Students can use Class 6 Math Solution Odia Medium and Class 6 Maths Chapter 5 Question Answer Odia Medium ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା to check their answers after solving exercises.
6th Class Maths Chapter 5 Question Answer Odia Medium
Class 6 Maths Chapter 5 Odia Medium
5.1 ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ (Common Multiples and Common Factors)
ଇଡ୍ଲି-ବରା ଖେଳ: (Page No. 107)
Question 1.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ପିଲାମାନେ ସଂଖ୍ୟା ବଦଳରେ ‘ବରା’ କହିବେ?
Solution:
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହୋଇପାରିବ 5, 10, 20………
Question 2.
କେଉଁ ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ପିଲାମାନେ ‘ଇଡ୍ଲି–ବରା’ କହିବେ?
Solution:
ଏହା ହେଉଛି 15, ଯାହାକି ଉଭୟ 3 ଓ 5ର ଗୁଣିତକ ଅଟେ।
Question 3.
ଏହିପରି ଉଭୟ 3 ଓ 5ର ଗୁଣିତକ ହେଉଥିବା ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ କୁହ।
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ______________ କୁହାଯାଏ।
Solution:
3 ଓ 5ର ଗୁଣିତକ = 15, 30, 45, 60,………..
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 3 ଓ 5ର ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ କୁହାଯାଏ।
ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 108)
Question 1.
10ମ ଥର ପାଇଁ ‘ଇଡ୍ଲି–ବରା’ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାରେ କୁହାଯିବ?
Solution:
ଇଡ୍ଲି-ବରାର 10ମ ସ୍ଥାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଆମେ 3 ଓ 5ରେ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା। ଇଡ଼ଲି-ବରା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 15ରେ ଗୁଣିତକ କୁହାଯାଏ।
ଏହି ସଂଖ୍ୟା ଅନୁକ୍ରମିକଟି ହେଲା- = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150…..
∴ 10ମ ଥର ପାଇଁ ଇଡ୍ଲି-ବରା 150 ସଂଖ୍ୟାରେ କୁହାଯିବ।
Question 2.
ଯଦି ଖେଳଟିକୁ 1 ଠାରୁ 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ଖେଳାଯିବ, ତେବେ–
(କ) ପିଲାମାନେ କେତେଥର ‘ଇଡ଼ଲି’ କହିବେ (ଇଡ଼ଲି-ବରା କହିଥିବା ଥରକୁ ମିଶାଇ)
(ଖ) ପିଲାମାନେ କେତେଥର ‘ବରା’ କହିବେ (ଇଡ଼ଲି-ବରା କହିଥିବା ଥରକୁ ମିଶାଇ)
(ଗ) ପିଲାମାନେ କେତେଥର ‘ଇଡ୍ଲି-ବରା’ କହିବେ?
Solution:
(କ) 3 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ଇଡ଼ଲି କହିବେ।
1 ଠାରୁ 100 ସଂଖ୍ୟା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ 3 ଗୁଣିତକ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ – 3, 6, 9, 12, 15, 18, …96, 99
ଏଠାରେ 33ଟି ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା।
∴ ତେଣୁ ପିଲାମାନେ 33 ଥର ଇଡ଼ଲି କହିବେ।
(ଖ) 5ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ବରା କହିବେ।
1 ଠାରୁ 100 ସଂଖ୍ୟା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ 5 ଗୁଣିତକ ଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ – 5, 10, 15, 20, …95, 100
ଏଠାରେ 20ଟି ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା।
∴ ତେଣୁ ପିଲାମାନେ 20 ଥର ବରା କହିବେ।
(ଗ) ଉଭୟ 3 ଓ 5ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ଇଡ଼ଲି-ବରା କହିବେ, ଯାହା 15 ର ଗୁଣିତକ ହେବ।
1 ଠାରୁ 100 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ 15ରେ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ – 15, 30, 45, 60, 75, 90
ଏଠାରେ 6 ଟି ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା।
∴ ତେଣୁ ପିଲାମାନେ 6 ଥର ଇଡ଼ଲି-ବରା କହିବେ।
Question 3.
ଯଦି ଏହି ଖେଳଟିକୁ 900 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଖେଳାଗଲା, ତେବେ କ’ଣ ହେବ? ତୁମେ କହିଥୁବା ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକ କିପରି ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେବ?
Solution:
1 ଠାରୁ 900 ସଂଖ୍ୟା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ 3ର ଗୁଣିତକ 300ଟି ଅଛି, 5ରେ ଗୁଣିତକ 180ଟି ଅଛି ଏବଂ 15ରେ ଗୁଣିତକ 60ଟି ଅଛି।
(କ) ପିଲାମାନେ 300 ଥର ଇଡ଼ଲି କହିବେ।
(ଖ) ପିଲାମାନେ 180 ଥର ବରା କହିବେ।
(ଗ) ପିଲାମାନେ 60 ଥର ଇଡ଼୍ଲି-ବରା କହିବେ।
Question 4.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥୁବା ଚିତ୍ରଟି ‘ଇଡ୍ଲି–ବରା’ ଖେଳ ସହ କୌଣସି ପ୍ରକାରର ସମ୍ପର୍କିତ କି?
(ସୂଚନା : 30) ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଖେଳାଯାଇଥିବା ଖେଳଟିକୁ ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି। ଯଦି ଖେଳଟିକୁ 60 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଖେଳାଯାଏ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାକୁ ନେଇ ଏହିଭଳି ଏକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର।)
Solution:
Question 5.
ଆସ ବର୍ତ୍ତମାନ ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ନେଇ ଇଡ଼ଲି-ବରା ଖେଳଟିକୁ ଖେଳିବା:
(କ) 2 ଓ 5
(ଖ) 3 ଓ 7
(ଗ) 4 ଓ 6
Solution:
(କ) 2 ଓ 5
(ଖ) 3 ଓ 7
(ଗ) 4 ଓ 6
Page No. 109
Question 1.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଅନ୍ୟ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ? (2, 3, 5, 8, 10)
Solution:
2
Question 2.
24ରେ ଡେଇଁ ଡେଇଁ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ରାମ କେଉଁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁବା ସ୍ଥିର କରିବ?
Solution:
ଯଦି ସେ 4 ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁବା ସ୍ଥିର କରିବ ତେବେ ସେ ଡେଇଁ ଡେଇଁ ଯିବାକୁ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି-
4 → 8 → 12 → 16 → 20 → 24 → 28 ………
ଅର୍ଥାତ୍ 4 ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁ ଡେଇଁ ଗଲେ, ସେ 24 ଉପରକୁ ଡେଇଁ ପାରିବ।
ସେହିପରି, 24 ରେ ଡେଇଁ ଡେଇଁ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ଅନ୍ୟ ସଫଳ ଡେଇଁବା ବ୍ୟବଧାନଗୁଡ଼ିକ ହେଲା – 2, 3, 6, 8 ଓ 12
Question 3.
ଡେଇଁବା ବ୍ୟବଧାନ 1 ଓ 24 ହେଲେ, କ’ଣ ହେବ?
Solution:
ହଁ, ସେ ଏହି ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁଲେ ମଧ୍ୟ 24 ଉପରକୁ ଡେଇଁ ପାରିବ।
ସଂଖ୍ୟା 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ଓ 24 ସମସ୍ତଙ୍କଦ୍ୱାରା 24 ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରୂପେ ବିଭାଜ୍ୟ।
ମନେରଖ, ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ 24 ର ଗୁଣନୀୟକ ବା ବିଭାଜକ କୁହାଯାଏ।
Page No. 110
Question 1.
ରହିମ୍ 14 ଓ 36 ଉପରେ ମୁଦ୍ରା ରଖୁଲେ ଏବଂ ରାମ ଡେଇଁବା ବ୍ୟବଧାନ 7 କୁ ବାଛିଲେ, ରାମ ଉଭୟ ମୁଦ୍ରା ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଉପରକୁ ଡେଇଁ ଡେଇଁ ଯାଇପାରିବ କି?
Solution:
‘0’ ଠାରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ସେ 7 ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁଗଲେ, ଆମେ ପାଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 7 → 14 → 21 → 28 → 35 → 42 …..।
ଆମେ ଦେଖୁବା ଯେ, ସେ 14 ଉପରକୁ ଡେଇଁ ପାରିବେ କିନ୍ତୁ 36 ଉପରକୁ ଡେଇଁପାରିବେ ନାହିଁ। ତେଣୁ ସେ ମୁଦ୍ରା ପାଇବ ନାହିଁ।
Question 2.
ସେ କେଉଁ ଡେଇଁବା ବ୍ୟବଧାନକୁ ବାଛିବ?
Solution:
14 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ – 1, 2, 7, 14
ତେଣୁ ଏହି ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁଲେ, 14 ଉପରକୁ ଡେଇଁପାରିବ।
36 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ – 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ଏବଂ 36
ତେଣୁ ଏହି ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁଲେ, ସେ 36 ଉପରକୁ ଡେଇଁ ପାରିବ।
Question 3.
କେଉଁ ଡେଇଁବା ବ୍ୟବଧାନ ସାହାଯ୍ୟରେ ଡେଇଁଲେ ଆମେ ଉଭୟ 15 ଓ 30 ପାଖରେ ପହଞ୍ଚତ୍ପାରିବା? ଏଥିପାଇଁ ଅନେକଗୁଡ଼ିଏ ଡେଇଁବା ବ୍ୟବଧାନ ସମ୍ଭବ? ସେ ସମସ୍ତ ବ୍ୟବଧାନ ଖୋଜିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର।
Solution:
15ର ଗୁଣନୀୟକ = 1, 3, 5, 15
30ର ଗୁଣନୀୟକ = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
ଏବେ 15 ଓ 30ର ସାଧାରଣଗୁଣନୀୟକ ହେଲେ – 1, 3, 5, 15
ତେଣୁ 1, 3, 5 ଓ 15 ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁଲେ, ଉଭୟ 15 ଓ 30 ପାଖରେ ପହଞ୍ଚିପାରିବା।
Page No. 110
ତଳେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସାରଣୀକୁ ଦେଖ। ଏଥୁରୁ ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ?
Question 1.
ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀରୁ ଚିତ୍ରିତ କୋଠରୀରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ କିଛି ସାଧାରଣ। ସମାନତା ଅଛି କି?
Solution:
ଚିତ୍ରିତ କୋଠରିରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି – 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 3ର ଗୁଣିତକ।
Question 2.
ଗୋଲ ଚିହ୍ନିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ କିଛି ସାଧାରଣ / ସମାନତା ଅଛି କି?
Solution:
ଗୋଲ ଚିହ୍ନିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି – 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 3ର ଗୁଣିତକ।
Question 3.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଉଭୟ ଗୋଲ ଚିହ୍ନିତ ଓ ଚିତ୍ର ତଳେ କୋଠରୀ ଅଛି? ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ କ’ଣ କହିବା?
Solution:
ଗୋଲ ଚିତ୍ରିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି – 36, 48, 60
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 3 ଓ 4ର ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ।
ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 110-111)
Question 1.
310 ଓ 410 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 40 ର ସମସ୍ତ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
40 ର ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ = 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440…….
∴ 310 ଓ 410 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 40 ର ଗୁଣିତକ ଗୁଡ଼ିକ 320, 360 ଓ 400.
Question 2.
ମୁଁ କିଏ, କୁହ?
(କ) ମୁଁ 40 ଠାରୁ ଗୋଟିଏ ସାନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ। ମୋର ଗୋଟିଏ ଗୁଣନୀୟକ 7 ଏବଂ ମୋର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ୫ ଅଟେ।
(ଖ) ମୁଁ 100 ଠାରୁ ଗୋଟିଏ ସାନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ। 3 ଓ 5 ମୋର ଦୁଇଟି ଗୁଣନୀୟକ ଅଟନ୍ତି। ମୋର ଗୋଟିଏ ଅଙ୍କ ଅନ୍ୟ ଅଙ୍କଠାରୁ। ଅଧିକ।
Solution:
(କ) 7 ସଂଖ୍ୟାର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ 40 ଠାରୁ ସାନ,
ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 7, 14, 21, 28 ଓ 35
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଯାହାର ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 8, ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି = 35 = 3 + 5 = 8
∴ ମୁଁ 35.
(ଖ) 3 ଓ 5 ର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ 100 ରୁ ସାନ,
ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଗୁଡ଼ିକ = 15, 30, 45, 60, 75, 90
ମୋର ଗୋଟିଏ ଅଙ୍କ ଅନ୍ୟ ଅଙ୍କଠାରୁ 1 ଅଧିକ ହେଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି 45
∴ ମୁଁ 45.
Question 3.
ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି, ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଗୁଣ ସହ ସମାନ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାକୁ ‘ପରିପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା’ କୁହାଯାଏ । ଉଦାହରଣ- 28, ଏକ ପରିପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ। ଏହାର ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 1, 2, 4, 7, 14 ଓ 28। ଏହି ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି ହେଲା – 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 ଯାହା 28 ର 2 ଗୁଣ ସହ ସମାନ। 1 ଓ 10 ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ପରିପୂର୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
ମନେକର 1 ଓ 10 ମଧ୍ଯରେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 6
6 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 3, 6
ସେମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = 1 + 2 + 3 + 6 = 12
∴ 12 ସଂଖ୍ୟାଟି 6 ର ଦୁଇଗୁଣ ଅର୍ଥାତ୍ 6 ଗୋଟିଏ ପରିପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା।
Question 4.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
(କ) 20 ଓ 28
(ଖ) 35 ଓ 50
(ଗ) 4, 8 ଓ 12
(ଘ) 5, 15 ଓ 25
Solution:
(କ) 20 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 4, 5, 10, 20
28 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 4, 7, 14, 28
∴ 20 ଓ 28 ର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 4
(ଖ) 35 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 5, 7, 35
50 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 5, 10, 25, 50
∴ 35 ଓ 50 ର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 5
(ଗ) 4 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 4
8 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 4, 8
12 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ 4, 8 ଓ 12 ର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 4
(ଘ) 5 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 5
15 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 3, 5, 15
25 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 5, 25
∴ 5, 15 ଓ 25 ର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 5
Question 5.
ଏପରି 3ଟି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ 25 ର ଗୁଣିତକ ଅଟନ୍ତି କିନ୍ତୁ 50 ର ଗୁଣିତକ ନୁହଁନ୍ତି।
Solution:
25 ର ଗୁଣିତକ ଗୁଡ଼ିକ = 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, ….
50 ର ଗୁଣିତକ ଗୁଡ଼ିକ = 50, 100, 150, 200, 250, 300, ….
∴ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 25 ର ଗୁଣିତକ ଅଟନ୍ତି କିନ୍ତୁ 50 ର ଗୁଣିତକ ନୁହଁନ୍ତି,
ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ = 25, 75, 125, 175
Question 6.
ଅଂଶୁ ଏବଂ ତା’ର ସାଙ୍ଗମାନେ 10 ରୁ କମ୍ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ନେଇ ଇଡ଼ଲି–ବରା ଖେଳଟିକୁ ଖେଳୁଛନ୍ତି। 50 ପରେ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଜଣେ ପ୍ରଥମ ଥର ପାଇଁ ଇଡ଼ଲି-ବରା କହିଲା। ତେବେ କୁହ, ଇଡ଼ଲି ଓ ବରା ପାଇଁ କେଉଁ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ନିଆଯାଇପାରେ?
Solution:
ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ହେଲେ 6 ଓ 9।
ଇଡ୍ଲି ଓ ବରା ପାଇଁ ନିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଟି 54 ଯାହାକି ଉଭୟ 6 ଓ 9ର ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ।
Question 7.
‘ମୁଦ୍ରା ଖୋଜିବା / ପାଇବା ଖେଳ’ ଟିରେ ରହିମ୍ 28 ଓ 70 ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ରଖୁଲା। କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁଲେ, ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାରେ ପହଞ୍ଚିପାରିବ?
Solution:
28 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 4, 7, 14, 28
70 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
∴ 28 ଓ 70 ର ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = 1, 2, 7 ଓ 14
ତେଣୁ 1, 2, 7 ଓ 14 ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବଧାନରେ ଡେଇଁଲେ, 28 ଓ 70 ସଂଖ୍ୟାରେ ପହଞ୍ଚି ପାରିବ।
Question 8.
ତଳେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚିତ୍ରରେ, ଗୁନା ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଲିଭାଇ ଦେଇଛି। ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଖୋଜି ବାହାର କର ଏବଂ ଲିଭାଇ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଖାଲି ସ୍ଥାନରେ ପୂରଣ କର।
Solution:
Question 9.
7 ବ୍ୟତୀତ, 1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
7 ବ୍ୟତୀତ, 1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ହେଉଛି
1 = 1
5 = 5
10 = 2 × 5
2 = 2
6 = 2 × 3
3 = 3
8 = 2 × 2 × 2
4 = 2 × 2
9 = 3 × 3
କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360
∴ 7 ବ୍ୟତୀତ, 1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ 360।
Question 10.
ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହା 1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରୁ, ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ହେବ।
Solution:
1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ହେଉଛି
1 = 1
5 = 5
9 = 3 × 3
2 = 2
6 = 2 × 3
10 = 2 × 5
3 = 3
7 = 7
4 = 2 × 2
8 = 2 × 2 × 2
କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 2520
∴ 1 ଠାରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ ହେଉଛି 2520।
5.2 ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (Prime Number)
Page No. 112
Question 1.
କେତେ ପ୍ରକାର ସଜେଇବା ସମ୍ଭବ? ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାର ଉପାୟଗୁଡ଼ିକ ଚିନ୍ତାକର ଏବଂ କୁହ କିପରି?
Solution:
1. ଗୁନା, 12ଟି ଆମ୍ବକୁ ଆୟତ୍ଚିତ୍ର ଆକାରରେ ସଜାଇ ପାରିବ।
2. ଅଂଶୁ, 7ଟି ଆମ୍ବକୁ ଆୟତଚିତ୍ର ଆକାରରେ ସଜାଇପାରିବ।
Page No. 113
Question 1.
21 ରୁ 30 ମଧ୍ଯରେ କେତୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଓ କେତୋଟି ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
Solution:
21 ରୁ 30 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା = 23, 29 = 2ଟି।
21 ରୁ 30 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା = 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 = 8ଟି।
Question 2.
1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଆମେ ତାଲିକା କରିପାରିବା କି?
Solution:
1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା-
1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା-
ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 114)
Question 1.
ଆମେ ଦେଖୁବା ଯେ 2 ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟ। ଏହିଭଳି ଅନ୍ୟ ଯୁଗ୍ମ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି?
Solution:
ନାହିଁ। 2 ଏକମାତ୍ର ମୌଳିକ ଓ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।
Question 2.
100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଦେଖ। ଦୁଇଟି କ୍ରମାଗତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ପାର୍ଥକ୍ୟ କେତେ? ବୃହତ୍ତମ ପାର୍ଥକ୍ୟ କେତେ?
Solution:
100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
ଦୁଇଟି କ୍ରମାଗତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପାର୍ଥକ୍ୟ
3 – 2 = 1
5 – 3 = 2
7 – 5 = 2
11 – 7 = 4
13 – 11 = 2
17 – 13 = 4
19 – 17 = 2
23 – 19 = 4
29 – 23 = 6
31 – 29 = 2
37 – 31 = 6
41 – 37 = 4
43 – 41 = 2
47 – 43 = 4
53 – 47 = 6
59 – 53 = 6
61 – 59 = 2
67 – 61 = 6
71 – 67 = 4
73 – 71 = 2
79 – 73 = 6
83 – 79 = 4
89 – 83 = 6
97 – 89 = 8
100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୁଇଟି କ୍ରମାଗତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 1
(2 ଓ 3 ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ)
100 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୁଇଟି କ୍ରମାଗତ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବୃହତ୍ତମ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 8
(89 ଓ 97 ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ)
Question 3.
ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ରହୁଛି କି? କେଉଁ ଦଶ ଭାଗରେ ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟକ ମୌଳିକ ଅଛି?
Solution:
ସାରଣୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ମୌଳିକ ରହୁନାହାନ୍ତି।
ସାରଣୀର 91-100 ଧାଡ଼ିରେ ସର୍ବନିମ୍ନ ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ରହୁଛି = 97
ସାରଣୀର 1-10 ଓଁ 11-19 ଧାଡ଼ିରେ ସର୍ବାଧକ 4ଟି ମୌଳିକ ଅଛି = 2, 3, 5, 7 ଓ 11, 13, 17, 19
Question 4.
ନିମ୍ନଲିଖତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା: 23, 51, 37, 26?
Solution:
23 ଓ 37 କେବଳ 1 ଓ ନିଜ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ। ତେଣୁ ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା।
Question 5.
20 ଠାରୁ ସାନ 3 ଯୋଡ଼ା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର ସମଷ୍ଟି 5 ର ଏକକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ।
Solution:
20 ଠାରୁ ସାନ 3 ଯୋଡ଼ା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା, ଯାହାର ସମଷ୍ଟି 5 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ। ସେହି ଯୋଡ଼ା ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି (2, 3), (2, 13), (7, 13)।
Question 6.
13 ଓ 31 ହେଉଛି ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଯେଉଁଥରେ ସମାନ ଅଙ୍କ 1 ଓ 3 ଅଛି। 100 ମଧ୍ୟରେ, ଏହିପରି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
100 ମଧ୍ୟରେ 13 ଓ 31 ହେଉଛି ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଯେଉଁଥିରେ ସମାନ ଅଙ୍କ 1 ଓ 3 ଅଛି।
ସେହିଭଳି ଅନ୍ୟ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି: (13, 31), (17, 71), (37, 73) ଓ (79, 97)।
Question 7.
1 ଓ 100 ମଧ୍ୟରେ 7ଟି କ୍ରମାଗତ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
1 ଓ 100 ମଧ୍ୟରେ 7ଟି କ୍ରମାଗତ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା = 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96
Question 8.
ଯେଉଁ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ମଧ୍ଯରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ 2 ଥାଏ, ସେମାନଙ୍କୁ ଯମଜ ମୌଳିକ କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ: 3 ଓ 5, 17 ଓ 19 ଯମଜ ମୌଳିକ ଅଟନ୍ତି। 1 ଠାରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଅନ୍ୟ ଯମଜ ମୌଳିକଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ।
Solution:
1 ଠାରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ ଯମଜ ମୌଳିକଗୁଡ଼ିକ = (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)
Question 9.
ଦିଆଯାଇଥବା ଉତ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ କିମ୍ବା ଭୁଲ ଚିହ୍ନଟ କର ଏବଂ କାରଣ ଲେଖ।
(କ) ଏପରି କୌଣସି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ, ଯାହାର ଏକକ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କ 4 ଅଟେ।
(ଖ) ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ମଧ୍ୟ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ।
(ଗ) ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର କୌଣସି ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ।
(ଘ) ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି।
(ଙ) 2 ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତା’ ପରବର୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା 3 ମଧ୍ଯ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା। 2 ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।
Solution:
(କ) ଠିକ୍। ଆମେ ଜାଣିଛେ ଯେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 0, 2, 4, 6, 8 ଥିବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ତେଣୁ କୌଣସି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କ 4 ହେବ ନାହିଁ।
(ଖ) ଭୁଲ୍ । ମନେକର ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା 2 ଓ 3।
ଗୁଣଫଳ = 2 × 3 = 6, ଗୋଟିଏ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା।
ତେଣୁ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ନାହିଁ।
(ଗ) ଭୁଲ୍। ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାର ଦୁଇଟି ଗୁଣନୀୟକ ଅଛି। 1 ଓ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି ନିଜେ।
ତେଣୁ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଦୁଇଟି ଗୁଣନୀୟକ ଅଛି।
(ଘ) ଭୁଲ୍। ମନେକର ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି 2।
2 ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ, ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା।
(ଙ) ଠିକ୍। ମନେକର 5 ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା। ପରବର୍ତୀ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା = 6
ତେଣୁ 2 ଭିନ୍ନ ଅନ୍ୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।
Question 10.
ନିମ୍ନଲିଖ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଅଟେ। 45, 60, 91, 105, 330?
Solution:
45 = 3 × 3 × 5 (2 ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)
60 = 2 × 2 × 3 × 5 (3 ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)
91 = 7 × 13 (2 ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)
105 = 3 × 5 × 7 (3 ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)
330 = 2 × 3 × 5 × 11 (4 ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା)
∴ 105 ସଂଖ୍ୟାଟି ଠିକ୍ ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (3 × 5 × 7)ର ଗୁଣଫଳ ଅଟେ।
Question 11.
2, 4 ଏବଂ 5 ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଥରେ ଲେଖାଏଁ ବ୍ୟବହାର କରି କେତୋଟି ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଗଠନ କରିପାରିବ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛେ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 2 କିମ୍ବା 4 ଥିବ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ। ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 5 ଧ୍ରୁବ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
∴ ତେଣୁ 2, 4 ଓ 5 କୁ ଥରେ ଲେଖାଏଁ ବ୍ୟବହାର କଲେ ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ବି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଗଠନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।
Question 12.
ଲକ୍ଷ୍ୟକର, 3 ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ 2 × 3 + 1 = 7 ମଧ୍ଯ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା, ଏପରି ଅନ୍ୟ କିଛି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି, ଯାହାର 2 ଗୁଣରେ 1 ଯୋଗକଲେ, ଅନ୍ୟ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ? ଏପରି ଅତିକମ୍ରେ 5ଟିର ଉଦାହରଣ ଦିଅ।
Solution:
କିଛି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି, ଯାହାର 2 ଗୁଣରେ 1 ଯୋଗକଲେ, ଅନ୍ୟ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ:
- 2 (2 × 2 + 1 = 5)
- 3 (2 × 3 + 1 = 7)
- 5 (2 × 5 + 1 = 11)
- 11 (2 × 11 + 1 = 23)
- 23 (2 × 23 + 1 = 47)
5.3 ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା (Co-Prime Numbers for Safe keeping Treasures)
Page No. 115
Question 1.
ନିମ୍ନ ଯୋଡ଼ିଟିକୁ ସୁରକ୍ଷିତ କି ନୁହେଁ, ପରୀକ୍ଷା କର।
(କ) 15 ଓ 39
(ଖ) 4 ଓ 15
(ଗ) 18 ଓ 29
(ଘ) 20 ଓ 55
Solution:
(କ) 15 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 3 × 5
39 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 3 × 13
1 ବ୍ୟତୀତ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିରେ 3 ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଅଛି।
∴ ତେଣୁ 15 ଓ 39 ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ସୁରକ୍ଷିତ ନୁହେଁ।
(ଖ) 4 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 2 × 2
5 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 3 × 5
1 ବ୍ୟତୀତ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ।
∴ ତେଣୁ 15 ଓ 39 ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ସୁରକ୍ଷିତ।
(ଗ) 18 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 2 × 3 × 3
29 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1
1 ବ୍ୟତୀତ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ।
∴ ତେଣୁ 15 ଓ 39 ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ସୁରକ୍ଷିତ।
(ଘ) 20 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 2 × 2 × 5
55 ର ଗୁଣନୀୟକ = 5 × 11
1 ବ୍ୟତୀତ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିରେ 5 ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ଅଛି।
∴ ତେଣୁ 20 ଓ 55 ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ି ସୁରକ୍ଷିତ ନୁହେଁ।
Page No. 116
Question 1.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥବା କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ?
(କ) 18 ଓ 35
(ଖ) 15 ଓ 37
(ଗ) 30 ଓ 415
(ଘ) 17 ଓ 69
(ଙ) 81 ଓ 18
Solution:
(କ) 18 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 2 × 3 × 3
35 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 5 × 7
ଏହି ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ 1 ବ୍ୟତୀତ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ।
ତେଣୁ 18 ଓ 35 ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିଟି ପରସ୍ପର ମୌଳିକ।
(ଖ) 15 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 3 × 5
37 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 37
ଏହି ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ 1 ବ୍ୟତୀତ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ।
ତେଣୁ 15 ଓ 37 ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିଟି ପରସ୍ପର ମୌଳିକ।
(ଗ) 30 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 2 × 3 × 5
415 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 5 × 83
ଏହି ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ 1 ବ୍ୟତୀତ 5 ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ।
ତେଣୁ 18 ଓ 35 ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିଟି ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହେଁ।
(ଘ) 17 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 17
69 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 3 × 23
ଏହି ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ 1 ବ୍ୟତୀତ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ।
ତେଣୁ 17 ଓ 69 ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିଟି ପରସ୍ପର ମୌଳିକ।
(ଙ) 81 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 3 × 3 × 3 × 3
18 ର ଗୁଣନୀୟକ = 1 × 2 × 3 × 3
ଏହି ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ 1 ବ୍ୟତୀତ 3 ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ।
ତେଣୁ 81 ଓ 18 ସଂଖ୍ୟା ଯୋଡ଼ିଟି ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହେଁ।
Page No. 116
Question 1.
କେତେକ ଚିତ୍ରରେ, ସୂତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଖୁଣ୍ଟରେ ବନ୍ଧା ହୋଇଛି। କେତେକ ଚିତ୍ରରେ ଏହା ହୋଇନାହିଁ। ଏହା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ି (ଖୁଣ୍ଟର ସଂଖ୍ୟା ଓ ସୂତା ବାନ୍ଧିବା ବ୍ୟବଧାନ) ସହ ସମ୍ପର୍କତ କି?
Solution:
ହଁ।
Page No. 117
Question 1.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ତଥ୍ୟକୁ ନେଇ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର।
(a) 15 ଟି ଖୁଣ୍ଟ, ସୂତା ବାନ୍ଧିବା ବ୍ୟବଧାନ 10
(b) 10 ଟି ଖୁଣ୍ଟ, ସୂତା ବାନ୍ଧିବା ବ୍ୟବଧାନ 7
(c) 14 ଟି ଖୁଣ୍ଟ, ସୂତା ବାନ୍ଧିବା ବ୍ୟବଧାନ 6
(d) 8 ଟି ଖୁଣ୍ଟ, ସୂତା ବାନ୍ଧିବା ବ୍ୟବଧାନ 3
Solution:
ଏହିପରି ପିଲାମାନେ ପ୍ରଶ୍ନ (d) ର ସଂଖ୍ୟାଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର।
5.4 ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ (Prime Factorisation)
Page No. 117
Question 1.
ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ କି ନୁହେଁ, ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା।
56 ଏବଂ 63 ପରସ୍ପର ମୌଳିକ କି?
Solution:
56 = 14 × 4 ଏବଂ 63 = 21 × 3 ଲେଖିପାରିବା। ତେଣୁ 14 ଓ 4, 56 ର ଗୁଣନୀୟକ ଏବଂ 21 ଓ 3, 63 ର ଗୁଣନୀୟକ ଅଟନ୍ତି।
ଯେହେତୁ, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ, ତେଣୁ 56 ଓ 63 ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟନ୍ତି।
56 = 7 × 8 ଏବଂ 63 = 9 × 7 ମଧ୍ୟ ଲେଖୁ ପାରିବା।
ଏଥୁରୁ ଦେଖାଯାଉଛି, ଉଭୟ 56 ଓ 63ର ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ 7। ତେଣୁ ସେମାନେ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହଁନ୍ତି।
ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାର 7 ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ।
56 = 14 × 4, ଏହିପରି ଲେଖୁଲେ ଏହା ଆମକୁ ସୂଚାଉଛି ଯେ ଉଭୟ 14 ଓ 4, 56ରେ ଗୁଣନୀୟକ। କିନ୍ତୁ ଏହା
56 ର ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକକୁ ସୂଚାଉ ନାହିଁ।
ସେହିପରି 63 = 9 × 7 ସୂଚାଉଛି ଯେ ଉଭୟ 9 ଓ 7, 63 ର ଗୁଣନୀୟକ।
କିନ୍ତୁ ଏହା 63 ର ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକକୁ ସୂଚାଉ ନାହିଁ।
Question 2.
ଉଦାହରଣ: 80 ଓ 63
Solution:
80 ଓ 63 କୁ ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କରିପାରିବା।
80 = 40 × 2 = 20 × 4 = 10 × 8 = 16 × 5 = ???
63 = 9 × 7 = 3 × 21 = ???
??? ଲେଖୁବାର ଅର୍ଥ ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଆହୁରି ଅନେକ ଉପାୟରେ ଉତ୍ପାଦୀକରଣ କରାଯାଇପାରିବ।
କିନ୍ତୁ ଯଦି ଆମେ ଦିଆଯାଇଥବା ଯେକୌଣସି ଉତ୍ପାଦକୀକରଣକୁ ନେବା।
ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ: 80 = 16 × 5 ଏବଂ 63 = 9 × 7, ତେବେ ଆମେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଗୁଣନୀୟକ ପାଇବା ନାହିଁ। ଏଥୁରୁ ଆମେ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ନେଇପାରିବା କି, 80 ଏବଂ 63 ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟନ୍ତି।
ଉପରେ ମଧ୍ୟ ସମାନ ଭୁଲ କରାଯାଇଛି । ଯେହେତୁ 80 ଓ 63ର ଗୁଣନୀୟକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପାଇଁ ଅନ୍ୟ ଉପାୟ ଥାଇପାରେ। ତେଣୁ ଆମେ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ନେଇପାରିବା ନାହିଁ।
ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 120)
Question 1.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
64, 104, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024, 1331, 1000
Solution:
ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ:
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
104 = 2 × 2 × 2 × 13
105 = 3 × 5 × 7
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
320 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5
141 = 3 × 47
1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
1024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
1331 = 11 × 11 × 11
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
Question 2.
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଗୋଟିଏ 2, ଦୁଇଟି 3 ଏବଂ ଗୋଟିଏ 11 ଅଛି। ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଗୋଟିଏ 2 ଦୁଇଟି 3 ଏବଂ ଗୋଟିଏ 11 ଅଛି।
ସେହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଗୁଣନ କଲେ = 2 × 3 × 3 × 11 = 198
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି = 198
Question 3.
30 ରୁ କମ୍ 3 ଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହାର ଗୁଣଫଳ 1955 ହେବ।
Solution:
1955 ସଂଖ୍ୟାକୁ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ, 1955 = 5 × 17 × 23
ସମସ୍ତ ଉତ୍ପାଦକୀଗୁଡ଼ିକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଓ 30 ରୁ ସାନ।
∴ 5, 17 ଓ 23, 30 ରୁ କମ୍ 3ଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା, ଯାହାର ଗୁଣଫ ଳ 1955 ହେବ।
Question 4.
ଗୁଣନ ନକରି ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କର।
(a) 56 × 25
(b) 108 × 75
(c) 1000 × 81
Solution:
(a) 56 × 25
56 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ = 2 × 2 × 2 × 7
25 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ = 5 × 5
56 × 25 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ = 2 × 2 × 2 × 7 × 5 × 5
(b) 108 × 75
108 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
75 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ = 3 × 5 × 5
108 × 75 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
(c) 1000 × 81
1000 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
81 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ = 3 × 3 × 3 × 3
1000 × 81 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3
Question 5.
କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ:
(a) 3 ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ରହିବ।
(b) 4 ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ରହିବ।
Solution:
(a) ସବୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ତିନୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା = 2, 3 ଓ 5
ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୁଣନ କଲେ = 2 × 3 × 5 = 30
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି = 30, ଏଠାରେ 3ଟି ଭିନ୍ନ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା 2, 3 ଓ 5
(b) ସବୁଠାରୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଚାରୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା = 2, 3, 5 ଓ 7
ଚାରୋଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୁଣନ କଲେ = 2 × 3 × 5 × 7 = 210
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି = 210, ଏଠାରେ 2, 3, 5 ଓ 7, ଚରୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା।
Page No. 120
Question 1.
ଆମେ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଉପନୀତ ହୋଇପାରିବା କି, ସେମାନେ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ?
Solution:
ମନେକର, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ଯୌଗିକ ଗୁଣନୀୟକ ଅଛି। ଏହି ସାଧାରଣ ଯୌଗିକ ଗୁଣନୀୟକର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ 80 ଓ 63 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଦେଖାଯିବ କି? ତେଣୁ ଆମେ କହିପାରିବା ଯଦି ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ନାହିଁ, ତେବେ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟନ୍ତି।
Page No. 121
Question 1.
ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣର ବ୍ୟବହାର କରି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି ନୁହେଁ, ପରୀକ୍ଷା କର:
Solution:
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ତେବେ ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଆସୁଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ମଧ୍ୟ ରହିବ।
Question 2.
ଉଦାହରଣ–1: 168, 12 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି?
Solution:
168 ଓ 12 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ, 168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 ଏବଂ 12 = 2 × 2 × 3 ତେଣୁ 168 = 2 × 2 × 3 × 2 × 7 = 12 × 14
∴ 168, 12 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
Question 3.
ଉଦାହରଣ–2: 75, 21 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି?
Solution:
75 ଓ 21 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ, 75 = 3 × 5 × 5 ଏବଂ 21 = 3 × 7
ଯଦି 75, 21 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ହୁଏ, ତେବେ 21 ର ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ 75 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ହେବ।
ଏଠାରେ 7, 21 ର ଗୋଟିଏ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ କିନ୍ତୁ 75 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ନୁହେଁ, ତେଣୁ 75, 21 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
Question 3.
ଉଦାହରଣ–3: 42, 12 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି?
Solution:
42 ଓ 12 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ, 42 = 2 × 3 × 7 ଏବଂ 12 = 2 × 2 × 3
ଯଦି 42, 12 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହୁଏ, ତେବେ 12 ର ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ମଧ୍ୟ 42 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ହେବ। କିନ୍ତୁ 12 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଥିବା
ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକ, 42 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ହେଉନାହିଁ, ଅର୍ଥାତ୍ 12ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଦୁଇଥର 2 ଆସୁଥୁବା ବେଳେ 42 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ 2 ଥରେ ଅଛି।
ତେଣୁ 42, 12 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 122)
Question 1.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ କି? ପ୍ରଥମେ ଅନୁମାନ କର ଏବଂ ତା’ପରେ ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ କରି ତୁମ ଉତ୍ତରକୁ ଯାଞ୍ଚ କର।
(କ) 30 ଓ 45
(ଖ) 57 ଓ 85
(ଗ) 121 ଓ 1331
(ଘ) 343 ଓ 216
Solution:
(କ) ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ,
30 = 2 × 3 × 5 ଏବଂ 45 = 3 × 3 × 5
ଉଭୟ 30 ଓ 45 ର ସାଧାରଣ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ହେଉଛି 3 ଓ 5।
∴ 30 ଓ 45 ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହଁନ୍ତି ।
(ଖ) 57 ଓ 85 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ,
57 = 3 × 19 ଏଳ୍କ 85 = 5 × 17
ଉଭୟ 40 ଓ 231 କୁ ଭାଗ କରୁଥିବା ଭଳି କୌଣସି ସାଧାରଣ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ।
∴ 40 ଓ 231 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟନ୍ତି।
(ଗ) 121 ଓ 1331 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ,
121 = 11 × 11 ଏବଂ 1331 = 11 × 11 × 11
ଉଭୟ 121 ଓ 1331 ର ସାଧାରଣ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ହେଉଛି 11।
∴ 121 ଓ 1331 ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହଁନ୍ତି।
(ଘ) 343 ଓ 216 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ହେଉଛି–
343 = 7 × 7 × 7 ଏବଂ 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
ଉଭୟ 343 ଓ 216 କୁ ଭାଗ କରୁଥିବା ଭଳି କୌଣସି ସାଧାରଣ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ।
∴ 343 ଓ 216 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟନ୍ତି।
Question 2.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଯୋଡ଼ି ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ ବ୍ୟବହାର କରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
(କ) 225 ଓ 27
(ଖ) 6 ଓ 24
(ଗ) 343 ଓ 17
(ଘ) 999 ଓ 99
Solution:
(କ) 225 ଓ 27 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ,
225 = 3 × 3 × 5 × 5 ଏବଂ 27 = 3 × 3 × 3
225, 27 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବାକୁ ହେଲେ, 27 ର ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ମଧ୍ୟ 225 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ହେବ।
କିନ୍ତୁ 27 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକ, 225 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ହେଉନାହିଁ।
∴ 225, 27 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
(ଖ) 96 ଓ 24 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ,
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 ଏବଂ 24 = 2 × 2 × 2 × 3
ଯେହେତୁ ଆମେ, ଯେକୌଣସି କ୍ରମରେ ଗୁଣନ କରିପାରିବା,
ତେଣୁ 96 = 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 2 = 24 × 4
∴ 96, 24 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
(ଗ) 343 ଓ 17 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ,
343 = 7 × 7 × 7 ଏବଂ 17 = 1 × 17
343, 17 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବାକୁ ହେଲେ, 17 ର ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ମଧ୍ୟ 343 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ହେବ।
କିନ୍ତୁ 17 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକ, 343 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ହେଉନାହିଁ।
∴ 343, 17 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
(ଘ) 999 ଓ 99 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣ କଲେ,
999 = 3 × 3 × 3 × 37 ଏବଂ 99 = 3 × 3 × 11
999, 99 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବାକୁ ହେଲେ, 99 ର ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ମଧ୍ୟ 999 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ହେବ।
କିନ୍ତୁ 99 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକ, 999 ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ହେଉନାହିଁ।
∴ 999, 99 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
Question 3.
ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ 2 × 3 × 7 ଅଛି ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ 3 × 7 × 11 ଅଛି। ସେମାନେ ପରସ୍ପର ମୌଳିକ କି? ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି?
Solution:
ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ 2 × 3 × 7 ଅଛି।
ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ 3 × 7 × 11 ଅଛି।
ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଉଭୟ 3 ଓ 7 ସାଧାରଣ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ।
ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ନୁହଁନ୍ତି।
ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା, ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବାକୁ ହେଲେ, ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାର ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ମଧ୍ୟ ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାର ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ହେବ।
କିନ୍ତୁ ଦ୍ଵିତୀୟ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଗୁଣନୀୟକ, ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକୀକରଣର ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ହେଉନାହିଁ। ତେଣୁ ସଂଖ୍ୟାଦୁଇଟି ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ।
Question 4.
ଗୁନା କହୁଛି, ‘‘ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ପରସ୍ପର ମୌଳିକ ଅଟନ୍ତି।” ସେ ଠିକ୍ କହୁଛି କି?
Solution:
ହଁ, ଗୁନା ଠିକ୍ କହୁଛି।
5.5 ବିଭାଜ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷଣ (Divisibility Tests)
Page No. 124
Question 1.
399 ଓ 411 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 2 ର ସମସ୍ତ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ।
Solution:
399 ଓ 411 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା 2 ର ସମସ୍ତ ଗୁଣିତକଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି– 400, 402, 404, 406, 408 ଓ 410।
Question 2.
330 ଓ 340 ମଧ୍ୟରେ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ 1730 ଓ 1740 ଏବଂ 2030 ଓ 2040 ମଧ୍ୟରେ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ।
Solution:
330 ଓ 340 ମଧ୍ୟରେ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି – 332, 336 ଓ 340।
1730 ଓ 1740 ମଧ୍ଯରେ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି – 1732, 1736 ଓ 1740।
2030 ଓ 2040 ମଧ୍ୟରେ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି – 2032, 2036 ଓ 2040।
Question 3.
8536, 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି?
Solution:
8536 ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କ = 36
ଯେହେତୁ 36, 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ 8536 ସଂଖ୍ୟାଟି 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
Page No. 125
Question 1.
120 ଓ 140 ମଧ୍ୟରେ 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ 1120 ଓ 1140 ଏବଂ 3120 ଓ 3140 ମଧ୍ଯରେ 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ। ତୁମେ ଏଥୁରୁ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ?
Solution:
120 ଓ 140 ମଧ୍ଯରେ 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 120, 128 ଓ 136
1120 ଓ 1140 ମଧ୍ୟରେ 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 1120, 1128 ଓ 1136
3120 ଓ 3140 ମଧ୍ୟରେ 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 3120, 3128 ଓ 3136
ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁ ଯେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କ ସମାନ।
Question 2.
8560 ର ସ୍ତୋଷ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କକୁ ପରିବର୍ତ୍ତନ କର, ଯେପରି ନୂତନ ସଂଖ୍ୟାଟି 8ର ଏକ ଗୁଣିତକ ହେବ।
Solution:
8560 ର ଶେଷ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କକୁ ପରିବର୍ତ୍ତନ କଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି 8564 ହେବ, ଯାହା 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ।
ଆସ ବୁଝିବା: (Page No. 125-126)
Question 1.
2024 ବର୍ଷଟି ଏକ ଅଧ୍ବବର୍ଷ ଅଟେ (ଯେହେତୁ ଏହାର ଫେବୃଆରୀ ମାସ 29 ଦିନିଆ ଅଟେ) 100 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବା କିନ୍ତୁ 400) ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉନଥିବା ବର୍ଷଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟତୀତ 4ର ଗୁଣିତକ ହେଉଥବା ବର୍ଷଗୁଡ଼ିକରେ ଅଧ୍ବବର୍ଷ ପଡ଼ିବ।
(କ) ତୁମ ଜନ୍ମ ବର୍ଷଠାରୁ ଆଜି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ, କେଉଁ ବର୍ଷଗୁଡ଼ିକ ଅଧବର୍ଷ ଅଟେ?
(ଖ) 2024 ଠାରୁ 2099 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ କେତୋଟି ଅଧୂବର୍ଷ ପଡ଼ିବ?
Solution:
(କ) 2010 ରୁ 2025 ମଧ୍ଯରେ 4ଟି ଅଧୁବର୍ଷ ପଡ଼ିବ; ଯଥା- 2012, 2016, 2020 ଓ 2024।
(ଖ) 2024 ଠାରୁ 2099 ଭିତରେ 19ଟି ଅଧୂବର୍ଷ ପଡ଼ିବ। ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା- 2024, 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068, 2072, 2076, 2080, 2084, 2088, 2092, 2096
Question 2.
4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ଓ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ, ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବ ଏବଂ ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍ ହୋଇଥୁବ?
Solution:
4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା, ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବ ଏବଂ ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍ ହୋଇଥୁବ = 8888
4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା, ଯେଉଁଗୁଡ଼ିକ 4 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେଉଥିବ ଏବଂ ପାଲିଣ୍ଡ୍ରୋମ୍ ହୋଇଥବ = 2112
Question 3.
ନିମ୍ନ ଉତ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ / ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ / ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ଲେଖ। ଉଦାହରଣ ଦେଇ ତୁମ ଯୁକ୍ତିର ସତ୍ୟତା ପ୍ରତିପାଦନ କର।
(କ) ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ।
(ଖ) ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ।
Solution:
(କ) ଦୁଇଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ, ଏହା ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ।
ଉଦାହରଣ: 6 + 4 = 10, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ। କିନ୍ତୁ 2 + 2 = 4, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ।
(ଖ) ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ଅଟେ, ଏହା ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ।
ଉଦାହରଣ: 9 + 5 = 14, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ ନୁହେଁ। କିନ୍ତୁ 7 + 5 = 12, 4 ର ଏକ ଗୁଣିତକ।
Question 4.
ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ (କ) 10 (ଖ) 5 (ଗ) 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ, ଭାଗଶେଷ କେତେ ହେବ, ସ୍ଥିର କର।
78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345
Solution:
(କ) 78 ÷ 10 = ଭାଗଫଳ 7 ଓ ଭାଗଶେଷ 8
99 ÷ 10 = ଭାଗଫଳ 9 ଓ ଭାଗଶେଷ 9
173 ÷ 10 = ଭାଗଫଳ 17 ଓ ଭାଗଶେଷ 3
572 ÷ 10 = ଭାଗଫଳ 57 ଓ ଭାଗଶେଷ 2
980 ÷ 10 = ଭାଗଫଳ 98 ଓ ଭାଗଶେଷ 0
1111 ÷ 10 = ଭାଗଫଳ 111 ଓ ଭାଗଶେଷ 1
2345 ÷ 10 = ଭାଗଫଳ 234 ଓ ଭାଗଶେଷ 5
(ଖ) 78 ÷ 5 = ଭାଗଫଳ 15 ଓ ଭାଗଶେଷ 3
99 ÷ 5 = ଭାଗଫଳ 19 ଓ ଭାଗଶେଷ 4
173 ÷ 5 = ଭାଗଫଳ 34 ଓ ଭାଗଶେଷ 3
572 ÷ 5 = ଭାଗଫଳ 114 ଓ ଭାଗଶେଷ 2
980 ÷ 5 = ଭାଗଫଳ 196 ଓ ଭାଗଶେଷ 0
1111 ÷ 5 = ଭାଗଫଳ 222 ଓ ଭାଗଶେଷ 1
2345 ÷ 5 = ଭାଗଫଳ 469 ଓ ଭାଗଶେଷ 0
(ଗ) 78 ÷ 2 = ଭାଗଫଳ 39 ଓ ଭାଗଶେଷ 0
99 ÷ 2 = ଭାଗଫଳ 49 ଓ ଭାଗଶେଷ 1
173 ÷ 2 = ଭାଗଫଳ 86 ଓ ଭାଗଶେଷ 1
572 ÷ 2 = ଭାଗଫଳ 236 ଓ ଭାଗଶେଷ 0
980 ÷ 2 = ଭାଗଫଳ 490 ଓ ଭାଗଶେଷ 0
1111 ÷ 2 = ଭାଗଫଳ 555 ଓ ଭାଗଶେଷ 1
2345 ÷ 2 = ଭାଗଫଳ 1172 ଓ ଭାଗଶେଷ 1
Question 5.
14560 ସଂଖ୍ୟାଟି 2, 4, 5, 8 ଏବଂ 10 ସମସ୍ତଙ୍କଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ କି ନୁହେଁ? ଗୁନା ଏହି ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେବଳ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି 14560ର ବିଭାଜ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କଲା ଏବଂ 14560 ସଂଖ୍ୟାଟି ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ବୋଲି କହିଲା। ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା କ’ଣ ହୋଇଥବ?
Solution:
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 8 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 4 ଦ୍ଵାରା ମଧ୍ୟ ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 10 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି 2 ଓ 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
ଆମେ ପରୀକ୍ଷା କରି ଜାଣିଲୁ ଯେ, ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି 8 ଓ 10 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି (2, 4, 5) ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ।
∴ ଗୁନା କହିଲେ ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା (8, 5) ହୋଇଥୁବ।
Question 6.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ 2, 4, 5, 8 ଓ 10 ସମସ୍ତଙ୍କ ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ?
572, 2352, 5600, 6000, 77622160
Solution:
5600, 6000, 77622160
Question 7.
ଏକକ ଅଙ୍କରେ ‘0’ ନଥାଇ, ଏପରି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ, ଯେଉଁମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 10000 ହେବ।
Solution:
10000 ର ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ।
10000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5
ତେଣୁ 2 × 2 × 2 × 2 = 16 ଓ 5 × 5 × 5 × 5 = 625
∴ 16 ଓ 625 ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା, ଯାହାର ଗୁଣଫଳ 10000।
5.6 ସଂଖ୍ୟା ସହିତ କୌତୁକ / ମଜା
Page No. 127
Question 1.
ନିମ୍ନରେ 4ଟି କୋଠରି ଅଛି। ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଠରିରେ 4 ଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି। ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଠରିର ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦେଖୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟା କିପରି ଅନ୍ୟ କୋଠରିର ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର କୁହ। ତୁମର ସହପାଠୀଙ୍କ ସହ ଆଲୋଚନା କର ଏବଂ ତୁମ ପରି ସମାନ କାରଣ କହିଥିବା ସହପାଠୀଙ୍କୁ ଖୋଜ। ତୁମ ସହ ଏକମତ ନହୋଇ କେହି ଭିନ୍ନ କାରଣ ଦେଇଛନ୍ତି କି?
Solution:
ଉଦାହରଣଦ୍ଵାରା ନିଜେ ଅଭ୍ୟାସ କର।
Page No. 127-128
Question 1.
ନିୟମ: ଦିଆଯାଇଥିବା ଗ୍ରୀଡ଼କୁ କେବଳ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ପୂରଣ କର ଯେପରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳ, ଧାଡ଼ିର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ସହ ସମାନ ହେବ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳ, ସ୍ତମ୍ଭର ତଳେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ସହ ସମାନ ହେବ।
Solution:
