Veerendra

Go through BSE Odisha Class 7 Science Solutions and Class 7 Science Chapter 2 Exploring Substances: Acidic, Basic, and Neutral Question Answer to understand textbook questions more clearly.

Class 7 Science Curiosity Chapter 2 Question Answer

Science Curiosity Class 7 Chapter 2 Question Answer

Exploring Substances: Acidic, Basic, and Neutral Class 7 Questions and Answers

Let Us Enhance Our Learning

Question 1.
A solution turns the red litmus paper to blue. Excess addition of which of the following solution would reverse the change?
(a) Lime water
(b) Baking soda
(c) Vinegar
(d) Common salt solution
Answer:
(c) A basic solution turns red litmus paper blue. To reverse the change, an acidic solution must be added to it. Therefore, vinegar, being acidic, should be added to the given solution to reverse the change.

Question 2.
You are provided with three unknown solutions labelled A, B, and C, but you do not know which of these are acidic, basic, or neutral. Upon adding a few drops of red litmus solution to solution A, it turns blue. When a few drops of turmeric solution are added to solution B, it turns red. Finally, after adding a few drops of red rose extract to solution C, it turns green. Based on the observations, which of the following is the correct sequence for the nature of solutions A, B, and C?
(a) Acidic, acidic, and acidic
(b) Neutral, basic, and basic
(c) Basic, basic, and acidic
(d) Basic, basic, and basic
Answer:
(d) Solution A is basic, as it turns blue on adding red litmus solution.
Solution B is basic, as it turns red on adding the turmeric solution.
Solution C is basic, as it turns green on adding the red rose extract.

Question 3.
Observe and analyse figures A, B and C, in which red rose extract paper strips are used. Label the nature of solutions present in each of the containers.

Answer:
The red rose indicator turns to a shade of red in an acidic solution, green in a basic solution, and does not change its colour in a neutral solution.
In figure A, red rose extract paper turns green. Thus, the solution is basic in nature.
In figure B, there is no change in the colour of the red rose extract paper. Thus, the solution is neutral.
In figure C, the red rose extract paper turns to a shade of red. Thus, the solution is acidic in nature.

Question 4.
A liquid sample from the laboratory was tested using various indicators:

Based on the tests, identify the acidic or basic nature of the liquid and justify your answer.
Answer:
According to the data given in the question, the liquid sample is acidic in nature. This is because acids do not change the colour of red litmus or turmeric indicator.

Question 5.
Manya is blindfolded. She is given two unknown solutions to test and determine whether they are acidic or basic. Which indicator should Manya use to test the solutions and why?
Answer:
Since Manya is blindfolded, an indicator that can be identified by its smell rather than colour should be used. Therefore, an olfactory indicator such as onion extract should be used to test the given solutions. Manya should take two cloth strips with onion smell and add a few drops of one solution on one of the strips and a few drops of the other solution in the other strip. The solution that makes the onion smell vanish, is basic. On the other hand, if the smell remains, the corresponding solution is either acidic or neutral.

Question 6.
A secret message, written on a white sheet of paper, was made visible by spraying a liquid on it. Could you suggest various materials which can be used for writing the message on the white sheet of paper and what could be in the spray bottle? Make a table of various possible combinations and the colour of the writing obtained.
Answer:
Visual acid-base indicators show different colours in acidic and basic solutions. Thus, they can be filled in the spray bottle. Whereas colourless, mild acidic or basic solutions can be used for writing the message on the white sheet of paper. The possible combinations are listed below:

Filled in the spray bottle	Used for writing the message	Colour of the writing obtained
Red rose extract	Lemon juice	Red
Red rose extract	Soap solution	Green
Turmeric solution	Lime water (A solution of calcium hydroxide)	Red
Blue litmus solution	Vinegar	Red
Red litmus solution	Baking soda solution	Blue

Question 7.
Grape juice was mixed with red rose extract; the mixture got a tint of red colour. What will happen if baking soda is added to this mixture? Justify your answer.
Answer:
Red rose extract turns green in a basic solution. Thus, if baking soda is added to the mixture of red rose extract and grape juice, the resulting solution becomes basic and turns green.

Question 8.
Keerthi wrote a secret message to her grandmother on her birthday using orange juice. Can you assist her grandmother in revealing the message? Which indicator would you use to make it visible?
Answer:
Orange juice is acidic in nature. Thus, blue litmus solution can be used to spray on the secret message. The regions containing orange juice turn red, while the remaining paper stays blue.

Question 9.
How can natural indicators be prepared? Explain by giving an example.
Answer:
Natural indicators are obtained from natural sources such as fruits, vegetables, and flowers.
They are used to identify the acidic or basic nature of a substance. Turmeric is a natural indicator, and it can be prepared as follows:
Materials required: Turmeric powder (haldi), warm water, a small bowl, a spoon, and white tissue papers (to make strips).

Procedure:

Add 1 tablespoon of turmeric powder into a small bowl and pour 2-3 tablespoons of warm water into it.

• Mix with the help of a spoon to make a thick paste.
• Apply the turmeric paste on a white tissue paper and let it completely dry.
• Cut the tissue paper into thin strips to use as an indicator.

Question 10.
Three liquids are given to you. One is vinegar, another is a baking soda solution, and the third is a sugar solution. Can you identify them only using turmeric paper? Explain.
Answer:
Yes, they can be identified by only using turmeric paper. Take three strips of turmeric paper, and dip a paper strip in each of the solutions. The solution that changes the colour of the paper to reddish-brown is basic. Label this basic solution as the baking soda solution. Now, test the remaining solutions on the turned reddish-brown turmeric paper. If the reddish-brown colour disappears, the solution is acidic; label it as vinegar. If there is no change, the solution is neutral; label it as the sugar solution.

Question 11.
The extract of red rose turns the liquid X to green. What will the nature of liquid X be? What will happen when excess of amla juice is added to liquid X?
Answer:
Red rose extract turns green in a basic solution thus, the liquid X is basic in nature. When an excess of amla juice is added to the solution, it turns acidic, and the colour changes to a shade of red.

Question 12.
Observe and analyse the information given in the following flowchart. Complete the missing information.

Answer:
(i) acidic
(ii) basic
(iii) red or blue litmus paper (or any other acid-base indicator)
(iv) lime water
(v) organic matter

Class 7 Curiosity Chapter 2 Question Answer

InText Questions

Question 1.
What are red and blue litmus paper strips made of? Why do they change colour when drops of different samples are put on them? [Page 10]
Answer:
Red and blue litmus paper strips are made from a natural substance called litmus, which comes from lichens. When you put drops of different liquids on these papers, they change colour because litmus works as an acid-base indicator. If you have an acidic substance, it will turn the blue litmus paper red. On the other hand, if it’s basic, the red litmus paper will turn blue. Neutral substances do not change the colour of either of the litmus papers.

Question 2.
Find out and write the names of the most common acids present in the following substances: [Page 11]
(i) Lemon
(ii) Curd
(iii) Tamarind
(iv) Vinegar
Answer:
The common acids present in the following substances are as follows:

• Lemon- Citric acid
• Curd- Lactic acid
• Tamarind- Tartaric acid
• Vinegar- Acetic acid

Question 3.
If litmus is not available, are there some other natural substances that can serve as acid-base indicators? [Page 11]
Answer:
Yes, there are a few other natural substances that can serve as acid-base indicators. They are as follows:

• Red rose
• Turmeric
• Beetroot
• Purple cabbage
• Indian blackberry (amun)
• Red hibiscus (Gudhal flower)

Question 4.
What will you observe while rubbing the baking soda solution in between your fingers? [Page 11]
Answer:
The baking soda solution feels slippery when rubbed in between the fingers.

Question 5.
Can turmeric paper be used as an indicator for acidic substances? [Page 15]
Answer:
No, turmeric paper cannot be used as an indicator for acidic substances because it gives the same result (no change in colour) with acidic as well as neutral substances. Thus, turmeric paper cannot differentiate between them.

Question 6.
The following table lists a few substances along with their nature, that were added to a few drops of red rose extract indicator. Mention the colour change. [Page 13]

Answer:

S. No.	Name of the sample	Nature of the substance	The colour of the red rose extract after adding the sample
1.	Lemon juice	Acidic	Red
2.	Soap solution	Basic	Green
3.	Amla juice	Acidic	Red

Question 7.
Are there any substances whose odours change on adding acidic or basic substances? [Page 16]
Answer:
Yes, there are some substances whose odour changes in acidic or basic medium. These substances are known as olfactory indicators.

Question 8.
What can be applied to the affected area of the skin bitten by an ant bite? Why? [Page 18]
Answer:
When an ant bites, it injects an acidic liquid (formic acid) into the skin. The effect of the acid can be neutralised by rubbing moist baking soda, which is a base.

Question 9.
If the soil is too acidic, the plants do not grow well. What can be added to such soil to improve the growth of the plants? [Page 18]
Answer:
If the soil is too acidic, it can be treated with a substance such as lime water, which is a base. This is because lime water, being a base, neutralises the acidity of the soil, thereby improving the growth of the plants.

Question 10.
What could be done to save the fish in the lake, if acidic factory waste is released into it? [Page 19]
Answer:
Acidic factory waste must be neutralised by adding basic substances such as lime water before releasing them into the lakes.

Easy-to-read Ganita Prakash Class 7 Notes and Chapter 1 Large Numbers Around Us Class 7 Notes save valuable study time during exam season.

Class 7 Maths Chapter 1 Large Numbers Around Us Notes

Class 7 Large Numbers Around Us Notes

Large numbers appear often in our surroundings: in population figures, distances, weights, and more. Understanding them helps us to appreciate the scale of things in the world around us.

To understand and read such big numbers easily, we use number systems.
Indian Number System: In this system, a number is split up into groups or periods named Ones, Thousands, Lakhs and Chores as shown in the table. (Read from right to left)

When writing large numbers, we use above place value chart to avoid skipping any digits.
The periods are separated by commas after 3 digits from the right, then after every 2 digits.

International (American) Number System: In this system, starting from the right, the first three places form the ones period, the next three places form the thousands period, the next three places form the millions period, the next three places form the billions period and so on.

The various periods are separated by commas after every 3 digits from the right.

In any number, the face value of a digit is simply the digit itself. It does not change, no matter which position the digit holds in the number.

The place value is value a digit represent depending on the place or position in a number.

For example, ‘2’ in the number 523 represents the value 20 (2 x 10) as it occupies the tens place.

Similarly, ‘2’ in the number 234159 represents the value 2,00,000 (2 X 1,00,000) as it occupies the lakh place.

Large Numbers:

1. 1 lakh = 1,00,000
2. 1 crore= 1,00,00,000= 100 lakh
3. 1 million = 1,000,000 = 10 lakh
4. 1 billion = 1,000,000,000 = 1,000 million
5. Greatest 5-digit number = 99,999
6. Smallest 6-digit number = Greatest 5-digit number + 1 = 1,00,000
7. Greatest 6-digit number = 9,99,999
8. Smallest 7-digit number = Greatest 6-digit number + 1 = 10,00,000

Rounding means changing a number to its nearest place value — like the nearest tens, hundreds, thousands, lakhs, or even crores to make it simpler to understand or work with.

To round off a number to the nearest place, follow the steps given below:

Identify the target place.
Determine the place (e.g., tens, hundreds, thousands, etc.) to which you need to. round the number.

Look at the next digit.
Find the digit located immediately to the right of your target place.

Decide whether to round up or down.
Round up: If the digit to the right is 5, 6, 7, 8 or 9 (i.e. 5 or greater than 5), you round
the digit in the target place up by one.
Round down: If the digit to the right is 0, 1, 2, 3 or 4 (i.e. less than 5), you keep the digit in the target place the same.

Adjust the number.
Change all the digits to the right of the target place into zeros.

Without calculating, we can guess the number of digits in a product as follows:

Type of Multiplication	Number of Digits in Product
1-digit × 1-digit	1 or 2 digits
2-digit × 1-digit	2 or 3 digits
2-digit × 2-digit	3 or 4 digits
3-digit × 3-digit	5 or 6 digits
4-digit × 2-digit	5 or 6 digits
5-digit × 5-digit	9 or 10 digits

 

Indian Number System
Periods: Ones, Thousands, Lakhs, Crores and so on.
Comma placement: 3-2-2… pattern, starting from right
For example, the number 123456789 in Indian Number System is written as 12,34,56,789.

Number name: Twelve crore thirty four lakh fifty six thousand seven hundred eighty nine

Crores	Lakhs		Thousands			Ones
TC C	TL	L	TTh	Th	H	T	O
1 2	3	4	5	6	7	8	9

International Number System
Periods: Ones, Thousands, Millions, Billions and so on.
Comma placement: 3-3-3… pattern, starting from right
For example, the number 123456789 in International Number System is written as 123,456,789.

Number name: One hundred twenty three million four hundred fifty six thousand seven hundred eighty nine

Rounding Numbers
Rounding is adjusting a number to its nearest place value to make it easier to read or use.
Algorithm for Rounding Numbers
Step I: Identify the target place.
Step II: Look at the next digit immediately to the right of the target place.
Step III: Decide whether to round up or down:

1. If the digit to the right is 5 or greater than 5, round the digit in the target place up by 1.
2. If the digit to the right is less than 5, keep the digit in the target place the same.

Step IV: Adjust the number by changing all the digits to the right of the target place to zeros.

Place Value & Face Value
Face Value = digit itself
For example, in the number 5234, the face value of 2 is 2.
Place Value = digit × position value
For example, in the number 6789,
Place value of 9 is 9 × 1 =9.
Place value of 8 is 8 × 10 = 80.

Large Numbers
1 lakh = 1,00,000
1 crore = 1,00,00,000
= 100 lakh
1 million = 1,000,000
= 10 lakh
1 billion = 1,000,000,000
= 1,000 million

Multiplication Trick
To make calculations easier with numbers like 5, 25, and 125 remember these helpful shortcuts:
5 = 10 ÷ 2; 25 = 100 ÷ 4; 125 = 1000 ÷ 8

Class 7 Science Curiosity MCQ

Class 7 Science MCQ Questions with Answers

• Chapter 1 The Ever Evolving World of Science Class 7 MCQ
• Chapter 2 Exploring Substances Acidic Basic and Neutral Class 7 MCQ
• Chapter 3 Electricity Circuits and Their Components Class 7 MCQ
• Chapter 4 The World of Metals and Non metals Class 7 MCQ
• Chapter 5 Changes Around Us Physical and Chemical Class 7 MCQ
• Chapter 6 Adolescence A Stage of Growth and Change Class 7 MCQ
• Chapter 7 Heat Transfer in Nature Class 7 MCQ
• Chapter 8 Measurement of Time and Motion Class 7 MCQ
• Chapter 9 Life Processes in Animals Class 7 MCQ
• Chapter 10 Life Processes in Plants Class 7 MCQ
• Chapter 11 Light Shadows and Reflections Class 7 MCQ
• Chapter 12 Earth Moon and the Sun Class 7 MCQ

Also Read Curiosity Class 7 Solutions

Easy-to-read Ganita Prakash Class 6 Notes and Chapter 1 Patterns in Mathematics Class 6 Notes save valuable study time during exam season.

Class 6 Maths Chapter 1 Patterns in Mathematics Notes

Class 6 Patterns in Mathematics Notes

A pattern means a repeated arrangement of numbers, shapes, colours, or even ideas. Patterns help us predict what comes next and understand how things are connected.

Patterns in Numbers

1. If the numbers in a list are related to each other by a clear rule, the arrangement is called a number pattern or a number sequence.
2. Some number sequences are finite (having a fixed number of terms), while others are infinite (going on forever).
   For example, 2, 4, 6, 8, 10 is a finite sequence having 5 terms, while 1, 2, 3, 4, …, is an infinite sequence.

Some important number sequences

Name of Sequence	Sequence	Pattern / Rule
All Is	1, 1, 1, 1, 1, 1, …	Every number is 1
Counting Numbers	1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …	Add 1 each time
Even Numbers	2,4,6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …	Add 2 each time, starting from 2
Odd Numbers	1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …	Add 2 each time, starting from 1
Square Numbers	1,4, 9, 16, 25, 36, 49, …	Multiply a number by itself (w × n)
Cube Numbers	1, 8, 27, 64, 125, 216, …	Multiply a number by itself twice (n × n × n)
Powers of 2	1,2, 4, 8, 16, 32,64, 128,256,…	Multiply previous number by 2 each time
Powers of 3	1,3, 9, 27, 81,243, 729, …	Multiply previous number by 3 each time
Virahanka Numbers	1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …	Sum of the previous two numbers

Triangular numbers: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
The n^th triangular number is the sum of the first n natural numbers.
Pattern Rule: n^th number = \(\frac{n(n+1)}{2}\); n = 1, 2, 3, …
i.e. 1^st number = 1; 2^nd number = \(\frac{2(2+1)}{2}=\frac{2 \times 3}{2}\) = 3;
3^rd number = \(\frac{3(3+1)}{2}=\frac{3 \times 4}{2}\) = 6; 4^th number = \(\frac{4(4+1)}{2}=\frac{4 \times 5}{2}\) = 10 and so on.
Triangular numbers can be arranged as dots forming an equilateral triangle.

Hexagonal numbers: 1, 7, 19, 37, 61, …
The n^th hexagonal number (except the first number) is obtained by adding the preceding number with 6 × (n – 1).
Pattern Rule: 1^st term = 1, n^th number (term) = Preceding term + 6 × (n- 1); n = 2, 3, 4, …
i.e. 1^st term = 1; 2^nd term = 1 + 6 × (2 – 1) = 7
3^rd term = 7 + 6 × (3 – 1) = 19; 4^th term = 19 + 6 × (4 – 1) = 37 and so on.
Hexagonal numbers can be arranged as dots forming a regular hexagon.

Relations among Number Sequences
The sum of the first n odd numbers is equal to n².

Addition of Odd Numbers	Result	Square Number
1	1	l2
1 + 3	4	22
1+ 3 + 5	9	32
1 + 3 + 5 + 7	16	42
1 + 3 + 5 + 7 + 9	25	52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11	36	62

Adding numbers up from 1 to a number, and then back down again to 1, also gives square numbers.

Addition of Counting Numbers Up and Down	Result	Square Number
1	1	l2
1+2+1	4	22
1+2+3+2+1	9	32
1+2+3+4+3+2+1	16	42
1+2+3+4+5+4+3+2+1	25	52
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1	36	62

Patterns in Shapes
Regular Polygons Sequence
A regular polygon is a flat (two dimensional) shape with equal sides and equal angles.

Regular Polygon	Number of Sides	Measure of Each Angle
Triangle (Equilateral)	3	60°
Quadrilateral (Square)	4	90°
Pentagon (Regular)	5	108°
Hexagon (Regular)	6	120°
Heptagon (Regular)	7	128.57°
Octagon (Regular)	8	135°
Nonagon (Regular)	9	140°
Decagon (Regular)	10	144°                 .

Triangle → Square → Pentagon → Hexagon → Heptagon → Octagon → Nonagon → Decagon → ….

Complete Graphs Sequence
In complete graph, every pair of distinct vertices is connected by a unique line segment.
The number of unique line segments in a sequence of complete graphs with n vertices is calculated as \(\frac{n(n-1)}{2}\), where n = 1,2, 3, ….

We represent a complete graph with the symbol K_n, where n is the number of vertices.
Note: This sequence follows the pattern of Triangular Numbers starting with 1, 3, 6, 10, … .

Stacked Squares Sequence
In the stacked squares sequence, we arrange small squares to form larger squares.
It follows the pattern of square numbers: 1,4, 9, 16, 25, …

Stacked Triangles Sequence
In the stacked triangles sequence, we stack small triangles to form larger triangles.
This sequence also follows the square numbers pattern: 1,4, 9, 16, 25, …

Koch Snowflake Sequence
The Koch Snowflake is a special pattern where we start with an equilateral triangle and
build a snowflake shape by repeating a simple rule.
Steps to Form a Koch Snowflake:

1. Start with an equilateral triangle.
2. Divide each side into three equal parts.
3. Replace the middle part with a new outward-facing equilateral triangle.
4. Remove the original middle line segment.
5. Repeat the process on every straight line segment (side).

Number of line segments = 3 × 4ⁿ, where n is the number of iterations.

Iterations	0	1	2	3	4
No. of sides	3 × 4° = 3	3 × 41 = 12	3 × 42 = 48	3 × 43 = 192	3× 44 = 768

Relation of Shapes to Number Sequences

• The regular polygons sequence is related to counting numbers sequence starting from 3, i.e. 3, 4, 5, 6, 7 and so on.
• Complete graphs sequence is related to triangular number sequence, i.e. 1,3, 6, 10, 15 … .
• The stacked squares sequence is related to square numbers sequence i.e. 1, 4, 9, 16, 25 … .
• Stacked triangles sequence is related to square numbers sequence i.e. 1,4, 9, 16, 25 … .
• Koch Snowflakes sequence is related to a numbers sequence and the number sequence is
  given as 3, 12, 48, 192 … .

Regular Polygon
A Regular Polygon is a flat (two dimensional) shape with equal sides and equal angles.
Add 1 side each time to get the next polygon.
Triangle → Square → Pentagon → Hexagon….

Stacked Triangles
In the stacked triangles sequence, we stack small triangles to form larger triangles.
This sequence follows the square numbers pattern: 1, 4, 9, 16, 25, …

Stacked Squares
In the stacked squares sequence, we arrange small squares to form larger squares.
It follows the pattern of square numbers: 1,4, 9, 16, 25, …

Complete Graphs
In complete graphs, every pair of distinct vertices is connected by a unique line segment.
The number of unique line segments in a sequence of complete graph with n vertices is calculated as \(\frac{n(n-1)}{2}\), where = 1, 2, 3,……….

Koch Snowflake
The Koch Snowflake is a special pattern where we start with an equilateral triangle and build a snowflake shape by replacing each line segment by a speed bump .
Number of line segments = 3 x 4″, where n is the number of iterations.
In the Koch Snowflake, the number of line segments increases by 4 times at every step: 3. 12, 48, 192, …

Important points

1. Adding up odd numbers gives square numbers.
2. Adding the counting numbers up and then down gives square numbers.
3. Adding pairs of consecutive triangular numbers gives square numbers.
4. Multiplying triangular numbers by 6 and adding 1 gives hexagonal numbers.
5. Adding up hexagonal numbers gives cube numbers.
6. The number of sides in the shape sequence of regular polygons is given by the counting numbers starting with 3.
7. In a complete graph, the number of unique line segments sequence is related to triangular number pattern: 1, 3, 6, 10, 15,……

BSE Odisha Class 7 Text Book Solutions Pdf Download

• BSE Odisha 7th Class Maths Book Solutions (ଗଣିତ ପ୍ରକାଶ – Ganita Prakash)
• BSE Odisha 7th Class Science Book Solutions (ଜିଜ୍ଞାସା Jigyansa – Curiosity)
• BSE Odisha 7th Class Social Science Book Solutions (ଭାରତ ଓ ଆମ ପୃଥିବୀ Bharat o Ama Pruthibi)
• BSE Odisha 7th Class Odia Book Solutions (Sahitya Suman – ସାହିତ୍ୟସୁମନ)
• BSE Odisha 7th Class English Book Solutions (Jasmine)
• BSE Odisha 7th Class Hindi Book Solutions (Hindi Kalika Part 2 – हिंदी कलिका)
• BSE Odisha 7th Class Sanskrit Book Solutions (Sanskrit Kalika Part 2 – संस्कृतकलिका द्वितीयो भागः)
• BSE Odisha 7th Class Science Important Questions
• Class 7 Maths MCQ
• Class 7 Science MCQ
• BSE Odisha 7th Class Math Notes
• BSE Odisha 7th Class Science Notes
• BSE Odisha 7th Class Social Science Notes

Old Syllabus

• BSE Odisha 7th Class History Book Solutions
• BSE Odisha 7th Class Geography Book Solutions
• BSE Odisha 7th Class History Important Questions
• BSE Odisha 7th Class Geography Important Questions
• BSE Odisha 7th Class History Notes

BSE Odisha Solutions

Class 7 Maths Ganita Prakash Notes

Class 7 Ganita Prakash Notes Part 1

Ganita Prakash Class 7 Part 2 Notes

• Chapter 1 Geometric Twins Class 7 Notes
• Chapter 2 Operations with Integers Class 7 Notes
• Chapter 3 Finding Common Ground Class 7 Notes
• Chapter 4 Another Peek Beyond the Point Class 7 Notes
• Chapter 5 Connecting the Dots Class 7 Notes
• Chapter 6 Constructions and Tilings Class 7 Notes
• Chapter 7 Finding the Unknown Class 7 Notes

Also Read Ganita Prakash Class 7 Solutions

Class 6 Maths Ganita Prakash Notes

Class 6 Ganita Prakash Notes

• Chapter 1 Patterns in Mathematics Class 6 Notes
• Chapter 2 Lines and Angles Class 6 Notes
• Chapter 3 Number Play Class 6 Notes
• Chapter 4 Data Handling and Presentation Class 6 Notes
• Chapter 5 Prime Time Class 6 Notes
• Chapter 6 Perimeter and Area Class 6 Notes
• Chapter 7 Fractions Class 6 Notes
• Chapter 8 Playing with Constructions Class 6 Notes
• Chapter 9 Symmetry Class 6 Notes
• Chapter 10 The Other Side of Zero Class 6 Notes

Also Read Ganita Prakash Class 6 Solutions

Students can use Class 7 Math Solution Odia Medium and Class 7 Maths Chapter 1 Question Answer Odia Medium ଆମ ଚାରିପଟେ ଥିବା ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା to check their answers after solving exercises.

7th Class Maths Chapter 1 Question Answer Odia Medium

Class 7 Maths Chapter 1 Odia Medium

1.1 ଏକ ଲକ୍ଷ ପ୍ରକାରର ବିହନ:

Page No. (2 to 5)

Question 1.
ସଂରଚନାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟକରି ତଳେ ଦିଆଯାଇଥିବା କୋଠରିଗୁଡ଼ିକୁ ପୂରଣ କର । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)

Solution:

1,00,000 କୁ ‘ଏକ ଲକ୍ଷ’ କୁହାଯାଏ ।

Question 2.
ଖାଲିସ୍ଥାନ ପୂରଣ କରି ଲେଖ । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)

Solution:

Question 3.
ଯଦି ଦିନକୁ ଗୋଟିଏ ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ଖାଆନ୍ତି, ତେବେ 100 ବର୍ଷରେ ଏକ ଲକ୍ଷ ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ଖାଇପାରିବେ ନାହିଁ । ଯଦି ଆମେ ଦିନକୁ 2 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ଖାଇବା, ତେବେ କ’ଣ 100 ବର୍ଷରେ ଏକ ଲକ୍ଷ ପ୍ରକାରର ଚାଉଳ ଖାଇପାରିବା ?
Solution:
ଦତ୍ତ ଅଛି, ଯେ ଦିନକୁ ସେ 2 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ଖାଆନ୍ତି ।
1 ବର୍ଷ = 12 ମାସ = 365 ଦିନ ।
ଆମେ ଗୋଟିଏ ଦିନରେ ଖାଉ 2 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ।
ଗୋଟିଏ ବର୍ଷରେ ଖାଇବୁ = 2 × 365 = 730 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ।
100 ବର୍ଷରେ ଖାଇବୁ = 730 × 100 = 73,000 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ।
∴ ଆମେ 100 ବର୍ଷରେ 73,000 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ଖାଇବା, ଯାହା ଏକ ଲକ୍ଷ ନୁହେଁ ।

Question 4.
ଯଦି ଜଣେ ଦିନକୁ 3 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ଖାଏ, ତେବେ ସେ 100 ବର୍ଷ ଜୀବନ କାଳରେ ଏକ ଲକ୍ଷ ପ୍ରକାରର ଚାଉଳ ଖାଇପାରିବା କି ? ଆସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ।
Solution:
ଦତ୍ତ ଅଛି ଯେ ଦିନକୁ ସେ 3 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ଖାଏ ।
1 ବର୍ଷ = 12 ମାସ = 365 ଦିନ ।
ଜଣେ ଗୋଟିଏ ଦିନରେ ଖାଏ 3 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ।
ଗୋଟିଏ ବର୍ଷରେ ଖାଏ = 3 × 365 = 1095 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ।
100 ବର୍ଷରେ ଖାଏ = 1095 × 100 = 1,09,5,00 ପ୍ରକାର ଚାଉଳ ।
∴ ସେ 100 ବର୍ଷରେ 1 ଲକ୍ଷ ପ୍ରକାରର ଚାଉଳ ଖାଇପାରିବ ।
> ରମେଶ କହିଲା, ‘‘ଆମେ ଜାଣିଲୁ ଯେ ଏକ ବର୍ଷରେ 365 ଦିନ ଅଛି (ଅଧ୍ବବର୍ଷକୁ ବାଦେଇ) । ଯଦି ଆମେ y ବର୍ଷ ବଞ୍ଚିବା, ଜୀବନ କାଳର ମୋଟ ଦିନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ 365 × y ।

Question 5.
ତୁମେ y ପାଇଁ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ନିଅ । ଏହି y ବର୍ଷର ଦିନଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ଏକ ଲକ୍ଷ ସହିତ କେତେ ନିକଟତର ଅଛି, ତୁମେ ବାଛିଥୁବା y ର ମାନ ପାଇଁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
ମନେକର ଆମେ 95 ବର୍ଷ ବଞ୍ଚିବୁ ଅର୍ଥାତ୍ y = 95 ।
ଆମ ଜୀବନସାରା ଦିନସଂଖ୍ୟା = 365 × 95 = 34,675 ଦିନ ।
1,00,000 ଓ 34,675ର ପାର୍ଥକ୍ୟ = 1,00,000 – 34,675 = 65,325

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

Question 1.
2011 ଜନଗଣନା ଅନୁଯାୟୀ, ବରଗଡ଼ ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ 83,651 ଥିଲା । ଏହା ଏକ ଲକ୍ଷରୁ କେତେ କମ୍ ?
Solution:
2011 ଜନଗଣନା ଅନୁଯାୟୀ ବରଗଡ଼ ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା = 83, 651
ଏହା 1 ଲକ୍ଷରୁ କମ୍ = 1,00,000 – 83,651 = 16,349
∴ ଏହା ଏକ ଲକ୍ଷରୁ 16,349 କମ୍ ।

Question 2.
2024 ମସିହାରେ ବରଗଡ଼ ସହରର ଆନୁମାନିକ ଜନସଂଖ୍ୟା 1,04,000 । ଏହା ଏକ ଲକ୍ଷଠାରୁ କେତେ ଅଧ୍ବକ ?
Solution:
2024 ଜନଗଣନା ଅନୁଯାୟୀ ବରଗଡ଼ ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା = 1,04,000
1 ଲକ୍ଷରୁ ଅଧିକ, 1,04,000 – 1,00,000 = 4,000
∴ ଏହା ଏକ ଲକ୍ଷରୁ 4,000) ବେଶୀ ।

Question 3.
2011 ରୁ 2024 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବରଗଡ଼ ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା କେତେ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲା ?
Solution:
2011 ମସିହାରେ ଜନସଂଖ୍ୟା = 83,651
2024 ମସିହାରେ ଜନସଂଖ୍ୟା = 1,04,000
ଜନସଂଖ୍ୟା ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲା = 1,04,000 – 83,651 = 20,349
∴ 2011 ରୁ 2024 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବରଗଡ଼ ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା 20,349 ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲା ।

ବଡ଼ସଂଖ୍ୟାକୁ ବୁଝିବା :

Question 1.
ଉଦାହରଣ : ସୋମୁର ଗୋଟିଏ ଦଶ (10) ମହଲା ବିଶିଷ୍ଟ ଘର ଅଛି । ସୋମୁର ଉଚ୍ଚତା 1 ମିଟର । ଯଦି ଏହି ଘରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ମହଲା ସୋମୁ ଉଚ୍ଚତାର ପ୍ରାୟ 4 ଗୁଣ, ତେବେ ଘରର ଆନୁମାନିକ ଉଚ୍ଚତା କେତେ ?

Solution:
ସୋମୁର ଉଚ୍ଚତା 1 ମିଟର । ଘରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ମହଲା ସୋମୁ ଉଚ୍ଚତାର ପ୍ରାୟ 4 ଗୁଣ ।
∴ ଘରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ମହଲାର ଉଚ୍ଚତା = 4 × 1 = 4 ମିଟର ।
ସୋମୁ ଘରଟି 10 ମହଲା ବିଶିଷ୍ଟ । ସୋମୁ ଘରର ସମୁଦାୟ ଉଚ୍ଚତା = 10 × 4 = 40 ମିଟର ।
∴ ଘରର ଉଚ୍ଚତା 40 ମିଟର ।

Question 2.
ଷ୍ଟାଚ୍ୟୁ ଅଫ୍ ୟୁନିଟ୍ କିମ୍ବା ସୋମୁର ଏହି ଦଶମହଲା ବିଶିଷ୍ଟ ଘରର ଉଚ୍ଚତା ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟିର ଉଚ୍ଚତା ଅଧିକ ? କେତେ ମିଟର ଅଧୁକ ? ଆମେ ଜାଣିପାରିବା ଯେ, ଷ୍ଟାଚ୍ୟୁ ଅଫ୍ ୟୁନିଟ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା, ସେହି ଘରର ଉଚ୍ଚତାର 4 ଗୁଣ ପାଖାପାଖୁ ।

Solution:
ଷ୍ଟାଚ୍ୟୁ ଅଫ୍ ୟୁନିଟ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = 180 ମିଟର ।
ସୋମୁର ଦଶମହଲା ବିଶିଷ୍ଟ ଘରର ଉଚ୍ଚତା = 40 ମିଟର ।
ଅଧ୍ବକ = 180 – 40 = 140 ମିଟର ।
∴ ଷ୍ଟାଚ୍ୟୁ ଅଫ୍ ୟୁନିଟ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା 140 ମିଟର ଅଧୂକ ।

Question 3.
ଖଣ୍ଡାଧାର ଜଳପ୍ରପାତ ସୋମୁର ଘରର ଉଚ୍ଚତା ଠାରୁ କେତେ ଅଧିକ ଉଚ୍ଚ ? …………… ମିଟର ।
Solution:
ଖଣ୍ଡାଧାର ଜଳପପ୍ରାତର ଉଚ୍ଚତା = 244 ମିଟର । ସୋମୁର ଘରର ଉଚ୍ଚତା = 40 ମିଟର ।
ଅଧିକ = 244 – 40 = 204 ମିଟର ।
∴ ଖଣ୍ଡାଧାର ଜଳପ୍ରପାତ ସୋମୁର ଘରର ଉଚ୍ଚତା ଠାରୁ 204 ମିଟର ଅଧୂକ ଉଚ୍ଚ ।

Question 4.
ସୋମୁର ଘର କେତେ ମହଲା ହେଲେ ଖଣ୍ଡାଧାର ଜଳପ୍ରପାତର ଉଚ୍ଚତାର ନିକଟତର ହେବ ?
Solution:
ଖଣ୍ଡାଧାର ଜଳପପ୍ରାତର ଉଚ୍ଚତା = 244 ମିଟର । ସୋମୁର ଗୋଟିଏ ମହଲାର ଉଚ୍ଚତା = 4 ମିଟର ।
244 ÷ 4 = 61 ମହଲା ।
∴ ସୋମୁର ଘର 61 ମହଲା ହେଲେ ଖଣ୍ଡାଧାର ଜଳପ୍ରପାତର ଉଚ୍ଚତାର ନିକଟତର ହେବ ।

ଏକ ଲକ୍ଷ ଗୋଟିଏ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା କି ? :
Question 1.
ଏକ ଲକ୍ଷ ସଂଖ୍ୟାଟି ବଡ଼ କି ସାନ ? ଚିନ୍ତା କର ।
Solution:
ଏକ ଲକ୍ଷ ସଂଖ୍ୟାଟି ବଡ଼ କି ସାନ, ତାହା ତା’ର ପ୍ରସଙ୍ଗ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରିଥାଏ । ଏକ ଲକ୍ଷ ଆନୁସଙ୍ଗିକ ଭାବରେ ଏକ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା । ଯାହା ୧୦୦୦୦୦ ।
ମନେକର ଏକ ସହରର ଲୋକସଂଖ୍ୟା 1 ଲକ୍ଷ ।
ଏଠାରେ 1 ଲକ୍ଷ କହିଲେ ଏହା ଏକ ଛୋଟ ସହରକୁ ବୁଝାଏ ।
ମନେକର ଜଣେ ଲୋକ ମାସକୁ ୧ ଲକ୍ଷ ଟଙ୍କା ଦରମା ପାଉଛି । ଏହା ଏକ ବଡ଼ଭାବରେ ଗଣନା କରାଯିବ ।

Question 2.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଅକ୍ଷରରେ ଲେଖ ।
(a) 3,00,600
(b) 5,04,085
(c) 27,30,000
(d) 70,53,138
Solution:
(a) 3,00,600 – ତିନି ଲକ୍ଷ ଛଅଶହ ।
(b) 5,04,085 – ପାଞ୍ଚ ଲକ୍ଷ ଚାରି ହଜାର ପଞ୍ଚାଅଶୀ ।
(c) 27,30,000 – ସତେଇଶି ଲକ୍ଷ ତିରିଶି ହଜାର ।
(d) 70,53,138 – ସତୁରୀ ଲକ୍ଷ ତେପନ ହଜାର ଶହେ ଅଡ଼ତିରିଶି ।

Question 3.
ନିମ୍ନରେ କେତେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଅକ୍ଷରରେ ଲେଖାଯାଇଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ ଭାରତୀୟ ସ୍ଥାନୀୟମାନ ଲିଖନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଅଙ୍କରେ ଲେଖ ।
(a) ଏକ ଲକ୍ଷ ତେଇଶି ହଜାର ଚାରିଶହ ଛପନ
(b) ଚାରି ଲକ୍ଷ ସାତ ହଜାର ସାତଶହ ଚାରି
(c) ପଚାଶ ଲକ୍ଷ ପାଞ୍ଚ ହଜାର ପଚାଶ
(d) ଦଶ ଲକ୍ଷ ଦୁଇଶହ ପଞ୍ଚତିରିଶି
Solution:
(a) ଏକ ଲକ୍ଷ ତେଇଶି ହଜାର ଚାରିଶହ ଛପନ – 1, 23, 456
(b) ଚାରି ଲକ୍ଷ ସାତ ହଜାର ସାତଶହ ଚାରି – 4, 07, 704
(c) ପଚାଶ ଲକ୍ଷ ପାଞ୍ଚ ହଜାର ପଚାଶ – 50 05, 050
(d) ଦଶ ଲକ୍ଷ ଦୁଇଶହ ପଞ୍ଚତିରିଶି – 10, 00, 235

1.2 ଏକ ଦଶକର ରାଜ୍ୟ :

Page No. (5 to 8)

ଦଶକର ରାଜ୍ୟରେ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ବଟନ୍ ଥିବା ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର କାଲ୍‌କୁଲେଟର ଅଛି ।
Question 1.
‘ଚିନ୍ତାଶୀଳ ହଜାର’ କାଲ୍‌କୁଲେଟରରେ କେବଳ ‘ + 1000’ ବଟନ୍‌ ଅଛି । ଏହାକୁ କେତେଥର ଦବାଇଲେ, ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟା ଦେଖାଇବ :

ଯେପରି
(a) ତିନି ହଜାର – 3 ଥର ।
(b) 10,000 – ………….. ଥର
(c) ତେପନ ହଜାର – …… ଥର
(d) 90,000 – ……………….. ଥର
(e) ଏକ ଲକ୍ଷ – …………….. ଥର
(f) …………… – 153 ଥର
(g) ଏକ ଲକ୍ଷ ହେବାକୁ କେତେ ହଜାର ଆବଶ୍ୟକ ?
Solution:
(a) ତିନି ହଜାର = \(\frac{3,000}{1000}\) = 3 ଥର ।
(b) 10,000 = \(\frac{10,000}{1000}\) = 10 ଥର ।
(c) ତେପନ ହଜାର = \(\frac{53,000}{1000}\) = 53 ଥର ।
(d) 90,000 = \(\frac{90,000}{1000}\) = 90 ଥର ।
(e) ଏକ ଲକ୍ଷ = \(\frac{1,00,000}{1000}\) = 100 ଥର ।
(f) 153 ଥର = 153 × 1000 = 1,53,000 ।
(g) 1,00,000 ÷ 1000 = 100 ଏକ ଲକ୍ଷ ହେବାକୁ 100) ହଜାର ଆବଶ୍ୟକ ।

Question 2.
‘କ୍ରାନ୍ତିକାରୀ ଦଶକ’ କାଲକୁଲେଟରରେ କେବଳ ‘+10’ ବଟନ୍‌ ଅଛି । ଏହାକୁ କେତେଥର ଦବାଇଲେ, ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଦର୍ଶାଇବ ?

ଯେପରି
(a) ପାଞ୍ଚ ଶହ ? 5 ଥର
(b) 780 ? ……… ଥର
(c) 1000 ? …….. ଥର
(d) 3700 ? ……… ଥର
(e) 10,000 ? ……. ଥର
(f) ଏକ ଲକ୍ଷ ? ……….. ଥର
(g) ……… ? 453 ଥର
Solution:
(a) ପାଞ୍ଚ ଶହ = \(\frac{500}{10}\) = 50 ଥର
(b) 780 = \(\frac{780}{10}\) = 78 ଥର
(c) 1000 = \(\frac{1000}{10}\) = 100 ଥର
(d) 3700 = \(\frac{3700}{10}\) = 370 ଥର
(e) 10,000 = \(\frac{10,000}{10}\) = 1000 ଥର
(f) ଏକ ଲକ୍ଷ = \(\frac{1,00,000}{10}\) = 10000 ଥର
(g) 453 × 10 = 4530 = 453 ଥର

Question 3.
‘ଉପଯୋଗୀ ଶତକ’ କାଲକୁଲେଟରରେ କେବଳ ‘+100’ ବଟନ୍‌ ଅଛି । ଏହାକୁ କେତେଥର ଦବାଇଲେ, ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟା ଦର୍ଶାଇବ ?

(a) ଚାରି ଶହ ? 4 ଥର
(b) 3,700 ? ………… ଥର
(c) 10,000 ? ………… ଥର
(d) ତେପନ ହଜାର ? …………… ଥର
(e) 90,0000 ? ………… ଥର
(f) 97,000 ? ………… ଥର
(g) 1,00,000 ? ………… ଥର
(h) ………… ? 582 ଥର
(i) ଦଶ ହଜାର ହେବାକୁ କେତେ ଶହ ଦରକାର ?
(j) ଏକ ଲକ୍ଷ ହେବାକୁ କେତେ ଶହ ଦରକାର ?
(k) ‘ ଉପଯୋଗୀ ଶତକ’ କାଲ୍‌କୁଲେଟର୍ କହୁଛି ‘‘ଏଠାରେ କିଛି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ଯାହା ‘କ୍ରାନ୍ତିକର ଦଶକ’ ଏବଂ ‘ଚିନ୍ତାଶୀଳ ହଜାର’ ଦେଖାଇ ପାରିବେ ନାହିଁ କିନ୍ତୁ ମୁଁ ପାରିବି ।’’ ଏହି ଭକ୍ତି ସତ୍ୟ କି ? ଚିନ୍ତା କର ଏବଂ ଅନୁସନ୍ଧାନ କର ।
Solution:
(a) ଚାରି ଶହ = \(\frac{400}{100}\) = 4 ଥର
(b) 3,700 = \(\frac{3700}{100}\) = 37 ଥର
(c) 10,000 = \(\frac{10,000}{100}\) = 100 ଥର
(d) ତେପନ ହଜାର = \(\frac{53,000}{100}\) = 530 ଥର
(e) 90,000 = \(\frac{90,000}{100}\) = 900 ଥର
(f) 97,000 = \(\frac{97,000}{100}\) = 970 ଥର
(g) 1,00,000 = \(\frac{1,00,000}{100}\) = 1000 ଥର
(h) \(\frac{58,200}{100}\) = 582 ଥର
(i) \(\frac{10,000}{100}\) = 100 ଥର ।
∴ ଦଶ ହଜାର ହେବାକୁ 100 ଶହ ଦରକାର ।
(j) \(\frac{1,00,000}{100}\) = = 1000 ଥର ।
∴ ଏକ ଲକ୍ଷ ହେବାକୁ 1000) ଶହ ଦରକାର ।
(k) ‘ଉପଯୋଗୀ ଶତକ’ କାଲ୍‌କୁଲେଟର୍ କହୁଛି ‘‘ଏଠାରେ କିଛି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ଯାହା ‘କ୍ରାନ୍ତିକର ଦଶକ’ ଏବଂ ‘ଚିନ୍ତାଶୀଳ ହଜାର’ ଦେଖାଇ ପାରିବେ ନାହିଁ କିନ୍ତୁ ମୁଁ ପାରିବି ।’’ ଏହି ଉକ୍ତି ସତ୍ୟ ।

Question 4.
‘କ୍ରିଏଟିଭ୍ ଚିଟ୍ଟି’ ଏକ ଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର କାଲକୁଲେଟର । ଏଥରେ ନିମ୍ନଲିଖ୍ତ ବଟନ୍‌ଗୁଡ଼ିକ ଅଛି : +1, +10, +100, +1000, +10000, +100000 ଏବଂ +1000000 । ଏହା ସବୁବେଳେ ଅନେକ ଉପାୟରେ କାମ କରିଥାଏ । ସଂଖ୍ୟା 321 ପାଇବାକୁ ହେଲେ, ଏହା +10କୁ 32 ଥର ଏବଂ +1 କୁ ଥରେ ଦବାଏ । ଏହା 321 ପାଇପାରିବ କି ? ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ, ଏହା +100 କୁ ଦୁଇଥର ଏବଂ +10କୁ 12 ଥର ଏବଂ +1 କୁ ଥରେ ଦବାଇ ପାଇପାରିବ ।
321 କୁ ପାଇବା ପାଇଁ ଅତିବେଶିରେ + 100) ବଟନ୍‌କୁ କେତେଥର ଦବାଯାଇପାରିବ ?

Solution:
+10 ବଟନକୁ 32 ଥର ଦବାଇଲେ = 32 × 10 = 320
+1 ବଟନକୁ 1 ଥର ଦବାଇଲେ = 1
ବର୍ତ୍ତମାନ ଯୋଗ କଲେ, 320 + 1 = 321
∴ ହଁ 321 ପହଞ୍ଚିବ ।
ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ, +100 ବଟନକୁ 2 ଥର ଚିପିଲେ = 2 × 100 = 200
+10 ବଟନକୁ 12 ଥର ଚିପିଲେ = 12 × 10 = 120
+1 ବଟନକୁ 1 ଥର ଟିପିଲେ = 1 × 1 = 1
ବର୍ତ୍ତମାନ ଯୋଗକଲେ, 200 + 120 + 1 = 321
ଆଉଥରେ ଏହା 321ରେ ପହଞ୍ଚିବ ।
+100 ବଟନକୁ 3 ଥର ଟିପିଲେ = 3 × 100 = 300
+10 ବଟନକୁ 2 ଥର ଟିପିଲେ = 2 × 10 = 20
+1 ବଟନକୁ 1 ଥର ଟିପିଲେ = 1 × 1 = 1
ବର୍ତ୍ତମାନ ଯୋଗକଲେ = 300 + 20 + 1 = 321
∴ 321 କୁ ପାଇବା ପାଇଁ ଅତିବେଶିରେ +100 ବଟନକୁ 3 ଥର ଦବାଯାଇପାରିବ ।

Question 5.
5072 ପାଇବା ପାଇଁ ଅନେକ ଉପାୟ ମଧ୍ୟରୁ ଦୁଇଟି ଉପାୟ ନିମ୍ନରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି ; ଏହି ଦୁଇଟି ଉପାୟକୁ ଏହିପରି ପରିପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ :
(a) 50 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1) = 5072
(b) (3 × 1000) + (20 × 100) + (72 × 1) = 5072
• 5072 ପାଇବା ପାଇଁ ଏକ ଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଖୋଜ ଏବଂ ଏହା ପାଇଁ ଏକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ ।
Solution:
ଏଠାରେ 5 × 1000 + 0 × 100 + 7 × 10 + 2 × 1
= 5000 + 0 + 70 + 2
= 5072

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

Question 1.
ନିଜେ କରି ଦେଖ । ତଳେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ଯାପାଇଁ, ବଟନ୍ ଦବାଇବା-ମାଧ୍ୟମରେ ସଂଖ୍ୟା ପରିପ୍ରକାଶ କରିବା ପାଇଁ ଅତି କମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଲେଖ । ‘କ୍ରିଏଟିଭ୍ ଚିଟ୍ଟି? ପରି ଚିନ୍ତାକର ଏବଂ ସୃଜନଶୀଳ ହୁଅ ।
(a) 8300
(b) 40629
(c) 56354
(d) 66666
(e) 367813
Solution:
(a) 8300
(i) (8 × 1000) + (3 × 100)
(ii) (83 × 1000)

(b) 40629
(i) (4 × 10,000) + (6 × 100) + (2 × 10) + (9 × 1)
(ii) (406 × 100) + (2 × 10) + (9 × 1)

(c) 56354
(i) (56 × 1000) + (35 × 10) + (4 × 1)
(ii) (5635 × 10) + (4 × 1)

(d) 66666
(i) (6 × 10000 + (66 × 100) + (66 × 1)
(ii) (66 × 1000) + (666 × 1)

(e) 367813
(i) (367 × 1000 + (813 × 1)
(ii) (3 × 100000 + (67 × 1000) + (8 × 100) + (13 × 1)

Question 2.
ତୁମପାଇଁ କ୍ରିଏଟିଭ୍ ଚିଟ୍ଟି କାଲକୁଲେଟରର କିଛି ପ୍ରଶ୍ନ :

(a) ତୁମକୁ ଠିକ୍ 30 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବାକୁ ପଡ଼ିବ । ତୁମେ କେଉଁ ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା ତିଆରି କରିପାରିବ ? ତୁମେ କେଉଁ ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ତିଆରି କରିପାରିବ ?
Solution:
ଏଠାରେ (9 × 100) + (8 × 10) + (13 × 1) = 993
ସମୁଦାୟ ବଟନ ଦବାଇବାକୁ ହେବ = 9 + 8 + 13 = 30 ଥର ।
∴ ଆମେ 30 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇଲାପରେ ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା ୨93 ତିଆରି କରିପାରିବା ।
ଏଠାରେ (8 × 10) + (22 × 1) = 80 + 22 = 102
ସମୁଦାୟ ବଟନ ଦବାଇବାକୁ ହେବ = 8 + 22 = 30
∴ ଆମେ 30 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇଲାପରେ ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା 102 ତିଆରି କରିପାରିବା ।

(b) 25 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇ 997 ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇପାରିବା । ତୁମେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବା ମାଧ୍ୟମରେ
997 ସଂଖ୍ୟାଟି ତିଆରି କରିପାରିବ କି ?
Solution:
ଏଠାରେ (8 × 100) + (19 × 10) + (7 × 1) = 800 + 190 + 7 = 997
ସମୁଦାୟ ବଟନ୍ ଦବାଇବାକୁ ହେବ = 8 + 19 + 7 = 34
∴ ଆମେ 34 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବା ମାଧ୍ୟମରେ ୨97 ସଂଖ୍ୟାଟି ତିଆରି କରିପାରିବା ।

Question 3.
ସିଷ୍ଟେମେଟିକ୍ ସିୱି ଏକ ଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର କାଲ୍‌କୁଲେଟର୍ । ଏଥରେ ନିମ୍ନଲିଖ୍ ବଟନ୍‌ଗୁଡ଼ିକ ଅଛି – +1, +10, +100, +1000, +10000, +100000 । ଏହାର ବଟନ୍‌କୁ ଯଥାସମ୍ଭବ କମ୍ ଥର ଦବାଇ ବିଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଗଠନ କର । ଆମେ କିପରି ଯଥାସମ୍ଭବ କମ୍ ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇପାରିବା ?

(a) 5072
(b) 8300
Solution:
(a) ଏଠାରେ 5072 = (5 × 1000) + (7 × 10) + (2 × 1)
ସମୁଦାୟ ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବା ସଂଖ୍ୟା = 5 + 7 + 2 = 14
∴ 14 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇ ଆମେ 5072 ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇପାରିବା ।

(b) ଏଠାରେ 8300 = (8 × 1000) + (3 × 00) ସମୁଦା
ୟ ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବା ସଂଖ୍ୟା = 8 + 3 = 11
∴ 11 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇ ଆମେ 8300 ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇପାରିବା ।

• 23 ଥର ଠାରୁ କମ୍ ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇ 5072 ପାଇବାର ଅନ୍ୟ କୌଣସି ଉପାୟ ଅଛି କି ? ସେଥ‌ିପାଇଁ ପରିପ୍ରକାଶଟି ଲେଖ ।
Solution:
ଏଠାରେ (5 × 1000) + (7 × 10) + (2 × 1)
ସମୁଦାୟ ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବା = 5 + 7 + 2 = 14
∴ 5072 ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇବା ପାଇଁ ଅତିକମ୍‌ରେ 14 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବାକୁ ପଡ଼ିବ ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

Question 1.
ପୂର୍ବ ଅଭ୍ୟାସରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟକ ବଟନ୍ ଦବାଇ କିପରି ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବ, ତାହା ଖୋଜ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ ।
(a) 8300
(b) 40629
(c) 56354
(d) 66666
(e) 367813
Solution:
(a) 8300 = (8 × 1000) + (3 × 100)
∴ 8300 ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇପାରିବା = 8 + 3 = 11 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବା ପରେ ।

(b) 40629 = (4 × 10,000 + (6 × 100) + (2 × 10) + (9 × 1)
∴ 40629 ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇପାରିବା = 4 + 6 + 2 + 9 = 21 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବା ପରେ ।

(c) 56354 = (5 × 10,000) + (6 × 1000) + (3 × 100) + (5 × 10) + (4 × 1)
∴ 56354 ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇପାରିବା = 5 + 6 + 3 + 5 + 4 = 23 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବା ପରେ ।

(d) 66666 = (6 × 10,000) + (6 × 1000) + (6 × 100) + (6 × 10) + (6 × 1)
∴ 66666 ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇପାରିବା = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବା ପରେ ।

(e) 367813 = (3 × 1,00,000) + (6 × 10,000) + (7 × 1000) + (8 × 100) + (1 × 10) + (3 × 1)
∴ 367813 ସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇପାରିବା = 3 + 6 + 7 + 8 + 1 + 3 = 28 ଥର ବଟନ୍ ଦବାଇବା ପରେ ।

Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଅନୁରୂପ ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟକ ବଟନ୍ ଦବାଇବା ମଧ୍ଯରେ କୌଣସି ସମ୍ପର୍କ ଥୁବାର ତୁମେ ଦେଖିପାରୁଛ କି ?
Solution:
ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟକ ବଟନ୍ ଦବାଇବା = ସଂଖ୍ୟାରେ ଥିବା ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି ।

Question 3.
ତୁମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଯେ, ସର୍ବନିମ୍ନ ବଟନ୍ ଦବାଇବା ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ, ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଭାରତୀୟ ସ୍ଥାନୀୟମାନ ଲିଖନ ପ୍ରଣାଳୀ ମଧ୍ୟ ଦେଇଥାଏ । ଏହାର କାରଣ ବିଷୟରେ ତୁମେ ଚିନ୍ତାକର ।
Solution:
ଭାରତୀୟ ସ୍ଥାନୀୟମାନ ଲିଖନ ପ୍ରଣାଳୀଦ୍ଵାରା ଆମେ ହଜାର, ଲକ୍ଷ ଓ କୋଟି ସ୍ଥାନୀୟମାନଙ୍କୁ ସହଜରେ ଦଳ କରି ଜାଣିଥାଉ ।

1.3 କୋଟି ବା କୋଟିରୁ ଅଧ୍ବକ :

(Page No. 9)

Question 1.
ଏକ ହଜାର ଲକ୍ଷରେ କେତୋଟି ଶୂନ ଅଛି ? ………………….
Solution:
ଏକ ହଜାର ଲକ୍ଷ = 10,00,00,000 ରେ 5 ଟି ଶୂନ ଅଛି ।

Question 2.
ଏକ ଶହ ହଜାରରେ କେତୋଟି ଶୂନ ଅଛି ?
Solution:
ଏକ ଶହ ହଜାର = 1,00,000 ରେ 5 ଟି ଶୂନ ଅଛି ।

9876501234 ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ପ୍ରଥମେ କମା ଦେଇ ସହଜରେ ପଢ଼ିହେବ ।
(a) 9,87,65,01,234 = ୨ ଅରବ 87 କୋଟି 65 ଲକ୍ଷ 1 ହଜାର 234 କିମ୍ବା 987 କୋଟି 65 ଲକ୍ଷ 1 ହଜାର 234 (ଭାରତୀୟ ଲିଖନ ପ୍ରଣାଳୀରେ)
(b) 9,87,65,01,234 = 9 ବିଲିୟନ୍ 876 ମିଲିୟନ୍ 501 ହଜାର 234 (ଆମେରିକୀୟ ଲିଖନ ପ୍ରଣାଳୀରେ)

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

Question 1.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଭାରତୀୟ ସ୍ଥାନୀୟମାନ ଅନୁସାରେ ପଢ଼ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ନାମ ଉଭୟ ଭାରତୀୟ ଓ ଆମେରିକୀୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ ।
(a) 4050678
(b) 48121620
(c) 20022002
(d) 246813579
(e) 34500543
(f) 1020304050
Solution:
(a) ଭାରତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 40,50,678 = ଚାଳିଶି ଲକ୍ଷ ପଚାଶ ହଜାର ଛଅ ଶହ ଅଠସ୍ତରୀ ।
ଆମେରିକୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 4,050,678 = ଚାରି ମିଲିୟନ୍ ପଚାଶ ହଜାର ଛଅ ଶହ ଅଠସ୍ତରୀ ।

(b) ଭାରତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 4,81,21,620 = ଚାରି କୋଟି ଏକାଅଶୀ ଲକ୍ଷ ଏକୋଇଶି ହଜାର ଛଅ ଶହ କୋଡ଼ିଏ ।
ଆମେରିକୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 48,121,620 = ଅଡ଼ଚାଳିଶ ମିଲିୟନ୍ ଶହେ ଏକୋଇଶି ହଜାର ଛଅ ସହ କୋଡ଼ିଏ ।

(c) ଭାରତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 2,00,22,002 = ଦୁଇ କୋଟି ବାଇଶି ହଜାର ଦୁଇ ।
ଆମେରିକୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 20, 022, 002 = କୋଡ଼ିଏ ମିଲିୟନ୍ ବାଇଶି ହଜାର ଦୁଇ ।

(d) ଭାରତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 24,68,13,579 = ଚବିଶି କୋଟି ଅଡ଼ଷଠୀ ଲକ୍ଷ ତେର ହଜାର ପାଞ୍ଚଶହ ଅଣାଅଶୀ ।
ଆମେରିକୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 246,813,579 = ଦୁଇଶହ ଛୟାଳିଶି ମିଲିୟନ୍ ଆଠ ଶହ ତେର ହଜାର ପାଞ୍ଚଶହ ଅଣାଅଶୀ ।

(e) ଭାରତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 34,50,00,543 = ଚଉତିରିଶି କୋଟି ପଚାଶ ହଜାର ପାଞ୍ଚଶହ ତେୟାଳିଶି ।
ଆମେରିକୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 345,000,543 = ତିନିଶହ ପଇଁଚାଳିଶି ମିଲିୟନ୍ ପାଞ୍ଚଶହ ତେୟାଳିଶି ।

(f) ଭାରତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 1,02,03,04,050 = ଏକ ଅରବ ଦୁଇ କୋଟି ତିନି ଲକ୍ଷ ଚାରି ହଜାର ପଚାଶ ।
ଆମେରିକୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ : 1,020,304,050 = ଏକ ବିଲିୟନ୍ କୋଡ଼ିଏ ମିଲିୟନ୍ ତିନିଶହ ଚାରି ହଜାର ପଚାଶ ।

Question 2.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଭାରତୀୟ ସ୍ଥାନୀୟମାନ ପଦ୍ଧତି ଅନୁସାରେ ଲେଖ ।
(a) ଏକ କୋଟି ଏକ ଲକ୍ଷ ଏକ ହଜାର ଦଶ
(b) ଏକ ବିଲିୟନ୍ ଏକ ମିଲିୟନ ଏକ ହଜାର ଏକ
(c) ଦଶ କୋଟି କୋଡ଼ିଏ ଲକ୍ଷ ତିରିଶ ହଜାର ଚାଳିଶ
(d) ନଅ ବିଲିୟନ୍ ଅଶୀ ମିଲିୟନ ସାତ ଶହ ହଜାର ଛଅ ଶହ
Solution:
(a) ଏକ କୋଟି ଏକ ଲକ୍ଷ ଏକ ହଜାର ଦଶ = 1,01,01,010
(b) ଏକ ବିଲିୟନ୍ ଏକ ମିଲିୟନ ଏକ ହଜାର ଏକ = 1,00,10,01,001
(c) ଦଶ କୋଟି କୋଡ଼ିଏ ଲକ୍ଷ ତିରିଶ ହଜାର ଚାଳିଶ = 10,20,30,040
(d) ନଅ ବିଲିୟନ୍ ଅଶୀ ମିଲିୟନ ସାତ ଶହ ହଜାର ଛଅ ଶହ = 9,080,700,600

Question 3.
ତୁଳନା କର ଏବଂ ‘<‘, ‘>’ କିମ୍ବା ‘=’ ଲେଖ ।
(a) 30 ହଜାର ……………… 3 ଲକ୍ଷ
(b) 500 ଲକ୍ଷ ……….. 5 ମିଲିୟନ୍
(c) 800 ହଜାର ………….. 8 ମିଲିୟନ୍
(d) 640 ହଜାର ………….. 30 ବିଲିୟନ୍
Solution:
(a) 30 ହଜାର ( < ) 3 ଲକ୍ଷ ∴ 30,000 < 3,00,000
(b) 500 ଲକ୍ଷ (> ) 5 ମିଲିୟନ୍ ∴ 5,00,00,000 > 5,000,000
(c) 800 ହଜାର ( < ) 8 ମିଲିୟନ୍ ∴ 8,00,000 < 8,000,000
(d) 640 କୋଟି ( < ) 60 ବିଲିୟନ୍ ∴ 6,40,00,00,000 < 60,000,000,00

1.4 ଠିକ୍ ଏବଂ ଆନୁମାନିକ ମାନ :

Page No. (10 to 12)

Question 1.
ସେହି ପରିସ୍ଥିତିଗୁଡ଼ିକୁ ଦଳଭିତରେ ବିଚାର କର ଏବଂ ଆଲୋଚନା କର ଯେଉଁଠାରେ (କ) ଆସନ୍ନମାନଟି ପ୍ରକୃତ ମାନଠାରୁ ଅଧିକ ହେବ । (ଖ) ଆସନ୍ନମାନଟି ପ୍ରକୃତମାନଠାରୁ କମ୍ ହେବ (ଗ) ଆସନ୍ନମାନଟି ପ୍ରକୃତ ମାନଠାରୁ ଅଧିକ ବା କମ୍ ହେବ, (ଘ) ଠିକ୍ ସଂଖ୍ୟା ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ।
Solution:
(କ) ନିକଟତମ ଦଶକ ଆସନ୍ନମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ :
1 ରୁ 4 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 10 ଅପେକ୍ଷା ‘0’ ର ନିକଟତମ ।
ତେଣୁ 1, 2, 3, 4 ଆସନ୍ନମାନ ‘0’ ଅଟେ ।
6 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ‘0’ ଅପେକ୍ଷା ’10’ ର ନିକଟତମ ।
ତେଣୁ 6, 7, 8, 9 ଆସନ୍ନମାନ 10 ଅଟେ ।
5 ସଂଖ୍ୟାଟି 0 ଓ 10 ଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ।
ତେଣୁ 5, ସଂଖ୍ୟାଟିର ଆସନ୍ନମାନ 10 ଅଟେ ।
ତେଣୁ 12, 25 ଓ 17 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଆସନ୍ନମାନ ଯଥାକ୍ରମେ 10, 30 ଓ 20 ।

(ଖ) ନିକଟତମ ଶତକ ଆସନ୍ନମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ :
1 ରୁ 49 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 100 ଅପେକ୍ଷା ‘0’ ନିକଟତମ ।
ତେଣୁ ଏହାର ଆସନ୍ନମାନ = 0
ସେହିପରି 51 ରୁ 99 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଆସନ୍ନମାନ = 100 ।
ସେହିପରି 212, 375 ଓ 495 ର ନିକଟତମ ଆସନ୍ନମାନ ଯଥାକ୍ରମେ 200, 400 ଓ 500 ।

(ଗ) ନିକଟତମ ହଜାରର ଆସନ୍ନମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ :
1 ରୁ 499 ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ 1000 ଅପେକ୍ଷା ‘0’ ର ନିକଟତମ ।
ତେଣୁ ଏହାର ଆସନ୍ନମାନ = 0
କିନ୍ତୁ 501 ଠାରୁ 999 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଆସନ୍ନମାନ = 1000

ମନେରଖ :
– ନିକଟତମ ଦଶକର ଆସନ୍ନମାନ ଏକ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ । ଯଦି ଏକକ ଘରର ଅଙ୍କ 5 ଠାରୁ କମ୍ ହେବ, ତେବେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଆସନ୍ନମାନରେ ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି 0 ହେବ ।
– ନିକଟତମ ଶତକର ଆସନ୍ନମାନରେ ଯଦି ଦଶକ ଘରର ଅଙ୍କଟି 5 କିମ୍ବା ତାଠାରୁ ବଡ଼ ତେବେ ଏହାର ଆସନ୍ନମାନ ଏକକ ଓ ଦଶକ ଅଙ୍କ ପ୍ରତ୍ୟେକ ) ଓ ଶତକ ଅଙ୍କ । ଅଧିକ ହେବ । ଉଦାହରଣ 153 → 200

ନିକଟତମ ପଡ଼ୋଶୀ :
Question 2.
ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସହିତ ନିକଟତମ ହଜାର, ଲକ୍ଷ କିମ୍ବା କୋଟି ଜାଣିବା ଉପଯୋଗୀ ଅଟେ । (ଆସନ୍ତମାନ) ଲେଖ ।
ଉଦାହରଣ : ସଂଖ୍ୟା 6,72,85,183 ର ନିକଟତମ ସଂଖ୍ୟା
Solution:

ନିକଟତମ ହଜାର	6,7,2,85,000	ନିକଟତମ 10 ହଜାର	6,72,90,000
ନିକଟତମ ଲକ୍ଷ	6,73,00,000	ନିକଟତମ 10 ଲକ୍ଷ	6,70,00,000
ନିକଟତମ କୋଟି	7,00,00,000

Question 3.
ନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ପାଞ୍ଚୋଟି ନିକଟତମ ସଂଖ୍ୟା (ଆସନମାନ) ଲେଖ ।
(a) 3,87,69,957
(b) 29,05,32,481
Solution:
(a) 3,87,69,957
ଏଠାରେ ନିକଟତମ ହଜାର 3,87,70,000
ନିକଟତମ 10 ହଜାର 3,87,70,000
ନିକଟତମ ଲକ୍ଷ 3,88,00,000
ନିକଟତମ 10 ଲକ୍ଷ 3,90,00,000
ନିକଟତମ କୋଟି 4,00,00,000

(b) 29,05,32,481
ନିକଟତମ ହଜାର 29,05,32,000
ନିକଟତମ 10 ହଜାର 29,05,30,000
ନିକଟତମ ଲକ୍ଷ 29,05,00,000
ନିକଟତମ 10 ଲକ୍ଷ 29,10,00,000
ନିକଟତମ କୋଟି 29,00,00,000

Question 4.
ତୁମ ପାଖରେ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ଯାହାର ନିକଟବର୍ତୀ ଏହିପରି ପାଞ୍ଚୋଟି ସଂଖ୍ୟା 5,00,00,000 ଅଟେ । ସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ ? ଏହିପରି କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ?
Solution:
4,99,99,500 ଓ 5,00,00,000 (ପ୍ରଥମ ଓ ଶେଷ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବାଦ୍ ଦେଇ) ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଏକ ସଂଖ୍ୟା, ଯାହାର ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ ଏହିପରି ପାଞ୍ଚଟି ସଂଖ୍ୟାର ଆସନ୍ନମାନ 5,00,00,000 । ଏହିପରି 1000)ଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ।

1. 4,63,128 + 4,19,682
ନମିତା : ‘‘ଯୋଗଫଳ ପ୍ରାୟ 8,00,000 ଏବଂ 8,00,000 ରୁ ଅଧିକ ’’
ରମେଶ : ‘‘ଯୋଗଫଳ ପ୍ରାୟ 9,00,000 ଏବଂ 9,00,000 ରୁ କମ୍ ।”
ନମିତା ଏବଂ ରମେଶ ସରଳ ପରିପ୍ରକାଶର ମାନ ଆକଳନ କରିଛନ୍ତି ।

(a) ଏହି ଆକଳନଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ଅଛି କି ? କାହାର ଆକଳନ ଯୋଗଫଳର ନିକଟତର ?
Solution:
ଏହି ଆକଳନଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ଅଛି । ରମେଶର ଆକଳନ ଯୋଗଫଳର ନିକଟତର ।

(b) ଯୋଗଫଳ 8,50,000 ରୁ ଅଧିକ ହେବ କିମ୍ବା 8,50,000 ରୁ କମ୍ ହେବ ? ତୁମେ ଏହା କାହିଁକି ଭାବୁଛ ?
Solution:
ହଁ, ଏହାର ଯୋଗଫଳ 8,50,000 ଠାରୁ ବଡ଼ ହୋଇପାରେ । କାରଣ ଯଦି ଆମେ ଏହାର ବାମରୁ 2ଟି ଅଙ୍କ ଯୋଗ କରିବା ଯୋଗଫଳ 87 ହେବ, ଯାହା 85 ଠାରୁ ବଡ଼ ।

(c) ଯୋଗଫଳ 8,83,128 ରୁ ଅଧିକ ହେବ କିମ୍ବା 8,83,128 ରୁ କମ୍ ହେବ ? ତୁମେ ଏପରି କାହିଁକି ଭାବୁଛ ?\
Solution:
ଯୋଗଫଳ 8,83,128ରୁ କମ୍ ହେବ ।

(d) 4,63,128 + 4,19,682ର ଠିକ୍ ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେବ ?
Solution:
4,63,128 + 4,19,682 = 8,82,810 ହେବ ।

2. 14,63,128 – 4,90,020
ନମିତା : ‘‘ପାର୍ଥକ୍ୟ ପାଖାପାଖୁ 10 ଲକ୍ଷ ଏବଂ 10 ଲକ୍ଷରୁ କମ୍ ।”
ରମେଶ : ‘‘ପାର୍ଥକ୍ୟ ପାଖାପାଖୁ 9 ଲକ୍ଷ ଏବଂ 9 ଲକ୍ଷରୁ ବେଶୀ ।’’

(a) ଏହି ଆକଳନଗୁଡ଼ିକ ଠିକ୍ ଅଛି କି ? କାହାର ଆକଳନ ପାର୍ଥକ୍ୟର ନିକଟତର ?
Solution:
ଏହାର ପ୍ରକୃତ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 14,63,128 – 4,90,020 = 9,73,108
ପାଖାପାଖୁ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 15,00,000 – 5,00,000 = 10,00,000
∴ ନମିତାର ଆକଳନ ପ୍ରକୃତ ପାର୍ଥକ୍ୟର ନିକଟତମ ।

(b) ପାର୍ଥକ୍ୟ 9,50,000 ରୁ ଅଧିକ ହେବ କିମ୍ବା 9,50,000 ରୁ କମ୍ ହେବ । ତୁମେ ଏପରି କାହିଁକି ଭାବୁଛ ?
Solution:
ପ୍ରକୃତ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 9,73,108 । ଏହା 9,50,000 ଠାରୁ ବଡ଼ ।
ବର୍ତ୍ତମାନ 14,63,128 ଓ 4,90,020ର ଆକଳନ ଆସନ୍ନ ନିକଟତମ 10 ହଜାର ଘର ।
ଆମେ ପାଇବା 14,60,000 ଓ 4,90,000
∴ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 14,60,000 – 4,90,000 = 9,70,000
ଏହା 9,50,000 ଠାରୁ ବଡ଼ ।

(c) ପାର୍ଥକ୍ୟ 9,63,128 ରୁ ଅଧିକ ହେବ କିମ୍ବା 9,63,128 ରୁ କମ୍ ହେବ କି ? ତୁମେ ଏପରି କାହିଁକି ଭାବୁଛ ?
Solution:
ପ୍ରକୃତ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 9,73,108 । ଏହା 9,63,128 ଠାରୁ ବଡ଼ ।
∴ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 9,,73,108 – 9,63,128 = 9,98୦
ଏହା ପ୍ରକୃତ ପାର୍ଥକ୍ୟଠାରୁ ଦୂର ।

(d) 14,63,128 – 4,90,020 ର ଠିକ୍ ମୂଲ୍ୟ ଆଳକନ କର ।
Solution:
ପ୍ରକୃତ ମୂଲ୍ୟ = 14,63,128 – 4,90,000 = 9,73,108

ସହରମାନଙ୍କର ଜନସଂଖ୍ୟା

ଉପରେ ଦିଆଯାଇଥବା ସାରଣୀର ତଥ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ ନିମ୍ନଲିଖତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
Question 1.
ଉପରୋକ୍ତ ତଥ୍ୟ ବିଷୟରେ ତୁମ ଶ୍ରେଣୀରେ ଆଲୋଚନା କର ।
Solution:
ଅଧିକାଂଶ ସହରର ଲୋକସଂଖ୍ୟା ଉଲ୍ଲେଖନୀୟ ଭାବରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଥିବାର ଦେଖାଯାଉଛି । ବେଙ୍ଗାଲୁରୁ, ହାଇଦ୍ରାବାଦ, ସୁରତ ଇତ୍ୟାଦି ସହରର ଲୋକସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଗୁଣ ଲେଖାଏଁ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଛି । କୋଲକାତା ପରି ଅଳ୍ପ କେତେକ ସହରର ଲୋକସଂଖ୍ୟା ଅଳ୍ପ ପରିମାଣରରେ ବୃଦ୍ଧି ଘଟିଛି ।

Question 2.
ଉପରୋକ୍ତ ସାରଣୀ ପାଇଁ ଏକ ଉପଯୁକ୍ତ ଶୀର୍ଷକ କ’ଣ ହେବ ?
Solution:
2001 ଓ 2011ରେ ପ୍ରମୁଖ ଭାରତୀୟ ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା ।

Question 3.
2011 ମସିହାରେ ଭୁବନେଶ୍ଵର ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା କେତେ ? ଆନୁମାନିକ ଭାବରେ, 2001 ତୁଳନାରେ ଏହା କେତେ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଛି ?
Solution:
2011 ରେ ଭୁବନେଶ୍ଵରର ଜନସଂଖ୍ୟା = 8,85,363
2001 ରେ ଭୁବନେଶ୍ଵରର ଜନସଂଖ୍ୟା ଥିଲା = 6,58,220
ଜନସଂଖ୍ୟାର ବୃଦ୍ଧି = 8,85,363 – 6,58,220 = 2,27,143
∴ ଆନୁମାନିକ ଭାବରେ 2001 ତୁଳନାରେ ଏହା 2.2 ଲକ୍ଷ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି

Question 4.
2001 ଏବଂ 2011 ମଧ୍ୟରେ କେଉଁ ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା ସର୍ବାଧକ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଛି ?
Solution:
କେତେକ ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା ବୃଦ୍ଧି ପାଇଛି ।
ହାଇଦ୍ରାବାଦ = 68,09,970 – 36,37,483 = 31,72,487
ନୂଆଦିଲ୍ଲୀ = 1,10,07,835 – 98,79,172 = 11,28,663
ବେଙ୍ଗାଲୁରୁ = 84,25,970 – 43,01,326 = 41,24,644
ଅହମ୍ମଦାବାଦ = 55,70,585 – 35,20,085 = 20,25,500

Question 5.
କେଉଁ କେଉଁ ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା 2001 ତୁଳନାରେ ପ୍ରାୟ ଦୁଇଗୁଣ ହୋଇଛି ?
Solution:
ହାଇଦ୍ରାବାଦର ଜନସଂଖ୍ୟା 2001 ତୁଳନାରେ ପ୍ରାୟ ଦୁଇଗୁଣ ହୋଇଛି ।

Question 6.
ଭୁବନେଶ୍ଵରର ଜନସଂଖ୍ୟାକୁ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଗୁଣନକଲେ ମୁମ୍ବାଇ ଜନସଂଖ୍ୟାର ପାଖାପାଖୁ ହେବ ?
Solution:
ଭୁବନେଶ୍ୱରର ଜନସଂଖ୍ୟା (2001) = 6,58,220
ମୁମ୍ବାଇର ଜନସଂଖ୍ୟା (2001) = 1,19,78,450
ଗୁଣ୍ଯ = 1,19,78,450 ÷ 6,58,220 = 18.2
∴ ଭୁବନେଶ୍ଵରର ଜନସଂଖ୍ୟାକୁ 18 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ ମୁମ୍ବାଇ ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା ପାଖାପାଖୁ ହେବ ।

1.5 ଗୁଣନରେ ସଂରଚନା :

Page No. (13 to 15)

• ଏକ ଗୁଣନ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଖେଳରେ ଦୁଇଜଣ ପିଲା ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ 10,100, 1000, ….ଇତ୍ୟାଦି ଦ୍ଵାରା ଗୁଣିବା ପାଇଁ ଏକ ଆକର୍ଷଣୀୟ କୌଶଳ ପାଇପାରିଛନ୍ତି ।

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଗୁଣନ
Question 1.
ଗୋଟିଏ ପିଲା 116 × 5 ର ଗୁଣଫଳକୁ ନିମ୍ନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ନିଶ୍ଚୟ କଲା ।
Solution:
116 × 5 = = 58 × 10 = 580

Question 2.
ଅନ୍ୟ ଜଣକ ନିମ୍ନ ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ 824 × 25 ର ଗୁଣଫଳ ନିଶ୍ଚୟ କଲା ।
Solution:
824 × 25 = = 20,600

Question 3.
ଗୁଣନ ଓ ଭାଗକ୍ରିୟାଦ୍ଵାରା ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣିବା ଅର୍ଥ, ସେହି ସଂଖ୍ୟାକୁ 2 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକରି 10 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣିବା ସହ ସମାନ କି ?
Solution:
ହଁ, ସମାନ ହେବ । କାରଣ \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{10 \div 2}{2 \div 2}\) = 5

ନିଜେ କରି ଦେଖ ।

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖତ ଗୁଣନଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣଫଳ ଶୀଘ୍ର ନିଷ୍କ୍ରିୟ କରିବାର ଉପାୟ ଲେଖ ।
(a) 2 × 1768 × 50
(b) 72 × 125 (ସୂଚନା : 125 = \(\frac{1000}{8}\) )
(c) 125 × 40 × 8 × 25
Solution:
(a) 2 × 1768 × 50 = 2 × 50 × 1768 = 100 × 1768 = 176800

(b) 72 × 125 = 72 × \(\frac{1000}{8}\) = 9 × 1000 = 9000

(c) 125 × 40 × 8 × 25 = 125 × 8 × 40 × 25 = 1000 × 1000 = 1000000

Question 2.
କମ୍ ସମୟରେ ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(a) 25 × 12 =
(b) 25 × 240 =
(c) 250 × 120 =
(d) 2500 × 12 =
(e) ……………. × ………………. = 120000000
Solution:
(a) 25 × 12 = \(\frac{100}{4}\) × 12 = 100 × 3 = 300
(b) 25 × 240 = \(\frac{100}{4}\) × 240 = 100 × 60 = 6000
(c) 250 × 120 = \(\frac{1000}{4}\) × 120 = 1000 × 30 = 30000
(d) 2500 × 12 = \(\frac{10,000}{4}\) × 12 = 10,000 × 3 = 30,000
(e) 25000 × 4800 = \(\frac{1,00,000}{4}\) × 4800 = 1,00,000 × 1200 = 120000000

ଗୁଣଫଳ କେତେ ବଡ଼ ?

Question 1.
ତଳେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା କୋଠରିଗୁଡ଼ିକରେ ଗୁଣନଗୁଡ଼ିକ ମଜାଦାର ସଂରଚନା ସୃଷ୍ଟି କରୁଛନ୍ତି । ସେହି ସଂରଚନାକୁ ଖୋଜିବା ପାଇଁ ଗୁଣଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିଥିବା ସଂରଚନାକୁ ଆଧାର କରି ଗୁଣନଗୁଡ଼ିକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଅ ।

Solution:

Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ଗୁଣନ କରାଯାଇଥିବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଓ ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣଫଳର ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର । ଗୁଣନ କରାଯାଉଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଓ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳର ଅଙ୍କମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ କିଛି ସମ୍ପର୍କ ରହିଛି କି ?
Solution:
ହଁ, ସମ୍ପର୍କ ରହିଛି । ଆମେ ଯେତେବେଳେ ନିମ୍ନ ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ କରୁ,
1- ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା × 1-ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 1 ଓ 2 ଅଙ୍କ ।
2- ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା × 2-ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 3 ଓ 4 ଅଙ୍କ ।
3- ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା × 3-ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 5 ଓ 6 ଅଙ୍କ ।
4- ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା × 4-ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 7 ଓ 8 ଅଙ୍କ ।

Question 3.
• ଦୁଇଟି 2-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣପଳ କେବଳ 3-ଅଙ୍କ କିମ୍ବା 4-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ । ଏହା କ’ଣ ଠିକ୍ ?
Solution:
ଏହା ଠିକ୍ ।
କାରଣ, ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସାନ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ = 10 × 10 = 100 (3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା)
ଦୁଇଟି ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ = 99 × 99 = 9801 (4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା)

Question 4.
ଏହି ଉକ୍ତିଟି ଠିକ୍ ନା ନୁହେଁ ଜାଣିବାପାଇଁ ଆମେ 2 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଗୁଣନ ଚେଷ୍ଟା କରିବା ଉଚିତ୍ କି ? କିମ୍ବା ଏହାକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିବା ପାଇଁ ଅନ୍ୟ କିଛି ଭଲ ଉପାୟ ଅଛି କି ?

‘‘ଆମେ ଦୁଇଟି 2-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳର ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ବିଷୟରେ ଜାଣିବାକୁ ଚାହୁଁଛି । ସେହିପରି ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ଗୁଣଫଳ ଜାଣିବା ପାଇଁ ମୁଁ 10 × 10 ନେଲି । ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ଗୁଣଫଳ 100 ରୁ ଅଧ‌ିକ ହେବ । ସେହିପରି ବୃହତ୍ତମ ଗୁଣଫଳ ଜାଣିବା ପାଇଁ ମୁଁ 3-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା (100) × 100) କୁ ଗୁଣନ କରି ଗୁଣଫଳ 10,000 ପାଇଲି । ତେଣୁ ସମସ୍ତ ଦୁଇଟି 2- ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ 10,000ରୁ କମ୍ ହେବ ।’’
Solution:
ନା, ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଗୁଣଫଳର ଆବଶ୍ୟକତା ନାହିଁ ।
10 × 10 ଓ 99 × 99 ରେ କମ୍ ଓ ଅଧିକ ଅଙ୍କର ସମ୍ଭାବନା ଥାଏ ।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ତିନିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ସହ ଅନ୍ୟ ଏକ 3- ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଣନ କଲେ ଗୁଣଫଳ ଚାରିଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ କି ?
Solution:
ନା, ଦୁଇଟି ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସାନ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ = 100 × 100 = 10,000 (5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) ଦୁଇଟି ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ = 999 × 999 = 9,98,001 (6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) ତେଣୁ ଦୁଇଟି 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୁଣନ କଲେ ଗୁଣଫଳ 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।

Question 6.
ଗୋଟିଏ ଚାରି 4- ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ସହ ଅନ୍ୟ ଏକ 2-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଣନ କଲେ ଗୁଣଫଳ 5-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହେବ କି ?
Solution:
ଏହା ସମ୍ଭବ ।
4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ସହ 2 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସାନ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ
= 1000 × 10 = 10,000 (5-ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା)
ଗୋଟିଏ 4 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ସହ 2 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ
= 9999 × 99 = 9,89,901 (6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା) ।

Question 7.
ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିଭିନ୍ନ ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର । ତୁମେ କିଛି ସଂରଚନାଥୁବାର ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ କି ? ଉକ୍ତ ସଂରଚନା ଅନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ମଧ୍ୟ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ କି, ଚେଷ୍ଟା କରି ଦେଖ । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)

Solution:

ବଡ଼ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ପର୍କରେ ମଜାଦାର ତଥ୍ୟ :
ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣନ ଓ ହରଣ କରିବା ସମୟରେ କିଛି ରୋଚକ ତଥ୍ୟ ଉପଲବ୍‌ଧୁ ହୋଇଥାଏ । ଏହାର ଲିଖନ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖାଯାଇଥାଏ । ଗୁଣଫଳ ଓ ଭାଗଫଳକୁ ଆମେରିକୀୟ ସଂଖ୍ୟା
ଗୁଣଫଳ ନିଷ୍କ୍ରିୟ : ଗୁଣଫଳ ବିଷୟରେ ରୋଚକ ତଥ୍ୟ ପାଇବା ପାଇଁ ଗୁଣନ କରିବା :

Question 1.
କିମ୍ବଦନ୍ତୀ ଅନୁସାରେ 1250 × 380 ହେଉଛି ପୁରନ୍ଦରଦାସଙ୍କ ରଚିତ କୀର୍ତ୍ତନ ସଂଖ୍ୟା । ଏହାର ଗୁଣଫଳ କେତେ?
Solution:
କୀର୍ତ୍ତନ ସଂଖ୍ୟା = 1250 × 380 = (125 × 10) × (38 × 10)
= 125 × 38 × 10 × 10 = 4750 × 100 = 475000 = 4,75,000

Question 2.
2100 × 70,000 ହେଉଛି, ପୃଥ‌ିବୀ ଓ ସୂର୍ଯ୍ୟ ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା ଦୂରତା କିଲୋମିଟରରେ ଆନୁମାନିକ ମୂଲ୍ୟ ।
Solution:
ପୃଥ‌ିବୀ ଓ ସୂର୍ଯ୍ୟ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = 2100 × 70,000 = (21 × 1,00) × (7 × 10,000)
= 21 × 7 × 1,00 × 10,000 = 147 × 10,00,000 = 147000000.
= 14,70,00,000 କିଲୋମିଟର ।

Question 3.
6400 × 62,500 ହେଉଛି ଆମାଜନ୍ ନଦୀ ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡରେ ଆଟଲାଣ୍ଟିକ୍ ମହାସାଗରକୁ ଛାଡ଼ୁଥୁବା ପାଣିର ପରିମାଣ (ଲିଟରରେ) ।
ପାଣିର ପରିମାଣ = 6400 × 62,500 = (64 × 100) × (625 × 100)
= 64 × 625 × 100 × 100 = 40,000 × 10,000
= 40,00,00,000 ଲିଟର ।

Question 4.
ଭାଗଫଳ ନିଶ୍ଚୟ : ହରଣ ବିଷୟରେ ରୋଚକ ତଥ୍ୟ ଜାଣିବା ପାଇଁ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଭାଗ କରିବା । 13,95,000 ÷ 150 ହେଉଛି, ପୃଥିବୀର ଦୀର୍ଘତମ ଏକକ ଟ୍ରେନ୍ ଯାତ୍ରାର ଦୂରତା( କି.ମି.ରେ) ।
Solution:
ଯାତ୍ରାର ଦୂରତା = \(\frac{13,95,000}{150}\) = \(\frac{1395}{15}\) × \(\frac{1000}{10}\) = 93 × 100 = 9300 କି.ମି. ।

Question 5.
ନୀଳତିମିର ଓଜନ 10,50,00,000 ÷ 700 କିଲୋଗ୍ରାମର ଅଧିକ ହୋଇପାରେ ।
Solution:
ନୀଳତିମିର ଓଜନ = \(\frac{10,50,00,000}{700}\) = \(\frac{105}{7}\) × \(\frac{10,00,000}{100}\) = 15 × 10000 = 1,50,000 କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ।

Question 6.
52,00,00,00,000 ÷ 130 ଟନ୍ ହେଉଛି 2021 ମସିହାରେ ବିଶ୍ଵରେ ନିର୍ଗତ ହୋଇଥିବା ପ୍ଲାଷ୍ଟିକ୍ ବର୍ଜ୍ୟବସ୍ତୁର ଓଜନ ।
Solution:
ବର୍ଜ୍ୟବସ୍ତୁର ଓଜନ = \(\frac{52,00,00,00,000}{130}\) = 40,00,00,000 କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ।

1.6 ତୁମେ କେବେ ଭାବିଛ କି ?

Page No. (19 to 21)

Question 1.
ଟାଇଟାନିକ୍ ଜାହାଜରେ 2500 ଜଣ ଯାତ୍ରୀ ବସିପାରନ୍ତି । ତେବେ ଭୁବନେଶ୍ଵର ସହରର ସମସ୍ତ ଲୋକ ସେହିପରି 400ଟି ଜାହାଜରେ ବସିପାରିବେ କି ?

Solution:
ଗୋଟିଏ ଟାଇଟାନିକ୍ ଜାହାଜରେ ବସିପାରନ୍ତି = 2500 ଜଣ ଯାତ୍ରୀ ।
400 ଟି ଜାହାଜରେ ବସିପାରିବେ = 2500 × 400 = 10,00,000 ଜଣ ଯାତ୍ରୀ ।
ଭୁବନେଶ୍ୱର ସହରର ଜନସଂଖ୍ୟା = ୫ ଲକ୍ଷ 85 ହଜାରରୁ ଅଧିକ (2011 ଜନଗଣନା ଅନୁଯାୟୀ) = 8,85,000
∴ ଭୁବନେଶ୍ଵର ସହରର ସମସ୍ତ ଲୋକ ଜାହାଜରେ ବସିପାରିବେ ।

Question 2.
ନମିତା ପଚାରିଲା, ‘ଯଦି ସେ ପ୍ରତିଦିନ 100 କି.ମି. ଯାତ୍ରା କରିବ, ତେବେ ସେ 10 ବର୍ଷରେ ଚନ୍ଦ୍ରରେ ପହଞ୍ଚିପାରିବ କି ? (ପୃଥ‌ିବୀ ଓ ଚନ୍ଦ୍ର ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା 3,84,400 କି.ମି.)
• ସେ ଏକ ବର୍ଷରେ କେତେ ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିଥାନ୍ତା ?
• ସେ 10 ବର୍ଷରେ କେତେ ଦୂରତା ଯାଇପାରିଥାନ୍ତା ?
Solution:
ପୃଥ‌ିବୀ ଓ ଚନ୍ଦ୍ର ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା = 3,84,400 କି.ମି. ।
1 ଦିନରେ ଯାତ୍ରା କରେ = 100 କି.ମି. ।
1 ବର୍ଷ = 365 ଦିନ ।
। ବର୍ଷରେ ଯାତ୍ରା କରିବ = 100 × 365 = 36,500 କି.ମି. ।
ଚନ୍ଦ୍ରରେ ପହଞ୍ଚିବାକୁ ସମୟ ଲାଗିବ = 3,84,400 ÷ 36500 = 10.5 ବର୍ଷ ।
∴ ସେ 10.5 ବର୍ଷରେ ଚନ୍ଦ୍ରରେ ପହଞ୍ଚିପାରିବ ।
1 ବର୍ଷରେ ସେ ଯାତ୍ରା କରେ = 36,500 କି.ମି. ।
10 ବର୍ଷରେ ସେ ଯାତ୍ରା କରିବ = 36,500 × 10 = 3,65,000 କି.ମି. ।
∴ ସେ 10 ବର୍ଷରେ 3,65,000 କି.ମି. ଯାତ୍ରା କରିବ ।

Question 3.
ଯଦି ତୁମେ ଦିନକୁ 1000 କି.ମି. ଯାତ୍ରା କର, ତେବେ ତୁମେ ଜୀବନକାଳ ମଧ୍ୟରେ ସୂର୍ଯ୍ୟ ପାଖରେ ପହଞ୍ଚି ପାରିବ କି ? ଚିନ୍ତାକରି ଉତ୍ତର ଦିଅ । (ପୂର୍ବ ଅଭ୍ୟାସରେ ପୃଥ‌ିବୀ ଓ ସୂର୍ଯ୍ୟ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ଦିଆଯାଇଛି)
Solution:
ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ଅଭ୍ୟାସ କରନ୍ତୁ ।

Question 4.
ଉପଯୁକ୍ତ କଳ୍ପନା କରି ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।
(a) ଯଦି ଗୋଟିଏ କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦର ଓଜନ 5 ଗ୍ରାମ୍ ହୁଏ, ତେବେ ଏକାଥରକେ ଏକ ଲକ୍ଷ କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦକୁ ତୁମେ ଉଠାଇ ପାରିବ କି ?
Solution:
ଗୋଟିଏ କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦର ଓଜନ = 5 ଗ୍ରାମ୍ ।
1 ଲକ୍ଷ କାଗଜ ଫର୍ଦର ଓଜନ = 1,00,000 × 5 = 5,00,000 ଗ୍ରାମ୍ ।
1 କି.ଗ୍ରା. = 1000 ଗ୍ରାମ୍ । 5,00,000 ଗ୍ରାମ୍ = 5,00,000 ÷ 1000 = 500 କି.ଗ୍ରା. ।
∴ ଜଣେ ସାଧାରଣ ଲୋକ 500 କି.ଗ୍ରା. ଏକାଥରକେ ଉଠାଇ ପାରିବ ନାହିଁ ।

(b) ଯଦି ସାରା ବିଶ୍ଵରେ ପ୍ରତି ମିନିଟ୍‌ରେ 250 ଟି ଶିଶୁ ଜନ୍ମ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ଗୋଟିଏ ଦିନରେ ଏକ ମିଲିୟନ୍ ଶିଶୁ ଜନ୍ମ ହୋଇପାରିବେ କି ?
Solution:
1 ଘଣ୍ଟା = 60 ମିନିଟ୍, 1 ଦିନ = 24 ଘଣ୍ଟା ।
1 ମିନିଟ୍‌ରେ ଜନ୍ମ ନିଅନ୍ତି = 250 ଶିଶୁ ।
1 ଘଣ୍ଟାରେ ଜନ୍ମ ନିଅନ୍ତି = 250 × 60 = 15,000 ଶିଶୁ ।
1 ଦିନରେ ଜନ୍ମ ନିଅନ୍ତି = 15,000 × 24 = 3,60,000 ଶିଶୁ ।
1 ମିଲିୟନ୍ = 10 ଲକ୍ଷ ।
3,60,000 ସଂଖ୍ୟାଟି 1 ମିଲିୟନ୍ (10) ଲକ୍ଷ)ରୁ ସାନ ।
∴ ଗୋଟିଏ ଦିନରେ ଏକ ମିଲିୟନ୍ ଶିଶୁ ଜନ୍ମ ହୋଇପାରିବେ ନାହିଁ ।

(c) ତୁମେ 1 ମିଲିୟନ୍ ମୁଦ୍ରା, ଗୋଟିଏ ଦିନରେ ଗଣିପାରିବ କି ? (ମନେକର, ତୁମେ 1 ସେକେଣ୍ଡରେ 1ଟି ମୁଦ୍ରା ଗଣିପାରୁଛ)
Solution:
1 ଘଣ୍ଟା = 60 ମିନିଟ୍, 1 ମିନିଟ୍ = 60 ସେକେଣ୍ଡ, 1 ଦିନ = 24 ଘଣ୍ଟା ।
1 ସେକେଣ୍ଡରେ ଗଣେ = 1 ମୁଦ୍ରା
1 ମିନିଟ୍‌ରେ ଗଣିବ = 1 × 60 = 60 ମୁଦ୍ରା |
1 ଘଣ୍ଟାରେ ଗଣିବ = 60 × 60 = 3600 ମୁଦ୍ରା ।
1 ଦିନରେ ଗଣିବ = 3600 × 24 = 86,400 ମୁଦ୍ରା ।
1 ମିଲିୟନ୍ = 10 ଲକ୍ଷ ।
86,400 ସଂଖ୍ୟାଟି । ମିଲିୟନ୍ (10 ଲକ୍ଷ)ରୁ ସାନ ।
∴ ଗୋଟିଏ ଦିନରେ ସେ ଏକ ମିଲିୟନ୍ ମୁଦ୍ରା ଗଣିପାରିବ ନାହିଁ ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

Question 1.
0 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ କେବଳ ଥରେ ମାତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି (ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ ‘0’ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ) ଗୋଟିଏ 10 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଗଠନ କର ଓ ଲେଖ, ଯାହା–
(a) 5ର ବୃହତ୍ତମ ଗୁଣିତକ
(b) କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
Solution:
(a) 0 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଥରେ ମାତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା = 9876543210
ସଂଖ୍ୟାର ଡାହାଣପଟେ 0 କିମ୍ବା 5 ଥିଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ ।
ଏଣୁ 9876543210 ସଂଖ୍ୟାଟି 5 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।
∴ 5 ର ବୃହତ୍ତମ ଗୁଣିତକ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଲା 98765432

(b) ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମରେ ଲେଖୁଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ = 0123456789
ଆମେ ଜାଣିଛେ ସଂଖ୍ୟାଟି 0 ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ,
ତେଣୁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେବ = 10223456789
କିନ୍ତୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
ସଂଖ୍ୟାଟିର ଡାହାଣପଟ ସଂଖ୍ୟାଦୁଇଟିକୁ ଅଦଳ ବଦଳ କଲେ ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।
∴ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି = 1023456798

Question 2.
10,30,285 ସଂଖ୍ୟାକୁ ଅକ୍ଷରରେ ‘‘ଦଶ ଲକ୍ଷ ତିରିଶ ହଜାର ଦୁଇ ଶହ ପଞ୍ଚାଅଶୀ’’ ଲେଖାଯାଏ, ଯେଉଁଥରେ 18 ଟି ଅକ୍ଷର ଅଛି । ସର୍ବାଧ‌ିକ ସଂଖ୍ୟକ ଅକ୍ଷର ଥିବା ଗୋଟିଏ 7 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ।
Solution:
10,30,285 = ଦଶ ଲକ୍ଷ ତିରିଶ ହଜାର ଦୁଇ ଶହ ପଞ୍ଚାଅଶୀ (ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା = 18)
ଗୋଟିଏ ସାତ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 77,77,777
77,77,777 = ସତସ୍ତରୀ ଲକ୍ଷ ସତସ୍ତରୀ ହଜାର ସାତ ଶହ ସତସ୍ତରୀ (ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା = 21)

Question 3.
ଏକ 9 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ ଯେଉଁଠାରେ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ଅଙ୍କର ସ୍ଥାନ ପରିବର୍ତ୍ତନ କଲେ ଏକ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ । ଏହିପରି କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ?
Solution:
ମନେକର ଏକ 9 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା = 123456789
ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ଅଙ୍କର ସ୍ଥାନ ପରିବର୍ତ୍ତନ କଲେ ମିଳୁଥିବା ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଟି = 213456789

Question 4.
12345123451234512345 ସଂଖ୍ୟାରୁ 10ଟି ଅଙ୍କ କାଟିଦିଅ, ଯାହାଦ୍ଵାରା ଅବଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଟି ଯଥାସମ୍ଭବ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ?
Solution:
1. ଆମର 20 ଅଙ୍କ ଅଛି ଏବଂ ଆମକୁ 10 ଅଙ୍କ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ, ଯାହାଫଳରେ ଆମ ପାଖରେ 10 ଅଙ୍କ ରହିବ । ପରିମାଣ ସ୍ଵରୂପ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସର୍ବାଧ‌ିକ କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ବାମ ଅଙ୍କକୁ ବଡ଼ କରିବାକୁ ଚାହୁଁଛୁ । ମୂଳସଂଖ୍ୟା = 12 । ପ୍ରଥମ କିଛି ଅଙ୍କ ଛୋଟ । ପ୍ରଥମ ସ୍ଥାନରେ ଏକ ବଡ଼ ଅଙ୍କ ପାଇବା ପାଇଁ ଆମେ ପ୍ରାରମ୍ଭିକ 12345 କୁ କାଟି ପାରିବା ।

2. ପରବର୍ତୀ ଉପରକୁ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରଥମ ପାଞ୍ଚଟି ଅଙ୍କ କାଟିବା ପରେ ଅଛି । 1234512345 ଏବେ ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ 1 । ଯଦି ଆମେ ପ୍ରଥମ ଚାରୋଟି ଅଙ୍କ କାଟିବା, ତେବେ ଅବଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା 5 ସହିତ ଆରମ୍ଭ ହେବ । ଏହା 1 ଅପେକ୍ଷା ଭଲ ।

3. ଏବେ ଆମର ଆରମ୍ଭ ସଂଖ୍ୟା = 5। ଆମେ ଏ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ 4 ଅଙ୍କ କାଟି ସାରିଛେ । 5 ଅଙ୍କ କାଟିବାକୁ ପଡ଼ିବ । ବାକିସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 5123451234512345 । ଆମେ ଚାହୁଁଛୁ ଯେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଙ୍କ ଯଥାସମ୍ଭବ ବଡ଼ ହେଉ । ଆମେ 5 ପରେ 1234 କୁ କାଟିବା, ଯାହା ଫଳରେ ଆମ ପାଖରେ 551234512345 ରହିବ । ଆମେ ଏବେ 4 + 4 = 8 ଅଙ୍କ କାଟି ସାରିଛୁ ।

4. ଆମକୁ ଆଉ 2ଟି ଅଙ୍କ କାଟିବାକୁ ପଡ଼ିବ । ସଂଖ୍ୟାକୁ ଯଥାସମ୍ଭବ ବଳ୍କ କରିବା ପାଇଁ ଆମକୁ 1 କିମ୍ବା 2 କାଟିବା ଉଚିତ । ତେଣୁ 1234 ତା’ପରେ 1234 ଏବଂ 1 ଓ 2 କାଟିବା ପରେ ଅବଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 5534512345

Question 5.
‘Zero’ ଓ ‘One’ ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘e’ ଏବଂ ‘o’ ଅକ୍ଷର ଅଛି । ‘One’ ଏବଂ ‘Two’ ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘o’ ଅକ୍ଷର ଅଛି ଏବଂ ‘two’ ଏବଂ ‘three’ ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘t’ ଅକ୍ଷର ଅଛି । କୌଣସି ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର ସମାନ ନଥାଇ ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା (ଇଂରାଜୀ ବନାନ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ତୁମକୁ କେତେ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣିବାକୁ ପଡ଼ିବ ?
Solution:
ଏଠାରେ ଶବ୍ଦ ‘one’ ଏବଂ ‘two’ରେ ‘o’ ଅକ୍ଷର ଅଛି । two ଏବଂ three ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘t’ ଅକ୍ଷର ଅଛି ।
three ଏବଂ four ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘r’ ଅକ୍ଷର ଅଛି । four ଏବଂ five ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘f’ ଅକ୍ଷର ଅଛି ।
five ଏବଂ six ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘i’ ଅକ୍ଷର ଅଛି । six ଏବଂ seven ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘s’ ଅକ୍ଷର ଅଛି ।
seven ଏବଂ eight ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘e’ ଅକ୍ଷର ଅଛି ।
eight ଏବଂ nine ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘e’,’n’ ଅକ୍ଷର ଅଛି ।
nine ଏବଂ ten ଉଭୟ ଶବ୍ଦରେ ‘n’, ‘e’ ଅକ୍ଷର ଅଛି ।
ଏହା ଦର୍ଶାଉଛି ଯେ, ସମସ୍ତ କ୍ରମାଗତ ସଂଖ୍ୟାରେ ଅତିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ।

Question 6.
ମନେକର ତୁମେ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା 1, 2, 3, 4, 5 ……9, 10, 11 ………………. ଲେଖୁଛି । ତୁମେ ଲେଖୁଥ‌ିବା ଦଶମ ଅଙ୍କଟି ହେଉଛି ‘1’ ଏବଂ ଏକାଦଶ ଅଙ୍କଟି ହେଉଛି ‘0’, ଯାହା ସଂଖ୍ୟା 10 ର ଏକ ଅଂଶ ।
(a) ସେହିପରି ଲେଖୁ ଚାଲିଲେ, 1000 ତମ ଅଙ୍କଟି କ’ଣ ହେବ ? ଏହି ଅକଟି କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାରେ ଥବ ?
(b) କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାରେ ନିୟୁତତମ ଅଙ୍କ ରହିଥ‌ିବ ?
(c) ତୁମେ କେତେବେଳେ ଅଙ୍କ ‘+10,000’ ଏବଂ ‘+100’ ବଟନ୍ ଅଛି ।
Solution:
(a) ଏଠାରେ 1 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅଙ୍କ ହେଉଛି 9ଟି ଅଙ୍କ ।
10 ରୁ 99 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅଙ୍କ = 90 × 2 = 180 ଟି ଅଙ୍କ ।
1 ରୁ 99 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ମୋଟ ଅଙ୍କ = 180 + 9 = 189 ଟି ଅଙ୍କ ।
1000 ତମ ଅଙ୍କ ପାଇବାକୁ ବାକିଥିବା ଅଙ୍କ = 1000 – 189 = 811
ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା = \(\frac{811}{3}\) = 270 ପଡ଼ି 1 ବଳିଲା ।
ପ୍ରଥମ 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 100 ।
270 ତମ 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଟି = 100 + 270 – 1 = 369 ।
ପରବର୍ତୀ ସଂଖ୍ୟାଟି ହେଉଛି 370 ।
ତେଣୁ 370 ର ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କଟି 3 ଯାହା 1000 ତମ ଅଙ୍କଟି ହେବ ।

(b)

• ଏକ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ (1 – 9) ସଂଖ୍ୟା = 9 ଟି ଅଙ୍କ ।
• ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ( 10 – 99) ସଂଖ୍ୟା = 90 × 2 = 180ଟି ଅଙ୍କ ।
  ମୋଟ ଅଙ୍କ = 9 + 180 = 189 ଟି ଅଙ୍କ ।
• ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ (100 – 999) ସଂଖ୍ୟା = 900 × 3 = 2700ଟି ଅଙ୍କ ।
  ମୋଟ ଅଙ୍କ = 189 + 27000 = 2889 ଟି ଅଙ୍କ ।
• ଚାରି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ (1000 – 9999) ସଂଖ୍ୟା = 9000 × 4 = 36000ଟି ଅଙ୍କ ।
  ମୋଟ ଅଙ୍କ = 2889 + 36000 = 38,889 ଟି ଅଳ୍ପ ।
• ପାଞ୍ଚ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ (1000 – 99999) ସଂଖ୍ୟା = 90000 × 5 = 4,50,000ଟି ଅଙ୍କ ।
  ମୋଟ ଅଙ୍କ = 4,50,000 + 38,889 = 4,88,889 ଟି ଅଙ୍କ ।
• ଏବେ, ଆମକୁ 6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଆବଶ୍ୟକ ।
  1,000,000 – 4,88,889 = 5,11,111 ଟି ଅଳ୍ପ ବାକି ।
  ପ୍ରତ୍ୟେକ 6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାରେ ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 6
  511111 ÷ 6 = 85,185 ପଡ଼ି 1 ବଳିଲା ।
  ତେଣୁ ନିୟୁତତମ ଅଙ୍କଟି ହେଉଛି 85,185, 6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ ।
  ତେଣୁ ପ୍ରଥମ 6 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା = 1,00,000 + 85,185 – 1 = 1,85,185
• ନିୟୁତ ତମ ସଂଖ୍ୟା ଏହି ସଂଖ୍ୟା 1,85,185ରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

(c)

• ଏକ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା (1 – 9) କେବଳ ଥରେ ଲେଖାଏଁ
  ‘5’ ଆସୁଥିବା ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା = 1 ଥର ।
• ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ (10 – 99) ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ‘5’ ଆସୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 19 ଥର ।
  ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା = 1 + 19 = 20 ଥର ।
• ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ (100 – 999) ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ‘5’ ଆସୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 280 ଥର ।
  ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା = 280 + 20 = 300
• ଚାରି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ (1000 – 9999) ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ‘5’ ଆସୁଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟା = 3700 ଥର ।
  ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା = 300 + 3700 = 4000
• ସଂଖ୍ୟା 1000 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି 5000 ତମ ପାଇଁ ଆମକୁ ଆବଶ୍ୟକ 5000 – 4000 = 1000ଟି ‘5’ ଯାହା 10,001 – 10,999 ମଦ୍ୟରେ ଆସିବ ।
• (10,000 – 10,999) ମଧ୍ୟରେ ଏକ ଅଙ୍କରେ ‘5’ ଆସୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା 100 (ଉଦାହରଣ – 10,005, 10,015, ……..)
  ଦଶକ ଅଙ୍କରେ ‘5’ ଆସୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 100
  (10,500 – 10,599) ଶତକ ଅଙ୍କରେ ‘5’ ଆସୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 100
  ଏବେ ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା (ଯଥା – 10,500 – 10,599) 4000 + 300 = 4300
  (11,000 – 11,999) ମଧ୍ୟରେ
  ଏକକ ଅଙ୍କରେ ‘5’ ଆସୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 100
  ଦଶକ ଅଙ୍କରେ ‘5’ ଆସୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 100
  ଶତକ ଅଙ୍କରେ ‘5’ ଆସୁଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 100
  ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା = 4300 + 300 = 4600
  (12,000 – 12,999) ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ‘5’ ଆସୁଥ‌ିବା ସଂଖ୍ୟା = 4600 + 300 = 4900
  (13,000 – 13,99) ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ = 20 ଥର ମୋଟ = 4920
  13,100 – 13, 199 ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ = 20 ଥର ମୋଟ = 4940
  13,200 – 13, 299 ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ = 20 ଥର ମୋଟ = 4960
  13,300 – 13, 399 ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ = 20 ଥର ମୋଟ = 4980
  13,400 – 13, 495 ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ଯରେ = 20 ଥର ମୋଟ = 5000

Question 7.
ଗୋଟିଏ କାଲକୁଲେଟର୍‌ର କେବଳ ‘+10,000’ ଏବଂ ‘+100’ ବଟନ୍ ଅଛି । ନିମ୍ନଲିଖତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ କେତେଥର କେଉଁ ବଟନ୍ ଦବାଉଛ, ତା’ର ଏକ ପରିପ୍ରକାଶ ଲେଖ ।
(a) 20,800
(b) 92,100
(c) 1,20,500
(d) 65,30,000
(e) 70,25,700
Solution:
(a) 20,800 (2 × 10,000) + (8 × 100) ବଟନ ଦବାଇବା = 2 + 8 = 10 ଥର ।
(b) 92,100 = (9 × 10,000) + (21 × 100) ବଟନ ଦବାଇବା = 9 + 21 = 30 ଥର ।
(c) 1,20,500 (12 × 10,000) + (5 × 100) ବଟନ ଦବାଇବା = 12 + 5 = 17 ଥର ।
(d) 65,30,000 (653 × 10,000) ବଟନ ଦବାଇବା = 653 ଥର ।
(e) 70,25,700 = (702 × 10,000) + (57 × 100) ବଟନ ଦବାଇବା = 702 + 57 = 759 ଥର ।

Question 8.
କେତେ ଲକ୍ଷରେ ଏକ ବିଲିୟନ୍ ହୁଏ ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛେ 1 ଲକ୍ଷ = 1,00,000
1 ବିଲିୟନ୍ = 1,000,000,000
1,000,000,000 ÷ 1,00,000 = 10,000
∴ 10,000 ଲକ୍ଷରେ ଏକ ବିଲିୟନ୍ ହୁଏ ।

Question 9.
1 ରୁ 9 ଥିବା ଦୁଇ ସେଟ୍ ସଂଖ୍ୟା କାର୍ଡ଼ ତୁମକୁ ଦିଆଯାଇଛି । ତଳେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଠରୀରେ ସେଥୁରୁ ଏପରି ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ କାର୍ଡ଼ ରଖ ଯେପରି –
(a) ସୃଷ୍ଟି ହୋଇଥବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବାଧ‌ିକ ହେବ ।
(b) ଗଠିତ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସର୍ବନିମ୍ନ ବିୟୋଗଫଳ ହେବ ।

Solution:
(a) ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବାଧ‌ିକ ହେବ,
ଅର୍ଥାତ୍ 7 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଓ 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ବୃହତ୍ତମ ହେବ ।
7 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା = 98,76,543
5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା = 98.765
ଯୋଗକଲେ = 98,76,543 + 98,765 = 99,75,308

(b) ଗଠିତ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ସମ୍ଭାବ୍ୟ ବିୟୋଗଫଳ ସର୍ବନିମ୍ନ ହେବ; ଅର୍ଥାତ୍ 7 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଗଠିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ହେବ ଓ ପାଞ୍ଚ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଗଠିତ ସଂଖ୍ୟା ବୃହତ୍ତମ ହେବ ।
7 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା =12, 34, 567
5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତମ ସଂଖ୍ୟା = 98,765
ବିୟୋଗ କଲେ = 12,34,567 – 98,765 = 11,35,802

Question 10.
ତୁମକୁ କିଛି ସଂଖ୍ୟା କାର୍ଡ଼ ଦିଆଯାଇଛି । 4000, 13000, 300, 70000, 150000, 20, 5 । କାର୍ଡ଼ଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ତୁମେ ଚାହୁଁଥୁବା ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଅନୁସାରେ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ନିକଟତର ହୁଅ । (ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ତିଆରି କରିବା ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କାର୍ଡ଼କୁ କେବଳ ଥରେ ବ୍ୟବହୃତ କରିପାରିବା ।)

ଯେପରି –
(a) 1,10,000 4000 × (20 + 5) + 13000 = 1,13,000
(b) 2,00,000
(c) 5,80,000
(d) 12,45,000
(e) 20,90,800
Solution:
(a) 1,10,000 = 70,000 + (4,000 × 5) + 13,000
= 70,000 + 20,000 + 13,000 = 1,03,000

(b) 2,00,000 = 1,50,000 + 70,000 – 4,000 × 5
= 1,50,000 + 70,000 – 20,000 = 2,00,000

(c) 5,80,000 = 70,000 × 5 + 1,50,000 + 4,000 × 20
= 3,50,000 + 1,50,000 + 80,000 = 5,80,000

(d) 12,45,000 = 70,000 × 20 – 1,50,000 – 4,000 – 300 × 3
= 14,00,000 – 1,50,000 – 4,000 – 1,500 = 12,44,500

(e) 20,90,800 = 13,000 × 300 – 70,000 (20 + 5) – 1,50,000 + 4,000
= 39,00,000 – 17,50,000 – 1,50,00 + 4,000 = 20,04,000

Question 11.
‘ଷ୍ଟାଚ୍ୟୁ ଅଫ୍ ୟୁନିଟ୍’ ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ମୁଦ୍ରା ସ୍ତମ୍ଭ ସୃଷ୍ଟି କରିବା ପାଇଁ କେତୋଟି ମୁଦ୍ରା ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ? ମନେକର ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୁଦ୍ରାର ମୋଟେଇ 1 ମି.ମି. ।
Solution:
ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରାର ମୋଟେଇ = 1 ମି.ମି. ।
1 ମିଟର = 1000 ମି.ମି. ।
ଷ୍ଟାଚ୍ୟୁ ଅଫ୍ ୟୁନିଟ୍‌ର ଉଚ୍ଚତା = 180 ମିଟର = 180 × 1000 = 1,80,000 ମି.ମି. ।
1 ମି.ମି. = 1ଟି ମୁଦ୍ରା ।
1,80,000 ମି.ମି. = 1,80,000 ÷ 1 1,80,000ଟି ମୁଦ୍ରା ।
∴ ‘ଷ୍ଟାଚ୍ୟୁ ଅଫ୍ ୟୁନିଟ୍’ ଉଚ୍ଚତା ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ମୁଦ୍ରା ସ୍ତମ୍ଭ ସୃଷ୍ଟି କରିବା ପାଇଁ 1,80,000ଟି ମୁଦ୍ରା ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ।

Question 12.
ଧୂସର ମୁଣ୍ଡଥିବା ଏକ ପ୍ରକାର ସାମୁଦ୍ରିକ ପକ୍ଷୀ ‘ଆଲ୍‌ବାଟ୍ରୋସ୍’ ଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରାୟ 7 ଫୁଟ ଓସାରର ଡେଣା ଥାଏ । ସେମାନେ ସମୁଦ୍ରରେ ଏକ ସ୍ଥାନରୁ ଅନ୍ୟ ସ୍ଥାନକୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତର କରିବାରେ ଜଣାଶୁଣା । ଆଲ୍‌ବାଟ୍ରୋସ୍‌ଗୁଡ଼ିକ ଦିନକୁ ପ୍ରାୟ 900 – 1000 କି.ମି. ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯାଇପାରନ୍ତି । ରେକର୍ଡ଼ ହୋଇଥବା ଦୀର୍ଘତମ ଏକକ ଯାତ୍ରା ହେଉଛି ପ୍ରାୟ 12,000 କି.ମି. । ତେବେ ଏପରି ଯାତ୍ରା କରିଲେ ପ୍ରଶାନ୍ତ ମହାସାଗର ଅତିକ୍ରମ କରିବାପାଇଁ ପ୍ରାୟ କେତେଦିନ ଲାଗିବ ?
Solution:
ସମୁଦାୟ ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ = 12,000 କି.ମି. ।
ପକ୍ଷୀଟି ଗୋଟିଏ ଦିନରେ ଯାଏ 900 – 1000 କି.ମି. ।
ଯଦି ପକ୍ଷୀଟି ଗୋଟିଏ ଦିନରେ ୨୦୦ କି.ମି. ଯାଏ ତେବେ 12,000 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ ଲାଗିବ = 12,000 ÷ 900 = 13.3 ଦିନ ।
ଯଦି ପକ୍ଷୀଟି ଗୋଟିଏ ଦିନରେ 1000 କି.ମି. ଯାଏ ତେବେ 12,000 କି.ମି. ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ ଲାଗିବ = 12,000 ÷ 1000 = 12 ଦିନ ।
∴ ପକ୍ଷୀଟିକୁ ପ୍ରଶାନ୍ତ ମହାସାଗର ଅତିକ୍ରମ କରିବାପାଇଁ ପ୍ରାୟ 12 – 14 ଦିନ ସମୟ ଲାଗିବ ।

Question 13.
ଫ୍ଲେମିଙ୍ଗା ପକ୍ଷୀ ପ୍ରତିବର୍ଷ ଶୀତଋତୁରେ ସାଇବେରିଆ ଅଞ୍ଚଳରୁ ଚିଲିକାକୁ ଆସିଥାନ୍ତି । ତାକୁ ସାଇବେରିଆରୁ ଚିଲିକାକୁ ଅବିରତ ଯାତ୍ରା କରିବାରେ 13,560 କି.ମି. ପଥ ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ ପଡ଼ିଥାଏ । ଏହାର ଯାତ୍ରା 13 ଅକ୍ଟୋବର, 2022 ଠାରୁ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ 11 ଦିନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଚାଲିଲା । ତେବେ ଏହାର ପ୍ରତିଦିନ ଅତିକ୍ରମ କରିଥିବା ଦୂରତା ଏବଂ ପ୍ରତି ଘଣ୍ଟାରେ ଅତିକ୍ରମ କରିଥୁବା ଦୂରତା ନିଶ୍ଚୟ କର ।

Solution:
ପକ୍ଷୀଟି 11 ଦିନରେ ଅତିକ୍ରମ କରେ 13,560 କି.ମି. ।
ଗୋଟିଏ ଦିନରେ ଅତିକ୍ରମ କରେ = 13,560 ÷ 11 = 1233 କି.ମି. ।
1 ଦିନ = 24 ଘଣ୍ଟା ।
24 ଘଣ୍ଟାରେ ଯାଏ = 1233 କି.ମି. ।
1 ଘଣ୍ଟାରେ ଯିବ = 1233 ÷ 24 = 51.36 କି.ମି. ବା 51 କି.ମି. । ।
∴ ତେବେ ପକ୍ଷୀଟି ପ୍ରତିଦିନ 1233 କି.ମି. ଓ ପ୍ରତି ଘଣ୍ଟାରେ 51 କି.ମି. ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିବ ।

Question 14.
ଶଙ୍ଖଚିଲ ପକ୍ଷୀ ଭୂମିସ୍ତରରୁ 4500 – 6000 ମିଟର ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଉଡ଼ିପାରନ୍ତି । ଦେଓମାଳି ପର୍ବତ ହେଉଛି 1672 ମିଟର ଉଚ୍ଚ । ଉଡ଼ାଜାହାଜ 10,000 – 12,800 ମିଟର ଉଚ୍ଚତା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଉଡ଼ିପାରେ । ସୋମୁଙ୍କ କୋଠା ତୁଳନାରେ ଏହି ଉଚ୍ଚତାଗୁଡ଼ିକ କେତେ ଗୁଣ ବଡ଼ ?

Solution:
ସୋମୁଙ୍କ ନୋଠାଘରର ଉଚ୍ଚତା = 40 ମିଟର ।
ଶଙ୍ଖଚିଲ ଭୂମିସ୍ତରରୁ 4500 – 6000 ମିଟର ଉଡ଼ିପାରେ ।
ସର୍ବନିମ୍ନ ଦୂରତାକୁ ହିସାବକୁ ନେଲେ = 4500 ÷ 40 = 112.5 ଗୁଣ ।
ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଦୂରତାକୁ ହିସାବକୁ ନେଲେ = 6000 ÷ 40 = 150 ଗୁଣ ।
∴ ସୋମୁଙ୍କ କୋଠାଠାରୁ ଶଙ୍ଖଚିଲର ଉଡ଼ିବା ପ୍ରାୟ 112 ରୁ 150 ଗୁଣ ଅଧିକ ।
ଦେଓମାଳି ପର୍ବତର ଉଚ୍ଚତା = 1672 ମିଟର ।
1672 ÷ 40 = 41.8 ବା 42 ଗୁଣ ।
∴ ଦେଓମାଳି ପର୍ବତ ସୋମୁର କୋଠାଠାରୁ 42 ଗୁଣ ବଡ଼ ।
ଉଡ଼ାଜାହାଜ 10,000 – 12,800 ମିଟର ଉଚ୍ଚତା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଉଡ଼ିପାରେ ।
ସର୍ବନିମ୍ନ ଦୂରତାକୁ ହିସାବକୁ ନେଲେ = 10,000 ÷ 40 = 250 ଗୁଣ ।
ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଦୂରତାକୁ ହିସାବକୁ ନେଲେ = 12,800 ÷ 40 = 320 ଗୁଣ ।
∴ ସୋମୁଙ୍କ କୋଠା ଅପେକ୍ଷା ପ୍ରାୟ 250 – 320 ଗୁଣ ଅଧ‌ିକ ଉଚ୍ଚରେ ଉଡ଼ାଜାହାଜଟି ଉଡୁଥଲା ।

Students can use Class 8 Math Solution Odia Medium and Class 8 Maths Chapter 1 Question Answer Odia Medium ବର୍ଗ ଓ ଘନ to check their answers after solving exercises.

8th Class Maths Chapter 1 Question Answer Odia Medium

Class 8 Maths Chapter 1 Odia Medium

Page No. 1

Question 1.
ପ୍ରକ୍ରିୟା ଆରମ୍ଭ ହେବା ପୂର୍ବରୁ ଖୋଇନାମ ଜାଣିପାରିଥିଲେ ଯେ ଶେଷରେ କେଉଁ ଲକରଗୁଡ଼ିକ ଖୋଲା ରହିବ । ସେ କିପରି ଜାଣିପାରିଲେ?
Solution:
ଯଦି କୌଣସି ଲକରକୁ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଥର ଖୋଲାଯାଏ ବନ୍ଦ କରାଯାଏ, ତେବେ ଏହା ଖୋଲା କିମ୍ବା ବନ୍ଦ ରହିବ । ଏକ ଲକରକୁ ବନ୍ଦ ବା ଖୋଲାଯିବାର ସଂଖ୍ୟା ଲକର ନମ୍ବରର ଗୁଣନୀୟକର ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ସମାନ । ମନେକର ଲକରକୁ 6 ଥର ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ବ୍ୟକ୍ତି ଖୋଲନ୍ତି, ଦ୍ଵିତୀୟ ବ୍ୟକ୍ତି ଏହାକୁ ବନ୍ଦ କରନ୍ତି, ତୃତୀୟ ବ୍ୟକ୍ତି ଏହାକୁ ଖୋଲନ୍ତି ଏବଂ ଷଷ୍ଠ ବ୍ୟକ୍ତି ଏହାକୁ ବନ୍ଦ କରନ୍ତି । 1, 2, 3 ଓ 6 ପ୍ରତ୍ୟେକ ରେ ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ଗୁଣନୀୟକ । ଯଦି ଗୁଣନୀୟକ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ, ତେବେ ଲକରକୁ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଲୋକଙ୍କଦ୍ୱାରା ଖୋଲା ବା ବନ୍ଦ କରିହେବ ଏବଂ ଶେଷରେ ଏହା ବନ୍ଦ ରହିବ।
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୁର୍ଣନୀୟକର ଏକ ‘ସହଭାଗୀ ଗୁଣନୀୟକ’ ଥାଏ, ଯେଉଁ ଦୁଇଟିର ଗୁଣଫଳ ସଂଖ୍ୟାଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇଥାଏ ।
6 = 1 × 6 = 2 × 3
ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ : 1, 2, 3 ଏବଂ 6।

Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ କି?
Solution:
ନା, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକ ଗୁଣନୀୟକ ନ ଥାଏ । ଉଦାହରଣ : 1, 4, 9
1 = 1 × 1
ଏକମାତ୍ର ଗୁଣନୀୟକ
ହେଉଛି ।
4 = 1 × 4 = 2 × 2
ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ
1, 2 ଏବଂ 4
9 = 1 × 9 = 3 × 3
ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ
1, 3 ଏବଂ 9
କେତେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, 2 × 2 ଭଳି ଯୋଡ଼ିରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ସମାନ।

Page No. 2

Question 1.
ଉପରୋକ୍ତ ତଥ୍ୟକୁ ଆଧାର କରି ତୁମେ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥିବା ଅଧିକ କିଛି ସଂଖ୍ୟା ପାଇବ କି?

Solution:
ହଁ । 36ରେ ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ଯୋଡ଼ି ହେଉଛି 6 × 6 ଅଛି, ଯେଉଁଠାରେ ଉଭୟ ସଂଖ୍ୟା 6 ଅଟେ । ଯଦି 6 ବ୍ୟତୀତ 3 ରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗୁଣନୀୟକର ଏକ ଭିନ୍ନ ସହଭାଗୀ ଗୁଣନୀୟକ ଅଛି, ତେବେ କହିବା 36 ରେ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଅଛି ।
ନିମ୍ନଲିଖୂତ ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଅଛି : 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4,…..
କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାକୁ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଗୁଣିଲେ, ଗୁଣଫଳକୁ ଉକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ବା ଏକ ‘ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା’ କୁହାଯାଏ।
କେବଳ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ, କାରଣ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରତ୍ୟେକର ଏକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ, ଯାହାର ବର୍ଗ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ । ତେଣୁ, ଯେଉଁ ଲକରର ସଂଖ୍ୟା ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା, ତାହା ଖୋଲା ରହିବ ।

Page No. 3

Question 1.
ଖୋଲାଥିବା ଲକର ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଲେଖ।
Solution:
1, 4, 9,…………….

Question 2.
ଖୋଇନାମ୍ ସଙ୍ଗେସଙ୍ଗେ ଏହି 10ଟି ଲକରରୁ ଶବ୍ଦ ସୂଚନା ସଂଗ୍ରହ କଲେ ଓ ବୁଝିପାରିଲେ।
ଠିକ୍ ଦୁଇଥର ଛୁଆଁ ଯାଇଥିବା ପ୍ରଥମ ପାଞ୍ଚୋଟି ଲକର ସଂଖ୍ୟାର ନାମ କୁହ ।
କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ଏହି ପାଞ୍ଚୋଟି ଲକର?
Solution:
ପାଞ୍ଚଟି ଲକର୍ ସଂଖ୍ୟା ହେଲା 2, 3, 5, 7 ଓ 11 । ଯେଉଁ ଲକରଗୁଡ଼ିକ କେବଳ ଦୁଇଥର ଖୋଲା ବା ବନ୍ଦ ହୋଇଛି ତାହା ହେଉଛି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା, କାରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୌଳିକସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନୀୟକ ହେଉଛି 1 ଓ ସେହି ସଂଖ୍ୟା । ତେଣୁ କୋଡ୍ ହେଉଛି 2-3-5-7-11।

1.1 ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା (Square Numbers)

Page No. 4

Question 1.
ପ୍ରଥମ 30ଟି ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରି ନିମ୍ନ ସାରଣୀଟିକୁ ପୂରଣ କର । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)

Solution:

12 = 1	112 = 121	212 = 441
22 = 4	122 = 144	222 = 484
32 = 9	132 = 169	232 = 529
42 = 16	142 = 196	242 = 576
52 = 25	152 = 225	252 = 625
62 = 36	162 = 256	262 = 676
72 = 49	172 = 289	272 = 729
82 = 64	182 = 324	282 = 784
92 = 81	192 = 361	292 = 841
102 = 100	202 = 400	302 = 900

Question 2.
ତୁମେ ଏଠାରେ କେଉଁ ପ୍ରକାରର ସଂରଚନା ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଅଛ? ଅନ୍ୟମାନଙ୍କ ସହିତ ଆଲୋଚନା କର ଓ ଅନୁଧାରଣ କର।
Solution:
ଏହି ସଂରଚନାରୁ ଆମେ ଜାଣିଲୁ, ଦୁଇଟି ପାଖାପାଖୁ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା।
ତା’ର ପରବର୍ତୀ ପୂର୍ବ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା ଦୁଇଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ।
ଉଦାହରଣ : 1² = 1
2² = 1 + 3 = 4
3² = 1 + 3 + 5 = 9
4² = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
5² = 16 + 9 = 25
6² = 25 + 11 = 36
7² = 36 + 13 = 49
………………………………….
………………………………….
………………………………….
28² = 729 + 55 = 784
29² = 784 + 57 = 841
30² = 841 + 59 = 900

Question 3.
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ କେଉଁସବୁ ଅଙ୍କ ଅଛି?
Solution:
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 0, 1, 4, 5, 6 କିମ୍ବା 9 ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ରହିଥାଏ । 2, 3, 7 କିମ୍ବା 8 କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନ ଅଙ୍କ ହୋଇ ନ ଥାଏ ।

Question 4.
ଏକକ ସ୍ଥାନର 0, 1, 4, 5, 6 କିମ୍ବା 9 ଥିଲେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସଂଖ୍ୟାଟି ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ କି ?
Solution:
ନା, ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 0, 1, 4, 6 କିମ୍ବା ୨ ଥୁଲେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସଂଖ୍ୟାଟି ପୂର୍ବବର୍ଗ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ଉଦାହରଣ 16 ଓ 36 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 6 ଅଛି ଓ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱୟ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା । ମାତ୍ର 26 ଓ 46 ର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 6 ଥିଲେ ମଧ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵୟ ପୂର୍ବବର୍ଗ ନୁହଁନ୍ତି ।

Question 5.
5ଟି ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ, ଯାହାର ଏକକ ଅଙ୍କକୁ ଦେଖ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବ ଯେ ସେମାନେ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହନ୍ତି?
Solution:
5 ଟି ସଂଖ୍ୟା 12, 32, 153, 4508, ଓ 9057
ଏଗୁଡ଼ିକର ଏକକ ଘରେ 2, 3, 7, 8 ଥିଲେ ଏମାନେ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହଁନ୍ତି ।
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 1 କିମ୍ବା 9 ଥାଏ, ତେବେ ତାହାର ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘର 1 ହୋଇଥାଏ।
6 ରେ ଶେଷ ହେଉଥ‌ିବା ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ : 16 = 4², 36 = 6², 196 = 14², 256 = 16², 576 = 24² ଏବଂ 676 = 26²

Page No. 5

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 6 ରହିବ?
(i) 38²
(ii) 34²
(iii) 46²
(iv) 56²
(v) 74²
(vi) 82²
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛେ, ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନର ଅଙ୍କଟି 4 ଓ 6 ଥାଏ, ତେବେ ତାହାର ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 6 ରହିବ।
ତେଣୁ (ii) 34² (iii) 46² (iv) 56² (v) 74² ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ 6 ରହିବ।

Question 2.
ପୂର୍ବରୁ ତୁମେ ପୂରଣ କରିଥିବା ସାରଣୀରୁ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟକରି ଏହିପରି ଅଧିକ ସଂରଚନା ଖୋଜ।
Solution:
ଆମେ ପୂରଣ କରିଥିବା ସାରଣୀରୁ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟକରି ଜାଣିଲୁ ଯେ-
(1) ଯଦି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 3 ଓ 7 ଥାଏ, ତେବେ ତାହାର ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 9 ରହିବ।
(2) ଯଦି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 2 ଓ ୫ ଥାଏ, ତେବେ ତାହାର ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 4 ରହିବ।
(3) ଯଦି କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 5 ଥାଏ, ତେବେ ତାହାର ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 5 ରହିବ।
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ସଂଖ୍ୟା ଓ ସେମାନଙ୍କର ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କର।

Question 3.
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ 3ଟି ଶୂନ ଥାଏ, ତେବେ ତା’ର ବର୍ଗର ଶେଷରେ କେତୋଟି ଶୂନ ରହିବ?
Solution:
ଯଦି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ 3ଟି ଶୂନ ଥାଏ, ତେବେ ତା’ର ବର୍ଗର ଶେଷରେ ଟି ଶୂନ ରହିବ ।
ଉଦାହରଣ – 1000² = 1000000

Question 4.
ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଥ‌ିବା ଶୂନମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ତାହାର ବର୍ଗର ଶେଷରେ ଥିବା ଶୂନମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ବିଷୟରେ ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ? ଏପରି ସବୁବେଳେ ହୋଇଥାଏ କି? ଆମେ କହିପାରିବା କି ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକର ଶେଷରେ କେବଳ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ ରହିବ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଯେ, ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଯେତୋଟି ଶୂନ ଥିବ ତା’ର ବର୍ଗର ଶେଷରେ ତା’ର ଦୁଇଗୁଣ ଶୂନ ରହିବ। ହଁ, ଏହା ସବୁବେଳେ ସମ୍ଭବ। ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକର ଶେଷରେ କେବଳ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ ରହିବ।

Question 5.
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ତା’ର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କ ବିଷୟରେ ତୁମେ କ’ଣ କହିପାରିବ?
Solution:
ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ଗୁଣନ କଲେ ଆମେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ପାଇପାରିବା।

Question 6.
କ୍ରମିକ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପାର୍ଥକ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ଖୋଜିବା । ତୁମେ କ’ଣ ଲଧ୍ୟ କରୁଛ?
Solution:
ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ-
4 – 1 = 3, 9 – 4 = 5, 16 – 9 = 7, 25 – 16 = 9

1 = 1 = 1²
1 + 3 = 4 = 2²
1 + 3 + 5 = 9 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6²

Page No. 6

Question 1.
ଏହି ସଂରଚନା ଆଧାରରେ 36² ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । 35² = 1225।
Solution:
ପ୍ରଶ୍ନରୁ ଆମେ ଜାଣୁଛୁ ଯେ, 1225 ହେଉଛି ପ୍ରଥମ 35ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ।
36² ର ମୂଲ୍ୟ ଜାଣିବା ପାଇଁ ଆମକୁ 1225 ରେ 36 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଯୋଗ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ।
ଅର୍ଥାତ୍ 1225 + 71 = 1296 (36 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 71)।

Question 2.
ତୁମେ 36 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କିପରି ପାଇବ?
Solution:
ପ୍ରଥମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 1 – 1 = 1
ଦ୍ଵିତୀୟ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 2 – 1 = 3
ତୃତୀୟ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 3 – 1 = 5
ଚତୁର୍ଥ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 4 – 1 = 7
ପଞ୍ଚମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 5 – 1 = 9
ଷଷ୍ଠ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 6 – 1 = 11
ଏହି କ୍ରମଟିକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇଲେ ଆମେ ପାଇବା 36 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 36 – 1 = 71

Question 3.
n ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ହେବ?
Solution:
n ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2n – 1 (‘n’ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା)
ତେଣୁ 36 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 36 – 1 = 72 – 1 = 71

Question 4.
ଏପରି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ନେବା ଯାହା ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇ ନଥୁବ।
Solution:
ମନେକର ସଂଖ୍ୟାଟି = 38, ଏଥୁରୁ 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମାଗତ ଭାବେ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବିୟୋଗ କଲେ,
38 – 1 = 37, 37 – 3 = 34, 34 – 5 = 29, 29 – 7 = 22, 22 – 9 = 13, 13 – 11 = 2, 2 – 13 = -11
ଏଥୁରୁ ଆମେ ଜାଣିଲେ, 38 କୁ 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା ନାହିଁ । ଯଦି ଗୋଟିଏ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାକୁ ।
ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ, ତେବେ ତାହା ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ।

Page No. 7

Question 1.
1 ରୁ 100 ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି ? 101 ରୁ 200 ମଧ୍ଯରେ କେତୋଟି ଅଛି ? ତୁମେ ପୂର୍ବରୁ ପୂରଣ କରିଥବା ବର୍ଗଗୁଡ଼ିକର ସାରଣୀ ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରତ୍ୟେକ 100ର ସଂଭାଗରେ କେତୋଟି ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା ଅଛି ଗଣି ଲେଖ । 1000 ରୁ କମ୍ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଟି କିଏ?

Solution:

1000 ରୁ କମ୍ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଟି = 961

Question 2.
ତୁମେ ତ୍ରିଭୁଜାକାର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଆଗକୁ ବଢ଼ାଅ ଓ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ କିଛି ସମ୍ପର୍କ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରୁଛ କି? ଏହି ସଂରଚନାକୁ କେତେ ହେବ ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଅ।

Solution:

Question 3.
ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 49 ବର୍ଗ ସେ.ମି.। ଏହାର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛୁ 7 × 7 = 49, କିମ୍ବା 7² = 49
ତେଣୁ 49 ବର୍ଗ ସେ.ମି. କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 7 ସେ.ମି.। ଆମେ 7 କୁ 49 ର ବର୍ଗମୂଳ କହୁ ।

Page No. 8

Question 1.
64 ର ବର୍ଗମୂଳ କେତେ?
Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛୁ 8 × 8 = 64 ।
ତେଣୁ 8 ହେଉଛି 64 ର ବର୍ଗମୂଳ ।
ସେହିପରି (–8) × (–8) = 64
(-8)² = 64
∴ 8² = 64 ଓ (-8)² = 64
∴ 64 ର ବର୍ଗମୂଳଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି +8 ଓ –8।

Question 2.
ମନେକର, 576 କିମ୍ବା 327 ଭଳି ସଂଖ୍ୟା, ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା କି ନୁହେଁ କିପରି ଜାଣିବା ? ଯଦି ଏହା ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା, ତେବେ ଆମେ ଏହାର ବର୍ଗମୂଳ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା?
Solution:
576 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ନେଲେ,
576 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (3 × 3)
ଏଠାରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟାର ଚାରିଯୋଡ଼ି ଅଟେ । ଏଠାରେ କୌଣସି ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ବଳକା ନାହିଁ । ତେଣୁ 576 ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ।
∴ \(\sqrt{576}=\sqrt{2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 5^2}\)
= 2 × 2 × 2 × 3
= 24
ସେହିପରି, 327 = 3 × 109
ଏହା ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।

Question 3.
ଆମେ ସମସ୍ତ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ କ୍ରମରେ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରିପାରିବା ଏବଂ 576 ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି କି ନାହିଁ ତାହା ଜାଣିପାରିବା ।
Solution:
20² = 400, 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576
ମାତ୍ର ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟା ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହେବ ନାହିଁ ।

Question 4.
1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ଭାବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା। ଉଦାହରଣ : √81
Solution:
ମନେକର √81
81 – 1 = 80, 80 – 3 = 77, 77 – 5 = 72, 72 – 7 = 65, 65 – 9 = 56, 56 – 11 = 45, 45 – 13 = 32, 32 – 15 = 17, 17 – 17 = 0
81 ରୁ ଆମେ 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି କ୍ରମାଗତ ଭାବେ ୨ ଥର ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କରିବା ପରେ ଆମେ 0 ପାଇଲୁ ।
ତେଣୁ √81 = 9

Page No. 9

Question 1.
ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବ ସଂଖ୍ୟାକୁ ତା’ ନିଜ ସହିତ ଗୁଣନ କଲେ ଏକ ପୂର୍ଷ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ମିଳିଥାଏ । ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏହାର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ, ଏହା ପୂର୍ବବର୍ଗ କି ନୁହେଁ, ଜାଣିବା ସହଜ ହେବ କି?
Solution:
ହଁ, ଯଦି ଆମେ ସଂଖ୍ୟାଟିର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ସମାନ ଯୋଡ଼ି ସଂଖ୍ୟାରେ ଭାଗକରିବା, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭାଗର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ହଁ, ସଂଖ୍ୟାଟିର ବର୍ଗମୂଳ ହୋଇଥାଏ । ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାଟି ସହଜ ହୋଇଥାଏ ।

Question 2.
324 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ କି?
Solution:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
ଏହାକୁ ନିମ୍ନମତେ ଭାଗ ଭାଗ କରିପାରିବା ।
324 = (2 × 3 × 3) × (2 × 3 × 3) = (2 × 3 × 3)² = 18²
ଆମେ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଡ଼ିରେ ଲେଖୁଲେ,
\(\sqrt{324}=\sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}=\sqrt{(2 \times 3 \times 3)^2}\) = 18
∴ 324 ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା।

Question 3.
156 ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ କି?
Solution:
156 କୁ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ,
156 = 2 × 2 × 3 × 13
ଆମେ ଏହି ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଡ଼ିରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା ନାହିଁ ।
ତେଣୁ, 156 ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ନୁହେଁ ।

Question 4.
ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ନିଷ୍କ୍ରିୟ କରି 1156 ଏବଂ 2800 ପୂର୍ବବର୍ଗ କି ନୁହେଁ ପରୀକ୍ଷା କର।
Solution:
(a) 1156 କୁ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ,
1156 = 2 × 2 × 17 × 17 = (2 × 17)²
ଆମେ ଏହି ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଡ଼ିରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା
ତେଣୁ 1156 ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ।

(b) 2800 କୁ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ, ଆମେ ପାଇବା
2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
ଆମେ ଏହି ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଡ଼ିରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା ନାହିଁ ।
ତେଣୁ, 2800 ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
(i) 1600 = (40)² ଓ 2500 = (50)² ମଧ୍ୟରେ √1936 ଅଛି, ତେଣୁ 40 < 1936 < 50
(ii) 1936ରେ ଶେଷ ଅଙ୍କ 6 । ତେଣୁ ବର୍ଗମୂଳର ଶେଷ ଅଙ୍କ 4 କିମ୍ବା 6 ହେବ । ଏହା 44 କିମ୍ବା 46 ହୋଇପାରେ।
(iii) ଯଦି ଆମେ 452 ର ମୂଲ୍ୟ ଜାଣିବା, ତେବେ ଆମେ ଏହାକୁ 40 – 50 ସଂଭାଗରେ ରଖୁବା, ଯାହା ମଧ୍ଯ 40 – 45 ବା 45 – 50 ର ସଂଭାଗ ହୋଇପାରେ ।
ଆମେ ଲେଖୁପାରିବା
45² = (40 + 5) (40 + 5)
= 40² + 2 × 40 × 5 + 5²
= 1600 + 400 + 25
= 2025
(iv) 2025 > 1936, ତେଣୁ 40 < √1936 < 45
(v) ଏଥୁରୁ ଆମେ ଜାଣିପାରିବା √1936 = 44

Question 5.
ସୋନୁ ଓ ବିଜୁ ଏକ କେଳ ଖେଳନ୍ତି । ଜଣେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା କହିଲେ ଅନ୍ୟ ଜଣେ ତା’ର ବର୍ଗମୂଳ କହି ଉତ୍ତର ଦିଏ । ସୋନୁ 25 କହି ଖେଳ ଆରମ୍ଭ କଲା ଓ ବିଜୁ ସାଙ୍ଗେସାଙ୍ଗେ ଉତ୍ତର 5 ଦେଲା । ତା’ପରେ ବିଜୁ କହିଲା 81, ସୋନୁ ଉତ୍ତର ଦେଲା ୨ । ସୋନୁ 250 କହିବା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଖେଳ ଚାଲିଥିଲା । 250 ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନ ହୋଇଥିବାରୁ ବିଜୁ ଏହାର ଉତ୍ତର ଦେଇପାରିଲା ନାହିଁ ।
କେଉଁଟି 250ର ର୍ବଗମୂଳର ନିକଟତମ ସଂଖ୍ୟା
Solution:
ଏଥିପାଇଁ 250ର ବର୍ଗମୂଳ କେତେ ହେବ, ତାହା ଆକଳନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ।
ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଯେ, 100 < 250 < 400 ଏବଂ √100 = 10 ଓ √400 = 20
ତେଣୁ, 10 < √250 < 20
ତଥାପି ଆମେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ନିକଟତର ହୋଇନାହୁଁ, ଯାହାର ବର୍ଗ 250।
ଆମେ ଜାଣୁ ମେ 15² = 225 ଏବଂ 16² = 256।
ତେଣୁ 15 < √250 < 16
225 ତୁଳନାରେ 250 ର ଅଧ୍ଵକ ନିକଟତର ହେଉଛି 256,
ତେଣୁ, 250 ର ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରାୟ 16, ଯଦିଓ ଏହା 16 ଠାରୁ ସାମାନ୍ୟ କମ୍।

Question 6.
ଅଞ୍ଛଳ ପାଖରେ 125 ବର୍ଗ ସେ.ମି. କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଖଣ୍ଡିଏ ବର୍ଗାକୃତି କପଡ଼ା ଅଛି । ଏଥରୁ 15 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବର୍ଗାକୃତି କପଡ଼ା କଟାଯାଇପାରିବ କି ? ଯଦି ନୁହେଁ, ସେ ଜାଣିବାକୁ ଚାହାନ୍ତି ଯେ, ଏହି କପଡ଼ା ଖଣ୍ଡରୁ କେଉଁ ସର୍ବାଧ‌ିକ ଆକୃତିର ରୁମାଲ କାଟିହେବ, ଯାହାର ପାର୍ଶ୍ଵର ଲମ୍ବ ପୂର୍ବସଂଖ୍ୟା ହେଉଥ‌ିବ?
Solution:
125 ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
ନିକଟତମ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ 11² = 121 ଓ 12² = 144
ତେଣୁ ଏହି କପଡ଼ାରୁ ଅତି ବେଶୀରେ 11 ସେ.ମି. ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବର୍ଗାକୃତି ରୁମାଲଟିଏ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରାଯାଇପାରିବ।

ନିଜେ କରି ଦେଖ (Page No. 10-11)

Question 1.
ନିମ୍ନଲିଖ୍ୟାତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ?
(i) 2032
(ii) 2048
(iii) 1027
(iv) 1089
Solution:
(i) 2032 ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 2 ଥିବାରୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।
(ii) 2018 ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 8 ଥିବାରୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।
(iii) 1027 ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 7 ଥିବାରୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ।
(iv) 1089 ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 9 ଥିବାରୁ ସଂଖ୍ୟାଟି ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।

Question 2.
64², 108², 292² ଓ 36² ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟିର ଶେଷ ଅଙ୍କ 4 ହେବ?
Solution:
(i) 64 ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘର ସଂଖ୍ୟା = 4
∴ 4² = 4 × 4 = 16 (ଶେଷ ଅଙ୍କଟି = 6)
(ii) 108 ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘର ସଂଖ୍ୟା = 8
∴ 8² = 8 × 8 = 64 (ଶେଷ ଅଙ୍କଟି = 4)
(iii) 292 ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘର ସଂଖ୍ୟା = 2
∴ 2² = 2 × 2 = 4 (ଶେଷ ଅଙ୍କଟି = 4)
(iv) 36 ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘର ସଂଖ୍ୟା = 6
∴ 6² = 6 × 6 = 36 (ଶେଷ ଅଙ୍କଟି = 6)
ତେଣୁ, ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ 4ରେ ଶେଷ ହୁଏ, ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 108² ଓ 209²

Question 3.
125² = 15625, ତେବେ 126² ର ମାନ କେତେ ହେବ?
(i) 15625 + 126
(ii) 15625 + 26²
(iii) 15625 + 253
(iv) 15625 + 251
(v) 15625 + 51²
Solution:
ଏଠାରେ 126² = (125 + 1)²
= (125)² + 2 × 125 × 1 + (1)² [∵ ଯେହେତୁ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= 15625 + 250 + 1
= 15625 + 251
ତେଣୁ, (iv) ଉତ୍ତରଟି ଠିକ୍।

Question 4.
441 ବର୍ଗମିଟର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କେତେ?
Solution:
ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁ × ବାହୁ = 441
⇒ ବାହୁ² = 441 ବର୍ଗ ମିଟର
⇒ ବାହୁ = √441 ବର୍ଗମିଟର।
441 = (3 × 3) × (7 × 7)
⇒ √441 = 3 × 7 = 21 ମିଟର।
∴ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 21 ମିଟର।

Question 5.
4, 9 ଓ 10 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଟି କେତେ?
Solution:
4, 9 ଓ 10 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇବାକୁ ହେଲେ
4, 9 ଓ 10 ର ଲ.ସା.ଗୁ. ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ହେବ।

ଲ.ସା.ଗୁ. = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180
180 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ଗୁଡ଼ିକ = (2 × 2) × (3 × 3) × 5
ଯେହେତୁ 5 ସଂଖ୍ୟାଟି ଯୋଡ଼ିରେ ନାହିଁ, 180 ସଂଖ୍ୟାଟି ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଟି ପାଇବାକୁ ହେଲେ, 180 କୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କରିବାକୁ ହେବ = 180 × 5 = 900
∴ 4, 9 ଓ 10 ଦ୍ଵାରା ବିଭାଜ୍ୟ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାଟି 900।

Question 6.
କେଉଁ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା 9408କୁ ଗୁଣନ କଲେ, ଗୁଣଫଳ ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ? ଗୁଣଫଳର ବର୍ଗମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
9408 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × 3 × (7 × 7)
9408 ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଡ଼ିରେ ସଜାଇଲେ 3 ବଳିପଡ଼ିବ।
9408 କୁ 3 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ ଆମେ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ପାଇବା
ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା = 9408 × 3 = 28224

ବର୍ତ୍ତମାନ \(\sqrt{28224}=\sqrt{(2 \times 2) \times(2 \times 2) \times(3 \times 3) \times(3 \times 3) \times(7 \times 7)}\)
= 2 × 2 × 3 × 3 × 7
= 252
∴ ସଂଖ୍ୟାଟି 252।

Question 7.
ନିମ୍ନଲିଖତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା ରହିବ?
(i) 16 ଓ 17
(ii) 99 ଓ 100
Solution:
(i) 16² ଓ 17² ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 2 × 16 = 32
(ii) 99² ଓ 100² ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା = 2 × 99 = 198

Question 8.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ସଂରଚନାରେ ଖାଲିଥିବା ସ୍ଥାନରେ ଠିକ୍ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖୁ ପୂରଣ କର।
(i) 1² + 2² + 2² = 3²
(ii) 2² + 3² + 6² = 7²
(iii) 3² + 4² + 12² = 13²
(iv) 4² + 5² + 20² = (____)²
(v) 9² + 10² + (____)² = (____)²
Solution:
(i) 1² + 2² + 2² = 3²
(ii) 2² + 3² + 6² = 7²
(iii) 3² + 4² + 12² = 13²
(iv) 4² + 5² + 20² = (21)²
(v) 9² + 10² + (90)² = (91)²

Question 9.
ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା ଚିତ୍ରରେ କେତୋଟି ଛୋଟ ବର୍ଗ ଚିତ୍ର ଅଛି? ଭକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ।

Solution:
ଗୋଟିଏ ଧାଡ଼ିରେ ଥୁବା ବର୍ଗଚିତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = 9
ଗୋଟିଏ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥିବା ବର୍ଗଚିତ୍ର ସଂଖ୍ୟା = 9
ଗୋଟିଏ ବଡ଼ ବର୍ଗଚିତ୍ର ମଧ୍ୟରେ ଥ‌ିବା ଛୋଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର = 5 × 5 = 25
ସମୁଦାୟ ଛୋଟ ବର୍ଗଚିତ୍ର = 9 × 9 × 25 = 2025
2025 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 45²

1.2 ଘନ ସଂଖ୍ୟା (Cubic Numbers)

Page No. 11

Question 1.
ଉଦାହରଣ : 1 ସେ.ମି. ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ସମଘନକୁ ନେଲେ 3 ସେ.ମି. ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସମଘନ ପ୍ରସ୍ତୁତ ହୋଇପାରିବ?
Solution:
1 ସେ.ମି. ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ 3ଟି ସମଘନକୁ ନେଲେ 3 ସେ.ମି. ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସମଘନ ପ୍ରସ୍ତୁତ ହୋଇପାରିବ।

Question 2.
9 ଏକ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ କି?

Solution:
ଆମେ ଜାଣିଛେ, 2 × 2 × 2 = 8 ଏବଂ 3 × 3 × 3 = 27
ଏଥୁରୁ ଜଣାପଡୁଛି, ୨ ଗୋଟିଏ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ବା
10 ଠାରୁ 26 ମଧ୍ଯରେ କୌଣସି ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ ।

Question 3.
4 ଏକକ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବିଶିଷ୍ଟ ଗୋଟିଏ ସମଘନରେ କେତୋଟି ଏକକ ସମଘନ ରହିବ?

Solution:
ଏଥିରେ 64ଟି । ଘନ ଏକକ ବିଶିଷ୍ଟ ସମଘନ ଅଛି। ତୁମେ (ଏକକ ସମଘନ) ଭଲଭାବେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କଲେ ଜାଣିପାରିବେ, ଏହାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ତରରେ (4 × 4)ଟି ଏକକ ସମଘନ ଅଛି । ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ତରରେ (4 × 4) ବା 16 ଟି ଏକକ ସମଘନ ଅଛି । ଏହିପରି 4ଟି ସ୍ତର ଅଛି, ଅର୍ଥାତ୍ ମୋଟ ଏକକ ସମଘନ ସଂଖ୍ୟା 4 × 4 × 4 = 64 ହେବ।

Question 4.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀଟିକୁ ପୂରଣ କର । (ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଉତ୍ତର)

Solution:

13 = 1	113 = 1331
23 = 8	123 = 1728
33 = 27	133 = 2197
43 = 64	143 = 2744
53 = 125	153 = 3375
63 = 216	163 = 4096
73 = 343	173 = 4913
83 = 512	183 = 5832
93 = 729	193 = 6859
103 = 1000	203 = 8000

Page No. 13

Question 1.
ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା ପରି, 1 ଅଙ୍କ, 2 ଅଙ୍କ ଏବଂ 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ କେତୋଟି ଘନ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କହିପାରିବ କି?
Solution:
ଏକ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘନସଂଖ୍ୟା, 1³ = 1, 2³ = 8
ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘନସଂଖା, 3³ = 27, 4³ = 64
ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଘନସଂଖ୍ୟା, 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729
∴ ଏକ ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ 2ଟି, ଦୁଇ ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ 2ଟି ଓ ତିନି ଅଙ୍କବିଶିଷ୍ଟ 5ଟି ଘନସଂଖ୍ୟା ଅଛି।

Question 2.
ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ ଦୁଇଟି ଶୂନ (0 0) ହୋଇପାରିବ କି? ବୁଝାଅ।
Solution:
ନା। ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟାର ଶେଷରେ ଯେତେ ଶୂନ ଥାଉ ନା କାହିଁକି,
ସେହି ଶୂନ ସଂଖ୍ୟା ସର୍ବଦା 3ର ଗୁଣିତକ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।
ଉଦାହରଣ : 10ର ଘନ = 10 × 10 × 10 = 1000

Question 3.
ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଘନସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର : \(\left(\frac{4}{6}\right)^3\), (13.08)³ ଓ (-6)³
Solution:
\(\left(\frac{4}{6}\right)^3=\left(\frac{4}{6}\right) \times\left(\frac{4}{6}\right) \times\left(\frac{4}{6}\right)=\left(\frac{64}{216}\right)\)
(13.08)³ = 13.08 × 13.08 × 13.08 = 2237.810112
(-6)³ = -6 × -6 × -6 = -216

Question 4.
1729ର ଦୁଇଟି ପରବର୍ତୀ ଟାକ୍ସିକ୍ୟାବ୍ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ 4104 ଓ 13832। ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ କେଉଁ ଦୁଇ ଉପାୟରେ ଦୁଇଟି ଘନର ଯୋଗଫଳ ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ, ଚେଷ୍ଟାକର।
Solution:
ଦିଆଯାଇଥବା ଟାକ୍ସିକ୍ୟାବ୍ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ 4104 ଓ 13832
∴ 4104 = 2³ + 16³ = 9³ + 15³
ଏବଂ 13832 = 2³ + 24³ = 18³ + 20³

Page No. 14

Question 1.
ଯୋଗ ନକରି ତୁମେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ କେତେ କହିପାରିବ କି?
Solution:
ହଁ, ଏହା 10³ ହେବ।

Question 2.
ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଘନ କି ନୁହେଁ, ଆମେ କିପରି ଜାଣିବା?
Solution:
ବର୍ଗସଂଖ୍ୟା ଭଳି ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକର ଉତ୍ପାଦକୀକରଣକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ସଂଖ୍ୟାଟି ଘନ କି ନୁହେଁ ଆମେ ଜାଣିପାରିବା।

Question 3.
3375 ଏକ ପୂର୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା କି ନୁହେଁ ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖୁବା।
Solution:
ଆମେ 3375ରେ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା।
3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
ଏବେ ଆମେ ଏହି ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ତିନୋଟି ଲେଖାଏଁ ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ସମାନ ଭାଗ କରିବା।
ତେଣୁ, 3375 = (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5) = (3 × 5)³ = 15³
ଯେହେତୁ ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକ ତିନୋଟି ଲେଖାଏଁ ଗ୍ରୁପ୍‌ରେ ରହିବେ,
3375 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣଘନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ।
ଅନ୍ୟ ଏକ ଉପାୟରେ ମଧ୍ୟ ଏହାକୁ ଲେଖୁପାରିବା
3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5)³ = 3³ × 5³
ଅର୍ଥାତ୍ \(\sqrt[3]{3375}\) = 15

Question 4.
500 ଏକ ପୂର୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା କି?
Solution:
500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5
ଏଠାରେ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ତିନୋଟି ଲେଖାଏଁ ସମାନ ଭାଗ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ ।
ତେଣୁ 500 ଗୋଟିଏ ଗୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

Page No. 15

Question 1.
ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
(i) \(\sqrt[3]{64}\)
(ii) \(\sqrt[3]{512}\)
(iii) \(\sqrt[3]{729}\)
Solution:
(i) 64 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
64 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2³ × 2³
ଅର୍ଥାତ୍ \(\sqrt[3]{64}\) = 2 × 2 = 4

(ii) 512 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
512 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2³ × 2³ × 2³
ଅର୍ଥାତ୍ \(\sqrt[3]{512}\) = 2 × 2 × 2 = 8

(iii) 729 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
729 = (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3) = 3³ × 3³
ଅର୍ଥାତ୍ \(\sqrt[3]{729}\) = 3 × 3 = 9

Question 2.
ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ?

Solution:

1.3 ଇତିହାସ ପୃଷ୍ଠାରୁ

ନିଜେ କରି ଦେଖ (Page No. 16-17)

Question 1.
27000 ଓ 10678 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
27000 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
27000 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5) = 2³ × 3³ × 5³
∴ \(\sqrt[3]{27000}\) = 2 × 3 × 5 = 30
10678 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11
10678 = (2 × 2 × 2) × (11 × 11 × 11) = 2³ × 11³
∴ \(\sqrt[3]{10678}\) = 2 × 11 = 22

Question 2.
କେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା 1323କୁ ଗୁଣନ କଲେ, ଗୁଣଫଳ ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ।
Solution:

1323 = 3 × 3 × 3 × 7 × 7
ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକୁ ତିନୋଟି ଲେଖାଏଁ ଶ୍ରେଣୀରେ ସମାନ କଲେ, ଆଉ ଗୋଟିଏ? ଦରକାର ହୋଇଥାଏ।
ତେଣୁ 1323 କୁ 7 ଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ ଏହା ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ।
ଘନସଂଖ୍ୟା = 1323 × 7 = 9261
∴ 1323କୁ 7 ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ, ଗୁଣଫଳ ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ।

Question 3.
ଭୁଲ୍ (✗) କି ଠିକ୍ (✓), କାରଣ ସହ ଦର୍ଶାଅ।
(i) ଯେକୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।
(ii) ଏପରି କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ, ଯାହାର ଶେଷ ଅଙ୍କ 8 ହେବ।
(iii) ଗୋଟିଏ ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ, ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରେ।
(iv) ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସାତ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇପାରେ।
(v) ଘନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ।
Solution:
(i) ଯେକୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା। (✗)
କାରଣ – ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।
ଅର୍ଥାତ ଗୋଟିଏ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାକୁ ତିନିଥର ଗୁଣନ କଲେ, ଗୁଣଫଳ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ।
ଉଦାହରଣ – 3³ = 27, 5³ = 125, 7³ = 343

(ii) ଏପରି କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ, ଯାହା ଶେଷ ଅଙ୍କ 8 ହେବ। (✗)
କାରଣ – ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 2 ଥିଲେ ତାହାର ଘନ ସଂଖ୍ୟାର ଏକକ ଘରେ 8 ର େବ।
ଉଦାହରଣ : 2³ = 8, 12³ = 1728, 22³ = 10648

(iii) ଗୋଟିଏ ଦୁଇଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ, ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରେ। (✗)
କାରଣ – ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ, ଚାରି କିମ୍ବା ଛଅ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରେ।
ଉଦାହରଣ – ମନେକର ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସାନ ସଂଖ୍ୟା = 10
10 ସଂଖ୍ୟାର ଘନ = 10³ = 1000 (ଚାରି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା)

(iv) ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସାତ କିମ୍ବା ଅଧ‌ିକ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇପାରେ । (✗)
କାରଣ – ଗୋଟିଏ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଚାରି କିମ୍ବା ଛଅ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରେ।
ଉଦାହରଣ – ମନେକର ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟା = 99
99 ସଂଖ୍ୟାର ଘନ = 99³ = 970299 (ଛଅ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା)

(v) ଘନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ । (✗)
କାରଣ – ଘନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ।
ଉଦାହରଣ – 27 = 3 × 3 × 3 (ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ)
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ)

Question 4.
ମନେକର 1331 ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବଘନ ସଂଖ୍ୟା। ଉତ୍ପାଦକ ନିଶ୍ଚୟ ନକରି ତୁମେ ଏହାର ଘନମୂଳ ଅନୁମାନ କରିପାରିବ କି? ସେହିପରି 4913, 12167 ଓ 32768ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
(i) 1331
ସଂଖ୍ୟାକୁ ବାମରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ଦୁଇଭାଗ କଲେ ପ୍ରଥମ ଭାଗରେ ତିନୋଟି ଅଙ୍କ ଓ ଦ୍ଵିତୀୟ ଭାଗରେ ଗୋଟିଏ ଅଙ୍କ ରହିବ।
∴ 1331 ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ = 1, ତେଣୁ ଏହାର ଘନମୂଳର ଶେଷ ଅଙ୍କ! ହେବ।
ପ୍ରଥମ ତିନୋଟି ଅଙ୍କ 331 ପ୍ରଥମ ଭାଗ ଓ 1 ହେଉଛି ଦ୍ଵିତୀୟ ଭାଗ।
∴ 331 ର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି = 1 ଓ ଦ୍ଵିତୀୟ ଭାଗ ‘1’ ଯାହା 1³ = 1, ଏହାର ଘନମୂଳ 1 ହେବ।
∴ √1331 = 11
∴ 1331ର ଘନମୂଳ = 11

(ii) 4913
ଏଠାରେ ପ୍ରଥମ ଭାଗ 913 ଓ ଦ୍ଵିତୀୟଭାଗ 4।
913 ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ = 3, ତେଣୁ ଏହାର ଘନମୂଳର ଶେଷ ଅଙ୍କ 7 ହେବ। (7³ = 243)
ଶେଷ ତିନୋଟି ଅଙ୍କ (913)କୁ ଛାଡ଼ି ଦେଲେ ଆଉ ବାକି ରହିଲା 4
1³ = 1 ଏବଂ 2³ = 8
4 ହେଉଛି 1 ଓ 8 ମଧ୍ୟରେ, ତେଣୁ ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ 1 ହେବ ।
∴ 4913ର ଘନମୂଳ = 17

(iii) 12167
12167 ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ = 7, ତେଣୁ ଏହାର ଘନମୂଳର ଶେଷ ଅଙ୍କ 3 ହେବ । (3³ = 27)
ଶେଷ ତିନୋଟି ଅଙ୍କ (167) କୁ ଛାଡ଼ି ଦେଲେ ଆଉ ବାକି ରହିଲା 12
2³ = 8 ଏବଂ 3³ = 27 ତେଣୁ, 2³ < 12 < 3³
ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ 2 ହେବ।
∴ 12167ର ଘନମୂଳ = 23

(iv) 32768
32678 ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ = 8, ତେଣୁ ଏହାର ଘନମୂଳର ଶେଷ ଅଙ୍କ 2 ହେବ।
ଶେଷ ତିନୋଟି ଅଙ୍କ (768) କୁ ଛାଡ଼ି ଦେଲେ ଆଉ ବାକି ରହିଲା 32
3³ = 27 ଏବଂ 4³ = 64 ତେଣୁ, 27 < 32 < 64
ଦଶକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କ 3 ହେବ।
∴ 32678ର ଘନମୂଳ = 32

Question 5.
ନିମ୍ନଲିଖୁତ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ସବୁଠାରୁ ବଡ଼? କାରଣ ଉପସ୍ଥାପନ କର।
(i) 67³ – 66³
(ii) 43³ – 42³
(iii) 67² – 66²
(iv) 43² – 42²
Solution:
(i) 67³ – 66³ = 1 + 67 × 66 × 3
(ii) 43³ – 42³ = 1 + 43 × 42 × 3
(iii) 67² – 66² = 67 + 66 = 133
(iv) 43² – 42² = 43 + 42 = 85
ଆମେ ଜାଣିଲେ ଯେ 67³ – 66³ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼।
କାରଣ (n + 1)³ – n³ = 1 + (n + 1) × 3n
(n + 1)² – n² = n + n + 1 = 2n + 1

Class 8 Maths Chapter 1 MCQ Odia Medium

ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଚାରୋଟି ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଲେଖ ।

Question 1.
25 ର ଗୁଣନୀୟକ କେଉଁଟି ?
(a) 15
(b) 10
(c) 5
(d) 20
Answer:
(c) 5

Question 2.
କେଉଁଟି ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ?
(a) 121
(b) 169
(c) 146
(d) 225
Answer:
(c) 146

Question 3.
ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ଶେଷ ଅଙ୍କ ୬ ହେଲେ ଏହାର ବର୍ଗର ଏକକ ଘର ଅଙ୍କଟି କେତେ?
(a) 3
(b) 1
(c) 0
(d) 2
Answer:
(b) 1

Question 4.
କେଉଁଟି ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖାର ବର୍ଗ ?
(a) 441
(b) 529
(c) 484
(d) 225
Answer:
(c) 484

Question 5.
13 ଓ 14 ର ବର୍ଗ ମଧ୍ଯରେ କେତୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
(a) 27
(b) 28
(c) 29
(d) 26
Answer:
(d) 26

Question 6.
ଯଦି 45² = 2025 ତେବେ 46² କେତେ?
(a) 2025 + 46
(b) 2025 + 46²
(c) 2025 + 23²
(d) 2025 + 91
Answer:
(d) 2025 + 91

Question 7.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
(a) 49
(b) 28
(c) 56
(d) 55
Answer:
(a) 49

Question 8.
198² – 197² ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
(a) 393
(b) 395
(c) 295
(d) 293
Answer:
(b) 395

Question 9.
196 ର ବର୍ଗମୂଳ କେତେ ?
(a) 16
(b) 18
(c) 14
(d) 24
Answer:
(c) 14

Question 10.
24 ର ଘନ କେତେ?
(a) 17,576
(b) 2,744
(c) 13,824
(d) 13,844
Answer:
(c) 13,824

Question 11.
ନିମ୍ନୋକ୍ତ କେଉଁଟି ଏକ ପୂର୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା?
(a) 1727
(b) 1728
(c) 2164
(d) 3475
Answer:
(b) 1728

Question 12.
ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଘନ କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ?
(a) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(b) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(c) ଯୁଗ୍ମ ବା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
(d) କହି ହେବ ନାହିଁ
Answer:
(b) ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା

Question 13.
23 ର ଘନର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି କେତେ?
(a) 9
(b) 8
(c) 7
(d) 3
Answer:
(c) 7

Question 14.
21 + 23 + 25 + 27 + 29 ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
(a) 225
(b) 841
(c) 125
(d) 135
Answer:
(c) 125

Question 15.
23³ – 22³ ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?
(a) 1519
(b) 1529
(c) 259
(d) 1421
Answer:
(a) 1519

Question 16.
6859 ର ଘନମୂଳ କେତେ?
(a) 29
(b) 17
(c) 19
(d) 13
Answer:
(c) 19

Question 17.
\(\frac{\sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}}\) ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ?
(a) 3
(b) 7
(c) 8
(d) 9
Answer:
(a) 3

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

Question 1.
1456 ର ବର୍ଗର ଏକକ ସ୍ଥାନୀୟ ଅଙ୍କଟି __________
Answer:
6

Question 2.
26 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି __________
Answer:
51

Question 3.
24025 ର ବର୍ଗମୂଳ __________ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ।
Answer:
3

Question 4.
125 କୁ __________ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟାଦ୍ଵାରା ଗୁଣନ କଲେ ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ?
Answer:
5

Question 5.
7³ – 6³ ର ମୂଲ୍ୟ __________
Answer:
127

Question 6.
72 କୁ __________ କ୍ଷୁଦ୍ରତମ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେବ?
Answer:
2

Question 7.
90 ର ଘନରେ __________ ଟି ଶୂନ ରହିବ ।
Answer:
3

Question 8.
25 ର ଗୁଣନୀୟକ __________
Answer:
5

ସଂକ୍ଷେପରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ।

Question 1.
1 ଓ 50 ମଧ୍ୟରେ କେତୋଟି ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି?
Answer:
1 ରୁ 50 ମଧ୍ୟରେ 6 ଟି ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଛି।
ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା – 4, 9, 16, 25, 36 ଓ 49 ।

Question 2.
38 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା କେତେ ?
Answer:
n ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସାଧାରଣ ରୂପ = 2n – 1
∴ 38 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଟି = 2 × 38 – 1
= 76 – 1
= 75

Question 3.
6³ କୁ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ପ୍ରକାଶ କର।
Solution:
ଦତ୍ତ ଅଛି 6³ = 6 × 6 × 6 = 216
∴ n = 6 ଓ n – 1 = 6 – 1 = 5
∴ (6 × 5) + 1 = 30 + 1 = 31
∴ 31 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ
∴ 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216

Question 4.
16 ର ଘନ କେତେ?
Solution:
16 ର ଘନ = 16 × 16 × 16 = 4096

Question 5.
17³ – 16³ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
17³ – 16³
ଆମେ ଜାଣୁ b³ – a³ = 1 + 3ab, b > 0
ଯେତେବେଳେ a ଓ b ଦୁଇଟି ନିକଟତମ ସଂଖ୍ୟା
a = 16 ଓ b = 17 ର ପ୍ରୟୋଗ କଲେ
17³ – 16³ = 1 + 3 × 16 × 17 = 817

Question 6.
ଦର୍ଶାଅ ଯେ 29 ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।
Solution:
ଆମେ ଜାଣୁ 29 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9) + 4
ଏଠାରେ 29 କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ହେବ ନାହିଁ । ତେଣୁ 29 ଏକ ପୂର୍ବବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନୁହେଁ ।

Question 7.
9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 ର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
Solution:
ଆମେ ଜାଣୁ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10²
କିନ୍ତୁ 1 + 3 + 5 + 7 = 4²
∴ 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19) – (1 + 3 + 5 + 7)
= 10² – 4²
= 100 – 16
= 84

Question 8.
ଯଦି 45² = 2025 ତେବେ 462 ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:
ଆମେ ଜାଣୁ 2025 ସଂଖ୍ୟାଟି ପ୍ରଥମ 45 ଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ
∴ n ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2n – 1
46 ତମ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା = 2 × 46 – 1 = 92 – 1 = 91
45² ରେ 91 ଯୋଗକଲେ ଏହା 46² ହେବ
∴ 46² = 2025 + 91 = 2116

MCQ Questions for Class 6 Maths with Answers

Class 6 Maths MCQ Chapter Wise

Ganita Prakash Class 6 MCQ Questions

• Chapter 1 Patterns in Mathematics Class 6 MCQ
• Chapter 2 Lines and Angles Class 6 MCQ
• Chapter 3 Number Play Class 6 MCQ
• Chapter 4 Data Handling and Presentation Class 6 MCQ
• Chapter 5 Prime Time Class 6 MCQ
• Chapter 6 Perimeter and Area Class 6 MCQ
• Chapter 7 Fractions Class 6 MCQ
• Chapter 8 Playing with Constructions Class 6 MCQ
• Chapter 9 Symmetry Class 6 MCQ
• Chapter 10 The Other Side of Zero Class 6 MCQ

Also Read Ganita Prakash Class 6 Solutions

Regular revision with Class 7 Maths MCQ with Answers and Ganita Prakash Class 7 Maths Part 2 Chapter 1 Geometric Twins MCQ improves accuracy in objective exams.

MCQ on Geometric Twins Class 7

Geometric Twins MCQ Class 7

Class 7 Maths Geometric Twins MCQ

Question 1.
In the given figures, select the option in which figures I₁ and I₂ do not appear congruent.

Solution:
(b)
The figures given in options (a), (c) and (d) have same shape and size. So, the figures are congruent.
In figure given in option (b), the shape is same, but sizes are different. So, they are not congruent.

Question 2.
If two squares are congruent, then which of the following is true?
(a) They have same length of sides.
(b) They have same length of diagonals.
(c) both (a) and (b)
(d) None of these
Solution:
(c) both (a) and (b)
If two squares are congruent, they have equal corresponding sides. Since the diagonals depend on the side length, their diagonals are also equal.

Question 3.
When checking congruence, which of the following movement is allowed?
(a) Moving (Sliding)
(b) Rotating
(c) Flipping (reflection)
(d) All of the above
Solution:
(d) All of the above
Moving, rotating or flipping the figure changes only its position or orientation. It does not change the shape or size of the figure. So, all the three movements are allowed.

Question 4.
For two line segments to be congruent, which of the following is correct?
(a) They have the same orientation (direction).
(b) They have at least one common point.
(c) They have the same length.
(d) They have the different orientation (direction).
Solution:
(c) They have the same length.
For two line segments to be congruent, only their lengths need to be equal.

Question 5.
∆ABC and ∆XYZ are two triangles such that AB = XY = 6 cm, AC = XZ = 5 cm and ∠A = ∠X = 30°. ∆ABC and ∆XYZ are congruent by:
(a) SSS congruence rule
(b) SAS congruence rule
(c) ASA congruence rule
(d) The given information is not sufficient.
Solution:
(b) SAS congruence rule

In ∆ABC and ∆XYZ, we have
AB = XY = 6 cm [Given]
AC = XZ = 5 cm [Given]
∠A = ∠X = 30° [Given]
∴ ∆ABC ≅ ∆XYZ [By SAS congruence rule]

Question 6.
If ∆ABC ≅ ∆FDE such that AB = 5 cm, ∠B = 40° and ∠A = 80°, then which of the following is true?
(a) DF = 5 cm, ∠F = 80°
(b) DF = 5 cm, ∠E = 80°
(c) DE = 5 cm, ∠E = 60°
(d) DE = 5 cm, ∠D = 40°
Solution:
(a) DF = 5 cm, ∠F = 80°
Given, ∆ABC ≅ ∆FDE,
AB = 5 cm, ∠B = 40°, ∠d = 80°

The corresponding sides are: AB and FD, BC and DE, AC and FE.
The corresponding angles are: ∠A and ∠F, ∠B and ∠D, ∠C and ∠E.
∴ ∠F = ∠A = 80° and DF = BA = 5 cm

Question 7.
In ∆PQR and ∆XYZ, PQ = XY, ∠P = ∠X and PR = XZ. ∆PQR and ∆XYZ are congruent by:
(a) SSS
(b) SAS
(c) ASA
(d) RHS
Solution:
(b) SAS
In ∆PQR and ∆XYZ, two sides and included angle are the same.

∴ ∆PQR ≅ ∆XYZ [By SAS congruence rule]

Question 8.
In the given figure, if AO = OD and BO = OC then ∆AOB ≅ ∆DOC by:

(a) SSS
(b) SAS
(c) ASA
(d) AAS
Solution:
(b) SAS
In ∆AOB and ∆DOC, we have
AO = DO [Given]
BO = CO [Given]
∠AOB = ∠DOC [Vertically opposite angles]
∴ ∆AOB ≅ ∆DOC [By SAS congruence rule]

Question 9.
Out of four given circles, identify the circles that are congruent?
(i) Circle with radius, r = 10 cm
(ii) Circle with area, A = 100π cm²
(iii) Circle with circumference, S = 30π cm
(iv) Circle with area, A = 25π cm²
Choose the correct option from the following:
(a) (i) and (iii)
(b) (ii) and (iv)
(c) (i) and (ii)
(d) (iii) and (iv)
Solution:
(c) (i) and (ii)
For two circles to he congruent, their radii must be the saune, and hence Perimeter (2πR) and area (πR²) will also be the same.
For (i): r = 10 cm
For (ii): A = 100π cm²
⇒ πr² = 100π cm² ⇒ r² = 100 cm²
⇒ r = 10 cm
For (iii): S = 30π cm
⇒ 2πr = 30π cm ⇒ r = \(\frac{30 \pi}{2 \pi} \mathrm{~cm}\) = 150 cm
For (iv): A = 25π cm²
⇒ πr² = 25π cm² ⇒ r² = 25 cm²
⇒ r = 5 cm
As circles given (i) and (ii) have same radii, they are congruent.

Question 10.
In the given figure, BD = CE and BD and CE are altitudes of ∆ABC.
Which of the following are correct?

(i) ∆BCD £ ∆CBE
(ii) ∠DBE = ∠DCE
(iii)) ∠DCB = ∠ECB
(iv) ∠DPE + ∠DAE = 180°
Choose the correct option from the following:
(a) (i) and (ii) only
(b) (ii), (iii) and (iv)
(c) (i), (ii) and (iv)
(d) (i) and (iv) only
Solution:
(c) (i), (ii) and (iv)
In ∆BDC and ∆CEB, we have

BC = CB [Common side (Hypotenuse)]
BD = CE [Given]
∠CDB = ∠BEC [Each 90°]
∴ ∆BDC ≅ ∆CEB [By RHS congruence rule]
⇒ ∆BCD ≅ ∆CBE
⇒ ∠DCB = ∠EBC and ∠DBC = ∠ECB
[By CPCT]
⇒ ∠DCB – ∠ECB = ∠EBC – ∠DBC
⇒ ∠DCE = ∠EBD
In quadrilateral AEPD,
∠PEA + ∠PDA + ∠DPE + ∠DAE = 360°
[Sum of all interior angles is 360°]
⇒ 90° + 90° + ∠DPE + ∠DAE = 360°
⇒ ∠DPE + ∠DAE = 360° – 180° = 180°
So, (i), (ii) and (iv) are correct.

Geometric Twins Class 7 Assertion and Reason Questions

The following questions are Assertion and Reason based questions. Two statements are given, one labelled as Assertion (A) and the other is labelled as Reason (R). Select the correct answer to these questions from the codes (a), (b), (c) and (d) as given below.
(a) Both A and R are true and R is the correct explanation of A.
(b) Both A and R are true but R is not the correct explanation of A.
(c) A is true but R is false.
(d) A is false but R is true.

Question 1.
(A): If ∆ABC ≅ ∆RPQ, then BC = QR.
(R): Corresponding parts of two congruent triangles are equal.
Solution:
(d) A is false but R is true.
We have, ∆ABC ≅ ∆RPQ
Here, the corresponding vertices are: A and R, B and P, C and Question
⇒ BC – PQ [∵ Corresponding parts of two congruent triangles are equal.]
∴ Assertion (A) is false, but Reason (R) is true.

Question 2.
(A): In ∆PQR, if PQ = PR, then ∠P = ∠R.
(R): Angles opposite to equal sides of a triangle are equal.
Solution:

(d) A is false but R is true.
In ∆PQR, we have
PQ = PR
⇒ ∠PRQ = ∠PQR
⇒ ∠R = ∠Q [Angles opposite to equal sides are equal.]
∴ Assertion (A) is false, but Reason (R) is true.

Question 3.
(A): Two congruent triangles have all corresponding angles equal.
(R): AAA criterion is sufficient to prove congruency of two triangles.
Solution:
(c) A is true but R is false.
Two triangles are said to be congruent, if they can be superimposed exactly, one over the other.
∴ Two congruent triangles have all the corresponding sides and corresponding angles equal.
But AAA criterion is not enough to prove congruency of two triangles, because size of triangles might be different.
∴ Assertion (A) is true, but Reason (R) is false.

Question 4.
(A): In ∆ABC, if AB = AC and ∠B = 50°, then ∠C = 50°.
(R): In a triangle, angles opposite to equal sides are equal.
Solution:

(a) Both A and R are true and R is the correct explanation of A.
Given, AB = AC and ∠B = 50°
We know that angles opposite to equal sides of a triangle are equal.
∴ ∠C = ∠B
⇒ ∠C = 50°
∴ Both .Assertion (A) and Reason (R) are true, and Reason (R) is the correct explanation of Assertion (A).

Geometric Twins Class 7 Fill in the Blanks

Question 1.
A rectangle of length 10 cm and breadth 5 cm is congruent to another rectangle with length _______ and breadth ___________ .
Solution: 10 cm, 5 cm.
For two rectangles to be congruent, their length and breadth must be same.
So, a rectangle of length 10 cm and breadth 5 cm is congruent to another rectangle with length 10 cm and breadth 5 cm.

Question 2.
If two sides and a non-including angle are given, the triangle may or may not uniquely determined. This ambiguous situation is called _______ condition, which can produce ________ different triangles.
Solution: SSA, two
If two sides and a non-including angle are given, the triangle may or may not uniquely determined. This ambiguous situation is called SSA condition, which can produce two different triangles.

Question 3.
For congruent triangles, the perimeters of both triangles are __________ .
Solution: equal
If two triangles are congruent, their corresponding sides and angles are equal.
For congruent triangles, the perimeters of both triangles are equal.

Question 4.
If ∆ABC ≅ ∆XYZ, then AB = ___________, ∠B = ______ and BC = __________ .
Solution: XY, ∠Y, YZ
If two triangles are congruent, their corresponding sides and angles are equal.
Given, ∆ABC ≅ ∆XYZ, then AB = XY, ∠B = ∠Yand BC = YZ.