା :
ବଙ୍ଗ ପ୍ରଦେଶରେ ମୁଣ୍ଡ ଟେକୁଥ‌ିବା ତୀବ୍ର ଜାତୀୟତାବାଦକୁ ପ୍ରତିହତ କରିବା ଓ ଭାରତୀୟମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସାମ୍ପ୍ରଦାୟିକ ତିକ୍ତତା ସୃଷ୍ଟିକରିବା ଇଂରେଜ ଶାସକଙ୍କର ବଙ୍ଗ ବିଭାଜନ ନୀତିର ପ୍ରକୃତ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ।

(ଛ) ସ୍ଵଦେଶୀ ଆନ୍ଦୋଳନ କ’ଣ ? ଏହାର ଲକ୍ଷ୍ୟ ଓ ଅଗ୍ରଗତି ଉପରେ ଏକ ବିବରଣୀ ପ୍ରଦାନ କର ।
Answer:
ସ୍ଵଦେଶୀ ଆନ୍ଦୋଳନର ଅୟମାରମ୍ଭ :

• ଲର୍ଡ କର୍ଜନଙ୍କର ବଙ୍ଗ ବିଭାଜନ ଘୋଷଣା ବିରୋଧର ସାରାଦେଶରେ ବିଦ୍ରୋହର ବହ୍ନି ପ୍ରଜ୍ଵଳିକ ହେଲା ଓ ଆନ୍ଦୋଳନ ଚାଲିଲା ।
• ନରମପନ୍ଥୀ ନେତାମାନେ ଇଂରେଜ ଶାସନ ବିରୋଧରେ ପ୍ରକାଶ୍ୟ ଆନ୍ଦୋଳନ ପାଇଁ ମତ ଦେଲେ ଓ ଚରମପନ୍ଥୀ ନେତାମାନେ ଭାରତୀୟମାନଙ୍କର ନ୍ୟାୟୋଚିତ ଅଧିକାର ସାବ୍ୟସ୍ତ କରିବାକୁ ବଳପୂର୍ବକ ଦାବି କଲେ । ଏହା ଫଳରେ ୧୯୦୫ ମସିହାରେ ଭାରତରେ ‘ସ୍ଵଦେଶୀ ଆନ୍ଦୋଳନ’ ଆରମ୍ଭ ହେଲା ।

ସ୍ଵଦେଶୀ ଆନ୍ଦୋଳନର ଲକ୍ଷ୍ୟ :

1. ବିଦେଶୀ ତଥା ବିଲାତ ଦ୍ରବ୍ୟ ବର୍ଜନ କରିବା ।
2. ନିଜ ଦେଶ ଅର୍ଥାତ୍ ଭାରତୀୟ ଉତ୍ପାଦିତ ଦ୍ରବ୍ୟକୁ ଆଦର କରିବା ଓ ବ୍ୟବହାର କରିବା ।
3. ସ୍ଵଦେଶପ୍ରୀତିଭାବ ଉଦ୍ରେକ ଓ ସଞ୍ଚାର କରିବା ।

ସ୍ଵଦେଶୀ ଆନ୍ଦୋଳନର ଅଗ୍ରଗତି :

• ସ୍ଵରାଜମନ୍ତ୍ରରେ ଅଭିମନ୍ତ୍ରିତ ଭାରତୀୟମାନେ ଚାରିଆଡ଼େ ସଭାସମିତି ଓ ଶୋଭାଯାତ୍ରାର ଆୟୋଜନ କଲେ । ଇଂରେଜ ଶାସନ ବିରୋଧରେ ବିଭିନ୍ନ ଜାତୀୟତାବାଦୀ ଧ୍ଵନି ଦିଆଗଲା ।
• ୧୯୦୫ ଅଗଷ୍ଟ ୭ ତାରିଖ ଦିନ କୋଲକାତାର ଟାଉନ୍‌ହଲରେ ଏକ ସଭାରେ ବିଦେଶୀ ଦ୍ରବ୍ୟ ବର୍ଜନ କରିବାପାଇଁ ଏକ ଜାତୀୟ ନୀତି ଗ୍ରହଣ କରାଗଲା । ଫଳରେ ଭାରତୀୟମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଆତ୍ମନିର୍ଭରଶୀଳତା, ଆତ୍ମବିଶ୍ଵାସ ଓ ଆତ୍ମସହାୟତାଭାବ ସୃଷ୍ଟି ଓ ବିକାଶ ହୋଇପାରିଲା ।

୨। ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ସଂକ୍ଷେପରେ ଲେଖ ।

(କ) ‘‘ଲାଲ-ବାଲ-ପାଲ୍’’ କହିଲେ କ’ଣ ବୁଝ ?
Answer:

• ମହାରାଷ୍ଟ୍ରର ଲୋକମାନ୍ୟ ବାଲ୍ ଗଙ୍ଗାଧର ତିଲକ୍, ପଞ୍ଜାବର ଲାଲା ଲଜପତ୍ ରାୟ, ପଶ୍ଚିମବଙ୍ଗର ବିପିନ୍ ଚନ୍ଦ୍ର ପାଲ୍ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ଚରମପନ୍ଥୀ ଗୋଷ୍ଠୀର ନେତା ଥିଲେ ।
• ଏହି ତିନିଜଣ ସଂକ୍ଷେପରେ ‘‘ଲାଲ୍-ବାଲ୍-ପାଲ୍’’ ନାମରେ ପରିଚିତ ଥିଲେ ।

(ଖ) କେଉଁ ବିଦେଶୀ ଲେଖକଙ୍କଦ୍ବାରା ଭାରତୀୟ ଜାତୀୟତାବାଦୀ ଆନ୍ଦୋଳନ ପ୍ରଭାବିତ ହୋଇଥିଲା ?
Answer:
ସାର୍ ଉଇଲିୟମ୍ ଜୋନ୍ସ, ପ୍ରଫେସର ମାକ୍ସମୁଲର, ମୋନିୟର ଉଇଲିୟମ୍‌ ପ୍ରଭୃତି ବିଦେଶୀ ଲେଖକଙ୍କଦ୍ୱାରା ଭାରତୀୟ ଜାତୀୟତାବାଦୀ ଆନ୍ଦୋଳନ ପ୍ରଭାବିତ ହୋଇଥିଲା ।

(ଗ) ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ପ୍ରଥମ ସଭାପତି କିଏ ଥିଲେ ?
Answer:
ଉମେଶ ଚନ୍ଦ୍ର ବାନାର୍ଜୀ ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ପ୍ରଥମ ସଭାପତି ଥିଲେ ।

(ଘ) ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ପ୍ରଥମ ଅବେଶନ କେବେ ଓ କେଉଁଠି ବସିଥିଲା ?
Answer:

• ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସର ପ୍ରଥମ ଅଧ୍ଵବେଶନ ୧୮୮୫ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ୨୮ ଓ ୨୯ ତାରିଖରେ ବସିଥିଲା ।
• ଏହା ବମ୍ବେ (ବର୍ତ୍ତମାନର ମୁମ୍ବାଇ)ର ଗୋକୁଲ୍ ଦାସ୍ ତେଜପାଲ୍ ସଂସ୍କୃତ କଲେଜରେ ବସିଥିଲା ।

(ଙ) ବଡ଼ଲାଟ କେଉଁ ପରିଷଦଦ୍ଵାରା ଶାସନ ପରିଚାଳନା କରୁଥିଲେ ?
Answer:
ବଡ଼ଲାଟ୍ କାର୍ଯ୍ୟକାରୀ ପରିଷଦ ଓ ବ୍ୟବସ୍ଥାପକ ପରିଷଦଦ୍ଵାରା ଶାସନ ପରିଚାଳନା କରୁଥିଲେ ।

୩ । ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତର ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

(କ) ଭାରତରେ ଏକ ଜାତୀୟ ସଙ୍ଗଠନର ଆବଶ୍ୟକତା ଅଛି ବୋଲି ଆଲାନ୍ ଆକ୍ଟାଭିଆନ୍ ହ୍ୟୁମ୍ __________ ଙ୍କୁ ଅବଗତ କରାଇଥିଲେ ।
(ଡଫ୍‌ରିନ୍, ଆନିବେଶାନ୍ତ, କ୍ୟାନିଂ, ଉଇଲିୟମ୍ ବେଣ୍ଟିଙ୍କ୍ )
Answer:
ଡଫ୍‌ରିନ୍

(ଖ) ନିମ୍ନୋକ୍ତଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ _________ ଟି ଡେଲ୍ହାଉସୀଙ୍କ ସମୟରେ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥିଲା ।
(ସିପାହୀ ବିଦ୍ରୋହ, ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସ, ରେଳ ଚଳାଚଳ, ଇଂରାଜୀ ଶିକ୍ଷା)
Answer:
ରେଳ ଚଳାଚଳ

(ଗ) ଲର୍ଡ କର୍ଜନ ___________ ମସିହାରେ ବଡ଼ଲାଟ ହୋଇ ଆସିଥିଲେ ।
(୧୯୦୫, ୧୯୧୪, ୧୮୯୫, ୧୮୯୯)
Answer:
୧୮୯୯

(ଘ) ଗୋପାଲ୍ହରି ଦେଶମୁଖ _______ ଉପରେ ଗୁରୁତ୍ଵ ଦେଉଥିଲେ ।
(ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସ, ସ୍ବଦେଶୀ ଦ୍ରବ୍ୟର ଆବଶ୍ୟକତା, ଦେଶାତ୍ମବୋଧ, ସ୍ଵାଧୀନତା ଆନ୍ଦୋଳନ)
Answer:
ସ୍ବଦେଶୀ ଦ୍ରବ୍ୟର ଆବଶ୍ୟକତା

୪। ରେଖାଙ୍କିତ ଅଂଶ ପରିବର୍ତ୍ତନ ନ କରି ଭ୍ରମ ସଂଶୋଧନ କର ।

(କ) କ୍ୟାସିଂଙ୍କ ସମୟରେ ଭାରତରେ ଇଂରାଜୀ ଭାଷା ଓ ଶିକ୍ଷାର ପ୍ରଚଳନ ହେଲା ।
Answer:
ଉଇଲିୟମ୍ ବେଣ୍ଟିଙ୍ଗ୍‌ଙ୍କ ସମୟରେ ଭାରତରେ ଇଂରାଜୀ ଭାଷା ଓ ଶିକ୍ଷାର ପ୍ରଚଳନ ହେଲା ।

(ଖ) ଇଂରେଜ ଶାସନ କାଳରେ ଭାରତୀୟ ସିଭିଲ ସର୍ଭିସେସ୍ ପରୀକ୍ଷା ଭାରତରେ ହେଉଥିଲା ।
Answer:
ଇଂରେଜ ଶାସନ କାଳରେ ଭାରତୀୟ ସିଭିଲ ସର୍ଭିସେସ୍ ପରୀକ୍ଷା ଇଂଲଣ୍ଡରେ ହେଉଥିଲା ।

(ଗ) ଭାରତର ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସ ୧୮୫୭ରେ ପ୍ରତିଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
Answer:
ଭାରତର ଜାତୀୟ କଂଗ୍ରେସ ୧୮୮୫ରେ ପ୍ରତିଷ୍ଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

(ଘ) ସୁଦେଶୀ ଆନ୍ଦୋଳନ ୧୯୪୨ରେ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥିଲା ।
Answer:
ସ୍ବଦେଶୀ ଆନ୍ଦୋଳନ ୧୯୦୫ରେ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥିଲା ।

୫। ‘କ’ ସ୍ତମ୍ଭ ସହିତ ‘ଖ’ ସ୍ତମ୍ଭର ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥାପିତ କର ।

Answer:

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 7 ପରିସଂଖ୍ୟାନ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 7 ପରିସଂଖ୍ୟାନ

ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଐତିହାସିକ ପୃଷ୍ଠଭୂମି (Historical back-ground) :
(i) ‘ପରିସଂଖ୍ୟାନ’ର ଇଂରାଜୀ ପ୍ରତିଶବ୍ଦ ହେଉଛି Statistics ଏବଂ ଏହି ଶବ୍ଦର ଅର୍ଥ ଲାଟିନ୍ ଶବ୍ଦ Status ଅଥବା ଇଟାଲୀୟ ଶବ୍ଦ Statistics ରୁ ଉଦ୍ଭବ ବୋଲି ମନେ ହୁଏ । ଉପରିସ୍ଥ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଶବ୍ଦର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ‘ରାଜନୈତିକ ଅବସ୍ଥା’ ।
(ii) ରାଜ୍ୟ ଶାସନରେ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ପ୍ରଭୃତ ବ୍ୟବହାର ଯୋଗୁ ଅନେକ ପରିସଂଖ୍ୟାନକୁ ରାଜକୀୟ ବିଜ୍ଞାନ (Science of Kings) ବୋଲି କହିଥା’ନ୍ତି ।
{ସାର୍‌ ରୋନାଲ୍‌ (1890-1962) ପ୍ରଥମେ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ବ୍ୟବହାରର ପରିସରକୁ ବହୁ ପରିମାଣରେ ବଢ଼ାଇ ଦେଇଥ‌ିବାରୁ ତାଙ୍କୁ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଜନ୍ମଦାତା (Father of Statistics) ଆଖ୍ୟା ଦିଆଯାଏ ।}

ପରିସଂଖ୍ୟାନ ସଂଜ୍ଞା – ‘ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟ ସଂଗ୍ରହ, ଏହାର ବିଶ୍ଳେଷଣ ଓ ବ୍ୟାଖ୍ୟା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ବିଜ୍ଞାନ ହିଁ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ।’’
ଅର୍ଥାତ୍ ତଥ୍ୟକୁ ବିଜ୍ଞାନ ସମ୍ମତ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଉପସ୍ଥାପନା କରିବାକୁ ହେବ ବା ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଇ ରଖୁବାକୁ ହେବ । ତା’ପରେ ସେ ସୁସଜ୍ଜିତ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ କରି ତହିଁରୁ ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ପହଞ୍ଚିବାକୁ ହେବ । ଉପରୋକ୍ତ ପର୍ଯ୍ୟାୟମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟଦେଇ କୌଣସି ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଉପନୀତ ହେବା ପ୍ରକ୍ରିୟାହିଁ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ।

ତଥ୍ୟ (Data) :
(1) ‘ତଥ୍ୟ’ କହିଲେ ଆମେ ‘ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟ’ ବୋଲି ବୁଝିବା । ସାଂଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟ (Numerical data) ହେଉଛି ପରିସଂଖ୍ୟାନର ମୂଳଭିଭି । ତଥ୍ୟକୁ ଦୁଇ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି; ଯଥା – ପ୍ରାଥମିକ ତଥ୍ୟ, ପରୋକ୍ଷ ତଥ୍ୟ । 
(2) ପ୍ରାଥମିକ ତଥ୍ୟ – କୌଣସି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଲକ୍ଷ୍ୟକୁ ଆଗ୍‌ରେ ରଖ୍ ସାଧାରଣତଃ ଅନୁସନ୍ଧାନକାରୀମାନେ ପ୍ରତ୍ୟକ୍ଷଭାବରେ ତଥ୍ୟ ସଂଗ୍ରହ କରିଥା’ନ୍ତି । ଏହିପରି ସଂଗୃହୀତ ତଥ୍ୟକୁ ପ୍ରାଥମିକ ତଥ୍ୟ (Primary data) କୁହାଯାଏ । 
(3) ପରୋକ୍ଷ ତଥ୍ୟ – କେତେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମୟ, ସୁବିଧା ବା ଅର୍ଥାଭାବରୁ ପୁସ୍ତକାଗାର, ସରକାରୀ, କାଗଜପତ୍ର ବା ଖବରକାଗଜରୁ ମଧ୍ୟ ବିଭିନ୍ନ ତଥ୍ୟ ସଂଗ୍ରହ କରାଯାଇଥାଏ । ଏଭଳି ତଥ୍ୟକୁ ପରୋକ୍ଷ ତଥ୍ୟ (Secondary data) କୁହାଯାଏ ।
{ସଂଗୃହୀତ ପ୍ରାଥମିକ ବା ପରୋକ୍ଷ ତଥ୍ୟକୁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (Score) କୁହାଯାଏ ।}

ସଂଗୃହୀତ ତଥ୍ୟର ଉପସ୍ଥାପନା (Presentation of data) :
ସଂଗୃହୀତ ତଥ୍ୟ କ୍ରମରେ ନଥିଲେ ତାକୁ ଅପକ୍ଵ ତଥ୍ୟ (Raw data) କୁହାଯାଏ ।
ମନେକର 10 ଜଣ ଛାତ୍ର ଗଣିତରେ 28, 48, 55, 92, 67, 88, 96, 30, 98 ଓ 49 ଏହିପରି ଭାବରେ ରଖୁଛନ୍ତି । ଏଭଳି ପ୍ରଦତ୍ତ ତଥ୍ୟକୁ ଅପକ୍ବ ତଥ୍ୟ କୁହାଯାଏ ।

ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀ (Frequency distribution table) :

• ଏକାଧ୍ଵବାର ରହିଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ବାରମ୍ବାର ନ ଲେଖୁ ସେମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟାକୁ ପୌନଃପୁନ୍ୟ ବା ବାରମ୍ବାରତା (Frequency) ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । ଏହି ପ୍ରଣାଳୀରେ ପ୍ରସ୍ତୁତ ସାରଣୀକୁ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀ ବା ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀ (Frequency distribution table) କୁହାଯାଏ ।
• (ascending order) ବା (descending order) ରେ ସଜାଇ ରଖାଯାଏ ।
• ଉକ୍ରମ ବା ଅଧଃକ୍ରମରେ ତଥ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ସଜାଇ ରହିବାକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ୟାଶ (Array) କୁହଯାଏ । 

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଶୃୟ (Determination of frequency of the scores):

• ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତାକୁ ଅନୁମେଳନ ରେଖା ବା ଟାଲିଚିହ୍ନ (Tally mark) ଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । 
• ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କରୁ ସର୍ବାଧ‌ିକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (ବା ସର୍ବାଧ୍ଵରୁ ସର୍ବନିମ୍ନ) ମାନଙ୍କର ତାଲିକାଟି ଲେଖାଯାଏ । 
• ତଥ୍ୟାବଳୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଲାଗି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ତାଲିକାରେ ସେହି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଡାହାଣରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଗାର (/ ) ସାମାନ୍ୟ ତିର୍ଯ୍ୟକଭାବେ ଅଙ୍କନ କରାଯାଏ ।
• 5ରୁ ଅଧୂକବାର ରହିଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ପାଖରେ ଥ‌ିବା ଟାଲିଚିହ୍ନ ନିମ୍ନ ପ୍ରକାରେ ହୋଇଥାଏ ।
  5ଥର ରହିଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ଟାଲିଚିହ୍ନ (////) ବା \((\overline{////})\)
  6 ଥର ରହିଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ଟାଲି ଚିହ୍ନ (//// /) ବା \((\overline{////})\) /
  10 ଥର ରହିଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ଟାଲି ଚିହ୍ନ ((//// (////) ବା \((\overline{////})\) \((\overline{////})\)

ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (Cumulative frequency) :
(i) ଏକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଠାରୁ କୌଣସି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ଯୋଗଫଳକୁ ଉକ୍ତ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (Cumulative Frequency) କୁହାଯାଏ ।
{କୌଣସି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = ତା’ର ଠିକ୍ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା + ସେନି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା}
(ii) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତାର ସମଷ୍ଟିକୁ ସିଗ୍‌ F (Σf) କୁହାଯାଏ ।
ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ : ଏକ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀର ଶେଷ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ଓ Σfର ମାନ ସମାନ ହେଲେ ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ଠିକ୍ ଅଛି ବୋଲି ଜଣାପଡ଼େ ।

ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ (Grouped frequency distribution) :
(i) କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଉପସ୍ଥାପନା ନିମିତ୍ତ ଏବଂ ଏହାର ଉପସ୍ଥାପନ କିପରି ସରଳ ଓ ବୋଧଗମ୍ୟ ଏବଂ ସର୍ବୋପରି ସମୟସାପେକ୍ଷ ନ ହୋଇ କମ୍ ସ୍ଥାନ (space) ମଧ୍ଯରେ ଉପସ୍ଥାପିତ ହୋଇପାରିବ ସେଥୂପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ କେତେକ ଶ୍ରେଣୀ ବା ସଂଭାଗ (class or group) ରେ ବିଭକ୍ତ କରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ । ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ସଂଭାଗୀକରଣ (Classification) କୁହାଯାଏ ।
(ii) ସାଧାରଣତଃ ତଥ୍ୟାବଳୀର ବିସ୍ତାର ଅଧିକ ହୋଇଥିଲେ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସଂଭାଗୀକରଣ କରାଯାଏ ।
{ତଥ୍ୟାବଳୀର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଓ ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ଯରେ ଥିବା ଦୂରତ୍ବକୁ ତଥ୍ୟାବଳୀର ବିସ୍ତାର (Range) କୁହାଯାଏ}

ସଂଭାଗୀକରଣ ସାଧାରଣତଃ ନିମ୍ନମତେ କରାଯାଇପାରେ –
(a) 10 – 20, 20 – 30, 30 – 40, 40 – 50, 50 – 60, 60 – 70, 70 – 80
(b) 10 – 19, 20 – 29, 30 – 39, 40 – 49, 50 – 59, 60 – 69, 70 – 79
ସମସ୍ତ ତଥ୍ୟକୁ 7ଟି ଭାଗ (class) ରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇଛି । ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ସଂଭାଗୀକରଣ କୁହାଯାଏ ।

ସଂଭାଗୀକରଣ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସମ୍ବନ୍ଧରେ କେତେକ ଜାଣିବା କଥା :
(a) ସଂଭାଗର ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା ଓ ନିମ୍ନସୀମା (Upper limit and Lower limit of the class) : 
⇒ ରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ ‘ସଂଭାଗୀକରଣ’ରେ ସଂଭାଗଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ, 10-20, 20-30, …….
⇒ ରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ ‘ସଂଭାଗୀକରଣ’ରେ ସଂଭାଗଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ, 10-19, 20-29, ……
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ଗୋଟିଏ ନିମ୍ନସୀମା ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଉର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା ଥାଏ; ଯଥା – 10-20 ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା (lower limit) = 10 ଏବଂ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା (upper limit) = 20 । ସେହିପରି 20-29 ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା ଏବଂ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା = 29

ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (Mid-point of the class) :
କୌଣସି ସଂଭାଗର ନିମ୍ନ ଓ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମାଦ୍ବୟ ଯଥାକ୍ରମେ ℓ₁ ଓ ℓ₂ ହେଲେ, ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ = \(\frac{l_1+l_2}{2}\) ହେବ ।

ସଂଭାଗର ବିସ୍ତାର (Size of the class or class interval) :
(i) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗ ଏହାର ନିମ୍ନ ସୀମାଠାରୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବିସ୍ତୃତ । ଏହି ବିସ୍ତୃତିକୁ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର କୁହାଯାଏ । 
(ii) କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଥ‌ିବା ଦୁଇଟି ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଦ୍ବୟର ବିୟୋଗଫଳକୁ ମଧ୍ଯ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର କୁହାଯାଏ ।
{ଯଦି କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ m₁ ଓ m₂ ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର = m₂ – m₁}
(iii) ଯଦି ସଂଭାଗଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ 10 – 20, 20 – 30, 30 – 40 ହୋଇଥାଏ ତେବେ ସଂଭାଗୀକରଣରେ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର = ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବ ସୀମା – ନିମ୍ନସୀମା = ℓ₁ – ℓ₂ = 20 – 10 = 10 ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର
(iv) ଯଦି ସଂଭାଗଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ 10 – 19, 20 – 39 ……. ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ଏହି ପ୍ରକାର ସଂଭାଗୀକରଣରେ = ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା – ନିମ୍ନସୀମା + 1 = ℓ₂ – ℓ₁ + 1 = 19 – 10 + 1 = 9 + 1 = 10

ତଥ୍ୟାବଳୀର ସଂଭାଗୀକରଣ :
(1) ପ୍ରଥମ ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମାକୁ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସର୍ବନିମ୍ନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଙ୍ଗେ ସଙ୍ଗେ ସମାନ ବା ତା’ଠାରୁ କିଛି କମ୍ ନିଆଯାଏ । ସେହିପରି ସର୍ବୋଚ୍ଚ ସଂଭାଗର ଊର୍ଦ୍ଧ୍ଵସୀମାକୁ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସହ ସମାନ ବା -ତା’ଠାରୁ ସାମାନ୍ୟ ଅଧ୍ଵ ନିଆଯାଏ 
(2) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ କେତୋଟି ଶ୍ରେଣୀ ବା ସଂଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯିବ, ସେଥୁନିମନ୍ତେ କୌଣସି ଧରାବନ୍ଧା ନିୟମ ନାହିଁ । ତଥ୍ୟାବଳୀର ବିସ୍ତାରକୁ ଦୃଷ୍ଟିରେ ରଖୁ ଏହା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ । ତେବେ ସଂଭାଗ 5ରୁ 15 ମଧ୍ୟରେ ସୀମିତ ରଞ୍ଝା ଭଲ ।
(3) ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର ସାଧାରଣତଃ ସୁବିଧା ଲାଗି 5, 10 ବା 20 ନିଆଯାଇଥାଏ ।
(4) ସଂଭାଗୀକରଣର ପ୍ରକାରଭେଦ :

• 10 – 20, 20 – 30, 30 – 40,…. ରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ ସଂଭାଗୀକରଣରେ ପ୍ରଥମ ସଂଭାଗର ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା ତଥା ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା ପ୍ରତ୍ୟେକ 20 । ଏଠାରେ 20କୁ ପ୍ରକୃତରେ ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଭାଗର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ବୋଲି ଧରାଯାଏ । ପ୍ରଥମ ସଂଭାଗ “10-20”ର ହେଉଛି ଏହି ସଂଭାଗର 10ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ 20 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ (ମାତ୍ର 20 ବ୍ୟତୀତ) ବିସ୍ତୃତ । ଏହାକୁ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣ (Exclusive classification) କୁହାଯାଏ ।
• 10 – 19, 20 – 29, 30 – 39,…… ରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ ସଂଭାଗୀକରଣରେ ପ୍ରଥମ ସଂଭାଗର ଊର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମା 19 ଯାହାକି ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା ସହ ସମାନ ନୁହେଁ । ଏଠାରେ ପ୍ରଥମ ସଂଭାଗ ‘10-19’ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଏହି ସଂଭାଗ 10ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ 19 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବିସ୍ତୃତ । ଏହାକୁ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣ (Inclusive classification) କୁହାଯାଏ ।

ଭାଗବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀ (Grouped frequency distribution) : 
ଭାଗବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ସାରଣୀରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ବା ପୌନଃପୁନଃ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ହୁଏ । ପ୍ରଥମେ ଏକ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା କ’ଣ ବୁଝିବା ଆବଶ୍ୟକ, ଗୋଟିଏ ସଂଭାଗ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମୋଟ ସଂଖ୍ୟାହିଁ ଉକ୍ତ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ।
(1) Σf ସର୍ବଦା ମୋଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସଙ୍ଗେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ । ନହେଲେ ଟାଲିଚିହ୍ନ ଦେବା ବା ଟାଲିଚିହ୍ନକୁ ଗଣି ବାରମ୍ବାରତା ଲେଖୁବା ପ୍ରଣାଳୀରେ କିଛି ତ୍ରୁଟି ଅଛି ବୋଲି ବୁଝିବାକୁ ହେବ ।
(2) ଯେକୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀର ପ୍ରକାଶ କଲେ ସାଧାରଣତଃ ଦେଖୁ ଯେ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଠାରୁ ମଧ୍ୟଭାଗ ଆଡ଼କୁ ବାରମ୍ବାରତା କ୍ରମଶଃ ବୃଦ୍ଧିପାଏ ଓ ମଧ୍ୟଭାଗରୁ ବୃହତ୍ତମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଆଡ଼କୁ ବାରମ୍ବାରତା କ୍ରମଶଃ ହ୍ରାସପାଏ । ଯଦି ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣରେ ବ୍ୟତିକ୍ରମ ହୋଇଥାଏ କୌଣସି ଏକ ଅସ୍ଵାଭାବିକ ପରିସ୍ଥିତିର ସୂଚନା ଦିଏ ।

ଭାଗ ବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ସାରଣୀରେ ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା :
{ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଭାଗର ଉର୍ଦ୍ଧ୍ୱସୀମାର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତାକୁ ସେହି ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ ।}
ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ :

ସଂଭାଗ	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
ବାରମ୍ବାରତା	18	22	27	25	20	16

ଉପରିସ୍ଥ ସାରଣୀରେ 0–5 ସଂଭାଗରେ ବାରମ୍ବାରତା = 18 ଅର୍ଥାତ୍ 0-5 ସଂଭାଗର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା (ଅର୍ଥାତ୍ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବାରମ୍ବାତାର ସମଷ୍ଟି) ହେଉଛି 18 ।
∴ ‘5’ ର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 18 
ସେହିପରି 10ର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 0 ରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତାର ସମଷ୍ଟି = 0 ରୁ 5 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତା ସମଷ୍ଟି + 5 ରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବାରମ୍ବାରତାର ସମଷ୍ଟି = (0 – 5) ସଂଭାଗରେ ବାରମ୍ବାରତା + (5 – 10) ସଂଭାଗରେ ବାରମ୍ବାରତା = 18 + 22 = 40

ତଥ୍ୟାବଳୀର ଲୈଖ୍ୟକ ପରିପ୍ରକାଶ (Graphical representation of data) :
(i) ପରିସଂଖ୍ୟାନର ସାଖ୍ୟକ ତଥ୍ୟକୁ ପୌନଃପୁନ୍ୟ ବିତରଣୀ ସାରଣୀରେ ପ୍ରକାଶ କରି ତାହାକୁ ଅଧ‌ିକ ବୋଧଗମ୍ୟ ଓ ଆକର୍ଷଣୀୟ କରାଇବାକୁ ହେଲେ ଲେଖଚିତ୍ରର ଆବଶ୍ୟକତା ଅଛି । ଏହା ମନୁଷ୍ୟର ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଉପରେ ଅନ୍ତଃଦୃଷ୍ଟି ବୃଦ୍ଧି କରିଥାଏ ।
(ii) ତଥ୍ୟାବଳୀର ବିଭିନ୍ନ ଲେଖ୍କ ପରିପ୍ରକାଶ ହେଲା 

• ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ରେଖାଚିତ୍ର (Frequency Polygon)
• ଷ୍ଟାଗ୍ରାମ୍ (Histogram)
• ଛବିଲେଖ (Pictograph)
• ବୃତ୍ତଲେଖ (Pie chart)

ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ରେଖାଚିତ୍ର (Frequency Polygon) :
ଅଙ୍କନ ପ୍ରଣାଳୀ :
(i) ଗୋଟିଏ ଗ୍ରାଫ୍ କାଗଜରେ ଏକ ଆନୁଭୂମିକ ରେଖାଖଣ୍ଡ x-ଅକ୍ଷ (x-axis) ଓ ଅନ୍ୟ ଏକ ଅଭିଲମ୍ବୀୟ ଅକ୍ଷରେଖା y-ଅକ୍ଷ (y-axis) ଅଙ୍କନ କରାଯାଏ ।
(ii) ଉପଯୁକ୍ତ ଏକକ ଉଭୟ ଅକ୍ଷରେ ଦର୍ଶାଯାଉ । ସ୍କେଲ୍ ଏପରି ହେବା ଉଚିତ ଯେ ଚିତ୍ରଟି ଗ୍ରାଫ୍ କାଗଜର ଅଧିକାଂଶ ଅଂଶ ଅଧିକାର କରିବ ।
(iii) ସାରଣୀକୁ ଦେଖ୍ ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ ଚିହ୍ନଟ କରି ସେଗୁଡ଼ିକୁ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଯୋଗକଲେ ଚିତ୍ରଟି ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ରେଖାଚିତ୍ର ହେବ ।

ହିଷ୍ଟୋଗ୍ରାମ୍ (Histogram):

• ଏକ ପୌନଃପୁନଃ ବିତରଣ ସାରଣୀରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ତଥ୍ୟକୁ ଲେଖଚିତ୍ରରେ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵାରା ପରିପ୍ରକାଶକୁ ହିଷ୍ଟୋଗ୍ରାମ୍ କୁହାଯାଏ ।
• ବାରମ୍ବାରତା ସାରଣୀରେ ଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ବିସ୍ତାରକୁ ଆନୁଭୂମିକ ବାହୁ ଓ ଏହାର ବାରମ୍ବାରତାକୁ ଉଲମ୍ବ ବାହୁରୂପେ ନେଇ ଆୟତଚିତ୍ରମାନ ଅଙ୍କନ କରି ହିଷ୍ଟୋଗ୍ରାମ୍ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇପାରେ ।

ବୃତ୍ତଲେଖ (Pie-chart ବା Circle graph):
(i) ବିଭିନ୍ନ ଉପଭାଗର ସମଷ୍ଟି ସହିତ ଅନୁପାତ ଅନୁଯାୟୀ ସେହି ବୃତ୍ତକୁ କେତେଗୁଡ଼ିଏ ବୃତ୍ତକଳାରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଏ । 
(ii) ସଂଗୃହୀତ ତଥ୍ୟକୁ ନେଇ ସମାନୁପାତୀ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ । ଏହାର ସୂତ୍ର ହେଲା –\(\frac{\mathrm{f}}{\Sigma \mathrm{f}}\) ଏଠାରେ f ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତଥ୍ୟର ବାରମ୍ବାରତା ଓ Σf ବାରମ୍ବାରତାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ।
(iii) ଏହା ପରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାରମ୍ବାରତା ପାଇଁ ପୃଥକ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ (θ) ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।
\(\theta=\frac{f}{\Sigma f} \times 360^{\circ}\)
(iv) ସୁବିଧାଜନକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (ଓ ସେ.ମି. ବା 4 ସେ.ମି.) ନେଇ ଏକ ବୃତ୍ତ ଅଙ୍କନ କରାଯାଏ ।
(v) ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଅଙ୍କନ କରି ଏହା ଉପରେ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ କୋଣମାନ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇ ବୃତ୍ତକଳାମାନ ଅଙ୍କନ କରାଯାଏ ।
(vi) ପ୍ରତ୍ୟେକ ବୃତ୍ତକଳାଗୁଡ଼ିକର ବିଭିନ୍ନ ବିଭାଗର ସୂଚନା ଦେବାକୁ ପଡ଼େ ।

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 6 ଅନୁପାତ ଓ ସମାନୁପାତ

ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

ଅନୁପାତ (Ratio) :
(i) ଦୁଇଟି ରାଶିକୁ ତୁଳନା କଲେ, ପ୍ରଥମ ରାଶି ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶିର କେତେ ଗୁଣ ବା କେତେ ଅଂଶ, ଏହା ଯେଉଁ ରାଶି ବା ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ବ୍ୟକ୍ତ ହୁଏ, ତାହାକୁ ପ୍ରଥମ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ ମଧ୍ୟସ୍ଥି ଅନୁପାତ (Ratio) କୁହାଯାଏ
ଉଦାହରଣ –

• 6 ମିଟର ଓ 30 ମିଟରର ଅନୁପାତ = \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\) = 1 : 5
• 25 ପଇସା ଓ 1 ଟଙ୍କାର ଅନୁପାତ = \(\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\) = 1 : 4

(ii) ମନେକରାଯାଉ ଗୋଟିଏ ଏକକରେ ପ୍ରକାଶିତ ଦୁଇଟି ରାଶି a ଓ b ଅଟେ । a ରାଶି ସହ b ରାଶି ଅନୁପାତକୁ a : b । ବା \(\frac{a}{b}\) ଦ୍ଵାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । (a : b କୁ a ଅନୁପାତ b ବା a is to b ବୋଲି ପଢ଼ାଯାଏ ।)
(iii) ଅନୁପାତ a : bରେ ପ୍ରଥମ ପଦ aକୁ ପୂର୍ବ ପଦ (antecedent) ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦ bକୁ ଉତ୍ତର ପଦ (consequent) କୁହାଯାଏ
(iv) କୌଣସି ଅନୁପାତରେ ପୂର୍ବ ଓ ଉତ୍ତର ରାଶିଦ୍ଵୟକୁ ଯଦି ସମାନ ଅଣଶୂନ୍ୟ (Non-zero) ରାଶି ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ ବା ହରଣ କରାଯାଏ, ତାହାହେଲେ ଅନୁପାତର ମୂଲ୍ୟ ଅପରିବର୍ତିତ ରହିବ ।
(v) ଅନୁପାତ କେବଳ ଗୋଟିଏ ରାଶି ବା ଏକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ପ୍ରକାଶିତ ହୁଏ ।
{ଅନୁପାତ ଏକକ ନିରପେକ୍ଷ (independent of unit) ରାଶି ।}

ବିଭିନୃ ଅନୁପାତ (Different type of Ratios):

• ବର୍ଗାନୁପାତ (Duplicate Ratio) : \(\frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{~b}^2}\) କୁ \(\frac{a}{b}\) ର ବର୍ଗାନୁପାତ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, \(\frac{2}{3}\) ର ବର୍ଗାନୁପାତ \(\frac{4}{9}\) ।
• ଘନାନୁପାତ (Triplicate Ratio): \(\frac{a^3}{b^3}\) କୁ \(\frac{a}{b}\) ର ଘନାନୁପାତ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, \(\frac{2}{3}\)ର ଘନାନୁପାତ \(\frac{8}{27}\)
• ଉପବର୍ଗାନୁପାତ କିମ୍ବା ବର୍ଗାମୂଳାନୁପାତ (Subduplicate Ratio) : \(\frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}}\) ବା \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) କୁ \(\frac{a}{b}\) ଅନୁପାତର ଉପବର୍ଗାନୁପାତ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ, \(\frac{2}{3}\),  \(\frac{4}{9}\)ର ଉପବର୍ଗାନୁପାତ ଅଟେ ।
• ଉପବର୍ଗାନୁପାତ କିମ୍ବା ଘନମୂଳାନୁପାତ (Sub-Triplicate Ratio): \(\frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}}\) ବା \(\frac{3\sqrt{a}}{3\sqrt{b}}\) କୁ \(\frac{a}{b}\) ଅନୁପାତର ଉପଘନାନୁପାତ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, \(\frac{3}{2}\),  \(\frac{27}{8}\) କୁ ର ଉପଘନାନୁପାତ କୁହାଯାଏ ।
• ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ (Inverse Ratio) : କୌଣସି ଅନୁପାତର ପୂର୍ବପଦ ଓ ଉତ୍ତର ପଦକୁ ଯଥାକ୍ରମେ ଉତ୍ତରପଦ ଓ ପୂର୍ବପଦ କରିଦେଲେ, ଯେଉଁ ନୂତନ ଅନୁପାତଟି ସୃଷ୍ଟି ହେବ, ତାହାକୁ ସେହି ଅନୁପାତର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ କୁହାଯାଏ ।
  ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ, \(\frac{5}{7}\) ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ \(\frac{7}{5}\) ଏବଂ \(\frac{3}{2}\) ର ପ୍ରତିଲୋମୀ ଅନୁପାତ \(\frac{2}{3}\) ।
• ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ (Compound Ratio) : ଅନୁପାତଗୁଡ଼ିକ ଯଦି \(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{c}{f}\) ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ସେଗୁଡ଼ିକର \(\begin{aligned}
  & \text { ace…….. } \\
  & \text { bdf…….. }
  \end{aligned}\)
  ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ, \(\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}\) ର ଯୌଗିକ ଅନୁପାତ ହେବ \(\begin{aligned}
  & 2 \times 3 \times 4 \\
  & 3 \times 4 \times 5
  \end{aligned}=\frac{2}{5}\)

ସମାନୁପାତ (Proportion):
(i) ଦୁଇ ବା ତତୋଽଧ୍ଵକ ଅନୁପାତର ସମାନତାକୁ ସମାନୁପାତ (Proportion) କୁହାଯାଏ । \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ସମାନୁପାତ । ଏହି ସମାନୁପାତକୁ a : b :: c : d ବା a : b = c : d ରୂପେ ଲେଖାଯାଇପାରେ । ଏଠାରେ ରାଶି ଚାରୋଟି a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ (Proportional) ବା ସମାନୁପାତ ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) ଉପରୋକ୍ତ ସମାନୁପାତରେ a, b, c, dକୁ ଯଥାକ୍ରମେ ପ୍ରଥମ, ଦ୍ୱିତୀୟ, ତୃତୀୟ ଓ ଚତୁର୍ଥ ପଦ ବା ରାଶି କୁହାଯାଏ । a ଓ dକୁ ପ୍ରାନ୍ତରାଶି (extremes) ଏବଂ b ଓ cକୁ ମଧ୍ୟରାଶି (means) କୁହାଯାଏ । d ରାଶିକୁ a, b ଓ c ରାଶିଗୁଡ଼ିକର – ଚତୁର୍ଥ ସମାନୁପାତୀ (Forth proportional) କୁହାଯାଏ ।
(iii) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ହେଲେ a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହୁଅନ୍ତି, ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାରେ a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ହୁଏ ।
(iv) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ହେଲେ ad = bc {ଚାରିଗୋଟି ରାଶି ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ପ୍ରାନ୍ତ ରାଶିଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ = ମଧ୍ୟ ରାଶିଦ୍ଧୟର ଗୁଣଫଳ ସହିତ ସମାନ ହୁଏ ।}
(v) ଯଦି \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\) = ….. ହୁଏ, ହେଲେ a, b, c, d, e, f ରାଶିମାନ ସମାନୁପାତୀ ହେବେ ।

ଏ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତ (Continued Proportion) :
ସମଜାତୀୟ ତିନିଗୋଟି ରାଶି ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରଥମ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶିର ଅନୁପାତ, ଯଦି ଦ୍ୱିତୀୟ ଓ ତୃତୀୟ ରାଶିର ଅନୁପାତ ସହିତ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ସେ ଅନୁପାତ ସମ୍ବନ୍ଧକୁ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଉକ୍ତ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ କୁହାଯାଏ ।

• a, b, c କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) ହେବ । ଏଠାରେ bକୁ a ଓ cର ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ (Mean Proportional) ଏବଂ cକୁ a ଓ bର ଦ୍ୱିତୀୟ ସମାନୁପାତୀ (Third Proportional) କୁହାଯାଏ ।
  \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) ହେଲେ, b² = ac ହେବ ଅର୍ଥାତ୍ (ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାଢୀ)² = ପ୍ରାନ୍ତ ରାଶିଦ୍ଧୟର ଗୁଣଫଳ ।
• ସେହିପରି a, b, c, d ….. କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) = ….. ହେବ । ଅର୍ଥାତ୍ b² = ac, c² = bd, ad = bc ହେବ ।
  {a, b, c, d କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତ୍ରୀ ହେଲେ, ସେମାନେ ସର୍ବଦା ସମାନୁପାଠୀ ହେବେ । ଅର୍ଥାତ୍ \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) ହେଲେ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) ହେବ ।
• a, b, c, d ସମାନୁପାତୀ ହେଲେ, ସେଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମିକ ସମାନୁପାତୀ ନହୋଇ ପାରନ୍ତି ।

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 2 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(c)

Question 1.
ନିମ୍ନ ସଂରଚନାଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖି ପରବର୍ତୀ ଦୁଇଟି ଧାଡ଼ି ଲେଖ ।
(a) 1 × 9 +1= 10
12 × 9 + 2 = 110
123 × 9 + 3 = 1110

(b) 1 × 8 + 1 = 9
12 × 8 + 2 = 98
123 × 8 + 3 = 987

(c) 6 × 11 = 66
89 × 101 = 8989
706 × 1001 = 706706

(d) 1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

(e)

(f) 2² – 1² = 2 + 1 = 3
3² – 2² = 3 + 2 = 5
4² – 3² = 4 + 3 = 7
5² – 4² = 5 + 4 = 9
6² – 5² = 6 + 5 = 11
Solution:
(a) 1234 × 9 + 4 = 11110
12345 × 9 + 5= 111110

(b) 1234 × 8 + 4 = 9876
12345 × 8 + 5 = 98765

(c) 5004 × 10001 = 50045004
30002 × 100001 = 3000230002

(d) 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24
25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 31 + 32 + 33 + 34 + 35

(e)

(f) 7² – 6² = 7 + 6 = 13
8² – 7² = 8 + 7 = 15

Question 2.
ନିମ୍ନ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ (ଶୂନ୍ୟ ବର୍ଗଚିତ୍ର)ଗୁଡ଼ିକୁ ଦୁଇ ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ପୂରଣ କର, ଯେପରିକି ଯେଉଁପଟରୁ ମିଶାଇଲେ (ଉଲ୍ଲମ୍ବ ବା ଭୂ-ସମାନ୍ତର ଭାବେ) ମିଶାଣଫଳ
(i) 123 ହେବ ( ଚିତ୍ର-1 )
(ii) 161 ହେବ ( ଚିତ୍ର-2)

ଉ –
123 – 29 = 94 = 11 + 83 = 23 + 71
123 – 83 = 40 = 11 + 29 = 17 + 23
ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା –
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 ……….

17 + 11 = 28 161 – 28 = 133 (ତିନୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିରକରିବା, ଯାହାର ଯୋଗଫଳ 133)
17 +43 = 60 161 – 60 = 101 (ତିନୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିରକରିବା, ଯାହାର ଯୋଗଫଳ 101)
19 +31 + 83 = 133
11 + 29 +61 = 101

Question 3.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନମାନଙ୍କରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅକ୍ଷର ପାଇଁ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ (0 ରୁ 9 ମଧ୍ୟରେ) ଅଙ୍କ ବାଛ; ଯେପରିକି ଦତ୍ତ ସର୍ଭଗୁଡ଼ିକର ସତ୍ୟତା ନିରୂପଣ ହୋଇପାରିବ । କେଉଁ ଅକ୍ଷର ପାଇଁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କଲ ଲେଖ ।
(i) xy = yx
(ii) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
(iii) A k C × AC = CCC
(iv) ABCD × 9 = DCBA
(v) AB + BA = P(A + B)
(vi) AB – BA = P (A – B) (A > B)
(vii) ABC + BCA + CAB = 111 (A + B + C) .
(viii) ABC – CBA = 99 (A – C)
ଉ –
ଉପରୋକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ ପାଇଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଭାବେ କୌଣସି ସୂତ୍ର ନାହିଁ । ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ନିଜର ବୋଧଶକ୍ତି ବଳରେ ଉକ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କରିପାରିବେ ।
(i) x = 6 ଓ y = 3 ହେଲେ, xy = 6 × 3 = 18 ଏବଂ yx = 3 × 6 = 18 ∴ xy = yx

(ii) x = 2, y = 3 ଓ z = 6 ହେଲେ, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+2+1}{6}=\frac{6}{6}=1\) ହେବ।

(iii) A × C × AC = CCC
A = 3, C = 7 ହେଲେ, AC = 37, CCC = 777, 3 × 7 × 37 = 777

(iv) A = 1, B= O, C = 8, D = 9 ହେଲେ,
ABCD × 9 = 1089 × 9 = 9801 = DCBA

(v) A = 3, B = 4 ଓ P = 7 ହେଲେ, A + B = 7
AB + BA = 34 + 43 = 77 = P(A + B)

(vi) A = 8, B = 3 ଓ P = 4 ହେଲେ, (A – B) = 8 – 3 = 5
∴ AB – BA = 83 – 38 = 45 = p(A – B)

(vii) A = 3, B = 2 ଓ C = 1 ହେଲେ,
∴ ABC + BCA + CAB = 321 + 213 + 132 = 111(3 + 2 + 1) = 111 (A + B + C)

(viii)A = 3, B = 2 ଓ C = 1 ହେଲେ,
∴ ABC – CBA = 321 – 123 = 99(3 – 1) = 99(A – C)

Question 4.
(a) ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ‘2” ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?
24, 127, 210, 86, 95, 437, 251
ଉ –
24, 210, 86 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
24, 210, 8ରେ ଶେଷ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ 4, 0 ଓ 8 ହୋଇଥିବାରୁ ଏଗୁଡ଼ିକ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

(b) ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଏବଂ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ 2 ଓ 5 ଉଭୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?
105, 214, 420, 235, 930, 715
ଉ –
105, 420, 235, 930, 715 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ, 420 ଓ 930 ଉଭୟ 2 ଓ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
105, 420, 235, 930, 715 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକକ ଅଙ୍କ 5 ଓ 0 ଅଟେ ।
ତେଣୁ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
କିନ୍ତୁ 420 ଓ 930 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟର ଏକକ ଅଙ୍କ 0 ହୋଇଥ‌ିବାରୁ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ବୟ 10 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତାହା 2 ଓ 5 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

(c) ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଏବଂ ଏଥୁମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ 2 ଓ 3 ଉଭୟଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ?
78, 403, 504, 917, 235, 216, 774, 804
ଉ –
78 ରେ 7 + 8 = 15 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
403 ରେ 4 + 0 + 3 = 7 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
504 ରେ 5 + 0 + 4 = 9 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
917 ରେ 9 + 1 + 7 = 17 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
235 ରେ 2 + 3 + 5 = 10 ଏହା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
216 ରେ 2 + 1 + 6 = 9 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
774 ରେ 7 + 7 + 4 = 18 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
804 ରେ 8 + 0 + 4 = 12 ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
∴ 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲା 78, 504, 216, 774 ଓ 804 । ଏ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମହେତୁ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା 2 ଓ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।

(d) ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ; କିନ୍ତୁ 9 ଦ୍ବାରା ନୁହେଁ ?
702, 501, 213, 102, 675, 462
ଉ –
702 ରେ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 7 + 0 + 2 = 9, ଏହା ଉଭୟ 3 ଓ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଓ 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
501 ରେ 5 + 0 + 1 = 6, ଏହା 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ; କିନ୍ତୁ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
213 ରେ 2 + 1 + 3 = 6, ଏହା 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ; କିନ୍ତୁ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
102 ରେ 1 + 0 + 2 = 3, ଏହା 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
675 ରେ 6 + 7 + 5 = 18, ଏହା 3 ଓ 9 ଉଭୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଓ 9 ଉଭୟ ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
462 ରେ 4 + 6 + 2 = 12, ଏହା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଟି 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ; ମାତ୍ର 9 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।
501, 213, 102, 462 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ; କିନ୍ତୁ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ ।

Question 5.
ତାରକା (*) ଚିହ୍ନିତ ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକୁ କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଅଙ୍କଦ୍ଵାରା ପୂରଣକଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି
(i) 3 ଦ୍ବାରା (ii) 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ?
(a) 7*5, (b) 3*2, (c) 17*, (d)14*, (e) 2*2
ଉ-
* ଚିହ୍ନିତ ସ୍ଥାନରେ 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖ୍ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାମାନ ରହିବ ।
(a) 0 (b) 1 (c) 1 (d) 1 (e)
* ଚିହ୍ନିତ ସ୍ଥାନରେ ୨ ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖ୍ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାମାନ ରହିବ ।
(a) 6 (b) 4 (c) 1 (d) 4 (e) 5

Question 6.
ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।
(i) ୨ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
(ii) 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
(iii) 3 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା 6 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
(iv) 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
(v) 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା 2 ଓ 3 ଉଭୟ ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
ଉ-
(i) ଠିକ୍
(ii) ଭୁଲ୍
(iii) ଭୁଲ୍
(iv) ଠିକ୍
(v) ଠିକ୍

Question 7.
ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।
(i) 710, 10 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ; କିନ୍ତୁ 5 ଦ୍ଵାରା ନୁହେଁ ।
(ii) 105, 3 ଓ 5 ଉଭୟ ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
(iii) 897, 3 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ; କିନ୍ତୁ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ବିଭାଜ୍ୟ ହେବେ ।
(iv) 14641 ସଂଖ୍ୟାଟି 11 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
(v) 432 ସଂଖ୍ୟାଟି 3,6 ଓ 9 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
ଉ-
(i) ଭୁଲ୍
(ii) ଠିକ୍
(iii) ଭୁଲ୍
(iv) ଠିକ୍
(v) ଠିକ୍

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class History Notes Chapter 9 ସାମରିକ ଗୋଷ୍ଠୀ ଗଠନ : ସଶସ୍ତ୍ରୀକରଣ ପାଇଁ ପ୍ରତିଦ୍ବନ୍ଦିତା will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 History Notes Chapter 9 ସାମରିକ ଗୋଷ୍ଠୀ ଗଠନ : ସଶସ୍ତ୍ରୀକରଣ ପାଇଁ ପ୍ରତିଦ୍ବନ୍ଦିତା

ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

→ ଉପକ୍ରମ :

• ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧ ଯୋଗୁଁ ପୃଥ‌ିବୀ ଦୁଇଟି ଗୋଷ୍ଠୀରେ ବିଭକ୍ତ ହେଲା; ଯଥା – ସାମ୍ୟବାଦୀ ଗୋଷ୍ଠୀ ଏବଂ ପୁଞ୍ଜିବାଦୀ ଗୋଷ୍ଠୀ ।
• ପରେ ଉଭୟ ଗୋଷ୍ଠୀ ପରସ୍ପର ସପକ୍ଷରେ ସାମରିକ ମେଣ୍ଟମାନ ଗଠନ କରିଥିଲେ ।
• ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧ ସମୟରେ ମହାକାଶ ଗବେଷଣା, ଆଣବିକ ଅସ୍ତ୍ର ପ୍ରସ୍ତୁତି ପାଇଁ ପ୍ରତିଦ୍ବନ୍ଦିତା, ଚନ୍ଦ୍ରପୃଷ୍ଠରେ ମାନବର ଅବତରଣ,ନୂତନ ପ୍ରଯୁକ୍ତି ବିଦ୍ୟା ଯୁଗର ଅୟମାରମ୍ଭ ଘଟିଥିଲା ।

ବିଷୟବସ୍ତୁ ରୂପରେଖ:

1. ଉତ୍ତର ଆଟ୍‌ଲାଣ୍ଟିକ୍ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (NATO)
2. ଆନ୍‌ସ୍ ରାଜିନାମା (ANZUS PACT)
3. ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ ଏସିଆ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (SEATO)
4. ବାଗଦାଦ୍ ଚୁକ୍ତି
5. କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (CENTO)
6. ୱାରସ୍ ଚୁକ୍ତି (WARSAW PACT)
7. ଦେର୍ତା (DETENTE)
8. ନୂତନ ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧ (New Cold War)

→ ଉତ୍ତର ଆଟ୍‌ଲାଣ୍ଟିକ୍ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (NATO) :

• ପଶ୍ଚିମ ଓ ମଧ୍ୟ ଇଉରୋପରେ ସୋଭିଏତ୍ ରୁଷର ପ୍ରତିପତ୍ତିକୁ ପ୍ରତିହତ କରିବାପାଇଁ ୧୯୪୯ ମସିହା ଏପ୍ରିଲ ୪ ତାରିଖରେ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକା ନେତୃତ୍ୱରେ ଉତ୍ତର ଆଟ୍‌ଲାଣ୍ଟିକ୍ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ ବା NATO ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।

→ ଆନ୍‌ସ୍ ରାଜିନାମା (ANZUS PACT) :

• ୧୯୫୧ ମସିହାରେ ଆନ୍‌ସ୍ ରାଜିନାମା ସ୍ବାକ୍ଷରିତ ହୋଇଥିଲା । ଏଥିରେ ଅଷ୍ଟ୍ରେଲିଆ, ନିଉଜିଲାଣ୍ଡ ଓ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକା ଭାଗ ନେଇଥିଲେ ।
• ପ୍ରଶାନ୍ତ ମହାସାଗରୀୟ ଅଞ୍ଚଳରେ ଶାନ୍ତି ପ୍ରତିଷ୍ଠା ତଥା ମିଳିତ ପ୍ରତିରକ୍ଷା ବ୍ୟବସ୍ଥାର ପରିଚାଳନା ଏହାର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ।

→ ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ ଏସିଆ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (SEATO) :

1. ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ ଏସିଆରେ ରୁଷ୍ ଓ ସାମ୍ୟବାଦୀ ଚୀନ୍‌ର ପ୍ରଭାବ ହ୍ରାସ କରିବାପାଇଁ ୧୯୫୪ ମସିହା ସେପ୍ଟେମ୍ବର ୮ ତାରିଖରେ ଆମେରିକା ନେତୃତ୍ୱରେ ଏହି ଚୁକ୍ତି ସ୍ୱାକ୍ଷରିତ ହୋଇଥିଲା ।
2. ୧୯୪୮ ମସିହାରେ ବ୍ରସେଲସ୍ ଚୁକ୍ତି ଆଧାରରେ ପଶ୍ଚିମ ଇଉରୋପରେ ଐକ୍ୟ ପ୍ରତିଷ୍ଠା ନିମନ୍ତେ ଯୋଜନା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇଥିଲା ।

→ ବାଦ୍ ଚୁକ୍ତି :

• ୧୯୫୫ ମସିହାରେ ବାର୍‌ଦ୍ୱାରେ ବ୍ରିଟେନ୍, ତୁର୍କୀ, ଇରାକ୍, ଇରାନ୍ ଓ ପାକିସ୍ତାନ ମଧ୍ୟରେ ଏହି ଚୁକ୍ତି ସ୍ଵାକ୍ଷରିତ ହୋଇଥିଲା ।

→  କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (CENTO) :

• ୧୯୫୮ ମସିହାରେ ବାଦ୍ ଚୁକ୍ତିରୁ ଇରାକ୍ ଓହରିଯିବାରୁ ଏହାକୁ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ କୁହାଗଲା ଓ ଏଥିରେ ଆମେରିକା ନୂତନ ସଭ୍ୟଭାବେ ଯୋଗଦେଲା ।

→ ୱାରସ୍ ଚୁକ୍ତି (WARSAW PACT) :

• ୧୯୫୫ ମସିହା ମେ ୧ ତାରିଖରେ ପୋଲାଣ୍ଡର ରାଜଧାନୀ ୱାରସ୍ତାରେ ଏହି ଚୁକ୍ତି ସ୍ୱାକ୍ଷରିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହା ସୋଭିଏତ୍ ରୁଷ୍ ନେତୃତ୍ୱରେ ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା । ପୁଞ୍ଜିବାଦୀ ରାଷ୍ଟ୍ରମାନଙ୍କର ଆକ୍ରମଣକୁ ମିଳିତଭାବେ ପ୍ରତିରୋଧ କରିବା ଏହାର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ।

→ ଦୈର୍ତା (DETENTE) :

• ୧୯୬୯ ମସିହାରୁ ୧୯୭୮ ମସିହା ମଧ୍ୟରେ ସୋଭିଏତ୍ ରୁଷ୍ ଓ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକା ମଧ୍ୟରେ ଉତ୍ତେଜନା ହ୍ରାସ ପାଇଥିଲା । ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧର ଏହି ପରିସ୍ଥିତିକୁ ଦୈର୍ତା (Detente) କୁହାଯାଉଥିଲା । ଏହି ସମୟରେ ଦୁଇ ବୃହତ୍ ଶକ୍ତି ମଧ୍ୟରେ ପାରସ୍ପରିକ ସହଯୋଗିତା ଦେଖାଦେଇଥିଲା ।

→ ନୂତନ ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧ (New Cold War) :

• ୧୯୭୯ ମସିହାରେ ଇରାନ୍ ବିଦ୍ରୋହ, ଚୀନ୍ – ଭିଏତ୍‌ନାମ୍ ଯୁଦ୍ଧ, ଏଲସାଲଭେଡ଼ରରେ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକାର ସଂପୃକ୍ତି ଏବଂ ଆଫଗାନିସ୍ତାନରେ ସୋଭିଏତ୍ ରୁଷର ହସ୍ତକ୍ଷେପ ଫଳରେ ଦୈତାର ଅବସାନ ହେଲା ଓ ଦୁଇ ମହାଶକ୍ତି ମଧ୍ୟରେ ପୁନଃ ଉତ୍ତେଜନା ଓ ଦ୍ବନ୍ଦ୍ବ ପ୍ରକାଶ ପାଇଲା ।
  
• ପୋଲାଣ୍ଡ, ଚେକୋସ୍ଲୋଭାକିଆ, ଆଲ୍‌ବାନିଆ, ଯୁଗୋସ୍ଲୋଭିଆ, ବୁଲଗେରିଆ, ହଙ୍ଗେରୀ, ପୂର୍ବ ଜର୍ମାନୀ ପ୍ରଭୃତି ଦେଶରେ ସାମ୍ୟବାଦୀ ସରକାର ଗଠିତ ହୋଇଥିଲା ।
• ଏହା ପୁରାତନ ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧଠାରୁ ଭୟଙ୍କର ଜଣାଯାଉଥିଲେ ମଧ୍ୟ ଅସ୍ଥାୟୀ ଥିଲା ।
• ୧୯୮୫ ମସିହାରେ ସୋଭିଏତ୍ ରୁଟ୍‌ରେ ମିଖାଇଲ୍ ଗୋର୍ବାଚେର୍‌ଙ୍କ ସଂସ୍କାରମୂଳକ ନୀତି ପ୍ରଣୟନ ଫଳରେ ଉଭୟ ମହାଶକ୍ତିଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଶାନ୍ତି ଓ ସହାବସ୍ଥାନ ଭାବ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିଲା ।
• ୧୯୯୧ ମସିହା ଡିସେମ୍ବର ମାସରେ ସୋଭିଏତ୍ ସଂଘର ବିଲୟ ଘଟିଥିଲା ।
• ୧୯୯୨ ମସିହାରେ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକା ରାଷ୍ଟ୍ରପତି ଜର୍ଜ ବୁଶ୍ ଓ କେନ୍ଦ୍ର ରୁଷ୍ ମଣ୍ଡଳ (Russian Federation)ର ରାଷ୍ଟ୍ରପତି ବୋରିସ୍ ୟେଲ୍‌ସିନ୍ ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧର ପରିସମାପ୍ତି ଘୋଷଣା କରିଥିଲେ ।

ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦସମୂହ ଓ ପ୍ରମୁଖ ଘଟଣାବଳୀ:

୧୯୪୯ ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ଏପ୍ରିଲ୍ ୪) ଉତ୍ତର ଆଟ୍‌ଲାଣ୍ଟିକ୍ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (NATO) ଗଠନ ।
୧୯୫୧ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଅଷ୍ଟ୍ରେଲିଆ, ନିଉଜିଲାଣ୍ଡ ଏବଂ ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକା ମଧ୍ୟରେ ଆନ୍‌ସ୍ ରାଜିନାମା ସ୍ବାକ୍ଷରିତ ।
୧୯୫୨ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଗ୍ରୀସ୍ ଓ ତୁର୍କୀର ନାଟୋରେ ଯୋଗଦାନ; (ମେ ୨୭) ଇଉରୋପୀୟ ପ୍ରତିରକ୍ଷା ଗୋଷ୍ଠୀର ପ୍ରତିଷ୍ଠା ନିମନ୍ତେ ପ୍ୟାରିସ୍ଠାରେ ଏକ ଚୁକ୍ତି ସ୍ୱାକ୍ଷରିତ ।
୧୯୫୪ଖ୍ରୀ.ଅ. – (ସେପ୍ଟେମ୍ବର ୮) ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ ଏସିଆ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ (SEATO) ଗଠନ ।
୧୯୫୫ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଜର୍ମାନୀ ସଂଯୁକ୍ତ ସାଧାରଣତନ୍ତ୍ରର ନାଟୋରେ ଯୋଗଦାନ; ବାଗ୍‌ଦାଦ୍ ଚୁକ୍ତି ସ୍ୱାକ୍ଷରିତ; (ମେ ୧) ରୁଷ୍ ଏବଂ ତା’ର ଅନୁଗାମୀମାନଙ୍କୁ ନେଇ ୱାରସ୍ ଚୁକ୍ତି ସ୍ବାକ୍ଷରିତ ।
୧୯୫୮ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଇରାକ୍ ବାଗ୍‌ଦାଦ୍ ଚୁକ୍ତିରୁ ଓହରିଯିବା ପରେ ଏହି ଚୁକ୍ତିର ନାମ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନ ରଖାଗଲା ଏବଂ ଆମେରିକା ଏହାର ସଭ୍ୟ ହେଲା ।
୧୯୭୫ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଦକ୍ଷିଣ-ପୂର୍ବ ଏସିଆ ଚୁକ୍ତି ସଂଗଠନର ପରିସମାପ୍ତି ।
୧୯୭୯ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ନୂତନ ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧର ସୂତ୍ରପାତି ଓ ଦେର୍ତାର ଅବସାନ ।
୧୯୮୫ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ମିଖାଇଲ୍ ଗୋର୍ବାଚେଭ୍ ସୋଭିଏତ୍ ପଲିଟିବ୍ୟୁରୋର ସାଧାରଣ ସମ୍ପାଦକ ଭାବେ ନିର୍ବାଚିତ ।
୧୯୯୧ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଡିସେମ୍ବର ସୋଭିଏତ୍ ସଂଘର ବିଲୟ ।
୧୯୯୨ ଖ୍ରୀ.ଅ. – ଯୁକ୍ତରାଷ୍ଟ୍ର ଆମେରିକାର ରାଷ୍ଟ୍ରପତି ଜର୍ଜ ବୁଶ୍ ଓ କେନ୍ଦ୍ର ରୁଷ୍ମମଣ୍ଡଳର ରାଷ୍ଟ୍ରପତି ବୋରି ସ୍ ୟେଲସିନ୍‌ଙ୍କଦ୍ଵାରା ଶୀତଳ ଯୁଦ୍ଧର ଅବସାନ ଘୋଷଣା ।

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Notes Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା will enable students to study smartly.

BSE Odisha Class 9 Maths Notes Algebra Chapter 2 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା

ବିଷୟବସ୍ତୁ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଓ ବିଶ୍ଳେଷଣ

ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ବା ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Natural Number) :
(i) ସମସ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା (Counting Numbers) କିମୃ। ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Natural Numbers) ସେଟ୍ (N) = {1, 2, 3, …….} ।
(ii) ସମସ୍ତ ପୂର୍ଣସଂଖ୍ୟା (Integers) ମାନଙ୍କର ସେଟ୍ (Z) = {….. – 3, − 2, – 1, 0, 1, 2, 3,….} ଅର୍ଥାତ୍ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା, 0 (ଶୂନ) ଏବଂ ସମସ୍ତ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ । 
(iii) N ସେଟ୍‌ରେ 0 (ଶୂନ) ଉପାଦାନଟିକୁ ନେଇ ବିଚାର କଲେ ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ବଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ (N*) ମିଳିଥାଏ ।
N* = {0, 1, 2, 3,…….}

• ଶୂନ (0) ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା (…… – 3, – 2, – 1) ପ୍ରାଚୀନ ଭାରତୀୟଙ୍କ ଅବଦାନ ।
• ବ୍ରହ୍ମଗୁପ୍ତଙ୍କ ଦ୍ବାରା ରଚିତ ବ୍ରହ୍ମସିଦ୍ଧାନ୍ତ ପୁସ୍ତକରେ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇଛି ।

(iv) ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Rational Numbers) ମାନଙ୍କ ସେଟ୍ Q = {\(\frac{p}{q}\) : p ଓ ରୁ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ଓ q ≠ 0} 
ମନେରଖ : ଯେକୌଣସି ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟ ଗୋଟିଏ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।
(v) N, N*, Z ଓ Q ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ : N ⊂ N* ⊂ Z ⊂ Q

N ସେଟ୍‌ରେ ଯୋଗ ଓ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ବୀଜଗାଣିତିକ ଧର୍ମ :
ଏଠାରେ ବ୍ୟବହୃତ ସଙ୍କେତ m, n ଓ p ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା । ଅର୍ଥାତ୍ m, n, p ∈ N
ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ଧର୍ମ :
(i) ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ (Closure property) : m + n ∈ N ଅର୍ଥାତ୍ ଦୁଇଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(ii) କ୍ରମ ବିନିମୟୀ ଧର୍ମ (Commutative property) : m + n = n + m
(iii) ସହଯୋଗୀ ଧର୍ମ (Associative property) : m + (n + p) = (m + n) + p

ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ଧର୍ମ :
(iv) ସଂବୃତ୍ତି ଧର୍ମ : mn ∈ N ଅର୍ଥାତ୍ ଦୁଇଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।
(v) କ୍ରମବିନିମୟୀ ଧର୍ମ ; mn = nm
(vi) ସହଯୋଗୀ ଧର୍ମ : m (np) = (mn) p
(vii) ଅଭେଦ ଧର୍ମ (Identity property) : ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ସଂଖ୍ୟା 1 (ଏକ) ଅଭେଦ ଓ m · 1 = 1 · m = m
{1କୁ ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ (Multiplicative Identity) କୁହାଯାଏ ।}
(viii) ବଣ୍ଟନ ଧର୍ମ (Distributive property) : m(n + p) = mn + mp ଅର୍ଥାତ୍‌ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ବଣ୍ଟନ କରିଥାଏ ।

ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମ (Order) :
N ସେଟ୍‌ରେ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମିତ (Ordered) I N ସେଟ୍‌ରେ 1 < 2 < 3 < 4 …….

ଯୋଗର ଅଭେଦ ଧର୍ମ (Additive Identity) :
ଯେକୌଣସି ଉପାଦାନ m – N* ହେଲେ 0 + m = m |
{0 କୁ ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ (Additive Identity) କୁହାଯାଏ ।}
N* ସେଟ୍‌ର ସିଦ୍ଧ ହେଉଥ‌ିବା ଯୋଗ ଓ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ସମସ୍ତ ଧର୍ମ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Zରେ ସତ୍ୟ ଅଟନ୍ତି ।

ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାପାଇଁ ବିଲୋମୀ ଧର୍ମ (Inverse Property) :
ଯେକୌଣସି ସେଟ୍‌ରେ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା m ପାଇଁ ଏହାର ବିଲୋମୀ (Inverse) ଟି – m ଓ – m ∈ Z
ଏବଂ m+ (-m) = 0 = (-m) + m ଏଠାରେ m ଓ – m ପରସ୍ପର ବିଲୋପୀ ଅଟନ୍ତି ।
ଶୂନର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ 0 

ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ବୀଜଗାଣିତିକ ଧର୍ମ :
Z ସେଟ୍‌ଟି ମଧ୍ୟକ୍ରମିକ ଅର୍ଥାତ୍ … < – 4 < – 3 < – 2 < – 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ……. । 
ଦୁଇଗୋଟି ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାର ବିୟୋଗଫଳ ଏକ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା । ତେଣୁ ବିୟୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାଟି Z ସେଟ୍‌ରେ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ । ମାତ୍ର ବିୟୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସହଯୋଗୀ କିମ୍ବା କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ ନାହିଁ ।
ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ –
(i) -(-m) m (ii) (-m) (-n) = mn (iii) 0 × m = m × 0 = 0

କେତେକ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ତ୍ତି ଧାରଣା :
(a) ଇଉକ୍ଲିଡାୟ ପଦ୍ଧାତି (Euclidean algorithm):
P > 1 ଏକ ସ୍ବାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଓ n ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, n = mp + r
ଯେଉଁଠାରେ m r ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଓ 0 < 1 < p n = mp + r ପରିପ୍ରକାଶଟି ଅନନ୍ୟ ।
ଏଠାରେ n = ଭାଜ୍ୟ (devidend), p = ଭାଜକ (divisor), m = ଭାଗଫଳ (quotient) ଓ r = ଭାଗଶେଷ (remainder ବା residue) |
ଅର୍ଥାତ୍ ଭାଜ୍ୟ = ଭାଜକ x ଭାଗଫଳ + ଭାଗଶେଷ
ଯଦି ଭାଗପ୍ରକ୍ରିୟାର r = 0, ତେବେ ଆମେ କହିଥାଉ n ସଂଖ୍ୟାଟି p ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

(b) ଯୁଗ୍ମ ଓ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (Even and Odd Numbers) :

• ଯେଉଁ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା 2 ଦ୍ବାରା ବିଭାଜ୍ୟ ତାହାକୁ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା (Even numbers) କୁହାଯାଏ । ଏହାର ସାଧାରଣ ରୂପ 2m (m ∈ Z) ।
• ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହଁନ୍ତି ସେମାନଙ୍କୁ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ ।
  ଏହାର ସାଧାରଣ ରୂପ 2m + 1 (m ∈ Z) ।
• ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ (relatively prime) ଯଦି ହୁଏ ସେମାନଙ୍କ ଗ.ସା.ଗୁ. 1 ହେବ । m ଓ
  n ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଯଦି (m, n) = 1 ।

(c) ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା (Prime and Composite Numbers) :
(i) ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି 1 ଓ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ତାହାକୁ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ ।
(ii) ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା l ଓ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ତାହାକୁ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ ।
(iii) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ସେ ନିଜେ ଓ 1 ଉତ୍ପାଦକଦ୍ବୟ ରହିଲେ ଏହି ଦୁଇଗୋଟି ଉତ୍ପାଦକକୁ ନଗଣ୍ୟ ଉତ୍ପାଦକ (Trivial factors) କୁହାଯାଏ । ମାତ୍ର ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ନଗଣ୍ୟ ଉତ୍ପାଦକ ବ୍ୟତୀତ ଗଣ୍ୟ ଉତ୍ପାଦକ (Not-trivial factors) ଥାଏ ।

{1 ଓ 11000 ମଧ୍ୟରେ 168ବି, 1000 ଓ 2000 ମଧ୍ୟରେ 135ବି, 2000ରୁ 3000 ମଧ୍ୟରେ 127ବି, 3000ରୁ 4000 ମଧ୍ଯରେ 120ଟି, 4000ରୁ 5000 ମଧ୍ୟରେ 119ଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ।}

(iv) ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ଅନନ୍ୟ (Unique), ଅର୍ଥାତ୍ କୌଣସି ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦୁଇ ପ୍ରକାର ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଉତ୍ପାଦକର ଗୁଣଫଳରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇନପାରେ ।

• 1 ଭିନ୍ନ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା ଅନନ୍ୟ ଭାବରେ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳରୂପେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ ।
• ଏହି ତଥ୍ୟ Fundamental Theorem of Arithmetic ବା Unique Factorisation Theorem ନାମରେ ଅଭିହିତ ।
• 1 ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

(v) ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ରାଶିମାନଙ୍କର ଉତ୍ପାଦକୀକୃତ ରୂପକୁ (Standard) ବା (Canonical) ରୂପ କୁହାଯାଏ । ଏ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Rational Numbers) :
ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ଠୁକୁ ବିଚାର କଲେ ଚାରିଟିଯାକ ପ୍ରକ୍ରିୟା (ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ ଓ ହରଣ) ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରନ୍ତି । କେବଳ ହରଣ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଭାଜକଭାବେ ରହିଥିବା ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି ଅଣଶୂନ୍ୟ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ । ଯୋଗ ଓ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଦ୍ଵୟ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖ ବୀଜଗାଣିତିକ ନିୟମଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ । ଏଠାରେ x, y, z ∈ Q

ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ନିୟମ :
(i) ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ : x + y = Q
(ii) କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ : x + y = y + x
(iii) ସହଯୋଗୀ ନିୟମ : x + (y + z) = (x + y) + z
(iv) ଅଭେଦ ନିୟମ : x + 0 = x (‘0’ କୁ ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ କୁହାଯାଏ)
(v) ବିଲୋମୀ ନିୟମ : x + (− x) = 0 (x ଓ – x ପରସ୍ପର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ)

ଗୁଣନା ପ୍ରକ୍ରିୟାର ନିୟମ :
(i)ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ : xy ∈ Q
(ii) କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ : xy = yx
(iii) ସହଯୋଗୀ ନିୟମ : x (yz) = (xy) z
(iv) ଅଭେଦ ନିୟମ : x · 1 = x (1କୁ ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ କୁହାଯାଏ ।)
(v) ବିଲୋମୀ ନିୟମ : x(x ≠ 0)ର ବିଲୋମୀ \(\frac{1}{x}\) (କିମ୍ବା x^-1) ଓ x . \(\frac{1}{x}\) = 1 (x ଓ \(\frac{1}{x}\) ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରସ୍ପରର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ।)

ଯୋଗ ଓ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାଦ୍ୱୟର ନିୟମ :
(i) ବଣ୍ଟନ ନିୟମ : x(y + z) = xy + xz |
(ii) ଯେଉଁ ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଉପରୋକ୍ତ ଯୋଗାତ୍ମକ, ଗୁଣନାତ୍ମକ ତଥା ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ପାଳନ କରୁଥୁବେ, ସେହି ସେଟ୍‌କୁ ଗୋଟିଏ ଫିଲ୍ଡ (Field) କୁହାଯାଏ । ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ Q ଏକ ଫିଲ୍ଡ 

• Q ସେଟ୍‌ରେ ଗୁଣନର ବିଲୋମୀ ନିୟମ ସତ୍ୟ; ମାତ୍ର ଏହା Z ସେଟ୍‌ରେ ସତ୍ୟ ହେଉନଥିଲା ।
• a + a + a + ….. (n ଥର) = na ଓ a × a × a × ….. (n ଥର) = aⁿ ⇒ aⁿ ସଂକେତକୁ ପ୍ରଥମେ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ (Rene Descartes) ବ୍ୟବହାର କରିଥିଲେ ।

ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରରେ ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଅସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ ଅଟନ୍ତି ।

(i) ତ୍ରିମୁଖୀ ନିୟମ : ଦୁଇଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା x ଓ y ଦିଆଯାଇଥିଲେ ତୁଳନା କରି କହିହେବ
(a) x > y, (b) x < y କିମ୍ବା (c) x = y ଏହାକୁ ତ୍ରିମୁଖୀ ନିୟମ (Trichotomy law) କୁହାଯାଏ ।
ମନେକର x = \(\frac{p}{q}\) ଓ y = \(\frac{r}{s}\); p, q, r, s ∈ Z ଓ q ≠ 0 ଓ s ≠ 0
x < y ବା \(\frac{p}{q}\) < \(\frac{r}{s}\) ଯଦି ଓ କେବଳ ଯଦି ps < qr ବା ps – qr < 0
x > y ବା \(\frac{p}{q}\) > \(\frac{r}{s}\) ଯଦି ଓ କେବଳ ଯଦି ps > qr ବା ps – qr > 0

(ii) ନିମ୍ନଲିଖ୍ ଅସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ ଅଟନ୍ତି ଯେଉଁଠାରେ x, y, z ∈ Q।
(a) x < y ଓ y < z ହେଲେ x < z ଏହା ସଂକ୍ରମୀ ନିୟମ (Law of transitivity) ଅଟେ ।
(b) x < y ହେଲେ x + z < y + z
(c) x < y ଓ z > 0 ହେଲେ xz < yz
(d) x < y ଓ z < 0 ହେଲେ xy > yz
(e) 0 < x < y ହେଲେ \(\frac{1}{x}\) > \(\frac{1}{y}\) ଓ y < x < 0 ହେଲେ \(\frac{1}{y}\) > \(\frac{1}{x}\)

ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାରି ଘନତୃ (Density of Rational Numbers) :
ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଅସଂଖ୍ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଥାଏ ।
a ଓ b ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ a < b ହେଲେ a < \(\frac{a+b}{2}\) < b

ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଦଶମିକ ରୂପ :

1. \(\frac{p}{q}\) (q ≠ 0) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାରେ pକୁ ପୃଦ୍ୱାରା ଭାଗକଲେ କେତେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଭାଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାଟିର ପରିସମାପ୍ତି ଘଟେ ଓ ଆଉ କେତେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଭାଗ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ପରିସମାପ୍ତି କେବେହେଲେବି ଘଟେ ନାହିଁ 
2. ଯେଉଁ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାରେ ଭାଗପ୍ରକ୍ରିୟାର ପରିସମାପ୍ତି ଘଟିଥାଏ, ତାହାକୁ ସସୀମ ବା ସରନ୍ତି (terminating) ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ ।
   \(\frac{1}{2}\) = 0.5, \(\frac{1}{4}\) = 0.25, \(\frac{1}{5}\) = 0.2 ଇତ୍ୟାଦି ସସୀମ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ।
3. ଯେଉଁ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାରେ ଭାଗପ୍ରକ୍ରିୟାର ପରିସମାପ୍ତି ଘଟେ ନାହିଁ ତାହାକୁ ଅସୀମ ବା ଅସରନ୍ତି (non-terminating) ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା କୁହାଯାଏ ।
   \(\frac{1}{3}\) = 0.3333 ….., \(\frac{1}{7}\) = 0.14285714285714 ….., \(\frac{5}{6}\) = 0.83333 …., ଇତ୍ୟାଦି ଅସୀମ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା
4. ଯେଉଁ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାରେ ଦଶମିକ ବିନ୍ଦୁ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଗୋଟିଏ ଅଙ୍କ ବା ଏକାଧିକ ଅଙ୍କମାନ ବାରମ୍ବାର କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଆବିର୍ଭାବ ହୁଏ, ତାହାକୁ ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା (Recurring Decimals) କୁହାଯାଏ ।
   0.3333 ….. = \(0 . \overline{3}\) = 0.14285714285714 = \(0 \cdot \overline{142857}\), 0.8333 ….. = \(0 . \overline{83}\) ଇତ୍ୟାଦି ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା 

ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ରୂପରେ ପ୍ରକାଶିତ ହୋଇପାରେ; ଯଥା :
(a) ସସୀମ ଦଶମିକ (terminating decimals) ରୂପ ଏବଂ
(b) ଅସୀମ ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ (non-terminating and recurring decimals) ରୂପ ।

• ପ୍ରତ୍ୟେକ ସସୀମ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅସୀମ ଅଥଚ ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।
• ଯେଉଁ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାରୁଡ଼ିକ ଅସୀମ (non-terminating) କିନ୍ତୁ ପୌନଃପୁନିକ ନୁହଁନ୍ତି, ସେଗୁଡ଼ିକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନୁହଁନ୍ତି ।

ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ଠୁର ଅଭାବତ୍ଵ (Inadequacy of Rationals) ଓ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Irrational numbers) :
(i) ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ନୁହେଁ ସେହି ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ବର୍ଗମୂଳ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ । 
(ii) √2, √3, √5, √17, √11 ଆଦି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।
[p ମୌଳିକ ହେଲେ √p ଅପରିମେୟ ହେବ]

ଅସୀମ ଓ ଅଣପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ରାଶି (Non-terminating and non-recurring Decimals): 
(i) ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏକ ଅସୀମ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାରେ ବା ଅସୀମ ଓ ପୌନଃପୁନିକ ଦଶମିକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟାରେ ପ୍ରକାଶ କରିହେବ । କିନ୍ତୁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଦଶମିକ ରୂପ ଅସୀମ ହେବ ଏବଂ ଅଣ ପୌନଃପୁନିକ ହେବ ।
(ii)କେବଳ ବର୍ଗମୂଳ ଜରିଆରେ (ଯଥା: √2, √3, √5 ଇତ୍ୟାଦି) ଯେ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ ତାହା ନୁହେଁ । ସମୀକରଣ x³ = 2, x⁴ = 2….. ଇତ୍ୟାଦି ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରି \(\sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2}\) ….. ଇତ୍ୟାଦି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ପାଇହେବ ।
ମନେରଖ :
ବାସ୍ତବିକ ଯେତେ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ତାଠାରୁ ଯଥେଷ୍ଟ ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟାର ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ।

ଅପରିମେୟ ରାଣି  (Irrational number π) :
(i) ପ୍ରତ୍ୟେକ ସସୀମ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟା ଯିଏ ପୌନଃପୁନ୍ୟ ହୋଇନଥ୍ବ, ତାହା ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । ଉଦାହରଣ -√2, √3, √5 ଇତ୍ୟାଦି ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।
(ii)  ଯେକୌଣସି ବୃତ୍ତରେ ପରିଧୂ ଓ ବ୍ୟାସର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ ଏକ ଧ୍ରୁବକ ସଂଖ୍ୟା (Constant); ଯାହାକୁ r ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଇଥାଏ ।
\(\frac{ବୃତ୍ତର ପରିଧୂ}{ବ୍ୟାସର ଦୈର୍ଘ୍ୟ}\) = π
{1761 ମସିହାରେ ଗଣିତଜ୍ଞ Lambert ଯୁକ୍ତିମୂଳକ ପ୍ରମାଣ କରି ଦର୍ଶାଇଥିଲେ ଯେ, “π ଏକ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା”}
(iii) ଗ୍ରୀକ୍ ଦାର୍ଶନିକ ଆର୍କିମେଡ଼ିସ୍‌ fର ଆସନ୍ନମାନ \(\frac{22}{7}\) ବୋଲି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିଥିଲେ । ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ନରେ ଆସନ୍ନମାନ \(\frac{22}{7}\) ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇ ଗାଣିତିକ ହିସାବ କରାଯାଏ ।  
(iv) ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା π ଓ e ର ମୂଲ୍ୟ 2 ଓ 3 ମଧ୍ୟରେ ଥାଏ ।
(v) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ ଓ ଗୁଣନ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କର ।

ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (Real Numbers) :
(i) ସମସ୍ତ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ସେଟ୍‌କୁ Q’ ସଂକେତ ଦ୍ୱାରା ଲେଖାଯାଏ ।
(ii) ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ଠୁ ଓ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ଠୁ’ ର ସଂଯୋଗରୁ ଯେଉଁ ନୂତନ ସେଟ୍ ମିଳେ ତାହାକୁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା (Real Number) ସେଟ୍‌ କୁହାଯାଏ । ଏହି ସେଟ୍‌ର ସଂକେତ R 
Q ∪ Q’ = R, Q ∩ Q’ = Φ, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ବୀଜଗାଣିତିକ ଧର୍ମ (Algebraic Properties in Reals) :
ଯୋଗପ୍ରକ୍ରିୟାର ଧର୍ମ :
x, y, Z E R ହେଲେ
(i) ସଂବୃତ୍ତି ଧର୍ମ x ∈ R ଓ y ∈ R ହେଲେ x + y ∈ R
(ii) କ୍ରମବିନିମୟୀ ଧର୍ମ x ∈ R ଓ y ∈ R ହେଲେ x + y = y + x
(iii) ସହଯୋଗୀ ଧର୍ମ x, y, z ∈ R ହେଲେ x + (y + z) = (x + y) + z
(iv) ଅଭେଦ ଧର୍ମ ; X € R = x + 0 = x; 0 (0, R ସେଟ୍‌ରେ ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ ଅଟେ ।)
(v) ବିଲୋମୀ ଧର୍ମ : ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା xର ଯୋଗାତ୍ମକ୍ ବିଲୋମୀ (-x) ଓ x + (-x) = 0
(x ମଧ୍ଯ (-x)ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ)

ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାର ଧର୍ମ :
x, y, Z ∈ R ହେଲେ
(i) ସଂବୃତ୍ତି ଧର୍ମ : xy ∈ R
(ii) କ୍ରମବିନିମୟୀ ଧର୍ମ ; xy = yx
(iii) ସହଯୋଗୀ ଧର୍ମ ; x (yz) = (xy) z
(iv) ଅଭେଦ ଧର୍ମ : x × 1 = x (1 (ଏକ) ସଂଖ୍ୟାଟି ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଭେଦ ।)
(v) ବିଲୋମୀ ଧର୍ମ : ପ୍ରତ୍ୟେକ x + 0 ପାଇଁ ଏକ ଅନନ୍ୟ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା \(\frac{1}{x}\) ବା x^-1 ରହିଛି, ଯେପରିକି x . x^-1 = 1 \(\frac{1}{x}\) ବା x^-1 କୁ xର ଏବଂ xକୁ x^-1 ର ଗୁଣନାତ୍ମକ ବିଲୋମୀ ଅଟେ ।

ଯୋଗ ଓ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାଦ୍ୱୟର ଧର୍ମ :
(i) ବଣ୍ଟନ ନିୟମ : x (y + z) = xy + xz (ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାଟି ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଉପରେ ବାଛି ହେବ ।)
(ii) ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା x ଓ yର ଯୋଗଫଳ ତଥା ଗୁଣନଫଳ ପରିମେୟ (Q ସେଟ୍‌ରେ ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ) x, y ∈ Q ହେଲେ, x + y ∈ Q ଏବଂ xy ∈ Q
(iii) ଦୁଇଟି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା x ଓ y ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ପରିମେୟ ଓ ଅନ୍ୟଟି ଅପରିମେୟ ହେଲେ ଯୋଗଫଳ x + y ଅପରିମେୟ ଓ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାଟି ଅଣଶୂନ୍ୟ ହେଲେ ଗୁଣଫଳ ମଧ୍ୟ ଅପରିମେୟ । ମାତ୍ର ଗୁଣଫଳ = 0 ହେବ ଯଦି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା 0 ହେବ
(iv) ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାକୁ x ସହ (କୁ ଗୁଣନକଲେ ଗୁଣଫଳ ଶୂନ ହେବ । [Zero Law : x × 0 = 0]
(v) x ଓ y ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ x = Q’ ଓ y ∈ Q’ ହେଲେ x + y କିମ୍ବା xy ପରିମେୟ କିମ୍ବା ଅପରିମେୟ ହୋଇପାରନ୍ତି ।
(vi) Q’ ସେଟ୍‌ରେ ଯୋଗ ଓ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରନ୍ତି ନାହିଁ ।
(vii) aⁿ ରେ aକୁ ଆଧାର (base) ଓ nକୁ ଘାତ (index) କୁହାଯାଏ ।

R ସେଟ୍‌ର ଯୋଗ ଓ ଗୁଣନ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ କିଛି ଅଧ୍ବକ ତଥ୍ୟ :
x, y, z ∈ R ହେଲେ
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ – 1: x + y = x + z ହେଲେ, y = z ଓ y + x = z + x ହେଲେ y = z |
ଏ ଦୁଇଟିକୁ ଯୋଗର ବିଲୋପନ ନିୟମ (Cancellation law of addition) କୁହାଯାଏ ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ – 2:  x + 0 ଏବଂ xy = xz ହେଲେ y = z ଓ yx = zx ହେଲେ y = z I
ଏ ଦୁଇଟିକୁ ଗୁଣନର ବିଲୋପନ ନିୟମ (Cancellation law of multiplication) କୁହାଯାଏ ।
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ – 3: (i) x × 0 = 0, (ii) (-x) = x, (iii) x ≠ 0 ହେଲେ (x^-1)^-1 = x
ଅନୁସିଦ୍ଧାନ୍ତ – 4 (i) x (-y) = (-x) y = -(xy) (ii) (-x) (-y) = xy

ସଂଖ୍ୟାରେଖା (Number Line) :
(1) ବୀଜଗାଣିତିକ ରାଶି ଓ ଜ୍ୟାମିତି ସହ ସଂପର୍କକୁ ନେଇ ବିଶ୍ଳେଷଣାତ୍ମକ ଜ୍ୟାମିତି (Analytical Geometry)ର ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଛି ।
(2) ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏକ ସରଳରେଖାର ଏକ ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵାରା ସୂଚିତ କରାଯାଇପାରିବ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରି ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଡ଼ିଦେଲେ ଗୋଟିଏ ନିରବଚ୍ଛିନ୍ନ ସରଳରେଖା ସୃଷ୍ଟି ହେବ । ଏହା ବିଖ୍ୟାତ ଗାଣିତିକ ଜେଜେକିଣ୍ଡ (Dedekind) ଓ କାଣ୍ଟର (Cantor)ରଙ୍କ ଅବଦାନ ।
(3) ଯେକୌଣସି ଜ୍ୟାମିତିକ ବିଷୟବସ୍ତୁକୁ ଆମେ ବୀଜଗଣିତ ସାହାଯ୍ୟରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବ ।

ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସ୍ଥାପନ (Representation of real numbers on the number line) :
(i) ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ କରିବାପାଇଁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁ ୦ ନିଆଯାଉ । ଏହି ବିନ୍ଦୁଦେଇ \(\overleftrightarrow{X^{\prime} \mathrm{OX}}\) ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
(ii) O ବିନ୍ଦୁକୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ (Origin) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{XX’}}\) ରେଖାକୁ ସଂଖ୍ୟାରେଖା (Number Line) ବା ବାସ୍ତବ ଅକ୍ଷ (Real axis) କୁହାଯାଏ ।
(iii) ଠ ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବ \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\) କୁ ଧନାତ୍ମକ ଦିଗ (Positive side) ଓ ଏହାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବ \(\left(\overrightarrow{\mathrm{OX}^{\prime}}\right)\) କୁ ଋଣାତ୍ମକ ଦିଗ (Negative side) କୁହାଯାଏ ।

(a) ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସ୍ଥାପନ :

• କୌଣସି ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡ ନେଇ ତାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟକୁ ଏକ ଏକକ ବୋଳି ନିଆଯାଉ । ଠ ବିନ୍ଦୁର ସୂଚକ ସଂଖ୍ୟା (0) ଶୂନ ହେଉ
• ତତ୍ତ୍ଵ ଏକକ ସହ ସମାନ କରି ଠ ବିନ୍ଦୁରୁ \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\) ଦିଗରେ OA ଛେଦ କରାଯାଉ । ଅର୍ଥାତ୍ OA ଏକ ଏକକ ପ୍ରାପ୍ତ A ବିନ୍ଦୁର ସୂଚକ ସଂଖ୍ୟା 1 ହେଲା ।
• ବିପରୀତ ଦିଗ \(\overrightarrow{\mathrm{OX’}}\) ରୁ ଏକ ଏକକ ସହ ସମାନ କରି OA’ ଛେଦକଲେ, A’ ବିନ୍ଦୁର ସୂଚକ ସଂଖ୍ୟା –1 ହେବ । \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{xx}^{\prime}}\) ରେଖା ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ O, A, A’ B, B’ ଇତ୍ୟାଦି ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ସ୍ଥାନାଙ୍କ (Co-ordinate) ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।

(b) ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ସ୍ଥାପନ :

• ମନେକର b > 1 ଏକ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା । ତେଣୁ \(\frac{1}{b}\) ଏକ ପ୍ରକୃତ ଭଗ୍ନାଂଶ (Proper fraction) ହୋଇଥିବାରୁ, ଏହି ସଂଖ୍ୟାଟି ଠ ଓ A ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ଏକ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ହେବ ।
• OA (ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ ଏକକ) ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ b ସମାନ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କଲେ, ପ୍ରତି ସମାନ ଭାଗର ଦୈର୍ଘ୍ୟ \(\frac{1}{b}\) ହେବ । ଛେଦବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ Q₁, Q₂, Q₃ …. ହେଲେ, ଏହି ଛେଦବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ \(\frac{1}{b}, \frac{2}{b}, \frac{3}{b}\) …. ହେବ । ସେହିପରି ଋଣାତ୍ମକ ପରିମେୟ ରାଶି \(-\frac{1}{\mathrm{~b}},-\frac{2}{\mathrm{~b}},-\frac{3}{\mathrm{~b}}\) ….. ରଣଦିଗ \(\overrightarrow{\mathrm{OX’}}\) ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବ ।

(c) ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ସ୍ଥାପନ :

ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର କ୍ରମ (Order in R) :
(i) a ଓ b ଦୁଇଟି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, ହୁଏତ a > b ବା a < b, a = b ହୋଇପାରେ । ଏହାକୁ ତ୍ରିମୁଖୀ ନିୟମ (Law of Trichotomy) କୁହାଯାଏ ।
(ii) a, b, c ତିନୋଟି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ, a < b ଏବଂ b < c ହେଲେ a < c ହେବ । ଏହାକୁ ସଂକ୍ରମୀ ନିୟମ (Law of Transitivity) କୁହାଯାଏ ।
(iii) a < b ଏବଂ c > 0 ହେଲେ, ac < bc ହେବ ।
(iv) ଯଦି a < b ହୁଏ, ତେବେ ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା c ପାଇଁ a + c < b + c ହେବ ।
(iv) a > 0 ଓ b > 0 ହେଲେ, ab > 0 1
(v) a ଏକ ବାସ୍ତବ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଅର୍ଥାତ୍ a > 0 ହୁଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ 0 (ଶୂନ)ର ଡାହାଣକୁ ରହେ । ଯଦି a ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଅର୍ଥାତ୍ a < 0 ହୁଏ ତେବେ a, 0 (ଶୂନ)ର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ରହେ ।

{ଶୂନ ଏକମାତ୍ର ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଧନାତ୍ମକ ନୁହେଁ ବା ଋଣାତ୍ମକ ନୁହେଁ ।}

ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ‘x’ର ପରମମାନ :

• ଏକ ଧନାତ୍ମକ ହେଉ ବା ଋଣାତ୍ମକ ହେଉ, ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା xର ସାଂଖ୍ୟକ ମାନକୁ |x| ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । ଏହି ।x ସର୍ବଦା ଏକ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ରାଶି ଓ ଏହାକୁ xର ପରମମାନ (Absolute value) କୁହାଯାଏ ।
  x ଧନାତ୍ମକ, ଶୂନ ବା ଋଣାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାହେଲେ,
  |x| ={ x, ଯେତେବେଳେ x > 0, -x, ଯେତେବେଳେ x < 0}
•  x ଯେକୌଣସି ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ,
  (a) |x| = |-x| ≥ 0 (b) |x| ≥ x (c) |x| ≥ -x (d) |x| ≤ a ହେଲେ, -a ≤ x ≤ a ହେବ

ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ଦୁଇ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା :
ସଂଖ୍ୟାରେଖାସ୍ଥିତ P ଓ Q ବିଦୁଦ୍ଵୟର ସାଂଖ୍ୟକ ମାନ ବା ସ୍ଥାନଙ୍କ ଯଥାକ୍ରମେ a ଓ b ହେଲେ
PQ = |a – b| ଅର୍ଥାତ୍ P ଓ Q ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = |a – b|

ଘାତାଙ୍କ ରାଣି (Exponential Numbers):
(i) a ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ n ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, aର ଅର୍ଥ a × a × a × a × a × ….. n (ଥର) ଅଟେ
(ii) aⁿ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଏହାର କାରଣ ହେଲା ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍‌ରେ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାଟି ସଂବୃତ୍ତି ନିୟମ ପାଳନ କରେ ।
(iii) a ରୂପକୁ ଘାତାଙ୍କ ରୂପ (exponential from) କୁହାଯାଏ । ଯେଉଁଠାରେ a ଆଧାର (base) ଓ n ଘାତାଙ୍କ ।
(iv) n = 0 ହେଲେ a⁰ = 1 ଓ ଏଠାରେ a ≠ 0, ଏହା ଏକ ସଂଜ୍ଞା ।
(v) a ≠ 0 ହେଲେ a^-1 = \(\frac{1}{a}\) ଏବଂ a^-m = \(\frac{1}{a^m}\) (a ≠ 0, m ∈ N)
(vi) a ଅଣଶୂନ୍ୟ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଘାତାଙ୍କ n ଏକ ପୂର୍ଣସଂଖ୍ୟା (n ∈ Z) ହେଲେ ଅର୍ଥାତ୍ a, b ∈ R ଓ a ≠ 0, b ≠ 0; m, n ∈ Z
⇒ (a) a^m × aⁿ = a^{m + n} (b) a^m ÷ aⁿ = a^m-n
⇒ (c) (ab)^m = a^m × b^m (d) (a^m)ⁿ = a^mn
(vii) √a ଓ \(\sqrt[3]{a}\) କୁ ଯଥାକ୍ରମେ \(a^{\frac{1}{2}}\) ଏବଂ \(a^{\frac{1}{2}}\) ରୂପେ ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ । ବ୍ୟାପକଭାବେ q ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ \(a^{\frac{1}{q}}\) ଏକ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ଏହାକୁ q ତମ ମୂଳ (qth root) କୁହାଯାଏ ।
(viii) \(a^{\frac{1}{q}}\) ରାଶିକୁ p ଥର ଗୁଣନ କଲେ ପାଇବା \(a^{\frac{1}{9}} \times a^{\frac{1}{q}} \times a^{\frac{1}{q}} \times\) ….. (P ଥର) \(a^{\frac{p}{q}}=\left(a^p\right)^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a^p}=(\sqrt[q]{a})^p\)

Odisha State Board BSE Odisha 8th Class Maths Solutions Algebra Chapter 2 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 8 Maths Solutions Algebra Chapter 2 ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା Ex 2(b)

Question 1.
ପ୍ରଦତ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ସୂଚିତ କର ।
(i) \(\frac{7}{4}\)
(ii) \(\frac{-5}{6}\)
(iii) \(\frac{8}{3}\)
ସମାଧାନ :
(i) \(\frac{7}{4}=1 \frac{3}{4}\) ∴ 1 < \(\frac{7}{4}\) < 2

ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ O, A, B ଯଥାକ୍ରମେ 0,1ଓ 2 ର ସଂଖ୍ୟାର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ନିଆଯାଉ ।
\(\overline{\mathrm{AB}}\) କୁ 4 ସମାନ ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଉ, ଯେପରି AP = PQ = QR = RB ହେବ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ R ବିନ୍ଦୁଟି \(1 \frac{3}{4}\) ସଂଖ୍ୟାର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ।

(ii) \(\frac{-5}{6}\), 1 ଓ 0 ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ।
∴ -1 < \(\frac{-5}{6}\) < 0
-1 ଓ 0 ସୂଚିତ ବିଦୁ୍ୟଦ୍ୱୟର ସଂଯୋଜକ ରେଖାଖଣ୍ଡ \(\overline{\mathrm{AO}}\) କୁ 6 ସମାନ ଭାବରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଉ । ଶୂନ ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁରୁ ବାମକୁ 5 ଟି ଭାଗକଲେ ଯେଉଁ କ୍ତ ବିନ୍ଦୁଟି ରହିବ, ତାହା \(\frac{-5}{6}\)ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ।

(iii) \(\frac{8}{3}=2 \frac{2}{3}\) ∴ 1 < \(\frac{7}{4}\) < 2
ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ ଠ, A, B ଓ C ଯଥାକ୍ରମେ 0, 1, 2 ଓ 3 ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ହେଉ । \(\overline{\mathrm{BC}}\) କୁ D ଓ E ବିନ୍ଦୁରେ ସମାନ ତିନିଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଉ ।
ଯେପରିକି B – D – E – C ଏବଂ BD = DE = EC ହେବ ।

E ବିନ୍ଦୁଟି \(2 \frac{2}{3}\)ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ।

Question 2.
\(\frac{-2}{11}, \frac{-5}{11}, \frac{-9}{11}\) କୁ ସଂଖ୍ୟାରେଖାର ଦେଖାଅ ।
ସମାଧାନ :
\(\frac{-2}{11}, \frac{-5}{11}, \frac{-9}{11}\) ବିନ୍ଦୁମାନ ସଂଖ୍ୟାରେଖାର -1 ଓ 0 ସୂଚିତ ବିଦୁ୍ୟଦ୍ବୟ ଦ୍ବାରା ଗଠିତ ରେଖାଖଣ୍ଡ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବେ । ମନେକର A’ ଓ O ବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ଯଥାକ୍ରମେ -1 ଓ 0 ର ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁ । \(\overline{\mathrm{A’O}}\) କୁ ସମାନ 11 ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଉ ।

\(\frac{-2}{11}, \frac{-5}{11}, \frac{-9}{11}\) ପାଇଁ ସୂଚକ ବିନ୍ଦୁମାନ ଯଥାକ୍ରମେ P’, Q’ ଓ R’ ।

Question 3.
(i) 2 ଠାରୁ ସାନ ପାଞ୍ଚଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ।
ସମାଧାନ :
2 ଠାରୁ ସାନ ପାଞ୍ଚଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା \(-\frac{1}{2}, 0, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}\)

(ii) \(\frac{3}{5}\) ଓ \(\frac{3}{4}\) ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା ଦଶଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :

Question 4.
(i) \(\frac{-2}{5}\) ଓ \(\frac{1}{2}\) ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଦଶଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) 2 ଠାରୁ ବଡ଼ ପାଞ୍ଚଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା
ସମାଧାନ :
(i)

ଏଥ୍ ମଧ୍ୟରୁ ଯେ କୌଣସି ଦଶଗୋଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିଆଯାଇପାରେ ।

(ii)

Question 5.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଦତ୍ତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା ପାଞ୍ଚଟି ଲେଖାଏଁ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) \(\frac{2}{3}\) ଓ \(\frac{4}{5}\)
(ii) \(\frac{-3}{2}\) ଓ \(\frac{5}{3}\)
(iii) \(\frac{1}{4}\) ଓ \(\frac{1}{2}\)
ସମାଧାନ :
(i)

(ii)

(iii)

Question 6.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକରେ ଥ‌ିବା ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ସ୍ଥିର କର ।
(i) \(\frac{2}{3}\) ଓ \(\frac{5}{7}\)
(ii) \(\frac{3}{4}\) ଓ \(\frac{7}{9}\)
(iii) \(\frac{3}{7}\) ଓ \(\frac{4}{11}\)
ସମାଧାନ :
(i) 3 ଓ 7 ର ଲ.ସା. ଗୁ = 21
\(\frac{2}{3}=\frac{2 \times 7}{3 \times 7}=\frac{14}{21}, \frac{5}{7}=\frac{5 \times 3}{7 \times 3}=\frac{15}{21}\)
\(\frac{15}{21}>\frac{14}{21} \Rightarrow \frac{5}{7}>\frac{2}{3}\)

(ii) 4 ଓ 9 ର ଲ.ସା. ଗୁ = 36
\(\frac{3}{4}=\frac{3 \times 9}{4 \times 9}=\frac{27}{36}, \frac{7}{9}=\frac{7 \times 4}{9 \times 4}=\frac{28}{36}\)
\(\frac{28}{36}>\frac{27}{36} \Rightarrow \frac{7}{9}>\frac{3}{4}\)

(iii) 7 ଓ 11 ର ଲ.ସା. ଗୁ
\(\frac{3}{7}=\frac{3 \times 11}{7 \times 11}=\frac{33}{77}, \frac{4}{11}=\frac{4 \times 7}{11 \times 7}=\frac{28}{77} \)
\(\frac{33}{77}>\frac{28}{77} \Rightarrow \frac{3}{7}>\frac{4}{11}\)

ବିକଛ ପ୍ରଣାଳୀ
ଆମେ ଜାଣିଛେ \(\frac{a}{b}\) ଓ \(\frac{c}{d}\) ଦୁଇଟି ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ \(\frac{a}{b}\) > \(\frac{c}{d}\) ହେବ ଯଦି ad > bc ହେବ ।
ଏଠାରେ \(\frac{3}{7}\) > \(\frac{4}{11}\) କାରଣ 3 × 11 > 4 × 7 (33 > 28)

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(e) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(e)

Question 1.
ନିମ୍ନରେ କୋଡ୍ ଆକୃତିର କେତେକ ଟୋପିର ଉଚ୍ଚତା h ଓ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା l ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତି ଟୋପିରେ ଲାଗିଥିବା କପଡ଼ାର ପରିମାଣ ଏବଂ ତା’ର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
(i) h = 3.5 ସେ.ମି.. l = 9.1 ସେ.ମି.
(ii) h = 5.6 ସେ.ମି. l = 11.9 ସେ.ମି.
(iii) h = 3.5 ସେ.ମି. l = 12.5 ସେ.ମି.
Solution:
(i) h = 3.5 ସେ.ମି. ଓ l = 9.1 ସେ.ମି. |
r = \(\sqrt{l^2-\mathrm{h}^2}\) = \(\sqrt{(9.1)^2-(3.5)^2}\) = \(\sqrt{82.81-12.25}\) = \(\sqrt{70.56}\) = 8.4 ସେ.ମି.
∴ ଟୋପିରେ ଲାଗିଥିବା କପଡ଼ାର ପରିମାଣ = πrl
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 8.4 × 9.1 ବାଗ ସେ.ମି. = 240.24 ବାଗ ସେ.ମି.
∴ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 8.4 × 8.4 ବାଗ ସେ.ମି. = 221.76 ବାଗ ସେ.ମି.

(ii) h = 5.6 ସେ.ମି. ଓ l = 11.9 ସେ.ମି.
r = \(\sqrt{l^2-\mathrm{h}^2}\) = \(\sqrt{(11.9)^2-(5.6)^2}\)
= \(\sqrt{141.61-31.36}\) = \(\sqrt{110.25}\) = 10.5 ସେ.ମି.
∴ କପଡାର ପରିମାଣ = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 10.5 × 11.9 = 392.70 ବାଗ ସେ.ମି.
∴ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 10.5 × 10.5 = 346.50 ବାଗ ସେ.ମି.

(iii) h = 3.5 ସେ.ମି. ଓ l = 12.5 ସେ.ମି.
r = \(\sqrt{l^2-\mathrm{h}^2}\) = \(\sqrt{(12.5)^2-(3.5)^2}\) ସେ.ମି.
= \(\sqrt{(12.5+3.5)(12.5-3.5)}\) ସେ.ମି. = \(\sqrt{16 \times 9}\) ସେ.ମି. = 12 ସେ.ମି.
∴ କପଡାର ପରିମାଣ = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 12 × 12.5 ବାଗ ସେ.ମି. = 471.43 ବାଗ ସେ.ମି.
∴ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 12 × 12 = 452.57 ବାଗ ସେ.ମି.

Question 2.
ନିମ୍ନରେ କୋଡ୍ ଆକୃତିର ତିନୋଟି ତମ୍ବୁର ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା l ଓ ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତି ତନ୍ତୁର ଭିତରର ଆୟତନ ଓ ତମ୍ବୁରେ ଲାଗିଥିବା କପଡ଼ାର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
(i) r = 10.5 ମି. ଓ l = 14.5 ମି.
(ii) h = 24 ମି. l = 25 ମି.
Solution:
(i) r = 10.5 ମି. ଓ l = 14.5 ମି.
h = \(\sqrt{l^2-\mathrm{r}^2}\) = \(\sqrt{(14.5)^2-(10.5)^2}\) ମି.
= \(\sqrt{(14.5+10.5)(14.5-10.5)}\) ମି. = \(\sqrt{25 \times 4}\) ମି. = 10 ମି.
∴ ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 10.5 × 10.5 × 10 ପନ.ମି. = 1155 ପନ.ମି.
∴ ଉପରେ ଲାଗିଥିବା କପରାଇ ପରିମାଣ = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 10.5 × 14.5 = 478.5 ବାଗ ମି.

(ii) h = 24 ମି. l = 25 ମି.
r = \(\sqrt{l^2-\mathrm{h}^2}\) = \(\sqrt{25^2-24^2}\) ମି. = \(\sqrt{625-576}\) ମି. = √49 ମି. = 7 ମି
∴ ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 7 × 7 × 24 = 1232 ଶଳା.ମି.
∴ ଉପରେ ଲାଗିଥିବା କପରାଇ ପରିମାଣ = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 7 × 25 = 550 ବାଗ ମି.

Question 3.
ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଆୟତନ 12936 ଘନ ମିଟର । ଏହାର ଉଚ୍ଚତା 28 ମିଟର ହେଲେ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଆୟତନ 9240 ଘନ ଏକକ । ଏହାର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 21 ଏକକ ହେଲେ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
ମନେକର କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = r ମି. । ∴ ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\)πr²h ପ.ମି.
ପ୍ରଣାଳୀବାରେ \(\frac { 1 }{ 3 }\)πr²h = 12936 ଗନମିଟର, ⇒ \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × r² × 28 = 12936
⇒ r² = \(\frac{12936 \times 21}{22 \times 28}\) = 441 ⇒ r = √441 = 21
∴ ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 21 × 21 ବର୍ଗମିଟର = 1386 ବର୍ଗମିଟର
ଦକ୍ତ ଭଳତା (l) = l = \(\sqrt{h^2+r^2}\) = \(\sqrt{28^2+21^2}\) = 35 ମି.
∴ ମନେକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 21 × 35 = 2310 ବର୍ଗମିଟର

(ii) କୋନ୍‌ର ଆୟତନ = 9240 ଘନ ଏକକ, ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = 21 ଏକକ
ମନେକର କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = h ଏକକ । କୋନ୍‌ର ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\)πr²h ଘନ ଏକକ ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ \(\frac { 1 }{ 3 }\)πr²h = 9240 ଘନ ଏକକ ⇒ \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 21 × 21 × h = 9240
⇒ h = \(\frac{9240}{22 \times 21}\) ଏକକ = 20 ଏକକ
∴ ଦକ୍ତ ଭଳତା (l) = \(\sqrt{h^2+r^2}\) = \(\sqrt{20^2+21^2}\) ଏକକ = \(\sqrt{400+441}\) ଏକକ = 29 ଏକକ
∴ ମନେକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 21 × 29 ବର୍ଗମିଟର = 1914 ବର୍ଗ ଏକକ |

Question 4.
(i) ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ବଜ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 550 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 7 ସେ.ମି. ହେଲେ କୋଟିର ଆୟତନ ଏବଂ ସମଗ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
(ii) ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 4070 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା 17 ସେ.ମି. ହେଲେ ତାହାର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଆୟତନ ନିରୂପଣ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
(i) କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 550 ବର୍ଗ ସେ.ମି., ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = 7 ସେ.ମି.
ମନେକର କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = l ସେ.ମି. ଓ କୋନ୍‌ର ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πrl ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ πrl = 550 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ⇒ \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 7 × l = 550 ⇒ l = \(\frac { 550 }{ 22 }\) = 25 ସେ.ମି.
∴ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା (h) = \(\sqrt{l^2-\mathrm{r}^2}\) = \(\sqrt{25^2-7^2}\) = \(\sqrt{625-49}\) = \(\sqrt{576}\) = 24 ସେ.ମି.
∴ କୋନ୍‌ର ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 7² × 24 = 22 × 7 × 8 = 1232 ମନ ସେ.ମି.
ସମଗ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr (l + r) = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 7 (25 + 7) ଦଗ ସେ.ମି.
= 22 × 32 = 704 ଦଗ ସେ.ମି.

(ii) କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4070 ଦଗ ସେ.ମି. ଜନ୍ତୁ ଭଳତା (l) = 37 ସେ.ମି. |
ମନେକର କୃମିର ବ୍ୟାଗାଦ = r ସେ.ମି. ସେ.ମି. ଓ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πrl ବର୍ଗ ସେ.ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ πrl = 4070 ବର୍ଗ ସେ.ମି.. ⇒ \(\frac { 22 }{ 7 }\) × r × 37 = 4070
⇒ r = \(\frac{4070 \times 7}{22 \times 37}\) ସେ.ମି. = 35 ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା (h) = \(\sqrt{l^2-\mathrm{r}^2}\) = \(\sqrt{37^2-35^2}\)
= \(\sqrt{(37+35)(37-35)}\) = \(\sqrt{72 \times 2}\) = 12 ସେ.ମି.
∴ ଦୃମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × (35)² ବର୍ଗ ସେ.ମି. = 3850 ବର୍ଗ ସେ.ମି..
∴ ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × (35)² × 12 ମନ ସେ.ମି. = 15400 ମନ ସେ.ମି.

Question 5.
ଯେଉଁ କୋନ୍‌ର ସମଗ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 2816 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 14 ସେ.ମି. ତାହାର ଆୟତନ ଏବଂ ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସ୍ଥିର କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
କୋନ୍‌ର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2816 ବର୍ଗ ସେ.ମି., ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = 14 ସେ.ମି. ।
ମନେକର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା = l ସେ.ମି. ଓ କୋନ୍‌ର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr(l + r) ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, πr (l + r) = 2816 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ⇒ \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 14 (l + 14) = 2816
⇒ l + 14 = \(\frac{2816 \times 7}{22 \times 14}\) = 64 ⇒ l = 64 – 14 = 50 ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା (h) = \(\sqrt{l^2-\mathrm{r}^2}\) = \(\sqrt{50^2-14^2}\) = \(\sqrt{64 \times 36}\) = 48 ସେ.ମି.
∴ ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 14 × 14 × 48 = 9856 ମନ ସେ.ମି.
∴ ବକ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 14 × 50 ବର୍ଗ ମି. = 2200 ବର୍ଗ ମି.

Question 6.
ସମଗ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 1386 ବର୍ଗ ସେ.ମି. ଏବଂ ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 770) ବର୍ଗ ସେ.ମି. ହୋଇଥିବା କୋଟିର ଆୟତନ ନିରୂପଣ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
ମନେକର କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = r ସେ.ମି. ଓ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା = h ସେ.ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, πr (l + r) = 1386 ଦଗ ସେ.ମି. πrl = 770 ଦଗ ସେ.ମି.
∴ πr² = πr (l + r) = (1386 – 770) ଦଗ ସେ.ମି. = 616 ଦଗ ସେ.ମି.
⇒ \(\frac { 22 }{ 7 }\) × r² = 616 ⇒ r² = \(\frac{616 \times 7}{22}\) = 28 × 7 = 196 ⇒ r = √196 = 14
ଦଇ ଅଛି πrl = 770 ⇒ \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 14 × l = 770
⇒ l = \(\frac { 770 }{ 44 }\) = 17.5 ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା (h) = \(\sqrt{l^2-\mathrm{r}^2}\) = \(\sqrt{(17.5)^2-(14)^2}\) = \(\sqrt{(17 \cdot 5+14)(17 \cdot 5-14)}\) = \(\sqrt{31.5 \times 3.5}\) = 10.5 ସେ.ମି.
∴ କୋନ୍‌ର ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 14 × 14 × 10.5 = 2156 ମନ ସେ.ମି.

Question 7.
(i) ଆୟତନ 12936 ଶନ ସେ.ମି. ଏବଂ r : h = 3 : 4 ହୋଇଥିବା ଏକ କୋଳର ବିକ୍ତତଳଭ ଯେତ୍ରଫଳ ମିଳ କର | (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
(ii) ଆୟତନ 17248 ଶନ ସେ.ମି. ଏବଂ r : l = 4 : 5 ଥିବା କୋଟିଏ କୋଳର ବିକ୍ତତଳଭ ଯେତ୍ରଫଳ ନିଶ୍ରଣ କର | (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
(i) r : h = 3 : 4 | ମନେକର r = 3x ସେ.ମି. ଓ h = 4x ସେ.ମି.
ଦନ୍ତ ଚଳତା (l) = \(\sqrt{\mathrm{r}^2+\mathrm{h}^2}\) = \(\sqrt{(3 x)^2+(4 x)^2}\) = \(\sqrt{25 x^2}\) = 5x ସେ.ମି.
ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 3x × 3x × 4x = \(\frac { 264 }{ 7 }\) x³ ମନ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac { 264 }{ 7 }\) x³ = 12936 ⇒ x³ = \(\frac{12936 \times 7}{264}\) = 343 ⇒ x = \(\sqrt[3]{343}\) = 7
∴ କୋନ୍‌ର ବିକ୍ତତଳଭ ଯେତ୍ରଫଳ = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 3x × 5x
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 3 × 7 × 5 × 7 = 2310 ଦଗ ସେ.ମି.

(ii) r : l = 4 : 5 | ମନେକର r = 4x ମି. ଦ୍ରେଲେ l = 5x ମି.
କୋନ୍‌ର ଚଳତା (h) = \(\sqrt{l^2-\mathrm{r}^2}\) = \(\sqrt{(5 x)^2-(4 x)^2}\) = \(\sqrt{9 x^2}\) = 3x ମି.
ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 4x × 4x × 3x ଶନ.ମି. = \(\frac { 352 }{ 7 }\) x³ ପନ. ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac { 352 }{ 7 }\) x³ = 17248 ⇒ x³ = \(\frac{17248 \times 7}{352}\) = 343 ⇒ x = \(\sqrt[3]{343}\) = 7
∴ କୋନ୍‌ର ବିକ୍ତତଳଭ ଯେତ୍ରଫଳ = πrl = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 3x × 5x ଦଗ ମି.
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 4 × 7 × 5 × 7 ଦଗ ମି. = 3080 ଦଗ ମି.

Question 8.
(i) (i) ଦୁଇଟି କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଅନୁପାତ 3 : 5 ଓ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 1 : 3 ହେଲେ ସେ ଦୁଇଟିର ଆୟତନର ଅନୁପାତ ସ୍ଥିର କର ।
(ii) ଦୁଇଟି କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଅନୁପାତ 2 : 7 ଓ ବକ୍ରଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 3 : 8 ହେଲେ ଉକ୍ତ କୋୟର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ଦୁଇଟି କର ।
(iii) ଦୁଇଟି କୋନ୍‌ର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ 1 : 9 ଏବଂ ହେଲେ ସେ ଦୁଇଟିର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 5 : 21 ହେଲେ ପେ ଦୁକ୍ମଣକ୍ନତାର ଅନୁପାତ ନିର କର |
Solution:
ମନେକର ପ୍ରଥମ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଷ, ଉଚ୍ଚତା ଓ ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା ଯଥାକ୍ରମେ r, h₁, l₁ ଏବଂ r₂, h₂, l₂ |
(i) \(\frac{r_1}{r_2}\) = \(\frac { 3 }{ 5 }\) ଓ \(\frac{h_1}{h_2}\) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)
∴ \(\frac{V_1}{V_2}\) = \(\frac{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2}\) = \(\frac{r_1 \times r_1 \times h_1}{r_2 \times r_2 \times h_2}\) = \(\frac{3}{5}\) × \(\frac{3}{5}\) × \(\frac{1}{3}\) 3 : 25
∴ କୋନ୍ ଦ୍ବୟର ଆୟତନର ଅନୁପାତ 3 : 25 |

(ii) \(\frac{r_1}{r_2}\) = \(\frac { 2 }{ 7 }\) ଓ \(\frac{l_1}{l_2}\) = \(\frac { 3 }{ 8 }\)
∴ \(\frac{S_1}{S_2}\) = \(\frac{\pi \mathrm{r}_1 l_1}{\pi \mathrm{r}_2 l_2}\) = \(\frac{r_1}{r_2}\) × \(\frac{l_1}{l_2}\) = \(\frac { 2 }{ 7 }\) × \(\frac { 3 }{ 8 }\) = 3 : 28
∴ କୋନ୍ ଦୁଇଟିର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ 3 : 28 |

(iii) \(\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2{ }^2}\) = \(\frac { 1 }{ 9 }\) ⇒ \(\frac{r_1}{r_2}\) = \(\frac { 1 }{ 9 }\) ⇒ \(\frac{r_1}{r_2}\) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)
\(\frac{\pi r_1 l_1}{\pi r_2 l_2}\) = \(\frac{r_1}{r_2}\) × \(\frac{l_1}{l_2}\) = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac{l_1}{l_2}\)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac{l_1}{l_2}\) = \(\frac { 5 }{ 21 }\) ⇒ \(\frac{l_1}{l_2}\) = \(\frac { 5 }{ 7 }\)
∴ କୋନ୍‌ଦ୍ବୟର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ 5 : 7 |

Question 9.
(i) ଏକ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ଏହାର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତାର ଅଧା । କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍କ୍ 5√3 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ଘନଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କର । (π ≃ 3.14)
(ii) ଏକ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅଧା । କୋନ୍‌ର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା 50 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ 3.14)
(iii) ଏକ କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା ଓ ଏହାର ଭୂମିର ବ୍ୟାସର ଅନୁପାତ 2 : 3 ଏବଂ ଏହାର ବକ୍ରଉଚ୍ଚତା 20 ସେ.ମି. ହେଲେ ଏହାର ଘନଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (n ≃ √10 )
Solution:
(i) ମନେକର କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା (h) = x ସେ.ମି., ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା (l) = 2x ସେ.ମି.
ଦ୍ୟାପାଦ (r) = \(\sqrt{l^2-\mathrm{h}^2}\) = \(\sqrt{(2 x)^2-(x)^2}\) = √3 x ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, √3x = 5√3 ⇒ x = 5
∴ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × 3.14 × (√3x)² × x ପନ. ସେ.ମି.
= \(\frac { 3.14 }{ 3 }\) × 5√3 × 5√3 × 5 ପନ. ସେ.ମି. = 392.5 ପନ. ସେ.ମି.

(ii) ମନେକର କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା (h) = x ସେ.ମି. ।
ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = 2x ସେ.ମି.
ବକ୍ତ ଭଳତା (l) = \(\sqrt{\mathrm{r}^2+\mathrm{h}^2}\) = \(\sqrt{(2 x)^2+(x)^2}\) ସେ.ମି. = √5x ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, √5x = 50 ⇒ x = \(\frac{50}{\sqrt{5}}\) = 10√5
r = 2x ସେ.ମି. = 20 √5 ସେ.ମି. h = x ସେ.ମି. = 10 √5 ସେ.ମି.
∴ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × 3.14 × 20√5 × 20√5 × 10√5
= \(\frac{62800 \sqrt{5}}{3}\) = 20933.33√5 ପନ. ସେ.ମି.

(iii) ମନେକର କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା (h) = 2x ସେ.ମି. ଭୂମିର ବ୍ୟାପ = 3x ସେ.ମି.
ଭୂମିର ବ୍ୟାପ।ଘ = \(\frac { 3x }{ 2 }\) ସେ.ମି.

Question 10.
ଏକ ସମଘନାକାର କାଠଖଣ୍ଡର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 21 ସେ.ମି. । ଏଥୁରୁ କଟାଯାଇ ମିଳିଥିବା ବୃହତ୍ତମ ଆୟତନ ବିଶିଷ୍ଟ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ ଓ ସମଗ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
ସମଘନାକାର କାଠଖଣ୍ଡର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 21 ସେ.ମି. ଏଥୁରୁ କଟାଯାଇ ମିଳିଥିବା ବୃହତ୍ତମ ଆୟତନ ବିଶିଷ୍ଟ କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାପ = 21 ସେ.ମି.
∴ଦୈର୍ଘ୍ୟ (r) = \(\frac { 21 }{ 2 }\) ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ (h) = 21 ସେ.ମି.
∴ ଘନଫଳ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × \(\frac { 21 }{ 2 }\) × \(\frac { 21 }{ 2 }\) × 21 ପନ. ସେ.ମି. = 2425.5 ପନ. ସେ.ମି.

ଦକୁ ଭଲଭା (l) = \(\sqrt{r^2+h^2}\) = \(\sqrt{\left(\frac{21}{2}\right)^2+21^2}\) ସେ.ମି.
= \(\sqrt{\frac{21^2}{4}+21^2}\) ସେ.ମି. = 21 × \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) ସେ.ମି.
∴ ସମଘନାକାର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr (l + r) = \(\frac { 22 }{ 7 }\) × \(\frac { 21 }{ 2 }\) × \(\left(\frac{21 \sqrt{5}}{2}+\frac{21}{2}\right)\)
= 33 × \(\frac { 21 }{ 2 }\) (√5 + 1) = 693 \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) = 346.5 (√5 + 1) ଦଗ ସେ.ମି.

Question 11.
ବୃତ୍ତକଳା ଆକୃତିର ଗୋଟିଏ ଟିଣପତ୍ରକୁ ମୋଡ଼ି ତା’ର ଦୁଇ ପାଖର ବ୍ୟାସାର୍ଷକୁ ଯୋଡ଼ି ଝଳାଇ କରି କୋନ୍ ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ପାତ୍ର ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଗଲା । ଟିଣପତ୍ରଟିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 12 ସେ.ମି. ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧଦ୍ଵୟର ମଧ୍ୟବର୍ତୀ କୋଣ ପରିମାଣ 120° ହେଲେ ପ୍ରସ୍ତୁତ ପାତ୍ରଟିରେ କେତେ ପାଣି ରହିପାରିବ ?
ସମାଧାନ :
ଟିଣପତ୍ରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (1) = 12 ସେ.ମି.
ବକ୍ର ଉଚ୍ଚତା (l) = 12 ସେ.ମି.
କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ (θ) =120°
∴ବୃତ୍ତକଳାର ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (L) = \(\frac{\theta \pi r}{180}\)
= \(\frac{120 \pi \times 12}{180}\) = 8π ସେ.ମି.

∴ କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ପରିଧୂ = 8π ସେ.ମି.
ମନେକର କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r ସେ.ମି.
∴ 2πr = 8π = 2 × π × r = 8π ⇒ r = 4
କୋଣର (h) = \(\sqrt{l^2-\mathrm{r}^2}\) = \(\sqrt{12^2-4^2}\) = \(\sqrt{144-16}\) = \(\sqrt{128}\) = 8√2 ସେ.ମି.
∴ କୋନ୍‌ର ଣପତ୍ରକୁ = \(\frac { 1 }{ 3 }\)πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 4 × 4 × 8√2
= \(\frac{2816 \sqrt{2}}{21}\) ଦଗ ସେ.ମି.
∴ ପ୍ରସ୍ତୁତ ପାତ୍ରରେ \(\frac{2816 \sqrt{2}}{21}\) ଘନ ସେ.ମି. ପାଣି ରହିପାରିବ ।

Question 12.
ଗୋଟିଏ ନିଦା କୋନ୍‌ର ଭୂମିର ବ୍ୟାସ 6 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 8 ସେ.ମି. । ଏହାକୁ ଆଂଶିକ ଜଳପୂର୍ଣ୍ଣ ଏକ ସିଲିଣ୍ଡର ଆକାରର ପାତ୍ର ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରୂପେ ବୁଡ଼ାଇ ଦିଆଗଲା । ସିଲିଣ୍ଡରର ଭିତରର ବ୍ୟାସ 8 ସେ.ମି. ହେଲେ କୋନ୍‌ର ଥିବା କଳାସ୍ତର କେତେ ଦାନ୍ତି ପାଳିତ ?
Solution:
କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = \(\frac { ବ୍ୟାସ }{ 3 }\) = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3 ସେ.ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା (h) = 8 ସେ.ମି.
∴ କୋନ୍‌ର ଘନଫଳ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) × π × 3² × 8 ପନ. ସେ.ମି. = 24π ପନ. ସେ.ମି.
ସିଲିଣ୍ଡରର ଭୂମିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr² = π(\(\frac { 8 }{ 2 }\))² = 16π ଦଗ ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ର ଆୟତନ = ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥିବା ଭଲଭ ଆୟତନ = 16π × କଲ ପ୍ତରର ପ୍ରତିର ଭଳତା |
∴ କଳସ୍ତରର ଉଲତା ହନିସାର = \(\frac { 24π }{ 16π }\) ସେ.ମି. = 1.5 ସେ.ମି.

Question 13.
ଗୋଟିଏ ତମ୍ବୁର ନିମ୍ନ ଅଂଶ ସିଲିଣ୍ଡର ଆକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ ଯାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 35 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା 8 ମି. ଏବଂ ଊର୍ଥାଂଶ 35 ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଏବଂ 12 ମି. ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ କୋଡ୍ ଆକାରର । ତମ୍ବୁଟିକୁ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବାପାଇଁ କେତେ ବର୍ଗମିଟର କପଡ଼ା ଲାଗିଥ୍ ସ୍ଥିର କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
ସିଲିଣ୍ଡରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = 35 ମି. ଉଚ୍ଚତା (h) = 8 ମି.
ସିଲିଣ୍ଡରର ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2πrh
= 2 × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 35 × 8 = 1760 ଦଗ.ମି.

କୋନ୍‌ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = 35 ମି. ଓ ଉଚ୍ଚତା (h) = 12 ମି.
ବକ୍ତ ଭଳତା (l) = \(\sqrt{r^2+h^2}\) = \(\sqrt{35^2+12^2}\) ମି. = \(\sqrt{1225+144}\) ମି. = \(\sqrt{1369}\) ମି. = 37 ମି.
∴ କୋନ୍‌ର ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πrl

Question 14.
ଏକ ତମ୍ବୁର ନିମ୍ନ ଅଂଶ 30 ମି. ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ସରଳ ବୃତ୍ତ ଭୂମିକ ସିଲିଣ୍ଡର ଓ ଉପର ଅଂଶ କୋଡ୍ ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ । ଏହାର ଭୂମିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 21 ମି. ଏବଂ ଭୂପୃଷ୍ଠରୁ ତମ୍ବୁଶୀର୍ଷର ଉଚ୍ଚତା 58 ମି. ହେଲେ ତମ୍ବୁରେ ବ୍ୟବହୃତ କ୍ୟାନ୍‌ସ୍‌ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
ପିଲିଣ୍ଡରର ବ୍ୟାସାଦି (r) = 21 ମି., h = 30 ମି.
ସିଲିଣ୍ଡରର ବଜ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2πrh
= 2 × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 21 × 30 = 3960 ଦଗ.ମି.

Question 15.
ଗୋଟିଏ ଜଳପୂର୍ଣ୍ଣ କୋନ୍ ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ପାତ୍ରର ଉପର ବୃତ୍ତାକାର ଧାରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 2.5 ସେ.ମି. ଏବଂ ଗଭୀରତା 11 ସେ.ମି. | 0.25 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତେଗୋଟି ସୀସା ଗୋଲି ଏହା ମଧ୍ୟକୁ ପକାଇଲେ ଏଥ‌ିରେ ଥିବା ଜଳର \(\frac { 2 }{ 5 }\) ଅଂଶ ବାହାରକୁ ଅପସାରିତ ହୋଇଯିବ, ସ୍ଥିର କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
ଜଳପୂର୍ଣ କୋନ୍ ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ ପାତ୍ରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = 2.5 ସେ.ମି.
ଏବଂ ଗଭୀରତା ବା ଉଚ୍ଚତା (h) = 11 ସେ.ମି.
କୋନ୍‌ରେ ଥ‌ିବା ଜଳର ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h = \(\frac { 1 }{ 3 }\) π × (2.5)² × 11 ଣନ ସେ.ମି.
ଅପସାରିତ ଜଳର ପରିମାଣ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) π × (2.5)² × 11 × \(\frac { 2 }{ 5 }\) ଣନ ସେ.ମି.
ସୀସାଗୋଲିର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r₁) = 0.25 ସେ.ମି.
ସୀସାଗୋଲିର ଆୟତନ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) π × (0.25)³ ଣନ ସେ.ମି.

Question 16.
ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣ ସଂଲଗ୍ନ ବାହୁଦ୍ୱୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 12ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. । ଏହାର ବୃହତ୍ତମ ବାହୁକୁ ସ୍ଥିର ରଖ୍ ତା’ର ଚାରିପାଖରେ ତ୍ରିଭୁଜଟିକୁ ଘୂରାଇଲେ ଯେଉଁ କୋନ୍ ସୃଷ୍ଟି ହେବ, ଘନଫଳ ଏବଂ ସମଗ୍ରପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ‘π’ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
Solution:
ମନେକର ABC ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର AB = 12 ସେ.ମି. ଓ BC = 5 ସେ.ମି. |
∴ AC = \(\sqrt{\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2}\) = \(\sqrt{12^2+5^2}\)
= \(\sqrt{25+144}\) = \(\sqrt{169}\) = 13 ସେ.ମି.

କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବାହୁ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ର ଚତୁର୍ଦ୍ଦିଗରେ ଘୂରାଇଲେ ଯେଉଁ କୋଟି ଉତ୍ପନ୍ନ ହେବ ତାହାର ଆଧାରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ BC ହେବ ।
∴ ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଆଧାରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + ବକ୍ରତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= π (BC)² + π. BC . AC = π. BC (BC + AC) = π × 5 × 18 = 90π ଦଗ ସେ.ମି.|
ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) π (BC)² × AB = \(\frac { 1 }{ 3 }\) π. 5² . 12 = 100π ଦଗ ସେ.ମି.|

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(f) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 5 ପରିମିତି Ex 5(f)

Question 1.
ନିମ୍ନରେ କେତେକ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r କିମ୍ବା ବ୍ୟାସ d ଦତ୍ତ ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୋଲକର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଓ ଆୟତନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
(i) r = 21 ସେ.ମି.
(ii) d = 14 ସେ.ମି.
(iii) r = 10.5 ସେ.ମି.
Solution:
ଗୋଲକର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4πr² ବର୍ଗ ଏକକ
ଗୋଲକର ଆୟତନ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) πr³ ଘନ ଏକକ

(i) r = 21 ସେ.ମି.
∴ ଗୋଲକର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4πr² = 4 × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × (21)²= 5544 ଦ. ସେ.ମି.
∴ ଗୋଲକର ଆୟତନ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) πr³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × (21)³
= 4 × 22 × (21)² = 38808 ଶ.ସେ.ମି.

(ii) d = 14 ସେ.ମି. ⇒ r = \(\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 ସେ.ମି.
∴ ଗୋଲକର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4πr² = 4 × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × (7)² = 616 ଦ. ସେ.ମି.
∴ ଗୋଲକର ଆୟତନ = \(\frac { 4 }{ 3 }\)πr³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × (7)³ = \(\frac{4312}{3}\) = 1437\(\frac { 1 }{ 3 }\) ଦ. ସେ.ମି.

(iii) r = 10.5 ସେ.ମି. = 21 ସେ.ମି..
∴ ଗୋଲକର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4πr² = 4 × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × \(\frac { 21 }{ 2 }\) × \(\frac { 21 }{ 2 }\) = 1386 ଦ. ସେ.ମି.
∴ ଗୋଲକର ଆୟତନ = \(\frac { 4 }{ 3 }\)πr³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × (\(\frac { 21 }{ 2 }\))³ = 4851 ଶ.ସେ.ମି.

Question 2.
ନିମ୍ନରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ତିନୋଟି ଲେଖାଏଁ ଧାତବ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଦତ୍ତ ଅଛି । ସେଗୁଡ଼ିକୁ ତରଳାଇ ଗୋଟିଏ ଗୋଲକରେ ପରିଣତ କଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳେ ନୂତନ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କେତେ ହେବ ? (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
(i) 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି., 5 ସେ.ମି.
(ii) 8 ସେ.ମି., 6 ସେ.ମି., 1 ସେ.ମି.
(iii) 17 ସେ.ମି., 14 ସେ.ମି., 7 ସେ.ମି.
Solution:
(i)
ତିନୋଟି ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଯଥାକ୍ରମେ 3 ସେ.ମି., 4 ସେ.ମି. ଓ 5 ସେ.ମି. ।
ମନେକର ନୂତନ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ R ସେ.ମି. ।
ଗୋଲକମାନକର ଆୟତନର ସମସି = ନୂତନ ଗୋଲାକାର ଆୟତନ
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\) π(3)³ + \(\frac { 4 }{ 3 }\) π (4)³ + \(\frac { 4 }{ 3 }\) π (5)³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) πR³
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\) π 3³ + 4³ + 5³) = \(\frac { 4 }{ 3 }\) πR³
⇒ 27 + 64 + 125 = R³
⇒ R³ = 216 ⇒ R = 6 ସେ.ମି.
∴ ନୂତନ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 6 ସେ.ମି. ।

(ii) ତିନୋଟି ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଯଥାକ୍ରମେ 8 ସେ.ମି., 6 ସେ.ମି. ଓ 1 ସେ.ମି. ।
ମନେକର ନୂତନ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ R ସେ.ମି. |
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\) π(8)³ + \(\frac { 4 }{ 3 }\) π(6)³ + \(\frac { 4 }{ 3 }\) π(1)³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) πR³
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\) π(8)³ + 6³ + 1)³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) πR³ ⇒ 512 + 216 + 1 = R³
⇒ R³ = 729 ⇒ R = 9 ସେ.ମି.
∴ ନୂତନ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 9 ସେ.ମି. |

(iii) ତିନୋଟି ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଯଥାକ୍ରମେ 17 ସେ.ମି., 14 ସେ.ମି. ଓ 1 ସେ.ମି. ।
ମନେକର ନୂତନ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ R ସେ.ମି. ।
ଗୋଲକମାନକର ଆୟତନର ସମସି = ନୂତନ ଗୋଲାକାର ଆୟତନ
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\) π (17)³ + \(\frac { 4 }{ 3 }\) π (14)³ + \(\frac { 4 }{ 3 }\) π (7)³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) πR³
⇒ 4913 + 2744 + 343 = R³
⇒ R³ = 8000 ⇒ R = 20 ସେ.ମି.
∴ ନୂତନ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 20 ସେ.ମି. ।

Question 3.
ନିମ୍ନ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ଲେଖାଏଁ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସର ଅନୁପାତ ବା ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ ଦର ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୋଲକଦ୍ୱୟର ଆୟତନର ଅନୁପାତ ଏବଂ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ ନିଶ୍ଚୟ କର ।
(i) \(\frac{d_1}{d_2}\) = \(\frac { 3 }{ 4 }\)
(ii) \(\frac{r_1}{r_2}\) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(iii) \(\frac{r_1}{r_2}\) = \(\frac { 2 }{ 5 }\)
Solution:

Question 4.
ଗୋଟିଏ ଗୋଲକର ଆୟତନ \(\frac{792}{7}\) ଘନ ସେ.ମି. ହେଲେ ତା’ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
ମନେକର ଗୋଲକ ଦ୍ୟାମାଦି r ସେ.ମି. | ∴ ଗୋଲକ ଅନୁପାତ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) r³ = \(\frac { 792 }{ 7 }\)
ପ୍ରଶାନ୍ତପାରେ \(\frac { 4 }{ 3 }\) πr³ = \(\frac { 792 }{ 7 }\) ⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) r³ = \(\frac { 792 }{ 7 }\)
⇒ r³ = \(\frac { 792 }{ 7 }\) × \(\frac{7 \times 3}{22 \times 4}\) = 27 ⇒ r = 3 ସେ.ମି.
∴ ଗୋଲକର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4πr² = 4 × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 3² = \(\frac { 792 }{ 7 }\) = 113\(\frac { 1 }{ 7 }\) = 113 ବ. ସେ.ମି. |

Question 5.
(i) ଗୋଟିଏ ଗୋଲକର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 616 ବ. ସେ.ମି. ହେଲେ ତା’ର ଆୟତନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
(ii) ଗୋଟିଏ ଗୋଲକର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 5544 ବ. ସେ.ମି. ହେଲେ ତା’ର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କେତେ ? (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
(i) ମନେକର ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r ସେ.ମି. ଓ ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4πr² ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶାନ୍ତପାରେ, 4πr² = 616 ⇒ 4 × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × r² = 616
⇒ r² = \(\frac{616 \times 7}{4 \times 22}\) = 49 ⇒ r = √49 = 7 ସେ.ମି.
∴ ଆୟତନ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) πr³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 7³ = \(\frac { 4312 }{ 3 }\) ବ 1437\(\frac { 1 }{ 3 }\) ପନ. ସେ.ମି. |

(ii) ମନେକର ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r ସେ.ମି. |
∴ ଏହାର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 4πr² ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶାନ୍ତପାରେ, 4πr² = 5544 ⇒ 4 × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × r² = 5544
⇒ r² = \(\frac{5544 \times 7}{4 \times 22}\) = 441 ⇒ r = √441 = 21 ସେ.ମି.
∴ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 21 ସେ.ମି. ।

Question 6.
ଗୋଟିଏ ଗୋଲକର ଘନଫଳ 19404 ଘନ ମିଟର । ଏହାର ସମଘନଫଳବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଅର୍ଦ୍ଧ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କେତେ ? (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
ଏକ ଗୋଲକର ଘନଫଳ = 19404 ଘନ ମି. = ଅନ୍ୟ ଏକ ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକର ଘନଫଳ
ମନେକର ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = r ମି. । ∴ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକର ଘନଫଳ = \(\frac { 2 }{ 3 }\) πr³ ଘନ ମି.
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac { 2 }{ 3 }\) πr³ = 19404 ⇒ \(\frac { 2 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × r³ = 19404
⇒ r³ = 19404 × \(\frac { 7 }{ 22 }\) × \(\frac { 3 }{ 2 }\) = 9261 ⇒ r = \(\sqrt[3]{9261}\) = 21 ମି.
∴ ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 21 ମି. |

Question 7.
9 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଧାତବ ଗୋଲକକୁ ତରଳାଇ ସେଥୁ
(i) 1 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି କ୍ଷୁଦ୍ର ଗୋଲକ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇପାରିବ ? \(\frac { 22 }{ 7 }\)
(ii) 1 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତାକାର ପ୍ରସ୍ଥଚ୍ଛେଦଥାଇ କେତେ ଲମ୍ବର ତାର ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇପାରିବ ? \(\frac { 22 }{ 7 }\)
Solution:
(i) 9 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଲକକୁ ତରଳାଇ = \(\frac { 22 }{ 7 }\) π × 9³ ମି.ସେ.ମି.
1 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ର ଗୋଲକର ଘନଫଳ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) π (l)³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) π ପନ. ସେ.ମି.
∴ ଯୁଦ୍ର ଗୋଲକରି ସଂଖ୍ୟା = \(\frac{\frac{4}{3} \pi \times 9^3}{\frac{4}{3} \pi}\) = 9³ = 729

(ii) 9 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଲକର ଘନପଳ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) π × 9³ ମି.ସେ.ମି.
1 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସ (ବ୍ୟାସାର୍ଷ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ସେ.ମି.) ଓ h ସେ.ମି. ଲମ୍ବ ବିଶିଷ୍ଟ
ତାରର ଘନଫଳ = π × (\(\frac { 1 }{ 2 }\))² × h ପନ. ସେ.ମି.
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, \(\frac { 4 }{ 3 }\) π × 9³ = π × (\(\frac { 1 }{ 2 }\))² × h
⇒ \(\frac { h }{ 4 }\) = \(\frac { 4 }{ 3 }\) × 9³ ⇒ h = \(\frac { 4 }{ 3 }\) × 729 × 4 = 3888 ସେ.ମି.
⇒ h = 38.88 ମିଟର |
∴ 9 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସାର୍ଷ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଲକକୁ ତରଳାଇ 1 ସେ.ମି. ବ୍ୟାସ ବିଶିଷ୍ଟ 38.88 ମି. ଲମ୍ବର ତାର ତିଆରି କରାଯାଇପାରିବ ।

Question 8.
ଗୋଟିଏ ଅର୍ଷଗୋଲାକୃତି ପାଣିଟାଙ୍କିର ଭିତର ପାଖର ବ୍ୟାସ 4.2 ମିଟର ହେଲେ ସେଥ‌ିରେ କେତେ ଲିଟର ପାଣି ଧରିବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । (π ≃ \(\frac { 22 }{ 7 }\))
Solution:
ଅର୍ଦ୍ଧ ଗୋଲକର ବ୍ୟାସ = 4.2 ମି.| ଅର୍ଷଗୋଲାକୃତି ବ୍ୟାସାଦି r = 2.1 ମି.|
∴ ଅଦିଗୋଳକର ଆୟତନ = \(\frac { 2 }{ 3 }\)πr³ = \(\frac { 2 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × (2.1)³ = 19.404 ପନ ମିଟର |
∴ପାଣି ଟାଙ୍କିର ଆୟତନ 19.404 ଘନମିଟର |
1 ଶାନମିଟର = 1000 ନଗର |
19.404 ଘନମିଟର = 19.404 × 1000 = 19404 ନଗର
∴ ଅର୍ଦ୍ଧ ଗୋଲାକୃତି ପାଣିଟାଙ୍କିରେ 19404 ଲିଟର ପାଣି ଧରିବ ।

Question 9.
ସମାନ ଭୂମି ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ଅଦ୍ଧଗୋଲକ, ଗୋଟିଏ ସିଲିଣ୍ଡର ଓ ଗୋଟିଏ କୋନ୍‌ର ଆୟତନ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କ ଉଚ୍ଚତାର ଅନୁପାତ ସ୍ଥିର କର ।
Solution:
ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକର ଉଚ୍ଚତା । ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକର ଆୟତନ = \(\frac { 2 }{ 3 }\)πr³ ଘନ ଏକକ ।

ସିଲିଣ୍ଡରର ଆୟତନ = πr²h₁ ଘନ ଏକକ
କୋନ୍‌ର ଆୟତନ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h₂, ଘନ ଏକକ (h₁ = ସିଲିଣ୍ଡରର ଉଚ୍ଚତା, h₂ = କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା)
∵ ସେମାନଙ୍କର ଆୟତନ ଉଚ୍ଚତା ।
ତେଣୁ \(\frac { 2 }{ 3 }\) πr³ = πr²h₁ = πr²h₁
⇒ \(\frac { 2 }{ 3 }\) r = h₁ = \(\frac { 1 }{ 3 }\) h₂
(∵ ସେମାନଙ୍କର ଭୂମି ସମାନ, ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସମାନ ।)
\(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{h}_1}\) = \(\frac { 3 }{ 2 }\) ଏବଂ \(\frac{\mathrm{h}_1}{\mathrm{~h}_2}\) = \(\frac { 2 }{ 6}\)
⇒ r : h₁ : h₂ = 3 : 2 : 6
⇒ ଅର୍ଷଗୋଲକର ଉଚ୍ଚତା : ସିଲିଣ୍ଡରର ଉଚ୍ଚତା : କୋନ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = 3 : 2 : 6

Question 10.
ଗୋଟିଏ ଫମ୍ପା ଧାତବ ଗୋଲକର ଅନ୍ତଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 3 ସେ.ମି. ଓ ବହିଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 6 ସେ.ମି. । ପ୍ରତି ଘନ ସେ.ମି. ଧାତୁର ବସ୍ତୁତ୍ୱ 8 ଗ୍ରାମ୍ ହେଲେ ତା’ର ବସ୍ତୁତ୍ଵ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ମନେକର ଫମ୍ପା ଗୋଲକର ବହିଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ R ସେ.ମି. ଏବଂ ଅନ୍ତଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r ସେ.ମି. ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, R = 6 ସେ.ମି. ଏବଂ r = 3 ସେ.ମି
ଫମ୍ପା ଧାତବ ଗୋଲକର ଆୟତନ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) π (R³ – r³)
= \(\frac { 4 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) (6³ – 3³) = \(\frac { 4 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) (216 – 27) = \(\frac { 4 }{ 3 }\) × \(\frac { 22 }{ 7 }\) × 189 = 792 ଘନ ସେ.ମି. ।
କିନ୍ତୁ ପ୍ରତି ଘ. ସେ.ମି. ଧାତୁର ବସ୍ତୁତ୍ଵ = 8 ଗ୍ରାମ୍ ।
∴ 792 ଘ. ସେ.ମି. ଧାତୁର ବସ୍ତୁତ୍ଵ = 792 × 8 = 6336 ଗ୍ରାମ୍ ଦା 6.336 କାଣ୍ଡ |

Question 11.
ଗୋଟିଏ ଅର୍ଷଗୋଲକ ଆକୃତିର ପାତ୍ରର ବାହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 8 ସେ.ମି. ଓ ମୋଟେଇ 1 ସେ.ମି. । ଏହାର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ? (π ≃ √10)
Solution:
ଅର୍ଦ୍ଧଗୋଲକ ଆକୃତି ପାତ୍ରର ବହିଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (R) = 8 ସେ.ମି. ଓ ଅନ୍ତଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = (8 – 1) = 7 ସେ.ମି.
ଫମ୍ପା ଅର୍ଷଗୋଲକର ସମଗ୍ର ପୃଷ୍ଠତଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 2πR² + 2πr² + π(R² – r²)
= π(3R² + r²) = √10 (3 × 8² + 7²) = √10 (192 + 49) = 241√10 ଘନ ସେ.ମି. ।

Question 12.
ଗୋଟିଏ ନିଦା ସୀସା। ସମଘନରୁ ଏକ ବୃହତ୍ତମ ଆକାର ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଲକ କାଟି ନିଆଗଲା । ଅବଶିଷ୍ଟ ଅଂଶର ଆୟତନ 12870 ଘନସେ.ମି. ହେଲେ, ସମଘନର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ ? (π ≃ 3.14)
Solution:
ମନେକର ସମଘନର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = a ସେ.ମି. ।
ସମଘନର ଆୟତନ = a³ ଘନ ସେ.ମି. ।
ସମଘନର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ଗୋଲକର ବ୍ୟାସ ।
ଗୋଲକର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = \(\frac { a }{ 2 }\) ସେ.ମି.
∴ ଗୋଲକର ଘନଫଳ = \(\frac { 4 }{ 3 }\)π(\(\frac { a }{ 2 }\))³ = \(\frac { 4 }{ 3 }\) × π × \(\frac{a^3}{8}\) ଘନ ସେ.ମି. = \(\frac{\pi \mathrm{a}^3}{6}\) ଘନ ସେ.ମି. |
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, a³ – \(\frac{\pi \mathrm{a}^3}{6}\) = 12870 ⇒ a³(\(\frac{6-\pi}{6}\)) = 12870
⇒ a³ (6 – 3.14) = 12870 × 6 ⇒ a³ × 2.86 = 12870 × 6
⇒ a³ = \(\frac{12870 \times 6}{2.86}\) = 27000 ⇒ a = \(\sqrt[3]{27000}\) = 30 ସେ.ମି. ।
∴ସମଘନର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 30 ସେ.ମି. ।

Question 13.
ଏକ ଅର୍ଷଗୋଲାକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ ପାତ୍ରର ମୋଟେଇ ଓ ବାହାରର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଯଥାକ୍ରମେ 1 ସେ.ମି. ଓ 10 ସେ.ମି. ହେଲେ,
(i) ଏହାର ସମସ୍ତ ପୂର୍ବଭଳର ମୋଟେଇ ନିଣ୍ଡୟ କର ଏବଂ
(ii) ଏଥିରେ ବ୍ୟବହୃତ ଧାତୁର ଆୟତନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଅର୍ଦ୍ଧ ଗୋଲାକୃତି ବିଶିଷ୍ଟ ପାତ୍ରର ବହିଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (R) = 10 ସେ.ମି.
ଓ ଅନ୍ତଃବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ (r) = 10 – 1 = 9 ସେ.ମି.
(i) ଫମା ଅଦିଶଶାଳକର ପମଣ୍ଡ ପୂର୍ବପାଳର ଯେତ୍ରଫଳ = 2πR² + 2πr² + π(R² – r²)
= π (3R² + r²) = π(3 × 10² + 9²) = π (300 + 81) = 381 π ଘନ ସେ.ମି. ।

(ii) ଫମା ଅଦିଶଶାଳକର ଆୟତନ = \(\frac { 2 }{ 3 }\) π (R³ – r³)
= \(\frac { 2 }{ 3 }\) π (10³ – 9³) = \(\frac { 2 }{ 3 }\) π (1000 – 729) = \(\frac { 2 }{ 3 }\) π × 271 = \(\frac{542 \pi}{3}\) ଘନ ସେ.ମି. ।