Prasanna

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 12 Conic Sections will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 12 Conic Sections

When a plane cuts a cone in various angles the figure obtained are called conic sections. The conic sections are point, line, circle, parabola, hyperbola, ellipse etc.

Circle: A circle is the locus of all points in a plane that are equidistant from a given point.

• The given point is called the centre.
• The constant distance is called the radius.

(a) Equation of a circle:
(i) Equation of a circle with a given centre and radius:
The equation of a circle with centre at (h, k) and radius ‘r’ is (x – h)² + (y – k)² = r²

Note:
If the centre is at the origin the equation is: x² + y² = r²

(ii) Equation of a circle with given two ends of a diameter:
If A(x₁, y₂) and B(x₂, y₂) are two ends of diameter then the equation of the circle is (x – x₁)(x – x₂) + (y – y₁)(y – y₂) = 0

(iii) General form of the equation of a circle:
The general form of equation of a circle is: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0

Note:

1. The above equation is the equation of circle if g² + f² – c > 0.
2. If g² + f² – c = 0 the circle reduces to a point called point circle.
3. Centre of the circle is at (-g, -f) and radius is r = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\).

(b) Position of a point with respect to a circle:
If C is the centre, r is the radius of a circle and S is any point on that plane.

• CS = r ⇒ S lies on the circle.
• CS > r ⇒ S lies outside the circle.
• CS < r ⇒ S lies inside the circle.

(c) Length of intercept on axes:
The length of intersepts made by the circle x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
⇒ x-intercept = 2\(\sqrt{\mathrm{g}^2-\mathrm{c}}\), y-intercept = 2\(\sqrt{\mathrm{f}^2-\mathrm{c}}\)

(d) Tangents and normals to a circle:
(1) Equation of the tangent to the circle:
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 at A(x₁, y₁) is xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) +f(y + y₁) + c = 0
In particular the equation of tangent to x² + y² = r² at A(x₁, y₁) is xx₁ + yy₁ = r².

(2) Equation of normal to a circle:
Equation of the normal to the circle x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 at A(x₁, y₁) is : \(\frac{x-x_1}{x_1+g}=\frac{y-y_1}{y_1+f}\)

(3) Length of tangent:
Length of tangent from an external point A(x₁, y₁) to the circle x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 is \(A_m=\sqrt{x_1^2+y_1^2+2 g x_1+2 f y_1+c}\)

Condition of tangency:
The line y = mx + c will be a tangent to the circle x² + y² = a² if c² = a²(1 + m²)

Note:

(a) If c² < a²(1 + m²) the line is a secant.

(b) If c² > a²(1 + m²) the line does not intersect the line.

(c) The line y = mx ± a\(\sqrt{1+\mathrm{m}^2}\) is always a tangent to the circle x² + y² = a²

(d) The line lx + my + n = 0 is a tangent to the circle x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 if (lg + mf – n)² = (l² + m²)(g² + f² – c)

(e) Intersection of two circle:
Let two circle are
S₁ = x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0 ….(1)
S₂ = x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂ = 0 ….(2)
Two circles will touch each other
(i) internally if C₁C₂ = |r₁ – r₂|
(ii) Externally if C₁C₂ = |r₁ + r₂|
where C₁ = Centre of first circle
C₂ = Centre of second circle
r₁ = Centre of first circle
r₂ = Centre of second circle
⇒ Two circles intersect each other if C₁C₂ < r₁ + r₂.
⇒ Two circles do not intersect or touch each other  if C₁C₂ > r₁ + r₂.

(f) Angle between two circles:
If two circle
S₁ = x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0
S₂ = x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂ = 0  intersect each other at ‘P’ the angle between them
(1) The angle between their tangents at P.
(2) The angle between their normals at P.
(3) Angle between C₁P and C₂P.
∴ The angle ‘θ’ between two intersecting circles is given by
cos θ = \(\frac{\left(C_1 P\right)^2+\left(C_2 P\right)^2-\left(C_1 C_2\right)^2}{2\left(C_1 P\right) \cdot\left(C_2 P\right)}\)
= \(\frac{2\left(\mathrm{~g}_1 \mathrm{~g}_2+\mathrm{f}_1 \mathrm{f}_2\right)-\mathrm{C}_1-\mathrm{C}_2}{2 \sqrt{\mathrm{g}_1^2+\mathrm{f}_1^2-\mathrm{C}_1} \sqrt{\mathrm{g}_2^2+\mathrm{f}_2^2-\mathrm{C}_2}}\)

Note:
Two circle are orthogonal if θ = \(\frac{\pi}{2}\) i,.e 2(g₁g₂ + f₁f₂) – c₁ – c₂ =0

(g) Family of circles:
Let S₁ and S₂ are two circles. The equation of all circles passing through the points of intersection of two circles is given by S₁ + λS₂ = 0 where λ ≠ -1 i,e., the equation of all circles passing through the intersection of two circles
x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0 and x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂ = 0 is given by (x² + y² + 2g₁x + 2f₁y +c₁) + λ(x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂)

(h) Radical axis:
The radical axis of two circles is the locus of point which moves so that the length of tangents drawn from it to two circles are equal.

(i) If two circles are
S₁ = x² + y² + 2g₁x + 2f₁y + c₁ = 0
S₂ = x² + y² + 2g₂x + 2f₂y + c₂ = 0 the equation of radical axis of S₁ and S₂ is: S₁ – S₂ = 0
⇒ 2(g₁ – g₂)x + 2(f₁ – f₂)y + (c₁ – c₂) = 0

(ii) Properties of radical axis:

• The radical axis of two circle is perpendicular to the line joining their centres.
• If two circles touch each other then their common tangent is the radical axis.
• If two circles intersect each other the line passing through their point of intersection is the radical axis.
• If two circles neither touch nor intersect then the radical axis is the perpendicular bisector of the line segment joining two centres.
• The radical axis of three circles taken in pairs are concurrent that point of concurrency is known as Radical centre of three circles.

(i) Co-axial system of circles:
A system of circles is said to be coaxial if each pair of circles have same radical axis.

(i) Equation of co-axial system of circles:

• If the radical axis is y-axis i.e x = 0 and the line containing the centres is x-axis i.e y = 0 then the equation of the co-axial system of the circle is x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, g² > c …(1) hence g is the parameter and c is a constant.
• If the radical axis is x-axis i.e y = 0 and the line containing centres is y-axis i.e x = 0 then the equation of co-axial system of circles is x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, f² > c …(1)
• The equation of the family of circles co-axial with S₁ and S₂ = 0 is S₁ + λS₂ = 0.

(ii) Limiting points of a co-axial system:
The limiting points of the co-axial system (1) are at (±√c, 0) for c > 0 and for (2) the limiting points are (0 ± √c)

(iii) Intersecting and non-intersecting system of co-axial circles:
If the co-axial system of circles intersects the radical axis then it is an intersecting co-axial system. Otherwise, the system is a non-intersecting co-axial system.

(j) Parametric form of the equation of a circle:
The parametric equation of the (x – h)² + (y – k)² = r² is x = h + r cos θ, y = k + r sin θ.

Parabola:

A parabola is the locus of all points in a plane such that the distance of every point from a fixed point is equal to its distance from a fixed-line.

• The fixed point is the focus.
• The fixed line is the Directrix.
• The line through focus and perpendicular to the directrix is the Axis.
• The point where the parabola intersects axis is its Vertex.
• Any chord passing through focus is the focal chord.
• The focal chord perpendicular to axis is called the Latusrectum.

(a) Equation of parabola.
(i) Equation of a parabola with vertex at (0, 0) axis along x-axis, with focus at (a, 0) is y² = 4ax
(ii) Equation of parabola with vertex at (0, 0) and axis along y-axis with focus (0, a) is: x² = 4ay
(iii) Equation of the parabola with vertex at (h, k) and axis parallel to x-axis is: (y – k)² = 4a(x – h)
(iv) Equation of the parabola with vertex at (h, k) and axis parallel to y-axis is: (x – h)² = 4a(y – k)
(v) parametric form of the equation of parabola y² = 4ax is: x = at², y = 2at

Some Information About Parabola:

(b) Tangents and normals to parabola
(i) Equation of tangent to the parabola y² = 4ax at (x, y₁) is: yy₁ = 2a(x + x₁)
(ii) Equation of tangent to the parabola y² = 4ay at (x₁, y₁) is: xx₁ = 2a(y + y₁)
(iii) Equation of normal to y² = 4ax at (x₁, y₁) is: 2ax – yy₁ + 2ax₁ = 0
(iv) y = mx + c will be a tangent to y² = 4ax if c = \(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}\)
(v) y = mx + c will be a tangent to x² = 4ax if c = -am²

Ellipse:
An ellipse is the locus of all points in a plane such that the sum of the distances of any point on it form two fixed points in the plane is a constant.

• The fixed points are foci.
• Mid point of the line segment joining two foci is the centre
• The line joining two foci is the major axis
• The line perpendicular to the transverse axis at the centre is the minor axis
• The points at which the ellipse intersect the major axis are the vertices.

Equation of ellipse:
Equations of ellipse in standard form is:

Some Information About Ellipse:

(b) Tangents and normals to ellipse:

• Equation of tangent to the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 at (x₁, y₁) is \(\frac{x x_1}{a^2}+\frac{y y_1}{b^2}\) = 1
• The line y = mx + c will be a tangent to the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 if c² = a²m² + b²
• Parameteric form of equation of ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 is x = a cos θ, y = b sin θ.

Hyperbola:
A hyperbola is the locus of all points in a plane such that the difference of distances of any point on it from two fixed points is constant.

• The fixed points are foci.
• Mid point of the line segment joining two foci is the centre.
• The line joining two foci is the transverse axis.
• The line perpendicular to transverse axis and passing through the centre is the conjugate axis.

Some Information About Hyperbola:

(a) Equation of hyperbola

x = h + a sec θ, y = k + b tan θ.

(b) Tangents and normals to hyperbola:
(i) Equation of a tangent to the hyperbola \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 at (x₁, y₁) is \(\frac{x x_1}{a^2}-\frac{y y_1}{b^2}\) = 1
(ii) y = mx + c is a tangent to the hyperbola \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 if c² = a²m² – b².

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 16 Probability will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 16 Probability

Random Or Statistical Experiment:
A random or statistical experiment is one in which

• All possible outcomes of the experiment are known in advance.
• The performance of an experiment result in an outcome is not known in advance.
• The experiment can be repeated under identical conditions.

Sample Space: Sample space is the set of all possible outcomes of an experiment.

Elementary event. An element of sample space is an elementary event.

Event: An event is a subset of a sample space.

Probability of an event: Probability of an event ‘A’ = \(P(A)=\frac{\text { Size of } A}{\text { Size of } S}\)

Types Of Event:

(a) Impossible event
Φ ⊂ S known as the impossible event P(Φ) = 0

(b) Sure (certain) event:
S ⊂ S known as the sure event. P(S) = 1

(c) Mutually exclusive events:
Two events A and B are mutually, exclusive if A ∩ B = Φ i.e occurence of one excludes the occurence of the other.

(d) Equally likely events:
Two events A and B are equally likely if P(A) = P(B).

(e) Independent events:
Two events are independent if occurence if does not depend on occurence of the other.

(f) Exhaustive events:
The events E₁, E₂, ….. E_n are exhaustive if E₁ ∪ E₂ ….. ∪ E_n = S.

Verbal description of events:
Not a → A^c or \(\overline{\mathrm{A}}\) or A’
A or B (at least one of A or B) → A ∪ B
A and B → A ∩ B
A but not B → A ∩ B^c
Neither A nor B → A^c ∩ B^c = (A ∪ B)^c
Exactly one of A, B or C → (A ∩ B^c ∩ C^c) ∪ (A^c ∩ B ∩ C^c) ∪ (A^c ∩ B^c ∩ C^c).
Exactly two of A, B or C → (A ∩ B ∩ C^c) ∪ (A ∩ B^c ∩ C) ∪ (A^c ∩ B ∩ C)

Some Theorems On Probability:

(a) For any event A: 0 ≤ P(A)’ ≤ 1

(b) P(Φ) = 0, P(S) = 1

(c) P(A^c) = 1 – P(A)

(d) For any two events if A ⊆ B then P(A) ≤ P(B).

(e) For any two events A and B. P(A – B) = P(A ∩ B^c) = P(A) – P(A ∩ B)

(f) For any two events A and B P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

(g) If A and B are mutually exclusive then P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

(h) For any three events A, B and C P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)

Odisha State Board BSE Odisha 9th Class Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍‌ର ପ୍ରୟୋଗ Ex 1(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 9 Maths Solutions Algebra Chapter 1 ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଏବଂ ସେଟ୍‌ର ପ୍ରୟୋଗ Ex 1(a)

Question 1.

ବନ୍ଧନୀରୁ ଠିକ୍ ଚିହ୍ନ ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) a ___ {a, b, c} [∈, ∉, ⊂, =]
ସମାଧାନ:
a ∈ {a, b, c} [ ଏଠାରେ a, {a, b, c} ସେଟ୍‌ର ଏକ ଉପାଦାନ ଅଟେ ।

(ii) d ___ {a, b, c} [∈, ∉, ⊂, =]
ସମାଧାନ:
d ∉ {a, b, c} [କାରଣ d, {a, b, c} ସେଟ୍‌ର ଉପାଦାନ ନୁହେଁ ।

(iii) {a, c, d} ___ {a, b, c} [∈, ∉, =, ≠]
ସମାଧାନ:
{a, c, b} = {a, b, c} [କାରଣ ଉପାଦାନମାନଙ୍କ କ୍ରମ ବଦଳିଲେ ସେଟ୍ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହେ ।]

(iv) {a, a, b, c} ___ {a, b, c} [∈, ∉, =, ≠]
ସମାଧାନ:
{a, a, b, c} = {a, b, c} [କାରଣ ସେଟ୍‌ର କୌଣସି ଉପାଦାନକୁ ଏକାଧ୍ଵକ ବାର ଲେଖୁଲେ ସେଟ୍‌ ଅପରିବର୍ତିତ ରହେ ।]

(v) {a} ___ {a, b, c} [=, ⊂, ∈, ⊃]
ସମାଧାନ:
{a} ⊂ {a, b, c} [ଏଠାର {a} ଏକ ସେଟ୍ ଏବଂ ଏହି ଉପାଦାନଟି {a, b, c} ସେଟ୍‌ରେ ରହିଥ‌ିବାରୁ ଉତ୍ତର {a} ⊂ {a, b, c} ହେବ ।]

(vi) {a, b, c} ___ {a} [=, ⊂, ∈, ≠]
ସମାଧାନ:
{a, b, c} # {a} [∵ {a, b, c} ସେଟ୍ ଓ {a} ସେଟ୍ ଉଭୟ ସମାନ ଉପାଦାନମାନଙ୍କୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍ ନୁହେଁ ।]

Question 2.
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} ଓ C = {5, 6} ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖତ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ନିରୂପଣ କର ।
(i) B ∪ C
ସମାଧାନ:
B ∪ C = {3, 4, 5} ∪ {5, 6} = {3, 4, 5, 6}

(ii) A ∪ B
ସମାଧାନ:
A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

(iii) A ∪ C
ସମାଧାନ:
A ∪ C = {1, 2, 3} ∪ {5, 6} = {1, 2, 3, 5, 6}

(iv) B ∩ C
ସମାଧାନ:
B ∩ C = {3, 4, 5} ∩ {5, 6} = {5}

(v) A ∩ B
ସମାଧାନ:
A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}

(vi) A ∩ C
ସମାଧାନ:
A ∩ C = {1, 2, 3} ∩ {5, 6} = Φ ବା { }

(vii) B – C
ସମାଧାନ:
B – C = {3, 4, 5} – {5, 6} = {3, 4}

(viii) A – B
ସମାଧାନ:
A – B = {1, 2, 3} – {3, 4, 5} = {1, 2}

(ix) A – C
ସମାଧାନ:
A – C = {1, 2, 3} – {5, 6} = {1, 2, 3}

(x) C – B
ସମାଧାନ:
C – B = {5, 6} – {3, 4, 5} = {6}

(xi) B – A
ସମାଧାନ:
B – A = {3, 4, 5} – {1, 2, 3} = {4, 5}

(xii) C – A
ସମାଧାନ:
C – A= {5, 6} – {1, 2, 3} = {5, 6}

Question 3.
ଆମ ଆଲୋଚନା ଅନ୍ତର୍ଗତ ସେଗୁଡ଼ିକ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ E ସ୍ଥିର କର ।
(i) A = {2, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 8}, C = {10, 11}, D = {6, 7, 9}
ସମାଧାନ:
E = A ∪ B ∪ C ∪ D
= {2, 3, 5} ∪ {1, 2, 3, 4, 5, 8} ∪ {10, 11} ∪ {6, 7, 9}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
ଏହାକୁ ସୂତ୍ର ପଦ୍ଧତିରେ ଲେଖିଲେ E = {x | x ∈ N ଓ x ≤ 11} 
ଅଥବା E = {x | x ∈ N} ଓ x < 12
କାରଣ A, B, C, D ପ୍ରତ୍ୟେକ N ସେଟ୍‌ର ଉପସେଟ୍ ଅଟେ ।

(ii) A = {1, 6, 12}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, C = {2, 4, 6, 8, 10}
ସମାଧାନ:
E = A ∪ B ∪ C
= {1, 6, 12} ∪ {1, 3, 5, 7, 9, 11} ∪ {2, 4, 6, 8, 10}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
‘E’ ସେଟ୍‌କୁ ସୂତ୍ର ପଦ୍ଧତିରେ ଲେଖୁଲେ = {x | x ∈ N ଏବଂ x ≤ 12} 
ଅଥବା E = {x | x ∈ N}
କାରଣ A, B, C, D ସେଟ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ N ସେଟ୍‌ର ଉପସେଟ୍ ଅଟନ୍ତି ।

Question 4.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6, 7}, C = {6, 7, 8, 9} ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖୂତ ଭକ୍ତିମାନଙ୍କର ସତ୍ୟତା ପରୀକ୍ଷା କର ।
(i) A ∪ B = B ∪ A
ସମାଧାନ:
A ∪ B = B ∪ A
L.H.S. = A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
R.H.S. = B ∪ A = {4, 5, 6, 7} ∪ { 1, 2, 3, 4}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) B ∩ C = C ∩ B
ସମାଧାନ:
B ∩ C = C ∩ B
L.H.S. = B ∩ C = {4, 5, 6, 7} ∩ {6, 7, 8, 9} = {6, 7}
R.H.S. = C ∩ B = {6, 7, 8, 9} ∩ {4, 5, 6, 7} = {6, 7}
L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
ସମାଧାନ:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
L.H.S. = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ ({4, 5, 6, 7} ∪ {6, 7, 8, 9})
= {1,2, 3, 4} ∪ {4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
R.H.S. = (A ∪ B) ∪ C = ({ 1, 2, 3, 4} ∪ {4, 5, 6, 7} ∪ C
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∪ {6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(iv) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
ସମାଧାନ:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∪ C
L.H.S. = A ∩ (B∩ C) = A ∩ ({4, 5, 6, 7} ∩ {6, 7, 8, 9},
= {1, 2, 3, 4} ∩ {6, 7} = Φ
R.H.S. = (A ∩ B) ∩ C = {1, 2, 3, 4} ∪ {4, 5, 6, 7} ∩ C
= {4} ∩ {6, 7, 8, 9} = Φ
L.H.S = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(v) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
ସମାଧାନ:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
L.H.S. = A ∪ (B ∩ C) = A ∪ {4, 5, 6, 7} ∩ {6, 7, 8, 9}
= {1, 2, 3, 4} ∪ {6, 7} = {1, 2, 3, 4, 6, 7}
R.H.S. = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
= [{1, 2, 3, 4} ∪ {4, 5, 6, 7}] ∩ [{1, 2, 3, 4} ∪ {6, 7, 8, 9}]
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ∩ {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 } = {1, 2, 3, 4, 6, 7 }
L.H.S = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(vi) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
ସମାଧାନ:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
L.H.S. = A ∩ (B ∪ C) = A ∩ {4, 5, 6, 7} ∪ {6, 7, 8, 9}
= {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6,7, 8, 9} = {4}
R.H.S. = (A ∩ B)∪ (A ∩ C)
= {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6, 7} ∪ {1, 2, 3, 4} ∩ {6, 7, 8, 9}
= {4} ∩ Φ = {4}
L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(vii) A – B ≠ B – A
ସମାଧାନ:
A  -B ≠ B – A
L.H.S. = A – B = {1, 2, 3, 4} – {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3}
R.H.S. = B – A = {4, 5, 6, 7} – {1, 2, 3, 4} = {5, 6, 7}
L.H.S. ≠ R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(viii) (A – B) – C ≠ A – (B – C)
ସମାଧାନ:
(A – B) – C ≠ A – (B – C)
L.H.S. = (A – B) – C = {1, 2, 3, 4} – {4, 5, 6, 7} – C
= {1, 2, 3} – {6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3}
R.H.S. = A – (B – C)
= A – [{4, 5, 6, 7} – {6, 7, 8, 9}] = {1, 2, 3, 4} – {4, 5} = { 1, 2, 3}
ଏଠାରେ (A – B) – C = A – (B – C) ଉକ୍ତିଟି ସତ୍ୟ ହେଲେ ଉଦ୍ଭଟି ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ ନୁହେଁ ।
A = {1, 2, 3, 4, 8}, B = {4, 5, 6, 7}, C = {6, 7, 8, 9}
L.H.S. = (A – B) – C = ({1, 2, 3, 4, 8} – {4, 5, 6, 7}) – C
= {1,2, 3, 8} – {6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3}
R.H.S. = A – (B – C) = A – ({4, 5, 6, 7} – {6, 7, 8, 9})
= {1, 2, 3, 4, 8} – {4, 5} = {1, 2, 3,8}
ଏଠାରେ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ (A – B) – C ≠ A – (B – C) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 5.
ନିମ୍ନରେ ସୂଚିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସେଟ୍, ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରେ ଦିଆଯାଇଥ‌ିବା କେଉଁ ସେଟ୍ ସହ ସମାନ ?
(i) {x | x² – 1 = 0} [Φ, {1}, {-1}, {1, -1}, {0, 1}]
ସମାଧାନ:
{1, -1}
[କାରଣ x² – 1 = 0 ⇒ (x + 1) (x – 1) = 0
⇒ x = -1 ବା x = 1

(ii) {x | x ସଂଖ୍ୟାଟି 6 ଅପେକ୍ଷା କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା} [Φ, {1, 2, 3, 4, 5}, {2, 4}, {1, 3, 5}]
ସମାଧାନ:
{2, 4}; କାରଣ 6 ଠାରୁ ସାନ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା 2, 4 ଅଟେ ।

(iii) {x | x ଏକ ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଓ 2 < x < 4} [Φ, (2), (4), (2, 4)]
ସମାଧାନ:
Φ ; କାରଣ 2 ଓ 4 ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ ।

(iv) {x| x = N*, x ≤ 3} [{0, 1, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {0, 1, 2, 3}]
ସମାଧାନ:
{0, 1, 2, 3}; [କାରଣ 3 ଏବଂ 3 ଠାରୁ ସାନ ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ୍ ସଂଖ୍ୟା 0, 1, 2, 3]

Question 6.
A = {a, b, d, e, p}, ଓ B = (b, p, a, n, m, x, y}, C = {n, x, z, s, t}
(i) (A – B) ∪ (A ∩ B)
ସମାଧାନ:
(A – B) ∪ (A ∩ B)
A – B = {a, b, d, e, p} – {b, p, a, n, m, x, y} = {d, e}
A ∩ B = {a, b, d, e, p} ∩ {b, p, a, n, m, x, y} = {a, b, p}
(A – B) ∪ (A n B) = {d, e} ∪ {a, b, p} = {a, b, d, e, p}

(ii) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)
ସମାଧାନ:
(A ∪ B) n (B ∪ C)
A ∪ B = {a, b, d, e, p} ∪ {b, p, a, n, m, x, y}
= {a, b, d, e, m, n, p, x, y}
B ∪ C = {b, p, a, n, m, x, y} ∪ {n, x, z, s, t}
= {a, b, m, n, p, s, t, x, y, z}
(A ∪ B) n (B ∪ C) = {a, b, d, e, m, n, p, x, y} ∩ {a, b, m, n, p, s, t, x, y, z}
= {a, b, m, n,p, x, y}

(iii) (A ∩ B) ∪ (B – C)
ସମାଧାନ:
(A ∩ B) ∪ (B – C)
(A ∩ B) = {a, b, d, e, p} ∩ {b, p, a, n, m, x, y} = {a, b, p}
(B – C) = {b, p, a, n, m, x, y} – {n, x, z, s, t}
= {a, b, m, p, y}
(A ∩ B) ∪ (B – C) = {a, b, p} ∪ {a, b, m, p, y}
= {a, b, m, p, y}

Question 7.
A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e, i, o, u}
(i) (A – B) ∩ (A ∩ B) = Φ,
ସମାଧାନ:
A – B = {a, b, c, d, e} – {a, e, i, o, u} = {b, c, d}
A ∩ B = {a, b, c, d, e} ∩ {a, e, i, o, u} = {a, e}
L.H.S. = (A – B) ∩ (A ∩ B) = {b, c, d} ∩ {a, e} = Φ = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) (B – A) ∩ (A ∩ B)
ସମାଧାନ:
B – A = {a, e, i, o, u} – {a, b, c, d, e} = {i, o, u}
(A ∩ B) = {a, b, c, d, e} ∩ {a, e, i, o, u} = {a, e}
L.H.S. = (B – A) ∩ (A ∩ B) = {i, o, u} ∩ {a, e} = Φ = R.H.S (ପ୍ରମାଣିତ)

(iii) (A – B) ∩ (B – A) = Φ
ସମାଧାନ:
A – B = {a, b, c, d, e} – {a, e, i, o, u} = {b, c, d}
B – A = {a, e, i, o, u} – {a, b, c, d, e} = {i, o, u}
L.H.S. = (A – B) ∩ (B – A) = {b, c, d} ∩ {i, o, u} = Φ = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 8.
(i) (A ∩ B) ∪ (A – B)
ସମାଧାନ:

(ii) (A ∩ B) ∪ (B – A)
ସମାଧାନ:

(iii) (A ∪ B) – (A ∩ B)
ସମାଧାନ:

Question 9.
ଏକ ଉଦାହରଣ ନେଇ ଦର୍ଶାଅ ଯେ—
(A – B) ∪ (B – A) = (A ∪ B) – (A ∩ B) (ଯେଉଁଠାରେ A ଓ B ପ୍ରତ୍ୟେକ ସସୀମ ସେଟ୍)
ସମାଧାନ:
ଦାନେକର A = {1, 2, 3, 4, 5, 6), B = {3, 5, 6, 8, 9}
L.H.S. = (A – B) ∪ (B – A)
= ({1, 2, 3, 4, 5, 6} – {3, 5, 6, 8, 9}) ∪ ({3, 5, 6, 8, 9} – { 1, 2, 3, 4, 5, 6})
= {1, 2, 4} ∪ {8, 9} = {1, 2, 4, 8, 9}
R.H.S. = (A ∪ B) – (A∩ B)
= ({1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {3, 5, 6, 8, 9}) – ({1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {3, 5, 6, 8, 9})
= {1, 2, 3, 4, -5, 6, 8, 9} – {3, 5, 6} = {1, 2, 4, 8, 9}
L.H.S. = R.H.S. (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 10.
ଯଦି I_n = {1,2,3, 4 ….. n} ହୁଏ ତେବେ I₂₀ – I₁₆ ଏବଂ I₁₆ – I₂₀ ସେଟ୍ ଦ୍ଵୟକୁ ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ ।
ସମାଧାନ:
I_n = {1, 2, 3, 4, ….. n}
I₂₀ – I₁₆ = {1, 2, 3,…..16, 17, 18, 19, 20} – {1, 2, 3,….., 16} = { 17, 18, 19, 20}
I₁₆ – I₂₀ = { 1, 2, 3,…..16} – { 1, 2, 3……16, 17, 18, 19, 20} = Φ

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(c) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(c)

Question 1.
ଦତ୍ତ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ ‘ନ’ ଓ ଯେଉଁଟି ଭୁଲ୍ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(i) ଏକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସମସ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସମାନ ସମାନ ଥର ରହିଲେ ଏହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନାହିଁ ।
(ii) ବାରମ୍ବାରତା ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ସର୍ବାଧ‌ିକ ବାରମ୍ବାରତା ହିଁ ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଗରିଷ୍ଠକ ।
(iii) ଏକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଯଦି ଗରିଷ୍ଠକ ଥାଏ, ତେବେ ଏହାର ସର୍ବଦା ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ଗରିଷ୍ଠକ ଥବ ।
ଉ :
(i) T (ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟରେ ଏହା ଲିଖ୍)
(ii) F (ଗରିଷ୍ଠକର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ )
(iii) F ( କାରଣ 5, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9ରେ ଗରିଷ୍ଠକ 7 ଏବଂ 9 ଅଟେ ।)

Question 2.
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 5, 6, 7, 7,8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12
(ii) 12, 8, 15, 9, 11, 8, 10, 11, 13, 9, 12, 10, 14, 11, 13, 10
ସମାଧାନ :
(i) 5, 6, 7, 7,8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12 ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମେ ସଜ୍ଜିତ ।
ଏଠାରେ ଗରିଷ୍ଠକ M = 9 (∵ 9ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧିକ ।)

(ii) 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମେ ସଜ୍ଜିତ ।
ଏଠାରେ ଗରିଷ୍ଠକ M_o = 10 ଓ 11 (∵ 10 ଓ 11ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧିକ ।)

Question 3.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଉଚ୍ଚତା (ସେ.ମି.) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ :	120	121	122	123	124
ବାରମ୍ବାରତା :	5	8	18	10	9

ସମାଧାନ :
ସାରଣୀରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 122 ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧ‌ିକ 18 ।
∴ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ଗରିଷ୍ଠକ 122 ।

Question 4.
ଦୁଇଟି ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ ଏକା ସାଙ୍ଗରେ 15 ଥର ଗଡ଼ାଇବାରେ ମିଳିଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ 7, 8, 10, 10, 11, 7, 12, 9, 7, 9, 8, 12, 11, 10, 7 । ଉକ୍ତ ବଣ୍ଟନର ଗରିଷ୍ଠକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଦୁଇଟି ଲୁଡୁଗୋଟିକୁ ଏକା ସାଙ୍ଗରେ 15 ଥର ଗଡ଼ାଇବାରେ ମିଳିଥିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ –
7, 8, 10, 10, 11, 7, 12, 9, 7, 9, 8, 12, 11, 10, 71
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମେରେ ସଜାକ ରଖିଲେ
7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12
ଏଠାରେ ଗରିଷ୍ଠକ M_o = 7 (∵ 7ର ବାରମ୍ବାରତା ସର୍ବାଧ‌ିକ 4)

Question 5.
ଗୋଟିଏ ଜୋତା ଦୋକାନରେ ବିଭିନ୍ନ ମାପ ବିଶିଷ୍ଟ ଜୋତା ବିକ୍ରୟର ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

କୋତାମପ	5	6	7	8	9	10
ବିକ୍ରି ସଂଖ୍ୟା	20	33	40	85	15	8

(i) ଉପରିସ୍ଥ ବଣ୍ଟନକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରି କେଉଁ ମାପର ଜୋତାକୁ ମହଜୁଦ ରଖୁବା ଲାଗି ଦୋକାନୀ ଅଧ୍ବକ ଧ୍ୟାନ ଦେବ, ସ୍ଥିର କର ।
(ii) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେଉଁ ପ୍ରକାର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା ତୁମେ ନିଶ୍ଚୟ କଲ ?
ସମାଧାନ :
(i) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ୫ ନମ୍ବର ଜୋତାର ବିକ୍ରିସଂଖ୍ୟା (ବାରମ୍ବାରତା) ସର୍ବାଧ‌ିକ ‘85” ଯୋଡ଼ା । ତେଣୁ ଦୋକାନୀ ୫ ନମ୍ବର ଜୋତା ମହଜୁଦ୍ ରଖ୍ ପ୍ରତି ଅଧ‌ିକ ଧ୍ୟାନ ଦେବେ ।
(ii) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର କେଉଁ ପ୍ରକାର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବଣତା ତୁମେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲ ?

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 10 Sequences and Series will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 10 Sequences and Series

Sequence:
A sequence is a function whose domain is N (The set of natural numbers).
Note: We can use the set of whole numbers as a domain.

Real Sequence:
If the range of a sequence is a subset of ‘R’, then it is a real sequence.
⇒ If: N → R is a sequence then f(n) for n = 1, 2, 3, ….. are the terms of the sequence.

Finite and infinite sequence:
A sequence with a finite number of terms is a finite sequence otherwise it is infinite.
Note: We denote a sequence by (t_n) or {t_n} where f(n) = t_n

Series:
An expression of the type t₁ + t₂ + t₃ + ….. (or ∑t_n) where t_n is the nth term of a sequence is a series.

Partial sums:
If \(\sum_{n=1}^{\infty} t_n\) is a series then a sum \(\mathrm{S}_n=\sum_{k=1}^n t_k\) is called the nth partial sum of the series for n = 1, 2, 3 …..
∴ s₁ = t₁, s₂ = t₁ + t₂, s₃ = t₁ + t₂ + t₃ and so on.

Progression:
Progression is a sequence whose terms follow as pattern.
Arithmetic progression (A.P):
A sequence  (t_n) is an A.P. If t_n+1 – t_n = d (constant) for n = 1, 2, 3, …..

(a) General form: a, a + d, a + 2d, a + 3d …..
(b) n^th term: t_n = a + (n – 1)d, where t₁ = a, and the common difference = d
(c) Sum of first n terms (Sn):
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[a + l]
where a = first term
d = common difference
l = last term (or nth term)

Note:

1. If a, b, c are in A.P. then 2b = a + c.
2. If 3 numbers are in A.P. then we take them as a – d, a, a + d.
3. If 4 numbers are in A.P. then we take rhem as a – 3d, a – d, a + d, a + 3d.

(d) Insertion of arithmetic means between two given number:
Let m₁, m₂, m₃ …. m_n are ‘n’ arithmetic means between ‘a’ and ‘b’ then m_k = a + \(\frac{k(b-a)}{n+1}\) for k = 1, 2, ….. n.

Geometric progression (G.P):
If \(\frac{t_{n+1}}{t_n}\) = r (constant), for n = 1, 2, 3, ….. then the sequence (t_n) is a geometrical progression.

(a) General form: a, ar, ar², ar³ …..
(b) nth term of GP: nth term of G.P. = t_n = ar^n-1.
(c) sum of first n terms of a G.P.: S_n = \(\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}(\text { for } r \neq 1)\)
(d) sum of an infinite G.P.: If |r| < 1 then the sum of the infinite G.P. a, ar, ar² ….. is S_∞ = \(\frac{a}{1-r}\)

Note:

1. If a, b, c are in G.P. then b² = ac
2. If 3 numbers are in G.P. we take them as \(\frac{a}{r}\), a, ar.
3. If 4 numbers are in G.P. then we take them as \(\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, a r, a r^3\)

(e) Insertion of  geometric means between  two numbers:
If g₁, g₂ ……g_n are n geometric means between a and b then g_k = a \(\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n+1}}\), k = 1, 2, 3, …. n

Harmonic Progression (H.P):
A sequence a₁, a₂, a₃ ….. of non zero numbers is called a Harmonic progression if the sequence \(\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}\) ….. is an A.P.

(a) Harmonic mean:
Harmonic mean(H) between two numbers a and b is \(\frac{1}{\mathrm{H}}=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}{2}\)
= \(\frac{a+b}{2 a b}\)
⇒ H = \(\frac{2 a b}{a+b}\)

(b) Insertion of n harmonic means between two numbers:
Let H₁, H₂ ….. H_n are n harmonic means between a and b then \(\frac{1}{\mathrm{H}_K}=\frac{1}{a}\) + k_D, where D = \(\frac{a-b}{(n+1) a b}\).

Relation among A.M., G.M. and H.M.
AM ≥ GM ≥ HM

Arithmetic co-geometric sequence(AGP):
If (a_n) is an A.P. and (b_n) is an G.P. then the series (a_nb_n) is called an arithmetic co-geometric sequence.

(a) General form: a, (a + d) r, (a + 2d) r², (a + 3d)r³,…..
(b) nth term of A.G.P.: t_n = {a + (n – 1)d} r^n-1.
(c) sum of first terms of A.G.P.:
The sum of first n terms of A.G.P. a, (a + d) r, (a + 2d) r², …..  is
S_n = \(\frac{a}{1-r}+d r\left(\frac{1-r^{n-1}}{(1-r)^2}\right)-\frac{[a+(n-1) d] r^n}{1-r}\) for r ≠ 1
(d) sum of infinite A.G.P.: If |r| < 1 then we have \(S_{\infty}=\frac{a}{1-r}+\frac{d r}{(1-r)^2}\)

Sum of special sequences.:

Binomial Series:
(a) Binomial theorem for any real index:

• (1 + x) ⁿ = 1 + nx + \(\frac{n(n-1)}{2} x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} x^3+\ldots\) for |x| < 1
• (1 – x)^-1 = 1 + x + x² …..
• (1 + x)^-1 = 1 – x + x² – x³ …..
• (1 + x)^-2 = 1 – 2x + 3x² – 4x³ …..
• (1 – x)^-2 = 1 + 2x + 3x² + …..

Exponential series:

Logarithmic Series:

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(b)

(କ – ବିଭାଗ )

(a) ନିମ୍ନଲିଖ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ T ଓ ଯେଉଁଟି ଭୁଲ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(i) ଯେକୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା, ସେହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ସହ ସମାନ ।
(ii) ବଡ଼ରୁ ସାନ କ୍ରମାନୁସାରେ ଲେଖାଥ‌ିବା 13ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ଏହାର ଆରମ୍ଭରୁ ସପ୍ତମ ସ୍ଥାନରେ ଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସହ ସମାନ ।
(iii) କୌଣସି ଏକ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସର୍ବଦା ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ।
(iv) 30 ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଥ‌ିବା ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା 15 ।
(v) 5,8, 3, 7, 11, 27, 16 ସହି ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା 8 ।
ଉ –
(i) F, (ii) T, (iii) F, (iv) F, (v) T

(b) ନିମ୍ନଲିଖ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ପ୍ରଦାନ କର ।
(a) ପ୍ରଥମ ନଅଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା କେତେ ?
(b) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା କେତେ ?
(c) ସମସ୍ତ ‘x’ର ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର କର ଯେତେବେଳେ 1 ≤ x < 7 ।
(d) 7, 3, 10, 5, x ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ‘x’ ହେଲେ xର ମାନ ସ୍ଥିର କର (x ∈ N) ।
(e) ପ୍ରଥମ 6 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା ପ୍ରଥମ 7 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ଯମାଠାରୁ କେତେ କମ୍ ?
ଉ –
(a) ପ୍ରଥମ ନଅଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ।

5ମ ସ୍ଥାନର ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = 5
∴ ମଧ୍ୟମା = 5

(b) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
ଏଠାରେ ପଦସଂଖ୍ୟା = 10
ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥାନ \(\frac{10}{2}\) = 5ମ ସ୍ଥାନ ଓ 5 + 1 = 6ଷ୍ଠ ସ୍ଥାନ

(c) ତଥ୍ୟାବଳୀଟି 1 ≤ x < 7 ⇒ 1, 2, 3, 4, 5, 6 1 ∴ ମଧ୍ୟମା = \(\frac{3+4}{2}\) = 3.5

(d) 7, 3, 10, 5, x ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା x (x ∈ N) ।
ସାନରୁ ବଡ଼ କ୍ରମରେ ସଜାଇଲେ 3, 5, x, 7, 10 ।
∴ x, 5 ଓ 7ର ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା = 6
ମଧ୍ୟମା (M_d) = 6

(e) ପ୍ରଥମ 6ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା = \(\frac{3+4}{2}\) = 3.5
ପ୍ରଥମ 7ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା = 4 ∴ 4 – 3.5 = 0.5
∴ ପ୍ରଥମ 6 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟମା ପ୍ରଥମ 7 ଗୋଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ଯମାଠାରୁ 0.5 କମ୍ ।

(ଖ – ବିଭାଗ )

Question 2.
ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(i) 7, 8, 4, 3, 10
(ii) 11, 27, 36, 58, 65, 72, 80, 95
(iii) 7, 12, 15, 6, 20, 8, 4, 10
(iv) 18, 32, 37, 25, 31, 19, 25, 29, 31
ସମାଧାନ :
(i) ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ କଲେ ହେବ – 3, 4, 7, 8, 10 ।
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା = 5
ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା (M_d) = \(\frac{5+1}{2}\) ତମ ସ୍ଥାନ = 3ୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଅର୍ଥାତ୍ ମଧ୍ୟମା (M_d) = 7

(ii) 11,27, 36, 58, 65, 72, 80, 95 (ଏଠାରେ ଆଠଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ)
ଫଳରେ ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଦ୍ବୟ \(\frac{8}{2}\) = 4ର୍ଥ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ, \(\frac{8}{2}\) + 1 = 4 + 1 = 5ମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ

= \(\frac{58+65}{2}=\frac{123}{2}\) = 61.5

(iii) ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ କଲେ – 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15, 20 ।
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 8
ଫଳରେ ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ଦ୍ବୟ \(\frac{8}{2}\) = 4ର୍ଥ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ, 4 + 1 = 5ମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ

(iv) ନଅଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଊର୍ଦ୍ଧ୍ବକ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ କଲେ – 18, 19, 25, 25, 29, 31, 31, 32, 37
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = 9
ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ = \(\frac{9+1}{2}\) = 5ମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ∴ ମଧ୍ୟମା (M_d) = 29 ।

Question 3.
(i) ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର କର ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	11	12	13	14	15	16
ବାରମ୍ବାରତା (f)	2	4	6	10	8	7

ସମାଧାନ :

ଏଠାରେ ମୋଟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ n ଅଯୁଗ୍ମ ହୋଇଥିବାରୁ ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ସ୍ଥାନ (m)
\(\frac{n+1}{2}=\frac{37+1}{2}=\frac{38}{2}\) = 19 ତମ ସ୍ଥାନ
19ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 22

(ii)

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	1	2	3	4	5	6	7	8
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	8	15	24	14	9	5	4

ସମାଧାନ :

n = 84
84
∴ ମଧ୍ଯମ ସ୍ଥାନ = \(\frac{84}{2}\) = 42 ତମ ସ୍ଥାନ । 42 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା 52 ।
∴ 52 ତମ ସ୍ଥାନର ସ୍ଥାନୀୟ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 4 ।
∴ ମଧ୍ୟମା (M_n) = 4

(iii) ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ 80 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ଗଣିତ ବିଷୟରେ ପାଇଥ‌ିବା ନମ୍ବର ଦିଆଯାଇଛି । ଉକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀ ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥିର କର ।

ଗଣିତରେ ରଖୁଥ‌ିବା ନମ୍ବର (x)	10ରୁ କମ୍	20ରୁ କମ୍	30ରୁ କମ୍	40ରୁ କମ୍	50ରୁ କମ୍	60ରୁ କମ୍
ଛାତ୍ରସଂଖ୍ୟା (c.f.)	3	12	27	57	75	80

ସମାଧାନ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c.f.)
0-10	3	3
10-20	9	12
20-30	15	27
30-40	30	57
40-50	18	75
50-60	05	80
	n=80

ଏଠାରେ ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{n}{2}=\frac{80}{2}\) = 40
40 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 57
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ ହେଲା : (30 – 40)
l = 30, f = 30, c = 27, i = 40 – 30 = 10
ମଧ୍ୟମା (M_d) = l + \(\frac{m-c}{f}\) × i = 30 + \(\frac{40-27}{30}\) × 10 = 30 + \(\frac{13}{3}\) = 30 + 4.3 = 34.3

Question 4.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	55	65	75	85	95	105	115	125	135
ବାରମ୍ବାରତା	4	21	35	42	70	28	10	25	15

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	ସଂଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f.
50-60	55	4	4
60-70	65	21	25
70-80	75	35	60
80-90	85	42	102
90-100	95	70	172
100-110	105	28	200
110-120	115	10	210
120-130	125	25	235
130-140	135	15	250
		n = Σf = 250

ଏଠାରେ ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{n}{2}=\frac{250}{2}\) = 125,
125 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 172
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 90 – 100
l = 90, m = 125, f = 70, c = 102, i = 100 – 90 = 10
ମଧ୍ୟମା (M_d) = l + \(\frac{m-c}{f}\) × i = 90 + \(\frac{125-102}{30}\) × 10 = 90 + \(\frac{23}{7}\) = 90 + 3.3 = 93.3

Question 5.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ ସ୍ଥିର କର ।

ଉଚ୍ଚତା ସେ.ମି.	0ରୁ ଅଧ୍ଵ	10ରୁ ଅଧ୍ଵ	20ରୁ ଅଧ୍ଵ	30ରୁ ଅଧ୍ଵ	40ରୁ ଅଧ୍ବକ
ଗସ୍ଥ	55	50	40	20	5

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f.
50-40	5	5
40-30	15	20
30-20	20	40
20-10	10	50
10-0	5	55
	N=Σf=55

ଏଠାରେ m = \(\frac{55}{2}\) = 27.5, 28 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 40
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 20 -30 ।
∴ l = 30, f = 20, c = 20, i = 20 – 30 = -10
M_d = l + \(\frac{m-c}{f}\) × i = 30 + \(\frac{27.5-20}{20}\) × (-10) = 30 + \(\frac{7.5}{2}\) = 30 – 3.75 = 26.25
∴ ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 20 – 30, ମଧ୍ୟମା = 26.25

(ଗ – ବିଭାଗ )

Question 6.
ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
ବାରମ୍ବାରତା	4	9	15	14	8

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f.
0-10	4	4
10-20	9	13
20-30	15	28
30-40	14	42
40-50	8	50
	N=Σf=50

ଏଠାରେ n = 50, m = \(\frac{50}{2}\) = 25, 25 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 28
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 20 – 30 । ସଂଭାଗ (i) = 30 – 20 = 10
∴ l = 20, f = 15, c = 13,
M_d = l + \(\frac{m-c}{f}\) × i = 20 + \(\frac{25-13}{15}\) × 10 = 20 + \(\frac{120}{15}\) = 20 + 8 = 28
∴ ମଧ୍ୟମା = 28

Question 7.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ତୁମେ ଜାଣିଥ‌ିବା ଉଭୟ ପ୍ରଣାଳୀରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ଉତ୍ତର ଦ୍ବୟ ମଧ୍ୟରେ କ’ଣ ସମ୍ପର୍କ ରହିଛି ଦେଖ ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	2	5	6	7	8	9	10
ବାରମ୍ବାରତା (f)	8	12	21	31	18	13	5

ସମାଧାନ :
ପ୍ରଥମ ପ୍ରଣାଳୀ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	2	5	6	7	8	9	10
ବାରମ୍ବାରତା (f)	8	12	21	31	18	13	5
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	8	20	41	72	90	103	108

ମଧ୍ୟମ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{n+1}{2}=\frac{108+1}{2}=54.8\)
54.5 ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ହେଲା 72 । ∴ ମଧ୍ୟମା = 7 (ପ୍ରାୟ)
ଦ୍ଵିତୀୟ ପ୍ରଣାଳୀ :

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ (x)	2	5	6	7	8	9	10
ବାରମ୍ବାରତା (f)	8	12	21	31	18	13	5
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	8	20	41	72	90	103	108

ମାଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{108}{2}\) = 54
ଅଙ୍କିତ ଲେଖ (ogive) ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କରାଯାଇଛି ।
ଯାହାର y – ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 54 (ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ) । ପୁନଶ୍ଚ P ବିନ୍ଦୁରୁ X – ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇ P ବିନ୍ଦୁର x – ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କରାଯାଇଛି ।

ଏଠାରେ x – ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 65
ଦଉ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା = 6:5 (ପ୍ରାୟ)
ଉତ୍ତର ଦ୍ବୟର ପାର୍ଥକ୍ୟ = 7 – 6.5 = 0.5

Question 8.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ (x)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	12	22	18	10	6

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ (x)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	12	22	18	10	6
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା(c.f.)	5	17	39	57	67	73

∴ ମଧ୍ୟମା ସ୍ଥାନ = m = \(\frac{73+1}{2}\) = 37 । m ଠାରୁ ଠିକ୍ ବୃହତ୍ତର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 39
∴ ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ (20 – 30). ଏଠାରେ, l₁= 20, l₂ = 30
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = f = 22
ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗର ଠିକ୍ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = c = 17
ମଧ୍ୟମା = l₁ + \(\frac{m-c}{f}\) (l₁ – l₂)
= 20 + \(\frac{37-17}{22}\) (30 – 20) = 20 + \(\frac{20×10}{22}\) = 20 + 9.1 = 29.1 (ପ୍ରାୟ)

Question 9.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ଓ ଏହା ସାହାଯ୍ୟରେ
(i) ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଏବଂ
(ii) 65% ରୁ ଅଧ୍ଵ ନମ୍ବର ରଖୁଥ‌ିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ନମ୍ବର :	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା	5	10	20	25	15	12	9	8

ସମାଧାନ : (i)

ନମ୍ବର :	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା (f)	5	10	20	25	15	12	9	8
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c.f.)	5	15	35	60	75	87	96	104

ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ = \(\frac{1}{2} {\frac{104}{2}+(\frac{104}{2})}\) = \(\frac{1}{2}\) (52+53) = \(\frac{1}{2}\) × 105 = 52.5
ମଧ୍ୟମା ନିଶ୍ଚୟ : ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା c.f, ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଅକ୍ଷରେ 52.5 ଏକକ ଚିହ୍ନ ପାଖରେ ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଗୋଟିଏ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ।
ଏହାର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଲେଖକୁ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ତାହାର ନାମ ‘P’ ନିଅ ।
‘P’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର, ତାହାର ନାମ M ଦିଅ ।
∴ M ଦ୍ଵାରା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ M = 37 (ପ୍ରାୟ)

(ii) 100 ର 65% = 65
x ଅକ୍ଷରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ A ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯାହାର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 65% ।
A ବିନ୍ଦୁରୁ ଉଲମ୍ବ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ଲେଖଚିତ୍ରକୁ ‘B’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
B ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ଆନୂଭୂମିକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର; ଯାହା y-ଅକ୍ଷକୁ ୯ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
‘C’ ବିନ୍ଦୁରୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ସଂଖ୍ୟା = 92
∴ 65%ରୁ ଅଧ୍ଵ ନମ୍ବର ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ସଂଖ୍ୟା 104 – 92 = 12

Question 10.
ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ନେଇ ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଲେଖ ଅଙ୍କନ କରି ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ	0-8	8-16	16-24	24-32	32-40	40-48	48-56
ବାରମ୍ବାରତା	4	8	14	23	15	11	5

ସମାଧାନ :

ସଂଭାଗ	0-8	8-16	16-24	24-32	32-40	40-48	48-56
ବାରମ୍ବାରତା	4	8	14	23	15	11	5
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା	4	12	28	49	64	75	80

ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{80}{2}\) = 40
ଅଙ୍କିତ ଲେଖ (ogive) ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯାହାର y- ସ୍ଥାନଙ୍କ = 40
P ବିନ୍ଦୁରୁ x- ଅକ୍ଷରେ ଲମ୍ବ PM ଅଙ୍କନ କରି P ବିନ୍ଦୁର x- ସ୍ଥାନଙ୍କ ସ୍ଥିର କରାଯାଇଛି ।
P ବିନ୍ଦୁର x ସ୍ଥାନାଙ୍କ = 29 ।
ମଧ୍ୟମା = 29

Question 11.
ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟାବଳୀରେ ଥ‌ିବା କେତେକ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ଦିଆଯାଇନାହିଁ । ଯଦି ବାରମ୍ବାରତାମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି 74 । ତଥ୍ୟାବଳୀର ମଧ୍ୟମା 36 ହୋଇଥାଏ, ତେବେ ଆମକୁ ଜଣା ନଥ‌ିବା ଦୁଇ ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା ସ୍ଥିର କର ।

ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ :	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା	2	8	?	20	12	?	4	3

ସମାଧାନ :

ମନେକର (20-30) ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = x
ସାରଣୀ 40 – 50 ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 42 + x
ଦତ୍ତ ଅଛି 50 – 60 ସଂଭାଗର ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା = 67
50-60 ସଂଭାଗ ବାରମ୍ବାରତା = 67 – (42 + x) = 25 – x
ଏଠାରେ ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{74}{2}\) = 37 ତମ ସ୍ଥାନ
ମଧ୍ୟମା = 36 (ଦତ୍ତ), ମଧ୍ୟମା ସଂଭାଗ = 30 – 40 l₁= 30, l₂ = 40
i = l₁ – l₂ = 40 – 30 = 10 ଓ c = 10 + x
ମଧ୍ୟମା = l + \(\frac{m-c}{f}\) × i
⇒ 36 = 30 + \(\frac{37-(10+x)}{20}\) × 10
⇒ 36 -30 = \(\frac{37-10-x}{2}\)
⇒ 6 = \(\frac{27-x}{2}\) ⇒ 12 = 27 – x
⇒ x = 27 – 12 = 15
∴ (20 – 30) ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = 15
ଏବଂ (50 – 60) ସଂଭାଗର ବାରମ୍ବାରତା = 25

Question 12.
200 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ଗଣିତ ପରୀକ୍ଷାରେ ରଖିଥ‌ିବା ନମ୍ବର ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଶତକଡ଼ାରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

ନମ୍ବର ଶତକଡ଼ାରେ :	10-19	20-29	30-39	40-49	50-59	60-69	70-79	80-89
ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା :	6	12	20	46	57	37	15	7

(i) ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲେଖ ଅଙ୍କନ କରି ମଧ୍ୟମ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) ଗଣିତରେ 45% ନମ୍ବର ହାସଲ କରିଥିବା ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :

ନମ୍ବର ଶତକଡ଼ାରେ	9.5-19.5	19.5-29.5	29.5-39.5	39.5-49.5	49.5-59.5	59.5-69.5	69.5-79.5	79.5-89.5
ବାରମ୍ବାରତା (f)	6	12	20	46	57	37	15	7
ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା (c.f.)	6	18	38	84	141	178	193	200

[ବି.ଦ୍ର. : ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣ ବ୍ୟବସ୍ଥାର ଥିବା ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣ ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଛି ।]
ମଧ୍ୟମ ସ୍ଥାନ (m) = \(\frac{1}{2}\)(\(\frac{200}{2}+\frac{200}{2}+1\)) = \(\frac{1}{2}\)(100+101) = 100.5
(i) ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ : ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲେଖ ଉପରେ 100.5 ଚିହ୍ନ ପାଖରେ ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର । ଏହା ରାଶିକୃତ ବାରମ୍ବାରତା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲେଖକୁ ‘P’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ । ‘P’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ତାହାର ନାମ M ଦିଅ ।
M ଦ୍ବାରା ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ M_d = 48

(ii) x ଅକ୍ଷରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ‘A’ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯାହାର ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 45% ।
‘A’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଭୂଲମ୍ବ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ଲେଖଚିତ୍ରକୁ ‘B’ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
‘B’ ବିନ୍ଦୁରୁ ଏକ ଆନୁଭୂମିକ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କର ଯାହା y-ଅକ୍ଷକୁ ୯ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରିବ ।
C ବିନ୍ଦୁରୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶକ ସଂଖ୍ୟା = 80
45 % ପାଇଥିବା ଛାତ୍ରସଂଖ୍ୟା = 200 – 80 = 120

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 15 Statistics will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 15 Statistics

Measures Of Central Tendency:
A measure of central tendency or average is a value, that is the representative of whole data and signifies its characteristics.
Different measures of central tendency are: (a) Mean (b) Median (c) Mode.

(a) Mean (Arithmetic Mean):
Mean of ungrouped data: The mean of ‘n‘ observations x₁, x₂ …..x_n = \(\bar{x} \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{N}\)

Mean of grouped data:
(i) Direct Method
If x_i are the mid values of the intervals with frequency f_i then the mean \(\bar{x}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^n f_i x_i\)

(ii) Shortcut Methods:
(1) Assumed mean method
Mean = \(\overline{\mathrm{x}}=\mathrm{A}+\frac{1}{\mathrm{~N}} \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}\)
where A = the assumed mean ⇒ d_i = x_i – A

(iii) Step Deviation Method:
Mean = \(\overline{\mathrm{x}}=\mathrm{A}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{N}} \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}\)
where A = The assumed mean, C = Class width
u_i = \(\frac{d_i}{C}=\frac{x_i-A}{C}\)

(b) Median
(i) Median of ungrouped data:
Let n is the number of observation.
Arrange the observations in ascending or descending order.
⇒ If n is odd, Median = \(\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)^{\mathrm{th}}\) observation.
⇒ If n is even, Median = \(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)^{\mathrm{th}} \text { observation }+\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)^{\mathrm{th}} \text { observation }}{2}\)

(ii) Median of grouped data

• Get \(\frac{\mathrm{N}}{2}\) and cummulative frequencies of all classes.
• Get the Median class.
  Median class = The class whose cumulative frequency is just greater than (or near to) \(\frac{\mathrm{N}}{2}\).
  Median = l + \(\frac{\mathrm{m}-\mathrm{c}}{\mathrm{fm}}\) × h,
  where l = lower limit of median class .
  h = Class width of median class M = \(\frac{\mathrm{N}}{2}\).
  c = Cummulative frequency of the class preceeding the median class.
  f_m = Frequency of the median class.

(c) Mode
Mode is the most frequent value.
⇒ We can find mode using the empirical formula:
Mode = 3 Median – 2 Mean.
(i) Mode for Grouped data
⇒ Get the Modal class: It is the class with maximum frequency.
Mode = \(l+\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{m}}-\mathrm{f}_1}{2 \mathrm{f}_{\mathrm{m}}-\mathrm{f}_1-\mathrm{f}_2} \times \mathrm{c}\)
where l = lower limit of modal class.
f_m = Frequency of modal class.
f₁ = Frequency of the class just preceeding modal class.
f₂ = Frequency of the class just suceeding modal class.

Measure Of Dispersion:
The variability or scatter or spreading of data is known as dispersion.

Some of the measures of dispersion are:

(a) Range
(b) Mean deviation
(c) Variance
(d) Standard deviation

(a) Mean deviation: Mean deviation is the mean of absolute deviations of all observations from a central value (Mean or Median).

For Group – B
A = 35, C = 10


As C. V of Group – A is more, the data for group – A is more dispersed

For Group – A

Analysis Of Frequency Distribution:
Coefficient of variation (C. V) = \(\frac{\sigma}{x}\) × 100

Note:

• The distribution with greater C. V is more variable or dispersed and lesser C. V is less variable or more consistent.
• If two distributions have same mean then they can be compared on the basis of their standard deviation.

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 14 Limit and Differentiation will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 14 Limit and Differentiation

Limit Of A Function:

A real number ‘l’ is called the limit of the function f(x) as x tends to ‘a’ if for every ∈ > 0, there exist δ > 0 such that |f(x) – l| < ∈ whenever |x – a| < δ
We write \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) = l
Left and right hand limit:

Left hand limit of f(x) as x → a is:
\(\lim _{x \rightarrow a-}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(a – h)

Right hand limit of f(x) as x → a is:
\(\lim _{x \rightarrow a+}\) f(x) = \(\lim _{h \rightarrow 0}\) f(a + h)

Existance of limit:
\(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) exists if it is unique, irrespective of any type of approach i.e if LHL = RHL. i.e if \(\lim _{x \rightarrow a-}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow a+}\) f(x)

Indeterminate forms:
The forms : \(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}\), ∞ – ∞, 0 × ∞, 0°, ∞° and 1^∞ are called indeterminate forms in mathematics.

Properties of limit:

Some standard limits:

Limit At Infinite And Infinite Limits:

(a) We write \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) = ∞ if for a given m > 0, there exists δ > 0 such that |x – a| < δ ⇒ f(x) > m for large m.

(b) We write \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) = -∞ if for a given m < 0, there exists δ > 0 such that |x – a| < δ ⇒ f(x) < m for large |m|.

(c) \(\lim _{x \rightarrow ∞}\) f(x) = l if for given ∈ > 0 there exists k > 0 such that x > k ⇒ |f(x) – l| < ∈ for large x.

(d) \(\lim _{x \rightarrow -∞}\) f(x) = l if for given ∈ > 0, there exists k < 0 such that x < k ⇒ |f(x) – l| < ∈ for large |k|.

(e) We write \(\lim _{x \rightarrow ∞}\) f(x) = ∞ if for m > 0 there exists k > 0 such that x > x ⇒ f(x) > m for large m.

(f) \(\lim _{x \rightarrow ∞}\) xⁿ = \(\left\{\begin{array}{lll}
\infty & \text { if } & n>0 \\
1 & \text { if } & n=0 \\
0 & \text { if } & n<0
\end{array}\right.\)

(g) \(\lim _{n \rightarrow ∞}\) xⁿ = \(\left\{\begin{array}{ccc}
0 & \text { if } & |x|<1 \\
1 & \text { if } & x=1 \\
\infty & \text { for } & x>1
\end{array}\right.\) does not exist for x ≤ -1.

Some useful expansions:

Techniques to find limit:
If \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x), does not take any indeterminate form then get the limit just by putting x = a(provided that the limit is finite).
If \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) takes any indeterminate form then either use formula or simplify to remove the indeterminate form before finding limit.
The indeterminate form can be removed by using.

• Factorisation
• Rationalisation
• Expand  formula or any other techniques.

Differentiation:

(a) Let y = f(x) is a function.
The derivative (differential coefficient) of y or f(x) with respect to x is \(\frac{d y}{d x}\) = f'(x) = \(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

(b) The differentiation of y = f(x) at x = a is \(\left.\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right]_{\mathrm{x}=\mathrm{a}}\) = f'(a) = \(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

(c) Differentiability of y = f(x) at x = a:

(d) Geometrical meaning of differentiation:
Geometrically f'(x) or \(\frac{d y}{d x}\) represents the slope of tangent to y = f(x) at any point P(x, y)
⇒ Slope of tangent to y = f(x) at A(x₁, y₁) = \(\left.\frac{d y}{d x}\right]_{\left(x_1, y_1\right)}\)

(e) Some rules of differentiation:

(f) Differentiation of some standard functions:

Odisha State Board CHSE Odisha Class 11 Math Notes Chapter 7 Linear Inequalities will enable students to study smartly.

CHSE Odisha 11th Class Math Notes Chapter 7 Linear Inequalities

Inequality:
A statement with symbols like >, ≥, <, ≤ is an inequality.

Different types of inequality:

(a) Numerical inequality: It is an inequality involving numbers not variables.
(b) Literal inequality: It is the inequality involving literal numbers(variable).
(c) Strict inequality: An inequality with only > or < symbols is a strict inequality.
(d) Slack inequality: An inequality with only ≥ or ≤ symbols is a slack inequality.

Linear inequality:
An inequality involving variables in the first degree is called linear inequalities.
(a) General form of inequalities:
(i) In one variable: ax + b > or ≥ or < or ≤ 0
(ii) In two variables: ax + by + c > or ≥ or < or ≤ 0.

Intervals:

• Closed Interval: [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}
• Open Interval: (a, b) = {x ∈ R: a < x < b}
• Semi-open or semi-closed interval:
  ⇒ [a, b) = {x ∈ R: a ≤ x < b}
  ⇒ (a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b}

Basic properties of inequalities:
(1) a > b, b > c ⇒ a > c
(2) a > b ⇒ a ± c > b ± c
(3) a > b

• m > 0 ⇒ am > bm, \(\frac{a}{m}>\frac{b}{m}\)
• m < 0 ⇒ am < bm, \(\frac{a}{m}<\frac{b}{m}\)

(4) If a > b > 0, then
a² > b², |a| > |b| and \(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)
If a < b < 0, then
|a| > |b| and \(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)

Graphical solution of linear inequalities in two variables:
Working rule:

Let the inequality is ax + by + c < or ≤ or > or ≥ 0

Step – 1: Consider the equation ax + by + c = 0 in place of the inequality and draw its graph (Draw a dotted line for > or < and a bold line for ≥ or ≤).
Step – 2: Take any point that does not lie on the graph, and put the coordinate in the inequality.
If you get true then the inequality is satisfied. Shade the half-plane containing that point otherwise the inequality is not satisfied. In this case shade the half plane region that does not contain the point.
Step – 3: The shaded region is the required solution.

Solution of a system of linear inequalities in two variables:

Step – 1: Draw the graph of all lines.
Step – 2: Shade the appropriate region for each inequality.
Step – 3: The common region is the required solution.

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(a) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Algebra Chapter 5 ପରିସଂଖ୍ୟାନ Ex 5(a)

(କ – ବିଭାଗ )

Question 1.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଯେଉଁଟି ଠିକ୍ ତା’ ପାଖରେ T ଓ ଯେଉଁଟି ଭୁଲ ତା’ ପାଖରେ F ଲେଖ ।
(i) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ ସେ ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ସଙ୍ଗେ ସମାନ ।
(ii) ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଥିବା ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ପଦର ମାଧ୍ଯମାନ ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ଯମପଦ ସଙ୍ଗେ ସମାନ ।
(iv) ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉତ୍ତର ମିଳିବ ।
(v) କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ 20 ହେଲେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 15ର ବିଚ୍ୟୁତି 5 ।
(vi) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ \(\frac{n+2}{2}\)।
(vii) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 2n + 2 ।
(viii) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 10 ।
(ix) 15 ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 17 । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣି ସେମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ସ୍ଥିର କଲେ ମାଧ୍ୟମାନ 8.5 ହେବ ।
(x) ପ୍ରଥମ 20ଟି ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ, ପ୍ରଥମ 20ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧମାନର ଦୁଇ ଗୁଣ ।
ଉ :
(i) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ ସେ ଦ୍ଵୟ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଯୁଗ୍ମସଂଖ୍ୟା ସଙ୍ଗେ ସମାନ । (T)
(ii) ଏକ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତିରେ ଥିବା ତିନୋଟି କ୍ରମିକ ପଦର ମାଧ୍ଯମାନ ସେମାନଙ୍କର ମଧ୍ଯମପଦ ସଙ୍ଗେ ସମାନ । (T)
(iv) ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ ଦତ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କଲେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉତ୍ତର ମିଳିବ । (T)
(v) କୌଣସି ତଥ୍ୟାବଳୀର ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ 20 ହେଲେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 15ର ବିଚ୍ୟୁତି 5 । (F)
(vi) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ \(\frac{n+1}{2}\)। (T)
(vii) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 2n + 2 । (F)
(viii) ପ୍ରଥମ ଦଶଗୋଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 10 । (T)
(ix) 15 ଗୋଟି ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ 17 । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣି ସେମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ସ୍ଥିର କଲେ ମାଧ୍ୟମାନ 8.5 ହେବ । (F)
(x) ପ୍ରଥମ 20ଟି ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ, ପ୍ରଥମ 20ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧମାନର ଦୁଇ ଗୁଣ । (F)

ବ୍ୟାଖ୍ୟା ସହ ଉତ୍ତର:
(i) (T) (କାରଣ 3 ଓ 5ର ମାଧ୍ୟମାନ \(\frac{3+5}{2}=4\))
(ii) (T) (କାରଣ AM \(\frac{a+b}{2}\))
(iii) (T) (କାରଣ ମାଧ୍ଯମାନର ପ୍ରତିଶବ୍ଦ ହାରାହାରି ଅଟେ ।)
(iv) (F) (ସର୍ବଦା ବିଚ୍ୟୁତିର ମାଧ୍ଯମାନ ସହିତ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ଯୋଗ କରାଯାଏ, ତେଣୁ ଉତ୍ତର ସର୍ବଦା ସମାନ ହେବ ।)
(v) (F) (କାରଣ ବିଚ୍ୟୁତି = ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ – ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ = 15 – 20 = – 5)
(vi) (T) (କାରଣ ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
∴ ମାଧ୍ୟମାନ = \(\frac{n(n+1)}{2n}=\frac{n+1}{2}\))
(vii) (F) (ସୂତ୍ର ଅନୁସାରେ n + 1 ହେବ ।)
(viii) (T) (କାରଣ ପ୍ରଥମ ଦଶଟି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି = 10², ମାଧ୍ୟମାନ = \(\frac{10²}{10}\) = 10)
(ix) (F) (କାରଣ ମାଧମାନ 2 ଗୁଣ ହେବ ।)
(x) (F) (କାରଣ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାରେ 2 ଗୁଣିଲେ ତା 20ଟି ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ।)

Question 2.
ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ପ୍ରଦତ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତରମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛ ।
(i) 61, 62, 68, 56, 64, 72, 69, 51, 71, 67, 70, 55, 63 ଏହି ଲବ୍ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ ନିରୂପଣ ଲାଗି ନିମ୍ନସ୍ଥ ସଂଖ୍ୟାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ଉପଯୁକ୍ତ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ?
(A) 55
(B) 60
(C) 70
(D) 72

(ii) ପ୍ରଥମ 20ଟି ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?
(A) 10
(B) 10½
(C) \(\frac{21}{20}\)
(D) 210

(iii) ପ୍ରଥମ ‘n’ ସଂଖ୍ୟକ ସଂପ୍ରସାରିତ ସ୍ଵାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (Whole number)ର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ?
(A) \(\frac{n-1)}{2}\)
(B) \(\frac{n}{2}\)
(C) \(\frac{n+1}{2}\)
(D) n

(iv) ପ୍ରଥମ ‘n’ ସଂଖ୍ୟକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ?
(A) (n – 1)
(B) n
(C) n + 1
(D) n + 2

(v) ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ?
(A) (n – 11)
(B) n
(C) n + 1
(D) n + 2

(vi) ‘m’ ମାଧମାନ ବିଶିଷ୍ଟ 10ଟି ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ 2 ବଢ଼ାଇଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କ 10ଟିର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) (n – 11)
(B) n
(C) n + 1
(D) n + 2

(vii) ‘M’ ମାଧ୍ୟମାନ ବିଶିଷ୍ଟ n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ 4 ଗୁଣ କରିଦେଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) \(\frac{M)}{4}\)
(B) M
(C) 4M
(D) \(\frac{4}{M}\)

(viii) ‘M’ ମାଧ୍ଯମାନ ବିଶିଷ୍ଟ n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକରୁ x ବିୟୋଗ କଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) M
(B) (M + x)
(C) Mx
(D) (M – x)

(ix) ‘M’ ମାଧ୍ଯମାନ ବିଶିଷ୍ଟ n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକକୁ 5 ଦ୍ଵାରା ଭାଗକଲେ ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) M
(B) \(\frac{M}{5}\)
(C) 5M
(D) M – 5

(x) ଯଦି à ସଂଖ୍ୟକ ବାଳକମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ବୟସ 12 ବର୍ଷ ଓ b ସଂଖ୍ୟକ ବାଳିକାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ବୟସ 10 ବର୍ଷ ହୁଏ, ତେବେ ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ ବାଳକ ବାଳିକାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ ବୟସ କେତେ ବର୍ଷ ହେବ ?
(A) \(\frac{10a+12b}{a+b}\)
(B) \(\frac{12a+10b}{a+b}\)
(C) \(\frac{10a+12b}{10+12}\)
(D) \(\frac{12a+10b}{10+12}\)

(xi) 998.9, 999.1, 1000-3, 1000-6, 1000.1 ର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ?
(A) 998
(B) 999
(C) 1000
(D) 1001

(xii) 6,8, 5, 7, x ଏବଂ 4 ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ 7 ହେଲେ xର ମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13

(xiii) E₁, E₂, E₃, E₄, E₅, E₆ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧ୍ଯମାନ M ହେଲେ ⁶Σ_i=1(x₁ – M)ର ମାନ କେତେ ହେବ ?
(A) 0
(B) 6
(C) 36
(D) -6

(xiv) x, x + 2, x + 4, x + 6, x + 8ର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ ?
(A) x+2
(B) x + 4
(C) x+6
(D) x

(xv) 18ର ସମସ୍ତ୍ର ଗୁଣନୀୟକମାନଙ୍କର ମାଧ୍ୟମାନ କେତେ
(A) 5
(B) 6
(C) 6.5
(D) 7

ଉତ୍ତର:
(i) 69
(ii) 10½
(iii) \(\frac{n-1}{2}\)
(iv) n + 1
(v) n
(vi) m + 2
(vii) 4M
(viii) (M – x)
(ix) \(\frac{M}{5}\)
(x) \(\frac{12a+10b}{a+b}\)
(xi) 1000
(xi) 1000
(xii) 12
(xiii) 0
(xiv) x + 4
(xv) 6.5

(ଖ – ବିଭାଗ )

Question 3.
ଦଶଥର ଖେଳି ଜଣେ କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳାଳୀ ସଂଗ୍ରହ କରିଥିବା ରଗୁଡ଼ିକ ହେଲା – 47, 41, 50, 39, 45, 48,
42, 32, 60 ଏବଂ 20 । ତାଙ୍କଦ୍ୱାରା ସଂଗୃହୀତ ରନ୍‌ର ମାଧ୍ଯମାନ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀରେ (ଉପଯୁକ୍ତ ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ ନେଇ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ମନେକର ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ 45 1 ( ∵ ସର୍ବନିମ୍ନ ଏବଂ ସର୍ବାଧ‌ିକ ରନ୍ ଯଥାକ୍ରମେ 20 ଏବଂ 60) ।
∴ ଲବ୍ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ବିଚ୍ୟୁତିମାନ 2, − 4, 5, 6, 0, 3, – 3, −13, 15, – 25
ବିଚ୍ୟୁତିମାନଙ୍କର ସମଷ୍ଟି = – 26

∴ ଦଶଥର ଖେଳି ସଂଗୃହୀତ ରନ୍‌ର ମାଧ୍ୟମାନ = 42.4

Question 4.
କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ଓଜନରେ 30 ଜଣ ପିଲାଙ୍କର ଓଜନ ହେଲା 21, 30, 40, 25, 26, 22, 26, 31, 22, 36, 30, 25, 25, 33, 30, 25, 27, 27, 25, 31, 33, 22, 21, 36, 40, 31, 33, 30, 37, 36 | ଏହି ତଥ୍ୟାବଳୀକୁ ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନରେ ସଜ୍ଜିତ କରି ମାଧ୍ଯମାନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଓଜନ କିଲୋଗ୍ରାମ୍ ମାପରେ ଥ‌ିବା ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କୁ ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନ ସାରଣୀରେ ରଖିଲେ –

ଉକ୍ତ ସାରଣୀରୁ 2f = 30 ଏବଂ Efx = 876.. ମାଧ୍ୟମାନ = \(\frac{Σf_x}{Σf}\)

Question 5.
କିଛି ରାସାୟନିକ ପଦାର୍ଥର ଓଜନ 30 ଥର ନିଆଯାଇ ଫଳାଫଳକୁ ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ସଜାଯାଇଛି । ମାଧ୍ଯମାନ ଓଜନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ଓଜନ (ଗ୍ରାମ୍‌ରେ)	3.8	3.9	4.0	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6
ବାରମ୍ବାରତା	1	1	6	6	7	5	2	1	1

ସମାଧାନ :

ଓଜନ (ଗ୍ରାମ୍‌ରେ) (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ଓଜନ × ବାରମ୍ବାରତା (fx)
3.8	1	3.8
3.9	1	3.9
4.0	6	24.0
4.1	6	24.6
4.2	7	29.4
4.3	5	21.5
4.4	2	8.8
4.5	1	4.5
4.6	1	4.6
	Σf=30	Σfx=125.1

∴ ମାଧ୍ଯମାନ = \(\frac{Σf_x}{Σf}=\frac{125.1}{30}=4.17\)
∴ ମାଧ୍ୟମାନ ଓଜନ 4.17 ଗ୍ରାମ୍ ।

Question 6.
ଏକ ଶ୍ରେଣୀରେ 30 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ହାରାହାରି ବୟସ 12 ବର୍ଷ । ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ସହିତ ସେମାନଙ୍କର ହାରାହାରି ବୟସ 13 ବର୍ଷ ହେଲେ, ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
ସମାଧାନ :
ଏକ ଶ୍ରେଣୀରେ 30 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ହାରାହାରି ବୟସ 12 ବର୍ଷ ।
30 ଜଣ ଛାତ୍ରଙ୍କର ମୋଟ ବୟସ = 30 × 12 = 360 ବର୍ଷ ।
ଛାତ୍ରମାନଙ୍କ ସହ ତାଙ୍କର ଶ୍ରେଣୀଶିକ୍ଷକ ମିଶିବାରୁ ହାରାହାରି ବୟସ 13 ବର୍ଷ ହେଲା ।
∴ 31 ଜଣ ଅର୍ଥାତ୍ 30 ଜଣ ଛାତ୍ର ଓ ଜଣେ ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ମୋଟ ବୟସ = 31 × 13 = 403 ବର୍ଷ ।
ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ବୟସ = 403 – 360 = 43 ବର୍ଷ ।
∴ ଶ୍ରେଣୀ ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ବୟସ 43 ବର୍ଷ ।

Question 7.
x₁, x₂, x₃ …… ପ୍ରଭୃତି n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ m । ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କରେ (a + b) ଯୋଗ କରାଯାଏ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, ନୂତନ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ମାଧମାନ (m + a + b) ହେବ ।
ସମାଧାନ :
ଲବ୍‌ଧାଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ x₁, x₂, x₃ ……… x_n
ଉକ୍ତ n-ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କମାନଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ (m) = \(\frac{x_1+x_2+x_3+…..x_n}{n}\)

(ଗ – ବିଭାଗ )

Question 8.

ସମାଧାନ :

ଉଚ୍ଚତା (x)	ବାରମ୍ବାରତା (f)	ଫଭାଗର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ	ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ × ବାରମ୍ବାରତା (fy)
70-65	4	67.5	270.0
65-60	7	62.5	437.5
60-55	8	57.5	460.0
55-50	10	52.5	525.0
50-45	5	47.5	237.5
45-40	6	42.5	255.0
40-35	3	37.5	112.5
35-30	7	32.5	227.5
30-25	2	27.5	55.0
	Σf = 52		Σfy = 2580.00

∴ ମାଧ୍ଯମାନ = \(\frac{Σfy}{Σf}=\frac{2580}{52}=49.6\)
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : (ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ)

ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ = 47.5, ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର (i) = 5
ମାଧ୍ୟମାନ = ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ + \(\frac{Σfy’}{Σf}\) × i = 47.5 + \(\frac{22×5}{52}\) (y’ = ବିଚ୍ୟୁତି) = 47.5 + \(\frac{110}{52}\) = 47.5+2.1 = 49.6
ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ = \(\frac{\text { ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା + ସଂଭାଗର ଉଚ୍ଚସୀମା }}{2}\)
ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ସଂଭାଗୀକରଣରେ ସଂଭାଗ ବିସ୍ତାର = ସଂଭାଗର ଉଚ୍ଚସୀମା – ସଂଭାଗର ନିମ୍ନସୀମା

Question 9.
ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀର ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ନିରୂପଣ କର ।

ସଂଭାଗ	84-90	90-96	96-102	102-108	108-114	114-120
ବାରମ୍ବାରତା	8	10	16	23	12	11

ସମାଧାନ :

∴ ମାଧ୍ଯମାନ = A + \(\frac{Σfy}{Σf}=100+\frac{244}{80}\) = 100 + 3.05 = 103.05

Question 10.
ନିମ୍ନ ଭାଗ-ବିଭକ୍ତ ବାରମ୍ବାରତା ବିତରଣ ସାରଣୀରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ସୋପାନ-ବିଦ୍ୟୁତ ପ୍ରଣାଳୀରେ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗ	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20	20-24
ବାରମ୍ବାରତା	5	7	10	15	9	4

ସମାଧାନ :

∴ ମାଧ୍ୟମାନ = ଆରମ୍ଭ ବିନ୍ଦୁ + \(\frac{Σfy’}{Σf}\) × c = 12 + \(\frac{6}{50}\) × 2 = 12 + 0.24 = 12.24
ବିକଳ୍ପ ପ୍ରଣାଳୀ : ମାଧମାନ (M) = A + \(\frac{Σfy}{Σf}\) × i
ସୂତ୍ରର ପ୍ରୟୋଗ କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ । ଯେଉଁଠାରେ i = ସଂଭାଗବିସ୍ତାର ହେବ ।

Question 11.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ଉଭୟ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପ୍ରଣାଳୀ ଓ ସୋପାନ-ବିଦ୍ୟୁତ ପ୍ରଣାଳୀ ଅବକମୂଳରେ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗ (C.I.)	0-50	50-100	100-150	150-200	200-250	250-300
ବାରମ୍ବାରତା (f)	4	10	12	10	8	8

ସମାଧାନ :

∴ ମାଧ୍ଯମାନ = A + \(\frac{Σfy}{Σf}=150+\frac{300}{52}\) = 150 + 5.77 = 155.77

∴ ମାଧ୍ୟମାନ (M)= A + \(\frac{Σfy’}{Σf}\) × c = 150 + \(\frac{12}{52}\) × 25 = 150 + 5.77 = 155.77

Question 12.
ସୋପାନ ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ, ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗ	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
ବାରମ୍ବାରତା	10	6	8	12	5	9

ସମାଧାନ :

ଏଠାରେ A = 55, i = 60 – 50 = 10
∴ ମାଧ୍ୟମାନ (M)= A + \(\frac{Σfy’}{Σf}\) × i = 55 + \(\frac{-27}{50}\) × 10 = 55 + (-5.4) = 49.6

Question 13.
(i) ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ 7.5 ହେଲେ ‘f” ର ନିରୂପଣ କର ।

ସଂଭାଗ	5	6	7	8	9	10	11	12
ବାରମ୍ବାରତା	20	17	f	10	8	6	7	6

(ii) ମୂଲ୍ୟ ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ 6 ହେଲେ ‘P’ ର ମୂଲ୍ୟ ନିରୂପଣ କର ।

ସଂଭାଗ	3	6	7	4	P+3	8
ବାରମ୍ବାରତା	5	2	3	2	4	6

ସମାଧାନ :
(i) ବଡ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ = 7.5

ମାଧ୍ୟମାନ (M) = \(\frac{Σfy}{Σf}\) ⇒ 7.5 = \(\frac{563+7f}{74+f}\)
⇒ 555 + 7.5f = 563 + 7f ⇒ 7.5f – 7f = 563 – 555
⇒ 0.5f = 8 ⇒ f = 8 ⇒ \(\frac{1}{2}\)f = 8 × 2 = 16

(ii) ବଡ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ୟମାନ = 6

ମାଧ୍ୟମାନ (M) = \(\frac{Σfy}{Σf}\) ⇒ 6 = \(\frac{116+4p}{22}\)
⇒ 4p + 116 = 132 ⇒ 4p = 16
⇒ p = \(\frac{16}{4}\) = 4

Question 14.
ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧମାନ 50 ଏବଂ ବାରମ୍ବାରତାଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି 120 ହେଲେ f₁ ଓ f₂ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

ସଂଭାଗ	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
ବାରମ୍ବାରତା	17	f1	32	F2	19

ସମାଧାନ :
ବଡ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧମାନ = 50, ବାରମ୍ବାରତାଗୁଡ଼ିକର ସମଷ୍ଟି = 120

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ, 68 + f₁ + f₂ = 120
f₁ + f₂ = 52
Σfx = 3480 + 30f₁ + 70f₂ = 3480 + 30(f₁ + f₂) + 40f₂
=3480 + 30 × 52 ÷ 40f₂ = 3480+ 1560 + 40f₂ = 5040 + 40f₂
∴ ମାଧ୍ୟମାନ (m) = \(\frac{Σfx}{Σf}=\frac{5040+4f_2}{120}\)
⇒ 50= \(\frac{5040+4f_2}{120}\) ⇒ 40f₂ = 6000 – 5040 ⇒ f₂ = \(\frac{960}{40}\) = 24

ଆଗରୁ ପ୍ରମାଣିତ f₁ + f₂ =52 f₁ = 52 – 24 = 28
∴ f₁ = 28 ଏବଂ f₂ = 24

Question 15.
ସୋପାନ-ବିଚ୍ୟୁତି ପ୍ରଣାଳୀ ଅବଲମ୍ବନରେ ନିମ୍ନ ସାରଣୀ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ତଥ୍ୟାବଳୀର ମାଧ୍ଯମାନ ସ୍ଥିର କର ।

ସଂଭାଗ	10-19	20-29	30-39	40-49	50-59	60-69	70-79
ବାରମ୍ବାରତା	5	65	222	112	53	40	3

ସମାଧାନ :

∴ ମାଧ୍ୟମାନ = A + \(\frac{Σfy’}{Σf}\) × i = 44.5 + \(\frac{-225}{500}\) × 10 = 44.5 + \(\frac{-450}{100}\) = 44.5 – 4.5 = 40

Question 16.
x₁, x₂, x₃ ……. ପ୍ରଭୃତି n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମାଧ୍ଯମାନ M । ଯଦି \(\sum_{i=1}^n\left(x_i-5\right)=60\) ଏବଂ \(\sum_{i=1}^n\left(x_i-8\right)\) = 24 ହୁଏ ତେବେ ‘n’ ଓ M ସ୍ଥିର କର ।
ସମାଧାନ :
x₁, x₂, x₃ ………. ପ୍ରଭୃତି n ସଂଖ୍ୟକ ଲବ୍‌ଧାଙ୍କର ମାଧମାନ M ।
⇒ \(\frac{x_1+x_2+x_3+…..x_n}{n}=M\)
⇒ x₁ + x₂ + x₃ ……. + x_n = nM
\(\sum_{i=1}^n\left(x_i-5\right)=60\)
⇒ (x₁ – 5) + (x₂ – 5) + (x₃ – 5) ……. + (x_n – 5) = 60
⇒ (x₁ + x₂ + x₃ ……. + x_n) – 5n = 60
⇒ nM – 5n = 60 ………(i)
⇒ \(\sum_{i=1}^n\left(x_i-8\right)\) = 24 ⇒ nM – 8n = 24 ………(ii)
ସମୀକରଣ (i)ରୁ (ii)କୁ ବିୟୋଗ କଲେ

‘n’ ର ମାନ ସମୀକରଣ (i)ରେ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ nM – 5n = 60
⇒ 12M – 60 = 60 ⇒ 12M = 120
⇒ M = \(\frac{120}{12}\) = 10
∴ n = 12 ଓ M = 10

Odisha State Board BSE Odisha 10th Class Maths Solutions Geometry Chapter 2 ବୃତ୍ତ Ex 2(b) Textbook Exercise Questions and Answers.

BSE Odisha Class 10 Maths Solutions Geometry Chapter 2 ବୃତ୍ତ Ex 2(b)

Question 1.
ନିମ୍ନ ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକରେ ଠିକ୍ ଉକ୍ତି ପାଇଁ T ଓ ଭୁଲ ଉକ୍ତି ପାଇଁ F ଲେଖ ।
(i) ବୃତ୍ତର ଏକ ଉପସେଟ୍‌କୁ ଚାପ କହନ୍ତି ।
(ii) ଚାପର ଏକ ଅନ୍ତ୍ରମ୍ମ ଦିନ୍ଦୁ ସମ୍ରକ୍ର ଦୃଭର ଅନ୍ତ୍ରମ ବନ୍ଧୁ ନ୍ମ6ଦୃ |
(iii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ P ଓ Q ଦୁଇଟି ଚାପର ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରର ପରିପୂରକ ଚାପ
(iv) ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚାପର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁକୁ କେନ୍ଦ୍ର ସହିତ ଯୋଗ କଲେ ଯେଉଁ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ ତାହା ଉକ୍ତ ଚାପର କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ଅଟେ ।
(v) ଦୁଇଟି ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପର ସମଷ୍ଟି 360°ରୁ ଅଧ‌ିକ ହୋଇ ପାରିବ ନାହିଁ ।
(vi) ବୃତ୍ତ ଏକ ଉତ୍ତଳ ସେଟ୍ ନୁହେଁ ।
(vii) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ଚାପର ଗୋଟିଏ ସାଧାରଣ ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ଥିଲେ ଚାପ ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ଚାପ ହେବେ ।
(viii) ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା ସହ ସମ୍ପୃକ୍ତ ଚାପଦ୍ଵୟ ସନ୍ନିହିତ ଚାପ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟର ସଂଯୋଗରେ ସର୍ବଦା ବୃହତ୍ ଚାପ ଗଠିତ ହେବ ।
(ix) ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ୟା ପରସ୍ପରକୁ ଲମ୍ବ ଭାବରେ ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ P ରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ଠାରୁ ସେମାନଙ୍କ ପ୍ରତି \(\overline{\mathrm{OQ}}\), \(\overline{\mathrm{OR}}\) ଲମ୍ବ ଗଠନ କରାଯାଇଛି । ତେବେ ଠ, Q, P ଓ R ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ରର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ହେବେ ।
(x) \(\overparen{B P C}\) ର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 30° । A ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ △ABC ରେ ∠Aର ପରିମାଣ ସର୍ବଦା 15° 6ଦ୍ଵଦା
(xi) ଗୋଟିଏ ଚାପ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁର ସମାହାର ଅଟେ ।
(xii) ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ରମ୍ବସ୍ ଏକ ବର୍ଗଚିତ୍ର ।
Solution:
(i) T
(ii) T
(iii) T
(iv) F
(v) F
(vi) T
(vii) T
(viii) F
(ix) F
(x) F
(xi) T
(xii) T

Question 2.
ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ …………….. ରୁ ବେଶୀ ।
(ii) ଗୋଟିଏ ସୁଷମ୍ ଷଡ଼ଭୁଜର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁ ଏହାର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କରୁଥିବା କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ……………….. |
(iii)
(iv) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଦୁଇଟି ସର୍ବସମ ଜ୍ଯା \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{CD}}\) ପରସ୍ପରକୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ Pରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ B ଓ C \(\overline{\mathrm{OP}}\)ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିଲେ \(\overparen{A D}\) ଓ ……………….. ଦୁହେଁ ସର୍ବସମ ।
(v) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଏକ ଜ୍ୟାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସହ ସମାନ ହେଲେ ଉକ୍ତ ଜ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଛେଦିତ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପର ତିଗ୍ରା ପରିମାପ ………….. |
(vi) \(\overline{\mathrm{AB}}\) ର ଏକ ପାଣ୍ଡରେ C ଓ D ଦୁଇଟି ଦିନ୍ଦୁ | m∠ACB = m∠ADB = 20° △ACD ର ପରିଦର୍ଭର 6କହ O 6ଦୃବେ m∠AOB ……………. |
(vii) m∠ABC = 90° ଚତୁର୍ଭୁକ △ABC ର ପରିଦଉଭେ AC ଏକ ………………… |
(viii) ABCD ଏକ ଦ୍ଵରାନ୍ତକଖର ଚତୁର୍ଭୁକ m∠BAD ………………. ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ।
(ix) ଏକ ଅର୍ଥବୃତ୍ତର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ………….. |
(x) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ ଏକ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 90° ହେଲେ, ସଂପୃକ୍ତ ଜ୍ୟା ଓ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁ ପାତ …………….. |
Solution:
(i) 180°
(ii) 60° \(\left(\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}\right)\)
(iii) 70° m∠D = 180° – 120° = 60°
m∠C = 180° – 50° = 130°
∴ m∠C – m∠D = 130° – 60° = 70°

(iv) \(\overparen{B C}\) \(\overparen{A C B}\) ≅ \(\overparen{C A D}\) ( ∵ AB ≅ CD (ଦତ୍ତ))
⇒ BC ≅ AD

(v) 60° ଜ୍ୟାର ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁଦ୍ଵୟ ଓ କେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ ହେବେ |
(vi) 40° O ବିଦୁଟି ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ହେବ ।
(vii) ବ୍ୟାସ (ଅର୍ଦ୍ଧବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ ସମକୋଣ ।)
(viii) \(\overparen{B C D}\)
(ix) 90°
(x) √ 2 : 1 (ସଂପୃକ୍ତ ଜ୍ୟାଟି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ)

Question 3.
ଚିତ୍ରରେ △ABC ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ଏବଂ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣୀ । D, E, F ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

(i) ∠B କେଉଁ ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ?
(ii) ∠B ଦ୍ବାରା କେଉଁ ଚାପ ଛେଦିତ ?
(iii) \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଜ୍ୟା ଦ୍ବାରା ଛେଦିତ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ଓ ବୃହତ୍ ଚାପ କିଏ ?
(iv) ∠A ର ପରିମାଣ କେଉଁ କେନ୍ଦ୍ରସ୍ଥ କୋଣ ପରିମାଣର ଅର୍ଦ୍ଧେକ ?
(v) △ABC ରେ ଯଦି AB = BC ହୁଏ ତେବେ କେଉଁ ଚାପ ଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେବେ ?
(vi) ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ ଚାପର ନାମ ଲେଖ ଯେପରିକି ସେମାନଙ୍କ ସଂଯୋଗରେ \(\overparen{B A D}\) ଗଠିତ ହେବ ।
(vii) \(\overparen{B F C}\) ଉପରେ ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ P ନିଅ ଯେପରିକି m∠BPA = m∠C । ଏପରି କେତୋଟି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି ? ADC ଉପରେ ଏପରି କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି କି ? \(\overparen{B E A}\) ଉପରେ ଏପରି କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ଅଛି କି ?
Solution::
(i) ∠B, \(\overparen{E B F}\) ର୍ଥିଥଚା \(\overparen{A B C}\) ର ଅନ୍ତ୍ର କିଣତ |
(ii) ∠Bଦ୍ଵାରା \(\overparen{A D C}\) ଛେଦିତ ।
(iii) \(\overline{\mathrm{BC}}\) ଖ୍ୟା ଦ୍ଵାରା ଛେଦିତ ସୁଦୃତାପ \(\overparen{B F C}\) ଦ୍ଦଦ୍ର ତ୍ତାପ \(\overparen{B A C}\) |
(iv) m∠A = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠BOC
(v) △ABC ରେ \(\overparen{A E B}\) ≅ \(\overparen{B F C}\)
(vi) \(\overparen{B E A}\) ∪ \(\overparen{A D}\) = \(\overparen{B A D}\), \(\overparen{B E}\) ∪ \(\overparen{E A D}\) = \(\overparen{B A D}\)
(vii) ଏପରି ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି । \(\overparen{A D C}\) ଉପରେ ମଧ୍ୟ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି । \(\overparen{B E A}\) ଚାପ ଉପରେ ଏପରି ବିନ୍ଦୁ ରହିବା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।

Question 4.
ଚିତ୍ରରେ ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ ଯାହର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
m\(\overparen{A E B}\) = 100° 6 ଦ୍ଵ6କ |

(i) ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମସ୍ତ କୋଣ ପରିମାଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) \(\overparen{A H D}\) ଓ \(\overparen{B F C}\) ମଧ୍ୟରେ କି ସମ୍ପର୍କ ଦେଖୁଛ ?
(iii) ABCD କି ପ୍ରକାର ଚତୁର୍ଭୁଜ ?
Solution:

m \(\overparen{A E B}\) : 100°
⇒ m∠ADB = m∠ACB = 50°
m∠COD = 100° (ତ୍ପତାପ 6କାଶ)
⇒ m∠CBD = m∠CAD = 50°
m∠BOC = 180° – 100° = 80°
⇒ m∠BAC = m∠BDC = 40°
⇒ m∠AOD = 80°
⇒ m∠ACD = m∠ABC = 40°

(i) m∠A = m∠BAC + m∠CAD = 40° + 50° = 90°
6ସ ଦ୍ଵିପରି m∠С = 90°, m∠B = 90° ଓ m∠D = 90° |
(ii) \(\overparen{A H D}\) ≅ △\(\overparen{B F C}\)
(ii) ABCD ଏକ ଆୟତଚିତ୍ର ।

Question 5.
ଚିତ୍ରରେ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{CD}}\) ଜ୍ୟା ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ବୃତ୍ତର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ P ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । m∠PBD = 80°, m∠CAP = 45° 6ଦ୍ଵଲେ :
(i) △BPDର କୋଣ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(ii) △APCର କୋଣ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
(iii) △APC ଓ △BPD ମଧ୍ୟରେ କି ସମ୍ପର୍କ ଦେଖୁଛ ?

Solution:
m∠PBD = 80°, m∠CAP = 45°

(i) \(\overparen{B C}\) ଉପରିସ୍ଥ m∠CDB = m∠CAP = 45°
∴ m∠BPD = 180° – 80° – 45° = 55°
∴ △BPDର m∠BPD = 55°
m∠PDB = 45°, m∠PBD = 80°

(ii)
△APCର m∠CAP = 45° (ଦଉ)
m∠APC = m∠BPD = 55° (ପ୍ରତାପ 6କାଣ)
∴ m∠ACP = m∠PBD = 80° (\(\overparen{A D}\) ଉପରିସ୍ଥ ପରିଧ୍ଵସ୍ଥ ଏକ କୋଣ)

(iii) △APC ~ △BPD (କୋ . କୋ . କୋ . ପାଦଣ୍ୟ)

Question 6.
△ABCରେ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, △BDC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
Solution:

ଦତ୍ତ : △ABCର ∠Aର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ D ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : △BDC ସମଦ୍ବିବାହୁ ।
ପ୍ରମାଣ : ∠BAD ≅ ∠CAD (ଦଉ)
⇒ \(\overparen{B D}\) ≅ \(\overparen{D C}\) ⇒ \(\overline{\mathrm{BD}}\) ≅ \(\overline{\mathrm{DC}}\) (ଚାପ ସର୍ବସମ ହେତୁ ଜ୍ୟାଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ)
=> △BDC ସମଦିବାହୁ ।

Question 7.
ଚିତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ A ଠାରୁ \(\overrightarrow{\mathbf{AP}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathbf{AR}}\) ରଶ୍ମିଦ୍ଵୟ ବୃତ୍ତକୁ ଯଥାକ୍ରମେ P, Q ଏବଂ R, S ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ଯେପରି A-P-Q ଏବଂ A-R-S |
(a) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ △APR ~ △AQS
(b) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ △APS ~ △ARQ

(C) ଯଦି \(\overline{\mathrm{PS}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{QR}}\) ର ଛେନ୍ଦ୍ରବିନ୍ଦୁ T ହୁଏ, ତେଦେ
(i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ TP • TS = TR • TQ
(ii) ପ୍ତମାଣ କାର 6ପ m∠PTR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (m\(\overparen{Q S}\) + m\(\overparen{P R C}\))

(d) m∠PAR = 15° ଏବଂ m\(\overparen{Q X S}\) = 50° ହେଲେ m∠PTR ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।
Solution:

(a) ପ୍ରମାଣ : PRSQ ଏକ ଦ୍ଵରାନୁଲଖତ ଚତୁରୁଜ |
⇒ m∠RSQ + m∠RPQ = 180°
କିନ୍ନ m∠RPQ + m∠APR = 180°
⇒ m∠RSQ + m∠RPQ = m∠RPQ + m∠APR
m∠RSQ = m∠APR
△APR ଓ △AQS ମଧ୍ୟ6ର m∠RAP = m∠QAS
ଓ m∠RSQ = m∠APR |
⇒ △APR ~ △AQS (6କା-6କା ସାଦ୍ୱଣ)

(b) △APS ଓ △ARQ ମଧ୍ୟ6ର
m∠PAS = m∠RAQ (ମଧ୍ୟ6ର 6କା)
m∠ASP = m∠AQR (ଏକ ଚାପ ଉପରିମ ପରିଧମ 6କାଣ)
⇒ △APS ~ △ARQ

(c) (i) △ TPQ ଓ △TRS ମଧ୍ୟ6ର
m∠TPQ = m∠TRS (ଏକ ଚାପ ଉପରିମ ପରିଧମ 6କାଣ)
m∠PTQ = m∠RTS (ପ୍ତତାପ 6କାଣ)
⇒ △TPQ ~ △TRS (6କା-6କା ସାଦ୍ୱଣ)
⇒ \(\frac { TP }{ TR }\) = \(\frac { TQ }{ TS }\) ⇒ TP • TS = TR • TQ
=m∠SPQ + m∠PQR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)m\(\overparen{Q S}\) + \(\frac { 1 }{ 2 }\)m\(\overparen{P R}\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (m\(\overparen{Q S}\) + m\(\overparen{P R}\)) (9flêe)

(d) m∠PAR = 15°
m\(\overparen{Q X S}\) = 50° ⇒ m∠QPS = \(\frac { 50° }{ 2 }\) = 25°
△APS 6ର 6କାଣ m∠QPS = m∠PAR + m∠PSR
⇒ 25° = 15° +m∠PSR ⇒ m∠PSR = 25° – 15° = 10°
m∠QRS = m∠QPS = 25°
∴ m∠PTR = m∠QRS + m∠TSR = 25° + 10° = 35°

Question 8.
ଚିତ୍ରରେ ABC ଦଉର \(\overparen{A X B}\) ଓ \(\overparen{B Y C}\) ହୁକରି ଚାପର ଗିଗାମାପ ଯଥାକୃମେ 80° ଓ 140° |

(i) m∠BAC କିଣ୍ଡଯ କର |
(ii) m\(\overparen{A B C}\) କିଣ୍ଡଯ କର |
(iii) m\(\overparen{A C B}\) କିଣ୍ଡଯ କର |
(iv) \(\overparen{A Z C}\) ଓ \(\overparen{B Y C}\) ମଧ୍ୟରେ କି ସମଳ ଅଛି ?
Solution:
m\(\overparen{A X B}\) + m\(\overparen{B Y C}\) + m\(\overparen{A Z C}\) = 360° ⇒ 80° + 140° + m\(\overparen{A Z C}\) = 360°
⇒ m\(\overparen{A Z C}\) = 360° – 80° – 140° = 140°
(i) M∠BAC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m\(\overparen{B Y C}\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 140° = 70°
(ii) \(\overparen{A B C}\) = 360° – 140° = 220°
(iii) \(\overparen{A C B}\) = M\(\overparen{A Z C}\) + m\(\overparen{B Y C}\) = 140° + 140° = 280°
(iv) \(\overparen{A Z C}\) ≅ \(\overparen{B Y C}\) (“: m∠AOC = m∠BOC)

Question 9.
ଏକ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ଏବଂ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଏକ ବ୍ୟାସ । ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ P ଓ ଠୁ ବିଦୁ୍ୟଦ୍ୱୟ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଯଦି A ଓ P ପ୍ରାନ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 60° ଏବଂ B ଓ ( ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ 50° ହୁଏ ତେବେ–
(i) A ଓ Q ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପର ଡିଗ୍ରୀ
(ii) P ଓ B ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ
(iii) P ଓ Q ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

Solution:
m∠AOP = 60°
m∠BOQ = 50°
⇒ m⇒POQ = 180° – (60° + 50°) = 70°
(i) m\(\overparen{A Q}\) = 60° + 70° = 130°
(ii) m\(\overparen{P B}\) = 70° + 50° = 120°
(iii) m\(\overparen{P Q}\) = 70°

Question 10.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) ଓ \(\overline{\mathrm{CD}}\) ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଜ୍ୟା । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) M\(\overparen{A X C}\) = m\(\overparen{B Y D}\), (ii) AC = BD |

Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD 96 \(\overline{\mathrm{CD}}\) || \(\overline{\mathrm{AB}}\) |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ :
(i) M\(\overparen{A X C}\) = m\(\overparen{B Y D}\)
(ii) AC = BD
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathrm{BC}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ତ୍ପମାଣ : \(\overline{\mathrm{CD}}\) || \(\overline{\mathrm{AB}}\) (ଦଉ)

⇒ m∠ABC = m∠BCD
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) m\(\overparen{A X C}\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m\(\overparen{B Y D}\)
⇒ m\(\overparen{A X C}\) = m\(\overparen{B Y D}\)

(ii) \(\overparen{A X C}\) = \(\overparen{B Y D}\) ⇒ AC = BD (ଚାପ ସବସମ ହେତ୍ ଲ୍ୟା ସଦସ୍ୟ)

Question 11.
ABCD ଏକ ଦ୍ଵରୀନ୍ତ୍ର କିଖବ ତତ୍କଲକ |
(i) AC = BD ଏବଂ \(\overline{\mathbf{AB}}\)||\(\overline{\mathbf{CD}}\) 6ଦ୍ର6କ ପ୍ରମାଣ କର ସେ, AD = BC |
(ii) AD = BC 6ଦ୍ର6କ ପ୍ରମାଣ କର ସେ, AC = BD ଏବଂ \(\overline{\mathbf{AB}}\)||\(\overline{\mathbf{CD}}\) |
Solution:
(i) ଦର : ABCD ଦୃଭାନ୍ତ୍ରରଖତ ଚତୁରୁକରେ
AC = BD ଏବଂ \(\overline{\mathbf{AB}}\)||\(\overline{\mathbf{CD}}\) |
ପ୍ରାମଣ୍ୟ: AD = BC
ପ୍ରମାଣ : AC = BD (ଦତ୍ତ)

⇒ \(\overparen{A D C}\) ≅ \(\overparen{B C D}\)
⇒ l \(\overparen{A X D}\) + l \(\overparen{D Y C}\) = l \(\overparen{D Y C}\) + l \(\overparen{B Z C}\)
⇒ l \(\overparen{A X D}\) = l \(\overparen{B Z C}\) ⇒ \(\overparen{A X D}\) ≅ \(\overparen{B Z C}\)
⇒ AD = BC

(ii) ଦଉ : ABCD ଏକ ତ୍ରଭାନ୍ତକଖତ ତଡୁରୁକ | AD = BC
ପ୍ତମାଣ୍ୟ: (i) AC = BD (ii) \(\overline{\mathbf{AB}}\)||\(\overline{\mathbf{CD}}\)
ପ୍ରମଣ : AD = BC ⇒ \(\overparen{A X D}\) ≅ \(\overparen{B Z C}\)

⇒ l \(\overparen{A X D}\) = l \(\overparen{B Z C}\)
⇒ l \(\overparen{A X D}\) + l \(\overparen{D Y C}\) = l \(\overparen{D Y C}\) + l \(\overparen{B Z C}\)
⇒ l \(\overparen{A D C}\) = l \(\overparen{B C D}\) ⇒ \(\overparen{A D C}\) ≅ \(\overparen{B C D}\) ⇒ AC = BD (i)
ପୁକଣ୍ଠ ∵ \(\overparen{A X D}\) ≅ \(\overparen{B Z C}\)
⇒ m \(\overparen{A X D}\) + m \(\overparen{B Z C}\) ⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) m \(\overparen{A X D}\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) m \(\overparen{B Z C}\)
⇒ m∠ABD = m∠BDC (ଏକାନ୍ତ୍ରର) ⇒ \(\overline{\mathbf{AB}}\)||\(\overline{\mathbf{CD}}\) …(ii)

Question 12.
(i) ଗୋଟିଏ ବୃତ୍ତରେ \(\overparen{A X B}\) ଏକ ଚାପ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ \(\overparen{A X B}\)ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଗୋଟିଏ ଏବଂ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ C ଅଛି ଯେପରି \(\overparen{A C}\) ଓ \(\overparen{B C}\) ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେବେ । (C ବିନ୍ଦୁକୁ \(\overparen{A X B}\) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ ।)
(ii) ଚାପର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଧାରଣାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, AXBରେ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି ।

Solution:
(i) ଦତ୍ତ : O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର । \(\overparen{A X B}\) ଏକ ଚାପ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) \(\overparen{A X B}\) ର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ଗୋଟିଏ
ଏବଂ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ C ଅଛି,
ଯେପରି \(\overparen{A C}\) = \(\overparen{C B}\)ହେବ ।
(ii) \(\overparen{A X B}\) ରେ ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ରହିଅଛି ।
∠AOB ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ଅଙ୍କନ :
ପ୍ରମାଣ :
(i) \(\overparen{A X B}\) ଚାପ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ଆବଶ୍ୟକ C ବିନ୍ଦୁଟି ଅନନ୍ୟ ଅର୍ଥାତ୍ ଗୋଟିଏ ଓ କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ ହେବ ଯାହା m∠AOB ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ରଶ୍ମି \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେବ । ପୁନଶ୍ଚ ଚାପର ସର୍ବସମତା ଅନୁସାରେ ଦୁଇଟି ଚାପର ଡିଗ୍ରୀ ପରିମାପ ସମାନ ହେଲେ ଚାପଦ୍ଵୟ ସର୍ବସମ ହେବେ ।
ଦର ଚିତ୍ର6ର m∠AOC = m∠BOC 6ଦ୍ରଦ \(\overparen{A C}\) = \(\overparen{C B}\) 6ଦ୍ରଦ | (ପ୍ରମାଣିତ)

(ii) ଦତ୍ତ ଚିତ୍ରରେ A ଓ B ବିନ୍ଦୁ ସମେତ ‘A’ ଠାରୁ ‘B’ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ମାନଙ୍କର ସେଟ୍‌କୁ ଏକ ଚାପ କୁହାଯାଏ । A ଓ B ଏହି ଚାପର ଦୁଇଟି ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଅଟନ୍ତି । ପ୍ରାନ୍ତବିନ୍ଦୁ ଭିନ୍ନ ଚାପ ଉପରିସ୍ଥ ଅନ୍ୟ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କୁ ଚାପର ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ; ଯାହା ଅସଂଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସେଟ୍ ।(ପ୍ରମାଣିତ)

Question 13.
ଚିତ୍ରରେ AB ବୃତ୍ତର ଏକ ବ୍ୟାସ ଏବଂ O କେନ୍ଦ୍ର । OD ଯେକୌଣସି ଏକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ | \(\overline{\mathbf{AC}}\)||\(\overline{\mathbf{OD}}\) ହେଲେ, ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overparen{B X D}\) ଓ \(\overparen{D Y C}\) ସର୍ବସମ ଅର୍ଥାତ୍ D, \(\overparen{B D C}\)ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ । (ସୂଚନା : \(\overline{\mathbf{OC}}\) ଅଙ୍କନ କରି ଦର୍ଶାଅ ଯେ, m∠BOD = m∠DOC)

Solution:
ଦତ୍ତ : ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O | \(\overline{\mathbf{AB}}\) ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ । \(\overline{\mathbf{AC}}\)||\(\overline{\mathbf{OD}}\) |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overparen{B X D}\) ≅ \(\overparen{D Y C}\) ଅର୍ଥାତ୍ D, \(\overparen{B D C}\) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathbf{CO}}\) ଅଙ୍କନ କର ।

ପ୍ରମାଣ : △AOC ରେ OA = OC ⇒ m∠OAC = m∠OCA
କିନ୍ତୁ m∠OAC – m∠BOD (ଅନୁରୁପ)
∴ m∠OAC = m∠BOD (i)
ପୁନଶ୍ଚ m∠OCA=m∠COD …(ii)
(i) ଓ (ii) ରୁ m∠BOD = m∠COD ⇒ \(\overparen{B X D}\) ≅ \(\overparen{D Y C}\)
⇒ D, \(\overparen{B D C}\) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ।

Question 14.
ଚିତ୍ରରେ \(\overline{\mathbf{CD}}\) ଜ୍ୟା \(\overline{\mathbf{AB}}\) ବ୍ୟାସ ସହ ସମାନ୍ତର ଏବଂ CD = OB |
ପ୍ରମାଣ୍ୟ କର ଯେ m∠BDC = 2m∠OBD |

Solution:
ଦତ୍ତ : ବୃତ୍ତର \(\overline{\mathbf{AB}}\) ବ୍ୟାସ । \(\overline{\mathbf{CD}}\) ଜ୍ୟା । CD = OB \(\overline{\mathbf{CD}}\) ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସହ ସମାନ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠BDC = 2m∠OBD
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathbf{OC}}\) ଏବଂ \(\overline{\mathbf{OD}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ସ୍ତମାଣ : CD = OB = OC = OD ∴ △OCD ସମବାହୁ ।

⇒ m∠OCD = 60°
ପୁନଶ୍ଚ, COBD ଏକ ରମଣ (∵ CD = OB, \(\overline{\mathbf{CD}}\)||\(\overline{\mathbf{OB}}\) ଏବଂ OB = OC = CD)
∴ m∠OBD =m∠OCD = 60° ଏବଂ m∠BDC = 120°
∴ m∠BDC = 2m∠OBD (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 15.
ABCD ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖୂତ ଚତୁର୍ଭୁଜର \(\overline{\mathbf{AC}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{BD}}\) କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ P ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । O ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ B ଓ C, \(\overleftrightarrow{O P}\) ର ବିପରୀତ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଅବସ୍ଥିତ । ଯଦି AC = BD ହୁଏ, ତେବେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
(i) AB = CD, (ii) PA = PD 1° (iii) \(\overline{\mathbf{BC}}\) || \(\overline{\mathbf{AD}}\) |
Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ । \(\overline{\mathbf{AC}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{BD}}\) କର୍ଣ୍ଣଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ P ଠାରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
AC = BD |

ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) AB = CD (ii) PA = PD (iii) \(\overline{\mathbf{BC}}\) || \(\overline{\mathbf{AD}}\)
ପ୍ତମାଣ: (i) AC = BD ⇒ \(\overparen{A D C}\) ≅ \(\overparen{B A D}\)
⇒ \(\overparen{A Y B}\) ≅ \(\overparen{C Z D}\)
(∵ \(\overparen{A X D}\) ଭରଯ \(\overparen{A D C}\) ଓ \(\overparen{B A D}\) ର ପାଧାରଣ ଚାପ )
⇒ AB = CD ….(i)

(ii) △ABD ଏବଂ △ADC ଦଯ6ର \(\overline{\mathbf{AD}}\) ପାଧାରଣ, AB = CD [(i) ରେ ପ୍ତମାଣିତ]
ଏବଂ AC = BD (ଦର)
∴ m∠ADB = m∠CAD ⇒ m∠ADP = m∠PAD
⇒ PA = PD …(ii)

(iii) m∠DAC = m∠DBC (ଏକ ଦ୍ଵରଖଣ୍ଡମ 6କାଣ)
କିନ୍ତୁ m∠DAC = m∠ADB
∴ m∠ADB = m∠PBC
କିନ୍ତୁ ଏମା6ନ ଏକାନ୍ତ୍ରର |
∴ \(\overline{\mathbf{BC}}\) || \(\overline{\mathbf{AD}}\)

Question 16.
(i) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ପ୍ରମାଣ କରଯେ ର ଥନ୍ତ୍ର କିଣିତ 6କାଶ ଏକ ପୁର6କାଣ |
(ii) ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପର ଅନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣ ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ ।
(ସୂଚନା : \(\overparen{A P B}\) ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପ ଓ \(\overparen{A Q B}\) ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ହେଉ ।
\(\overline{\mathbf{AD}}\) ଦ୍ୟାସ ଅକନ କର | m∠APD = 90° m∠APB)

Solution:
ଏବଂ m∠AQB < 90°
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathbf{AR}}\) ବ୍ୟାସ ଅଙ୍କନ କରି । \(\overline{\mathbf{PR}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : (i) \(\overline{\mathbf{AR}}\) ବ୍ୟାସ । m∠APR ଅର୍ଥବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ । ∴ m∠APR = 90°
କିନ୍ତ୍ର R, ∠APB ର ଅନ୍ତ୍ ମ ହୋଇଥିବାରୁ m∠APR + m∠RPB = m∠APB
m∠APR = 90° ହେତୁ m∠APB > 90° ….. (i)
ଅର୍ଥାତ୍ ∠APB ଏକ ସ୍ଥୂଳକୋଣ ।

(iii) \(\overparen{A P B}\) କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପର ବିପରୀତ ଚାପ \(\overparen{A Q B}\) ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ।
m∠APB+m∠AQB = 180° (·.· AQBP ଏକ ବୃହତ୍ ଚାପ ହେଉ )
(i) ରେ ପ୍ରମାଣିତ m∠APB > 90°
∴ m∠AQB < 90° ଅର୍ଥାତ୍ m∠AQB ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 17.
(i) △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ( ତ୍ରିଭୁଜଟିର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,
m∠BAC + m∠OBC = 90° |
(ii) △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର O ତ୍ରିଭୁଜଟିର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ । O ଏବଂ A, \(\overline{\mathbf{BC}}\) ର ବିପରୀତ ପାଣମ 6ଦୃକେ, ଦେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, m∠BAC – m∠OBC = 90° |
Solution:
(i) ଦତ୍ତ : △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଠ, ତ୍ରିଭୁଜର ଏକ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ତାମାଣ୍ୟ: m∠BAC + m∠OBC = 90°
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BO}}\) ବୃତ୍ତର ପରିଧ‌ିକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ । \(\overline{\mathbf{PA}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ABC ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ \(\overline{\mathbf{BP}}\) |

⇒ m∠BAP = 90° (ଅଦି ଦ୍ଵରଖଣ୍ଡମ କୋଣ)
⇒m∠BAC+m∠CAP = 90°
ମାତ୍ର m∠CAP = m∠PBC (ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ m∠PBC=m∠OBC
⇒ m∠BAC+m∠OBC = 90°

(ii) ଦତ୍ତ : △ABCର ପରିବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ଠ ତ୍ରିଭୁଜଟିର ଏକ ବହିଃସ୍ଥ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ତାମାଣ୍ୟ: m∠BAC – m∠OBC = 90°
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathrm{BO}}\) ବୃତ୍ତର P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରୁ । \(\overline{\mathbf{PA}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ: ABC ଦ୍ଦଭର ବ୍ୟାସ \(\overline{\mathbf{BP}}\) |

⇒ m∠BAP = 90° (ଅଦି ଦ୍ଵରଖଣ୍ଡମ କୋଣ)
⇒ m∠BAC – m∠CAP = 90°
⇒ m∠BAC – m∠CBP = 90°
(∵ m∠CAP – m∠CBP ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
⇒ m∠BAC – m∠OBC = 90°

Question 18.
ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍‌ର ଅସମାନ୍ତର ବାହୁଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ହେଲେ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖୁତ ହେବ ।
Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ । \(\overline{\mathrm{AD}}\) || \(\overline{\mathrm{BC}}\) ଏବଂ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ≅ \(\overline{\mathrm{CD}}\) |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ ।

ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathrm{DM}}\) || \(\overline{\mathrm{AB}}\) ଅଙ୍କନ କର ।.
\(\overline{\mathrm{DM}}\) , \(\overline{\mathrm{BC}}\) କୁ M ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁ ।
ପ୍ରମାଣ : ADBM ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର ।
(: \(\overline{\mathrm{AD}}\) || \(\overline{\mathrm{BM}}\) ଏବଂ \(\overline{\mathrm{DM}}\) || \(\overline{\mathrm{AB}}\) )
⇒ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ≅ \(\overline{\mathrm{DM}}\)
କିନ୍ତୁ ଦକ \(\overline{\mathrm{AB}}\) ≅ \(\overline{\mathrm{DC}}\)
∴ \(\overline{\mathrm{DM}}\) ≅ \(\overline{\mathrm{DC}}\) ⇒ m∠DMC = m∠DCM
କିନ୍ତୁ \(\overline{\mathrm{AB}}\) || \(\overline{\mathrm{DM}}\), \(\overline{\mathrm{BC}}\) ଛେଦକ । ⇒ m∠ABM = m∠DMC (ଅନୁରୂପ)
m∠ABM = m∠DCM ⇒ m∠ABC = m∠DCB
\(\overline{\mathrm{AD}}\) || \(\overline{\mathrm{BC}}\) ହେତ୍ର m∠DAB + m∠ABC = 180°
⇒ m∠DAB + m∠DCB = 180° (∵ m∠ABC = m∠DCB)
⇒ ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜ । (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 19.
ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତ ପରସ୍ପରକୁ P ଓ () ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । P ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ଏକ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟକୁ K ଓ L ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । ସେହିପରି Q ମଧ୍ୟଦେଇ ଏକ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟକୁ M ଓ N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । K ଓ M \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ର ଏକ ପାର୍ଶ୍ବରେ ଥିଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overline{\mathrm{KM}}\) || \(\overline{\mathrm{LN}}\) |

Solution:
ଦତ୍ତ : S₁ ଓ S₂ ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ P ଓ Q ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି ।
P ଓ Q ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟଦେଇ ଅଙ୍କିତ ସରଳରେଖା ବୃତ୍ତଦ୍ଵୟକୁ ଯଥାକ୍ରମେ
K, L ଏବଂ M, N ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overline{\mathrm{KM}}\) || \(\overline{\mathrm{LN}}\)
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : m∠KMQ = m∠QPL (∵ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖୂତ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ, ଏହାର ବିପରୀତ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣର ପରିମାଣ ସହ ସମାନ ।)
କିନ୍ତୁ m∠QPL + m∠QNL = 180° (ଦୃଭାନ୍ତ୍ରକଖତ ଚତୁରୁକର ବିପର।ତ କୋଣ)
∴ m∠KMQ + m∠QNL = 180°; ମାତ୍ର ଏହି କୋଣଦ୍ଵୟ ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱସ୍ଥ ଅନ୍ତଃସ୍ଥ କୋଣ ।
⇒ \(\overline{\mathrm{KM}}\) || \(\overline{\mathrm{LN}}\) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 20.
ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜରେ ∠B ଓ ∠Dର ସମତ୍ତିଖଣ୍ଡକ ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । \(\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{D} E}\) ବୃତ୍ତକୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, \(\overline{\mathrm{BE}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BF}}\) |

Solution:
ଦତ୍ତ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ । ∠B ଓ ∠D ର
ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ E ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି ।
\(\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) ବୃତ୍ତକୁ F ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : \(\overline{\mathrm{BE}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BF}}\)
ପ୍ରମାଣ : m∠ADC + m∠ABC = 180° (ABCD ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ଚତୁର୍ଭୁଜ)
\(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠ADC + \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠ABC = 90°
⇒ m∠CDF + m∠EBC = 90°
କିନ୍ତୁ m∠CDF = m∠CBF (ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
m∠CBF + m∠EBC = 90° ⇒ m∠ERF = 90°
⇒ \(\overline{\mathrm{BE}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{BF}}\) (ପ୍ରମାଣିତ)

Question 21.
△ABCର କୋଣମାନଙ୍କର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକମାନେ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ X, Y ଓ Z ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, △XYZର କୋଣମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ଯଥାକ୍ରମେ 90° – \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠A, 90° – \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠B ଓ 90° – \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠C |
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ଦୁଲାନ୍ତ୍ରଖତ ∠A, ∠B ଓ ∠C ର ସମଦ୍ଵିଖଣ୍ଡକ ବୃତ୍ତକୁ ଯଥାକ୍ରମେ X, Y ଏବଂ Z ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : m∠X = 90° \(\frac { 1 }{ 2 }\)m∠A, \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠B ଏଦ m∠Z = 90° – \(\frac { 1 }{ 2 }\) m∠C

ପ୍ରମାଣ : \(\overparen{A Z}\) ର ଦିପରାତ ଗାପାନୁଇଖତ m∠AXZ = m∠ACZ
ଏବଂ \(\overparen{A Y}\) ଚାପର ବିପରୀତ ଚାପାନ୍ତର୍ଲିଖ କୋଣ m∠AXY = m∠ABY
∴ m∠AXZ + m∠AXY = m∠ACZ = m∠ABY
⇒ m∠X = \(\frac { m∠C }{ 2 }\) + \(\frac { m∠B }{ 2 }\)
⇒ m∠X = 90° – \(\frac { m∠A }{ 2 }\) (∵ \(\frac { m∠A }{ 2 }\) + \(\frac { m∠B }{ 2 }\) + \(\frac { m∠C }{ 2 }\) = 90°)
ସେହିପରି ପ୍ରମାଣ କରାଯାଇ ପାରେ ଯେ,
m∠Y = 90° – \(\frac { m∠B }{ 2 }\) ଏବଂ m∠Z = 90° – \(\frac { m∠C }{ 2 }\) ହେବ ।

Question 22.
△ABC ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । \(\overline{\mathbf{BC}}\) ଜ୍ୟା ସହ ସମ୍ପୃକ୍ତ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାପ ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ PA = PB + PC । (ସୂଚନା : \(\overrightarrow{\mathbf{B P}}\) ଉପରେ D ନିଅ ଯେପରି PC = PD ହେବ । △BCD ଓ △ACP ର ତୁଳନା କର ।)
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । \(\overline{\mathbf{BC}}\) ଜ୍ୟା ସହ ସଂପୃକ୍ତ କ୍ଷୁଦ୍ରଚାପ ଉପରେ P ଏକ ବିନ୍ଦୁ ।
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : PA = PB + PC
ଅଙ୍କନ : \(\overrightarrow{\mathbf{B P}}\) ଉପରେ D ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ଯେପରିକି PC = PD ହେବ । \(\overline{\mathbf{CD}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : △ABC ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ ।
m∠BAC = m∠CPD (ବୃତ୍ତାନ୍ତର୍ଲିଖ୍ ଚତୁର୍ଭୁଜର ବହିଃସ୍ଥ କୋଣ)
∴ m∠CPD = 60°
ସୁନଶ୍ଚ, △PCD ରେ PC = PD |

∴ △PCD ଏକ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ । ⇒ PC = CD = PD
ବର୍ତ୍ତମାନ m ∠ACB = m∠PCD = 60°
⇒ m∠ACB+m∠BCP=m∠PCD+m∠BCP
⇒ m∠ACP=m∠BCD
△APC ଓ △BCD ଦୟରେ AC = BC, PC = CD
ଏକ m∠ACP=m∠BCD
∴ △ACP ≅ △BCD
⇒ AP = BD ⇒ AP = BP + PD ⇒ AP = BP + PC

Question 23.
△ABCରେ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ △ABCର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । P ବିନ୍ଦୁରୁ \(\overrightarrow{\mathbf{AB}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{AC}}\) ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ ଦ୍ବୟର ପାଦବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ Q ଏବଂ R । ପ୍ରମାଣ କର ଯେ, AQ = AR = \(\frac { AB+AC }{ 2 }\) | (ସ୍ମତନା : ଦଶାଥ ଯେ △PBQ ≅ △PCR ⇒ BQ = CR )
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ର ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛି । P ବିନ୍ଦୁରୁ \(\overrightarrow{\mathbf{AB}}\) ଓ \(\overrightarrow{\mathbf{AC}}\) ପ୍ରତି ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବର ପାଦବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ Q ଏବଂ R । (ଏଠାରେ △ABCର AC > AB)
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AQ = \(\frac { AB+AC }{ 2 }\) = AR
ଅଙ୍କନ : \(\overline{\mathbf{PB}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{PC}}\) ଅଙ୍କନ କର ।
ପ୍ରମାଣ : ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦକରେ ।
⇒ \(\overparen{B P}\) = \(\overparen{P C}\) ⇒ BP = PC
△BPQ ଏକ △CPR ଦଯରେ
BP = PC, m∠BQP = m∠CRP (= 90°)
ଏବଂ PQ = PR

(∵ କୋଣର ବାହୁମାନଙ୍କଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁମାନ, କୋଣ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ ଉପରେ ଅବସ୍ଥାନ କରିବେ ।)
∴ △BPQ ≅ △CPR ⇒ BQ = CR
ପୁନଶ୍ଚ, △AQP ଓ △APR ଦ୍ବୟରେ
PQ = PR, \(\overline{\mathbf{AP}}\) ସାଧାରଣ ଏବଂ M∠AQP = m∠ARP
∴ △AQP ⇒ △APR ⇒ AQ = AR

ଚଇଂଲାନ 2AQ = AQ + AQ = AQ + AR = AB + BQ + AC – CR
= AB + AC (∵ BQ = CR)
∴ AQ = \(\frac { AB + AC }{ 2 }\) ⇒ AR = \(\frac { AB + AC }{ 2 }\)
⇒ AQ = \(\frac { AB + AC }{ 2 }\) = AR

Question 24.
△ABCରେ ∠Aର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ △ABCର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । \(\overline{\mathbf{AP}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{BC}}\)ର ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ D ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ △ABD ଓ △APC ସଦୃଶ ଅଟନ୍ତି । ସୁତରାଂ ଦର୍ଶାଅ ଯେ, AB • AC = BD • DC + AD² |
(ପୁଚନା : △ABD ଓ △APC ପଦଣ ⇒ AB.AC = AD.AP, AD² = AD (AP – PD))
Solution:
ଦତ୍ତ : △ABC ର ∠A ର ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡକ, ଏହାର ପରିବୃତ୍ତକୁ P ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ । \(\overline{\mathbf{BC}}\) ଓ \(\overline{\mathbf{AP}}\) ର ଛେଦବିନ୍ଦୁ D |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : (i) △ABD ~ △APC
(ii) AB AC = BD · DC + AD²
ପ୍ରମାଣ : △ABD ଓ △APC ଦ୍ବୟରେ
m∠ABD = m∠APC (ଏକ ବୃତ୍ତଖଣ୍ଡସ୍ଥ କୋଣ)
m∠BAD=m∠PAC ଅବଶିଷ m∠ADB = m∠ACP

∴ △ABD ~ △APC
⇒ \(\frac { AB }{ AP }\) = \(\frac { AD }{ AC }\) ⇒ AB . AC = AD . AP
⇒ AB . AC = AD (AD + DP)
= AD² + AD . DP …..(i)
ପୁନଣ୍ଡ △ABD ~ △PDC
(∵m∠BAD = m∠DCP, m∠ADB = m∠PDC)
⇒ \(\frac { BD }{ DP }\) = \(\frac { AD }{ DC }\) ⇒ BD . DC = AD . DP
(i) ରେ ପ୍ତ6ଯାଗ କଲେ AB . AC = AD² + BD . DC

Question 25.
(ଟଲେମୀଙ୍କ ଉପପାଦ୍ୟ) ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ,AC · BD = AB · CD + BC · AD | ଗୁଣଫଳ, ଚତୁର୍ଭୁଜର ସମ୍ମୁଖୀନ ବାହୁମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଗୁଣଫଳର ସମଷ୍ଟି ସଙ୍ଗେ ସମାନ ।)
(ସୂଚନା : ମନେକର m∠ADB > m∠BDC | E, AC ଉପରେ ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହେଉ ଯେପରି m∠BDC = m∠ADE | ବର୍ତ୍ତମାନ △ADE ଏବଂ △BDC ସଦୃଶ ⇒ \(\frac { AE }{ BC }\) = \(\frac { AD }{ BD }\) ପୁନଶ୍ଚ △ADB ଏବଂ △EDC ସଦୃଶ ⇒ \(\frac { CD }{ BD }\) = \(\frac { EC }{ AB }\) | )
Solution:
ଦଭ : ABCD ଏକ ବୃତ୍ତାନ୍ତଲିଖତ ଚତୁର୍ଭୁଜ ହେଲେ |
ପ୍ରାମାଣ୍ୟ : AC . BD = AB . CD + BC . AD
ଅକନ : ମନେକର m∠ADB > m∠BDC |
\(\overline{\mathbf{AC}}\) ଉପରିସ୍ଥ E ଏପରି ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିଅ ।
ଯେପରିକି m∠ADE = m∠BDC ହେବ ।
ପ୍ରମାଣ : ବର୍ତ୍ତମାନ △ADE ଏବଂ △BDC ଦ୍ଵୟରେ
m∠ADE = m∠BDC ଏବଂ m∠DAE = m∠DBC
ଥଗଣିପୁ m∠AED = m∠BCD

∴ △ADE ~ △BDC
⇒\(\frac { AE }{ BC }\) = \(\frac { AD }{ BD }\) ⇒ AE . BD = AD . BC
ପୁନ୍ଦଣ, △ADB ଏବଂ △EDC ଦ୍ଵପ୍ରେଭେ
m∠ABD + m∠ECD = m∠ADB + m∠EDC)
(∵m∠ADE = m∠BDC ⇒ m∠ADE + m∠EDB = m∠BDC + m∠EDB)
∴ △ADB ~ △EDC
⇒\(\frac { BD }{ CD }\) = \(\frac { AB }{ EC }\) ⇒ EC . BD = AB . CD
(i) ଓ (ii) ରୁ AE . BD + EC. BD = AD. BC + AB. CD
⇒ BD (AE + EC) = AB. CD + BC. AD
⇒ BD. AC = AB. CD + BC. AD