Class 12

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 3 ଚତୁର୍ଭୁଜ Ex 3(a)

Question 1.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
360°

(ii) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
540°

(iii) ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
360°

(iv) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ଷଡ଼ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
120°

(v) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 45° ହେଲେ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ________ ।
ସମାଧାନ:
8

(vi) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 150° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ________ ।
ସମାଧାନ:
12

(vii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 1440° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ________ ।
ସମାଧାନ:
10

(viii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ୨ ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
40°

(ix) n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{2 n-4}{n}\) × 90°

(x) n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
\(\frac{360^{\circ}}{n}\)

Question 2.
(i) ଗୋଟିଏ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 4 : 6 ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 2x°, 3x°, 4x° ଏବଂ 6x° ।
∴ 2x° + 3x° + 4x° + 6x° = 360° ⇒ 15x  = 360° ⇒ x = 24
∴ 2x° = 2 × 24 = 48°, 3x° = 3 × 24 = 72°,
4x° = 4 × 24 = 96° ଏବଂ 6x° = 6 × 24 = 144°
∴ ଚତୁର୍ଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 48°, 72°, 96° ଓ 144° ।

(ii) ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ କ୍ରମିକ କୋଣ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ ଅନ୍ୟର ପରିମାଣର \(\frac{3}{2}\) ଗୁଣ ହେଲେ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
ମନେକର ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ x ଏବଂ ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ ଅନ୍ୟଟିର ପରିମାଣ \(\frac{3 x^{\circ}}{2}\) ।
∴ x° + \(\frac{3 x^{\circ}}{2}\) = 180°
⇒ \(\frac{5 x^{\circ}}{2}\) = 180° ⇒ x = 72°
ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 72° ଏବଂ ଅନ୍ୟ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{3 x^{\circ}}{2}\) × 72 = 108°
∴ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ 72°, 108°, 72° ଓ 108° ।

(iii) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 : 4: 5 : 6 ହେଲେ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୂଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ ।
ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 5 – 4) × 90° = 540°
ମନେକର ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 2x°, 3x°, 4x°, 5x° ଏବଂ 6x° ।
∴ 2x° + 3x° + 4x° + 5x° + 6x° = 540° → 20x = 540 = x = 27
∴ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ = 6x = 6 × 27 = 162°

(iv) ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତଳ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣ ସମକୋଣ ଏବଂ ଅନ୍ୟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ 120° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା n । 
∴ ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା n ।
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, 90° + 90° + (n – 2) 120° = (2n – 4) × 90°
n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟକର, ବହୁଭୁଜର n ସଂଖ୍ୟକ କୋଣ ମଧ୍ୟରୁ ଦୁଇଟି କୋଣ ସମକୋଣ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ କୋଣମାନ (n – 2 ସଂଖ୍ୟକ) ପ୍ରତ୍ୟେକେ 120° ।
⇒ 180 + (n – 2) 120 = (2n – 4) x 90
⇒ 18 + (n – 2) 12 = (2n – 4) 9
⇒ 18 + 12n – 24 = 18n – 36
⇒ 12n – 6 = 18n – 36
⇒  6n = 30 ⇒ n = 5
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 5 ।

(v) ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର x°, (x − 10°), (x − 20°), (2x – 40°), (2x – 90°) ହେଲେ ‘x’ ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
n ଭୁଜ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ । 
∴ ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 5 – 4) × 90° = 540°
⇒ 7x – 160 = 540 ⇒ 7x = 700 ⇒ x = 100

(vi) ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଅନ୍ତଃ ସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 8 – 4) × 90° = 1080°
ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = 360°

(vii) ଗୋଟିଏ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ କ୍ରମିକ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 2 : 3 ହେଲେ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଅନ୍ୟ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ।
ମନେକର ଦୁଇ ସନ୍ନିହିତ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 2x° ଏବଂ 3x° ।
∴ 2x + 3x = 180°
⇒ 5x = 180° ⇒ x = 36
∴ କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 2x° = 2 × 36 = 72° ଓ 3x° = 3 × 36 = 108°
∴ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ 72°, 108°, 72° ଏବଂ 108° ।

Question 3.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ ।
ସମାଧାନ:
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜ (n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ) ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ =  \(\frac{2 n-4}{n}\) ସମକୋଣ ।
ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2×8-4}{8}\) × 90° = \(\frac{12}{8}\) × 90 = 135°
ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(=\frac{360^{\circ}}{n}\)
ସୁଷମ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(=\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟକର, 45° x 3 = 135° ହେତୁ ଅଷ୍ଟଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ତିନିଗୁଣ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ।

Question 4.
ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜ ହେଲେ, Δ BED ର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜ ।
ସୁଷମ ବହୁଭୂଜ (n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ)ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2 n-4}{n}\) ସମକୋଣ ।
ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2×5-4}{5}\) × 90° = 108°
Δ ABE ରେ m∠A = 108°, m∠ABE = m∠AEB = \(\frac{72}{2}\) = 36°
∴ Δ BED ରେ m∠BED = m∠AED – m∠AEB
= 108° – 36° = 72°
ସେହିପରି m∠BDE = 72°
∴ Δ BDE ରେ m∠EBD = 180° – (72° + 72°) = 36°
∴ Δ BDE ର କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ 36°, 72°, 72°।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏବଂ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 5 : 1 ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = 5x°
ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = x°

⇒ n= 10 + 2
⇒ n= 12
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 12 ।

Question 6.
n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଓ (n + 2) ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ମଧ୍ଯରେ ଅନ୍ତର 9° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
n-ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{360^{\circ}}{n}\)

⇒ n² + 2n – 80 = 0
⇒ n² + 10n – 8n – 80 = 0
⇒ n(n + 10) – 8(n + 10) = 0
⇒ (n + 10)(n – 8) = 0
⇒ n = -10 କିମ୍ଚ‍।
ଏଠାରେ n = 8 ଗ୍ରହଣୀୟ କିନ୍ତୁ n = -10 ଗ୍ରହଣୀୟ ନୁହେଁ । 
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 8 ।

Question 7.
ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 120° ହେଲେ, ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା n ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, \(\frac{2 n-4}{n}\) × 90° = 120°
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2 n-4}{n}\) ସମକୋଣ ।
⇒ (2n – 4) 9 = 12n
⇒ 18n – 36 = 12n
⇒ 6n = 36
⇒ n = 6
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 6 ।

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 120° ।
ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° – 120° = 60° ।
n-ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବହୁଭୁଜର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{360^{\circ}}{n}\)
⇒ \(\frac{360^{\circ}}{n}\) = 60° 
⇒ 60° n = 360° 
⇒ n =\(\frac{360^{\circ}}{60}\) = 6
∴ ବହୁଭୁଜର ବାହୁ ସଂଖ୍ୟା 6 ।

Question 8.
(n – 1) ସଂଖ୍ୟକ ଏବଂ (n + 2) ସଂଖ୍ୟକ ସୁଷମ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ତର 6° ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ‘n’ ର ମାନ 13 ହେବ ।
ସମାଧାନ:
n ସଂଖ୍ୟକ ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ସୁଷମ ବହୁଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{360^{\circ}}{n}\)

⇒ n² + n – 2 = 180
⇒ n² + n – 182 = 0
⇒ n² + 14n – 13n – 182 = 0
⇒ n (n + 14) – 13(n + 14) = 0
⇒ (n + 14) (n- 13) = 0
⇒ n + 14 = 0 ବା n – 13 = 0
⇒ n = -14   ଅସମ୍ଭବ ∴ n = 13

Question 9.
ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 140 । ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରମାଣର ଅନୁପାତ 1 : 2 : 3 : 4 ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ 160° ।
ସମାଧାନ:
n ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବହୁଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି (2n – 4) ସମକୋଣ ।
ଗୋଟିଏ ପଞ୍ଚଭୁଜର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୌଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି = (2 × 5 – 4) × 90 = 540° 
ପଞ୍ଚଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ = 140°
ମନେକର ଅନ୍ୟ 4ଟି କୋଣର ପରିମାଣ x°, 2x°, 3x° ଓ 4x° ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x + 2x° + 3x° + 4x° + 140° = 540°
⇒ 10x = 400 ⇒ x = 40°
∴ ବୃହତ୍ତମ କୋଣର ପରିମାଣ = 4x° = 4 × 40° = 160°

Question 10.
ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର AD, ∠CDE କୁ ଦୁଇଭାଗ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ m∠ADE : m∠ADC = 1 : 2 ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCDE ଗୋଟିଏ ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର A͞D, ∠CDE କୁ ଦୁଇଭାଗ କରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠ADE : m∠ADC = 1 : 2 ।
ପ୍ରମାଣ : ସୁଷମ ପଞ୍ଚଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{2 \times 5-4}{5}\) × 90 = \(\frac{6}{5}\) × 90° = 108°
AE = ED
⇒ m∠EAD = m∠EDA
m∠AED = 108° = m∠EDC
AAED ରେ m∠EAD = m∠ADE = \(\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}\) = \(\frac{72^{\circ}}{2}\) = 36°
m∠ADC = m∠EDC – m∠ADE = 108° – 36° = 72°
∴ m∠ADE : m∠ADC = 36° : 12°
⇒ m∠ADE : m∠ADC = 1 : 2
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(b)

Question 1.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(a) Δ ABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 75° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
m∠A = 40°, m∠B = 75°
⇒ Δ ABCର m∠C = (180 – 40 – 75)° = 65°
m∠B > m∠C > m∠A
⇒ AC > AB > BC
∴ ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ AC ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ BC ।

(b) Δ ABC ରେ m∠A = 110°, m∠B = 20° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କେଉଁ ବାହୁଟି କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ?
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠A = 110°, m∠B = 20° ∴ m∠C = (180 – 110 – 20)° = 50°
m∠A > m∠C > m∠B
⇒ BC > AB > AC
∴ AC କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।

(c) Δ ABC ରେ m∠B = 90° ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର କେଉଁ ବାହୁଟି ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ?
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠B = 90° ।
⇒ m∠C < 90° ଓ m∠A < 90°
∴ ∠B ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ AC ବାହୁଟି ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ।

(d) Δ ABC ରେ m∠A = m∠B + m∠C ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ କେଉଁଟି ?
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠A = m∠B + m∠C
ଆମେ କଣ୍ଙ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
⇒ m∠A = m∠B + m∠C = 90°
∴ ∠A ର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁ BC ର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।

(e) Δ ABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 50° । ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଉକ୍ରମରେ ସଜାଇ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
Δ ABC ରେ m∠A = 40°, m∠B = 50° ⇒ m∠C = 180° – 40° – 50° = 90°
∴ m∠C > m∠B > m∠A
⇒ AB > AC > BC

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି, ଏହାର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
ବୃହତ୍ତର

(b) ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନ୍ତର, ଏହାର ତୃତୀୟ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
କ୍ଷୁଦ୍ରତର

(c) ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତା ତ୍ରୟର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି, ଏହାର ପରିସୀମାଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
କ୍ଷୁଦ୍ରତର

(d) ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା, ଏହାର ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟର ସମଷ୍ଟିଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
ବୃହତ୍ତର

(e) ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂମିପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏହାର ଅନ୍ୟ ଦୁଇ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟଠାରୁ ________ ।
ସମାଧାନ:
କ୍ଷୁଦ୍ରତର

Question 3.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠CBD > m∠BCE ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ AB > AC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଚିତ୍ରରେ m∠CBD > m∠BCE
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB > AC
ପ୍ରମାଣ : m∠CBD > m∠BCE
⇒ m∠A + m∠ACB > m∠A + m∠ABC
(∵ ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ)
⇒ m∠ACB > m∠ABC ⇒ AB > AC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 4.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ = PR । ଦର୍ଶାଅ ଯେ PS > PQ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଚିତ୍ରରେ PQ = PR
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PS > PQ
ପ୍ରମାଣ : PQ = PR ⇒ m∠PRQ = m∠PQR … (i)
m∠PQR > m∠PSQ
(∵ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣଠାରୁ ବୃହତ୍ତର)
⇒ m∠PQR >m∠PSR ⇒ m∠PRQ > m∠PSR (∵ m∠PRQ = m∠PQR)
⇒ m∠PRS > m∠PSR ⇒ PS > PR
⇒ PS > PQ (∵ PQ = PR)

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ A͞D, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ (i) AB > BD (ii) AC > CD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ A͞D, ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AB > BD ଏବଂ (ii) AC > CD
ପ୍ରମାଣ : Δ ADC ରେ m∠ADB > m∠CAD
m∠ADB > m∠BAD (∵ m∠BAD = m∠CAD)
AB > BD … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, Δ ABD ରେ m∠ADC > m∠BAD
m∠ADC > m∠CAD (∵ m∠CAD = m∠BAD)
AC > CD … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 6.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PR > PQ ଏବଂ P͞S, ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ x > y ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PR > PQ । P͞S, ∠P ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : x > y
ପ୍ରମାଣ : PQR ରେ PR > PQ ⇒ m∠POS > m∠PRS … (i)
APQS ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠PSR = m∠PQS + m∠QPS
APSR ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠PSQ = m∠PRS + m∠RPS
କିନ୍ତୁ (i) ରୁ m∠PQS > m∠PRS
⇒ m∠PQS + m∠QPS > m∠PRS + m∠RPS (∵ m∠QPS = m∠RPS)
⇒ m∠PSR > m∠PSQ ⇒ x > y
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ > PR, \(\overrightarrow{\mathrm{QS}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠Q ଓ ∠R ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ SQ > SR ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ > PR ।
\(\overrightarrow{\mathrm{QS}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠Q ଓ ∠R ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : SQ > SR
ପ୍ରମାଣ : PQ > PR ⇒ m∠PRQ > m∠PQR
\(\frac{1}{2}\)m∠PRQ > \(\frac{1}{2}\)m∠PQR ⇒ m∠SRQ > m∠SQR
⇒ SQ > SR
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର କର୍ଣ୍ଣ ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠B = 90° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : A͞C, ତ୍ରିଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
ପ୍ରମାଣ : m∠ABC = 90°
⇒ m∠BAC +m∠ACB = 90°
∴ m∠ABC > m∠BAC ⇒ AC > BC … (i)
ପୁନଣ୍ଚ, m∠ABC > m∠ACB ⇒ AC > AB … (ii)
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ A͞C ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 9.
PQRS ଚତୁର୍ଭୁଜରେ P͞S ଓ Q͞R ଯଥାକ୍ରମେ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) m∠PQR > m∠PSR
(ii) m∠QRS > m∠SPQ ଏବଂ
(iii) m∠P + m∠S < m∠Q + m∠R
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : PQRS ଚତୁର୍ଭୁଜରେ P͞S ଓ Q͞R ଯଥାକ୍ରମେ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବୃହତ୍ତମ ଏବଂ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠PQR > m∠PSR
(ii) m∠QRS > m∠SPQ ଏବଂ
(iii) m∠P + m∠S < m∠Q + m∠R
ଅଙ୍କନ : S͞Q ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ PSQ ରେ m∠PQS > m∠PSQ
(:: P͞S ବୃହତ୍ତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ)
Δ QSR ରେ m∠SQR > m∠QSR
(: Q͞R କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ବାହୁ)
⇒ m∠PQS + m∠SQR > m∠PSQ + m∠QSR
⇒ m∠PQR > m∠PSR … (i)
ସେହିପରି P͞R ଅଙ୍କନ କରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ ଯେ, 
m∠QRS > m∠SPQ … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠PQR + m∠QRS > m∠PSR + m∠SPQ
⇒ m∠Q + m∠R > m∠S + m∠P
⇒ m∠S + m∠P < m∠Q + m∠R … (iii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
Δ ABC ର AD, BE ଓ CF ଉଚ୍ଚତାତ୍ରେୟ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB + AC > 2AD
(ii) AB + BC + AC > AD + BE + CF
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର A͞D ⊥ B͞C, BE ⊥ AC ଏବଂ CF ⊥ AB
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AB + AC > 2AD
(ii) AB + BC + AC > AD + BE + CF
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ରେ AB > AD ଏବଂ Δ ADC ରେ AC > AD
⇒ AB + AC > 2AD … (i)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ, AC + BC > 2CF ଏବଂ AB + BC > 2BE
∴ AB + AC + AC + BC + AB + BC > 2AD + 2CF + 2BE
⇒ 2(AB + AC + BC) > 2(AD + BE + CF)
⇒ AB + AC + BC > AD + BE + CF … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
Δ ABC ର AD, BE ଏବଂ CF ମଧ୍ଯମାତ୍ରୟ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB + AC > 2AD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : (i) Δ ABC ରେ AD ମଧ୍ୟମା ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + AC > 2AD
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ଉପରେ M ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = DM ହେବ । CM ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CDM ଦ୍ବୟରେ BD = CD (ଦତ୍ତ),
AD = DM (ଅଙ୍କନ) ଏବଂ m∠ADB = m∠CDM (ପ୍ରତୀପ)
Δ ABD ≅ Δ CDM => AB = CM … (i)
ବର୍ଭମାନ Δ ACM ରେ AC + CM > AM
AC + CM > 2AD => AC + AB > 2AD … (i) ରୁ
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AB + AC + BC > AD + BE + CF
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର AD, BE ଓ CF ମଧ୍ଯମାତ୍ରୟ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB+ AC + BC > AD + BE + CF 
ପ୍ରମାଣ : (i) ରେ ପ୍ରମାଣିତ ଯେ, AB + AC > 2AD
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ, 
AB + BC > 2BE ଏବଂ BC + AC > 2BF
∴ AB + AC + AB + BC + BC + AC > 2AD + 2BE + 2CF
⇒ 2(AB + AC + BC) > 2(AD + BE + CF)
⇒ AB + AC + BC > AD + BE + CF … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
(i) BO + CO < AB + AC
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BO + CO < AB + AC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BO}}\), A͞C କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ MOC ରେ OM + MC > CO, Δ ABM ରେ AB + AM > BM
∴ AB + AM + MC + OM > CO + BM ⇒ AB + AC + OM > CO + BO + OM
⇒ AB + AC > CO + BO ⇒ BO + CO < AB + AC … (i)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AO + BO + CO < AB + AC + BC ଏବଂ
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AO + BO + CO < AB + AC + BC
ପ୍ରମାଣ : (i) ରେ ପ୍ରମାଣିତ BO + CO < AB + AC
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ,
AO + CO < AB + BC ଏବଂ AO + BO < AC + BC
⇒ BO + CO + AO + CO + AO + BO < AB + AC + AB + BC + AC + BC
⇒ 2(AO + BO + CO) < 2(AB + AC + BC)
⇒ AO + BO + CO < AB + AC + BC … (ii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) AO + BO + CO > \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC)
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର O ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AO + BO + CO > \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC)
ପ୍ରମାଣ : Δ AOB ରେ AO + BO > AB, Δ BOC ରେ BO + CO > BC
Δ AOC ରେ AO + CO > AC
∴ AO + BO + BO + CO + AO + CO > AB + BC + AC
⇒ 2(AO + BO + CO) > AB + BC + AC
⇒ AO + BO + CO > \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC) … (iii)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ Δ ABC ରେ AB > AC ଏବଂ AD = AC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) m∠ACD = \(\frac{1}{2}\) (m∠B + m∠C)
(ii) m∠BCD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C – m∠B)
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB > AC ଏବଂ AD = AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠ACD = \(\frac{1}{2}\) (m∠B + m∠C)
(ii) m∠BCD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C – m∠B)
ପ୍ରମାଣ : (i) Δ ADC ରେ AD = AC
⇒ m∠ADC = m∠ACD ⇒ 2m∠ADC = 2m∠ACD
⇒ m∠ADC + m∠ADC = 2m∠ACD
⇒ m∠ADC + m∠DBC + m∠DCB = 2m∠ACD
⇒ (m∠ACD + m∠DCB) + m∠DBC = 2m∠ACD (∵ m∠ADC = m∠ACD)
⇒ m∠C + m∠B = 2m∠ACD
⇒ m∠ACD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C + m∠B) … (i) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପୁନଣ୍ଚ, m∠BCD = m∠ACB – m∠ACD
⇒ 2m∠BCD = 2m∠ACB – 2m∠ACD
⇒ 2m∠BCD = 2m∠ACB – m∠ACD – m∠ACD = 2m∠ACB – m∠ACD – m∠ADC
= 2m∠ACB – m∠ACD – (m∠DBC + m∠DCB)
= 2m∠ACB – m∠ACD – m∠DBC – m∠DCB
= 2m∠ACB – (m∠ACD + m∠DCB) – m∠DBC
= 2m∠ACB – m∠ACB – m∠DBC = m∠ACB – m∠DBC = m∠C – ∠B
m∠BCD = \(\frac{1}{2}\) (m∠C – m∠B) … (ii) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) AB + BC + CD > AD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + BC + CD > AD
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB + BC > AC … (1)
Δ ADC ରେ AC + CD > AD … (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗକଲେ AB + BC + AC + CD > AC + AD
⇒ AB + BC + CD > AD (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରୁ AC ବାଦଦେଲେ) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AB + BC + CD + AD > AC + BD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + BC + CD + AD > AC + BD
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB + BC > AC … (1)
Δ BDC ରେ BC + CD > BD … (2)
Δ ADC ରେ AD + CD > AC … (3)
Δ ADB ରେ AD + AB > BD … (4)
( 1), (2), (3) ଓ (4) କୁ ଯୋଗକଲେ
AB + BC + BC + CD + AD + CD + AD + AB > AC + AC + BD + BD
⇒ 2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD)
⇒ AB + BC + CD + AD > AC + BD (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) AB + BC + CD + AD > AC + BD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB + BC + CD + AD > 2AC
ପ୍ରମାଣ : ABC Δରେ AB + BC > AC … (1)
ସେହିପରି ADC Δରେ AD + CD > AC … (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗକଲେ AB + BC + CD + AD > AC + AC
⇒ AB + BC + CD + AD > 2AC (ପ୍ରମାଣିତ)

 

Question 15.
Δ ABC ରେ AC > AB ଏବଂ A͞D ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମା ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ m∠BAD > m∠CAD ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AC > AB । A͞D, Δ ABC ର ଏକ ମଧ୍ୟମା ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BAD > m∠CAD
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ଉପରେ M ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = DM ।
CM ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CMD ଦ୍ବୟରେ BD = CD,
AD = DM ଏବଂ m∠ADB = m∠CDM (ପ୍ରତୀପ)
∴ Δ ABD ≅ ACMD ⇒ AB = CM ଏବଂ m∠CMD = m∠BAD
∴ Δ ACM ରେ AC > CM (∵ AC > AB ଦତ୍ତ)
⇒ m∠CMD > m∠CAD
⇒ m∠BAD > m∠CAD (∵ m∠CMD = m∠BAD) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର ‘O’ ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ (କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ଭିନ୍ନ) ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,

(i) 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ‘O’ ଏକ ବିନ୍ଦୁ । ଯାହା କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ନୁହେଁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD
ପ୍ରମାଣ : Δ AOB ରେ OA + OB > AB … (i)
Δ AAD ରେ OA + OD > AD … (ii)
Δ ADC ରେ OD + OC > CD … (iii)
Δ ABC ରେ OB + OC > BC … (iv)
(i), (ii), (iii) ଓ (iv) କୁ ଯୋଗକଲେ
OA + OB + OA + OD + OD + OC + OB + OC > AB + AD + CD + BC
⇒ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) OA + OB + OC + OD > AC + BD
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ‘O’ ଏକ ଅନ୍ତସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : OA + OB + OC + OD > AC + BD
ପ୍ରମାଣ : Δ AOC ରେ OA + OC > AC … (1)
Δ BOD ରେ OB + OD > BD … (2)
(1) ଓ (2) କୁ ଯୋଗକଲେ
OA + OC + OB + OD > AC + BD
OA + OB + OC + OD > AC + BD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠PAX = m∠QAY ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, PA +AQ < PB + BQ ।

ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠PAX = m∠QAY ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PA + AQ < PB + BQ
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{PA}}\) ଉପରେ R ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି P – A – R ଓ AQ = AR ହେବ ।
ପ୍ରମାଣ : m∠PAX = m∠BAR (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠PAX = m∠QAY (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠QAY = m∠BAR
∴ Δ ABQ ଓ Δ ABR ମଧ୍ୟରେ
AQ = AR (ଅଙ୍କନ)
m∠QAY = m∠BAR (ପ୍ରମାଣିତ)
A͞B ସଧାରଣ ବିନ୍ଦୁ
Δ ABQ ≅ Δ ABR (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ BQ = BR
Δ PBR ରେ PR < PB + BR
⇒ PA + AR < PB + BR
⇒ PA + AQ < PB + BQ (∵ AR = AQ ଓ BR = BQ) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ  AB = AC ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AF > AE ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ  AB = AC
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AF > AE
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
m∠ABC = m∠ACB
Δ DFC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠FCB > m∠CFD
⇒ m∠ACB > m∠CFD ⇒ m∠ACB > m∠AFE … (i)
[7 m∠AFE = m∠CFD (ପ୍ରତୀପ)]
⇒ m∠ABC > m∠AFE (∵ m∠ABC = m∠ACB)
ପୁନଶ୍ଚ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠AEF > m∠ABC
m∠AEF > m∠ACB (∵ m∠ABC = m∠ACB)
m∠AEF > m∠AFE [∵ (i) ରୁ]
⇒ AF > AE (ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 2 ତ୍ରିଭୁଜମାନଙ୍କ ସର୍ବସମତା Ex 2(a)

Question 1.
ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।
(i) Δ ABC ଓ Δ POR ସର୍ବସମ ହେବେ ଯଦି
(a) AB = PQ, AC = QR, m∠B = m∠Q
(b) AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠R
(c) AB = PQ, AC = PR, m∠A = m∠P
(d) AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠Q
ସମାଧାନ:
AB = PQ, AC = PR, m∠A = m∠P; AB = PQ, AC = QR, m∠A = m∠Q

(ii) Δ ABC ଓ Δ DEF ସର୍ବସମ ହେବେ ଯଦି
(a) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DF
(b) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DE
(c) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, BC = DE
(d) m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AC = DF
ସମାଧାନ:
m∠A = m∠D, m∠B = m∠F, AB = DF

(iii) Δ ABC ଓ Δ DE ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ତ୍ରିଭୁଜରେ m∠A = m∠D ଓ AB = DE ହେଲେ ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ସର୍ଭଟି ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ?
(a) BC = EF
(b) m∠ACB = m∠DFE
(c) AC = DF
(d) m∠ABC = m∠DEF
ସମାଧାନ:
m∠ABC = m∠DEF

(iv) Δ ABC ଓ Δ POR ସର୍ବସମ ହେଲେ, ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ହେବ ?
(a) AB = PQ, BC = QR, m∠C = m∠R
(b) BC = PQ, CA = QR, m∠A= m∠P
(c) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠P
(d) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q
ସମାଧାନ:
AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q

(v) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ର ଅନୁସାରେ m∠BAD : m∠ADB ହେଉଛି,

(a) 2 : 1
(b) 3 : 1
(c) 1 : 2
(d) 1 : 3
ସମାଧାନ:
3 : 1

Question 2.
ନିମ୍ନସ୍ଥ କେଉଁ କେଉଁ ସର୍ଭରେ Δ ABC ଓ Δ POR ସର୍ବସମ ହେବେ ?
(i) AB = PQ, BC = QR, m∠C = m∠R
(ii) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q
(iii) BC = PQ, CA = QR, m∠A = m∠P
(iv) m∠P = m∠B = 90°, PQ = AB, PR = BC
(v) PQ = AB, PR = AC, A ଓ P ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
(vi) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠R
ସମାଧାନ:
(ii) AB = PQ, m∠A = m∠P, m∠B = m∠Q (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
(iv) m∠P = m∠B = 90°, PQ = AB, PR = BC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
(v) PQ = AB, PR = AC, A ଓ P ବିନ୍ଦୁଠାରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
(vi) AB = PQ, m∠A = m∠Q, m∠C = m∠R (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)

Question 3.
(i) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 100° ହେଲେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC, m∠A = 100° ।
ନିର୍ମେୟ : Δ ABC ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ ।
ଡତ୍ତର : m∠A + m∠B + m∠C = 180°
⇒ 100° + m∠B + m∠B = 180° (∵ m∠B = m∠C)
⇒ 2m∠B = 80° ⇒ m∠B = 40°
∴ ΔABC ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ 40° ।

(ii) ଗୋଟିଏ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭୂମିସଂଲଗ୍ନ କୋଣର ପରିମାଣ 45° ହେଲେ ଏହାର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ?
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଏବଂ m∠B = m∠C = 45°
ନିର୍ମେୟ : ∠BAC ର ପରିମାଣ ।
ଡତ୍ତର : m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 45° + 45° = 180° (∵ m∠B = m∠C = 45°)
m∠A = 180° – 90° = 90°
∴ ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 90° ।

Question 4.
Δ ABC ରେ AC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ AB କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ AB = BD + DC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର ACର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଲମ୍ବ DE, AB କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ,
ଅର୍ଥାତ୍ DE = E͞C ଓ D͞E ⊥ AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = BD + DC
ଅଙ୍କନ : ED ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADE ଓ Δ DEC ମଧ୍ୟରେ AE = CE (ଦତ୍ତ )
m∠DEA = m∠DEC = 90° (DE ⊥ AC)
DE ସାଧାରଣ ବାହୁ ।
∴ Δ ADE = Δ CDE (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ AD ≅ CD
AB = AD + BD = CD + BD (∵ AD = CD)
AB = BD + DC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 5.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଣର ପରିମାଣ 60° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC = BC
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠A = m∠B = m∠C = 60° 
AB = AC ⇒ m∠B = m∠C 
ସେହିପରି AC = BC = m∠A = m∠B 
∴ m∠A = m∠B = m∠C
କିନ୍ତୁ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
∴ m∠A = m∠B = m∠C = \(\frac{180^{\circ}}{3}\) = 60°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 6.
(i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ର B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ଅର୍ଥାତ୍ m∠ABD = m∠ACE ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ଅର୍ଥାତ୍ AB = AC ।
ପ୍ରମାଣ : ∠ABD = ∠ACE
m∠ABD + m∠B= 180° = m∠ACE + ∠C  (∵ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
m∠B = m∠C (∵ ∠ABD = m∠ACE) 
AB = AC ଅର୍ଥାତ୍ Δ ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
  (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) Δ ABCରେ AB = AC ହେଲେ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ।
B ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଅଙ୍କିତ ବହିଃସ୍ଥ କୌଣଦ୍ବୟ ∠ABD ଓ ∠ACE ଅଟେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  m∠ABD = m∠ACE
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ACB = m∠ABC
(ସମାନ ବାହୁର ବିପରୀତ କୋଣଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ)
⇒ m∠ABD + m∠ABC = m∠ACB + m∠ACE = 180°  (∵ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
⇒ m∠ABD = m∠ACE (∵ m∠ABC = m∠ACB)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
Δ ABC ରେ m∠A = 72° ଏବଂ m∠B = 2m∠C ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠A = 72° ଏବଂ m∠B = 2m∠C ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ସମଦିବାହୁ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
⇒ 72° + 2m∠C + m∠C = 180° (∵ m∠B = 2m∠C)
⇒ 3m∠C = 108° – 72° = 108° ⇒ m∠C = 36°
∴ m∠B = 180° – (m∠A + m∠C) = 180° – (72° + 36°)
= 180° – 108° = 72°
∴ m∠A = m∠B ⇒ BC = AC ⇒ Δ ABC ସମଦିବାହୁ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = AC ଏବଂ BO = CO, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ∠ABO ≅ ∠ACO ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଏବଂ OB = OC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ∠ABO ≅ ∠ACO ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC ⇒ m∠ABC = m∠ACB … (i)
Δ OBC ରେ OB = OC (ଦତ୍ତ) ⇒ m∠OBC = m∠OCB … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠ABC – m∠OBC = m∠ACB – m∠OCB
⇒ m∠ABO = m∠ACO
⇒ ∠ABO = ∠ACO (ପ୍ରମାଣିତ)

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଏବଂ BO = CO ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ∠ABO ≅ ∠ACO ।
ଅଙ୍କନ : Δ ABO ଓ Δ ACO ମଧ୍ୟରେ 
∴ AB = AC (ଦତ୍ତ) , BO = CO (ଦତ୍ତ) ଏବଂ A͞O ସାଧାରଣ ବାହୁ ।
Δ ABO ≅ Δ ACO (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ m∠ABO = m∠ACO ⇒ ∠ABO ≅ ∠ACO

Question 9.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = AC, m∠CAD = 160°, m∠BCE = 40° । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, BE = BC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁରେ m∠CAD = 160° ଏବଂ  m∠BCE = 40° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BE = BC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ର ବହିଃସ୍ଥ ∠CAD ର ପରିମାଣ 160° ।
ବହିଃସ୍ଥ m∠CAD = m∠ACB + m∠ABC
m∠CAD = 2m∠ABC (m∠ACB = m∠ABC ∵ AB = AC)
⇒ 160° = 2m∠ABC ⇒ m∠ABC = 80° = m∠ACB
ପୁନଶ୍ଚ Δ CBE ରେ m∠ABC = m∠BCE + m∠CEB
⇒ 80° = 40° + m∠CEB ⇒ m∠CEB = 40°
m∠BCE = m∠CEB = 40° ⇒ BE = BC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
Δ ABC ରେ AB = AC ଓ A͞D ⊥ B͞C । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, BD = DC ଓ m∠BAD = m∠CAD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ଓ A͞D ⊥ B͞C ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BD = DC ଓ m∠BAD = m∠CAD ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ ADC  ମଧ୍ୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
m∠ADB = m∠ADC (ସମକୋଣ) ଓ AD ସାଧାରଣ ବାହୁ ।
∴ Δ ABD ≅ Δ ADC (ସ-କ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ BD = CD ଏବଂ m∠BAD = m∠CAD
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = PQ, BC = QR ଏବଂ m∠ABX = m∠PQY । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, Δ ABC ≅ Δ PQR ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁରେ AB = PQ, BC = QR ଏବଂ m∠ABX = m∠PQY ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ≅ Δ PQR ।
ପ୍ରମାଣ : m∠ABX + m∠ABC = 180° ଏବଂ m∠PQY + m∠PQR = 180°
m∠ABX + m∠ABC = m∠PQY +m∠PQR
⇒ m∠ABC = m∠PQR (∵ m∠ABX = m∠PQY)
Δ ABC ଓ Δ PQR ଦ୍ଠୟରେ AB = PQ, m∠ABC = m∠PQR ଏବଂ BC = QR
∴ Δ ABC ≅ Δ PQR (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ A͞B ଓ C͞D ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ  ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ A͞D || B͞C ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : A͞B ଓ C͞D ରେଖାଖଣ୍ଡ ଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
A͞B ଓ C͞D ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି,
ଅର୍ଥାତ୍ AO = BO ଏବଂ CO = DO ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : A͞D || B͞C
ପ୍ରମାଣ  : Δ AOD ଓ Δ BOC ଦ୍ଠୟରେ m∠AOD = m∠BOC 
AO = BO (ଦତ୍ତ) ଏବଂ DO = CO (ଦତ୍ତ)
∴ Δ AOD = Δ BOC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ m∠DAO = m∠CBO କିନ୍ତୁ ଏ ଦ୍ବୟ ଏକାନ୍ତର କୌଣହେତୁ AD || BC 
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AC କଣ୍ଠ ∠A ଓ ∠C କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥୁଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AB = AD ଏବଂ CB = CD ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ A͞C  କଣ୍ଠ, m∠BAC = m∠DAC ଓ m∠BCA = m∠DCA ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = AD ଏବଂ CB = CD
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ଏବଂ Δ ADC ଦ୍ଠୟରେ
m∠BAC = m∠DAC (ଦତ୍ତ), A͞C ସାଧାରଣ ବାହୁ
ଏବଂ m∠BCA = m∠DCA (ଦତ୍ତ)
∴ Δ ABC = Δ ADC (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ AB = AD ଏବଂ CB = CD
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
Δ ABC ରେ A ବିନ୍ଦୁରୁ B͞C ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ B͞C କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରୁଥୁଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ A͞D ⊥ B͞C ଓ BD = DC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ଅର୍ଥାତ୍ AB = AC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଏବଂ Δ ADC ଦ୍ଠୟରେ BD = CD (ଦତ୍ତ)
A͞D ସାଧାରଣ ବାହୁ ଏବଂ m∠ADB = m∠ADC (ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମକୋଣ)
∴ Δ ABD ≅ Δ ADC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
∴ AB = AC (ଅନୁରୂପ ବାହୁ) ⇒ Δ ABCଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ବୃତ୍ତ ଅଛି, m∠BAD = m∠BCE ଏବଂ AB = BC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ବିନ୍ଦୁରେ m∠BAD = m∠BCE ଏବଂ AB = BC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABD ≅ Δ CBE
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CBE ଦ୍ଠୟରେ
m∠ABD = m∠CBE (ସାଧାରଣ)
AB = BC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ m∠BAD = m∠BCE (ଦତ୍ତ)
Δ ABD ≅ Δ CBE (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ AD = CE
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ O, P͞Q  ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । P͞A ଏବଂ Q͞B, A͞B ଉପରେ ଲମ୍ବ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ A͞P = B͞Q ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ O, P͞Q ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ଅର୍ଥାତ୍ PO = OQ ।
P͞A ⊥ AB ଏବଂ Q͞B ⊥ A͞B
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AP = BQ
ପ୍ରମାଣ : Δ APO ଏବଂ Δ BQO ମଧ୍ୟରେ PO = OQ (ଦତ୍ତ)
m∠PAO = m∠QBO (ସମକୋଣ) ଏବଂ m∠AOP = m∠BOQ (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
Δ APO ≅ Δ BQO (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା) ⇒ AP = BQ
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
Δ ABC ରେ AB = AC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, B ଓ C ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଏହାର ବିପରୀତ ବାହୁମାନଙ୍କ ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC,
B͞D ⊥ A͞C ଓ CE ⊥ AB ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : B͞D ≅ C͞D
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ ACE ଦ୍ଵୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ) 
m∠BAD = m∠CAE (ସାଧାରଣ)
 m∠ADB = m∠AEC = 90°
Δ ABD ≅ Δ ACE ⇒ BD ≅ CD
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 18.
Δ ABC ରେ AB = AC । ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
BO = CO ଏବଂ \( \overrightarrow{\mathrm{AO}}\), ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC । \( \overrightarrow{\mathrm{BO}}\) ଏବଂ \( \overrightarrow{\mathrm{CO}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠B ଓ ∠C ର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ । ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ AC ଓ AB କୁ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) BO = CO
(ii) m∠BAO = m∠CAO;
ଅର୍ଥାତ୍ \( \overrightarrow{\mathrm{AO}}\), ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରମାଣ : m∠ABC = m∠ACB (∵ AB = AC)
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠ABC = \(\frac{1}{2}\)m∠ACB
⇒ m∠OBC = m∠OCB ⇒ OB = OC … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, Δ ABO ଏବଂ Δ ACO ଦ୍ବୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
m∠ABO = m∠ACO (∵ B͞O ଏବଂ C͞O ଯଥାକ୍ରମେ ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ)
ଏବଂ OB = OC ∴ Δ ABO ≅ Δ ACO
⇒ m∠BAO = m∠CAO ଅର୍ଥାତ୍ \( \overrightarrow{\mathrm{AO}}\), ∠A ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 19.
Δ ABC ରେ ∠B ସମକୋଣ । A͞C କର୍ପୂର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ BD = \(\frac{1}{2}\)AC l
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ m∠B = 90° ଏବଂ
D, A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଅର୍ଥାତ୍ AD = DC l
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BD = \(\frac{1}{2}\)AC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\) ଉପରେ ‘E’ ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି
B – D – E ଓ BD = DE l
C͞E ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ EDC ଦ୍ୱୟରେ AD = DC (∵ D, A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
BD = DE (ଅଙ୍କନ) ଏବଂ m∠ADB = m∠EDC (ପ୍ରତୀପ) 
∴ Δ ABD ≅ Δ EDC (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ AB = EC ଏବଂ m∠ABD = m∠CED
କିନ୍ତୁ m∠ABD = m∠CED (ଏକାନ୍ତର)
⇒ AB || CE ⇒ m∠ABC + m∠ECB = 180° ⇒ m∠ECB = 90°
Δ ABC ଓ Δ ECB ଦ୍ୱୟରେ AB = CE (ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରମାଣିତ)
B͞C ସାଧାରଣ ବାହୁ ଏବଂ m∠ABC = m∠ECB = 90°
∴ Δ ABC ≅ Δ ECB (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ AC = BE ⇒ AC = 2BD ⇒ BD = \(\frac{1}{2}\)AC

ବିକଳ୍ପ ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : Δ ABCରେ ∠B ସମକୋଣ । A͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ D ଅର୍ଥାତ୍ A
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : BD = \(\frac{1}{2}\)AC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\) ଉପରେ E ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି BD = DE ହେବ ।
AE ଓ C͞E ଅଙ୍କନ କରାଯାଉ ।
ପ୍ରମାଣ : ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜରେ AD = CD (ଦତ୍ତ) ଓ BD = DE (ଅଙ୍କନ) ।
ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
କିନ୍ତୁ m∠ABC = 90° ହେତୁ ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।
BE = AC (ଆୟତଚିତ୍ରର କଣ୍ଠଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)BE = \(\frac{1}{2}\)AC ⇒ BD = \(\frac{1}{2}\)AC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 20.
କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଉଚ୍ଚତାତ୍ରୟ ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ A͞D ⊥ B͞C, C͞E ⊥ A͞B, BF ⊥ AC ଏବଂ AD = CE = BF ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = BC = AC
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଏବଂ Δ BCE ଦ୍ଵୟରେ
m∠ABD = m∠CBE (ସାଧାରଣ)
m∠ADB = m∠CEB = 90° ଏବଂ AD = CE (ଦତ୍ତ) 
∴ Δ ABD ≅ Δ BCE (କୋ-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା) ⇒ AB = BC
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ, Δ BFC ≅ Δ ADC ⇒ BC = AC
∴ AB = BC = AC
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 21.
ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏହାର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁକୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁଥିଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ ∠A ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\), B͞C କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ 
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AB = AC ଅର୍ଥାତ୍ A ABC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) ଉପରେ E ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି A – D – E ଏବଂ AD = DE | C͞E ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABD ଓ Δ CDE ଦ୍ଵୟରେ AD = DE (ଅଙ୍କନ)
BD = DC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ m∠ADB = m∠CDE (ପ୍ରତୀପ)
∴ Δ ABD = Δ CDE (କୋ-ବା-କୋ ସର୍ବସମତା)
⇒ AB = CE ଏବଂ m∠BAD = m∠CED … (i)
m∠BAD = m∠CAD (ଦତ୍ତ)
m∠CED = m∠CAD ⇒ AC = CE … (ii)
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ AB = AC

(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 22.
Δ ABC ଓ Δ DEF ରେ X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ B͞C ଓ E͞F ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । AB = DF, BC = EF ଓ AX = DY ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, Δ ABC ≅ Δ DEF ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : X, B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଏବଂ Y, B͞C ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, AX = DY, AB = DF ଏବଂ BC = EF ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ ABC ≅ Δ DEF 
ପ୍ରମାଣ : Δ ABX ଓ Δ DFY ମଧ୍ୟରେ, AB = DF, AX = DY ଏବଂ BX = FY
(∵ BC = FE ଏବଂ X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ B͞C ଓ F͞E ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ)
∴ Δ ABC ≅ Δ DEF (ବା-ବା-ବା ସର୍ବସମତା )
⇒ m∠ABX = m∠DFY ⇒ m∠ABC = m∠DFE
ଟର୍ଭମାନ Δ ABC ଓ Δ DFE ଦ୍ଵୟରେ, AB = DF, BC = FE ଏବଂ m∠ABC = m∠DFE
∴ Δ ABC = Δ DFE (ବା-କୋ-ବା ସ୍ଵୀକାର୍ଯ୍ୟ) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 23.
Δ ABC ରେ AB = AC । X ଓ Y ଯଥାକ୍ରମେ A͞B ଓ A͞C ଉପରିସ୍ଥ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AX = AY ।
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, CX = BY ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC । A͞B ଓ A͞C ଉପରିସ୍ଥ X ଓ Y ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AX = AY ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : CX = BY
ପ୍ରମାଣ : Δ ABY ଏବଂ Δ ACX ଦ୍ଵୟରେ AB = AC (ଦତ୍ତ)
AY = AX (ଦତ୍ତ) , m∠BAY = m∠CAX (ସାଧାରଣ କୋଣ)
∴ Δ ABY ≅ Δ ACX (ବା-କୋ-ବା ସର୍ବସମତା)
⇒ BY = CX ⇒ CX = BY
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 24.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = CD ଓ AC = BD । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ AO = DO ଓ BO = CO ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB = CD, AC = BD ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AO = DO ଏବଂ BO = CO ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ACB ଏବଂ Δ DBC ଦ୍ୱୟରେ 
AB = CD (ଦତ୍ତ), AC = BD (ଦତ୍ତ) ଏବଂ C͞B (ସାଧାରଣ ବାହୁ)
∴ Δ ACB ≅ Δ DBC (ବା-କୋ-ବା ସ୍ଵୀକାର୍ଯ୍ୟ)
⇒ m∠CAB = m∠CDB ଓ m∠ABC = m∠DCB
⇒ m∠OBC = m∠OCB ⇒ BO = CO
⇒ AB = CD (ଦତ୍ତ) ⇒ AO + BO = CO + DO ⇒ AO = DO (∵ BO = CO)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 25.
Δ ABC ରେ AB = AC । ∠ABC ଓ ∠ACB କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥିଲେ  ଦର୍ଶାଅ ଯେ, Δ OBC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB = AC ।
∠ABC ଓ ∠ACB କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ‘O’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : Δ OBC ସମଦ୍ବିବାହୁ । ଅର୍ଥାତ୍ OB = OC ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ABC ରେ AB = AC
⇒ m∠ACB = m∠ABC (ସମାନ ବାହୁର ସମ୍ମୁଖୀନ କୋଣ ସମାନ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠ACB = \(\frac{1}{2}\)m∠ABC ⇒ m∠OCB = m∠OBC (ଦତ୍ତ)
⇒ OB = OC
ଅର୍ଥାତ୍ OBC ଏକ ସମଦ୍ବିବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 26.
Δ ABC ରେ AB ଓ AC ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ଏପରି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି AD = AE ଏବଂ DB = EC । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, DE || BC ।
ସମାଧାନ :
ଦତ୍ତ : Δ ABC ରେ AB ଓ AC ଉପରେ ଯଥାକ୍ରମେ D ଓ E ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ 
ଯେପରିକି AD = AE ଓ DB = EC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : DE || BC ।
ପ୍ରମାଣ : Δ ADE ରେ AD = AE (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ADE = m∠AED (ଭୁମି ସଂଲଗ୍ଶ କୋଣ)
AD + BD = AE + EC ⇒ AB = AC ⇒ m∠B = m∠C
Δ ADE ରେ m∠A + m∠ADE + m∠AED = 180°
m∠A + 2m∠ADE = 180° (∵ m∠ADE = m∠AED) … (i)
Δ ABC ରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 2m∠B = 180° (m∠C = m∠B) … (ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠A + 2m∠ADE = m∠A + 2m∠B
2m∠ADE = 2m∠B ⇒ m∠ADE = m∠B
କିନ୍ତୁ ଏହି କୋଣଦ୍ଵୟ ଏକାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି ।
∴ DB = EC ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(d) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(d)

Question 1.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଭୁଲ ଉକ୍ତ ପାଖରେ ‘✗’ ଚିହ୍ନ ଏବଂ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଖରେ ‘✓’ ଚିହ୍ନ ଦିଅ ।
(a)କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜଟି ସମକୋଣୀ ।
ସମାଧାନ:
✓

(b) କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସମଷ୍ଟି ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ।
ସମାଧାନ:
✓

(c) ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସହ ସମାନ ।
ସମାଧାନ:
✓

(d) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜରେ ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ରହିପାରିବ ।
ସମାଧାନ:
✓

(e) ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 180° ।
ସମାଧାନ:
✓

(f) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରର ପରିପୂରକ ।
ସମାଧାନ:
✗

(g) ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥକୋଣ ସର୍ବଦା ଏକ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ।
ସମାଧାନ:
✗

(h) ତ୍ରିଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥକୋଣର ପରିମାଣ ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ ବୃହତ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
✓

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(a) ଗୋଟିଏ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିକର ପରିମାଣ 30° ହେଲେ, ଅନ୍ୟଟିର ପରିମାଣ ________ । 
ସମାଧାନ:
60°

(b) ତ୍ରିଭୁଜର ଗୋଟିଏ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ 130° । ଏହାର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ 75° ହେଲେ, ଅନ୍ୟ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଦୂରବର୍ତ୍ତୀ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
55°

(c ) ΔABC ରେ m∠A = 55° ଏବଂ m∠B = 75° ହେଲେ ∠C ର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
50°

(d) କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି ________ ।
ସମାଧାନ:
180°

(e) ΔABC ରେ m∠A = 90°, m∠B = 2 m∠C ହେଲେ ∠Cର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
30°

(f) ΔABC ରେ AB = AC, m∠A = 60° ହେଲେ m∠B =  ________ ।
ସମାଧାନ:
60°

(g) ଗୋଟିଏ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷକୋଣର ପରିମାଣ 120° ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଦୁଇକୋଣର ପରିମାଣ ସମାନ ହେଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାନ କୋଣର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
30°

(h) ΔABC ରେ AB = AC, m∠B = 30° ହେଲେ ∠A ର ପରିମାଣ ________ ।
ସମାଧାନ:
120°

Question 3.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ‘x’ ଚିହ୍ନିତ କୋଣର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
(i)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ACD = m∠ABC + m∠BAC
⇒ 130° = x + 70°
⇒ x = 130 – 70° = 60°

(ii)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠DCE = m∠ACB = 50° (ପ୍ରତୀପ)
ΔABC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ABF = m∠A + m∠ACB
⇒ 125° = x + 50°
⇒ x = 125° – 50° = 75°

(iii)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACD + m∠ACB = 180°  (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
⇒ 125° + m∠ACB = 180°
⇒ m∠ACB = 180° – 125° = 55°
ΔABC ରେ m∠BAC = 125° – 45° = 80°
⇒ ପୁନଣ୍ଚ m∠FAB + m∠BAC + m∠CAE = 180°
⇒ 60° + 80° + x = 180°
⇒ 140° + x = 180°
⇒ x = 180° – 140° = 40°

(iv)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACD + m∠ACB = 180°
⇒ 132° + m∠ACB = 180°
⇒ m∠ACB = 180° – 132° = 48°
ΔABC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠EAB = m∠ABC + m∠ACB
⇒ 126° = x + 48°
⇒ x = 126° – 48° = 78°

(v)

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠DOC = m∠AOB = 45° (ପ୍ରତୀପ)
ΔAOB ରେ  m∠ABO = 180° – (80° + 45°)
= 180° – 125° = 55°
AB || CD ଏବଂ BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠ABO = m∠ODC = 50° (ଏକାନ୍ତର)

(vi)

ସମାଧାନ:
\(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || BC ଏବଂ BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠EDB = m∠DBC = 30° (ଏକାନ୍ତର)
m∠DAC = m∠DBC + m∠ACB = 30° + 50° = 80
m∠BAC = 180° – m∠DAC = 180° – 80° = 100°

(vii)

ସମାଧାନ:
ΔABC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ACD = m∠A + m∠B = 70° + 56° = 126°
ମାତ୍ର m∠ACE = m∠ECD (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ACE + m∠ECD = m∠ACD
⇒ 2m∠ECD = 126° ⇒ 2x = 126°
⇒ x = \(\frac{126°}{2}\) = 63°

Question 4.
ΔABCର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ O । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : O, ΔABCର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AO}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ΔABO ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠BOE = m∠BAO + m∠ABO … (i)
ΔACO ରେ ବହିଃସ୍ଥ m∠COE = m∠OAC + m∠OCA … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ ସମୀକରଣ (ii)କୁ ଯୋଗକଲେ
⇒ m∠BOE + m∠COE = m∠BAO + m∠ABO + m∠OAC + m∠ACO
⇒ m∠BOC = (m∠BAO + m∠OAC) + (m∠ABO + m∠ACO)
⇒ m∠BOC = m∠BAC + m∠ABO + m∠ACO
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ  ଚିତ୍ରରୁ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, a° + b° = x° + y° ।

ସମାଧାନ:
ମନେକରାଯାଉ ∠BCD = c° ଓ ∠DAB = d°
a° + c° = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
b° + d° = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
ଯୋଗକକେ a° + b° + c° + d° = 180° + 180° = 360° … (i)
ABCD ଚତୁର୍ଭୁଜର  x° + c° + y° + d° = 360° … (ii)
(ଚତୁର୍ଭୁଜର ଚାରି କୋଣର ସମଷ୍ଟି 360°) 
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ 
a° + b° + c° + d° = x° + c° +y° + d° ⇒ a° + b° = x° + y° (ପ୍ରମାଣିତ)
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : BD ଅଙ୍କନ କର ।
ΔADB ରେ ବହିଃସ୍ଥ b° = m∠ADB + m∠ABD
ΔCDB ରେ ବହିଃସ୍ଥ a° = m∠CDB + m∠CBD
∴ a° + b° = (m∠ADB + m∠CDB) + m∠ABD + m∠CBD
= m∠ADC + m∠ABC = y° + x°
∴ a° + b° = x° + y°

Question 6.
ΔABC ରେ ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AD, BC କୁ D) ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠ABC + m∠ACE = 2m∠ADC ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABCରେ ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ AD, BC କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁଛି । 
ΔABCର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ Cରେ ∠ACE କୋଣ ଏକ ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠ABC + m∠ACE = 2m∠ADC
ପ୍ରମାଣ : ΔABD ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ADC = m∠ABD + m∠BAD
⇒ m∠ADC = m∠ABD + m∠CAD
[∵ m∠BAD = m∠CAD ଦତ୍ତ]
⇒ m∠ABD = m∠ADC – m∠CAD … (i)
ΔACD ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠ACE = m∠CAD + m∠ADC … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) କୁ ଯୋଗକଲେ,
m∠ABD + m∠ACE = m∠ADC – m∠CAD + m∠CAD + m∠ADC
⇒ m∠ABD + m∠ACE = m∠ADC + m∠ADC
⇒ m∠ABD + m∠ACE = 2m∠ADC
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 7.
ΔABC ରେ m∠B = 90° । BD ⊥ AC । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠ABD = m∠ACB ଏବଂ m∠BAD = m∠DBC ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ∠B ସମକୋଣ ଏବଂ BD ⊥ AC ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠ABD = m∠ACB
(ii) m∠BAD = m∠DBC
ପ୍ରମାଣ : (i) m∠ABC = 90° (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ABD + m∠DBC = 90° (କୋଣ ସମଷ୍ଟି ସ୍ୱାକା୍ଯ) … (i)
ΔBDC ରେ m∠BDC = 90° (ଦତ୍ତ)
m∠DBC + m∠DCB = 90° (∵ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180°) … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii)ରୁ
⇒ m∠ABD + m∠DBC = m∠DBC + m∠DCB
m∠ABD = m∠DCB
⇒ m∠ABD = m∠ACB
 (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) m∠ABC = 90° (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠ABD + m∠DBC = 90° (କୋଣ ସମଷ୍ଟି ସ୍ୱାକା୍ଯ) … (i)
ΔABD ରେ m∠DBC = 90° (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠BAD + m∠ABD = 90° (∵ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନିକୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180°) … (ii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii)ରୁ
m∠ABD + m∠DBC = m∠BAD + m∠ABD
⇒ m∠DBC = m∠BAD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
ΔABC ରେ D͞E || B͞C, m∠ABC = 60° ଏବଂ m∠DEC = 135° ହେଲେ, ∠Aର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ DE || BC, m∠DEC = 135° ଓ m∠DBC = 60° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ∠A ର ପରିମାଣ ।
ପ୍ରମାଣ : DE || BC (ଦତ୍ତ) ଏବଂ E͞C ଛେଦକ ।
⇒ m∠DEC + m∠ECB = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 135° + m∠ECB = 180°
⇒ m∠ECB = 180° – 135° = 45°
ΔABC ରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
m∠A + 60° + 45° = 180°
⇒ m∠A + 105° = 180°
⇒ m∠A = 180° – 105° = 75°
∴ ∠A ର ପରିମାଣ 75° ।

Question 9.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଯୋଡ଼ା କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି, ତୃତୀୟ କୋଣର ପରିମାଣ ଠାରୁ  ବୃହତ୍ତର ହେଲେ, ତ୍ରିଭୁଜଟି ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ABC ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ । m∠B + m∠C > m∠A, m∠A + m∠C > m∠B, m∠A + m∠B > m∠C
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ΔABC ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ ।
ପ୍ରମାଣ : ΔABC ରେ m∠B + m∠C > m∠A (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠A + m∠B + m∠C > m∠A + m∠A (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ m∠A ଯୋଗକରାଗଲେ ।)
⇒ 180° > 2m∠A ⇒ \(\frac{180^{\circ}}{2}\) > \(\frac{2 \mathrm{~m} \angle \mathrm{A}}{2}\)
⇒ 90° > m∠A ⇒ m∠A < 90° … (i)
ସେହିପରି m∠A + m∠C > m∠B
⇒ m∠A + m∠B + m∠C > m∠B + m∠B (ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ m∠B ଯୋଗକରାଗଲେ ।)
⇒ 180° > 2m∠B ⇒ \(\frac{180^{\circ}}{2}\) > \(\frac{2 \mathrm{~m} \angle \mathrm{B}}{2}\)
⇒ 90° > m∠B ⇒ m∠B < 90° … (ii)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇପାରେ m∠C < 90° … (iii)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ ∠A < 90°, ∠B < 90° ଓ ∠C < 90°
∴ ΔABC ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
A ABCରେ m∠ABC = m∠ACB, ∠BACର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ BC କୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ AD, BC ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ m∠ABC = m∠ACB ଏବଂ AD, m∠Aର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AD ⊥ BC
ପ୍ରମାଣ : ΔABCରେ m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB = 180°
⇒ m∠ABC + m∠BAD + m∠CAD + m∠ACB = 180°
ମାତ୍ର m∠ABC = m∠ACB (ଦତ୍ତ)
ଏବଂ m∠BAD = m∠CAD (∠BACର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ AD)
⇒ 2m∠ABC + 2m∠BAD = 180°
⇒ 2(m∠ABC + m∠BAD) = 180°
⇒ m∠ABC + m∠BAD = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
⇒m∠ABD + m∠BAD = 90°
ΔABD ରେ m∠ABD + m∠BAD + m∠ADB = 180°
⇒ 90° + m∠ADB = 180° ⇒ m∠ADB = 180° – 90° = 90
⇒ A͞D ⊥ B͞C
 (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 11.
ΔABCରେ ∠Bର ଅନ୍ତଃସମଖଣ୍ଡକ ଏବଂ C ବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ବହିଃସ୍ଥକୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକର ଛେଦବିନ୍ଦୁ E ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠BEC = m∠A ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ∠Bର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ BE ଓ ∠C ବହିଃସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ CE ପରସ୍ପରକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।

Question 12.
ΔABCରେ ∠ABC ଓ ∠ACB ର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ
m∠BOC = 90° + \(\frac{1}{2}\)m∠A ।
ସମାଧାନ:

Question 13.
ΔABCରେ ∠B ଓ ∠Cର ବହିଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପରକୁ ୦ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
m∠BOC = 90° – \(\frac{1}{2}\)m∠A ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ∠B ଓ ∠Cର ବହିଃ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ ଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O।

Question 14.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PS, ∠Pର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ PT ⊥ OR ।
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠TPS = \(\frac{1}{2}\)(m∠Q – m∠R)
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔPQR ରେ PS, ∠Pର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ PT ⊥ OR ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠TPS = \(\frac{1}{2}\)(m∠Q – m∠R)
ପ୍ରମାଣ : PT ⊥ OR (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠PTQ = m∠PTR = 90°
ΔPQT ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠PTS = m∠Q + m∠QPT … (i)
ΔPTS ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠PTQ = m∠TPS + m∠PST … (ii)
ମାତ୍ର m∠PTQ = m∠PTS = 90°
∴ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠Q + m∠QPT = m∠TPS + m∠PST
⇒ m∠Q + m∠QPT + m∠TPS = m∠TPS + m∠PST + m∠TPS
(ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵରେ m∠TPS ଯୋଗ କରାଗଲେ ।)
⇒ m∠Q + m∠QPS = 2m∠TPS + m∠PST
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠PST + m∠QPS
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠PSQ + m∠SPR (∵ PS, ∠P ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠SPR – m∠R + m∠SPR
⇒ 2m∠TPS = m∠Q – m∠R (∵ ΔPSR ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠PSQ = m∠SPR + m∠R)
⇒ m∠TPS = \(\frac{1}{2}\)(m∠Q – m∠R)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ΔABC ରେ BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ O ଏବଂ BQ = AQ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ∠BAC ସମକୋଣ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ Q ଅର୍ଥାତ୍ BQ = AQ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  m∠BAC = 90°
ପ୍ରମାଣ : BC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ Q । ⇒ BQ = CQ
BQ = AQ (ଦତ୍ତ) ⇒ AQ = BQ = CQ
⇒ m∠BAQ = m∠ABQ = m∠ACQ = m∠QAC
(Δର ଦୁଇଟି ବାହୁ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କର ବିପରୀତ କୌଣମାନ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ହେବେ ।)
ΔABCରେ m∠A + m∠B + m∠C = 180° (Δର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ m∠BAQ + m∠CAQ + m∠ABQ + m∠ACQ = 180°
⇒ 2m∠BAQ + 2m∠CAQ = 180°
⇒ 2(m∠BAQ + m∠CAQ) = 180°
⇒ m∠BAQ + m∠CAQ = \(\frac{180°}{2}\)
⇒ m∠BAC = 90°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ΔABCର O ଏକ ଅନ୍ତସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ । ଯଦି m∠OAB = m∠OCA ହୁଏ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ m∠A0C + m∠BAC = 180° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ ‘O’ ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ଅର୍ଥାତ୍ m∠OAB = m∠OCA ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :  mZAOC + m∠BAC = 180°
ପ୍ରମାଣ : ΔAOC ରେ m∠AOC + m∠OCA + m∠OAC = 180° (Δର ତିନିକୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ m∠AOC + m∠BAO + m∠OAC = 180° [∵ m∠OAB = m∠OCA (ଦତ୍ତ)]
⇒ m∠AOC + m∠BAC = 180°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(c)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ବା ଭୁଲ ଲେଖ ।
(a) L₁ || L₂ ଓ L₂ || L₃ ହେଲେ L₁ || L₃
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(b) L₁ ⊥ ଓ L₂ ⊥ L₃ ହେଲେ L₁ ⊥ L₃
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(c)  L₁ = L₂ ହେଲେ L₁ || L₂
ସୂଚନା : L₁ = L₂ ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି L₁ ଓ L₂ ରେଖା ଏକ ଅଭିନ୍ନ ।
ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ସଂଜ୍ଞା ବ୍ୟବହାର କର ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

(d) ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖା ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ।
ସମାଧାନ:
ଭୁଲ

(e) ∠ABC ଓ ∠DEF ମଧ୍ୟରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ED}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathbf{BC}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{EF}}\) ହେଲେ m∠ABC = m∠DEF ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଠିକ୍

Question 2.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₃ ସେମାନଙ୍କର ଛେଦକ । ଛେଦବିନ୍ଦୁରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କୋଣଗୁଡ଼ିକ 1, 2, 3 …. 8 ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଚିହ୍ନିତ । m∠3 = 65° ହେଲେ, ଅନ୍ୟ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₃ ଛେଦକ ।
m∠3 = 65° (ଦତ୍ତ)
∴ m∠3 + m∠1 = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)
⇒ m∠1 = 180° – m∠3 = 180° – 65° = 115°
m∠1 = m∠4 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠4 = 115°
m∠3 = m∠2 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠2 = 65°
m∠4 = m∠5 (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ⇒ m∠5 = 115°
m∠5 = m∠8 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠8 = 115°
m∠4 = m∠7 (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) ⇒ m∠7 = 1 15°
m∠7 = m∠6 (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) ⇒ m∠6 = 65°
∴ m∠1 = m∠4 = m∠5 = m∠8 = 115° ଏବଂ m∠2 = m∠3 = m∠6 = m∠7 = 65° ।

Question 3.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ || L₄ ଚିତ୍ରରୁ ନିମ୍ନଲିଖ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କରି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକୁ ପୂରଣ କର ।
m∠x = ________, m∠z = ________
m∠p = ________, m∠q = ________
m∠r = ________, m∠s = ________
ସମାଧାନ:

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₃ || L₄
m∠x = 60°, m∠z = 60° (ଅନୁପୂରକ)
m∠p = 60° = m∠z, m∠z = m∠q = 120° (ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ)
m∠r = 120° (ପ୍ରତୀପ), m∠s = 120° (∵ ∠x ଓ ∠r ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ)

Question 4.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ । ଚିତ୍ରକୁ ବ୍ୟବହାର କରି a, b, c, d ଦ୍ଵାରା ଚିହ୍ନିତ କୋଣଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂
m∠a = 75° (∵ ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠b = 130° (∵ ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠b = m∠c = 130° (∵ ଅନୁପୂରକ କୋଣ)
m∠a = m∠d = 75° (∵ ଅନୁପୂରକ କୋଣ)

Question 5.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ AB || CD ଏବଂ AD || BC । ଚିତ୍ରରୁ x, y, z ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ AB || CD, AD || BC ଏବଂ m∠B = 48° ।
m∠B + m∠C = 180° (∵ AB || CD)
⇒ 48° + m∠x – 180° ⇒ x = 180° – 48° = 132°
ସେ୍ହିପରି m∠C + m∠D = 180° (∵ AD || BC)
⇒ x + y = 1 80°
⇒ 132 + y = 180° ⇒ y = 180° – 132° = 48°
ପୁନଣ୍ଚ m∠D + m∠A = 180° (∵ AB || CD)
⇒ y + z = 180°
⇒ 48 + z = 180°
⇒ z = 180° – 48° = 132°
x = 132°, y = 48°, z = 132° ।

Question 6.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ PQ || RS । \(\overleftrightarrow{\mathbf{RS}}\) କୁ \(\overleftrightarrow{\mathbf{BN}}\) C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ଚିତ୍ରରୁ x ଓ y ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACN + m∠ACB = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ) 
m∠PBC = m∠ACN = 130° (ଅନୁଗୁପ)
∴ m∠ACB = 180° – 130° = 50°
\(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{RS}}\)
⇒ m∠ACB = m∠CBQ = 50° = y (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
m∠ABP = m∠PBC – m∠ABC = 130° – 55° = 75°
∴ m∠CAB = m∠ABP (ଏକାନ୍ତର)
∴ x = 75°
∴ x = 75° ଓ y = 50°

Question 7.
ଚିତ୍ରରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ର ଦୁଇଯୋଡ଼ା ସମାନ୍ତର ରେଖାଦ୍ଵାରା ଗଠିତ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚିତ୍ରରେ ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣ ସଂକେତରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।
(i) ଚିତ୍ର (a) ରୁ x ଓ y ମଧ୍ଯରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ST}}\)
ଚିତ୍ର (a) ରୁ m∠x + m∠CQP = 180° (∵ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\))
ସେ୍ହିପରି m∠CQP = m∠QRS (ଅନୁଗୁପ କୋଣ) (∵ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ST}}\))
m∠APQ = m∠PQR (ଏକାନ୍ତର କୋଣ) = x
∴ m∠x + m∠QRS = 180° (∵ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{ST}}\))
ମାତ୍ର m∠y + m∠QRS = 180°
∴ m∠x + m∠QRS = m∠y + m∠QRS
⇒ m∠x – m∠y

(ii) ଚିତ୍ର (b) ରୁ a ଓ b ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ବନ୍ଧ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathbf{PT}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{RS}}\)
⇒ m∠QPB = m∠TQR = a° (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ଏବଂ ∠TQR + m∠SRQ = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)
⇒ m∠a + m∠b = 180°

Question 8.
(i) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 74°, m∠EDC = 38° ଓ m∠BCD = 36° । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 74°, m∠EDC = 38° ଓ m∠BCD = 36° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\)
ପ୍ରମାଣ : ΔCDF ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠EFC = m∠FDC + m∠FCD = 38° + 36° = 74°
m∠ABF = 74°
∴ m∠ABF = m∠EFC = 74°
ତେଣୁ ଏମାନେ ଅନୁରୂପ । ⇒ \(\overleftrightarrow{\mathbf{DE}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{BA}}\) (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 60°, m∠EDC = 38° ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) । ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ m∠BCD = 22° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ABC = 60°, m∠EDC = 38° ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BCD = 22°
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\)
m∠ABF = m∠EFC = 60° (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ΔCDF ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠EFC = 60°
m∠FCD = 60° – 38° = 22°
m∠BCD ର ପରିମାଣ 22° ।

Question 9.
(i) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\)
ଏବଂ AB ସହ ସମାନ୍ତର ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠A = m∠B ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\), ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । 
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠A = m∠B
ପ୍ରମାଣ : AB || \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) ଏବଂ AC ଛେଦକ ।
⇒ m∠A = m∠ACE (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
ସେହିପରି AB || \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) ଏବଂ BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠ABC = m∠ECD (ଅନୁରୂପ କୋଣ)
ମାତ୍ର m∠ACE = m∠ECD (ଦତ୍ତ)
ସମୀକରଣ (i) ଓ ସମୀକରଣ (ii) ରୁ m∠A = m∠ABC
⇒ m∠A = m∠B
 (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB, m∠ECD = 70° ଏବଂ 
m∠A = 50° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠ACB = 60° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB, m∠ECD = 70° ଓ mZA = 50° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠ACB = 60°
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) || AB, BD ଛେଦକ ।
⇒ m∠ECD = m∠ABC = 70° (ଅନୁରୂପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ m∠A = m∠ACE = 50°
m∠ACD = m∠ACE + m∠ECD = 50° + 70° = 120°
କିନ୍ତୁ ∠ACB ଓ ∠ACD ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ
∴ m∠ACB = 180° – 120° = 60°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ ଓ L₁, L₂ ର ଛେଦକ L₃
(i) m∠2 = 2m∠1 ହେଲେ, ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର । 
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଓ L₃ ଛେଦକ । m∠2 = 2m∠1
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ।
m∠1 = m∠3 (ପ୍ରତୀପ)
m∠2 + m∠3 = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 2m∠1 + m∠1 = 180° (∵ m∠2 = 2m∠1)
⇒ 3m∠1 = 180°
⇒ ∠1 = \(\frac{180°}{3}\) = 60°
⇒ m∠2 = 2m∠1 = 2 × 60° = 120°
∴ m∠1 = 60° ଓ m∠2 = 120°

(ii) m∠2 = 3m∠1 ହେଲେ, ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର । 
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠2 = 3m∠1
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ।
m∠1 = m∠3 (ପ୍ରତୀପ)
m∠2 + m∠3 = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 3∠1 + ∠1 = 180° (∵ m∠2 = 3m∠1)
⇒ 4∠1 = 180°
⇒ ∠1 = \(\frac{180°}{4}\) = 45°
⇒ ∠2 = 3m∠1 = 45° × 3 = 135°
∴ ∠1 = 45° ଓ ∠2 = 135°

(iii) m∠1 : m∠2 = 2 : 3 ହେଲେ, ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : m∠1 : m∠2 = 2 : 3
ନିଶ୍ଚେୟ : ∠1 ଓ ∠2 ର ପରିମାଣ ।
ମକେତେ m∠1 = 2x° ଓ m∠2 = 3x°
m∠1 = m∠3 (ପ୍ରତୀପ)
m∠2 + m∠3 = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ 3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = \(\frac{180°}{5}\) = 36°
∴ m∠1 = 2x = 2 × 36° = 72°
m∠2 = 3x = 3 × 36° = 108°

Question 11.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ L₁ || L₂ | L₃ ଛେଦକ L₁ ଓ L₂ ସରଳ ରେ ଖାଦ୍ୟକୁ ଯଥାକ୍ରମେ A ଓ C ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ । ∠BACର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ଓ ∠ACDର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରନ୍ତି । ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ∠AOC = 90° ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଓ L₃ ଛେଦକ । 
AO, ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଓ CO, ∠Cର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠AOC = 90° 
ପ୍ରମାଣ : m∠A + m∠C = 180° (ଛେଦକର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵସ୍ଥ ଅନ୍ତରସ୍ଥ କୋଣର ସମଷ୍ଟି 180°)
⇒ m∠OAC + 2m∠OCA = 180° (∵ AO, ∠BACର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଓ CO, ∠ACD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
⇒ m∠OAC + m∠OCA = \(\frac{180°}{2}\) = 90°
ΔAOC ରେ m∠OAC + m∠OCA + m∠AOC = 180°
⇒ 90° + m∠AOC = 180°
⇒ m∠AOC = 180° – 90° = 90°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 12.
(i) ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\), m∠OAB = 135°, m∠OCD = 145° ହେଲେ ∠AOCର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{CD}}\), m∠OAB = 35° ଓ m∠OCD = 145°
ନିର୍ଦେୟ : ∠AOCର ପରିମାଣ ।
ଅଙ୍କନ : O ବିନ୍ଦୁରେ \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\)
⇒ m∠BAO + m∠AOE = 180°
⇒ m∠AOE = 180° – m∠BAO
= 180° – 105° = 45° (∵ m∠BAO = 135°)
ସେହିପରି \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) (∵ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)  || \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\))
⇒ m∠OCD + m∠EOC = 180°
⇒ m∠EOC = 180° – m∠OCD
⇒ m∠EOC = 180° – 145° = 35°
∴ m∠AOC = m∠AOE + m∠COE = 45° + 35° = 80°

(ii) ପାର୍ଶ୍ୱ ସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathbf{XB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{YD}}\), m∠XAO = 60°, m∠YCO = 70° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ m∠AOC = 130° ।

ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{\mathbf{XB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{YD}}\), m∠XAO = 60° ଓ m∠YCO = 70°
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠AOC = 130°
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{AO}}\), YD କୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : \(\overleftrightarrow{\mathbf{XB}}\) || \(\overleftrightarrow{\mathbf{YD}}\) ଏବଂ AE ଛେଦକ ।
⇒ m∠XAE = m∠OEC = 60° (ଏକାନ୍ତର କୋଣ)
ΔOEC ରେ ବତ୍ହିଃସ୍ଥ m∠AOC = m∠OEC + m∠OCE = 60° + 70° = 130°

Question 13.
ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦକଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) ଯେକୌଣସି ଏକାନ୍ତର କୋଣ ଦୁଇଟିର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ । \(\overrightarrow{\mathrm{AF}}\), ∠Aର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\), ∠Bର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{AF}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\)
ପ୍ରମାଣ : m∠GAB = m∠ABD (ଏକାନ୍ତର )
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠GAB = \(\frac{1}{2}\)m∠ABD
⇒ m∠FAB = m∠ABE
ମାତ୍ର ଏମାନେ ଏକାନ୍ତର ।
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{AF}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\)
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ଯେକୌଣସି ଅନୁରୂପ କୋଣ ଦୁଇଟିର ଅନ୍ତଃସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ସମାନ୍ତର ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ l \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\), ∠Aର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\), ∠Bର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\)
ପ୍ରମାଣ : m∠GAC = m∠ABD (ଅନୁରୂପ)
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠GAC = \(\frac{1}{2}\)m∠ABD
⇒ m∠GAE = m∠ABF
(∵ \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) m∠GACର ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\), m∠ABD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
 କିନ୍ତୁ ଏମାନେ ଅନୁରୂପ କୋଣ ।
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BF}}\)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ΔABCର m∠B = m∠C, B͞C ସହ ସମାନ୍ତର କରି ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖା AB ଓ AC କୁ ଯଥାକ୍ରମେ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠APQ = m∠AQP ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ΔABC ରେ m∠B = m∠C ଓ BC || \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\)
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠APQ = m∠AQP
ପ୍ରମାଣ : BC || \(\overleftrightarrow{\mathbf{PQ}}\) ।
⇒ m∠APQ = m∠B ଏବଂ m∠AQP = m∠C (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ମାତ୍ର ∠B = ∠C (ଦତ୍ତ)
⇒ m∠APQ = m∠AQP
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ଗୋଟିଏ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ଅନ୍ୟ ଏକ କୋଣର ଦୁଇବାହୁ ସହ ସମାନ୍ତର ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, କୋଣଦ୍ଵୟ ସମପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ବା ପରିପୂରକ ହେବେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{ED}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) m∠B = m∠E
(ii) m∠B + m∠E = 180°
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{DP}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)  ଛେଦକ ।
⇒ m∠ABC = m∠DPC (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{PE}}\) ଛେଦକ ।
⇒ m∠DPC = m∠PEF (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠ABC = m∠PEF
⇒ m∠B = m∠E
(ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{ED}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) ଛେଦକ ।
⇒ m∠B = m∠CPE (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ \(\overrightarrow{\mathrm{PC}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{PE}}\) ଛେଦକ ।
⇒ m∠CPE + m∠PEF = 180°
⇒ m∠B + m∠PEF = 180° (∵ m∠B = m∠CPE)
⇒ m∠B + m∠E = 180°
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ସରଳରେଖାକୁ ଛେଦକରି ସେଥୁମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ଗୋଟିଏ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ତାହା ଅନ୍ୟଟି ପ୍ରତି ମଧ୍ୟ ଲମ୍ବ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ । L₃ ⊥ L₁
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : L₃ ⊥ L₂
ପ୍ରମାଣ :  L₁ || L₂ ଏବଂ L₃ ଛେଦକ ।
⇒ m∠PAC = m∠ABD (ଅନୁଗୁପ କୋଣ)
ମାତ୍ର m∠PAC = 90° (ଦତ୍ତ)
m∠ABD = 90° ⇒ L₁ ⊥ L₂
(ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board Elements of Mathematics Class 12 Solutions CHSE Odisha Chapter 9 Integration Ex 9(h) Textbook Exercise questions and Answers.

CHSE Odisha Class 12 Math Solutions Chapter 9 Integration Exercise 9(h)

Evaluate the following Integrals.
Question 1.
(i) ∫\(\frac{d x}{4+5 \cos x}\)
Solution:

(ii) ∫\(\frac{d x}{3+\cos x}\)
Solution:

(iii) ∫\(\frac{d x}{3+\sin x}\)
Solution:

(iv) ∫\(\frac{d x}{1+2 \sin x}\)
Solution:

(v) ∫\(\frac{d x}{2 \sin x+3 \cos x}\)
Solution:

(vi) ∫\(\frac{d x}{1+\cos x+\sin x}\)
Solution:

Question 2.
(i) ∫\(\frac{3 \sin x+28 \cos x}{5 \sin x+6 \cos x}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\frac{12 \sin x-2 \cos x+3}{\sin x+\cos x}\) dx
Solution:
Let 12 sin x – 2 cos x = A (sin x + cos x) + B ( cos x – sin x)
[Note that cos x – sin x is the derivative of sin x + cos x]
Then A – B = 12, A + B = -2
⇒ 2A = 10
⇒ A = 5, B = -7
Thus 12 sin x – 2 cos x = 5 (sin x + cos x) – 7 (cos x – sin x)

(iii) ∫\(\frac{5 \sin x}{3-2 \sin x}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{2 \cos x+7}{4-\sin x}\) dx
Solution:

Question 3.
(i) ∫\(\frac{d x}{2 \cos ^2 x+3 \cos x}\)
Solution:

(ii) ∫\(\frac{d x}{4 \sin ^2 x-\sin x}\)
Solution:

(iii) ∫\(\frac{\sin x \cos x}{x \sin ^2 x-2 \sin x+3}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{d x}{\cos x-\cos 3 x}\)
Solution:

Question 4.
(i) ∫\(\frac{d \theta}{4+3 \sin ^2 \theta}\)
Solution:

(ii) ∫\(\frac{d \theta}{2-3 \cos ^2 \theta}\)
Solution:

(iii) ∫\(\frac{d \theta}{4 \cos ^2 \theta+9 \sin ^2 \theta}\)
Solution:

(iv) ∫\(\frac{d \theta}{2+3 \cos ^2 \theta-4 \sin ^2 \theta}\)
Solution:

Question 5.
(i) ∫\(\frac{\sin 3 x}{\cos 7 x \cos 4 x}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\frac{\cos 2 x}{\sin 7 x \cos 5 x}\) dx
Solution:

Question 6.
(i) ∫\(\frac{d x}{\cos x(5+3 \cos x)}\)
Solution:

(ii) ∫\(\frac{d x}{\cos x(1+2 \sin x)}\)
Solution:

Odisha State Board Elements of Mathematics Class 12 Solutions CHSE Odisha Chapter 9 Integration Ex 9(g) Textbook Exercise questions and Answers.

CHSE Odisha Class 12 Math Solutions Chapter 9 Integration Exercise 9(g)

Evaluate the following Integrals.
Question 1.
(i) ∫\(\frac{\sqrt{2 x+3}}{x}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\frac{\sqrt{x^2-7}}{x}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\frac{\sqrt{x}}{x+2}\) dx
Solution:

(iv) ∫x\((3 x+2)^{\frac{1}{3}}\) dx
Solution:

(v) ∫\(\frac{x+2}{(2 x-1)^{\frac{1}{3}}}\) dx
Solution:

(vi) ∫(x + 2)\((x+1)^{\frac{1}{4}}\) dx
Solution:

(vii) ∫\(\frac{x-1}{(x+2)^{\frac{3}{4}}}\) dx
Solution:

(viii) ∫\(\frac{d x}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}\) (x = t⁶)
Solution:

Question 2.
(i) ∫\(\frac{3 x+4}{\sqrt{2 x-3}}\) dx
Solution:

(ii) ∫(7x + 4)\(\sqrt{3 x+2}\) dx
Solution:

(iii) ∫(3x + 1)\((x-2)^{\frac{9}{2}}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{2 x+5}{(x+2)^{\frac{7}{2}}}\) dx
Solution:

(v) ∫\(\frac{x^2+2 x+1}{\sqrt{x+4}}\) dx
Solution:

(vi) ∫(x² + 2x + 7)\(\sqrt{x+1}\) dx
Solution:

Question 3.
(i) ∫\(\frac{d x}{\sqrt{4 x^2-4 x+5}}\)
Solution:

(ii) ∫\(\sqrt{4 x^2-4 x+5}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\frac{d x}{\sqrt{x^2-6 x+5}}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\sqrt{x^2-6 x+5}\) dx
Solution:

(v) ∫\(\frac{d x}{\sqrt{1+2 x-x^2}}\) dx
Solution:

(vi) ∫\(\sqrt{1+2 x-x^2}\) dx
Solution:

Question 4.
(i) ∫\(\frac{d x}{(1+x) \sqrt{1-x^2}}\) (1 + x = \(\frac{1}{t}\))
Solution:

(ii) ∫\(\frac{d x}{(2-x) \sqrt{5-4 x+x^2}}\)
Solution:

Question 5.
(i) ∫\(\frac{d x}{(2 x+5) \sqrt{x+2}}\)
Solution:

(ii) ∫\(\frac{1+x^2}{x \sqrt{x^4+1}}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\sqrt{\frac{x-1}{2 x+1}}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{x}{\left(a^2-x^2\right)\left(x^2-b^2\right)}\) dx
Solution:

Odisha State Board Elements of Mathematics Class 12 Solutions CHSE Odisha Chapter 9 Integration Ex 9(f) Textbook Exercise questions and Answers.

CHSE Odisha Class 12 Math Solutions Chapter 9 Integration Exercise 9(f)

Evaluate the following Integrals.
Question 1.
(i) ∫\(\frac{4 x-9}{x^2-5 x+6}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\frac{3 x}{(x-4)(x+2)}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\frac{5 x-12}{(2 x-3)(x-6)}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{20 x+3}{6 x^2-x-2}\) dx
Solution:

(v) ∫\(\frac{2 x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) dx
Solution:

(vi) ∫\(\frac{12 x^4-2 x^3-4 x^2+x-3}{6 x^2-x-2}\) dx
Solution:

Question 2.
(i) ∫\(\frac{2 x+9}{(x+3)^2}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\frac{5 x^2+4 x+4}{(x+2)(x+2)^2}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\frac{x^2+7 x+4}{x^3+x^2-x-1}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{x^4+3 x^3+x^2-1}{x^3+x^2-x-1}\) dx
Solution:

Question 3.
(i) ∫\(\frac{4 x^2-x+3}{\left(x^2+1\right)(x-1)}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\frac{5 x}{\left(x^2-2 x+2\right)(x+1)}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\frac{3}{x^3-1}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{x^5+x^4+x^3+x^2+4 x+1}{x^3+1}\) dx
Solution:

Question 4.
(i) ∫\(\frac{d x}{x^2-5}\)
Solution:

(ii) ∫\(\frac{d x}{2 x^2+8 x+7}\)
Solution:

(iii) ∫\(\frac{x+3}{2 x^2+8 x+7}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{4 x^2+20 x+25}{2 x^2+8 x+7}\) dx
Solution:

(v) ∫\(\frac{e^x}{e^{2 x}+3 e^x+1}\) dx
Solution:

(vi) ∫\(\frac{\tan ^2 \theta+1}{\tan ^2 \theta-1}\) dθ
Solution:

Question 5.
(i) ∫\(\frac{d x}{3-x^2}\)
Solution:

(ii) ∫\(\frac{d x}{7-x^2+6 x}\)
Solution:

(iii) ∫\(\frac{x-5}{7-x^2+6 x}\) dx
Solution:

(iv) ∫\(\frac{\cos \theta}{3-\sin ^2 \theta}\) dθ
Solution:

(v) ∫\(\frac{x^2 d x}{\left(x^2+3\right)\left(x^2+2\right)}\)
Solution:

(vi) ∫\(\frac{x^3 d x}{x^4+3 x^2+2}\) (Put x² = t)
Solution:

(vii) ∫\(\frac{d x}{\sin x(3+2 \cos x)}\) (Put cos x = z)
Solution:

Odisha State Board Elements of Mathematics Class 12 Solutions CHSE Odisha Chapter 9 Integration Ex 9(e) Textbook Exercise questions and Answers.

CHSE Odisha Class 12 Math Solutions Chapter 9 Integration Exercise 9(e)

Evaluate the following:
Question 1.
(i) ∫(1 + x) e^x dx
Solution:
∫(1 + x) e^x dx
[Choolse 1 + x as first and ex as second function
= (1 + x) e^x – ∫1 . e^x dx
= ( 1 + x) e^x – e^x + C = xe^x + C

(ii) ∫x³ e^x dx
Solution:
∫x³ e^x dx = x³ e^x – ∫3x² e^x dx
= x³ e^x – 3{x² e^x – ∫2x e^x dx}
= x³ e^x – 3x² e^x + 6 ∫x e^x dx
= x³ e^x – 3x² e^x +6 {x . e^x – ∫1 . e^x dx}
= x³ e^x – 3x² e^x + 6x e^x – 6e^x + C

(iii) ∫x² e^ax dx
Solution:

(iv) ∫(3x + 2)² e^2x dx
Solution:

Question 2.
(i) ∫x sin x dx
Solution:
∫x sin x dx
[x = first function
sin x = 2nd function]
= x (-cosx) – ∫\(\frac{d}{d x}\)(x) . (-cos x) dx
= -x cos x + ∫cos x dx
= -x cos x + sin x + C

(ii) ∫x² cos x dx
Solution:
∫x² cos x dx
[x² = 1st
cos x = 2nd]
= x² . sin x – ∫\(\frac{d}{d x}\)(x²) sin x dx
= x² sin x – ∫2x . sin x dx
[x = 1st
sin x = 2nd]
= x² sin x – 2 {x . (-cos x) – ∫1 . (-cos x) dx}
= x² sin x + 2x cos x – 2∫cos x dx
= x² sin x + 2x cos x – 2 sin x + C

(iii) ∫x² sin ax dx
Solution:

(iv) ∫x cos² x dx
Solution:

(v) ∫x sin³ x dx
Solution:

(vi) ∫2x sin 2x cos x dx
Solution:

(vii) ∫2x cos 3x cos 2x dx
Solution:

(viii)∫2x³ cos x² dx
Solution:
∫2x³ cos x² dx
[Put x² =t
Then 2x dx = dt]
= ∫x² . cos x² . 2x dx
= ∫t . cos t dt
= t . sin t – ∫1 . sin t dt
= t sin t + cos t + C
= x² sin x² + cos x² + C

(ix) ∫x cosec² x dx
Solution:
∫x cosec² x dx
[x = 1st
cosec² x = 2nd]
= x ∫cosec² x dx – ∫[\(\frac{d}{d x}\)(x) × ∫cosec² x dx] dx
= -x cot x + ∫cot x dx
= -x cot x + ln |sin x| + C

(x) ∫x tan² x dx
Solution:
∫x tan² x dx = ∫x (sec² x – 1) dx
= ∫x sec² x dx – ∫x dx
= x tan x – ∫1 . tan x dx – \(\frac{1}{2}\)x²
[x = 1st
sec² x = 2nd]
= x tan x + ln |cos x| – \(\frac{x^2}{2}\) + C

Question 3.
(i) ∫x ln (1 + x) dx
Solution:

(ii) ∫x⁷ ln x dx
Solution:

(iii) ∫(ln x)³ dx
Solution:

(iv) ∫ln(x² + 1) dx
Solution:
∫ln (x² + 1) dx
= ∫ln (x² + 1) . 1 dx
[Put ln (x² + 1 ) as first function and 1 as the second function.]

(v) ∫\(\frac{\ln x}{x^5}\) dx
Solution:

(vi) ∫ln (x² + x + 2) dx
Solution:

(vii) ∫ln (x + \(\sqrt{x^2+a^2}\)) dx
Solution:

(viii) ∫ln (x + \(\sqrt{x^2-a^2}\)) dx
Solution:

Question 4.
(i) ∫sin^-1 x dx
Solution:

(ii) ∫x sin^-1 dx
Solution:

(iii) ∫cos^-1 x dx
Solution:

(iv) ∫x tan^-1 dx
Solution:

(v) ∫x² tan^-1 x dx
Solution:

(vi) ∫sec^-1 x dx
Solution:

(vii) ∫x cosec^-1 x dx
Solution:

Question 5.
(i) ∫e^3x cos 2x dx
Solution:

(ii) ∫e^x sin x dx
Solution:

(iii) ∫e^x cos² x dx
Solution:

(iv) ∫x \(e^{x^2}\) sin x² dx
Solution:

(v) ∫e^ax sin (bx + c) dx
Solution:
Let I = ∫e^ax sin (bx + c) dx
Integrating by parts we get

(vi) ∫(2x² + 1)\(e^{x^2}\) dx
Solution:
I = ∫(2x² + 1)\(e^{x^2}\) dx
= ∫2x² \(e^{x^2}\) dx + ∫\(e^{x^2}\) . 1 dx
= ∫2x² \(e^{x^2}\) dx + x² \(e^{x^2}\) ∫2x\(e^{x^2}\) .x dx
= x\(e^{x^2}\) + C

Question 6.
(i) ∫\(\sqrt{9-x^2}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\sqrt{5-4 x^2}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\sqrt{1-x^2-2 x}\) dx
Solution:

(iv) ∫e^z \(\sqrt{4-e^{2 z}}\) dz
Solution:

(v) ∫cos θ \(\sqrt{5-\sin ^2 \theta}\) dθ
Solution:

Question 7.
(i) ∫\(\sqrt{x^2+4}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\sqrt{7 x^2+2}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\sqrt{4 x^2+12 x+13}\) dx (2x + 3 = z)
Solution:

(iv) ∫e^2z \(\sqrt{e^{4 z}+6}\) dz
Solution:

(v) ∫sec² θ \(\sqrt{\sec ^2 \theta+3}\) dθ
Solution:

(vi) ∫(2x² +1) \(e^{x^2}\) dx
Solution:
Same as No. 5 (vi).

Question 8.
(i) ∫\(\sqrt{x^2-8}\) dx
Solution:

(ii) ∫\(\sqrt{3 x^2-2}\) dx
Solution:

(iii) ∫\(\sqrt{x^2-4 x+2}\) dx (x – 2 = z)
Solution:

(iv) ∫a^z \(\sqrt{a^{2 z}-4}\) dz
Solution:

(v) ∫sec θ tan θ \(\sqrt{\tan ^2 \theta-3}\) dθ
Solution:

Question 9.
(i)∫e^x (tan x + ln sec x) dx
Solution:
∫e^x (tan x + ln sec x) dx
= ∫e^x tan x dx + ∫e^x ln sec x dx
(Integrating by parts)
= ∫e^x tan x dx + e^x ln sec x – ∫e^x tan x dx
= e^x ln(sec x) + C

(ii) ∫e^x (cot x + ln sin x) dx
Solution:
∫e^x (cot x + ln sin x) dx
[Integrating by parts taking e^x as first function and cot x as second function.]
= ∫e^x ln sin x – ∫e^x ln sin x dx + ∫e^x ln sin x dx + C
= e^x ln sin x + C

(iii) ∫\(\frac{e^x}{x}\) (1 + x ln x) dx
Solution:
∫\(\frac{e^x}{x}\) (1 + x ln x) dx
= ∫\(\frac{e^x}{x}\) dx + ∫\(\frac{e^x}{x}\) e^x ln x dx + C
= e^x ln x + C

(iv) ∫\(\frac{x e^x}{(1+x)^2}\) dx
Solution:

Question 10.
(i) ∫\(\left[\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{(\ln x)^2}\right]\) dx
Solution:

(ii) ∫sin (ln x) dx
Solution:
Let I = ∫sin (ln x) dx
[Integrating by parts taking sin (ln x) as first and 1 as second function.]

(iii) ∫sin x ln (cosec x – cot x) dx
Solution:
∫sin x ln (cosec x – cot x) dx
[Integrating by parts taking In (cosec x cot x) as first function and sin x as second function.]
= ln (cosec x – cot x) . – cos x – ∫\(\frac{1}{{cosec} x-\cot x}\)× – cosec x . cot x + cosec² x × – cos x dx
= -cos x . ln (cosec x – cot x) + ∫\(\frac{{cosec} x({cosec} x-\cot x)}{{cosec} x-\cot x}\) . cos x dx
= -cos x . ln (cosec x – cot x) + ∫cot x dx
= -cos x . ln (cosec x – cot x) + ln sin x + C

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Geometry Chapter 1 ରେଖା ଓ କୋଣ Ex 1(b)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପଦଗୁଡ଼ିକର ସଂଜ୍ଞା ଲେଖ ।
କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ, ସନ୍ନିହିତ କୋଣ, ପ୍ରତୀପ କୋଣ, ପରିପୂରକ କୋଣ, ଅନୁପୂରକ କୋଣ ।
ସମାଧାନ:
କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ:
∠ABC ର \(\overleftrightarrow{\mathrm{BC}}\) ର A – ପାର୍ଶ୍ବ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ର C – ପାର୍ଶ୍ଵର ଛେଦକୁ ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ କୁହାଯାଏ । ∠ABC ର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ଥ‌ିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁକୁ ∠ABC ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ । ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ P, ∠ABC ର ଗୋଟିଏ ଅନ୍ତସ୍ଥ  ବିନ୍ଦୁ ଅଟେ । ଏହିପରି ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁକୁ ନେଇ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶ ଗଠିତ ।

ସନ୍ନିହିତ କୋଣ: 
ଦୁଇଟି କୋଣର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ବାହୁ ଓ କୋଣଦ୍ୱୟର ଅନ୍ୟ ବାହୁ ଦୁଇଟି ସାଧାରଣ ବାହୁର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ ବିସ୍ତୃତ ହେଲେ, ସେମାନଙ୍କୁ ସନ୍ନିହିତ କୋଣ (Adjacent angles) କୁହାଯାଏ ।
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ∠PSQ ଓ ∠QSR ସନ୍ନିହିତ ଅଟନ୍ତି ।

ପ୍ରତୀପ କୋଣ:
ଗୋଟିଏ କୋଣର ବାହୁଦ୍ୱୟର ବିପରୀତ ରଶ୍ମିମାନଙ୍କ ଦ୍ବାରା ଗଠିତ କୋଣକୁ ଉକ୍ତ  କୋଣର ପ୍ରତୀପ କୋଣ (Vertically OppositeAngle) କୁହାଯାଏ । ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ ∠BOC ଓ ∠AOD ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ ଏବଂ ∠AOC ଓ ∠BOD  ପରସ୍ପର ପ୍ରତୀପ ଅଟନ୍ତି ।

ପରିପୂରକ କୋଣ:
ଗୋଟିଏ ରଶ୍ମିର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖାରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେଲେ ଯେଉଁ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଅନ୍ତି, ସେମାନେ ପରସ୍ପର ପରି ପୂରକ (Supplementary angle); ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 180° ଅଟେ ।

ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ m∠ACD + m∠BCD = 180° ଅର୍ଥାତ୍ ∠ACD ଓ ∠BCD ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ଅଟନ୍ତି ।

ଅନୁପୂରକ କୋଣ:
 ଦୁଇଟି କୋଣର ପରିମାଣର ସମଷ୍ଟି 90° ହେଲେ ସେମାନଙ୍କୁ ପରସ୍ପର ଅନୁପୂରକ କୋଣ (Complementary angles) କୁହାଯାଏ ।

Question 2.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(i) ଗୋଟିଏ କୋଣର କେତୋଟି ବାହୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଦୁଇଟି

(ii) ଗୋଟିଏ କୋଣର କେତୋଟି ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଗୋଟିଏ

(ii) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
ଅସଂଖ୍ୟ

(iv) କୋଣ ଓ ଏହାର ଅନ୍ତର୍ଦେଶର ଛେଦରେ କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଥାଏ ?
ସମାଧାନ:
କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ନଥାଏ

Question 3.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ତାଲିକାରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ଦର୍ଶାଅ ।
(i) ରେଖାଖଣ୍ଡ 
(ii) ରଶ୍ମି
(iii) ରେଖା
(iv) କୋଣ
(v) କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦ୍ଦେଶ 
(vi) ସମତଳ
(vii) କୋଣର ବହିର୍ଦେଶ
ସମାଧାନ:
(i) ରେଖାଖଣ୍ଡ 
(ii) ରଶ୍ମି 
(iii) ରେଖା 
(v) କୋଣର ଅନ୍ତଦ୍ଦେଶ ଓ 
(vi) ସମତଳ

Question 4.
ତିନୋଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକରୁଥିବାର ଏକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର । ତତ୍ପରେ ଚିତ୍ରକୁ ଦେଖ୍ ପ୍ରତୀପ କୋଣ ।
ସମାଧାନ:
ପ୍ରତୀପ କୋଣ ଯୋଡ଼ା:
(i) ∠EAD ଓ ∠BAC
(ii) ∠EAB ଓ ∠CAD
(iii) ∠FBG ଓ ∠ABC
(iv) ∠FBA ଓ ∠GBC
(v) ∠ICH ଓ ∠ACB
(vi) ∠ACI ଓ ∠BCH

Question 5.
ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଥ‌ିବାର ଚିତ୍ରଟିଏ ଅଙ୍କନ କର । ତତ୍ପରେ ଚିତ୍ରରୁ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଯୋଡ଼ାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
(i) ∠AOBର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠AOD
(ii) ∠AOBର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠BOC
(ii) ∠BOCର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠COD
(iv) ∠CODର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ∠AOD

Question 6.
XY ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁକୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖାର N-ପାର୍ଶ୍ଵରେ C ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ M-ପାର୍ଶ୍ବରେ B ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ କର । ଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, BM ଓ NC ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ ରହିବେ ?
ସମାଧାନ:
 (i) \(\overleftrightarrow{\mathrm{XY}}\) (ସରଳରେଖା)ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ବରେ M ଓ N ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ ହୋଇଛି ।
(ii) ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖାର N ପାର୍ଶ୍ଵରେ C ବିନ୍ଦୁ ଓ M ପାର୍ଶ୍ବରେ B ବିନ୍ଦୁ ଚିହ୍ନଟ ହୋଇଛି ।
(iii) ଚିତ୍ରରୁ ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ, \(\overline{\mathrm{BM}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{NC}}\) ରେଖାଖଣ୍ଡଦ୍ଵୟ \(\overleftrightarrow{\mathrm{XY}}\) ସରଳରେଖାର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅଛନ୍ତି ।

Question 7.
ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ । ଆବଶ୍ୟକସ୍ଥଳେ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।
(i) X ବିନ୍ଦୁ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ନ ହେଲେ ଓ A – O – B ହେଲେ,
m∠XOA + m∠XOB କେତେ ?
ସମାଧାନ:
m∠XOA + m∠XOB = 180°
( ∵ ∠XOA ଏବଂ ∠XOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ)

(ii) \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ହେଲେ, ∠AOC ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ
କେଉଁଟି ?
ସମାଧାନ:
\(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ଦ୍ଵୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
∠AOC ର ପ୍ରତୀପ କୋଣ ∠BOD ।

(iii) m∠AOB ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ m∠AOC = x ଓ m∠AOB = y ହେଲେ, m∠BOC କେତେ ?
ସମାଧାନ:
m∠AOB ର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ C NC
m∠AOC = x ଏବଂ m∠AOB = y
∴ m∠BOC = m∠AOB – m∠AOC = y – x

(iv) ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦକଲେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହେଉଥ‌ିବା କୋଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଯଦି ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ 30° ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ପ୍ରତୀପ କୋଣର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ କେତେ ହେବ ?
ସମାଧାନ:
\(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
ମନେକର m∠BOC = 30°
m∠BOC = m∠AOD (∵ ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
m∠AOD ର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 180° – 30° = 150° (∵ ପରିପୂରକ କୋଣଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି 180° ।)

Question 8.
(i) m∠AOB = x ଓ∠AOB ର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ 2x° ହେଲେ xର ମାନ ଡିଗ୍ରୀରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
ସମାଧାନ:
m∠AOB = x
m∠AOB କୋଣର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ = 2x
⇒ ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 90°- x = 2x
⇒ 2x + x = 90°
⇒ 3x = 90°
⇒ x = \(\frac{90^{\circ}}{3}\) = 30°

(ii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଦୁଇଗୁଣରୁ 18° ଅଧିକ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ କେତେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣ ଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଏବଂ 2θ + 18° ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ କୌଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ । ଅର୍ଥାତ୍ θ + 2θ + 18° = 180°
⇒ 3θ = 180° – 18° = 162°
⇒ θ = \(\frac{162}{3}\) = 54°
∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = 2θ + 18° = 2 × 54 + 18 = 108 + 18 = 126°
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ:
ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ । ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (180 – θ°) ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ θ = 2(180°- θ) + 18°
⇒ θ = 360° – 2θ + 18°
⇒ 3θ = 378°
⇒ θ = \(\frac{378}{3}\) = 126°

(iii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଏକପଞ୍ଚମାଂଶ ହେଲେ କୋଣଟିର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ θ ଏବଂ \(\frac{θ}{5}\) ।
ପ୍ରଶାନୁସାରେ, କୋଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
⇒ θ + \(\frac{θ}{5}\) = 180° 
⇒ \(\frac{5 \theta+\theta}{5}\) = 180°
⇒ 6θ = 180° × 5
⇒ \(\frac{180^{\circ} \times 5}{6}\) = 150°
∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = \(\frac{θ}{5}\) = \(\frac{150^{\circ}}{5}\) = 30°
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ:
ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ θ । ଏହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (180 – θ°)
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ θ = \(\frac{180^{\circ}-\theta}{5}\) 
⇒ 5θ = 180° – θ
⇒ 6θ = 180°
⇒ θ = 30°

(iv) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନୁପାତ 4 : 5 ହେଲେ, କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 4θ ଓ 5θ ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 4θ + 5θ = 180° 
9θ = 180° 
θ = \(\frac{180}{9}\) = 20°
∴ 4θ = 4 × 20° = 80° ଓ 5θ = 5 × 20° = 100°
∴ ନିର୍ଦେୟ କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 80° ଓ 100° ।

(v) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ, ତାହାର ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣଠାରୁ 20° କମ୍ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣଦ୍ଵୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଓ θ – 20° ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, କୋଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ।
⇒ θ + θ – 20° = 180°
⇒ 20 = 180° + 20°
⇒ θ = \(\frac{200}{2}\) = 100°
∴ ନିଶ୍ଚେୟ କୋଣର ପରିମାଣ = θ – 20° = 100° – 20° = 80°

(vi) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣର ଅନ୍ତର 30° ହେଲେ କୋଣଦ୍ୱୟର ପରିମାଣ ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ:
ମନେକର କୋଣଦ୍ବୟର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ θ ଓ θ + 30° ।
θ + θ + 30° = 180°
⇒  2θ + 30° = 180°
⇒ 2θ = 180° – 30°
⇒ θ = \(\frac{150}{2}\) = 75°
∴ ବୃହତ୍ତର ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ କୋଣର ପରିମାଣ = θ + 30° = 75° + 30° = 105° ।

(vii) ଗୋଟିଏ କୋଣର ପରିମାଣ ତାହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣ ପରିମାଣର ଏକ-ପଞ୍ଚମାଂଶ ହେଲେ, କୋଣଟିର ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ: 
ମନେକର କୋଣଟିର ପରିମାଣ x° ।
ଏହାର ଅନୁପୂରକ କୋଣର ପରିମାଣ (90 – x°) ।
ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, x = \(\frac{90-x}{5}\)
⇒ 5x = 90 − x
6x = 90
⇒ x = \(\frac{90}{6}\) = 15°
∴ କୋଣଟିର ପରିମାଣ 15° ।

Question 9.
ନିମ୍ନସ୍ଥ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଅନୁସାରେ x ର ମାନ କେତେ ହେବ ସ୍ଥିର କର ।

ସମାଧାନ:
(i) ଚିତ୍ର (କ) ରେ ∠AOC ଓ ∠BOC ଦ୍ବୟ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ m∠AOC + m∠BOC = 180°
⇒ 3x + 2x = 180
⇒ 5x = 180
⇒ x = \(\frac{180}{5}\) = 36
∴ x = 36°

(ii) ଚିତ୍ର (ଖ) ରେ ∠PRS ଓ ∠ORS ଦ୍ବୟ ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ m∠PRS + m∠QRS = 180°
(x – 4) + (3x + 8) = 180
⇒ 4x + 4 = 180
⇒ 4x = 180 – 4
⇒ x = \(\frac{176}{4}\) = 44
∴ x = 44°

(iii) ଚିତ୍ର (ଗ) ରେ m∠MOP + m∠POQ + m∠QON = 180°
⇒ (x + 20) + (2x – 30) + (x + 10) = 180°
⇒ 4x = 180°
⇒ x = \(\frac{180}{4}\) = 45°
∴ x = 45°

Question 10.
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ସରଳରେଖାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
m∠COE = 90° ହେଲେ x, Y ଓ z ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
m∠AOC = m∠BOD (ପ୍ରତୀପ) ⇒ 2x = y
ସେହିପରି m∠AOD = m∠BOC (ପ୍ରତୀପ)
⇒ z = 90° + x (∴ m∠COE = 90°)
m∠AOC + m∠AOD = 180°
⇒ 2x + 90° + x = 180°
⇒ 3x = 90°
⇒ x = 30° (∵ m∠AOD = 90° + x)
y = 2x = 2 × 30° = 60°,
z = 90° + x = 90° + 30° = 120°

Question 11.
ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) ଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ଓ m∠POC = 75° ହେଲେ, a, b ଏବଂ c ର ମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ:
∠ROP ଓ ∠POS ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ହେତୁ,
m∠ROP + m∠POS = 180°
⇒ m∠ROP + m∠POC + m∠COS = 180°
⇒ 4b + 75° + b = 180°
⇒ 5b + 75° = 180°
⇒ 5b = 180° – 75° = 105°
⇒ b = \(\frac{105}{5}\) = 21°
m∠QOS = m∠ROP (ପ୍ରତୀପ କୋଣ) 
⇒ a = 4b = b × 21 = 84°
∠ROQ ଓ ∠QOS  m∠ROQ + m∠QOS = 180°
⇒ 2c + a = 180°
⇒ 2c + 84° = 180°
⇒ 2c = 180° – 84° = 96°
∴ c = \(\frac{96°}{2}\) =48°
∴ a = 84°, b = 21°, c = 48°

Question 12.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଦୁଇଟି ପ୍ରତୀପ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରିସ୍ଥ ଦୁଇଟି ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେବେ । 
ସମାଧାନ:
 ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\) ରେଖାଦ୍ବୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ O ।
\(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ଯଥାକ୍ରମେ ∠AOC ଓ ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ :  m∠AOC + m∠AOD = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + m∠AOD = 180°
(∵ m∠AOC = \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠AOC)
\(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠BOD + m∠AOD = 180°
m∠AOM + m∠DON + m∠AOD = 180°
m∠AOM + m∠AON = 180°
\(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ଅଟନ୍ତି । 
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମିଦ୍ବୟ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ∠AOC ଓ ∠BOC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
OM ଓ ON ଯଥାକ୍ରମେ ∠BOC ଏବଂ ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{ON}}\) ଅର୍ଥାତ୍ m∠MON = 90°
ପ୍ରମାଣ : ∠AOC ଓ ∠BOC ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠AOC +m∠BOC = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠AOC + \(\frac{1}{2}\)m∠BOC = \(\frac{1}{2}\) × 180°
⇒ m∠CON + m∠COM = 90° (∵ \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\), ∠BOC ର ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\), ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
⇒ m∠MON = 90°
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{ON}}\)
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 14.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\), ∠AOC କୁ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରେ ।
m∠COD = 90° ହେଲେ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\), ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ହେବ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\), ∠AOE କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ ଏବଂ m∠COD = 90° ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\), ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରମାଣ : ∠AOE ଏବଂ ∠EOB ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠AOE + m∠EOB = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠AOE + \(\frac{1}{2}\)∠EOB = 90°
⇒ m∠COE + \(\frac{1}{2}\)m∠EOB = 90° … (i)
କିନ୍ତୁ mZCOD = 90° (ଦତ୍ତ)
∴ m∠COE + m∠EOD = 90° … (ii)
⇒ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠COE + \(\frac{1}{2}\)m∠EOB = m∠COE + m∠EOD
⇒ \(\frac{1}{2}\)m∠EOB = m∠EOD
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\), ∠EOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ । 
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
\(\overleftrightarrow{AB}\) ଓ \(\overleftrightarrow{CD}\) ପରସ୍ପରକୁ O ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । m∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{OX}\) । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overleftrightarrow{XO}\) କୋଣ BOD କୁ ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡ କରେ ।
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overleftrightarrow{AB}\) ଓ \(\overleftrightarrow{CD}\) ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
\(\overrightarrow{OX}\), ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
\(\overrightarrow{OX}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{OY}\) ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overrightarrow{OY}\), ZBOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
ପ୍ରମାଣ : \(\overrightarrow{OX}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି OY ହେତୁ ଏକ ସରଳରେଖା \(\overleftrightarrow{XY}\)
ଏବଂ \(\overleftrightarrow{AB}\) ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । 
⇒ m∠AOX = m∠BOY (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
ପୁନଶ୍ଚ, \(\overleftrightarrow{XY}\) ଏବଂ \(\overleftrightarrow{CD}\) ପରସ୍ପରକୁ ଠ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । 
⇒ m∠XOC = m∠YOD (ପ୍ରତୀପ କୋଣ)
\(\overrightarrow{OX}\), ∠AOC ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ।
⇒ m∠A0X = m∠XOC
⇒ m∠BOY = m∠YOD (∵ ∠AOX = ∠BOY ଏବଂ ∠XOC = ∠YOD)
∴ \(\overrightarrow{OY}\), ∠BOD ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ।
(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 16.
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ରଶି । କୌଣସି ରଶି ଅନ୍ୟ ରଶି ଦଇଟି ଦାରା ଗଠିତ କୋଣର ଅନ୍ତର୍ଦେଶରେ ବିସ୍ତୃତ ନୁହେଁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠AOB + m∠BOC + m∠COA =360°
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) , O ବିନ୍ଦୁଗାମୀ ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ରଶ୍ମି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠AOB + m∠BOC + m∠AOC = 360°
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ଏବଂ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : m∠AOE +m∠EOD = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ)
⇒ m∠AOE + m∠EOC + m∠COD = 180° … (i)
[∵ m∠EOD = m∠EOC + m∠COD]
ସେହିପରି m∠AOB + m∠BOD = 180° (ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ କୋଣ) … (ii) 
ସମୀକରଣ (i) ଓ (ii)କୁ ଯୋଗକଲେ,
m∠AOE + m∠EOC + m∠COD + m∠AOB + m∠BOD = 180° + 180°
⇒ m∠AOB + (m∠BOD + m∠DOC) + (m∠AOE + m∠EOC) = 360°
⇒ m∠AOB + m∠BOC + m∠COA = 360°
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଚିତ୍ରରେ \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\), ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି । \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି ହେଲେ, ଦର୍ଶାଅ ଯେ,
m∠BOF = m∠AOF l
ସମାଧାନ:
ଦତ୍ତ : \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\), ∠AOB ର ସମର୍ଦ୍ଦିଖଣ୍ଡକ । \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}\) ର ବିପରୀତ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) l
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BOF=m∠AOF
ପ୍ରମାଣ : ∠BOF ଏବଂ ∠BOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠BOF + m∠BOE = 180° … (i)
ପୁନଶ୍ଚ, ∠AOF ଏବଂ ∠AOE ସନ୍ନିହିତ ପରିପୂରକ ।
⇒ m∠AOF + m∠AOE = 180° … (ii)
⇒ (i) ଓ (ii) ରୁ m∠BOF + m∠BOE = m∠AOF + m∠AOE
⇒ m∠BOF = m∠AOF (∵\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\), ∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ)
  (ପ୍ରମାଣିତ)

Odisha State Board CHSE Odisha Class 12 Math Notes Chapter 12 Vectors will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 12th Class Math Notes Chapter 12 Vectors

Important formulae:
1. If P = (x₁, y₁, z₁) and Q = (x₂, y₂, z₂) then
P͞Q = (x₂ – x₁) î + (y₂ – y₁ ) ĵ + (z₂ – z₁) k̂
where î, ĵ, k̂ are the unit vectors along x-axis, y-axis and z-axis.

2. Magnitude of a vector:

8. Properties of vector product:
(i) Area of a parallelogram whose adjacent sides are represented by the


12. The vector equation of a straight line:
(i) The vector equation of a straight line passing through a point with position vector \(\vec{a}\) and parallel to a vector \(\vec{b}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}\) where t is a parameter.
(ii) The equation ofa striaght line through two points with position vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})\).
(iii) Equation of a straight line through a point with position vector \(\vec{a}\) and perpendicualr to two non-parallel \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b} \times \vec{a})\).

13. The vector equation of a plane:
(i) The vector equation of plane through a point \(\vec{a}\) and perpendicular to n̂ is \((\vec{r}-\vec{a}) \cdot \hat{n}\) = 0
(ii) The equation of a plane through a point \(\vec{a}\) and parallel to non-parallel vectors \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\) is \(\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}+s \vec{c}\), where t and s are parameters.
(iii) Equation of the plane passing through the points \(\vec{a}, \vec{b}\) and parallel to \(\vec{c}\) is \(\vec{r}=(1-t) \vec{a}+t \vec{b}+s \vec{c}\).
(iv) Equation of the plane through three non collinear points \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) is \(\vec{r}=(1-s-t) \vec{a}+t \vec{b}+s \vec{c}\).